Die elasto-plastische Einglättung rauer Oberfl ächen und ... · and bulk metal forming operations to sheet-bulk metal forming (SBMF). A suitable friction law is of great importance

Die elasto-plastische Einglattung rauer Oberflachen

und ihr Einfluss auf die Reibung

in der Umformtechnik

Der Technischen Fakultat

der Friedrich-Alexander-Universitat

Erlangen-Nurnberg

zur Erlangung des Doktorgrades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

vorgelegt von

Franz Hauer

aus Nurnberg

Als Dissertation genehmigt

von der Technischen Fakultat

der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg

Tag der mundlichen Prufung: 15.07.2014

Vorsitzende des Promotionsorgans: Prof. Dr.-Ing. habil. Marion Merklein

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner

Prof. Dr.-Ing. habil. Georg-Peter Ostermeyer

Schriftenreihe Technische Mechanik

Band 12 · 2014

Franz Hauer

Die elasto-plastische Einglattung rauer

Oberflachen und ihr Einfluss auf die

Reibung in der Umformtechnik

Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. habil. Paul Steinmann

Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner

Erlangen 2014

Impressum

Prof. Dr.-Ing. habil. Paul Steinmann

Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner

Lehrstuhl fur Technische Mechanik

Universitat Erlangen-Nurnberg

Egerlandstraße 5

91058 Erlangen

Tel: +49 (0)9131 85 28502

Fax: +49 (0)9131 85 28503

ISSN 2190-023X

© Franz Hauer

Alle Rechte, insbesondere das

der Ubersetzung in fremde

Sprachen, vorbehalten. Ohne

Genehmigung des Autors ist

es nicht gestattet, dieses Heft

ganz oder teilweise auf

photomechanischem,

elektronischem oder sonstigem

Wege zu vervielfaltigen.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher

Mitarbeiter am Lehrstuhl fur Technische Mechanik der Friedrich-Alexander-Universitat

Erlangen-Nurnberg.

Mein besonderer Dank gilt meinem Doktorvater, Herrn Professor Kai Willner. Er hat

sich immer Zeit fur fachliche Diskussionen genommen, war stets offen fur neue Ideen

und stand mir mit fachlichem Rat zur Seite. Seine Unterstutzung hat wesentlich zum

Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Ganz besonders weiß ich die Freiheit zu schatzen,

dir er mir bei der Umsetzung meiner Arbeit gelassen hat.

Bei den Kollegen aus dem Sonderforschungsbereich Transregio 73 der Deutschen

Forschungsgemeinschaft mochte ich mich ganz herzlich fur die tolle Zusammenarbeit

bedanken. Mein besonderer Dank gilt meinem Projektpartner Dipl.-Ing. Hans Ulrich

Vierzigmann vom Lehrstuhl fur Fertigungstechnologie.

Herzlich bedanken mochte ich mich bei Herrn Professor Steinmann, dem Leiter des

Lehrstuhls fur Technische Mechanik. Er hat durch seine angenehme Art den Lehrstuhl

zu fuhren ein hervorragendes Arbeitsumfeld geschaffen.

Professor Georg-Peter Ostermeyer danke ich ganz herzlich fur die Ubernahme des

Zweitgutachtens sowie das gezeigte Interesse an meiner Arbeit.

Dipl.-Ing. Dominik Suß und Dipl.-Ing. Stefan Schmaltz mochte ich fur das Korrekturle-

sen meiner Arbeit danken.

Ein besonderer Dank gilt den Kolleginnen und Kollegen, die durch ihre Hilfsbereitschaft

und fachliche Diskussionen zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Die ange-

nehme Atmosphare und die gemeinsamen privaten Aktivitaten haben mir viel Freude

bereitet. Mein besonderer Dank gilt meinen Burokollegen Dipl.-Ing. Volker Barth und

Dipl.-Technomath. Oliver Schmitt.

Fur den personlichen Ruckhalt im privaten Umfeld geht ein großer Dank an meine

Familie und Freunde.

Erlangen, September 2014 Franz Hauer

Meinen Eltern gewidmet.

Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Einleitung 3

1.1 Problemstellung und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Literaturubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Oberflachencharakterisierung 9

2.1 Klassifizierung von Oberflachenunregelmaßigkeiten . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Rauheitskenngroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Materialanteilkurve (Abbott-Kurve) und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 11

2.4 Mechanisch-rheologisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Schichtaufbau metallischer Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Kontaktmechanik 17

3.1 Normalkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Hertzscher Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Normalkontakt rauer Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Tangentialkontakt und Reibung in der Umformtechnik . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Reibzahlmodell (Coulomb-Reibgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Reibfaktormodell (Tresca-Reibgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Bowden-Tabor-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.4 Kontaktwachstum (Junction growth) . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5 Orowan-Reibgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.6 Shaw-Reibgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.7 Wanheim-Bay-Reibgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.8 IFUM-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Reibungszustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Halbraumkontaktmodell 33

4.1 Grundlagen des linear elastischen Halbraummodells . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Grundgleichungen der linearen Elastizitat . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.2 Galerkin-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.3 Papkovich-Neuber-Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I

II INHALTSVERZEICHNIS

4.1.4 Boussinesq-Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.5 Boussinesq-Losung fur normale Einzelkrafte . . . . . . . . . . . . 39

4.1.6 Cerruti-Losung fur tangentiale Einzelkrafte . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.7 Einflussfunktionen fur die Oberflachendeformation aufgrund von

Flachenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Kontaktmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Kontaktdiskretisierung und Kontaktbedingungen . . . . . . . . . 45

4.2.2 Variationsansatz zur Losung des Kontaktproblems . . . . . . . . . 46

5 Numerische Umsetzung des Halbraummodells 49

5.1 Beschreibung des Kontaktproblems als lineares Gleichungssystem . . . . 49

5.2 Speicherbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 Active-Set-Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Numerische Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4.1 Direkte Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4.2 Das SOR- oder Relaxations-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.4 Das Verfahren der konjugierten Gradienten mit integrierter Last-

regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Plastic-Set-Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Vergleich der Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Volumenerhaltung und Kontakt mit rauen Werkzeugen . . . . . . . . . . 59

5.8 Hydrostatisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.8.1 Erkennung geschlossener Schmiertaschen . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8.2 Iterative Bestimmung des Drucks in geschlossenen Schmiertaschen 62

6 Experimentelle Verifikation 65

6.1 Harteprufung nach Vickers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Einglattungsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Dreidimensionales plastisches Halbraummodell 73

7.1 Literaturubersicht bezuglich plastischer Halbraummodelle . . . . . . . . . 74

7.2 Aufbau des plastischen Halbraummodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.3 Elastische Spannungen im Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.4 Eigenspannungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.4.1 Eigenspannungen im unendlichen Raum . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4.2 Bestimmung der Eigenspannungen im Halbraum durch Superpo-

sition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.5 Oberflachendeformation aufgrund plastischer Dehnungen im Halbraum . 93

7.5.1 Elastische Deformationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.5.2 Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.5.3 Anwendung des Satzes von Betti auf die Berechnung der Ober-

flachendeformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

INHALTSVERZEICHNIS III

7.6 Plastische Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8 Ergebnisse der dreidimensionalen plastischen HR-Sim. 105

8.1 Kontakt einer Kugel mit einer glatten elasto-plastischen Ebene . . . . . . 105

8.2 Verfestigungseinfluss im Kontakt einer Kugel mit einer Ebene . . . . . . 108

8.3 Kontakt einer Kugel mit einer rauen elasto-plastischen Ebene . . . . . . 109

8.3.1 Untersuchung der Auflosungsabhangigkeit der Simulationsergebnisse115

8.3.2 Vergleich des dreidimensionalen mit dem vereinfachten plastischen

Halbraummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.3.3 Diskussion der Ergebnisse der Kontaktsimulationen mit dem drei-

dimensionalen plastischen Halbraummodell . . . . . . . . . . . . . 119

9 Reibgesetz 121

9.1 Numerische Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2 Implementierung in Simufact.forming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 Anwendung des Reibgesetzes in Umformsimulationen . . . . . . . . . . . 124

9.3.1 Numerische Identifikation des Reibfaktors anhand eines Stauch-

prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.3.2 Simulation eines mehrstufigen Umformprozesses . . . . . . . . . . 125

10 Zusammenfassung und Ausblick 133

A Anhang 137

A.1 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.2 Herleitungen und Berechnungen zum elastischen Halbraum . . . . . . . . 141

A.2.1 Dehnung und Spannung in Papkovich-Neuber-Darstellung . . . . 141

A.2.2 Detaillierte Darstellungen der Boussinesq-Potentiale . . . . . . . . 143

A.2.3 Spannungen und Verschiebungen unter normalen Einzellasten . . 148

A.2.4 Spannungen und Verschiebungen unter tangentialen Einzellasten . 151

Literaturverzeichnis 155

Kurzfassung/Abstract 1

Kurzfassung

Umformen ist ein leistungsfahiges und okonomisch sehr bedeutendes Fertigungsverfah-

ren. Um den industriellen Trends zu Funktionsintegration und Leichtbau gerecht zu

werden, mussen die aktuellen Fertigungsverfahren optimiert und neue Verfahren entwi-

ckelt werden. Ein vielversprechender Ansatz ist, durch Kombination von Operationen der

Blech- und Massivumformung zur Blechmassivumformung (BMU) Bauteilen mit Funk-

tionselementen aus flachigen Halbzeugen herzustellen. Aufgrund der großen Bedeutung

der Reibung fur die Ausformung von Funktionselementen ist ein geeignetes Reibgesetz

sehr wichtig fur die numerische Prozessauslegung in der Blechmassivumformung. Ein

solches Reibgesetz wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelt.

Charakteristisch fur die Blechmassivumformung ist ein großes Spektrum an

Flachenpressungen und mehrstufige Prozesse. In mehrstufigen Prozessen beeinflusst

die Oberflacheneinglattung im Kontakt das Reibungsverhalten in den nachfolgenden

Prozessschritten. Deshalb muss die plastische Oberflacheneinglattung im Reibgesetz

berucksichtigt werden.

Fur die Simulation des Kontakts der rauen Oberflachen wird ein Halbraummodell ver-

wendet, in das zwei unterschiedliche Plastizitatsmodelle implementiert werden. Wahrend

eines der Plastizitatsmodelle auf der Limitierung der Flachenpressung auf der Oberflache

basiert, wird im zweiten Modell eine dreidimensionale Berechnung der plastischen De-

formation auf einer Volumendiskretisierung vorgenommen. Neben der elasto-plastischen

Verformung der rauen Oberflache wird auch die Ausbildung hydrostatischer Drucke im

Schmierstoff in geschlossenen Schmiertaschen modelliert.

Die numerischen Modelle werden durch Finite-Elemente-Simulationen, Hartepru-

fungen und einen Einglattungsversuch validiert. In den Einglattungsversuchen werden

die Oberflachen sowohl im trockenen, als auch im beolten Zustand durch einen ebenen

Stempel eingeglattet. Die Veranderungen der Rauheitskenngroßen, die Materialanteil-

kurven und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Oberflachenhohen aus den Experi-

menten werden mit den Ergebnissen der Halbraumsimulationen verglichen.

Aus den Ergebnissen der Halbraumsimulationen wird ein Reibgesetz abgeleitet, dass

den Einfluss der Oberflacheneinglattung in vorhergehenden Prozessschritten abbildet.

Weil das Reibgesetz zudem sowohl fur niedrige, als auch hohe Flachenpressungen ge-

eignet ist, erfullt es die Anforderungen der Blechmassivumformung. Das entwickelte

Reibgesetz wird als Subroutine in das Finite-Elemente System Simufact.forming imple-

mentiert. Die Oberflacheneinglattung wird uber eine Oberflachenzustandsvariable, die

auch nach einer Neuvernetzung des Modells genutzt werden kann, berucksichtigt. An-

hand eines mehrstufigen Umformprozesses zur Herstellung eines Napfes mit aufgedickter

Zarge aus einem Blechhalbzeug wird der Einfluss des Reibgesetzes in einem Umform-

prozess demonstriert.

Schlagworter: Kontaktmechanik, raue Oberflachen, Halbraum, Umformtechnik, Simu-

lation, Versuch

2 Kurzfassung/Abstract

Abstract

Metal forming is an efficient production technique of great economic importance. The

current forming processes have to be optimised and new processes have to be developed

in order to keep up with the industrial trends to lightweight construction and functional

integration. A promising approach to fulfil these demands is the combination of sheet

and bulk metal forming operations to sheet-bulk metal forming (SBMF). A suitable

friction law is of great importance for the numerical process design, because friction has

a strong influence on the moulding of functional elements. The aim of this research work

is to develop such a friction law for sheet-bulk metal forming.

Characteristic for SBMF is a wide range of contact pressure and multi-stage pro-

cesses. The plastic surface smoothing in the contact has an influence on the friction in

subsequent process stages. Therefore the plastic smoothing of the surfaces in contact

has to be taken into account in the friction law.

For the contact simulation a halfspace model with two different plasticity models is

used. The first model is based on limiting the contact pressure to the surface hardness,

whereas three-dimensional plastic deformation on a volume discretisation is calculated

in the second model. Besides elastic-plastic deformation hydrostatic lubrication in closed

lubricant pockets is also taken into account.

The numerical halfspace models are verified by a smoothing test, hardness tests and

Finite-Element simulations. In the smoothing test rough surfaces are in contact with

a smooth surface in dry as well as in lubricated conditions. The changes of roughness

parameters, bearing area curves (Abbott curves) and probability distributions of surface

heights in the experiment are compared to simulation results.

The friction law is developed based on the results of halfspace simulations and expe-

riments. It fulfills the requirements of sheet-bulk metal forming, because it is suitable for

a wide range of contact pressures and takes the smoothing of surface roughness in multi-

stage processes into account. The friction law is implemented into the Finite-Element

system Simufact.forming as a user subroutine. The surface smoothing is incorporated

into the user subroutine by means of a surface state variable, which can be used in

conjunction with remeshing. The effect of the developed friction law is demonstrated in

a forming process of a cup with an increased wall thickness at the edge out of a sheet

metal.

Keywords: contact mechanics, rough surfaces, halfspace, metal forming, simulation,

experiment

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Problemstellung und Motivation

Umformen ist ein etabliertes Fertigungsverfahren, das in zahlreichen Industriezweigen,

wie zum Beispiel der Automobil- und Haushaltsgerateindustrie, in großem Maße an-

gewandt wird. Die Reibung zwischen Werkzeug und Werkstuck spielt in der Umform-

technik eine bedeutende Rolle, denn sie hat entscheidenden Einfluss auf die im Prozess

herrschenden Krafte. Im Werkstuck beeinflusst die Reibkraft den Spannungszustand und

folglich den plastischen Stofffluss. Daher sind die Umsetzbarkeit von Produktentwurfen

und die Maßhaltigkeit der Endprodukte entscheidend von der Reibung abhangig. Seitens

des Werkzeugs hat die Reibung großen Einfluss auf den Verschleiß. Weil Reibung natur-

gemaß nur auf der Oberflache auftritt, ist sie umso bedeutender, je großer das Verhaltnis

von Oberflache zu Volumen des Werkstucks ist.

Der Trend zu Leichtbau und Funktionsintegration ist die Triebfeder fur die Kom-

bination von Blech- und Massivumformoperationen zur Herstellung komplexer Bauteile

aus Blechhalbzeugen mit Funktionselementen mittels Blechmassivumformung [46]. Cha-

rakteristisch fur die Reibung in der Blechmassivumformung ist das simultane Auftre-

ten niedriger Flachenpressungen, wie sie in der Blechumformung ublich sind, und ho-

her Flachenpressungen, wie sie in der Massivumformung ublich sind. Die gewunschten

Funktionselemente konnen haufig nicht in einem einzigen Prozessschritt realisiert wer-

den, so dass mehrstufige Prozesse zur Anwendung kommen. Bei mehrstufigen Prozessen

ist zu berucksichtigen, dass die Werkstuckoberflachen im Kontakt eingeglattet werden,

wodurch die Reibung in den nachfolgenden Prozessschritten beeinflusst wird.

Der Reibung kommt in der Blechmassivumformung besondere Bedeutung zu, weil

sie großen Einfluss auf die Ausbildung von Funktionselementen hat [76]. Daher ist eine

prazise Reibmodellierung essenziell fur die numerische Umformsimulation, die ein we-

sentlicher Bestandteil der Prozessauslegung ist. Hierzu ist ein geeignetes Reibgesetz er-

forderlich, das den speziellen Anforderungen der Blechmassivumformung gerecht wird.

Die wesentlichen Anforderungen sind die Eignung des Reibgesetzes fur niedrige und

große Flachenpressungen, sowie die Abbildung der Oberflacheneinglattung in mehrstu-

figen Prozessen.

3

4 1.2 Literaturubersicht

Die Reibung ist stark abhangig vom Verhaltnis der realen zur scheinbaren Kontakt-

flache, also dem Anteil der rauen Oberflache der tatsachlich im Kontakt steht. Messun-

gen zwischen metallischen Kontaktpartnern sind nur indirekt uber die elektrische oder

akustische Leitfahigkeit [32, 71] moglich. Optische Messungen zwischen einem metalli-

schen und einem optisch durchlassigen Werkstoff erlauben einen genauen Einblick in die

Wirkfuge, sind jedoch sehr aufwandig [12, 11].

Alternativen zu experimentellen Kontaktuntersuchungen stellen numerische Untersu-

chungen mit statistischen Modellen, Finite-Elemente-Modellen und Halbraummodellen

dar. Eine statistische Modellierung des Kontakts ist sehr leicht zu bewerkstelligen, ist

in ihrer Aussagekraft jedoch begrenzt, weil statistische Modelle die Interaktion zwischen

mehreren Kontaktstellen nicht berucksichtigen und folglich fur große Flachenpressungen

nicht geeignet sind.

Mit Finite-Elemente- und Halbraummodellen konnen dreidimensionale Kontaktsi-

mulationen, unter Berucksichtigung elasto-plastischen Materialverhaltens, durchgefuhrt

werden. Bei dreidimensionalen Kontaktsimulationen ist zu beachten, dass raue Ober-

flachen Fraktaleigenschaften aufweisen und daher die Oberflachen beschreibende Pa-

rameter und die Ergebnisse von Kontaktsimulationen auflosungsabhangig sind. An-

dererseits muss ein reprasentatives Oberflachensegment betrachtet werden [60]. Folg-

lich sind fur aussagekraftige Simulationsergebnisse eine feine Diskretisierung und eine

verhaltnismaßig große simulierte Flache notwendig, woraus ein großer numerischer Auf-

wand und entsprechende Berechnungszeiten folgen.

Finite-Elemente-Modelle ermoglichen eine elasto-plastische Kontaktsimulation auch

bei großen Deformationen. Jedoch fuhrt die Volumendiskretisierung zu einer großen An-

zahl an Freiheitsgraden und langen Berechnungszeiten. In Halbraummodellen hingegen

muss nur ein Gleichungssystem fur eine Oberflachendiskretisierung gelost werden, wor-

aus bei elastischer und vereinfachter elasto-plastischer Modellierung deutlich geringere

Berechnungszeiten folgen. Halbraummodelle basieren auf der linearen Kontinuumsme-

chanik und eignen sich daher nicht zur Simulation großer Deformationen.

1.2 Literaturubersicht

Weil das Verhaltnis der realen Kontaktflache zur scheinbaren Kontaktflache sehr großen

Einfluss auf die Reibung hat, gibt es eine Vielzahl an Modellen fur den Kontakt rau-

er Oberflachen. Das Archard-Modell [9], das Greenwood-Williamson-Modell [34] und

das Bush-Gibson-Thomas-Modell [23] befassen sich mit der statistischen Beschreibung

des Normalkontakts rauer Oberflachen. Diese Modelle sind aufgrund der rein elasti-

schen Kontaktmodellierung mittels der Hertzschen Kontakttheorie nur fur moderate

Flachenpressungen geeignet. Sie stellen einen linearen Zusammenhang zwischen der

Flachenpressung und der realen Kontaktflache her.

Das Bowden-Tabor-Modell [21, 22] geht von vollkommen plastischem Kontakt rauer

Oberflachen aus. In diesem Modell entspricht das Verhaltnis der realen Kontaktflache

Areal zur scheinbaren Kontaktflache Ao dem Verhaltnis der Flachenpressung p zur Ober-

1 EINLEITUNG 5

flachenharte H :

Areal

Ao

=p

H(1.1)

Die Oberflachenharte H entspricht dem circa 2,8-fachen der Fließgrenze des weicheren

Kontaktpartners. Das Bowden-Tabor-Modell eignet sich fur den Erstkontakt sehr rau-

er Oberflachen. Eine ausfuhrliche Beschreibung statistischer Kontaktmodelle und des

Bowden-Tabor-Modells sind in Kapitel 3 zu finden.

Ein wesentlicher Nachteil statistischer Kontaktmodelle ist die Nichtberucksichtigung

der Interaktion von Kontaktstellen durch die Oberflachendeformation. In Halbraummo-

dellen wird diese Interaktion von Kontaktstellen berucksichtigt. Somit kann auch der

Kontakt mit nahe zusammen liegenden Kontaktstellen modelliert werden. Pionierarbeit

auf dem Gebiet der Halbraummodelle wurde von Kalker [40] geleistet, der das Variations-

prinzip der Minimierung der komplementaren potentiellen Energie zur Losung des Kon-

taktproblems nutzt. Durch Limitierung der Flachenpressung auf die Oberflachenharte

entsprechend dem Bowden-Tabor-Modell kann das ursprunglich rein elastische Halb-

raummodell zur vereinfachten Modellierung elasto-plastischen Kontakts genutzt werden

[74, 84]. Kim et al. [41] nutzen ein solches vereinfachtes elasto-plastisches Halbraummo-

dell zur Simulation des Kontakts numerisch generierter fraktaler Oberflachen und be-

rechnen die, aus dem Kontakt folgenden, elastischen Spannungen im Halbraum mittels

analytischer Einflussfunktionen. Die vollstandige Kopplung des Normal- und Tangential-

kontakts wird von Willner vorgestellt [85]. Er zeigt, dass die Interaktion von Normal- und

Tangentialkraften im Kontakt einer glatten und einer rauen Oberflachen zumeist ver-

nachlassigt werden kann. Polonsky und Keer [61] nutzen ein Mehrgitterverfahren und

das konjugierte Gradienten-Verfahren zur Losung des Kontaktgleichungssystems. Ein

Vergleich von Gleichungslosungsverfahren fur Halbraummodelle wird von Allwood [8]

prasentiert.

Die Modellierung dreidimensionaler plastischer Deformationen auf einer Volumendis-

kretisierung des Halbraums wurde von Jacq et al. [38] entwickelt. Dieses Modells wird

in Kapitel 7 ausfuhrlich beschrieben. Dort findet sich auch eine Literaturubersicht zu

dreidimensionalen plastischen Halbraummodellen.

Die große Bedeutung der Reibung spiegelt sich in einer Vielzahl an Ansatzen zu ihrer

Modellierung wieder. Die klassischen Reibmodelle in der Umformtechnik sind das Reib-

zahlmodell und das Reibfaktormodell. Im Reibzahlmodell ist die maximale Reibkraft

proportional zur Flachenpressung, wahrend sie im Reibfaktormodell von der Schubfestig-

keit der Oberflache abhangig ist. Das Reibzahlmodell ist fur geringe Flachenpressungen

geeignet, das Reibfaktormodell hingegen eignet sich fur große Flachenpressungen. Oro-

wan [55] kombiniert beide Reibmodelle. Das Orowan-Reibgesetz verwendet bei nied-

rigen Flachenpressungen das Reibzahlmodell und bei großen Flachenpressungen das

Reibfaktormodell. Das Shaw-Reibgesetz [65, 66] und das Wanheim-Bay-Reibgesetz

[14, 15, 81] sind dem Orowan-Reibgesetz ahnlich, sie modellieren jedoch einen kontinuier-

lichen Ubergang zwischen Reibzahl- und Reibfaktormodell. Das IFUM-Reibgesetz [17]

berucksichtigt neben der Flachenpressung auch die Vergleichsspannung im Werkstuck

6 1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit

und die Relativgeschwindigkeit zwischen Werkzeug und Werkstuck. Eine Diskussion der

Reibgesetze ist in Kapitel 3.2 zu finden.

In mehrstufigen Umformprozessen, wie sie insbesondere in der Blechmassivum-

formung auftreten, ist die Kontakthistorie, also die Einglattung der Oberflache in

aufeinanderfolgenden Prozessschritten zu berucksichtigen. Einen interessanten Bei-

trag hierzu stellt die Arbeit von Stahlmann et al. [70] dar. Es wird ein ex-

perimentell kalibriertes Modell zur Beschreibung der Oberflacheneinglattung in

Abhangigkeit von der Flachenpressung und Oberflachenvergroßerung genutzt. In Finite-

Elemente-Simulationen wird ein sogenanntes Hintergrundnetz verwendet, um den

Einglattungszustand der Oberflache in der Simulation eines Extrusionsprozesses bei Neu-

vernetzung vom alten Netz auf das neues Netz zu ubertragen.

1.3 Ziel und Aufbau der Arbeit

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung eines effizienten Halbraummodells

zur Simulation des Kontakts rauer Oberflachen. Hierbei soll elasto-plastisches Materi-

alverhalten und die Interaktion der Oberflachen mit Schmierstoffen berucksichtigt wer-

den. Aus den Halbraumsimulationen gewonnene Erkenntnisse sollen genutzt werden,

um ein Reibgesetz abzuleiten, das den speziellen Anforderungen der Blechmassivum-

formung gerecht wird. Das Reibgesetz muss sowohl fur geringe, als auch fur sehr große

Flachenpressungen geeignet sein. Zudem ist die plastische Oberflacheneinglattung in

mehrstufigen Prozessen zu berucksichtigen.

Es werden zwei Halbraummodelle implementiert. Im ersten Modell wird eine ver-

einfachte Modellierung der plastischen Oberflachendeformation durch Limitierung der

Flachenpressung auf die Oberflachenharte vorgenommen. Dieses Modell ist durch expe-

rimentelle Untersuchungen von Bowden und Tabor [22] sowie die theoretische Arbeit von

Hencky [36] motiviert und baut auf den Arbeiten von Tian und Bhushan [74] und Will-

ner [84] auf. Es wird im Folgenden”vereinfachtes plastisches Halbraummodell“ genannt

und zeichnet sich durch große Effizienz aus. Das zweite Modell basiert auf der Arbeit von

Jacq [38]. Es wird hier als”dreidimensionales plastisches Halbraummodell“ bezeichnet.

In diesem Modell wird die dreidimensionale plastische Deformation auf einer Volumen-

diskretisierung unter der Oberflache simuliert.

Kapitel 2 fuhrt in die Oberflachencharakterisierung ein und stellt mehrere Moglich-

keiten zur Beschreibung von Oberflacheneigenschaften vor. Diese werden in nachfol-

genden Kapiteln verwendet, um die Einglattung der Oberflachen im Kontakt zu be-

schreiben.

In Kapitel 3 werden die Grundlagen der Kontaktmechanik dargestellt. Fur den Nor-

malkontakt werden sowohl die Hertzsche Theorie fur den Normalkontakt elliptischer

Korper, als auch die statistischen Normalkontaktmodelle von Archard, Greenwood und

Williamson sowie Bush, Gibson und Thomas vorgestellt. Zudem werden die bedeu-

tendsten Reibmodelle der Umformtechnik dargestellt und ihre Eignung fur verschiedene

Flachenpressungen diskutiert. Anschließend wird der Einfluss von Schmierstoffen auf

1 EINLEITUNG 7

den Kontakt skizziert. Das dritte Kapitel schließt mit der Betrachtung der Auswirkun-

gen simultaner Normal- und Tangentiallasten (Junction growth) auf den Kontakt ab.

Kapitel 4 befasst sich mit den theoretischen Grundlagen des Halbraumkontaktmo-

dells. Anhand der Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik, den Navier-Gleichungen

und den Papkovich-Neuber-Potentialen werden die analytischen Losungen fur den

Normal- und Tangentialkontakt von Boussinesq und Cerruti hergeleitet.

Aufbauend auf den in Kapitel 4 abgehandelten theoretischen Grundlagen werden

in Kapitel 5 die Diskretisierung und die numerische Umsetzung des Kontaktmodells

beschrieben. Hierbei wird ausfuhrlich auf die effiziente Losung des Kontaktgleichungs-

systems eingegangen. Anschließend werden das vereinfachte plastische Halbraummodell

und die Modellierung hydrostatischer Drucke in Schmierstoffen, die in Schmiertaschen

eingeschlossen sind, dargestellt.

In Kapitel 6 wird die experimentelle Verifikation des vereinfachten Halbraummo-

dells behandelt. Die Abhangigkeit der Oberflachenharte von der Eindringtiefe wird mit-

tels einer Harteprufung untersucht. In einem Einglattungsversuch werden Oberflachen

durch einen harten ebenen Stempel eingeglattet. Versuchsergebnisse werden fur tro-

ckenen und beolten Kontakt mit Simulationen verglichen. Hierzu werden sowohl Rau-

heitskenngroßen, Materialanteilkurven (Abbott-Kurven) als auch Wahrscheinlichkeits-

verteilungen der Hohen gegenubergestellt.

Kapitel 7 behandelt das dreidimensionale plastische Halbraummodell und be-

ginnt mit einer Literaturubersicht. Neben dem Grundkonzept und dem Aufbau des

Modells werden die benotigten Einflussfunktionen fur elastische Spannungen unter

Flachenlasten, Eigenspannungen aufgrund plastischer Dehnungen und plastischer Ober-

flachendeformation aufgrund plastischer Dehnungen dargestellt. Zu allen Einflussfunk-

tionen werden Vergleiche der eigenen Implementierung mit Beispielen aus der Literatur

gezeigt. Kapitel 7 beinhaltet zudem Ausfuhrungen zur Berechnung der plastischen Deh-

nungen.

Ergebnisse von Kontaktsimulationen mit dem dreidimensionalen plastischen Halb-

raummodell werden in Kapitel 8 dargestellt. Anhand des Vergleichs von Ergebnissen

von Halbraumsimulationen und Finite-Elemente-Simulationen des Kontakts einer Kugel

mit einer Ebene wird das dreidimensionale plastische Halbraummodell verifiziert. Der

Einfluss der Verfestigung auf den Kontakt wird ebenfalls am Beispiel des Kugelkon-

takts diskutiert. Des Weiteren werden Ergebnisse von Simulationen des Kontakts rauer

Oberflachen dargestellt.

In Kapitel 9 wird aus Ergebnissen der Halbraumsimulation ein Reibgesetz abgeleitet

und die Implementierung des Reibgesetzes als User-Subroutine in die Finite-Elemente-

Software Simufact.forming vorgestellt. Das Reibgesetz modelliert einen kontinuierlichen

Ubergang vom Reibzahlmodell zum Reibfaktormodell. Zudem berucksichtigt es die

Oberflacheneinglattung aus vorherigen Lastschritten. In der Implementierung des Reib-

gesetzes in Simufact.forming geschieht dies mittels einer Oberflachenzustandsvariable,

die bei Neuvernetzung auf das neue Netz ubertragen wird. Die Auswirkungen des entwi-

ckelten Reibgesetzes werden anhand eines mehrstufigen Umformprozesses zur Herstel-

lung eines Napfes mit aufgedickter Zarge aus einem Blechhalbzeug dargestellt.

Kapitel 2

Oberflachencharakterisierung

Die Gestalt von Oberflachen hat einen großen Einfluss auf zahlreiche Prozesse und Pro-

dukteigenschaften. Neben dem Kontakt- und Reibungsverhalten sind unter anderem die

thermische und elektrische Leitfahigkeit, die Lackierbarkeit sowie die Optik und Hap-

tik von der Oberflachengestalt abhangig. Aufgrund der großen Bedeutung der Ober-

flachengestalt gibt es zahlreiche Bestrebungen sie zu charakterisieren und quantifizieren.

Die Klassifizierung von Oberflachenrauheiten teilt die Abweichungen der Oberflachen

von ihrer idealen Gestalt in Abhangigkeit vom Verhaltnis von Lange zu Tiefe der Ge-

staltabweichung in verschiedene Klassen ein. Rauheitskenngroßen beschreiben die Rau-

heit durch skalare Werte. Zur statistischen Beschreibung von Oberflachen dienen die

Materialanteilkurve und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Eine Erweiterung der

Materialanteilkurve um die Unterscheidung offener und geschlossener Leerflachen er-

folgt durch das mechanisch-rheologische Modell. Neben der Oberflachengestalt ist auch

der Schichtaufbau des Werkstoffs unter der Oberflachen von großer Bedeutung fur das

Kontaktverhalten. All diese Moglichkeiten zur Oberflachencharakterisierung werden im

Folgenden skizziert.

2.1 Klassifizierung von Oberflachenunregel-

maßigkeiten

Technische Oberflachen weisen auch bei sorgfaltigster Fertigung stets Abweichungen der

Istoberflache von der Solloberflache auf. Diese Gestaltabweichungen konnen mit bloßem

Auge sichtbar oder nur wenige Nanometer groß sein. Daher ist eine Klassifizierung der

Abweichungen nach ihrer Großenordnung sinnvoll. Die DIN-Norm 4760 [1] unterscheidet

sechs Grade von Gestaltabweichungen. Gestaltabweichungen 1. Ordnung sind Formab-

weichungen. Sie sind nur bei Betrachtung der gesamten Oberflache zu erkennen. Wel-

ligkeiten (Gestaltabweichungen 2. Ordnung) sind als uberwiegend periodische Abwei-

chungen definiert, die ein Verhaltnis von Lange zu Tiefe zwischen 1000 : 1 und 100 : 1

aufweisen. Zumeist sind Welligkeiten mehrerer Wellenlangen uberlagert. Rauheiten (Ge-

staltabweichungen 3. bis 5. Ordnung) sind regelmaßig oder unregelmaßig wiederkehren-

de Abweichungen, deren Verhaltnis von Lange zu Tiefe zwischen 100 : 1 und 5 : 1 liegt.

9

10 2.2 Rauheitskenngroßen

Gestaltabweichungen 6. Ordnung sind sehr kleinskalige Abweichungen, die durch den

Aufbau des Werkstoffs begrundet sind.

2.2 Rauheitskenngroßen

Eine Gruppe sehr wichtiger Rauheitskenngroßen sind die Profilkenngroßen nach

DIN EN ISO 4287 [4]. Zu ihrer Bestimmung wird das Rauheitsprofil z(x) entlang einer

linienformigen Messstrecke der Lange lr ausgewertet. Die Mittellinie des Rauheitsprofils

muss eben sein und ihr arithmetischer Mittelwert muss null sein. In der Praxis wer-

den keine kontinuierlichen Profile ausgewertet, sondern diskrete Hohendaten zi an N

aquidistant verteilten Messpunkten. Eine haufig verwendete Rauheitskenngroße ist der

arithmetische Mittenrauwert Ra

Ra =1

lr

∫ lr

0

|z(x)| dx ≈ 1

N

N∑

i=1

|zi| . (2.1)

DerRa-Wert ist relativ unempfindlich gegenuber Storungen und eignet sich daher gut zur

Untersuchung von Oberflachenveranderungen [77]. Mit einer einzigen Rauheitskenngroße

ist es nicht moglich die Hohenverteilung einer Oberflache eindeutig zu beschreiben. So

kann ein sehr spitzes Profil den gleichen Ra-Wert wie ein welliges Profil haben [82]. Zur

Unterscheidung spitzer und welliger Profile ist der quadratische Mittenrauwert Rq besser

geeignet

Rq = σs =

√

1

lr

∫ lr

0

z2(x) dx ≈

√√√√ 1

N

N∑

i=1

z2i . (2.2)

Der Rq-Wert entspricht der Standardabweichung der Hohenverteilung σs und somit

der Wurzel ihrer Varianz. Weitere Informationen uber die Hohenverteilung enthalten

die Kenngroßen Schiefe und Kurtosis. Die Schiefe Rsk beschreibt die Asymmetrie der

Hohenverteilung

Rsk =1

R3q

1

lr

∫ lr

0

z(x)3 dx ≈ 1

R3q

1

N

N∑

i=1

z3i . (2.3)

Oberflachen, deren Hohenverteilung einer Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ent-

spricht, haben eine Schiefe von Null. Auf ihnen treten Spitzen und Taler mit gleicher

Haufigkeit auf. Oberflachen mit schwach ausgepragten Talern und stark ausgepragten

Spitzen haben positive Schiefen. Verschlissene Oberflachen, deren Spitzen stark abgetra-

gen sind, haben negative Schiefen [41]. Die Kurtosis Rku beschreibt die Steilheit einer

Hohenverteilung

Rku =1

R4q

1

lr

∫ lr

0

z(x)4 dx ≈ 1

R4q

1

N

N∑

i=1

z4i . (2.4)

Eine normalverteilte Oberflache hat eine Kurtosis von drei. Oberflachen mit wenigen ho-

hen Spitzen und wenigen tiefen Talern haben eine Kurtosis kleiner drei. Eine Oberflache,

die sehr hohe Spitzen und sehr tiefe Taler aufweist hat eine Kurtosis großer drei.

2 OBERFLACHENCHARAKTERISIERUNG 11

Normgerechte Bestimmung von Rauheitskenngroßen

Rauheitskenngroßen unterliegen zahlreichen Einflussen und mussen daher gemaß klar

definierter Regeln bestimmt werden, um reproduzierbar und vergleichbar zu sein. Die

wesentlichen Einflussgroßen sind die Lange der Messstrecke, die Messauflosung und die

verwendeten Hoch- und Tiefpassfilter. Bei anisotropen Oberflachen ist in der Richtung

mit der großten Rauheit zu messen. Die Lange lr der Einzelmessstrecken ist in der

DIN EN ISO 4288-Norm [3] festgelegt. Weil die Lange der zu vermessenden Strecke

abhangig von der Rauheit ist (siehe Tabelle 2.1), kann es notwendig sein, die richtige

Messlange iterativ zu bestimmen. Ebenso verhalt es sich mit den Wellenlangen λc und λsder Tief- und Hochpassfilter, die in der DIN EN ISO-Norm 3274 [2] spezifiziert sind. Der

Tief- und der Hochpassfilter dienen dazu, Welligkeiten bzw. sehr kurzwellige Rauheiten

aus dem Rauheitsprofil herauszufiltern. Die Wellenlange λc des Tiefpassfilters entspricht

der Lange der Messstrecken lr. In der DIN EN ISO-Norm 3274 sind zudem der maximale

Radius der Messspitze rtip eines zur Rauheitsmessung verwendeten Tastschnittgerats

sowie der maximale Abstand ∆ x zwischen zwei Messpunkten spezifiziert.

Normgerechte Rauheitskenngroßen sind Mittelwerte aus funf Einzelmessungen. Vor

und nach der Messstrecke ist eine Vor- und Nachlaufstrecke der Lange lr/2 notwendig,

damit die Rauheitsfilter einschwingen konnen [77].

Ra in µm lr in mm λc in mm λs in µm rtip in µm ∆ x in µm

0,006 < Ra < 0,02 0,08 0,08 2,5 2 0,5

0,02 < Ra < 0,1 0,25 0,25 2,5 2 0,5

0,1 < Ra < 2 0,8 0,8 2,5 2 0,5

2 < Ra < 10 2,5 2,5 8 5 1,5

10 < Ra < 80 8 8 25 10 5

Tabelle 2.1: Parameter fur normgerechte Rauheitsmessungen

Flachenhafte Rauheitskenngroßen

Ahnlich wie an linienformigen Messprofilen konnen Rauheitskenngroßen auch an

flachigen Messdaten bestimmt werden. Anstatt der Bezeichnung”R“ tragen die flachigen

Großen die Bezeichnung”S“, also Sa anstatt Ra usw. Die Formeln zur Berechnung der

Kenngroßen entsprechen den Gleichungen (2.1) bis (2.4). Ihre normgerechte Bestimmung

ist in DIN EN ISO 25178 [5] geregelt.

2.3 Materialanteilkurve (Abbott-Kurve) und Wahr-

scheinlichkeitsdichtefunktion

Skalare Rauheitskenngroßen sind wichtige Werkzeuge zur Charakterisierung von Ober-

flachen, sie beschreiben die Hohenverteilung aber nicht eindeutig und sind wenig an-

schaulich. Die Materialanteilkurve (auch Abbott-Kurve oder Abbott-Firestone-Kurve ge-

12 2.3 Materialanteilkurve (Abbott-Kurve) und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

nannt) und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreiben die Verteilung der Ober-

flachenhohe praziser und anschaulicher. Zur Bestimmung der Materialanteilkurve wer-

den horizontale Schnitte durch die Oberflache gelegt und in den Schnitten der Anteil der

durchdrungenen Flache (gestrichelte Linie in Abb. 2.1 a) bestimmt. Bei isotropen Ober-

flachen kann die Materialanteilkurve, bei aquivalentem Ergebnis, an einem Profil anstatt

der gesamten Oberflache ermittelt werden [77]. Die Materialanteilkurve beschreibt, wie

groß der Anteil der realen Kontaktflache bei einer Durchdringung der Oberflache durch

eine ideal glatte Oberflache ist. Die Oberflachendeformation im Kontakt bleibt hierbei

unberucksichtigt. Der Materialanteil, auch realer Kontaktflachenanteil αreal genannt,

kann als Quotient aus realer Kontaktflache Areal und scheinbarer Kontaktflache (gesam-

te Kontaktflache) Ao dargestellt werden

αreal =Areal

Ao. (2.5)

Die relative Haufigkeit einer bestimmten Oberflachenhohe z wird durch die Wahr-

scheinlichkeitsdichtefunktion φ(z) beschrieben. Die Flache unter der Wahrscheinlich-

keitsdichte-Kurve ist eins∫

∞

−∞

φ(z) dz = 1 . (2.6)

Die Materialanteilkurve kann auch als Integral uber die Wahrscheinlichkeitsdichtefunk-

tion von z bis unendlich aufgefasst werden. Abb. 2.2 zeigt die Materialanteilkurven

und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen eines Bleches mit EDT-Oberflachenstruktur

(Electro Discharge Texturing) und einer Gaußschen Oberflache. Um Vergleichbarkeit

herzustellen, wurden die Standardabweichungen der Oberflachen angepasst. Die Wahr-

scheinlichkeitsdichtefunktion zeigt eine deutliche Abweichung der EDT-Oberflache von

der Gaußschen Oberflache fur z ≈ 2µm. In der Materialanteilkurve ist diese Abweichung

kaum erkennbar, weil im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion keine lokale

Wahrscheinlichkeit der Hohe z, sondern ein kumulativer Wert aufgetragen ist. Dieses

Beispiel zeigt zum einen, dass nicht jede Oberflache eine Gaußsche Hohenverteilung hat,

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

x

z

a)

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

z

b)

Abbildung 2.1: Hohenprofil mit Schnittlinie (a) und Materialanteilkurve (b)


0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

6

Materialanteil in %

zin

µm

EDT-OberflacheGaußsche Oberflache

a)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

z in µm

φ(z

)

EDT-OberflacheGaußsche Oberflache

b)

Abbildung 2.2: Materialanteilkurven (a) und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (b)

zum anderen verdeutlicht es die prazisere Darstellung der Oberflachengestalt durch die

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

2.4 Mechanisch-rheologisches Modell

Die Materialanteilkurve unterteilt die Kontaktflache in die reale Kontaktflache Areal

und die freie Kontaktflache. Sie eignet sich zur Beschreibung trockenen Kontakts. Zur

Charakterisierung des Oberflachenverhaltens im beolten Kontakt dient das mechanisch-

rheologische Modell. Analog zur Bestimmung des Materialanteils werden die Kontakt-

flachenanteile an horizontalen Schnitten durch die Oberflache bestimmt. Jedoch wird die

freie Kontaktflache zusatzlich in geschlossene Leerflachen Aclos und offene Leerflachen

Aopen unterteilt [68, 59, 60]

Ao = Areal + Aclos + Aopen . (2.7)

Aquivalent hierzu ist die Darstellung in Kontaktflachenanteilen

αreal + αclos + αopen = 1 . (2.8)

In Abb. 2.3 a ist exemplarisch die Aufteilung einer im Kontakt befindlichen Oberflache

in die einzelnen Kontaktflachen dargestellt. Offene Leerflachen, auch offene Schmierta-

schen genannt, haben eine Verbindung zum Rand des Kontaktgebiets. Folglich kann der

Schmierstoff aus offenen Leerflachen austreten. Druck- und Schubspannungen in offenen

Schmiertaschen sind von der Viskositat des Schmierstoffes und von der Relativgeschwin-

digkeit der Oberflachen in normaler und tangentialer Richtung abhangig. Geschlossene

Leerflachen, auch geschlossene Schmiertaschen genannt, haben keine Verbindung zum

Rand des Kontaktgebiets. Folglich kann der Schmierstoff nur sehr schwer entweichen

und es konnen sich große hydrostatische Drucke ausbilden.

Bei geringen Relativgeschwindigkeiten konnen die hydrodynamischen Spannungen

gegenuber den großen Spannungen in der realen Kontaktflache und den hohen hydro-

statischen Drucken in den geschlossenen Schmiertaschen vernachlassigt werden. Reib-

schubspannungen treten dann nur in Areal auf und die Flachenpressung wird in Areal

14 2.4 Mechanisch-rheologisches Modell

und Aclos ubertragen. Durch die Normalkraft in geschlossenen Schmiertaschen Fclos wird

die Normalkraft in der realen Kontaktflache Freal und folglich Areal verringert. Es gilt

F = Freal + Fclos . (2.9)

Somit reduziert der Schmierstoff in geschlossenen Schmiertaschen die Reibung, weil

er Anteile der Normalkraft F tragt, aber selbst keine nennenswerten Reibschubspan-

nungen ubertragt. Eine weitere aus dem mechanisch-rheologischen Modell abgeleitete

Große ist das Volumen der geschlossenen Schmiertaschen Vclos (Abb. 2.3 b). Es quan-

tifiziert die Fahigkeit einer Oberflache, Schmierstoffe aufzunehmen und wieder abzuge-

ben, wenn die Oberflache wahrend des Kontakts eingeglattet wird. Die stetige Abgabe

von Schmierstoff stellt die Ausbildung eines Mikroschmierfilms sicher. Dieser schutzt

die Oberflache vor Verschleiß und reduziert die Reibung. Als skalare Großen zur Ober-

flachencharakterisierung dienen der maximale Anteil der geschlossenen Schmiertaschen

αclos,max und ihr maximales Volumen Vclos,max. Sie eignen sich insbesondere zum Ver-

gleich von Oberflachen bezuglich ihrer Interaktion mit Schmierstoffen.

Die reibungsreduzierende Wirkung eines großen Anteils geschlossener Leerflachen

[59, 60] und eines großen Volumens geschlossener Schmiertaschen [60] konnte im Ring-

stauchversuch mit anschließender Torsion experimentell bestatigt werden. Auch im

Streifenziehversuch konnte eine verringerte Reibung bei großerem Anteil geschlossener

Schmiertaschen beobachtet werden [60].

Um reprasentative Ergebnisse bei der Bestimmung der Kontaktflachenanteile zu er-

zielen, muss eine ausreichend große Oberflache untersucht werden. Die Große der re-

prasentativen Oberflache ist abhangig von der Oberflachenstruktur und muss jeweils

anhand des konkreten Beispiels ermittelt werden. In Abb. 2.4 b sind die Kontakt-

flachenanteile eines Bleches mit EDT-Oberflachenstruktur in Abhangigkeit von der Kan-

tenlange L der Oberflache bei konstanter Durchdringung dargestellt. Die Veranderungen

der Flachenanteile sind ab einer Kantenlange von 2,5mm gering. Folglich kann von ei-

ner reprasentativen Oberflache ausgegangen werden, wenn ihre Kantenlange mindestens

2,5mm betragt.

0 2,5 5 7,5 100

25

50

75

100

uo in µm

αin

%

αrealαclosαopen

a)

0 2,5 5 7,5 100

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

uo in µm

Vclos

inml

m2

b)

Abbildung 2.3: Charakterisierung einer Beispieloberflache mittels des mechanisch-

rheologischen Modells in Kontaktflachenanteile (a) und eingeschlossenes Volumen (b)


Areal

Aclos

Aopen

a)

0 1 2 30

25

50

75

100

L in mm

αin

%

αrealαclosαopen

b)

Abbildung 2.4: Aufteilung der Kontaktflache in ihre Flachenanteile (a) und Flachen-

anteile in Abhangigkeit von der Kantenlange der Oberflache (b)

2.5 Schichtaufbau metallischer Oberflachen

Aufgrund von Fertigungs- und Umgebungseinflussen unterscheiden sich Oberflachen in

ihren mechanischen Eigenschaften maßgeblich vom Grundmaterial. Daher wird von in-

nen nach außen zwischen den drei Bereichen Grundmaterial, innere Grenzschicht und

außere Grenzschicht unterschieden [27]. Die innere Grenzschicht, auch Beilby-Schicht

genannt, hat die gleiche chemische Zusammensetzung wie das Grundmaterial, ist jedoch

durch spanende oder umformende Fertigungsverfahren plastisch deformiert und verfes-

tigt. Hier treten haufig Eigenspannungen auf. Die außere Grenzschicht besteht, von in-

nen nach außen, aus einer Oxidschicht und einer Adsorptionsschicht. In der Adsorptions-

schicht sind gasformige und flussige Stoffe aus dem Umgebungsmedium angereichert [27].

Die im Vergleich zum Grundmaterial veranderten mechanischen und chemischen Eigen-

schaften der Oberflachen beeinflussen das Kontakt- und Reibungsverhalten maßgeblich.

Kapitel 3

Kontaktmechanik

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Kontaktmechanik rekapituliert. Auf die

Beschreibung analytischer und statistischer Normalkontaktmodelle in Kap. 3.1 folgt in

Kap. 3.2 die Darstellung der wesentlichen Reibmodelle in der Umformtechnik. Die, von

der Relativgeschwindigkeit zwischen Werkzeug und Werkstuck abhangigen, Reibungs-

zustande werden in Kap. 3.3 erlautert.

3.1 Normalkontakt

3.1.1 Hertzscher Kontakt

Einen bedeutenden Beitrag zur Kontaktmechanik stellt die Hertzsche Kontakttheorie

dar [37, 39]. Heinrich Hertz beschaftigte sich mit optischer Interferenz und wollte die

elastische Deformation sich beruhrender Linsen bestimmen. Dabei fand er 1880 ana-

lytische Losungen fur die Flachenpressung und Oberflachendeformation im elastischen

nicht-konformen Kontakt elliptischer Korper. Nicht-konformer Kontakt bedeutet, dass

die Abmessungen der Kontaktflache sehr viel kleiner als die Abmessungen der Kon-

taktkorper und sehr viel kleiner als ihre Radien im Bereich der Kontaktflache sind. Die

Hertzsche Kontakttheorie setzt kleine Deformationen und Reibungsfreiheit voraus. Fur

den Radius der Kontaktflache a im Kontakt einer Kugel mit dem Radius R und einer

Ebene gilt

a =

(3FR

4E∗

)1/3

, (3.1)

wobei F die Kontaktnormalkraft ist. Fur den Kontakt zweier Kugeln der Radien R1 und

R2 gilt

1

R=

1

R1+

1

R2. (3.2)

Die Querkontraktionszahlen und Elastizitatsmoduln beider Kontaktpartner werden mit-

tels

1

E∗=

1− ν21E1

+1− ν22E2

(3.3)

17

18 3.1 Normalkontakt

berucksichtigt. Fur die elastische Deformation d im Zentrum des Kontakts und die

Flachenpressung po im Zentrum des Kontakts gelten

d =a2

R=

(9F 2

16RE∗2

)1/3

(3.4)

und

po =3F

2πa2=

(6FE∗2

π3R2

)1/3

. (3.5)

Die Gleichung

p = po

√

1−(r

a

)2

(3.6)

mit

r =√

x2 + y2 (3.7)

beschreibt die Flachenpressung im Kontaktgebiet (r ≤ a). Fur die Spannungen auf der

Oberflache in radialer, tangentialer und normaler Richtung gilt im Hertzschen Kontakt

innerhalb des Kontaktgebiets [39]

σrpo

=1− 2ν

3

a2

r2

1−(

1− r2

a2

)3/2

−(

1− r2

a2

)1/2

, (3.8)

σθpo

= −1 − 2ν

3

a2

r2

1−(

1− r2

a2

)3/2

− 2ν

(

1− r2

a2

)1/2

(3.9)

und

σzpo

= −(

1− r2

a2

)1/2

. (3.10)

Fur die Spannungen entlang der z-Achse (der Normalen zur Oberflache) gilt

σrpo

=σθpo

= −(1 + ν)

1− z

aarctan

(a

z

)

+1

2

(

1 +z2

a2

)−1

(3.11)

und

σzpo

= −(

1 +z2

a2

)−1

. (3.12)

Fur ν = 0,3 hat die Hauptschubspannung τ1 = 1/2 |σz − σθ| ihr Maximum

τ1max = 0,31 po (3.13)

auf der z-Achse in einer Tiefe von z = 0,57 a unter der Oberflache. Legt man die

Schubspannungshypothese von Tresca zugrunde, so kommt es bei einer Flachenpressung

3 KONTAKTMECHANIK 19

po von 1,61 mal der Fließgrenze σy erstmals zu plastischer Deformation. Bei konstan-

ter Flachenpressung auf einem kreisformigen Oberflachensegment und ν = 0,3 hat die

Hauptschubspannung ihr Maximum

τ1 max = 0,33 po (3.14)

auf der z-Achse in einer Tiefe von z = 0,64 a unter der Oberflache. In diesem Fall

kommt es ab einer Flachenpressung von p = 1,52 σy zu plastischer Deformation. Eine

ausfuhrliche Diskussion der Hertzschen Theorie und die Spannungen unter konstanter

Flachenlast sind in [39] zu finden. In Abb. 3.1 sind die Spannungen unter konstanter

Flachenlast bzw. Hertzscher Pressung auf der Oberflache und auf der z-Achse dargestellt.

1 0 1

0

−0,5

−1

Konstant Hertz

r/a

σ/p

σr/pσθ/pσz/p

a)

−1 −0,5 0 −0,5 −13

2

1

0Konstant Hertz

σ/p

z/a

σr/pσθ/pσz/p−τ1/p

b)

Abbildung 3.1: Spannungen auf der Oberflache (a) und entlang der z-Achse (b) unter

konstanter bzw. Hertzscher Flachenpressung

3.1.2 Normalkontakt rauer Oberflachen

Weil technische Oberflachen niemals vollkommen glatt sind, kommt es bei flachigen Kon-

takten immer zu einer Vielzahl an Kontaktstellen. Im Folgenden werden mit den Kon-

taktmodellen von Archard, Greenwood und Williamson sowie Bush, Gibson und Thomas

drei statistische Modelle fur den Kontakt rauer Oberflachen vorgestellt. Wie in Kapitel

3.2 erlautert wird, hat das Verhaltnis von realer Kontaktflache Areal zu Normalkraft F

eine große Bedeutung fur die Reibung, weshalb diese Beziehung hier besondere Beach-

tung findet. Allen hier vorgestellten statistischen Kontaktmodellen liegt die Betrachtung

der Einzelkontakte als Hertzsche Kontakte zugrunde.

Archard-Modell

Fur den Kontakt einer Oberflache mit vielen spharischen Rauheitsspitzen mit iden-

tischem Radius und gleichmaßig verteilten Hohen konnte Archard zeigen, dass

Areal ∝ F 4/5 gilt [9]. Wenn die spharischen Rauheitsspitzen (Radius R1) von klein-

skaligeren Rauheiten (Radius R2 ≪ R1) uberlagert werden gilt Areal ∝ F 14/15 [10].


Bei Uberlagerung mit weiteren Rauheitsspitzen noch kleinerer Großenordnung

(R3 ≪ R2 ≪ R1) ist die reale Kontaktflache nahezu proportional zur Kontaktnormal-

kraft (Areal ∝ F 44/45). Ist eine einzelne spharische Rauheitsspitze (R1) von spharischen

Rauheitsspitzen kleinerer Skala (R2 ≪ R1) uberlagert, dann gilt Areal ∝ F 8/9. Das

Verhaltnis andert sich zu Areal ∝ F 26/27, wenn weitere Rauheitsspitzen noch kleinerer

Skala hinzukommen (R3 ≪ R2 ≪ R1). Je mehr Großenskalen betrachtet werden, desto

mehr nahert sich das Verhaltnis zwischen realer Kontaktflache und Kontaktnormalkraft

einer linearen Beziehung an. Aus (3.1) folgt fur Hertzsche Kontakte Areal ∝ F 2/3. Bei

Oberflachen mit mehrskaliger Rauheit wachst mit der Flachenpressung nicht nur die

Große der bestehenden Kontaktflachen, sondern es bilden sich auch neue Kontaktstel-

len. Daher ist das Wachstum der realen Kontaktflache mit steigender Flachenpressung

bei rauen Oberflachen großer als bei Einzelkontakten.

Greenwood-Williamson-Modell

Ein weiteres Modell fur den elastischen Normalkontakt rauer Oberflachen wurde von

Greenwood und Williamson entwickelt [34]. Die Autoren betrachten eine Oberflache

mit spharischen Rauheiten normalverteilter Hohe und konstantem Radius R. Die Wahr-

scheinlichkeit einer Spitzenhohe z ≥ g wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

φ(z) beschrieben

prob(z ≥ g) =

∫∞

g

φ(z) dz . (3.15)

Die Anzahl der in Kontakt befindlichen Rauheitsspitzen n ist durch die Funktion φ(z)

und die Gesamtzahl der Rauheitsspitzen N gegeben

n = N

∫∞

g

φ(z) dz . (3.16)

Mit den Hertzschen Gleichungen fur den Kontakt eines einzelnen spharischen Korpers i

mit einer Ebene

Ai = π R di (3.17)

und

Fi =4

3

√RE∗ d

3

2

i (3.18)

konnen unter Verwendung von (3.16) die reale Kontaktflache Areal und die Kontakt-

normalkraft F in Abhangigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dargestellt

werden

Areal = π N R

∫∞

g

(z − g)φ(z) z (3.19)

und

F =4

3

√RE∗

∫∞

g

(z − g)3

2φ(z) dz . (3.20)


Durch die Normierung von z und g mit der Standardabweichung σs der Spitzenhohen

ergibt sich mit

s =z

σsund k =

g

σs(3.21)

eine normierte Hohenverteilung φ(s), deren Standardabweichung eins ist. Durch den

Parameter η wird die Anzahl der Rauheiten pro Flache beschrieben

η =N

Ao

. (3.22)

Es folgt fur die reale Kontaktflache und die mittlere Flachenpressung pmean

Areal = π η AoRσs

∫∞

k

(s− k)φ∗(s) ds (3.23)

und

pmean =4

3η√RE∗ σ

3

2

s

∫∞

k

(s− k)3

2 φ∗(s) ds . (3.24)

Fur eine vollstandige Normalverteilung der Rauheitsspitzen ist keine analytische Losung

bekannt. Weil das Greenwood-Williamson-Modell, wie auch das Archard-Modell, keine

Interaktion zwischen den Rauheitsspitzen berucksichtigt, ist das Modell nur fur klei-

ne Kontaktflachenanteile geeignet. Folglich ist es ausreichend, nur die Verteilung der

hochsten Rauheitsspitzen genau zu beschreiben. Dies gelingt mit der Exponentialfunk-

tion

φ∗(s) = e−s . (3.25)

Es folgt

Areal = π η R σsAo e−k (3.26)

und

pmean =√π η RσsE

∗

√σsRe−k . (3.27)

Fur das Verhaltnis aus realer Kontaktflache und Gesamtflache gilt

Areal

Ao=pmean

E∗

√

πR

δ. (3.28)

Somit existiert neben dem Archard-Modell ein weiteres elastisches Kontaktmodell, dass

eine lineare Beziehung zwischen Flachenpressung und realer Kontaktflache herstellt.

Neben dem Kontaktgesetz fuhren Greenwood und Williamson in [34] den Plasti-

zitatsindex ψ ein. Sie nutzen die Erkenntnis, dass plastische Deformation einsetzt, wenn

die Flachenpressung ca. dem 0,6-fachen der Oberflachenharte H entspricht [39, 72]


(vgl. (3.13)). Mit der Hertzschen Gleichung fur die Oberflachendeformation im Kon-

takt einer Kugel mit einer Ebene

d =(π

2

)2

p2oR

E∗2(3.29)

(vgl. (3.4) und (3.5)), gilt fur die Oberflachendeformation bei Einsetzen plastischer De-

formation

dplast = 0, 89H2 R

E∗2. (3.30)

Weil das Einsetzen plastischer Deformation schwer zu detektieren ist, runden Greenwood

und Williamson auf und erhalten

dplast = H2 R

E∗2. (3.31)

Analog zu (3.15) wird die Wahrscheinlichkeit fur plastischen Kontakt eingefuhrt

prob(z ≥ g + dplast) =

∫∞

g+dplast

φ(z) dz . (3.32)

Mit

d∗plast =dplastσs

(3.33)

gilt fur die plastische Kontaktflache

Aplast = π η R σsAo

∫∞

k+d∗plast

(s− k)φ∗(s) ds . (3.34)

Anhand einer Parameterstudie identifizieren Greenwood und Williamson den Plasti-

zitatsindex ψ als geeignete Große zur Beurteilung von Oberflachen bezuglich ihrer Nei-

gung zu plastischer Deformation

ψ =1

√d∗plast

=E∗

H

√σsR. (3.35)

Oberflachen mit ψ < 0,6 plastifizieren erst bei sehr großen Lasten merklich, wohingegen

bei ψ > 1 selbst bei sehr kleinen Lasten betrachtliche plastische Deformation auftritt.

Bush-Gibson-Thomas-Modell

Bush, Gibson und Thomas zeigen, dass raue Oberflachen durch Paraboloide besser ap-

proximiert werden als durch Spharen [23]. Sie nutzen das Zufallsprozess-Modell von Na-

yak [51] zur Beschreibung der Hohenverteilung. Aus der Hertzschen Kontakttheorie und

der statistischen Beschreibung der Oberflache ergeben sich folgende Beziehungen zwi-

schen dem normierten Abstand der Oberflache in Normalenrichtung γ und der realen

Kontaktflache sowie der Normalkraft

Areal(γ) =1

2√2 π γ

exp

(

−1

2γ2)

(3.36)


und

F (γ) = Ao p(γ) =E∗

2 π γ

√m2

2exp

(

−1

2γ2)

(3.37)

mit

γ =g

σs. (3.38)

Fur das zweite Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung m2 gilt mit der Standardab-

weichung σs und der Transitionslange der Oberflache xT [86]

m2 = 2

(σsxT

)2

. (3.39)

Die Transitionslange ist der Abstand zwischen zwei Oberflachenpunkten, bei dem der

Ubergang von fraktalem zu stationarem Oberflachenverhalten stattfindet [86]. Aus (3.36)

und (3.37) kann das Kontaktflachenverhaltnis bestimmt werden. Es gilt

Areal

Ao

=p

E∗

√π

m2

. (3.40)

Wie das Archard- und das Greenwood-Williamson-Modell stellt das Bush-Gibson-

Thomas-Modell einen linearen Zusammenhang zwischen der Flachenpressung und der

realen Kontaktflache her, berucksichtigt aber ebenfalls nicht die Interaktion von Rau-

heitsspitzen.

3.2 Tangentialkontakt und Reibung in der Umform-

technik

Die große Bedeutung der Reibung fur die Umformtechnik spiegelt sich in einer Viel-

zahl an Reibgesetzen unterschiedlicher Komplexitat wieder. Die einfachsten und ge-

brauchlichsten Reibgesetze sind das Reibzahl- und Reibfaktormodell.

3.2.1 Reibzahlmodell (Coulomb-Reibgesetz)

Das Reibzahlmodell, das zu Ehren des Physikers Charles Coulomb (1736-1806) sehr

haufig als Coulombsches Reibgesetz bezeichnet wird, ist das wohl bekannteste und in den

Ingenieurwissenschaften meistgenutzte Reibgesetz. Die dem Reibzahlmodell zugrunde

liegenden Erkenntnisse waren schon Leonardo da Vinci (1452-1519) bekannt [62]. Dies

sind die Proportionalitat zwischen Reib- und Normalkraft und die Unabhangigkeit der

Reibkraft von der Große der Kontaktflache. Die Reibschubspannung τr ist im Reibzahl-

modell das Produkt aus der Reibzahl µ und der Flachenpressung p

τr = µ · p . (3.41)

24 3.2 Tangentialkontakt und Reibung in der Umformtechnik

Die Reibschubspannung ist der Relativbewegung entgegengesetzt. Weil die Reibung im

Haftfall in der Regel deutlich großer ist als im Gleitfall wird haufig zwischen der Haft-

reibzahl µH und der Gleitreibzahl µG unterschieden.

Im Reibzahlmodell steigt die berechnete Reibschubspannung proportional zur

Flachenpressung an und kann die Schubfließgrenze des weicheren Kontaktpartners

ubersteigen. Daher ist das Reibzahlmodell nicht fur große Flachenpressungen geeignet.

3.2.2 Reibfaktormodell (Tresca-Reibgesetz)

Das Reibfaktormodell definiert eine maximal ubertragbare Reibschubspannung. Sie ist

von der Schubfließgrenze k des weicheren Kontaktpartners und dem Reibfaktor m

abhangig

τr = m · k . (3.42)

Fur die Proportionalitatskonstante m gilt 0 ≤ m ≤ 1. Sie dient zur Berucksichtigung

der im Vergleich zum Grundmaterial zumeist geringeren Schubfestigkeit der Oberflache,

beziehungsweise eines Schmierfilms oder Verunreinigungen der Kontaktzone. Die maxi-

male Reibkraft im Reibfaktormodell ist unabhangig von der Normalkraft, aber abhangig

von der Große der Kontaktflache. Bei Reibschubspannungen unterhalb von τr kommt

es im Reibfaktormodell zu keiner Relativverschiebung der Oberflachen. Bei geringen

Flachenpressungen fuhrt dies zu einer Uberschatzung der Reibung. Die Schubfließgren-

ze k hangt von der Fließgrenze σy des Werkstoffs und von der verwendeten Vergleichs-

spannungshypothese ab. Bei Verwendung der Tresca-Fließbedingung gilt

τr = m · σy2, (3.43)

bei Verwendung der von-Mises-Fließbedingung gilt

τr = m · σy√3. (3.44)

3.2.3 Bowden-Tabor-Modell

Coulomb sieht die Verzahnung von Mikrorauheiten als Ursache der Reibung an. In die-

ser Modellvorstellung ist die Reibkraft proportional zum Steigungswinkel der Rauheits-

flanken. Die wesentliche Schwache dieses Modells ist die Tatsache, dass exakt die glei-

che Energie, die notwendig ist eine Rauheitsspitze zu uberwinden, beim Abgleiten der

Ruckseite selbiger Rauheitsspitze wieder frei werden muss. Somit musste die Reibkraft

im Mittel gleich Null sein. Zudem konnte in Experimenten gezeigt werden, dass im Kon-

takt zweier sehr glatter Oberflachen sehr hohe Reibkoeffizienten auftreten konnen [22].

Bowden und Tabor sehen die Ursache der Reibung in Adhasionskraften zwischen in

direktem Kontakt stehenden Bereichen der Oberflache. Weil reale Oberflachen nie voll-

kommen eben sind, bilden sich Kontaktstellen bei moderaten Flachenpressungen nur

in den Rauheitsspitzen aus. Dort bilden die in direktem Kontakt stehenden Bereiche

die reale Kontaktflache Areal. Diese ist fur maßige Flachenpressungen kleiner als die


gesamte Oberflache Ao und nahert sich bei sehr großen Flachenpressungen Ao an. Das

Verhaltnis von realer zu scheinbarer Kontaktflache wird als realer Kontaktflachenanteil

αreal bezeichnet (vgl. Kap 2.3)

αreal =Areal

Ao, 0 ≤ αreal ≤ 1 . (3.45)

Im Bowden-Tabor-Modell ist die ubertragbare Reibschubspannung das Produkt aus rea-

lem Kontaktflachenanteil und der Schubfestigkeit der Oberflache τmax

τr = αreal · τmax . (3.46)

Das Bowden-Tabor-Modell kann als lokales Reibfaktormodell in der realen Kontaktflache

interpretiert werden

τr = αreal ·m · k . (3.47)

Wenn der Anteil der realen Kontaktflache linear von der Flachenpressung abhangig

ist, entspricht das Bowden-Tabor-Modell dem Reibzahlmodell. Fur elastische Kontakte

ist dies zum Beispiel im Archard-, Bush-Gibson-Thomas- und Greenwood-Williamson-

Modell der Fall (vgl. Kap. 3.1.2). Fur den elasto-plastischen Kontakt konnte Hencky in

analytischen Untersuchungen zeigen, dass die lokale Flachenpressung im Kontakt einer

einzelnen Rauheitsspitze das ca. 2,8-fache der Fließgrenze nicht ubersteigen kann [36].

Diese Erkenntnis wurde von Bowden und Tabor experimentell bestatigt [22]. Die kriti-

sche Flachenpressung wird als die Oberflachenharte H bezeichnet

H ≈ 2,8 σy . (3.48)

Im Fall rein plastischen Kontakts ist die reale Kontaktflache direkt proportional zur

Flachenpressung

αreal =p

H. (3.49)

Aus (3.47) und (3.49) folgt

τr =p ·m · kH

. (3.50)

Mit (3.50) gilt fur das Reibzahlmodell (3.41)

µ =m · kH

. (3.51)

Mit dem Bowden-Tabor-Modell der Adhasion in der realen Kontaktflache kann also so-

wohl das Reibzahlmodell fur niedrige Flachenpressungen, als auch das Reibfaktormodell

fur hohe Flachenpressungen erklart werden.


3.2.4 Kontaktwachstum (Junction growth)

Bei großen Reibzahlen bzw. Reibfaktoren kann die Oberflachenharte im Bowden-Tabor-

Modell nicht als unabhangig von der Reibschubspannung betrachtet werden [22, 73].

Durch die simultane Wirkung von Normal- und Tangentiallasten auf der Oberflache

setzt die Plastifizierung der Oberflache bei geringerer Flachenpressung ein, als bei rei-

ner Normalbelastung. Fur das akademische Beispiel des simultanen Normal- und Tan-

gentialkontakts eines Stabes mit einer Ebene gilt unter Verwendung der von-Mises-

Vergleichsspannung

σ2y = p2 + 3 τ 2r . (3.52)

Im Kontakt zweier rauer Oberflachen lautet die Beziehung allgemein [22]

γ σ2y = α p2 + β τ 2r . (3.53)

Mit H = 2,8 σy folgt

2,82 σ2y = p2 + β τ 2r . (3.54)

Weil es bei reiner Tangentialbelastung mit τmax zum plastischen Fließen kommen muss,

folgt mit τmax = σy/√3

β =2,82 σ2

y

τ 2max

= 23,5 . (3.55)

Fur die Oberflachenharte unter Normal- und Tangentiallast H∗(τ) gilt folglich

H∗(τr) =√

H2 − 23,5 τ 2r . (3.56)

Mit dem Reibfaktormodell (3.42) und τmax = σy/√3 gilt bei maximal moglicher Schub-

beanspruchung der Oberflache, also im Ubergang zum Gleiten, bzw. im Gleiten

H∗(m) = 2,8 σy√1−m2 . (3.57)

0 0,25 0,5 0,75 10

0,25

0,5

0,75

1

m

H∗/H

a)

0 0,1 0,2 0,3 0,40,9

0,925

0,95

0,975

1

m

H∗/H

b)

Abbildung 3.2: Abhangigkeit der Oberflachenharte vom Reibfaktor unter kombinierter

Normal- und Tangentiallast im Uberblick (a) und im Detail (b)


Diese Beziehung kann auch unter Verwendung der Tresca-Vergleichsspannungshypothese

hergeleitet werden. Die wahre Flachenpressung bei plastischer Deformation ist vom

tatsachlichen dreidimensionalen Spannungszustand abhangig, jedoch eignet sich (3.57)

gut zur Abschatzung der Oberflachenharte unter kombinierter Normal- und Tangenti-

allast. Je großer der Reibfaktor m ist, desto starker reduziert die Tangentialspannung

die Oberflachenharte H∗. Bei vollkommenem Haften der Oberflache ist H∗ gleich Null.

Bei m ≤ 0,2 betragt der Unterschied zwischen H und H∗ weniger als 2,5%, so dass

Kontaktwachstum keine Rolle spielt (vgl. Abb. 3.2).

3.2.5 Orowan-Reibgesetz

Das Reibzahlmodell eignet sich gut zur Reibmodellierung bei geringen

Flachenpressungen, aber es uberschatzt die Reibschubspannung bei großen Kon-

taktdrucken [58]. Das Reibfaktormodell hingegen eignet sich gut fur große

Flachenpressungen, aber es uberschatzt die Reibschubspannung bei kleinen Kon-

taktdrucken [58]. Daher fuhrt Orowan [55] den naheliegenden Ansatz ein, bei kleinen

Flachenpressungen das Reibzahlmodell und bei großen Flachenpressungen das Reibfak-

tormodell zu verwenden (vgl. Abb. 3.3 a)

τr =

µ · p fur p ≤ m · kµ

m · k fur p >m · kµ

. (3.58)

3.2.6 Shaw-Reibgesetz

Ein Nachteil des Orowan-Reibgesetzes ist der abrupte Ubergang vom Reibzahl- zum

Reibfaktormodell. Weil das Abgleiten der Oberflachen zunachst lokal in kleinen Berei-

chen beginnt, ist dies physikalisch nicht zu begrunden. Zudem wirkt sich der plotzliche

Wechsel des Reibmodells negativ auf die Stabilitat einer numerischen Implementierung

aus. Shaw [65, 66] lost dieses Problem durch einen kontinuierlichen Ubergang vom Reib-

zahlmodell im Bereich kleiner Flachenpressungen (Areal ≪ Ao) zum Reibfaktormodell

im Bereich großer Flachenpressungen (Areal ≈ Ao). Die Reibschubspannung im Shaw-

Reibgesetz kann mittels eines Tangens Hyperbolicus wie folgt dargestellt werden [28]

τr = k n

√

tanh(µ · p

k

)n

. (3.59)

Der Parameter n bestimmt das Verhalten des Reibgesetzes im Ubergangsbereich

(vgl. Abb. 3.3 b).

3.2.7 Wanheim-Bay-Reibgesetz

Das Wanheim-Bay-Reibgesetz basiert auf analytischen Untersuchungen des kombinier-

ten Normal- und Tangentialkontakts, die mit der Gleitlinientheorie durchgefuhrt wur-

den [14, 15, 81]. Experimentelle Untersuchungen konnten die analytischen Ergebnisse


τr = µ · p

τr = m · k

p

τ r

CoulombTrescaOrowan

a)

τr = µ · p

τr = m · k

p

τ r

Shaw, n = 4Shaw, n = 2Shaw, n = 1

b)

Abbildung 3.3: Coulomb-, Tresca- und Orowan-Reibgesetz (a) und Shaw-Reibgesetz (b)

bestatigen. Die von Wanheim und Bay gefunden Beziehungen zwischen Flachenpressung

und maximal ubertragbarer Reibschubspannung konnen nicht in geschlossener Form dar-

gestellt werden, jedoch prasentieren Petersen et al. [58] eine geeignete Naherungslosung.

Die ubertragbare Reibschubspannung τr ist das Produkt aus dem Reibfaktor des

Wanheim-Bay-Modells f , dem Anteil der realen Kontaktflache αreal und der Schub-

fließgrenze k des Werkstucks

τr = f · αreal · k . (3.60)

Das Produkt f · αreal kann im Bereich unterhalb bzw. oberhalb der Grenz-

flachenpressung p∗ dargestellt werden als

f ·αreal =τrk

=

τ ∗rk

·

p

σyp∗

σy

furp

σy≤ p∗

σy

τ ∗rk

+

(

f − τ ∗rk

)

·

1− exp

(p∗

σy− p

σy

)

· τ∗

r

k(

f − τ ∗rk

)

· p∗

σy

furp

σy>p∗

σy

(3.61)

mit

τ ∗rk

= 1−√

1− f (3.62)

und

p∗

σy=

1 +π

2+ arccos(f) +

√

1− f 2

√3 · (1 +

√1− f)

. (3.63)

In Abb. 3.4 ist das Wanheim-Bay-Reibgesetz fur mehrere Reibfaktoren f dargestellt.

Ebenso wie im Shaw-Reibgesetz findet fur f < 1 ein kontinuierlicher Ubergang vom

Reibzahl- zum Reibfaktormodell statt.


0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1f = 1

f = 0.8

f = 0.6

f = 0.4

f = 0.2

p/σy

τ r/k

Abbildung 3.4: Wanheim-Bay-Reibgesetz

3.2.8 IFUM-Modell

Ein weiteres, einen kontinuierlichen Ubergang von Reibzahl- zu Reibfaktormodell be-

schreibendes, Reibgesetz ist das IFUM-Modell [17]. Es wurde auf der Basis zahlreicher

experimenteller Untersuchungen entwickelt. Im Gegensatz zu den Reibgesetzen von Oro-

wan, Shaw und Wanheim-Bay wird im IFUM-Modell nicht nur die Flachenpressung,

sondern auch die Vergleichsspannung im Werkstuck σv zur Modellierung des Ubergangs

von Reibzahl- zu Reibfaktormodell herangezogen

τr =

0, 3 ·(

1− σvσy

)

· p︸︷︷︸

A1

+m · k · σvσy

·

1− exp

(

− p

σy

)

︸︷︷︸

A2

· exp[

−1

2

(vrelC

)2]

︸︷︷︸

A3

. (3.64)

Fur kleine Vergleichsspannungen (σv/σy ≈ 0) gilt das Reibzahlmodell mit der Reib-

zahl 0,3 (Term A1). Bei Vergleichsspannungen nahe der Fließgrenze (σv/σy ≈ 1) gilt das

Reibfaktormodell (Term A2). Durch den Term 1− exp (−p/σy) hangt der Reibfak-

toranteil zusatzlich von der Flachenpressung ab und die Reibschubspannung steigt mit

der Flachenpressung an. Somit nahert sich die Reibschubspannung aus dem Reibfakto-

ranteil erst bei sehr großen Flachenpressungen (p≫ σy) asymptotisch der maximalen

Reibschubspannung an (vgl. Abb. 3.5 b). Zur Berucksichtigung der Relativgeschwindig-

keit wird die Summe der Terme A1 und A2 mit einem dritten Term multipliziert, mit

dem eine Abnahme der Reibschubspannung mit der Relativgeschwindigkeit vrel model-

liert wird (vgl. Abb. 3.6).

Die Vergleichsspannung wird als zusatzliches Kriterium fur den Ubergang von

Reibzahl- zu Reibfaktormodell herangezogen, weil die Rauheitsspitzen mit zunehmender

Vergleichsspannung im Grundmaterial zunehmend plastifizieren [17]. Die Reibzahl 0,3

im Reibfaktoranteil scheint auf den ersten Blick relativ groß zu sein. Es ist allerdings

zu bedenken, dass die Vergleichsspannung auch von der Reibschubspannung abhangig

ist. Folglich wird die Reibzahl im IFUM-Modell stets mit einem Faktor kleiner eins

multipliziert (1− σv/σy).

30 3.3 Reibungszustande

00,25

0,50,75

1

01

230

0,25

0,5

0,75

1

σv/σyp/σy

τ r/σy

a)

00,25

0,50,75

1

01

230

0,25

0,5

0,75

1

σv/σyp/σy

τ r/(m

·k)

b)

Abbildung 3.5: Reibzahlanteil (Term A1) (a) und Reibfaktoranteil (Term A2) (b) im

IFUM-Modell

0 25 50 75 1000

0,25

0,5

0,75

1

vrel in mm/s

f(v

rel)

C = 30C = 10C = 5

Abbildung 3.6: Geschwindigkeitsfunktion (Term A3) im IFUM-Modell

3.3 Reibungszustande

Schmierstoffe trennen die Oberflachen der Kontaktpartner voneinander und vermindern

hierdurch Reibung und Verschleiß. In den auf den vorherigen Seiten beschriebenen Reib-

modellen ist der Einfluss von Schmierstoffen in den Reibzahlen bzw. Reibfaktoren zu

berucksichtigen.

Die Wirkung von Schmierstoffen ist stark von der Relativgeschwindigkeit vrelzwischen den Kontaktpartnern abhangig. Zur Beschreibung dieser Geschwindigkeits-

abhangigkeit dient die Stribeck-Kurve [27].

Die Stribeck-Kurve gibt die Reibung in Abhangigkeit der, durch Flachenpressung

und dynamischer Viskositat η normierten, Relativgeschwindigkeit an (siehe Abb. 3.7).

Festkorperreibung tritt auf, wenn sich das Grundmaterial der Kontaktpartner bei Haft-

reibung oder bei Gleitreibung mit kleiner Relativgeschwindigkeit in direktem Kontakt

befindet. Wenn die Oberflachen durch eine Adsorptionsschicht aus Schmierstoffmo-

lekulen bedeckt sind, liegt Grenz- oder Grenzschichtreibung vor. Die Relativbewegung

zwischen den Oberflachen erfolgt durch Scherung der nur wenige Molekuldurchmesser

starken Adsorptionsschicht. Aufgrund der, im Vergleich zum Grundmaterial, geringe-


η · vrelp

τ r

Gesamte ReibungGrenzreibungHydrodyn. Reibung

Abbildung 3.7: Stribeck-Kurve

ren Schubfestigkeit der Adsorptionsschicht ist die Reibung deutlich geringer als bei

Festkorperreibung.

Mit zunehmender Relativgeschwindigkeit kann der Schmierstoff nicht mehr aus al-

len, sich neu bildenden, Kontaktstellen verdrangt werden und es bilden sich lokal die

Oberflachen trennende Schmierfilme aus. Dieser Reibungszustand heißt Mischreibung

und ist durch eine Abnahme der Reibung mit wachsender Relativgeschwindigkeit ge-

kennzeichnet. Bei großen Relativgeschwindigkeiten werden die Oberflachen vollstandig

durch einen tragfahigen Schmierfilm getrennt. In diesem Fall liegt hydrodynamische

Reibung vor und die Reibung steigt mit zunehmender Relativgeschwindigkeit wieder an.

Die Abnahme des Grenzreibanteils mit zunehmender Geschwindigkeit kann durch eine

Exponentialfunktion folgender Form beschrieben werden

τ grenzr = C1 exp

[

−C2

(vrelC3

)C4

]

. (3.65)

Eine abklingende Exponentialfunktion dieser Art wird beispielsweise im IFUM-Modell

verwendet (vgl. (3.64)).

Der Schmierstoff in den offenen und geschlossenen Schmiertaschen kann uberschlagig

als inkompressibles Newtonsches Fluid zwischen ebenen, glatten Platten modelliert wer-

den. Fur die hydrodynamische Schubspannung zwischen den Platten gilt dann mit der

dynamischen Viskositat η und dem Abstand der Platten d [29]

τ fluidr =η · vreld

. (3.66)

Die Hohe des Schmierspalts d ist aufgrund der Oberflachenrauheit sehr inhomogen. Je

kleiner das Verhaltnis zwischen der Hohe des Schmierspalts und der Hohe der Rau-

heitsspitzen ist, desto großer ist der Einfluss der Rauheit auf die hydrodynamische Rei-

bung [56]. Bei Mischreibung ist der Schmierfilm lokal durch Kontaktstellen unterbrochen,

wodurch die Stromung noch starker behindert wird. Eine Moglichkeit zur Modellierung

des Schmierfilms zwischen rauen Oberflachen ist die stromungsmechanische Berechnung

mit gemittelten Reynoldsgleichungen nach Patir und Cheng [56, 57].

32 3.3 Reibungszustande

Generell kann die Reibschubspannung in der Mischreibung als Summe der Grenzrei-

bung in der realen Kontaktflache und der hydrodynamischen Reibung in den Schmier-

taschen modelliert werden

τr = αreal · τ grenzr + (1− αreal) · τ fluidr . (3.67)

Beschrankt man sich auf eine uberschlagige Berechnung der Schubspannung im Schmier-

spalt gemaß (3.66), so kann die Reibschubspannung in der Mischreibung mit (3.47),

(3.65) und (3.67) wie folgt bestimmt werden

τr = αreal ·m · k · C1 exp

[

−C2

(vrelC3

)C4

]

+ (1− αreal) ·η · vreld

. (3.68)

Kapitel 4

Halbraumkontaktmodell

Da Halbraummodelle im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode in sehr wenigen An-

wendungen zum Einsatz kommen, sind Halbraummodelle relativ unbekannt. Daher be-

ginnt dieses Kapitel mit einer ausfuhrlichen Herleitung der theoretischen Grundlagen des

Halbraummodells, bevor in Kap. 4.2 auf die Kontaktmodellierung im Halbraummodell

eingegangen wird.

4.1 Grundlagen des linear elastischen Halbraummo-

dells

Halbraume sind durch eine Ebene begrenzte halbunendliche Raume. Wahrend ihre Aus-

dehnung in der begrenzenden Ebene unendlich ist (x- und y-Koordinate in Abb. 4.1),

sind sie in der dritten Raumrichtung einseitig begrenzt.

x

z

y

Abbildung 4.1: Halbraum

Das Halbraummodell ist ein lineares Kontaktmodell. Es basiert auf den analytischen

Losungen von Boussinesq [20] und Cerruti [24] fur Normal- bzw. Tangentialkontakt.

33

34 4.1 Grundlagen des linear elastischen Halbraummodells

4.1.1 Grundgleichungen der linearen Elastizitat

Die Grundgleichungen der linearen Elastizitat sind die Gleichgewichtsbedingung

σij,j + fi = 0 , (4.1)

die Verzerrungs-Verschiebungs-Relation

εij =1

2(ui,j + uj,i) (4.2)

und das Hookesche Stoffgesetz

σij = λ δij εkk + 2µ εij . (4.3)

Die in den Grundgleichungen verwendeten Großen sind die Spannungen σij , die Volu-

menkrafte fi, die Dehnungen εij , die Verschiebungen uij, das Kronecker-Delta δij sowie

die Lame-Konstanten λ und µ. Das Kronecker-Delta ist definiert als

δij =

1 fur i = j

0 fur i 6= j. (4.4)

Die Lame-Konstanten λ und µ eignen sich haufig zur kompakten Darstellung kontinu-

umsmechanischer Zusammenhange. Sie konnen durch die Querkontraktionszahl ν und

den Elastizitatsmodul E wie folgt ausgedruckt werden

λ =ν E

(1 + ν)(1− 2ν)(4.5)

und

µ =E

2(1 + ν). (4.6)

Die Lame-Konstante µ entspricht dem Schubmodul G. Einsetzen der Verzerrungs-

Verschiebungs-Relation (4.2) in das Hookesche Gesetz (4.3)

σij = λ δij uk,k + µ (ui,j + uj,i) , (4.7)

anschließende Differentiation

σij,j = λuk,ki + µ (ui,jj + uj,ij) , (4.8)

Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung (4.1)

λ uk,ki + µ (ui,jj + uj,ij) + fi = 0 (4.9)

und Umsortieren der Terme fuhrt zu den Navier-Gleichungen

µ ui,jj + (λ+ µ) uj,ij + fi = 0 . (4.10)

4 HALBRAUMKONTAKTMODELL 35

Wenn keine Volumenkrafte fi vorhanden sind, vereinfachen sich die Navier-Gleichungen

zu

µ ui,jj + (λ+ µ) uj,ij = 0 . (4.11)

In Tensorschreibweise konnen die Navier-Gleichungen wie folgt dargestellt werden

µ div gradu+ (λ+ µ) grad divu+ f = 0 , (4.12)

beziehungsweise wenn keine Volumenkrafte angreifen

div gradu+λ+ µ

µgrad divu = 0 . (4.13)

4.1.2 Galerkin-Vektor

Als Losung der Navier-Gleichungen fuhrt Galerkin den allgemeinen Losungsansatz

2µ ui = k F ∗

i,jj − F ∗

j,ji (4.14)

ein [13, 31, 35]. Mit

2µ ui,jj = k F ∗

i,jjkk − F ∗

j,ijkk (4.15)

und

2µ uj,ij = k F ∗

j,kkij − F ∗

k,kjij (4.16)

folgt fur die Navier-Gleichungen (4.10)

k F ∗

i,jjkk − F ∗

j,ijkk +1

1− 2 ν

(k F ∗

j,kkij − F ∗

k,kjij

)+ 2 fi

= k F ∗

i,jjkk +

(k − 1

1− 2 ν− 1

)

F ∗

j,ijkk + 2 fi = 0 .(4.17)

Dieser Ausdruck vereinfacht sich mit k = 2 (1− ν) zu

(1− ν)F ∗

i,jjkk + fi = 0 . (4.18)

Folglich sind die Grundgleichungen der Elastizitat erfullt, wenn gilt

F ∗

i,jjkk = − fi1− ν

, (4.19)

beziehungsweise wenn keine Volumenkrafte vorhanden sind

F ∗

i,jjkk = 0 . (4.20)

Der Vektor F ∗ heißt Galerkin-Vektor. Er wird zur Bestimmung der Eigenspannungen

im Halbraum in Kap. 7.4 benotigt.


4.1.3 Papkovich-Neuber-Potentiale

Die Papkovich-Neuber-Potentiale stellen die Verschiebungen als Kombination eines ska-

laren und eines vektoriellen harmonischen Potentials dar. Sie wurden unabhangig von-

einander von Petr Fedorovich Papkovich und Heinz Neuber erarbeitet. Die folgende

Herleitung der Papkovich-Neuber-Potentiale lehnt sich an [16] und [35] an.

Ausgehend von der Helmholtz-Zerlegung des Verschiebungsfeldes

u = gradΦ + rotΨ (4.21)

wird unter Berucksichtigung der Identitat

div rotΨ = 0 (4.22)

die Divergenz des Verschiebungsfeldes bestimmt

divu = div gradΦ + div rotΨ = div gradΦ . (4.23)

Einsetzen in die Navier-Gleichungen (4.13) fuhrt zu

div gradu+λ+ µ

µgrad div gradΦ = 0 . (4.24)

Mit der Identitat

grad div gradΦ = div grad gradΦ (4.25)

folgt die Laplace-Gleichung

div grad

(

u+λ+ µ

µgradΦ

)

= 0 . (4.26)

Weil jede harmonische Funktion die Laplace-Gleichung erfullt, gilt mit div grad ψ = 0:

u+λ+ µ

µgradΦ = ψ . (4.27)

Das Verschiebungsfeld u kann nun folgendermaßen dargestellt werden

u = ψ − λ+ µ

µgradΦ . (4.28)

Mit (4.23) folgt

div gradΦ = div ψ − λ+ µ

µdiv gradΦ . (4.29)

Da ψ harmonisch ist, gilt

div grad(

r · ψ)

= 2div ψ , (4.30)


wobei r = (x1, x2, x3)T der Ortsvektor ist. Mit dieser Identitat kann (4.29) umformuliert

werden zu

2µ+ λ

µdiv gradΦ =

1

2div grad

(

r · ψ)

. (4.31)

Mit dem harmonischen skalaren Potential ϕ folgt hieraus die allgemeine Losung fur Φ

Φ =µ

2(2µ+ λ)

(

ϕ+ r · ψ)

. (4.32)

Durch Einsetzen von Φ in (4.28), ergibt sich das Verschiebungsfeld u, ausgedruckt durch

ein skalares harmonisches Potential ϕ und ein vektorielles harmonisches Potential ψ

u = ψ − 1

4(1− ν)grad

(

ϕ+ r · ψ)

. (4.33)

ϕ und ψ sind die sogenannten Papkovich-Neuber-Potentiale. Die Verzerrungs-

Verschiebungs-Relation (4.2) lautet in symbolischer Darstellung

ε =1

2

[

gradu+ (gradu)T]

. (4.34)

Durch Einsetzen von (4.33) in (4.34) folgt der Dehnungstensor ausgedruckt in Papkovich-

Neuber-Potentialen

ε =1

2

[

grad ψ +(

grad ψ)T]

− 1

4(1− ν)

[

grad grad(

ϕ+ r · ψ)]

. (4.35)

Die Berechnung des Dehnungstensors ist im Anhang A.2.1 zu finden. Das Hookesche

Stoffgesetz (4.3) lautet in symbolischer Darstellung

σ = λ δ spur ε+ 2µ ε . (4.36)

Um die Spannungen in Papkovich-Neuber-Potentialen auszudrucken, wird die Spur des

Dehnungstensors benotigt

spur ε =1− 2ν

2(1− ν)div ψ . (4.37)

Die Berechnung von (4.37) ist ebenfalls im Anhang A.2.1 aufgefuhrt. Mit (4.37) gilt fur

den Spannungstensor ausgedruckt in Papkovich-Neuber-Potentialen

σ =νE

2(1− ν2)div ψ δ +

E

2(1 + ν)

[

grad ψ +(

grad ψ)T]

− E

4(1− ν2)grad grad

(

ϕ+ r · ψ)

.

(4.38)


4.1.4 Boussinesq-Potentiale

Die Papkovich-Neuber-Potentiale sind ein allgemeiner Ansatz fur elastische Proble-

me, der jedoch fur viele Anwendungsfalle unhandlich ist. Einige Spezialfalle konnen

durch Linearkombination mehrerer Potentiale gelost werden. Einer dieser Spezialfalle

ist die sogenannte Boussinesq-Losung fur Einzelkrafte in Normalenrichtung auf der

Halbraumoberflache. Diese Losung wurde im 19. Jahrhundert, also schon vor der

Entwicklung der Papkovich-Neuber-Potentiale, von Joseph Valentin Boussinesq ent-

wickelt [20]. Ausfuhrliche Darstellungen der Boussinesq-Potentiale finden sich in [13]

und [33]. Zunachst werden die einzelnen Potentiale aufgelistet, bevor in Kapitel 4.1.5

und 4.1.6 die Boussinesq- und Cerruti-Losung durch Kombination der Potentiale kon-

struiert werden.

Potential A

Es gilt

ψ = 0 (4.39)

und

ϕ = −2(1− ν)

µϕ . (4.40)

Einsetzen der Potentiale ψ und ϕ in (4.33) und (4.38) fuhrt zu

2µ ui = ϕ,i (4.41)

und

σij = ϕ,ij . (4.42)

Potential B

Hier gilt

ψ = −2(1− ν)

µ

ψ

0

0

(4.43)

und

ϕ = 0 . (4.44)


2µ uij =

(4ν − 3)ψ + x1 ψ,1

x1 ψ,2

x1 ψ,3

(4.45)


und

σij =

(2ν − 2)ψ,1 + x1 ψ,11 (2ν − 1)ψ,2 + x1 ψ,12 (2ν − 1)ψ,3 + x1 ψ,13

−2ν ψ,1 + x1 ψ,22 x1 ψ,23

sym. −2ν ψ,1 + x1 ψ,33

. (4.46)

Die Berechnung des Spannungstensors fur das Potential B ist im Anhang A.2.2 zu fin-

den. Die Boussinesq-Potentiale C und D entsprechen dem Potential B mit permutierten

Indizes und sind, der Vollstandigkeit halber, ebenfalls im Anhang aufgelistet.

Potential E

Es gilt

ψ =1

µrot

φ

0

0

(4.47)

und

ϕ = −r · ψ . (4.48)


2µ uij = 2

0

φ,3

−φ,2

(4.49)

und

σij =

0 φ,13 −φ,12

φ,13 2φ,23 −φ,22 + φ,33

−φ,12 −φ,22 + φ,33 −2φ,23

. (4.50)

Die Berechnung des Verschiebungsfeldes und des Spannungstensors fur das Boussinesq-

Potential E ist im Anhang A.2.2 zu finden. Die Boussinesq-Potentiale F und G entspre-

chen dem Potential E mit permutierten Indizes und sind, der Vollstandigkeit halber,

ebenfalls im Anhang aufgelistet.

4.1.5 Boussinesq-Losung fur normale Einzelkrafte

Durch geeignete Kombination von Potentialfunktionen kann eine Losung fur das Problem

einer normalen Einzelkraft auf der Halbraumoberflache entwickelt werden. Die Losung

muss das Kraftegleichgewicht auf der Oberflache und im Halbraum erfullen. Weil die

Halbraumoberflache nur durch die Normalkraft im Koordinatenursprung belastet ist,

muss gelten

σ33(x, y, 0) = −Fz δ(x, y) , (4.51)


σ23(x, y, 0) = 0 (4.52)

und

σ31(x, y, 0) = 0 . (4.53)

δ(x, y) ist die Dirac-Distribution

δ(x, y) =

1 fur x = y = 0

0 sonst. (4.54)

Diese Bedingungen konnen durch geeignete Kombinationen der Boussinesq-Potentiale A

und D mit ϕ,3 = (1− 2ν)ψ erfullt werden

σ11 = − 2ν

1 − 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,113 + ϕ,11 (4.55)

σ22 = − 2ν

1 − 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,223 + ϕ,22 (4.56)

σ33 = − 1

1 − 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,333 (4.57)

σ12 =z

1− 2νϕ,123 + ϕ,12 (4.58)

σ23 =z

1− 2νϕ,233 (4.59)

σ31 =z

1− 2νϕ,133 . (4.60)

Somit werden die Randbedingungen σ23 = 0 und σ31 = 0 fur z = 0 direkt erfullt. Die

Potentialfunktion ϕ ist so zu wahlen, dass auch die ubrigen Randbedingungen erfullt

werden. Um das Kraftegleichgewicht im Halbraum zu erfullen, mussen alle Spannungs-

komponenten mit R−2 abfallen. So ist das Integral uber die Spannungen auf einer Halb-

kugeloberflache um den Ursprung unabhangig vom Radius R =√

x2 + y2 + z2 um den

Ursprung. Die Spannungskomponenten werden durch zweifache Differentiation von ϕ

und dreifache Differentiation von ϕ mit anschließender Multiplikation mit z gewonnen.

Daher muss ϕ die Dimension Eins haben (R0). Zudem muss die Potentialfunktion im

Ursprung singular und fur z > 0 harmonisch und stetig sein. Wahlt man

ψ =1

1− 2ν

1

R, (4.61)

so folgt mit

ϕ =

∫1

Rdz = log (R + z) (4.62)

eine Potentialfunktion, die alle geforderten Bedingungen mit Ausnahme des

Kraftegleichgewichts in z-Richtung (4.51) erfullt. Es folgt

σ33 = − 1

1 − 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,333 =

1

1− 2ν

3 z3

R5. (4.63)


Fur das Kraftegleichgewicht in z-Richtung folgt mit r =√

x2 + y2

Fz = − 2 π

1− 2ν

∫∞

0

r3 z3

R5dr = − 2 π

1 − 2ν

∫∞

0

r3 z3

(r2 + z2)5

2

dr

= − 2 π

1− 2ν

[

− z3

(r2 + z2)3

2

]∞

0

= − 2 π

1− 2ν.

(4.64)

Somit kann das Verschiebungs- und Spannungsfeld in Folge einer Einzelkraft Fz auf die

Halbraumoberflache in z-Richtung durch das folgende Potential beschrieben werden

ϕ = −Fz (1− 2ν)

2 πlog (R + z) . (4.65)

Damit ist auch die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung erfullt. Fur die Spannungen

im Halbraum aufgrund einer normalen Einzellast gilt folglich

σ11 = − Fz

2 π

[3 x2 z

R5− (1− 2ν)

(z

R3+

x2

R3 (R + z)− 1

R (R + z)+

x2

R2 (R + z)2

)]

(4.66)

σ22 = − Fz

2 π

[3 y2 z

R5− (1− 2ν)

(z

R3+

y2

R3 (R + z)− 1

R (R + z)+

y2

R2 (R + z)2

)]

(4.67)

σ33 = − Fz

2 π

3 z3

R5(4.68)

σ12 = − Fz

2 π

[3 x y z

R5− (1− 2ν)

(x y

R3 (R + z)+

x y

R2 (R + z)2

)]

(4.69)

σ23 = − Fz

2 π

3 y z2

R5(4.70)

σ31 = − Fz

2 π

3 x z2

R5. (4.71)

Fur die Verschiebungen folgt

ux =Fz

4µ π

[x z

R3− (1− 2ν)

x

R (R + z)

]

(4.72)

uy =Fz

4µ π

[y z

R3− (1− 2ν)

y

R (R + z)

]

(4.73)

uz =Fz

4µ π

[z2

R3+ 2(1− ν)

1

R

]

. (4.74)

Alle benotigten Ableitungen von ϕ und die Berechnung der Spannungen und Verschie-

bungen unter normalen Einzellasten sind im Anhang A.2.3 zu finden.


4.1.6 Cerruti-Losung fur tangentiale Einzelkrafte

Fur das Cerruti-Problem einer tangentialen Einzellast auf der Halbraumoberflache lau-

ten die Randbedingungen auf der Oberflache

σ33(x, y, 0) = 0 (4.75)

σ23(x, y, 0) = 0 (4.76)

σ31(x, y, 0) = −Fx δ(x, y) . (4.77)

Diese Bedingungen konnen durch geeignete Kombination der Potentiale A, D und G mit

ϕ,3 = 2 (1− ν)ψ erfullt werden

σ11 = ϕ,11 −ν

1− νϕ,33 +

z

2 (1− ν)ϕ,113 + 2φ,12 (4.78)

σ22 = ϕ,22 −ν

1− νϕ,33 +

z

2 (1− ν)ϕ,223 − 2φ,12 (4.79)

σ33 = ϕ,33 − ϕ,33 +z

2 (1− ν)ϕ,333 =

z

2 (1− ν)ϕ,333 (4.80)

σ12 = ϕ,12 +z

2 (1− ν)ϕ,123 − φ,11 + φ,22 (4.81)

σ23 =1

2 (1− ν)ϕ,23 +

z

2 (1− ν)ϕ,233 − φ,13 (4.82)

σ31 =1

2 (1− ν)ϕ,13 +

z

2 (1− ν)ϕ,133 + φ,23 . (4.83)

Aus σ23(x, y, 0) = 0 fur z = 0 folgt

φ,13 =1

2 (1− ν)ϕ,23 . (4.84)

Fur die weitere Herleitung wird das Potential θ eingefuhrt. Es gilt

ϕ = 2 (1− ν) θ,1 , ψ = θ,13 und φ = θ,2 . (4.85)

Fur die Spannungskomponenten folgt

σ11 = 2 (1− ν) θ,111 − 2ν θ,133 + z θ,1113 + 2θ,122 (4.86)

σ22 = −2ν θ,122 − 2ν θ,133 + z θ,1223 (4.87)

σ33 = z θ,1333 (4.88)

σ12 = (1− 2ν) θ,112 + z θ,1123 + θ,222 (4.89)

σ23 = z θ,1233 (4.90)

σ31 = θ,113 + z θ,1133 + θ,223 . (4.91)


Weil die Oberflache nur durch die Kraft Fx belastet wird, mussen σ23 und σ33 fur z = 0

gleich Null sein. Alle notwendigen Ableitungen von θ sind im Anhang A.2.4 zu finden.

Hier ist auch die Berechnung von σ31 zu finden. Das Ergebnis lautet

σ31 =3 x2 z

R5.

Analog zur Einzellast in Normalenrichtung mussen die Spannungen mit R−2 abfallen,

um das Kraftegleichgewicht zu erfullen. Wir wahlen daher

θ,33 =1

R. (4.92)

Zweimalige Integration fuhrt zu

θ = z log(R + z)− R . (4.93)

Durch Integration der Schubspannung σ31 uber eine beliebige Ebene z = const. kann

das Potential θ an die Randbedingung (4.77) angepasst werden [35]

Fx = −∫

∞

0

∫ 2π

0

3 x2 z

R5r dα dr = −

∫∞

0

∫ 2π

0

3 sin(α)2 r3 z

(r2 + z2)5

2

dα dr

= −∫

∞

0

[

3[−1

2sin(α) cos(α) + 1

2α]r3 z

(r2 + z2)5

2

]2π

0

dr = −3 z

∫∞

0

r3 π

(r2 + z2)5

2

dr

= −3 z π

[

−1

3

2 z2 + 3 r2

(r2 + z2)3

2

]∞

0

= z π

[

2 z2 + 3 r2

(r2 + z2)3

2

]∞

0

= 0− z π2 z2

z3= −2 π .

(4.94)

Fur das Potential θ folgt

θ = −Fx

2 π

[

z log(R + z)− R]

. (4.95)

Fur die Spannungen im Halbraum aufgrund einer tangentialen Einzellast gilt somit

σ11 = −Fx

2 π

[3 x3

R5− (1− 2ν)

(x

R3− 3 x

R (R + z)2+

x3

R3 (R + z)2+

2 x3

R2 (R + z)3

)]

(4.96)

σ22 = −Fx

2 π

[3 x y2

R5− (1− 2ν)

(x

R3− x

R (R + z)2+

x y2

R3 (R + z)2+

2 x y2

R2 (R + z)3

)]

(4.97)

σ33 = −Fx

2 π

3 x z2

R5(4.98)

σ12 = −Fx

2 π

[3 x2 y

R5− (1− 2ν)

(

− y

R (R + z)2+

x2 y

R3 (R + z)2+

2 x2 y

R2 (R + z)3

)]

(4.99)

σ23 = −Fx

2 π

3 x y z

R5(4.100)


σ31 = −Fx

2 π

3 x2 z

R5. (4.101)

Fur die Verschiebungen folgt

u1 =Fx

4µ π

[1

R+x2

R3+ (1− 2ν)

(1

R + z− x2

R (R + z)2

)]

(4.102)

u2 =Fx

4µ π

[x y

R3− (1− 2ν)

x y

R (R + z)2

]

(4.103)

u3 =Fx

4µ π

[x z

R3+ (1− 2ν)

x

R (R + z)

]

. (4.104)

4.1.7 Einflussfunktionen fur die Oberflachendeformation auf-

grund von Flachenlasten

Anhand der in den vorherigen Unterkapiteln dargestellten Einflussfunktionen fur Ver-

schiebungen der Halbraumoberflache durch normale und tangentiale Punktlasten kann

eine Modellierung des Kontakts rauer Oberflachen vorgenommen werden, indem der

tatsachliche Kontaktzustand als Superposition von Punktlasten approximiert wird.

Eine verbesserte Modellierung wird durch die Betrachtung von Flachenlasten an-

statt von Punktlasten erzielt. Hierzu ist die Oberflache des Kontaktkorpers in recht-

eckige Oberflachensegmente zu diskretisieren und die Einflussfunktionen sind uber diese

Flachensegmente zu integrieren (vgl. Abb. 4.2 a). Fur eine elastische und vereinfach-

te plastische Modellierung des Kontakts sind nur die Einflussfunktionen fur die Ober-

flachenverschiebungen erforderlich. Die Berechnung der Spannungen im Halbraum wird

fur das dreidimensionale plastische Halbraummodell benotigt. Die Einflussfunktionen

fur Spannungen auf Grund von Flachenlasten werden daher im entsprechenden Kapitel

(Kap. 7.3) hergeleitet und dargestellt.

Die Gleichung fur die Verschiebungen aufgrund von Einzelkrafte in Normalen-

richtung (4.74) vereinfacht sich fur Oberflachenpunkte (z = 0) zu

uz =1− ν2

π E

Fz

R. (4.105)

Durch Integration von (4.105) uber ein Oberflachensegment kann die Einflussfunkti-

on Kzz fur die Verschiebung eines auf der Oberflache befindlichen Punktes in Norma-

lenrichtung bestimmt werden. Diese Einflussfunktion fur konstante Flachenlasten p auf


rechteckige Oberflachensegmente wurde zum ersten Mal von Love [45] veroffentlicht

Kzz =1− ν2

π E

∫ b

−b

∫ a

−a

1√

(x− ξ)2 + (y − η)2d ξ d η

=1− ν2

π E

[

(x+ a) log

(√

(x+ a)2 + (y + b)2 + y + b√

(x+ a)2 + (y − b)2 + y − b

)

+(x− a) log

(√

(x− a)2 + (y − b)2 + y − b√

(x− a)2 + (y + b)2 + y + b

)

+(y + b) log

(√

(x+ a)2 + (y + b)2 + x+ a√

(x− a)2 + (y + b)2 + x− a

)

+(y − b) log

(√

(x− a)2 + (y − b)2 + x− a√

(x+ a)2 + (y − b)2 + x+ a

)]

.

(4.106)

Alle weiteren Einflussfunktionen fur normale und tangentiale Oberflachenverschiebungen

durch normale und tangentiale Flachenlasten sind vollstandig in [85] aufgelistet. Die elas-

tischen Eigenschaften zweier nachgiebiger Kontaktkorper konnen im Halbraummodell

durch die Substitution

1− ν2

E=

1− ν21E1

+1− ν22E2

(4.107)

berucksichtigt werden.

4.2 Kontaktmodellierung

4.2.1 Kontaktdiskretisierung und Kontaktbedingungen

Die Oberflache des Halbraums wird in Nx × Ny quadratische Segmente mit den Ab-

messungen 2 a × 2 b diskretisiert (vgl. Abb. 4.2 a). Der lokale Abstand gi zwischen den

in Kontakt befindlichen Oberflachen ergibt sich aus der lokalen Oberflachenhohe hi,

der maximalen Oberflachenhohe hmax, der lokalen Oberflachendeformation ui und der

globalen Annaherung der Oberflachen uo (vgl. Abb. 4.2 b)

gi = hmax − hi + ui − uo . (4.108)

Weil sich die Kontaktpartner nicht durchdringen konnen, muss der Abstand stets nicht-

negativ sein

gi ≥ 0 . (4.109)

Der Kontakt zwischen metallischen Oberflachen ist ein unilateraler Kontakt, deshalb

sind die Flachenpressungen stets nicht-negativ

pi ≥ 0 . (4.110)

46 4.2 Kontaktmodellierung

x

y

2b

2a

yl

yk

xk

xl

x

h

a)

hmax

uo

h

u

g

b)

Abbildung 4.2: Oberflachendiskretisierung (a) und Abstandsbeziehung (b) im Halbraum-

modell

Neben einem Halbraummodell mit dreidimensionalem Plastizitatsmodell (vgl. Kap. 7)

wird auch ein vereinfachtes plastisches Halbraummodell implementiert, dass auf der

Limitierung der Flachenpressung auf die Oberflachenharte H basiert. Dieses Modell

baut auf den Erkenntnissen von Hencky, Bowden und Tabor (vgl. Kap. 3.2.3) auf und

es gilt

pi ≤ H . (4.111)

Die mittlere Flachenpressung pmean ist gleich der Summe der Flachenpressungen auf

allen M in Kontakt befindlichen Kontaktelementen, dividiert durch die Anzahl aller

Kontaktelemente

1

NxNy

M∑

i=1

pi = pmean . (4.112)

Die Kontaktnormalkraft F ist gleich der mittleren Flachenpressung multipliziert mit der

Gesamtflache der diskretisierten Oberflache mit den Abmessungen Lx und Ly

F = pmean Lx Ly . (4.113)

4.2.2 Variationsansatz zur Losung des Kontaktproblems

Nachdem die Kontaktbedingungen dargestellt wurden, ist nun zu klaren, wie die richtige

Verteilung der Flachenpressung auf der Oberflache zu bestimmen ist. Hierzu wird das

Variationsprinzip der Minimierung der komplementaren potentiellen Energie verwendet.

Dieser Ansatz wurde von Kalker und van Randen entwickelt [40]. Die komplementare

potentielle Energie V ∗ ist die Differenz aus dem Volumenintegral uber die innere kom-

plementare Energiedichte U∗(σij) und dem Oberflachenintegral uber das Produkt aus

den Oberflachenlasten ti und den erzwungenen Verschiebungen ui

V ∗ =

∫

Ω

U∗(σij) dΩ−∫

Γ

ti ui dΓ . (4.114)


Das Volumenintegral uber die innere komplementare Energiedichte entspricht der inne-

ren komplementaren Energie U∗

E, die fur linear elastische Materialien gleich der inneren

Energie UE des Korpers ist. Fur den Fall reiner Normalbelastung entsprechen die Ober-

flachenlasten der Flachenpressung p und es sind nur die erzwungenen Verschiebungen in

z-Richtung relevant. Es folgt

V ∗ = UE −∫

Γ

p uz dΓ . (4.115)

Fur die innere Energie gilt

UE =1

2

∫

Γ

p uz dΓ . (4.116)

Damit ergibt sich der folgende Ausdruck fur die komplementare potentielle Energie

V ∗ =1

2

∫

Γ

p uz dΓ−∫

Γ

p uz dΓ . (4.117)

Wahrend es sich bei uz um die erzwungene Verschiebung im Kontaktgebiet handelt, ist

uz die Verschiebung eines beliebigen Oberflachenpunktes. Wir betrachten im Folgenden

den Fall einer in Rechtecke diskretisierten Oberflache mit M Segmenten im Kontakt.

Die Verschiebung uzk eines Segmentes k aufgrund einer Flachenlast auf ein Segment l

kann mittels der Einflussfunktion fur Flachenlasten Kzz bestimmt werden. Sind mehrere

Elemente im Kontakt, so kann die Verschiebung des Punktes k durch Superposition der

Verschiebungen durch alle in Kontakt befindlichen Elemente bestimmt werden

uzk =M∑

l=1

Kzzkl pl . (4.118)

Durch Einsetzen dieser Beziehung in die diskretisierte Form von (4.117) folgt fur die

komplementare potentielle Energie

V ∗ =1

2

M∑

k=1

pk

(M∑

l=1

Kzzkl pl

)

−M∑

k=1

pk uzk . (4.119)

Um ein Extremum zu finden, wird das Funktional (4.119) partiell nach p abgeleitet und

gleich Null gesetzt

M∑

l=1

Kzzkl pl − uzk = 0 . (4.120)

Zur Losung des Kontaktproblems, unter Verwendung des Variationsprinzips der Mini-

mierung der komplementaren potentiellen Energie, ist die Gleichung (4.120) zu losen.

Kapitel 5

Numerische Umsetzung des

Halbraummodells

Nachdem in vorherigen Kapitel die theoretischen Grundlagen des Halbraummodells

erlautert wurden, folgt in diesem Kapitel die Beschreibung der praktischen Umsetzung

des Modells. Nach der Beschreibung des Kontaktproblems als lineares Gleichungssystem

wird ausfuhrlich auf die effiziente Losung des Kontaktproblems unter Berucksichtigung

des Speicherbedarfs eingegangen. Hierzu wird die Losung der Kontaktgleichungen mit-

tels eines projizierten Gleichungslosers mit der Losung mit der sogenannten Plastic-

Set-Strategie und einem konjugierte Gradienten-Loser verglichen. Zudem wird die Kon-

taktmodellierung mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell mit Volumener-

haltung, der Normalkontakt zweier rauer Oberflachen sowie die Modellierung hydrosta-

tischer Drucke in geschlossenen Schmiertaschen behandelt.

5.1 Beschreibung des Kontaktproblems als lineares

Gleichungssystem

Zur Losung von (4.120) eignet sich die folgende Darstellung des Gleichungssystems

Kges p = uz . (5.1)

Dieses Gleichungssystem ist die Nachgiebigkeitsbeziehung des elastischen Halbraums.

Die Verschiebungen und Flachenpressungen werden in den Vektoren uz und p abgelegt.

Die Gesamtnachgiebigkeitsmatrix Kges wird aus der Einflussfunktion fur Flachenlasten

assembliert

Kges =

K1,1... K1,M

· · · . . . · · ·KM,1

... KM,M

. (5.2)

Kges ist symmetrisch, vollbesetzt und positiv definit [74]. Um den numerischen Aufwand

zu begrenzen, wird das Gleichungssystem nur im potentiellen Kontaktgebiet aufgestellt.

49

50 5.2 Speicherbedarf

Eine konservative Abschatzung des Kontaktgebiets beinhaltet alle Oberflachensegmente,

die bei gegebener Annaherung der Oberflachen und Nichtberucksichtigung der Ober-

flachendeformation das Durchdringungsverbot (4.109) verletzen. Die Lange der Vektoren

uz und p entspricht der Menge M der Segmente im potentiellen Kontaktgebiet.

5.2 Speicherbedarf

Die Dimension der Gesamtnachgiebigkeitsmatrix istM×M , wobeiM mit zunehmendem

Anteil der realen Kontaktflache gegen Nx×Ny strebt. In Tabelle 5.1 ist der Speicherbe-

darf fur die Feldgroßen (z.B. p, g und u), die Einzelnachgiebigkeitsmatrix K und die Ge-

samtnachgiebigkeitsmatrix Kges unter der Annahme vollstandigen Kontakts dargestellt.

Wahrend die Feldgroßen und die Einzelnachgiebigkeitsmatrix fur relevante Diskretisie-

rungen problemlos gespeichert werden konnen, ist das Speichern der Gesamtnachgiebig-

keitsmatrix im Arbeitsspeicher handelsublicher Rechner nicht immer moglich. Folglich

ist bei der Auswahl geeigneter Gleichungslosungsverfahren darauf zu achten, dass die

Gesamtnachgiebigkeitsmatrix nicht im Ganzen gespeichert werden muss, oder idealer-

weise gar nicht benotigt wird. Dies ist der Fall, wenn das Losungsverfahren ausschließlich

Feldgroßen und die Einzelnachgiebigkeitsmatrix benotigt.

Nx = Ny 64 128 256 512 1024

Feldgroße (z.B. p) 32 kB 128 kB 512 kB 2MB 8 MB

Einzelnachgiebigkeitsmatrix K 126 kB 508 kB 2MB 8MB 32MB

Gesamtnachgiebigkeitsmatrix Kges 128MB 2GB 32GB 512GB 8TB

Tabelle 5.1: Speicherbedarf des Gleichungssystems

Die Nebenbedingung der nicht-negativen Flachenpressung (4.110) kann durch Ver-

wendung eines projizierten Gleichungslosers oder der Active-Set-Strategie erfullt werden.

Die Nebenbedingung der limitierten Flachenpressung (4.111), die im vereinfachten plas-

tischen Halbraummodell zu erfullen ist, kann ebenfalls durch Verwendung eines proji-

zierten Gleichungslosers umgesetzt werden. Alternativ kann diese Nebenbedingung durch

die sogenannte Plastic-Set-Strategie (vgl. Kap. 5.5) erfullt werden.

5.3 Active-Set-Strategie

Die Active-Set-Strategie ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung des Kontaktgebiets.

Das Active-Set ist die Menge der in Kontakt befindlichen Oberflachensegmente. Die ge-

naue Kenntnis des tatsachlichen Kontaktgebiets ist bei Verwendung nicht-projizierter

Gleichungsloser notwendig, weil diese auf falschlicherweise im Active-Set befindlichen

Oberflachensegmenten negative Flachenpressungen errechnen. Hierdurch wird die Ne-

benbedingung des unilateralen Kontakts (4.110) verletzt und eine falsche Losung

des Kontaktproblems bestimmt. Im Active-Set fehlende Oberflachensegmente fuhren

zu unerlaubten Durchdringungen und einer Verletzung der Nebenbedingung (4.109).

5 NUMERISCHE UMSETZUNG DES HALBRAUMMODELLS 51

Die Bestimmung des potentiellen Kontaktgebiets durch das Durchdringungsverbot

bei Nichtberucksichtigung der Oberflachendeformation stellt die obere Grenze fur das

tatsachliche Kontaktgebiet dar und dient als anfangliches Active-Set. Nach jeder Itera-

tion wird die Losung des Gleichungssystems auf negative Flachenpressungen und uner-

laubte Durchdringungen außerhalb des Active-Sets uberpruft. Segmente mit negativer

Flachenpressung werden aus dem Active-Set ausgeschlossen, wohingegen Segmente mit

unerlaubter Durchdringung in das Active-Set aufgenommen werden. Das Gleichungssys-

tem wird wiederholt gelost, bis das Active-Set korrekt bestimmt ist [83]. Der Algorithmus

zur Bestimmung des Active-Sets ist in Abb. 5.1 graphisch dargestellt.

Gleichungssystem

losen

Fuge betroffene

Elemente zum

Active-Set hinzu

Tritt

p < 0

auf?

Entferne betroffene

Elemente aus

dem Active-Set

Tritt

g < 0

auf?

Iteration erfolg-

reich beendet

ja

nein

ja

nein

Abbildung 5.1: Active-Set Strategie

5.4 Numerische Losungsverfahren

Zur Losung des linearen Gleichungssystems bieten sich sowohl direkte, als auch iterative

Losungsverfahren an. Zur besseren Nachvollziehbarkeit wird das Gleichungssystem im

Folgenden analog zur Darstellung in Fachbuchern beschrieben

Kges p = uz = Ax = b . (5.3)

52 5.4 Numerische Losungsverfahren

5.4.1 Direkte Losung

Das naheliegendste Losungsverfahren ist die direkte Losung durch Multiplikation der

rechten Seite mit der Inversen der Koeffizientenmatrix A

Ax = b ⇒ x = A−1 b . (5.4)

Nachteilig ist hierbei der große Aufwand zur Bestimmung der Inversen der Koeffizi-

entenmatrix. Da es sich um einen nicht-projizierten Gleichungsloser handelt, muss die

Active-Set-Strategie zur korrekten Bestimmung des Kontaktgebiets verwendet werden.

Ein bedeutender Nachteil dieses Verfahrens ist der große Speicherbedarf der Koeffizien-

tenmatrix, der eine Verwendung bei großen Kontaktgebieten erschwert.

5.4.2 Das SOR- oder Relaxations-Verfahren

Das SOR-Verfahren (”Successive Over-Relaxation“) ist ein implizites, iteratives Verfah-

ren zur Losung linearer Gleichungssysteme. Das Verfahren benotigt eine Startlosung

x(0) =(

x(0)1 , ..., x(0)n

)T

. (5.5)

Die Startlosung kann ein beliebiger Vektor sein, das Verfahren konvergiert jedoch um-

so schneller, je naher die Startlosung bei der tatsachlichen Losung liegt. Daher ist es

sinnvoll, falls vorhanden, die Losung des vorherigen Lastschrittes als Startlosung zu

verwenden. Die temporare Losung wird in jedem Iterationsschritt κ = 1, 2, 3, ... durch

folgenden Algorithmus bestimmt

x(κ)i = (1− ω) x

(κ−1)i +

ω

aii

(

bi −i−1∑

j=1

aij x(κ)j −

n∑

j=i+1

aij x(κ−1)j

)

. (5.6)

Dieser Algorithmus lasst sich vereinfacht wie folgt darstellen

x(κ)i = x

(κ−1)i +

ω

aii

(

bi −n∑

j=1

aij · x(κ,κ−1)j

)

. (5.7)

Wenn der Relaxationsfaktor ω gleich eins gesetzt wird, entspricht das SOR-Verfahren

dem Gauß-Seidel-Verfahren. WennA symmetrisch und positiv definit ist, konvergiert das

Verfahren fur 0 < ω < 2 [78]. Der ideale Relaxationsparameter kann nur fur Sonderfalle

der Koeffizientenmatrix A analytisch bestimmt werden und ist in der Regel empirisch

zu bestimmen. Die obenstehende Darstellung des SOR-Verfahrens erfordert sowohl eine

außere Iterationsschleife, als auch eine zeitintensive innere Schleife uber alle Eintrage

des Losungsvektors. Fur die Berechnung des Losungsvektors ohne innere Schleife muss

das Verfahren in Matrixdarstellung uberfuhrt werden. Hierzu muss die Matrix A in eine

Diagonalmatrix D sowie eine obere U und eine untere Dreiecksmatrix L zerlegt werden

A = D+ L+U . (5.8)


D =

a11 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 . . . 0 ann

(5.9)

L =

0 . . . . . . 0

a21. . .

......

. . .. . .

...

an1 . . . ann−1 0

U =

0 a12 . . . a1n...

. . .. . .

......

. . . an−1n

0 . . . . . . 0

(5.10)

Die Iterationsvorschrift in Matrixdarstellung lautet

(D+ ωL) · x(κ) = [(1− ω)D− ωU] · x(κ−1) + ωb . (5.11)

Der Algorithmus ist in der Matrixformulierung deutlich effizienter, jedoch fur Kontakt-

probleme relevanter Große auf Grund des großen Speicherbedarfs fur die Matrizen D, L

und U nicht anwendbar. In einer Implementierung des SOR-Losers in Indexformulierung

gemaß (5.7) ist es nicht erforderlich die Koeffizientenmatrix zu speichern. Die Koeffizi-

enten aij konnen in der inneren Schleife uber die Eintrage des Losungsvektors bestimmt

werden. Diese Vorgehensweise ist effizient hinsichtlich des Speicherbedarfs, verursacht

jedoch eine vergleichsweise lange Berechnungszeit.

Das SOR-Verfahren in Indexformulierung kann als projiziertes Losungsverfahren

verwendet werden, indem die Nebenbedingungen fur nicht-negative Flachenpres-

sung (4.110) und fur die maximale Flachenpressung (4.111) in der inneren Schleife er-

zwungen werden [74].

5.4.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten

Das Verfahren der konjugierten Gradienten, auch CG-Verfahren genannt, ist ein iterati-

ves Losungsverfahren fur lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter

Koeffizientenmatrix A. Das CG-Verfahren ist ein nicht-projizierter Gleichungsloser, die

Nebenbedingung fur nicht-negative Flachenpressung (4.110) kann jedoch durch die Ver-

wendung der Active-Set-Strategie erfullt werden. Die Nebenbedingung fur die maximale

Flachenpressung (4.111) im vereinfachten plastischen Halbraummodell kann durch die

sogenannte”Plastic-Set-Strategie“ erfullt werden (vgl. Kap. 5.5). Fur eine ausfuhrliche

Herleitung des CG-Verfahrens wird auf Schwarz [64] verwiesen. Die Iterationsvorschrift

wird im Folgenden beschrieben.

Zunachst wird, ausgehend von einer beliebigen Startlosung x(0), die Suchrichtung d(0)

im ersten Iterationsschritt bestimmt. Diese entspricht dem Residuum r(0) fur die

Startlosung

d(0) = r(0) = b−Ax(0) . (5.12)

54 5.4 Numerische Losungsverfahren

Ausgehend von diesen Startwerten kann die Schrittweite α, die Losung x, das Residuum r

und die Suchrichtung d fur den jeweiligen Iterationsschritt κ bestimmt werden

ακ =r(κ)

Tr(κ)

d(κ)T Ad(κ)(5.13)

x(κ+1) = x(κ) + ακ d(κ) (5.14)

r(κ+1) = r(κ) − ακAd(κ) (5.15)

β(κ+1) =r(κ+1)T r(κ+1)

r(κ)Tr(κ)

(5.16)

d(κ+1) = r(κ+1) + βκ+1 d(κ) . (5.17)

In der Iterationsvorschrift des CG-Verfahrens tritt die Koeffizientenmatrix A nur in

Produkten mit der Startlosung x(0) und der Suchrichtung d(κ) auf. Diese Produkte

konnen durch Faltungen der Einzelnachgiebigkeitsmatrix K mit der Startlosung in Ma-

trixform X(0) beziehungsweise der Suchrichtung in Matrixform D(κ) ersetzt werden

Ad(κ) = K ∗D(κ) . (5.18)

Durch Anwendung des Faltungstheorems konnen Faltungen durch Multiplikation der

Fouriertransformierten und anschließender Rucktransformation bestimmt werden. Die

Verwendung der schnellen Fouriertransformation (FFT) ermoglicht eine sehr effiziente

Berechnung der Faltung

K ∗D(κ) = iFFT2(

FFT2(K)· FFT2

(D(κ)

))

. (5.19)

FFT2 bezeichnet die zweidimensionale schnelle Fouriertransformation und iFFT2 die

inverse, zweidimensionale schnelle Fouriertransformation. Durch Anwendung des Fal-

tungstheorems wird das CG-Verfahren schneller und der Speicherbedarf sinkt, weil nur

die Einzelnachgiebigkeitsmatrix anstatt der Gesamtnachgiebigkeitsmatrix benotigt wird.

5.4.4 Das Verfahren der konjugierten Gradienten mit integrier-

ter Lastregelung

Allwood beschreibt in [8] einen Algorithmus zur simultanen Losung der Nachgiebigkeits-

beziehung und des Gleichgewichts der Normallasten. Das vollstandige Kontaktproblem,

bestehend aus der Nachgiebigkeitsbeziehung (5.1), der Abstandsfunktion (4.108) und

der Gleichgewichtsbeziehung (4.113), wird folgendermaßen formuliert

Kcc Kcn qc

KTcn Knn qn

qTc qT

n 0

pc

0

−uo

=

hc

gn + hn

Fo

, (5.20)

mit

Fo = pmean ·Nx ·Ny . (5.21)


Die Indizes c und n bezeichnen Oberflachensegmente im Kontakt- bzw. Nichtkontakt-

gebiet. Die Vektoren qc und qn beinhalten nur Einsen und dienen der Summation.

Die Vektoren hc und hn beinhalten die Oberflachenhohe hij reduziert um die maximale

Oberflachenhohe hmax. Das Nichtkontaktgebiet wird aus dem Gleichungssystem entfernt,

weil es weder Informationen uber die Druckverteilung im Kontakt, noch uber die globale

Annaherung der Oberflachen enthalt

[I K−1

cc qc

qTc 0

](pc

−uo

)

=

(K−1

cc hc

Fo

)

. (5.22)

Durch die Substitutionen

b = K−1cc qc und c = K−1

cc hc (5.23)

kann das Kontaktgleichungssystem in zwei Gleichungssysteme aufgespaltet werden. Die-

se beiden Gleichungssysteme werden mit dem Verfahren der konjugierten Gradien-

ten gelost. Anschließend kann die globale Annaherung der Oberflachen uo und das

Flachenpressungsfeld in der Kontaktzone pc durch Rucksubstitution von b und c be-

stimmt werden

uo =Fo − qT

c c

qTc b

(5.24)

und

pc = uo b+ c . (5.25)

Dieser Algorithmus erlaubt es, die Druckverteilung bei definierter Normallast zu bestim-

men, ohne die globale Annaherung der Oberflachen iterativ bestimmen zu mussen.

5.5 Plastic-Set-Strategie

Durch die Active-Set-Strategie ist es moglich, sehr effiziente nicht-projizierte Glei-

chungsloser fur elastische Kontaktsimulationen zu verwenden. Im Folgenden wird eine

Moglichkeit zur Verwendung nicht-projizierter Gleichungsloser in Verbindung mit dem

vereinfachten plastischen Halbraummodell mit limitierter Flachenpressung prasentiert.

Das Superpositionsprinzip ermoglicht es, die Deformation des Halbraums durch

ein Flachenpressungsfeld als Summe der Deformationen durch beliebige Anteile des

Flachenpressungsfeldes darzustellen. So ist es moglich, die Deformation der Halbraum-

oberflache als Summe der Deformation durch die Elemente in elastischem Kontakt

(0 < p < H) und der Deformation durch die Elemente in plastischem Kontakt (p = H)

darzustellen

ui(pges) = ui(pel) + ui(ppl) . (5.26)

Diese Tatsache motiviert ein Vorgehen, dass im Folgenden wegen seiner Ahnlichkeit

zur Active-Set-Strategie”Plastic-Set-Strategie“ genannt wird. Nach einer elastischen

56 5.5 Plastic-Set-Strategie

Kontaktiteration werden alle Elemente, deren Flachenpressung die Oberflachenharte H

ubersteigen, zum Plastic-Set hinzugefugt. Alle Flachenpressungen im Plastic-Set wer-

den gleich der Oberflachenharte gesetzt. Anschließend werden das Deformationsfeld

aufgrund der Kontakte im Plastic-Set u(ppl) und die durch das Plastic-Set getragene

Last Fpl bestimmt. In der nachfolgenden Iteration muss u(ppl) in der Abstandsbezie-

hung berucksichtigt werden.

Aus (4.108) wird

gi = hmax − hi + ui(pel) + ui(ppl)− uo . (5.27)

Aufgrund seiner Vorteile hinsichtlich Berechnungszeit und Speicherbedarf bei der Losung

des elastischen Kontaktproblems wird das Verfahren der konjugierten Gradienten mit

integrierter Lastregelung verwendet. Fpl muss in das Kraftegleichgewicht (4.113) mitein-

bezogen werden. Es gilt

Fo = F − Fpl . (5.28)

Gleichungssystem

losen

Fuge betroffene

Elemente zum

Active-Set hinzu

Tritt p < 0

auf?

Entferne betroffene

Elemente aus

dem Active-Set

Tritt g < 0

auf?

Entferne betroffene

Elemente aus

dem Active-Set

und fuge sie zum

Plastic-Set hinzu

Tritt

p > H auf?

Iteration erfolg-

reich beendet

ja

nein

ja

nein

nein

ja

Abbildung 5.2: Plastic-Set-Strategie


In der elastischen Losung des Gleichungssystems wird die Flachenpressung in den

plastischen Kontaktelementen uberschatzt, daher werden die Flachenpressungen in den

elastischen Kontaktelementen sowie die Große des Kontaktgebiets unterschatzt. Folglich

ist eine falschliche Einsortierung in das Plastic-Set bei korrekter Losung des elastischen

Problems ausgeschlossen und ein Entfernen von Elementen aus dem Plastic-Set ist nie

notwendig. Die Iterationsvorschrift zur Plastic-Set-Strategie ist in Abb. 5.2 dargestellt.

Abb. 5.3 a zeigt die Flachenpressung unter dem Kontakt einer Kugel mit einer Ebe-

ne. Der elastische Kontakt entspricht einem Hertzschen Kontakt. Durch die Limitie-

rung der Flachenpressung auf 800MPa ist der Kontaktradius im plastischen Kontakt

großer als im elastischen Kontakt. In Abb. 5.3 b sind die elastischen und plastischen De-

formationsanteile im plastischen Kontakt und die Deformation im elastischen Kontakt

gegenubergestellt.

−5 −2.5 0 2.5 50

400

800

1200

1600

r in mm

pin

MPa

Plastischer KontaktElastischer Kontakt

a)

−5 −2.5 0 2.5 5100

75

50

25

0

r in mm

uin

µm

Plastische DeformationElastische DeformationGesamtdeformationElastischer Kontakt

b)

Abbildung 5.3: Flachenpressung (a) und Oberflachendeformation (b) im elastischen und

im eindimensionalen plastischen Kontakt

5.6 Vergleich der Losungsverfahren

Das elastische und vereinfachte elasto-plastische Kontaktproblem kann entweder mittels

eines projizierten Gleichungslosers, oder mittels eines nicht-projizierten Gleichungslosers

in Verbindung mit der Active-Set- beziehungsweise Plastic-Set-Strategie gelost werden.

Welche Vorgehensweise effizienter ist, soll im Folgenden, durch einen Vergleich der Re-

chenzeiten der implementierten Verfahren, untersucht werden.

Aufgrund seines großen Speicherbedarfs wird der direkte Gleichungsloser im Ver-

gleich der Losungsverfahren nicht berucksichtigt. Stattdessen wird als Vertreter der

nicht-projizierten Loser das Verfahren der konjugierten Gradienten mit integrierter Last-

regelung verwendet, weil es wenig Arbeitsspeicher benotigt und die gewunschte Normal-

last direkt vorgegeben werden kann. Das CG-Verfahren wird mit dem SOR-Verfahren

in Indexformulierung, das als projizierter Gleichungsloser verwendet werden kann und

ebenfalls einen geringen Speicherbedarf aufweist, verglichen. Im SOR-Verfahren muss

58 5.6 Vergleich der Losungsverfahren

die Annaherung der Oberflachen uo, die zur gewunschten Normallast fuhrt, iterativ be-

stimmt werden. Diese zusatzliche zeitintensive Iteration von uo wird in dem, im Rah-

men dieser Arbeit implementierten, Halbraummodell mittels des Bisektionsverfahrens

durchgefuhrt. Das Newton-Verfahren zeigt in vielen Testrechnungen eine etwas großere

Effizienz, ist aber weniger stabil als das Bisektionsverfahren.

Ein Test des SOR-Verfahrens zeigt, dass die konservative Abschatzung des Kon-

taktgebiets, durch eine Prufung auf Durchdringungen bei Nichtberucksichtigung der

Oberflachendeformation, zu einer massiven Uberschatzung des potentiellen Kontakt-

gebiets fuhrt. In der Folge ist das Gleichungssystem unnotig groß und die Rechen-

zeiten entsprechend lang. Daher wird das Kontaktgebiet unter Berucksichtigung der

Oberflachendeformation bestimmt. Bei diesem Vorgehen muss nach jeder Iteration ei-

ne Uberprufung auf Durchdringungen durchgefuhrt werden und gegebenenfalls mussen

Kontaktsegmente zum Gleichungssystem hinzugefugt werden. Dennoch ergibt sich eine

deutliche Verkurzung der Rechenzeiten.

In Abb. 5.4 sind die Rechenzeiten des SOR-Losers in Abhangigkeit von der Dimen-

sion des Gleichungssystems M und dem Relaxationsfaktor ω fur elastischen Kontakt

und elasto-plastischen Kontakt mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell dar-

gestellt. Fur elastischen Kontakt fuhrt ω = 0,3 zur kurzesten Rechenzeit bei großen

Kontaktgebieten, bei vereinfachtem plastischen Kontakt ist ω = 0,5 der am besten ge-

eignete Relaxationsfaktor. Die unterschiedlichen idealen Relaxationsfaktoren sind durch

die Manipulation des Gleichungssystems durch die Limitierung der Flachenpressung im

vereinfachten plastischen Halbraummodell begrundet.

Ein Vergleich der Rechenzeiten zeigt eine deutlich großere Effizienz des konjugier-

te Gradienten-Verfahrens gegenuber dem SOR-Verfahren bei elastischem Kontakt. Die

Rechenzeiten sind um mehr als eine Zehnerpotenz kleiner (Abb. 5.5 a). Bei elasto-

plastischem Kontakt erhoht die zusatzliche Iterationsschleife der Plastic-Set-Strategie

die Rechenzeiten im konjugierte Gradienten-Verfahren deutlich. Das Verfahren ist den-

noch circa doppelt so schnell wie das SOR-Verfahren (Abb. 5.5 b). Folglich uberwiegt

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

200

400

600

800

1000

ω

tin

s

M=13000M=11300M=8700M=5400

a)

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

200

400

600

800

ω

tin

s

M=13300M=9800M=6500M=3300

b)

Abbildung 5.4: Rechenzeit des SOR-Losers in Abhangigkeit des Relaxationsparameters ω

im elastischen (a) und plastischen (b) Kontakt


der Geschwindigkeitsvorteil des CG-Verfahrens gegenuber dem SOR-Verfahren den

zusatzlichen Aufwand fur die Plastic-Set-Iterationen bei Verwendung des CG-Losers.

0 4000 8000 120000

100

200

300

400

M

tin

s

SOR, ω = 0, 3CG

a)

0 4000 8000 120000

100

200

300

M

tin

s

SOR, ω = 0, 5CG

b)

Abbildung 5.5: Vergleich der Rechenzeiten des SOR- und CG-Losers im elastischen (a)

und plastischen (b) Kontakt

5.7 Volumenerhaltung und Kontakt mit rauen

Werkzeugen

Die plastische Deformation von Metallen ist in sehr guter Naherung volumenkonstant.

Experimentelle Untersuchungen von Pullen und Williamson [63] zeigen, dass im Kon-

takt rauer Oberflachen die Rauheitstaler durch das aus den Rauheitsspitzen verdrangte

Material gleichmaßig aufgefullt werden. Das plastifizierte Material wird also nicht seit-

lich aus dem Kontaktbereich verdrangt, sondern die Rauheitstaler werden im Ganzen

angehoben. Aufbauend auf dieser Erkenntnis wird ein volumenerhaltender Algorithmus

in das Halbraummodell implementiert, der das durch plastische Deformation verdrangte

Volumen gleichmaßig in der Nicht-Kontaktflache verteilt. In Abb. 5.6 a ist die Ober-

flachenkontur nach dem Kontakt dargestellt. Mit dem nicht-volumenerhaltendem Al-

gorithmus entspricht die Oberflache in den Rauheitstalern nach dem Kontakt der ur-

sprunglichen Oberflache. Mit dem volumenerhaltendem Algorithmus hingegen ist die

Oberflachenhohe in den Rauheitstalern großer. Die Hohe der Oberflache ist auch im

Kontaktgebiet erhoht, weil durch das Anheben der Rauheitstaler die Annaherung der

Oberflachen bei gleicher Flachenpressung geringer ist.

Werkzeugoberflachen konnen eine nicht zu vernachlassigende Rauheit aufweisen.

Diese kann eine ungewollte Folge des Fertigungsprozesses sein, oder gezielt herbei-

gefuhrt worden sein, um den Umformprozess zu beeinflussen. Um die Werkzeugober-

flachenrauheit htool im Kontaktmodell berucksichtigen zu konnen, muss die Abstands-

funktion modifiziert werden. Anstatt (4.108) gilt dann

gi = hmax − hi − htool i + ui − uo . (5.29)

60 5.8 Hydrostatisches Modell

Die Rauheit der Werkzeugoberflache wird im Kontakt auf die Werkstuckoberflache ab-

gepragt, so dass diese nach dem Kontakt eine großere Rauheit in der Kontaktzone auf-

weist (Abb. 5.6 b).

0 0,25 0,5 0,75 1−4

−2

0

2

4

x in mm

zin

µm

Undeformierte OberflacheNicht-volumenerhaltendVolumenerhaltend

a)

0 0,25 0,5 0,75 1

−2

−1

0

1

x in mm

zin

µm

Glattes WerkzeugRaues Werkzeug

b)

Abbildung 5.6: Auswirkungen der Volumenerhaltung (a) und rauer Werkzeugober-

flachen (b) auf die Oberflachenkontur nach dem Kontakt

5.8 Hydrostatisches Modell

Das mechanisch-rheologische Modell (vgl. Kap. 2.4) ist ein geeignetes Werkzeug zur

Charakterisierung von Oberflachen bezuglich ihrer Fahigkeit, geschlossene Schmierta-

schen auszubilden, Schmierstoff zu speichern und im Kontakt in die Wirkfuge einzubrin-

gen. Das Modell ist jedoch nicht in der Lage, die vom Schmierstoff getragenen Normal-

krafte zu bestimmen und den Einfluss des Schmierstoffes auf die Einglattung der Ober-

flachen zu beschreiben. Zudem ist nicht bekannt, bei welcher Flachenpressung geschlos-

sene Schmiertaschen gebildet werden und bei welcher Flachenpressung der Schmierstoff

wieder abgegeben wird. Daher liegt es nahe, die vom mechanisch-rheologischen Modell

vorgenommen Aufteilung der Oberflache in Kontaktflachenanteile mit einer Kontaktsi-

mulation zu verbinden.

Dieser Ansatz wurde bereits in Verbindung mit einem auf der Gleitlinientheorie ba-

sierenden Kontaktmodell [75] umgesetzt. Die geschlossenen Schmiertaschen durchlaufen

in diesem Modell vier Phasen. In der ersten Phase verringert sich das Volumen der

geschlossenen Schmiertaschen durch plastische Oberflachendeformation in ihrer Umge-

bung, bis die ursprungliche Beolungsmenge zur vollstandigen Fullung der Schmierta-

schen ausreichend ist. In der zweiten Phase verringert sich das Volumen der geschlos-

senen Schmiertaschen durch weitere Oberflachendeformation und der Schmierstoff wird

komprimiert, wodurch sich hydrostatische Drucke bilden. Wenn der Schmierstoff den zur

Leckage erforderlichen Druck erreicht hat, tritt in der dritten Phase Schmierstoff aus den

Schmiertaschen aus und trennt die Oberflachen in der Umgebung der Schmiertaschen.

In der vierten Phase ist der Schmierstoff ganzlich aus den Schmiertaschen verdrangt


und es kommt zu vollstandigem Materialkontakt. Der Leckagedruck ist kleiner als die

Fließgrenze des Werkstucks und wird experimentell identifiziert.

Im Folgenden ist beschrieben, wie das Konzept der hydrostatischen Drucke in ge-

schlossenen Schmiertaschen in das Halbraummodell implementiert wurde.

5.8.1 Erkennung geschlossener Schmiertaschen

Um den Einfluss hydrostatischer Krafte in geschlossenen Schmiertaschen modellieren zu

konnen, mussen diese zunachst erkannt werden. Als geschlossene Schmiertaschen werden

all die Bereiche der Oberflache klassifiziert, die rundum durch reale, also metallische,

Kontaktflache umgeben sind.

Im ersten Schritt zur Erkennung geschlossener Flachenanteile wird die sogenannte

Kontaktmatrix kon erstellt. Jeder ihrer Eintrage entspricht einem Segment der diskre-

tisierten Oberflache. Jedes Element der Kontaktmatrix, das einem Segment im Kontakt

entspricht (p = x > 0) bekommt den Eintrag Zwei. Mittels des in Matlab integrierten

Floodfill-Algorithmus”imfill“ werden die umschlossenen Segmente mit Einsen belegt.

Zur Veranschaulichung sind im Folgenden eine Flachenpressungsmatrix p und die zu-

gehorige Kontaktmatrix kon dargestellt.

p =

x x x x x x

x 0 x 0 0 x

x x x 0 x x

x 0 0 0 0 x

x x x x 0 x

0 0 x x x x

kon =

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2

2 2 2 1 2 2

2 1 1 1 1 2

2 2 2 2 1 2

0 0 2 2 2 2

(5.30)

Es sind zwei geschlossene Schmiertaschen zu erkennen. Die Erste besteht nur aus Seg-

ment 8 (2. Spalte, 2. Zeile). Die zweite geschlossene Schmiertasche ist stark verzweigt und

stellt daher einen geeigneten Testfall fur den Algorithmus zur Erkennung geschlossener

Schmiertaschen dar. Die Nullen in der linken unteren Ecke der Flachenpressungsmatrix

entsprechen einer offenen Schmiertasche.

Im zweiten Schritt wird die Kontaktmatrix spaltenweise durchlaufen und Gruppen

von Segmenten geschlossener Schmiertaschen (grau hinterlegte Einsen) gebildet. Hierzu

werden die Indizes der entsprechenden Eintrage der Flachenpressungsmatrix p in die Ma-

trix vertgroup eingetragen (vgl. Indexmatrix index). Ein solches Element steht allein

in seiner Gruppe, wenn es in seiner Spalte nur von metallischer Kontaktflache (Zwei-

en) umgeben ist . In gleicher Weise wird die Kontaktmatrix in horizontaler Richtung

gepruft (horgroup). Im dargestellten Testfall ergeben sich folgende Gruppenmatrizen,

deren Spalten Gruppen darstellen.

vertgroup =

8 10 16 20 26 28

NaN NaN NaN 21 NaN 29

NaN NaN NaN 22 NaN NaN

(5.31)


horgroup =

8 20 21 10 29

NaN 26 NaN 16 NaN

NaN NaN NaN 22 NaN

NaN NaN NaN 28 NaN

(5.32)

index =

1 7 13 19 25 31

2 8 14 20 26 32

3 9 15 21 27 33

4 10 16 22 28 34

5 11 17 23 29 35

6 12 18 24 30 36

(5.33)

Im dritten und letzten Schritt werden alle Gruppen aus vertgroup und horgroup

mit gleichen Elementen vereint und in die Matrix gesgroup eingetragen.

gesgroup =

8 10

NaN 16

NaN 20

NaN 21

NaN 22

NaN 26

NaN 28

NaN 29

(5.34)

Ein Vergleich der Kontaktmatrix und der Matrix gesgroup zeigt, dass sowohl das Seg-

ment Nummer Acht, als auch die stark verzweigte geschlossene Schmiertasche richtig

erkannt wurden.

5.8.2 Iterative Bestimmung des Drucks in geschlossenen

Schmiertaschen

Der hydrostatische Kontaktalgorithmus wird gestartet, wenn in der trockenen Kontakt-

simulation geschlossene Schmiertaschen detektiert werden. In der Funktion Hydrostatik

wird inkrementell Druck in geschlossenen Schmiertaschen aufgebracht bzw. erhoht. Der

Algorithmus zur Erkennung geschlossener Schmiertaschen ist in Hydrostatik integriert, so

dass in den einzelnen Schmiertaschen unterschiedliche Druckniveaus herrschen konnen.

Durch den hydrostatischen Druck in den geschlossenen Schmiertaschen kommt es zu einer

weiteren Deformation der Oberflache. Die Gesamtdeformation der Oberflache ergibt sich

aus einem Anteil durch hydrostatische Drucke in Aclos und Anteilen aus elastischer (pel)

und plastischer (ppl) Flachenpressung in Areal

ui(pges) = ui(phyd) + ui(pel) + ui(ppl) . (5.35)

Die Veranderung der Oberflachendeformation durch hydrostatische Drucke muss in der

Abstandsbeziehung (4.108) berucksichtigt werden. Auch im Kraftegleichgewicht (4.113)


muss die hydrostatisch getragene Last Fhyd berucksichtigt werden. Mit der, in plastischen

Kontaktbereichen getragenen, Last Fpl aus (5.28) und der außeren Last F folgt fur die

Last Fo im elastischen Kontaktgebiet

Fo = F − Fhyd − Fpl . (5.36)

Um den Einfluss der hydrostatischen Drucke auf den Kontakt im Halbraummodell kor-

rekt abzubilden wird der Kontakt, wie in Abb. 5.7 dargestellt, iterativ bestimmt, bis

sowohl das Flachenpressungsfeld p, als auch das Feld der hydrostatischen Drucke phydauskonvergiert sind. Dabei werden (5.35) und (5.36) in der Berechnung des trockenen

Kontakts berucksichtigt. Die Funktion Hydrostatik-konst ist eine Abwandlung der Funk-

tion Hydrostatik. Der Unterschied der Funktionen besteht darin, dass in Hydrostatik-

konst die hydrostatischen Drucke nicht erhoht werden, sondern nur die Erkennung von

Schmiertaschen durchgefuhrt wird und die hydrostatischen Drucke gemittelt werden,

wenn mehrere Schmiertaschen verschmelzen. Nach erreichter Konvergenz in p und phydwerden die hydrostatischen Drucke in der Funktion Hydrostatik erhoht und die itera-

tive Bestimmung der Flachenpressungsfelder beginnt von Neuem. Diese außere Schleife

wird solange durchlaufen, bis keine weitere Steigerung der hydrostatisch getragenen Last

Fhyd zu erwarten ist, weil entweder in allen geschlossenen Schmiertaschen der maximale

Schmierstoffdruck phyd,max erreicht wurde, oder eine weitere Steigerung des hydrostati-

schen Drucks zu einer Offnung der geschlossenen Schmiertaschen fuhrt.

Eine theoretische Obergrenze fur den hydrostatischen Druck in den geschlossenen

Schmiertaschen stellt die Flachenpressung in der Umgebung der Schmiertasche dar.

Ware der Druck im Schmierstoff großer als in der realen Kontaktflache, so wurde er die

Kontaktpartner trennen. In Untersuchungen des Kontakts einer einzelnen Schmiertasche

konnte gezeigt werden, dass der hydrostatische Druck tatsachlich die Flachenpressung

in der Umgebung der Schmiertaschen erreichen kann [11, 12].

In der vorliegenden Arbeit wird nicht der Kontakt einer einzelnen Kavitat, son-

dern der Kontakt einer rauen Oberflache untersucht. Weil mit der Auflosung der

Kontaktoberflache der numerische Aufwand exponentiell steigt, wird die Oberflache

fur die Kontaktsimulationen interpoliert, wodurch Rauheiten kleinster Skala nicht

im Modell berucksichtigt werden. Durch kleinskalige Rauheitstaler kann bei hohen

Flachenpressungen Schmierstoff austreten. Daher erscheint es sinnvoll einen Leckage-

druck phyd,max, der kleiner ist als der Druck in der Umgebung der Schmiertaschen, zu

wahlen. Zumeist bilden sich geschlossene Schmiertaschen unter plastischen Kontaktbe-

dingungen. Daher ist der Leckagedruck im hydrostatischen Halbraummodell relativ zur

Oberflachenharte definiert

phyd,max = fhydH (5.37)

mit

fhyd ≤ 1 . (5.38)

Ergebnisse der Kontaktsimulationen mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell

mit Volumenerhaltung, dem Normalkontakt zweier rauer Oberflachen und dem hydro-

statischen Algorithmus werden in Kap. 6.2 mit Messergebnissen verglichen.


Trockener Kontakt

Aclos > 0 ? Hydrostatik

Trockener Kontakt

Hydrostatik-konst

Trockener Kontakt

Sind p und

phyd kon-

vergiert?

Iteration erfolg-

reich beendet

Maximales

Fhyd

gefunden?

ja

nein

nein

ja

ja

nein

Abbildung 5.7: Hydrostatischer Kontakt-Algorithmus

Kapitel 6

Experimentelle Verifikation

6.1 Harteprufung nach Vickers

Das vereinfachte plastische Halbraummodell wird durch mehrere experimentelle Unter-

suchungen kalibriert und validiert. Um die Abhangigkeit der Oberflachenharte von der

plastischen Oberflachendeformation und hieraus resultierender Oberflachenverfestigung

zu untersuchen, werden Harteprufungen nach Vickers an Umformblechen aus dem Stahl-

werkstoff DC04 durchgefuhrt. Die Prufkraft im Experiment betragt 500mN , so dass

die Eindringtiefe mit 4µm in etwa der plastischen Oberflachendeformation in den

Einglattungsversuchen entspricht, die in Kapitel 6.2 dargestellt werden. Bei der verwen-

deten Prufkraft ahneln die Abmessungen des Eindrucks des Prufkorpers den Abmes-

sungen der Rauheitsspitzen und -taler der Oberflachenrauheit des EDT-strukturierten

Bleches (Electrical-Discharge-Texturing). Daher kommt es bei einer Harteprufung der

Oberflache zu einer Interaktion des Eindringkorpers mit den Rauheitsspitzen, wo-

durch die Messungen stark verfalscht und unbrauchbar werden. Deshalb wird die

Harteprufungen gemaß DIN EN ISO 6507 an polierten Querschnitten durchgefuhrt. Der

Abstand der Messpunkte von der Oberflache betragt 100µm und die gemessene Harte

130 HV 0,05. Zum Abgleich mit den Messungen wird der Hartetest mit dem vereinfach-

ten plastischen Halbraummodell ohne Volumenkonstanz simuliert. Die Oberflachenharte

0 1 2 3 4 5

100

200

300

400

500

600

Eindringtiefe in µm

Last

inmN

MessungSimulation

Abbildung 6.1: Kraftverlauf in der Harteprufung nach Vickers

65

66 6.2 Einglattungsversuch

H in der Simulation betragt konstant 1300MPa. In Abb. 6.1 ist der Verlauf der Prufkraft

uber die Eindringtiefe in der Harteprufung und der Halbraumsimulation dargestellt. Die

sehr gute Ubereinstimmung zwischen Simulation und Messung bei konstanter Ober-

flachenharte H zeigt, dass die Oberflachenharte in diesem Experiment unabhangig von

der Oberflachendeformation ist.

6.2 Einglattungsversuch

Die Simulation des Hartetests zeigt eine sehr gute Ubereinstimmung mit dem Ex-

periment. Jedoch ist der Kontakt einer einzelnen Rauheitsspitze mit einer glatten

Oberflache nur bedingt mit dem Kontakt rauer Oberflachen vergleichbar, bei dem

sich mehrere Rauheitsspitzen unterschiedlicher Große in Kontakt befinden. Der Kon-

takt rauer Oberflachen wird daher mit einem Einglattungsexperiment untersucht,

bei dem ein sehr harter Stempel eine raue Oberflache einglattet. Der Stempel wird

mit Flachenpressungen von 100MPa bis 600MPa auf die Oberflache eines EDT-

strukturierten DC04-Bleches gepresst. Zur Untersuchung des Einflusses von Schmierstof-

fen auf die Oberflacheneinglattung wird neben einer Versuchsreihe ohne Schmierstoff eine

weitere Versuchsreihe mit dem Schmierstoff Beruforge DL 150 durchgefuhrt. Die Blecho-

berflachen werden vor und nach dem Kontakt mit dem Stempel mittels eines Lasermi-

kroskops (Keyence VK-X105, 20x Objektiv) vermessen, um die Veranderung der Rauheit

zu ermitteln. Die Kantenlangen der vermessenen Oberflachensegmente betragt 2,65mm.

Eine Charakterisierung der Oberflache mit dem mechanisch-rheologischen Modell (siehe

Abb. 6.2 a) zeigt naherungsweise konstante Kontaktflachenanteile ab einer Kantenlange

von 2,5mm. Daher ist die gewahlte Große des vermessenen Oberflachensegments als

reprasentativ anzusehen. Fur die numerische Kontaktsimulation wird die vor dem Ex-

periment vermessene Oberflache in 128× 128 Segmente diskretisiert. Um die Messdaten

und die Simulationsergebnisse vergleichen zu konnen, mussen auch die Messdaten auf

128×128 Segmente interpoliert werden. Hierdurch werden Rauheiten kleiner Wellenlange

aus den Oberflachendaten entfernt. Aufgrund der Interpolation der Oberflachen ist keine

normgerechte Bestimmung der arithmetischen und quadratischen Oberflachenrauheit Sa

und Sq gemaß DIN EN ISO 25178 [5] moglich. Weil die Rauheitsparameter stets auf iden-

tische Weise ermittelt werden eignen sie sich dennoch fur den Vergleich von Oberflachen

und die Quantifizierung der Oberflacheneinglattung. Weitere Parameter des Versuchs

sind in Tabelle 6.1 aufgelistet.

Die Simulationen des Einglattungsexperiments werden mit dem vereinfachten plasti-

schen Halbraummodell mit Volumenerhaltung unter Berucksichtigung der Werkzeugrau-

heit durchgefuhrt. Die Oberflachenharte H betragt sowohl in der trockenen Simulation,

als auch in der Simulation des beolten Kontakts 800MPa. Die gewahlten Einstellungen

des Simulationsmodells sind in Tabelle 6.2 zusammengefasst.

In Abb. 6.4 sind die experimentell und simulativ ermittelten arithmetischen und

quadratischen Oberflachenrauheiten gegenubergestellt. Es zeigt sich sowohl fur die tro-

ckenen, als auch fur die beolten Einglattungsversuche eine sehr gute Ubereinstimmung

6 EXPERIMENTELLE VERIFIKATION 67

0,00,7

1,42,1

2,8

0,00,7

1,42,1

2,8−4−2

024

y in mmx in mm

zin

µm

a)

0,0 0,7 1,4 2,1 2,8

−2

0

2

4

x in mm

zin

µm

b)

Abbildung 6.2: Gemessene Oberflache in dreidimensionaler Darstellung (a) und im Pro-

filschnitt (b)

0 1 2 30

25

50

75

100

L in mm

αin

%

αrealαclosαopen

a) b)

Abbildung 6.3: Parameter des mechanisch-rheologischen Modells in Abhangigkeit von

der Kantenlange der Oberflache (a) und Prufwerkzeug (b)

zwischen Simulation und Experiment. Bei Flachenpressungen unter 300MPa unterschei-

den sich die Rauheiten in den trockenen und beolten Untersuchungen kaum. Die Streu-

ung der Messwerten liegt in der Großenordnung der Streuung der Rauheitsparameter der

Oberflachen im Ausgangszustand. Bei Flachenpressungen uber 300MPa schließen sich

im beolten Kontakt vermehrt Schmiertaschen und bilden geschlossene Schmierstoffde-

pots, die Normalkrafte aufnehmen und folglich die metallischen Kontaktflache entlasten.

Wegen der Entlastung der metallischen Oberflache durch geschlossene Schmiertaschen ist

die Oberflacheneinglattung in den beolten Untersuchungen bei hohen Flachenpressungen

geringer als in den trockenen Untersuchungen. Die bei ca. 300MPa beginnende Ausbil-

dung lasttragender geschlossener Schmiertaschen ist in den Simulationsergebnissen in

Abb. 6.5 deutlich zu erkennen. Ab 300MPa wachst der Anteil der geschlossenen Schmier-

taschen (αclos) stark an und erreicht ca. 40% bevor er oberhalb von 500MPa wieder

abnimmt (Abb. 6.5 a). Die Abnahme von αclos bei sehr großen Flachenpressungen ist in


Stempeldurchmesser 8mm

Ra des Stempels ≈ 0,10 µm

Rq des Stempels ≈ 0,15 µm

Geschwindigkeit des Stempels 0,1 mm/min

Anzahl der Wiederholungen 5

Tabelle 6.1: Versuchsdaten des Einglattungsexperiments

Abmessung der simulierten Oberflache 2,65mm × 2,65mm

Auflosung der simulierten Oberflache 128 × 128

Oberflachenharte H 800MPa

Maximaler hydrostatischer Druck in αclos 640MPa

Elastizitatsmodul 205 000MPa

Querkontraktionszahl 0,34

Tabelle 6.2: Simulationsdaten des Einglattungsexperiments

der, im Vergleich zur metallischen Kontaktflache, geringeren Tragfahigkeit der geschlos-

senen Schmiertaschen begrundet, die zu einer Verdrangung des Schmierstoffes aus den

geschlossenen Schmiertaschen fuhrt. Die durch hydrostatischen Druck in geschlossenen

Schmiertaschen getragene Flachenpressung phyd steigt mit der Flachenpressung kontinu-

ierlich an, bis sie bei einer Gesamtflachenpressung von ca. 500MPa einen naherungsweise

konstanten Wert von ca. 160MPa erreicht (Abb. 6.5 b).

Die Abbott-Kurven aus Messung und Simulation (Abb. 6.6 - Abb. 6.8) stimmen fur

Flachenpressungen von 200MPa, 400MPa und 600MPa sowohl fur trockenen, als auch

beolten Kontakt sehr gut uberein.

Wie in Kapitel 2.3 veranschaulicht, haben Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

eine deutlich großere Aussagekraft als Abbott-Kurven, weil sie die tatsachliche

Hohenverteilung, und nicht wie die Abbott-Kurve einen integralen Wert uber die Hohen

darstellen. Daher ermoglichen die in Abb. 6.9 bis 6.11 dargestellten Wahrscheinlich-

0 100 200 300 400 500 6000

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

p in MPa

Sain

µm

Messung trockenSimulation trockenMessung beoltSimulation beolt

a)

0 100 200 300 400 500 6000

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

p in MPa

Sqin

µm

Messung trockenSimulation trockenMessung beoltSimulation beolt

b)

Abbildung 6.4: Arithmetische (a) und quadratische (b) Oberflachenrauheit nach dem

Einglattungsversuch


keitsdichtefunktionen einen genaueren Vergleich der simulierten und gemessenen Ober-

flachen. Die Ubereinstimmung von Simulation und Messung des trockenen Kontakts

ist qualitativ und auch quantitativ gut. Sowohl das Einglatten der Rauheitsspitzen,

als auch das Auffullen der Rauheitstaler mit verdrangtem Material aus den Rauheits-

spitzen wird durch die Simulation erfolgreich abgebildet. Lediglich bei der Auspragung

des Oberflachenplateaus (Hohe mit der großten Wahrscheinlichkeit) kommt es zu einer

deutlichen Abweichung von Simulation und Experiment. Auch das Abklingen der Wahr-

scheinlichkeitsdichtefunktion fur sehr große Hohen ist durch die Simulation nicht optimal

wiedergegeben. Bemerkenswert gut hingegen ist die Berechnung der Oberflachenhohen

unterhalb von -1µm fur alle Flachenpressungen. Angesichts der Tatsache, dass diese

Oberflachensegmente teils nicht im Kontakt waren, spricht dies fur die Qualitat der ver-

einfachten Modellierung der plastischen Oberflachendeformation mit Volumenerhaltung.

Die Ubereinstimmung zwischen Messung und Simulation ist im beolten Kontakt

ahnlich gut wie im trockenen Kontakt. Bei geringen Flachenpressungen (200MPa) sind

die Unterschiede zwischen trockenem und beoltem Kontakt gering. Bei 400MPa und

600MPa hingegen zeigen sich signifikante Unterschiede zwischen den Wahrscheinlich-

keitsdichtefunktionen des trockenen und beolten Kontakts. Im Vergleich zum trockenen

Kontakt ist die Spitze in der Wahrscheinlichkeitsverteilung weniger stark ausgepragt und

die Hohen sind gleichmaßiger verteilt. Ursachlich hierfur ist die Entlastung der realen

Kontaktflache durch hydrostatische Drucke in geschlossenen Schmiertaschen.

Mit 800MPa ist die identifizierte Oberflachenharte H im Einglattungsexperiment

deutlich geringer als im Hartetest (H = 1300MPa). Dies ist zum einen durch die geringe-

re Oberflachenharte im Kontakt eines deformierbaren Kegels mit einer harten Ebene im

Vergleich zum Kontakt eines harten Kegels mit einer nachgiebigen Ebene begrundet [22].

Zum anderen wird im Hartetest eine einzelne Kontaktstelle stark belastet, wahrend es

im Einglattungsversuch zu einer Vielzahl an Kontaktstellen kommt. Es ist davon auszu-

gehen, dass die einzelnen Kontaktstellen im Einglattungsversuch in verschiedenen Kon-

taktstadien sind. Neben sehr stark belasteten Kontaktstellen, deren Flachenpressung

nahe der tatsachlichen Oberflachenharte ist, wird es auch weniger stark belastet Kon-

0 200 400 6000

20

40

60

80

p in MPa

αin

%

αrealαclos

a)

0 200 400 6000

100

200

300

400

500

pges in MPa

pin

MPa

prealphyd

b)

Abbildung 6.5: Kontaktflachenanteile unter Last (a) und Anteile der Flachenpressung (b)


0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm

MessungSimulationVor Kontakt

a)

0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm

MessungSimulationSim. trockenVor Kontakt

b)

Abbildung 6.6: Abbott-Kurve trocken (a) und beolt (b) bei 200MPa Flachenpressung

0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm


a)

0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm


b)


0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm


a)

0 25 50 75 100−6

−4

−2

0

2

4

Materialanteil in %

zin

µm


b)


taktstellen geben, deren Flachenpressung deutlich geringer ist, weil der plastische Kon-

takt weniger stark ausgepragt ist. Folglich ist die im Einglattungsversuch identifizierte

Oberflachenharte tatsachlich die mittlere Flachenpressung im plastischen Kontakt, die


−6 −4 −2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

z in µm

φ(z)


a)

−6 −4 −2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

z in µm

φ(z)


b)

Abbildung 6.9: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion trocken (a) und beolt (b) bei 200MPa

Flachenpressung

−6 −4 −2 0 2 40

2

4

6

8

10

z in µm

φ(z)


a)

−6 −4 −2 0 2 40

2

4

6

8

10

z in µm

φ(z)


b)

Abbildung 6.10: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion trocken (a) und beolt (b) bei

400MPa Flachenpressung

−6 −4 −2 0 2 40

4

8

12

16

z in µm

φ(z)


a)

−6 −4 −2 0 2 40

4

8

12

16

z in µm

φ(z)


b)

Abbildung 6.11: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion trocken (a) und beolt (b) bei

600MPa Flachenpressung


wesentlich kleiner ist als die maximal mogliche Flachenpressung im plastischen Kontakt

H = 2,8 σ. Zudem uberlagern sich im Kontakt rauer Oberflachen die Spannungsfel-

der der Einzelkontakte, wodurch der Spannungszustand unter der Oberflache wesentlich

verandert wird.

Kapitel 7

Dreidimensionales plastisches

Halbraummodell

Das in Kapitel 4 skizzierte und in Kapitel 6 experimentell verifizierte vereinfachte plasti-

sche Halbraummodell mit limitierter maximaler Flachenpressung stellt einen sehr effizi-

enten, aber auch vereinfachenden Ansatz zur Simulation des elasto-plastischen Kontakts

dar. Mit seiner Hilfe konnen sowohl das Flachenpressungsfeld, als auch die plastische De-

formation der Oberflache bestimmt werden. Mit dem vereinfachten Modell ist es jedoch

nicht moglich, das Spannungsfeld und die plastischen Dehnungen unter der Oberflache

zu ermitteln. Die Modellierung des elasto-plastischen Kontakts mit der Methode der

Finiten Elemente ist genauer und ermoglicht, durch die Modellierung der dreidimensio-

nalen plastischen Deformation, einen besseren Einblick in das Verhalten der Oberflache.

Jedoch ist sie, bei feiner Diskretisierung, mit sehr großem numerischen Aufwand verbun-

den, weil die Anzahl der Freiheitsgrade durch die Volumendiskretisierung im FE-Modell

gegenuber der Oberflachendiskretisierung im Halbraummodell deutlich großer ist.

Ein weiterer Ansatz zur Modellierung des plastischen Kontakts wurde von Jacq et

al. [38] entwickelt. Das in Kapitel 4 beschriebene Halbraummodell wird in diesem Modell

um die Berechnung der dreidimensionalen plastischen Deformation mittels einer Volu-

mendiskretisierung erweitert. Aufgrund der Volumendiskretisierung ist dieses Modell

numerisch aufwandiger als das vereinfachte Modell. Jedoch wird das Kontaktproblem

weiterhin auf der Oberflache gelost, weshalb sich der Aufwand zur Losung des Kon-

taktgleichungssystems nicht erhoht. Die dreidimensionalen plastischen Dehnungen im

Halbraum werden analog zur Modellierung in der FE-Methode auf Basis der von-Mises-

Plastizitat bestimmt. Die Spannungen im Halbraum werden durch Superposition der

elastischen Spannungen, die sich aus der Flachenpressung auf der Oberflache ergeben,

und der Eigenspannungen, die ihre Ursache in den plastischen Dehnungen haben, be-

stimmt. Sowohl die elastischen Spannungen, die Eigenspannungen als auch die, durch

plastische Dehnungen verursachte, Oberflachendeformation werden mittels Einflussfunk-

tionen bestimmt.

73

74 7.1 Literaturubersicht bezuglich plastischer Halbraummodelle

7.1 Literaturubersicht bezuglich plastischer Halb-

raummodelle

Bevor das dreidimensionale plastische Halbraummodell ausfuhrlich erlautert wird, folgt

zunachst eine Literaturubersicht uber bisherige Arbeiten auf diesem Gebiet.

Jacqs Modell [38] nutzt einen Mehrgitterverfahren zur Losung des Kontaktproblems

und die schnelle Fouriertransformation (FFT) zur Faltung der Einflussfunktionen. Das

Modell wird durch den Vergleich mit FE-Simulationen und experimentellen Untersu-

chungen des elasto-plastischen Kontakts einer Diamantkugel mit einer ebenen Stahlober-

flache (Hartetest) validiert. Zudem werden Ergebnisse von Rollkontaktuntersuchungen

prasentiert.

Die Arbeit von Jacq dient zahlreichen Autoren als Grundlagen fur Weiterentwick-

lungen des dreidimensionalen plastischen Halbraummodells. Boucly et al. [19] erweitern

das Modell um den Einfluss thermischer Dehnungen, die durch Reibwarme im Gleit-

kontakt induziert werden. Die Spannungen aufgrund thermischer Dehnungen im Halb-

raum werden wie Eigenspannungen aufgrund plastischer Dehnungen behandelt. Ana-

log wird die Oberflachendeformation aufgrund thermischer Dehnungen wie die Ober-

flachendeformation durch plastische Dehnungen modelliert. In [18] fuhren Boucly et

al. den zweiseitigen plastischen Kontakt im Halbraummodell ein. Hierzu werden beid-

seitig identische Oberflachengestalt und gleiches Materialverhalten angenommen, so

dass der zweiseitige plastische Kontakt durch eine Verdopplung der plastischen Ober-

flachendeformation modelliert werden kann. Roll- und Gleitkontakt werden durch Ver-

schiebung des plastischen Dehnungsfeldes um den Roll- bzw. Gleitweg und erneute Be-

rechnung des elasto-plastischen Kontaktproblems in der neuen Konfiguration modelliert.

Tangentialkrafte durch ebene Reibung werden hierbei nicht berucksichtigt. Tangential-

krafte durch den Kontakt der Flanken von Rauheitsspitzen im Gleitkontakt werden

hingegen ausfuhrlich diskutiert.

Wang und Keer [79] schlagen vor, das plastische Dehnungsinkrement und das Inkre-

ment der plastischen Oberflachendeformation aus dem vorherigen Lastschritt als Start-

wert im nachfolgenden Lastschritt zu verwenden. Hierdurch wird die Anzahl der Itera-

tionen und somit die Berechnungszeit maßgeblich reduziert. Es wird der gleiche Plasti-

zitatsalgorithmus wie von Jacq [38] verwendet, der nicht mit perfekter Plastizitat ohne

Verfestigung kompatibel ist.

Nelias et al. [54] modellieren Verschleiß, indem sie Material aus der Oberflache entfer-

nen, dessen plastische Dehnung uber einem Grenzwert liegt. Das Modell berucksichtigt

Tangentiallasten und nutzt einen, im Vergleich zu Jacq et al. [38], robusteren und effizi-

enteren Plastizitatsalgorithmus. Dieser Plastizitatsalgorithmus wird auch in der vorlie-

genden Arbeit verwendet und ist in Kapitel 7.6 ausfuhrlich dargestellt.

Aufbauend auf dem Modell aus [54] prasentieren Nelias et al. in [53] Ergebnisse aus

Simulationen des reibungsbehafteten Gleitkontakts eines spharischen Korpers mit einer

glatten Oberflache und gleichen diese mit FE-Berechnungen ab.

In [52] verwenden Nelias et al. das dreidimensionale plastische Halbraummodell zur

7 DREIDIMENSIONALES PLASTISCHES HALBRAUMMODELL 75

Simulation des Rollens elliptischer Korper auf einer Ebene. In Folge der plastischen

Deformation bilden sich Zugeigenspannungen in der Oberflache, die fur die Entstehung

von Rissen ursachlich sein konnen.

Wang et al. [80] entwickeln ein Multiskalen-Halbraummodell einer, auf globaler Ebe-

ne, rauen Oberflache, die auf lokaler Ebene von spharischen Rauheiten uberlagert ist.

Auf lokaler Ebene wird anhand analytischer Berechnungen und elasto-plastischer Halb-

raumsimulation eine Last-Annaherungs-Funktion bestimmt. Diese Last-Annaherungs-

Funktion wird verwendet, um die elasto-plastische Deformation der Rauheiten auf lo-

kaler Ebene in der elastischen Halbraum-Kontaktsimulation auf globaler Ebene zu

berucksichtigen. Im Vergleich zu einer rein elastischen Simulation auf globaler Ebene

fuhrt die mehrskalige Modellierung zu einer kleineren realen Kontaktflache bei gleicher

Normallast, weil die einzelnen Kontaktelemente auf lokaler Ebene meist nicht vollstandig

im Kontakt sind.

In [42] prasentieren Leroux et al. ein elasto-plastisches Modell zur Simulation in-

homogener Halbraume. Inhomogenitaten konnen sehr feste Einschlusse (großer Elasti-

zitatsmodul), aber auch weiche Einschlusse oder Leervolumina sein (Elastizitatsmodul

klein bzw. gleich Null). Die Einschlusse im Halbraum werden als Volumina mit ent-

sprechenden Elastizitatsmoduln modelliert. Aufgrund der Inhomogenitat bilden sich

aquivalente Eigenspannungen, die wie Eigenspannungen aufgrund plastischer Dehnungen

behandelt werden (vgl. Kap. 7.4). Es wird gezeigt, dass Inhomogenitaten einen signifi-

kanten Einfluss auf das Spannungsfeld im Halbraum und auf das Flachenpressungsfeld

auf der Oberflache haben.

7.2 Aufbau des plastischen Halbraummodells

Das im Rahmen dieser Arbeit implementierte dreidimensionale elasto-plastische Halb-

raummodell basiert auf dem Modell von Jacq et al. [38]. Eine Kontaktsimulation beginnt

mit der Berechnung des elastischen Kontakts. Ausgehend von dem Flachenpressungsfeld

auf der Oberflache werden unter Verwendung von Einflussfunktionen die elastischen

Spannungen im Halbraum bestimmt. Hierzu wird das Volumen unter der Halbraumober-

flache bis in eine endliche Tiefe in hexaederformige Volumenelemente diskretisiert. Die,

durch alle in Kontakt stehenden Oberflachensegmente verursachten, elastischen Span-

nungen werden unter Verwendung des Superpositionsprinzips aufsummiert. Die hierzu

notwendigen Einflussfunktionen und ihre Herleitung werden in Kapitel 7.3 beschrieben.

Wenn die Vergleichsspannung in einem Volumenelement die Fließgrenze des Werk-

stoffs ubersteigt, kommt es zu plastischen Dehnungen, deren Berechnung in Kapitel 7.6

erlautert wird.

Die plastischen Dehnungen fuhren zu Eigenspannungen, die ebenfalls durch Super-

position von Einflussfunktionen (siehe Kap. 7.4) ermittelt werden. Sobald plastische

Dehnungen vorhanden sind, muss die Spannungsauswertung mit der Summe aus elas-

tischen Spannungen und Eigenspannungen durchgefuhrt werden. Die plastischen Deh-

nungen und Eigenspannungen werden iterativ bestimmt, bis die plastischen Dehnungen

76 7.2 Aufbau des plastischen Halbraummodells

konvergiert sind und die Vergleichsspannungen in allen Elementen auf oder unterhalb

der Fließgrenze liegen. Um ein Uberschwingen der plastischen Dehnungen zu vermeiden

und somit das Konvergenzverhalten dieser Iterationsschleife zu verbessern, werden die

Veranderungen der plastischen Dehnungen relaxiert, d.h. die errechnete Veranderung der

plastischen Dehnungen werden nur anteilig zu den plastischen Dehnungen aufaddiert.

Nach erfolgter Konvergenz der plastischen Dehnungen wird die Deformation der

Halbraumoberflache aufgrund der plastischen Dehnungen bestimmt. Auch hierfur wer-

den Einflussfunktionen (siehe Kap. 7.5) superponiert. In der außeren Schleife, auch Kon-

taktschleife genannt, wird eine elastische Kontaktsimulation mit deformierter Oberflache

durchgefuhrt und ein neues Flachenpressungsfeld ermittelt. Auch in der Kontaktschlei-

fe werden die Veranderungen der plastischen Oberflachendeformation relaxiert, um das

Konvergenzverhalten zu verbessern. Der gesamte elasto-plastische Kontaktalgorithmus

ist in Abb. 7.1 als Flussdiagramm dargestellt.

Der von Jacq entwickelte Algorithmus lasst die plastischen Dehnungen auskonvergie-

ren, bevor die plastische Oberflachendeformation bestimmt und der elastische Kontakt

neu berechnet wird. Dies hat sehr viele Iterationen der inneren Schleife zur Berechnung

der plastischen Dehnungen zur Folge. Weil diese Schleife die zeitintensive Berechnung

der Eigenspannungen beinhaltet, fuhrt dieses Vorgehen zu einer langen Berechnungszeit.

Um die Anzahl der notwendigen Eigenspannungsberechnungen zu reduzieren, wird

im Rahmen der vorliegenden Arbeit der in Abb. 7.2 skizzierte Algorithmus implemen-

tiert. Anstatt die plastischen Dehnungen sofort auskonvergieren zu lassen, werden diese

relaxiert und der Kontakt wird mit der, aus den relaxierten plastischen Dehnungen

herruhrenden, plastischen Oberflachendeformation neu berechnet, bevor die plastischen

Dehnungen ein weiteres Mal iteriert werden. Zwar mussen in diesem Verfahren die plas-

tische Oberflachendeformation und der Kontakt ofter bestimmt werden, jedoch ist der

Aufwand fur diese Operationen deutlich geringer als der Aufwand fur eine Eigenspan-

nungsberechnung. Wie Tabelle 7.1 an einem Beispiel einer Diskretisierung mit 32 Ele-

menten in x-, y- und z-Richtung zeigt, ist der Zeitbedarf fur die Eigenspannungsbe-

rechnung mehr als 500 mal großer als der Zeitaufwand fur den Gleichungsloser und die

Berechnung der Oberflachendeformation. Folglich dominiert die Anzahl der notwendigen

Eigenspannungsberechnungen die Berechnungszeit.

Gleichungsloser 0,0075 s

Berechnung der Eigenspannungen 7,1 s

Berechnung der Oberflachendeformation 0,011 s

Tabelle 7.1: Zeitbedarf einzelner Komponenten des dreidimensionalen plastischen Halb-

raummodells bei einer Diskretisierung mit 32× 32× 32 Elementen

Anhand einer Testsimulation des Kontakts einer starren Kugel mit einer elasto-

plastischen Ebene wird die Effizienz der Implementierungen des dreidimensionalen plas-

tischen Halbraummodells gemaß Jacq et al. [38] mit dem modifizierten Algorithmus ver-

glichen. Wie in Abb. 7.3 zu erkennen ist, benotigt der modifizierte Algorithmus deutlich

weniger Berechnungszeit als der ursprungliche Algorithmus.


Elastischer Kontakt

Elastische

Spannungen

σvm ≥ σy

Plastische

Dehnungen

Eigenspannungen

RelaxationPlastische

DehnungenRelaxation

Konvergenz-

test

Oberflachen-

deformation

Konvergenz-

test

Nachster Lastschritt

ja

nein

ja

nein

ja

nein

Abbildung 7.1: Elasto-plastisches Halbraum-Kontaktmodell

78 7.2 Aufbau des plastischen Halbraummodells

Elastischer Kontakt

Elastische

Spannungen

σvm ≥ σy

Plastische

Dehnungen

Relaxation

Eigenspannungen

Oberflachen-

deformation

Konvergenz-

test

Nachster Lastschritt

ja

ja

nein

nein

Abbildung 7.2: Modifiziertes elasto-plastisches Halbraum-Kontaktmodell

Der modifizierte Algorithmus ist zudem stabiler, weshalb er im Vergleich zum Algo-

rithmus von Jacq et al. einen zusatzlichen Lastschritt berechnen kann, bevor die Kon-

vergenzkriterien nicht mehr erreicht werden. Die großere Stabilitat außert sich auch

in einer geringeren Anzahl an Iterationen innerhalb eines Lastschritts. So braucht der

modifizierte Algorithmus durchschnittlich weniger Iterationen fur einen Lastschritt (in

diesem Berechnungsbeispiel durchschnittlich 23,6 Iterationen pro Lastschritt) als der


0 25 50 75 1000

200

400

600

800

1000

p in MPa

tin

s

JacqNeu

Abbildung 7.3: Berechnungszeit der einzelnen Lastschritte mit dem Algorithmus von

Jacq et al. und im modifizierten Algorithmus

ursprungliche Algorithmus fur eine Oberflacheniteration benotigt (in diesem Berech-

nungsbeispiel durchschnittlich 32,2 Iterationen pro Oberflacheniteration). Die großere

Stabilitat des modifizierten Algorithmus ist in der sofortigen Berucksichtigung der Ober-

flachendeformation in der Iteration der plastischen Dehnungen begrundet, die zu einer

Umverteilung der Flachenpressung und somit zu einer Entlastung des Kontaktzentrums

fuhrt.

Die mittlere Anzahl von Oberflacheniterationen pro Lastschritt im ursprunglichen

Algorithmus ist mit 1,9 verhaltnismaßig gering, weil die relative Toleranz fur plasti-

sche Oberflachendeformationen mit 1 % vergleichsweise groß gewahlt ist (vgl. Tab. 7.2).

Zudem kommt es trotz der Relaxation der plastischen Oberflachendeformation haufig

schon nach einer einzigen plastischen Iteration zu einem rein elastischen Kontakt, weil

die Flachenpressung aufgrund der deformierten Oberflachen umverteilt wird. Dies weist

auf eine mogliche Uberschatzung der plastischen Dehnungen im Algorithmus von Jacq

et al. hin, die sich aber in den Ergebnissen kaum widerspiegeln. So stimmen die plasti-

schen Oberflachendeformationen im Algorithmus von Jacq et al. und im modifizierten

Algorithmus gut uberein (vgl. Abb. 7.4 b).

Die Flachenpressung ist im ursprunglichen Algorithmus am Rand des Kontaktgebiets

etwas großer als im modifizierten Algorithmus, weil im ursprunglichen Algorithmus in

der Berechnung der plastischen Dehnungen nur die plastische Oberflachendeformation

aus der vorherigen Oberflacheniteration berucksichtigt wird (Abb. 7.4 a). Im Zentrum

des Kontakts berechnet der modifizierte Algorithmus eine etwas hohere Flachenpressung

als der ursprungliche Algorithmus, so dass die Kontaktnormalkraft in beiden Modellen

exakt 75N betragt.

Die in Tab. 7.2 aufgelisteten Toleranzen und Relaxationsfaktoren werden in allem

weiteren Simulationen mit dem dreidimensionalen plastischen Halbraummodell verwen-

det. Wegen seiner großeren Effizienz wird der modifizierte dreidimensionale plastische

Kontaktalgorithmus in allen in Kap. 8 prasentierten Simulationen genutzt.

80 7.3 Elastische Spannungen im Halbraum

−0,5 −0,25 0 0,25 0,5

100

200

300

400

500

x in mm

pin

MPa

JacqNeu

a)

−0,5 −0,25 0 0,25 0,5

−0,3

−0,2

−0,1

0

0,1

x in mm

uplin

µm

JacqNeu

b)

Abbildung 7.4: Flachenpressung (a) und plastische Oberflachendeformation (b) unter

dem Kontakt einer starren Kugel mit einer elasto-plastischen Ebene)

Toleranz fur die Fließbedingung 0,5MPa

Relative Toleranz fur plastische Dehnungen 1e-5

Relative Toleranz fur die plastische Oberflachendeformation 1e-2

Relaxationsfaktor in der Plastizitatsschleife 0,5

Relaxationsfaktor in der Oberflachendeformationsschleife 0,5

Tabelle 7.2: Toleranzen und Relaxationsfaktoren im dreidimensionalen plastischen Halb-

raummodell

7.3 Elastische Spannungen im Halbraum

Zur Bestimmung der Einflussfunktionen fur die elastischen Spannungen unter

Flachenlasten bedient man sich der Boussinesq-Losung, wie sie in den Gleichungen (4.55)

bis (4.60) dargestellt ist. Um die Losung fur Flachenlasten anstatt fur Punktlasten zu

erhalten, ist das Potential ϕ aus (4.65), bzw. seine partiellen Ableitungen, uber ein

Oberflachensegment zu integrieren

ϕ =1− 2ν

2 π

∫ b

−b

∫ a

−a

−p(ξ, η) log(R + z) d ξ d η . (7.1)

Fur den Fall einer uber das Oberflachensegment konstanten Flachenlast kann diese vor

das Integral gezogen werden und (7.1) vereinfacht sich zu

ϕ = −p 1− 2ν

2 π

∫ b

−b

∫ a

−a

log(R + z) d ξ d η . (7.2)

Die Berechnung der Einflusskoeffizienten gestaltet sich auf Grund einiger komplizierter

Integrale und Differentiale schwierig. Eine willkommene Hilfe stellen dabei die von Ah-

madi [6, 7] prasentierten Losungen mehrerer Integrale dar. Die Einflussfunktionen fur

die elastischen Spannungen im Halbraum aufgrund normaler Flachenlasten lauten

σij =p

2 π

[

Aij(x′ + a, y′ + b, z)− Aij(x

′ + a, y′ − b, z)

+Aij(x′ − a, y′ − b, z)− Aij(x

′ − a, y′ + b, z)]

,(7.3)


mit

A11 = −2ν arctan( xy

Rz

)

+ 2(1− 2ν) arctan

(x

R + y + z

)

+xyz

R(x2 + z2)(7.4)

A22 = −2ν arctan( xy

Rz

)

+ 2(1− 2ν) arctan

(y

R + x+ z

)

+xyz

R(y2 + z2)(7.5)

A33 = − arctan( xy

Rz

)

− xyz

R(x2 + z2)− xyz

R(y2 + z2)(7.6)

A12 = (2ν − 1) log(R + z)− z

R(7.7)

A23 =xz2

R(y2 + z2)(7.8)

A31 =yz2

R(x2 + z2). (7.9)

Die Koordinaten x′ und y′ beschreiben die Abstande der Mittelpunkte des belaste-

ten Oberflachensegmentes und des Volumenelements, in dem die Spannungen ausge-

wertet werden sollen, in den jeweiligen Koordinatenrichtungen. Die Einflussfunktionen

fur elastische Spannungen unter flachigen Normallasten wurden erstmals von Love [45]

prasentiert. Des Weiteren wurden von Kim et al. [41], Zhou et al. [89], Liu und Wang [43],

Jacq et al. [38] und weiteren Autoren Losungen veroffentlicht, deren Integrationskon-

stanten sich zum Teil unterscheiden. Durch die Summation uber die Integrationspunkte

heben sich diese Konstanten jedoch auf und haben folglich keinen Einfluss auf die Ein-

flussfunktionen. In Abb. 7.5 sind die analytisch und numerisch bestimmten Spannungen

unter einem Hertzschen Kontakt bzw. unter einer Kreisflache mit konstanter Flachenlast

dargestellt. Es zeigt sich eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen den Losungen.

1 0 1

0

−0,5

−1

Konstant Hertz

r/a

σ/p

σr/pσθ/pσz/p

a)

−1 −0,5 0 −0,5 −13

2

1

0Konstant Hertz

σ/p

z/a

σr/pσθ/pσz/p−τ1/p

b)

Abbildung 7.5: Spannungen auf der Oberflache (a) und entlang der z-Achse (b) un-

ter konstanter bzw. Hertzscher Flachenpressung (Linien: analytische Losung, Punkte:

numerische Losung)

Als Testbeispiel fur die Berechnung elastischer Spannungen im Normalkontakt sind

in Abb. 7.6 b - 7.9 die Spannungen unter dem Hertzschen Kontakt einer starren Kugel

82 7.3 Elastische Spannungen im Halbraum

mit einer Ebene dargestellt. Der Kugelradius betragt 40mm, die Normalkraft 100N, der

Elastizitatsmodul der Ebene 205 000MPa und die Querkontraktionszahl 0,34.

−0,50,0

−0,50,0

0,50

500

1000

y in mm

p in MPa

x in mm 0

200

400

600

800

a)

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

σ11 in MPa

x in mm

zin

mm

0

200

400

600

b)

Abbildung 7.6: Flachenpressung (a) und elastische Spannung σ11 (b) unter Hertzschem

Kontakt

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

σ22 in MPa

x in mm

zin

mm

0

200

400

600

a)

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

σ33 in MPa

x in mm

zin

mm

200

400

600

800

b)

Abbildung 7.7: Elastische Spannung σ22 (b) und σ33 (b) unter Hertzschem Kontakt

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

σ12 in MPa

zin

mm

−1

−0.5

0

0.5

1

x 10−9

a)

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

σ23 in MPa

zin

mm

0

1

2

3

x 10−9

b)

Abbildung 7.8: Elastische Spannung σ12 (b) und σ23 (b) unter Hertzschem Kontakt


−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

σ31 in MPa

x in mm

zin

mm

−100

0

100

a)

−0,5−0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

σvm in MPa

x in mm

zin

mm

100

200

300

400

500

b)

Abbildung 7.9: Elastische Spannung σ31 (b) und von-Mises-Vergleichsspannung σvm (b)

unter Hertzschem Kontakt

Losungen fur die elastischen Spannungen aufgrund flachiger Tangentiallasten wurden

zum Beispiel von Kim et al. [41] und Liu und Wang [43] veroffentlicht. Analog zu (7.3)

gilt fur tangentiale Flachenlasten tx

σij =tx2 π

[

Bij(x′ + a, y′ + b, z)− Bij(x

′ + a, y′ − b, z)

+Bij(x′ − a, y′ − b, z)− Bij(x

′ − a, y′ + b, z)]

,(7.10)

mit

B11 = 2 log(R + y) + (2ν − 1)y

R + z+

x2y

R(x2 + z2)(7.11)

B22 = 2ν log(R + y) + (1− 2ν)y

R + z− y

R(7.12)

B33 =yz2

R(x2 + z2)(7.13)

B12 = log(R + x) + (1− 2ν)x

R + z− x

R(7.14)

B23 = − z

R(7.15)

B31 =xyz

R(x2 + z2)− arctan

( xy

Rz

)

. (7.16)

7.4 Eigenspannungsberechnung

Plastische Dehnungen im Halbraum fuhren zu Eigenspannungen, die mittels Einfluss-

funktionen berechnet werden sollen. Weil die Berechnung der Eigenspannungen im Halb-

raum auf der Eigenspannungsberechnung im unendlichen Raum aufbaut, wird im Fol-

genden zuerst die Eigenspannungsberechnung im unendlichen Raum beschrieben.

84 7.4 Eigenspannungsberechnung

7.4.1 Eigenspannungen im unendlichen Raum

Zur Berechnung der Eigenspannungen im Vollraum aufgrund plastischer Dehnungen

spaltet Chiu [25] die Dehnungen in der Verzerrungs-Verschiebungs-Relation in elastische

Dehnungen εij und inelastische Dehnungen ε′ij auf

1

2(ui,j + uj,i) = εij + ε′ij . (7.17)

Wie im rein elastischen Fall gelten das Hookesche Gesetz

σij = λ δij εkk + 2µ εij (7.18)

und die Gleichgewichtsbedingung

σij,j + fi = 0 . (7.19)

Gl. (7.17) wird umgeordnet

εij =1

2(ui,j + uj,i)− ε′ij (7.20)

und in das Hookesche Stoffgesetz eingesetzt

σij = λ δij (uk,k − ε′kk) + 2µ

[1

2(ui,j + uj,i)− ε′ij

]

. (7.21)

Wie schon in der Herleitung der Navier-Gleichungen in Kapitel 4.1.1 werden die Span-

nungen nach Differentiation in die Gleichgewichtsbedingung eingesetzt. Da keine Volu-

menkrafte vorhanden sind (fi = 0) folgt

σij,j = λ δij(uk,kj − ε′kk,j

)+ 2µ

[1

2(ui,jj + uj,ij)− ε′ij,j

]

= 0 , (7.22)

beziehungsweise

λ(uk,ki − ε′kk,i

)+ µ

(ui,jj + uj,ij − 2ε′ij,j

)= 0 . (7.23)

Der, gemaß der Einsteinschen Summenkonvention, stumme Index j in uj,ij kann durch

den ebenfalls stummen Index k ersetzt werden. Damit ergibt sich analog zu Gleichung (1)

aus [25]

(λ+ µ) uk,ki + µ ui,jj = λ ε′kk,i + 2µ ε′ij,j . (7.24)

Diese Gleichungen entsprechen den Navier-Gleichungen (vgl. Gl. (4.10)), wobei anstelle

der Volumenkrafte fi die Terme fur die inelastischen Dehnungen ε′ij auftreten. Der in

Kapitel 4.1.2 dargestellte Galerkinvektor F ∗ ist eine Losung der Navier-Gleichungen.

Er soll hier zur Behandlung des Eigenspannungsproblems herangezogen werden. Der

Losungsansatz von Galerkin lautet

2µ ui = 2 (1− ν)F ∗

i,jj − F ∗

j,ji . (7.25)


Fur das vorliegende Problem gilt analog zu (4.19)

(1− ν)F ∗

i,kkmm = λ ε′kk,i + 2µ ε′ij,j . (7.26)

Durch Einsetzen der neu definierten Funktion

gij,kkmm = ε′ij (7.27)

in (7.26) erhalt man

(1− ν)F ∗

i = λ gkk,i + 2µ gij,j . (7.28)

Unter Verwendung von (7.28) kann (7.25) umgeformt werden zu

2µ ui = 2 (λ gkk,imm + 2µ gij,jmm)−1

1− ν(λ gkk,jij + 2µgjm,ijm)

=1− 2 ν

1− νλ gkk,imm + 4µ gij,jmm − 2µ

1− νgjm,ijm .

(7.29)

Durch Differentiation von (7.29) konnen die Verschiebungsgradienten im Vollraum be-

stimmt werden und anschließend in die Verzerrungs-Verschiebungs-Relation und das

Hookesche Gesetz eingesetzt werden, wodurch die Spannungen im Vollraum berechnet

werden konnen. Zuvor ist es notwendig, uber das gedehnte Element zu integrieren und

die Funktionen gij zu bestimmen.

x1

x2

x3

2

7

3

8

1

6

4

5

Abbildung 7.10: Hexaeder mit Eckpunkten

Die Vektoren cm von den acht Eckpunkten des Volumenelements zu einem beliebigen

Punkt im Vollraum sind im Folgenden aufgelistet (vgl. Abb. 7.10).

c1 = (x1 − b1, x2 − b2, x3 − b3) (7.30)

c2 = (x1 + b1, x2 − b2, x3 − b3) (7.31)

c3 = (x1 + b1, x2 + b2, x3 − b3) (7.32)

c4 = (x1 − b1, x2 + b2, x3 − b3) (7.33)


c5 = (x1 − b1, x2 + b2, x3 + b3) (7.34)

c6 = (x1 − b1, x2 − b2, x3 + b3) (7.35)

c7 = (x1 + b1, x2 − b2, x3 + b3) (7.36)

c8 = (x1 + b1, x2 + b2, x3 + b3) . (7.37)

Innerhalb des Hexaeders treten konstante inelastische Dehnungen εij auf, wahrend au-

ßerhalb des Hexaeders ausschließlich elastische Dehnungen vorhanden sind. Die inelasti-

schen Dehnungen ε′ij sind gleich dem Produkt aus der konstanten inelastische Dehnungen

εij und dem Volumenintegral f(x)

ε′ij = εij f(x) . (7.38)

Zur Bestimmung von f(x) wird die Entscheidungsfunktion k(x) definiert

k(x) =

1 innerhalb des Hexaeders

0 außerhalb des Hexaeders. (7.39)

Die Integration uber das Volumenelement wird im Fourierraum durchgefuhrt, weil dies

die Integration und Differentiation diverser Funktionen im weiteren Verlauf der Berech-

nung vereinfacht. Hierzu wird zunachst die Funktion K(ξ) eingefuhrt, die einer dreidi-

mensionalen Fouriertransformation einer Eins entspricht

K(ξ) =1

8 π3

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

1 e−i ξ x dx =−1

8 π3

e−i ξ x

i3 ξ1 ξ2 ξ3=

−i8 π3

e−i ξ x

ξ1 ξ2 ξ3(7.40)

mit

x = (x1, x2, x3) und ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) .

Im Fourierraum wird das Volumenintegral uber K(ξ) aufgestellt

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

K(ξ) dξ =−i8 π3

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

e−i ξ x

ξ1 ξ2 ξ3dξ . (7.41)

Zur Auswertung des Integrals uber K(ξ) werden die Vektoren vom Punkt x zu den

Eckpunkten, also −cn, eingesetzt. Hieraus folgt die Funktion f(x) aus Gleichung (8) in

[25]

f(x) =i

8 π3

8∑

n=1

(−1)n∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

ei ξ cn

ξ1 ξ2 ξ3dξ . (7.42)

Aus (7.27), (7.38) und (7.42) folgt

gij,kkmm = ε′ij = εij f(x) = εiji

8 π3

8∑

n=1

(−1)n∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

ei ξ cn

ξ1 ξ2 ξ3dξ . (7.43)


Zweifache Integration uber m fuhrt zu

gij,kk = εij f(x)1

ξ2m. (7.44)

Erneute zweifache Integration uber k fuhrt zu

gij = εij f(x)1

ξ2m

1

ξ2k. (7.45)

Folglich gilt

gij = εiji

8 π3

8∑

n=1

(−1)n∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

ei ξ cn

ξ1 ξ2 ξ3 (ξ21 + ξ22 + ξ23)2 dξ . (7.46)

Mit

D(cn) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

iei ξ cn

ξ1 ξ2 ξ3 (ξ21 + ξ22 + ξ23)2 dξ (7.47)

lasst sich (7.46) kompakt darstellen als

gij =εij8 π3

8∑

n=1

(−1)nD(cn) . (7.48)

Differentiation von (7.48) und Einsetzen in (7.29) fuhrt zu

2µ ui,q =1

8 π3

8∑

n=1

(−1)n[1− 2 ν

1− νλ εkkD,iqmm(cn)

+ 4µ εijD,jqmm(cn)−2µ

1− νεmj D,iqmj(cn)

]

.

(7.49)

Zur vollstandigen Bestimmung der Verschiebungsgradienten werden die vier Typen

von Differentialen D,iiii, D,iiij , D,iijj und D,iijk benotigt. In [25] werden die Herleitungen

und die folgenden Losungen fur D,1111, D,1112, D,1122 und D,1123 dargestellt

D,1111(c) = 2 π2

[

arctan

(c2 c3c1R

)

− c1 c2 c32R

(1

c21 + c22+

1

c21 + c23

)]

(7.50)

D,1112(c) = −π2

[

sign(c3) log

(

R + |c3|√

c21 + c22

)

− c21 c3(c21 + c22)R

]

(7.51)

D,1122(c) = π2 c1 c2 c3(c21 + c22)R

(7.52)

D,1123(c) = −π2 c1R. (7.53)

Alle weiteren benotigten Differentiale von D konnen durch Permutation der Indices

generiert werden. Nach Bestimmung der Verschiebungsgradienten mit (7.49) konnen


0 0,5 1 1,5 2−0,2

0,00,20,40,60,81,01,2

x1/b1

σ/−(E

ε 11)

b2 = b3

σ11, b1/b2 = 1σ11, b1/b2 = 5σ11, b1/b2 = 0, 2σ22, b1/b2 = 1σ22, b1/b2 = 5σ22, b1/b2 = 0, 2

a)

0 1 2 3 4 5−1,2

−1,0

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0,0

0,2

x2/b2

σ/(E

ε 11)

5 b1 = b2 = b3

σ11σ22σ33

b)

Abbildung 7.11: Spannungen im Vollraum auf der x1-Achse aufgrund von Dehnun-

gen ε11 (a) und Spannungen auf der x2-Achse aufgrund von Dehnungen ε11 fur 5 b1 =

b2 = b3 (b)

0 1 2 3 4 5−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0

0,2

0,4

x2/b2

σ/(E

ε 11)

b1 = b2 = b3

σ11σ22σ33

a)

0 0,5 1 1,5 2 2,5−0,6

−0,4

−0,2

0

0,2

0,4

0,6

x2/b2

σ/(E

ε 11)

0, 2 b1 = b2 = b3

σ11σ22σ33

b)

Abbildung 7.12: Spannungen im Vollraum auf der x2-Achse aufgrund von Dehnungen

ε11 fur b1 = b2 = b3 (a) und 0,2 b1 = b2 = b3 (b)

0 0,5 1 1,5 2−0,1

00,10,20,30,40,50,60,7

r/(√

3 b)

σ/(−

Eε 1

1)

b1 = b2 = b3

σ11σ22σ33σ12σ23σ31

Abbildung 7.13: Spannungen auf der Raumdiagonalen aufgrund von Dehnungen ε11 fur

b1 = b2 = b3


mittels (7.20) die elastischen Dehnungen im Vollraum bestimmt werden und unter Ver-

wendung des Hookeschen Gesetzes die Spannungen im Vollraum bestimmt werden.

Zum Abgleich der eigenen Implementierung der Eigenspannungsberechnung im Voll-

raum mit Beispielen aus der Literatur sind in Abb. 7.11 bis 7.13 die Eigenspannungen in-

folge verschiedener Dehnungszustande in Abhangigkeit vom Verhaltnis der Kantenlangen

der plastisch gedehnten Hexaeder b1, b2 und b3 dargestellt. Die Ergebnisse stimmen sehr

gut mit den in [25] und [44] dargestellten Ergebnissen uberein.

7.4.2 Bestimmung der Eigenspannungen im Halbraum durch

Superposition

Zur Bestimmung der Eigenspannungen im Halbraum werden in der Literatur zwei

Moglichkeiten beschrieben. Chiu [26] berechnet die Eigenspannungen im Halbraum durch

die Superposition der Eigenspannungen aufgrund zweier gedehnter Hexaeder im unend-

lichen Raum und der elastischen Spannungen durch fiktive Oberflachenlasten. Dieser

Ansatz wird spater in diesem Kapitel eingehend erlautert. Liu [44] hingegen verwendet

eine direkte Losung fur die Spannungen, indem er die Galerkinvektoren fur den Halb-

raum [50, 88] verwendet. Der Ansatz von Liu erscheint logischer als der Ansatz von Chiu,

ist aber komplizierter. Da beide Ansatze zu identischen Ergebnissen fuhren [44], spricht

nichts dagegen, den Ansatz von Chiu zu verwenden.

Bevor der Losungsansatz von Chiu ausfuhrlich dargestellt wird, sollen zunachst die

auf der Halbraumoberflache zu erfullenden Randbedingungen erlautert werden. Die

durch plastische Deformation im Halbraum verursachten Spannungen sind Eigenspan-

nungen, also mechanische Spannungen in einem Korper, der frei von außeren Lasten ist.

Folglich muss die Halbraumoberflache frei von außeren Spannungen sein. Es muss also

gelten

σ33 = 0 , σ23 = 0 und σ31 = 0 . (7.54)

Die Losung fur die Eigenspannungen im Halbraum durch einen inelastisch gedehnten

Hexaeder in einer Tiefe zo unter der Halbraumoberflache setzt sich aus drei Teillosungen

zusammen.

Die erste Teillosung sind die Eigenspannungen im unendlichen Raum aufgrund eines

Quaders, dessen Zentrum in einer Tiefe zo unter der Halbraumoberflache liegt. Auf der

Halbraumoberflache sind in diesem Fall alle Spannungskomponenten ungleich Null, die

Randbedingungen auf der Oberflache werden also nicht erfullt.

Die zweite Losungskomponente sind die Eigenspannungen im unendlichen Raum

durch einen inelastisch gedehnten Hexaeder, dessen Zentrum sich im Abstand zo uber

der Halbraumoberflache befindet. In diesem sogenannten Spiegelelement sind die Schub-

spannungen ε23 und ε31 invertiert

σm23 = −σ23 und σm

31 = −σ31 . (7.55)

Die Superposition der ersten beiden Teillosungen fuhrt zu einer Halbraumoberflache,

die frei von Schubspannungen σ23 und σ31 ist. Es verbleiben Normalspannungen σ33 auf


der Oberflache, die dem Doppelten der Normalspannungen durch die erste Teillosung

entsprechen.

x1x2

x3

x1x2

x3

x1x2

x3

x1x2

x3

+ + =

Abbildung 7.14: Bestimmung der Eigenspannungen im Halbraum durch Superposition

Die dritte Teillosung sind die elastischen Spannungen im Halbraum aufgrund fikti-

ver Normalspannungen auf der Oberflache. Die fiktiven Normalspannungen entsprechen

betragsmaßig den Normallasten aus Teillosung Eins und Zwei, sind ihnen jedoch ent-

gegen gerichtet, so dass die Oberflache nach Superposition der drei Teillosungen frei

von Normalspannungen ist. Die Berechnung der Spannungen aufgrund der fiktiven Nor-

mallasten erfolgt exakt wie die Berechnung der elastischen Spannungen aufgrund realer

Oberflachenlasten, wie sie in Kapitel 7.3 beschrieben wird. Die Superposition der drei

Teillosung fuhrt zu einem Eigenspannungsfeld, dass alle Randbedingungen auf der Halb-

raumoberflache (7.54) erfullt.

Abb. 7.15 b und 7.16 zeigen die Eigenspannungen im Halbraum aufgrund eines inelas-

tisch gedehnten Wurfels in der Tiefe zo unter der Halbraumoberflache. Die dargestellten

Ergebnisse stimmen sehr gut mit den Ergebnissen von Chiu [26] und Liu [44] uberein.

In Abb. 7.17 b - 7.20 sind die Eigenspannungen im Halbraum aufgrund eines iso-

trop gedehnten Wurfels dargestellt (ε11 = ε22 = ε33 = 0,001). Die Kantenlange des

Wurfels betragt 0,5mm, sein Zentrum liegt 0,5mm unter der Halbraumoberflache, der

Elastizitatsmodul und die Querkontraktionszahl betragen 205 000MPa bzw. 0,34. Erwar-

tungsgemaß weisen die Normalspannungen Sprunge an den Wurfelkanten auf und die

Schubeigenspannungen σ12 und σ23 sind numerisch Null. Die Schubeigenspannung σ31tragt wesentlich zur von-Mises-Vergleichseigenspannung bei.


A

B

C

D

zo

2 b

a)

1 2 3 4 5 6−1,2

−0,8

−0,4

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

zo/b

σ/(E

ε)

σ11, Aσ33, Aσ11, Bσ33, Bσ11, Cσ33, Cσ11, Dσ33, D

b)

Abbildung 7.15: Positionen der Punkte zur Spannungsauswertung (a) und Spannungen

im Halbraum aufgrund isotroper plastischer Dehnungen ε11 = ε22 = ε33 = ε (b)

1 2 3 4 5 6−0,6−0,4−0,2

0,00,20,40,60,8

1

zo/b

σ/(E

ε 22)

σ11, Aσ22, Aσ33, Aσ11, Bσ22, Bσ33, Bσ11, Cσ22, Cσ33, C

a)

1 2 3 4 5 6−0,6

−0,4

−0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

zo/b

σ/(E

ε 33)

σ11, Aσ33, Aσ11, Bσ33, Bσ11, C,Dσ33, C,D

b)

Abbildung 7.16: Spannungen im Halbraum aufgrund plastischer Dehnungen ε22 (a) und

ε33 (b)

x1

x2 x30,5mm

0,5mm

0,5mm0,5mm

a)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ11, res in MPa

z in mm

−200

−100

0

100

b)

Abbildung 7.17: Isotrop gedehnter Wurfel im Halbraum (ε11 = ε22 = ε33 = 0,001) (a)

und Eigenspannungen σ11 (b)


00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ22, res in MPa

z in mm

−200

−100

0

100

a)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ33, res in MPa

z in mm

−200

−100

0

100

b)

Abbildung 7.18: Eigenspannungen σ22 (a) und σ33 (b)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ12, res in MPa

z in mm

−5

0

5

x 10−12

a)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ23, res in MPa

z in mm

−5

0

5

x 10−12

b)

Abbildung 7.19: Eigenspannungen σ12 (a) und σ23 (b)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

−250

0

250

x in mm

σ31, res in MPa

z in mm

−100

0

100

a)

00,25

0,50,75

1 −0,5

0,0

0

200

400

x in mm

σvm, res in MPa

z in mm

50

100

150

200

250

300

b)

Abbildung 7.20: Eigenspannungen σ31 (a) und von-Mises-Vergleichseigen-

spannung σvm (b)


7.5 Oberflachendeformation aufgrund plastischer

Dehnungen im Halbraum

Plastische Dehnungen im Halbraum verursachen neben Eigenspannungen auch eine De-

formation der Halbraumoberflache, die sich auf die Große der realen Kontaktflache und

das Flachenpressungsfeld auswirkt. Zur Herleitung der Einflussfunktionen fur die Ober-

flachendeformation aufgrund plastischer Dehnungen ist zunachst eine kurze Abhandlung

der elastischen Deformationsenergie und des Satzes von Betti hilfreich.

7.5.1 Elastische Deformationsenergie

Fur die in einem elastischen Korper gespeicherte Deformationsenergie W gilt

W =

∫

Ω

σij εij dΩ . (7.56)

Mit der Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung folgt

∫

Ω

σij εij dΩ =

∫

Ω

σij1

2(ui,j + uj,i) dΩ . (7.57)

Aufgrund der Symmetrie des Verschiebungsgradienten gilt

∫

Ω

σij εij dΩ =

∫

Ω

σij ui,j dΩ . (7.58)

Mit der Produktregel der Differentialrechnung folgt

∫

Ω

σij εij dΩ =

∫

Ω

(σij ui),j dΩ−∫

Ω

σij,j ui dΩ . (7.59)

Unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingung σij,j + fi = 0 folgt

∫

Ω

σij εij dΩ =

∫

Ω

(σij ui),j dΩ +

∫

Ω

fi ui dΩ . (7.60)

Anwendung des Gaußschen Integralsatzes

∫

Ω

σij,j dΩ =

∫

Γ

σij nj dΓ (7.61)

fuhrt zu

∫

Ω

σij εij dΩ = −∫

Γ

ui σij nj dΓ +

∫

Ω

fi ui dΩ . (7.62)

Der Vorzeichenwechsel im ersten Term der rechten Seite ist durch die Orientierung des

Normalenvektors in positiver z-Richtung, also in den Halbraum hinein, begrundet.

94 7.5 Oberflachendeformation aufgrund plastischer Dehnungen im Halbraum

7.5.2 Satz von Betti

Der Satz von Betti besagt, dass in zwei linear elastischen Gleichgewichtszustanden A

und B die Arbeit der Krafte des Systems A an den Verschiebungen des Systems B

gleich der Arbeit der Krafte des Systems B an den Verschiebungen des Systems A ist.

Aus der elastischen Deformationsenergie kann der Satz von Betti in einfacher Weise

hergeleitet werden, siehe z.B. [83]. Im System A treten die Großen σ, f , ε und uA

auf, wahrend im System B die Großen σ∗, f ∗, ε∗ und u∗ auftreten. Fur die elastischen

Deformationsenergien gilt

∫

Ω

σij ε∗

ij dΩ = −∫

Γ

u∗i σij nj dΓ +

∫

Ω

fi u∗

i dΩ (7.63)

und∫

Ω

σ∗

ij εij dΩ = −∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ +

∫

Ω

f ∗

i uAi dΩ . (7.64)

Aufgrund der Symmetrie des Hookeschen Stoffgesetzes gilt

∫

Ω

σij ε∗

ij dΩ =

∫

Ω

εij Cijkl ε∗

kl dΩ =

∫

Ω

ε∗kl Cklij εij dΩ =

∫

Ω

σ∗

ij εij dΩ . (7.65)

Aus (7.63), (7.64) und (7.65) folgt der Satz von Betti in allgemeiner Form

−∫

Γ

u∗i σij nj dΓ +

∫

Ω

fi u∗

i dΩ = −∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ +

∫

Ω

f ∗

i uAi dΩ . (7.66)

7.5.3 Anwendung des Satzes von Betti auf die Berechnung der

Oberflachendeformation

Zur Herleitung der Oberflachendeformation aufgrund plastischer Deformationen nutzen

Jacq et al. [38] den Satz von Betti. Die folgende Herleitung lehnt sich an diese Quelle

an.

Fur den Fall plastischer Dehnungen im System A setzen sich die Verschiebun-

gen uAi aus einem elastischen Anteil ui und einem plastischen Anteil upli zusammen.

Mit uAi = ui − upli gilt fur den ersten Term der rechten Seite von (7.66)

−∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ = −∫

Γ

ui σ∗

ij nj dΓ +

∫

Γ

upli σ∗

ij nj dΓ . (7.67)

Anwendung des Gaußschen Integralsatzes fuhrt zu

−∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ = −∫

Γ

ui σ∗

ij nj dΓ−∫

Ω

(

σ∗

ij upli

)

,jdΩ . (7.68)

Mit der Produktregel der Differentialrechnung folgt

−∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ = −∫

Γ

ui σ∗

ij nj dΓ−∫

Ω

σ∗

ij,j upli dΩ−

∫

Ω

σ∗

ij upli,j dΩ . (7.69)


Aus Symmetriegrunden gilt

−∫

Γ

uAi σ∗

ij nj dΓ = −∫

Γ

ui σ∗

ij nj dΓ−∫

Ω

σ∗

ij,j upli dΩ−

∫

Ω

σ∗

ij εplij dΩ . (7.70)

Fur den zweiten Term der rechten Seite von (7.66) folgt

∫

Ω

f ∗

i uAi dΩ =

∫

Ω

f ∗

i ui dΩ−∫

Ω

f ∗

i upli dΩ . (7.71)

Unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingung gilt

∫

Ω

f ∗

i uAi dΩ =

∫

Ω

f ∗

i ui dΩ +

∫

Ω

σ∗

ij,j upli dΩ . (7.72)

Aus (7.66), (7.70) und (7.72) folgt entsprechend Gleichung (1.12) aus [38]

−∫

Γ

u∗i σij nj dΓ+

∫

Ω

fi u∗

i dΩ = −∫

Γ

ui σ∗

ij nj dΓ−∫

Ω

σ∗

ij εplij dΩ+

∫

Ω

f ∗

i ui dΩ . (7.73)

Mit σij nj = −pi gilt∫

Γ

u∗i pi dΓ +

∫

Ω

fi u∗

i dΩ =

∫

Γ

ui p∗

i dΓ−∫

Ω

σ∗

ij εplij dΩ +

∫

Ω

f ∗

i ui dΩ . (7.74)

Im betrachteten Fall beschreibt das System A (σ, p, f = 0, εA=ε+εpl, uA=u+upl) einen

Halbraum frei von Volumenlasten mit plastischen Dehnungen und das System B (σ∗,

p∗, f ∗ = 0, ε∗, u∗) beschreibt einen Halbraum frei von Volumenkraften und plastischen

Dehnungen unter einer Punktlast auf der Oberflache in Normalenrichtung. Aus (7.74)

wird dann∫

Γ

u∗i pi dΓ =

∫

Γ

ui p∗

i dΓ−∫

Ω

σ∗


Die Flachenpressung p∗ ist nur im Ursprung U ungleich Null. Es gilt die Fallunterschei-

dung

p∗ =

1

dx dyfur x = y = 0

0 sonst

. (7.76)

Es folgt

∫

Γ

u∗i pi dΓ = ui(U)−∫

Ω

σ∗


Umordnen der Terme und Einsetzen des Hookeschen Stoffgesetzes fuhrt zu

ui(U) =

∫

Γ

u∗i pi dΓ +

∫

Ω

ε∗ij Cijkl εplkl dΩ . (7.78)

96 7.5 Oberflachendeformation aufgrund plastischer Dehnungen im Halbraum

Aufgrund der Symmetrie des Stoffgesetzes und der Dehnungstensoren gilt

ui(U) =

∫

Γ

u∗i pi dΓ+

∫

Ω

εplkl Cklij ε∗

ij dΩ =

∫

Γ

u∗i pi dΓ+

∫

Ω

(

λ δij εplkk + 2µ εplij

)

ε∗ij dΩ .

(7.79)

Wegen der Volumenerhaltung bei plastischer Deformation ist die Spur der plastischen

Dehnungen εplkk gleich Null und es folgt

ui(U) =

∫

Γ

u∗i pi dΓ + 2µ

∫

Ω

εplij ε∗

ij dΩ . (7.80)

Der erste Term der rechten Seite von (7.80) entspricht der Oberflachenverschiebung auf-

grund von Oberflachenlasten, wahrend der zweite Term der Oberflachenverschiebung ur

durch plastische Dehnungen im Halbraum entspricht. Daher gilt

uri (U) = 2µ

∫

Ω

εplij ε∗

ij dΩ = µ

∫

Ω

εplij(u∗i,j + u∗j,i

)dΩ . (7.81)

Fur Oberflachenverschiebungen in z-Richtung entsprechen die Verschiebungen u∗i den

Verschiebungen ui aus (4.72) bis (4.74), die im Folgenden als u∗3 bezeichnet werden, um

Verwechslungen zu vermeiden. Die plastischen Dehnungen werden uber den gedehnten

Hexaeder als konstant angenommen. Es folgt

ur3(U) = µ εplij

∫

Ω

u∗3i,j + u∗3j,i dΩ . (7.82)

Die Integration uber das Volumen des plastisch gedehnten Quaders erfolgt wie bei der

Eigenspannungsberechnung in Kapitel 7.4.1. Mit der Hilfsfunktion

D3ij =

∫ b1

−b1

∫ b2

−b2

∫ b3

−b3

u∗3i,j + u∗3j,i dz dy dx . (7.83)

folgt

ur3(U) = µ εplij D3ij (7.84)

mit

D311 = 2

∫ b2

b2

∫ b3

b3

u∗31 dz dy (7.85)

D322 = 2

∫ b1

b1

∫ b3

b3

u∗32 dz dx (7.86)

D333 = 2

∫ b1

b1

∫ b2

b2

u∗33 dy dx (7.87)

D312 =

∫ b1

b1

∫ b3

b3

u∗31 dz dx+

∫ b2

b2

∫ b3

b3

u∗32 dz dy (7.88)


D323 =

∫ b1

b1

∫ b2

b2

u∗32 dy dx+

∫ b1

b1

∫ b3

b3

u∗33 dz dx (7.89)

D331 =

∫ b2

b2

∫ b3

b3

u∗33 dz dy +

∫ b1

b1

∫ b2

b2

u∗31 dy dx . (7.90)

Mit den Ortsvektoren cm der Hexaederecken (7.30) bis (7.37) gilt

D3ij = −Hij(c1)+Hij(c2)−Hij(c3)+Hij(c4)−Hij(c5)+Hij(c6)−Hij(c7)+Hij(c8) . (7.91)

Die Funktionen Hij sind in [38] gegeben als

H11(x, y, z) =1

π

[

−ν x log(y +R)− (1− 2 ν) z arctan

(y + z +R

x

)]

(7.92)

H22(x, y, z) =1

π

[

−ν y log(x+R)− (1− 2 ν) z arctan

(x+ z +R

y

)]

(7.93)

H33(x, y, z) =1

π

[

(1− ν)

2 z arctan

(x+ y +R

z

)

+ x log(y +R) + y log(x+R)

+z

2arctan

( x y

z R

) ] (7.94)

H12(x, y, z) =1

π[−2 ν R− (1− 2 ν) z log(z +R)] (7.95)

H23(x, y, z) =1

π

[

2 y arctan

(x+ z +R

y

)

+ x log(z +R)

]

(7.96)

H31(x, y, z) =1

π

[

2 x arctan

(y + z +R

x

)

+ y log(z +R)

]

. (7.97)

In Abb. 7.21 b ist die Oberflachenverschiebung aufgrund plastischer Dehnungen eines

Hexaeders der Kantenlange 2 b in Abhangigkeit des Abstandes zo zwischen dem Zentrum

des Hexaeders und der Oberflache dargestellt. Die Oberflachenverschiebungen stimmen

A

zo

2 b

a)

1 2 3 4−2,5

2

−1,5

−1

−0,5

0

zo/b

u3/(bε o)

ε11 = εoε33 = εoε11 = ε22 = ε33 = εo

b)

Abbildung 7.21: Plastisch gedehnter Wurfel im Halbraum (a) und Ober-

flachendeformation am Punkt A in Abhangigkeit von der Position des Wurfels (b)

98 7.6 Plastische Dehnungen

sehr gut mit den in Abb. 5 in [26] und in Abb. 4 in [44] prasentieren Ergebnissen uberein.

Abb. 7.22 b zeigt die Oberflachendeformation aufgrund eines isotrop gedehnten Wurfels

(ε11 = ε22 = ε33 = 0,001) in einer Tiefe von 0,5mm unter der Halbraumoberflache.

x1

x2 x30,5mm

0,5mm

0,5mm0,5mm

a)

−0,5 0,0

0,5 −0,5

0,0

0,0

0,125

0,25

y in mm

u3, pl in µm

x in mm 0,05

0,1

0,15

0,2

b)

Abbildung 7.22: Plastisch gedehnter Wurfel im Halbraum in 0,5mm Tiefe (a) und die

von ihm verursachte Oberflachendeformation (b)

7.6 Plastische Dehnungen

Die Modellierung plastischen Materialverhaltens ist wegen seiner großen Bedeutung in

vielen technischen Anwendungen, wie zum Beispiel der Umformtechnik, ein vielbeachte-

tes Teilgebiet der Kontinuumsmechanik. Folglich finden sich in zahlreichen Fachbuchern

Abhandlungen der numerischen Modellierung der Plastizitat mit der Finite-Elemente-

Methode. Geeignete Quellen zu den allgemeinen kontinuumsmechanischen Grundlagen

der Plastizitat sind die Bucher von Simo und Hughes [67], de Souza Neto et al. [69] und

Wriggers [87]. Der in dieser Arbeit implementierte Radial-Return-Mapping Algorith-

mus, der im Folgenden dargestellt wird, wurde von Fotiu und Nemat-Nasser entwickelt

[30]. Eine sehr leserfreundliche Darstellung im Kontext des Halbraummodells ist in einer

Veroffentlichung von Nelias zu finden [54].

Charakteristisch fur das Verhalten von Umformstahlen ist das Vorhandensein einer

ausgepragten Fließgrenze σy. Unterhalb dieser Spannung verhalt sich der Stahl elastisch,

die Deformation ist also reversibel. Belastet man den Stahl uber seine Fließgrenze hin-

aus, so flacht die Spannungs-Dehnungs-Kurve ab und es kommt neben den elastischen

Deformationen zusatzlich zu plastischer, also irreversibler, Deformation.

Die Fließgrenze ist eine skalare Große, die den Beginn plastischen Fließens unter ein-

achsiger Last beschreibt. Zur Behandlung mehrachsige Spannungszustande werden Ver-

gleichsspannungen verwendet, die mehrachsige Spannungszustande mit einem skalaren

Vergleichswert beschreiben. Eine Vergleichsspannungshypothese, die sich fur die Model-

lierung von Stahlen besonders eignet, ist die auf der Gestaltanderungsenergiehypothese


ε

σ

εp

σy o

Abbildung 7.23: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

basierende von-Mises-Vergleichsspannung

σvm =√

σ211 + σ2

22 + σ233 − σ11σ22 − σ22σ33 − σ33σ11 + 3 (σ2

12 + σ223 + σ2

31) . (7.98)

Die von-Mises-Vergleichsspannung ist unabhangig von den hydrostatischen Anteilen

des Spannungstensors und folglich ausschließlich vom Spannungsdeviator sij abhangig.

Der Spannungsdeviator entspricht dem Spannungstensor abzuglich der hydrostatischen

Spannungen σhyd

s =

σ11 − σhyd σ12 σ13σ22 − σhyd σ23

sym. σ33 − σhyd

(7.99)

mit

σhyd =σ11 + σ22 + σ33

3, (7.100)

beziehungsweise in Indexschreibweise

sij = σij −1

3δij σkk . (7.101)

Unter Verwendung der zweiten Invarianten J ′

2 des Spannungsdeviators sij kann die von-

Mises-Vergleichsspannung wie folgt dargestellt werden

σvm =√

3 J ′

2 (7.102)

mit

J ′

2 =1

2sij sij . (7.103)

Plastische Deformationen treten auf, wenn die Vergleichsspannung die Fließgrenze σydes Werkstoffes ubersteigt. Die Fließbedingung ff lautet

ff = σvm − σy ≤ 0 , (7.104)


beziehungsweise mit Hilfe des Spannungsdeviators ausgedruckt

ff =

√

3

2sij sij − σy ≤ 0 . (7.105)

Tritt plastisches Fließen ein, so setzt sich die gesamte Dehnung ε aus einem elastischen

Dehnungsanteil εel und einem plastischen Anteil εpl zusammen. Im Rahmen der linearen

Kontinuumsmechanik kleiner Deformationen kann eine additive Zerlegung der Dehnun-

gen vorgenommen werden. Es gilt

ε = εel + εpl . (7.106)

Die Wahl der additiven Zerlegung der Deformation anstatt einer multiplikativen Zerle-

gung, wie sie im Rahmen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik großer Deformationen

auftritt, ist durch das Halbraummodell begrundet, das per se ein lineares Modell ist.

Die Rate der plastischen Dehnungen εpl wird durch ein assoziiertes Fließgesetz be-

stimmt

εpl = γ∂ ff∂ s

. (7.107)

Die Richtung der plastischen Dehnungen ist bei assoziierten Fließgesetzen normal zur

Fließflache. Fur die von-Mises-Fließfunktion gilt das Fließgesetz von Levy-Mises

εpl = γ s . (7.108)

Die Richtung der plastischen Deformation ist in diesem Fall durch den normierten Span-

nungsdeviator s gegeben. Zur Bestimmung der plastischen Dehnungen ist es erforderlich

neben der Richtung der plastischen Dehnung auch ihren Betrag zu kennen. Hierzu dient

der Proportionalitatsfaktor γ, der auch plastische Vergleichsdehnungsrate genannt wird.

Zur kontinuumsmechanisch korrekten Modellierung plastischen Verhaltens mussen

die Karush-Kuhn-Tucker Komplementaritatsbedingungen stets erfullt sein. Diese lauten

ff ≤ 0 , (7.109)

γ ≥ 0 (7.110)

und

γ ff = 0 . (7.111)

Gemaß Bedingung (7.109) sind nur Spannungszustande zulassig, die innerhalb oder auf

der Fließflache liegen, es sind also keine die Fließgrenze ubersteigenden Vergleichsspan-

nungen zulassig. Des Weiteren sind die plastische Deformation und der Spannungsdevia-

tor gleich gerichtet (7.110). Plastische Deformationen treten nur auf, wenn die Fließfunk-

tion gleich Null ist, bei elastischen Spannungszustanden(ff < 0) treten keine plastischen

Deformationen auf (7.111).


Bei elastisch-perfekt plastischen Werkstoffen ist die Fließgrenze eine konstante Große.

Bei Stahlen ist sie in der Regel abhangig von der Belastungsgeschichte. In der Umform-

technik ist die Verfestigung durch plastische Deformation von besonderer Bedeutung.

Man unterscheidet zwischen isotroper und kinematischer Verfestigung.

Bei isotroper Verfestigung kommt es zu einer isotropen Aufweitung der Fließflachen,

also zu einem Anstieg der Fließgrenze. Die Fließgrenze ist bei isotroper Verfestigung eine

Funktion der plastischen Vergleichsdehnung γ. Im einfachsten Fall kommt es zu einer

linearen Verfestigung ausgehend von der Ausgangsfließspannung σy o mit dem isotropen

Verfestigungsfaktor Hiso

σy(γ) = σy o + γ Hiso . (7.112)

Bei kinematischer Verfestigung, auch Bauschinger-Effekt genannt, kommt es zu einer

Verschiebung der Fließflache im Spannungsraum unter Beibehaltung ihrer Form. Das

Zentrum der Fließflache wird um die sogenannte Ruckspannung β (engl. back-stress)

aus dem Ursprung des Spannungsraumes verschoben. Auch die Ruckspannung ist eine

deviatorische Spannung, so dass die Fließfunktion unter Berucksichtigung kinematischer

Verfestigung wie folgt dargestellt werden kann

ff =√

3 J ′

2(s− β)− σy ≤ 0 . (7.113)

Kinematische Verfestigung ist insbesondere bei Lastumkehr relevant. Bei Kombination

von isotroper und kinematischer Verfestigung lautet die Fließfunktion

ff =√

3 J ′

2(s− β)− σy o − γ Hiso ≤ 0 . (7.114)

Der normierte Spannungsdeviator ist definiert als

s =3 s

2 σvm. (7.115)

Es gilt

s : s =3

2. (7.116)

Fur die plastische Vergleichsdehnungsrate folgt aus (7.108) und (7.116)

γ =εpl

s=

√

εpl

s:εpl

s=

√

2

3εpl : εpl . (7.117)

Fur die Vergleichsdehnungsrate e gilt mit deviatorischen Anteilen ε′ der Dehnungsraten

e =

√

2

3ε′ : ε′ . (7.118)

Hieraus folgt

ε′ = eη (7.119)


mit

η : η =3

2. (7.120)

Mit (7.115) und (7.116) kann s dargestellt werden als

s = s : ss

σvm. (7.121)

Es folgt

σvm = s : s . (7.122)

Aus dem Hookeschen Gesetz (4.3) folgt mit (7.106)

s = 2µ(ε′ − εpl

). (7.123)

Mit (7.122) gilt

σvm = 2µ ε′ : s− 2µ εpl : s , (7.124)

beziehungsweise in Raten dargestellt

σvm = 2µ ε′ : s− 2µ εpl : s . (7.125)

Mit (7.108) und (7.119) folgt

σvm = 2µ eη : s− 2µ γ s : s . (7.126)

Weil η und s kollinear sind gilt

σvm = 2µ e3

2− 2µ γ

3

2= 3µ e− 3µ γ . (7.127)

Hieraus folgt

σvm = 3µ e− 3µ γ . (7.128)

Die partielle Ableitung der Vergleichsspannung nach γ lautet folglich

∂ σvm∂ γ

= −3µ (7.129)

und es gilt

∆σvm = −3µ∆ γ . (7.130)

Im Plastizitatsalgorithmus des Halbraummodells soll isotrope Verfestigung

berucksichtigt werden, daher ist es notwendig, zur Bestimmung von ∆ γ die Fließfunk-

tion zu linearisieren. Aus (7.104) folgt

fL = ff + f,σvm∆ σvm + f,γ ∆ γ = 0 . (7.131)


Mit

f,σvm= 1 , (7.132)

f,γ = −σy,γ (7.133)

und (7.130) folgt

ff − 3µ∆ γ − σy,γ ∆ γ = 0 . (7.134)

Auflosen nach ∆ γ fuhrt zu

∆ γ =ff

3µ+ σy,γ. (7.135)

Somit ist es moglich, ein beliebiges isotropes Verfestigungsverhalten zu modellieren. Es

muss lediglich die Steigung σy,γ(γ) der Fließkurve bekannt sein. Im Fall linearer isotroper

Verfestigung gilt

∆ γ =ff

3µ+Hiso. (7.136)

Kapitel 8

Ergebnisse der dreidimensionalen

plastischen Halbraumsimulation

Beginnend mit dem Abgleich des Modells mit FE-Berechnungen des elasto-plastischen

Kontakts einer Kugel mit einer glatten Ebene wird das dreidimensionale plastische Halb-

raummodell in diesem Kapitel in Kontaktsimulationen genutzt. Nach der Untersuchung

des Einflusses der Verfestigung auf den Kontakt (Kap. 8.2) wird der Kontakt rauer

Oberflachen betrachtet (Kap. 8.3).

8.1 Kontakt einer Kugel mit einer glatten elasto-

plastischen Ebene

Um das dreidimensionale plastische Halbraummodell zu testen und mit der Finite-

Elemente-Methode abzugleichen, wurde der Kontakt einer starren Kugel mit einer elasto-

plastischen Ebene simuliert. Der Radius der Kugel betragt 40mm, der Elastizitatsmodul

der Ebene betragt 205 000MPa und die Querkontraktionszahl ist 0,34. Die Ausgangsfließ-

spannung σy o betragt 200MPa und der isotrope Verfestigungsfaktor Hiso ist 1550MPa,

so dass fur die Fließgrenze gilt:

σy = 200MPa + γ · 1550MPa . (8.1)

Fur die FE-Simulation in Abaqus 6.11 wird ein achsensymmetrisches Modell mit mehr als

6000 quadratischen Rechteckselementen (Abaqus: CAX8) verwendet. Bei einer Normal-

kraft von 70N ergeben sich fur das Halbraummodell eine Flachenpressung und eine Ober-

flachendeformation, die sehr gut mit den Ergebnissen des FE-Modells ubereinstimmen

(Abb. 8.1).

Die von-Mises-Vergleichsspannung ist unter dem Kontaktgebiet sowohl im Halbraum-

modell als auch im FE-Modell in einem weiten Bereich gleich oder nahezu gleich der

Fließgrenze. Der Bereich großer Vergleichsspannung erreicht am Rand des Kontaktge-

biets die Oberflache. Die plastischen Dehnungen hingegen beschranken sich auf einen

linsenformigen Bereich unter der Oberflache.

105

106 8.1 Kontakt einer Kugel mit einer glatten elasto-plastischen Ebene

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

100

200

300

400

500

x in mm

pin

MPa

HalbraumFE

a)

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

−0,3

−0,2

−0,1

0

0,1

0,2

x in mm

uplin

µm

HalbraumFE

b)

Abbildung 8.1: Flachenpressung (a) und plastische Oberflachendeformation (b) im Ku-

gelkontakt

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

zin

mm

ε pl,eq

in%

0,0

0,05

0,1

0,15

a)

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

b)

Abbildung 8.2: Plastische Vergleichsdehnung (a) und von-Mises-Vergleichsspannung (b)

im Kugelkontakt in der Halbraumsimulation

(Avg: 75%)PEEQ

+0.00e+00+1.87e−04+3.74e−04+5.61e−04+7.47e−04+9.34e−04+1.12e−03+1.31e−03+1.49e−03+1.68e−03+1.87e−03

a)

(Avg: 75%)S, Mises

0 21 41 62 83104124145166186207

b)

Abbildung 8.3: Plastische Vergleichsdehnung (a) und von-Mises-Vergleichsspannung (b)

im Kugelkontakt in der FE-Simulation

8 ERGEBNISSE DER DREIDIMENSIONALEN PLASTISCHEN HR-SIM. 107

Die maximale Flachenpressung betragt 461MPa und somit das 2,3-fache der Fließ-

grenze. Somit liegt die maximale Flachenpressung in der Halbraumsimulation des Kugel-

kontakts unter dem Limit von 2,8 mal der Fließgrenze, wie es analytisch von Hencky [36]

und experimentell von Bowden und Tabor [22] bestimmt wurde. Jedoch steigt die maxi-

male Flachenpressung in Abb. 8.6 mit der mittleren Flachenpressung auch bei mehr als

50MPa leicht an, so dass bei großerer mittlerer Flachenpressung mit einer großeren ma-

ximalen Flachenpressung zu rechnen ist. Durch die plastische Oberflachendeformation

kommt es im Vergleich zum rein elastischen Kontakt zu einem Wachstum der realen

Kontaktflache um 30% und einer Abnahme der maximalen Flachenpressung um 41%

(vgl. Tab. 8.2). Die globale Annaherung der Oberflachen uo hingegen steigt nur um 9,5%.

0 25 50 750

5

10

15

20

p in MPa

αrealin

%

ElastischPlastisch

a)

0 25 50 750

0,5

1,0

1,5

p in MPa

uoin

µm

ElastischPlastisch

b)

Abbildung 8.4: Kontaktflachenanteil-Last-Kurve (a) und Annaherungs-Last-Kurve (b)

im Kugelkontakt (Halbraum)

0 25 50 750

0,05

0,1

0,15

0,2

p in MPa

ε pl,eq,m

axin

%

a)

0 25 50 750

0,1

0,2

0,3

0,4

p in MPa

upl,maxin

µm

b)

Abbildung 8.5: Maximale plastische Vergleichsdehnung (a) und maximale plastische

Oberflachendeformation (b) im Kugelkontakt (Halbraum)

108 8.2 Verfestigungseinfluss im Kontakt einer Kugel mit einer Ebene

0 25 50 750

200

400

600

800

p in MPa

pmaxin

MPa

ElastischPlastisch

Abbildung 8.6: Maximale Flachenpressung im Kugelkontakt (Halbraum)

Elastisch Elasto-plastisch Differenz

αreal 13,6% 17,7% 30,3%

uo 1,09µm 1,20µm 9,5%

pmax 784MPa 461MPa 41,2%

Tabelle 8.1: Ergebnisse der Kugelkontaktsimulation mit dem Halbraummodell bei 70N

Normalkraft

8.2 Verfestigungseinfluss im Kontakt einer Kugel

mit einer Ebene

Im Bowden-Tabor-Modell ist die maximale Flachenpressung abhangig von der Fließ-

grenze des Werkstoffs. Metallische Werkstoffe verfestigen in der Regel unter plasti-

scher Deformation. Um zu untersuchen, wie sich die Verfestigung auf die maxima-

le Flachenpressung im Kugelkontakt auswirkt, werden Simulationen mit den Verfes-

tigungsfaktoren 0MPa, 1550MPa und 20000MPa durchgefuhrt. Die erste Simulation

(0MPa) entspricht elastisch-ideal-plastischem Materialverhalten. Der Verfestigungsfak-

tor 1550MPa entspricht naherungsweise dem Materialverhalten des Werkstoffes DC04

bei geringen plastischen Dehnungen. Um sehr starke Verfestigung zu untersuchen, wie

sie bei großen Deformationen auftritt, wird als dritter Verfestigungsfaktor 20000MPa

gewahlt, dieser fuhrt bei einer plastischen Vergleichsdehnung von 1% zu einer Ver-

dopplung der Fließgrenze. Die maximale Flachenpressung und die maximale von-Mises-

Vergleichsspannung unterscheiden sich bei Hiso = 0MPa und Hiso = 1550MPa kaum.

Bei Hiso = 20000MPa ist die maximale Flachenpressung um ca. 7% und die maxima-

le von-Mises-Vergleichsspannung um ca. 14% erhoht (vgl. Tab. 8.2). In Abb. 8.8 b ist

fur Hiso = 20000MPa eine signifikante Erhohung der Vergleichsspannung aufgrund der

Verfestigung in der plastisch deformierten Zone zu erkennen (vgl. plastische Vergleichs-

dehnung in Abb. 8.2 a). Indem ein sehr großer Verfestigungsfaktor gewahlt wird, kann

in diesem Beispiel gezeigt werden, dass die Verfestigung eine wichtige Rolle spielt, wenn

große Deformation auftreten.


−0,5 −0,25 0 0,25 0,5

200

400

600

800

x in mm

pin

MPa

Hiso = 0MPaHiso = 1550MPaHiso = 20000MPa

a)

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

b)

Abbildung 8.7: Flachenpressung bei verschiedenen Verfestigungsfaktoren (a) und von-

Mises-Vergleichsspannung bei Hiso = 0MPa (b) im Kugelkontakt

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

a)

−0,5 −0,25 0,0 0,25 0,5

0

0,25

0,5

0,75

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

b)

Abbildung 8.8: Von-Mises-Vergleichsspannung bei Hiso = 1550MPa (a) und von-Mises-

Vergleichsspannung bei Hiso = 20000MPa (b) im Kugelkontakt

Hiso 0MPa 1550MPa 20000MPa

pmax 458MPa 461MPa 492MPa

σvm,max 200MPa 203MPa 232MPa

Tabelle 8.2: Maximale Flachenpressung und maximale von-Mises-Vergleichsspannung im

Kugelkontakt bei unterschiedlichen Verfestigungsfaktoren und 70N Normalkraft

8.3 Kontakt einer Kugel mit einer rauen elasto-

plastischen Ebene

In den folgenden Beispielen wird das dreidimensionale plastische Halbraummodell in

Kontaktsimulationen rauer Oberflachen genutzt. Die Oberflachendaten stammen aus ei-

ner Messung eines EDT-strukturierten (Electro Discharge Texturing) Umformblechs, wie

es in Kap. 6 zur experimentellen Verifikation des vereinfachten elasto-plastischen Halb-

raummodells verwendet wurde. Die Oberflache wird mit 32× 32 Oberflachensegmenten

110 8.3 Kontakt einer Kugel mit einer rauen elasto-plastischen Ebene

bei einer Abmessung von 2,8mm in x- und y-Richtung diskretisiert. Das dreidimen-

sionale plastische Halbraummodell ist deutlich instabiler als das vereinfachte plastische

Modell und hat bei sehr rauen Oberflachen Konvergenzprobleme. Daher werden die

Oberflachenhohen um den Faktor Funf reduziert, so dass die simulierte Oberflache we-

niger rau ist, als die tatsachliche Oberflache. Um Kanteneffekte auszuschließen und eine

Konzentration der Flachenpressungen am Rand des Kontaktgebiets zu vermeiden, ist

die raue Oberflache im Kontakt mit einer Kugel mit einem Radius von 400mm. Die

Werkstoffkennwerte des Blechs entsprechen den Daten aus der Untersuchung des Kugel-

kontakts (vgl. Kap. 8.1).

Wahrend der Anteil der realen Kontaktflache (Abb. 8.9 a) in der elasto-plastischen

Simulation nur unwesentlich großer ist als in der elastischen Simulation, ist die ma-

ximale Flachenpressung im elasto-plastischen Fall deutlich reduziert (Abb. 8.9 b). Die

Flachenpressung ubersteigt in der elasto-plastischen Rechnung kaum 1000MPa, in der

0 50 100 1500

10

20

30

40

p in MPa

αrealin

%

ElastischPlastisch

a)

0 50 100 1500

500

1000

1500

p in MPa

pmaxin

MPa

ElastischPlastisch

b)

Abbildung 8.9: Realer Kontaktflachenanteil (a) und maximale Flachenpressung (b) im

Kontakt einer rauen Oberflache mit einer Kugel (r=400mm, p=150MPa)

0 0,7 1,4 2,1 2,80

500

1000

1500

x in mm

pin

MPa

ElastischPlastisch

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

−0,4

0,0

0,4

0,8

x in mm

hin

µm

UndeformiertPlastisch deformiert

b)

Abbildung 8.10: Flachenpressung (a) und Oberflachenprofil (b) im Kontakt einer rauen

Oberflache mit einer Kugel (r=400mm, p=150MPa)


elastischen Simulation werden ca. 1400MPa erreicht. Die maximalen Flachenpressungen

sind somit deutlich großer als im Kugelkontakt mit einer glatten Ebene.

Die von-Mises-Vergleichsspannungen sind in den Volumenelementen direkt unter der

Oberflache moderat. Eine Lage tiefer erreichen sie unter den Kontaktelementen großer

Flachenpressung die Fließgrenze (vgl. Abb. 8.10 a und Abb. 8.11 a). Dort treten auch

verhaltnismaßig große plastische Vergleichsdehnungen auf (Abb. 8.11 b). Auffallig ist

ein Bereich großer Vergleichsspannungen im Zentrum von Abb. 8.11 a. An dieser Stel-

le sind in Abb. 8.11 b plastische Dehnungen zu erkennen. Bemerkenswert ist, dass die

kleinskaligen Rauheiten erhalten bleiben, jedoch die Oberflachenmitte deutlich einge-

druckt wird (vgl. Abb. 8.10 b). Der große Bereich moderater plastischer Dehnungen

wirkt sich also starker auf die Oberflachendeformation aus, als die großeren lokalen plas-

tischen Dehnungen unter den Rauheitsspitzen. Die plastische Vergleichsdehnung sta-

gniert ab 100MPa mittlerer Flachenpressung (Abb. 8.12 a), wohingegen die maxima-

0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

ε pl,eq

in%

0,0

0,1

0,2

0,3

b)

Abbildung 8.11: Von-Mises-Vergleichsspannung (a) und plastische Vergleichsdehnung (b)

im Kontakt einer rauen Oberflache mit einer Kugel (r=400mm, p=150MPa)

0 50 100 1500

0,1

0,2

0,3

0,4

p in MPa

ε pl,eq,m

axin

%

a)

0 50 100 1500

0,1

0,2

0,3

p in MPa

upl,maxin

µm

b)


Oberflachendeformation (b) im Kontakt einer rauen Oberflache mit einer Kugel

(r=400mm, p=150MPa)


le Oberflachendeformation (Abb. 8.12 b) weiter ansteigt. Folglich kommt es unter den

Rauheitsspitzen an den Orten verhaltnismaßig großer plastischer Dehnungen zu keiner

weiteren Plastifizierung, wahrend es im Zentrum des simulierten Bereichs zu weiterer

plastischer Dehnung kommt.

Wenn der Kugelradius von 400mm auf 800mm vergroßert wird, ist die Flachenpres-

sung gleichmaßiger uber die Oberflache verteilt und die plastische Deformation ist gerin-

ger. Wahrend der reale Kontaktflachenanteil gegenuber der Simulation mit r=400mm

ansteigt, ist der Unterschied zwischen der rein elastischen Simulation und der elasto-

plastischen Simulation geringer (Abb. 8.13 a). Die maximale Flachenpressung in der

rein elastischen Simulation ist deutlich reduziert, wohingegen die Flachenpressung im

elasto-plastischen Fall im Vergleich zur Simulation mit r=400mm nur geringfugig ab-

nimmt. Plastische Dehnungen treten nur lokal unter den Kontaktstellen maximaler

Flachenpressung auf (Abb. 8.15 b). Daher kommt es nur in den hohen Rauheitsspitzen

zu lokaler Oberflachendeformation (Abb. 8.14 b).

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

p in MPa

αrealin

%

ElastischPlastisch

a)

0 50 100 1500

500

1000

1500

p in MPa

pmaxin

MPa

ElastischPlastisch

b)



0 0,7 1,4 2,1 2,80

500

1000

1500

x in mm

pin

MPa

ElastischPlastisch

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

−0,6

−0,4

0,0

0,4

x in mm

hin

µm


b)




0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

ε pl,eq

in%

0,0

0,05

0,1

0,15

0,2

b)



0 50 100 1500

0,1

0,2

0,3

p in MPa

ε pl,eq,m

axin

%

a)

0 50 100 1500

0,05

0,1

0,15

p in MPa

upl,maxin

µm

b)



(r=800mm, p=150MPa)

Wenn die Flachenpressung im Kontakt der Kugel mit 800mm Radius weiter ansteigt,

erreicht die Vergleichsspannung unter der Oberflache auf der gesamten Breite des simu-

lierten Bereichs die Fließgrenze und es kommt zu plastischer Deformation (Abb. 8.19).

In der Folge wird die Oberflache im Ganzen eingedruckt (Abb. 8.18 b). Das großraumige

Plastifizieren des Halbraums und die damit einhergehende große Oberflachendeformation

(vgl. Abb. 8.20 b) beginnt bei ca. 300MPa. Wenn sich das plastifizierte Gebiet uber den

gesamten simulierten Bereich erstreckt, wird der dreidimensionale plastische Kontaktal-

gorithmus instabil und es treten Konvergenzprobleme auf.


0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

p in MPa

αrealin

%

ElastischPlastisch

a)

0 200 4000

500

1000

1500

p in MPa

pmaxin

MPa

ElastischPlastisch

b)



0 0,7 1,4 2,1 2,80

500

1000

1500

x in mm

pin

MPa

ElastischPlastisch

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

−0,6

−0,4

0,0

0,4

x in mm

hin

µm


b)



0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

σvm

inMPa

50

100

150

200

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,8

0

0,35

0,7

1,05

1,4

x in mm

zin

mm

ε pl,eq

in%

0,0

0,1

0,2

0,3

b)




0 200 4000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

p in MPa

ε pl,eq,m

axin

%

a)

0 100 200 300 4000

0,1

0,2

0,3

0,4

p in MPa

upl,maxin

µm

b)



(r=800mm, p=382MPa)

8.3.1 Untersuchung der Auflosungsabhangigkeit der Simula-

tionsergebnisse

Die Berechnungszeit ist in allen numerischen Modellen von der Auflosung der Ober-

flachen abhangig. Daher wird im Folgenden untersucht, wie sich die Feinheit der Diskre-

tisierung auf die Simulationsergebnisse auswirkt. Um Konvergenzprobleme, die bei sehr

rauen Oberflachen auftreten zu vermeiden, wird erneut eine EDT-strukturierte Ober-

flache mit einer Kantenlange von 2,8mm zur Kontaktsimulation herangezogen, deren

Oberflachenhohen um den Faktor Funf reduziert ist. Wie in Abb. 8.21 a zu erkennen

ist, kommt es durch die Interpolation der Rauheit zu einer Einglattung der Oberflache.

Um den Einfluss dieser Oberflacheneinglattung zu untersuchen wird der Kontakt mit

Auflosungen von 32 × 32 und 64 × 64 Oberflachensegmenten simuliert. Es zeigt sich,

dass der reale Kontaktflachenanteil bei feinerer Auflosung sowohl im elastischen, als

auch im elasto-plastischen Kontakt kleiner ist als bei grober Auflosung (Abb. 8.21 b).

Dies ist in der großeren Rauheit der feiner diskretisierten Oberflache begrundet, die zu

sehr großen Flachenpressungen in den hochsten Rauheitsspitzen fuhrt (vgl. Abb. 8.22 a).

Aufgrund der großeren lokalen Flachenpressungen in den Rauheitsspitzen setzt bei fei-

nerer Auflosung die plastische Deformation fruher ein und ist starker ausgepragt. Dies

zeigt sich sowohl in der maximalen plastischen Oberflachendeformation (Abb. 8.22 b) als

auch in der maximalen plastischen Vergleichsdehnung (Abb. 8.23). Die starker ausge-

pragte plastische Oberflachendeformation bei 64× 64 Kontaktelementen spiegelt sich in

einer großeren Zunahme des realen Kontaktflachenanteils im Vergleich zur elastischen

Simulation wieder (Abb. 8.21 b).

Wegen der großeren Rauheit der auf 64 × 64 Kontaktelemente interpolierten Ober-

flachen konvergiert der dreidimensionale plastische Algorithmus bei dieser Auflosung nur

bis zu einer mittleren Flachenpressung von 22MPa. Deshalb wird im Vergleich des drei-


0 0,7 1,4 2,1 2,8−0,6

−0,3

0,0

0,3

0,6

x in mm

hin

µm

32× 3264× 64

a)

0 5 10 15 20 250

5

10

15

p in MPa

αrealin

%

Elastisch 32× 32Plastisch 32× 32Elastisch 64× 64Plastisch 64× 64

b)

Abbildung 8.21: Profilschnitt durch die Oberflache (a) und realer Kontakt-

flachenanteil (b) bei Diskretisierung mit 32× 32 und 64× 64 Kontaktelementen

0 5 10 15 20 250

400

800

1200

1600

p in MPa

pmaxin

MPa

Elastisch 32× 32Plastisch 32× 32Elastisch 64× 64Plastisch 64× 64

a)

0 5 10 15 20 250

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

p in MPa

upl,maxin

µm

32× 3264× 64

b)

Abbildung 8.22: Maximale Flachenpressung (a) und maximale plastische Ober-

flachendeformation (b) bei Diskretisierung mit 32× 32 und 64× 64 Kontaktelementen

0 5 10 15 20 250

0,1

0,2

0,3

0,4

p in MPa

ε pl,eq,m

axin

%

32× 3264× 64

Abbildung 8.23: Maximale plastische Vergleichsdehnung bei Diskretisierung mit 32× 32

und 64× 64 Kontaktelementen


dimensionalen plastischen Modells mit dem vereinfachten Modell mit einer Auflosung

von 32 × 32 Kontaktelementen gerechnet. Diese Auflosung ist zwar nicht ausreichend

fein, erlaubt es jedoch, in fur die Umformtechnik relevante mittlere Flachenpressungen

vorzustoßen.

8.3.2 Vergleich des dreidimensionalen mit dem vereinfachten

plastischen Halbraummodell

Wahrend das vereinfachte plastische Halbraummodell seine Eignung zur Kontaktsimu-

lation rauer Oberflachen im Abgleich mit gemessenen Oberflachenveranderungen unter

Beweis gestellt hat (vgl. Kap. 6), konnte das dreidimensionale plastische Halbraum-

modell erfolgreich mit Finite-Elemente-Simulationen abgeglichen werden. Im Folgen-

den sollen die beiden plastischen Halbraummodelle in Kontaktuntersuchungen rauer

Oberflachen verglichen werden. Hierzu wird abermals die EDT-strukturierte Oberflache

(2,8mm × 2,8mm) mit 32× 32 Kontaktelementen diskretisiert.

Im dreidimensional plastischen Modell ertragt die Oberflache lokal großere

Flachenpressungen als die experimentell identifizierten 800 MPa und die maximale

Flachenpressung strebt nicht gegen einen Grenzwert (Abb. 8.24 b). In der Folge ist das

Kontaktflachenwachstum durch plastische Deformation gegenuber der rein elastischen

Simulation im dreidimensionalen plastischen Halbraummodell nur ca. halb so groß wie

im vereinfachten plastischen Halbraummodell (vgl. Abb. 8.24 a). Die Unterschiede in der

Flachenpressung an den hochsten Rauheitsspitzen sind auch in den Darstellungen der

Flachenpressung in Profilschnitten bei 250 MPa und 382 MPa mittlerer Flachenpressung

in Abb. 8.25 a und Abb. 8.26 a zu erkennen. Die lokale Oberflachendeformation in dem

Profilschnitt bei 250 MPa mittlerer Flachenpressung ist in einigen Rauheitsspitzen in der

dreidimensionalen plastischen Halbraumsimulation großer als im vereinfachten Modell,

an anderen Stellen zeigt sich hingegen ein umgekehrtes Bild (Abb. 8.25 b). Dies ist in

der Fernwirkung plastischer Deformationen im dreidimensionalen plastischen Halbraum-

modell begrundet. Uber die Einflussfunktion fur die Oberflachendeformation (Kap. 7.5)

haben plastische Dehnungen eine Fernwirkung und beeinflussen auch nicht direkt an-

grenzende Kontaktelemente. Bei 382 MPa mittlerer Flachenpressung kommt es im drei-

dimensionalen plastischen Halbraummodell zur Plastifizierung eines großen Gebiets und

die Oberflache wird im Ganzen eingedruckt (vgl. Abb. 8.19 b). Im vereinfachten Modell

kann eine derartige langwellige Oberflachendeformation nicht modelliert werden, weshalb

sich in Abb. 8.26 b sehr unterschiedliche plastische Oberflachendeformationen zeigen.

Im dreidimensionalen plastischen Halbraummodell ubersteigen die sehr großen

lokalen Flachenpressungen bei der Simulation rauer Oberflachen die maximalen

Flachenpressungen im Kontakt einer Kugel mit einer Ebene deutlich (vgl. Kap. 8.1).

Auch die lokalen Flachenpressungen beim Einsetzen plastischer Deformation sind deut-

lich erhoht. Die Ursache hierfur liegt in der Diskretisierung der einzelnen Rauheitsspit-

zen mit nur einem oder sehr wenigen Kontaktelementen. Hierdurch werden die lokalen

Spannungen unter der Oberflache nicht ausreichend genau aufgelost und die Fließgrenze

aufgrund der groben Diskretisierung nicht erreicht. Dieses Problem tritt prinzipbedingt


0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

p in MPa

αrealin

%

ElastischDreidim. plast.Vereinfacht plast.

a)

0 100 200 300 4000

400

800

1200

1600

p in MPa

pmaxin

MPa

ElastischDreidim. plast.Vereinfacht plast.

b)


vereinfachten und dreidimensionalen plastischen Halbraummodell

0 0,7 1,4 2,1 2,80

400

800

1200

x in mm

pin

MPa

ElastischDreidim. plast.Vereinf. plast.

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,80,2

0,1

0

−0,1

x in mm

uplin

µm

Dreidim. plastischVereinfacht plastisch

b)

Abbildung 8.25: Flachenpressung (a) und plastische Oberflachendeformation (b) im Pro-

filschnitt bei 250 MPa mittlerer Flachenpressung

0 0,7 1,4 2,1 2,80

400

800

1200

x in mm

pin

MPa

ElastischDreidim. plast.Vereinf. plast.

a)

0 0,7 1,4 2,1 2,80,4

0,3

0,2

0,1

0

−0,1

x in mm

uplin

µm

Dreidim. plastischVereinfacht plastisch

b)

Abbildung 8.26: Flachenpressung (a) und plastische Oberflachendeformation (b) im Pro-

filschnitt bei 382 MPa mittlerer Flachenpressung


auch in der Finite-Elemente-Methode auf. Eine feinere Auflosung steigert jedoch den

Berechnungsaufwand. Eine Verkleinerung der simulierten Flache hingegen kann zu Er-

gebnissen fuhren, die nicht mehr reprasentativ fur die untersuchte Oberflache sind.

8.3.3 Diskussion der Ergebnisse der Kontaktsimulationen mit

dem dreidimensionalen plastischen Halbraummodell

Anhand des Vergleichs der Ergebnisse von Finite-Elemente-Berechnungen mit Halb-

raumsimulationen des Kontakts einer Kugel mit einer Ebene wird gezeigt, dass die

Implementierung des Modells korrekt ist und die Simulation des elasto-plastischen Kon-

takts grundsatzlich moglich ist. Jedoch gelingt es nicht den Kontakt einer strukturierten

Oberflache eines Umformblechs bei in der Umformtechnik ublichen Flachenpressungen

zu simulieren, ohne die Rauheit der undeformierten Oberflache vor der Berechnung

zu skalieren. Nur nach einer Reduktion der realen Oberflachenhohen um den Faktor

Funf gelingt es den Kontakt bei bis zu ca. 400MPa mittlerer Flachenpressung bei einer

Auflosung von 32 × 32 Kontaktelementen zu simulieren. In Kap. 8.3.1 konnten jedoch

stark unterschiedliche Ergebnisse bei Simulationen mit 32 × 32 und 64 × 64 Kontakt-

elementen beobachtet werden. Folglich ist die Simulation mit 32 × 32 Kontaktelementen

nicht aussagekraftig. Zudem ist die Ubereinstimmung mit dem experimentell verifizierten

vereinfachten plastischen Halbraummodell unbefriedigend (Kap. 8.3.2).

Kapitel 9

Reibgesetz

Aus den Ergebnissen der Kontaktsimulationen wird, unter Berucksichtigung der Anfor-

derungen der Blechmassivumformung, ein Reibgesetz abgeleitet. Dieses Reibgesetz wird

als User-Subroutine in die Finite-Elemente-Software Simufact.forming implementiert um

es in Umformsimulationen nutzbar zu machen. Das Reibgesetz beschreibt die Reibung in

Abhangigkeit vom momentanen Kontaktzustands und der Kontaktgeschichte. Die hierzu

erforderliche Geschichtsvariable kann bei Neuvernetzung auf ein neues Netz ubertragen

werden, so dass das Reibgesetz uneingeschrankt nutzbar ist.

9.1 Numerische Identifikation

Kontaktsimulationen mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell und der

Einglattungsversuch haben gezeigt, dass es im Kontakt rauer Oberflachen zu einer si-

gnifikanten Einglattung von Oberflachenrauheiten kommt (vgl. Kap. 6). Bei Ent- und

Wiederbelastung ist der Kontakt elastisch, weil die Flachenpressung in der Erstbelas-

tung großer war als sie in der nachfolgenden Ent- und Wiederbelastung ist. Aufgrund

der geringeren lokalen Flachenpressung im elastischen Kontakt ist die reale Kontakt-

flache bei Ent- und Wiederbelastung großer als bei Erstbelastung. Abb. 9.1 a zeigt den

Kontaktflachenanteil in einer Halbraumsimulation in Abhangigkeit von der Belastungs-

geschichte. Die Simulationsergebnisse entstammen den, durch den Einglattungsversuch

validierten, Untersuchungen des trockenen Kontakts einer EDT-strukturierten Ober-

flache mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell mit Volumenerhaltung. Die

simulierte Kontaktflache von 2,8mm mal 2,8mm wird mit 128 mal 128 Kontaktelemen-

ten diskretisiert. Im Erstkontakt steigt der Kontaktflachenanteil naherungsweise linear

mit der Flachenpressung an. Bei Entlastung nimmt der Kontaktflachenanteil zunachst

nur geringfugig ab und fallt dann immer steiler ab. Die Wiederbelastungskurve ent-

spricht der Entlastungskurve, bis die Flachenpressung p die maximale Flachenpressung

in der Erstbelastung phist erreicht. Wenn die Flachenpressung uber phist steigt folgt

die Kontaktflachen-Last-Kurve wieder der Erstbelastungskurve und der reale Kontakt-

flachenanteil steigt wieder nahezu linear mit der Flachenpressung an.

121

122 9.1 Numerische Identifikation

Das aus den Halbraumsimulationen abgeleitete Reibgesetz soll eine lineare

Abhangigkeit der Reibschubspannung vom realen Kontaktflachenanteil beschreiben.

Weil der Anteil der realen Kontaktflache 100% nicht ubersteigen kann, ist fur große

Flachenpressungen ein kontinuierlicher Ubergang des Kontaktflachenanteils von einem li-

nearen Anstieg mit der Flachenpressung zu einem Stationarwert zu modellieren. Der kon-

tinuierliche Ubergang der Reibschubspannung hin zum Stationarwert ist durch den zu-

nehmenden Einglattungswiderstand der Oberflachen bei sehr hohen Flachenpressungen

begrundet. In Anlehnung an das Shaw-Reibgesetz wird ein Tangens Hyperbolicus-Ansatz

gewahlt.

Das Reibgesetz fur Erstbelastung lautet

τr = m · k · αrc = m · k · n1

√

tanh

(p · C1

H

)n1

. (9.1)

Die Reibschubspannung entspricht dem Produkt aus dem realen Kontaktflachenanteil

und der Schubfestigkeit in der realen Kontaktflache m · k. Hierbei ist k die Schubfestig-

keit des Werkstucks. Der Reibfaktor m ist experimentell zu identifizieren und dient zur

Berucksichtigung der reibungsreduzierenden Wirkung von Schmierstoffen und der vom

Grundmaterial abweichenden Materialeigenschaften der Grenzschicht.

Der Term p · C1/H innerhalb der Tangens Hyperbolicus-Funktion modelliert einen

linearen Anstieg der Reibschubspannung mit der Flachenpressung bei moderaten

Flachenpressungen und berucksichtigt die im Einglattungsversuch identifizierte Ober-

flachenharte H . Das Reibgesetz fur Erstbelastung ahnelt den Reibgesetzen von Shaw und

Wanheim-Bay (vgl. Kap. 3), die ebenfalls einen kontinuierlichen Ubergang von einem

linearen Anstieg der Reibschubspannung bei moderaten Flachenpressungen (Reibzahl-

modell) zu einem Stationarwert bei sehr großen Flachenpressungen (Reibfaktormodell)

modellieren.

0 200 400 600 8000

20

40

60

80

100

p in MPa

αrealin

%

ErstbelastungEnt- undWiederbelastung

a)

0 400 800 12000

20

40

60

80

100

p in MPa

αrealin

%

HalbraummodellKontaktgesetz

b)

Abbildung 9.1: Kontaktflachenanteile in Erstbelastung, Entlastung und Wiederbelas-

tung (a) und Kontaktflachenanteile im Halbraummodell und Kontaktgesetz (b)

9 REIBGESETZ 123

Fur Ent- und Wiederbelastung gilt das abgewandelte Reibgesetz

τr = m · k · n2

√

tanh

(p · C2

H · αrc (phist)

)n2

· αrc (phist) . (9.2)

Der Parameter αrc(phist) ist der reale Kontaktflachenanteil der maximal in einem vorhe-

rigen Kontakt in der Oberflache aufgetreten ist. Die beiden Reibgesetze benotigen nur

sechs Parameter. C1, C2, n2 und H konnen durch Kontaktsimulationen identifiziert wer-

den. n1 beschreibt den Ubergang vom linearen Bereich der Erstbelasungskurve in den

stationaren Bereich und ist ebenso wie der Reibfaktor m experimentell zu identifizieren.

In Abb. 9.1 b ist zu erkennen, wie gut der Kontaktflachenanteil in Halbraumsimulation

und Kontaktgesetz ubereinstimmen. Die genutzten Parameter sind in Tab. 9.1 zusam-

mengefasst.

C1 1

C2 5, 6

n1 2

n2 0, 55

H 800MPa

Tabelle 9.1: Parameter des Kontaktgesetzes

9.2 Implementierung in Simufact.forming

Das Reibgesetz wurde als User-Subroutine in Simufact.forming implementiert, um das

entwickelte Reibgesetz in Umformsimulationen nutzbar zu machen. Simufact.forming ist

eine auf die Simulation von Fertigungsprozessen spezialisierte Finite-Elemente Software,

die auf dem Marc-Loser von MSC Software basiert. Der historische Kontaktdruck phistwird fur jeden Oberflachenknoten als Knotenzustandsvariable gespeichert. Ab Version

11.0.2 werden in Simufact.forming Knotenzustandsvariablen bei Neuvernetzung auf das

neue FE-Netz interpoliert. Somit kann das Reibgesetz auch in anspruchsvollen Umform-

simulationen genutzt werden, die eine Neuvernetzung der Geometrie erfordern.

Die Implementierung des Reibgesetzes umfasst die User-Subroutinen Ufric, Uedinc,

Ufninc und Upstno. Uedinc wird am Ende jedes Lastschritts aufgerufen. Im nullten

Lastschritt, also vor Beginn der FE-Simulation, pruft Uedinc, ob genugend Knoten-

zustandsvariablen definiert sind und initialisiert diese. In allen folgenden Lastschritten

pruft Uedinc, ob die Flachenpressung p in den einzelnen Oberflachenknoten im aktu-

ellen Lastschritt großer ist als in den vorherigen Lastschritten. Wenn dies zutrifft wird

phist mit p uberschrieben. Ufric ist die Reibsubroutine, sie wird in jeder Iteration an

jedem Oberflachenknoten aufgerufen. Sie erhalt die lokale Flachenpressung am Ober-

flachenknoten vom Solver und gibt einen Reibfaktor zuruck. Zusatzlich wird mittels

einer Utility-Routine phist geladen, damit Ufric entscheiden kann, ob Erstbelastung oder

Ent- bzw. Wiederbelastung vorliegt. Der Ruckgabewert entspricht τr aus (9.1) bzw. (9.2)

dividiert durch die Schubfestigkeit k, denn die Multiplikation mit k erfolgt im Solver.

124 9.3 Anwendung des Reibgesetzes in Umformsimulationen

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

Flächenpressung in N/mm²

Inc: 8

a)

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

Zustandsvariable phist in N/mm²

Inc: 9

b)

Abbildung 9.2: Flachenpressung p am Ende eines Lastschritts (a) und historische

Flachenpressung phist im darauffolgenden Lastschritt nach Neuvernetzung (b)

Die Funktionen Ufninc und Upstno werden dazu verwendet phist in die Ausgabedatei

von Simufact.forming zu schreiben, damit phist im Postprocessing graphisch dargestellt

werden kann.

Die Ubertragung der Flachenpressung von einem Netz auf ein neues Netz bei Neuver-

netzung wird an einem einfachen Beispiel getestet. Abb. 9.2 a zeigt die Flachenpressung

am Ende eines Lastschritts und Abb. 9.2 b zeigt die historische Flachenpressung phist zu

Beginn des darauffolgenden Lastschritts nach Neuvernetzung.

9.3 Anwendung des Reibgesetzes in Umformsimula-

tionen

Im Folgenden wird das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Reibgesetz und seine Im-

plementierung in Simufact.forming in Umformsimulationen angewandt. Zunachst wird

anhand eines Stauchprozesses zur Herstellung von Taylored Blanks der Reibfaktor nu-

merisch identifiziert. Taylored Blanks sind Bleche mit lokal angepassten Eigenschaften.

In diesem Fall handelt es sich um lokal aufgedickte Bleche, die in nachfolgenden Pro-

zessen zu Bauteilen mit Funktionselementen weiterverarbeitet werden sollen. Das zweite

Beispiel ist die Herstellung eines Napfes mit vergroßerter Wandstarke in der Zarge aus

einem am Außenrand aufgedickten Taylored Blank. Die vergroßerte Wandstarke in der

Zarge ermoglicht es Zahne in der Zarge auszupragen und somit ein Zahnrad herzustellen.

9 REIBGESETZ 125

9.3.1 Numerische Identifikation des Reibfaktors anhand eines

Stauchprozesses

Am Lehrstuhl fur Fertigungstechnologie der Universitat Erlangen-Nurnberg wird die

Herstellung von Taylored Blanks durch einen Stauchprozess untersucht [47, 48, 49].

Hierbei vorgenommene Messungen und aufgebaute Simulationsmodelle werden zur nu-

merischen Identifikation des Reibfaktors im neu entwickelten Reibgesetz genutzt. In

dem Stauchprozess wird eine DC04-Blechronde mit einem Radius von 50mm und einer

Starke von 2mm am Rand aufgedickt (Abb. 9.3 a). Die Pressenkraft betragt 6000 kN.

Dabei treten Flachenpressungen von uber 2000MPa auf, weshalb die elastische Defor-

mation der Werkzeuge im Simulationsmodell berucksichtigt wird. Aufgrund der Sym-

metrie des Versuchs wird ein achsensymmetrisches Simulationsmodell verwendet. Die

Ubereinstimmung zwischen den gemessenen Blechstarken nach dem Versuch und den

Simulationsergebnissen ist sehr gut (Abb. 9.3 b). Die Simulationsergebnisse mit dem

Reibfaktormodell und dem neuen Reibmodell sind nahezu identisch, weil in diesem Um-

formprozesse sehr große Flachenpressungen erreicht werden, die im neuen Reibgesetz zu

einem Kontaktflachenanteil von 100% fuhren. Der Reibfaktor m in beiden Reibmodellen

betragt 0,05.

a)

0 10 20 30 40 501,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

Radiale Position in mm

Blechdickein

mm

MessungReibfaktormodellNeues Reibgesetz

b)

Abbildung 9.3: Prinzipskizze des Stauchens von Taylored Blanks (a) und Vergleich der

Blechdicke in Experiment und Simulationen mit dem Reibfaktormodell und dem neu

entwickelten Reibgesetz (b) (m=0,05 in beiden Simulationsmodellen)

9.3.2 Simulation eines mehrstufigen Umformprozesses

Das zweite Umformbeispiel ist die Herstellung eines Napfes mit aufgedickter Zarge. Hier-

zu wird ein am Rand aufgedicktes Blech aus DC04 zunachst tiefgezogen (vgl. Abb 9.4 a),

bevor die Zarge gestaucht wird (vgl. Abb 9.4 b). Auch dieser Umformprozess wird am


Lehrstuhl fur Fertigungstechnologie an der Universitat Erlangen-Nurnberg untersucht

[47, 48, 49]. Aufgrund der großen Wandstarke der Zarge ist es moglich durch Wal-

zen Zahne in der Zarge auszupragen und somit ein Zahnrad herzustellen. Alternativ

konnen die Zahne direkt im Tiefzieh- und Stauchprozess des Napfes ausgeformt wer-

den [47, 48, 49]. Durch die Wandstarkenunterschiede zwischen Boden und Zarge ist

es moglich ein leichtes und belastungsgerechtes Zahnrad herzustellen. Die im Folgen-

den dargestellten Simulationsmodelle bilden diesen Prozess in einem zweidimensionalen

achsensymmetrischen Modell nach und dienen dem Test der Implementierung des Reib-

gesetzes in Simufact.forming und der Untersuchung der grundsatzlichen Einflusse des

neu entwickelten Reibgesetzes. Ein Abgleich mit experimentellen Untersuchungen findet

nicht statt.

Das Simulationsmodell wird einmal nur mit dem Reibgesetz fur Erstbelastung oh-

ne Berucksichtigung der Oberflacheneinglattung in vorherigen Lastschritten (9.1) und

einmal mit dem vollstandigen Reibgesetz fur Erst-, Ent- und Wiederbelastung ((9.1)

und (9.2)) berechnet. In beiden Fallen wird das Modell mehrfach neu vernetzt. In der

Simulation mit Reibgesetz ohne Geschichtsvariable ist die Reibschubspannung (Abb.

9.8) proportional zur Flachenpressung (Abb. 9.7). Obwohl das Werkstuck an zahlrei-

chen Knoten im Kontakt mit Matrize und Stempel ist (Abb. 9.6), treten nur an wenigen

Knoten hohe Reibschubspannungen auf. Bei zusatzlicher Berucksichtigung des histori-

schen Kontaktdrucks ist die Flachenpressung ahnlich verteilt (Abb. 9.9), jedoch treten

großere Reibschubspannungen auf (Abb. 9.10). Zudem ist die Anzahl der Knoten mit

hohen Reibschubspannungen großer. Ursachlich hierfur ist die Berucksichtigung von mo-

mentaner und historischer Flachenpressung (Abb. 9.11), die aus dem vorhergehenden

Stauchprozess herruhrt. Der Vergleich der beiden Reibgesetze findet nicht exakt im glei-

chen Moment statt, weil die Simulationen zu verschiedenen Zeitpunkten die maximalen

Reibschubspannungen aufweisen. Es werden jeweils die Zustande maximaler Reibung

verglichen.

In Abb. 9.12 - 9.14 sind die plastischen Vergleichsdehnungen, die Flachenpressung

und die historische Flachenpressung nach dem finalen Stauchen mit dem Modell mit

a) b)

Abbildung 9.4: Tiefziehen (a) und Stauchen (b) eines Taylored Blanks zu einem Napf

mit aufgedickter Zarge

9 REIBGESETZ 127

Berucksichtigung der Kontaktgeschichte dargestellt. Aufgrund einer Faltenbildung im

Ubergang von Napfboden zu Napfzarge sind in Abb. 9.14 historische Flachenpressungen

im Volumen zu erkennen. Im Rest des Bauteils sind nur auf der Oberflache histo-

rische Flachenpressungen sichtbar. Folglich funktioniert die Ubertragung der Ober-

flachengeschichtsvariable auch bei mehrfacher Neuvernetzung einwandfrei.

0,10

0,12

0,13

0,15

0,16

0,18

0,20

0,21

0,23

0,24

0,26

Plastische Vergleichsdehnung

X

Y Z

Abbildung 9.5: Plastische Vergleichsdehnung nach dem ersten Stauchen

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Kontaktzustand

Inc: 105

Time: 3.40

X

Y Z

Abbildung 9.6: Kontaktzustand an Matrize und Stempel im Tiefziehen mit dem Reib-

gesetz fur Erstbelastung


0

125

251

376

502

627

753

879

1004

1130

1255


Inc: 105

Time: 3.40

X

Y Z

Abbildung 9.7: Flachenpressung an Matrize und Stempel im Tiefziehen mit dem Reib-

gesetz fur Erstbelastung

0,00

1,34

2,68

4,02

5,37

6,71

8,05

9,39

10,73

12,07

13,41

Reibschubspannung in N/mm²

Inc: 105

Time: 3.40

X

Y Z

Abbildung 9.8: Reibschubspannung an Matrize und Stempel im Tiefziehen mit dem

Reibgesetz fur Erstbelastung

9 REIBGESETZ 129

0

100

200

300

400

500

600

701

801

901

1001


Inc: 94

Time: 3.38

X

Y Z

Abbildung 9.9: Flachenpressung an Matrize und Stempel im Tiefziehen mit dem Reib-

gesetz fur Erst-, Ent- und Wiederbelastung

0,00

1,59

3,19

4,78

6,37

7,97

9,56

11,16

12,75

14,34

15,94

Reibschubspannung in N/mm²

Inc: 94

Time: 3.38

X

Y Z

Abbildung 9.10: Reibschubspannung an Matrize und Stempel im Tiefziehen mit dem

Reibgesetz fur Erst-, Ent- und Wiederbelastung


0

239

478

717

957

1196

1435

1675

1914

2153

2393

Zustandsvariable phist

in N/mm²

Inc: 94

Time: 3.38

X

Y Z

Abbildung 9.11: Historische Flachenpressung phist an Matrize und Stempel im Tiefziehen

mit dem Reibgesetz fur Erst-, Ent- und Wiederbelastung

0,09

0,18

0,27

0,36

0,46

0,55

0,64

0,74

0,83

0,92

1,01

Plastische Vergleichsdehnung

X

Y Z

Abbildung 9.12: Plastische Vergleichsdehnung nach dem zweiten Stauchen

9 REIBGESETZ 131

0

177

355

533

710

888

1066

1244

1421

1599

1777


X

Y Z

Abbildung 9.13: Flachenpressung nach dem zweiten Stauchen

255

493

730

968

1205

1443

1680

1918

2155

2393

Zustandsvariable phist

in N/mm²

X

Y Z

Abbildung 9.14: Historische Flachenpressung nach dem zweiten Stauchen


Die Umformkraft im Stauchen der Platine zu einem Taylored Blank ist trotz des nied-

rigen Reibfaktors (m=0,05) stark reibungsabhangig (Abb. 9.15 a). Die Umformkraft ist

jedoch nahezu unabhangig von der Verwendung des Reibgesetzes mit Geschichtsvariable,

weil es sich um eine Erstbelastung mit stetig ansteigender Flachenpressung handelt. Im

Tiefziehprozess uberwiegt die Deformationsarbeit die Reibarbeit, so dass die Umform-

kraft nahezu unabhangig von der Reibung ist (Abb. 9.15 b). Auch beim Stauchen der

Zarge ist die Umformkraft naherungsweise reibungsunabhangig (Abb. 9.16).

Die Platine hat vor dem Umformprozess eine Blechstarke von 2mm und einen Durch-

messer von 50mm. Im ersten Stauchen wird das Blech in der Mitte auf 1,6mm verjungt

und am Rand auf 2,3mm aufgedickt. Das Stauchen wird in diesem Beispiel ebenso wie

die nachfolgenden Prozessschritte mit starren Werkzeugen modelliert. Nach dem Tief-

ziehen und abschließenden Stauchen hat der Napf einen Außenradius von 35mm, eine

Zargenhohe von 13mm und eine Blechstarke von 1,6mm im Boden bzw. 3,0mm in der

Zarge.

0 0,1 0,2 0,3 0,40

1250

2500

3750

5000

x in mm

Fin

kN

Ohne phistMit phistReibungsfrei

a)

0 5 10 15 200

40

80

120

160

x in mm

Fin

kN


b)

Abbildung 9.15: Kraft-Weg-Verlauf im Stauchen der Platine (a) und im Tiefziehen (b)

0 2 4 60

500

1000

1500

x in mm

Fin

kN


Abbildung 9.16: Kraft-Weg-Verlauf im Stauchen der Zarge

Kapitel 10

Zusammenfassung und Ausblick

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung des elasto-plastischen

Einglattungsverhaltens rauer Oberflachen und die Entwicklung eines Reibgesetzes fur die

Blechmassivumformung. Aufgrund der Fraktaleigenschaften rauer Oberflachen mussen

die Oberflachen in Kontaktsimulationen einerseits moglichst fein aufgelost werden, ande-

rerseits muss die untersuchte Oberflache ausreichend groß sein, um reprasentativ zu sein.

Wegen dieser Erfordernisse wird ein Halbraummodell zur numerischen Simulation des

Kontakts gewahlt. Der Vorteil des Halbraummodells gegenuber eines Finite-Elemente-

Modells liegt darin, dass kein Gleichungssystem fur eine Volumennetz, sondern nur ein

Gleichungssystem fur ein Oberflachennetz gelost werden muss, wodurch der numerische

Aufwand geringer ist.

Es werden zwei Halbraummodelle mit unterschiedlichen Plastizitsmodellen imple-

mentiert. Das vereinfachte plastische Halbraummodell limitiert die Flachenpressung auf

die Oberflachenharte. Dieses Modell basiert auf den theoretischen Untersuchungen von

Hencky [36] und den experimentellen Untersuchungen von Bowden und Tabor [22], die

im Kontakt eine maximale Flachenpressung von ca. 2,8 der Fließgrenze beobachten

konnten. Das aufwandigere Modell – dreidimensionales plastisches Halbraummodell ge-

nannt – berechnet Spannungen und Dehnungen auf einer Volumendiskretisierung unter

der Oberflache. Es basiert auf der Arbeit von Jacq [38] und berechnet die elastischen

Spannungen unter der Oberflache, die aus plastischen Dehnungen resultierenden Eigen-

spannungen und Oberflachendeformationen mittels analytischer Einflussfunktionen. Die

plastischen Dehnungen werden wie in der Finite-Elemente-Methode anhand des loka-

len Spannungszustandes berechnet, der sich aus den elastischen Spannungen und den

Eigenspannungen aufgrund plastischer Dehnungen ergibt.

Die Losung der Nachgiebigkeitsbeziehung zur Bestimmung der Flachenpressung und

elastischen Oberflachendeformation ist mit großem Aufwand verbunden und verursacht

im vereinfachten plastischen Halbraummodell einen Großteil der Rechenzeit. Neben

der Rechenzeit muss als weiteres Kriterium der Speicherbedarf beachtet werden, denn

die Systemmatrix des Kontaktgleichungssystems ist schon bei Auflosungen von 128

mal 128 Kontaktelementen mehrere Gigabyte groß. Aufgrund der Notwendigkeit große

Auflosungen in angemessener Zeit zu rechnen, wird untersucht, wie das Gleichungssystem

moglichst effizient gelost werden kann. Hierzu wird das Verfahren der konjugierten Gra-

133

134

dienten (CG-Verfahren) implementiert. Die Vorteile dieses Gleichungslosungsverfahrens

sind seine große Leistungsfahigkeit und sein geringer Speicherbedarf. Im CG-Verfahren

wird die Systemmatrix nur in Matrixmultiplikationen benotigt, die durch Faltungen mit

der Einzelnachgiebigkeitsmatrix deutlich kleinerer Große ersetzt werden konnen. So kann

das CG-Verfahren unter Verwendung des Faltungstheorems sowohl zeit- als auch spei-

chersparend implementiert werden. Somit konnte ein effizienter Gleichungsloser fur elas-

tische Simulationen und fur das dreidimensionale plastische Halbraummodell implemen-

tiert werden. Im vereinfachten plastischen Halbraummodell ist es notwendig einen proji-

zierten Gleichungsloser zu verwenden, um die Flachenpressung auf die Oberflachenharte

zu limitieren. Der hierzu geeignete SOR-Loser (Successive Over-Relaxation) ist jedoch

vergleichsweise langsam.

Die numerische Implementierung des Halbraummodells basiert auf dem Superpositi-

onsprinzip. Daher ist es moglich, das Flachenpressungsfeld im vereinfachten plastischen

Modell in Anteile im elastischen und plastischen Kontakt aufzuspalten. Auf dieser Er-

kenntnis aufbauend ist es im Rahmen dieser Arbeit gelungen, ein der Active-Set Strate-

gie ahnliches Verfahren zu entwickeln, das es erlaubt, nichtprojizierte Gleichungsloser im

vereinfachten plastischen Halbraummodell mit limitierter Flachenpressung zu verwen-

den. Durch dieses Verfahren und den konjugierte Gradienten Gleichungsloser kann die

Berechnungszeit im Vergleich zum SOR-Gleichungsloser um ca. 50 % reduziert werden.

Aufgrund der großen Bedeutung von Schmierstoffen in Umformprozessen wird das

vereinfachte plastische Halbraummodell um die Modellierung hydrostatischer Drucke

in geschlossenen Schmiertaschen erweitert. Geschlossene Schmiertaschen sind rund-

um von metallischer Kontaktflache umgeben, so dass der Schmierstoff eingeschlos-

sen ist und hydrostatische Drucke aufgebaut werden konnen. Im Vergleich zum

mechanisch-rheologischen Modell, das eine Oberflachencharakterisierung anhand der

Oberflachentopographie im unbelasteten Zustand vornimmt, kann das Halbraummo-

dell mit hydrostatischer Modellierung der Schmiertaschen zusatzlich Informationen

bezuglich der vom Schmierstoff getragenen Lasten liefern. Sowohl der Anteils geschlos-

sener Schmiertaschen, als auch die vom Schierstoff getragenen Last kann durch das

Halbraummodell berechnet werden.

Neben der hydrostatischen Modellierung von Schmierstoffen wird das vereinfachte

plastische Halbraummodell zudem um Volumenerhaltung und den Normalkontakt mit

rauen Oberflachen erweitert. Ublicherweise wird in Halbraummodellen mit limitierter

Flachenpressung das Material in den Kontaktsegmenten mit zu großer Flachenpressung

ersatzlos aus dem Modell entfernt. Der volumenerhaltende Kontaktalgorithmus hingegen

verteilt das verdrangte Material in der Nichtkontaktflache. Dieses Vorgehen ist durch die

experimentellen Untersuchungen von Pullen und Williamson [63] motiviert. Im Kontakt

rauer Oberflachen wird die Oberflachenrauheit des Werkzeugs in der Abstandsbezie-

hung zwischen Werkstuck und Werkzeug berucksichtigt, so dass die Werkzeugrauheit

die Flachenpressung und die Oberflachendeformation des Werkstucks beeinflusst.

Zur experimentellen Kalibrierung und Validierung des vereinfachten plastischen

Halbraummodells werden ein Hartetest und ein Einglattungsversuche durchgefuhrt.

Ziel des Hartetests ist es, durch Abgleich von Simulation und Experiment die Verfes-

10 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 135

tigung der Oberflache mit der Eindringtiefe zu untersuchen. Es zeigte sich eine sehr

gute Ubereinstimmung zwischen dem Experiment und einer Simulation ohne Verfesti-

gung. Es findet folglich keine messbare Verfestigung der Oberflache beim Eindringen des

Prufkorpers statt.

In den Einglattungsversuchen werden raue Oberflachen durch einen glatten Stempel

bei Flachenpressungen bis zu 600MPa in trockenem und beoltem Zustand eingeglattet.

Sowohl in den trockenen, als auch in den beolten Untersuchungen sagt die Simulation

die Veranderungen der arithmetischen und quadratischen Oberflachenrauheit sehr gut

voraus. Auch die simulierten und gemessenen Materialanteilkurven (Abbott-Kurven)

stimmen sehr gut uberein. Einen genaueren Einblick in die Oberflachengestalt als Ma-

terialanteilkurven erlauben Wahrscheinlichkeitsdichtekurven. Auch hier sind die Ergeb-

nisse von Messungen und Simulation sowohl fur trockenen, als auch beolten Kontakt im

Einklang. Zudem zeigen die Hohenverteilung in den Rauheitstalern, also außerhalb des

Kontaktgebiets, eine sehr gute Ubereinstimmung. Folglich gibt der volumenerhaltende

Kontaktalgorithmus die Verdrangung plastifizierten Materials sehr gut wieder.

Das dreidimensionale plastische Halbraummodell wird am Beispiel des elasto-

plastischen Kugelkontakts erfolgreich mit Finite-Elemente-Simulationen verifiziert.

Im Kontakt rauer Oberflachen wird eine signifikante Abnahme der maximalen

Flachenpressung und der hieraus folgenden elastischen Spannungen im Halbraum bei

kleinen plastischen Deformationen beobachtet. Leider ist das dreidimensionale plasti-

sche Halbraummodell instabil, wenn große Gebiete plastifizieren. Daher konnen sehr raue

Oberflachen nur bei geringen Flachenpressungen untersucht werden, weshalb aus den Si-

mulationen mit dem dreidimensionalen plastischen Halbraummodell keine wesentlichen

Erkenntnisse uber das Einglattungsverhalten rauer Oberflachen in der Umformtechnik

gewonnen werden konnen. Mit abnehmender Oberflachenrauheit ist der Kontakt zuneh-

mend elastisch und das Modell konvergiert bis zu immer großeren Flachenpressungen.

Folglich steht einer Anwendung des Modells auf Probleme mit geringen plastischen Kon-

taktanteilen, wie zum Beispiel dem Kontakt in Walzlagern, nichts im Wege.

Anhand von Simulationen mit dem vereinfachten plastischen Halbraummodell von

Be- und Entlastung kann der Anteil der realen Kontaktflache in Abhangigkeit von der

Flachenpressung und der Kontaktgeschichte bestimmt werden. Es wird eine einfache ma-

thematische Formulierung zur Abbildung der Simulationsergebnisse prasentiert. Somit

kann anhand von Halbraumsimulationen ein Kontaktgesetz parametrisiert werden, dass

den Anteil der realen Kontaktflache in Abhangigkeit von der momentanen Last und der

Lastgeschichte beschreibt. Weil die Reibung proportional zum Anteil der realen Kontakt-

flache ist, kann aus dem Kontaktgesetz ein Reibgesetz abgeleitet werden, dass die maxi-

male Reibkraft in Abhangigkeit eines Reibfaktors, der Schubfließgrenze des Werkstucks

und des numerisch identifizierten Kontaktgesetzes bestimmt. Dieses Reibgesetz ist zur

Simulation mehrstufiger Umformprozesse geeignet, weil es die Oberflacheneinglattung

in vorhergehenden Prozessschritten uber die Kontaktgeschichte abbildet. Weil das Reib-

gesetz zudem einen kontinuierlichen Anstieg der Reibungschubspannung von Lastfallen

kleiner Flachenpressung zu Lastfallen großer Flachenpressung modelliert, erfullt es die

Anforderungen der Blechmassivumformung an ein Reibgesetz.

136

In der Implementierung des Reibgesetzes in Simufact.forming wird die maximale

Flachenpressung in vorherigen Lastschritten als Oberflachenzustandsvariable am jewei-

ligen Knoten des FE-Netzes gespeichert. Diese Zustandsvariable wird bei einer Neuver-

netzung auf das neue FE-Netz ubertragen. Somit kann das Reibgesetz auch in anspruchs-

vollen Umformsimulationen verwendet werden, die eine Neuvernetzung der Geometrie

unumganglich machen. Am Beispiel eines mehrstufigen Prozesses zur Herstellung eines

Napfes mit aufgedickter Zarge zeigt sich eine lokale Erhohung der Reibschubspannung

an Orten, die in einem vorherigen Lastschritt sehr hoher Flachenpressung ausgesetzt

waren.

Das Reibgesetz wird anhand von Simulationen mit dem vereinfachten plastischen

Halbraummodell und dem Einglattungsversuch identifiziert. Interessante Ansatze fur

zukunftige Weiterentwicklungen des Reibgesetzes sind die Berucksichtigung des Span-

nungszustandes im Grundmaterial und des Einflusses von Tangentiallasten. Durch

Einglattungsversuche an vorgespannten Blechen kann die Oberflachenharte bei Span-

nungszustanden untersucht werden, die dem Spannungszustand im Blech in Umform-

prozessen ahneln. Wie in Kap. 3.2.4 dargestellt, nimmt die Oberflachenharte unter kom-

binierter Normal- und Tangentialbelastung ab. Bei einem Reibfaktor von m = 0,3 ist

die Oberflachenharte um ca. 5% reduziert. Folglich ist das Kontaktwachstum (Junction

growth) unter kombinierter Normal- und Tangentialbelastung nur bei großen Reibfak-

toren zu berucksichtigen.

Einen genaueren Einblick in das elasto-plastische Einglattungsverhalten rauer Ober-

flachen im Kontakt erlauben Finite-Elemente-Simulationen. Um den Kontakt bei feinen

Auflosungen und reprasentativen Oberflachen mit angemessenem Aufwand untersuchen

zu konnen, ist die Verwendung von zweidimensionalen Modellen oder Multiskalenmodel-

len ratsam.

Anhang A

Anhang

A.1 Mathematische Grundlagen

Vor der Herleitung der analytischen Losungen fur die Spannungs- und Verschiebungs-

felder fur Normal- und Tangentiallasten nach Boussinesq und Cerruti sollen zunachst

die hierfur erforderlichen mathematischen Grundlagen rekapituliert werden.

Nabla-Operator

Zur Darstellung der Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation dient der

Nabla-Operator ∇, der durch

∇ =

∂

∂ x1

∂

∂ x2

∂

∂ x3

(A.1)

definiert ist, siehe z.B. [16, 83].

Gradient

Der Gradient ist das dyadische Produkt eines Tensors mit dem Nabla-Operator.

grad(f) = ∇⊗ f =

∂

∂ x1

∂

∂ x2

∂

∂ x3

(f1 f2 f3

)=

∂ f1∂ x1

∂ f2∂ x1

∂ f3∂ x1

∂ f1∂ x2

∂ f2∂ x2

∂ f3∂ x2

∂ f1∂ x3

∂ f2∂ x3

∂ f3∂ x3

(A.2)

grad(f) =∂ fi∂ xj

= fi,j (A.3)

Der Operator Gradient erhoht die Ordnung eines Tensors um Eins.

137

138 A.1 Mathematische Grundlagen

Divergenz

Die Divergenz ist das Skalarprodukt eines Tensors mit dem Nabla-Operator.

div(f) = ∇ · f =(

∂

∂ x1

∂

∂ x2

∂

∂ x3

)

f1f2f3

=∂ f1∂ x1

+∂ f2∂ x2

+∂ f3∂ x3

(A.4)

div(f) =∂ fi∂ xi

= fi,i (A.5)

Die Divergenz reduziert die Ordnung eines Tensors um Eins und ist folglich fur einen

Skalar nicht definiert.

Rotation

Die Rotation ist das Kreuzprodukt eines Tensors mit dem Nabla-Operator.

rot(f) = ∇× f =

∂

∂ x1

∂

∂ x2

∂

∂ x3

×

f1f2f3

=

∂ f3∂ x2

− ∂ f2∂ x3

∂ f1∂ x3

− ∂ f3∂ x1

∂ f2∂ x1

− ∂ f1∂ x2

(A.6)

rot(f) = −εijk∂ fi∂ xj

= εijk∂ fj∂ xi

(A.7)

Die Rotation belasst die Ordnung von Tensoren unverandert.

Levi-Civita-Symbol

In der Definition der Rotation wird das Levi-Civita-Symbol (auch Permutationssymbol

genannt) verwendet, es ist wie folgt definiert

eijk =

+1 fur ijk = 123, 231 oder 312

−1 fur ijk = 132, 213 oder 321

0 sonst

. (A.8)

Laplace-Operator

Ein weiterer bedeutender Differentialoperator ist der Laplace-Operator ∆, der eine zwei-

malige Differentiation unter Beibehaltung der Stufe eines Tensors bewirkt. Er ist als

die Divergenz des Gradienten definiert und entspricht dem Skalarprodukt des Nabla-

Operators mit sich selbst und ist daher in der englischsprachigen Literatur haufig als ∇2

dargestellt

∆ = div (grad(f)) = div

f1,1 f2,1 f3,1f1,2 f2,2 f3,2f1,3 f2,3 f3,3

= fi,jj . (A.9)

A ANHANG 139

Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta δij dient zur Darstellung der Einheitsheitsmatrix in Indexnotation

und zur Fallunterscheidung in Funktionen

δij =

1 fur i = j

0 fur i 6= j. (A.10)

Analytische Identitaten

Es gelten die folgenden Identitaten, die sich in der Potentialdarstellung der linearen

Kontinuumsmechanik als nutzlich erweisen

rot grad a = ~0 (A.11)

rot grad f = ~~0 (A.12)

div rot f = 0 (A.13)

rot rot f = grad div f − div grad f . (A.14)

Poisson- und Laplace-Gleichung

Die Differentialgleichung

div grad f = b (A.15)

heißt Poisson-Gleichung. Wenn die rechte Seite der Poisson-Gleichung gleich Null ist

wird sie Laplace-Gleichung genannt

div grad f = 0 . (A.16)

Dies ist der Fall, wenn die Anwendung des Laplace-Operators null ergibt.

Harmonische Funktion

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-

Gleichung erfullt. Partielle Ableitungen harmonischer Funktionen sind harmonisch.

Summen harmonischer Funktionen und skalare Vielfache harmonischer Funktionen sind

ebenfalls harmonisch.

Lamellares Vektorfeld

Ein Vektorfeld vlam heißt lamellar (auch wirbelfrei oder rotationsfrei genannt) wenn gilt

rotvlam = ~0 . (A.17)

Aufgrund der analytischen Identitat (A.11) kann vlam als Gradient eines skalaren Po-

tentialfeldes Φ beschrieben werden

vlam = gradΦ . (A.18)

Das skalare Potentialfeld Φ kann durch Losen folgender Poisson-Gleichung bestimmt

werden

div gradΦ = divvlam . (A.19)

140 A.1 Mathematische Grundlagen

Solenoidales Vektorfeld

Ein Vektorfeld vsol heißt solenoidal (auch quellenfrei oder divergenzfrei genannt) wenn

gilt

div vsol = ~0 . (A.20)

Aufgrund der analytischen Identitat (A.13) kann vsol als Rotation eines Vektorpotenti-

als Ψ dargestellt werden

vsol = rotΨ . (A.21)

Wenn auch Ψ divergenzfrei ist, kann das rotationsfreie Vektorfeld unter Verwendung der

analytischen Identitat (A.14) als Losung der Poisson-Gleichung dargestellt werden

div gradΨ = − rotvsol . (A.22)

Helmholtz-Zerlegung

Das Verschiebungsfeld u eines beliebigen elastostatischen Problems kann durch die Sum-

me eines lamellaren und eines solenoidalen Feldes dargestellt werden [16]

u = vlam + vsol . (A.23)

Mit (A.18) und (A.21) folgt

u = gradΦ + rotΨ . (A.24)

A ANHANG 141

A.2 Herleitungen und Berechnungen zum elasti-

schen Halbraum

A.2.1 Dehnung und Spannung in Papkovich-Neuber-

Darstellung

Verzerrungen in Papkovich-Neuber-Darstellung

Durch Einsetzen des Verschiebungsfeldes in Papkovich-Neuber-Darstellung (4.33) in die

Verzerrungs-Verschiebungs-Relation (4.34) ergeben sich die Verzerrungen in Papkovich-

Neuber-Darstellung

ε =1

2

(

gradu+ (gradu)T)

=1

2

[

grad ψ − 1

4(1− ν)grad grad

(

ϕ+ r · ψ)

+(

grad ψ)T

− 1

4(1− ν)

(

grad grad(

ϕ+ r · ψ))T

]

.

(A.25)

Weil ϕ+ r · ψ skalar ist, gilt

grad grad(

ϕ+ r · ψ)T

= grad grad(

ϕ+ r · ψ)

. (A.26)

Somit folgt aus (A.25)

ε =1

2

(

grad ψ +(

grad ψ)T)

− 1

4(1− ν)

(

grad grad(

ϕ+ r · ψ))

. (A.27)

142 A.2 Herleitungen und Berechnungen zum elastischen Halbraum

Die Spur des Verzerrungsfeldes in Papkovich-Neuber-Darstellung

spur ε = spur

[1

2

(

grad ψ +(

grad ψ)T)

− 1

4(1− ν)

(

grad grad(

ϕ+ r · ψ))]

= spur

1

2

ψ1,1 . . . . . .

. . . ψ2,2 . . .

. . . . . . ψ3,3

+

ψ1,1 . . . . . .

. . . ψ2,2 . . .

. . . . . . ψ3,3

− 1

4(1− ν)

(

grad grad(

ϕ+ x1 ψ1 + x2 ψ2 + x3 ψ3

))]

= ψi,i −1

4(1− ν)spur

grad

ϕ,1 + ψ1 + x1 ψ1,1 + x2 ψ2,1 + x3 ψ3,1

ϕ,2 + x1 ψ1,2 + ψ2 + x2 ψ2,2 + x3 ψ3,2

ϕ,3 + x1 ψ1,3 + x2 ψ2,3 + ψ3 + x3 ψ3,3

(A.28)

= div ψ − 1

4(1− ν)spur

ϕ,11 + 2 ψ1,1 + x1 ψ1,11 + x2 ψ2,11 + x3 ψ3,11 . . . . . .

. . . ϕ,22 + x1 ψ1,22 + 2 ψ2,2 + x2 ψ2,22 + x3 ψ3,22 . . .

. . . . . . ϕ,33 + x1 ψ1,33 + x2 ψ2,33 + 2 ψ3,3 + x3 ψ3,33

Weil sowohl ϕ als auch ψ harmonische Funktionen sind gilt

ϕ,ii = 0 und ψj,ii = 0 . (A.29)

Hiermit folgt

spur ε = div ψ − 1

4(1− ν)spur

2 ψ1,1 . . . . . .

. . . 2 ψ2,2 . . .

. . . . . . 2 ψ3,3

=

1− 2ν

2(1− ν)div ψ . (A.30)

A ANHANG 143

A.2.2 Detaillierte Darstellungen der Boussinesq-Potentiale

Berechnung des Verschiebungsvektors und Spannungstensors fur das

Boussinesq-Potential B

ψ = −2(1− ν)

µ

ψ

0

0

(A.31)

ϕ = 0 (A.32)

u = ψ − 1

4(1− ν)grad

(

ϕ+ r · ψ)

= −2(1− ν)

µ

ψ

0

0

− 1

4(1− ν)grad

−2(1− ν)

µ

(x1 x2 x3

)

ψ

0

0

= −2(1− ν)

µ

ψ

0

0

+1

2µgrad (x1 ψ) = −2(1− ν)

µ

ψ

0

0

+1

2µ

ψ + x1 ψ,1

x1 ψ,1

x1 ψ,1

=1

2µ

(4ν − 3)ψ + x1 ψ,1

x1 ψ,1

x1 ψ,1

(A.33)


σ =νE

2(1− ν2)div ψ δ +

E

2(1 + ν)

(

grad ψ +(

grad ψ)T)

− E


(

ϕ+ r · ψ)

=ν E

2(1− ν2)

(

−2(1− ν)

µ

)

div

ψ

0

0

δ

+E

2(1 + ν)

(

−2(1− ν)

µ

)

grad

ψ

0

0

+ grad (ψ, 0, 0)T

− E

4(1− ν2)

(

−2(1− ν)

µ

)

grad grad (x1ψ)

= − νE

(1 + ν)µ

ψ,1 0 0

0 ψ,1 0

0 0 ψ,1

− E(1− ν)

µ(1 + ν)

ψ,1 0 0

ψ,2 0 0

ψ,3 0 0

+

ψ,1 ψ,2 ψ,3

0 0 0

0 0 0

+E

2(1 + ν)µgrad

x1 ψ,1 + ψ

x1 ψ,2

x1 ψ,3

= −2 ν

ψ,1 0 0

0 ψ,1 0

0 0 ψ,1

− 2 (1− ν)

2ψ,1 ψ,2 ψ,3

ψ,2 0 0

ψ,3 0 0

+

2ψ,1 + x1 ψ,11 ψ,2 + x1 ψ,12 ψ,3 + x1 ψ,13

ψ,2 + x1 ψ,12 x1 ψ,22 x1 ψ,23

ψ,3 + x1 ψ,13 x1 ψ,23 x1 ψ,33

=

(2ν − 2)ψ,1 + x1 ψ,11 (2ν − 1)ψ,2 + x1 ψ,12 (2ν − 1)ψ,3 + x1 ψ,13

−2ν ψ,1 + x1 ψ,22 x1 ψ,23

sym. −2ν ψ,1 + x1 ψ,33

(A.34)

A ANHANG 145

Berechnung des Verschiebungsvektors und Spannungstensors fur das

Boussinesq-Potential E

ψ =1

µrot

φ

0

0

(A.35)

ϕ = −r · ψ (A.36)

u = ψ − 1

4(1− ν)grad

(

ϕ+ r · ψ)

=1

µrot

φ

0

0

− 1

4(1− ν)grad

(

−r · ψ + r · ψ)

=1

µrot

0

φ,3

−φ,2

(A.37)

σ =νE

2(1− ν2)div ψ δ +

E

2(1 + ν)

(

grad ψ +(

grad ψ)T)

− E


(

ϕ+ r · ψ)

=ν E

2(1− ν2)

1

µdiv rot

φ

0

0

+E

2(1− ν)

1

µ

grad rot

φ

0

0

+

grad rot

φ

0

0

T

− E


(

−r · ψ + r · ψ)

(A.38)

Aufgrund der Identitat (A.13) ist der erste Term obenstehender Gleichung gleich Null

und es folgt

σ = grad rot

φ

0

0

+

grad rot

φ

0

0

T

= grad

0

φ,3

−φ,2

+

grad

0

φ,3

−φ,2

T

=

0 φ,13 −φ,12

0 φ,23 −φ,22

0 φ,33 −φ,23

+

0 0 0

φ,13 φ,23 φ,33

−φ,12 −φ,22 −φ,23

=

0 φ,13 −φ,12

φ,13 2φ,23 −φ,22 + φ,33

−φ,12 −φ,22 + φ,33 −2φ,23

.

(A.39)


Potential C

Potential C entspricht Potential B mit permutierten Indizes.

ψ = −2(1− ν)

µ

0

ψ

0

(A.40)

ϕ = 0 (A.41)

2µu =

x2 ψ,1

(4ν − 3)ψ + x2 ψ,2

x2 ψ,3

(A.42)

σ =

−2 ν ψ,2 + x2 ψ,11 (2ν − 1)ψ,1 + x2 ψ,12 x2 ψ,13

(2ν − 2)ψ,2 + x2 ψ,22 (2ν − 1)ψ,3 + x2 ψ,23

sym. −2ν ψ,2 + x2 ψ,33

(A.43)

Potential D

Potential D entspricht ebenfalls Potential B mit permutierten Indizes.

ψ = −2(1− ν)

µ

0

0

ψ

(A.44)

ϕ = 0 (A.45)

2µu =

x3 ψ,1

x3 ψ,2

(4ν − 3)ψ + x3 ψ,3

(A.46)

σ =

−2ν ψ,3 + x3 ψ,11 x3 ψ,12 (2ν − 1)ψ,1 + x3 ψ,13

−2ν ψ,3 + x3 ψ,22 (2ν − 1)ψ,2 + x3 ψ,23

sym. (2ν − 2)ψ,3 + x3 ψ,33

(A.47)

A ANHANG 147

Potential F

Potential F entspricht Potential E mit permutierten Indizes.

ψ =1

µrot

0

φ

0

(A.48)

ϕ = −r · ψ (A.49)

2µu = 2

−φ,3

0

φ,1

(A.50)

σ =

−2φ,13 −φ,23 φ,11 − φ,33

−φ,23 0 φ,12

φ,11 − φ,33 φ,12 2φ,13

(A.51)

Potential G

Potential G entspricht ebenfalls Potential E mit permutierten Indizes.

ψ =1

µrot

0

0

φ

(A.52)

ϕ = −r · ψ (A.53)

2µu = 2

φ,2

−φ,1

0

(A.54)

σ =

2φ,12 −φ,11 + φ,22 φ,23

−φ,11 + φ,22 −2φ,12 −φ,13

φ,23 −φ,13 0

(A.55)


A.2.3 Spannungen und Verschiebungen unter normalen Ein-

zellasten

ϕ,1 = −F (1− 2ν)

2 π

[x

R (R + z)

]

(A.56)

ϕ,11 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− x2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− x2

R2 (R + z)2

]

(A.57)

ϕ,113 = −F (1− 2ν)

2 π

[2 x2 − y2 − z2

R5

]

(A.58)

ϕ,13 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− x

R3

]

(A.59)

ϕ,2 = −F (1− 2ν)

2 π

[y

R (R + z)

]

(A.60)

ϕ,22 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− y2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− y2

R2 (R + z)2

]

(A.61)

ϕ,223 = −F (1− 2ν)

2 π

[−x2 + 2 y2 − z2

R5

]

(A.62)

ϕ,23 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− y

R3

]

(A.63)

ϕ,12 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− x y

R3 (R + z)− x y

R2 (R + z)2

]

(A.64)

ϕ,123 = −F (1− 2ν)

2 π

[3 x y

R5

]

(A.65)

ϕ,3 = −F (1− 2ν)

2 π

[1

R

]

(A.66)

ϕ,33 = −F (1− 2ν)

2 π

[

− z

R3

]

(A.67)

A ANHANG 149

ϕ,333 = −F (1− 2ν)

2 π

[3 z2

R5− 1

R3

]

(A.68)

ϕ,233 = −F (1− 2ν)

2 π

[3 y z

R5

]

(A.69)

ϕ,133 = −F (1− 2ν)

2 π

[3 x z

R5

]

(A.70)

σ11 = − 2ν

1 − 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,113 + ϕ,11 = −F (1− 2ν)

2 π

[2ν

1− 2ν

z

R3

+z

1− 2ν

2 x2 − y2 − z2

R5− x2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− x2

R2 (R + z)2

]

= − F

2 π

[3 x2 z

R5− 1

1− 2ν

(z

R3+

x2

R3 (R + z)− 1

R (R + z)+

x2

R2 (R + z)2

)]

(A.71)

σ22 = − 2ν

1− 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,223 + ϕ,22 = −F (1− 2ν)

2 π

[2ν

1− 2ν

z

R3

+z

1− 2ν

−x2 + 2 y2 − z2

R5− y2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− y2

R2 (R + z)2

]

= − F

2 π

[3 y2 z

R5− (1− 2ν)

(z

R3+

y2

R3 (R + z)− 1

R (R + z)+

y2

R2 (R + z)2

)]

(A.72)

σ33 = − 1

1− 2νϕ,33 +

z

1− 2νϕ,333

= − F

2 π

[z

R3+

z

1− 2ν

(3 z2

R5− 1

R3

)]

= − F

2 π

3 z3

R5

(A.73)

σ12 =z

1− 2νϕ,123 + ϕ,12

= − F

2 π

[3 x y z

R5− (1− 2ν)

(x y

R3 (R + z)+

x y

R2 (R + z)2

)](A.74)


σ23 =z

1− 2νϕ,233 = − F

2 π

3 y z2

R5(A.75)

σ31 =z

1− 2νϕ,133 = − F

2 π

3 x z2

R5(A.76)

2µ u1 = ϕ,1 +z

1− 2νϕ,13 = −F (1− 2ν)

2 π

[x

R (R + z)− 1

1− 2ν

x z

R3

]

= − F

2 π

[

(1− 2ν)x

R (R + z)− x z

R3

](A.77)

2µ u2 = ϕ,2 +z

1− 2νϕ,23 = −F (1− 2ν)

2 π

[y

R (R + z)− 1

1− 2ν

y z

R3

]

= − F

2 π

[

(1− 2ν)y

R (R + z)− y z

R3

](A.78)

2µ u3 = ϕ,3 + (4ν − 3)ϕ,3

1− 2ν+

z

1− 2νϕ,33

= −2(ν + 1)

1− 2νϕ,3 +

z

1− 2νϕ,33

= −F (1− 2ν)

2 π

[2(ν − 1)

1− 2ν

1

R− 1

1− 2ν

z2

R3

]

= − F

2 π

[

−2(1− ν)1

R− z2

R3

]

(A.79)

A ANHANG 151

A.2.4 Spannungen und Verschiebungen unter tangentialen

Einzellasten

θ = −Fx

2 π[z log(R + z)− R] (A.80)

θ,1 = −Fx

2 π

[

− x

R + z

]

(A.81)

θ,11 = −Fx

2 π

[

− 1

R + z+

x2

(R + z)2R

]

(A.82)

θ,111 = −Fx

2 π

[3x

(R + z)2R− 2x3

(R + z)3R2− x3

(R + z)2R3

]

(A.83)

θ,1113 = −Fx

2 π

[3 x3

R5 (R + z)− 3 x

R3 (R + z)+

3 x3

R4 (R + z)2

− 3 x

R2 (R + z)2+

2 x3

R3 (R + z)3

](A.84)

θ,112 = −Fx

2 π

[

− x2y

(R + z)2R3+

y

(R + z)2R− 2x2y

(R + z)3R2

]

(A.85)

θ,1123 = −Fx

2 π

[3 x2 y

R5 (R + z)+

3 x2 y

R4 (R + z)2− y

R3 (R + z)

+2 x2 y

R3 (R + z)3− y

R2 (R + z)2

](A.86)

θ,113 = −Fx

2 π

[

− x2

R3(R + z)+

1

R(R + z)− x2

R2(R + z)2

]

(A.87)

θ,1133 = −Fx

2 π

[2 x2 − y2 − z2

R5

]

=Fx

2 π

[3 x2

R5− 1

R3

]

(A.88)

θ,12 = −Fx

2 π

[x y

(R + z)2R

]

(A.89)


θ,122 = −Fx

2 π

[

− 2 x y2

(R + z)3R2− x y2

(R + z)2R3+

x

(R + z)2R

]

(A.90)

θ,1223 =− Fx

2 π

[3 x y2

R5 (R + z)+

3 x y2

R4 (R + z)2− x

R3 (R + z)

+2 x y2

R3 (R + z)3− x

R2 (R + z)2

](A.91)

θ,123 = −Fx

2 π

[

−(2R + z) x y

(R + z)2R3

]

=Fx

2 π

[

− x y

(R + z)2R2− x y

(R + z)R3

]

(A.92)

θ,1233 = − Fx

2 π

[3 x y

R5

]

(A.93)

θ,133 = −Fx

2 π

[

− x

R3

]

(A.94)

θ,1333 = − Fx

2 π

[3 x z

R5

]

(A.95)

θ,2 = −Fx

2 π

[

− y

R + z

]

(A.96)

θ,22 = −Fx

2 π

[

− 1

R + z+

y2

(R + z)2R

]

(A.97)

θ,222 = −Fx

2 π

[3 y

(R + z)2R− 2 y3

(R + z)3R2− y3

(R + z)2R3

]

(A.98)

θ,223 = −Fx

2 π

[1

R(R + z)− y2

R3(R + z)− y2

R2(R + z)2

]

(A.99)

σ33 = z θ,1333 = zFx

2 π

[3 x z

R5

]

=Fx

2 π

[3 x z2

R5

]

(A.100)

A ANHANG 153

σ23 = z θ,1233 = zFx

2 π

[3 x y

R5

]

=Fx

2 π

[3 x y z

R5

]

(A.101)

σ31 = θ,113 + z θ,1133 + θ,223

= − x2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− x2

R2 (R + z)2+

3 x2 z

R5− z

R3

− y2

R3 (R + z)+

1

R (R + z)− y2

R2 (R + z)2

=−x2 − y2

R3 (R + z)+

2

R (R + z)+

−x2 − y2

R2 (R + z)2+

3 x2 z

R5− z

R3

= − R2 − z2

R3 (R + z)+

2

R (R + z)− R2 − z2

R2 (R + z)2+

3 x2 z

R5− z

R3

= − R2 − z2

R3 (R + z)+

2R2

R3 (R + z)− R (R− z)

R3 (R + z)− z (R + z)

R3 (R + z)+

3 x2 z

R5=

3 x2 z

R5

(A.102)

Literaturverzeichnis

[1] DIN 4760: Gestaltabweichung: Begriffe, Ordnungssystem. Beuth Verlag, 1982

[2] DIN EN ISO 3274: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Ober-

flachenbeschaffenheit: Tastschnittverfahren - Nenneigenschaften von Tastschnitt-

geraten. Beuth Verlag, 1998

[3] DIN EN ISO 4288: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Ober-

flachenbeschaffenheit: Tastschnittverfahren - Regeln und Verfahren fur die Beur-

teilung der Oberflachenbeschaffenheit. Beuth Verlag, 1998

[4] DIN EN ISO 4287: Geometrische Produktspezifikation (GPS) - Ober-

flachenbeschaffenheit: Tastschnittverfahren - Benennungen, Definitionen und

Kenngroßen der Oberflachenbeschaffenheit. Beuth Verlag, 2010

[5] DIN EN ISO 25178: Geometrische Produktspezifikation (GPS) - Ober-

flachenbeschaffenheit: Flachenhaft. Beuth Verlag, 2012

[6] Ahmadi, N.: Non-Hertzian Normal and Tangential Loading of Elastic Bodies in

Contact, Northwestern University, Evanston, Illinois, Diss., 1982

[7] Ahmadi, N. ; Keer, L. M. ; Mura, T. ; Vithoontien, V.: The Interior Stress

Field Caused by Tangential Loading of a Rectangular Patch on an Elastic Half

Space. In: Journal of Tribology 109 (1987), S. 627–629

[8] Allwood, J.: Survey and Performance Assessment of Solution Methods for Elastic

Rough Contact Problems. In: Journal of Tribology 127 (2005), S. 10–23

[9] Archard, J. F.: Contact and Rubbing of Flat Surfaces. In: Journal of Applied

Physics 24 (1953), S. 981–988

[10] Archard, J. F.: Elastic deformation and the laws of friction. In: Proceedings of

the Royal Society of London. Series A. 243 (1957), S. 190 – 205

[11] Azushima, A. ;Yanagida, A. ;Tani, S.: Permeation of Lubricant Trapped Within

Pocket Into Real Contact Area on the End Surface of Cylinder. In: Journal of

Tribology 133 (2011), S. 011501–1–6

155

156 LITERATURVERZEICHNIS

[12] Azushima, A. ; Yoneyama, S. ; Yamaguchi, T. ; Kudo, H.: Direct Obser-

vation of Microcontact Behavior at the Interface between Tool and Workpiece in

Lubricated Upsetting. In: Annals of the CIRP 45 (1996), S. 205–210

[13] Barber, J. R.: Elasticity. Berlin, Heidelberg : Springer, 2009. – ISBN 978–90–

481–3808–1

[14] Bay, N.: Friction stress and normal stress in bulk metal-forming processes. In:

Journal of Mechanical Working Technology 14 (1987), S. 203–223

[15] Bay, N. ; Wanheim, T.: Real area of contact between a rough tool and a smooth

workpiece at high normal pressure. In: Wear 38 (1976), S. 225–234

[16] Becker, W. ; Gross, D.: Mechanik elastischer Korper und Strukturen. Berlin,

Heidelberg : Springer, 2002. – ISBN 3–540–43511–5

[17] Behrens, B.-A. ; Bouguecha, A. ; Mielke, J. ; Hirt, G. ; Bambach, M. ;

Baouni, M. A. ;Demant, A.: Verbesserte numerische Prozesssimulation mittels ei-

nes innovativen Reibgesetzes fur die Warmmassivumformung. In: Schmiede-Journal

03/2010 (2010), S. 20–24

[18] Boucly, V. ; Nelias, D. ; Green, I.: Modeling of the Rolling and Sliding Contact

Between Two Asperities. In: Journal of Tribology 129 (2007), S. 235–245

[19] Boucly, V. ; Nelias, D. ; Liu, S. ; Wang, Q. J. ; Keer, L. M.: Contact Analyses

for Bodies With Frictional Heating and Plastic Behavior. In: Journal of Tribology

127 (2005), S. 355–364

[20] Boussinesq, J.: Application des potentiels a l’etude de l’equilibre et du mouvement

des solides elastiques. Paris : Gauthier-Villars, 1885

[21] Bowden, F. P.: A Review of the Friction of Solids. In: Wear 1 (1957), S. 333–346

[22] Bowden, F. P. ; Tabor, T.: The friction and lubrication of solids. Clarendon

Press, 1986

[23] Bush, A. W. ; Gibson, R. D. ; Thomas, T. R.: The Elastic Contact of a Rough

Surface. In: Wear 35 (1975), S. 87–111

[24] Cerruti, V.: Ricerche intorno all’equilibrio dei corpi elastici isotropi. In: Reale

Accademia dei Lincei 13 (1882)

[25] Chiu, Y. P.: On the Stress Field Due to Initial Strains in a Cuboid Surrounded by

an Infinite Elastic Space. In: Journal of Applied Mechanics 44 (1977), S. 587–590

[26] Chiu, Y. P.: On the Stress Field and Surface Deformation in a Half Space With

a Cuboidal Zone in Which Initial Strains Are Uniform. In: Journal of Applied

Mechanics 45 (1978), S. 302–306

LITERATURVERZEICHNIS 157

[27] Czichos, H. ; Habig, K.-H.: Tribologie-Handbuch - Tribometrie, Tribomaterialien,

Tribotechnik. Vieweg+Teubner Verlag, 2010

[28] Doege, E. ; Behrens, B.-A.: Handbuch Umformtechnik. Springer, 2010

[29] Durst, F.: Grundlagen der Stromungsmechanik. Springer, 2006

[30] Fotiu, P. A. ; Nemat-Nasser, S.: A universal integration algorithm for rate-

dependent elastoplasticity. In: Computers & Structures 59 (1996), S. 1173–1184

[31] Fung, Y. C.: Foundations of solid mechanics. Prentice-Hall, 1965

[32] Geiger, M. ; Engel., U. ; Vollertsen, F.: In situ ultrasonic measurement of

the real contact area in bulk metal forming. In: Annals of the CIRP 41 (1992), S.

255–258

[33] Green, A. E. ; Zerna, W.: Theoretical Elasticity. Oxford : Oxford University

Press, 1968. – ISBN 0–19–853329–2

[34] Greenwood, J. A. ; Williamson, J. B. P.: Contact of Nominally Flat Surfaces.

In: Proceeding of the Royal Society of London 295 (1966), S. 300–319

[35] Hahn, H. G.: Elastizitatstheorie. Stuttgart : B. G. Teubner, 1985. – ISBN 3–519–

02364–4

[36] Hencky, H.: Uber einige statisch bestimmte Falle des Gleichgewichts in plastischen

Korpern. In: Z. Angew. Math. Mech 3 (1923), S. 241–251

[37] Hertz, H.: Uber die Beruhrung fester elastischer Korper. In: Journal fur die reine

und angewandte Mathematik 92 (1882), S. 156–171

[38] Jacq, C. ; Nelias, D. ; Lormand, G. ; Girodin, D.: Development of a Three-

Dimensional Semi-Analytical Elastic-Plastic Contact Code. In: Journal of Tribology

124 (2002), S. 653–667

[39] Johnson, K. L.: Contact mechanics. Cambridge University Press, 1985

[40] Kalker, J. J. ; Randen, Y. van: A Minimum Principle for Frictionless Elastic

Contact with Application to Non-Hertzian Half-Space Contact Problems. In: Jour-

nal of Engineering Mathematics 6 (1972), S. 193–206

[41] Kim, T. W. ; Bhushan, B. ; Cho, Y. J.: The contact behavior of elastic/plastic

non-Gaussian rough surfaces. In: Tribology Letters 22 (2006), S. 1–13

[42] Leroux, J. ; Fulleringer, B. ; Nelias, D.: Contact analysis in presence of

spherical inhomogeneities within a half-space. In: International Journal of Solids

and Structures 47 (2010), S. 3034–3049


[43] Liu, S. ; Wang, Q.: Studying Contact Stress Fields Caused by Surface Tractions

With a Discrete Convolution and Fast Fourier Transform Algorithm. In: Journal

of Tribology 124 (2002), S. 36–45

[44] Liu, S. ; Wang, Q.: Elastic Fields due to Eigenstrains in a Half-Space. In: Journal

of Applied Mechanics 72 (2005), S. 871–878

[45] Love, A. E. H.: Stress produced in a semi-infinite solid by pressure on part of the

boundary. In: Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A 228 (1929),

S. 377 – 420

[46] Merklein, M. ; Allwood, J. M. ; Behrens, B.-A. ; Brosius, A. ; Hagenah ;

Kuzman, K. ; Mori, K. ; Tekkaya, A. E. ; Weckenmann, A.: Bulk forming of

sheet metal. In: Annals of the CIRP 61 (2012), S. 725–745

[47] Merklein, M. ; Behrens, B.-A. ; Plettke, R. ; Krimm, R. ; Opel, S. ; Schnei-

der, T. ; Matthias, T. ; Salfeld, V.: Integrierte Fertigung von tiefgezogenen

Blechbauteilen mit Verzahnungselementen unter Einsatz von prozessangepassten

Halbzeugen. In: M. Merklein (Hrsg.): Tagungsband zum 1. Erlanger Workshop

Blechmassivumformung 2011 (2011), S. 159–180

[48] Merklein, M. ; Opel, S. ; Schneider, T.: Herstellung funktionaler Blechkom-

ponenten. In: wt Werkstattstechnik online 11/12 (2010), S. 910–915

[49] Merklein, M. ; Plettke, R. ; Schneider, T. ; Opel, S. ; Vipavc, D.: Manufac-

turing of sheet metal components with variants using process adapted semi-finished

products. In: Key Engineering Materials (2012), S. 1023–1028

[50] Mindlin, R. D. ; Cheng, D. H.: Nuclei of Strain in the Semi-Infinite Solid. In:

Journal of Applied Physics 21 (1950), S. 926–930

[51] Nayak, P. R.: Random Process Model of Rough Surfaces. In: Journal of Lubrication

Technology 93 (1971), S. 398–407

[52] Nelias, D. ; Antaluca, E. ; Boucly, V.: Rolling of an Elastic Ellipsoid Upon

an Elastic-Plastic Flat. In: Journal of Tribology 129 (2007), S. 791–800

[53] Nelias, D. ; Antaluca, E. ; Boucly, V. ; Cretu, S.: A Three-Dimensional

Semianalytical Model for Elastic-Plastic Sliding Contacts. In: Journal of Tribology

129 (2007), S. 761–771

[54] Nelias, D. ; Boucly, V. ; Brunet, M.: Elastic-Plastic Contact Between Rough

Surfaces: Proposal for a Wear or Running-in Model. In: Journal of Tribology 128

(2006), S. 236–244

[55] Orowan, E.: The Calculation of Roll Pressure in Hot and Cold Flat Rolling. In:

Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 150 (1943), S. 140–167


[56] Patir, N. ; Cheng, H. S.: An Average Flow Model for Determining Effects of

Three-Dimensional Roughness on Partial Hydrodynamic Lubrication. In: Journal

of Lubrication Technology 100 (1978), S. 12–17

[57] Patir, N. ; Cheng, H. S.: An Application of Average Flow Model to Lubrication

Between Rough Sliding Surfaces. In: Journal of Lubrication Technology 101 (1979),

S. 220–230

[58] Petersen, S. B. ; Martins, P. A. F. ; Bay, N.: Friction in bulk metal forming:

a general friction model vs. the law of constant friction. In: Journal of Materials

Processing Technology 66 (1997), S. 186–194

[59] Pfestorf, M. ; Engel, U. ; Geiger, M.: Three-dimensional characterization of

surfaces for sheet metal forming. In: Wear 216 (1997), S. 244–250

[60] Pfestorf, M. ; Engel, U. ; Geiger, M.: 3D-Surface parameters and their Ap-

plication on Deterministic Textured Metal Sheets. In: International Journal of

Machine Tools and Manufacture 38 (1998), S. 607–614

[61] Polonsky, I. A. ; Keer, L. M.: A numerical method for solving rough contact pro-

blems based on the multi-level multi-summation and conjugate gradient techniques.

In: Wear 231 (1999), S. 206–219

[62] Popov, V. L.: Kontaktmechanik und Reibung. Springer, 2009

[63] Pullen, J. ; Williamson, J. B. P.: On the plastic contact of rough surfaces. In:

Proc. R. Soc. London, Ser. A. 327 (1972), S. 159–173

[64] Schwarz, H. R.: Numerische Mathematik. Stuttgart : Teubner, 1993. – ISBN

3–519–22960–9

[65] Shaw, M. C.: The role of friction in deformation processing. In: Wear 6 (1963), S.

140–158

[66] Shaw, M. C. ; Ber, A. ; Mamin, P. A.: Friction Characteristics of Sliding Surfaces

Undergoing Subsurface Plastic Flow. In: Journal of Basic Engineering 82 (1960),

S. 342–346

[67] Simo, J. C. ; Hughes, T. J. R.: Computational Inelasticity. Springer-Verlag, 1998

[68] Sobis, T. ; Engel, U. ; Geiger, M.: A theoretical study on wear simulation in

metal forming processes. In: Journal of Materials Processing Technology 34 (1992),

S. 233–240

[69] Souza Neto, E. A. ; Peric, D. ; Owen, D. R. J.: Computational Methods for

Plasticity. Wiley, 2008


[70] Stahlmann, J. ; Nicodemus, E. R. ; Sharma, S. C. ; Groche, P.: Surface

roughness evolution in FEA simulations of bulk metal forming process. In: Wear

288 (2012), S. 78–87

[71] Stancu-Niederkorn, S. ; Engel., U. ; Geiger, M.: Ultrasonic Investigation of

Friction Mechanism in Metal Forming. In: Journal of Materials Processing Tech-

nology 45 (1994), S. 623–618

[72] Tabor, D.: The Hardness of Metals. Oxford University Press, 1951

[73] Tabor, D.: Junction growth in metallic friction: the role of combined stresses and

surface contamination. In: Proc. R. Soc. London, Ser. A. 251 (1959), S. 378–393

[74] Tian, X. ; Bhushan, B.: A Numerical Three-Dimensional Model for the Contact

of Rough Surfaces by Variational Principle. In: Journal of Tribology 118 (1996), S.

33–42

[75] Vidal-Salle, E. ; Baillet, L. ; Boyer, J. C.: Friction law for hydrostatic mixed

lubrication regime. In: Journal of Materials Processing Technology 118 (2001), S.

102–109

[76] Vierzigmann, U. ;Koch, J. ;Merklein, M. ; Engel, U.: Material Flow in Sheet-

Bulk Metal Forming. In: Key Engineering Materials 504-506 (2012), S. 1035–1040

[77] Volk, R.: Rauheitsmessung - Theorie und Praxis. Beuth Verlag, 2005

[78] von Finckenstein, K. G. F. ; Lehn, J. ; Schellhaas, H. ; Wegmann, H.:

Arbeitsbuch Mathematik fur Ingenieure, Band II. Stuttgart : Teubner, 2004. – ISBN

3–519–12972–8

[79] Wang, F. ; Keer, L. M.: Numerical Simulation for Three Dimensional Elastic-

Plastic Contact With Hardening Behavior. In: Journal of Tribology 127 (2005), S.

494–502

[80] Wang, F. S. ; Block, J. M. ; Chen, W. W. ; Martini, A. ; Zhou, K. ; Keer,

L. M. ; Wang, Q. J.: A Multilevel Model for Elastic-Plastic Contact Between a

Sphere and a Flat Rough Surface. In: Journal of Tribology 131 (2009), S. 021409

1–6

[81] Wanheim, T. ; Bay, N.: A Model for Friction in Metal Forming Processes. In:

Annals of the CIRP 27 (1978), S. 189–194

[82] Williams, J.: Engineering Tribology. Cambridge University Press, 2005

[83] Willner, K.: Kontinuums- und Kontaktmechanik. Berlin : Springer, 2003. – ISBN

3–540–43529–8

[84] Willner, K.: Elasto-Plastic Normal Contact of Three-Dimensional Fractal Surfa-

ces Using Halfspace Theory. In: Journal of Tribology 126 (2004), S. 28 – 33


[85] Willner, K.: Fully Coupled Frictional Contact Using Elastic Halfspace Theory.

In: Journal of Tribology 130 (2008), S. 0314051–1 – 031405–7

[86] Willner, K.: Influence of Surface Parameters on the Elastoplastic Contact Beha-

vior of Fractal-Regular Surfaces. In: Journal of Tribology 130 (2008), S. 024502–1–6

[87] Wriggers, P.: Nonlinear Finite Element Methods. Springer, 2008

[88] Yu, H. Y. ; Sanday, S. C.: Elastic Fields in Joined Half-Spaces Due to Nuclei of

Strain. In: Proc. R. Soc. London, Ser. A. 434 (1892) (1991), S. 503–519

[89] Zhou, K. ; Chen, W. W. ; Keer, L. M. ; Wang, Q. J.: A fast method for solving

three-dimensional arbitrarily shaped inclusions in a half space. In: Computational

Methods in Applied Mechanical Engineering 198 (2009), S. 885–892

Schriftenreihe Technische Mechanik

bereits veroffentlicht wurden:

1. Geisler, J.: Numerische und experimentelle Untersuchungen zum dynamischen Ver-

halten von Strukturen mit Fugestellen

Band 1, 2010

2. Hossain, M.: Modelling and Computation of Polymer Curing

Band 2, 2010

3. Gorke, D.: Experimentelle und numerische Untersuchung des Normal- und Tan-

gentialkontaktverhaltens rauer metallischer Oberflachen

Band 3, 2010

4. Constantiniu, A.: A Hybrid Nodal-Element-Based Discretization Method

Band 4, 2010

5. Scherer, M.: Regularizing Constraints for Mesh and Shape Optimization Problems

Band 5, 2011

6. Fischer, P.: C1 Continuous Methods in Computational Gradient Elasticity

Band 6, 2011

7. Javili, A.: Thermomechanics of Solids Accounting for Surfaces and Interfaces

Band 7, 2013

8. Germain, S.: On Inverse Form Finding for Anisotropic Materials in the Logarith-

mic Strain Space

Band 8, 2013

9. Kraus, M. Entwicklung und Untersuchung polytoper Finiter Elemente fur die nicht-

lineare Kontinuumsmechanik

Band 9, 2013

10. Glaser, J.: On the computation of crack-driving forces within the X-FEM

Band 10, 2014

11. Possart, G.: Mechanical Interphases in Adhesives. Experiments, Modelling and

Simulation

Band 11, 2014

Documents

Die elasto-plastische Einglättung rauer Oberfl ächen und ... · and bulk metal forming operations to sheet-bulk metal forming (SBMF). A suitable friction law is of great importance