Die 1. Variation der MaBzahlen eines Elementarkegels

Von H. BIERI, Bern

Zahlreiche Probleme der Fl~chentheorie sowie der Theorie der kon- vexen Kt~rper kSnnen als Variat ionsprobleme aufgefaBt werden, ins- besondere das fundamenta le Prob lem der konvexen Grenzkt~rper 1). Soll dieser S t a ndpunk t greifbare Resul ta te zeitigen, so miissen in erster Linie die analy t i schen Ausdriicke fiir die erste Variat ion aller vorkom- menden Grt~Ben zur Verfiigung stehen. Nach meinen Wahrnehmungen bestehen in der L i t e ra tu r diesbeziigliche Liicken, die es zu schlieBen gilt.

Wir be t rach ten konvexe KC}rper, die yon jedem nicht im ~ul~ern gelegenen P u n k t e O aus in Ele- mentarkegel auf te i lbar sind ~) 3). o

E inen derar t igen Elementarkegel beschreiben wir durch die fiinf MaBzahlen Volumen V, Oberfl~che F , In tegra l der mi t t le rn Kri im- mung M , Bogenl~nge der Begren- zungskurve s, r~umlicher Winkel eo (Abb. 1).

Un t e r F soll nur die Fl~che der yon c aufgespannten Membran ver- s tanden werden. 92 sei der E inhe i t svektor in Rieh tung der innern Nor- malen yon W, 92* der E inhe i t svek tor in Rich tung der innern Normalen des dureh c laufenden Streifens S im Punk t e Q. Es t r e t en je tz t folgende Formeln der Different ialgeometrie in Kra f t :

1) H. Hadwiger, ~ber eine fehlende Ungleichung in der Theorie der konvexon K6rper. Elemente der Mathematik, Bd. II, Nr. 3.

2) Vergleiche W. Scherrer, Integrals~tze der Fl~chentheorie, Commentarii, Vol. 19, Fasc. sekundus, S. 110.

a) Dank der implicite getroffenen starken Voraussetzungen iiber Oberfli~he und Kanton des konvexen K6rpers kann der Formelapparat der Differentialgeometrie im gewiinschten Umfang angewendet werden. Eine Beeintr~chtigung der Allgemeinheit finder nicht start, kann doch der allgemeinste konvexe K6rper durch abz~hlbar unendlich viele Elementar- kege] simultan in allen drei Mal~zahlen V, Fund M approximiert werden.

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, I . , : f f p .dF ; I I I . M -= M l A- M~

a) M I - - f f H . a F ;

b) M z = �89 f qJ.ds ;

IV . s : . ~ V E ~ 2 + 2 F ~ + G ~ 2 d t

f f v. ~ ,= - ( ~

P : - -9~* (Stt i tzfunktion)

H ~ mi t t lere Kr i immung

= arccos (9Dl*)

Vermit tels t des Ansatzes

-~=t+~{p(u,v) t.+q(u,v)t~+n(u,v)~} ; l e l ~ < ~ o (1)

erreicht m a n vom ext remalen Elementarkegel aus, sofern nur den vaxierenden Funk t ionen n , p und q passende Beschr~nkungen auf- erlegt werden, alle zul~ssigen Vergleichsgebilde. Wir setzen, wie es tiblich ist,

e . [1[_~] e=0

und wenden diese Operat ion auf die Fundamenta lg r08en an. Als Para- mete r werden zweckm~Big Kr i immungs l in ienparameter gew~hlt.

I. ~F = -- e / / n . 2H . dF -- e _ ~ P/-EG (p dv -- q du) ~) . (2)

II . Die Normalvar ia t ion des Volumens eines Eiktirpers findet sich bei Blasehke, S. 248, die Normalvar ia t ion des Volumens eines Elementar - kegels (Sektork6rper) in der un te r Fu~note 2) zi t ier ten Arbeit . Wir miissen also weiter ausholen. Aus 1 ) folgt :

[~, ~] = ~ [ ~ , ~o] + ~ . + ( u , v) ;

4) Die Bezeichnungen sind fibernommen aus: W. Blaschke, Vorlesungen fiber Different ialgeometr ie , 3. Aufl., sowie aus der unter Fu~note 8) zitierten Arbeit (zitiert wird kiinftig mit Blaschke, Seherrer).

5) Vergleiehe W. Scherrer, Geometrisehe Deutung des Gaui~sehen Versehlin- gungsintegrals, Commentarii, Vol. 5, Fase. primus, S. 25.

6) Bla~hke, S. 241--243.

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f -{- / (nv + q.N)

be iden I d e n t i t ~ t e n

E~ �9 p + E~ �9 q - - 2 L �9 n 2 E +

t [x . , +

du dv , u n t e r Ber t i eks ieh t igung der

L . ~ ~ + I/-E G. P~ =_ O ; N . ~ ~ -- I/-E--G. P~ -- O

-~ - - [ ~ , t ] (S t i i t zvek tor ) 7)

u n d n a c h Aus f i i h rung einiger Z w i s c h e n r e c h n u n g e n erh~l t m a n :

--> --> (3) I I I . a) B la schke g ib t S. 258 die ers te N o r m a l v a r i a t i o n y o n H mi t

~ , H ~- ( 2 H 2 - - K) n + �89 A (n) an . A b e d e u t e t den zwei ten Different ia l - p a r a m e t e r y o n B e l t r a m i 8). Es fo lg t :

K = GauBsche K r i i m m u n g .

Zwecks B e r e c h n u n g der T a n g e n t i a l v a r i a t i o n gehen wir aus y o n

u n d e rha l t en : ~- t + e - p ~

9 l + e P" + ~ " P + - ) -0- " p ~ - - p " ~ ( " " t , ,

+ 2 e p ~ + - ~ . p + ~ - d , p

E : E l + 2 e p u + 2 E l ! , G ~ G 1 - } - 2 e . 2G " p

L = L + e L 3 p , , + - ~ . p - + - - ~ . p 4 : -p .L , , - -p .u (~ ' .E" t (

( l a )

:V

7) Scherrer, S. 106. s) Blaschke, S. 172--173.

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2 - H = { 2 H + ~ I 2 H . p , , + p ( u ( 1 ) . -GGU ig(1 ) " ~ - + g E ~ (2). E~2E + ~--~)i}

G 2E + u(~)" + ~/E,-G dudv"

:V 9)

~g{1), S(2) == Hauptkrtimmungen.

Das Ergebnis einer analogen, yon

ausgehenden Rechnung ist

. _ ~ - _ . ~ + �9

( l b )

Nun verschwinden aber in den Doppel in tegra len die Koeff iz ienten yon p und q identisch, da sie mi t den l inken Seiten der Codazzischen Gleichun- gen i ibere ins t immen lO). Somi t gilt abschlieBend

(SM 1 . . . . . . ~.t" ~ ( n . K - - � 8 9 A(n)}dF -- e . ~ H ~ / - - ~ ( p d v - - q d u ) . (4)

IV. Es ha t sich herausgeste] l t , dab die 1. Var ia t ion yon M 2 a m be- quemsten zu berechnen ist, wenn der F o r m e l a p p a r a t der inva r i an ten Ablei tungen bent i tz t wird11). D a ds mi t M 2 innig verkni ip f t ist, f i ihren wir denselben schon an dieser Stelle ein, gehen also aus yon

w2 9) Die Terme F , - - 2 M F diirfen weggelassen werden, da die Entwicklung nach

Potenzen yon emi t e 2 begimlt und somit zur ersten Variation nichts beigesteuert wird. lo) Blaschke, S. 134--139. Die innigo Verkniipftmg des Variationsproblems D" H dF

Extremum mit den Codazzischen Gleichungen ist bemerkenswert. 11) Blaschlee, S. 123--139.

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Es gilt dann :

~ - ~ + ~ { (q~ + p. ~(/) - n. ~(~)) ~ + (p~ - q. ~(/)) ~ + (n~ + q. ~(~) Yr }

u(~"), u(~) ~- geod~tische Kr i immungen der Parameterl inien,

und mit diesen Daten gewinnt man die Formel

~s : ~ f (p, + q. ~t')- n. ~'") d s 1 �9 ds~

j, ~- e (q~ ~- p . ~(~) -- n . ~ ) ds~ �9 ds~ (5) Vgs[ + d~

§ �9 V 'ds[ --[- ds*2

I I I . b) Die Berechnung der 1. Variat ion von M 2 macht am meisten Miihe. In der Ta t muff hier nicht nur die Membran W, sondern auch der Streifen S variiert werden, und zwar so, dab er der Kurve c best~ndig aufliegt (Abb. 1). Infolgedessen setzen wir an :

Membran : 7 --:- • ~ e { p E i - t -q t~ -{-n9~}

Streifen : 7" = t* + ~ {p* t~ ~- q* t* n* 2 + ~t*}

Die erwi~hnten Kontak tbed ingungen lauten :

t* t " 7 " = 7 ; p* * q* * n*gF

Die varierenden Funkt ionen des Streifens k0nnen nun miihelos berechnet werden. Man erh~lt :

p * = p - x j ~ + q . t ~ §

q* = P'~, g + q'~2 ~ + n . ~ ~ n* --~ p . t , ~* ~- q.~r ~* + n.9~ ~*

Es folgt weiter :

[ 7 , , 7~ ] = 9~ + e { ~ ( p , + q2 -~ q.~(gu) + p.~(q~) _ n . 2 H ) }

- e {t~(n2 + q.~2)) + t,(n~ + p.~"))}

[ L , - ~ ] = ~ + e~(p, + q~ + q.~(/) + p.~(/) - ~ . e H )

is) Dies gilt natiirlich nur langs c. Zwecks Entlastung des Druekes sei auf einen dies- beziiglichen Index verzichtet.

2 3 6

--- ~ -- e{t~(n~ + q .u ~2)) + ~,(n 1 + p.um)}

~ * - ~ ~ * - ~ . r v ) ;

+ ~ t~ (n~ + p*.u*(l~) + El ~*(nl + P "u(1))

Nun ist nach Definition M S = �89 S arccos (~R*) ds, mithin

~M2 = �89 Sarecos (9~*) ~ ds + �89 S(~ arccos (9~9F) ds

oder soweit als tunlich ausgerechnet :

2 (4

j ' 1 . , q. .(~)) J2 ....... ~ { ~ t 2 (n, + �9 + t , ~ * (n 2 + q �9 u (~)) } ds

j * 1 . . 4 : - - ~ in~{O~t , (nn + P * ' U * ( t ) ) + t , gF( n, + P ' U ( ' ) } ds

V. Der ri~umliche Winkel ~o nimmt eine Sonderstellung ein, indem er gegentiber Ahnlichkeitstransformationen invariant bleibt. In der Tat li~Bt sich mtihelos zeigen, dab mit ~ = ~ + s {m (u, v) t} die 1. Variation verschwindet. Mit dem Ansatz gemi~B (1) berechnet man nach dem Muster yon II :

fj' f f (t2 _ p2) dF + 3 e (p. t X. + q. t ~ ) d F & o = - a e n (~W/~

. ( , o , - (~)~i-~- �9 d t - - (~ ) . /~ . - -> .-->.

Naehtr~glieh hat sieh herausgestellt, dab auch Variationen von der Form ~ = ~ + e {m (u, v)~} hedeutungsvoll sind.

(Eingegangen den 30. Oktober 1949.)

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