Die bemerkenswerte Die bemerkenswerte Geometrie im antiken Geometrie im antiken

Ägypten und BabylonienÄgypten und Babylonien

Inhalt:Inhalt: Die ägyptische Die ägyptische

Geometrie:Geometrie: - Flächenberechnung- Flächenberechnung - Volumina- Volumina - Exkurs zur - Exkurs zur

Herleitung des Herleitung des PyramidenstumpfesPyramidenstumpfes

Die babylonische Die babylonische Geometrie:Geometrie: - Flächenberechnung- Flächenberechnung

- Volumina- Volumina - „Trigonometrie“- „Trigonometrie“

Die ägyptische GeometrieDie ägyptische Geometrie

Nach Aristoteles liegt der Ursprung der Nach Aristoteles liegt der Ursprung der Mathematik in ÄgyptenMathematik in Ägypten (z.B. verbrachte Pythagoras über 20 Jahre in (z.B. verbrachte Pythagoras über 20 Jahre in

Ägypten um sich dem Mathematikstudium zu Ägypten um sich dem Mathematikstudium zu widmen)widmen)

Beispiele für die ägyptische Beispiele für die ägyptische GeometrieGeometrie

Hier zeigen sich die Hier zeigen sich die elementaren elementaren geometrischen geometrischen Kenntnisse des alten Kenntnisse des alten Ägyptens Ägyptens unübersehbarunübersehbar

(Totendenkmäler am (Totendenkmäler am Nil, etc.)Nil, etc.)

PyramidenPyramiden Konstruktionen wie die Konstruktionen wie die

Pyramide von Gizeh Pyramide von Gizeh (2900 v. Chr.) versetzen (2900 v. Chr.) versetzen unter damaligen unter damaligen Arbeitsbedingungen in Arbeitsbedingungen in StaunenStaunen

Sie besteht aus ca. 2 Sie besteht aus ca. 2 Millionen Steinblöcken Millionen Steinblöcken von je 2,5 Tonnenvon je 2,5 Tonnen

Probleme im Transport, Probleme im Transport, der Bautechnik und Statikder Bautechnik und Statik

(Aber: relativer (Aber: relativer Messfehler des rechten Messfehler des rechten Winkels 1:27000)Winkels 1:27000)

Mathematische QuellenMathematische Quellen

Die priesterlichen Quellen überliefern uns Die priesterlichen Quellen überliefern uns nichts von der ägyptischen Mathematiknichts von der ägyptischen Mathematik

Wichtigste Quellen: Wichtigste Quellen: 1.) Moskauer Papyrus1.) Moskauer Papyrus 2.) Papyrus Rhind 2.) Papyrus Rhind (ca. 1800 v. Chr.) (ca. 1800 v. Chr.)

Diese bringen keine Diese bringen keine Zahlenmystik und Zahlenmystik und keine mathematische keine mathematische Deduktion (wie etwa Deduktion (wie etwa Euklid)Euklid)

Sie bringen schlichte Sie bringen schlichte Rechenpraxis, wie sie Rechenpraxis, wie sie für ägyptische für ägyptische Beamte benötigt Beamte benötigt wurdewurde

AnwendungsgebieteAnwendungsgebiete

1.) Bestimmung des 1.) Bestimmung des Getreidebedarfs Getreidebedarfs für die Bierproduktionfür die Bierproduktion

2.) Verteilung von 2.) Verteilung von LohnsummenLohnsummen

3.) Berechnung von 3.) Berechnung von FlächeninhaltenFlächeninhalten

4.) Berechnung des 4.) Berechnung des Inhalts von Inhalts von KornspeichernKornspeichern

Beispiel: Problem (51) des Beispiel: Problem (51) des Papyrus RhindPapyrus Rhind

Dieses „Problem“ berechnet die Fläche Dieses „Problem“ berechnet die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks auf der eines gleichschenkligen Dreiecks auf der Hälfte der Basis, multipliziert mit der Höhe.Hälfte der Basis, multipliziert mit der Höhe.

Rechtfertigung:Rechtfertigung:

Die Zerlegung dieses Die Zerlegung dieses Dreiecks zu zwei Dreiecks zu zwei rechtwinkligen rechtwinkligen Dreiecken durch die Dreiecken durch die HöheHöhe

Diese können nun zu Diese können nun zu einem Rechteck einem Rechteck zusammengefasst zusammengefasst werdenwerden

Eine erstaunlich genaue Formel zur Eine erstaunlich genaue Formel zur Berechnung der Kreisfläche:Berechnung der Kreisfläche:

Gegeben sei ein KreisGegeben sei ein Kreis Man subtrahiere vom Durchmesser d Man subtrahiere vom Durchmesser d

seinen 9. Teilseinen 9. Teil Nun multipliziere diesen Ausdruck mit sich Nun multipliziere diesen Ausdruck mit sich

selbstselbst (ägyptische Anleitung)(ägyptische Anleitung)

Im Klartext:Im Klartext: Man berechnet die Kreisfläche gemäß der Man berechnet die Kreisfläche gemäß der

Formel:Formel:

A= (8/9 d)A= (8/9 d)2 2 = = ΔΔdd22 ,wobei ,wobei ΔΔ eine eine Approximation für (Approximation für (ππ/4) ist, /4) ist, die die π≈π≈ 3,1605… ergeben würde. 3,1605… ergeben würde.

Das vorhandene Textmaterial gibt keinen Das vorhandene Textmaterial gibt keinen Aufschluss über die Herleitung dieser Aufschluss über die Herleitung dieser FormelFormel

Es gibt allerdings schwache Hinweise, die Es gibt allerdings schwache Hinweise, die auf folgender Überlegung beruhen:auf folgender Überlegung beruhen:

Der Koeffizient (8/9)Der Koeffizient (8/9)22 scheint ein scheint ein unveränderlicher Koeffizient zu seinunveränderlicher Koeffizient zu sein

Dieser erscheint nämlich nicht nur bei der Dieser erscheint nämlich nicht nur bei der Berechnung der Kreisfläche, sondern auch Berechnung der Kreisfläche, sondern auch bei der Berechnung des Kreisumfangsbei der Berechnung des Kreisumfangs

Formel für den Umfang: 4d (8/9)Formel für den Umfang: 4d (8/9)22

Da A=Da A=ΔΔdd22 und U= 4 und U= 4ΔΔd ist, darf d ist, darf angenommen werden:angenommen werden:

Die Formel für die Kreisfläche Die Formel für die Kreisfläche war der Ausgangspunkt, da war der Ausgangspunkt, da ΔΔ das das Verhältnis der Flächen und nicht Verhältnis der Flächen und nicht der Umfänge ist!der Umfänge ist!

Ein theoretischer Vergleich:Ein theoretischer Vergleich:Die Kreisfläche mit der Fläche Die Kreisfläche mit der Fläche

eines umschriebenen Quadrateseines umschriebenen Quadrates Diesem Quadrat Diesem Quadrat

werden die Ecken werden die Ecken abgeschnittenabgeschnitten

In der Tat scheint In der Tat scheint eine solche Figur, die eine solche Figur, die Quadratfläche mit Quadratfläche mit Kreisfläche vergleicht, Kreisfläche vergleicht, auf eine Herleitung auf eine Herleitung (möglicherweise) (möglicherweise) hinzuweisenhinzuweisen

Da man das Quadrat Da man das Quadrat in 9 kleine Quadrate in 9 kleine Quadrate unterteilt, legt die unterteilt, legt die spezielle Bauart des spezielle Bauart des Koeffizienten Koeffizienten ΔΔ nahe, nahe, die Ecken zunächst die Ecken zunächst so abzuschneiden, so abzuschneiden, dass man zunächst dass man zunächst das mittlere Drittel der das mittlere Drittel der Quadratseite Quadratseite unberührt lässtunberührt lässt

Dies führt uns zu Dies führt uns zu einer ersten einer ersten Näherung der Näherung der Kreisfläche:Kreisfläche:

A=dA=d22-(2/9)d-(2/9)d22=(7/9)d=(7/9)d22

Von dort aus ist es (zum Teil wegen des gering Von dort aus ist es (zum Teil wegen des gering vorhandenen Textmaterials) nicht ersichtlich, wie vorhandenen Textmaterials) nicht ersichtlich, wie man von diesem Ausdruck zur ägyptischen man von diesem Ausdruck zur ägyptischen Formel gelangt!Formel gelangt!

Bezeichnend für die ägyptische Mathematik ist, Bezeichnend für die ägyptische Mathematik ist, dass zwischen einer solchen Annäherung und dass zwischen einer solchen Annäherung und einer exakten Bestimmung noch nicht einer exakten Bestimmung noch nicht unterschieden wurde!unterschieden wurde!

VoluminaVolumina

„„Krumme“ Flächen wie der Zylindermantel Krumme“ Flächen wie der Zylindermantel wurden durch abrollen auf der Ebene wurden durch abrollen auf der Ebene bestimmtbestimmt

Das Zylindervolumen wird für das Beispiel Das Zylindervolumen wird für das Beispiel eines rechten Zylinders durch eines rechten Zylinders durch (angenäherte) Basiskreisfläche mal der (angenäherte) Basiskreisfläche mal der Höhe berechnetHöhe berechnet

Die bemerkenswerteste Die bemerkenswerteste VolumenbestimmungVolumenbestimmung

Aufgabe 14 des Moskauer Aufgabe 14 des Moskauer Papyrus:Papyrus:

Der Verfasser gibt die Höhe 6, obere Der Verfasser gibt die Höhe 6, obere Kante 2 und untere Kante 4 an:Kante 2 und untere Kante 4 an:

„„Man quadriere die Zahlen 2 und 4 und Man quadriere die Zahlen 2 und 4 und füge zur Summe dieser Beiden Quadrate füge zur Summe dieser Beiden Quadrate das Produkt der Zahlen 2 und 4 hinzu, um das Produkt der Zahlen 2 und 4 hinzu, um die so erhaltene Zahl 28 (4+16+8=28) mit die so erhaltene Zahl 28 (4+16+8=28) mit einem Drittel von 6 (also 2) zu einem Drittel von 6 (also 2) zu multiplizieren“multiplizieren“

Diese Anweisung Diese Anweisung entspricht exakt der entspricht exakt der heutigen Formel:heutigen Formel:

V=(aV=(a22+ab+b+ab+b22)*(h/3) für )*(h/3) für einen Kegelstumpf einen Kegelstumpf mit der Höhe h und mit der Höhe h und den Kantenlängen a den Kantenlängen a und bund b

Wenn wir von Formeln sprechen ist Wenn wir von Formeln sprechen ist dies selbstverständlich auch hier, dies selbstverständlich auch hier,

wie auch sonst immer so zu wie auch sonst immer so zu verstehen, dass der ägyptische verstehen, dass der ägyptische

Text selbst mit konkreten Zahlen Text selbst mit konkreten Zahlen rechnet, aber nach einer Vorschrift, rechnet, aber nach einer Vorschrift,

die eben durch unsere Vorschrift die eben durch unsere Vorschrift (Formel) ausgedrückt wird !!!(Formel) ausgedrückt wird !!!

Es scheint so, dass die Es scheint so, dass die Pyramidenstumpfberechnung nur Pyramidenstumpfberechnung nur bautechnischen Zweck gehabt haben bautechnischen Zweck gehabt haben kannkann

Sie diente beispielsweise zur Volumen- Sie diente beispielsweise zur Volumen- bzw. Gewichtsberechnung für einen bzw. Gewichtsberechnung für einen Eckblock zwischen zwei geböschten Eckblock zwischen zwei geböschten FlächenFlächen

So wird der Körper wohl folgende So wird der Körper wohl folgende Gestalt annehmen dürfen:Gestalt annehmen dürfen:

Zu beachten:Zu beachten:

Der Gesamtkörper ist aufgebaut durch Der Gesamtkörper ist aufgebaut durch a) einen Quader des Inhalts h*ab (gebildet a) einen Quader des Inhalts h*ab (gebildet

aus quaderförmigen Innenteil)aus quaderförmigen Innenteil) b) zwei kongruente Seitliche Prismen b) zwei kongruente Seitliche Prismen c) und einer Pyramide der Grundfläche c) und einer Pyramide der Grundfläche

(a-b)(a-b)22 und der Höhe h und der Höhe h

Annahme: Man Annahme: Man konnte damals das konnte damals das Volumen der Volumen der Pyramide konkret Pyramide konkret berechnen. So folgt berechnen. So folgt für das Volumen:für das Volumen:

h/3*(a-b)h/3*(a-b)22

= h(a= h(a22/3 -2/3ab +b/3 -2/3ab +b22/3)/3)

Nach Addition des Nach Addition des Volumens des ersten Volumens des ersten Körpers entsteht die Körpers entsteht die uns bekannte Formel!uns bekannte Formel!

Die Voraussetzungen für Die Voraussetzungen für diese Überlegungen sind diese Überlegungen sind den ägyptischen den ägyptischen Mathematikern bekannt Mathematikern bekannt gewesengewesen

Die einzige Umformung, Die einzige Umformung, die nötig war, war die die nötig war, war die Umformung des Binoms Umformung des Binoms

(a-b)(a-b)22 , und gerade diese , und gerade diese ist textlich belegt !ist textlich belegt !

Auch das Auch das Zusammensetzen vonZusammensetzen von

ab-(2/3)ab=(1/3)abab-(2/3)ab=(1/3)ab war der ägyptischen war der ägyptischen

Mathematik geläufigMathematik geläufig

Die wichtigste Voraussetzung Die wichtigste Voraussetzung jedoch war die Kenntnis der jedoch war die Kenntnis der

richtigen richtigen „Pyramidenvolumenformel“.„Pyramidenvolumenformel“.

Doch das diese existierte ist Doch das diese existierte ist wohl mit Recht anzunehmen, wohl mit Recht anzunehmen, wie eben unser Beispiel zeigt.wie eben unser Beispiel zeigt.

Wie kam man zur Erkenntnis dieser Wie kam man zur Erkenntnis dieser Pyramidenformel?Pyramidenformel?

Es hat wenig Sinn, weitreichende Es hat wenig Sinn, weitreichende Betrachtungen zu machen, da notwendig Betrachtungen zu machen, da notwendig Unkorrektheiten in der Herleitung Unkorrektheiten in der Herleitung enthalten sein müssen, da dabei die enthalten sein müssen, da dabei die InfinitesimalrechnungInfinitesimalrechnung nicht umgangen nicht umgangen werden kann!werden kann!

Vermutung:Vermutung:

Man hat durch Man hat durch irgendeinen speziellen irgendeinen speziellen Fall, (z.B. Eckpyramide Fall, (z.B. Eckpyramide im Würfel) durch im Würfel) durch anschauliche Betrachtung anschauliche Betrachtung die korrekte „Formel“ die korrekte „Formel“ gefunden und diese ohne gefunden und diese ohne weiteres auch auf die weiteres auch auf die nicht trivialen Fälle nicht trivialen Fälle ausgedehnt.ausgedehnt.

Exkurs – Die Herleitung der Exkurs – Die Herleitung der Pyramidenformel:Pyramidenformel:

Die allgemeine Formel für das Volumen Die allgemeine Formel für das Volumen der Pyramide ist: (Grundfläche mal der Pyramide ist: (Grundfläche mal Höhe)/3. Die Berechnung des Volumens Höhe)/3. Die Berechnung des Volumens des Stumpfes erfolgt, indem vom Volumen des Stumpfes erfolgt, indem vom Volumen der großen Pyramide (Höhe x + h) das der der großen Pyramide (Höhe x + h) das der kleinen (Höhe x) abgezogen wird. x ist kleinen (Höhe x) abgezogen wird. x ist jedoch unbekannt und muß erst berechnet jedoch unbekannt und muß erst berechnet werdenwerden

Durch Anwendung des Strahlensatzes gilt aufgrund Durch Anwendung des Strahlensatzes gilt aufgrund ähnlicher Dreiecke:ähnlicher Dreiecke:

X:(b/2) = (x+h): (a/2) => (a*x)/2 = (b*x +b*h)/2X:(b/2) = (x+h): (a/2) => (a*x)/2 = (b*x +b*h)/2Nun gilt:Nun gilt:a*x = b*x + b*h, a*x – b*x = b*h, x(a – b) = b*ha*x = b*x + b*h, a*x – b*x = b*h, x(a – b) = b*hUnd x = (b*h)/(a-b).Und x = (b*h)/(a-b).Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt daher:Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt daher:

V= aV= a22(x+h)/3 – (b(x+h)/3 – (b22*x)/3 = [a*x)/3 = [a22((b*h)/(a-b))+h)]/3 – b((b*h)/(a-b))+h)]/3 – b22*(b*h/(a-b))/3*(b*h/(a-b))/3Nach Termumformungen erhalten wir den Ausdruck:Nach Termumformungen erhalten wir den Ausdruck:h/3* ((ah/3* ((a33-b-b33)/(a-b)).)/(a-b)).

Durch Polynomdivision erhält man nun:Durch Polynomdivision erhält man nun:(a(a3 3 – b– b33) : (a – b) = a) : (a – b) = a22 + 2a*b +b + 2a*b +b22

Daher gilt schließlich:Daher gilt schließlich:V= h/3* (aV= h/3* (a22 + 2a*b +b + 2a*b +b2)2)

Die babylonische GeometrieDie babylonische Geometrie

Die ca. 300 Die ca. 300 Keilschrifttafeln mit Keilschrifttafeln mit mathematischen Inhalt mathematischen Inhalt (die älteste aus der Zeit (die älteste aus der Zeit der Sumerer (2100 v. der Sumerer (2100 v. Chr.)) weisen Chr.)) weisen babylonische babylonische Mathematiker als Mathematiker als geschickte und –geschickte und –besonders ägyptischen – besonders ägyptischen –

Zeitgenossen weit Zeitgenossen weit überlegene Arithmetiker überlegene Arithmetiker und Algebraiker aus und Algebraiker aus

Ähnlich wie bei den Ägyptern werden Ähnlich wie bei den Ägyptern werden Flächen von Quadraten, Rechtecken, Flächen von Quadraten, Rechtecken, Dreiecken, Trapezen, etc. und Dreiecken, Trapezen, etc. und Volumina von Würfeln, Quadern und Volumina von Würfeln, Quadern und Prismen berechnet!Prismen berechnet!

Der PyramidenstumpfDer Pyramidenstumpf

Der Pyramidenstumpf Der Pyramidenstumpf wird korrekt und wird korrekt und analog zur analog zur ägyptischen „Formel“ ägyptischen „Formel“

berechnet:berechnet:

Ein großer Teil der Ein großer Teil der Aufgaben, die sich in Aufgaben, die sich in den mathematischen den mathematischen Texten befinden, Texten befinden, betreffen rein betreffen rein praktische Fragen.praktische Fragen.

Beispiel:Beispiel:

Berechnung der Anzahl von Menschen, Berechnung der Anzahl von Menschen, die benötigt werden, um gewisse die benötigt werden, um gewisse Erdarbeiten auszuführen, etwa dem Erdarbeiten auszuführen, etwa dem Aushub von Kanälen oder Aushub von Kanälen oder Bauwerksfundamenten, das Errichten von Bauwerksfundamenten, das Errichten von Dämmen und Wällen.Dämmen und Wällen.

Der BelagerungswallDer Belagerungswall

In diesem Zusammenhang finden wir In diesem Zusammenhang finden wir beispielsweise eine Formel zur Bestimmung des beispielsweise eine Formel zur Bestimmung des Volumens eines Körpers (eines Volumens eines Körpers (eines Belagerungswalles):Belagerungswalles):

V= ½*[(a+b)/2 + (a‘+b‘)/2]*(h+h‘)/2*lV= ½*[(a+b)/2 + (a‘+b‘)/2]*(h+h‘)/2*l

Wenn auch diese Aufgaben rein Wenn auch diese Aufgaben rein praktische Bedeutung hatten, steht fest:praktische Bedeutung hatten, steht fest:

Es herrschten eine Reihe von Es herrschten eine Reihe von Erkenntnissen elementargeometrischer Erkenntnissen elementargeometrischer Beziehungen vor, wie z.B. Ausnutzung Beziehungen vor, wie z.B. Ausnutzung einfacher Proportionalitäten im Dreieck einfacher Proportionalitäten im Dreieck und ähnliches! und ähnliches!

Was hebt nun die babylonische Was hebt nun die babylonische über die ägyptische Mathematik?über die ägyptische Mathematik?

Den Babyloniern war bereits der so Den Babyloniern war bereits der so genannte „Lehrsatz des Pythagoras“ genannte „Lehrsatz des Pythagoras“ bekanntbekannt

Diese Erkenntnis lässt die babylonische Diese Erkenntnis lässt die babylonische unmittelbar in die griechische Geometrie unmittelbar in die griechische Geometrie übergehenübergehen

Altbabylonischer AufgabentexteAltbabylonischer Aufgabentexte

Konstruktionen und Konstruktionen und Berechnungen dieser Berechnungen dieser Art konnten aufgrund Art konnten aufgrund der Kenntnis des der Kenntnis des „Lehrsatzes des „Lehrsatzes des Pythagoras“ leicht Pythagoras“ leicht bestimmt und bestimmt und berechnet werden.berechnet werden.

Unter Voraussetzung Unter Voraussetzung des pythagoreischen des pythagoreischen Lehrsatzes wird auch Lehrsatzes wird auch die Diagonale d in die Diagonale d in einem einem gleichschenkligen gleichschenkligen Trapez mit Schenkeln Trapez mit Schenkeln a und Parallelseiten b a und Parallelseiten b und c bestimmt:und c bestimmt:

Offensichtlich gilt:Offensichtlich gilt: hh22= a= a22- [(c-b)/2]- [(c-b)/2]22 und d und d22= h= h22+[(c-(c-b)/2)]+[(c-(c-b)/2)]22 , , also dalso d22 = a = a22 + bc. + bc.

Dieser Dieser TrapezsatzTrapezsatz leistet für leistet für (c-b)/2 = a* cos((c-b)/2 = a* cos(αα) dasselbe wie der ) dasselbe wie der

Kosinussatz der ebenen Trigonometrie und Kosinussatz der ebenen Trigonometrie und erlaubt den Aufbau einer winkelfreien erlaubt den Aufbau einer winkelfreien elementaren Geometrie !!!elementaren Geometrie !!!

Trigonometrische VorliebenTrigonometrische Vorlieben Die Babylonier waren wie bereits erwähnt, sehr Die Babylonier waren wie bereits erwähnt, sehr

tabellenbegeisterttabellenbegeistert

Sowohl die Babylonier als auch die Ägypter Sowohl die Babylonier als auch die Ägypter kannten noch keine Winkelmaße im modernen kannten noch keine Winkelmaße im modernen SinneSinne

Doch die Babylonier besaßen eine Art Vorform Doch die Babylonier besaßen eine Art Vorform einer trigonometrischer Wertetabelleneiner trigonometrischer Wertetabellen

Verfahren der „trigonometrischen Verfahren der „trigonometrischen Wertetabelle“Wertetabelle“

Gesucht werden Gesucht werden pythagoreische ganze pythagoreische ganze Zahlen a,b,c mit:Zahlen a,b,c mit:

aa22 = c = c22-b-b2 2

Zuerst werden Zuerst werden rationale Zahlen rationale Zahlen

r‘= b/a, r‘‘= c/a undr‘= b/a, r‘‘= c/a und 1= (r‘‘)1= (r‘‘)22-(r‘)-(r‘)22 bestimmt. bestimmt.

Setzte nun r‘+r‘‘=p/qSetzte nun r‘+r‘‘=p/qmit ganzen Zahlen p mit ganzen Zahlen p

und q und q

Dann folgt wegen Dann folgt wegen (r‘‘)(r‘‘)22-(r‘)-(r‘)22=(r‘‘+r‘)(r‘‘-r‘)=(r‘‘+r‘)(r‘‘-r‘)

r‘‘-r‘= p/q, d.h.:r‘‘-r‘= p/q, d.h.:

r‘=r‘=½(p/q-q/p)½(p/q-q/p) =(p=(p22-q-q22)/2pq und)/2pq und

r’’=½(p/q+q/p)r’’=½(p/q+q/p) =(p=(p22+q+q22)/2pq)/2pq

Also setzt man :Also setzt man :

a = 2pq, b = pa = 2pq, b = p22 - q - q22 undundc = pc = p22 +q +q2 2

(Verfahren ist textlich belegt !)(Verfahren ist textlich belegt !)

In der babylonischen In der babylonischen Vorliebe für Vorliebe für Rechentabellen drückt Rechentabellen drückt sich nicht nur eine sich nicht nur eine arithmetisch-algebraische arithmetisch-algebraische Begabung ausBegabung aus

Die babylonische Die babylonische Astronomie beweist, dass Astronomie beweist, dass sie scharfe Beobachter sie scharfe Beobachter und Sammler von und Sammler von Messdaten warenMessdaten waren

Fazit der babylonischen Geometrie:Fazit der babylonischen Geometrie:

Nur aus diesen Ergebnissen waren die Griechen Nur aus diesen Ergebnissen waren die Griechen in der Lage ihr Planetensystem zu entwickelnin der Lage ihr Planetensystem zu entwickeln

Mathematikgeschichtlich zeigt sich bei den Mathematikgeschichtlich zeigt sich bei den Babyloniern der Nährboden, mit dem sich später Babyloniern der Nährboden, mit dem sich später die Trigonometrie ausbilden wird:die Trigonometrie ausbilden wird:

Arithmetisch-algebraische Fertigkeiten bei Arithmetisch-algebraische Fertigkeiten bei geometrischen Grundkenntnissen und das geometrischen Grundkenntnissen und das Interesse an Tabellen zur Vereinfachung von Interesse an Tabellen zur Vereinfachung von RechnungenRechnungen

Weiterführende und vertiefende Weiterführende und vertiefende Literatur:Literatur:

Mainzer,Klaus:Geschichte der Geometrie, Mainzer,Klaus:Geschichte der Geometrie, Zürich 1980.Zürich 1980.

O. Neugebauer: Vorgriechische O. Neugebauer: Vorgriechische Mathematik, Berlin/New York 1969.Mathematik, Berlin/New York 1969.

O. Neugebauer: The exact sciences in O. Neugebauer: The exact sciences in antiquity.antiquity.

Gillings, Richard J.: Mathematics in the Gillings, Richard J.: Mathematics in the time of the Pharaos. time of the Pharaos.