Dic Einheitengruppe eines zahm-verzweigten galoisschen lokalen Korpers als Gi\LoIs-Modul

\'on HERBERT PIECER in Berlin

(Eingepngen aiii 27. 9. 1971)

1. Es sei 23 eiiie Priiiizahl, Ql, tier Korlm der rational-~-adischen Znlilen ui id Z,, der Ring der gaiizeii y-dischen Zahlen. Ferner sei K ein lolialer Zahlliorper, nainlich eine eizdlich-algebraische Erweiterung eines Korljers Qp u i d I, eine GALOISsche Rrweiteruizg vori K init der GALorsschen Gruppe cr'. C: ope1 iert in natiirlicher Weise auf der Einheitengruppe von L. Diese wird ein G 1LoIs-;\;Iodul.l) Es entsteht die Pr;~ge nach der Rtruktur der F:inheiteiigrulq)c idi G-Jlodul. Die multipliliative Gruppe L' von I; ist direktcs Produkt (1) L" - (3) x v.

n) die uuendliche zyklische Grulqle, crzeugt durch eiiz Primelenient z von L. nnd W die l3iiiheiteizgrupI)e von L ist. 1st nun die Struktur voii cT als 1:-Jlotlnl beliaiznt. so nach BOREWICZ ( [ 5 ] ) aueh die Struktur voii L ah (/-?YIodul (was jedoclz fiir zahin-vei-zweigte Erweiterungen sowieso klar 1st).

Die Einlreiteiigruppe ist direktes Produkt ( 2 ) r T = Q x H el tier endlichen zyklischeii Gruppe Q (besteheiid aub alleii uiid nur den Ein- hcitswiirzeln von durch p nicht teil1)arer Ordnung) und der Gruppe H der EI iiseinheiten von h.

Offenbar genhgt es, die Struktur von I3 als G-Modul zu bestinznien. E n vernuiiftiges Resultat 1st auf Grund der Uiitersuchungen von HENSEL nur zu crmarten. falls wir auch 2, :tls Operatorenbereich fiir H zulasxeii. Der Z,, Moclul H 1st tiirektes Produkt

H .~ J$ ' xH" ( 3 )

ei~ier zyklischen Gruppe M' der Ordiiung p s (die Gruppe cler i n L vor- koinnieiiden Eiriheitswurzeln von p-Potenzordnung) uiid eiiies freieii ZT- nrotiuis R" voIil R~~~~~ [L : ?,,I.

~~~ ~ ~

j ) Fu. Einheitrn F , r) und Gruppenclc.mcntc g, a E G gilt 1 F = F (,,I" beLeichiie das Einselernent von G ) , e ( E q ) = (Q F ) (Q q ) , ( e a) E = g (a E ) .

Die Operatoren aus Z,, sirid niit den Sutoiiiorphismeii aus G: vertausch- b ~ r . Wir bilden die Gi"ul)l)enalgek>raZ~~[GJ. 2) Das Problem, die Z,[G]- Struktur 1-011 I€ ZLI untersuchen. wird man zumclist fur spezielle Korperer~~eiterungs- t j pen, :~lso spezielle Gruppen G', in Bngriff nehiiien. Erste Strulitur- untersuchurigeii der Einseinheiten unter Bearhtung der lT7irkung sow oh1 des Riiiyes 2, als :wch tler GnLoIsschen Gruppe tier lokalen Erweiterung lieferteri 1921 RELLA untl 1932 ~VAHLTN. 11339 erscliien in deli , ,Act% Arith- iiieticu" eiiie uimfangreiche, uiidurchsichtige Srlueit von KRASNER. Er he- schreilJt d ie gesuclite Strulitur fur zahm-verzwcigte Erweiterungrn, die keine p-teii Eirilieitswurzeln eiitlialteii (d. h. s = o ) mid fur solche rmt p l ca rdG. In diesen Fallen beiitzen ciic Eiii5einheiten eine sog. Kornialk~asis (IZ 1st direktes ProtZukt ciner zyklischen Gi'ul)l)e der Ordnung p' und eiiies freien Z,,[G']-Illoduls voin Rang [ K : Q,]]).

Eirieii iieuen einfacheren lZeueis fur den Fall voii Erwetterutigeii I, K i i i i t ]J% [ L I<] gab (iILBARG (1942). Er zeigte auch, dafl regdare (d. h. s ~ o ) Erweiterungen I, 'K init Sormalh fur die Einseiiiheiten notwendig

Besclireil)uiig cler (nirht i iur zahiii-ver~weigten) Erweiterungen L 17 rmt irreg:ul<ireiii /, ((1. !I. s ; 1). die auch eine Boriidbasis fur die Einseinheiten hciitxen IJur sog zerfdlende z,thni verzn eipte Erweiterungen /i I<, die :tulicrdeiii tlic p'-ten Eitihwtsn ureelii cs (. = 1) entli,rlten. init p 1 [L . K ( c 5 ) ] nntl p ;- 2 (miter ZusatzheditieiniiO.en such fury = 2 ) lo,te IWASAW~ (1955) i ~ i g uritllceentlen IJntei inc.liungcn das gestellte Prohleiii.

J edoch i y t tLis Pi*ohlem fur zahm-verzm ciigte Hmeiterungen BcineifalL-

Die Strnktur voii H fur 11 = 2 1st in elnigeii Fallen novh unI)ekaimt.

Zd,hli l - T. C'I'ZT.Velg6 4lIld. BOEE\\rtcZ L l l l d PIE gaben 1965 ellie vollstaridige

ii~iinlich fur Erweiterungen I, li mit

2 [ L : I < ( [ $ ) ] , aber 4!, [I;

1 ) Z V .

b 1 ATLl6 (&) - 1 , /IT enthdlt von Eiii- heitswurzelii voii 2-Poteiizordiiuiig genm die 2-ten Einheitswurzeln.

Kann nian ferner die bci I\YASAWA zusiitzlich vorausgesetzten Bedin- guiigen f u r die zerfallendeii Erwei terurigeii fallen lassen ? Wie bekommt nian die Zp [GI Jloclul-Struktur voii H fur nicht-zerfallende Erweiterungen ?

2 , LL :I<], 2 !, [L :I<([ , )] ,

~

2 ) F u r o = 2' ue p &us Z,[G] (ae E 2, fur jedes p) und 77 BUS H setzen wir QCG!

H \bird Z1,[G]-Modul. Bei der Anwendung der Potcnzschreibweise (qw an Stclle yon o 7 ) ist qww' = (q"')" (fur E H , OJ, w' e Z P [ O ] ) zu beachtcn.

Pieper, Die Einheitengnippe 17.5

LdBt sich tlas gmze uiiter Einbeeiehung insbesondere des KRAsmRscheii Falles eiiiheitlich darstellen? Diese eiriheitliche alle Palle umfassende Dar- stelluiig ist in der Tat moglich. Rie beruht zuniichst auf der Tatsache; dall, sicli jede znhm-verzweigt'e Erweiteruiig in eiiie zerfallende Erweiterung eiii- betten 1iiBt'.

J lm erlriilt daher die Z,[G]-St~:uktur der Eiiiseinheiteii solclier (iiiclit not weiidig zerfallender) Erweiterungen aus der fur zerfallende Erweite- rungen.

Es gilt also, die Struktur der Eiiiseinheiteiigrup1,e eirier zerfallenclen K r - \veiterung zu hestiminen. Hier ergibt' sich nun eiiie einheitliche Darst'elluiig, iiideivi wir einige grundlegende Eigenschaften dieser Grnppe als Axioiiie vor- anstellen, um daraus die Struktur zu gewinneii.

Wir iiritersuchen ( 5 1) in der Kategorie der Z,[G]-Darstellunjisii~otlulii einer spezielleii (zweistufig metaa,helschen) Gruppe fi eine Teilkategorie, cieyeii Olijekte (die wir H~:NsET,-P\~-Asd~~~-~-i\lodulii nenneii) durch drei Asioirie beschriebeii werden, die sich aus den1 zii inntersuchenden Staiithrci- beispiel tler 1i:iiiseiiiheiteiigr~~pi~e einer zerfallenden Erweiterung ergel,en. Asiorii I ent'spriiigt itus dern schoii erwiihnten Satz ( 3 ) von HENSEL. L)er !:P(p)-Vektorrau~ri HiH" hat' eiiie oilifache GF(p)O-Struktur, nxs i n Axiom 2 forinuliert wird.

SchlieRlich ergibt sicli Axiom 3 aus der wichtigen Tatsache, cial3 fiir zahin-vcrzweigte Erweiterungeii die Einseiiiheiteiigru ppe ein kohoinnlogisch - tiivi;~lei. G-htodiil ist,.

D i e GE'jp) G-St 'ruktur voii H / H p ergibt sich aus eineni l,einiii;t 1-ou

I~VASAWA (1935, Leiiniia 1). Dieses wird in 5 2 noch eininal ausf'iihrlich ~

i i i i Unterschied zur sehr knappen Durstellung bei I M ~ ~ ~ S A \ V A - bewiesen. (AuRerdeiii wird eine lxi I\V.~SA\YA :Luftrctetide Unstimiiiigkeit' - die die c-te Einlieitswurzel hetrifft - heseitigt.) Es ifit leicht verdlgenzeinert, und d:ttiurch unifangreicher (niiiiilich auch fur s = 0) anwendlux.

Bus der StruBtur eiiies A ~ : ~ s ~ ~ - l \ \ ; _ n s h n - ~ - l u l o d ~ l ~ el-gibt sic11 die Struktur eiiier zerfallenden ( fj 3) (und dariii auch einer nicBt-zerfallentlen ( 8 4)) zahni-verzweigten Erweiterung. Die schon beliunnten Resultate iiber zahin-verzweigte Erweiterungen \-on KIIASNER, GILBARG, Iw~sa\\.a, Boimwicz-SIioPIN sind initenthalteii und so einheit'lich dargetstellt.

Es wird die Existenz einer Z,[G]-Basis bewieseii uiid die definiereiideii Relationeii zwischen den Basiseinseinheiteii angegeben.

Fur die Anregung zu dieser Arbeit, die wertvollen Hinweise iind clas fordernde hteresse dunke icli meineni verehrten Lehrer, Herrn Prof. KUCH, recht herzlich.

156 l'ieper, Die Einlieiteirgruppc.

2 . Sei G: die (1111 folpenden fixierte) Gruppe niit m e i Erzeupenden G

und Y u n d den Relationen (4) Of = 1. Z' = I, C Z G - ' = 7'.

f Dabci ist y ~ 21 " ( f n liche Zahlen mit

(")

Offeiilmr 1st e 1)riin ZLI p . G: ist hall.)cbrektes Produkt der zyklischen Gruplmi tier Ortlnungen f und c ; G hat also die Ordnung n = CS Jcdes

Weimcliit c, \ o i l G l&tBt sich eiiideutig 111 der Foriii

- 1) eine Potenz tler Priinzahl p rind e , f siiid iiatiir-

q f = I (mod f > ) .

= TI 01 (Ti E (d. 01 (0)).

alho 2 erhalt i n m

( ( j )

7'' 0'' ( ( 1 inod c. 6 niodf) . xchreilmi. Als Protiukt zueier Eleiiiente

( z ( f JJ) ($ @d) = ?a - r q b f l

3. \V I r 11 nt ei'h 11 c he 11 i n der Kn t egor i e d er XI, LCiJ - T h s t ellu n p r I iodu 11 I

JIod Z,,C dieser zweistufig met;Lahclsrlieii Gruppe c;! eine Teilkategorie HI.11. tleretr Ohjelcte durrh gewisse Sxiorne bescxhrieben werden. Die Objekte voti 111.21 wien die HEXSEL-~\\'ASA\\ ~-lrloduln. Ein Zp[G']-BZodul Ill heifle HEXSEL TWASAWA Rlodul. u enn folgende Bedingunpen von M erfiillt n erdeii.

Aiixiom 1. Als ZT1-JIodul ist ,1.1 d i i ekte X z o n i n c ci9ie.s endl ichen zyk l i s c? i~n

wohci s 2 0) und p i n e s freicii Z,,-iVodads C' = Xl, 9 . ' . @Zll vom Rwzy

Xacli Axiom 1 i h t JI p M ein ( k n t h (s))-dinieiisioiialer G-Rlodul uber tiein Koq)er Z y Z ~ 171" ( p ) mrt 1~ Eleiiienteii. 7% ohei d (0) = 0 uiid

zlJ-.llodds I!' = Z p ( W h t b e d i e Ord?~u?tg ps, a. k . pSu: = 0, p S - '

E ? I ( k qcmz, I).

i o,

O(s) = 1 (-5 ' 1 ) 1st.

.\xiom 2 . J I p M is t als Z p Z [ U ] Moclacl direktc Xumne eines fwitw z p Z [G]-lTfodzcls voni Rung k und eines f f e i e n 6 (s)-dirncnsioncden z 32- Il.loduls T. Die Wirkzcng vo?z G acnd z wuf T wird f i i r O(s) = 1 beschri~bmz durcli o t = q L t . Y t = q1 t . *fulls T = Z p Z t , wobei d i e guruen Znhlew g, w i d gl cizcs G u' -- g, w . Y w = g1 70' modulo p A h ~ s t i m m t 5i.nd.

Bus der Tatsache, dalj iW Z,-Alodul 1st und nur Eleriiente voii y-Yotenz- ordnung als Eleinente endliclier Ordiiuiig in M vorkoiniiien. folpt fiir p + card G, dalj ,If als G-llodul l;olioinologiscli trivial ist.

Dies sol1 n u n auch fur p ~ cardc;! der Fall sein.

157 Pieper, Die Eiiih4tengruppe

4. Wir stellen zuniichst rinige Tatsachen aus der Darstellungstheorie der endlicheli Gruppen zusammen, die im folgcnden gebraucht werden. Fur die Beweise verweisen wir auf [I]. Die Untersuchung von Z,[G]-Moduln ist ja gleichwertig mit der Betraehtung VOII

Darstvllungen der Gruppe G in Z, . Wir betrachten sowohl Darstellungen der endlichen Gruppe G uber eineni Korpcr als auch ganzzahlige Darstellungen (iiber dem King Z p ) Son.oIi1 fur KG-Moduln, als auch fiir Zp[G:l-Moduln ist der Satz von KRULL-SCHMIDT iiber die Eindeutigkeit der Zerlegung in unzerlegbare Teilmoduln richtig. Diesen Satz benutzt niitri zuni Beweis voii

Hiifssatz 1 (E. KOETIIER). L sei eine endliche algebraische E'rweiterung des Kiirpers h'. df = Kul + . . . + Ku, u,ml M = Kz.j f . . . Kc,, seien zwei KG-Moduln. Sincl die

Erii.eite,.ungsnaoduln

ML = L u ~ f . . . + Lu, == X 01; L U1Zd

$1; = L q + . . . + Lc,, = M' O K L

LG-isomorph, so sind M unil M' KG-isomorph,. 1st 11.1 eiri irrcduziblrr KG-Modul, d. h., {O} und M sind die einzigen KG-Teilnioduln

r o n JI, so ist natiirlich M unzerlegbar. Aus der Unzerlcgbarkeit folgt die Irreduzibilitat nur fiir rollstiindig rcduzible KG-Moduln (das sind solclie, bei denen jeder KG-Teilniodul dirckt,tlr Summand ist). Hier gilt

Hilfssatx 2 (MAHCHKE). J4 sei ein KCJ-Modul. Id die Chnrakterislik aon Ii kein Teiler tie,. Gmppenordnung card G, so ist M volletandig reduzibel.

111 diescm Fall ist die Gruppenalgebra KG halbeinfach, also Pin Ring dcr globalen Diniensioii 0. Jeder solche KG-Modul ist projektiv. Insbesondere ist fur p + cardG ein 2, p%[Gj-Jlodul projcktiv. 1st M ein Zp[G]-Modul, so ist M i p M ein Z i p 2 [G]-Modul. 1st Jf %,[f:j-projektiv, so ist M direkter Summand eines freien Z,[G]-Moduls und M,$M wird dirc1ktt.r Sunima,nd eincs freien Z/pZ[G]-I"duls, d. h. ist projektiv.

Die Criikelirung ist nicht inimer richtig (bctrachte z. B. G = {I), M = Z i p Z ) . Hicr gilt

Hiifssatz 3 (RETNER, NAKAYAMA). Ein endlich erzeugter Zp-torsionsfreier Zp[G]-Modul iM

Projektive Z,[G]-Noduln ~. sind vollstiindig bestirnmt durch ihr Verhalten modulo p H . p:>f kann vermoge oiz : om (0 E Z,[G], 7Z E M j p M ) als Zp[G]-Modul betrachtct wcrdcn.

sind nun M und Ar projektive Z,[G]-Moduln und ist M;pM = AT (Z/pZ[G]-isomorph), so erliitlten wir durch N + N / p N G M/p,M eine honiomorphc Abbildung rp :A1 --t Jf/pM. Da JI projektiv ist, existiert ein 8,[G]-~Homomorphisnius f : M + A', der das Diagramin

ist 1)rojektia genau dnnn, wenn der Z,pZ[G]--Wodul M , p M projektiv ist.

M nat

0 + p S + N --t M i p M + 0

koniniutativ maclit. Tatsaehlich ist f sogrr Zp[G]-Isoinorphisnius.

dniaii, wenn M,PM G N/pA1. Hilfssatx 4 (SWAN). M und AT seien projektiue Z,[G]-Moduln. Dan?& gilt M = N genau

5 . h i Falle s = 0 gelten fur einen HESSEL-IWASA\.VA-nlodUl Jf die Iso- morphien M = ZTl 0. - - @ Z p ( k n Exemplsre) und

M ' p M E Z / p Z [ G ] @ - @ Z , p Z [ G ] (k Exemplare). 12 Nath. Nachi. 1972, Rd. 54, H. 1-6

178 Pieper, Die Einheitengruppe

Der Modul ,Ti! p M ist also ein freier und daniit projektiver Modul iiher Z p Z [ G ] = ZJG] pZ,[G].

Nach Hilfssatz 3 ist deher aucli N als Z,, [GI-Modul projelitiv. ReinuiiA’=ZP[G] 9. . . 3~,[C:](lzExeniplere).~~ ist frei, also projelitiv,

und es ist N p X = Z pZ[G] 0. . . @ Z p Z [ G ] , also N,‘pX G Af pLV. S a c h Hilfssatz 4 ist also 31 G N , also

Sat,z *5. Inz Fulle s = 0 ist des HENsEL-I~~--asAwa-l~od4G1 -51 ein SrcI‘Pt.

2, [C]-,Wodzcl vom Rung lz. (i. Gri~ndlegend fur die Untersuchungen im Falle s 2 1 1st der

Hatz 6. Bin H F , N S F , L - ~ W A S ~ ~ ~ ~ A - , ~ ~ O ~ U ~ .M e?atliUlt einmz f r e i e n Z,, [(:I- Tpilinoclzcl M, , voin Rang k so, dcrJ J I X , , c in zyklischer Z,,-Modul enClliChPr Ordwuny id.

bezeichne @ (lie Beweis (nach I n a s a w ~ ) . Fur ein Element wz E Restklnsse voii wz inodulo p.21. ITir wkhlen In 34 lz + 1 Eleiiieritc

co, ( - 1 , ~. . I c/;

S O , tlaR ?,, eine Z ’pZ-Easis von T ist unci F 0 , y C, ( y E G, i - 1, . . . , k ) ZII-

simiineii eine 2 pZ-Basis von df p-71 bilden (Axiom 2 ) . Xei 31‘ der von den Elemeaten c L , . . . , cIL erzeugte Z,l[Gr‘]-Te~lmodul von Jf. Da ,If ofienIi:tr- die Z,-Erzeugenden cl), y c: ( y E G, i = 1, . . . , K) hat, ist -51 em zyklisc~lier Z,,-lLodul, der von c,l mod M’ erzeugt wird.

Sei X ( k ) der freie Z,[G]-?ulodul voin Rang k und q der Z,[Ci”]-Ep- iiioqhisrnus von ( k ) anf A!’, der durch

c/‘ ( ( K , , . . . ) .,)) = v.1 c1 + . . Kh ch ( (KL, . . . , K,z) E LW (k), Xi E Z,, [GI)

defi tiiert 1st. Der Z,,[C]-Alodul .)I’ ist durch Ker y vollstandig bestimmt

(N’ ~ A1 (k),’Ker q) .

a) 1st das Ordnungsideal von el, mod M’ von 0 verschieden, so 1st X/X‘ em endlicher zyklischer Z,-3rochl. Nach Axiom 1 enthalt daher X’ k 72 linear unabhiiiigige Eleinente ultbei- Z,,. Daher ist Ker y = (0) utid -W’ ein freier Z,[C]-Modul voiii Rang Ic.

Jl,, -- M’ leistet das Verlarigte. b) 1st das Ordnungsideal von c0 mod A!‘ gleich 0, so ist A’ 31’ z 2,.

Daher ist W i n N’ enthalten und M’ (nach Axiom 1) als Z,,-i\Iodul direkte Suinme von W und k n - 1 iClodulii 2,.

Es giht eiiien Vektor x = ( y l , . . ., y k ) in Jf(rC) mit ~ ( x ) = w . Danii ist offenbar Ker q = Z,ps x. Da Ker q G-invariant ist, gibt es Einheits-

Picper, Die Einheitengruppe J 79

wurzeln c l , C L in Z, mit 0 p s x :- C l p s x, z p' 5 = CJ p ' x , also

( 7 )

E'iir p > 2 enthalt derp-adische Zahlenkorper Q, nur die p - 1 -ten Einheits- murzeln. und daher ist

-P-l C P - 1 - 1 - 1. ( 8 ) 5 1 -

dllein i i r i Fall p = 2 enthdt clei- Korper Qp auch die 2-ten Einheits- wurzeln. 1st 6 = 3b (-1)" 5" (b E Z. d mod 2, E E 2 2 ) aus Q2 und da= 0, so folgt 6 = I, falls u = 1 (rnod 2 ) uiid 8 E {I, - I}, falls u = 0 (mod 2). I)a 2 'i e 1st fur p = 2 - 1, wiihrend c1 auch - 1 sem kann, also

(9) ~ ( - I)" (cZ inod 2 ) , tz = I.

Xus ( 7 ) folgt wegen x = ( y , , . . . . y k ) CJ y l =

trnchten ein Element

(T n: = [, x, z x = [ J x.

yL. z yz. = ;1 y z . FTir he-

a u s Z,,[C] mit der Eigenschaft CT y ~ = ; , y , z y = c2 y . Iioeffizieiitenvei"g1eicli voti cry [, y ergibt r r i j = <i-c u , ) ~ . Da uIlj iiiclit' von i abhangt, liefert (1)eaclite zuvor z oi = oi z ~ ~ - ~ ) eiii Koeffizientenvergleich in z y = c1 y hei

1' L j i - ~ - 0 (wegen zq = z) qY = L~ (c0( , . Somit ist i ~ ' ~ ~ = [ Y i (';j h , also 7' =. p b 111 it

unt i 0 E Zl1. Das Eleiiicnt ,u lie@ irn Zentruni von ZJG]. Dazu ist

z-lp z = p, 0-"u CT = ,u

nachznweisen. In der Tat. es i s t

12'

180 Pieper, Die Eiriheitengruppe

(beachte z oi = oi zq f f i und wieder, daB mit j auch j' = j qf-i ein volles Restsyst'ein modulo e durchlauft)

~ - te c c ~ ; i [;(&i+l) oi z(j+-l)&i

i j

- - 5 : ! p u = C C 5 ; i 5 , j G i z i ~ ! l = p u z . i j

p EZ, [GI ist ubrigens bis auf einen Faktor ausZ2 durch die Eigenschaften

Es ist also y j = p bi rnit hi E 2, (i = 1, . . ., E ) , d. h. o p = CLp, z p = [ ? p eindeutig bestinimt.

x = p y (y ( b l , . . . ,b , ) , bi EZ,). Dabei ist wenigstens eines der bi nicht dui-ch p teilbsr. \Tare niiinlich y=p y' (y' E M ( k ) ) , so gabe es in M', also in J I ein Element' w* (to* = y (p y'), f p ( x ) = Y , ( p p y ' ) = p p ( p y ' ) = w , p w " = w , Ps'l~u" - - p s w = 0) der Ordnung p8f1, im Widerspruch zur Wahl von s (Axiom 1).

Die Relationsmatrix fur das Erzeugeridensystem c l , . . . , ck von M' ist nun wegen Ker Q = 2, ps x

91 = (p 'p b l , . . . , p ' p 0,) = p s p (01, . . . , b,).

Man iiberlegt sich leicht (vgl. Eleinentarteilertheorie), daB es Erzeugende c";' . . . , c; von M' mit einer Relationenmatrix

91" = p s p (1, 0, . . ., 0)

gibt. h d e r t man p entsprechend, SO ist

(10) (p, 0, . . . , 0).

Kun ist ( r , ) + bf') = M / M ' E 2,. Daher gibt es Einheitswurzeln i n 2, niit

(11) Durch diese Kongruenzen sind [I, [.; eindeutig bestiinnit; da d n s Orcinungs- ided von c,) niod H' gleich 0 ist.

Ker Q = 2, p'

c.;

G ro = [i cg ~ z co = (.; cg (mod M ' ) .

Fiir p T 2 gilt speziell

( I d ) G cg = ( - co, z co = c ~ , (mod H') . Da nach Axiom 2 G ro = g, ro (niodpN) ist, ist' (gI - 5;) cg E M' + p M . Nun ist' M/M' + p M ein zyklischer Z,-Rlodul niit dein Ordnungsideal 2, p , also gl - i; E Z , , p , d. h. 5; E g, (mod p Zn) und analog [.; = g,

Andererseits ist p(o x) = o p(x) = (r w = 5, w, wid ebenso z u: = C2 zo uiid daher (wegen cr w = g1 w, z zc = q2 zu) Ci = g1 (inodp Z,), [? = g, (mod p 2,).

(n1od p Z P ) .

Pieper, Die Einlzeitengruppe 181

Somit c ; = el, Ci = 5 7 (modpz,) .

CT c,, = Hieraus folgt fiir p > 2 C1 = el, c2 = C.;. Fur p > 2 ist daher (nach (11))

c(, (mod M'), z c,, = C2 c,, (mod M') und

1st d = g (mod 2 ) , also g - d = 0 (mod 2 ) , so ist auch

,u q, = e f e,, (mod 144').

1st d + g (inod 2 ) , also g - cl = 1 (mod a), so ergibt sich

I n cliesem Fall gilt sber, da I i - a )

(T (-c,,) = ( - co (mod K), ,u ( - co) = e C ( - co t

z ef co =- ( - e f ) ( - c") (mod M')

Wir setzen nun fur p > 2 und fur p = 2 im Falle (da q - d = 1 (mod a), also y -t 1 - d = 0 (inod 2 ) ) .

d = eQ (i = .) A).. f ) k ) , d = g (mod 2 ) do = cg, dL = c; + ,u do,

d l = c; + pd,,, d , = C ) (i = 2 ; . . . ) k ) .

2 . z

und fur p = 2 im Balle d + g (mod 2 ) d,, = (- 1) c,,, und such

Daiiii leistet No = Z,[G] dl + . . . + Z,[G] d, das Verlangte. Damit ist der Satz vollstdndig hewiesen (ohne Benutzung von Axiom 3).

Em HENSEL-IWZSAWB-ModuI enthalt soniit wenigstens einen freien Zp[G]-Teilinodul voin Rang lc, der w nicht enthalt, so dsB also der Faktormodul ein endlicher zyklischer 2,- Modul ist. J e zwci solchrr Tcilmoduln sind, da sic frei vom gleichen Rang sind, Z,[G]- isbniorph.

Wahlen wir einen freien Z,[G1-Teilmodul No vom Rang k so, daB HIMo ein endlicher zyklischer Zp-Modul minimaler Ordnung, etwa pl, ist (derart, daB fur jeden anderen solchen Teilmodul Mb 2' 2 I gilt, falls card M'Mh = pl ), so ist 1 dann durch M eindeutig be- stimmt.

= (0) ist der auf W eingeschrankte natiirliche Homo- Wegen W n

morphismus W & &! + N / N o eiri Monomorphismus und daher

(13) s 1.

182 Pieper, Die Einheitengruppe

Offenbar gilt

Satz 7. Ein H E N S E L - I ~ ~ A S A W A - M O ~ U ~ $1, f i i r den 1 = s ist, ist direkte Summe eines freien Z,[G]-Moduls vom Rung k mad cines xyklischen Z,-ll/Ioduls der Ordnung p s .

Es hleibt die Struktur der H E R ' S E L - ~ ~ - A S A R A - M ~ ~ ~ ~ I ~ M . fur die 1 > s

ist, zu bestimmen.

7. Der folgende Satz giht zunachst eine Ubersicht iilrer die Rloduln, fur die I > s bzw. I = s gilt. Wir setzen 1 = s + so. Perner sei F die Unter- gruppe aller e aus G rnit Q u' = u'.

Satz 8. V e n n p 1 card F , so ist stets J,, 2 1 . Wenn p 1 cardG und p % card F , sowie p = 2 , r = 1, spG t i? = 0, so ist so 1 1 (hier ist r die groJtc Zahl, so daJ die Elemente cius W der Ordnung p' in M" = ( m E M I Q m = n 7 f i i r ulle e E a> enthalten s ind) . Sonst ist s,, = 0.

Beweis. a) 1st p kein Teiler der Ordnung von I2. so ist der Z / p Z [ G ] - Modul ( M / W ) / p ( M / W ) nach Hilfssatz 2 projektiv, also nach Hilfssatz 3 auch M'W projektiv und somit W direkter Suminand von M :

M = W OMIW.

Wegen p C card G und der Z / p Z [GI-zerfallenden Bequenzen

0 + W pW + M p M + (ll/I/M') $ ( H / W ) + 0

und 0 -+ T -, M / p M 3 U + 0 (Axiom 2 ) .

sowie W / p W s T (nicht-kanonisch) ist ( M ' W ) ' p ( M / W ) iwrnorph zu Zi, also ein freier Z'pZ[GJ-Modnl vorn Rang k . Nach Hilfbsatz 4 1st &her M/M' ein freier Z,[G]-Modul vom Rang k.

b) Jetzt durfen wir p j cardG (d. 11. p i f ) voraursetzen. 1st f = p f ' , so aei ci = of'. 1st u1 E F , d. 11. ui w = w. so ist, da ul die Ordnung y hat, die Ordnung card P von P durch p teilbar. Gilt umgekehrt fur den Normal- teiler F von G, daB p / card F , so 1st cI € F (denn die p-QYLov--Gruppe von I2 ist zyklisch, und daher sirid alle Elemente der Ordnung p in G kon- jugiert) ; also

Hilfssatz 9. Es ist cI E P genau d a m , wenn p 1 card P. c) 1st 1 = s, so ist M nach Satz 7 direkte Summe eines freien Z,[G]-

Moduls M,, vom Rang E und eines zyklischen 2,-Moduls W der Ordnung p' ( W = Z p ) , und es 1st MG = Moo @ W o ( W, = Zpwo. wo hat die Ord- nung pr , Moo ist freier Z,-Modul vom Rang k-sjnd mL (i = 1, . . . , k ) ZJG] Easiselemente von Mo, so sind offenbar spQ m, , u'o 2,-Erzeugende von M") .

Pieper, Die Einheitengruppe 183

Offenbar ist spc,F (w) E MG, also spe F ( ~ ) = cc wg und daiiii '9pG to = spG,p spp(w) = spciF (card F . w,,) = CI card F u',.

Wire nun p ein Teiler von card F . so (wegen spci M = spc(Mr@ M,) = 'spc to) @ .9pe M(, = (spc: Z U ) 0 M,,,,)

d. 21. p 1 card Mn,/spc M im Widerspruch zu Axiom 3, wonach insbesondere ap(+ ,%I = M" ist.

d) Sei ?no ein Reprasentant eines erzeugenden Elementes vom M/M, , d. h. M'M,, = (m,, + M,). D a m gibt es eine ganze Zahl g (die modulo p' bestiinmt ist), so da13

(14) 0 mo = g mo (mod Jf,). Die Kongruenz (14) besteht dann offenbar sogar fur jedes

m E M = { m u , No).

Wegen (ul) n M u = (0) gilt daher

(15) U ? P = g u - .

Aus of -= 1 folgt die Kongruenz

(16) gf = 1 (mod p') . e) Es sei zunachst p + 2. Aus (16) folgt dann ( f = p f ' )

( 1 5 ) gf --= 1 (modpl-').

In der Tat, zundchst ist insbesondere gf = 1 (modp), also auch gf ~ ~ f ' - g = 1 (modp) ,

d. 11. gf' = 1 + b p . Dann folgt

Andererseits ist gf =: 1 + &pZ. Ein Vergleich ergibt sukzessive p l b , p' lb , . . . , p ' - 2 1 b ,

t i . 11. (15). 1st p kein Teiler von card F uiid wdre I > s , so wurde auch gf' := 1 (niodp') gelten und deshalb (wegen (15)) ol w = of'?,(: = g f ' w 1 10,

d. h. oL E E' im Widerspruch zur Voraussetzung (rgl. Hilfssatz 9). f ) Nun sei p = 2. Aus (16) folgt

(18)

1st 1 :> s und gf' = 1 (mod 2 ' - ' ) , so folgt wie in e) cl 71: = ZL', d. h. p 1 card F. 1st 7 = s und gf' = - 1 (mod 2'-.')> so folgt oL 10 = - ZD.

gf' = + 1 (mod 2 l - j ) .

181 Pieper, Die Einhritengruppe

g) 1st p = 2 und gilt 41f, so ist neben g' = 1 (mod 2 ) sogar

9' = 1 (mod 4), gf' = 1 + 4 CC,

also

Durch Vergleich ergibt sich sukzessive 2 /u, . . ., " - ' l a , also

qf = (sf')? = 1 + 8 a + 16 a-! = 1 + 2 ' b .

gl' = 1 (mod 2 ' - ' ) ,

h) Iiii Falle gf' = 1 (mod 2'-') ist bei p + card F nur 2 = .s iiioglich. j ) 1st qr =- - 1 (inotl 2 ' - ' ) und r 2 8 , so ware hei p % card P uiid 1 > s

!nsbesondere cr, 20,: = - w,,, obwohl wr, E 31' (w$ das wegen r 2 2 in M" enthaltende Eleiiient der Ordnung 4). Also irnpliziert p = 2 , r 2 2 . p % cardE'stets I = s .

I<) 1st p = 8 und r = 1, so ist spc w E {w?, 0) (wI - Element der Ord- nung 2). 1st ferner qf = - 1 (mod 2 l - l ) und p% c a r d 3 sowie 1 > s, so crL 10 + zo = (cr , + 1) 11' = 0 spr: w = spG (4,) sp~,, ,~(u*) = 0. Also inipliziert p = 2, r = 1, spG w = w l , p % card P stets 1 = s.

1) Sei eridlich p = 3, r = 1, p % card P und 1 = s. Ware spC2 20 = 0, so ergbbe sich [X": spc -TI] i; 1 (vgl. c)) , im ITiderspruch zu sp<; N =

(nach Axiom 3 ) .

und daher

in) Iin Fall p = 2 ist cr = 0 riicht nioglich. Dainit ist Satz 8 vollstandig bewiesen.

8. Es ist die Struktur der H ~ ~ s ~ ~ - I ~ a s i l ~ ~ ~ - ; o d u l n iB2 zu bestiinnien, falls 1 > s 1st.

enthdlt einen freien Z,,[G]-Teilmodul Jf,, vom Rang k . &lo hat in J I den Index p z und zyklische Faktorgruppe Wir koinponieren nuti- inehr den Zp [GI-freien Unterinodul Jfo iiiit dem zyklischen Modul T i ' der Ordnung p' : f!,, = W @ M,. Die dern Faktorinodul M/&!,l entsprechende Relation p z m,, = z (niit eiiiem eiudeutig definierten Element z E M o ) spaltet sich hei Eirisrhaltung von AT,, 111 zwei den Faktormoduln LII -v,, niitl -v,, ' M o entsprechende Relationen auf. Sei m(; E M Reprasentant einer er- zeugenden Restklasse modulo 31, so, dal3 p2-' m; = w (mod JF,]). Die J I

(19) p'-' n a ; = w + zo (21' E M , ) ) , und die geschrieben werden.

entsprechende Relation hat die Form

,Yo = W entsprecheride Relation kann in der Gestalt p' w = 0

9. Da 31 M,) ein zyklischey Z,,-Modul der Ordnung p' ist, gibt es eiiie ganze Zahl y modulo p z so, daB

(20) 0 m = g m (mod X,,) fiir jedes "iz E ,TI

Pieper, Die Einheitengruppe 185

ist und daher fur 9 die Kongruenz gf = 1 (niodp') besteht. Sei t 2 o die groSte gaiize Zahl so, daS gf = 1 (niodpz+t), aber gf z 1 (niodp2+t+1) ist. Die Zahl t hkngt offenbar von g ab. Wir untersuchen die so definierte GroRe t etwas genauer.

10. Aus Axiom 3 und der exakteii Sequenz

(21) 0 + *M() E z, [G]@', + M + l l f / L V O G z Z f p 9 -> 0

folgt, da13 auch LW,',V,, kohomologisch trivial ist.

(vgl.: aus (16) folgt (17)) gf' E 1 (modp2). Dies bedeutet

G~ 7% = uf' W L =; gf' na = m (mod iL,,),

Sei zunachst, p =+2. WBre nun auch gf'= 1 (modp'+'), so ergabe sich

d. h. ( ~ M / X n ) ' " ' ) = MjMo und SP(,,)(WZ + N ! j ) = p (?a -+ X n ) , SO d d HI) ((G~), iV/LMo) =+ 0 ware.

Sei nun p = 2. Hier bedeutet gf = 1 (mod 2'), da13

(yf')' G 1 (niod 2')

ist. Diese Kongi-uenz hat offenbar genau die 4 Losungen (falls 12 3)

qf, = 1, - 1, (1 + F), - (1 + P I ) (modulo 21) ,

bzw. die 2 Losungen (falls 1 = 2 )

yf' T;= 1, - 1 (mod 4)

( I = 1 == s ist nicht moglich). Xei 1 2 2. Ware gf' = - 1 (Iilod 271, so o1 m = - rnL (mod No) fur jedes m E M , d. h. ~ p ( ~ , ) W ' H 0 = 0, also (wegen I~!~((cT~), J I / M o ) = 0) (M/L%,l)("l) = 0; obwohl in MiH, ) = 22'2 die Elernente der Ordnuiig 2 invariant (bei n, ) sind.

(mod 2 0 , so ergiibe sich 0, ~ 7 , = 7n (mod Xtj) fur jedes YIZ E X , und es ware H"((o , ) , LV:Mo) + 0 (iin Widerspruch zu Axiom 3).

WBre yf ' = 1

Es ist also gf' = 5 (1 + 2' - ' ) (mod 2') (und I 2 3). llaher ist

(af')' = gf 1 + 2' (mod .Y+l - 1 7

d. 11. yf + 1 (mod 2 '+ ' ) . Somit gilt ohiie Ausnahnie ( 2 2 ) gf = 1 (modp'), gf =: 1 (mody'+') ,

d. h. t = 0 fur jedes g.

11. Wir zeigen nun noch, daS sich umgekehrt aus der Tatsnche. da13 t = o fur jedes y ist, das Axiom 3 ergibt. Wegeii der exakten Sequeiiz (21) u n d der kohomologischen Trivialitat von Jf,) genugt es, fur den Beweis der kohomologischen Trivialitat von M als G-Modul (also Axiom 3) zu zeigen, dal3 ,W/MO kohomologisch trivialer G-fiIodul ist.

L81i Pieper. Die Eiriheitrnpruppe

1st a Tier (Res), wohei

Res: H” (G. $1 M,,) + H”((a). M / M o ) ,

so 1st Res tc = 0. also Cor . Res M. = [G : (o)] a = e a = 0. Andererseits ist nepen p‘( M Mo) = 0 auch p’H” (G, M,’Mo) : 0, da p’cx = 0. V’egen (p’. e ) = 1 folpt tc = 0.

Die Abhi ldu tip

Res : H” (G. M ’MI,) --> H” ((a), M,IMo) ist also injektiv. Es bleibt zu zeigen, da13 M / M o als (o)-Modul kohomologiscah trivial ist. Da ( G ) eine zyklische Gruppe ist, ist der Herbrand-Quotient

card Ho((o) , M M,) y (L$f A+,())

__- - - definiert. und da M’M,, endlich ist. ist card w- (((a), M &I())

8ei nun f i EMi Mjp’, ako a rrl = rE, d. h. g Gi = f i . 1st

M ’M( , = (1120 + MI)) ,

so rz : x rTi0 (1 5 x 5 p‘, x E Z). Aus g rZ = rii folgt (g x - z) %{) = 0. SO

dnfi (da rZ(, die Ordnung p’ hat) (g - 1) s ein Vielfarhes b p ‘ von p‘ ist. K u n ibt q f - 1 = a p L (init p % ci wepen t = 0). also

Pieper. Die Einheitengruppe 187

(also (a - g ) (nq; - 71,') = 0 (modp' M,)) , und man kaiiii ohne Beschriin- l;ung der Allgemeinheit lrereits

(23) annehnien.

eiii freier Z, p'2, [GI-Modul vom Rang k .

(a - g) rnb = 0 (modp' M o )

I n der Tat, Moist ein freier Z,,[G]-Modul vom Rang k uiid daher M u pSJf!,

1st i, = C g' of- ' - ' E Z, ZP [G) und ho = (a - g ) rn; € N o , SO ist 2

67/'1 E pDLMo. Hieraus folgt nun die Existenz von 7l' E &IO mit

710 = (0 - g ) JL' (mod p s Mil) . Sind ntinilich cl , . . . , c1 Elemente von M o , so daIJ

F, -- c, modp," ( i = 1, . . . $ k )

aiie Z, p' 2, [GI-Basis von M,, ps &IO bilden. so sei

7roz2x I c + . . 1 -+ x l c k (modp' MI,).

Aus hhO = 0 (niod p' M n ) folgt bx, == 0 fur i = I, . . . , k (2, E ZP/ps 2, [GI). Man bestatigt nun r, = (a - g ) y1 (mit yL E Z,ips Z p [GI) (beachte

1 - qf 7 0 (modp')).

13. Da M,'Mo ein zylclischer Z,-Modul der Ordiiung p' ist. gibt es auch eine ganze Zahl g', g' modp', so dalJ

(24) z m e g' m (mod M o ) fur jedes nz E M

1st uiid (wegen ze = 1) fur g' die Kongruenz

(25) g'e L 1 (modp')

besteht. Unter Benutzung der Struktur des Ringes 2 , p ' Z erkennt man n-egen p 'i c leicht die Existenz einer Einheitswurzel C,, in 2, mit g' = to mod p'Z,, . Daher gilt

(26) T nz = nz (mod fiir jedes nz E N .

14. Speziell gilt die Kongruenz ( 2 6 ) fur rn; und daher

(1 + (a' T + (,;? z? t- . . . + il;(e-')zY-i) nz6 = e n z ; (niod MI,).

I ,

(z - co) A = 0) , so ist m,, eiii Re1)riisentant einer erzeugenden Restklasse inodulo M , mit Am;' = m,, , (z - [,) mi' = 0 und auch (a -- g ) WL;, ' - 0 (iiioclp' A',)). Nach (23) ist (a - g) mi = p'r' (c' E Mn) uiid daher mit c" = ;Z c' (a - g ) m;' = p'c" (c" E Aft]). 1st {di, . . . , d,} eine freie Z, [GI-

,I

188 Pieper, Die Einheitengruppe

x. Basis von 3f0, so liif3t sich c" in der Form c" =

(fiii- i = 1, . . . , k) aufschreiben.

cciIL di mit x i E Z,, [ (o)] i = l

Setzen wir xi = ui + (0 - q) Bi mit ui EZ,,, Si €2, [(oil und k k

so erzeugt m,, + M o den Faktormodul X / M o , und es gilt

( 2 7 ) R wzo = Ino ,

(28)

(29)

Mindestens einer der in c aixftretendeii Koeffizieiiten u, ist nicht durch p teilbur. n'ai-en niimlich alle zdi durch p teilbar, dann wLre nach (29)

(z - (0) w20 = 0;

(5 - g ) mo = p s c .

t - 1 ,

Hieraus folgt durcli Multiplikation mit q '&- ' a = O

(da 1 1 - g f

P iiiiiiinial 1st mit p'm,, G 0 (mod M o ) ) , d. h. 1 - gf ware durch pZ+' teilbar, i i n Wiclerspruch zu ( 2 2 ) . Daher ist die Ordnung von b,) genau ps+' (sonst wiire sie schon ~ i iod MI, kleiner), im Widerspruch zu Axiom 1.

0 (moclpZ,). SO 1st nun ohrie Beschrankung der Allgemeinheit u1 b i i l d ituch

wz, = u,d, + . . ' -k u,d,, m3 = d ? , . . ., m, = d,

Erzeugende tles freien 2, [O]-Moduls No. Aus (27), ( 2 8 ) , (29) und c = % ergibt sich: Es giht k f l Erzeugende m,,, ml, . . . , Ink von $1 iiber ZI, [GI so, da13

(31)

und

( 5 - g ) m0 = p 8 . R ml

(t - (0) ?no = 0 ( 3 2 )

1st.

Pieper. Die Einheitengruppe 189

1.7. Ofl'enbar bilden und Q nz, ( e E G, i = 1, . . . , k ) ejii System von Zl,,-Erzeugenden von M . Jedoch sind nicht alle diese Elemente freie Er- zeugende. Vielinehr ergibt sich aus (31) sukzessive

gkl??,o = qh?.Ilzo f pSlb(lJ"' U g h - ' t- , 2 g A - 3 -c . . . + @-I) )R,

und clainit o f ~ n o = mo = gfmo + p'?" p 7 n L , also die Relation

(33) (g f - 1) nz, + p81.p W l , == 0 , f - 1

wobei ,u = I. 1st M (1, k ) tlirekte Sumnie von Z , und k Exemplaren

voii 2, [G'], also ein freier (En + 1)-diinensionaler Z,-Modul, uiid y der ZT,- Homomorphismus von M(1, k ) auf X . der durch

g ' d - a 0

h

Y ( U . c ( [ , . . . , NL) = -t ,P E~ 711, (U E 2, , d, EZl, [GI) 1 - 1

gegeben ist, so entspricht den Erzeugenden von Kery in M em System von Fundamentalrelationen derart, daB jede andere Relation in M Folge- relation der Relationen des Systems ist. Nach Axiom 1 kann man eine 2,- Basis .q,, 2 1 , . . . , x ~ , ~ von M ( 1 , k) SO wahlen, da0 I i e r y : 2,p' xg ist.

Dmn ist nach (33) p s y E Keryi, wobei y = , ?"/A, 0, 0, . . .)

1st; also ist y = ' l c . ~ , ~ (ZG €2,). Da offenbar y B p M ( 1 , k ) , ist ZG + 0 (modpZ,), d. h., ZL ist Einlieit in 2, und damit Ker y = a;P p s y. Somit ist jede Z,,-Ke- lation zwischen den Elementen nio, e nz, (Q E G, i = 1, . . . , k ) Folgerela- tion der Fundamentalrelation

4 f - l e - I

16. Wegen W n N o = (0) folgt aus (26)

(34) zIL'=[ow.

m7are aucli z ui = [; w mit eiiier ti-ten Einheitswurzel [h E Z,, so ((, = Ch (niodp'), speziell 5 0 E [; (modp) und somit c0 = [h (da ( e , p ) = I ) , d. h. durcli (34) ist die ( p - 1)-te Einheitswurzel co eindeutig bestimint.

17. Satz 10. Ein HEhiSEL-IWhPA~~'A-Modu2 M ( s , k f e s t ) , f i i y d e n 1 > s (sieke Sntz 8 ) i s t , besitxt k + 1 Emeicgende m(, , ml , . . . , rnE uber Z,[G] so, duJ

( 3 5 ) (36) z In,, =- [omo

0 ?no = g mo + p'), I T Z ~

1 P - 1

e j - 0

ist . wobei 3. = ~ x&;jt3. io ist c i n e nus z w = eindeut ig bcst i i ia~nfe

190 Pieper, Die Einheitengruppe

( p - 1)-te E i n l i e i t ~ w t ~ ~ ~ e l , g ist cine ganzc Za121, d i e der Bedingung g = g , (niodp') (d . h. (T w = g iu) geniigt, sonst aber zcillkiirlich gewuhlt w i d e n knnn.

Korollar 1 1 - Jecle Z,-Relation zwisrhen d e n Elementen m,, , p ni, ( p E G, i = 1, . . . , k ) ist Folgerelntion cler Fzcndai72entalrelntion

18. 1711.1 die ~ehaup tu i ig uber g zu heweisen, sei g = g,) zunbchst eltie

beliebige garize Zahl init ( 2 0 ) ; wegen ,1i',, n W = 0 gilt inshesondere ~ / ( . = q , p . . Sei g* = go + bp' irgendeine game Zahl, die inodulo p' kongruent zu go 1st (fiir die also such a w = g'3o gilt). Denii ist offenbar

( 3 7 ) ein anderes Z,[G]-~rzeugeiitleiisystei~~ v o i i

ni l - b M , ~ , g" an Rtelle von m,, . ia I , g = q,, gilt. In der Tat. es ist

inll, r i b 1 - b 7 ~ 2 , ~ , ml, . . . , ink

wobei (31 ), (31") ttuch fur I ~ z , , .

(6 - g " ) ?)7,, -= (a -- g) I n ( ) - b 1jS172(, = 23'2. I n { - b p ' l i l l l

= y".(?n, - 1) WZ,)). Aus (T mi, = !/" IH,, + p' (n'ill - b 7 q , ) folgt i$l,er wie in 15. die Pundnnieilt~tl- re1:tiion (g"f ~ I) ivo T ps?,p ( f i t , - h mtl) = 0, die itlbo auch fiir ) ) l o ,

i n , - b ?)!(I, g+ nn Stelle von 712~), i i i , , go gilt. 13% lionnen folglich frir g (infolge tier zul igeii 'L'raiisforniat i on ( 3 i ) )

ellie Iieliebige panzc Zahl nehmeri, die a w - y to (d. h. g = gI iiiod p ' , gl XU< Axiom 2) hefriedigt.

20. D:mu sei G P ( q f ) tier endliche Korper niit qf Elementen. Wegen q' L 1 (mod c) enthiilt er eiiie primitive e-te Einheitswurzel, Z. E.

" f - l ~

L - , = E " falls 6 eiiie primitive (qf - 1)-te Einheitswurzel ist.

der folgerideri Definition : Fur o( E G P (qf)' sei (38) 0 % %4, Z % = c;..

GF ( q f ) T wird zu einem Darstellungsnmdul A,,, von G uher UP ( p ) verinoge

Pieper. Die Einheitengruppe 191

Jedes -4,,, hat die Dimension ffo iiber GF ( p ) . Diese A, , treten n u n in der Definition der l w ~ s ~ ~ w ~ - M o d u l n auf.

Ein nnrstellung.s??zodicl u von iiber G$' ( p ) ?1e@ l\vAsdwh-L?lodd. i c~e i in

gilt: U enthnlt eine Kette

( U = 710 1 7Jt 3 . * . x b', = (0)

1;o?~ r Tcilniodulu ( r - eine durch c teilbnre ZnAl, I' = e e, ,) , so duJ

(El U , - , 7-7; 5 4 k ( i = 1, . . . ) r ) , ,

icobei k , < k I < . . . < k, r 'iiutiirlirhP Znhlen wit fo lgendtr E i g m s c h u f l siiad: I)ie Z n h l e n k t p J mod e ( i = 1, . . . , 1 ) (0 5 j' < f f l , ) d u r e h l u u f e t ~ c , , f , , f -nzn / ein rollstnndiges Re.stsystPm mod e.

Wir werden beweisen, dalj ein 1 \ ~ . ~ ~ . 4 \ ~ a - J l o d u l U eiii freier GF ( p ) G - Modul vom Rang k = e0.fo ist. Rei gegrlienern G' (d . h. c, f , f , ) ) ist ein 1w-a-

sA~\v,~-J1odul eindeutig diirch - bestimmt. Zwei Iwasizmii-Rloduln niit dein

gleichen I' init c 1 I' sind (4F (p)G-isoinorph. Da13 es wirklich zu jeder t l u i ~ h c teilbaren riaturlichen Zahl I einen lw;asAwA-?t Iodul (niit eiiier Ket te (I<) unci der Eigenschaft ( E ) ) gibt, zeigeri wir in 9 3.

r f?

21. I>er Kiirpcr $2 = Q F ( p ) init yf Eleinenten ist eine galoissclie F h - weiterung des Prirnkiirpers GF ( p ) == 2 $2 vom Grade 11 == f f o . Die Auto- nior~)hisiiiengrupl,o @ = Gal ( f? ' i 'GF(p)) jst zylilisch und wird erzeugt voiil L~utoniorphismus s =- ( K - a3') ( a E &). Sacli dem Satz von der Normalhasis gilt die @Isomorphic ft i- E G F ( p ) 8.

Es sei Q,, ein algebr ch-ahgeschlossener Erweiterungskorper von G'P(p). Dann gibt es innerhalb Qp eineii zu R Bquivdenten Erweiterungsliroper ft* i i i i t 9::' 7 f? = G F ( p ) . Wir erweitern den Skalarkorper G F ( p ) zii dieseiii zu $? isoniorphen Korper g*. Es gi h t nun eine P - B a von est+ = R:! 0 j?

G P ( p )

E ~ , . . ., E,, mit E ~ ~ E ~ == djk E~ und 2 E~ = 1

(siehe [ 2 ] , IV, 5 3) . Biir 0: z-: a, El 4- . . . + cch ch (aj E Q*) aus Rfi* liefert a -+ xj einen (nicht-

trivialen) Homomorphismus gsyc - .Q*, also (da 9 5 einen 180-

morphisinus von 9 in j?*. Jedes E~ vermjttelt einen solcheii Isomorphisinus (Darstellung I. Grades) durcli a cj = aj cj(cc - aj).

Die G ~ ~ o ~ s - G r u p p e @ kann zu eiiier Automorphismengrugpe von 9.,* gemacht werden, indem man festsetzt, da13 die Elemente aus Rst* bei den Suhstitutioneii aus @ einzeln festbleiben. Dann gilt

si(x cj) = ( s i x ) (siq = rsi(ccj&j) = a j S y c j )

192 Picpel, Dic Einheitengruppe

(da aj E & * und %*' hei so s'e, die Darstelluiig hstte s ' x = a , was fur

si festbleibt). Liefert also ej die Darstellung a + a j , s L K ---* K~ . V'iire S ' F ~ = E ~ . so (s' a ) sj = aj ej. A l a n

beliebiges a nur fur s = 1 erfullt ist. Da

v. -+ K j > s a --f a j , . . . ~ cstl-i a --f aj

gerade die I/ verschiedeneri Isoiiiorphisiiien von 9 auf a* sind, so siiid e . .I . s ej; . . . , d--' F~ die h verschiedenen Idempotenten el, . . . E ~ . Die direkten Siirnmaiideii der Zerlegung g,,, = $* el + . . . + a* eh siiid his auf die R'eihenfolgc eindeutig bestiinmt', und (laher ist si E ~ , . . . si eh eine Permu- tation von E , ? . . . , t'tL.

Insgesanit seheii wir, daB wir die Idempotenten F , , . . . , F~ auch init e , , d' ~ ' e benennen koiinen, falls wir ein heliebiges uiiter ihiieii mit F

Hieraus folgt Rat. E ft* (35. Es gibt also h Basiselemente e0: . . ., E ~ - ~

bezeiclinen.

11 - 1

von as,, mit e jek = dikej 2 ej = I, sieO = ei. j = O

f o 9'- ist nach (38) vermoge G a = s a = aq, z a = C ~ K auch ein CF ( p ) G-Modul A,. TTir bezeichnen init A:L den Darst'ellungsniodul von G U her $v'k , der aus A,, durch Xkalarkorpererweiteruiig entsteht . Vergifit man die n'irkung voii G auf A,,, , so ist A:& = 9 $* :: * Da (T = sfo, bilden die 72 Eleiiiente

F: = E ( ) eine R*-Basis von ,jtll* iiiit

(die liidizes durchlaufen e tws das lileinste positive Restsystem modffo). \Vegen $ aLat. hat die primitive e-te Einheitswurzel 5, eine Darstelluiig (, = z'Aje? mit ly &*. Hierbei ist, wie man leicht sieht, jedes ?? eine primitive c-te Einheitswurzel. Nun gilt einerseits

cT [, = [; zzz

s i", = 'my S(&?) = 21Lj+i&; (&TI =

A? pl: J ' J

und andererseits

A, = 2 0 ) .

Eiri Vergleich ergibt, Ri = At. Somit haben wir

mit einer priniitiven e-ten Einheitswurzel ( z = 2 0 aus 9%. Sei ( ~ 1 , . . . , ah)

von GF(p)-Basis voii 9, also eine ,$?*-Basis von $?'x.. Sei F: = Z:E:ai (Ef E a*) die eindeutige Darstellung von E: E esie. Dam gilt

Piepcr, Die Einli:.iteiigruppe 193

Sind u l L die eben gefunderren fo Eleniente aus U:-,, so setzen wir fiir j = k f [ , + Z(0 5 1 < f O , 0 - < k < f )

U ] , , = ((r - y G l l , & .

Dann hilden die Restklassen moduIs U:-"_,U? iiber ft* (0 5 j < ff,, - I), und es gilt fiir Ale j

3- U: wegen (41) eine Basis des Faktor-

k,PJ (42) G- %,L = a 3 fo,l' z CLJ,1 = ((3 aj,t

- k qk (heachte z c r - k = cr z ) . 13 Alntli iYa(hi. 1972, Bd. 54, H. 1-G

23. Eiii PwASk\v-k-;\lodul C - Ul, ist eiii GP(p)-Vektorrauiii der DI-

Wjr beweiseri jetzt den

Satz 12. (verallgenieinertes Leiiiiiia von IJTXS~WA). Eiii IWASAWA-

LVegeii Hilfssatz 1 genugt es zu zeigeii, deB die G-Isoinorpliie

iiieiisioii e c o f f 0 .

Jlodul U ist ein freier G F ( p ) Ci-lllodt~l coin Rcrng eo.fo.

u.:: &* (; feofo)

gilt. Eine Babis der Gruppen;tlgel.jra 51% besteht aus den e f Elenlenten

( r ' z / L ( Y = 0, . . . ) . f - 1, p = 0, . . ., e - I). An Xtelle der Elemente I, z, . . ., zP-' betrachten wir die e GroBen

(p , z) = 1 + J L - l z + J b - J T 2 f . . . + J . - f e - l ) T e - '

(cialuei durchlaufe 2 [lie e-ten Einheitswurzelii in %"). JVir kiinnen dann als iieue Basiseleiiiente von &:W die e f Elemente

a-(f- ' ) 1 (43) (2-1, z), d(P, 7 ) , c r - q r 1 . z), . . . ) (Jt , z) 7.q: >g? nehineii (wobei etwa il = 5e , i r , . . . , :p ', I). Anwendung von cr auf die

f EIeineiite aus (43) ergihjt eine z~klischeVertaiiscliuiig (Zyklus der LBiige f). ,Iiiwentlung von z auf dieseii ZyElus ergilit

3, (1"- 1. z), ]."a- ' (IL- I, z), I? a- (2. - 1 , z), . . . , ; . + G - ( f - J ) ( j V - j , a ) .

Die 111 22. gefuiidenen $t :'-Basiseleinente voii lJ: haheii nuii folgeiide

(E 1 ) I)er Operator cr 1)erniutiert die Elemente c[,,~ 111 e e,fo Zykleii c!er Eigenschaften :

l,,~nqe j . Eiii solchcr Zyklus besieht iiarvilich ;ti is den j' Elementen / I l , , , ( r - l u / , , . . .. g-( f - l ) ((,,? (0 -1 I .rj;,, i = 1, . . . , P e o ) .

(E 2) \\'egen 2 uJ,, = (<:)'t'l' selenient u , ~ Eigei~vel~tor

fur den Operator z init tieiii ( k , p 3 iiiod e ) . Jetler n'er t (<:jk ( O 6 _- k < c) ist nun gennu e, , fo f -mn l Eigeiiwert (von z) eiiiw Basis- clenientes. Es durchlaiife nriiiilich ( cT)k alle Eipenn-erte der e,f,, c .f Basis- eleiiiente, also k die Xestk en k, p' iiiotl P ( i = 1, . . . , Y, ( 1 g j < f f , , ) . I Y i r haben zu zeigen, da13 f0f-iiiul em vollstaiidiges Restsystem 1710-

t i a h e durchlaiift. D:ei :kt aber nsch Voraussetzuiig iiber die k , ( i =- 1 , (in 20.) erfullt.

I’ieper, Die Einlieitengrnppe 19.5

(E 3) 1st z uI,, -= (c?)‘c/,,, , so ergibt die TTirkung von z auf die Elemente eines Zylilus

( [ Z ) L Y f - l a - ( f - 1 ) ((;)%/,? , (-Cy d - u7,, , . . . , U7,b.

Der gesuchte G;-~soi-nori)hismus Ti‘K folgende Zuordnung. Einein der e eo fo Zyklen der Liinge f

z aj,; = ( i y ) a,,,

R* G(e”f‘’ ergibt sich jetzt durch die

r* k f17 ~ , 0 ~ u,,, , . . . , init

(0 I - li < c - 1) werde der Zyklns

4 (I.?, z), d-*(A-’, z), . . . ) a- (f- 1) (I” - 1,

i n i t I. = (;f)L zugeordnet.

3. Die Einseinheitengruppe eiiier zerfallenden zahin-verzweigten Erweiterung

24. Fur jede nnturliche Zahl k bezeichne H, die Grupppe der Eins- eiiiheiten E-ter Stufe (nlle q € H mit t1 = 1 (mod d)) eines p-adischen Zahl- horpers I,. Die Abbildung @ von H , auf die additive Gruppe $? (A)+ des Restl<lassenkorpers $? (L ) von L, definiert durch @ ( 2 I (c d) = G (6 ~ u mod x) iiiduziert eiiien 1sornor.pliismus

(31)

der Faktorgrupl)eii der Kette

@.:. Ilh’HhLl = 9 (L )

(4.5) IZ = HI 2 H 1 1 H ? 2 . . . L {l)

1)urc~li i‘lwrgang zu V L = H , 1P’ erhalten wir die endliche Teilrnoduliikette

(46) fl T’I 2 v1 2 8 , 2 . . * 2 IP’

Die Gruppeti V , lasren sicah wie folgt beschreihen. (Die Beweise ergehen iich itu+ [ 3 ] , s\ 15. Siehc auch die Originalurbeiten von HCNSEL):

a) l i t 1; > ‘iL + E L , so 1st H , 1111, ~ o o gilt f ~ r l~ -.. ~ ”” bereits p ~ 1 1, - 1

c’,, - FI]’ (11ierl)ei h e i eA ~ c ( L Q,) die abiolutt: Verz\?.eigungsordiiung von L ) . 1 ) ) T i t L regular uncl gleiclizeitig cI, durch p - 1 teilbar, so 1st auch

e L P . r) Fiir irreguliires L (jetzt gilt p ~ 1 IcL) uncl k = 1st

17 - 1

V,) V B t l = V,’H” 13*

eiiie zyklische Gruppe der Ordiiung p. erzeugt durch die Xetr)enhla6he 1;1* H p . uol)ei qv - 1 - wv p (I - C l ) 1st (mit eiiier priiiiitivenp-ten Einheitswurzel ;I E L und einem ganzen Element ir* i n L ) untl

cD(yi*) B 9 ( L ) + P - fi ( L )

PI, P d) 1st k elm durch p teilbare naturliche Znhl niit 1 5 k < -~ , b o

gilt V , = I’, , Die Ahbildung b niod z -> bl’ mod z 1st iiainlich ein Auto- niorphisiiius von 9 (L)L . Dnher kanri i i i m zu yi < 1 + an’ (mod zh ’ ) eine Einseinheit yo = 1 + b n’ ( i ~ i o d n ~ + I ) (falh k = k ’ p ) so wahlen, da13 b” :- CI niod n wird und daher i ,~ = yi: yi, , (mod n’+ ’ ) , d. h.

P - 1

A, & H p 11, I I ,

1st

ui idp 1” k 1st C’, V/t - L y A, H , I . Ffir eiiisolches k PL 2,

P - 1 e ) Fur 1 -> k 5

1st 1latllllch H’ Q H , = H” (7 II , + ’ .

25. L K sei eiiie zahm-vcrzweigte GALOISS~h~ Erweiteruiig r i i i t der Vex- zweigurigsordnung P + 0 (mod p ) und dein Restklasseiigrad f . 1st T der Triigheitskorper. so ist L,!T eiiie zyklische, rein- und zahin-verzweigte Er- weiterung vom Grade e und T ‘K eine zj‘klische uiiverzweigt’e Erweiteruny vom Grade f . Wir fassen G == Gai (L<’K) als eine Erweiterung der Gruppe Gal ( L ’5”) :-- (z) durch die Gruppe 2 ‘fZ E G,’(z) auf und setzen voraus, dalS die Gruppenerweiterung G uher der zyklischen Gruppe (z) zerfallt, d. h . cia8 L eine zerfallende Erweiteruiig voii K ist. Uaiiii kann cller FROBENITS- Autoirior1,hismus auf clem Tragheitskiirper fortgesetzt werden zum Auto- morphisnius CT des Korpers L,!K so, tlafi of = 1 ist. ‘Die GALoIssche Grirppe G ist halhdirelites Produkt v o ~ i (z) und (0).

1st zg eiii Primelement’ in K , so existiert in L ein Primelement n so; tial3 z‘~ = zl(, uiid es ist L = T (n). D:t fei-ner T =: K (6) init einer priniitiven ( y f - 1)-tan Einheitswurzel ( q = Aiizshl der Elemente des Restklnssen- Borlms ~ o i i K ) , is;

(47) L K ( 5 , n ) .

\.l7egen (I’ = 2 (mod c) er tha l t T d i e cl-ten Einheitswurzeln ( z . B. ist

I” 3 e = 5 ‘ (18)

und

(49) (T (6 + p, 3-c -f 22)

q r - I

eine Irimitivc P - ~ C Einheitswurzel). Xan kuiln

z = ( E --f 6, z - C, n)

Pieper, Die Fliniiritengruppr 197

wiihlen? und es gilt (50) re = 1, of = 1, o z o - ’ = 24,

26. Fur eine zerfallende (GALoISsche, znhm-verzweigte) Erweiterung LIK untersuchen wir nun die Wirkung der GAzoIs-Gruppe G suf die Bilt’rierung der Einseinheiten. Stets sind die Chippen H , ( k 2 I) , Q und W (siehe (a), (3) ) G-Teilmoduln von H . 1st TI = 1 + a xk (mod xkT1) eine Einseinheit k-ter Stufe von L, wobei wir a aus Q :-- (6) wiihlen konnen, so gilt zunachst o a, = a* (mod z) und z a = a (mod z) und daher

(52) z 1 + n(fz’ (modn”’’ ) . Der Isomorphismus @‘k zwischen den Faktorgruppen H,/FI,; + und der additiven Gruppe $? (L)+ des Restklassenkorpers wird zu eineni G-Modul- Isomorphismus, wenn wir die Wirkung von G auf den endlichen Korper $?(I,) = GZi’(yf) niit q f Elenienten wie in (38) festlegen: Diirch

(wegen q f = 1 (mod e) enthalt R ( L ) eine primitive e-te Einheitswurzel, z . R . 5, = 5, mod x) wird 9 (1,)’ Zuni G-Modul A,,%, und @* wird ein C-lso- Inorphisinus zwischen H,/Hk- und A, .

(51 ) ~7 z I + . q ~ ~ ( m o d 7 ~ ~ + ‘ ) ,

o Z = $ t E = [ ? E

27. !A’ir hezeichnen mit k , < k2 < . . ‘ < k, die r zu p primen naturlichen

Zrthlen 1 5 k 5 ( r = eL = e e K ) und setzen

vr-, = V,,’Vk,, 1 ( i = 1 , . . ., r ) und V: = (I}

und erhalten oiiie Ket te v; 3 V ; 3 ‘ . . 3 v; = (1)

von G-Teilmoduln. F ~ r tliese gilt nach 24. und 26. die G-Isomorphie

V:-, V : e A,, (fur i I, . . ., r ) .

28. IVir zeigen, da13 die Zahlen k r p ; mod e ( i = 1, . . . , T , 0 5 j < f f o ) c,,f,,f-iiinl ein vollstandiges Restsystem modulo e clurchlaufen (pf = q , e,, ~ P K ) .

Dazu r,etr:tchten mir die Rest klassenmengen

(in den Klaininern { ,) werden die Restklasserr inod e so oft aufgesclirieben, mie sie als Rest inod c l m den lc p 3 auftreten). Reschtet i m n

(p'. e ) = 1, pffO = 1 (mod e )

unci dalJ sic21 iin Intervall

jedcs k in der Form

darstellen ldBt (und k' mod e iiisgesaiiit genau dieselhen Zahlen durchlhuf t m e E , naiiilich e,-inal ein vollstdndiges Restsystem inod c). so folgt

'21 = 93 bcs. In 6 stehen cofnf vollstandige Restklashen i i i d e. 1st

2!4. Xnch 2 7 . und 28. ist v: also ein ~ T T A S A W 4 - ~ I o d i i ~ u n d daher eiii

freier G F (p)G-Modul vom Rang e , , f o . (f,, = ,fs = f ( K &,) 1st der absolute ‘rt%ghehgratl voii h’ uiid

P , ) --

Zu jeder durch c teilbareri naturlichen Zahl r - e P‘ pibt es soinlt einen ITYASAH ~ - J I o d u l mjt einer Ket te (a) und der Eigenschuft ( E ) . zu C’

gilit es riamlich wenigstens eiiie Ei-neiteruiig 17 Q, init der Verzweigungs- ortlnuiig P(K’ Q , ) ~ e’.

- e (h’ Qfl) die absolute ~erzM-eipurigsordiiuii~.)

30. 1st L irregular oder L regular. aher p - 1 , I‘. so ist offenbar

I’ 1, 2, - 1

k , + l -

"0 Piejier, Die Einheitengroppe

33. AUS deli1 Satz von HEXSEL (siehe (3 ) ) folgt

Hilfssatz 14. Die EinsrirLheitengr2c~pe eines lokcrlen Zahlkorpers geni ig t deni Axiom 1 f u r HEr;sEL-Im~~s~~rvil-~~ZoduZn ( k == [ K : QJ, n = [ L : K ] ) .

34. Sei L K Qp eine galoissche Erweiterung des lokalen Zahlkorpers K . Jlit tier Einlieitengrul,pe U = Q x H (vgl. ( 2 ) ) des Korpers L haben wir (lie exakte Sequenz

2-c7'L .=+L u.1

( i 1st die Iiiklus~onsabbildung uritl nat der Restklasseiihomoi~iorphismus).

\i'egen L "=-K . ( I , a)"=(li [I) cia ' ,2 u iiir jedes Primelenient n

von L, u n d Q Cr wid I f ! [G, L ) = c) ( H I L B E ~ ~ T S .,Satz 90") resultiert

tlaraiis die exakte Sequenz

L 1

K ( ( ' 2 5 7 , 1," C' 2, HI (a, [;) + 1

( h ~ \'er~~~~iduiigshoniomory,hismus) und daniit

HI((=. I / ) = ( L U ) ( K U U ) L"/h'" U . 1.1' Fiir ein x E I,' 1st tc =- 2 F = IC

;cy -- ; r K t

HI (G, U ) h :n K L-)

IC' F

( P , i E c j ,

(c) = r' < e ) , .-I , I

I. d s o tc = Z' x1: F' '' 5 7 ~ ' (mod K U ) (0 1 T' < e). %her 1st

erne zyklische Gruppe der Ordnung c .

phismen von 6' i n U , SO ist oEenb;*r die Kohomologieklasse 1st 21 (G, I;) die Gruppe der versehrdnkten zerfallenden Homomor-

E * ZI ( U , U ) mit c ' k : Q - E * ( Q ) = F, ,

0 7-5

,x mol)ei y - = F~ C U und

Pieper, Die Eiiilieiteripruppe '0 1

1st e = e* plk ( p + e * ) , so hat d:~s erzeugeiide Element q* Z l (G , H ) ~ 0 1 1

HI(O, H ) die Ordnung p h , und HI(G, &) ist eirie zyklische Gruppe tler Ordnung c* niit cler Erzeugenden E* ZI (G', Q ) .

35. 1st iiberclies L li zahn-verzweigt, so 1st e = e:*, d. h . h = 0 wid nscli 34. daher IIt(G', H ) - (0). Offenbar 1st Hl(CT', U ) = (0) fur alle Untergruppen C:' von G = Gal ( L K ) . Nach der lokulen Nlassenkor1,er- tlieorie ist X,, ( H ) jetzt die EinseiiiheiteiigrupI,e HI{ von hr und claher HI)(G, H ) ~ H" S, ,(H) ~ H , K , = (0) und offenbw auch

W ( G ' , U ) =- {O)

frir alle Untergruppen G' von G . Nach eineni Satz von TATE-NAKAY4lllA (siehe z. B. [4], Ch. TX. 5 6.

Th. 8 ) , wonach alle KoliomologiegruI~~~en von C gleich 0 siiid, sofcrn z u el auf~iiianderfolgeride fur Ale Untergruppen G' 5-011 CT gleicli O sind, 1st H kohoiiiologisch trivial, d. h., es gilt.

I-Iilfssatz 15. Die E i n s c i n l ~ c i t e n g r ~ p ~ c einer (zerfklcenden) zcrhmver- ; iwigten ~ ~ ~ o i s s c h e i i E r w e i t e r u n g gcnugt deiia Ax iom 3 f i i r HENSEL-~YI 4-

SAW 4-,I.Iocldn.

36. AUS deli FIilfssdtzen 13, 14, 1 3 folgt

Satz 16. Die Einseinheitenyr.~ e i w r zerfcil lenden =(ilin~-veizU1eigteii

JVegen dieses Satzes ergibt sieli (lie G-Struktur von H iin wesentlielien Ei iw i t e rung L K ist ein HENSEL-IWASA\\ s-,\Iodul.

aus 3 I.

37. Ans Satz 5 uiid Satz I 6 folpt

Satz 17. L sei ein rcgulnrer lokrilcr Znhlkdrprr, d e r serful lend, znliiii-

rcrzwcig t tend gccloissch iiber R ist, G = Grrl (L lK) . I l i c E i n s e i n k c i t e n g r ? ~ ~ p e H coy1 L is1 ein f r e i c r Z,[C~]-Modtcl com Rnwg [ I { : QJ.

38. ,!.I K sei cine t)elieloige iiorniale Erweiterurig lokaler Korper Eiiii-

einheiten 7 7 , , . , qL Ir)ilden eine Korinalbasis (vgl. den Begriff I I I tier GALOTS-

scheil Theorie) von H , bzg1. K - Einseinheiteiigi"uy,pe v011 X ) , wetiii (Definition von G I L H ~ R G ) sich jede Einseinheit eindeutig $) i r i dei. For111

~ ZrieguInritatsex~~,oiicnt voii AT. a,= Gal (LM,'K)) ciarotellen la&. ( I k Z1,[C~,,]-Nodul H,, i b t direktes Produkt eiiier zyklischen C h p p e der 01 cliiuiig rj"' und eines freien Zp[G,J-Rloduls voii endlichein Rang k . Kacli H P.YSEL 1st tier Rang notwendip pleic h [ K . QI1].)

42. hei nun p = 2 . Sei r der Irregularitdtsexponei~t voii K . .i der ron L fur die zerfallende zahni-verzweigte Erweiterung L, I!, Q j . Es ist c5 2. r 2 1 ( r = 0 jst riicht miiplich. ih K steth die 2-ten Einhcitswiirzeln 1. - 1 ent- halt)

Satz 21. L 'I< 3ei einczerfccllc~idezuli~w-verzir.eigte E r z w i t e r u n g mit 2 [ L 1 I<], t t ~ h e i I< ciw( endlickc Ercwitcrzmg tvn Q2 id. Fiir r 2 2 g i l t : L)ie Bins- c i n l t ~ i t e n g r u p p c H c o n 1; besi tz f e inr il'orintrlbat5is bzgl. K g e n u u dnnn. w c n n L) I- [ L : I[(C5j1. Fiir r ~ I gi l t : 11 bcsifzt Pine Sorinulbrtsis bzgl. A+ qenciu d r i w t , w c n n 2 1 [L : /<(<7)] u ? ~ d : - I.

13. K sei eiiie endlic~lie Erweiterung von Q j und L,iK eine zerfallende zdim-verzweigte Erweiterung init 2 i [L: I<] (wir diirfen eiitweder 2 + [ L : K( t , ) ] und r = 1 , XI, ,Ic([A) = 1 oder 2 i [L : S ( Z , ) ] vomussetzen) .

Atis Satz 16 und 8atz 10 riiit I<orollsr 11 folgt nun

Satz 23. K sci e inc endliclie E r u v i f e r u n g eon Q1 u n d L h' c ine ze~f( i1 lende E r i ~ c i t e r u i i g init 2 j [/,: K 1. Gilt drcbci cntweder 2 I [ L : K(:,j] odcr

2 t [ L . K ( 9 ] , r = 1. A 7 L , R ( Q = 1 ,

.w enthalt d ie C r u p p e H der E i n s e i n h e i t e n won L k + 1 ( k = [I<: Q1]) Elc- m e 7 ~ t ~ q,,, 9 1 , . . . . . rjk dernrt , daJ gilt ;L) ./odes Element ?/ t H id i n dcr Form

21

?/ = q: rjI . . . (u E: Z j . a, E z,[C'J

dnrstcllbrir .

Die i n Satz 10 twftretende Einheitswurzel Cil ist fur 21 = 2 gleicli 1. In ckr Tat. aus - ( - 5" ( k mod 2. v. Z2). <: = 1 fdg t k e = 0 (mod I ) ) ,

r = 0 . also (cla 2 + c) k = 0 (mod L ) ) , OL 0, ti. h. ti, 1.

44. & 1st nicht schwer. zu jeder der in den Satzen 1'7 bis 22 betrachteten zei f~tlleiiden zali~~-verzweiyteri (speziell unverzweigteuj Em eiterungcii 1, K QL, ein Beispiel anzupeben (das also den jeu eiligen Tornussetzungen gel1 I@).

204 Pieper, Die Eiiiheitengruppe

8 4. Die Einseiiiheitengruppe einer zahm-verzweigten CraLoIsschen Erweiternng

4.5. L’,l< sei eine zahrn verzweigte G-1LOISSChe Erweiterung mit dern Traglieitskorper T’ und derri (relativen) Restklassengrad f ’ = f(L’ K ) utid der (relativen) Verzweigungsordnuiig e’ = e(L’ K ) Es 1st T‘ = K([’) i r i i t eiiier priniitiven (qs -1)-tenEinheitswarzel t‘ ( q = p f , f , ,=fK=f(K Q p ) ) . 1st r6 ein vorgegehenes Primelenient von K , so gibt es in L ein Prim- elenleiit z’ so, da13 L : T’(z’), wohei r” - zIc c, mit einer geeigneten ((I’ ~ 1)-ten Einheitswurzel p = 6”‘ (siehe [3], 5 16). Dn yf = 1 (mod e’)

,f I

t‘nthdt 1” die &ten Eiiiheitswurzeln (z B. 1st ze : 5’ ‘ eine primi- tive c’-te Einheitswui-zel). Die GAI,OISSC~P Gruppe G‘ -= Gal (L’ K ) der Ordnung e‘ f’ niit zyklisrhern Norinalteiler Gal (L’ 5’”) ~ (t’) der Ordnung c’, erzeugt durch den Autoniorphisrrius

t’ = (t’ ---f t’, 32’ - l(, x’), 11 nd zyltl I idler Faktorgruppc

cr“ G A (L’ T’) = (0’ Gal (L’, 7”))

cler Ordining f ’ , mit dern Autoniorphismus

hat die beiden Erzeugenden z’; d, die den Relationen

geniigeti.

t’ - 1 ~- I , -

I ,>, _- ~

(, - 1, f l j = t‘“:

16. Die unverzwcigte Erweiterung L voni Grade e’ iiber L‘ ist eine uber c.u,oIssche zahni-verzweigte Erweiterung. Es ist

c =- e ( L / K ) = d, f f (L lK) == f‘ . e’.

Die unverzweigte Erwciterung T vom Grade e’ uber T’ ist der Tragheits- korl)er vori L,iK. %‘egen q?’ = 1 (mod e’) ist

nii t

q j - 1 = qJ’f’’ - 1 = (qf ’ - 1) h

(, = *V’ ~ 1)f ’ + 9‘e’ ~ “)P’ , . . . + qf’ + I = e’ = o (mod e ’ ) ,

2t1so e’(g’’ ~- 1) 1 QJ”” - I . ( ~ f ’ ‘ ’ - I = d (e ’ (q f ‘ - I ) ) (d ganzzahlig) urid

tlaher [ =- [”“” eine l’rirnitive (gs - 1)-te Eiriheitswurzel in L. Es ist T = K ( t ) . In L gibt es nun ein Prilrieleinent 32 so, da13

I

zf3 ~ zf,’ ~

.*I<

Pirper, Die Eiriheiterigruppr 205

(X ~ ~ ’ 6 ‘“ Eleistet &as Verlangte!). und es i h t L = I < ( ( , z). Glal(L K ) mird

erzeugt voii G = (6 -> FI, z + z ) . r - (6 - [, z - 5 ‘ z ) q f - l -

und es gilt

T‘ r 1, gf Y 1 , ITTO- ‘ = T O ,

G zerfallt i n das halbdirekte Produkt von (0) uiid ( T ) Die Erweiterung L K 1st eine zerfAlende zahni-verzn eigte Erweiterung. Es iht

G l L = G’, Z 17, : Z’.

v ie niim sicli leicht uherzeuyt. 1st fi’ irregular rnit dem 1rregularit:ltsexponenten 5 ’ < 1 und ware

i s‘ + 1 so iA’(,“, + , ) L’ & L D:t L‘($ I ) L‘ wegen s’ 2 1 zykllsch k o i n Grade p 1st w i d e sich wegeii [L’((, i,’] 1 [L: L’] = e’ P I P ’ er- crehen, obwohl L‘ K zahiii-verzweigt 1st.

1st L’ regular iind p - 1 + e(L’ 8,) (e(L’ I&) = c’ el , , e,, = e ( K QJ)) uiid ware L irregular. so wurde 2-, -- 1 1 e ( L Q,) ( [3] , S. 215/16), also wegen c ( L Q p ) = c (L’ Q,) doch p - 1 ’ e’ el, geltell

1st 1,’ regular und 21 ~ 1 1 e‘ P , ) , h o kann L aher irregular sein 1st nmilich - p = n 6’r + . . . eine Darstellung voti - p in L‘, SO gilt wegen r P 1

p - I I e’ dabei p - i t .Y‘ ([3], 21 6), well L’ regular 1st Dan11 1st

eine Darstellung von ~ p in L, uiid es kann durchaus nebeii p - 1 I ell P’

auch p - 1 ~ x d ~ ‘ gelten, d. 11. L kann irregular sein ([3]. 216). LVir haben

Hilfssatz 23. JedP GALoIssrhe ;al~.1?2-aPrzi.ceigte Erwciterung L’ K ist in eii ier xeTfullendcn Eruieiferung LIK enthalten. Dnbei ist s > s’ liiielrstms dann , zcerL?a Lr regular zcnd y - 1 1 e’ e o , sonst s = s’.

4 i . IJnschwer zeigt man den

Hilfssatz 24. Es s e i K & L’ L. L K sei e i n e GALOISSC~C Erweiterung. B c s itzt d i e ~:inseinheitengr.e I1 uon L e ine ATornmlbtrbis bzgl. I<, so besitzt H uuch e k e Sorwmlbusis bzgl. L‘. 1st uberdies L‘,K G A L a s s e h , so besitxt nurh dic Einseinheitengruppe H’ i ion L‘ c ine Normalbasis bzgl. K .

Sei ndnilich v l , . . . , 7, ( I c = [ K : QJ) eine Normalbasis von H bzgl. K , so daIJ sich jede Einseinheit eindcutig in der Form

r,” 7 ; ‘ . . . . , 7;’ (x inoct ps, N& E Zj7 [GI) darstellen lafit. 1st U = Gal(L,’L’) uncl

c: = u p1 u . . . u u (m = [L’: K ] ) ,

b o bilden [I,': QP] Eleriiente T/? ( i =- 1, . . . , k , j = 1, . . . . m) oflenbar eirie freieZ,,[ []]-Basis von 11. 1st uberdies IJ' G1I.OISs('h. so bilden die Normell hzgl. L L' der Eleirierite Y/:' , . . . , yl:'", . . . . . . . qX. , . . . , ?I,: eiiie Normal- basis voii 11' bzgl. K . Sinti uiiigekehrt L' K urid L L' Erweitcrungen iiiit

f ~ r die Einseinhciten, so brauclit /1 K keine solche z i i hesitzen.

<' I ~ ' l I 7

48. Sei L' K eine I-ielielnige ~4 Loissche zahin-verzweigte Jhveiterung. Kach 46. gibt es eine zerfdlende Erweiterung L,K mit L' 5 L. Gal(LjL') i b t eirie zyklisclie Gruppe (p) der Ordnung P ' , erzeugt durch T " of'= p. Es ist SL,,,(HL) = H,, . Ferner gilt fiir

Pieper, Die Eiiihritengruppr 209

icobpi g c Z mit d Cs, = [: , in E i n h e i f m u r z e l in Z,, nzit 7‘ [,. = CtL: und I f“ I

-5’3. Kun 1st der in 51. Imtrschtete Korper noch 1111 Fall p : 2 zu uuter- ,-uc.heti. 1st r 2 2 und 2 C [L’ :iY(t6)]. SO gilt auch 2 1 [ L : K ( [ & ) ] . 1st r = 1, 2 4 [ L ’ . K ( [ 5 ) ] undS, , , (~ , ) = - 1, SO 1st auch r = 1,

untl 2 i- [ L : K ( & ) ]

LA-, r ; ( [ , ) = x, (S, (C,)) = X L ,([B“ El) = ( - 1)‘L I, 1 = - I (ds [ L :L’] = e’ + o (mod 2 ) ) .

Aus Satz 21 folgt in diesen lhllen init den Hi1 tzen 23. 2 1 die Exrstenz eiiier Sormn1k)asis der Einseinlieiterigrupre H’ von L’ bzgl. K . 1st jetzt eiitn etler r = 1. 2 + [L’ : K ( t S )]. X,, (& ) = 1 oder 2 j [L’ : K ( [ & )]. so 1st aucli

I’ - 1, a! , [L : K ( ; J ] . X L = s, &b” ,I) = 1

oder 2 I LL :I?(:,,)], und die Struktur von H 1st riach Satz 2% bekannt. Die glciczlien Schlusse wie in 51. liefern dann ein Strukturtheorem auch fur H’

\\Tir fassen zusainrnen in

‘I’heorern 28. K sei eine endlichc Eruxiterzcng von Qi, und L’IK einc zrt l imwrzweigte G A L O I S S C ~ ~ Erweilwuung vow Grad [L’ : K ] = 0 (mod 2 ) . Der I r r c g u l i i r i i a i s e ~ p ~ n e n t von L’ sei s‘.

a) Ist I’ 2 2 u n d 2 + [L‘ : K ( [ , ) ] , so besitzt d i e E’ inse in~~ei tengruppe H‘ on L’ e i n e S o r i n d b a s i s b x g l . K .

1 ) ) A u r h ,fur r = 1, 2 ‘i [L’ : K (t, )] und S, (C,,) = - 1 besitzt H’ c i n e Sorrnctlbnsis bzgl . K . 1 1 \Inth Yu’Jthl. 1072, Bd.51, H. 1-6

21 0 Pieper, Die Einlieitengr~ippe

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