Die Entwicklung yon Personengesamtheiten in der Krankenversicherung,

dargestellt als Markoffscher Prozel~

Von Martin Balleer (Diisseldorf)

I nhaltsverzeichnis Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

I. Kapitel: Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 § 1: Definition ehles stochastischen Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 § 2: Markoffsche Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

II. Kapitel: DieEntwicklungderBestindeanGesundenundKrankenalsMarkoffscherProzefl 615 § 1 : Beschreibung des mathematischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 § 2: Ein klassischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 § 3 : Variable Gesamtheiten yon Gesunden und Kranken . . . . . . . . . . . . . 618 § 4: Konstante Gesamtheiten yon Gesunden und Kranken . . . . . . . . . . . . 623 § 5: Konstante Gesamtheit yon Gesunden und variable Gesamtheit yon Kranken . . 626

III. Kapitel: Verallgemeinerung auf mehrere Klassen yon Kranken . . . . . . . . . . 629

Literaturverzeiehnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

Die Theorie der Krankenversicherung basiert vor aUem auf der Ermittlung yon dutch Krankheit verursachten Schiiden ffir bestimmte Klassen yon Versicherten (Tosberg [10], Ren/er [6]), ohne dem Mechanismus der Bestandsver~nderungen aus- reichend Rechnung zu tragen. Kiirzlich hat Ki~mmerli [5] ffir die Invalidit£tsver- sicherung ein Modell entwickelt, welches uns gestattet, mit Hilfe yon Marko~schen Prozessen Licht in den Ab- und Aufbau des Aktiven- bzw. Invalidenbestandes zu bringen. Marko~sche Prozesse sind hierzu besonders gecignet, da sie der Wirklichkeit weitgehend dadurch Rechnung tragen, dab Zukunft und Vergangenheit tmabhingig sind. Das Modell Ki~mmerlis ist hides auf die Krankenversicherung nicht ohne weiteres anwendbar, da es auf die M6glichkeit der Reaktivierung verzichtet. Die vor]iegenden Untersuchungen beziehen auch dieses Moment und dariiber hinaus den Zugang von aul~en ein. Die zum Tefl recht komplizierten Ergebnisse enthalten die Resultate yon Ki~mmerli als Spezialfille.

Besonderes Hflfsmittel ist die Theorie der Marko~schen Prozesse (Bauer [ 1 ], Doob [2]). Eine kurze Skizze der ffir diese Arbeit wesentlichen Eigenschaften und S~tze ist deshalb in Kapitel I den weiteren Ausffihrungen vorangestellt.

Diese werden eingeschri~nkt auf konstante und variable Personengesamtheiten, deren Definition samt einer allgemeinen Beschreibung des mathematischen Modells in Kapitel I I , § 1 entwickelt wird. Die Ubergangswahrscheinlichkeiten ffir konstante und variable Best£nde yon Gesunden und Kranken werden dann in den §§ 3--5 angegeben. Hierbei helfen besonders die Ans£tze yon du Pasquier [3] und Spring [9] im ,,variablen Fall" welter (§ 2).

Die Anwendung yon Marko[~schen Prozessen impliziert die Unabhingigkeit der Ausscheidewahrscheinhchkeiten yon der Vergangenheit, die aber gerade in der Krankenversicherung durch die Abh~ngigkeit yon der Dauer der Krankheit hiufig nieht gegeben ist. Daher ist als Ausblick (Kapitel I I I ) ein gangbarer Ausweg durch

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Klassenbildung imaerhalb des Krankenbestandes aufgezeigt, der im wesentlichen eine einfache Verallgemeinerung der in Kapitel I I erhaltenen Ergebnisse ist. Die Modelle sind nicht nur auf die Krankenversieherung anwendbar. Die Best/inde an Gesunden und Kranken sind ohne weiteres durch Best/inde ersetzbar, die einem ~hnlichen Ausscheidemechanismus unterliegen, etwa bei der Unfall- oder der In- validit/~tsversicherung. Es ist nicht die Absicht, mit dieser Arbeit dem Praktiker Methoden zur Pr/~mien- berechnung in die Hand zu legen, gleiehwohl versucht wird, bei den Problemstellun- gen den Blick auf die Praxis zu lenken.

I. K a p i t e l : S t o e h a s t i s c h e P r o z e s s e

§ 1 : De/inition eines stochastischen Prozesses Es wird die Menge W =- {w} vorgegeben, die wir die Menge der zuf/iUigen Ereignisse nennen. Ein zuf/illiger Vorgang wird dann beschrieben durch eine Funktion X : W--> E, wobei wir ffir unsere Zwecke E : = N oder E : = 57 × 57 annehmen. Mit 57 wird stets die Menge der nattirliehen Zahlen 0, l, 2 . . . . bezeichnet. Mit Px(n) wird die Wahrscheinlichkeit daffir bezeichnet, dab X = n i s t . Jeder Zu- fallsvariablen X wird also ein WahrscheinlichkeitsmaB P x auf E zugeordnet, das durch die Angabe der Werte Px (n), n e E, wegen der Diskretheit yon E eindeutig bes t immt ist. Es ist manchmal erforderlich, zuf/illige Vorg/inge zu besehreiben, die einer zeitlichen Entwicklung unterliegen. Man interessiert sieh ffir den Zustand eines Prozesses zu einem best immten Zeitpunkt. Die Zeitpunkte werden im folgenden durch R+, die positive reelle Zahlengerade einschlieBlich Nullpunkt, repr/isentiert. Ein solcher in der Zeit ablaufender Prozel3 wird beschrieben durch eine Familie {X (t) ; t e R+} von Zufallsvariablen, die wit stoehastischen ProzeB nennen. Mit Px(t~) ..... x(tk)(nl, . . . ,nk) wird die Wahrscheinlichkeit daffir bezeichnet, dab simultan X (tl) = nl , X (t2) ---- n2 . . . . . X ( tk) = n k g r i t . Jeder Menge {X (ti) ;i---- 1 , . . . , k} ordnen wir also ein Wahrscheinlichkeitsma$ Px(t,) ..... x(tk) auf Ek: ~---E X--" X E zu, das durch die Angabe der Werte Px(t,) ..... x(tk) (n l , . . . ,nk), ni e E, wegen der Diskret- heit yon E k eindeutig bes t immt ist. Wir bezeichnen mit Px(sl) ..... x(sl)/x(tl) ..... x(t~)(ml . . . . . ma/nl . . . . ,nk) die bedingte Wahrscheinlichkeit dafiir, dal~ simultan X (Sl) ---- ml . . . . . X (sl) ~ ml gilt, wenn man wei$, dal~ X (tl) = n l , . . . , X (tk) = n k ist. Diese ist definiert durch

Px(s,) ..... x(s,)/x(tl) ..... x(t~) (ml , . . . , ml /n l , . . . ,nk) Px(s~) ..... x(s~),x(t,) ..... x(tk) (ml ..... ml,nl ..... nk) (1.1)

: Px(t~) ..... X(tk) (ni,...,nk)

fiir alle si > 0, ti > 0, mi e E, nl e E.

§ 2: Marko~sche Prozesse Ein Marko~scher Prozel~ oder Marko~.Prozel3 ist ein spezieller stochastischer ProzeB. I m allgemeinen ist der weitere Verlauf eines stoehastisehen Prozesses yon seinem bisherigen Verlauf abh/ingig. Ftir einen Marko#-Proze$ jedoch - - und das ist die eharakteristische Eigenschaft - - ist f~r die kiinftige Entwieklung nieht mehr in- teressant, wie er in den gegenw/~rtigen Zustand gelangt ist. Der Proze$ ,,hat kein Ged/~chtnis", er entscheidet sich in jedem Zeitpunkt seines Weges nur auf Grund der Information, die er aus seiner gegenw/~rtigen Situation zieht - - also Zeitpunkt und Ort - - neu fiir seine Zukunft.

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Es laute t die exakte Definition 1.1: Ein stochastischer ProzeB { X ( t ) ; t > 0} he is t Markogscher Prozel3, wenn

Px(t)/x(tl) ..... x(tk) (m/n1 , . . . , nk) = 1)x(t)/x (tk) (m/nk) (1.2)

ist ffir alle t > tk > "'" > t l , ti ~ 0 und m, ni E E. Die Eigensehaft (1.2) heil3t Markog- Eigensehaft. Diese Definition berechtigt uns, Ubergangswahrscheinliehkeiten zu defmieren. Sie geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Prozel3 innerhalb eines bes t immten Zeitintervalls von einem Zustand in einen anderen wechselt.

De/inition 1.2: Die durch

p l , | ( s , t ) : = Px(t)/x(s)(j/i), i, j z E ; s, t > 0 (1.3)

definierten Wahrscheinlichkeiten heiSen Ubergangswahrseheinliehkeiten des MarkoB- Prozesses {X (t) ; t > 0}.

Eigenscha/ten: (1) pi, j(s, t) >__ 0 ffir alle i , j e E ; s , t > 0 ,

(2) ~ Pi, j (s, t) = 1 ffir alle i e E ; s, t > 0, j e E

1, wenn i = j ffir alle i, j ~ E und t --> 0, (3) Pi, j(t, t) = 0, wenn i # j

(4) pt, t (s, t) = ~ Pi, k (s, u) pk, J (U, t) fiir alle i, j ~ E und s, u, t > 0 mit s < u < t. keE

Diese Gleichungen heiBen Ckapman-KolmogoroO-Gleichungen. Beweis: Da (1), (2), (3) sofort aus der Definition 1.2 folgen, bleibt (4) zu zeigen: Es gilt

pi, l(s, t) : Px(t)/x(s)(j/i) = ~ Px(u)/x(~)(k/i) Px(t)/X(u).X(s)(j/k, i). ke E

Wegen der Markol~-Eigenschaft folgt dann

pi, 1 (s, t) = ~ Px(u)/x(s) (k/i) Px(t)/x(u) (J, k) = ~ Pi, k (s, u) pk, 1 (u, t ) . k~E keE

Fiir den Verlauf des gesamten Prozesses ist es natfirlieh notwendig, aueh fiber den Star t des Prozesses im Zei tpunkt t = 0 etwas zu wissen, d .h . die Wahrscheinlich- keiten ffir den Star t in einem bes t immten Zustand zu kennen. Da wir uns bei unseren Bet rachtungen stets nur fiir Ubergangswahrscheinliehkeiten interessieren, nehmen wir fiir alle Prozesse gleiehe Startwahrseheinfiehkeiten an und geben folgende

De]inition 1.3: Zwei MarkoB-Prozesse heigen/~quivalent , wenn sie dieselben Uber- gangswahrscheinlichkeiten haben.

Eine Klassifizierung der Markoffschen Prozesse geben die folgenden beiden Defini- t ionen:

Definition 1.4: Ein Marko[I-Proze$ heii~t station/~r, wenn

pi, 1 (s -4- u, t ~- u) ---- pi, j (s, t) ffir alle i, j e E ; s, u, t > 0 (1.4)

gilt, d .h . wenn die Ubergangswahrscheinlichkeiten nicht mehr von der Lage, sondern v o n d e r Gr6Be t - - s des Interval ls (s, t) abh/ingen. Wir sehreiben dann aueh

pl, 1 (t -- s) : = pi, j (s, t).

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De/inition 1.5: Ein station/~rer Markoff-ProzeB heiBt homogen, wenn

pi+k,j+k(t - - s) = pl, j ( t - - s) fiir alle i, j, k e E und s, t > 0 (1.5)

gilt, d .h . wenn die Ubergangswahrscheinlichkeiten nur noch von der Gr6Be des Zeitintervalls und der Ver/~nderung der Zust/inde abh/~ngen. Wir schreiben Pj-i (t - - s): = pt, j (t - - s).

Voraussetzung 1.1: Wir setzen bei allen unseren ~ber legungen stets voraus, dab die l~bergangswahrscheinlichkeiten stetig differenzierbar sind.

Der folgende Satz gibt ein Mittel in die Hand, die Ubergangswahrseheinlichkeiten zu erreehnen:

Satz 1.1: Gibt es nur endlich v ide von Null verschiedene Ableitungen

O (s,t) s f t { ql, j(t) ffir i . j (1.6) at Pi, j = : - - qj (t) fiir i = j ,

so shad die Pi, ~(s, t) eindeutig dureh das Differentialgleiehungssystem

at0 Pi,~ (s, t) = -- pi, j(s, t ) q ~ ( t ) + ~.pi, k(s, t) qk,~(t) (1.7) k * j

mit den Anfangsbedingungen Pi, j (t, t) = 1 ffir i ---- j und Pi, j (t, t) = 0 fiir i . j best immt.

Beweis: (a) Da das Differentialgleichungssystem (1.7) wegen der endlichen Anzahl der Summanden ein lineares, homogenes Differentialgleichungssystem erster Ord- nung ist, gibt es wegen der Stetigkeit der Ableitungen qi, j (t) und qj (t) eine eindeutige L6sung. (b) Die Ubergangswahrscheinliehkeiten Pi, j(s, t) des vorliegenden Prozesses stellen eine LSsung yon (1.7) dar : Durch Differentiation der Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen ergibt sieh

0 --0t p~' J (s, t) = y. pi, k (s, u ) . ~-a pk, j (u, t)

ke]~

und speziell fiir u ---- t 0

0u pi, j (s, u) = -- Pl,~ (s, u) qj (u) + ~ pt, k (s, U) qk, ~ (U). keE k c j

Durch die Subst i tut ion t : ---- u ergibt sieh dann 0 0t Pl, j (s, t) = -- Pi, j (s, t) qj (t) + ~ p~, k (s, t) qk, J (t)

k~E k * j

(e) Die Anfangsbedingung wird dureh Eigensehaft (3) der Definition 1.2 geliefert.

(a), (b), (e) l iefem den Beweis des Satzes.

Bemerkungen: (1) Wenn wir t ein halboffenes Interval l aus R+ durehlaufen lassen, bleibt der Satz ffir diese t richtig, sofern qi, j (t) und qj (t) fiir alle i, j e E stetig auf diesem Interval l sind. Wi t kSnnen also o. B. d. A. die qi, 1 (t), qj (t) als stfickweise stetig mi t denselben Stetig- keitsintervallen fiir alle i, j e E voraussetzen und erhalten Pi, j (s, t) dureh In tegra t ion yon (1.7) auf den entspreehenden Intervallen. (2) I m homogenen Fall sind die qi, j (t), qj(t) Konstante , da sieh f i i r t ----s stets derselbe Wef t der Ableitung ergibt.

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(3) Wegen der Eigenschaft (2) der Definition 1.2 gilt

qj (t) = ~ qj, k (t). k:~j

(1.s)

II. Kapitel: Die E n t w i e k l u n g de r B e s t / i n d e an G e s u n d e n u n d K r a n k e n als M a r k o f f s c h e r P r o z e B

§ 1 : Beschreibung des mathematischen Modells

Wir betraehten Personengesamtheiten von Gesunden und Kranken und wollen ihre zeitliche Entwicklung als Markog-ProzeB darstellen. Dabei bezeichnen die Zufalls- variablen {X(t); t > 0} die Anzahl der Gesunden und {Y(t); t > 0} die Anzahl der Kranken zur Zeit t. Der Bestand an Gesunden soll durch Erkranken oder Tod vermindert und dureh Zugang yon gesunden Personen von aul]erhalb der betrachteten Personenkreise sowie durch Reaktivierung von Kranken erhSht werden kSnnen. Die Anzahl der Kranken soll dureh Reaktivierung oder Tod vermindert und dureh Erkrankungen yon Gesunden erh6ht werden kSnnen. Ffir alle folgenden Betraehtungen gelten die

Voraussetzungen 2.1: Zwischen allen Personen herrscht bezfiglich der betrachteten Ereigniswahrseheinlichkeiten Unabh/~ngigkeit.

2.2: Zum Zeitpunkt t ---- 0 sind alle Personen einschlieBlich der sp/iter von auilen hinzukommenden gleiehaltrig.

2.3: Die Wahrscheinliehkeit eines Ausseheidefalles durch Tod bzw. Erkranken im Zeitintervall (u, t) aus der Menge der Gesunden ist stetig differenzierbar naeh u und ihre Ableitung an der Stelle u = t durch

N (t) gs (t) bei Tod bzw. N (t) gk (t) bei Erkrankung gegeben.

2.4: Die Wahrscheinliehkeit eines Ausscheidefalles durch Tod bzw. Reaktivierung im Zeitintervall (u, t) aus der Menge der Kranken ist stetig differenzierbar naeh u und ihre Ableitung an der Stelle u = t durch

M (t) ks (t) bei Tod bzw. M (t) kg (t) bei Reaktivierung gegeben.

2.5: Die Wahrseheinliehkeit ffir den Eintri t t einer Person ,,von auBen" im Zeit- intervall (u, t) ist stetig differenzierbar nach u und ihre Ableitung an der Stelle u ---- t durch a(t) gegeben.

2.6: Die Wahrscheinlichkeit ffir das Auftreten mehr als eines Ausscheidefalles oder Zugangs yon auBen im Zeitintervall (u, t) ist differenzierbar naeh u und hat die Ableitung 0 an der Stelle u = t.

De/inition 2.1: Die Funktionen gs (t), gk (t), ks (t), kg (t) heiBen Ausseheideintensi- t/iten, die Funktion a (t) heiBt Eintrittsintensit/it einer Person.

Die Ausscheideintensit/iten werden bei groBen Best/inden nieht mehr von der Be- standsgrSBe zur Zeit t abh/ingen, w/ihrend bei kleinen Personengesamtheiten durch- aus diese Abh/ingigkeit gegeben ist. Im letzten Fall bezeichnet daher N (t) die Anzahl der Gesunden bzw. M(t) die Anzahl der Kranken zur Zeit t. Im zuerst genannten Fall werden wir N(t) bzw. M(t) konstant, o .B.d.A, also N(t) = 1 bzw. M(t) = 1 setzen. Wir werden im folgenden stets diese beiden F/ille im Auge haben.

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Konstanz yon N(t) bzw. M(t) bedingt einen Zugang yon auSen, wenn 1/i.ngere Zeitintervalle betrachtet werden, da sich ohne solchen Zugang der Bestand an Ge- sunden und Kranken infolge Todes auf Null reduziert. Wenn yon der einfachsten Voraussetzung ausgegangen wird, dab jeder durch Tod ausscheidende Gesunde oder Kranke durch einen gleichaltrigen Zugang ersetzt wird, so sind die Verteilung der Ausscheidef/ille durch Tod und die der Eintritte identisch. Fiir andere Voraussetzun- gen, beispielsweise Ersetzung jedes endgfiltig Ausscheidenden durch einen oder mehrere ,,Nullj/£hrige", wird mit Hilfe der Erneuerungstheorie die Verteilung der Zug/~nge bestimmt (siehe Saxer [7] und die dort angegebene Literatur). Das ist indes nicht unsere Aufgabe. Uns interessiert der Fall, dab die Intensit/iten a(t), gk(t), gs(t), kg(t), ks(t) so beschaffen sind, dab N(t) bzw. M(t) konstant ist (siehe auch Schmetterer [8]). Zu bemerken ist, dab im oben erw/ihnten Fall der Abh/~ngigkeit der Ausscheide- intensit/iten yon der BestandsgrSBe die N(t) und M(t) keine Zufallsvariablen sind, also nicht identisch mit X (t) und Y (t) sind. Es werden vielmehr Ausscheidewahr- scheinlichkeiten fiir den Fall X (t) =- N (t) bzw. Y (t) ----- M(t) definiert.

Definition 2.2: Die Personengesamtheit der Gesunden (Kranken) heil]t konstant, wenn N(t) = 1 (M(t) ---- 1) ist. Im auderen Fall nennen wir sie variabel.

Bemerkung: Die konstante Personengesamtheit ist nicht ganz die in der Literatur h/~ufig verwandte, aber meist nicht exakt definierte ,,offene" Gesamtheit, da bei uns der Zugang yon auBen ausgeschlossen sein kann. In der Regel hat aber die ,,offene" Gesamtheit die -- besonders fiir unsere Zwecke -- viel entscheidendere Eigenschaft, einen groBen Personenkreis zu umfassen. Deshalb und aus Grfinden der Exaktheit haben wir die obige Definition gew/~hlt.

Wit behandeln im folgenden die drei F/ille : (a) N (t), M (t) # 1, (b) N(t) ---- M(t) ---- 1, (c) N (t) ---- 1, M(t) ~= 1.

§ 2: Ein klasslscher Ansatz

Dieses Kapitel entwickelt die Ans/~tze von du Pasffuier [3] und Spring [9].

Die gs (t), gk (t), kg (t), ks (t) sind die Ausscheideintensit/~ten, wie sie in § 1 definiert wurden. Wir setzen

ge (t) : ---~ gs (t) A- gk (t), ke (t) : = ks (t) -~ kg (t).

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, im Zeitintervall (u, t) gesund bzw. krank zu bleiben (siehe Kiimmerli [5])

[J ] l*' ~(u, t ) = exp -- ge(v) dv bzw. ~(u, t ) = exp -- ke(v) dv . (2.1)

Ein zur Zeit t----u Gesunder kann zu einem sp~teren Zeitpunkt gesund, krank oder aueh verstorben sein. Die Wahrseheinliehkeit, dab er zur Zeit t gesund ist, wird mi~ Pl (u, t), dab er zur Zeit t krank ist mit kl (u, t) bezeiehnet, wobei wit annehmen, dal~ Pl (u, t) und kl (u, t) stetige Funktionen sind. Pl (u, t) 1/igt sieh dann sehreiben als

pl(u, t) ---- ~(u, t) -4- ~(u, t) , (2.2)

*) Die Funktion e x wird st/indig mit exp [x] bezeichnet.

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wobei ~(u, t) die Wahrscheinlichkeit daftir ist, zur Zeit t gesund zu sein, ohne im ganzen Zei t raum (u, t) st/indig gesund gewesen zu sein. Die Ausscheideintensit/it durch Reakt ivierung zur Zeit v ist nach Voraussetzung 2.4 kg (v). Es gilt also

t ~(u, t) = f k l (u , v) ~(v, t) kg(v) d r ,

u

woraus mit (2.2)

p l ( u , t ) = e x p -- ge(v) dv + S k l ( u , v ) e x p - ge(w)dw kg(v) dv (2.3) u

folgt. Ebenso erhalten wir

[J 1 kl (u, t) = .f Pl (u, v) exp -- ke(w) dw gk(v) dv . (2.4) u

Nine analoge Aussage k6nnen wir fiber eine zur Zeit t ---- u kranke Person maehen. Wenn wit mit p2 (u, t) bzw. ke (u, t) die Wahrseheinliehkeit daffir bezeiehnen, dal3 diese Person zur Zeit t gesund bzw. krank ist, und annehmen, dag p2(u, t) und k2 (u, t) stetige Funkt ionen sind, erhal ten wit analog wie oben

pz(u, t) = .[k2(u, v) exp -- go(w) dw kg(v) dv (2.5) u

und

"ke(v) dv ~- p2(u,v) exp ke(w) dw gk(v )dv . (2.6) k2(u , t ) ---- exp - -

Man erkennt , dab pl (u, u) = k2 (u, u) = 1 und P2 (u, u) ~ kl (u, u) = 0 ist.

Satz 2.I: Es gilt 0 0t Pi (u, t) = ki (u, t) kg (t) - - ge (t) Pi (u, t)

und

a ki(u, t) =- pi(u, t) gk(t) -- ke(t) kl(u, t), i --~ 1, 2, 0t

mit Pl (u, u) ---- k~ (u, u) --~ 1 und P2 (u, u) --~ kl (u, u) ---- 0.

(2.7)

Beweis: Es gilt nach (2.3) und den Regeln fiber die Differentiation von Integralen

0t pl (u, t) -~= -- ge (t) exp -- j'ge (v) dv ÷ kl (u, t) kg(t) t!

~- .l'kl(u' v) kg(v) - exp -- ge(w) dw dv U

[J l - ge(t) exp -- ge(v) dv ~- kl(u, t) kg(t)

-- ge (t) f kl (u, g) kg (v) exp -- ge (w) dw dv u

und also a

-~- pl (u, t) = -- ge (t) pl (u, t) -}- kl (u, t) kg (t).

Analog sind die anderen Fglle zu beweisen.

Bemerkung: Wir setzen im Fall u = 0 stets zur Abkfirzung pi( t ) : = pl(0, t) und ki (t) : = ki (0, t).

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§ 3 : Variable Gesamtheiten yon Gesunden und Kranken

Da die Ausscheideintensit/iten definitionsgem/iB v o n d e r Anzahl der Personen ab- h/ingen, und ein Wechsel zwischen den Zust/~nden , ,krank" und ,,gesund" ausdriick- lich zugelassen wird, |s t die Entwieklung der be|den Personengesamtheiten nicht mehr unabh~ngig voneinander. Wit mfissen daher den zweidimensionalen Marko~- ProzeI~ {(X (t), Y (t)) ; t >--_ 0) mit dem Zustandsraum N x N zur Beschreibung unseres Modells heranziehen. Wir bezeichnen die ~bergangswahrscheinlichkeiten mit p(i, j) (n, m) (U, t ) ffir alle i, j, n, m e N und alle u, t e 1%+ und werden im folgenden stets u ~ 0 setzen. Wir schreiben dann auch p(i, 9) (n, m) (t) : : P(t, D (n, m) (0, t). Es gilt dann der folgende Satz 2.2: Es |st ffir alle i, j, n, m e N und t :> 0

0 -~ - p(i, j) (n, m) (t) : - - (n ge (t) q- m ke (t) q- a (t)) p<i, j) (n, m) (t)

+ (m + 1 ) kg (t) p(~, 5) ¢n-1, re+l) (t) -}- (n q- 1) gk (t) p(,, 5)(n+~, m - l ) ( t ) (2,8) + (m + 1) ks (t) p(i, j) (n, m+l) (t) + (n + 1) g~ (t) p(i, j) (n+l. m) (t) + a (t) p(l, 9) (n-l , m) (t)

m.it p(i, 9)(n, m)(0) : 1, w e n n (i, j) = (n, m) und p(i, i) (n, m) (0) = 0, wenn (i, j) ¢ (n, m), wobei P(i, 9) (-1, m) (t) ---- p(i, 9) (n,-1) (t) : - 0 zu setzen |st.

Beweis: Es gilt naeh Satz 1.1 und (1.8)

O 0t p(l, j) (n, m) (t) ---- ~ p(l,J)(1, k) (t) q0, k) (n, m) (t) -- P(l, J) (n, m) (t) q(n, m) (t)

(l,k) :~ (n,m) und

q<n, m) (t) ---- ~ q(n, m)(1, k) (t). (l,k) ¢ (n,m)

Weiterhin gilt naeh den Voraussetzungen (2.3) bis (2.5) yon § 1 dieses Kapitels

((m q- 1)kg(t), (1, k)---- (n -- 1, m + 1), | (m + 1) ks(t), (1, k) = (n, m + l ) , J ( n + 1)gk(t), (1, k ) = ( n + 1, m - - 1),

q(1, k)~n, m) (t) = ] (n + 1) gs (t), (1, k) ---- (n + 1, m), (2.9) | a ( t ) , (1, k) = (n - - 1, m) , [0, sonst.

Da auBerdem q(n, m)(t) = nge(t) + rake(t) + a(t) |st, folgt die Riehtigkeit der Be- haup tung .

Bemerkung: Wir kennen bereits den Fall ohne Reaktivierung (Kiimmerli [5]). Wir erhalten in diesem Fall ffir die Menge der Gesunden die {3bergangswahrseheinlich- keiten

= (1)oxo ( - ox [- . _

Da pl (t) = exp -- ~ ge (v) dv ist, kSnnen wit aueh sehreiben o

pl, j (t) = (i) (pl(t))J (1 -- pl(t))l-l . (2.11)

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Analog erhglt man die Ubergangswahrscheinlichkeiten ffir die Menge der Kranken

kl, l ( t ) = (i)(k2(t))J ( 1 - k2(t))l-J. (2.12)

Als Nebenresul tat erhalten wir die momenterzeugenden Funkt ionen

i 7p(x, t): = ~ pl, j(t) xt = (1 -- p l ( t ) ÷ xp l ( t ) ) i

i=0 und (2.13)

i

~k(x, t): = ~. ki, j(t) xJ = (1 -- k2(t) -]- xk2(t)) i. j=0

Dieses motiviert den folgenden

Satz 2.3: Wenn a (t) - 0 ist, so gilt

(a) p(l, o) (n, m) (t) = Pz(t)nkl( t)m(1 -- P t ( t ) - k z ( t ) ) l - n - m ' (2.14)

(b) P ( ° ' J ' ( n ' m ) ( t ) = ( J n ) ( J - - n ) p 2 ( t ) " k 2 ( t ) m ( 1 - p 2 ( t ) - k 2 ( t ) ) l - n - m ' m

wobei die pi (t), kt (t) die hi § 2 definierten Wahrseheinliehkeiten sind.

Beweis: (a) Es ist zu zeigen, dab diese Wahrseheinliehkeiten dem Differential- gleiehungssystem (2.8) gentigen. Zur Vereinfaehung setzen wir

Pro, m) (t) : = p(i, m m, m) (t) und Pz : = pl (t).

Wit erhalten dann dureh Differentiation unter Beriieksiehtigung von Satz 2.1 :

~n n) np~-lk~n(1 -- Pl -- k l ) l -n-m(klkg - gepl) at P(n'm) (t) = (in) ( i

-L (in) (i ~nn) m p~k~n-1 (1 -- pl -- kz) '-n-m (pz gk -- kekz )

- -- ngep(n,m)(t) -- mkep(n,m)(t)

(i~ [ i - - n~ k ~n - lkm+l ,1 kl) i-n-m -kntn}t... m ] glJ1 1 , - - - P l - -

~-m(in) ( i - n ~ " k ~ n + l k m - l ( l m ] ~ F1 1 -- pl - - k l ) t-n-m

-k (i -- n -- m) (in) ( i - n ~ " - - - - . . . m ]~sm~n+lk~n(1- -pz- -k l ) l-n-m-1

+ (i -- n -- m) (in) (i -- n~ ] sm~nkm+ltl - - 1 , 131 - - k l ) i-n-m-l"

619

Wegen

n ( i ) (i -- n) ----- (m + l) ( i ) ( i - - n + l ) n m n - - 1 m + l '

m = ( n + 1) n m n + l m - - 1

tmd

( i - - n - - m ) ( i n ) ( i m n ) = ( i n ) ( i - - n ) ( m + l ) = ( i ) ( i - - n - - 1 ) ( n + l ) m + l n + l m

folgt sofort die Behaup~ung.

Korollar: Wegen der Unabh~ngigkeit der Personen gilt dann

P(i, j) (n, m) (t) ----- ~ p (i, 0) (I, k) (t) p(0, j) (n-I, m-k) (t) . (2.15) (1,k)

Wir wollen nun in unsere Betrachtungen auch den Zugang yon auBen einbeziehen, also a (t) ~ 0 voraussetzen. Dazu nehmen wir zuni~chst an, dab zum Zeitpunkt t = 0 weder Gesunde noch Kranke vorhanden sind, der Aufbau der Personengesamtheiten also allein aus Personen erfolgt, die sich zu diesem Zeitpunkt nicht im Bestand der Gesunden und Kranken befinden. Wir haben also das Differentialgleiehungssystem (2.8) ffir i = j = 0 und der An- fangsbedingung p(o, o) (n, m) (0) = 1 ffir n = m ---- 0 und P(o, o) (n, m) (0) = 0 im anderen Fall zu 16sen. Wir definieren die Ftmktionen

t t al(t): = Sa(s) pl(s, t) ds und a2(t): = Sa(s) kl(S, t) ds (2.16)

0 0

Durch Differentiation nach t erhalten wir aus Satz 2.1 das Differentialgleichungs- system

0 at a l ( t ) = a ( t) + a2 ( t) k g ( t ) - - ge (t) a~ ( t)

(2.17) O at a2 (t) : a l (t) gk (t) - - ke (t) a2 (t)

und al (0) = a2 (0) = 0.

Satz 2.4: Fiir alle n, m e N, ~ ~ 0 gilt

~ - . , (2.1s) V=n-{-Ill

wobei al: = al (t) und a2: = a2 (t) ist.

Beweis: Wir lassen zur Abkfirzung bei k~ (t), kg(t), gs (t), gk (t), a (t), ai (t) die Be- zeichnung der Argumente fort und setzen auBerdem

f(v, n, m) = ~ . exp[-- 1] a~ ap (1 -- al -- a2) ~-n-~. m

Augerdem setzen ~ P(n, m) (t) : = p(o, o) (n, m) (t).

620

Wegen (2.17) erhal ten wir durch Differentiat ion (:)(v n) Ot -V! e x p [ - - 1] X m

X { n n - 1 m a, a 2 (1 - - a l - - a2) v -n -m (a q- kga2 - - ge al)

q- m a ~ a ~ - 1 ( 1 - - a l - - a2)v-n-m(gk a l - kea2)

q- (v - - n - - m ) a ~ a~(1 - - a l - a2)v-n-m-l(ge a l q- kea2) -}- (v - - n - - m ) a ~ a~(1 - - al - -a2)v-n-m-1 ( - a - - a ~ . k g - a lgk)}.

Durch analoge Beweisfi ihrung wie im Satz 2.3 erhal ten wir

0-t-f(v, n, m) = - - (nge q- mke ) f (v , n, m) Jr (m q- 1) kgf (v , n - - 1, m q- 1)

q- (n q- 1) gkf (v , n -4- 1, m - - 1) q- (m ÷ 1) ks f(v, n, m + 1)

q- (n q- 1) gs f(v, n q- 1, m) q- a f (v - - 1, n - - 1, m) - - a f (v - - 1, n, m) .

Wegen f(v, n, m) = 0 ffir v < n q- m i s t

f (v - - 1, n, m) = ~. f(v, n, m) ---- ~ f(v, n, m) = P(n,m)(t), v_~n+m v_>n+m-1 v>n+m

und auBerdem gilt

f (v - - 1, n - - 1, m) = ~ f(v, n - - 1, m) = P(n-l,m) (t). v~n+m v_~n+m--1

Weiterhin ist

{(-- n g e - - mke) f ( v , n , m) q- (m q- 1 ) k g f ( v , n - - 1, m q- 1) v>n+m

q- (nq- 1 )gkf (v , n q - 1, m - - 1)}

= - - (nge Jr rake) p(n,m)(t) q- (m q- 1) kgp(n- l ,m+l)( t )

q- (n q- I) gkP(=+l,m-1)(t)

und wegen f(v, n, m) = 0 fiir v < n q- m auch

{(m q- 1) ksf(V, n, m Jr 1) q- (n q- 1) gsf(V, n q- 1, m)} v~n+m

= ~ {(m q- 1) ks f(v, n, m q- 1) q- (n q- 1) g s f (v, n q- 1, m)} v > n + m + l

= (m q- 1) ksp(n, re+l)(t) q- (n q- 1) PCn+l,m)(t) gs .

Wegen al (0) -~ a2 (0) = 0 gilt auch p(n, m)(0) = 1 ffir n = m = 0 und andernfalls p(n,m)(0) = O. D a m i t ist der Satz bewiesen.

Korollar: Seien p(t, j)(n, m) (t) die Obergangswahrscheinl ichkei ten ffir den Full a (t) -= 0, dann erhal ten wir wegen der Unabh~ngigkei t der be t rach te ten Personen im Fall a( t ) ~ O:

p( i , j )¢n ,m)( t )= Y. Y v! - e x p [ - - 1] a~ak2(1 - - a t X (2.19) (l,k) v>l+k k

X P(i, 1) (n-l, m-k) (t) .

Es b l e ib t noch zu zeigen, wie die W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n p i (u , t) , kl (u, t), i ~-- 1, 2, b e s t i m m t werden k6nnen. I n rol ler Allgemeinheit sind die Gleichungen (2.7) nicht in geschlossener F o r m integrierbar. Ans~tze zu einer L6sung in Spezialf~llen und N~herungsl6sungen dieses Differentialgleichungssystems finden sich bei du Pasquier[3].

621

Wir setzen ffir unsere Zwecke - - und auch im Einklang mi t der Praxis - - voraus, dab die Intensit/~ten kg(t), ks(t), gk(t), gs(t) auf den Interval len [n, n + 1), n > 0, kons tan t sind, also kg(n), ks(n), gk(n), gs(n) gilt f i i r n < t < n + 1, wobei wir die Bemerkung 1 zu Satz 1.1 heranziehen, die aussagt, dab wir o .B .d .A, stiickweise stetige Funkt ionen kg, ks, gk, gs voraussetzen k6nnen. Zur Vermeidung komplizierter Ausdrficke setzen wir in Pi (u, t), ki (u, t) u = 0. Der allgemeine Fall ergibt sich sofort, indem man die gleichen ~ber legungen auf die Intervallfolge [u, no), [no, no + 1) . . . . anwendet , wobei no: = min(n /n > u) ist.

Wir suchen zun/~chst eine L6sung fiir das Differentialgleichungssystem

8 0t pl (t) = kl (t) kg (n) - - ge (n) Pl (t),

(2.20) ~ k l (t) = Pl (t) gk (n) - - ke (n) kl (t)

im Interval l [n, n + 1) mit den Anfangsbedingungen Pl (n), kl (n).

Satz 2.5: Es gilt

1 Pl (t) - - (exp [sl (t - - n)] - - exp Is2 (t - - n)]) (kl (n)kg -- Pl (n) (ge + Sl))

S1 - - 82

+ Pl (n) exp [sl (t - - n)], 1 (2.21)

kl (t) = (exp [sl (t - n)] - exp [s2 (t - n)]) (pl (n) gk - kl (n) (ke + sl)) S 1 - - S 2

+ kl (n) exp [sl (t - - n)],

wobei s l , sz die LSsungen der Gleichung

s 2 - - (ge(n) -4- ke(n)) s +4- ge(n) ke(n) - - gk(n) kg(n) = 0 sind.

Beweis: Wir setzen zur Vereinfachung kg : = kg (n), ks : = ks(n), gk: = gk(n), gs : = gs (n). Die Gleichung s 2 - - (ge + ke) s + ge ke - - gk kg = 0 ist die charakterist ische Gleichung des Differentialgleichungssystems (2.20). Wir erhal ten also als L6sungs- schar (Kamke [4]):

p l ( t ) = c l e x p [ s l t ] + c2exp[s2 t ] , (2.22)

kl (t) = dl exp [sl t] + d2 exp [s2 t] ,

wobei die Kons tan ten durch die Anfangsbedingungen Pl (n), kl (n) noeh zu best immen sind: Es ist

a at Pl (t) = cl sl exp [Sl t] + c2 s2 exp [s2 t] ;

(2.23) ~ t k l (t) = dl sl exp [Sl t] + d2 s2 exp [s~. t]

und nach Voraussetzung

at p l ( t ) -= k l ( t ) kg -- gep1(t) ; k l ( t ) = p l ( t ) gk -- k e k l ( t ) . (2.24)

F i i r t ---- n ergibt sieh dann aus (2.23) und (2.24)

el sl exp [Sl n] + e2 s2 exp [s2 n] = kl (n) kg -- ge pl (n), dl sl exp [sl n] + d2 s~. exp [s2 n] = Pl (n) gk - - ke kl (n). (2.25)

622

(2.22) liefert

Pl (n) = cl exp [sl n] ÷ ca exp [s2" n],

woraus mit (2.25)

sl pl (n) + ca (s2 -- sl) exp [s~ n] = k1 (n) kg -- ge pl(n), sl kl (n) ÷ d2 (s2 -- sl) exp [s2 n] = pl (n) gk -- ke kl (n)

und weiter

kl (n) = dl exp [Sl n] + d2 exp Is2 n],

ca - - exp[-- ssn] (kl(n) kg-- pl(n) (ge -t- 81)), 82 - - S1

d2 -- exp[-- s2n] (pl(n) gk -- kl(n) (ke + sl)) 82 - - s l

folgt. Durch Einsegzen in (2.22) ergibg sich dann

Cl __~ e x p [ - - s l n ! _ ( _ kl (n) kg ~- pl(n) (ge -~ sz)), 82 - - S1

dl -- exp[- sin] ( _ pl(n) gk + kl(n) (ke ~- s2)). $2 - - S I

Also ist

(2.26)

p l ( t ) - - 1 ((kl (n) kg -- pl (n) (ge ~- s2)) exp [Sl (t -- n)] S1 - - $2

-- (kl (n) kg -- pl (n) (ge ~- sl)) exp [s2 (t -- n)]}, 1

kl (t) : s~ - : -~ {(Pl (n) gk -- kl (n) (ke ~- s2)) exp [sl (t -- n)]

-- (pl(n) gk -- ki(n) (ke ~- Sl)) exp [s2(t -- n)]},

und die behauptete Aussage ergibt sich durch Umformen.

Bemerkung: Wenn wir lim pl (t) = Pl (n) und lira kl(t) = kl (n) setzen, so sind die t - - * n - t ~ n -

Funktionen pl(t), kl(t) auf R+ stetig, und wir erhalten die Anfangsbedingungen pl (n), kl (n) durch Rekursion :

1 pl(n ?- 1) -- s l (n)- s2(n) (exp[sl] -- exp[s2])(kl(n)kg(n) -- pl(n) (ge(n) + sl(n))

+ pl (n) exp [Sl], (2.27) 1

kl (n ~- 1) -- sl (n) - s2(n) (exp [sl] -- exp [s2])(pl (n)gk (n) -- kl (n)(ke (n) + sl (n))

+ kl (n) exp [Sl],

p l (o) = 1, k l (0) = 0. Ein analoges Ergebnis erhalten wir ffir p2(t), ka(t) mi$ der Anfangsbedingung p2 (0) = O, k2 (0) = 1.

§ 4 : Konstante Gesamtheiten von Gesunden und Kranken

In diesem Fall sind die Ausscheideintensit~ten nicht mehr abhiingig yon der Bestands- gr61]e. Wir k6nnen daher die Entwicklung der Personengesamtheiten yon Gesunden und Kranken unabh~ngig voneinander betrachten. Den Verlauf des Bestandes an Gesunden beschreibt ein homogener MarkoO-ProzeB {X (t); t >= 0} und den der Kranken ein homogener Markog-Prozeft {Y (t); t _> 0}. Die Funktionen a(t), kg(t), ks(t), gk(t), gs(t) sind also nach der Bemerkung 2 zu Satz 1.1 Konstante.

623

Wenn wir die Ubergangswahrseheinliehkeiten der beiden Prozesse re_it pi . l(u, t) bzw. kl, j (u, t) mit i, j e N und u, t ~ R+ bezeiehnen und wiederum u ---- 0 setzen, erhalten wir den

Satz 2.6: Fiir alle i, j e N, t > 0 gilt (a) ffir den Bes tand an Gesunden:

0 ~ - Pt, 1 (tt = -- (ge ~- kg ~- a) pi, j (t) ~- (kg ~- a t Pl, 1-1 (tt ~- ge Pi, 5+1 (t) (2.28t

110 ffir i - ~ j mit Pi, j (0) ~-- sonst ,

(b) ffir den Bes tand der Kranken:

kl j (t) = (gk A- ke) ki, j (t) -4- gk kt, J-1 (t) ~- ke ki, 5+1 (t) (2.29) Ot '

mi t ki, 1 (0) = sonst ,

wobei pi,-1 (t) = ki,-1 (t) = 0 zu setzen ist.

Beweis: Wir wenden den Satz 1.1 an und beriicksichtigen, da$

im Fall (a) [ kg ~- a ffir i = j -- 1, qi, j(t) = /ge fiir i = j + 1, (2.30)

[o sonst, im Fall (b) [ !k ffir i = j - - 1 ,

qi , j ( t ) = e ffir i = j -]- 1, (2.31) sonst

ist .

Da die MarkoU-Prozesse { X ( t ) ; t > O} und {Y(t); t > O} homogen sind, kSnnen wir sehreiben

mit

8 a t - pn (~) = -- (ge ~- kg -~- a) pn (t) -[- kg pn+l (t) -f- ge pn-1 (t) -~- a pn+l (t),

-~- kn(t) = -- (gk A- ke) kn(t) A- gkkn+l(t) A- kekn- l ( t )

pn (0) = kn (0) ____ {10 ffirsonst, n ~ - 0 ,

(2.32)

(2.33)

Dabei ist n: = i - - j und also ein Element aus Z, der Menge der ganzen Zahlen.

Eine LSsung der Differentialgleiehung (2.32) bzw. (2.33) erhalten wir durch den fol- genden

Satz 2.7: Fiir a l l en ~ Z gilt

/ ~ ~ . ( g e t ) n + v 1 ((kg-~ a ) t ) v e x p [ - (ge -t- kg -~ a ) t ] , n > 0,

pn($) ---- | - - ~ 1 ~ (2.34) / v ~ o ~ ((kg-t -ar t ) n+v ~.,(get)V exp[ - (ge-t- kg + a t t] , n < 0,

ke t) (gk" t) exp [ - - (gk -t- ke) t], n > 0,

kn(t) = (2.35) I ~ ~ . t (g k t) n+v l ( k e t ) V e x p [ - (gk + ke) t ] , n < O. kv f f iO~ " /"

624

Beweis: Wit beweisen den Fall (2.35). (2.34) wird analog bewiesen.

Dutch den Ansatz kn (t) = exp [-- (gk + ke) t] fn (t) geht die Differentialgleichung (2.33) fiber in

0 ~ _ f n ( t ) = g k f n + l ( t ) ~ _ k e f , l_l(t) ' fn(0)={10 ffirsonst, n = 0 , (2.36)

Wir bilden die momenterzeugende Funkt ion

~v (x, t): ~-- ~. fn (t) xn. n e Z

Es gilt dann ~ (x, 0) = 1. Ffir x =~ 0 ergibt die Differentiation dieser Funkt ion

"0-~ ~o (x, t) = ~ fn (t) x~ = Y (gk f~÷l (t) + ke f~-~ (t)) x",

a also at-rp (x, t) = (x -1 gk ~- x ke) ~ (x, t). Dureh Integrat ion erhal ten wir

q) (x, t) = exp [(x-1 gk ~- x ke) t] ;

denn die In tegra t ionskonstante ist wegen ~ (x, 0) = 1 gleieh 1. Nun ist

exp [ke x t] = 1 -]- ke x t -1- ~v. k2e x2 t2 Jr-

und 1

exp [gkX -1 t] = 1 ~- gk X -1 t ~- -2. i- gk 2 X -2 t2 + " " .

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich dann

1 1 gkken+lt n+2 ~- "'" n > 0, fn(t) = 0!n.(kentn~ - ( n + l ) ! l ! ' =

1 1 fn(t) = O.'ni- g~tn-~- (n~ l - ) ! l ! k e g ~ + l t n + 2 + ' " ' n < 0 ,

also

Ck t m+v 1 > 0, ( n ~ v ) ' ' e ' v-i-(gk t) v, n - - v = 0 ( " " - -

fn(t) = ~ 1 1 v-o ~ (n + v)! (gk t) n+v v~ (ke t) v, n < 0,

woraus sich sofort die Richtigkeit der Behauptung ergibt . Wenn wir im Fall N( t ) =~ 1, M(t) # 1 als L6sung eine Trinominalvertei lung, also die Fal tung zweier Binominalvertef lungen erhal ten haben, so ergibt der Fall N (t) = 1, M (t) = 1 also die Fal tung zweier Poissonverteflungen. In beiden F~llen ergeben sich als Spezialf/tlle sofort die Resul ta te yon Kiimmerli [5]. Der Satz 2.7 ges ta t te t uns, den EinfluB tier Reak t iv iemng bzw. Erk rankung auf den Bestand der Gesunden bzw. Kranken zu best immen. Durch Umformen der Resul ta te erh/~lt man ffir a = 0:

co n ! } 1 [ ~ " kV~Vt 2v > 0, (2.37) pn (t) = ~. (ge t)n exp [-- ge t] ~v=~ ° vT(-n ~- v)i g ~ exp [ - kg t] , n =

{ °° n! v v 2v } > 0 , (2.38) k n ( t ) = ~ . l ( k e t ) n e x p [ _ _ k e t ] v~0V!( r~-v) ! g k k ° t e x p [ - - g k t ] , n =

625

wobei der in der Klammer stehende Ausdruck den Faktor fiir den EinfluB der Reaktivierung bzw. Erkrankung angibt und vor der Klammer die yon Kiimmerli [5] ermittelte l~bergangswahrscheinlichkeit steht.

§ 5 : Konstante Gesamtheit von Gesunden und variable Gesamtheit von Kranken

In diesem Fall sind lediglich die Ausscheideintensit/~ten aus dem Bestand der Kranken yon dessen Gr6Be abh/ingig, nicht mehr die Ausscheideintensit/tten der Gesunden yon deren Bestand. Dieses Modell wird man anwenden kSnnen, wenn trotz groBer Anzahl an Gesunden nur ein kleiner Krankenbestand aufgebaut Mrd, was z.B. bei geringen Erkrankungswahrscheinlichkeiten oder groBen Reaktivierungswahrschein- lichkeiten der Fall sein kann. Da die Eintrittswahrscheinlichkeit in den Krankenbestand nicht yon der HShe des Bestandes an Gesunden abhgngt, beschreiben wir die Bewegung der Gesamtheit aller kranken Personen mit Hilfe eines Marko~-Prozesses {Y (t) ; t >= 0}. Die GrSBe des Bestandes an Gesunden {X( t ) ; t ~ 0} kSnnen wir nicht als Marko~-ProzeB beschreiben, da wir ffir die Eintrittswahrscheinlichkeiten Information aus dem Krankenbestand benStigen. Wir benutzen zur Beschreibung unseres Modells also wiederum den zweidimensionalen Markoff-Prozeg {(X(t),Y(t));t-->_0}. Wegen N(t)----1 nehmen wir an, dab die l~bergangswahrscheinlichkeiten in der ersten Komponente homogen sind. Wir schreiben daher start P(i,i)(n, m)(t) auch Pn, 0, m)(t), wobei i -- n dutch n ersetzt wird. AuBerdem setzen wir voraus, dab die Eintritts- und Ausscheideintensit/iten konstant auf R+ sind. Wir bestimmen zun/ichst die l~bergangswahrscheinlichkeiten ~j, m (u, t), j, m e N und u, t >= 0, des Prozesses {Y (t); t => 0}. Wit setzen wiederum u ---- 0 und erhalten (Schmetterer [8]) den

Satz 2.8: Ffir alle j, m e n und t ~ 0 gilt

pj, m(t) = -- (gk + mke)pj,m(t) -}- gkpj, m-l(t) ~- (m -~- 1) kepj,m+l(t) (2.39)

{10 ffir j = m , mit Pl,m (0) = sonst,

wobei pj,-1 (t) = 0 zu setzen ist.

Beweis: Wir wenden den Satz 1.1 an unter Berficksichtigung, dab

{g(okm ffir j = m - - 1 , qj, m ( t ) ---- -~ 1)ke fiir j = m + 1, (2.40)

sonst ist.

Satz 2.9: Es gilt

exp [-- ke t]) × (2.41) min(j,m)/j \ 1 [ gk ~m- r

× r=~o [r) ( 1 - e x p [ - k e t ] ) j + m - 2 r e x v [ - k e t r l ( m - r ) ! kke]

Bewels: Die momenterzeugende Funktion ist definiert durch

oo (x, t) ---- ~ ~j, m (t) x TM ; also gilt ~ (x, 0) = xl. (2.42)

m=0

626

Durch Differentiation yon ~ (x, t) erhalten wir aus Satz 2.8:

at ~ ( x ' t ) = - - g k ~ ( x , t ) - - k e ~ m ~ j , m ( t ) x m n ~ 0

oo

~- gk ~ pJ, m-1 (t) X m ~- ke ~ (in Jr ]) pj, m+l(t) x m.

Aul]erdem gilt

(2.43)

a~ ~ (x, t) = pj, m (t) m x m-1. (2.44) n ' t ~ 0

Aus (2.42) bis (2.44) folgt 0~ 0~ 0t ~- ke (x -- 1) ~X- = gk (x -- 1) ~ mit q(x, 0) = xl. (2.45)

Das ist eine partielle, quasilineare Differentialgleichung, deren Charakteristiken (Kamke [4]) gegeben sind dureh

x'(t) = ke (x -- 1) und ~'( t) = gk (X -- 1) ~, (2.46)

also ist x (t) = 1 ~- co exp [ke t]. Die durch den Punk t (u, v, w) gehende Charak- teristik ist dann

x(t) = 1 ~- v exp[ke(t -- u)] -- exp[ke(t -- u)]. (2.47)

Ebenso erhalten wir aus (2.46)

[ i 1 q) (t) = el exp gk (x (r) -- l ) dr

und fiir den Punk t (u, v, w) dureh Einsetzen von (2.47) die Charakteristik

~ ( t ) = wexp [ ~ - - e x p [ - - keu] ( v - - 1) (exp[ket] -- exp[ke u])].

Wi t spezialisieren (u, v, w) = (0, v, vl) und erhalgen

[ gk ( V - - 1 ) ( 1 - exp[ket])] x = l + ( v - - 1 ) e x p [ k e t ] und ~ = v J e x p -- k~e

wodureh sieh dureh Aufl5sen naeh v [ gk ] ~ (x , t ) = (1 ÷ x exp [-- keg] -- exp [-- ke t])J exp [ ~ - (x -- 1) (1 -- exp [-- keg])

ergibt. Wenn wir ~0 (x, t) naeh Potenzen yon x entwiekeln, erhMten wit (lurch Koeffizienten- vergleieh mit (2.42) das gesuehte ~j, m (t).

Korollar: Ftir j = 0 ergibt sieh

( )m [ gk (1- - exp [-- ket])] (2.48) 1 gk (1 -- exp[- - ke t]) exp - - -ke p0, m(t) = U

also ein Poisson-Prozel] mit Mittelwert gk_ (1 -- exp [-- ke t]).

Der Satz 2.9 liefert als Ergebnis also eine Fal tung aus einer Binominalverteilung mit den Parametern exp [-- ke t] und m und einer Poissonverteilung mit Mittelwert

gk (1 -- exp[ - - ket]). ke

Wit wollen nun die Obergangswahrscheinlichkeiten p(l, l) (n, m) (t) des Prozesses {(X(t), Y(t)); t > 0} bestimmen:

627

Satz 2.10: Ffir alle i, j, n, m e N und t ~ 0 grit

p(i, j) (n, m) (t) ---- -- (ge "iV m ke + a) p(~, j) (n, m) (t) + gs P(t,~) (n+l, m) (t) + gk P(t, j) (n+l, m-l) (t) q- (m ~- 1) ks PO, J) (n, re+l) (t) (2.49) -t- (m -[- 1) kgp(l,l)(n-l,m+l)(t) -~- a P(i,i)(n-l,m)(t)

1, wenn (i, j) = (n, m), 1/lit P(l,J) (n,m) (0) ~ 0, sonst,

wobei P(i, j) (n,-1) (t) : = p(i, J) (-1, m) (t) : ---- 0 ist.

Beweis: Satz 1.1 und [gs, (i, j) = (n + 1, m), [gk, (i, j) = (n q- 1, m -- 1), J (m q- 1)kg, (i, j) = ( n - - 1, m q- 1),

q(l, J) (Q, m) (t) = ] ( m + 1)ks, (i,j) = (n ,m + 1), (2.50) / a , (i, j) = (n - - 1, m), ( 0, sonst

liefert die Behaup tung .

Satz 2.11: Es gilt fiir alle n e Z, n > 0, j, m ~ N und t > 0

Pn, O, m) (t) = Pl, m (t) exp -- ~ (e (u) + b (u)) du × 0

1 b (u) du c (u) du × ~ ( n + v ) : ~ . '

wobei

b (u):----gs + g k pj,m-l(t) und c(u): : a + (m ~- 1)kg pj,m+l(t) (2.52) ~j. m (t) ~j, m (t)

ist.

Beweis: Wir setzen pm (t) : ----- ~j, m (t) und machen den Ansatz Pn, 0, m) (t) -= pm (t) fn (t), wobei fn eine nach t differenzierbare Funk t ion ist. Durch Differentiation nach t ergibt sich dann

a pm (t) fn (t) Pm (t) ~ fn (t) a%- p", (j, m) (t) = +

---- - - (gk -}- m ke) Pm (t) fn (t) A- gk Pro-1 (t) fn (t)

A- (m ~- 1) kePm+l(t) fn(t) A- pro(t) ~ - fn(t) .

Die Gleichung (2.49) ist effiillt, wenn

~t - fn (t) = -- gs fn (t) -[- gs fn-1 (t) - - a fn (t) ~- a fn+l (t)

_ pm-l(t) ~- 1) ke pm+l(t) - - Sk ~ In (t) - - ( m q- p m ( ~ fn (t)

• Pm-l(t ) ~ Pm+l(t) ^ A- g ~ - - p ~ In-1 (t) -~ (m A- 1) ks ~ 2 7 t i - In (t)

~ a a ~ g

(m -1- l) 1, pm+l(t) r ,~,

1, wenn n = 0, ist. Wir setzen und fn(0)----- 0, sonst

b ( t ) : = gs ~- gk pm-l(t) und c(t) : = a -~ (m ~- 1)kg pm+l(t) pm (t) pm (t)

und erhal ten

~ t fn(t) ---- - - (b(t) + c ( t ) ) fn( t ) Jr b ( t ) f n - l ( t ) + c( t ) fn+l ( t )

628

1, wenn n = 0, Init fn(0)---- 0, sonst ,

also durch ganz analogen Beweis wie zum Satz 2.7:

(! ; '-(! ; = -- b (u) du c (u) du fn(t) exp ] (b (u ) + c(u)) du 1 0 v 0 (n + v ~ • ~ "

I I I . K a p i t e l : V e r a l l g e m e i n e r u n g a u f m e h r e r e K l a s s e n v o n K r a n k e n

In allen bisherigen Uber legungen ist vernachl/~ssigt, dal~ die Ausscheideintensit / i ten aus dem Bes tand tier K r a n k e n yon der Dauer der Krankhe i t abh/~ngen kSnnen. Dieses in unsere entwickelten Modelle einzubauen, ist natfirlich nicht m6glich, da die MarkoO-Eigenschaft dann verloren geht. Als Ausweg teflen wir den Gesamtbes t and an K r a n k e n nach der Dauer der K r a n k h e i t in endlich viele Klassen ein, deren Ausscheideintensi tgten bekann t seien. Wir kSnnen dann unsere Ergebnisse veral lgemeinern, indem wir einen (r + 1)-dimensionalen MarkoB-Proze$ zu Ra te ziehen, wobei r die Anzahl der Klassen ist. Da es sich in der Mehrzahl u m analoge ~3bertragung der Ergebnisse und Beweise des zweidimensionalen Falles auf den (r + 1)-dimensionalen Fall handel t , sind hier nur einige wichtige Ergebnisse genannt oder Ansiitze aufgezeigt. Es werde mi t gs (t) die Ausseheideintensit/~t eines Gesunden durch Tod, gk (t) die Ausscheideintensi tgt eines Gesunden durch Krankhe i t , k(~ i) (t) die Ausscheideintensit/~t eines K r a n k e n aus der Klasse i durch Reakt iv ierung, k~ i) (t) die Ausscheideintensit / i t eines K r a n k e n aus der Klasse i durch Tod, kl~ x (t) die Ausscheideintensit / i t eines K r a n k e n aus der Klasse i durch Ubergang in

die Klasse i + 1

bezeichnet, wobei i die Zahlen 1 . . . . . r durchl/~uft und k ~ 1 (t): = 0 ist. Wei terhin bezeichnen die Funkt ionen N(t) , M(1)(t)(i = 1 . . . . . r) den Bes tand an gesunden Personen bzw. k ranken Personen der Klasse i zur Zeit t oder den W e r t 1 analog dem Vorgehen in Kapi te l I I , § 1. Die Ubergangswahrscheinl ichkei ten des Marko~-Prozesses (X (t), y(1)(t) . . . . . y(r) (t)) lauten dann :

q(1,k . . . . . . k , ) (n ,m . . . . . . m,) (t) =

a( t ) , N(t) gs(t), N (t) gk (t),

MO) (t) k(1) (t),

M(1) (t) k (1) (t),

MO) (t) k(21) (t),

l = n - - 1 ,mi = k i , i = 1 . . . . . r, l = n + l , m i = k i , i = l . . . . . r, l = n + 1 , k l - - - - m l - - 1, kl = m i , i = 2 . . . . . r, l = n , k l = m l + 1, kl = m l , i = 2 , . . . , r , l = n - - 1 , k l = m l + 1, ki =-- m i , i = 2 . . . . . r, l = n , k l = m l + 1,k2 = m 2 - - 1, ki = mi, i = 3 . . . . . r,

M< r) (t) k(r)(t), l = n , k r = m r + l , k l = m i , i = 1 . . . . . r - - 1,

M(r> (t) k(~ r> (t),

M(r) (t) k~r+) 1 (t),

0,

l = n - - 1, k r = m r + 1, ki ~- m i , i = 1 . . . . . r - - 1, 1 = n, kr = m r + 1, kl ----- m i , i = 1 , . . . , r - - 1, sonst .

(3.1)

629

(a) Der Fall N( t ) . 1, M(i)(t) , 1 (i = 1 . . . . ,r):

Wenn wir mi t P(i,h ..... i.)(n,m~ ..... m~)(t) die Ubergangswahrscheinlichkeiten des (r + 1)-dimensionalen MarkolJ-Prozesses (X(t) , y(1)(t) . . . . ,y(r) (t)) bezeichnen, gilt der

Satz 3.1: Ffir alle i, n, jk, mk E N und t e R+ gilt fiir den Fall a (t) = 0:

v , , o . . . . . o , = . . . . . . . . . . mr (3.2)

× p (t) n k l (t)ml • • • kr (t) m~ (1 - - 13 (t) . . . . . kr (t)) i -n-mL . . . . . m~,

wobei p (t), ki (t) durch folgendes Differentialgleichungssystem gegeben sind:

0 0t- 1) (t) = - - ge (t) 13 (t) -~- k(g 1) (t) k l (t) + " - + k (r) (t) k r ( t ) ,

0 k l (t) = -- k(~ 1) (t) k l (t) + gk (t) p (t), at (3.3)

0 kr (t) = - - k(e r) (t) kr (t) + k {r-~) (t) kr-1 (t) 0t

mit p(0) ----- 1, kl(0) ---- 0 ffir alle i = 1 . . . . . r. Dabei gilt k(ei): = k~ i) + k(~ ) + k{t+) 1 .

Beweis: Dieser Satz ist die T0bertragung des Satzes 2.3, Fall (a) und wird ganz analog bewiesen.

Wenn wir den Zugang von auBen einbeziehen und a (t) 4= 0 voraussetzen, erhal ten wir ein zum Satz 2.4 analoges Ergebnis:

Satz 3.2: Ffir alle n, mk e N und t e R+ gilt

1 ao(t)n. . , ar(t) m~ X P(o ..... O)(n,m ...... m~) (t) = ~ exp [ - 1] ~., (3.4) v ~ n + ... +mr

. . . . . . . . . . m.( l (v- -n . . . . . r-x / \ n / " " \ mr / '

wobei t t

ao(t): = Sa(u) p(u, t) du und as(t): = Sa(u) k l (u , t ) du (3.5) 0 0

ist und die p(u, t), kl(u, t) durch das Differentialgleichungssystem (3.3) gegeben sind, wenn man dort die p (t), ki (t) dutch p (u, t), kt (u, t) mit p (u, u) = 1, ki (u, u) = 0 ffir alle i = 1 . . . . , r ersetzt.

Korollar: Im zweidimensionalen Fall erhal ten wit

1 ao(t)n (1 _ ao(t))v_n ( : ) P(o,n) (t) = ~ e x p [ - - 1] ~ . , v ~ n

1 1 - - n! (a°(t))nv>n ~" exp [-- 11 - - . ( v _ n)l (1 - - ao(t)) v-n,

also 1

P(o, n) (t) = ~ (ao (t))n exp [ - - ao (t)]. C3.6)

(b) Der Fall N( t ) = 1, M(l)(t) = 1 (i = 1 . . . . . r):

Da sich in diesem Fall alle r + 1-Best/~nde unabh/~ngig voneinander entwickeln, kSnnen wir sofort den Satz 2.7 anwenden und erhalten fiir a( t) = 0 den

630

Satz 3.3: Ftir a l l e n e Z gilt

I ! 1 ~o'et'n+v--ll ~k(l) + -. . + k(r)~tWexnr-- ' % + k(~)+ . . . v o ( n + v ) l '~ ' v* " g g, , v , ,~ g +k(g r))t]

fiir n > 0, (3.7)

pn (t) ----- ] ~ 7 1 Hk(1 ) ~_ . . . + k(r) ~ t~n+ v 1 /~ t w ex ~vL_r ~1% -l- k (1) + "'" + k~r)) t] v _ _ o [ n ~ v ) ! , , g . g / , - ~ . , $ e , g t fiir n < 0

und

/ ~ o 1 ck(i )t~n+ v 1 (kli_l) t ) v e x p [ _ ( k ( e i ) + k l i -1) ) t ] , n > 0 , v ( n + v ) ! ' e , v! (3.8)

k~ )(t) = 1 (k!i-1) t~n+v 1 Ck(i ) tw ex~ [ - - (k(e i) + kl i - l)) t ] , n < 0, tv=o ( n + v ) ! J v! ~ e J iv =

wobei pn(t), k(~)(t) die Wahrscheinl ichkei t fiir die Ver/~nderung n d e r Best/~nde innerhalb der Zeit t bedeute t und k(l°): = gk gesetzt wird. (c) Der Fall N( t ) = 1, M(i)(t) . 1 (i = 1 . . . . . r):

Analog unserem Vorgehen im Kapi te l I I , § 5 setzen wit (Y(1)(t) . . . . . Y(r)(t)) als Marko•-ProzeB voraus und errechnen zun/~chst fiir diesen Prozel3 die ~Jbergangs- wahrscheinl ichkei ten P(jl ..... j~)(m ...... mr)(t)- Wir befinden uns dann genau im Fall des Satzes 3.2, wenn wir dor t die erste K o m p o n e n t e streichen, und gk die Rolle des a (t), also des Zugangs yon aui~en, i ibernimmt. Wir erhal ten also dann den

Satz 3.4: Ffir alle m k ¢ N, t e R+ gilt

1 P(0 ..... 0)(m ...... m,)(t) = ~ exp [ - - 1 ]~ - . a l ( t ) m, . . . ar (t) mr × (3.9)

v>m~+...+mr ( V

X ( 1 - a l ( t ) . . . . . ar(t)) v -m1- . . . . n l r -

\ m l / m2 mr t

wobei ai (t) = gk ~ki(u, t) du und 0

o Ot kl (u, t) = - - k(e 1) k l (u, t ) ,

(3.10) a ki(u, t) = _ k(i) ki(u, t) + k~i_l)ki_l (u, t), i = 2 . . . . . r ,

at

m i t k l ( t , t) -= 1, k~(t, t) = 0 f/ir alle i = 2 . . . . , r ist.

Nebenresultat: I m zweidimensionalen Fall (r = 1) erhal ten wir aus (3.10)

k l (u , t) ---= e x p [ - - k(1)(t - - u)] (3.11)

t und also wegen a (t) = gk ] k l (u, t) du

0

a( t ) = gk (1 - - e x p [ - - k~t]) (3.12) -k~

Dutch Anwendung des Korol lars zum Satz 3.2 erhal ten wir das frtihere Resu l ta t des Korol lars zum Satz 2.9 au f andere Weise.

Die Erwei te rung auf den allgemeinen Fall mi t (r + 1) Dimensionen ergibt analog Satz 2.11 fiir den Fall jk = 0 (k = 1 . . . . . r) den

631

Satz 3.5: Es gi l t fi ir a l l e n e Z, n > 0, mi E N, > 0

(J ] Pn,(m ...... m,)(t) = p(o ..... o)(m ...... m,)(t) exp - - (b(u) n c c ( u ) ) d u ×

× 1 /ofb(u)du) ,=0 (n +v) ! ~- .

wobei

p(ml-l,m~ ..... m,)(t) und b (u) = gs + gk p(ml . . . . . m~)(t)

c (u) = a + (ml + 1) k(g 1) p(m~+l,m ...... m~)(t) " p~m . . . . . . m~)(r)(t)

ist.

(3.13)

(3.14)

] -" ' " ~ (mr ~ -1 )k~ r) ~(m ...... m .... m~+l)(t)

L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S

[1] Bauer, H.: Markoffsehe Prozesse. Vorlesung 1963, Hamburg. [2] Doob, J. L.: Stochastic Processes. John Wiley and Sons Inc., New York, 1959. [3] Du Pasquier, L. G.: Mathematische Theorie der Invaliditatsversicherung. Mitteilungen der

Vereinigung sehweizerischer Versicherungsmathematiker, Band 7/8, 1912/13. [4] Kamke, E.: Differentialgleiehungen, LSsungsmethoden und LSsungen, Teil I und II , Aka-

demisehe Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959. [5] Ki~mmerli, E.: Die Struktur der Ausscheideordnungen in der Invalidit~tsversicherung im

Lichte moderner Mengen- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Dissertation, Universit~t Ziirich, 1967.

[6] Ren/er, H. : Beitr~ge zur Krankenversicherung. Fehr'sehe Buehhandlung, St. Gallen, 1912. [7] Saxer, W.: Versicherungsmathematik. Erster und zweiter Teil. Springer-Verlag, Berlin-

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[9] Spring, O. W.: BeibrKge zur mathematischen Theorie der privaten und sozialen Kranken- versieherung, Dissertation, Universit~t Bern, 1934.

[10] Tosberg, A.: Grundlagen und Aufbau der privaten Krankenversicherung. Bericht des 12. Internationalen Kongresses der Versicherungsmathematiker, Luzern, 1940, Band IV.

Weitere Literaturangaben zu dem behandelten Themenkreis finden sich in der Arbeit yon Kiim- merli [5].

Su~rTbmary

The foregoing work deals with the increase and decrease of the populations of well and sick persons in sickness insurance, using the model of the Markov-chain. The transition probabilities are obtained, with which it is determined whether the decrement of a person from a population depends on the point of time of the decrement or not. In conclusion the influence of the duration of sickness on the decrement from the population of sick persons is also investigated by means of a generalisation to several classes of sick persons.

632