K. Niederdrenk

Die endliche Fourier-und Walsh-Transformation mit einer Einfuhrung in die Bildverarbeitung

Meinen lieben K indern

Maren, Lisa und Laura

gewidmet, die wegen dieses Suches eine Zeitlang zu kurz kamen.

Klaus Niederdrenk

Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einfuhrung in die Bildverarbeitung

Eine anwendungsorientierte Darstellung mit FORTRAN 77-Programmen

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Niederdrenk, Klaus: Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einführung in die Bildverarbeitung: e. anwendungsorientierte Darstellung mit FORTRAN 77-Programmen / Klaus Niederdrenk. [Hrsg. von Gisela Engeln-Müllges). — Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1982.

ISBN 978-3-528-08535-3

Herausgegeben von Dr. Gisela Engeln-Müllges, Aachen

1982

Alle Rechte vorbehalten

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1982 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig in 1982

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Druck und buchbinderische Verarbeitung: I V D , Walluf b. Wiesbaden

ISBN 978-3-528-08535-3 ISBN 978-3-663-14178-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-14178-5

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ................................................... VII

Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XI

1 Die endliche Fourier-Transformation . ........................ .

1.1 Die eindimensionale endliche Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften .................................... 1

Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 Faltungs- und Korrelationsprozesse .......................... 10 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 Zum Konvergenzverhalten von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 Fourierkoeffizienten von Ableitungen ........................ 19 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20

1.2 Die eindimensionale diskrete Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften .................................... 21

Diskrete Faltungs- und Korrelationsprozesse .................... 27 Die Umkehrformel ..................................... 29 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 Filterungen als eine Anwendung ............................ 34

1.3 Der mehrdimensionale Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 Aussagen fur kontinuierlich gegebene Funktionen ................. 39 Aussagen fur diskret gegebene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

1.4 Die effektive Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (FFT) . . . .. 56 Der eindimensionale Fall ................................. 56 Ein Programm .......................... . . . . . . . . . . . . .. 63 Der Fall reeller Daten ................................... 66 Der mehrdimensionale Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 Zwei Programme ...................................... 72

1.5 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78

2 Die endliche Walsh -Transformation ........................... 80

2.1 Die eindimensionale endliche Walsh-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90 Bemerkungen uber weitere Eigenschaften ...................... 92 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93

2.2 Die eindimensionale diskrete Walsh-Transformation und ihre Eigenschaften .................................... 94

Diskrete Korrelations- und Faltungsprozesse .................... 100 Die Umkehrformel ..................................... 105 Ein Beispiel .......................................... 106 Zusammenfassung ...................................... 109 Filterungen als eine Anwendung ............................ 110

2.3 Der mehrdimensionale Fall .................................. 114 Aussagen fur kontinuierlich gegebene Funktionen ................. 117 Aussagen fur d iskret gegebene Funktionen ...................... 119 Ein Beispiel .......................................... 122 Zusammenfassung ...................................... 126

2.4 Zur effektiven Berechnung der diskreten Walsh-Transformation ......... 128 Der eindimensionale Fall ................................. 128 Zwei Programme ...................................... 132 Der mehrdimensionale Fall ............................... : 136 Zwei Programme ......................... ............. 136

2.5 Literatur .............................................. 143

3 Bildverarbeitung - Eine Einfi.ihrung ........................... 145

3.1 Wichtige Begriffe ........................................ 148 Das analoge Bild ....................................... 148 Das digitale Bild ....................................... 150 Die digitale Bildverarbeitung ............................... 153

3.2 Die digitale Bildverarbeitungsanlage ............................ 156

3.3 Beispiele einiger Bildverarbeitungstechniken ...................... 158 Direkte Methoden der Bildvorverarbeitung ..................... 159 Bildvorverarbeitung mittels Bildtransformationen ................. 161 Ein Beispiel .......................................... 164 Zur digitalen Bildauswertung .............................. 168

3.4 Literatur .............................................. 172

Sachwortverzeichnis ........................................... 174

- V I I -

VORWORT

Die diskrete Fourier-Transformation als Hilfsmittel ist weit verbreitet. Auf modernen Rechenanlagen wird sie sehr effizient eingesetzt und ist in wichtigen Anwendungsgebieten aus Naturwissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken.

Bei der endlichen Fourier-Analyse geht man davon aus, daB das vorliegende Signal als eine Oberlagerung von harmonischen Sinus- und Kosinusschwingun­gen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellbar ist. Die endliche Fourier­Transformation ordnet diesem Signal bestimmte Koeffizienten zu, namlich die Amplituden der einzelnen harmonischen Schwingungen. Anhand dieser Koeffi­zienten kann man zum Beispiel sehen, wie stark bestimmte Schwingungen in dem Signal vertreten sind. Die Betrage dieser Koeffizienten lassen sich graphisch darstellen; man erhalt das Amplituden-Spektrum, das zum Beispiel so aussehen kann:

t

I 'I !

i~J1 :~ I I ~ - - .- 1-.-

~ ~~ nW.)iV!~ -.-~-+-~--.. "

VI

Auf der Abszisse sind die Frequenzen v, die ganzzahligen Vielfachen einer bestimmten Grundfrequenz, aufgetragen, und die Ordinatenwerte geben die Am­plituden der Schwingungen mit den entsprechenden Frequenzen in dem analysier­ten Signal wieder. Von Interesse sind haufig diejenigen harmonischen Schwin­gungen, die besonders stark in dem analysierten Signal vertreten sind. Im obigen Beispiel ist dies die Schwingung mit der Frequenz vI; etwas mehr be· deutend als die ubrigen Schwingungen sind aber auch die beiden mit den gegen­uber vI niedrigeren Frequenzen v2 und v3 und die beiden mit den gegen­uber vI hoheren Frequenzen v4 und v5 . Der Frequenz vI kommt haufig besondere Bedeutung zu, da die bei weitem dominierende Schwingung in dem Signal diese Frequenz hat. So kann es sich dabei urn die Resonanzfrequenz oder Eigenfrequenz handeln.

- VIII -

Die diskrete Fourier-Transformation vollzieht einen endlichen, periodischen ProzeB nach, und zwar umso besser, je groBer die Anzahl der diskreten Daten von einem Signal ist. Die diskrete Fourier-Transformation steht daher nicht mit der unendlichen nichtperiodischen Fourier-Transformation in enger Ver­bindung, die man formal aus der endlichen Fourier-Transformation erhalt, wenn man die endliche Periodenlange beiderseits gegen Unendlich streben laBt. Selbst mit sehr vielen diskreten Werten wird immer nur ein endlicher Bereich, der Bereich einer Periode, erfaBt, und es ist eine Frage der Ska­lierung, welche endliche GroBe der Periodenlange entspricht. Bei hinreichend vielen diskreten Werten wird die Approximation eines endlichen, periodischen Prozesses auBerordentlich gut.

Die (diskrete) Fourier-Analyse findet insbesondere bei Signalen Anwendung, die in Natur und Technik vorkommende Ereignisse beschreiben und physikalisch begrUndet sind. Das periodische System der dazu benutzten harmonischen Schwin­gungen ist nicht allzu leicht zu handhaben. Das einfachste periodische System, mit dem sich endliche periodische Vorgange beschreiben lassen, ist das System der Walsh-Funktionen oder damit verwandte Funktionensysteme. Mit diesen Funk­tionen kann man sehr einfach und sehr schnell arbeiten.

Die endliche Walsh-Transformation ordnet dem untersuchten Signal die Ampl.i­tuden der einzelnen Walsh-Schwingungen zu, die dieses Signal enthalt. FUr die diskrete Walsh-Transformation und die endliche Walsh-Transformation gilt das gleiche wie fUr die entsprechenden Fourier-Transformationen: 1m diskre­ten Fall wird ein endlicher, periodischer ProzeB gut approximiert.

Diese (diskreten) Transformationen werden haufig bei bestimmten Faltungs­und Korrelationsprozessen benutzt, die auf dem Umweg Uber eine solche Trans­formation sehr effizient berechenbar sind. In der Statistik zum Beispiel dient die Korrelation als ein MaB zur Beschreibung einer Abhangigkeit, und mit Hilfe von Faltungen lassen sich etwa bestimmte systematische Storungen in Signalen beschreiben.

Das erste Kapitel dieses Buches beschaftigt sich mit der endlichen und der diskreten Fourier-Transformation und deren Eigenschaften im eindimensionalen und im mehrdimensionalen Fall und stellt die Zusammenhange zwischen diesen Transformationen her, die zum Verstandnis und zur richtigen Interpretation von mit Hilfe von Computern ermittelten Ergebnissen der diskreten Fourier­Transformation wichtig sind.

Das zweite Kapitel behandelt in gleicher Weise die endliche und die diskrete Walsh-Transformation.

- I X -

In beiden Kapiteln werden schnelle Algorithmen zur Bestimmung der diskreten Transformationen behandelt, die neben der gewonnenen enormen Zeitersparnis gegenUber einer direkten Berechnung der diskreten Koeffizienten auBerdem den Vorteil haben, numerisch auBerordentlich stabil, das heiBt rundefehler­unempfindlich zu sein. Dies ist eine nicht zu vernachlassigende Komponente bei der Rechnung auf Computern, da man dabei Zahlen immer nur mit endlicher Stellenzahl, das heiBt gerundet, darstellen kann und eine Rechenvorschrift deshalb nicht exakt ausgefUhrt wird. In ungUnstigen Fallen konnen sich die Rundefehler derart verstarken, daB das yom Rechner gelieferte Ergebnis praktisch nichts mehr mit der exakten Losung zu tun hat. Diese unangenehme Eigenschaft haben die angegebenen schnellen Transformationsalgorithmen nicht. FUr die fUr die Anwendung wichtigsten Falle der eindimensionalen und zwei­dimensionalen Transformationen sind diese schnellen Transformationsalgorith­men zusatzlich in Form von Standard-FORTRAN 77-Programmen angegeben.

Eine wichtige Entscheidung kann dieses Buch dem Anwender nicht abnehmen. Auf die Tatsache, daB die (diskrete) Fourier- oder Walsh-Transformation auch ein zunachst nichtperiodisches Signal periodisch "macht", kann man insofern einen EinfluB ausUben, als daB man bei nichtperiodischen Signalen die Periodenlange selbst bestimmt. Hat man etwa fUr x-Werte groBer als Null folgendes Signal vorgegeben

x

so macht es einen groBen Unterschied, ob man nur den Anteil der Funktion mit Werten ungleich Null betrachtet und damit die nachfolgende Analyse folgendes periodisches Signal mit der Periode P untersucht

- x -

oder ob man einen bestimmten sinnvollen Bereich Pals den Bereich einer Peri ode auszeichnet und dieses Signal dann untersucht; das zu analysierende periodische Signal konnte dann etwa so aussehen

x

So muB man sich in solchen Fallen klar darUber sein, an welcher Information von diesem Signal man interessiert ist und welchen Weiterverarbeitungspro­zessen man dieses Signal unterwerfen will.

In letzter Zeit hat sich die digitale Bilddatenverarbeitung als ein sehr wichtiges Anwendungsgebiet der diskreten Fourier- und Walsh-Transformation herausgeschalt. Eine EinfUhrung in dieses Anwendungsgebiet gibt das dritte Kapitel. Die digitale Bildverarbeitung befindet sich noch in einem Stadium, in dem zwar fUr einzelne bestimmte Auswertungen Algorithmen und Techniken erprobt sind, im groBen und ganzen aber mehr getestet als gezielt angewandt wird. 1m Gegensatz zur eigentlich wichtigen Bildauswertung ist die davorge­schaltete Bildaufbereitung oder Bildvorverarbeitung groBtenteils standari­siert; Methoden hierzu werden im dritten Abschnitt dieses Kapitels behandelt, wobei die Verwendung von vorher hergeleiteten Eigenschaften der behandelten diskreten Transformationen berUcksichtigt ist. Das komplexe Gebiet der eigent­lichen Bildauswertung kann nur mit einigen einfachen Beispielen angedeutet werden. Die Erstellung der Programme und die Rechnungen fUr die Beispiele wurden auf der Rechenanlage CDC Cyber 175 des Rechenzentrums der RWTH Aachen durchgefUhrt.

Mein Dank gilt allen, die an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben.

Aachen, im Juli 1982

BEZEICHNUNGEN

<00

{f,g, •.• }

E

{1 ,2,3, .•. }

{O,±1,±2, ••• }

R {x I l( reell} 2 R = {( x ,y) I x,y E R }

i = n ( = {z = x + iy I x,y E

Re(z) = Re (x + iy) = x

Im(z) = 1m (x + iy) = Y

z=X+1,Y=x- iy

R }

- XI -

identisch gleich

beschrankt, endlich

Menge mit Elementen f,g, .••

Element von

Menge der natUrlichen Zahlen

Menge der ganzen Zahlen

Menge der reel len Zahlen

Menge der geordneten Paare reeller Zahlen

imaginare Einheit

Menge der komplexen Zahlen

Realteil einer komplexen Zahl

Imaginarteil einer komplexen Zahl

konjugiert komplexe Zahl einer kom-

plexen Zahl ,-' I 2 2' Izl=lx+iyl=vz.z= x+y Betrag einer komplexen Zahl

abgeschlossenes Intervall [a,b] {xER a<x<b}

[a,b) {xElR a~x<b} links abgeschlossenes, rechts offenes

Intervall

.~" C k = t

(k,t E 71..)

k * t Kronecker-Symbol

t: m> 0 sgn(m)

m < 0 Vorzeichen der Zahl m

A mod m Rest bei der Division des Ausdrucks

A durch m (A modulo m)

- XII -

® Modulo-2-Addition

8 Modulo-2-Subtraktion

fA Fourierkoeffizient von f

fV Walshkoeffizient von f

F Fourierreihe oder -teilsumme

DF diskrete Fourierteilsumme

W Walshreihe oder -teilsumme

DW diskrete Walshteilsumme

* zyklische Faltungsoperation

0 zyklische Korrelationsoperation

® dyadische Faltungsoperation

0 dyadische Korrelationsoperation

- 1

I. DIE ENDLICHE FOURIER-TRANSFORMATION

Hat man ein "Signal", d.h. aus mathematischer Sicht eine Funktion Uber einem endlichen Definitionsbereich, so kann man es als eine Uberall definierte periodische Funktion auffassen, indem man sich dieses Signal immer wieder­kehrend vorstellt. Joseph Fourier erkannte 1822, daB ein solches Signal als eine Oberlagerung (Superposition) von harmonischen Schwingungen unterschied­licher Frequenzen aufgefaBt werden kann. Die Einzelschwingungen sind also Sinus- und Kosinusfunktionen mit abzahlbar verschiedenen Frequenzen und be­stimmten Amplituden.

In vielen Fallen ist es nUtzlich, eine solche Darstellung eines Signals zu kennen; die GroBe einer Amplitude spiegelt die Intensitat des entsprechen­den Frequenzanteils in diesem Signal wider. Man kann so etwa Resonanzfre­quenzen feststellen, denn der Absolutbetrag der zugehorigen Amplituden ist unverhaltnismaBig groB.

1.1 DIE EINDIMENSIONALE ENDLICHE FOURIER-TRANSFORMATION UND IHRE EIGENSCHAFTEN

Eine auf R definierte reell- oder komplexwertige Funktion f heiBt periodisch mit der Peri ode X oder X-per;odisch (X > 0), falls

(1. 1) f(x ± X) = f(x) fUr alle x E R ist.

x

Bild 1.1: Beispiel einer periodischen Funktion

- 2 -

Ei~e solche Funktion erfUllt fUr beliebige a E R

X a+X (1.2) f f(x)dx = f f(x)dx

o a

denn es ist unter Ausnutzung der Periodizitat

a+X X a+X X a X f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x+X)dx = f f(x)dx a a X a 0 0

Eine periodische Funktion f mit der Periode X ist durch ihre Restriktion auf einen Fundamen­talbereich [a,ex+X)( ex€: IR beliebig) eindeutig festgelegt; es genUgt also, diese Funktion f

auf dem fundamentalen Intervall (O,X) zu be­trachten. Will man eine solche periodische Funk­tion zur besseren Handhabung durch geeignete Ansatzfunktionen approximieren, so ist es nahe­liegend, solche Ansatzfunktionen zu wahlen, die das periodische Verhalten der Funktion widerspiegeln.

--~----4-J~------- x

Bild 1.2: Periodische Funk­tlOn aus Bild 1.1 im fundamentalen Intervall

Ein Beispiel hierfUr ist das komplexe trigonometrische System

mit der imaginaren Einheit

Hierbei ist nach der Euler'schen Regel if; e = cos f; + i 5 i n f; ( f; E R)

Jede der Funktionen aus diesem System ist periodisch mit der Peri ode X,

denn es ist

21Ti k x+X X e

da 21Ti . m

(1. 3) e

i st.

= e 21Ti k x X e

21Ti k = e

21Ti k x X

cos(m • 21T) + sin(m' 21T) 1 (nur) fUr beliebige mE 7I.

- 3 -

Diese Funktionen genUgen auBerdem der folgenden Orthonormalitatsrelation

(1.4 ) e -2ni l ~ X dx = 6kl

mit dem Kronecker-Symbol

{I,

o , k = l

(k,l Ell) . k '*' l

Denn es gilt

1 X 2ni k i -2ni l i 1 X 2ni(k-l) i X fee dx = X f e dx

o 0

FUr k = list die rechte Seite = 1 , und fUr k '*' l folgt mit (1.3)

1 X 2ni X (k-l) _ 1 X 2ni X (k-l) I X_I f } _ X 6 e dx - X 2ni (k-l) e 0 - 2ni (k-l) 1 1 - 1 - 0

Zur Approximation von f wahlt man ein endliches Teilsystem des unendlichen Funktionensystems n aus, das mit

(1.5 ) f 2ni k i I } nK = 1 e I kl ~ K (kEIN )

bezeichnet sei. Funktionen aus diesem System heiBen . Die Approximation periodischer Funktionen mit trigono­

metrischen Polynomen ist sinnvoll, denn es gilt folgender Satz nach Weier­straB:

SATZ 1.1: Jede beschrankte periodische Funktion f mit der Periode X laBt sich beliebig genau durch eine (geeignete) Linearkombination von Funktionen aus nK approximieren, wenn man nur K groB genug wahlt.

Urn eine in gewisser Hinsicht moglichst gute Approximation einer periodischen Funktion durch ein trigonometrisches Polynom aus nK

K 2ni k X ~(x) = L ck e

k=-K zu erhalten, muB man die komplexen Koeffizienten ck geeignet wahlen. Nach der klassischen Methode wahlt man als Koeffizienten die

(1.6 ) 1 X -2ni k ~

ck = fA(k) = X ~ f(x) e X dx

- 4 -

Die so gewahlte Approximation minimiert den mittleren quadratischen Fehler:

SATZ 1.2: Die Funktion f sei periodisch mit der Periode X und sei absolut quadratisch integrierbar, d.h. es existiere das Integral

X f If(x)1 2 dx (zumindest im uneigentlichen Sinn). o

Dann wird fUr beliebige Funktionen

K 2TTi k X ~(x) = I Ck e

k=-K

(c k E [) aus nK das FehlermaB

(X 2 ) 1/2 b I f (x) - ~ (x) I dx

genau dann minimal, wenn man al.s Koeffizienten ck des trigonome­

trischen Polynoms ~ die eindeutig bestimmten Fourierkoeffizienten

1 X -2TTi k ~ ~(k) = X f f(x) e X dx (Ikl ~ K)

o wahlt.

BEWEIS: Zur AbkUrzung seien

2TTi k ~ 4'k (x) = e X 1 X

(4',~) = - f 4'(x) ~(x) dx X 0

(~, (. ) ist der konjugiert komplexe Wert von

K ~(x) = Y ck 4'k(x)

k=-K

\ ~(')r Dann gilt mit

o ~ (f-~, f-~) = (f,f) - (f,~) - (~,f) + (~,~)

K K A K K = (f,f) - I Ck ~(k) - I Ck f (k) + I Ck I c,t(4'k'4',t)

k=-K k=-K k=-K l=-K

Aufgrund der Orthonormalitatsrelation (1.4) ist (4'k'4',t) = 0kl und daher

1 X 2 o ~ (f - ~, f - ~) '" - f I f (x) - ~ (x) I dx X 0

= (f,f) - kIK {ck fA(k) + ck ~(k)} +

- 5 -

K f 1.f-1. (f,f) + k!:.K 1. ck - f"(k) f 1. ck - f"(k) f

K ~ f"(k) f"(k)

k=-K

K 2 K 2 .. (f,f) + ~ I ck - i""(k)1 - ~ 1f"(k)1 .

k=-K k=-K

Die rechte Seite und damit der Fehler im quadratischen Mittel wird genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ck die Fourierkoeffizienten i""(k) wahlt.

•

Als einer periodischen Funktion f bezeichnet man die unend­liche Reihe, die man erhalt, wenn man als Approximationsfunktionen das un­endliche System TT statt des endlichen Systems TTK zugrundelegt und die Koeffizienten nach Satz 1.2 bestimmt, d.h. die Reihe

_ 2ni k x (1.7) F(f)(x) = ~ i""(k). e X

k=-co

Die Approximation mit Funktionen aus gebrochene Fourierreihe und wird als f bezeichnet:

(1.8) FK(f)(x) = K 2ni k x ~ f"(k) • e X

k=-K

1.2 ist somit eine ab­der Fourierreihe von

*)

Oa mit der Substitution x/X=u fUr die Fourierkoeffizienten (1.6)

1 -2ni k u fA(k) = f f(X· u) e du

o folgt, hangen diese Koeffizienten selbst nicht von der Lange X des Perio­denintervalls ab, wohl aber die Fourierreihe und die Fourierteilsumme.

Die Zuordnung der Fourierkoeffizienten (1.6) zu einer periodischen Funktion f wird haufig auch von f genannt; das Wort "endlich" bezieht sich hierbei auf das im periodischen Fall ausreichende endliche Integrationsintervall [O,X). In der straffen komplexen Schreibweise der Fourierreihe (1.7) und der Fou­rierteilsumme (1.8) einer periodischen Funktion f sind die Frequenzan-

*)Oie Fourierteilsumme braucht auch im Hinblick auf die spateren Aussagen nicht eine symmetrisch abgebrochene Fourierreihe zu sein; dies dient aus­schlie6lich der einfacheren Darstellung!

- 6 -

teile der einzelnen Sinus- und Kosinusschwingungen in den komplexen Fourier­koeffizienten enthalten. Ausgeschrieben lautet zum Beispiel die Fourier­teilsumme (1.8)

FK(f)(x) = ~ ~(k) {COS(2nk f) + i sin(2nk x)} k=-K -1 ,./\ K x L ~(k) cos(2nk X) + T (0) + L ~(k) cos(2nk X)

k=-K k=1

{ -I K} + i L f"(k) sin(2nk X) + 0 + L ~(k) sin(2nk X)

k=-K k=l

Die Kosinusfunktion ist gerade, d.h. cos(-~) = cos(~), und die Sinusfunk­tion ist ungerade, d.h. sin(-~) = -sin(~), so daB sich die einzelnen Summen zusammenfassen lassen:

(1. 9)

FK(f)(x) = ~(O) + ~ {f"(k) + ~(-k)fl cos(2nk X) k=1

+ ~ i {~(k) - ~(-k)} sin(2nk X) k=1

1st die Funktion f reellwertig, so folgt aus der Definition der Fourier­koeffizienten (1.6) f"(-k) = f"(k) und damit

f"(k) + f"(-k) = 2 Re(f"(k» , f"(k) - f"(-k) = 2i Im(f"(k»

In diesem Fall ist auch die Fourierteilsumme reell und gegeben durch

K { x x } (1.10a) FK(f)(x) = aO + 2 L ak cos(2nk X) + bk sin(2nk X) k=1

mit den reel len Koeffizienten

1 X aO = ~(O) = X f f(x)dx

o 1 X

(1.10 b) ak = Re(~(k}) = X f f(x) o

1 X bk = -Im(f"(k») = X f f(x)

o

x cos(2nk X)dx

sin (2nk X)dx

Als {f"(k)}

ei ner Funkt ion der Fourierkoeffizienten, als

f bezeichnet man die Menge die

- 7 -

Menge {lfA(k)l} der Betrage der Fourierkoeffizienten, wobei

ist, als Energie- bzw. Leistungs-Spektrum die Menge Fourier-Phasen-Spektrum die Menge der Winkel

_ Im(~~k)) '1 (k) - arc tan Re(fA k))

Mit diesen Bezeichnungen ist i ·j(k)

~(k) = 1~(k)1 e

A 2 {If(k)1 }undals

Die wichtigsten Eigenschaften einer Fourierreihe bzw. -teilsumme sind:

SATZ 1.3: Die periodische Funktion f mit der Peri ode X sei absolut

quadratisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die Fourierteilsummen der Fourierreihe von f konvergieren im Mittel gegen die Funktion f, d.h. es gilt

1 X 2 lim X f If(x) - FK(f)(x)1 dx = 0

K-+oo 0

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Fourierreihe von f erfullen die Identiti:it

T 1~(k)12 k=-=

= l J If(x)1 2 dx < 00

X 0

Damit gilt insbesondere

lim fA(k) = 0 Ikl-+oo

(iii) Die endliche Fourier-Transformation ist eindeutig, d.h. stimmen

samtliche sich entsprechenden Fourierkoeffizienten insbesondere

von zwei stetigen periodischen Funktionen mit der gleichcn Perio­de X uberein, so sind diese beiden Funktionen identisch.

Der Beweis dieses Satzes erfolgt im AnschluB an den nachsten Satz.

- 8 -

EIN BEISPIEL

Die TT-periodische Funktion f(x) = I sin x I hat die Fourierkoeffizienten

1 TT. -2TTi k ~ l' ( k) = - J s 1 n x e TT dx

TT 0

1 -2 i k x I TT 2 i k TT -2 i k x = - -TT cos x e - - J cos x e dx

OTTO

2 2 i k. - 2 i k x I TT 4k2 TT. -2 i k x dx = - - - Sln x e + - J Sln x e

TT TT 0 TT 0

Das Integral auf der rechten Seite ist bis auf- den Faktor 4k2 der ge­suchte Fourierkoeffizient. Lost man diese Gleichung danach auf, so erhijlt man

2 = -TT

beziehungsweise

A) 2 1 2 1 f (k = - it . 4k2 -1 = - it . -"( 2'"'k"";_In-)T1( zlT"k+-:-'I'T)

Die Funktion f(x) = Isin x I hat demnach die Fourierreihe

F(f)(x) = 2 00 1 2i k x

- - L -:-:-z:- e TT k=-oo 4k -1

24 00 1 = it - it k~1 4k2_1 cos(2kx)

Nach Satz 1.3(i) gilt

lim ! j (\SinX -~ + i ~ + COS(2kX)) 2 dx = 0 . K -+00 TT 0 TT TT k=1 4k -1

Die Eigenschaft lim ~(k) = 0 aus Satz 1.3 (ii) ist offensichtlich, k-+:l:oo

wohingegen die weitere Eigenschaft

I IfA(k)12=~+2 Y 4 1 = 42 (\1+2 Y 1 ) k=-oo TT2 k=1 ~ (4kZ_1)2 TT k=1 (4k2_1)2

ITT 2 ITTl{ } 1 = it 6 sin x dx = it 6"2" 1 - cos (2x) dx = "2"

- 9 -

keineswegs trivial ist. Diese Identitat ergibt zum Beispiel

0.116850275 ...

Die Fourierkoeffizienten der n-periodischen Funktion g, die im fundamen­talen Intervall [O,n) durch

{ 1/2

g(x) =

(n - x)/n

, x = 0

, x E (O,n)

gegeben ist ("Sagezahn"), sind gegeben durch

I n 1 gA(O) = ~ f (n-x) dx = ~

n 0

und fur k * 0 mit Partieller Integration durch

1 n -2 i k x gA(k) = -- f (n-x) e dx

n2 0

-2i k x = ~ { d-rr (n-x) e

n

1 n -2i k x } 0+-2ik6e dx

1 i ="2iTTT< = - 2rrK

Die Fourierkoeffizienten von 9 sind fUr k * 0 rein imaginar, so daB die Fourierreihe von 9 nur Sinusschwingungen enthalt (vgl. (1.10)):

co

1 1 co i 2i k xII L 1 . F(g)(x) = 2 - 2n 1. k e = ""2 + IT k sln(2kx)

k=~ k=l k * 0

Die Fourier-Amplituden-Spektren {I~. ± 1 IkE ll.} und

{ II I } 4k -1 12 1, 1 2lTk IkE ll. , k * 0 der Funktionen fund 9 sind graphisch veranschaulicht in Bild 1.3 dargestellt. Obwohl das Amplituden-Spektrum nur fur ganze Zahlen k Ell. definiert ist, wird es meistens zu leichteren Obersicht als eine kontinuierliche Funktion gezeichnet, indem man die diskreten Werte miteinander verbindet.

Der Fourierkoeffizient fur k = 0 ist der Mittelwert der Funktion. Zu den harmonischen Schwingungen sin(2nk X) und cos(2rrk X), die in

2rri k x/X e enthalten sind und deren Frequenzen das k-fache der Grundfrequenz 1/X sind, gehoren die Fourierkoeffizienten fur k * 0; der Betrag dieser

- 10 -

Koeffizienten, also das Amplituden-Spektrum, gibt an, wie groB die Ampli­tuden dieser Schwingungen sind, die die untersuchte Funktion enthalt. Man sieht deutlich, daB in der Funktion f nur einige niederfrequente Schwingungen von Bedeutung sind, wohingegen die Anteile hoherfrequenter Schwingungen in der Funktion 9 auch noch eine Rolle spielen.

2/" 2/"

~~-....... . ~ ____ .,. k 10

----~-y~-----..,. k 10

Fourier-Amplituden-Spektrum If"(k)1 der Funktion f

1/2

1/2 ! ~~· , :·::.. *'Z: ... . ~,.k

i\ ! "--f . 1-'-~~-~'k

10

Fourier-Amplituden-Spektrum Ig"(k)1 der Funktion 9

Bild 1.3: Graphische Darstellung, einmal diskret und einmal "kontinuier­lich erganzt lO , der Fourier-Amplituden-Spektren der Funktionen

fund 9

FALTUNGS- UND KORRELATIONSPROZESSE

In der Anwendung werden bei der Bearbeitung periodischer Funktionen haufig Faltungs- und Korrelationsprozesse durchgefUhrt. Die zyklische bzw. perio­dische Faltung f. g zweier periodischer Funktionen fund 9 mit der

Periode

(1.11)

- 11 -

X ist definiert durch

1 X (f* g)(x) = x I f(X-E;) 9(E;) dE;

o Sie hat folgende wichtige Eigenschaften:

SATZ 1.4: Die periodischen Funktionen fund 9 mit der gleichen Peri ode X seien absolut quadratisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die zyklische Faltung ist kommutativ, d.h. (f*g)(x) = (g *f)(x); die Funktion f * gist stetig und periodisch mit der Peri ode X.

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Funktion f * 9 sind gegeben durch

(f * g)" (k) = f" (k) • g" ( k) (k = 0,:1:1,:1:2, ... ).

(iii) Die Funktion f * 9 besitzt die Darstellung co 21Ti k ~

(f * g)( x) = L f" ( k) • g" ( k) e X k=-oo

BEWEIS: Zum Beweis von (ii) ist nach Definition und wegen der erlaubten Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge (Fubini/Tonelli-Hobson)

1 X { 1 X } -21Ti k ~ (f*g)"(k) = X 6 X 6 f(X-E;) 9(E;) d~ e X dx

1 X I 1 X -21Ti k ~} -21Ti k I = X f ) X f f(X-E;) e dx· 9(E;) e X dE;

o l 0

Nach der Substitution x - E; = u und unter Ausnutzung der Periodizitiit des Integranden (vgl. (1.2)) steht in den geschweiften Klammern der Fourier­koeffizient f"(k) , und weitere Integration liefert den Fourierkoeffizien­ten g"(k). Also gilt (ii).

Aus dem Beweis von Satz 1.2 folgt co X L I f" ( k ) I 2 ~ i I I f ( x) I 2 dx < co

k=-oo 0

fUr jede absolut quadratisch integrierbare Funktion f . Daher ist nach der Scnwarz'schen Ungleichung

co co \ 1/2 ( co \ 1/2 kIco1f"(k) • g"(k)l ~(kf._lf"(k)12 ) kJ...,.,19"(k)1 2 )

( IX 2 \ 1/2 (1 X 2 \ 1/2 ~ X 6 I f(x) I dX) \ X 6 I g(x) I dx) < co ,

- 12 -

d.h. die unendliche Summe auf der rechten Seite in (iii) konvergiert absolut und gleichma8ig gegen eine stetige Funktion. Wegen der Eindeutig­keit der Fouriertransformation (Satz 1.3 (iii)) ist diese Grenzwertfunktion

gleich f * 9 • •

BEWE1S von Satz 1.3: Setzt man in Satz 1.4 (iii) g(~) = f(-~) , so ist g"(k) = f"(k) , und fUr x = 0 folgt mit der Definition (1.11) die Behaup­tung (ii). Mit dem Beweis von Satz 1.2 und Satz 1.3 (ii) folgt dann (i) .

• FUr zwei periodische Funktionen .. bzw. periodische I

fund 9 mit der Peri ode X ist die

'. definiert durch

(1.12 ) 1 X -

(fog)(x) = X I f(x+q g(q o

d~ •

Mit der Substitution - ~ = u folgt daraus

1 X --(f 0 g)(x) = X I f(x-u) g(-u) du ,

o so daB die zyklische Korrelation nichts anderes als eine zyklische Faltung mit einer am Nullpunkt gespiegelten konjugiert komplexen Funktion ist. 1st die Funktion 9 reellwertig und gerade (d.h. g(u) = g(-u)), so fallen die zyklische Korrelation und die zyklische Faltung zusammen.

SATI 1.5: Die periodischen Funktionen fund 9 mit der gleichen Periode X seien absolut quadratisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die zyklische Korrelation erfUllt (fog)(x) = (g of)(-x) die Funktion fog ist stetig und periodisch mit der Periode X.

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Funktion fog sind gegeben durch

(f 0 g)"(k) = f"(k) • g"(k) .

(iii) Die Funktion fog besitzt die Darstellung "" -- 2TTi k ~

(f 0 g)( x) l. f" (k) • g" (k) e X k=-oo

- 13 -

BEWEIS: Man beweist diesen Satz genauso wie Satz 1.4. Zum Beweis von (ii) ist entsprechend

1 X I 1 X dl;} e

-2rri k ~ (f 0 g)"(k) = X I 1 X I f(x+l;) g(l;) X dx

o 0

1 X I 1 X -2rri k X+I; 2rri k 1--X- dxl g( 1;) e X dl; = X I 1 X I f(X+I;) e I o 0

In den geschweiften Klammern steht wieder der Fourierkoeffizient f"(k). Dann folgt aber

kI X dl; = f"(k) • g"(k)

1 X -2rri (f 0 g)"(k) = f"(k) X I g(l;) e

o •

Korreliert man eine Funktion f mit sich selbst ("Autokorrelation"), so gilt mit Satz 1.5 (iii)

1 X OC> 2rri k ~ (f 0 g) (x) = X I f (X+I;) f (1;) dl; = I f" (k) f" (k) e X

o k=~

Die zyklische Autokorrelation einer Funktion f hat also die reel len Fourierkoeffizienten f"(k) f"(k) = If"(k)1 2 , k E~ . Insbesondere fUr x =0 folgt

(fog)(O) =} J I f(I;)1 2 dE; = I 1f"(k)1 2 , o k=~

d.h. die Aussage (ii) des Satzes 1.3 .

EIN BEISPIEL

Die Prozesse der Faltung und der Korrelation wollen wir uns an einem ein­fachen Beispiel veranschaulichen.

Zunachst soll die Faltung f * 9 der rr-periodischen Funktion f(x) = Isinxl mit der rr-periodischen die Darstellung

{ 1/2

g(x) = (rr - x)/rr

hat, berechnet werden.

Funktion g, die im fundamental en Intervall [O,rr)

, x = 0

, x E (O,rr)

- 14 -

FUr x E [a,n) ist mit Partieller Integration

1 n (f*g)(x) = 2 J I sin(x-t;)1 (n-t;) dt;

n a 1 x 1 n

= 2 J sin(x-t;)(n-t;) dt; - -z J sin(x-t;)(n-() dt; nan x

= ~{COS(x-t;)(n-t;) I: + ~ COS(X-t;)dt;} -

- ~{COS(x-t;)(n-t;) In + J cos(x-t;) dt; } n x x

, 1 1 I x = -7 (n-x) - TI cos x - -z sin(x-t;) + n n a

1 1 I n + -z (n-x) + -z sin(x-t;) n n x

2 1 = -z (n-x) - TI cos x n

Mit den Fourierkoeffizienten ..A 2 1 t (k) = - - • ~

n 4k"'-1 kE71

und k = a

, k Ell

k * a die im letzten Beispiel berechnet wurden, besitzt die Funktion f* 9

nach Satz 1.4 (iii) auch die Darstellung

1 1 "" (hg)(x) = IT + 2" L

n k=-<lO

. 2i k x 1 e

k(4k2-1) k*a

1 2 "" 1 - - - --or \" -......,....- sin(2k x) - n nL k~1 k(4k2-1)

Die Faltung hat also die Darstellungen

2 1 12"" 1 (f * g)(x) = ;z (n-x) - IT cos x = IT - ;Z k~l k(4k2-1) sin(2k x )

d.h. die letzte Darstellung ist die Fourierreihe der Funktion (2/n2)(n-x) - (l/n)cos x ,was man durch Nachrechnen verifizieren kann.

- 15 -

Die Korrelation fog der beiden obigen n-periodischen Funktionen fund gist fUr x E [a,n) gegeben durch

1 n (f 0 g)( x) = 2" I lsi n (x+f;) I (n-f;) dE;

n a 1 n-x 1 n

=:2 I sin(x+E;)(n-E;) dE; - 2" I sin(x+E;)(n-E;) dE; nan n-x 2 1 = ~ x + IT cos X

n

und hat nach Satz 1.5 (iii) auch die Darstellung

1 1 co i 2i k x (f 0 g)(x) = TT - ~ l. 2 e

n k=-co k(4k -1) k*a

1 2 co 1 = - + 2" I 2 sin(2k x)

n n k=l k(4k -1)

die letzte Darstellung ist die Fourierreihe der Funktion (2//)x + (1/n)cos x •

n

Graph der Funktion f

----+------1-. ----+~ X n

Graph der Faltung f * 9

_____ ~------~~---+x n

Graph der Funktion 9

----+--------11,.....------.. X n

Graph der Korrelation fog

Bild 1.4: Zwei periodische Funktionen und deren Faltung und Korrelation

- 16 -

In diesem Beispiel ist fUr alle x

i { (h g)(x) + (f 0 g)(x) } 1 -rr

ZUM KONVERGENZVERHALTEN VON FOURIERREIHEN

Bei der Approximation einer periodischen Funktion f durch ihre Fourier­teilsumme FK(f) zerlegt man f in endlich viele harmonische Schwingungen (vgl. Bild 1.5). die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz j sind. Der Koeffizient fA(k) gibt den Anteil der harmonischen Schwingung mit der

Frequenz * in der Funktion f wieder. In der fUr reellwertige Funktionen reellen Darstellung (1.10) der Fourierteilsumme beschreiben also die Koeffi­zienten 2a k und 2bk die Anteile der entsprechenden harmonischen Schwin­gungen cos(2rrk j) bzw. sin(2rrk X) in der Funktion f.

1 1

x x X

-1 -1

x cos (2rr·Q·X) sin x (2rr·2 'X) x cos (2rr·3 'y)

1

x

x x -+x

-1

1

-t--\------,f----t~ X

-1

cos (2Tl.1-~)

1

x cos (2rr.2· X)

-t~-f-+_~-+~~x

-1

sin (2rr .3·i)

x sin (2rr.4· X)

Bild 1.5: Harmonische Schwingungen cos(2rr k j) . sin(2rr fUr einige Werte von

k ~) X

k

- 17 -

FUr groBe Ikl stellen die Fourierkoeffizienten ~(k) den Anteil hoch­frequenter Schwingungen in der Funktion f dar; ihr Anteil strebt fUr Ikl-+ex> nach Satz 1.3 (ii) gegen Null. Dieses laBt vennuten, daB der Fehler, der durch das Abschneiden der Fourierreihe entsteht, fUr groBere K recht klein wird. Die Bedeutung der Aussagen der Satze 1.4 (iii) und 1.5 (iii) liegt darin, daB man die Funktionen f * 9 und fog mit ihren Fourier­reihenidentifizieren kann. Dies gilt nicht immer! Denn obwohl die Fourier­teilsummen von f im quadratischen Mittel gegen diese Funktion f konver­gieren, braucht nicht einmal punktweise Konvergenz vorzuliegen. Die GUte der Approximation einer Funktion durch ihre Fourierteilsummen wird aber nur von dem lokalen Verhalten der Funktion beeinfluBt.

SATZ 1.6: 1st die mit der Peri ode X periodische Funktion f in einem Punkt x rechtsseitig stetig und linksseitig stetig, d.h. existieren o die Grenzwerte

1 im f(x) 1 im f(x) x -+xo ,x >xo x-+ xo'x< Xo

nimmt f im Punkt Xo den Mittelwert existieren die einseitigen Ableitungen

f(Xo+h)-f+(Xo) h 1 im

h-+O,h >0 lim

h -+O,h >0

nxo)-f(xo -h) h

dann konvergieren die Fourierteilsummen von f im Punkt Xo f(xo ):

x x K 21Ti k--.2.

f(xo) = 1 im I f"(k) e X K -+ ex> k=-K

ex> 21T i k --.2. I f"(k) e X

k=-oo

gegen

Die punktweise Konvergenz der Fourierteilsummen einer Funktion f in

einem Punkt Xo gegen den Funktionswert f(xo) hangt also nur vom Ver­halten der Funktion in einer beliebig kleinen Umgebung um Xo abo Ins­besondere dann, wenn die Funktion f (mindestens einmal) differenzier­bar ist, konvergieren die Fourierteilsummen gleichmaBig gegen f, d.h. es gilt fUr alle x

f(x) = ex> 21Ti k ~ I f"(k) e X

k=-oo

- 18 -

J~ glatter die Funktion fist, d.h. je after sie stetig differenzierbar ist, umso schneller streben die hochfrequenten Anteile fA(k) in der Funk­tion f fUr wachsendes Ikl gegen Null und umso schneller konvergieren die Fourierteilsummen gleichmaBig gegen f. Bei einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion wird daher die Approximation von f durch ihre K-te Fourierteilsumme schon fUr nicht allzu groBes K Uberall sehr genau sein.

Bild 1.6 zeigt die stetige n-periodische Funktion f(x) Isin x lund ihre Fourierteilsummen

2 4 K 1 FK(f)(x) = - - - L ~ cos (2kx)

lT n k=l 4kt:-l

aus den letzten Beispielen fUr verschiedene Werte von K. FUr alle x * jn , j E~ , ist die Funktion f beliebig oft differenzierbar und die Approxi­mation zwischen diesen Punkten gut. Der letzte Satz garantiert die Konver­genz der Fourierteilsummen in jedem Punkt.

lT IT

Graphen der Funktion fund F4(f) Graphen der Funktion fund F10(f)

Bild 1.6: Graphen der Funktion f sowie der Fourierteilsummen FK(f)

fUr K = 4 und K = 10

Als unangenehmer erweist sich die Approximation der unstetigen n-periodischen Funktion 9 aus den letzten Beispielen, die im fundamental en Intervall [O.lT)

durch

,(xl = {

1 "2"

.!. (n-x) n

, x = 0

, x E (O,n)

gegeben ist, durch ihre Fourierteilsummen

- 19 -

Der letzte Satz garantiert wiederum die punktweise Konvergenz der Fourier­teilsummen gegen den entsprechenden Funktionswert fUr jeden beliebigen Punkt, jedoch kann die Konvergenz nicht gleichmaBig sein, da die Fourier­reihe eine stetige Funktion darstellt und die Funktion 9 in den Punkten jn , j €~ , Sprungstellen besitzt.

1

x n Tl

x

Graphen der Funktionen 9 und F4{g) Graphen der Funktionen 9 und F 10 {g)

Bild 1.7: Graphen der Funktion 9 sowie der Fourierteilsummen FK{g) fUr K = 4 und K = 10

FOURIERKOEFFIZIENTEN VON ABLEITUNGEN

1st f eine X-periodische Funktion, so ist auch jede Ableitung von f, die existiert, eine periodische Funktion mit der gleichen Periode X • Kennt man die Fourierkoeffizienten fA(k) von f, so kann man auch Aus­sagen Uber das Schwingungsverhalten der Ableitungen von f machen, denn die Fourierkoeffizienten zum Beispiel der ersten Ableitung von f sind gegeben durch

1 X -2ni k ~ (f,)A{k) = - f f'{x) e X dx

X 0

- 2ni k x = j f{x) e X

X . X -2ni k x -~l f f{x) e X dx

o "X 0 = 2n~ k fA{k)

- 20 -

Man kennt damit gleichzeitig auch die bezUglich des mittleren quadratischen Fehlers (FehlermaB aus Satz 1.2) bestmogliche Approximation der Ableitung von f durch trigonometrische Polynome. Dies gilt entsprechend auch fUr die hoheren Ableitungen.

ZUSAMMENFASSUNG

Die wichtigsten Eigenschaften der endlichen Fourier-Transformation faBt folgende Obersicht zusammen:

allgemeine komplexwertige periodische Funktion mit der Peri ode X

f(x)

Linearitat: f(x) ± g(x)

(l·f (x) (l E It

f hermitesch, d.h. f( -x) = f(x)

f antihermitesch, d.h. f(-x)=-f(x)

Ableitungen: fee.) (x) (.t=0,1,2, .. )

Faltung: (f * g)(x)

Korrelation: (f 0 g)(x)

dazugehorige Fourierkoeffizienten (k = 0, ± 1, ±2, ... )

1 X -2rri k ~ t'(k) =x I f(x) e X dx

o X y 1 f" (k) 12 = } f 1 f (x) 1 2 dx k=-oo 0

lim t'(k) = 0 Ikl-+ <0

t'(k) ± g"(k)

(l'f"(k)

f"(k) = f"(k), d.h.

f"(k) = -f"(k), d.h.

( 2rr ~ k ) .t. f" ( k )

f" ( k) • g" ( k)

f" ( k) . g" ( k )

Im(f"(k)) = 0

Re(f"(k)) = 0

Die Eigenschaft der Linearitat und die fUr hermitesche bzw. antihermitesche Funktionen folgen sofort aus der Definition der Fourierkoeffizienten und (1.2) mit (l = - X/2 . FUr reellwertige Funktionen gilt mit den Bezeichnungen

- 21 -

aus (1.10) genauer

allgemeine reellwertige periodische Funktion mit der Peri ode X

f(x)

f gerade, d.h. f(-x) = f(x)

f ungerade, d.h.f(-x) = -f(x)

dazugehorige Fourierkoeffizienten (k=0,1,2, ... )

fA(k) = ak - i bk

fA( -k) = fA(k)

1.2 DIE EINDIMENSIONALE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION UND IHRE EIGENSCHAFTEN

Beim Aufstellen der Fourierteilsumme FK(f) einer periodischen Funktion f treten nur Schwierigkeiten, diese allerdings in der Regel, bei der Be­rechnung der Integrale fA(k) auf. Diese Schwierigkeit lKBt sich Uber­raschend einfach beheben, womit gleichzeitig die effektive Berechnung dieser Koeffizienten auf Computern realisiert werden kann.

Approximiert man ein Integral einer mit der Peri ode X periodischen Funk­tion 9 uber ein Intervall der LKnge einer Periode, das wegen (1.2) ohne EinschrKnkung das Intervall [O,X] sei, mit der aus M Teilintervallen der glei chen LKnge h = X/M zusammengesetzten Rechteckregel

X M-l f g(x)dx = h L g(m h) + R(h;g) o m=O

beziehungsweise mit der aus M Teilintervallen der gleichen LKnge h zu­sammengesetzten Trapezregel

- 22 -

X h f M-l } f g(x)dx =2" )g(0)+2 I g(m h) + g(X) + R(h;g) , o l m=l

die wegen der Periodizitat von 9 , d.h. g(X) = g(O), mit der obigen zu­sammengesetzten Rechteckregel Ubereinstimmt, so gilt fUr den Quadraturfehler R(h;g) die Darstellung

J-l f R(h;g) = I cx . h2j ) g(2j -1)(X) _ g(2j -1)(0) } + tr(h2J ) ,

j=l J l

falls der Integrand 9 2J-mal differenzierbar ist; die GroBen cxj sind von h, 9 und J unabhangige Konstanten.

Bild 1.8: Graph einer periodischen Funktion 9 im fundamental en Intervall sowie als Naherungen (schraffiert) fUr das Integral von 9 Uber diesem Intervall die aquidistant zusammengesetzte Rechteckregel und die aquidistant zusammengesetzte Trapezregel

Da der Integrand 9 X-periodisch ist, stimmen in den Punkten 0 und X die Werte der Funktion und samtlicher existierender Ableitungen Uberein, so daB in der Restglieddarstellung die Summe verschwindet . Daher haben die obigen zusammengesetzten Quadraturformeln im periodischen Fall nur einen Fehler der GroBenordnung h2J = (X/M)2J . Dieser Fehler wird umso kleiner, je groBer M und je after der Integrand differenzierbar ist . Hinsichtlich dieser asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit sind diese sehr einfachen Quadra­turformeln im periodischen Fall optimal, denn keine noch so komplizierte Quadraturformel zeigt ein besseres asymptotisches Verhalten.

Die Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion f

1 X -2ITi k ~ ~(k) = X f f(x) e X dx

o

- 23 -

sind uber Integrale definiert. des sen Integranden X-periodisch sind und deren Integrationsintervall gerade die Lange einer Periode hat. Zur naherungs­wei sen Berechnung dieser Fourierkoeffizienten mit der obigen Quadraturfor-mel unterteilt man das Intervall [O.X] in M gleichgroBe Teilintervalle der Lange X/M und wertet den Integranden nur noch in den diskreten

Gitterpunkten

rungen sind die

(1.13 )

• aus. Die so gewonnenen Nahe-

Bei infinitesimal feinen Unterteilungen X/M (d.h. M ~ =) kann man nach (1.13) fur beliebige ganzzahlige Werte von k die diskreten Fourierkoeffi­zienten berechnen; jedoch laBt eine Zerlegung in Teilintervalle endlicher

Lange X/M wegen der Periodizitat der Funktionen hinter der Summe in (1.13) nur die Berechnung dieser diskreten Koeffizienten f~(k) fur M verschie­dene Werte von k zu. Die diskreten Koeffizienten in (1.13) sind also periodisch mit der Peri ode M :

(1.14 ) (k=O.±I.±2 •... ) .

In der Praxis wird wegen der dann gegebenen Effektivitat der Schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform: FFT) und der einfacheren

Darstellung die Zahl M nicht nur gerade. sondern eine Potenz von 2 se;n. Daher sei im Hinblick auf die Darstellung die naturliche Zahl M zunachst gerade.

Die

( 1. 15 )

mit den durch (1.13) *) ten.

M --1 2L

M k=-I

ist dann gegeben durch

2rri k ~ f~(k) e X

f OO k M ur = - "2 •...• ~- 1 definierten Fourierkoeffizien-

Auch im diskreten Fall hangen die Fourierkoeffizienten (1.13) selbst nicht

von der Lange X des Periodenintervalls abo wohl aber die Fourierteilsumme

(1.15) .

*) 1st M ungerade. so wird in (1.15) statt uber k = - ~ ••••• ;-1 dann uber k = -~ ••••• ~ summiert; auch alle im folgenden erwahnten Eigenschaften bleiben in diesem Fall erhalten!

- 24 -

Entsprechend zu (1.4) gilt folgende diskrete Orthonormalitatsrelation

1 M-1 2ni k; -2ni e; - I e e M m~O

(1.16 ) °ke

fur k,f=O,1, ... ,M-1. Denn es gilt fur k=C k-C

1 M-l 2ni m - M-1 - I e M = l I 1 = 1 M m~O M m~o

und nach der Summationsformel fur die endliche geometrische Reihe

n m I q = m~O

i st fur k '* e

1 n+l - q 1 - q (q '* 1)

1 M-l 2nim ~~ 1 M-1( 2ni ~-A-{)m 1 l_/ni(k-e)

M n~o e = M m~o e = M . 2ni V 1 - e

o

da fur die zugelassenen k '* e nach (1.3) der Nenner nicht verschwindet.

Die diskrete Fourierteilsumme (1.15) besitzt eine zusatzliche interessante Eigenschaft, die man zur effektiven Berechnung der Fourierkoeffizienten mit der Schnellen Fourier-Transformation (FFT) ausnutzt:

SATZ 1.7: Zugrundegelegt sei das periodische Funktionensystem

{/ni k X I k = _ ~ , ... , ~ _ 1 }

Das aus diesem System bestimmte trigonometrische Interpolationspolynom,

das in den Punkten xm = m ~ vorgegebene Werte f(xm), m=O,I, ... ,M-l, annimmt, ist gegeben durch die diskrete Fourierteilsumme

M 2 - 1 A Zni k ~

DFM(f)(X)= I fM(k) e X k __ M

- Z mit den diskreten Fourierkoeffizienten

M-l -2ni k ~ ~(k) = ~ I f(xm) e M

m=O k M M

-2'''''2- 1

- 25 -

BEWEIS: Sei x fi..ir ein p E f o, ... ,r~-l} ein beliebiger Punkt. Dann p

gi It M _ 1 "Z

DFM(f)(xpl= I . '1 k= -"Z

p-m 1 M-1 2ITi k ~ M I f(xm) e

m=O

M-l -2IT1' i:! E-m t'-l 2 p-m 2 MI", ITi k ~ I f(xm) e M k~-'O e m=O

M-l - IT i ( p-m) = L f(xm) e 0pm

m=O = f(x)

P

unter Ausnutzung der Relation (1.16). Die diskrete Fourierteilsumme erfi..illt also die Interpolationsbedingungen.

•

Wegen der Periodizitat des zugrundeliegenden trigonometrischen Systems interpoliert die diskrete Fourierteilsummeeinerperiodischen Funktion f mit der Periode X diese Funktion dann in unendlich vielen Punkten

X xm = m M ' m EO 71. •

Die diskrete Fourierteilsumme (1.15) lautet entsprechend zu (1.9) nach

Sinus- und Kosinusschwingungsanteilen geordnet !I-I

DFM(f)(x) = f~(O) + 2L Jlf~(k)+f~(-k)} cos k = 1

i-I x (2IT k 7) +

(1.17) + L i {f~(k) - f~(-k)} sin k = 1

x (2IT k 7) +

A( M { M x. M x 1 + f M - 'Z ) cos (2IT 'Z y) - 1 sin (2n 'Z X ) J

Fi..ir reelle Werte f(x) gilt wie im kontinuierlichen Fall fi..ir die diskre-m --

ten Fourierkoeffizienten f~(-k) = f~(k). Um bei reellen Daten f(xm) auch eine reelle Approximation durch die diskrete Fourierteilsumme zu erhalten, ersetzt man den Schwingungsanteil

_ 2ni M x 'Z 7 (2 M x ) . . (2 M x ) e = cos n 27 - 1 S1n n 'Z X

- 26 -

in (1.15) durch den gleichfrequenten Schwingungsanteil

2 . M x 1 { - TTl 2 X "2" e

2 . M x TTl 2X1 Mx

+ e J = cos (2TT 2 X) .

Mit (1.14) gilt dann die zu (1.10) analoge Darstellung M 2- 1

(1.18 a) DFM(f)(x) a(M) +2 y J a(M) COS(2TTk ~x) +bk(M) sin(2TTk -xx)lJ + o k;11 k

(M) M x + aM/ 2 COS(2TT "2" X)

mit den reel len Koeffizienten

M-l ao(M) f~(O) = ~ L f(xm)

m=O

1 M-l m (M) Re(f"M(k)) = -M L f(xm) cos (2TTk M)

ak m=O (1.18 b)

M-l m b(M) = - Im(f"(k)) = ~ I f(Xm) sin (2TTk M) k M m=O

und die Interpolationseigenschaft bleibt wegen sin(2TT ~ x;) = sin(mTT) = 0 erhalten. Man hat nichts anderes gemacht, als den im Fall reeller Daten einzigen imaginaren Anteil in (1.17)

-if~(- ~) sin(2TT ~ 1) = - i M 1 M-l

sin(2TT "2" X) M L (_I)m f(xm) m=O

unterdrUckt. *)

1m kontinuierlichen Fall bleiben beim Obergang von einer Fourierteilsumme zu einer groBeren Teilsumme (also bei wachsendem oberen Summenindex K) in (1.8) die ersten Fourierkoeffizienten gleich; die endliche Reihe wird nur urn einige Glieder erweitert. 1m diskreten Fall verhalt sich dies anders. Durch eine Anderung des Wertes von M in der diskreten Fourier­teilsumme andern sich im allgemeinen samtliche diskreten Fourierkoeffi­zienten. FUr wachsendes M nahern sie sich immer mehr den entsprechenden Fourierkoeffizienten der kontinuierlichen Fourierreihe an, da sie aus

*j FUr ungerades M tritt diese unangenehme Begleiterscheinung Ubrigens nicht auf; fUr reelle Daten ist die diskrete Fourierteilsumme dann immer reell!

- 27 -

diesen durch Anwendung einer Quadraturformel hervorgehen. deren Fehler fUr M ~ 00 verschwindet.

Urn auch im diskreten Fall Aussagen Uber hoherfrequente Anteile in den Daten machen zu konnen. mUssen hinreichend viele diskrete Daten bekannt sein.

DISKRETE FALTUNGS- UND KORRELATIONSPROZESSE

Es Ubertragen sich • was besonders fUr die Anwendungen interessant ist. wichtige Eigenschaften der kontinuierlichen Fourierteilsumme auf die diskrete Fourierteilsumme. so z.B. bei der Faltung und der Korrelation.

Sind fund 9 zwei periodische Funktionen mit der gleichen Peri ode X. deren Werte man eigentlich nur im fundamentalen Intervall in den diskreten Punkten xm = m X kennen braucht. dann ist entsprechend zu (1.11) die bzw. periodische dieser beiden Funktionen gegeben durch

(1.19 )

fUr m=O.I •...• M-l. FUr x=xm wirdwiedernurdas Integral durch die aquidistant zusammengesetzte Rechteckregel approximiert. Entsprechend zu Satz 1.4 gilt im diskreten Fall. wenn man die absolute quadratische Inte­grierbarkeit durch die Beschranktheit der diskreten Werte ersetzt, folgen­der Satz:

SArz 1.8: Die \~erte der periodischen Funktionen fund 9 mit der gleichen Peri ode X seien in den Punkten xm = m ~ , m = 0,1, ...• M-l

bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete zyklische Faltung ist kommutativ, d.h. D(f * g)(xm) = D(g * f)(xm) , und periodisch mit der Periode X.

(ii) Die diskreten Fourierkoeffizienten der diskreten zyklischen Faltung D(f * g) sind gegeben durch

M M k= -"2"' ... '"2"-1

- 28 -

BEWEIS: Zum Beweis von (ii) ist fur ein k E{0,1, ... ,M-1}

1 M-1 -2ni k ~ D(hg)~(k)=M I D(f*g)(xm)e M

m=O m-p p

1 M-'l {1 M-1 } -2ni k M -2ni k M = M I M I f(xm_p) g(xp) e . e

m=O p=O

Berucksichtigt man die Periodizitat der Funktionen in den geschweiften Klammern auf der rechten Seite (diskretes Analogon zu (1.2)), so steht

dort der diskrete Fourierkoeffizient f~(k). Also gilt (ii) .

•

Diedj rete i.sche bzw. periodische Korrelat'l{ll'l zweier periodischer Funktionen mit der Peri ode X , deren Werte im fundamental en Intervall in den aquidistant verteilten Punkten xm = m ~, m=0,1, ... ,M-1 , bekannt sind, ist definiert durch

(1.20)

(vgl. (1.12)).Ein diskretes Analogon zu den Ergebnissen aus Satz 1.5 ist

SATZ 1.9: Die Werte der periodischen Funktionen fund 9 mit der gleichen Periode X seien in den Punkten xm = m ~ , m=0,1, ... ,M-1 , im fundamental en Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete zyklische Korrelation erfullt D(f og)(xm)= D(g 0 f)(x_m) und ist periodisch mit der Peri ode X.

(ii) Die diskreten Fourierkoeffizienten der diskreten zyklischen Korre­lation D(f 0 g) sind gegeben durch

- 29 -

Diesen Satz beweist man so wie die Satze 1.8 bzw. 1.5. Sowohl bei der Fal­tung wie auch bei der Korrelation Ubertragen sich also die wichtigen Eigen­

schaften auf den diskreten Fall.

Die diskrete Korrelation einer Funktion f mit sich selbst ("diskrete

Autokorrelation") ist gegeben durch

und die dazugeharige Fourierteilsumme hat mit Satz 1.9 (ii) die Darstellung

M '2" - 1 2TT i k ~

L f~(k) ~(k) e X M

k= - '2"

Da die diskrete Fourierteilsumme nach Satz 1.7 in den Punkten xm die

Werte D(f 0 f)(xm)

1 M-l 2 M L If(xk)1

k=O

annimmt, folgt insbesondere fUr M 2"-1

L If"(k)1 2 M M

k= -"2

DIE UMKEHRFORMEL

Die diskrete Fourier-Transformation ordnet einen Satz von M Daten

{f(Xm) I m = 0,1, ... ,M-l} einen gleichgroBen Satz von Koeffizienten

zu. Diese GraBen sind ein-eindeutig zugeordnet, d.h. man kann mit den GraBen f(xm) die diskreten Fourierkoeffizienten f~(k) bestimmen und umgekehrt aus den diskreten Fourierkoeffizienten die diskreten Funktions­werte berechnen.

- 30 -

SATZ 1.10: Mit den unter Kenntnis der Werte einer Funktion f in den dis­X kreten Gitterpunkten xm = m M' m=0,1, . .. ,M-1 , berechneten diskreten

Fouri erkoeffizienten

1 M-1 -2ni k ~ f~(k) = M I f(xm) e M

m=O

gilt die Umkehrformel M "2 -1

I m = 0,1, . • . ,M-1 .

BEWEIS: Nach Satz 1.7 ist f(xm) = DFM(f)(xm); das ist aber schon die Behauptung .

•

Die Zuordnung der diskreten Fourierkoeffizienten f~(k) zu den Funktions­werten f(xm) nennt man diskrete ' Fourier-Transformation und die Umkehrung dis­krete Fourier-Umkehrtransformation oder -Rucktransformation .

EIN BEISPIEL

1m letzten Abschnitt haben wir die Fourierkoeffizienten

f'( k)

und = 11/2

i - 2nk

, k = 0

, k * 0

der mit der Peri ode n periodischen Funktionen

f(x) = Isin x I

- 31 -

und 9 , die im fundamental en Intervall durch

g(x) { 1/2

i (rr-x)

, x = ° , x E (O,rr)

gegeben ist, sowie deren zyklische Faltung

2 1 1 2 ~ 1 (f * g)(x) = """2 (1T-X) - n cos x = n - 2" I. ---,,-- sin(2kx) rr 1T k=1 k(4kZ-1)

und zyklische Korrelation

(fog)(x) = ~ x +.!. cosx = ~ + -4- I 1 sin(2kx) rr2 1T 1T k=1 k(4kZ-1)

bestimmt. In der Praxis wird man kaum in der Lage sein, exakt zu rechnen, da man entweder auf nicht exakt losbare Integrale stoBt oder aber von den periodischen Funktionen nur diskrete Werte kennt. Dieses Beispiel soll dazu dienen, ein Empfinden fUr die GUte der diskreten Approximation zu

geben.

Fur verschiedene M seien dazu diskrete Funktionswerte

Isin (m ~) I und

{ 1/2 , m = ° 1 rr) m > 1 iT (rr- m H ,

m=O,1, ... ,M-1 , vorgegeben. Die aus diesen Daten fUr m=O,1, ... ,M-l zu berechnende diskrete zyklische Faltung

und diskrete zyklische Korrelation

auf direktem Wege ist sehr aufwendig [je M(M+l) Multiplikationen und

M(M-1) Additionen] im Gegensatz zu dem folgenden Weg [Reduktion aUf ,fe

- 32 -

10M (2 + ~~~ ~) MuUiplikationen und 3 M ~~~ i AddiUonen], wobei die Effizienz mit wachsendem M erhebl ich zunimmt [;;wn Beispiel fUY- M = 26 = 64 staU 4160 MuUiplikationen und 4032 Add,:tionen nuy- 768 Multi{Jlikationcn

und 1152 Additionen und fuY' M = 212 = 4096 utatt 16 781 312 MuLtiplikatiuncn

und 16 773 120 Additionen nUY- 86 016 Multiplz:kationen und 147 456 11rldi~iu­

nen ]. Mit Hilfe der zugehorigen diskreten Fourierkoeffizienten

1\ 1 M-1 -2ni k !!I. M fM(k) = M L f(xm) e M M m=O k - 7 ,_ .. , 7- 1

1 M-1 -2ni k !!I. M g~(k) = M L g(xm) e m=O

kann man namlich ebenfalls die diskrete zyklische Faltung und die diskrete zyklische Korrelation nach den Satzen 1.8 (ii), 1.9 (ii) und 1.10 berech­nen

D(f*g)(x) m

M 1 k 2" - 2ni mM L f~(k) g~(k) e

M k= -2" m 0,1, ... ,M-1 ~1 1 k -Z - 2ni mM

T f~(k) g~(k) e M

k= -7

Die Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten sowie der diskreten Fal­tung und der diskreten Korrelation laBt sich auf diesem Wege effektiv mit der in Abschnitt 1.4 hergeleiteten Schnellen Fourier-Transformation (FFT) durchfUhren [man kommt su aUf die oben beschY'iebenen eY'heblichen Rechen­

zei ty-eduktionen].

FUr verschiedene M ergeben sich folgende maximale Fehler zwischen den

M jeweils berechneten Werten und den kontinuierlichen Gegenstiicken.

maximaler Fehler maximaler Fehler maxlmaler Fehler maximaler Fehler

M I f~(k) - fA(k)1 19~(k) _ gA(k)1 I,,(f' g)(xm) - (f. g)(xm)l lo(f 0 g)(xm) - (f 0 g)(xm) I

16 = 24 3.66 . 10-3 1. 99 . 10-2 1.24 . 10-3 1. 24 . 10-3

32 = 25 9.13. 10-4 9.95 . 10-3 3.10 . 10-4 3.10 . 10-4

64 = 26 2.28 . 10-4 4.97 . 10-3 7.74 . 10-5 7.74 . 10-5

128 = / 5.70 . 10-5 2.49 . 10-3 1. 93 . 10-5 1. 93 . 10-5

- 33 -

FUr wachsendes r~ wi rd der Fehler. wie es auch sein muB. immer kleiner. Schon fUr kleinere M werden die Schwingungsanteile und das Verhalten der Faltung und der Korrelation gut wiedergegeben. Die Glattheit der Funk­tion spielt eine Rolle; die GUte der Naherungen fUr die Fourierkoeffizien­ten ist bei der stetigen Funktion f besser als bei der unstetigen Funk­tion g. Da die Faltung und die Korrelation immer stetig sind. sind deren Naherungen ebenfalls gut.

ZUSAMMENFASSUNG

Die wichtigsten Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation faBt folgende Aufstellung zusammen:

allgemeine diskrete komplexe Werte einer periodischen Funktion mit der Peri ode X in den M Punkten xm = m~. m=O.I ..... M-l (M gerade)

M 1 k "2 - 2rri m"M f(x ) y f~(k) e m

k= - ~

L inearitat: f(xm) ± g(xm)

a· f(x ). a E It m

f hermitesch.d.h. f(xM_m)= f(xm)

f antihermitesch.d.h. f(xM_m)=-f(xm)

diskrete Faltung: D(f * g)(x ) m

diskrete Korrelation: D(f 0 g)(xm)

dazugehorige diskrete Fourier­koeffizienten (k = -; •...• ; - 1)

f~(k) ± g~(k)

a.f~(k)

(.(=0.1.2 •... )

f~(k) = f~(k) • d.h. Im(f~(k)) = 0

f~(k) =.f~(k). d.h. Re(f~(k)) = 0

f~(k) . g~(k)

f~ ( k) • g~ ( k )

- 34 -

Fur reelle Werte f(xm) gilt zusatzlich ~(-k) = ~(k). Die Eigenschaft hermitesch entspricht dann einer geraden Funktion und die Eigenschaft anti­hermitesch einer ungeraden Funktion.

FILTERUNGEN ALS EINE ANWENDUNG

Kennt man die (diskreten) Fourierkoeffizienten einer Funktion, so kann man auf die einzelnen Schwingungsanteile direkt EinfluB nehmen und so die Funk­tion verandern, indem man die entsprechenden Koeffizienten geeignet mani­puliert.

Man ist so auch in der Lage, dominierende Frequenzen und Resonanzfrequenzen in einer Funktion festzustellen, denn der Koeffizient einer sol chen Schwin­gung im Amplituden-Spektrum dieser Funktion hat im Gegensatz zu anderen Koeffizienten einen groBen Wert. Auch die (diskrete) Autokorrelation, die Korrelation einer Funktion mit sich selbst, betont besonders dominierende Schwingungen einer Funktion und dampft kaum enthaltene Schwingungsanteile stark.

Eine weitere typische Anwendung der (diskreten) Fourier-Transformation ist die Glattung verrauschter Funktionen. Oft zeigen die Daten einer Funktion, die durch Messung ermittelt wurden oder nach einer Datenfernubertragung vorliegen, einen sehr unregelmaBigen Verlauf; hinzu kommen Storungen durch elektronisches und thermales Rauschen von verwendeten Apparaturen. Ein ein­faches Beispiel hierfur zeigt Bild 1.9. Nimmt man an, daB sich diese Ver-

Bild 1.9: Beispiel einer verrausch­ten Funktion

falschung der Funktion durch einen FaltungsprozeB mit einer bestimmten Funktion beschreiben laBt, so kann man sehr effektiv mit Hilfe der Fourier­Transformation das Rauschen ruckgangig machen . Diese Transformation fuhrt eine Faltung auf eine Multiplikation der Frequenzanteile zuruck. Man nennt dies eine Frequ~nz-Filterung , da be­stimmte Frequenzanteile unbeeinfluBt bleiben (oder verstarkt werden) und

andere gedampft oder ganz unterdruckt werden. Man nimmt also an, daB sich

- 35 -

die gesuchte glatte und mit der Peri ode X periodische Funktion f als eine zyklische Faltung der verrauschten Funktion 9 mit einer bestimmten Funktion h darstellen laBt :

f(x) = (g * h)(x) bzw. f(xm) = D(g * h)(xm)

Die Funktion h kennt man haufig nicht. Der unregelmaBige Verlauf der ver­rauschten Funktion ist durch die hochfrequenten Anteile bestimmt ; es liegt nahe, den Funktionsverlauf durch eine Dampfung dieser Anteile zu glatten. Dies ist auf vielerlei Weise moglich .

Unterdruckt man die hoherfrequenten Anteile ganz und laBt man die niederfre­quenten Anteile unbeeinfluBt, daB heiBt multipliziert man den k-ten Fourier­koeffizienten der verrauschten Funktion 9 mit dem Faktor

Ikl < n

sonst

fur ein bestimmtes n, so entspricht dies einer zyklischen Faltung der verrauschten Funkti on mit der X-peri odischen Funkt i on Dirichl et':Kern),

n-1 h(x) L

k= - n+1

23

7

e 2ni k ~

X n-1 1 + 2 L cos (2nk ~)

k=1

sin ( (2n-l)n f ) sin(n X)

, x * j X

2n-1 , x = j X

D12 (x)

1 I

°4(x)

1 I x

-n

(j Ell) •

n • k

Bild 1.10: Dirichlet-Kern Dn(X) fur n =4 und n = 12 und das Fourier­Amplituden-Spektrum des Dirichlet-Kerns D (x)

n

- 36 -

Dampft bzw. unterdruckt man die hoherfrequenten Anteile, indem man den k-ten Fourierkoeffizienten von 9 mit dem Faktor

I kl n

Ikl < n

sonst

fur ein geeignetes n multipliziert, so ist dies nichts anderes als eine Faltung von 9 mit der mit der Periode X periodischen Funktion (Feje'r­Kern)

n-1 2ni k ~ n-1 k x h(x) '" F (x) l. (1 - ~) e X 1 + 2 L (1 - Ii) cos (2nk X ) n k=-n+1 k=1

1 I sin(n nX) }2 x * j X - L n sin(n x) , ,

1 (j E 7l)

I n , x j X \

12

4 I ----r'~ ~_l_+_----'::"'I---+' k -n~r.

Bild1.11: Fejer-Kern Fn(x) fur n=4 und n=12 unddasFourier-Am­

plituden-Spektrum des Fejer-Y-erns Fn(x)

Will man die Frequenzanteile der verrauschten Funktion 9 so manipulieren, daB sie umso mehr gedampft werden, je hoherfrequentig dieser Anteil ist, so kann man dies durch eine Multiplikation des k- ten Fourierkoeffizienten

von 9 mit dem Faktor

(P r)"(k) rl kl

fUr ein geeignetes r, 0 < r < 1 , erreichen. Dies entspricht einer Fal­tung von 9 mit der mit der Periode X periodischen Fun ktion (Abel­

Pouss in -Kern)

- 37 -

co rlkl e

2rri k~ co

rk cos X L x hex) 55 Pr(x) L 1+2 (2rrk X)

k= - co k=l

1 - 2 r x 1-2r cos(2rr j() + r2

9

I

x x -n n

Bild 1.12: Abel-Poussin-Kern P rex) fUr r = 0.5 und r = 0.8 und das Fourier-Amplituden-Spektrum des Abel-Poussin-Kerns Pr(x)

FUr die verrauschte Funktion aus Bild 1.9 ergeben sich so die geglatteten Funktionsverlaufe aus Bild 1.13, die mit Hilfe der diskreten Fourier-Trans­formation und -Umkehrtransformation wie im letzten Beispiel besprochen er­mittelt wurden.

Es gibt viele weitere sinnvolle Moglichkeiten einer sol chen Filterung, so etwa mit einer Kombination der Dirichlet- und Fejer-Faktoren

(V.,"),,(k) = {

1

1-~ n-m

o

I kl < m

m < I kl < n

fUr geeignete Werte von m und n mit m < n , oder mit den Dampfungs-faktoren

oder

(Ar)J\(k) = e

fUr geeignete Werte von r.

- 38 -

Mit auf solche Weise manipulierten Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion kann man zusatzlich die gleichmaBige Konvergenz der Fourierteil­summen gegen diese Funktion erreichen.

verrauschte Funktion

'. . /-

/ "/ .. '

--+-------------------------.

Faltung der verrauschten Funk­tion mit dem Dirichlet-Kern

'.

Faltung der verrauschten Funk­tion mit dem Abel-Poussin-Kern

Fourier-Amplituden-Spektrum der verrauschten Funktion

/\.

/~ . \,,'--"

' ..

Faltung der verrauschten Funktion mit dem Fejer-Kern

Bild 1.13: diskret gegebene ver­rauschte Funktion (M=64) mit zugehorigem Fourier-Amplituden­Spektrum sowie die mit dem Dirichlet-Kern (n=12), dem Fejer-Kern (n=24) und dem Abel­Poussin-Kern (r=O.9) geglat­teten Funktionen; die Punkte geben jeweils die diskreten Werte der verrauschten Funk­tion an

- 39 -

1.3 DER MEHRDIMENSIONALE FALL

Die Erweiterung der in den letzten Abschnitten gemachten Aussagen auf reell- oder komplexwertige Funktionen mehrerer unabhangiger Veranderlicher bereitet keine Schwierigkeiten, wenn man die Erweiterung auf Funktionen von zwei unabhangigen Veranderlichen kennt. Da dies auBerdem der weitaus am meisten vorkommende mehrdimensionale Fall in der Praxis ist, wollen wir uns hier darauf beschranken.

Eine wichtige Anwendung ist die Bildverarbeitung. Man kann ein in analoger Weise' vorliegendes Bild durch eine Grauwertfunktion bei einem Schwarz­WeiB-Bild bzw. durch drei Farbwertfunktionen fur die Grundfarben Rot, Grun und Blau bei einem Farbbild beschreiben, die auf einem rechteckigen Defini­tionsbereich entsprechend der GroBe des Bildes definiert sind und deren Werte in einem festgelegten reel len Bereich (Grauwertbereich) bzw. in fest­gelegten reel len Bereichen (Farbwertbereichen) liegen. Dies wird ausfuhrlich in Kapitel 3 beschrieben. FaBt man den Definitionsbereich als eine Periode dieser Funktion(en) auf, d.h. denkt man sich das Bild in jede Richtung immer wiederkehrend, so lassen sich insbesondere periodische Vorgange in diesem Bild durch eine Zerlegung der Funktion(en) in harmonische Schwingun­gen beschreiben. Man versucht dabei, die Funktion(en) formal anders darzu­stellen bzw. moglichst gut so zu approximieren, daB man dieser Darstellung bzw. Naherung die benotigten Informationen Uber gewisse Eigenschaften direkt entnehmen kann.

AUSSAGEN FUR KONTINUIERLICH GEGEBENE FUNKTIONEN

Eine auf R2 definierte reell- oder komplexwertige Funktion f heiBt

(1.21) f(x ± X,y) f(x,y)

f(x,y ± Y) f(x,y)

(X, Y > 0), falls

fUr a11e (x,y) € R2 ist.

Eine periodische Funktion f mit den Perioden X und Y ist durch ihre eindeutig fest-Restriktion auf das

gelegt.

y

- 40 -

)( y

Bild 1.14: Beispiel einer periodischen Funktion und ihre Restriktion auf das fundamentale Intervall

FUr 1 oka 1 absolut integrierbare Funktionen f gilt

I J b d

[a,b] x (c,d] f(x,y) d(x,y) = I ~ I f(x,y) dY} dx

ale d b

= II I f(x,y) dx 1 dy c 1 a I

Oer mehrdimensionale Fall laBt sich so iteriert eindimensional darstellen.

FUr eine mit den Perioden X und Y periodische Funktion f gilt ent­sprechend zu (1.2) fUr bel iebige a, ~ E lR

X Y a+X ~+Y ( 1. 22) I I f(x,y)dy dx = I I f(x,y)dy dx

o 0 a ~

Zur Approximation einer periodischen Funktion wahlt man das komplexe tri­

gonometrische System

x

I 2 rri (k X- + .f. f) I 1 n=l e k,.f.Ell I mit der imaginaren Einheit i = n.

Jede der Funktionen aus diesem System ist periodisch mit den Perioden X und Y, denn es gilt mit (1.3)

2rri (k X- + .f. f) 2rr i k 2rr i (k X- + .f. t ) = e e = e

2rri (kf+.f.t) 2rr;.f. 2rr; (kf+.f.t) = e e = e

- 41 -

Die (1.4) entsprechende Orthonormalitatsrelation lautet

( 1. 23) 1 X 1 Y 211 i (k ~ + t r) -211 i (p Y + q r) X ~ Y ~ e X Y e Y dy dx = 6kp 6{'q

Ein endliches Teilsystem des unendlichen Funktionensystems n sei mit

(1. 24) I 211i (k Y + (' f) I }

nK,L = 1. e I kl ~ K, Iii ~ L (K,L E i'l)

bezeichnet. Der WeierstraB'sche Approximationssatz (Satz 1.1) bleibt auch im mehrdimensionalen Fall gUltig, d.h. hier, daB sich jede beschrankte periodische Funktion f mit den Perioden X und Y beliebig genau durch eine (geeignete) Linearkombination von trigonometrischen Polynomen aus

~,L approximieren laBt, wenn man nur K und L groB genug wahlt.

MitoHilfe derlll

lX1Y -2ni(k~+ir) (' (k ,i) = X I y I f( x ,y) e X Y dy dx

o 0 ( 1.25)

laBt sich der mittlere quadratische Fehler minimieren:

SATZ 1.11: Die Funktion f sei periodisch mit den Perioden X und Y und sei absolut quadratisch integrierbar, d.h. es existiere das Inte­

gra 1

X Y 2 I I I f(x,y)1 dy dx (zumindest im uneigentlichen Sinn). o 0

Dann wird fUr beliebige Funktionen

K L 211i(k y +if) ~(x,y) = L L cki e

k=-K i =-L

aus n K,L das FehlermaB

X Y 2 1/2 (~ ~I f(x,y) - ~(x,y)1 dy dx )

genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ck{' des trigonome­

trischen Polynoms ~ die eindeutig bestimmten Fourierkoeffizienten

1 X 1 Y -211i (ky+if) fA(k,i) = X I y I f(x,y) e dy dx

o 0

(I kl < K, Iii < L) wahlt.

- 42 -

BEWEIS: Diesen Satz beweist man genauso wie Satz '.2. Zur Abkurzung sei

und

2TTi (k Y + £ f) \Pkix ,y) = e

, X , Y (\p,'!') = X J y J \p(x,y) '!'(x,y) dy dx

o 0

Dann gilt mit

o ~ (f-$, f-$) = (f,f) - (f,$) - ($,f) + ($,$)

K L K L (f,f) - L L ckf ~(k,£) - { L ck£ ~(k,f) +

k=-K f=-L k=-K f=-L K L K L

+ L L ck f L L c~-- (\p , \P ) k,=-K f,=-L "k --K f - L k2£2 k,£, k2f2 2- 2--

Aufgrund der Orthonormalit~tsrelation ('.23) ist (\Pk £ \Pk f ) =6k k 6£ f und daher ' " 2 2 , 2 , 2

Die rechte Seite und damit der Fehler im quadratischen Mittel wird genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ckf die Fourierkoeffizienten ~(k,f) w~hlt.

•

Als einer periodischen Funktion f bezeichnet man die unend-1 iche Reihe

('.26) F(f)(x,y) 00 00 2TTi(kX+ff) L L ~(k,l) e

k=-ool=-oo

- 43 -

und als Fourierteilsumme der Four;erre;he von f

K l *) (1.27) FKl(f)(x,y)= I I

2TT; (k x-+.tf) 1"'(k,.t) e

, k=-K .t=-l

Die Fouri er-Spektren sind genauso w;e im Abschn;tt 1.1 definiert; so ist zum Beispiel das Fourier-Frequenz-Spektrum wieder die Menge {fA(k ,l)} der Fourierkoeffizienten und das Fourier-Amplituden-Spektrum die Menge {lfA(k,{)I} der Betrage der Fourierkoeffizienten.

Die wichtigsten Eigenschaften einer Fourierreihe bzw. -teilsumme lauten entsprechend z u Sa tz 1.3:

SArI 1.12: Die periodische Funkt ion f mit den Perioden X und Y sei absolut quadratisch integrierbar . Dann gilt:

*)

(i) Die Fourierteilsummen der Fourierreihe von f konvergieren im Mittel gegen die Funktion f, d.h. es gilt

1 X 1 Y 2 lim X J y J If(x,y) - FK.l(f)(x,y)1 dy dx = 0

K,l-+oo 0 0

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Fourierreihe von f erfUllen die Identitat

00 00 2 X Y 2 I I 11"'( k,.t) I = 1. J 1 J I f( x,y) I dy dx < oc> •

k=-oo .t=-oo X 0 Y 0

Damit gilt insbesondere

lim fA(k,{) = lim ~(k,{) = 0 . I kl .... oo l.tl .... oo

(iii) Die endliche Fourier-Transformation ist eindeutig, d. h. stimmen samtliche sich entsprechenden Fourierkoeffizienten insbesondere von zwei stetigen periodischen Funktionen mit den gleichen Perioden X und Y Uberein, so sind diese beiden Funktionen identisch .

Auch im mehrdimensionalen Fall dient die symmetrisch abgebrochene Fourierreihe ausschlieBlich der einfacheren Darstellung.

- 44 -

Die Funktionen fund 9 seien periodisch mit den gleichen Perioden X und Y. Die bzw. periodische ist durch

( 1. 28)

und die

(1. 29)

1 X 1 Y (f*g)(x.y) = XI yI f(x-E;.y-n) g(E;.n) dn dE;

o 0

bzw. periodische

1 X 1 Y --(f 0 g)(x.y) = X I y I f(x+E; .• y+n) g(E;.n) dn dE;

o 0

durch

definiert. Mit der Substitution - E; = u. - n = v folgt aus (1.29)

1 X 1 Y (fog)(x.y) = XI yI f(x-u.y-v) g(-u.-v) dv du •

o 0

d.h. auch im mehrdimensionalen Fall ist die zyklische Korrelation nichts anderes als eine zyklische Faltung mit einer am Koordinatenursprung ge­spiegel ten konjugiert komplexen Funktion. Die wichtigen Aussagen der Satze 1.4 und 1.5 fUr die eindimensionale Fal­tung und Korrelation gelten auch mehrdimensional. Speziell zweidimensional lauten sie:

SArI 1.13: Die periodischen Funktionen fund 9 mit den gleichen Perioden X und Y seien absolut quadratisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die zyklische Faltung ist kommutativ. d.h. (hg)(x.y) = (g*f)(x.y); die Funktion f*g ist stetig und periodisch mit den Perioden X und Y.

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Funktion f * 9 sind gegeben durch

(f * g)" (k.l) = f"(k.l) . g"(k.l) (k.l = 0.±1.±2 •... ).

(iii) Die Funktion f * 9 besitzt die Darstellung QO QO ,,2TTi(k X + l f)

(f *g)(x.y) = L L f"(k.l)· 9 (k.l) e k= -co l=-co

- 45 -

BEWEIS: Dieser Satz laBt sich wegen der erlaubten iterierten Darstel­lung der Integrale wie im eindimensionalen Fall beweisen. So ist z.B.

1 X 1 Y {1 X 1 Y l -2TTi (k X + f f ) (f* g)"(k,f) = X J y J X J y J f(x-t;,y-rd g(t;,n) dn dt;J e dy dx

o 0 0 0

1 X 1 Y{1 X 1 Y = X J y J X J y J f(x-t;,y-n)

o 0 0 0

-2TTi (k .y. + f Y ) } e dy dx .

-2TTi (k t; + f n ) g(t;,n) e X y dn dt;

Mit Hilfe der Substitution x - t; = u und y - n = v und unter Ausnutzung der Periodizitat des Integranden steht in den geschweiften Klammern der Fourierkoeffizient f"(k,f), so daB schlieBlich die Aussage (ii) folgt .

•

SArI 1.14: Der periodischen Funktionen fund 9 mit den gleichen

Perioden X und Y seien absolut quadratisch integrierbar. Dann gil t :

(i) Die zyklische Korrelation erfiillt (fog)(x,y) = (gof)(-x,-y); die Funktion fog ist stetig und periodisch mit den Perioden X und Y.

(ii) Die Fourierkoeffizienten der Funktion fog sind gegeben durch

( fog)" ( k ,f) f" ( k ,f) . g" ( k ,f)

(iii) Die Funktion fog besitzt die Darstellung 00 00 2TTi(k X + f~)

(f 0 g)( x ,y) L L f" (k ,f)· 9 "( k ,f) e k=oooQO f=oooQO

Bei der Approximation einer periodischen Funktion f durch ihre Fourier­teilsumme FK,L(f) zerlegt man f in endlich viele harmonische Schwin-

y

y

- 46 -

gungen (vgl. Bild 1.15), die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenzen

1 und 1 . d X Y Sln •

y

2n cos (-X x)

2n 2n cos (X x + 2 Y y)

sin (4 ~n x + ': 2,r- y)

x y

sin (2; x + 2yn y)

x y

sin (4 2; x + 4 2; y)

x y

2n 2n) cos (X x + 8 '( Y

Bild 1.15: . 2n 2n) Harmonische Schwingungen sln(k -X- x + t Y Y 2n 2n

und

und t cos(k X x + t -y y) fUr einige Werte von k

x

x

x

- 47 -

Der Anteil hochfrequenter Schwingungen (~(k,l) fUr groBe Ikl,lll) in der Funktion f strebt fUr Ikl ~~ oder III ~ 00 nach Satz 1.12 (ii) gegen Null. Trotzdem muB der Fehler, der durch das Abschneiden der Fourierreihe entsteht, fUr groBere K,L nicht klein werden. Man kann aber zeigen, daB auch im mehrdimensionalen Fall die GUte der Approximation einer Funktion durch ihre Fourierteilsumme nur von dem lokalen Verhalten der Funktion abhangt. Insbe­sondere dann, wenn die Funktion f (mindestens einmal) differenzierbar ist, konvergieren die Fourierteilsummen gleichmaBig gegen f. Diese schwache Voraus­setzung wird z.B. bei der Anwendung in der Bildverarbeitung in der Re-gel nicht erfUllt sein. Denn schon durch Ecken und Kanten in einem Bild und insbesondere durch seine periodische Fortsetzung, die zusatzlich zu schar­fen Obergangen in den Abstanden einer Peri ode fUhren kann, ist diese Voraus­setzung nicht mehr erfUllt. Die Grauwertfunktion bzw. jede der Farbwertfunk­tionen weist dann SprUnge auf.Da aber nur das lokale Verhalten eine Rolle spielt, wird die Approximation durch die Fourierteilsummen (bei genUgend groBem K,L) wieder beliebig genau, wenn man nur einen (noch so kleinen) Abstand z.B. vom Bildrand wahlt.

AUSSAGEN FOR DlSKRET GEGEBENE FUNKTIONEN

Die benutzt zur naherungsweisen Berechnung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion f

1 X 1 V -2TTi (k ~ + l l ) fA(k,l) = X f y f f(x,y) e X Y dy dx

o 0

wieder die aquidistant zusammengesetzte Rechteckregel bzw. aquidistant zu­sammengesetzte Trapezregel. Dazu unterteilt man die Intervalle [O,X] und [O,V] in M bzw. N gleichgroBe Teilintervalle der Lange X/M und V/N und wertet den Integranden nur noch in den diskreten Gitterpunkten

X V (xm'Yn) = (m ,n ), m=0,1, ••• ,M-1 aus. Man er-halt so die

A 1 M~1 1 N~1 -2TTi (k ~ + iN) fM N(k,l) = ~ L N L f(xm'Yn) e

, m=O n=O (1. 30)

Diese diskreten Koeffizienten sind wegen der Periodizitat der Funktionen hinter der Doppelsumme periodisch mit den Perioden M und N:

- 48 -

(1.31) ( k,.t = 0, ±1 ,± 2 , •.. ) .

Die natUrlichen Zahlen M und N seien im fol~enden im Hinblick auf die *) Darstellung gerade.

Die ~:115tre:te:FOIJ:r.~~.~ ist dann gegeben durch ,', ),,",",'

(1. 32) e 2Tli(k f + .t ~)

mit den durch (1,30) fUr M M k=-2""'2- 1 und N N

.t=-2'···'2- 1

definierten Fourierkoeffizienten.

Die (1.16) entsprechende Orthonormalitatsrelation ist

( 1. 33)

fUr k,p = O,1, ... ,M-1 und .t,q = 0,1, ... ,N-1

Die wichtige Interpolationseigenschaft aus Satz 1.7 gilt auch immehrdimen­sionalen Fall, d.h. das aus dem System

{ e2TT i (k X + .t f) I M M } k = - 7 , ... , 7 -1 und .t = - ~ , •.. , ~ - 1

bestimmte trigonometrische Interpolationspolynom, das in den Punkten X y

(xm'Yn) = (m M , n N) vorgegebene Werte f(xm'Yn) ,m=0,1, •.• ,M-1 und n = 0,1, ••. ,N-1 , annimmt, ist geqeben durch die diskrete Fourierteilsumme (1.32) mit den diskreten Fourierkoeffizienten f~,N(k,.t} aus (1.30).

Zum Nachweis dieser Eigenschaft braucht man nur die Relation (1.33).

*)Dies ist wieder keine Einschrankung fUr die im folgenden erwahnten Eigen­schaften, sondern orientiert sich an den in der Praxis meistgebrauch-1 i ch en Fa 11 en .

- 49 -

Genauso wie in Satz 1.10 gilt fUr die die Formel

N ~-1 (k l) Co 2TTi m 14 + n N

L f~ N ( k ,l) e ( 1. 34) N ' l=-"2

m=O,l, ... ,M-l und n=O,l, ••• ,N-l , wobei f~,N(k,.t) die unter Kenntnis der Werte f(x ,y) berechneten diskreten Fourierkoeffizienten (1.30) sind. m n (1.34) folgt unmittelbar aus der Interpolationseigenschaft der diskreten

Fourierteilsumme DFr.1,N(f)(xm'Yn) = f(xm'Yn) • Die Zuordnung der Menge von M N Koeffizienten

{ ~,N(k,l) I k = - ~ , ••• , ~ - N N 1 und l = - "2 , ••• , "2 - I

zu der gleichmachtigen Menge von Werten

{ f( xm'Y n) I m = 0,1, ••• ,M-l und n = 0,1, ••• , N-l }

durch die diskrete Fourier-Transformation bleibt ein-eindeutig.

Die diskrete Fourierteilsumme eines rechteckigen Datentableaus von Funk­tionswerten, charakterisiert durch einen gleichgroBen Datensatz von Fou­rierkoeffizienten, ist also eine zu diesen Werten aquivalente Darstellung, die einem gleichzeitig Informationen Uber gewisse harmonische Schwingungs­anteile gibt, die man diesen Daten entnehmen kann. Es ist fUr manche Zwecke insbesondere in der Bildverarbeitung von groBem Vorteil, diese Form der Darstellung zu wahlen.

Sind fund 9 zwei periodische Funktionen mit den gleichen Perioden X

und Y, so lautet die dieser beiden Funktionen

( 1. 35)

und deren

bzw. periodische

bzw. periodische

1 M~ 1 1 N-l D(f 0 g)(xm,yn) = N L N I f(xm+k'Yn+l) g(xk'Yl)

k=O l =0 (1.36 )

mit (xm.yn) = (m~, n~) • m=O.l, •..• M-l und n = O,l, .•• ,N-l

- 50 -

Die einzelnen Integrale in (1.28) bzw. (1.29) sind wieder fur (x ,y) = (xm ,Y n) durch di e aqui di stant zusammengesetzte Rechteck rege 1 approximiert worden. Die diskreten Analoga zu den Satzen 1.13 und 1.14 lauten damit:

SATZ 1.15: Die Werte der periodischen Funktionen fund 9 mit den gleichen Perioden X und Y seien in den Punkten

X Y (xm'Yn) = (m M ' n N) , m = 0,1, ... ,M-1 und n = 0,1" ... ,N-1 , bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete zyklische Faltung ist kommutativ, d.h. D(f * g) (xm,Yn) = D( 9 * f) (Xm'Yn) , und periodisch mit den Perioden X und Y.

(ii) Die diskreten Fourierkoeffizienten der diskreten zyklischen

Faltung D(f* g) sind gegeben durch

M M k = - 2"'" Z - 1 und N N

.e. = - 2"" '2 - 1

BEWEIS: Fur ein kE {0,1, .•. ,M-1} und ein.e. E {0,1, •.. ,N-1} ist

_ 1 M-1 1 N-l {I M-1 1 N-1 1 - M L N L M L N L f(xm_p' yn-q)g(xp'Yq)f

m=O n=O p=O q=O

1 M-1 1 N-l -2rri(k.P. +.e..9.) = M L N L g(xP'Yq) e M n

p=O q=O

-2rri (k m~p + .t n~g ) e

{ M-l N-l -2rri(k~+.e.~)} . ~ I ~ I f(xm_p'Yn_q) e M N .

m=O n=O

- 51 -

Wegen der Periodizitat der Funktionen in den geschweiften Klammern auf der rechten Seite steht dort der diskrete Fourierkoeffizient ~.N(k.l). Damit folgt dann die Behauptung (ii).

•

SArI 1.16: Die Werte der periodischen Funktionen fund 9 mit den gleichen Perioden X und Y seien in den Punkten

X Y (xm'Yn) = (m M • n N)' m = O.1 •... M-1 und n = O.1 •...• N-1 im fundamental en Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete zyklische Korrelation erfUllt

D(f 0 g)(xm'Yn) = D(g 0 f)(x_m.y_n) und ist periodisch mit den Perioden X und Y.

(ii) Die diskreten Fourierkoeffizienten der diskreten zyklischen Korrelation D(f 0 g) sind gegeben durch

M M N N k = - 2.···. 2 -1 und l = - 2.···. 2 - 1

EIN BEISPIEL

Bild 1.16 zeigt eine sehr einfache. im fundamental en Intervall diskret ge­gebene Funktion (2 Impulse) und das dazugehorige Fourier-Amplituden-Spek­trum (M = N = 64). Solche Funktionen lassen sich sehr Ubersichtl ich und mit geringem Aufwand durch Grauwertbilder darstellen. Diese Darstellung ist auBerdem dann von Vorteil und gibt einen guten Oberblick Uber das ge­naue Verhalten der Funktion. wenn diese wie zum Beispiel das Spektrum einen welligen Verlauf zeigt.

- 52 -

f(Xm'Yn) , m = O,l, .•• ,M-l und n = O,l, ••. ,N-l

If~,N(k ,i) I , k M M -2'···'2-

N N und i = - 2 , ... , "2" -

Bild 1.16

Bei einem Grauwertbild schaut man von oben auf den Definitionsbereich und stellt die zugehorigen Funktionswerte durch Grauwerte dar; der minimale Funktionswert ist durch eine schwarze Flache und der maximale Funktions­wert durch eine weiBe Flache wiedergegeben. Dazwischenliegende Grauwerte bedeuten entsprechend ihrer Helligkeit Werte zwischen diesen Schranken.

In Bild 1.17 reprasentiert eine schwarze Flache jeweils die Null und eine weiBe Flache bei der Funktion die Zahl 1 und beim Spektrum die Zahl 3/512.

Die niederfrequenten Anteile liegen im Spektrum in der Nahe des Ursprungs, und die Gewichte zu wachsenden Frequenzen sind radial nach auBen aufge­tragen. Die augenscheinliche Symmetrie des Spektrums liegt zum einen in den reel len Daten begrUndet, denn dann ist f~,N(k,i) = f~,N(-k,-i)

(vgl. (1.30)) und damit sich in diesem Beispiel

n

N-l

- 53 -

If~,N(k ,.t} I die Symmetrie

, m = O.1 •••• ,M-1 und n

If~,N(-k,-.t}1 . Zusatzlich spiegelt der diskret gegebenen periodischen

m M-l

O.1, .... N-1

, k M "Z , ... , M "Z - 1 und N "Z , ... , N

"Z - 1

Bild 1.17

- 54 -

ZUSAMMENFASSUNG

Zusammenfassend gel ten folgende wichtige Eigenschaften fur die zweidimensio­nale endliche Fourier-Transformation und die zweidimensionale diskrete Fou­

rier-Transformation:

all geme i ne komp 1 exwert i ge pe ri 0-

dische Funktion mit den Perioden X und Y

f(x,y)

f(x,y) = g(x)'h(y)

L inearitat: f(x,y) ± g(x,y)

a • f ( x ,y ), a E (t

. ( a \m ( a \n Ableltungen: \ax) \ay) f(x,y),

m,nE{O,1,2, ... }

Faltung: (f * g)(x ,y)

Korrel ation: (f 0 g) (x,y)

dazugehorige Fourierkoeffizienten (k,l = O,±1,±2, ... )

lX1Y -2TTi(kX-+ll) -f'(k,l) =x J y J f(x,y)e Y dy dx

o 0

ex> ex> 21 XI Y 2 L L If"(k,l)1 =xJyJlf(x,y)1 dydx k= -00 l= -00 0 0

1 im f"(k,l) = 0, 1 im f"(k,l) = 0 Ikl~o<> 1£1->00

f"(k,l) = g"(k).h"(l)

-f'(k,l) ± g"(k,l)

a.f"(k,l)

(2TTik\m (2TTil\n f"(k 0) \-X-)' -y-)' ,-L

-f' ( k ,i) . g" ( k,l)

Fur reellwertige Funktionen f gilt zusatzlich f"(-k,-l) = f"(k,l) .

- 55 -

allgemeine diskrete komplexe l~erte

einer periodischen Funktion mit

den Perioden X und Y in den X Y

Punkten (xm,Yn) = (m M' n N) , m=O,l, ... ,M-l und n=O,l, ..• ,N-l

(M,N gerade)

diskrete Faltung: D(f * g)(xm,yn)

diskrete Korrelation:

D(f 0 g)(xm,yn)

dazugehorige diskrete Fourierkoeffi­

zienten M M

(k = - 2 , ... , 2 - 1 und

N N l = - 2 , ... , 2 - 1

f~,N(k ± pM,l ± qN) r ~,N(k,l) ,

p,q E {O,1,2, ... }

f~,N( k ,l) ± g~,N( k,l)

a.f~,N(k,l)

FUr reelle \~erte f(xm,yn) gil t zusatzl ich f~,N( -k,-l) = f~,N(k,l).

- 56 -

1.4 DIE EFFEKTIVE BERECHNUNG DER DISKRETEN FOURIER-TRANS­FORMATION (FFT)

DER EINDIMENSIONALE FALL

Das trigonometrische Polynom

M~1 2ni k ~ (1.37) <P (x) = I 6M(k) e X

k=O das in den im Intervall [O,X) aquidistant verteilten Punkten xm = m ~ , m = O,1, ••• ,M-1 , vorgegebene Werte fm annimmt, existiert und ist ein­deutig bestimmt. Denn die Substitution

2m X ~ = ~(x) = e

fUhrt auf das algebraische Interpolationspolynom

M-1 k <p(x) = <p( ~(x» = I 6~1(k) ~

k=O und die eindeutige Losbarkeit wird durch die paarweise verschiedenen StUtz-stell en ~m = ~(xm) gesichert. Die Existenz erhMlt man mit der Wahl

M-1 -2ni k ~ 1 . 1'1 6M(k) = ~ I fm e

m=O (1. 38)

k = O,1, ••• ,M-1, denn dann erfUllt das Polynom (1.37) die Interpolations­bedingungen; dies kann man mit Hilfe der Relation (1.16) durch Einsetzen nachvollziehen. Die Koeffizienten (1.38) sind aber die diskreten Fourier­koeffizienten (1.13) bis auf die Tatsache, daB die 6M(k) fUr k = O,1, •.• ,M-1 berechnet werden und die f~(k) fUr k= -; , ••• , ; - 1 benotigt werden. Nutzt man die Periodizitat (1.14) der diskreten Fourier-koeffizienten aus, so erhalt man die gesuchten Koeffizienten unter Kennt­nis der 6M(k) Uber

A { 6M(M+k) (1.39) fM(k) =

6M(k)

M k=-"2", ••• ,-1

M k=O' ••• '"2"-1

Die Bestimmung der Koeffizienten 6M(k) liefert also gleichzeitig die dis­kreten Fourierkoeffizienten in verschobener Form.

Die effektive Berechnung der Koeffizienten Fourierkoeffizienten geschieht mit der

- 57 -

, die im Fall M = 2T (T E~) am effektivsten

arbeitet und noch am einfachsten zu durchschauen ist. Zur Herleitung dieses Algorithmus' wird die Interpolationseigenschaft entscheidend ausgenutzt.

1m folgenden sei die Anzahl M der diskreten Punkte im fundamental en Intervall eine Potenz von 2

Die Berechnung der Koeffizienten SM(k) aus (1.38) auf direktem Wege wUrde M2 = 22T komplexe Multiplikationen und M(M-1) komplexe Additionen erfordern; dieser Aufwand laBt sich durch geschicktes Umordnen und Zu­sammenfassen einzelner Terme erheblich reduzieren, namlich auf 1/2 M log Wlog 2 = ~ M komplexe Multipl ikationen und M log M/log 2 = TM komplexe Additionen [z.E. fUr M = 211 = 2048 von 4 194 304 Multiplikatio­

nen und 2 097 152 Additionen aUf 11 264 Multiplikationen und 22 528 Addi­

tionen!!l. Gesucht sind also die Koeffizienten des trigonometrischen Poly­noms

2T_1 <p( x) '" P 0 (x) = L (x. 0 0

T, t = 0 T,,-t..

2TTi t ~ e X

das in den Punkten x. = j..x. (j E?l) die Werte J 2T

diskreten Werte fj Uber das fundamentale Intervall fortgesetzt seien.

Betrachtet man die Interpolationspolynome

T-n 2fl-1 2TTi t 25_ P .(x) = 2 L (X • c e X

n,J t = 0 n,J ,-t..

fj annimmt, wobei die

[O,X) periodisch

(n = 0,1, ... , T

bedingung"

T- n j = 0,1, ... ,2 -1), die die "verschobene Interpolations-

(k E ?l)

erfUllen, die also in mit groBerem Abstand aquidistant verteilten StUtz­stellen die urn j lT verschobenen Funktionswerte interpolieren, so

2 genUgen sie der Rekursion

- 58 -

2 . 2 n-1 x 2 . 2n-1 ~ 1 TIl X 1 TIl PJI ,j(x)=1(1+e )Pn-1,j(X) +1 (I-e X)P 12T-n '(x-2Xn )

n- +J

(n ~ 1) mit den konstanten Polynomen

Diese Rekursion gilt wegen der Eindeutigkeit der trigonometrischen Inter­polation (vgl. (1.37», da die trigonometrischen Polynome auf der linken und der rechten Seite in den Punkten x und x (k E 71.) Uber-

2T-n2k 2T-n(2k+1)

einstimmen (die Faktoren vor den Polynomen auf der rechten Seite nehmen in diesen Fallen die Werte 1 oder 0 an). Ausgeschrieben lautet diese Re­kursion

an,j ,i e 2TIi i ~

X

a T-n. e n.-1,2 +J ,i

a T-n. e n-I,2 +J,i

woraus durch Koeffizientenvergleich

a a + a n,j ,i T-n . n-I,j ,i n-1,2 + J,i

2 . i - TIl -2n

2 . i - TIl -2n

2TIi i * }e +

} e

2TIi (20 - 1 +i ) X

tl-I (i = 0,1, ... ,2 -1)

a n-I = a - a T-n. n,j,2 +i n-I,j,i n-I,2 +J,i

-2TIi/2T mit der 2T-ten Einheitswurzel w = e folgt. Die gesuchten Koeffizienten a = a (i) lassen sich daher mit folgendem Pseudo-T,O,i 2T Programm berechnen:

-2TIi/2T w = e

for j=O to a - 2-Tf. O,j,O - J next j

T-1 2

- 59 -

for n=1 to T for j=O to 2T- n_l

for i =0 to 2n-1_l i. 2T - n

a = a n-l,j,i

+ a • w T-n n,j ,i

a n-1 n,j ,2 +i

next i

next j

a

n-l,2 +j,i

n-1,j ,i

i. 2T - n - a ·W T-n n-1,2 +j,i

next n

In der inneren Schleife werden nur ein komplexes Produkt und zwei komplexe Additionen (Subtraktionen) gebildet. Die Anzahl der Punktoperationen ist da-

her nur T

I n=1

2n- 1_1

I i = 0

T

1 = I n=1

2T-n 2n-1 _ 1 2T - "2" ~

und die der Additionen folglich nur T 2T (statt 2T 2T Multipl ikationen

und 2T (2T_1) Additionen auf direktem Wege (!); unberUcksichtigt in beiden Fallen bleibt die Berechnung von Potenze.n der Einheitswurzel w).

Man kann die dreifach indizierten Koeffizienten a J' 0 mit einer geschick-m. '-I.-

ten Umordnung in einem eindimensionalen Feld abspeichern, wenn man die be-rechneten Koeffizienten geeignet abspeichert und nicht mehr benotigte Koeffi­zienten Uberspeichert. Dazu braucht man die von T abhangig'e alie~tlilkl~h

~*Qn 0" die jeder nichtnegativen ganzen Zahl m -< 2T - 1 mit der eindeu-""-' tigen Dualzahldarstellung

T-:1 k m = I Ilk 2

k=O mit Ilk {O, 1 }

die nichtnegative ganze Zahl (J (m) -< 2T - 1 , definiert durch T

(1. 40) e-1 ) T-1 T-1

(J (m) '" (J I I Ilk 2k = I Il 2T-1-k = I Il 2V

T T 'k=O k=O k v=O T-1-v

zuordnet. Die Reihenfolge der Koeffizienten Ilk in der Dualzahldarstellung wird also umgekehrt.

Durch Rekursion Uber n seien die nichtnegativen ganzen Zahlen p = p(n.j,i) definiert durch

p(O.j.O)

p(n.j.i)

- 60 -

= 0 (j) T

= p(n-1.j.i)

(n = 1 ••••• T; j = 0.1 ••••• 2T-n_1 ; i= 0.1 •.••• 2n-1 ). Da fUr die Bit-Umkehrfunktion

(1.41)

. T-n ) (J = 0.1 •..•• 2 -1 ; n = 1.2 •...• T gilt. folgt durch Induktion

Uber n. daB

(1.42 ) p(n.j • .e) = 0 (j) + i T

(n=0.1 •.••• T . T-n i n J=0.1 •••.• 2 -1; =0.1 ••••• 2-1) ist.

Die zulassigen j = 0.1 ••.•• 2T-n_1 besitzen die Dualzahldarstellung

j T-n-1

I p 2k k=O k

so daB nach (1.40)

o (j) = T

mit Ilk {0,1}

also 0 (j) ein ganzzahliges Vielfaches von 2n und damit immer > 2n ist. T -

Zu jedem festen n E { 0.1 •.••• T} und bel iebigem p E{ 0.1 ••..• 2T-1} gibt es daher genau ein j E {0.1 ••.•• 2T-n_1} und ein i E{ 0.1, •.•• 2n-1} • so daB (1.42) gilt. Daher kann man T+1 eindimensionale Felder Fn durch Fn(p(n.j,i» = on.j.i definieren. und die inneren Programmschleifen lau­ten dann unter BerUcksichtigung von (1.42) und (1.41)

for j=O to 2T-n_1

for i=0 to 2n-1_1 i T-n

F (0 (j)+i)=F 1(0 (j)+i)+F 1(0 (j) +2n- 1+i) w 2 n T n- T n- T

F (0 (j) + 2n-1 + i) = F 1(0 (j) + i) - F 1(0 (j) + 2n-1+i} wi 2 n T n- T n- T next i

next j

T-n

- 61 -

FUr fest gewahltes n i st fUr di e zul ass igen j und l dann o (j) = k. 2n (0 < k < 2T - n_1) ein ganzzahliges Vielfaches von 2n und

T - -

weiter

k 2n < 0 (j) + l <0 (j) + 2n- 1 < 0 (j) + 2n-1 + l «k + 1) ·2n -,1 I T -,T ,

so daB bei ~nderung von l oder j in den Schleifendurchlaufen stets noch nicht benutzte Feldelemente des Feldes Fn_1 angesprochen werden.

Nach DurchfUhrung der Rechnung kann man daher die neuen Werte Uber die dann nicht mehr benotigten alten Werte speichern; es ist also nur ein komplexes Feld F der Lange 2T erforderlich.

AuBerdem spielt es keine Rolle, ob zuerst Uber l oder j summiert wird. Man erhalt so schlieBlich das folgende optimierte Pseudo-Programm:

for j=O to 2T_1

F(o (j)) = 2-T f. T J

next j

-2TT i/2T

W = e

for n =1 to T

for l=O to 20- 1_1

l·2T - n £ = W

T-n for j=O to 2 -1

u = F(j.2 n + 2n-1 + l) . £

F(j.2 n + 2n- 1 + l) = F(j.2 n + l) - u

F(j.2 n + l) = F(j .2 n + l) + u

next j

next l

next n

Die einzig verbleibende Schwierigkeit ist die Zuweisung der Werte 2-Tf j auf die Speicherplatze F(o (j)) in der ersten Schleife des Programms.

T

Wegen (1.40) braucht man nur die Koeffizienten ~v in der Dualzahldar-s te 11 ung von

T-1 j = L ~v 2v

v=O mit ~ E { 0, 1}

v

- 62 -

zu kennen. Zum Beispiel ist

Der zweite Term auf der rechten Seite ist > 0 und < 1. so da6 gilt

1 1

II -T-l - 0

falls x > 1

falls x < 1

Fahrt man entsprechend fort. so erhalt man auch die anderen Koeffizienten llv' Das folgende Pseudo-Programm erzeugt a = aT (j) fUr ein jE {0.1 •..•• 2T-l}:

k = j 0=0

for 0.=0 to T-l

if k < 2T-1-n goto <D 0=0+2n

k=k_2T-1- n

CD next n

a (j) .. a T

Auf Kosten eines Feldes mit ganzzahligen Elementen der Lange 2T kann man die insgesamt T 2T Abfragen. die relativ zeitaufwendig sind. noch ver­meiden. Nach (1.41) ist fUr j = 0.1 ••••• 2T-n_1 und n = 1.2 ••••• T

a (j+2T-n) = a (j) + 2n- 1 T T

Setzt man. ausgehend von a (0) = 0 • nacheinander n = T .T-1 ••••• 1 • T •

so kann man hierUber unter Kenntnis der inzwischen bekannten Werte T-n T-n T-n (T-n+1) a (0) ..... 0 (2 -1) die nachsten 2 Werte a (2 ) ...... 0 2 -1 T T T T

bestimmen.

Aus (1.40) folgt auch. daB a (0 (j» = jist. Stehen zu Beginn die T T

Werte 2-Tf j im Speicherplatz F(j) • so muB man beim Permutieren dieser Werte in die Reihenfolge F(o (j» darauf achten. daB eine einmal durch­

T

gefUhrte Vertauschung nicht noch ei'nmal durchgefUhrt und damit rUckgangig gemacht wird. Dies erreicht man zum Beispiel. indem man nur vertauscht.

- 63 -

falls a (j) >j ist. T

Die Zuordnung der Daten f i auf die Koeffizienten SM(k) in (1.38) kann auch umgekehrt werden, denn es gilt wegen der Orthonormalitatsrelation ( 1 • 16)

(1.43) i = 0,1, ••• ,M-1

Ersetzt man also im obigen optimierten Pseudo-Programm die Eingangsdaten - 2ni /2T

2-T f j durch l3 M(j) und die Einheitswurzel w= e durch die Ein-2ni/2T

heitswurzel w= e (M= 2T), so fUhrt derselbe Algorithmus auch die Umkehrtransformation aus.

Der enge Zusammenhang der diskreten Transformation (1.38) und der diskre­ten Umkehrtransformation wird noch deutlicher, wenn man (1.43) etwasum­schreibt

(1.44 ) - 2ni i ~

e

D.h. fUhrt man mit den Eingangsdaten BM(k) (statt (1/M)fk ) die diskre­te Transformation durch, so erhalt man die konjugiert komplexen Funktions­werte.

EIN PROGRAMM

Folgendes Unterprogramm in Standard FORTRAN 77 bestimmt die "verschobenen" diskreten Fourierkoeffizienten eines reel len oder komplexen Datensatzes {fm 1m = O,1, ••• ,2T-1} (T € IN) und fUhrt auch die Umkehrtransforma­tion durch:

- 64 -

SUBROUTINE FFT(TAU,F,IR)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC C C C DIESES PROGRAMM BESTIMMT MIT DER SCHNELLEN FOURIER-TRANSFORMATION C C (FFT) ZO M=2"'TAU GEGEBENEN REELLEN ODER KOMPLEXEN FUNKTIONS- C C WERTEN F (0), ••• , F (M-' ) DIE DISKRETEN FOURIERKOEFFIZIENTEN C C FA(_M/2), ••• ,FA(M/2_') DER ZOGEHOERIGEN DISKRETEN FOURIER- C C TEILSUMME ODER FUEHRT DIE UMKEHRTRANSFORMATION DORCH. C C C C PARAMETER C C ========= C C C C TAU DAS FELD FIST FUER ELEMENTE F(J) , J=O, •• ,M-' , C C M = 2" I TAU , VEREINBART. C C C C IR=O - BESTIMMUNG DER DISKRETEN FOURIERKOEFFIZIENTEN : C C C C DAS KOMPLEXE FELD F WIRD MIT DEN FUNKTIONSWERTEN C C BELEGT UEBERGEBEN UND 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAMMS MIT C C DEN DISKRETEN FOURIERKOEFFIZIENTEN IN FOLGENDER WEISE C C UEBERSPEICHERT: C C FA(K)=F(K.M) ,K=-M/2, ••• ,-' C C FA(K)=F(K), K=O, ••• ,M/2-' C C C C IR=' - BESTIMMUNG DER FUNKTIONSWERTE: C C C C DAS KOMPLEXE FELD F WIRD MIT DEN DISKRETEN FOURIER- C C KOEFFIZIENTEN IN FOLGENDER WEISE BELEGT C C F(K)=FA(K), K=O, ••• ,M/2-' C C F(K)=FA(K-M) ,K=M/2, ••• ,M-' C C UEBERGEBEN UND 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAMMS MIT DEN C C FUNKTIONSWERTEN UEBERSPEICHERT. C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

INTEGER TAU, SIGMA COMPLEX F(0:2. I TAU-'), EW, U, W, EPS

M=2" I TAU X=,.O/REAL(M) PI=3.,4'5926535898 EW=EXP(CMPLX(0.O,-2.0"PI·X» IF (IR.EQ.O) GOTO 5 X=,.O EW=CONJG(EW) CONTINUE

c·····················································I. C UMSPEICHERUNG MIT DER BIT-UMKEHRFUNKTION C ( GLEICHZEITIGE NORMIERUNG, FALLS IR=O ) C···································,·················I'

DO 30 J=O,M-' K=J SIGMA=O N2=M/2 N='

DO 20 L=O,TAU-' IF (K.LT.N2) GOTO '5 SIGMA=SIGMA.N K=K-H2

'5 N=N+N N2=N2I2

20 CONTINUE IF (SIGMA.LT.J) GOTO 30 U=F(J)'X F(J)=F(SIGMA)'X F(SIGMA)=U

30 CONTINUE

c·····················································I' C DURCHFUEHRUNG DE~ (UMKEHR-)TRANSFORMATION c ••• I •••••••••••••••• , •••••••••••••••••••••••••••••••• II

C·,· MM C'" EW c'·· w C'" EPS

2"(N-') I.' EINHEITSWURZEL .,. EW"(2"(TAU-N» ••• EW"(L'2"'(TAU-N» •• ,

MM=1 DO 130 N=1, TAU W.EW IF (N.EQ.TAU) GOTO 105

DO lOa K=1, TAU-N 100 W=W'W 105 EPS=CMPLX('.O,o.O)

DO 120 L=O, MM-'

- 65 -

DO 110 J=o, M-MM-MM, MM+MM U=F(J+L+MM)'EPS F(J+L+MM)=F(J+L)-U F(J+L)=F(J+L)+U

l' ° CONTINUE EPS=EPS'W

120 CONTINUE HM=MM+HM

130 CONTINUE

RETURN END

Man kann die (Schnelle) Fourier-Transformation auch dazu benutzen, die Werte der diskreten Fourierteilsumme (1.15)

M "2- 1 2rrik~

DFM(f)(x) = L ~lk) e X M

k= -2"

die nach Satz 1.7 gleichzeitig in einem Satz von verschobenen

ein Interpolationspolynom ist, sehr effektiv StUtzstellen xm+a (aElR beliebig),

m = 0,1, ••• ,M-1 , zu bestimmen. Es ist mit xm = m X/M M x + a ~ - 1 m Co 2rri k-X-

DFM(f)(xm + a) = L fM(k) e M k= -"2

M "2" - 1 2rri k X } e2rr i k N

= L M {fM(k) e k= -2"

m = 0,1, ••• ,M-1 • Vergleicht man dies mit der Umkehrformel aus Satz 1.10, 2rri k a/X

so sient man, daB die Fourierkoeffizienten tM(k) e den Funktions-werten DFM(f)(xm+ a) entsprechen. Selbst wenn man nur an Werten von weni­gen Zwischenpunkten interessiert ist, lohnt es sich, mit Hilfe der Schnellen Fourier-Transformation die Fourierkoeffizienten f~(k) , k=-~, ••• ,~-1 ,

2rri k a/x zu 'bestimmen, diese mit den entsprechenden Faktoren e zu multipli-zieren und dann mit Hilfe der Schnellen Fourier-Umkehrtransformation die Werte an allen Zwischenpunkten xm+ a , m=0,1, ••• ,M-1 ,zu ermitteln.

Dies gilt auch bei reellen Funktionswerten fUr die reelle Darstellung (1.18) der diskreten Fourierteilsumme. wenn man den einen Fourierkoeffizienten

- 66 -

( M) (M\ 2TTi(-M/2) s/X f~ \ -"2 = ~ "2) statt mit e mit dem Realteil dieses

Faktors COS(2TT;X) multipliziert

DER FALL REELLER DATEN

In der Regel sind die Daten fj , j = O,l, .•• ,M-l , reell. In diesem Fall laBt sich der Aufwand zur Bestimmung der zugehorigen diskreten Fourierkoeffi­zienten und fUr die Umkehrtransformation mit der FFT in etwa halbieren. FUr reelle Daten erfUllen die zugehorigen diskreten Fourierkoeffizienten

fM(-k) = fM(k)

so daB man nur die komplexen Koeffizienten f~(O), ..• ,f~(;)= f~ (-;) zu kennen braucht, aus den en sich dann nach (1.18) die reel{en Koeffizien­ten a~M) und b~M) der reellen Darstellung der diskreten Fourierteil­summe direkt ergeben:

fA(k) - a(M) - i b(M) M - k k

Mit den eindeutig bestimmten trigonometrischen Polynomen M M "2" - 1 2TTi k ~ "2" - 1 2TTi k-X

~1 (x) = I CX1 M(k) eX, ~2(x) = I CX2 M(k) e k=O ' k=O •

die mit Xm = m X/M fUr m=o,l, ... ,;-l die Interpolationsbedingungen

erfUllen, besitzt das trigonometrische Polynom <p aus (1.37) mit den "ver-schobenen" diskreten Fourierkoeffizienten nach (1.39), das in den Punkten x die Werte f annimmt, wegen der Eindeutigkeit des Interpolationspoly-m m noms auch die Darstellung

M~l 2TTi k x <p(x) = L ~M(k) e X

k=O

2IT1' M. x 2 . M x 1 ! X 1 TTl ! X X

= ! (1 + e ) ~1 (x) +"2 (1 - e ) ~2(x - R) ,

2TTi M x da e !X fUr x = x2m der Wert 1 und fu"r x = x2m+l den Wert -1

- 67 -

hat. Man erhalt durch Koeffizientenvergleich k

{ a1,M(k) + w a~'M(k)

M , k = 0,1, .•. , "2"-1 ,

M k--Z M a1,M(k-"2")- w a2,M(k- z )

(1. 45) M , k ="2" , •.. , M-1

mit der M-ten Einheitswurzel w = e GroBen

(1. 46) 9 = f2 + i f2 1 m m m+

so erfUllt das Polynom M

-2TTi/M Bildet man die komplexen

M m=0,1, .••• "2"-1

"2" - 1 2TTi k ~ '¥(x) = ~ YM/2(k) e X = ~1 (x) + i

k=O ~2 (x)

die Interpolationsbedingungen '¥(x2m ) = gm ' und die Koeffizienten sind gegeben durch

(1.47) M k=0.1····· Z -1

Da die GroBen U1,M(k) und u2,M(k) komplex sind. kann man sie nicht direkt den Koeffizienten YM/2(k) als Real- und Imaginarteil entnehmen. Das Polynom

M 2 . M x ~- 1 2 x - TTl "2" X Co TT i kx

YM/ 2(0) + e ~ YM/ 2(k) e k = 1

nimmt in den Punkten x2m die Werte gm an, da der Faktor vor der $umme nach (1.3) in diesen Punkten den Wert 1 hat. Daher muB dieses Polynom gleich ~1(x) - i ~2(x) sein, und man erhalt durch Koeffizientenvergleich

(1.48 )

M k=1""'"2" 1.

- 68 -

Aus (1.47) ynd (1.48) folgt aber

CX 1 ,M(O) =i {YM/2(O) +YM/2(O)} = Re(YM/2(O)) ,

1 M - M cx'1 ,M(k) ='2' {YM/2(k) +YM/2 ('2- k)} k = 1""'2 -

1 cx2 , M ( 0) = 2 i {Y M /2 (0) - Y M/2 ( 0 ) }= 1m ( Y M/2 ( 0)) ,

cx2,M(k) =irhM/ 2(k) - YM/2(~-k)} k = 1, ••• ,~-

Mit (1.45) und (1.39) sind die benatigten diskreten Fourierkoeffizienten

dann gegeben durch

f~(O) = i{ Re(YM/2(0)) + Im(yM/ 2(0))}

(1. 49) f~(k) = {{ yM/ 2(k) + YM/2(~- k) - i W k {YM/2(k) -YM/2(~- k)} }

/\ (M) 1 f ( ( 1 fM'2' = 21 Re YM/2 0)) -Im(YM/2(0)) f

M . .. -2TTi/M k = 1, ••• , 2 - 1 , mlt der Elnheltswurzel w = e

Zur Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten f~(k) fUr reelle Daten

f bildet man also die ~albsovielen komplexen GraBen 9 nach (1.46), m m bestimmt deren diskrete Fourierkoeffizienten YM/2(k) mit der FFT und

gewinnt Uber (1.49) schlieBlich die gesuchten Koeffizienten.

Da mit (1. 49) fUr k = 1 , ••• , ; - 1

f~(~- k) = {{YM/2(k) +YM/2(~- k) + i Wk{-(M/2(k) -YM/2(~- k)}}

ist, gilt mit (1.49) umgekehrt

(1. 50)

yM/ 2(k) = f~(k) + f~(~- k) + i w-k{f~(k) - f~(~- k)}

M - 2TTi/M k = 1, ••• , '2' - 1 , mit dar Einheitswurzel w = e

Dies nutzt man aus, urn auch die Umkehrtransformation mit etwa hal bern Auf­

wand durchzufUhren: Au~ den diskreten Fourierkoeffizienten f~(k) bildet

- 69 -

man die HilfsgroBen YM/2(k), k = 0,1, •.. , ;-1 , nach (1.50) , fUhrt damit die Umkehrtransformation durch, die die komplexen GroBen gm lie­fert, und aus deren Real- und Imaginarteil kann man die gesuchten Daten fm nach (1.46) entnehmen.

Eine weitere Moglichkeit, die wieder in etwa zu einer Rechenzeithalbierung fUhrt und ebenfalls ausnutzt, daB die Daten reell sind, findet haufig im mehrdimensionalen Fall Anwendung und wird daher im folgenden Abschnitt be­sprochen.

DER MEHRDIMENSIONALE FALL

Auch der mehrdimensionale Fall bereitet keine Schwierigkeiten. Speziell im zweidimensionalen Fall betrachten wir dazu fUr k=O,l, ..• ,M-l und i = O,l, ..• ,N-l die Koeffizienten

(1.51)

deren Berechnung wegen

1 M-l 1 N-l - 2TTi iN - 2rri k N 13 M N(k,i) = M L {N L f(xm,yn) e } e

, m=O n=O

separabel erfolgen kann. Das heiBt man erhalt durch sukzessive eindimen­sionale diskrete Transformationen eines gegebenen Datenfeldes {f(xm,yn) I m = O,l, ..• ,M-l und n = O,l, .•. ,N-O, erst M mal "zei­lenweise"

u = O,l, ••• ,N-l)

fUr m=O,l, ••• ,M-l , und dann N mal"spaltenweise"

1 M~l - 2rri k N 8M N(k,i) = N L F(m,i) e

, m=O (k=O,l, ••• ,M-l)

- 70 -

fUr t= 0,1, ..• ,N-1 , die Koeffizienten I3M,N(k,,{').

Ein Vertauschen der Summationsreihenfolge zeigt, daB erst N "spaltenweise" und dann M "zeilenweise" eindimensionale Transformationen dasselbe Er­gebnis liefern.

Wegen der Periodizitat (1.31) der diskreten Fourierkoeffizienten f~,N(k,t)

aus (1.30) erhalt man diese Fourierkoeffizienten unter Kenntnis der I3M,N(k,t) aus (1.51) Uber

f~,N(k,l) I3M,N(k,l)

f~, N( k,l) I3M,N(M+k,l) (1 .52)

f~,N(k,t) I3M,N(k,N+l)

f~,N(k,l) = I3M,N(M+k,N+t)

M N k = 0, ... , "2"-1; l = 0, ... , 2-1

M k=2,···,-1

k 0, ... , M = 2-

k M , ... , -1 =-2

1 ; t N , ... ,-1 =-2

l N , ... ,-1 =-"2

Die Koeffizienten werden wiederum nur "verschoben":

l'!'l N - 1

4 3 N --1 !!-1 •• 2 . "

2

" " 1 2 2 1

'-M

, --1 M - 1 2

k _!i ii-I 2 3 4 2 .. IC

N 2

Zur Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten des Datenfeldes {f(xm,yn) I m = 0,1, ... ,M-1 und n = 0,1, ..• ,N-1} sollte man nicht nacheinander alle Zeilen und dann alle Spalten einem Unterprogramm mit oben beschriebenem Algorithmus Ubergeben, sondern diesen Algorithmus in ein Programm einbetten, da sonst jedesmal die Bit-Umkehrfunktion und alle Potenzen der Einheitswurzel neu berechnet werden.

In der Bildverarbeitung sind die Bilddaten (in der Regel) durch ein qua­dratisches Bild gegeben (d.h. M = N); in diesem Fall besteht sogar kein

... , k

- 71 -

Unterschied in der Bit-Umkehrfunktion und den Potenzen der Einheitswurzel fur die zeilenweise und spaltenweise Transformation. Da die Bilddaten zudem reell sind, ist eine weitere Verbesserung moglich, denn die Bestimmung diskreter Fourierkoeffizienten von reel len Datenfeldern lKBt sich auch noch schneller durchfuhren, wenn man zwei eindimensionale Transformationen simultan durchfuhrt; die Rechenzeit wird hierbei etwa hal­biert. Sind fj und fj fur j = O,l, ... ,M-l vorgegebene reelle Werte, so sind die komplexen Koeffizienten (1.38) der entsprechenden Interpolations­polynome gegeben durch

und

k = 0,1, ... ,M-1 . Das trigonometrische Polynom

M-1 2rri k ~ X ~(x) = L yM(k) e

k=O das in den Punkten

(1. 53)

. X Xj = J M j = 0,1, ... ,M-1 , die komplexen Werte

annimmt, hat dann die komplexen Koeffizienten

t 1 M-1 f ~} -2rri k M

Y M ( k) = M l. ) f l + i f l e = 13M ( k) + i ~M ( k) , i=0 l

(1.54)

k = 0,1, ... ,M-1 . Da die I3M(k) und ~M(k) komplex sind, kann man sie nicht direkt den Koeffizienten yM(k) als Real- bzw. ImaginKrteil entneh­men. Das Polynom

A M-1 2rri k X -2rri M ~ M-1 2rri k ~ ~(x) = YM(O) + L yM(M-k) e = YM(O)+e X L yM(k) e X

k=l k=l

nimmt in den Punkten x. = j -MX gerade die Werte ~ = f. - i r. an, da J J J J

der Faktor vor der Summe wegen (1.3) in diesen FKllen den Wert 1 hat.

Ersetzt man die Koeffizienten YM(k) aus (1.54) des Polynoms 'I' durch BM(k) - i ~M(k), so nimmt dieses Polynom in den Punkten Xj auch die Wer­te gj an und ist daher wegen der Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms identisch mit ~, so daB durch Koeffizientenvergleich

(1. 55)

(k = 1, ••• ,M-l )

- 72 -

folgt. Aus (1.54) und (1.55) gewinnt man dann aber die gesuchten Koeffizien­ten i3~l(k) und BM(k) Uber

(1. 56)

k = 1, •.. ,M-1

Dies kann man auf zweierlei Weise ausnutzen: Liegen reelle Daten vor, so fUhrt man zwei Transformationen gleichzeitig durch, indem man den komplexen Vektor (1.53) bildet und die Koeffizienten der einzelnen Transforma-tionen nach (1.56) erhalt. Sind die transformierten Koeffizienten von zwei reellen Datenfeldern gegeben, so kann man sie gemaB (1.54) kombinieren, und nach der Umkehrtransformation enthalten der Real- und der Imaginar­teil die beiden reellen Datenfelder (vgl. (1.53)).

ZWEI PROGRAMME

Fo 1 gendes Standard-FORTRAN 77 -Unterprogramm berechnet die "verschobenen II diskreten Fourierkoeffizienten eines reel len quadratischen Datenfeldes mit hochstens 512 x 512 Elementen (bei groBeren Datenfeldern muB nur im Vereinbarungsteil die Dimensionierung entsprechend geandert werden):

SUBROUTINE RFFT2(TAU,F)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC~CCCCCCCCCCC

C C C DIESES PROGRAMM TRANSFORMIERT EIN 2-DIMENSIONALES REELLES C C QUADRATISCHES FELD REALTEIL( F(J,K) ) , J,K=O, •• ,2"TAU - 1, C C MIT DER SCHNELLEN FOURIER-TRANSFORMATION (FFT) IN DAS KOMPLEXE C C FELD F(J,K) C C C C PARAMETER C C ========= C C C C TAU - DAS FELD FIST FUER ELEMENTE F(J,It) , J,K=O, •• ,M-1, C C M = 2**TAU , VEREINBART. C C (FUER TAU > 9 MUSS DIE DIMENSIONIERUNG DER FELDER C C SIGMA UND W ENTSPRECHEND GEAENDERT WERDEN. ) C C C C F - DAS KOMPLEXE FELD F ENTHAELT BEIM AUFRUF DIESES UNTER- C C PROGRAMMS 1M REALTEIL DIE REELLEN FUNItTIOKSWERTE UND 1ST C C HACH ABLAUF DES PROGRAMMS HIT DEN DISItRETEN FOURIERKOEF- C C FIZIENTEH FA(J,K) IN FOLGENDER WEISE UEBERSPEICHERT: C C FA(J,It)=F(J,It)· J=O, •• ,H/2-1 It=O, •• ,H/2-1 C C FA(J,~)=F(M+J,It), J=-H/2, •• ,-1 ; It=O, •• ,M/2-1 C C FA(J,It)=F(J,M+K), J=O, •• ,H/2-1 ; 1t=-H/2, •• ,-1 C C FA(J,K)=F(M+J,H+K) ,J=-M/2, •• ,-1 ; K=-H/2, •• ,-1 C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

- 73 -

INTEGER 51GMA(0:511),TAU COMP~EX F(0:2"TAU-l,0:2"TAU-l),W(O:511),EW,U M=2"TAU X=1.0/REAL(M)

c·····································,················ C BERECHNUNG DER B1T-UMKEHRFUNKT10N

C······················································ c···· MN = 2"(TAU-N)

MM=M MN= 1 51GMA(0)=0 DO 20 M=TAU, 1, -1 MM=MM/2

MM = 2"(N-1)

DO 10 J=O, MN-l S1GMA(J+MN)=SIGMA(J)+MH

10 CONTINUE MN=HN+HN

20 CONTINUE

••• 1

c····················································· I C BERECHNUNG ALLER POTENZEN DER C 2"TAU - TEN EINHEITSWURZEL

C······················································ PI=3.1ij15926535898 EW=EXP(CMP~X(0.0,-2.0·PI·X» W(0)=CHPLX(1.0,0.0) DO 50 I=1,M/2 W(I)=W(I-l)'EW W(M-I)=CONJG(W(I»

50 CONTINUE

c····················································-, C ZEILENWEISE ~FT DES FELDES

C······················································ DO 150 K=0,M-2,2

C •••• UMSPEICHERUNG MIT DER BIT-UHKEHRFUNKTION •••• C •• •• OLEICHZEITIGE NORHIERUNG UND ZUSAHMEN- •••• C.··· FASSUNG DER REELLEN DATEN ) ••••

DO 100 J=O,H-l 1F(SIGMA(J).LT.J) GOTO 100 U=CHPLX(REAL(F(K,J»,REAL(F(K+l,J») F(K,J)=CHPLX(REAL(F(Y.,SIGHA(J»),REAL(F(K+l,SIGHA(J»))·X F(K,SIGHA(J»=U·X

100 CONTINUE

c •••• UHSPEICHERUNG BEEN DE! •••••••••••• , ••••••••••

c···· HN=H HH=l

HN = 2··(TAU-N) HH = 2"(N-1)

DO 130 N=l,TAU HN =HN 12

DO 120 L=O,HH-l DO 110 J=O,H-HH-HH,HH+HH U=F(K,J+L+HH)'W(L'HN) F(K,J+L+HH)=F(K,J+L)-U F(K,J+L)=F(K,J+L)+U

110 CONTINUE 120 CONTINUE

HH=HH+HH 130 CONTINUE

••••

c •••• TRENNUNG DER ZUSAHHENQEFASST •••••••••••••••• C •••• TRANSFORMIERTEN DATEN ••••••••••••••••

U=F(K,O) F(K,O)=CHPLX(REAL(U),O.O) F(K+1,O)=CMPLX(AIHAG(U),O.0) DO 140 J=I,H/2 U=F(K,J) EW=~(K,M-J) F(K,J)=(U+CONJG(EW»/2.0 F(K+l,J)=CMPLX(AIHAG(O+EW),REA~(EW-U»/2.0 F(K,H-J)=CONJG(F(K,J» F(K+1,H-J)=CONJG(F(K+l,J»

140 CONTINUE

150 CONTINUE

- 74 -

c·········· ••...•...•....•.•.•••...•..•.•.......••..... C SPALTENWEISE FFT DES FELDES C············· •••...•.•..•..••••..•..•••••..•••••••..••

DO 250 K=O,H-l

c···· UHSPEICHERUNG HIT DER BIT-UHKEHRFUNKTION •••• C···· ( GLEICHZEITIGE NORH:ERUNG ••••

DO 200 J=O,H-l IF(SIGHA(J).LT.J) GOTO 200 U=F(J,K) F(J,K)=F(SIGHA(J),K)'X F(SIGHA(J),K)=U'X

200 CONTINUE

C···· UHSPEICHERUNG BEENDET •••••••••••••••••••••••

c···· HN=H HH=1

HN = 2"(TAU-N) , HH = 2"(N-l)

DO 230 N=1,TAU HN=HN/2

DO 220 L=O,HH-l DO 210 J=O,H-HH-HH,HH+HH U=F(J+L+HH,K)'W(L'HN) F(J+L+HH,K)=F(J+L,K)_U F(J+L,K)=F(J+L,K)+U

210 CONTINUE 220 CONTINUE

HH=HH+HM 230 CONTINUE

250 CONTINUE

RETURN END

••••

~1an ubergibt dem Unterprogramm das 2T X 2T -dimensionierte Datenfeld F mit Re(F(j,k)) = f(Xj'Yk)' j,k = 0,1, .•. ,2'-1. *) Bei der zeilenweisen Trans­formation des Feldes wird ausgenutzt, daB das Feld reell ist und es werden jeweils zwei Zeilen zu einer komplexen Zeile gemaB (1.53) zusammengefaBt. Vor der spaltenweisen Transformation muB man dann nach der Vorschrift (1.56) die GraBen wieder trennen. Da nun die GraBen schon komplex sind, kann man bei der folgenden spaltenweisen Transformation keine weitere Ver­einfachung mehr machen. Nach Ablauf des Programms ist das Feld mit den Koeffizienten F(k,l) J3 (k,.e.), k,l = 0,1, ... ,2'-1 , uberspeichert.

2" 2' Nach (1.52) sind dies die diskreten Fourierkoeffizienten in "verschobener" Form.

Fur moderne Rechenanlagen laBt sich eine wesentliche Verkurzung der Rechen­zeit fur eine Transformation mit der FFT erzielen, wenn man die Program­mierung parallelisiert bzw. fur Pipeline-Rechner vektorisiert. Dies ge­schieht durch eine Vertauschung der Summationsreihenfolge.

*) Das Feld F darf in der rufenden Programmeinheit nicht groBer als 2' x 2'-elementig dimensioniert sein!

- 75 -

Der Programmteil des zeilenweisen FFT des Datenfeldes hat dann folgendes Aussehen

c······················································ C ZEILENWEISE FFT DES FELDES

c····················································· . c •• •• UHSPEICHERUHG HIT DER BIT-OHKEHRFUNKTION c.··. ( GLEICHZEITIGE HORHIERUHG UNO ZUSAHHEN­c •• •• FASSUNG DER REELLEH DATEN )

DO 100 J=O,H-l IF(SIGHA(J).LT.J) GOTO 100

DO 95 1t=0,H-2,2

•••• •••• ••••

U=CHPLX(REAL(F(K,J»,REAL(F(K+l,J») F(K,J)=CHPLX(REAL(F(K,SIGHA(J»),REAL(F(K+l,SIGHA(J»))'X F(K,SIGHA(J»=U'X

95 CONTINUE 100 COHTINUE

C···· UHSPEICHERUHG BEEHDET •••••••••••••••••••••••

c···· HH=H

HH=1

HN = 2"(TAU-N)

DO 130 N=I,TAU HN=HN/2

DO 120 L=O,HH-l

HH = 2"(N-l)

DO 110 J=O,H-HH-HH,HH+HH DO 105 K=0,H-2,2 U=F(K,J+L+HH)'W(L'HN) F(K,J+L+HH)=F(K,J+L)-U F(K,J+L)=F(K,J+L)+U

105 CONTINUE 110 CONTINUE 120 CONTINUE

HH=HH+HH 130 CONTINUE

••••

C··.· TRENNUNG DER ZUSAHHENGEFASST •••••••••••••••• c •••• TRANSFORHIERTEN DATEN ••••••••••••••••

DO 145 It=O,H-2,2 U=F(K,O) . F(K,O).CHPLX(REAL(U),O.O) F(K+l,O)=CHPLX(AIHAG(O),O.O)

DO 140 J=I,H/2 U=F(It,J) EW=F(K,H-J) F(K,J)=(U+COHJG(EW»/2.0 F(K+l,J)=CHPLX(AIHAG(U+EW),REAL(EW-U»/2.0 F(K,H-J)=CONJG(F(K,J» F(K+l,H-J)=CONJG(F(K+l,J»

140 COHTIH UE 145 CONTINOE

Die Summation Uber jede zweite Zeile des Feldes wird in der innersten Schleife der FFT durchgefUhrt; dies muB man zusatzlich bei der Umspeiche­rung mit der Bit-Umkehrfunktion und der Trennung der zusammengefaBt trans­formierten Daten berUcksichtigen. Die entsprechende ~nderung bei der spaltenweisen FFT ist die DurchfUhrung der Summation Uber jede Spalte des Feldes statt als einmalige auBere Summation dann bei der Umspeicherung mit der Bit-Umkehrfunktion und innerhalb der innersten Schleife der FFT.

- 76 -

Auf der CDC Cyber 175 (Pipeliner) des Rechenzentrums der RWTH Aachen zum Beispiel reduziert sich dadurch bei optimierender Compilierung die Rechen­zeit auf annahernd die Halfte, wobei die GroBe des Datenfeldes natUrlich auch noch eine Rolle spielt.

Folgendes Unterprogramm berechnet die Fourier-Umkehrtransformation eines hochstens 512 x 512-elementigen quadratischen Feldes. Es setzt voraus, daB das zu erhaltende Datenfeld reell sein wird und nutzt die oben herge­leiteten Vereinfachungen dafUr aus.

SUBROUTINE RRFFTZ(TAU,F)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC C C C DIESES PROGRAHH RUECKTRANSFORHIERT EIN Z-DIHENSIONALES KOHPLEXES C C QUADRATISCHES FELl) F(J,K) , J,K=O, •• ,zooTAU - I , MIT DER C C SCHNELLEN FOURIER-TRANSFORHATION (FFT) IN DAS REELLE FELD C C REALTEIL( F(J,K) ) • C C C C PARAHETER C C ========= C C C C TAU DAS FELD FIST FUER ELEHENTE F(J,K) , J,K=O, •• ,14-1, C C 14 = ZO'TAU , VEREINBART. C C (FUER TAU > 9 MUSS DIE DIMENSIONIERUNG DER FELDER C C SIGMA UND W ENTSPRECHEND GEAENDERT WERDEN. ) C C C C F DAS KOMPLEXE FELD F WIRD HIT DEN DISKR!TEN FOURIERKOEF- C C FIZIENTEN Fh(J,K) IN FOLGENDER WEISE BELEGT C C F(J,K)=Fh(J,K), J=O, •• ,M/Z-1 ; K=O, •• ,M/Z-1 C C F(J,K)=Fh(J-H,K), J=H/Z, •• ,14-1 ; K=O, •• ,14/2-1 C C F(J,K)~FA(J,K-H). J;O, _. ,H/2-1 i K=H/2, •• JH-1 C C F(J,K)=Fh(J-M,K-H) , J=M/2, •• ,14-1 ; K=H/2, •• ,14-1 C C UEBERGEBEN, UND SEIN REALTEIL 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAHHS C C HIT DEN REELLEH FUHKTIONSWERTEN UEBERSPEICHERT. C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

INTEGER SIGHA(0:511),TAU COHPLEX F(0,Z"TAU-1,O:Z""TAU-1),W(0:511),EW,U H=2""TAU

c······················································ C BERECHNURG DER BIT-UHKEHRFUHKTION

c······················································ C I'.' HN = 2"( TAU-N)

1414=14 HH=1 SIGHA(O)=O DO ZO N=TAU, 1, -1 1414=1414/2

1414 = 2"(9-1)

DO 10 J=o, HH-1 SIGHA(J+HH)=SIGHA(J)+HH

10 CONTINUE HN=MN+HN

20 CONTINUE

••••

c······················································ C BERECHNUHG ALLER POTEHZEH DER C 2""TAU - TEN EIHHEITSWURZEL

c······················································ PI·3.1415926535898 EW=EXP(CHPLX(0.O,2.0"PI/REAL(H») W(0)=CHPLX(1.0,O.0) DO 50 1:1,14/2 W(I)=W(I-1)"EW W(H-I)=CONJG(W(I»

50 CONTINUE

- 77 -

c······················································ C ZEILEIIWEISE FFT DES FELDES

C······················································ DO 150 100,H-l

C •••• UHSPEICHERUNG HIT DER BIT-UHKEHRFUNKTION ••••

DO 100 JoO,M-l IF(SIGHA(J).LE.J) GOTO 100 UoF(K,J) F(K,J)oF(K,SIGMA(J» F(K,SIGHA(J»oU

100 CONTIIIUE

c.··· UHSPEICHERUIIG BEENDET •••••••••••••••••••••••

c···· HN.H HHol

HII • Z"(TiU-II)

DO 130 II=I,TAU HNoHNIZ

DO lZ0 L.O,HH-l

HH 0 Z •• (II-l)

DO 110 JoO,H-HH-HH,HH+HH UoF(K,J+L+HH)·W(L·HN) F(K,J+~+HH).F(K,J+L)-U F(K,J+L)oF(K,J+L)+U

110 CONTINUE lZ0 CONTIKUE

HH=HH+HH 130 CONTINUE

150 CONTINUE

••••

c······················································ C SPALTENWEISE FF~ DES FELDES

C······················································ DO 250 K=O,H-2,2

C ••• • UHSPFICHERUNG HIT DEft BIT-OHKEHRFUNKTION •••• C· •• • ( GLEICHZEITIGE ZUSAHHENFASSUNG VOll •••• C···· ZWEI TRAIISFORHIERTEII SFALTEN ) ••••

DO 200 J=O,H-l IF(SIGHA(J).LT.J) GOTO 200 U=F(J,K)+CMPLX(-AIHAG(F(J,K+l»,REAL(F(J,K+l») F(J,K).F(SIGMA(J),K)+CHPLX(-AIHAG(F(SIGMA(J),K+l»,

lREAL(F(SIGHA(J),K+l») F(SIGHA(J),K)=U

200 CONTIIIUE

c···. UHSPEICHERUNG BEENDET •••••••••••••••••••••••

c···· H!hM MH=1

MN • 2"(TAU-II) HH 0 2"(N-l)

DO 230 Nol,TAU HN=HN/2

DO 220 LoO,MM-l DO 210 JoO,H-MH-HH,HH+MH UoF(J+L+HH,K)·W(L·HN) F(J+L+HH,K)oF(J+L,K)-U F(J+L,K)oF(J+L,K)+U

210 CONT~NUE 220 CONTINUE

HHoHH+HH 230 CONTINUE

••••

C.··· TRENNUNG DER ZUSAHHENGEFASST •••••••••••••••• C···· TRANSFORHIERTEN DATEN ••••••••••••••••

DO 2_0 JoO,H-l F(J,K+l)=CMPLX(AIMAG(F(J,K»,O.O)

240 CONTINUE

250 CONTINUE

RETURN END

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1m Realteil des diesem Unterprogramm Ubergebenen komplexen 2' x 2'-dimen­sionierten Feldes F, das die "verschobenen" diskreten Fourierkoeffizien-ten F(k,l) = B (k,l), k.l = 0,1, ... ,2'-1 , enthalt. stehen nach Ab-

2' ,2' lauf des Programms die reellen Daten F(j.k) = f(Xj'Yk) , j,k = 0,1, •.. ,2'-1. Da man weiB, daB nach der spaltenweisen Transformation die Daten reell sind, kann man je 2 Spalten, die gemaB (1.54) kombiniert werden, simultan transformieren, wobei man dann nach (1.53) die zwei reellen Datenfolgen er­halt.

Auch dieses Programm lohnt sich fUr moderne Rechenanlagen zu vektorisieren. Dabei wird die Summation Uber die einzelnen Zeilen des Feldes dann in der innersten Schleife der FFT und bei der Umspeicherung mit der Bit-Umkehr­funktion durchgefUhrt. Die Summation Uber jede zweite Spalte des Feldes erfolgt dann jeweils bei der Umspeicherung mit der Bit-Umkehrfunktion, innerhalb der innersten Schleife der FFT und bei der Trennun9 der zusammen­gefaBt transformierten Daten. Die CDC Cyber 175 des Rechenzentrums der RWTH Aachen erzielt dadurch bei optimierender Compilierung wiederum eine RechenzeitverkUrzung auf annahernd die Halfte.

1.5 LITERATUR

Tiefgpeifende theopetische Betpachtungen enthalten

BUTZER, P.L.; NESSEL, R.J.: Fourier Analysis and Approximation I: One-dimensional Theory, Birkhauser Verlag, Basel (1971) II: Multi-dimensional Theory (erscheint demnachst(?))

STEIN, E.M; WEISS, G.: Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces Princeton University Press, Princeton, New Yersey (1971)

- 79 -

Die theoretischen Grundlagen des kontinuierlichen Teils dieses Kapitels

sind darin enthalten. Ein Klassiker unter den Lehrbuchern ube.r diesen

Stoff ist

ZYGMUND, A.: Trigonometric Series, Volume I, II, 2. Auflage Cambridge University Press, Cambridge (Reprint 1977)

Aufgrund der Betonung qualitativer mathematischer Aspekte sprechen diese

Bucher keine Ingenieure an.

Leichter versUindlich, nicht so umfassend und nur eindimens1:onal behandelt

folgendes Buch die mathematischen Grundlagen dieses Kapitels

YUEN, C.K.; FRASER, D.: Digital Spectral Analysis Pitman, San Francisco, London (1979)

Tabellen von Fourierkoeffizienten vieler Funktionen enthalt

OBERHETTINGER, F.: Fourier Expansion, a Collection of Formulas Academic Press, New York-London (1973)

Zwei gut.e ingenieurorientierte und leich t, verstandliche Bucher, die sich

teilweiDe mit dem hier behandelten Stoff auceinandersetzen, sind:

AHMED, N.; RAO, K.R.: Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1975)

BRIGHAM, E.O.: The Fast Fourier Transform Prentice Hall, Englewood Cliffs (1974)

Die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) wurde mit dem Artikel

COOLEY, J.W.; TUKEY, J.W.: An Algorithm for Machine Calculation of Complex Fourier Series Mathematics of Computations, Vol.~ (1965), 297-301

geboren und ist gut beschrieben in

STOER, J.:

Einfuhrung in die Numerische Mathematik I, 3. Auflage Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1979)

- 80 -

2. DIE ENDLICHE WALSH-TRANSFORMATION

Insbesondere die fUr die Anwendung wichtige diskrete Fourier-Transformation ist im Prinzip problemlos einzusetzen. Allerdings ist der Aufwand noch re­lativ groB und wachst enorm, wenn man diese Transformation im mehrdimensio­nalen Fall durchfUhren will.

So ist zum Beispiel die Untersuchung digitaler Bilder mittels der diskreten Fourier-Analyse durch die Schnelle Fourier-Transformation '(FFT) moglich ge­worden, wohl aber mit einigem Aufwand. Bei einem zugrundeliegenden reel len quadratischen Datenfeld (M = N = 2T), das zur Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten separabel erst zeilenweise und dann spaltenweise

1 2T transformiert wird, sind pro eindimensionaler Transformation '2'T· komplexe Multiplikationen und doppelt so viele komplexe Additionen erfor­derlich (s. Kapitel 1.4).

Nutzt man aus, daB die Daten reell sind, so sind ~ = 2T- 1 zeilenweise und N = 2T spaltenweise eindimensionale Transformationen notig; fUr die Umkehrtransformation ist die Summe der eindimensionalen Transformationen gleich (vgl. Kapitel 1.4). AuBerdem werden bei der Berechnung der 2T -ten Ein­heitswurzel noch 2T- 1 Multiplikationen benotigt.

FUr die Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten eines 2T x 2T -groBen reel len Datenfeldes werden also insgesamt

und komplexe Additionen

durchgefUhrt. Bei einem 512 x 512-elementigen Datenfeld (d.h. T = 9) sind dies 1 769 728 komplexe Multiplikationen und 3 538 944 komplexe Addi­

tionen. Ein Produkt von zwei komplexen Zahlen xl + iY1 und x2 + iY2 (i = ~) benotigt i. a. 4 reelle Multiplikationen und 2 reelle Addi­tionen

Selbst wenn man im Hinblick auf die Anzahl reeller Multiplikationen das komplexe Produkt optimiert, sind noch 3 reelle Multiplikationen erforder­lich. Denn bildet man die reel len Produkte

- 81 -

PI , P3

so ist

dabei braucht man allerdings statt 2 dann insgesamt 5 Additionen.

Bei einem reel len Datenfeld der GroBe 2T x 2T kommt man so zur Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten auf

reelle Multiplikationen und

reelle Additionen

beziehungsweise auf

reelle Multiplikationen und

2T- 1(27T 2T- 1 + 5) reelle Additionen

FUr ein reelles 512 x 512-elementiges Datenfeld sind dies 7 078 912 Multi­plikationen und 10 617 344 Additionen bzw. 5 309 184 Multiplikationen und 15 926 528 Additionen. FUr die Umkehrtransformation gilt das gleiche. (UnberUcksichtigt sind noch die Berechnung der Bit-Umkehrfunktion und bei der Transformation die Normierung der Daten durch die Multiplikation mit 2-T geblieben.)

Die Hoffnung, daB sich die diskreten Fourierkoeffizienten durch einen noch effektiveren Algorithmus als den der FFT (Fast Fourier Transform) unter wei taus weniger Aufwand berechnen lassen, wird durch Komplexitatsunter­suchungen zunichte gemacht. Zudem laBt sich bei diesem Algorithmus die kom­plexe Rechnung nicht vermeiden.

1st man aber daran interessiert, unter moglichst geringen qualitativen Ver­lusten und gleichzeitig mit moglichst wenig Aufwand Funktionen oder Daten Informationen Uber gewisse periodische Eigenschaften zu entnehmen, die denen der (diskreten) Fourier-Analyse entsprechen, oder will man zur Wei­terverarbeitung eine entsprechende periodische Approximation aufstellen, so gelingt dies Uberraschend gut, wenn man statt der Sinus- und Kosinus­Funktionen die sehr einfachen Walsh-Funktionen zugrundelegt.

1st [0, X) das fundamentale Intervall, dann sind die mit der Periode X

periodischen j = 0,1,2, ... , im fundamental en

- 82 -

Intervall rekursiv definiert durch

(2.1) walX(O,x) 1 x E [O,X)

( wa 1 X(j -1 ,2x) , x E [0,X/2)

(2.2) wal X(2j - l,x) = ~ l (-I)j wal X(j-l,2x-X) , x E [X/2,X)

{ ··'x(j,2'1 , x E [0,X/2)

(2.3) wal X(2j,x)

(-I)j wal X(j,2x-X) , x E [X/2,X)

j = 1,2,3 .... Eine Walsh-Funktion mit hoherem Index j setzt sich also aus einer Walsh-Funktion mit bestimmtem niearigeren Index zusammen, indem man diese auf die Halfte staucht und dann eventuell mit umgekehrtem Vor­zeichen aneinandersetzt. Wegen der Anfangsbedingung (2.1) konnen daher die WalsQ-Funktionen nur die Werte +1 und -1 annehmen. Sie sind somit stUckweise konstant und weisen endlich viele SprUnge auf, sind also un­stetig.

1+------- 1 1 r-

~------------~·-+x ~--__+_--_+_-i_____+__t X

X

-1 -1

1 +----, 1

,r--~-----~x ~-+--+---+-~--+--> x X X

-1 -1

1 I 1

-;--+-----1----+-> x -j-+---+-~-+--l-+ ....... x X

-1 -1

-1

1

-1

! I

! ! X • X

I l....o

, ....., I I

:: I·-ox JJ~~

Bild 2.1: Walsh­Funktionen walx(k,x) im fundamental~n Intervall fUr k = 0,1, ... ,7

- 83 -

Die Verbindung mit dem trigonometrischen X-periodischen System laBt sich am besten graphisch veranschaulichen. Die Walsh-Funktionen mit ungeradem Index wal x(2j-l,x) sind bis auf die Unstetigkeitsstellen ungerade Funk­tionen und haben eine gewisse Ahnlichkeit mit den Funktionen sin (j ~TI x) , wie Bild 2.2 zeigt; sie werden daher haufig, urn diesen Zusammenhang zu ver­deutlichen, mit salX(j,x) bezeichnet (~in, w~).

~11Z_S+-i ---:;;>I-X------" x ~Z

-1 ~~~~-=---~-(2n \

sin \.X x) und sal X(l,x)

JtMMWMlhMffiJ >,

Bild 2.2:

sin (13 2; x) und sal X(13,x)

Vergleich einiger Walsh-Funktionen mit trigonometrischen

Funktionen

Genauso besteht eine gewisse Ahnlichkeit zwischen den Walsh-Funktionen mit geradem Index wal X(2j,x) , die bis auf die Unstetigkeitsstellen g~rade Funktionen sind, und den Funktionen cos (j ~TI x) (vgl. Bild 2.3); diese Walsh-Funktionen bezeichnet man daher oft auch mit calX(j,x) (~os, w~).

Mit groBer werdendem Index wachst auch die Anzahl der Unstetigkeitspunkte der Walsh-Funktionen; die Funktion walX(j,x) hat im fundamentalen Inter­vall [O,X) genau j Sprungstellen bzw. Vorzeichenwechsel. 1m Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind die Stellen der Vorzeichenwechsel aber nicht aquidistant verteilt. Bezeichnet man in Ver­allgemeinerung des Begriffs der (normalisierten) Frequenz, die die Anzahl der gleichformigen Schwingungen im fundamentalen Intervall angibt, als

- 84 -

'Sequen~ einer periodischen Funktion die Halfte der Anzahl der Vorzeichen­we ~hsel pro Periode (evtl. + i ' falls die Anzahl der Vorzeichenwechsel ungerade ist), so kann man auch bzgl. dieser Eigenschaft die Walsh-Funktio­nen wal X(2j-l,x) = salX(j,x) und wal X(2j,x) = calX(j,x) (Sequenz j

mit den trigonometrischen Funktionen sin (j ~TI x) und cos (j 2xTI x) (normalisierte Frequenz j ,Sequenz j ) vergleichen.

JSb;: zF: " cos (2; x) und cal X(l,x)

Jtrl\J\Jlx " ( 2rr \ (3 ) cos ,3 l( x) und calX ,x

~/~LrnnM~~~ " -1 W~ ij M' 'I W ~V X

cos (11 2; x) und cal X(II,x)

Bild 2.3: Vergleich einiger Walsh-Funktionen mit trigonometrischen

Funktionen

Trotz dieser Zusammenhange gibt es auch gravierende Unterschiede zwischen den trigonometrischen Funktionen und den Walsh-Funktionen. Viele irgend­welche natUrlichen Ereignisse beschreibende Funktionen sind eine Superposi­tion von den beliebig oft differenzierbaren verschiedenfrequenten Sinus­und Kosinus-Funktionen ("Fourier-Analyse"), nicht aber als eine Superposi­tion der unstetigen Walsh-Funktionen darstellbar. Mit den drei Operationen Schiften, Strecken und Stauchen kann man trigonometrische Funktionen mit verschiedenen Frequenzen immer ineinander UberfUhren; dies gelingt i. a.

nicht bei den Walsh-Funktionen. Durch Integration und Differentiation gehen die trigonometrischen Funktionen in sich Uber, nicht aber die stUck­weise konstanten Walsh-Funktionen .

- 85 -

Die Gute der Approximation durch Walsh-Funktionen reicht fur bestimmte Zwecke z. B. in der Bildverarbeitung oft aus, so daB wegen der leichten Handhabung und der gegenuber der Fourier-Transformation viel schnelleren und wei taus weniger aufwendigen Berechnung diese Approximationsart haufig angewandt wird.

Eine wichtige Eigenschaft der Walsh-Funktionen ist die Gultigkeit der fol­genden Orthonormalitatsrelation

(2.4)

11, k = l mit dem Kronecker-Symbol 0kl = , k,l = 0,1,2, ...

0, k '*' l

Diese Relation laBt sich mit Hilfe der Rekursionsgleichungen (2.1) - (2.3) durch Induktion uber k und l beweisen: Da die Walsh-Funktionen nur die Werte +1 und -1 annehmen, ist walX(k,x) walX(k,x) = 1 fur alle x E [O,X) und fur alle k = 0,1,2, ... , so daB (2.4) fur k = l gilt.

Urn zu zeigen, daB (2.4) auch fur k '*' l gilt, seien zunachst die Rekur­sionsgleichungen (2.2) und (2.3) zusammengefaBt zu

(2.5) J wal X(j-p,2x)

l (-I)j wal x(j-p,2x-X)

x E [0,X/2)

x E [X/2,X)

p = 1 oder ° und j 1,2,... Ohne Einschrankung der Allgemeinheit s~i k > l . Speziell fur k = 1 und l = ° ist mit (2.1)

X X/2 X X X J wal X(I,x) walX(O,x)dx = J wal X(0,2x)dx - J wal X(0,2x-X)dx = "2"-2"=0 ° ° X/2

Gilt nun (2.4) fur alle k ~ ko (ko ~ 1) und alle l < k, so ist (2.4) auch fur k = ko + 1 und l < ko + 1 gultig. Denn schreibt man

ko + I = 2jl - PI ' l = 2j2 - P2 mit Pl,P2 E {O,l} , so folgt mit (2.5)

X X/2 6 walx(ko + l,x) walx(l,x)dx = 6 walx(ko + l,x) wal x(j2 - P2,2x)dx +

j2 X + (-1) J walX(ko + l,x) wal X(j2 - P2,2x-X)dx

X/2

- 86 -

{ j1 j2} 1 X = 1 + (-1) (-1) l I walx(ji - PI'x) wal x(j2 - P2. x)dx

o Es ist j1 - P1 ~ ko • und weiter ist j2 - P2 < j1 - P1 bis auf den Fall. daB ko + 1 ungerade (d. h. ko + 1 = 2j1 - 1 und l = ko (d. h. l = 2(j1 - 1» ist. Bis auf diesen Spezialfall verschwindet nach obiger An­nahme das Integral auf der rechten Seite. FUr ungerades k + 1 und l = k

o 0

j 1 j2 2j 1-1 ist aber (-0 . (-0 = (-0 = -1 • so daB der Faktor vor dem In-tegral und damit auch die rechte Seite = 0 wird.

2.1 DIE EINDIMENSIONALE ENDLICHE WALSH-TRANSFORMATION

Sei f eine auf ~ definierte reellwertige periodische Funktion mit der Peri ode X (X > 0) . Durch ihre Restriktion auf das fundamentale In­tervall [O,X) ist diese Funktion dann eindeutig festgelegt. Wahlt man statt des Systems der mit der Peri ode X periodischen trigonometrischen Polynome

das sehr gute approximative Eigenschaften fUr periodische Funktionen mit der gleichen Periode hat (vgl. Kapitel 1.1). das System der mit der Periode X periodischen Walsh-Funktionen

Q = { wa 1 X ( k, x) I k = 0, I ,2 ••.. }

so lassen sich auch unter dieser groben Vereinfachung noch einige wichtige Ergebnisse fUr trigonometrische Polynome auf diesen Fall Ubertragen.

Funktionen aus Q genUgen der Orthonormal itatsrel ation (2.4), die der Orthonormalitatsrelation (1.4) fUr die trigonometrischen Polynome ent­spricht. Ein endliches Teilsystem des unendlichen Funktionensystems Q sei mit

(2.6) QK ={ walX(k.x) I k = 0.1 •.••• K }

(K E }l) bezeichnet. Eine den mittleren quadratischen Fehler minimierende

- 87 -

Approximation einer periodischen Funktion f durch eine Linearkombination ~ von Funktionen aus dem System QK

K o/(x) = l. ck walx(k,x)

k=a

erhalt man, wenn man als Koeffizienten ck die

1 X ck ~ fV(k) = X f f(x) walX(k,x)dx

a (2.7)

wahlt; die Zuordnung dieser Koeffizienten zur Funktion f nennt man auch wobei sich das Wort "endlich" wieder auf

den im periodischen Fall ausreichenden endlichen Integrationsbereich [a.X) bez i eht.

SATZ 2.1: Die Funktion f sei periodisch mit der Peri ode X und sei quadratisch integrierbar. d. h. es existiere das Integral X f (f(x))2 dx a

(zumindest im uneigentlichen Sinne).

Dann wird fur beliebige Funktionen K

~(x) = l. ck walX(k.x) k=a

(ck E lR) aus QK das Fehl ennaB

(l (f(x) - '¥(x))2 dx )1/2

genau dann minimal. wenn man als Koeffizienten ck von 'I' die ein­deutig bestimmten Walshkoeffizienten

v 1 X f (k) = X f f(x) walX(k.x) dx

a wahlt.

(k = O.1 ••••• K)

BEWEIS: Der Beweis verlauft so wie der fur die entsprechende Aussage bei trigonometrischen Polynomen (Satz 1.2). Da nur reelle Werte auftreten. erhalt man mit den Abkurzungen

1 X (IP.<P) = X f lP(x) <P(x) dx

a

- 88 -

fUr reellwertige Funktionen ~, ~ genauso

0.:: (f- ~I,f- ~, ) = (f,f) - 2(f,'l') + ('l','l')

KKK = (f,f) - 2 l. ck fV(k) + l. ck l. c.e('l'k,'I't)

k=O k=O t=O

Die Orthonormalitatsrelation (2.4) ergibt (\,'l'£) 0kt' so daB

1 X 2 0.:: (f-'l',f-'l');: X f (f(x) - 'l'(x)) dx

o K K 2

(f,f) - 2 l. ck fV(k) + I Ck k=O k=O

K v 2 K 2 (f,f) + I (ck - f (k)) - I (fv(k))

k=O k=O

ist. Die rechte Seite und damit der Fehler im quadratischen Mittel wird daher genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ck die Walshkoeffi­zienten fV(k) wahlt.

•

Als Walshreihe einer periodischen Funktion f bezeichnet man die unend­liche Reihe

co

(2.8) W(f)(x) I fV(k) walx(k,x) k=O

wobei die Koeffizienten nach (2.7) bestimmt sind, und als Walshteilsumme der Walshreihe von f die abgebrochene Walshreihe

K (2.9) WK(f)(x) = I fV(k) walx(k,x)

k=O

Mit der Substitution x/X = u folgt fUr die Walshkoeffizienten (2.7)

1 1 fV(k) = f f(Xu) walX(k,Xu)du = f f(Xu) wal 1(k,u)du ,

o 0

so daB diese Koeffizienten nicht von der Lange X des Periodenintervalls abhangen, wohl aber die Walshreihe und die Walshteilsumme.

Auch die Begriffe der Spektren lassen sich yom trigonometrischen Fall auf diese Approximationsart Ubertragen; so ist zllm Beispiel das Walsh-Sequenz­'Spektrum einer Funktion f die Menge {fv(k)} der Walshkoeffizienten

"'*" ',,' I' V und das Walsh-Amplituden-Spektrum die Menge {If (k)l} der Betrage

- 89 -

der Walshkoeffizienten.

Die Fourier- und Walsh-Spektren sind nicht direkt vergleichbar, denn fUr reellwertige Funktionen gehoren die reel len Koeffizienten 2a k = 2 Re(fA(k)) und 2b k = -2 Im(fA(k)) , die sich aus dem komplexen Fourierkoeffizienten fA(k) ergeben, zu den beiden harmonischen Kosinus- und Sinusschwingungen

mit der "Sequenz" k (vgl. (1.10) in Kapitel 1.1). Die reellen ~Jalshkoeffi­zienten zu den gleichsequenten Walshfunktionen sind fV(2k) und

f V(2k-1) ,so daB sich die Amplituden IfA(k)1 =j[Re(fA(k-))1~[I;(fA(k))]2'

und i j(fv(2k))2 + (fv(2k-1))2' en'.:sprechen.

Die wichtigsten Eigenschaften einer Approximation mit Walsh-Funktionen

sind:

SATZ 2.2: Die periodische Funktion f mit der Peri ode X sei quadra-

tisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die Walshteilsummen der Walshreihe von f konvergieren im Mittel

gegen die Funktion f, d. h. es gilt

1 X 2 lim xI (f(x) - WK(f)(x)) dx = 0 K->oo 0

(ii) Die Walshkoeffizienten der Walshreihe von f erfullen die Iden­titat

00 X I (fv(k))2 = ! I (f(x))2 dx < 00 •

k=O X 0

Damit gilt insbesondere

(iii) Die endliche Walsh-Transformation ist eindeutig, d. h. stimmen

samtliche sich entsprechenden Walshkoeffizienten insbesondere

von zwei stetigen periodischen Funktionen mit der gleichen

Peri ode X Uberein, so sind diese beiden Funktionen identisch.

BEWEIS: Zum Beweis von (i) folgt mit der Abschatzung aus dem Beweis des

letzten Satzes

- 90 -

IX 2 IX 2 K v 2 o < - J (f(x) - WK(f)(x)) dx ~ X J (f(x)) dx - L (f (k)) - X 0 0 k=O

und mit der GUltigkeit von (ii) fUr K ~ = dann die Behauptung. Der Beweis von (ii) weicht erheblich von dem analogen Beweis fUr Fourier­reihen ab und ist nur unter einigem r·lehraufwand durchzufUhren, so daB hier darauf verzichtet werden soll.

•

EIN BEISPIEL

Die Bestimmung der Walshkoeffizienten ist oft nur sehr schwierig oder wegen der Definition Uber die Integrale Uberhaupt nicht durchzufUhren. Dies merkt man schon, wenn man versucht, die Walshkoeffizienten der im letzten Kapitel betrachteten rr-periodischen Funktion f(x) = Isin xl zu bestimmen. Da f eine gerade Funktion ist und die Walshfunktionen mit ungeradem In­dex ungerade Funktionen sind, gilt

v f (2k-l) = 0 k = 1,2, ...

Die ersten Ubrigen Walshkoeffizienten sind gegeben durch

1 rr . 2 fV(O) = - J Sln x dx = -

rr 0 rr

~rr/4 3rr/4 fV(2) = J sin x dx - J sin x dx +

rr 0 rr/4 J sin x dX} = ~(1

3rr/4

fV(4) ~1t/8 3rr/8 5rr/8 7rr/8 = J sin x dx - J sin x dx + J sin x dx - J rr 0 rr/8 3rr/8 5rr/8

rr x dX}

, + J sin =~(1+/2 I'f - /2 + {2")

7rr /8 rr

fV(6) Mrr/ 8 rr/4 3rr/8 5rr/8 = J sin x dx - J sin x dx + J sin x dx J rr 0 rr/8 rr/4 3rr/8

3rr/4 7rr/a rr x dxL + J sin x dx - f s 1 n x dx + J sin

5rr/8 3rr/4 7rr/8 J

= ~. (1 + 12 -rr /2 -{2 -/2 + ..[2")

sin x dx +

sin x dx +

- 91 -

Daraus folgt fur die Walshteilsumme im fundamental en Intervall fur K = 7

W7(f)(x) = fV(O) + fV(2)wal (2,x) + fV(4)wal (4,x) + fV(6)wal (6,x) 11 11 11

fV(O) + fV(2) + fV(4) + fV(6) ,x E [0, 11/8)

fV(O) + fV(2) - fV(4) - fV(6) ,x E [11/8, 11/4)

fV(O) - fV(2) - fV(4) + fV(6) ,x E [11/4, 311/8)

fV(O) - fV(2) +fv(4) - fV(6) ,x E [311/8, 11/2]

W7(f)(11 - x) , x E (11/2, 11)

i(2-J2+fi') , x E [0, 11/8) 11 i (J 2 + fi I - 12 ) , x E [11/8, 11/4) 11 i (12 - J2-.rt) , x E [11/4, 311/8) 11 i J2 11 - ·,rt , x E [311/8, 11/2]

W7(f)(11 - x) , x E (11/2, 11)

Bild 2.4 zeigt die Funktion f sowie die unstetige Approximation durch ihre Walshteilsumme W7(f) .

------~------------~----~ x

Bild 2.4: Graph der 1I-periodischen Funktion fund der zugehorigen Walshteilsumme W7(f)

- 92 -

BEMERKUNGEN UBER WEITERE EIGENSCHAFTEN

Die EinfUhrung von Begriffen wie der Faltung und der Korrelation, die fUr die Walsh-Transformation der Fourier-Transformation analoge Ergebnisse (Satze 1.4 und 1.5) liefern, ist im kontinuierlichen Fall nur sehr kompli­ziert durchzufUhren. Da fUr die Anwendung nur die diskrete Theorie von In­teresse i st, so 11 en nur fur di esen Fall entsprechende Ergebni sse herge 1 ei­tet werden. Speziell fUr Operationen, die mit der Faltung und der Korrela­tion vergleichbar sind, reduziert sich namlich durch den Obergang von einem kontinuierlichen Intervall zu diskreten Punkten aus diesem Intervall der Aufwand auf ein Uberschaubares MaB.

FUr groBe Werte von k beschreiben die Walshkoeffizienten fV(k) den hoch­sequenten Anteil in der Funktion f; nach Satz 2.2 strebt dieser fUr k ~~ gegen Null. Obwohl es daher naheliegend ware, daB der Fehler der Walshteilsumme (2.9) als Approximation fUr eine Funktion fUr graBere Werte von K vernachlassigbar klein ist, braucht sie nicht einmal punktweise (fUr K ~~) gegen diese Funktion zu konvergieren. 1st die zu approximie­rende periodische Funktion f jedoch (mindestens einmal) differenzierbar, so konvergieren ihre Walshteilsummen W (f) fUr v ~ ~ gleichmaBig gegen diese Funktion. 2v

DaB diese Konvergenz i. a. nur in SprUngen von Zweierpotenzen maglich ist, liegt an der Anordnung des nach Sequenzen geordneten zugrundeliegenden Systems von Walsh-Funktionen; fUr nach der Paley-Ordnung numerierte Walsh­Funktionen, was einer Umordnung der Walsh-Funktionen nach dem "Gray-Code" innerhalb der "Packchen" 2q- 1, ... ,2q-l (q = 1,2, ... ) entspricht (siehe Abschnitt 2.4), gilt die Konvergenzaussage ohne diese Einschrankung.

Nicht nur in diesem Punkt gleicht das Konvergenzverhalten der Walshteil­summen in etwa dem der Fourierteilsummen, sondern es gilt ebenso ein soge­nanntes Lokalisationsprinzip, das aussagt. daB die GUte der Approximation einer Funktion durch ihre Walshteilsummen in einem Punkt nur von dem Ver­halten der Funktion in einer lokalen Umgebung urn diesen Punkt abhangt. Sie wird, falls man nur einen (noch so kleinen) Abstand von einer Sprungstelle der Funktion hat, fUr hinreichend groBes K beliebig genau.

Die Eigenschaft von Fourierkoeffizienten r(k) , daB sie fUr I kl ~ co umso schneller gegen Null streben, je glatter die Funktion fist, d. h. je after sie stetig differenzierbar ist, ist bei den Walshkoeffizienten nicht erfUllt; sie kannen sich in sol chen Fallen ganz anders verhalten!

- 93 -

ZUSAMMENFASSUNG

Die wichtigsten Eigenschaften der endlichen Walsh-Transformation sind:

reellwertige periodische Funktion mit der Peri ode X

f(x)

Linearitat: f(x) ± g(x)

ex.f(x), ex E R

f gerade, d.h. fe-x) = f(x)

f ungerade, d.h. fe-x) = -f(x)

zugehorige Walshkoeffizienten (k = 0,1,2, ... )

1 X fV(k) = X J f(x) walX(k,x)dx

o <X> X L (fv(k»2 = {J (f(x»2 dx

k=O 0

lim fV(k) = 0 k-+<x>

Die Eigenschaft der Linearitat folgt aus der Definition der Walshkoeffizien­ten. Da nach (1.2) fUr X-periodische Integranden

X X/2 J f(x) walX(k,x) dx = J f(x) walX(k,x) dx o -X/2

ist, sieht man auch die Eigenschaften fUr gerade bzw. ungerade Funktionen, wenn man berUcksichtigt, daB bis auf ihre Sprungstelle'n die Funktionen wal X(2k+1,x) ungerade Funktionen und wal X(2k,x) gerade Funktionen sind.

- 94 -

2.2 DIE EINDIMENSIONALE DISKRETE WALSH-TRANSFORMATION UND IHRE

EIGENSCHAFTEN

Wie beim Aufstellen der Fourierteilsumme hat man bei der Bestimmung der Walshteilsumme einer Funktion nur Probleme bei der Berechnung der Koeffizien­ten fV(k) . Bis auf Ausnahmen lassen sich diese Integrale nicht in ge­schlossener Form angeben, so daB man auf numerische Verfahren angewiesen ist.

Da der Integrand periodisch mit der Peri ode X ist und sich die Integration Uber die Lange einer Peri ode erstreckt, bietet sich wieder die in diesem Fall (bzgl. der asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit) optimale aquidi­stant zusammengesetzte Rechteckregel bzw. aquidistant zusammengesetzte Tra­pezregel an. Zur naherungsweisen Berechnung der Walshkoeffizienten einer X­periodischen Funktion f

1 X fV(k) = X J f(x) walx(k,x) dx

Q

unterteilt man daher das Intervall [Q,X] in M gleichgroBe Teilintervalle der Lange X/M (M E ~) und wertet den Integranden nur noch in den diskre­ten Gitterpunkten xm = m X/M , m = O,l, ..• ,M-l , aus. Die auf diese Weise bestimmten Naherungen fUr die Walshkoeffizienten heiBen

und sind gegeben durch

(2.10)

In der Anwendung eignen sich besonders solche Unterteilungen, bei denen die GroBe Meine Potenz von 2 ist:

(2.11)

In diesem Fall kann man die Werte der zunachst durch (2.1) - (2.3) nur rekursiv definierten Walsh-Funktionen in den diskreten Punkten angeben, und man hat zusatzlich weitere nUtzliche Eigenschaften:

- 95 -

Satz 2.3: Die Walsh-Funktionen walX(j.x) seien im fundamental en Intervall [O.X) durch die Rekursionsgleichungen (2.1). (2.2). (2.3) gegeben. Das Periodenintervall sei in M = 21 (1 E ~) gleichgroBe Teil­intervalle der Lange X/M unterteilt. und es seien Xi = £·X/M • £ = 0.1 •.••• M-1 • aquidistant verteilte Punkte in diesem Intervall. Dann gilt:

( i )

wobei die nichtnegativen ganzen Zahlen j und £ < M = 21 die eindeutigen Dualzahldarstellungen

besitzen.

1-1 £ = L W 2\1

\1=0 \I

IJ .w E {O.l} • \I \I

(ii) Die Walsh-Funktionen besitzen folgende Symmetrieeigenschaft

(iii) Das Produkt zweier Walsh-Funktionen ergibt wieder eine Walsh­Funktion; insbesondere gilt

fUr j.k = 0.1.2 •... und £ = 0.1 •...• M-1

Hierbei bedeutet @ die Modulo-2-Addition (Dualzahladdition ohne Obertrag): 1st

so ist j @ k = 1. ~ 2\1 mit \I >0 \I

(1J.8 E {o.n). \I \I

11. fa 11 s IJ + 8 ~ = \I \I

\I 0 sonst

1

(iv) Die Walsh-Funktionen errullen die diskrete Orthonormalitatsrela­tion

1 M-l . M I walx(J·xi ) walx(k.x£) = °jk

£=0 j.k = 0.1 •...• M-1

- 96 -

BEWE1S: Die Aussage (i) kann man durch 1nduktion Uber j mit den Rekur-

sionsgleichungen (2.1) - (2.3) zeigen. FUr j = 0 , d.h. ]1k = 0 fUr alle k,

gilt sie trivialerweise. 1st die Darstellung (i) fUr ein j:::O und alle

i richtig, so ist zu zeigen, daB sie auch fUr j + 1 und alle i gUltig

ist. Haben die Zahlen j + 1 und i die Dualzahldarstellungen

j + 1 = I]1 2V

v> 0 v

T-1 i = I W 2V

v=o v (]1 ,w E {O, l} ) ,

v v

so muB man zwei Falle unterscheiden. FUr ungerades j + 1 (d.h.]1o = 1)

benotigt man die Rekursionsgleichung (2.2) und fUr gerades j + 1 (d.h. Po = 0)

die Rekursion (2.3). 1st j + 1 ungerade und t = 0,1, ... , ~- 1

(d.h. wT _ 1 = 0) , so ist

j - \' 2v - - L ]1 2 v> 0 v+l

2i T-l

Y W 2v L v-l

v=1

und mit (2.2) und der 1nduktionsvoraussetzung folgt dann

( -1)

T-2 L (]1k+l + ]1k+2) wT - 1-(k+1)

k=O

da w 1 = 0 ist . Also gilt (i) fUr j+l T-

f4 und ,t = 0,1, ... , 2" - 1

FUr i=~, ... ,M-l (dh. w = 1) T-l ist

T T-l v T \' v 2,t-M= Iwv_1 2-2 = L wv_1 2

v=1 v=1

und mit (2.2) und der 1nduktionsvoraussetzung folgt ebenso

j j 1 ~+1. 2+

walX(j+l,xi) (-1) walX( %,2 Xi -X) = (-1) walx( f ,xU _M)

- 97 -

T-2 i+ 1 kIo (l1 k+1 + 11 k+2) wT- 1-(k+l)

(-1) (-1)

T-l ,1+ 1 L (11k + 11 k+1) wT- 1- k - (110 + 11 1) wT_1 2 k=O

(-1) (-1)

T-l L

k=O ( -1)

(11 k + 11k+l) "\-l-k i - 111

( -1)

da 110 = 1. und wT_1 = 1 ist. 1st i ungerade, so ist 111 =1 , und fUr

gerades ~ ist 111 = 0, so daB der zweite Faktor in der letzten Gleichung

imrrer = 1 ist und somit (i) auch fUr j+l und l = ~ , ... ,M-l gilt.

FUr gerades j + 1 verlauft der 1nduktionsschluB mit der Rekursionsgleichung

(2.3) genauso; damit ist die Aussage (i) bewiesen.

Zum Beweis von (ii) seien die Dualzahldarstellungen der zulassigen Werte von j und l gegeben durch

T-l j L

v=O (11 ,w E {O, 1} ).

v v

Dann ist mit (i),wenn man 11T = 0 setzt,

T-l T

L 11k w -l-k + L 11k w -k k=O T k= 1 T

( -1)

T-l T-2 t 11 w + t 11 w L T-l-v v L T-l-v v+l v=O v=-l

( -1)

= wal (l,x.) X J

da 11 = 0 ist und wenn man entsprechend noch w =0 vereinbart. T T

- 98 -

T-l Zum Beweis von (iii) ist mit (i) fUr die zulassigen l = L wv2v

v=O

T-1 (II +Il)w (8 +8 l)w n (-1) v v+1 T-1-v(_1) v v+ T-1-v

v=O

T-1 (II +8 )w (II +8 l)w n (-1) v v T-1-v(_1) v+1 v+ T-1-v

v=O

Nur fUr II = 8 = 1 ist nach der Definition der Modulo-2-Addition v v II + 8 = 2 ungl ei ch ~ = 0 ; in di esem Fall hat der entsprechende Faktor v v v im Produkt den 14ert 1, so daB ohne Ausnahme

T-1 (II +8 )w (II 1 +8 l)w ( ) ( ) = n (-1) v v T-1-v(_1) v+ v+ T-1-v wal X j,xl wal X k,xl

v=O

T-1 ~ w ~ w 1 n (-1) v T-1-v(_1) v+1 T- -v v=O

gi It.

Die Behauptung (iv) folgt aus der kontinuierlichen Orthonormalitatsrelation (2.4). Denn die Walsh-Funktionen walX(j,x) haben fUr j = O,1, ... ,M-1 genau j , also hochstens M-1 Sprungstellen. Diese SprUnge zwischen den beiden Werten +1 und -1 konnen, wie die Rekursionsgleichungen (2.2), (2.3) zeigen, hochstens in den diskreten Punkten xl =l· ~, l = O,1, ... ,M-1 , liegen. Also sind diese Funktionen stUckweise zumindest zwischen zwei benach­barten Punkten xl und xl+1 konstant mit dem Wert walX(j,xl ) . Dieses gilt natUrlich auch fUr die Produkte walX(j,x) walX(k,x) fUr j,k = O,1, ... ,M-1 . Somit ist fUr diese j,k

X M-1 xl+1 f walX(j,x) walX(k,x) dx = L f walX(j,x) walX(k,x) dx o l=O xl

M-1 M-1 = L (xl+1 - xl) walX(j ,xl) walX(k,xl ) = ~ L walX(j ,xl) walX(k,xl )

l=O l=O

so daB sich die kontinuierliche Relation (2.4) direkt auf den diskreten Fall Ubertragt.

•

- 99 -

Mit Satz 2.3 (ii) und der Periodizitat der Walsh-Funktionen gilt

so daB die diskreten Walshkoeffizienten (2.10) periodisch mit der Peri ode M sind:

( 2.11) (k = 0.1.2 ••.. )

FUr M = 2' (, E tl) ist die durch

(2.12)

gegeben. wobei die diskreten Walshkoeffizienten f~(k) fUr k = 0.1 •...• M-1 durch (2.10) definiert sind. Auch im diskreten Fall sind wegen Satz 2.3 (i) die diskreten Walshkoeffizienten selbst von der Lange X des Periodenin­tervalls unabhangig. wohingegen die diskrete Walshteilsumme von X abhangt.

1m kontinuierlichen Fall bleiben beim Obergang von einer Fourier- oder Walshteilsumme einer Funktion zu einer graBeren Teilsumme (also bei wachsen­dem oberen Summenindex) die ersten Fourier- bzw. Walshkoeffizienten gleich; die endliche Reihe wird nur urn einige Glieder erweitert. 1m diskreten Fall verhalt sich dies anders. Durch eine Veranderung des Wertes von M in der diskreten Teilsumme (2.12) andern sich im allgemeinen samtliche diskreten Koeffizienten aus (2.10).

Die diskrete Walshteilsumme besitzt folgende Interpolationseigenschaft:

SATZ 2.4: Zugrundegelegt sei fUr 'M = 2' (, E tl) das periodischc Funk­tionensystem

k = 0.1 ••••• M-1}

Das aus diesem System bestimmte Interpolationspolynom. das in den aqui­distant verteilten Punkten xm = m ~ vorgegebene Werte f(xm) • m = 0.1 •..•• M-1 • annimmt. ist gegeben durch die diskrete Walshteilsumme

mit den diskreten Walshkoeffizienten

k = 0.1 •.••• M-1

- 100 -

BEWEIS: Sei xp fUr ein p E {O,l, ..• ,M-l} ein beliebiger Punkt. Dann gilt mit Satz 2.3 (ii) und (iv)

M-l 1 M-l DWM(f)(x ) = L M L f(xm) walX(k,xm) walx(k,xp)

p k=O m=O

DISKRETE KORRELATIONS- UND FALTUNGSPROZESSE

•

Sind fund 9 zwei periodische Funktionen mit der gleichen Peri ode X , deren Werte man eigentlich nur in den aquidistant verteilten diskreten Punkten xm = m ~ , m = O,l, .•. ,M-l , im fundamental en Intervall [O,X) zu kennen braucht, dann hatten die diskrete zyklische Korrelation und die diskrete zyklische Faltung die Eigenschaft, daB deren diskrete Fourierkoeffi­zienten im wesentlichen aus dem Produkt der diskreten Fourierkoeffizienten der einzelnen Funktionen gegeben sind (vgl. Satz 1.8 (ii) und Satz 1.9 (ii». Diese besonders im Hinblick auf die Anwendung sehr gUnstige Eigenschaft gilt fUr die diskrete Walsh-Transformation nur, wenn man die Begriffe der diskreten zyklischen Korrelation und der diskreten zyklischen Faltung der diskreten Walsh-Transformation anpaBt, also entsprechende Begriffe neu ein­fUhrt.

Dazu braucht man die in Satz 2.3 (ii) schon eingefUhrte .. sie ist fUr zwei nichtnegative ganze Zahlen j und k , die die eindeutigen Dualzahldarstellungen

(Il ,6 E {O,1}) v v

haben, definiert durch

(2.13) j ® k = L (Il ® 6 )2v = L «Il + 6 ) mod 2)2v • v>O v v v>O v v

Die VerknUpfung ® zwischen zwei beliebigen nichtnegativen ganzen Zahlen wird durch die Beziehung (2.13) zurUckgefUhrt auf die VerknUpfung der Zahlen o und 1 in den Dualzahldarstellungen:

o (±l 0 o o ®

(2.14) 1 ® 1 o 1 (±l 0

- 101 -

Die Modulo-2-Addition unterscheidet sich von der gewohnlichen Addition zweier Dualzahldarstellungen nur dadurch, daB kein Obertrag stattfindet; dieser Unterschied tritt nur auf, wenn beide zu verknUpfenden Elemente den Wert 1 haben. Dadurch bleibt die Modulo-2-Summe von zwei nichtnegativen ganzen Zahlen, die kleiner als 2T fUr ein T E ]II sind, immer kleiner als 2T

Mit Hilfe der VerknUpfung @ ist die ~ von zwei Funktionen fund g, deren Werte im fundamental en

X Intervall in den diskreten Punkten xm = m M ' m = O,I, ... ,M-l , bekannt sind, definiert durch

(2.15 )

hierbei ist die GroBe M wieder eine Potenz von 2

Als Eigenschaften erhalt man:

SATZ 2.5: FUr M = 2T (T E IN) seien die Werte der X-periodischen Funktionen fund 9 in den Punkten

m = 0, 1 , ... , M-l

im fundamental en Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete dyadische Korrelation ist kommutativ, d. h. D(f (0) g)(xm) = D(g (-) f)(xm) , und periodisch mit der Peri ode X.

(ii) Die diskreten Walshkoeffizienten der diskreten dyadischen Korrela­tion D(f (0) g) sind gegeben durch

D(f (0) g)~ (k) = f~(k).g~(k) k = O,l, ... ,M-l

BEWEIS: Zum Beweis der wichtigen Aussage (ii) ist nach Definition fUr ein k E {Q, 1 , ... , M-l}

_ 1 M-l f 1 M-l 1 - M I 1 M l. f(Xm @ p) g(xp)S walX(k,xm)

m=O l p=O

1 M-l f 1 M-l 1 = -M I g(x) walx(k,x ) 1 -M I f(x ~ ) walx(k,xm ~ p)f

p=O P P l m=O m P ~

- 102 -

Die letzte Identitat gilt, da nach Satz 2.3 (ii), (iii) fUr die in Frage kommenden Werte von k,m und p

ist. Da fUr jedes zulassige feste p der Ausdruck m ffi p fUr m = 0,1, ... ,M-1 genau einmal jeden Wert 0,1, ... ,M-1 annimmt, steht in den geschweiften Klammern der Walshkoeffizient f~(k) , und damit folgt dann die Behauptung.

•

Die diskrete dyadische Korrelation einer Funktion f mit sich selbst ("diskrete dyadische Autokorrelation") im Punkt Xo = 0 ist durch

1 M-1 2 D(f 0 f)(xo) = M L (f(xk))

k=O

gegeben, da 0 ~ k = k fUr alle kist: Weil die zugehorige diskrete Walshteilsumme, die mit satz 2.5 (ii) durch

gegeben ist, in den Punkten xm die zugehorigen Funktionswerte D(f 0 f)(xm) annimmt, gilt insbesondere fUr Xo = 0

M-1 M-1 .!. Y. (f(x ))2 = L (fv(k))2 M k=O k k=O M

Urn einen entsprechenden Faltungsproze6 einfUhren zu konnen, braucht man die . Sie ist als Umkehroperation der Modulo-2-Addition

fUr die Zahlen 0 und 1 in Dualzahldarstellungen definiert durch

o e 0 = 0 (da o = 0 ~ 0) 1 Q 1 = 0 (da 1 = 0 ~ 1)

(2.16) 1 eo = 1 (da 1 = 1 ~ 0) o Q 1 = 1 (da o = 1 Ef) 1)

d. h. fUr zwei nichtnegative ganze Zahlen j und k, die die eindeutigen Dualzahldarstellungen

- 103 -

j = L 11 2v , k = L e 2v (Il v ,ev E {O,l}) v>O v v>O v

haben, ist

(2.17) j e k = L (11 e e ) 2v ( = L III - e I 2v ) v>O v v \ o v v v>

Damit i st di e von zwei Funktionen fund 9 , deren Werte im fundamental en Intervall in den diskreten Punkten xm = m ~ , m = 0,1, ... ,M-1 , gegeben sind, definiert durch

D(f ® g)(xm) = ~ MIl f(xm e k) g(xk) k=O

(2.18)

wobei M wieder eine Potenz von 2 ist.

Vergleicht man (2.16) mit (2.14), so sieht man, daB die Modulo-2-Addition $ und die Modulo-2-Subtraktion e identische Operationen sind und daher

(2.19) j $ k = j e k

fUr beliebige nichtnegative ganze Zahlen j,k ist. Es besteht also kein Unterschied zwischen der diskreten dyadischen Faltung und der diskreten dyadischen Korrelation. Die diskrete dyadische Faltung hat daher die glei­chen Eigenschaften:

SATZ 2.6: FUr M = 2T (t E i'l) seien die Werte der X-periodischen Funk­tionen fund 9 in den Punkten xm = m ~ , m = 0,1, ... ,M-1 , im fun­damentalen Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete dyadische Faltung ist kommutativ, d. h. D(f ® g)(xm) = D(g ® f)(xm)

und periodisch mit der Peri ode X.

(ii) Die diskreten Walshkoeffizienten der diskreten dyadischen Faltung D(f@ g) sind gegeben durch

k = 0,1, •.. ,M-1 .

Die diskrete zyklische Korrelation und die diskrete dyadische Korrelation sind fUr zwei X-periodische Funktionen fund 9 gegeben durch

X 1 M-l X X D(f 0 g) (m M) = M L f( (m+k) N) g(k N) , m = 0,1, ... ,M-1

k=O

X D( f (.'; g) (m ]\1)

- 104 -

1 M-1 X X - J. f((m ~ k) -) g(k --) M k=O M M

m 0,1, ... ,M-1

und deren diskrete zyklische Faltung und diskrete dyadische Faltung sind definiert durch

X D(f * q) (m ]\1)

M-1 ~ J. f((m - k) ~) g(k ~)

k=O

X 1 M-1 X X D( f ® g)( m -) = -- J. f ( (m (~ k) --) 9 (k -)

M M k=O M M

m 0,1, ... ,M-1

In 0,1, ... ,M-1

Fur den Fall M = 16 kann man anhand der folgenden Tabellen sehen, wie unterschiedl ich die beiden Korrelationsbegriffe bzw. die beiden Faltungs-begriffe die Funk ti ons\~erte von f und 9 verknupfen:

m ~ k me k

k 0 2 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15

0 0 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 0 3 2 5 4 ./ 6 9 8 11 10 13 12 15 1'1 2 2 3 0 6 7 II 5 10 11 8 9 1'1 15 12 13 3 3 2 1 0 '/ 6 5 4 11 10 9 8 1 ~ 14 13 12 4 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 5 5 4 '( 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 6 6 7 4 5 ~ 3 0 1 14 1~ 12 1 j 10 11 8 ~ '/ 7 6 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 8 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 '/ 9 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 'I 7 '>

10 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 1 4 5 11 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 6 5 4 12 12 13 14 15 6 9 10 11 4 5 6 7 u 1 2 3 11 13 12 1') 14 9 8 11 10 5 4 '/ 6 1 0 3 2 14 14 15 12 1 j 10 11 8 9 6 '{ II 5 2 3 0 I 15 15 14 13 12 11 10 9 8 '/ 6 5 4 3 0

(m + k)zykl

m 0 2 5 6 8 9 10 11 12 13 1'1 15

0 0 1 2 3 5 6 '/ 8 9 10 11 12 13 111 15 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1~ u 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 'I 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 8 8 9 10 11 12 13 PI 15 0 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 1 8

10 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 '/ 8 9 11 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 12 13 111 15 0 1 2 3 4 ~ 6 7 8 9 10 11 13 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 lj 15 15 (j 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 1'1

(m-k)zykl

m k o 1 2 3 4 5 6 1 6 9

10 11 12 1j 14 1~

o 2

o 15 1~

o 15 2 1 0

2 1 j 2

" 4 3 654 '( 6 5 6 '( 6 9 8 '(

lU 9 8 11 10 9 12 11 10 13 12 11 14 13 1~ 15 PI 1 j

- 105 -

1 J 12 111 1 j 15 14 o 15 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 '( b 8 1 ~ 8

10 9 11 10 12 11

11 12 13 14 15 o 1 2

3 4 5 6 'f 8 9

10

10 11 12 13 14 15 o

2 3 4 5 6 1 8 9

10 11 12 13 14 15 o 1 2

3 4 5 6 1 8

H 9

10 11 12 13 14 1~

o 1

2 3 4

'(

8 9

10 11 12 13 til 15 o 1 2

3 4 5 6

10 11 12 13 14 15

6 '(

8 9

10 11 12 13 14 15 o

2 3

5 6

~ 10 11 12 13 PI 15 o 1 2 3 4

4 5 6 1 8 9

10 11 12 13 14 15 o

2

]

4 5 6 1 8 9

10 11 12 13 til 15 o 1 2

2 3 4 5 6 '(

8 9

10 11 12 13 14 15 o

2 3 II

5 6 1 8 9

10 11 12 13 14 15 o

Dabei bedeutet (m+k)zykl = (m+k) mod M dadurch wird berucksichtigt, daB man die Periodizit~t der Funktion f (d. h. f(M~) = f(O) f (PhI) fi) = f(I'~)"") bei der Bildung ~er Summe fur die diskrete zykli­sche Korrelation ausnutzt. Genauso geht uber (m-k)zykl (M+m-k) mod M in die Summenbildung fur die diskrete zyklische Faltung ein, daB die Funk­tion f periodisch ist.

Zusammenfassend kann man sagen, daB sowohl das diskrete Walsh-Spektrum wie auch die dyadischen Verknupfungen mit Vorsicht zu betrachten sind. Obwohl augenscheinliche Ahnlichkeiten zum Fourier-Spektrum und den entsprechenden diskreten zyklischen Begriffen bestehen, ist der enge naturliche Zusammen­

hang einer Funktion zu physikalischen Strukturen, die diese Funktion cha­rakterisieren und uber die man mit Hilfe der (diskreten) Fourier-Analyse Aussagen machen kann, nicht ohne wei teres gegeben oder ubertragbar.

DIE UMKEHRFORMEL

Die diskrete Walsh-Transformation ist eine ein-eindeutige Zuordnung. Durch diese Transformation verliert man also keine Information, sondern hat eine ~quivalente Darstellung, die fur manche Zwecke von Vorteil ist.

- 106 -

::,ATZ 2.7: Es sei M = 21 (T E IN) • Dann gilt mit den unter Kenntnis der Werte einer Funktion f in den diskreten Punkten xm = m ~ • m = O.I •...• M-l • berechneten diskreten Walshkoeffizienten

v 1 M~1 fM(k) = M I. f{xm) walX{k.xm)

m=O die Umkehrformel

M-l f{xm) = I f~(k) walx{m.xk)

k=O

k = 0.1 ..... M-l

m = 0.1 •...• r4-1 .

BEWEIS: Nach Satz 2.4 gilt f(xm) = DWM{f){xm) • und mit Satz 2.3 (ii) folgt die Behauptung.

Die Zuordnung der diskreten Walshkoeffizienten

EIN BEISPIEL

•

Funktionswer­und die Umkehrung

1m letzten Kapitel wurden als Beispiel die rr-periodischen Funktionen f(x) = Isin x I

und 9 • die im fundamental en Intervall [O.rr) gegeben ist durch

g(X)=J1/2 x=O

l~(rr - x) x € (O,rr) deren Fourier-Spektren und deren (diskrete) zyklische Korrelation und (diskrete) zyklische Faltung behandelt (vgl. Kapitel 1.1. 1.2). 1m folgen­den sind die den Walsh-Funktionen entsprechenden Prozesse zum Vergleich durchgefUhrt.

Die diskreten Walsh-Amplituden-Spektren der beiden Funktionen fund 9 sind in Bild 2.5 dargestellt. Der Obersicht halber sind diese diskreten Spektren wieder "kontinuierlich erg~nzt". indem die nur fUr k = 0.1.2 •... definierten Werte miteinander verbunden wurden.

- 107 -

2/n 1/2

----1f-LL......,u......,..-. ........ -....-~-......... _+k k 50 50

Bild 2.5: Diskrete Walsh-Amplituden-Spektren

{lf~(k)11 k = O,I, ... ,M-l} und {19~(k)11 k = O,I, ... ,M-l}

der Funktionen fund 9 fUr M = 26 = 64

Diese Spektren lassen sich nicht direkt mit den entsprechenden Fourier­Amplituden-Spektren vergleichen (s. Seite 89). FaBt man aber gleichse­quente Anteile zusammen, so erhalt man die in Bild 2.6 gezeigten Spektren, die einen Vergleich mit den rechten Half ten der entsprechenden Fourier­Amplituden-Spektren aus Bild 1.3 erlauben, wenn man noch berUcksichtigt, daB der Unterschied der entsprechenden Fourier-Amplituden-Spektren von den dort gezeigten Spektren so gering ist, daB er graphisch nicht zum Ausdruck kommt.

2/n 1/2

--~-.--~~--__ --+-__ --+k 10 10

Bild 2.6: Diskrete Spektren

{ I f ~ (0) I; i ;r-( f-~-( 2-k )-) :;;-2 +-(-f~-(-2 k-_-l-»=2' k = 1, .. ., 31

und {lg~(O)I; ~ ;(9~(2k»2+(g~(2k-1)/ k=I, ... ,31

der Funktionen fund g fUr M = 26 = 64

If~(63)1},

19~(63)1}'

- 108 -

Obwoh 1 di e Ge~1i chtung der ersten Frequenz- bzw. Sequenzantei 1 e etwas unter­schiedlich ist, zeigen doch alle Spektren, daB in den Funktionen fund 9

hoherfrequente bzw. hohersequente Anteile nur sehr schwach enthalten sind. Die diskrete dyadische Korrelation

1 ~1-1 D(f0 g)(xm) = M I f(xm ~ k) g(xk)

k=O

und die diskrete dyadische Faltung

m = 0,1, ... ,M-1

m = 0,1, ... ,M-1 ,

die ja identische Werte liefern, lassen sich sehr effizient mit der in Abschnitt 2.4 angegebenen Schnellen Walsh-Transformation mit Hilfe der diskreten Walshkoeffizienten der Funktionen fund 9 bestimmen. Kennt man namlich die diskreten Walshkoeffizienten f~(k) und g~(k) , k = 0,1, ... ,M-1 , der Funktioner. fund 9 , so sind nach Satz 2.5 (ii) bzw. 2.6 (ii) die diskreten Walshkoeffizienten der diskreten dyadischen Korrelation und der diskreten dyadischen Faltung durch deren Produkt v ) v fM(k 'gM(k) , k = 0,1, ... ,M-1 , gegeben, und mit der Umkehrformel aus

Satz 2.7 gilt dann fUr m = O,l, ... ,M-l

diese Umkehrtransformation laBt sich ebenfalls sehr effizient mit der Schnellen Walsh-Transformation aus Abschnitt 2.4 durchfUhren. Auf diesem Umweg mit der diskreten Walsh-Transformation braucht man zur Bestimmung aller Werte der diskreten dyadischen Korrelation bzw. Faltung

3M . ~~~ ~ Additionen und 3M Multiplikationen

gegenUber einem Aufwand von

M(M - 1) Additionen und M(M + 1) Multiplikationen,

den man hatte, wenn man die diskreten dyadischen VerknUpfungen Uber die Definition (2.15) bzw. (2.18) direkt berechnen wUrde. [FUr ~, = 26 = 64 kommt man so auf 1152 Additionen und 192 MuZtipZikationen gegenUber

4032 Additionen und 4160 MuZtipZikationen und fUr M = 212 = 4096 sogar

nul' aUf 147 456 Additionen und 12 288 MuZtipZikationen gegenUber

16 733 120 Additionen und 16 781 312 MuZtipZikationenf]

- 109 -

Bild 2.7 zeigt die diskrete dyadische Korrelation und die diskrete dyadische

Faltung der beiden n-periodischen Funktionen fund g. Ein Vergleich mit den entsprechenden zyklischen Prozessen aus Bild 1.4 laSt wohl keinen Zusam­menhang dazwischen erkennen.

0.35

lin

0.3

~f~----------------------~n--~)X

Bild 2.7: Diskrete dyadische Korrelation D(f 0 g) und diskrete dyadische

Faltung D(f ~ g) der Funktionen fund 9 fUr M = 26 = 64

ZUSAMMENFASSUNG

Die diskrete Walsh-Transformation hat die im folgenden zusammengestellten

wichtigen Eigenschaften:

diskrete reelle Werte einer mit der dazugehorige diskrete Walshkoeffi-Periode X periodischen Funktion zienten (k = O,l, ... ,M-l)

in den M Punkten xm = m ~ , m = O,l, •.. ,M-l

(M ist eine Potenz von 2)

L inearitat: f(xm) ± g(xm)

ex.f(xm) , ex E R

f~(k+i'M) = f~(k)

f~(k) ± g~(k)

ex'f~(k)

(i=0,1,2, ... )

- 110 -

diskrete Korrelation: D(f 0 g)(xm) f~(k).g~(k)

diskrete Faltung: D(f ®g)(xm) f~(k).g~(k)

Die Eigenschaft, daB bei geraden Funktionen die 14alshkoeffizienten mit unge­radem Index immer verschwinden und bei ungeraden Funktionen die Walshkoeffi­zienten mit geradem Index immer gleich Null sind, Ubertragt sich nicht auf den diskreten Fall.

FILTERUNGEN ALS EINE ANWENDUNG

Kennt man die diskreten Walshkoeffizienten einer Funktion g, so ist es moglich, einzelne Sequenzanteile dieser Funktion durch Manipulation an den entsprechenden Koeffizienten zu beeinflussen. Dies entspricht einer dyadi­schen Faltung (oder Korrelation) dieser Funktion 9 mit einer bestimmten Funktion h, und man erhalt so eine neue Funktion f

f(x ) = D(g @ h)(x ) m m

Solche eine Manipulation nennt man auch eine

Um etwa eine verrauschte Funktion 9 zu glatten, wird man versuchen, hoher­sequente Anteile in der Funktion zu dampfen oder ganz zu unterdrUcken. Genauso wie bei den im letzten Kapitel behandelten Frequenz-Filterungen kann man auf vielerlei Weise gleichsequente Anteile manipulieren.

Eine UnterdrUckung der hohersequenten Anteile bei gleichzeitiger Erhaltung der niedersequenten Anteile erreicht man, indem man den k-ten Walshkoeffi­zienten der verrauschten Funktion 9 mit dem Faktor

11 k = 0,1, ... ,2n-2

(Dn)v(k) = 0 k > 2n-1

fUr ein geeignetes n multipliziert; unbeeinfluBt bleiben so die Anteile mit einer Sequenz < n . Dies ist gleichbedeutend mit einer dyadischen Fal­tung der verrauschten Funktion mit der mit der Peri ode X periodischen Funktion

2n-2 h (x) 5 On (x) = L wa 1 X (k , x)

k=O

- 111 -

7

x

Walsh-~irichlet-Kern D4(x)

1 t-------,

__ ~ ___________ ~i ________ ~'k 2n~ 1

Walsh-Amplituden-Spektrum {1(Dn)v(k)l}

Walsh-Dirichlet-Kern D12 (x)

Bild 2.8: Walsh-Dirichlet­Kern Dn(x) fur n = 4 und n = 12 und das Walsh-Amplitu­den-Spektrum des Walsh­Dirichlet-Kerns Dn(x)

Eine monotone Abschw3chung der Anteile mit wachsender Sequenz bis hin zu deren Unterdruckung errei cht man, i ndem man den entsprechenden !~a 1 shkoeffi­zienten der verrauschten Funktion mit dem Faktor

k = 1,2, . .. ,n-1

k > n

fur ein bestimmtes n multipliziert; Anteile mit einer Sequenz > n werden ganz unterdruckt . Dies entspricht einer dyadischen Faltung von 9 mit der

X-periodischen Funktion (Walsh-rejer-Kern)

n-1 h(x) " Fn(x) = 1 + k~l (1 - ~) {wal x(2k-1, x) + wal X(2k, X)}

Mit den entsprechenden Funktionen eines zyklischen Faltungsprozesses (Bilder 1. 10 und 1.11) lassen sich die beiden oben behandelten dyadischen Faltungs­funktionen aus den Bildern 2.8 und 2.9 in etwa vergle i chen .

- 112 -

4 L..,

__ +-____ ~~i __ ~, ________ ~i __ ~X

X

Walsh-Fej~r-Kern F4(x)

1- ~ " ' ," , " ,", -b n-+-________ --i:j-; --' ''-~-='t--------->. k

2k n 2k-l

12

.. ,

-~~=~J~------~Q~X X

Walsh-Fej~r-Kern F12 (x)

Bild 2.9: Walsh-Fejer-Kern

Fn(x) fUr n = 4 und n = 12 und das Walsh-Amplituden­Spektrum des Walsh-Fejer-Kerns

Fn(x)

Walsh-Amplituden-Spektrum {1(Fn)v(k)l}

Eine Glattung kann man auch durch eine dyadische Faltunq einer verrauschten Funktion 9 mit der X-periodischen Funktion ,(Walsh-Abel-Poussin-Kern)

h(x) - Pr(x) = 1 + I r k{wal x(2k-l, x) + wal x(2k, X)} k=l

fUr ein geeignetes r, 0 < r < 1 , erreichen; dieser FaltungsprozeB ist nichts anderes als eine gleiche Dampfung gleichsequenter Anteile, und zwar umso mehr, je hoher die Sequenz ist: man multipliziert dann die Walshkoeffi­zienten von 9 mit dem entsprechenden Faktor

(Pr)v(O) = 1

(Pr )v(2k-l) = (P r )v(2k) = rk k = 1,2, ...

FUr die schon im letzten Kapitel im Zusammenhang mit zyklischen Faltungs­

prozessen bei Frequenz-Filterungen betrachtete verrauschte Funktion erge­ben sich so die in Bild 2.10 dargestellten geglatteten Funktionsverlaufe, die mit Hilfe der diskreten \~alsh-Transformation und -Umkehrtransformation ermittelt wurden. 1m Vergleich mit Bild 1.13 haben die geglatteten Funk-

- 113 -

tionen aus Bild 2.10 ein typisches "\~alsh-charakteristisches" Aussehen.

verrauschte Funktion

Faltung der verrauschten Funk­tion mit dem Walsh-Dirichlet­Kern

Walsh-Amolituden-Soektrum der verrauschten Funktion

Faltung der verrauschten Funktion mit dem ~alsh-Fej~r-Kern

~ ....... ~

...

Faltung der verrauschten Fun~­tion ~it dem Walsh-Abel­Poussin-Kern

Bild 2.10: diskret gegebene verrauschte Funktion (M = 64) mit zugehorigem

Walsh-Amplituden-Spektrum sowie die mit dem Walsh-Dirichlet­

Kern (n = 16), dem Walsh-Fej~r-Kern (n = 32) und dem Walsh­

Abel-Poussin-Kern (r = 0.9) geglatteten Funktionen; die Punkte

geben jeweils die diskreten Werte der verrauschten Funktion an

- 114 -

2~3 DER MEHRDIMENSIONALE FALL

Auch die Erweiterung der endlichen Walsh-Transformation auf reellwertige Funktionen mehrerer unabhangiger Veranderlicher laBt sich iteriert eindimen­sional darstellen. Wir betrachten hier wieder explizit nur den zweidimensio­nalen Fall, da er in der mehrdimensionalen Anwendung weitaus am meisten vor­kommt und die Erweiterung auf hohere Dimensionen keine Schwierigkeiten berei­tet, wenn man die Erweiterung auf den zweidimensionalen Fall kennt.

Zur Approximation einer auf ]R2 definierten, reellwertigen periodischen Funktion f mit den Perioden X und Y (X,Y > 0) wahlt man das System der mit den gleichen Perioden periodischen Walsh-Funktionen

y n = {walx(k,X) waly(.t,y) I k,.t = 0,1,2, ... }

y y

y y.--+-~x -+-~x -+----~x

y

X

wal x(2,x) waly(O,y)

y

X

wal x(3,x) wal y(3,y)

x

X

wal x(2,x) waly(l,y)

y

x

y

Bilr:l 2.11: Walsh-Funktionen walx(k,x) waly(.t,y) im fundamental en Intervall fUr einige Werte von k und .t ; schwarze Flachen reprasentieren den Wert -1, weiBe Flachen den Wert +1

x

- 115 -

Bild 2.11 zeigt einige zweidimensionale Walsh-Funktionen aus ~. die man am besten in der Draufsicht darstellt. da sie stUckweise konstant nur die Werte +1 und -1 annehmen.

Die Funktionen. die sich als Linearkombinationen der mit den Perioden X und Y periodischen trigonometrischen Polynome aus

cos (k 2; x + i 2; y) k.i = 0.±1.±2 •... }

darstellen lassen. ahneln denen. die eine Superposition von Funktionen aus ~ sind. denn wegen

und

wobei

sgn(m) = { 1 -1

m > 0

m < 0

das Vorzeichen einer ganzen Zahl m angibt. sind alle Funktionen aus n auch darstellbar als eine Linearkombination von Funktionen aus

( 2 'IT \ (0 2'IT) . ( 2 'IT \ (2'IT) cos k X x) cos ""y y • S 1 n k X x) cos iV y •

. (i2'IT \ I - 1. sln" V y) k.i - 0.1.2 •... J

und mit den Bezeichnungen sal und cal ist das System n der 2-dimensio­nalen Walsh-Funktionen nichts anderes als

{salX(k.X) saly(i.y). calX(k.x) caly(i.y). salX(k.x) caly(i.y).

1. calX(k.x) saly(i.y) k.i = 0.1.2 •... J wenn man noch

setzt.

- 116 -

Bild 2.12 vergleicht einige Walsh-Funktionen mit den entsprechenden trigo­nometrischen Funktionen; man sieht deutlich, daB dort, wo die trigonometri­schen Funktionen ihre Extremwerte +1 oder -1 annehmen, die entsprechen­den Walsh-Funktionen den gleichen Wert haben.

y x y x

y x

cal X(3,x) sal y(4,y) ( 211 \ sin,4-'r Y;

x

Bild 2.12: Vergleich einiger Walsh-Funktionen mit trigonometrischen Funk­tionen; bei den Walsh-Funktionen reprasentieren schwarze Flachen die Zahl -1 und weiBe Flachen die Zahl +1

- 117 -

AUSSAGEN FUR KONTINUIERLICH GEGEBENE FUNKTIONEN

Die Walsh-Funktionen aus n genUgen der Orthonormalitatsrelation

(2.20 ) 1 X 1 Y X J 1 J walX(k,x) waly(l,y),walx(m,x) waly(n,y) dydx = 0km 0ln '

o 0

die sich unmittelbar aus (2.4) ergibt.

Ein endliches Teilsystem des unendlichen Funktionensystems n sei mit

(2.21) n K, L = {wa 1 X (k, x) wa 1 y (l,y) I k = 0,1, ... , K ; l = 0,1, ... , L}

(K,L E ~) bezeichnet. Eine den mittleren quadratischen Fehler minimierende Approximation einer periodischen Funktion f durch eine Funktion aus dem

System nK,L erhalt man mit den

1 X 1 Y (2.22) fV(k,l) = X J 1 J f(x,y) walX(k,x) waly(l,y) dydx

o 0

SATZ 2.8: Die Funktion f sei periodisch mit den Perioden X und Y

und sei quadratisch integrierbar, d. h. es existiere das Integral

X Y 2 J J (f(x,y)) dy dx o 0

(zumindest im uneigentlichen Sinne).

Dann wird fUr beliebige Funktionen K L

~(x,y) = I I ckl walx(k,x) waly(l,y) k=O l=O

aus nK,L das FehlermaB

(X y 2 \1/2 \6 6 (f(x,y) - ~(x,y)) dy dX)

genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ckl von ~ die ein­deutig bestimmten Walshkoeffizienten

1 X 1 y fV(k,l) = X J y J f(x,y) walX(k,x) waly(l,Y) dy dx

o 0

(k = 0,1, ... , K ; l = 0,1, ... , L) wah 1 t.

Reihe

(2 . 23)

- 118 -

00 00

W(f)(x,y) = L L fV(k.l) walX(k,x) waly(l,y) k=O l=O

ul'ld als WalshteUsl.llmle der Walshreihe von f die abgebrochene Walshreihe

K L v WK L(f)(x,y) = L L f (k,l) walX(k,x) waly(l,Y)

, k=O l=O (2.24)

Auch die Begriffe der Sequenz-Spektren lassen sich auf den mehrdimensionalen Fall Ubertragen; so ist im zweidimensionalen Fall das Wa1sh~SeqUenz:Sp tru~

v . "':"'1NtVi« , . ( ... ' '1JtjJ~W~im;-;',

die Menge {f (k,l)} der Walshkoeffizienten und das Wa.1sft .. Amp':L1ttid(m~

: i'ttr die Menge {I fV(k,l)l} der Betrage der Walshkoeffizienten.

Als Eigenschaften einer Approximation mit Walsh-Funktionen gilt dann ent­sprechend zu Satz 2.2:

SATZ 2.9 : Die periodische Funktion f mit den Perioden X und Y sei quadratisch integrierbar. Dann gilt:

(i) Die Walshteilsummen der Walshreihe von f konvergieren im Mittel gegen die Funktion f, d. h. es gilt

lim K,L .... oo

1 X 1 Y 2 X f V f (f(x,y) - WK,L(f)(X,y)) dy dx = 0

o 0

(ii) Die Walshkoeffizienten der Walshreihe von f erfUllen die Identitat

00 00 X y L L (fv(k,l))2 = ~ f ~ f (f(x,y))2 dy dx < 00

k=O l=O 0 0

Damit gilt insbesondere

lim fV(k,l) = lim fV(k,l) = 0 k .... oo l .... oo

(iii) Die endliche Walsh-Transformation ist eindeutig, d. h. stimmen samtliche sich entsprechenden Walshkoeffizienten insbesondere von zwei stetigen periodischen Funktionen mit den gleichen Perioden X und Y Uberein, so sind diese beiden Funktionen identisch.

- 119 -

FUr groBe Werte von k und i beschreiben die Walshkoeffizienten fV(k,i) die hochsequenten Anteile in der Funktion f, die nach Satz 2.9 fUr k~=

oder i~= gegen Null streben. Auch im mehrdimensionalen Fall ist die Konvergenz der Walshteilsummen (2.24) einer periodischen Funktion fUr K,L ~= gegen diese Funktion nicht gewahrleistet. 1st die zu approximierende periodische Funktion f jedoch (mindestens einmal) differenzierbar, so kon-vergieren ihre Walshteilsummen W (f) fUr V,E ~= gleichmaBig gegen

2v 2E diese Funktion. ' Auch das Lokalisationsprinzip behalt weiterhin seine GUltigkeit.

AUSSAGEN FOR DISKRET GEGEBENE FUNKTIONEN

Zur naherungsweisen Berechnung der Walshkoeffizienten einer periodischen Funktion f

1 X 1 y fV(k,i) = X f y f f(x,y) walX(k,x) waly(i,y) dy dx

o 0

approximiert man die Integrale wieder mit der aquidistant zusammengesetzten Rechteckregel (bzw. der aquidistant zusammengesetzten Trapezregel) und er­halt so die

v 1 M-1 1 N~1 fM N(k,£) = M L N L f(xm,yn) walx(k,xm) waly(i'Yn)

, m=O n=O (2.25)

mit (xm'Yn) = (m~ ,n~) , wobei die GroBen M und N Potenzen von 2 sind:

(p ,A E }l )

Die (2.11) entsprechende Eigenschaft ist dann

(2.26) f~,N(k+M,i) = f~,N(k,i)

f~,N(k,i+N) = f~,N(k,i) ( k ,.e. = 0, 1 ,2, .•• )

d. h. die diskreten Walshkoeffizienten sind periodisch mit den Perioden M und N.

Die ist mit (2.25) gegeben durch

(2.27)

- 120 -

[in diskretes Analogon zu (2.20) ist folgende Orthonormalitatsrelation

M-1 N-1 ~ I * I walx(k.xp) waly(£.yq).walx(m.x ) waly(n.y ) = Ok Og P=O<!=O P q m ~n

(2.28)

fUr k.m = 0.1 ..... M-1 und i.n = 0.1 ..... N-1 • wobei M und N

wieder Potenzen von 2 sind. Der Beweis von (2.28) erfolgt sofort mit Sa tz 2.3 (i v) •

Die Interpolationseigenschaft der diskreten Walshteilsumme aus Satz 2.4 bleibt erhalten. d. h. das fUr M = 2P und N = 2A (P. A E }l) aus dem System

{wa-lx(k.x) waly(£'y) I k = 0.1 ..... M-1 und £ = 0.1 ..... N-1}

bestill1l1te Interpolationspolynom. das in den aquidistant verteilten Punkten X y

(xm'Yn) = (m M • n N) vorgegebene Werte f(xm'Yn) • m = 0.1 ••••• M-1 und n = 0.1 ••••• N-1 • annimmt. ist durch die diskrete Walshteilsull1l1e (2.27) gegeben. Zum Nachweis dieser Eigenschaft braucht man die Relation (2.28) und die Eigenschaftaus Satz 2.3 (ii) von Walsh-Funktionen.

Die wie in Satz 2.7. die sich unmittelbar aus der Interpola­tionseigenschaft der diskreten Walshteilsull1l1e f(xm'Yn) = DWM.N(f)(xm·yn) und Satz 2.3 (ii) ergibt. lautet hier fUr M und N als Potenzen von 2

M-1 N-1 f(xm'Yn) = I I f~ N(k.£) walx(m.xk) waly(n.y.t)

k=O .t=o • (2.29)

m = 0.1 ••.•• M-1 und n = O.1 •••.• N-1 • wobei f~.N(k • .t) die unter Kenntnis der Werte f(xm,yn) bestimmten diskreten Walshkoeffizienten (2.25) sind.

Die M·N Funktionswerte f(xm.yn) und die M·N diskreten Walshkoeffizien­ten f~,N(k.£) sind also aquivalente Datensatze einer periodischen Funktion.

Die von zwei Funktionen fund g. deren Werte im fundamental en Intervall in den diskreten Punkten (xm,Yn) =(m ~ , n k) . m = 0.1 ..... M-1 und n = 0,1 ..... N-1 • bekannt sind. ist gegeben durch

(2.30)

und die gegeben durch

dieser beiden Funktionen ist

- 121 -

(2.31 )

wobei ® die Modulo-2-Addition, 8 die Modulo-2-Subtraktion und die GraBen M und N wieder Potenzen von 2 sind. Da die Operationen ~ und e nach

(2.19) identisch sind, fallen die Begriffe der diskreten dyadischen Korrela­tion und der diskreten dyadischen Faltung wieder zusammen.

Die den Satzen 2.5 und 2.6 entsprechenden Satze lauten daher

SATZ 2.10: Fur M = 2fJ und N = 2A (p,A E :tl) seien die Werte der mit den gleichen Perioden X und Y periodischen Funktionen fund 9 in den Punkten

X Y (Xm'Yn) = (mM,nR) , m=0,1, ... ,M-1 und n=0,1, ... ,N-1

im fundamentalen Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete dyadische Korrelation ist kommutativ, d. h. D(f 8 g)(xm'Yn) = D(g 8 f)(xm'Yn) , und periodisch mit den Perio­den X und Y.

(ii) Die diskreten Walshkoeffizienten der diskreten dyadischen Korrela­tion D(f 8 g) sind gegeben durch

D(f8 g)~,N (k,~) = f~,N(k,~)·g~,N(k,~)

k=0,1, ... ,M-1 und ~=0,1, ... ,N-1

BEWEIS: Fur ein k E {0,1, ... ,M-1} und ein ~ E {0,1, ... ,N-1} ist

v 1 M-1 1 N-1 D(f8 g)M N(k,~) = M ~ v ~ D(f0 g)(x ,y ) walx(k,xm) waly(~,yn)

, m=O 11 n=O m n

1 M-1 1 N-1 { 1 M-1 1 N-1 } = M ~ N ~ M ~ N I f(xm ffi p'Yn ~ q)g(xp,yq) walx(k,xm) waly(~,yn)

m=O n=O p=O q=O

M-1 N-1 = ~ ~ k ~ g(xp,yq) walx(k,xp) waly(l,yq)

p=O q=O

wobei die letzte Identitat wegen

- 122 -

und

waly(i.yn) = waly(i'Yn ~ q) waly(i.yq)

gilt, deren GUltigkeit im Beweis von Satz 2.5 gezeigt wurde. Da fUr jede zulassigen festen p und q die AusdrUcke m ® p und n ® q fUr m = O.l ••••• M-l und n = O.l •.•.• N-l genau einmal jeden Wert O.l •..•• M-l bzw. O.l ••••• N-l annehmen. steht in den geschweiften Klammern der Walsh­koeffizient f~.N(k.i). und damit folgt dann die Behauptung (ii) .

•

Satz 2.11: FUr M = 2P und N = 2A (P.A E ~) seien die Werte der mit den gJeichen Perioden X und Y periodischen Funktionen fund 9 in den Punk ten

X y (xm'Yn) = (m"f.l • n N) • m = 0.1 ..... M-l und n = 0.1. ... ,N-l • im fundamental en Intervall bekannt und beschrankt. Dann gilt:

(i) Die diskrete dyadische Faltung ist kommutativ. d. h. D(f ® g)(xm'Yn) = D(g ® f)(xm'Yn) • und periodisch mit den Perio­den X und y.

(ii) Die diskreten Walshkoeffizienten der diskreten dyadischen Faltung D(f ® g) sind gegeben durch

D(f® g)~.N(k.i) = f~.N(k.i) g~.N(k.i)

k=O.l ..... M-l und i=O.l ..... N-l.

EIN BEISPIEL

Bild 2.13 zeigt eine schon in Bild 1.15 zusammen mit ihrem diskreten Fourier-Amplituden-Spektrum abgebildete sehr einfache periodische Funktion. die im fundamental en Intervall diskret gegeben ist. und das zugehorige diskrete Walsh-Amplituden-Spektrum (M = N = 64) . Dieses Spektrum muB man sich schon vom ersten Quadranten aus ansehen, urn einen einigermaBen korrek­ten Einblick Uber die Verteilung der verschiedenen Sequenzanteile zu er­halten.

- 123 -

fIx ,y ) , m = O,l, ... ,M-l und n O,l, ... ,N-l m n

If~,N(k,l)l, k = O,l, .•.• M-l und e = O.l, ...• N-l

Bild 2.13

Die in der Draufsicht dargestellten entsprechenden Grauwertbilder (vgl. Bild 1.17) zeigt Bild 2.14; eine schwarze Flache reprasentiert jeweils die Zahl Null und eine weiBe Flache bei der Funktion die Zahl 1 und beim Spektrum die Zahl 3/512; die dazwischenliegenden Grauwerte bedeuten je­weils entsprechend ihrer Helligkeit Werte zwischen diesen Schranken.

Wahrend im (diskreten) Fourier-Amplituden-Spektrum die niederfrequenten (bzw. niedersequenten) Anteile um den Ursprung des Koordinatensystems stehen und mit wachsender Frequenz (bzw. Sequenz) die entsprechenden Anteile radial nach au Ben aufgetragen sind, sind die niedersequenten Anteile im (diskreten) Walsh-Amplituden-Spektrum im ersten Quadranten in der Nahe des Nullpunktes und die hochsequenten Anteile in der Nahe des diagonal gegenUberliegenden Eckpunktes des Datenfeldes!

- 124 -

n

f(xm.yn) • m = D.l •...• M-l und n = D.l •...• N-l .{.

N-l

....... _ .. k

M- l

Bild 2.14

Bezeichnet man die periodischen trigonometrischen Funktionen in folgender Wei se mit

trigZ(2j.z)

trigz(2j-1.z)

cos (j -¥- z)

sin (j '-¥- z)

j = 0.1.2 ....

j = 1.2 ....

dann entsprechen die Funktionen trigz(j.z) den Walsh-Funktionen walZ(j.z) • wenn man statt cos (j ~rr z) und sin (j -¥- z) die Funktionen ca'z(j,z)

- 125 -

und salZ(j,z) nimmt. Sehreibt man mit Hilfe der trigonometrisehen Addi­tionstheoreme die diskrete Fourierteilsumme urn und ordnet dann die Funk­tionen entspreehend, so erhalt man die zur diskreten Fourierteilsumme aqui­valente Approximation

M-1 N-1 I I eM N(k,l) trigX(k,x) trigy(l,y)

k=O l=O '

.e.

N-l

iiiiiii;;-_-+ k

Bild 2.15: ICM,N(k,l)1 , k = O,1, ... ,M-1 und l = O,1, ... ,N-1

- 126 -

Die reel len Koeffizienten cM,N(k,l) lassen sich aus den Real- und Imagi­narteilen der diskreten Fourierkoeffizienten fM N(k,l) ,

M M N N ' k = -""2" ""'2 - 1 und l = - ""2""" '""2" - 1 , berechnen.

Bild 2.15 zeigt das zugehorige Amplituden-Spektrum, wenn man die sehr ein­fache periodische Funktion aus Bild 2.13 bzw. Bild 1.16 zugrungelegt. Bei dem Grauwertbild reprasentiert eine schwarze Flache die Zahl Null und eine weiBe Flache die Zahl 0.02204085 .. ; die dazwischenliegenden Grauwerte be­deuten entsprechend ihrer Helligkeit dazwischenliegende Werte.

Die Darstellung der diskreten Fourierteilsumme mit den Funktionen

trigX(k,x) trigy(l,y) , k = 0,1, ... ,M-1 und t = 0,1, ..• ,N-1 ,

entspricht der diskreten Walshteilsumme (2.27). Ein Vergleich der beiden Amplituden~Spektren zeigt jedoch, daB im trigonometrischen Funktionen­system die Schwingungsanteile "gl atter", also nicht so "kantig" wie im Walsh-Funktionensystem, und etwas anders verteilt sind. Dies untermauert die etwas unterschiedliche Interpretation des Walsh-Amplituden-Spektrums und des entsprechenden Fourier-Amplituden-Spektrums.

ZUSAMMENFASSUNG

Folgende Zusammenstellung faBt die wichtigsten Eigenschaften der zweidimen­sionalen endlichen Walsh-Transformation zusammen:

reellwertige periodische Funktion mit den Perioden X und Y

f(x,y)

f(x,y) = g(x)·h(y)

Linearitat: f(x,y) ± g(x,y)

Q'f(x,y) , Q E R

dazugehorige Walshkoeffizienten ( k,t = 0, 1 ,2, • •• )

fV(k,t) ={ 6 i 6 f(x,y)walx(k,x)waly(t,y)dydx

I I (fV(k,l))2=t Ii J (f(x,y»2dydx k=O t=O 0 0

lim fV(k,t) = 0 , lim fV(k,l) = 0 k ... "" l .... ""

fV(k,t) ± gV(k,l)

Q'fv(k,t)

- 127 -

FUr die zweidimensionale diskrete Walsh-Transformation gel ten folgende wichtige Eigenschaften:

diskrete reelle Werte einer perio- dazugehorige diskrete Walshkoeffizien­dischen Funktion mit den Perioden ten (k = 0.1 ••••• M-1 und X und Y in den Punkten £ = 0.1 ••••• N-1)

X Y (xm.yn) = (m R • n N) • m = 0.1 ••••• M-1 und n=0.1 ••••• N-1 (M.N sind Potenzen von 2)

M-1 N-1 f(xm.yn) = L L f~ N(k.£)·

k=O £=0 •

• walX(mfxk) waly(n.y£)

diskrete Korrelation:

diskrete Faltung:

v 1 M~1 1 N~1 f M N( k .£) = R L N L f( x .y ) •

• m=O n=O m n

f~.N(k+PM.£+qN) = f~.N(k.£)

P.q E {0.1.2 •••• }

f~.N(k.£) = g~(k}.h~(£)

f~.N(k.£) ± g~.N(k.£)

- 128 -

2.4 ZUR EFFEKTIVEN BERECHNUNG DER DISKRETEN WALSH-TRANSFORMATION

DER EINDIMENSIONALE FALL

1m Unterschied zu den diskreten Fourierkoeffizienten werden zur Bestimmung der diskreten Walshkoeffizienten (2.10)

M-1 f~(k) = ~ I f(xm) walx(k,x )

m=O m k = 0.1, .••• M-1

keine Produkte. sondern nur Additionen/Subtraktionen durchgefUhrt, da die Walsh-Funktionen nur die Werte +1 und -1 annehmen.

Ein weiterer groBer Vorteil bei der Berechnung der diskreten Walshkoeffi­zienten gegenUber der der diskreten Fourierkoeffizienten liegt darin, daB die Potenzen der Einheitswurzel komplex sind und paarweise verschieden sein konnen, wahrend die Walsh-Funktionen nur die beiden reel len Werte ±1 an­nehmen. FUr reelle Datenfelder laBt sich daher die bei der diskreten Fourier-Analyse unumgangliche komplexe Rechnung vermeiden. AuBerdem sind in einem Computer samtliche Potenzen der irrationalen Einheitswurzel nicht eKakt darstellbar, wohl aber die Werte ±1 !

Die diskrete Walsh-Transformation kann man unter Umstanden noch beschleu­nigen, falls ein Computer nicht "parallel" arbeitet. d. h. keine Bausteine besitzt, die die Summe von mehreren Zahlen auf einmal bestimmen konnen, sondern Additionen (und Multiplikationen) sequentiell ausfUhrt.

1st [O,X) das fundamentale Intervall und M = 2' (,: E }l) die Anzahl der darin aquidistant verteilten Punkte xl = I ~ , I = 0,1, ••• ,M-1 , so werden zur Bestimmung der Koeffizienten

(2.32) k = 0,1 ••..• M-1

bei vorgegebenen reellen Werten {fl I I = 0,1, ••. ,M-1} auf direktem Wege M(M-l) reelle Additionen/Subtraktionen durchgefUhrt. [Zum Vergleich im trigonometrischen Fall: Die Berechnung der Koeffizienten (1.38)

1 M~l -2ni k i aM(k) = N I fl e k = 0,1, ••. ,M-1

1=0

benotigt auf direktem Wege M2 korrrplexe Multiplikationen und M(t.1-1) korrrplexe Additionen (I); unberUcksichtigt geblieben ist jeweils die Normie­

rung durch die Division durch M.J

- 129 -

Die Werte der Walsh-Funktionen in den diskreten Punkten xi sind nach Satz 2.3 (i) gegeben durch

(2.33)

wobei die nichtnegativen ganzen Zahlen j,i < M = 2T die eindeutigen Dual­zahldarstellungen

T-1 (2.34) j = L ]J 2"

v=O v , ]J ,W E {0,1}

v v

besitzen und die Modulo-2-Addition ~ durch (2.14) erklart ist.

Ordnet man die nach ansteigenden Sequenzen durchnumerierten Walsh-Funktionen geeignet urn, so kann man uber einen FFT-artigen Algorithmus fur die Berech­nung der M = 2T diskreten Walshkoeffizienten eine Reduktion der Anzahl der notigen Additionen auf T·2T (statt 2T(2T_1)) erreichen.

Dazu benotigt man die Gray-Cod( , die jeder nichtnegativen ganzen Zahl j < 2T mit der Dualzahldarstellung aus (2.34) die eindeutige nicht­negative ganze Zahl g(j) < 2T mit der Dualzahldarstellung

(2.35)

zuordnet.

Die sh-Funktionel1 sind gegeben durch die Beziehung

(2.36) j = 0,1, ...

Der Definition (2.35) der Gray-Code Funktion kann man entnehmen, daB diese Funktion ganze Zahlen nur innerhalb der "Packchen" 2q- 1, ••• ,2q-1 , q E ~ ,

umordnet, d. h. mit j E {2Q- 1, ••• ,2q-1} ist auch g(j) E {2Q- 1, ••• ,2q-l}

Fur nichtnegative ganze Zahlen j.i < M = 2T mit den Dualzahldarstellungen (2.34) sind dann wegen (2.33) und (2.35) die Werte der nach Paley geordneten Walsh-Funktionen in den

(2.37)

Punkten xl gegeben T-l

kL ]Jk wT-l-k (-0 =0

durch

- 130 -

diese Funktionen genUgen auch der Symmetriebedingung palX(j,xl } = palx(l,xj } Die nach Paley geordneten Walsh-Funktionen haben nicht nur bei analytischen Untersuchungen Vorteile (siehe auch die Bemerkung zur Konvergenz der Walsh­teilsummen am Ende von Abschnitt 2.1), sondern man kann fUr sie auf ahn­liche Weise und unter vergleichbarem Aufwand wie bei der diskreten Fourier­Transformation einen FFT-artigen Algorithmus zur Berechnung der diskreten Walsh-Paley-Koeffizienten (Walsh-Koeffizienten in der Paley-Ordnung) her­leiten, der sich davon nur dadurch unterscheidet, daB alle trigonometrischen Werte (Potenzen der Einheitswurzel) durch 1 ersetzt werden.

Eine weitere Vereinfachung bei der Berechnung solcher Koeffizienten erreicht man, wenn man die nach Paley geordneten Walsh-Funktionen mit Hilfe der Bit­Umkehrfunktion 0 (vgl. Kapitel 1.4) weiter umordnet. Die Bit-Umkehr-, funktion 0 ordnet jeder nichtnegativen ganzen Zahl j < 2' mit der , Dualzahldarstellung

mi tilE {O, 1} v

die nichtnegative ganze Zahl o (j) < 2' mit der Dualzahldarstellung , T-1

a (j) = L Il 2v T v=O T-1-v

zu. Die auf diese Weise geordneten Walsh-Funktionen ha'x(k,x) heiBen nach Hadamard (oder natUrlich) , geordnet" und sind gegeben durch

(2.38) j = 0,1, •.• , 2T -1

zu den nach ansteigenden Sequenzen geordneten Walsh-Funktionen stehen sie Uber die Gleichung

(2 .39) j=0,1, ... ,2T -1

in Verbindung. FUr nichtnegative ganze Zahlen j,l < M = 2T mit den Dual­zahldarstellungen (2 .34) sind dann die Werte der nach Hadamard geordneten Walsh-Funktionen in den Punkten xl gegeben durch

T-1 L Ilk Ulk

(2.40) halx(j,xl } = (_l}k=O

diese Funktionen haben deshalb ebenfalls die Symmetrieeigenschaft ha 1 X (j , xl) = ha 1 X (l , x j) .

- 131 -

Folgende Zusammenstellung zeigt die Zuordnungen der dyadisch geordneten Walsh-Funktionen palX(k,x) und der natUrlich geordneten Walsh-Funktionen halX(k,x) zu den nach ansteigenden Sequenzen geordneten Walsh-Funktionen wa 1 X ( k , x) fU r T = 4 , d. h. M = 2 T = 16 :

pal X (a,x) = wal X (a,x) hal x (a,x) = wal X (a,x)

pal X (l,x) = wal X ( 1 ,x) hal X (l,x) = wal X(15,x)

pal X (2,x) = wal X (3,x) hal X (2,x) = wal X (l,x)

pal X (3,x) = wal X (2,x) hal X (3,x) = wa 1 X (B,x)

pal X (4,x) = wal X (l,x) hal X (4,x) = wal X (3,x)

pal X ( 5,x) = wal X (6,x) hal X ( 5,x) = wal X( 12,x)

pal X (6,x) = wal X (4,x) hal X (6,x) = wal X (4,x)

pal X (l,x) = wal X (5,x) hal X (l,x) = wal X(ll,x)

pal X (B,x) = wal X(15,x) hal X (B,x) = wal X (l,x)

pal X (9,x) = wal X(14,x) hal X (9,x) = wa 1 X (14 ,i<)

pal X(la,x) = wal x(12,x) hal x(la,x) = wal X (6,x)

pal X(ll,x) = wal X(13,x) hal X(ll,x) = wal X (9,x)

pal X(12,x) = wal X (B,x) hal X(12,x) = wal X (2,x)

pal X(13,x) = wal X (9,x) hal X(13,x) = wal x(13,x)

pal X(14,x) = wal X(ll,x) hal X(14,x) = wal x (5,x)

pal x(15,x) = wal x(la,x) hal X(15,x) = wa\( la,x)

FUr wachsendes T andert sich die Zuordnung der ersten Walsh-Paley-Funk­tionen palX(k,x) zu den Walsh-Funktionen walX(k,x) nicht (vgl. (2.36)), da die Gray-Code Funktion 9 nicht von T abhangt, wahrend die Walsh­Hadamard-Funktionen halX(k,x) den Walsh-Funktionen walX(k,x) dann vollig neu zugeordnet werden (vgl. (2.39)), da dies zusatzlich Uber die von T

abhangige Bit-Umkehrfunktion a geschieht. T

- 132 -

ZWEI PROGRAMME

FUr einen reellen Datensatz {f(xm) I m = O,1, ••• ,2T-1} (T E ~) fUhrt folgendes Standard-FORTRAN 77-Unterprogramm die diskrete Walsh-Paley-Trans­formation und die Umkehrtransformation durch:

SUBROUTINE FPT(TAU,F,IR)

cccccccccccccccccccccccccccccceeeececcceeceecccecceccccccccccccccccccccccce c c c DIESES PROGRAHH BESTIHHT HIT DER SCHNELLER WALSH-PALEY-TRAHSFOR- C C MATION (FPT) ZU M=2--TAU GEGEBENEN REELLER FURKTIOHSWERTEN C c F(O), ••• ,F(M-l) DIE DISKRETEN WALSH-PALEY-KOEFFIZIERTEN ODER C C FUEHRT DIE UMKEHRTRAHSFORMATIOH DURCH. C C C C PARAHETER C C =........ C C C C TAU DAS FELD FIST FUER ELEHENTE F(J) ,J.O, •• ,H-l , C C M • 2--TAU , VEREIIBART. C C C C IR.O - BESTIMMUNG DER DISKR!T!I WALSH-PALEY-KOEFFIZIENTEN C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DBH FUHKTIOHSWERTEH BELEGT C C U!BERGEBEN UID 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAHHS HIT DEH C C DISERET!N WALSH-PALEY-KOEFFIZIENTER U!BERSPEICHERT. C C C C IR.l - BESTIMHUNG DER FUH[TIONSWERTE , C C C C DAS REELL! FELD F WIRD HIT DEN DISKR!TEN WALSH-PALEY- C C KOEFFIZIENTEN BELEGT UEBERGEBEN DND 1ST NACH ABLADF DES C C PROGRAHHS MIT DEN FUN[TIONSWERTEH UEBERSPEICHERT. C C C ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

INTEGER TAU, SIGHA REAL F(0,2--TAU-l)

H.2--TAU X.l.0 IF (IR.HE.O) GOTO 5 X.l.0/REAL(M)

5 CONTINUB

c·····················································I. e UHSPEICHBRUNG MIT DER BIT-UMKEHRFURKTION C ( GLBICHZEITIGE HORMIERURG, FALLS IR.O ) c ••••••••••••••••••••••• ~ ••••••••••••••••••••••••••••• II

DO 30 J.O,H-l II:.J SIGHA=O N2=H/2 N.l

DO 20 L.O,TAU-l IF (K.LT.N2) GO TO 10 SIGMA=SIGMA+N II:.K-N2

10 N.H+H H2.8212

20 COHTINUE IF(SIGMA.LT.J) GOTO 30 U.F(J)-X F(J).F(SIGMA)-X F(SIGMA).U

30 CONTINUE

- 133 -

c····················································· .. C DURCRFUEHRURO DER (UHKIHR-)TRANSFORHATION

c····················································· .• c···· MM • 2"(N-1) ••••

HH.l DO 130 N.l, Tau

DO 120 L.O, HH-l DO 110 J.o, M-HM-HH, HH+HH U.F(J+L+HH) F(J+L+MH).F(J+L)-U F(J+L).F(J+L)+U

110 CONTINUE 120 CONTINUE

HH.HH+HH 130 CONTINUE

RETURN END

Man Ubergibt dem Unterprogramm FPT mit IR=O das Datenfeld

j = 0.1 ••••• 2'-1

nach Ablauf des Programms ist das Feld F Uberspeichert mit den F(k) = f~ (k) • die durch

2' 2'-1

r (k) = -1. ~ f(xm) palX(k.xm) k = 0.1 ••••• 2T_1 2T 2' m=O

gegeben sind und die sich wegen (2.36) von den diskreten Walshkoeffizienten nur durch ihre Anordnung unterscheiden; genauer gilt

(2.41) (" (g(k» 2'

Statt der diskreten Walshteilsumme (2.12) erhalt man auf diese Weise als Approximation einer periodischen Funktion f die

2' -1 L f'" (k) palX(k.x)

k=O 2'

Zur RUcktransformation (IR=1) ist nach Ablauf des Programms das einge-gebene Datenfeld F(k) f"" (k) • k

2'

F • das mit den diskreten Walsh-Paley-Koeffizienten 0,1, ••• ,2'-1 , belegt Ubergeben wird, mit dem Daten-

feld F(j) = f(X j ) , j = 0.1, •••• 2'-1 , Uberspeichert.

- 134 -

Man erhalt die diskreten Walsh-Hadamard-Koeffizienten, wenn man in dem Unterprogramm FPT die Umordnung der Eingabedaten mit der Bit-Umkehrfunktion unterbindet; die Eingabedaten sind bei der Transformation (IR=O) nur noch durch Multiplikation mit 2-T zu normieren.

Die Berechnung der diskreten Walsh-Paley-Koeffizienten und der diskreten Walsh-Hadamard-Koeffizienten ist weniger aufwendig als die der diskreten Walsh-Koeffizienten, das das nachfolgende Programm leistet. Will man z. B.

k 1 h ' k h q-1 q die dis reten Wa s -Koeffizienten innerhalb der 'Pac c en" 2 , ••• ,2-1 (q E ~) gleich manipulieren, so braucht man nur die diskreten Walsh­Paley-Koeffizienten zu bestimmen, da diese durch eine Umordnung der diskre­ten Walsh-Koeffizienten innerhalb eines sol chen "Packchens" hervorgehen.

Sowohl die diskrete Walsh-Paley-Transformation als auch die diskrete Walsh­Hadamard-Transformation sind ein-eindeutig, haben entsprechende Eigenschaf­ten, wie sie in diesem Kapitel fUr die diskrete Walsh-Transformation herge­leitet wurden, und liefern diesel ben Informationen wie die diskrete Walsh­Transformation. FUr viele Zwecke sind aber die zunachst ohne direkten Sinn, sondern aus technischen GrUnden umgeordneten Koeffizienten nicht so von Interesse wie die diskreten Walshkoeffizienten, die nach den nach ansteigen­den Sequenzen geordneten Walsh-Funktionen durchnumeriert sind.

Folgendes Unterprogramm in Standard-FORTRAN 77 fUhrt fUr einen reel len Datensatz {f(xm) I m = 0,1, .•• ,2T-n h E ~ , T ~ 10) die diskrete Walsh-Transformation und die Umkehrtransformation durch (fUr T > 10 muB nur die Dimensionierung der Felder Y und GRAY im Vereinbarungsteil entsprechend geandert werden):

SUBROUTINE FWT(TAU,F,IR)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC C C C DIESES PROGRAMM BESTIMMT MIT DER SCHNELLEN WALSH-TRANSFORMATION C C (rWT) ZO M=2 •• TAU GEGEBENEN RESLLEN FUNKTIONSWERTEN F(O),.. C C •• ,F(M-l) DIE DISKRETEN WALSHKOEFFIZIENTEN FV(O), ••• ,FV(M_l) C COER ZUGEHOERIGEN DISKRETEN WALSHTEILSUMME ODER FOEHRT DIE UMKEHR- C C TRANSFORMATION DORCH. C C C C PARAMETER C C ========= C C C C TAU - DAS FELD FIST FUER ELEMENTE F(J) ,J=O, •• ,M-l , C C M = 2**TAO , VEREINBART. C C (FUER TAO> 10 MUSS DIE DIMENSIONIERUNG DER FELDER Y C C UNO GRAY ENTSPRECHEIID GUENDERT WERDEN.) C C C C IR=O - BESTIMMONG DER DISKRETEII WALSHKOEFFIZIENTEN : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD HIT DEN FONKTIONSWERTEN BELEGT C C UEBERGEBEN UNO 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAMMS MIT DEN C C DISKRETEN WALSHKOEFFlZIENTEN OEBERSPEICHERT. C C C C IR=1 - BESTIMMUNG DER FUHKTIONSWERTE : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DEN DISKRETEN WALSHKOEFFIZI- C C ENTEN BELEGT DEBERGEBEN UNO 1ST NACH ABLAUF DES PROGRAMMS C C MIT DEN FUNKTIONSWERTEN UEBERSPEICHERT. C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

- 135 -

IHTEGER TAU, SIGHA, GRAY(0.,023) REAL F(O,Z"TAU-l), Y(0.,023)

H=Z··TAU X= 1.0 IF (IR.HE.O) GOTO 5 hl.0/REAL(H)

5 COHTIHOE

c·····················································I' C BERECHHUHG DER GRAY-CODE FUNKTION OND C UHSPEICHERONG HIT DER BIT-OHKEHRFONKTIOR C ( GLEICHZEITIGE NORHIERUHG, FALLS IR=O )

C·····················································II DO 30 J.O,H-l g=J SIGHA=O GRAY(J)=O HN=O HZ=HIZ N=1

DO ZO L=O,TAU-l IF (K.LT.HZ) GOTO 10 SIGHhSIGHA+H GRAY(J)=GRAY(J)+(I-HH)·M2 HH=1 K=K-H Z GOTO 15

10 GRAY(J)=GRAY(J)+HH.N2 HN.O

15 N=N+N HZ.H2/2

20 CONTINUE Y(J)=F(SIGHA)·X

30 CONTINOE

c·····················································I' C DURCHFUEHRUHG DER (UHKEHR-)TRAHSFORHATION

c·····················································I. c···· HH = 2 U (N-1) ••••

HH=1 DO 130 Nol, TAU

DO 120 L=O, HH-l DO 110 J=O, H-HH-HH, HH+HH U=Y(J+L+HH) Y(J+L+HH)=Y(J+L)-U I(J+L)=Y(J+L)+U

110 CONTIN UE 120 CONTINUE

HH=HH+HH 130 CONTINOE

C.··. OHSPEICHERUNG HIT DER GRAY-CODE FUHKTIOH •••••

DO 150 J=O, H-l F(J)=Y(GRAY(J»

150 CONTINUE

RETURN END

Zur Bestimmung der diskreten Walshkoeffizienten (IR = 0) Ubergibt man diesem Unterprogramm das mit den Funktionswerten belegte Datenfeld F

j = 0,1, ... ,2T -1

das nach Ablauf des Programms mit den diskreten Walshkoeffizienten Uber­speichert ist

F(j) = fV (k) 2T

k 0,1 , ... , 2T -1

- 136 -

DER MEHRDIMENSIONALE FALL

Die Berechnung der diskreten Walshkoeffizienten la6t sich im mehrdimensio­nalen Fall wie bei den diskreten Fourierkoeffizienten iteriert eindimensio­nal durchfUhren. So kann speziell im zweidimensionalen Fall die Bestimmung der diskreten Walshkoeffizienten eines gegebenen Datenfeldes {f(xm'Yn) 1m = 0,1, ... ,M-1 und n = 0,1, ... ,N-U separabel erfolgen, da

v 1 M-1 1 N~1 fM N(k,!) = MIN I f(xm,yn) walx(k,xm) waly(l'Yn)

, m=O n=O

ist. Wie bei der Berechnung der diskreten Fourierkoeffizienten ergeben also sukzessive eindimensionale Transformationen des gegebenen Datenfeldes, erst M mal "zeilenweise"

l = 0,1, .... N-1

fUr m = 0,1, ••• ,M-l , und dann N mal "spaltenweise"

k=0.1 ..... M-1

fUr l = 0.1 ••••• N-l • die Koeffizienten f~,N(k,l) • Zuerst N "spalten­weise" und dann M "zeilenweise" eindimensionale Transformationen fUhren zum gleichen Ergebnis.

Dieselbe Vorgehensweise gilt auch fUr die Bestimmung von mehrdimensionalen diskreten Walsh-Paley-Koeffizienten (Walshkoeffizienten in der dyadischen Ordnung) und Walsh-Hadamard-Koeffizienten (Walshkoeffizienten in der natUr-1 i chen Ordnung).

ZWEI PROGRAMME

FUr ein reelles quadratisches Datenfeld

{f(Xj'Yk) I j.k = 0.1 ..... 2T-1} (T E::N. T ~ 9)

fUhrt folgendes Standard-FORTRAN 77 Unterprogramm die diskrete Walsh-Paley-

- 137 -

Transformation und die Umkehrtransformation durch (bei gro6eren als 512 x 512-elementigen Datenfeldern muB nur im Vereinbarungsteil die Dimen­sionierung des Feldes SIGMA entsprechend geandert werden):

SUBROUTINE FPT2D(TAU,F,IR}

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC~CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

C C C DIESES PROGRAMM TRANSFORMIERT ODER RUECKTRANSFORMIERT EIN C C 2-DIMENSIONALES REELLES QUADRATISCHES FELD F(J,K} , C C J,K=O, ••. ,2··TAU - 1 , MIT DER SCHNELLEN WALSH-PALEY- C C TRANSFORMATION (FPT) • C C C C PARAMETER C C ========= C C C C TAU DAS FELD FIST FUER ELEMENTE F(J,K} , J,K=O, •• ,M-l ,C C M = 2 •• TAU , VEREINBART. C C ( FCER TAU > 9 MUSS DIE DIMENSIONIERUNG DES FELDES C C SIGMA ENTSPRECHEND GEAENDERT WERDEN.) C C C C IR=O - BESTIMMUNG DER DISKRETEN WALSH-PALEY-KOEFFIZIENTEN : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DEN FUNKTIONSWERTEN BELEGT C C UEBERGEBEN UND 1ST NACH ABLACF DES PROGRAMMS MIT DEN C C DISKRETEN WALSH-PALEY-KOEFFIZIENTEN UEBERSPEICHERT. C C C C IR= 1 - BESTIMMUNG DER FUNKTIONSWERTE : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DEN DISKRETEN WALSH-PALEY- C C KOEFFIZIENTEN BELEGT UEBERGEBEN UND 1ST NACH ABLAUF DES C C PROGRAMMS MIT DEN FUNKTIONSWERTEN UEBERSPEICHERT. C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

INTEGER SIGMA(0:511}, TAU REAL F(O:2 •• TAU-l,O:2 •• TAU-l} M=2··TAU X= 1.0 IF(IR.EQ.l} GOTO 5 X=1.0/REAL(M}

5 CONTINUE

c·····················································. C BERECHNUNG DER BIT-UMKEHRFUNKTION

c·····················································. c····

MM=M MN= 1 SIGMA(O}=O DO 20 N=TAU, 1, -1 MM=MM/2

DO 10 J=O, MN-l SIGMA(J+MN}=SIGMA(J}+MM

10 CONTINUE MN=MN+MN

20 CONTINUE

••••

c······················································ C ZEILENWEISE FPT DES FELDES

c·····················································. DO 150 K=O,M-l

C·· •• UMSPEICHERUNG MIT DER BIT-UMKEHRFUNKTION •••• C···. ( GLEICHZEITIGE NORMIERUNG, FALLS IR=O ) ••••

DO 100 J=O,M-l IF(SIGMA(J}.LT.J} GOTO 100 U=F(K,J)·X F(K,J)=F(K,SIGMA(J»'X F(K,SIGMA(J»=U

100 CONTINUE

c •• •• UMSPEICHERUNG BEENDET •••••••••••••••••••••••

- 138 -

c···· •••• HH.l

DO 130 Mol,TAU DO 120 LoO,HM-l

DO '10 J=c,M-MM-MM,MM+MM UoF(l,J+L+MM) F(l,J+L+MM)=F(l,J+L)-U F((,J+L)=F(K,J+L)+O

'10 CONTINOE 120 CONTINOE

MM=MM+MM 130 CONTINOE

150 CONTINUE

c······················································ C SPALTENWEISE FPT DES PELDES

C······················································ DO 250 IC.O,M-l

c···· UMSPEICBERUNG MIT DER BIT-UMKEHRFUNKTIOH •••• C···· ( GLEICHZEITIGE NORMIERUNG, FALLS IR=O ) ••••

DO 200 J=O,M-' IF(SIGMA(J).LT.J) GOTO 200 UoF(J,It)·X F(J,K)=F(SIGMA(J),K)·X F(SIGMA(J),K)=U

200 CONTINUE

c···· UMSPEICHERUNG BEEN DE! •••••••••••••••••••••••

c···· •••• MM=1

DO 230 N.l,TAU DO 220 L=O,MM-l

DO 210 J=c,M-MM-MM,MM+M" U=F(J ... L ... MM,IC) F(J+L+MM,K).F(J+L,IC)-U F(J+L,K).F(J+L,K)+U

210 CONTINOE 220 CONTINUE

HMoMM+MM 230 CONTINUE

250 CONTINUE

RETURN END

Man Ubergibt dem Unterprogramm FPT2D mit IR=O das im Hauptprogramm 2T x 2T-dimensionierte Datenfeld *)

j.k = O.1 ••••• 2T_1

nach Ablauf des Programms ist das Feld F Uberspeichert mit den F(k,l) f (k,l) , die durch

2T .2T 2T -1

2' n~o f(xm,yn) palx(k,xm) paly(l,Yn)

*) Das Datenfeld F darf in der rufenden Programmeinheit nicht anders als 2' x 2T-elementig vereinbart sein!

- 139 -

k,l = 0,1, ••.• 2'-1 • gegeben sind und die sich wegen (2.36) von den diskre­ten Walshkoeffizienten nur durch ihre Anordnung unterscheiden; genauer gilt

fV (k.1) = ~ (g(k),g(l)) 2' .2' 2' .2'

k.1 = O. 1. ...• 2' -1

mit der in (2.35) angegebenen Gray-Code Funktion g. Statt der diskreten Walshteilsumme (2.27) erhalt man auf diese Weise als Approximation die diskrc ley-Tei1 summe

2'-1 2'-1 DPM N(f)(x.y) = ~ ~ f~ (k.1) palX(k.x) paly(l.y)

• k=O 1=0 2' .2'

Zur Rucktransformation (IR=l) ist nach Ablauf des Programms das eingege­bene Datenfeld F. das mit den diskreten Walsh-Paley-Koeffizienten F(k.1) = f~ (k.1). k.1 = 0.1 •...• 2'-1 • belegt ubergeben wird. mit dem

2T .2T

Datenfeld F(j.k) = f(xj'Yk) • j.k = 0.1 ••..• 2'-1. uberspeichert.

Man erhalt die diskreten Walsh-Hadamard-Koeffizienten, wenn man in diesem Unterprogramm die Umordnung der Eingabedaten mit der Bit-Umkehrfunktion (und damit auch die Berechnung dieser Funktion) unterbindet; die Eingabe­daten sind bei der Transformation (IR=O) nur noch durch Multiplikation mit 2-' zu normieren.

Folgendes Standard-FORTRAN 77-Unterprogramm fuhrt die diskrete Walsh-Trans­formation fur ein reelles quadratisches Datenfeld {f(xj'Yk) I j.k = 0.1 •..•• 2'-1} (. E :ti. ,~9) und die Umkehrtransforma­tion durch (fur ,> 9 muB man die Dimensionierung der Felder SIGMA. GRAY und Y im Vereinbarungsteil entsprechend andern):

- 140 -

SUBROUTINE FWT2D(TAU,F,IR)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCeC C C C DIES!S PROGRAMM TRANSFORMIIRT ODIR RUECKTRANSFORMIERT lIN C C 2-DIMENSIONALES REELL!S QUADRATISCHES FELD F(J,K) , C C J,K.O, ••• ,2 •• TAU - 1 , MIT DER SCBNELLEN WALSH-TRANSFOR- C C MATION (FWT) C C C C PARAMETER C C =======:11: C C C C TAU DAS FELD FIST FUER ELEMENTE F(J,K) , J,K.O, •• ,M-l ,C C M • 2 •• TAU , VEREINBART. C C ( FUER TAU > 9 MUSS DIE DIMENSIONIERUNG DIR FELDER C C SIGMA, GRAY UNO Y ENTSPRECHEND GEAENDERT WERDEN.) C C C C IR=O - BESTIMMUNG DER DISKRETEN WALSHKOEFFIZIENTEM : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DEN FUNKTIONSWERTEN BELEGT C C UEBERGEBEN UNO 1ST MACH ABLAUF DES PROGRAMMS MIT DEN C C DISKRETEN WALSBKOEFFIZIENTEN UEBERSPEICHERT. C C C C IR= 1 - BESTIMMUHG DER FUHII:TIOHSWERTE : C C C C DAS REELLE FELD F WIRD MIT DEB DISKRETEN WALSHIOEFFI- C C ZIENTER BELEGT UEBERGEBEN UND 1ST MACH ABLAUF DES PRO- C C GRAMMS MIT DEN FUNITIORSWERTER UEBERSPEICHERT. C C C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

INTEGER SIGMA(0:511), GRAY(0:511), TAU REAL F(0.2··TAU-l,0:2 •• TAU-l), Y(0.511) M=2··TAU X.l.0 tF(IR.EQ.l) GOTO 5 hl.0/REAL(M) CONTINUE

c·····················································. C BERECHNUNG DER BIT-UMKEHRFUNKTION C UND DER GRAY-CODE rURITIOR c······················································

DO 30 J=O,H-l IC=J SIGMA(J).O GRAY(J).O HN.O N2=H/2 N=1

DO 20 L.O,TAU-l IF(IC.LT.N2) GOTO 10 SIGMA(J).SIGHA(J)+N GRAY(J)=GRAY(J)+(I-HN)·N2 HN.l K.lI:-N2 GOTO 15

10 GRAY(J).GRAY(J)+HN.N2 H1hO

15 MoR+N N2.N2/2

20 CONTINUE 30 CONTINUE

c······················································ C ZEILENWEISE FWT DES FELDES

C·····················································. DO 150 K=O,H-l

C·· •• UHSPEICHERUNG HIT DER BIT-UHKEHRFUHlI:TION •••• C···· ( GLEICHZEITIGE NORHIERURG, FALLS IR=O ) ••••

DO 100 J.O,H-l Y(J)=F(K,SIGHA(J»·X

100 CORTINUE

C···· UHSPE!CHERUHG BEERDET •••••••••••••••••••••••

- 141 -

c···· MM = 2"(N-l) , ... MM=1

DO 130 N=1,TAU DO 120 L=O,HH-l

DO 110 J=O,H-HH-HM,HH+MM U=Y(J+L+MM) Y(J+L+HM)=Y(J+L)-U Y(J+L)=Y(J+L)+U

110 CONTINUE 120 CONTINUE

HH=HH+HM 130 CONTINUE

C •••• UMSPEICHERUNG MIT DER GRAY-CODE FUNKTION ••••

DO 1~0 J=O,M-l F(K,J)=Y(GRAY(J»

1~0 CONTINUE

150 CONTINUE

c·····················································. C SPALTENWEISE FWT DES FELDES

C······················································ DO 250 K=O,M-l

c •• •• UMSPEICHERUNG MIT DER BIT-UMKEHRFUNKTION •••• C •••• ( GLEICHZEITIGE NORMIERUNG, FALLS IR=O ) ••••

DO 200 J=O,M-l Y(J)=F(SIGMA(J),K)'X

200 CONTINUE

c •••• UMSPEICHERUNG BEENDET •••••••••••••••••••••••

c···· MM = 2"(N-l) •••• MH=1

DO 230 N=1,TAU DO 220 L=O,HH-l

DO 210 J=OtM-MM-MM,MM~HM U=Y(J+L+HM) Y(J+L+HH)=Y(J+L)-U Y(J+l.)=Y(J+L)+U

210 CONTINUE 220 CONTINUE

HH=MM+HH 230 CONTINUE

c •••• UMSPEICHERUNG MIT DER GRAY-CODE FUNKTION ••••

DO 2~0 J=O,M-l F(J,K)=Y(GRAY(J»

2~0 CONTINUE

250 CONTINUE

RETURN END

FUr die Bestimmung der diskreten Transformation (IR=O) Ubergibt man dem Unterprogramm FWT2D das im rufenden Programm 2' x 2'-elementig dimensio­nierte Datenfeld F(j,k) = f(xj'Yk) , j,k = 0,1, ... ,2'-1 *). Nach jeder eindimensionalen (Walsh-Paley-)Transformation werden gemaB der Beziehung (2.41) die erhaltenen Daten mit der Gray-Code Funktion umgeordnet. Nach Ablauf des Unterprogramms ist das Feld F Uberspeichert mit den diskreten

*) In der rUfenden Programmeinheit darf das Feld F nicht anders als 2' x 2'-elementig dimensioniert sein!

- 142 -

Walshkoeffizienten F(k,l) = fV (k,l), k,l = Q,1 •••• ,2T-1 • 2T.2T

Auch die in diesem Abschnitt angegebenen Programme lassen sich zur effizien­teren AusfUhrung auf modernen Rechenanlagen (z. B. Pipeliner) "vektorisie­ren". Die Programme FPT2D und FWT2D zur Berechnung der diskreten Walsh­Paley-Koeffizienten (und damit auch der diskreten Walsh-Hadamard-Koeffizien­ten) und der diskreten Walshkoeffizienten andert man dann genauso ab wie die Programme zur diskreten Fourier-Transformation, indem man die Summation Uber die einzelnen Zeilen und Spalten des Feldes jeweils in der innersten Schleife einer eindimensionalen Transformation durchfUhren laBt. Bei der Berechnung der diskreten Walshkoeffizienten muB man zusatzlich die Umspeicherung mit der Gray-Code Funktion modifizieren. Der Programmteil der zeilenweisen FWT hat dann folgendes Aussehen:

c······················································ C ZEILENWEISE FWT DES FELDES

c······················································ c •••• UHSPEICHERUNG HIT DE~ BIT-OHKEHRFONKTION •••• c •••• ( GLEICHZEITIGE NORMIERUNG, FALLS IR=O ) ••••

DO 100 J=O,H-l IF(SIGHA(J).LT.J) GCTO 100

DO 95 IC=O,H-1 U=F(K,J) F(K,J)=F(K,SIGHA(J»'X F(K,SIGMA(J»=U'X

95 CONTINUE 1 00 CONTINUE

c •••• UHSPEICHERUNG BEENDET •••••••••••••••••••••••

c···· MM=l

DO 130 .=l,TAU DO 120 L=O,MM-l

••••

DO 110 J=O,M-MM-MM,MM+MM DO 105 K=O,M-l U=F(lt,J+L+MM) F(K,J+L+MM)=F(K,J+L)-U F(lt,J+L)=F(K,J+L)+U

105 CONTINUE 110 CONTINUE 120 CONTINUE

MM=MM+MM 130 CONTINUE

C., •• UMSPEICHERUNG MIT DER GRAY-CODE FUNITION ••••

DO 150 (:0,M-1 DO 1_0 J=O,M-l Y(J)=F(K,GRAY(J»

1 ~O CONTINUE DO 145 J=O,H-l F(lt,J)=Y(J)

1~5 CONTINUE 150 CONTINUE

Die gleiche Xnderung ist dann noch be; der spaltenweisen FWT vorzunehmen.

- 143 -

2.5 LITERATUR

Drei gute und leicht verstandliche BUcher, die sich mit Walsh-Funktionen

und Anwendungen der diskreten Walsh-Transformation beschaftigen, sind:

N. AHMED - K. R. RAO: Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1975)

F. HARMUTH: Transmission of Information by Orthogonal Functions Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1972)

F. HARMUTH: Sequency Theory, Foundations and Applications Academic Press, New York-San Francisco-London (1977)

EingefUhrt wurden die Walsh- und die Walsh-Paley-Funktionen mit den beiden

Veroffentlichungen:

J. L. WALSH: A Closed Set of Normal Orthogonal Functions American Journal of Mathematics, Vol. 45 (1923), 5 - 24

R. E. A. C. PALEY: A Remarcable Series of Orthogonal Functions Proceedings of the London Mathematical Society, Vol 34 (1932), 241 - 279

Ein guter Ubersichtsartikel Uber theoretische Aspekte mit einem ausfUhr­

lichen Literaturverzeichnis ist:

L. A. BALASHOV - A. I. RUBINSHTEIN: Series With Respect to the Walsh System and Their Generalizations Plenum Publishing Corporation, New York (1973)

AusfUhrliche Literaturzusammenstellungen Uber Walsh- und damit verwandte

Funktionen und vielfaltige Anwendungen enthalten die beiden folgenden Bibliographien:

- 144 -

An Annotated Bibliography on Walsh and Walsh Related Functions John Hopkins University, Applied Physics Laboratory, Technical Report TG-1198 A (1973)

J. N. BRAMHALL: The First Fifty Years of Walsh Functions Proceedings of the Symposium on the "Applications of Walsh Functions" (1973), 41 - 60

Sahnelle Algorithmen f~ die diskrete Walsh-Transformation und damit ver­wandte Transformationen sind bekannt seit folgendemArtikel ZUP Sahnellen Walsh-Paley-Transformation:

J. L. SHANKS: Computation of the Fast Walsh-Fourier Transform IEEE Transactions on Computers, Vol. C-18 (1969), 457 - 459

- 145 -

3. BILDVERARBEITUNG - EINE EINFOHRUNG

Seit einigen Jahren findet die Auswertung von Bildern mit Hilfe von digi­talen Rechenanlagen eine enorme Verbreitung. PreisgUnstige und leistungs­fahige Hardware mit schnel ·len Recheneinheiten und einer groBen Speicher­kapazitat haben diesen ProzeB sehr beschleunigt.

Die Handhabung von Bildern auf digitale Weise begann schon kurz nach dem ersten Weltkrieg. als man Bilder fUr Zeitungen zwischen London und New York mittels eines Unterseekabels Ubertrug. doch erst ab Mitte der sechziger Jahre setzte eine ungeheure Entwicklung 1m digitalen Bildverarbeitungs­bereich ein. angetrieben unter anderem durch Raumfahrtprogramme. In diesem wichtigen Anwendungsgebiet werden Bilder vom Mond und von anderen Himmelskorpern mit Computern aufbereitet und ausgewertet.

Bilder spielen als Informationstrager eine groBe Rolle. Die Bildverarbei­tung dient zur UnterstUtzung des Menschen bei der Interpretation bildlicher Informationen. denn ein Computer kann Bilder viel genauer lesen und aus­werten; ohne diese technische Hilfe wUrde das bloBe menschliche Auge vieles nicht wahrnehmen.

Die Bilder 3.1 und 3.2 zeigen einfache. aber wirksame Anwendungen.

X SALT LA . HILTO

rtONVENTION ·'RESfRVAT : . HOTEl ACCOMODA110 ~_,;,~ 1PMONE ~ S32~323

Bild 3.1: Bild vor u~d nach einem BildverarbeitungsprozeB

- 146 -

Die Worte in Bild 3.1, die auf dem zugrundeliegenden unscharfen Original­bild nicht identifizierbar sind, konnen mit gewissen Bildverarbeitungs­techniken durch einen Computer "l esbar" gemacht werden.

Bild 3.2: Bild vor und nach einem BildverarbeitungsprozeB

Die Unscharfe im Bild des Kopfes einer Frau in Bild 3.2, durch eine gleichmaBige Bewegung bei der Aufnahme verursacht, kann mit Hilfe gewisser Methoden der Bildverarbeitung durch einen Computer, der nur das unscharfe Bild als Vorlage hat, entfernt werden.

Diese Fahigkeit nutzt man in vielen Bereichen . 50 werden in der Biomedizin zum Beispiel Rontgen- und Ultraschallbilder, Blutzellen-, Zellkern- und Chromosomenaufnahmen und thermographische und tomographische Bilder auf Rechnern analysiert, um schneller und zuverlassiger diagnostizieren zu konnen. Mit einem Computer lassen sich eine groBe Zahl von auszuwertenden Bildern bewaltigen, EntzUndungen und krankhafte Veranderungen oder Zysten entdecken, Erkrankungen durch 5trahlenschaden feststellen und etwa bei Chromosomenaufnahmen Abnormalitaten wie Mongolismus erkennen. Bild 3.3 zeigt eine schlecht entwickelte Rontgenbildaufnahme und das durch einen Rechner daraus aufbereitete Bild. Die Information, die uns das verarbei­tete Bild gibt, steckt schon fUr das menschliche Auge nicht wahrnehmbar im Originalbild und wurde mit Hilfe eines Rechners "s ichtbar" gemacht.

- 147 -

Bild 3.3: Rontgenbild vor und nach einem BildverarbeitungsprozeB

Auch bei der Erdfernerkundung [englisch : remote sensing], d.h. bei der Er­forschung und Oberwachung der Erde mittels nicht bodenstandiger Aufnahme­gerate (Sensoren), benutzt man i nzwi schen Rechenan 1 agen zur Auswertung von Bildern. So ist etwa in den Bereichen der Land-, Forst- und Wasser­wirtschaft zum Beispiel zur Vegetationsbestimmung und der Ermittlung von Wachstumsschaden oder von Schadlingsbefall, im Bereich der Geologie zum Beispiel fUr lithologisch-kartografische Kartierungen, zur Schnee- und Eisermittlung und zur VulkanUberwachung, im Bere ich der Meteorologie zum Beispiel zur Bestimmung von Windfeldern und Wolkenverteilungen und zur Temperaturermittlung, und in den Bereichen der Fotogrammetrie, Okologie und Geodasie die rechnerunterstUtzte Bildverarbeitung schon jetzt unent­behrlich geworden. Man kann mittlerweile bei Luftfotografien, von einem Flugzeug oder einem Satelliten aufgenommen, Untersuchungen von riesigen Waldern auf Industrieimmissionen oder Insektenbefall mit der Computer­Bildanalyse durchfUhren und damit sogar Angriffe von Ungeziefer auf einzelne Baume feststellen . Es lassen sich mit dieser technischen Hilfe verschwommene archeologische Vorlagen wiederherstellen und auch natUrliche Rohstoffe entdecken und sinnvoll geplant ausbeuten.

In Industrie und Technik wird zunehmend die rechnerunterstUtzte Bildaus­wertung etwa in der automatischen Fertigung und zu Qualitatskontrollen

sowie zur Feststellung ("Sichtbarmachung") von Oberbeanspruchungen in Baukonstruktionen und zur Messung ("Sichtbarmachung") von schadlichen Vibrationen im Flugzeugbau eingesetzt .

- 148 -

Ein weiterer NutznieBer dieser technischen Fahigkeit ist das Militar, das durch vielerlei Projekte die bisherige Entwicklung auch mit beein­fluBt hat. Die Bildauswertung auf Computern findet bei der Aufklarung und Oberwachung, bei der Waffenlenkung, der Navigation, der Fernsteuerung und der Kartographi e Anwendung.

Auch zur Verkehrskontrolle, beim Umweltschutz und sogar fUr polizeiliche Untersuchungen (FingerabdrUcke, Fahndungsbilder) nutzt man in Anfangen schon die Fahigkeiten der Bildverarbeitung auf Rechenanlagen aus; ihrer zukUnftigen Verwendung sind kaum Grenzen gesetzt.

3.1 WICHTIGE BEGRIFFE

Urn die Elemente der Bildverarbeitung richtig erfassen zu kannen, sol len zunachstgrundl egende Begriffe erklart werden.

DAS ANALOGE BILD

Unter einemi~ [image, picture] versteht man eine Abbildung oder eine Darstellung von irgendwelchen Objekten oder Sachen. Vertraute Bilder sind Zeichnungen, Fotos, Dias und Filme, aber auch unsichtbare physikalische GraBen wie Druck, Temperatur und Schall kannen als Bilder dargestellt werden.

Mathematisch laBt sich ein zweidimensionales Schwarz-WeiB-Bild durch eine kontinuierliche Verteilung von Signalintensitaten f(x,y;t) beschreiben: Zum Zeitpunkt t gibt f zu jedem Punkt (x ,y) im Bild die i '111""".""'.".'w an. Die Werte der Funktion f sind <lurch zwei Werte f min und f max nach unten und oben beschrankt, wobei fmin Schwarz und f max WeiB zugeordnet sind und dazwischenliegende Werte entsprechend helle Grauwerte bedeuten. In der Regel betrachtet man (quasi-)stationare Bilder, dh. die Funktion fist unabhangig von der Zeit t. Durchge-setzt hat sich folgende Achsenvereinbarung:

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y

--~--------------------------+---------~~ y

Bild

x

Bild 3.4

Die Intensitatsfunktion fist also auf dem Rechteck [O,X] x [O,Y] definiert und nach oben und unten beschrankt:

f min ~ f(x,y) ~ fmax fUr o < x < X

Bild 3.5 zeigt die Aufnahme eines Hauses mit Garten und die dazugehorige Intensitats- und Grauwertfunktion f, deren 14erte zwischen f min = 0 und fmax liegen.

Z f(x ,y)

. Ii Ii ~~ . .: . .,.. .-. -- ... -....... ;~.:.;; ~ ....

Bild 3.5: Bild mit zugehoriger Intensitatsfunktion

y

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Ein Farbbild laBt sich durch je eine Intensitatsfunktion fUr die drei Farbkomponenten Rot, Blau und GrUn beschreiben, dh. pro Bildpunkt sind drei Eigenschaften des Bildes, namlich die Anteile der Grundfarben im optischen Spektrum , bekannt.

DAS DIGITALE BILD

:, 811- [digital image] versteht man eine numeri sche Darstellung des Bildes, also eine fUr eine Rechenanlage geeignete Wieder­gabe des Bildes. Die Umwandlung eines Bildes in ein digitales Bild nennt man ~jg4tli$i~~~~ [digitizing]. Dazu wird sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich der das Bild beschreibenden Funktion f diskre­tisiert: Man unterteilt zunachst das zugrundeliegende Rechteck [O,X] x [O,Y] in M· N meist gleichgro Be ll<ieJemente, (xm,Yn)

MI' .~,,' ·~v

m = O,l, ... ,M-l und n = O,l, ... ,N-l , auch Pixels [von picture elements] genannt, die oft rechteckig bzw. sogar quadratisch sind, aber zum Beispiel auch hexagonal sein konnen [dieser Vorgang hei6t: scanning], miBt die Intensitat des Bildes, also den Grauwert in diesen Stellen [dieser Vorgang heiBt: sampling], unterteilt den Grauwertbereich [gray scale] in endlich viele verschiedene, meist gleichgroBe Intervalle, die je einen Grauwert [gray level] bedeuten, und ordnet jedem Bi ldpunkt den entsprechenden Grauwert zu [dieser Vorgang heiBt: quantization]. Man kann die Grauwerte durchnumerieren und daher ohne Einschrankung ganzzahlige Werte [integer] als Grauwerte annehmen . Der DigitalisierungsprozeB ordnet also einer Intensitatsfunktion, die ein Bild beschreibt, eine 'Matrix mit ganzzahl igen Elementen zu.

Y Y Y

(x,y) f max 'max

~

X

x J x 0 f min f min

!(x,y)

(x ,y) E [0, X] x [0, y]

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f(xo'YO) f(Xo'Y1)'

f(x1,yO)

Bild 3.6: Digitalisierung eines Bildes

Will man ein Farbbild digitalisieren, so muB man diesen ProzeB mit ver­schiedenen Farbfiltern dreimal fUr die Grundfarben Rot, Blau und GrUn durchlaufen; ein digitales Farbbild benotigt daher einen dreimal so groBen Bildspeicher.

Damit Verfahren der Bildverarbeitung, insbesondere solche, die mit der Fourier-Transformation oder der Walsh-Transformation zusammenhangen, effi­zient sind, wahlt man sehr haufig die Anzahl der Bildelemente pro Zeile (= N) und Spalte (= M) als Potenzen von 2; dies gilt auch fUr die Anzahl der Grauwerte.

[resoZution], dh. eine moglichst genaue digitale Darstellung des Bildes zu erreichen, mUssen sowahl die Anzahl der Bildelemente als auch die Anzahl der Grauwerte angemessen graB sein.

Bild 3.7: Digitale Silder mit 512x512, 64x64 und 16x16 Sild­elementen

Bild 3.7 zeigt einen Astronauten mit unterschiedlicher Auflosung der zugehorigen Intensitatsfunktion im Definitionsbereich; zugrunde liegen jeweils 256 verschiedene Grauwerte. Schon bei 64 x 64 Bildelementen er-

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kennt das mensch1iche Auge einen nachteiligen Digita1isierungseffekt.

Bi1d 3.8: Digita1e Bi1der mit 128, 16 und 4 Grauwerten

Bild 3.8 verdeut1icht unangenehme Quantisierungseffekte. Die jewei1s 512 x 512 elementigen digita1en Bilder haben unterschied1ich viele Grau­werte .

Das mensch1iche Auge kann nur etwa 30 verschiedene Grautone und je nach Gro8e des Bi1des auch nur begrenzt vie1e' Bi1de1emente unterscheiden, dh . benachbarte Werte a1s unterschied1ich erkennen. Trotzdem ist eine hohe Auf10sung aus zwei GrUnden sehr wichtig:

1. ) Ein hoher Auf10sungsgrad sowoh1 bei der Anzah1 der Bi1de1emente a1s auch bei der Anzah1 der Grauwerte gibt das Bi1d mog1ichst genau wieder; die Information, die im Bi1d fUr das mensch1iche Auge unsichtbar steckt, bleibt bei hochstens geringen Verlusten erhalten . Gerade die Extraktion von fUr den Menschen ohne technische Hi1fe nicht wahrnehmbarer Information aus einem Bi1d macht die digita1e Bildauswertung so bedeutsam und unentbehr1ich.

2. ) Viele Verfahren der digitalen Bi1dverarbeitung basieren auf der Analysis kontinuier1icher Funktionen. Sie setzen eine kontinuier-1ich gegebene Bi1d-Intensitatsfunktion voraus, was auch in den letzten Kapiteln zum Ausdruck kam. 1st dies nicht erfUllt, so muB man solche VerfalTren Uberlegt anwenden . Ein hoher Auflo5ungsgrad approximiert da~ zugrundeliegende Bild sehr gut; ein Verarbeitungs­prozeB wird in der Regel entsprechend gute Ergebnisse l iefern.

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Heutzutage liegt die Auflosung digitaler Bilder bei etwa 512 x 512 (= 29 x 29) Bildelementen und 256 (= 28) Grauwerten. Man braucht so 512·512·8 bit = 256 K Byte Speicherplatz fUr ein Bild. Aber auch Bilder mit mehr Bildelementen und mehr verschiedenen Intensitatswerten sind fUr spezielle Anwendungen unumganglich; der Speicherplatzbedarf steigt dann allerdings rapide an.

Die Qualitat eines Bildes kann man noch verbessern, indem man vom speziellen Bild abhangige unregelmaBig groBe Bildelemente wahlt, also etwa in relativ glatten Regionen eine grobe und in der Nahe scharfer Obergange eine feine Unterteilung wahlt. Genauso kann man den Intensitatsbereich nichtaquidistant quantisieren, also zum Beispiel bei glatten Grauton-Obergangen mehr Grau­werte zulassen oder einen haufig vorkommenden Grauwertbereich feiner unter­

teilen.

DIE DIGITALE BILDVERARBEITUNG

Die Bildanalyse nur durch das menschliche Auge ist der mit Rechnerunter­stUtzung also weit unterlegen. Ein Bild in PostkartengroBe (13 x 18 cm), digital isiert mit einer Auflosung von 512 x 1024 Bildelementen und 32 ver­schiedenen Grautonen, vermag das menschliche Auge nicht mehr vom Original zu unterscheiden. Mit dieser Auflosung gibt es aber nicht unendlich viele, sondern nur 32512.1024 verschiedene Bilder. In dieser groBen, aber

doch begrenzten Menge liegen alle bisher gemachten oder denkbaren und vom Menschen wahrnehmbaren Schwarz-WeiB-Bilder in PostkartengroBeJ 1m Rechner kann zwar auch nur eine "endl i che" Menge von Bildern darge­stellt werden. jedoch ist die Machtigkeit dieser Menge urn ein unglaub­liches Vielfaches groBer.

Bei der Bi1dverarbe [digital image processing] wird das digitale Bild im Rechner einer Reihe von Operationen unterzogen mit dem Ziel, ein erstrebtes Ergebnis zu erreichen. Man will dem Bild gewUnschte,

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aber zunachst nicht wahrnehmbare Informationen entnehmen; am Ende eines Bildverarbeitungsprozesses steht also ein Informationsgewinn.

Die digitale Bildverarbeitung laBt sich grob in 2 Bereiche unterteilen,

in den der Bildvorverarbeitung und in den der eigentlichen Bildauswertung.

Die · Udvorverarbeirung bereitet die digitale Bildvorlage auf, sie bringt das Bild in eine fUr die Bildauswertung geeignete Form [image enhancement; image restoration] . Darunter fallen zum Beispiel Filterungs­prozesse zur Entfernung von Rauschen[noise] oder Unscharfe [blur] in einem Bild, geometrische Entzerrungen, Histogrammausgleiche zur Aus­schopfung der zur VerfUgung stehenden Grauwerte (ein Grauwert-Histogramm ist eine Funktion, die die Haufigkeit eines jeden im Bild vorkommenden Grauwertes angibt) und auch Bilddatenreduktionen [image encoding] mit moglichst geringen Informationsverlusten zur Minimierung des notwendigen Speicherbedarfs. Solche Datenreduktionen werden haufig vor BildUbertra­gungen oder rechenintensiven Verarbeitungsprozessen gemacht, urn den Auf­wand in vertretbaren Grenzen zu halten.

extraction] . Es wird eine Liste [feature vector] erstellt, die die er­strebten Informationen Uber das Bild enthalt. Eine solche Merkmalliste reduziert den Umfang der Information drastisch und enthalt gleichzeitig Kenntnisse Uber verschiedene Bildobjekte. Die anschlieBende Bildinter­pretation erfordert eine syntaktische und semantische Beschreibung, also eine Beschreibung von Strukturen und ihren Bedeutungen im Aufbau eines Bildes . Typische Aufgaben der Bildauswertung sind etwa die Bestimmung von zusammenhangenden Mengen von Bildelementen, die Unterteilung des Bildes in solche Regionen und deren Beschreibungen [image segmentation and descriptionJ, das Erkennen von vorgegebenen Mustern [pattern recog­nition],das Auffinden von Objekten, das Festhalten ihrer Lage und ihre anschlieBende Einordnung in eine bestimmte Klasse [image detection, registration and classification] , die Gewinnung von Objektkonturen und -flachen, die Detektion von Bildobjekten, die sich gegenUber einem Referenzbild geandert haben, die Texturanalyse, eine Klassifikations-

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aufgabe. bei der eine regionale Zuordnung von Bewertungsklassen zum Bildinhalt vorgenommen wird. die Multispektralanalyse. eine Objektklassi­fikation aufgrund gewisser Verhaltensweisen in bestimmten Spektralkanalen. und die Szenenanalye. bei der sowohl eine detaillierte Beschreibung der in einem Bild oder in einer Folge von Bildern (Szene) vorhandenen Objekte erfolgt als auch die Suche nach vorgebbaren Objekten in einem Bild gemeint ist.

Obwohl die digitale Bildverarbeitung Informationen aus einem Bild extra­hiert. die das bloBe menschliche Auge nie wahrnehmen konnte. darf man die Flexibilitat des menschlichen Auges nicht unterschatzen. In fast allen Anwendungsgebieten ist zur Zeit (noch) keine vollautomatische Bildaus­wertung moglich. sondern man kombiniert maschinelle Verfahren mit manuell-visueller UnterstUtzung durch den Menschen im interaktiven Betrieb. Es ist bis heute nicht gelungen. auch mit noch so groBem (Rechen-)Aufwand die hervorragenden Leistungen des menschlichen Sehsystems annahernd nach­vollziehen zu konnen. Nur fUr bestimmte einfache Zwecke ist inzwischen eine automatische Bild­auswertung moglich. so zum Beispiel bei der automatischen Schriftzeichen­erkennung und der automatischen MaterialprUfung. Trotzdem hat sich die digitale Bildverarbeitung zur UnterstUtzung des Menschen beim Analysieren von Bildern bewahrt und unentbehrlich gemacht. Der Mensch. der ein Bild immer subjektiv wahrnimmt. wird zum Beispiel bei zeitintensiven oder sich oft wiederholenden Lesevorgangen entlastet, und die Fehlerrate beim Lesen wird reduziert. Man kann inzwischen so groBe Datenmengen, daB eine visuell-manuelle Auswertung unmoglich ist. bewaltigen.

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3.2 DIE DIGITALE BILDVERARBEITUNGSANLAGE

Bild 3.9 zeigt die typische Konfiguration einer digitalen Bildverar­bei tungsan 1 age.

Massenspeicher

---J Digitizer ---- Computer ~ Bildausgabe-Einheit

Display und Bedienungs-konsole

Bild 3.9: Elemente einer digitalen Bildverarbeitungsanlage

Das zu verarbeitende Bild muB zunachst digitalisiert werden. Ein Digitizer. auch Scanner genannt (obwohl Scanning nur ein Teil des Digitalisierens ist). wandelt das "analoge" Bild in eine fUr den Computer geeignete digitale Darstellung urn. Man erhalt so von einem Schwarz-Wei6-Bild eine Matrix mit Grauwerten und von einem Farbbild drei Matrizen mit den Farbwertan­teilen der Grundfarben Rot. GrUn und Blau. Die Auflosung des Digitizers sollte sehr gut sein. urn den bei dieser Umwandlung unvermeidbaren In­formationsverlust so klein wie moglich zu halten. AuBerdem kann eine unan­gemessen geringe Auflosung leicht zu falschen SchlUssen bei der Inter­pretation des Bildes fUhren: Einem hochqualitativen Digitizer sind aber durch das optische System bedingt Grenzen gesetzt; sowohl die minimier­bare. aber nicht eliminierbare Linsen-Aberration als auch Dispersions-

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effekte begrenzen die Qualitat eines digitalisierten Bildes. Das dadurch von einem Digitizer dem Bild hinzugefUgte Rauschen sollte moglichst klein zum Kontrast des Bildes sein. Grobere Unregelma6igkeiten in der digitalen Darstellung eines konstant-grauen Bildes deuten auf eine niedere Qualitat des Digitizers hin. Bei der Digitalisierung von Farbbildern kann zusatz­lich noch Information verlorengehen, da sich nicht alle sichtbaren Farben durch die Farbanteile der drei Grundfarben darstellen lassen, so zum Beispiel purpur.

1m Rechner wird das digitale Bild anschlieBend gewissen Verarbeitungs­routinen unterworfen. Dieser ProzeB findet meist interaktiv statt; der Benutzer steuert von einem Terminal aus den Verarbeitungsablauf,und ein Display, in der Regel ein hochauflosender (Farb-) Monitor, zeigt ihm (zwischen-) verarbeitete Bilder an. Nur wenn am Ende einer Bildaus­wertung numerische Daten oder Entscheidungen stehen, ist ein solches Gerat UberflUssig. Oft ist ein Display mit 1 bit Graphik ausgerUstet, urn eine zusatzliche Maske auf das angezeigte Bild legen zu konnen, und mit einer steuerbaren Falschfarbendarstellung versehen, dh. Farben werden in vorgebbare andere ("falsche") Farben umgewandelt, urn Objekte in einem Bild besser voneinander abzusetzen.

Die Verarbeitung etwa von mehreren Bildern und auch komplexere Bildaus­werteaufgaben sind sehr rechenintensiv und speicheraufwendig und verlangen einen schnellen Datentransport. Der Computer muB daher angemessen ausge­stattet sein. Es gibt inzwischen Spezialprozessoren (Bildprozessoren) insbesondere fUr Echtzeitanwendungen, die bestimmte Verarbeitungsprozesse sehr effektiv durchfUhren konnen.

Als externe Massenspeicher dienen Bandgerate, auf denen auch alternativ digitale Bilder ein- und ausgegeben werden konnen, und Plattenspeicher. Die Plattenspeicher enthalten einerseits die Daten von Bildern und andererseits die zur VerfUgung stehende Anwendungssoftware. Existierende Programme erhohen die Fahigkeiten des Systems. Eine Standarisierung, wie sie inzwischen auf dem Hardware-Sektor erreicht ist, ist auf dem Gebiet der Software noch nicht abzusehen. Als Libraries sind zur Zeit nur Vorver­arbeitungsroutinen verfUgbar, also Verfahren, die ein digitales Bild in

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eine fUr die Bildauswertung geeignete Form bringen. Solche Programm­pakete erhohen zwar die Vielseitigkeit einer Bildverarbeitungsanlage, doch bleiben fUr die Programmentwicklung noch viele wichtige und an­spruchsvolle Aufgaben. Obschon zur schnelleren Verarbeitung die Programme haufig in Assembler-Sprache geschrieben sind, wird eine solche Anlage zur Erhohung der Flexibilitat fUr die Programmentwicklung zumindest eine hohere Programmiersprache haben.

Als Ausgabeeinheit dient meist ein hochqualitativer (Farb-) Filmplotter; das verarbeitete Bild wird auf einem lichtempfindlichen fotographischen Film festgehalten. Dieser ProzeB ist die Umkehrung des Digitalisierens, und die Qualitat des Ausgabegerates, ebenfalls begrenzt durch die vor­handene Optik, sollte zumindest der des Digitizers angepaBt sein.

Selbstverstandlich sind an einer komfortablen Bildverarbeitungsanlage noch weitere Peripheriegerate wie Drucker, Kartenleser und ein Hard­copygerat, das etwa ein Sofortbild auf Polaroidbasis ausgibt, ange­schlossen.

Eine wesentliche Steigerung der Leistungsfahigkeit einer solchen Anlage ist fast nur mit einer leistungsfahigeren Hardware zu erreichen.

3.3 BEISPIELE EINIGER BILDVERARBEITUNGSTECHNIKEN

Liegt ein digitales Bild zur Auswertung vor, so muB man es zunachst auf­bereiten. Ein solcher BildvorverarbeitungsprozeB ist inzwischen groBten­teils standarisiert, wahrend die eigentliche Bildauswertung sehr problem­abhangig ist und sich noch im Entwicklungsstadium befindet.

Bei der Bildvorverarbeitung kann man zur Verbesserung der Bildqualitat direkte Manipulationen an den einzelnen Bildelementen und deren Grau­

werten durchfUhren oder aber durch gewisse Bildtransformationen, die spezielle bildbeschreibende Eigenschaften liefern, Modifikationen am transformierten Bild vornehmen.

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DIREKTE METHODEN ZUR BILDVORVERARBEITUNG

Unter den direkten Methoden ist die Manipulation am Grau~rt~Histogtamm sehr einfach und hilfreich. Das Grauwert-Histogramm eines Bildes ist eine diskrete Funktion, die fUr jeden Grauwert die Anzahl der Bild­elemente mit diesem Grauwert angibt. Das Grauwert-Histogramm eines Bildes ist eindeutig, aber aus einem sol chen Histogramm kann man das Bild nicht zurUckgewinnen, da jede raumliche Information fehlt. So haben zwei Bilder, in denen nur Objekte versetzt sind, gleiche Histogramme.

Ein Histogramm zeigt an, ob und wie ein Bild den ganzen Umfang des er­laubten Grauwertbereiches ausschopft. Gewohnlich sollten in einem Bild alle moglichen Grauwerte vorkommen, da sonst sowohl Kontrast verloren­aeht als auch der zur VerfUaunQ stehende Speicherplatz nicht ausqenutzt

o 255 o Bild 3.10: Bild mit Grauwert-Histogramm vor und nach einer

Histogrammanipulation

255

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Bild 3.10 zeigt eine Luftaufnahme, die nicht den gesamten Grauwertbereich ausnutzt . Dadurch ist sie kontrastarm. Man kann etwa durch Streckung der Grauwertbereiche, die haufig vorkonvnen ("Spitzen" im Histogramm), jedem Bildelement einen neuen Grauwert zuordnen, so da6 das resultierende Bild alle moglichen Grauwerte beinhaltet und qualitativ weitaus besser ist als die Vorlage.

Storungen in einem Bild konnen auch reduziert werden, indem der Grauwert eines Bildelementes unter BerUcksichtigung der Grauwerte gewisser benachbarter Elemente modifiziert wird, zum Beispiel durch den Mittel­wert der Grauwerte dieser Nachbar-Pixel.

Bild 3. 11: Bild vor und nach einem Verarbeitungsvorgang

Die stark verrauschte Vorlage in Bild 3.11 wurde durch einen lokalen nichtlinearen Mittelungsproze6 der Grauwerte soweit verbessert,da6 das unterdrUckte Rauschen nicht mehr sichtbar ist . Zur besseren subjektiven Wahrnehmung der Inhalte eines Bildes kann man ein Grauwertbild auch in Pseudofarben darstellen, indem gewissen Grau­werten oder Objekten gewisse Farben zugeordnet werden . Solche ~seudo­farbbil~e~ stellen fUr das Auge auch kleinste Unterschiede bewu6t heraus. Um auch bei einem Farbbild Objekte besser voneinander abzu-

Farbunterscheidungsvermogen des menschlichen Auges aus.

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BILDVORVERARBEITUNG MITTELS BILDTRANSFORMATIONEN

Zur Aufbereitung von Bildern spielen Bildtransformationen eine groBe Rolle. Eine Sonderstellung nehmen dabei die umkehrbar-eindeutigen, meist linearen Transformationen ein, da sie mit keiner Informations­reduktion verbunden sind, sondern eine aquivalente Darstellung des Bildes mit bestimmten bildbeschreibenden Eigenschaften ergeben. Die wichtigsten dieser Transformationen wurden in den letzten beiden Kapiteln behandelt. So zerlegt zum Beispiel die Fourier-Transformation ein Bild in harmonische Sinus- und Kosinus-Schwingungen, die ganzzahlige Vielfache einer bestimmten Grundfrequenz sind; das transformierte Bild gibt die Schwingungsanteile dieser Schwingungen an. Langsame Anderungen in einem Bild spiegeln sich in den niederfrequenten Anteilender Fourier-Transformation wieder, wahrend scharfe Obergange, also abrupte Grauwertanderungen, die hochfrequenten Anteile bestimmen.Dampft man zur Verbesserung des Bildes bestimmte Frequenz-

quenten Anteile unterdrUckt, also nur die Energie der niederen Frequenzen unverandert laBt, und ein Bild kontrastreicher, scharfer machen, indem man durch eine X9~nf'~ tult% [highpass filtering] die niederfrequenten An­teile abschwacht, also nur die Energie bestimmter hoherer Frequenzen unverandert laBt.

B11d 3.12: Bild vor und nach e1ner T1efpaBfilterung

Bild 3.12 zeigt die Wirkung einer TiefpaSfilterung. Die grobe Rasterstruk­tur des digitalen Bildes mit 32 x 32 Bildelementen fUhrt zu abrupten Grau­wertUbergangen zwischen den einzelnen Pixels. FaSt man dieses Bild als ein

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256x 256-elementiges Bild auf, dh. jedem Bildelement entsprechen 8x8 kleinere Bildelemente mit konstantem Grauwert, und fUhrt dann eine Tief­pa6filterung durch, so sieht man, da6 der Informationsgehalt des Bildes nicht so gering ist, wie es das menschliche Auge zunachst feststellt.

Die schlechte Rontgenaufnahme aus Bild 3.3 wurde durch eine Hochpa6-filterung und einen anschlie6enden Histogramm-Ausgleich, womit eine Gleichverteilung im Grauwert-Histogramm angestrebt wird, so sehr ver­bessert, da6 eine anschlie6ende Diagnose moglich ist.

Filterungen sind nichts anderes als Faltungsprozesse. Eine DurchfUhrung der Faltung der Bildfunktion mit einer bestimmten anderen Funktion mit Hilfe der (diskreten) Fourier-Transformation nutzt aus~ da6 eine Faltung einer Multiplikation der Frequenzanteile entspricht und da6 sich mit Hilfe der Schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform, FFT) diese Operationen schon bei sehr kleinen Bildausschnitten gUnstiger durchfUhren lassen.

FUr die Schnelle Fourier-Transformation ist eine komplexe Darstellung und damit eine Rechnung mit komplexen Zahlen unvermeidlich. Diese etwas aufwendigen Rechnungen vermeidet eine Zerlegung des Bildes in Schwingungs­antei'l e, die durch die Wa 1 sh-Funkti onen beschrieben werden. Der Rechen­aufwand reduziert sich dadurch erheblich, doch sollte man bei der Inter­pretation bestimmter Schwingungsanteile auch vorsichtig sein; eine augen­scheinliche Ahnlichkeit mit der Fourier-Transformation schlie6t nicht automatisch ahnliches Schwingungsverhalten mit ein.

Die Walsh-Transformation und damit verwandte Transformationen (Paley, Hadamard, .. ) benutzt man haufig auch zur Bildcodierung [image enaodingl,

dh. zur Reduzierung der Bilddaten etwa vor BildUbertragungen moglichst ohne Informationsverlust, so da6 sich das Bild moglichst genau rekon­struieren la6t.

Man kann mit Methoden, wie sie oben angedeutet wurden, versuchen, die Qualitat eines vorliegenden Bildes zu verbessern. Dabei beurteilt man subjektiv, ob der Grad der Verbesserung fUr eine spezielle Anwendung ausreicht, das Bild also dafUr geeigneter dargestellt ist [diese Vor­gehensweise hei6t: image enhanaementl.

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Eine andere Moglichkeit, ein Bild zu verbessern, ist, das digitale Bild als eine degradierte Darstellung eines Original-Bildes aufzufassen und durch ein a-priori-Wissen Uber die storenden EinflUsse diese wieder rUck­gangig zu machen und so das Originalbild moglichst gut zurUckzugewinnen [diese Vorgehensweise hei6t: image restoration]. Flachenbezogene Bild­verschlechterungen lassen sich haufig durch folgendes Modell beschreiben: Eine Faltung der Original-Bildfunktion f mit einer "Verschmutzungs"­Funktion a [transfer funation] und meist noch ein zusatzliches additives Rauschen r [noise] ergeben das degradierte Bild 9

g=f*a+r

Kennt man die Verschmutzung und das Rauschen, so kann man Uber die Fourier-Transformation F dieser Modellgleichung das transformierte Bild der Original-Bildfunktion bestimmen

und nach der Umkehrtransformation erhalt man das wiederhergestellte (restaurierte) Bild. Diese Methode heiSt [inverse

filtering] .

In der fUr die Programmierung wichtigen mathematisch exakten Schreibweise der letzten Kapitel lautet die obige Modellgleichung

m = O,1, •.• ,M-1 und n = O,1, .•• ,N-1 . Die diskrete Fourier-Transforma­tion der linken und der rechten Seite ergibt (mit Satz 1.15 (ii»

k = - ;, •.• ,~ - 1 und l = - ~, ••• ,~ - 1 . Daher ist die zu dem gesuchten digitalen Bild f(xm,yn) aquivalente Darstellung Uber die diskreten Fourierkoeffizienten fUr a~,N(k,l) * 0 durch

~ g~ N(k,l) - r~ N(k,l) TM N(k,l) =' ,

, a~,N(k,l)

gegeben.

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FUr diejenigen Werte von k und l, fUr die der Fourierkoeffizient a~,N( k.f.) verschwi ndet, muB man auf andere Wei se versuchen, Informati onen Uber die entsprechenden Koeffizienten ~,N(k,t) zu gewinnen.

EIN BEISPIEL

Die Wirkung einer Faltung im Spektrum soll folgendes Beispiel veranschau­lichen. Eine Aufnahme ist durch das defokussierende Linsensystem der Kamera un­scharf. Das erstrebte scharfe Bild la6t sich Uber den obigen Ansatz be­stimmen, indem man die verzerrende Wirkung des fokussierenden Linsensystems als einen Faltungsproze6 auffaBt: Kennt man die systembedingte optische Verschmutzungsfunktion a , so ist das erhaltene unscharfe Bild 9 eine diskrete Faltung des noch unbekannten scharfen Bildes f mit dieser Funktion a

m = O,1, .•• ,M-1 und n = O,1, ••• ,N-1 (vgl. Gleichung (1.35». Mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation la6t sich diese zunachst umstandliche Faltungsoperation durch ein punktweises Produkt ersetzen (vgl. Satz 1.15):

gM,N(k,l) = fM,N(k,l) • aM,N(k,l)

M M N N k = - 2' ... '2 - 1 und l = - 2' ... '2 - 1 . Bild 3.13 zeigt die Fourier-Amplituden-Spektren des unscharfen Bildes und der Verschmutzungsfunktion. In der Nahe des Ursprungs sind die Betrage der Amplituden der niedrigen Frequenzen aufgetragen und radial nach auBen diejenigen der immer groBer werdenden Frequenzen. 1m Fourier-Amplituden-Spektrum des unscharfen Bildes sieht man deutlich, daB dieses Bild die fUr die Scharfe wichtigen hochfre­quenten Anteile fast gar nicht enthalt.

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Fourier-Amplituden-Spektrum ngr~.N{k • .t)I } des unscharfen Bildes 9

Fourier-Amplituden-Spektrum {laM.N{k • .t)I} der Verschmutzungsfunktion a

Fourier-Amplituden-Spektrum {lfM N{k • .t)I} des scharfen Bildes f •

Bild 3.13

Man gewinnt die diskreten Fourierkoeffizienten des gesuchten scharfen Bildes Uber

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sofern a~.N(k.l) * 0 ist. An den Stellen. wo a~.N(k.l) verschwindet. wird bei exakter Beschreibung der Funktion a auch gAM N(k.i) verschwin-

"0" • den. und man mu8 dann den unbestimmten Ausdruck rr durch einen geeigneten Wert ersetzen. etwa so. da8 das Fourier-Amplituden-Spektrum des resultie­renden Bildes f nicht unnotig schwankt (vgl. Bild 3.13). Die Losung hierfUr ist keineswegs eindeutig. und der gewahlte Weg wird sich womoglich im Ergebnis sichtbar auswirken. Die diskrete Fourier-Umkehrtransformation (vgl. Gleichung (1.34)) ergibt dann das gesuchte diskrete scharfe Bild f:

e 2'1Ti{m ~+ n ~)

m = O.1 ••••• M-1 und n = O.1 ••••• N-1 • Haufig wird man die optische Ver­schmutzungsfunktion nicht kennen. Charakteristisch fUr die verzerrende Wirkung von fokussierenden Linsensystemen ist. daB bestimmte Fourier­koeffizienten verschwinden. die auf konzentrischen Kreisen liegen. Diese Information kann man aber den Fourierkoeffizienten des unscharfen Bildes entnehmen (vgl. Bild 3.13). Mit diesem Ansatz kann man dann versuchen. die optische Verschmutzungsfunktion bzw. deren Spektrum zu beschreiben.

Die Bilder 3.1 und 3.2 sind durch eine inverse Filterung fast vollig instand gesetzt worden.

Schwierigkeiten bereitet bei inversen Filterungen die Beschreibung der Ver­schmutzungsfunktion und des Rauschens; eine analytische Bestimmung dieser Funktionen ist nur sehr selten moglich. so da8 sich das erhaltene Bild yom Original-Bild noch unterscheiden wird. Rauschen kommt etwa bei Foto­grafien durch die Kornung des Films in ein Bild. Und bei der Umwandlung eines Bildes von optischer zu elektrischer Form entsteht fotoelektronisches Rauschen. und bei der Verwendung elektronischer Verstarker entwickelt sich ein thermales Rauschen.

Bild 3.14 zeigen die Aufnahme eines Mondkraters. die durch atmospharische Turbulenzen bedingt unscharf ist. Nach einer inversen Filterung erhalt man ein Bild. das viel mehr Details Uber diesen Krater verrat.

Bild 3.14:

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Bild eines Mondkraters vor und nach einem inversen FilterungsprozeB

Meistens ist man gezwungen, gewisse einfache Modelle von Verschmutzungen und Rauschquellen zu benutzen, urn ein moglichst gutes restauriertes Bild zu erhalten. Diese Modelle sind oft von statistischer Natur . Damit lassen sich etwa durch Linsenfehler im Digitizer verursachte Entartungen und auch periodische Storungen entf~rnen. Haufig verwendet werden auch Wieyer Filten [least-squares filter, Wiener filter], welche die Bildin­formation statistisch nach dem Prinzip der geringsten quadratischen Ab­wei chung restaurieren.

Es gibt keine zufriedenstellende automatische Bildrestaurierung, so daB eine sukzessive Vorgehensweise eventuell sogar mit partieller Bildrestau­rierung am erfolgversprechensten ist. Da es keine allgemeinen Kriterien gibt, beurteilt einzig das menschliche Auge wieder die GUte der Wiederher­stellung des Bildes .

Ebenfalls wichtig fUr die Aufbereitung von Bildern sind geometrische Bild­entzerrungen . Dadurch werden die raumlichen Verhaltnisse zwischen Objekten in einem Bild richtiggestellt. Dies ist zum Beispiel wichtig, urn Ver­zerrungen von Digitizern oder Displays rUckgangig zu machen oder Aufnahmen, die nahe Objekte verzerrt zeigen, zu korrigieren (siehe Bild 3.15 unter Beachtung der Tischkanten!). Auch sind geometrische Transformationen er­forderlich, urn zwei oder mehrere unter veranderten Orientierungen aufgenom­mene Bilder vergleichen zu konnen oder urn von Luftaufnahmen Karten herzu-

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stellen (kartographische Projektionen).

Bild 3.15: Bild vor und nach einer geometrischen Korrektur

ZUR DIGITALEN BILDAUSWERTUNG

Selbst wenn die Bildvorverarbeitung.groBtenteils noch von subjektiven Beurteilungskriterien abhangig ist. so la6t sich dieser Vorverarbeitungs­proze6 in der Regel unter Anwendung von oben angedeuteten Methoden relativ schnell durchfUhren. Die Anforderungen an die digitale Bildverarbeitung steigen enorm bei der eigentlichen Bildauswertung. Zur Zeit befindet man sich in einem heu­ristischen Stadium. FUr einzelne. ganz spezielle Anwendungen gibt es Methoden oder Strategien. jedoch ist beim gegenwartigen Stand der Technik die Bildanalyse in fast allen Bereichen nicht automatisierbar, da sie viel zu komplex ist und auch noch eine Entscheidungsfahigkeit verlangt. Deshalb ist bei der Bildauswertung der Wissenschaftler des betreffenden Fachgebietes nach wie vor unentbehrlich.

Einige einfache Methoden sind fUr viele Zwecke sehr hilfreich, insbesondere dann. wenn eine manuelle Auswertung sehr arbeitsaufwendig und fehleran­fallig ist. So ist man oft daran interessiert, Objekte oder Konturen und Linienmuster zu ermitteln. Dies braucht man im medizinischen Bereich etwa bei der Blutzellenanalyse. wo weiBe Blutkorperchen erkannt und ihre GroBe und Form bestimmt werden mUssen. oder in der Industrie. urn bestimmte WerkstUcke in einer beliebigen Lage zu erkennen. damit sie anschlieBend

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automatisch erfaBt und geordnet werden konnen. Die Steuerung von Robotern ist bei ungUnstigen Arbeitsbedingungen (Radioaktivitat, Weltraum) be­sonders von Bedeutung. Auch zum Aufbau kartographischerKarten muB man linienhafte Strukturen erkennen, und im militarischen Bereich halt man die Ermittlung von Objekten ("Feind") etwa zur automatischen Zielverfolgung fUr ungeheuer wichtig.

Die einfachste Methode, ein Bild in mehrere Regionen zu unterteilen [image segmentation],ist, mit einer bestimmten, im gesamten Bild nicht notwendig konstanten Grauwertschwelle [thPeshold] eine Klasse von Bereichen, deren Grauwerte oberhalb dieses Schwellwertes liegen, und eine andere, deren Grauwerte unter dieser Schwelle liegen, zu bestimmen . So lassen sich zum Beispiel Objekte aus einem eintonigen Hintergrund herausheben . Es gibt schon Strategien, die eine vom speziellen Bild abhangige "optimale" Grauwertschwelle zu ermitteln versuchen.

Bild 3. 16 : Bild vor und nach einer Kantenextraktlon

Bild 3.16 zeigt die digitalisierte Aufnahme eines Sternnebels mit 256 Grau­werten . Zur Heraushebung der Kontur wurde in der Mitte des Grauwert­bereiches eine feste Grauwertschwelle gelegt . Jedes Bildelement wurde, falls ein benachbartes Bildelement in dem anderen halben Grauwertbereich liegt, der Grauwert Schwarz, und falls alle benachbarten Bildelemente demselben hal ben Grauwertbereich angehoren, der Grauwert WeiB zugeordnet . So entstehtei n Bild mit 2 Grauwerten, auch genannt.

- 170 -

Eine weitere Moglichkeit, Rander und Kanten zu bestimmen, ist die der Gradientenbildung. Der Gradient einer zweidimensionalen Funktion, also einer Flache, in einem Punkt ist ein Vektor, der in die Richtung der starksten Anderung der Funktion in diesem Punkt zeigt,und sein Betrag gibt diese Anderung an. FUr ein digitales Bild,also eine Matrix, macht ein entsprechender diskreter Gradient, der proportional zu einer gewissen Differenz von Grauwerten benachbarter Bildelemente ist, diese Angaben. Auch hierbei la6t sich gut mit Schwellwerten arbeiten.

Zur Auswertung einer Bildszene liegt oft eine Folge von Bildern der­selben Objekte zu verschiedenen Zeitpunkten vor. Dabei interessieren die zeitlichen Veranderungen. Dies ist zum Beispiel im medizinischen Bereich bei Aufnahmen kranker Korperorgane wahrend der Behandlung oder etwa in der Regionalplanung zur Bestimmung neuer Stra6en und Wohngebiete sehr wichtig und kommt auch im militarischen Bereich fUr die Aufklarung vor. Eine sehr einfache und zuverlassige Methode ist die der Differenzbildung von Bildpaaren. Dabei geht man von zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommenen Bildern aus, die, eventuell nach einer geometrischen Korrektur, gleich orientiert sind. Die bildelementweise Differenz der entsprechenden Grauwerte gibt dann eine Aussage Uber die Unterschiede in diesen Bildern.

Bild 3.17: Auswertung einer Bildfolge durch Differenzbildung

In Bild 3.17 sind zwei Aufnahmen eines Siedlungsgebietes unter gleichen Aufnahmebedingungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten gemacht worden. 1m iff~~enzbil~ ist die unveranderte Umgebung grau wiedergegeben und die

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Veranderungen in schwarz und weiB dargestellt, um sie hervorzuheben. In der Regel mUssen vor der Differenzbildung die beiden Bilder ange­paBt werden. denn selbst unter gleichen Aufnahmebedingungen konnen etwa durch eine veranderte Beleuchtung (Schatten) identische Objekte unter­schiedlich wiedergegeben werden.

Die eigentliche zeit- und rechenintensive Bildverarbeitung liegt in der [feature extraation]. So muB man etwa zur Auffindung

und Klassifizierung von vorgegebenen Mustern in einem Bild [pattern re­aognition; image deteation] Schablonen mit allen Objekten im Bild ver­gleichen. Bei ausreichender Ahnlichkeit wird ein Objekt dann einer be­stimmten Klasse zugeordnet. Zur Feststellung von Ahnlichkeiten dient haufig die Korrelation. die sich effektiv mit Hilfe der (diskreten) Fourier-Transformation berechnen laBt. aber auch verschiedene Verfahren der statistischen Entscheidungstheorie werden oft zur Klassifizierung benutzt. Das Aufstellen eines Merkmalvektors [feature veator] ist mit einer enormen Datenreduktion verbunden und bringt gleichzeitig einen Gewinn an Informationen Uber die im Bild interessierenden Objekte.

Will man z. B. zur Vorausschatzung von Ernteertragen auf einem Satelliten­bild Getreideanbauflachen nach Getreidearten klassifizieren. so muB man zuerst die Vegetationsgebiete erkennen. Dabei interessieren nicht andere Merkmale im Bild wie etwa eine StraBe. ein FluB oder eine Ortschaft. Hat man die Getreideanbauflachen extrahiert. so muB man dann noch nach den verschiedenen Getreidesorten differenzieren.

Solche Aufnahmen machen zur Zeit Satelliten der Serien Landsat von der NASA (USA) und Meteosat von der ESA (European Space Agency). Diese Sa­telliten senden per Funk die Daten ihrer Abtastgerate (Multispektral­Scanner) aus sichtbaren und Infrarot-Spektralbereichen. Die Auflosung der Landsat-Bilder ist ca. 55 x 80 m. d. h. diese Flache entspricht einem Bildelement des digitalen Bildes. das ein Gebiet von ca. 185 km x 185 km umfaBt und somit mehr als 7.5 Millionen Bildelemente enthalt. Aufgrund dieser immensen Datenmenge kann man nur Teilbildbereiche verarbeiten. Verschiedene Regionen lassen sich durch die unterschiedlichen Signalinten­sitaten in den einzelnen Spektralbereichen erkennen. Nach einer genauen Analyse der einzelnen Signalintensitaten ist man etwa in der Lage. einige Getreidekrankheiten schon im FrUhstadium zu erkennen.

Die Analyse von Farbbildern ist sehr aufwendig. und man muB zudem beachten. daB eine unabhangige Verarbeitung der drei FarbauszUge Rot. GrUn und Blau

- 172 -

oft zu Verfalschungen fUhrt.

Die eigentliche Bildauswertung ist ein noch junges Forschungsgebiet und so komplex, da8 sie auch in absehbarer Zeit nicht vereinheitlicht sein wird. Inzwischen gibt es schon Erweiterungen auf die Verarbeitung von 3-dimensionalen Bildern, wobei die dritte Komponente nicht notwendig auch eine raumliche sein muS, sondern zum Beispiel das Wellenlangen-Spektrum des Lichtes in jedem Punkt beinhalten kann. Auch gibt es optische Tech­niken in der Bildverarbeitung, etwa fur die Korrelation, die eingeschrankt anwendbar sind, sich aber durch einen sehr schnellen Operationsablauf auszeichnen.

3.4 LITERATUR

FUr das noch junge Forschungsgebiet der (digitaten) Bitdverarbeitung gibt ee nur wenige LehrbUcher. NiltzUche neuere Methoden werden zur Zeit grol3ten­teits in Fachzeitschri~en und Tagungsberichten veroffentticht.

Vier einfuhrende, teicht verstandtiche BUcher sind:

K. R. CASTLEMAN: Digital Image Processing Prentice Hall. Inc., Englewood Cliffs - New Jersey (1979)

R. C. GONZALEZ - P. WINTZ: Digital Image Processing Addison-Wesley Publishing Company, Inc. (1977)

W. K. PRATT: Digital Image Processing John Wiley & Sons, Inc. (1978)

A. ROSENFELD - A. C. KAK: Digital Picture Processing Academic Press, New York - San Francisco - London (1976)

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Ein sehr gutes, anwendungsorientiertes Buch ist:

H: KAZMIERCZAK (Hrsg.): Erfassung und maschinelle Verarbeitung von Bilddaten Springer-Verlag, Wien - New York (1980)

Folgenden LehrbUchern wurden die angefUhrten Bildbeispiele entnommen:

Aus CASTLEMAN: Digital Image Processing Bild 3.15 (5. 120)

Aus GONZALEZ - WINTZ: Digital Image Processing Bild 3.2 (5. 207), Bild 3.3 (5. 165), Bild 3.7 (5. 25), Bild 3.8 (5. 26/27), Bild 3.16 (5. 325)

Aus PRATT: Digital Image Processing Bild 3.10 (5. 317), Bild 3.11 (5. 333)

Aus KAZMIERCZAK: Erfassung und maschinelle Verarbeitung von Bilddaten Bild 3.12 (5. 36), Bild 3.17 (5. 119)

Aus T. S. HUANG (Ed.): Picture Processing and Digital Filtering Topics in Applied Physics, Vol. 6, Springer-Verlag, Berlin­Heidelberg-New York (1979) Bild 3.14 (5. 192)

Aus J. P. FOITH: Digitale Bildverarbeitung und Szenen-Analyse Vorlesungssript WS 79/80, Universitat Karlsruhe Bild 3.5 (5. 38)

Aus T. M. CANNON - B. R. HUNT: Bildverarbeitung im Computer Spektrum der Wissenschaft, S. 98 - 111, Dezember 1981 Bild 3.1 (5. 110), Bild 3.13 (5. 108)

- 174 -

SACHWORTVERZEICHNIS

Abel-Poussin-Kem 36 Faltung. diskrete dyadische 103. 120

Ableitung 19. 54 Faltung. diskrete zyklische 27. 49

antihennitesche Funktion 20. 33 Faltung. zyklische 10. 44

AufHisung 151 Farbbild 156

Autokorrelation. zykl ische 13 Farbfilmplotter 158

Autokorre 1 a t ion. diskrete zyklische 29.34 Farbmonitor 157

Autokorrelation. diskrete dyadische 102 Fast Fourier Transfonn 56. 162

Fehler. mittlerer quadratischer 4. 41.

Bild 148 86. 117

Bild. digitales 150 Fej~r-Kern 36

Bildanalyse 154 FFT 56

Bil dauswertung 154 FFT. reell 66. 71

Bildverarbeitung. digitale 153 Filmplotter 158

Bi 1 dverarbei tung san 1 age 156 Filterung 161

Bildvorverarbeitung 154 Filterung. Frequenz- 34

Binarbild 169 Filterung. inverse 163

Bit-Umkehrfunkt ion 59. 130 Fil terung. Sequenz- 110

FORTRAN 77-Programme 64. 72.

Differenzbil d 170 76. 132.

digitales Bild 150 134. 137. 140

digitale Bildverarbeitung 153 Fourier. Joseph 1

digitale Bildverarbeitungsanlage 156 Fourier-Ampl ituden-Spektrum 6. 43

Digitalisieren 150 Fourier-Energie (Leistungs)-Spektrum 7

Digitizer 156 Fourier-Frequenz-Spektrum 6. 43

Dirichlet-Kern 35 Fourierkoeffizient 3. 41

diskrete dyadische Faltung 103. 120 Fourierkoeffizient. diskret 23. 47

diskrete dyadische Korrelation 101. 120 Fourierkoeffizient von Ableitungen 19. 20. 54

diskrete Fourierkoeffizienten 23. 47 Fourier-Phasen-Spektrum 7

diskrete Fourierteil summe 23. 48 Fourierreihe 5. 42

diskrete Fourier-Transformation 30. 47 Fourierteil summe 5. 43

diskrete Fourier-Umkehrtransformation 30. 49 Fourierteilsumme. diskrete 23. 48

diskrete Walshkoeffizienten 94. 119 Fourierteilsumme. diskrete reelle 26

diskrete Walshteil summe 99. 119 Fourierteilsumme. reelle 6

diskrete Walsh-Paley-Koeffizienten 133. 138 Fourier-Transfonnation 162

diskrete Walsh-Paley-Teilsumme 133. 139 Fourier-Transfonnation. diskrete 30. 47

diskrete Wa lsh-Transformation 106 Fourier-Transformation. endl iche 5

diskrete Walsh-Umkehrtransformation 106. 120 Fourier-Umkehrtransformation. diskrete 30. 49

Display 157 FPT 132

Dual zahl darstellung 95. 100. 103 Frequenz 9. 16. 46

dyadische Faltung. diskrete 103. 120 83. 161

dyadische Korrela'tion. diskrete 101. 120 Frequenz-Fil terung 34

fundamentales Intervall 2. 39

endl iche Fourier-Transfonnation Funktion. antihennitesche 20. 33

endl iche Walsh-Transformation 87 Funktlon. hennltesche 20. 33

Erdfernerkundung 147 Funktion. gerade 21. 34. 93

Euler'sche Regel 2 Funktion. periodische 1. 39

Funktion. ungerade 21.34.93

Falschfarbbild 160 Funktion. verrauschte 35. 110. 163

Fa lschfarbendarstellung 157 FWT 134

Faltung 162

gerade Funktion

Gradient

Grauwert Grauwertbil d

Grauwert-Ili 5 tog ram

Grauwertschwe 11 e

Gray-Code

Gray-Code Funkt ion

Grundfa rben

harmonische Schwingung

Hell igkeit

hermitesche Funktion

Histogram

HochpaBfi 1 terung

imaginare Einheit i

Intensi tat

Interpolation. mit Walsh-Funktionen

Interpolation. trigonometrische

inverse Filterung

Konvergenz. gleichma6ige

Konvergenz. punk twei se

Korrelation. diskrete dyadische

Korrelation. diskrete zykl ische

Korrelation. zyklische

Kronecker-Symbol

L ichtintensitat

L inearitat

Lokal isationsprinzip

Merkma 1 sextraktion

mittlerer quadrati scher Fehler

Modul o-2-Addit ion

Modulo-2-Subtraktion

Monitor

Mul ti spektralanalyse

Orthonorma 1 itatsrelation

Orthonorma 1 itatsrel ation. diskrete

Paley

Peri ode

periodische Faltung

periodische Faltung. diskrete

periodi sche Funktion

periodische Korrelation

periodisehe Korrelation. diskrete

Quadraturfehler

Rauschen

- 175 -

21.34.93

170

148. 150

51

159

169

92

129

150

16. 46

148

20. 33

159

161

2. 40

148

99, 120

24. 48

163

17,47.92.119

17. 92

101. 120

28. 49

12. 44

3, 85

148

Rechteekrege 1

Satell itenbild

Scanner

Schnell e Fourier-Transformation

Schnelle Wa 1 sh-Transformation

Schwarz

Schwarz-Wei6-Bil d

Sequenz

Sequenz-Fil terung Signal intensitiit

Spektrum. Fourier-

Spektrum. Wal sh-

Szenenana 1 yse

Texturanalyse

TiefpaBfi 1 terung

Trapezregel

tr i gonometrl sches I nterpo la t ionspo 1 ynom

trigonometrisches Polynom

trigonometrisches System

Umkehrformel

ungerade Funktion

verrausehte Funktion

Wa 1 sh-Abel-Poussin-Kern

Wa 1 sh-Ampl ituden-Spektrum

Wa 1 sh-Di richl et-Kern

Wal sh-Fej~r-Kern 20. 33. 54. 55, Walsh-Funktion 93. 109. 126. 127

17.47.92. 119

154. 171

4.41,86,117

95, 100. 121

102. 121

157

154

3.41.85.117

24.48.95.120

129

1. 39

10. 44

27, 49

1. 39

12. 44

28. 49

22

34.110.

160.163

Walsh-Funktionen. dyadlseh geordnet

Wal sh-Funktionen. natUrlich geordnet

Walsh-Hadamard-Funktion Wa 1 shkoeff i z i ent

Wal shkoeffizient, diskret

Wa 1 sh-Pa ley-Funk tion

Wa 1 sh-Pa 1 ey-Koeffizient. di skret

Wa 1 sh-Pa ley-Teil sume, diskrete

Walshreihe

Wa 1 sh-Sequenz-Spektrum

Wa 1 shtei 1 sume

Wa 1 shteil sume. diskrete

Wa 1 sh-Transformation

Walsh-Transformation, diskrete

Walsh-Transformation, endliche

Wal sh-Umkehrtransformation. diskrete

WeierstraB, Satz von

WeiB

Wiener Filter

zykl ische Autokorrelation

zyklische Faltung

zyklische Faltung. diskrete

zykl ische Korrelation

zykl ische Korrelation. diskrete

21

171

156

56

129

148

148

84

110 148

6, 7, 43

88. 118

154

154

161

21

24

3. 41

30,49.106,120

21.34,93

34.110.163

112

88. 118

110

111

81. 114

129

130

129 87. 117

94. 119

129

133, 138

133, 139

88. 118

88. 118

88. 118

99. 119

162

106

87

106, 120

3. 41

148

167

13

10. 44

27. 49

12, 44

28, 49