Es gäbe die Mathematik nicht,wenn sie nicht anwendbar

wäre

3.2 Das anwendungsorientierte Unterrichtskonzept

Das anwendungsorientierte Unterrichtskonzept

Schulung des Problemlösem

Schulung des Sehens

Sinnvolle Genauigkeit, Rechnen mit Näherungswerten

Prozentrechnung, Rechnen mit Potenzen

Mathematik ist die über Jahrhunderte entwickelteTechnik des Problemlösens durch Schließen

Bruno Buchberger

Schulung des Problemlösem

Modellieren

InterpretierenO

peri

eren

ProblemMathemat.

Modell

Mathemat.lösung

Übersetzung Phase 1: Wortformel„was passiert jedes Jahr?“

Das Kapital wird verzinstund die Rate wird abgezogen

Kneu = Kalt.(1+p/100) - R

Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung

Modellbilden Übersetzung von der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik

Heugl

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung

Heugl

Deutsch Mathematik

„so erhält man“

„das Dreifache von“

„p% von “

„vermehre um p%“

=

3

p/100

(1+p/100)

„Übersetzen“Wortformel => mathematische Formel

Beispiel 1:Ein Sportverein plant für das nächste Jahr Ausgaben von € 150000.

Der Verein hat als Mitglieder 205 Jugendliche und 642 Erwachsene. Ein Jugendlicher zahlt als Mitgliedsbeitrag € 48,- pro Jahr und ein Erwachsener € 180,-

• Sollte der Mitgliedsbeitrag für das nächste Jahr erhöht werden?• Wie hoch müsste der Mitgliedsbeitrag für Erwachsenen sein,

wenn kostendeckend gewirtschaftet werden soll und der Mitgliedsbeitrag für Jugendliche gleich bleiben soll?

• Wie viele Erwachsene müssten zusätzlich aufgenommen werden, wenn kostendeckend gewirtschaftet werden soll und der Mitgliedsbeitrag gleich bleiben soll?

• Gib eine Formel für das Jahresbudget an. Wähle als Variablen:B......Jahresbudgetnj.....Anzahl der Jugendlichenmj.....Mitgliedsbeitrag der Jugendlichenne.......Anzahl der Erwachsenenme......Mitgliedsbeitrag der Erwachsenen

Beispiel 3: Welche Partei ist besser? [Bürger-Fischer-Malle, Mathematik Oberstufe Band 2]In der Fernsehdiskussion diskutieren 2 Politiker der Parteien A und B über die Einkommensveränderung der Bevölkerung seit 1994

Jahr Einkommen (WE)

Partei

1994 4.800 A

1995 5.100 A

1996 5.500 A

1997 5.800 A

1998 6.200A

WechselB

1999 6.500 B

2000 6.900 B

2001 7.400 B

Welche Partei ist besser?

a) Absoluter Einkommenszuwachs

A

B

ΔE =6200-4800=1400 €

ΔE =7400-6200=1200 €

b) Mittlerer Einkommenszuwachs

A

B

ΔE 1400= = 350 €

4 4ΔE 1200

= =400 €3 3

c) Relativer Einkommenszuwachs

A

0A

B

0B

ΔE 6200-4800= =0,29= 29%

E 4800

ΔE 7400-6200= =0,19=19%

E 6200

d) Änderungsfaktor

E(1998) 6200= =1,29

E(1994) 4800

E(2001) 7400= =1,19

E(1998) 6200

Beschreibung der Änderung einer Funktionf:AB im Intervall [a,b] mit a,bA

(1)Absolute Änderung

Δf =f(b)-f(a)

0

(2)Re Änderung

( ) ( )=

( )

lative

f f b f a

f f a

(3)Mittlere Änderungsrate

(Differenzenquotient)

Δf f(b)-f(a)=

Δa b-a

(4)Änderungsfaktor

(Wachstumsfaktor)

f(b)w =

f(a)

Beispiel 2:Bei einem Kaufmann sind Belege verschwunden. Er kann

folgendes noch feststellen: Er hat Kaffee zu 2,8 € und zu 3,2 € je Packung verkauft, insgesamt 200 Packungen Kaffee.

• Belege zeigen dass er mindestens 580 € eingenommen hat. Wieviele Packungen der 1, Sorte und wieviele der 2. Sorte kann er verkauft haben?

• Wie ändert sich das Ergebnis, wenn ein weiterer Beleg zeigt, dass er weniger als 592 € eingenommen hat?

Beispiel 4: Arbeitslosigkeit in DeutschlandIm Herbst 1997 waren in Deutschland mehr Menschen als je zuvor als arbeitslos gemeldet.Die Arbeitslosenquote betrug 11,4%.Deutliche Unterschiede zeigen sich zwischen West und Ost. In den neuen Bundesländern beträgt die Arbeitslosenquote 18,3%, während sie in den alten Bundesländern mit 9,7% wesentlich niedriger liegt.

Franziska und Paul unterhalten sich über diese Zeitungsmeldung.Franziska: „Ich wüsste gern, wie viel Prozent aller Arbeitslosen in

Deutschland in den neuen Bundesländern wohnen.“ Paul: „Wie willst du das rauskriegen?“Franziska: „Na ausrechnen!“Paul: „Das geht doch gar nicht!“

Modellbilden, Operieren, Interpretieren

Schritt 1: Wahl der „Unbekannten“Es sei x die Anzahl der Erwerbspersonen im Westen,y die Anzahl im Osten.

Schritt 2: Übersetzen des Textes in ein ModellNutzen der Übersetzungsregel „p% von... .p/100“

Schritt 3: OperierenMathematisches Modell => mathematisches Ergebnis

( )0,097.x+0,183.y=0,114. x+y

0,097.x+0,183.y=0,114.x+0,114.y

0,069.y=0,017.x

0,069x = .y 4.y

0,017»

Schritt 4: Interpretieren:x=4y im Westen leben 4-mal so viel Erwerbspersonen wie im Osten.Im Westen waren 0,097.x Menschen arbeitslos, das sind 0,097.4.y = 0,388.y Menschen.Im Osten sind 0,183.y Menschen arbeitslos,also insgesamt 0,571.y

Der Anteil der Arbeitslosen im Osten beträgt daher:

=> 32% der Arbeitslosen leben im Osten, also jeder dritte Arbeitslose

0,183.y0,32

0,571.y»

Schulung des Sehens

Sinnvolle Genauigkeit,Rechnen mit NäherungswertenRechnen mit Ungleichungen

Vermessungsaufgabe: Die Höhe des Berges ist 876,67345 Meter !!!

Was ist der Unterschied zwischen 100 m und 100,00 m ?

Folgerung:Bei anwendungsorientierten Aufgaben, bei denen die Daten mit einer gewissen Messgenauigkeit ermittelt wurden, müsste man mit Ungleichungen rechnen

Beispiel 2: Preissteigerungsrate(a) Ermittle die Preissteigerungsrate aus den Kosten W eines

„Warenkorbes“:im Jahr 2001 W1 = 6.470,-€im Jahr 2002 W2 = 7.060,-€

2 1

1

W -W 7060-6740r = = = 0,0474»4,7%

W 6740

(b) Die Daten seien mit einem Fehler von ±1% behaftet. In welchem Intervall liegt dann die Preissteigerungsrate?

1

2

6672,6 W 6807,4

6989,4 W 7130,6

£ £

£ £

2 1

2 1

1

182 W -W 458

W -W0,027 0,068

W

£ £

£ £

2,7% r 6,8%£ £

(c) Annahme: Der Fehler sei ±5%

-5,2% r +15,8%£ £

Prozentrechnung, Rechnen mit Potenzen