Die Erkennung submikroskopischer Kristallflächen durch Elektronenbeugung. (Nach Versuchen W. Cochranes und L. Brücks)

ANNALEN D E R PHYSIK - ~ ~ ~ ~~~~ ~

5 . F O L B E B A N D 2 9 B E F T 3 u . 4 * J U X I 1 9 3 7

Die Eidcennung szcbrnikrosbopischer Er%staZ7fi&chen dur ch Elekt r on enb eugung

(Nach Versuclben W. C o c h r a n e s und L. Br t i cks ' ) ) Von H. v. L a u e (Mit 15 Abbildungen)

Durch Berechnung des Kristallformfaktors konnte der Verfasser z, zeigen, wie sich ebene Grenzfischen eines Kristalliten im Elektronen- beugungsbilde zu erkennen geben, und konnte dies an Versuchen K i r c h n e r s und Lassens3) veranschaulichen. Die jiingst ver- offentlichten Beugungsbilder Cochran e s iibertreffen nun alles friihere dieser Art so sehr an Klarheit, daB sich wohl eine erneute Diskussion der Theorie an Hand dieser Versuche lohnt.

C o c h r a n e schlagt auf angeschliffenen und abgeatzten ebenen E'lachen eines Kupfer-Einkristalls andere Metalle elektrolytisch nieder. Sofern diese ebenfalls kubisch-flachenzentriert kristallisieren, erhalt er unter geeigneten Herstellungsbedingungen einkristalline Schichten, die sich in der kristallographischen Orientierung dem Kupferkristall anpassen. Das beweisen seine Beugungsaufnahmen. Sie sind durchweg mit Elektronen von 39000 Volt, also einer de Broglie-Wellenlange il = 6,l - cm gemacht; wir besprechen die kennzeichnendsten unter ihnen, namlich die an Kobalt- und Nickelschichten erxielten.

Diese Schichten liegen in einer Dicke von 10W5 bis cm bei Kobalt, 10-6 bis 10-5 cm beim Nickel, auf einer 110-Ebene des Kupfers und haben, da sie gleichformige Dicke besitzen, eine eben- solche Ebene zur sichtbaren augeren Begrenzung ; jedoch sind nach brieflichen Mitteilungen Cochranes Abweichungen von ein paar Grad von der angegebenen Richtung stets moglich. Der primare Strahl trif-t

1) W. C o c h r a n e , Proc. London Phys. Soc. 48. S. 723. 1936; L. Bruck, Ann. d. Phys. 26. S. 233. 1936.

2) M. v. L a u e , Ann. d. Phys. 26. S. 55. 1936; eine numerische Durch- rechnnng fur das regulgre Oktaeder geben &I. v. L a u e und K.-H. R i e w e , Ztschr. f. Iiristallogmphie 95. 8. 408. 1936.

3) H. L a s s e n , Phys. Ztschr. 36. S. 172. 1934; F. K i r c h n e r u . H. L a s s e n , Ann. d. Phys. 24. S. 113. 1935.

14*

212 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937

Abl). 1. C o c h r a n e s Aufnahme au Kobalt,

Einfallsrichtuug aunahernd 170 I)

Ahh. 2. Cochranes Aufnahme an Kobalt,

Einfallsrichtung anniihernd 001 ~~~

1) Die starken horizontaleu Geraden rechts unten in den Abb. 1, 2 , 13 und 14 sind lediglich Einstellmarken.

M. v. Laue. Erkennung subrnikroskopischer Kristallfluchen usw. 213

Abb. 3. Skizze der Aufspaltungen, berechnet fiir einen annahernd mit der Richtung l i o zusammenfallenden Strahl

Abb. 4. Skizze der Aufspaltungen, berechnet fiir einen annahernd mit der Richtung 001 zusammenfallenden Strahl.

Die Punkte 200 und 020 liegen in der Aufnahme 2 im Halbschatten, sind deswegen unnatiirlich schwach u. miissen in den anschlieSenden

Diskussionen meist auBer Betracht bleiben


Erliiuterwng zu ADb. 3 ;

Punkt Punkt

+ l’rojektion des Mittelpunkts der Ausbreitungskugel. 000 und 755 liegen genau auf der Aiishreitungskugel, 864, 862, 860 und 862 liegen dicht an der Ausbreitungskugel und sind

nicht aufgespalten. in Aufnahme Abb. 1 sichtbare Satelliten

o Satellitpunkte, auf der Aufnahme Abb. 1 nicht sichtbar. Die Aufnahme reicht nur bis zu dem Kreise

Erl&;lcterung zw Ab6. 4:

+ Projektion des Mittelpunktes der Ausbreitungskugel. Punkt 000 und 791 liegen genau auf der Ausbreitungskugel, Punkt 200, 020, 220, 971 und 3.11.1 liegen dicht an der Ausbreitungskugel

und sind nicht aufgespalten. 0 in Aufnahme Abb. 2 sichtbare Satelliten o Satelliten, auf der Aufnahme Abb. 2 nicht sichtbar. Die susgezogenen Linien m1 = const und m, = const

gelten fur die Ebene m8= 0, die punktierten fur die Ebene wh3= -1. Die Aufnahme reicht nur bis zum Kreise

immer streifend auf diese Flache, durchleuchtet also die sub- mikroskopischen Vorspriinge, die aus ihr herausragen, und erleidet in ihnen Beugung. Die Aufnahmeplatte steht senkrecht zum ein- fallenden Strahl. Es handelt sich im folgenden um die Fvachen, welche die Vorspriinge begrenzen.

Anders bei Bruck; er stellt diinne Metallhaute durch Auf- dampfen auf kristalline Unterlage und nachtragliche Ablosung her. Hier liegen also nicht Vorspriinge aus einer fur solche Betrach- tungen recht dicken Schicht Tor, sondern es handelt sich um Frachen, welche die Metallhaut beiderseits begrenzen. Die Spannung - 40000 Volt - unterscheidet sich nicht wesentlich von der bei Cochrane ; die Wellenlange ist hier 6,O

-~

cm.

3 1. C o c h r a n e s Beobachtungen a m Kobal t

a) Abb. 1 und 2 geben diese Aufnahmen wieder; bei Abb. 1 fallt der primare Strahl nach Angabe des Autors mit der Richtung l i 0 zusammen, bei Aufnahme 2 mit der Richtung 001. Fur eine un- endlich kleine Wellenlange erggibe Ewalds Konstruktion dann die in den Skizzen von Abb. 5 und 6 aufgefuhrten, in je einer Ebene des reziproken Gitters Jiegenden Interferenzpunkte; diese Ebene wiire eben die ausgeartete Ausbreitungskugel. Die infolge des Struktnrfaktors ausgel6schten Punkte lassen wir fort. Die Indizierung bezieht sich wie ublich auf die drei Wiirfelkanten aa des Kristall- gitters, bzw. auf die mit ihnen in der Richtung zusammenfallenden Translationen ‘bg (a = 1, 2, 3) des reziproken Gitters. Trotz der

M . v. Laue. Erkennuiag subrnikroskopischer Kristallflachen usw. 215

endlichen Wellenlange ist in grogen Ziigen die Ahnlichkeit zwischen je, einer Skizze und einer Aufnahme zu erkennen. Der auffiilligste Unterschied liegt in der Aufspaltung der Interferenzpunkte in

Abb. 3. Skizxe zu den Aufxiabmen Abb. 1 und 13. Lage der Gitterpunkte des reziproken Gitters in der Ebene lT0

,,SatelliteniL und zwar sind es in Aufnahme 1 je zwei, in Aufnahme 2 meist je vier Satelliten.

12;o ‘04 0 8gO 6QO 4i00 Z G O

Atib. 6. Skizze zu den Aufnabmen Abb. 2 und 14. Lage der Gitterpunkte des reziproken Gitters in der Ebene 001

Diese Satelliten erbringen nun den Beweis, daR die erwahnten Vorspriinge von Oktaederebenen begrenzt sind. In dieser Ansicht treffen wir uns mit Herrn C o c h r a n e ; nur daB er weiterhin nocb Zwillingsbildung zur Erklarung hcranzieht, wahrend wir mit der doch wohl einfacheren Annahme eines einheitlichen, die ganze


ma- 7 6 5 4 3 2 I 0 -I -2 -3 -4 -5 -6 -7

Abb. 7. Skizze der Aufspaltungen, berechnet fur einen genau mit der Richtung 170 xusamrnenfallenden Strahl.

0 in Aufnahme Abb. 1 sichtbare Satelliten o in Aufnahme Abb. 1 nicht-sichtbare Satelliten

Abb. 8. Skizze der Aufspaltungen, berechnet fur einen genau

0 in Anfnahme Abb. 2 sichtbare Satelliten o in Aufnahme Abb. 2 nicht-sichtbare Satelliten.

mit der Richtung 001 zusammenfallenden Strahl.

Die ausgezogenen Linien m, = const und m2 = const gelten wie in Abb. 4 fur die Ebene m3= 0, die gestrichelten fur m,= .- 1

M . v. Laue. Erkennung submikroskopischer Kristallflachen usw. 217

Kristallschicht samt ihren Vorspriingen bildenden Raumgitters aus- komnien. Nach der Theorie des Kristallfornifaktors muB niimlich jeden Punkt des reziproken Gitters ein zentrisch-symmetrischer ,,Intensitatsbereich4' umgeben, welcher senkrecht zu jeder Begrenzungs- ebene einen ,,Stachel" tragt ; diese Stacheln haben also nach unserer Annahme hier die Richtungen 111, i l l , 111, 111, samt den durch Vorzeichenumkehr daraus hervorgehenden Gegenrichtungen. Wir denken am zweckmaBigsten stets an ,,Doppelstacheln", auch wo wir der Einfachheit wegen diesen Ausdruck nicht gebrauchen, und er- lauben uns ofter gleichzeitige Umkehr aller 3 Vorzeichen, weil dies ohne Bedeutung ist.

Wegen der endlichen Wellenlange geht die Ausbreitungskugel an den Punkten der Skizzen 5 und 6 (abgesehen von 000) nur voruber. Die Kugel schneidet dann Stacheln, und zwar bei Aufnahme 1, Einfalls- richtung 110, nur die Stacheln mit den Richtungen 171 und l i i , deren DurchstoBpunkte ziemlich genau in der m,-Richtung zueinander liegen, wahrend die beiden anderen Stacheln zur Kugel annahernd tangentiell verlaufen ; bei Aufnahme 2 hingegen, Einfallsrichtung 001, liegen alle 4 Doppelstacheln symmetrisch zur Einfallsrichtung, so dad alle vier die Kugel durchstoBen. Die DurchstoBpunkte der Stacheln 111 und 1 11 sind vertikal verschoben, der erstere fur die Punkte in der Mitte des Bildes nach oben, wahrend die Satelliten 717 und 111, genau wie dieselben Satelliten in Aufahme 1, horizontal verschoben sind. Man erhalt so im ersten Fall je zwei, im zweiten je vier Satelliten, wie es die Aufnahmen auf den ersten Blick auch zeigen.

In beiden Aufnahmen ist die Aufspaltung im allgemeinen um so groBer, je weiter der betreffende Gitterpunkt vom Nullpunkt absteht. Auch dies erfordert die Theorie, da gleichzeitig im allgemeinen die Entfernung wachst, in der die Kugel am Punkt voriiberzieht. Jedoch sind diese Angaben alle noch ungenau; wir werden sie bei der folgenden quantitativen Diskussion verbessern.

b) Um alle Zweifel zu heben, lied ich die Lage der Satelliten theoretisch berechnen und in die Skizzen Abb. 7 und 8, sowie 3 und 4 ein- tragen. Grundlage der Berechnung sind die Gleichung der Ausbreitungs- kugel und die Gleichungen von 4 Geraden mit dem Richtungskosinus

&I/: durch jeden in Betracht kommenden Punkt des reziproken

Gitters. Da 1-l den Radius T der Kugel angibt, ist r : b = a:?. , d. h., da a = 3 , 5 5 .

Die Skizzen 7 und 8 hat Herr K.-H. R i e w e unter der Annahme berechnet, die Einfallsrichtungen stimmten genau mit 1 i 0 und 001 uberein. Wahrend Abb. 8 schon recht engen Zusammenhang mit

---

cm beim Kobalt betragt, r = 58,2 * b.


Aufnahme 2 zeigt, bestehen zwischen Abb. 7 und Aufnahme 1 erheb- liche Unterschiede. Die Aufspaltungen sind in Wirklichkeit immer erheblich grtiBer, als nach der Rechnung. Daraufhin verlegte Herr 0. M e n z e r den Mittelpunkt der Ausbreitungskugel ein wenig. Rahrend in 7 und 8 seine Projektion auf die Zeichenebene genau in den Null- punkt fiillt, liegt sie i u M e n z e r s Skizzen, Abb. 3 und 4, an den mit + bezeichneten Stellen. ZahlenmaiBig ergibt die Tab. 1 die Unterschiede fiir die Mittelpunktskoordinaten der Ausbreitungskugel. Dabei sind die Koordinaten A, durch die Festsetzung definiert, daB

den Pahrstrahl vom Nullpunkt des reziproken Gitters zum Aufpunkt angibt; ganzzahlige Werte der A , haben wir schon oben mit den Buchstnben m, bezeichnet, im allgemeinen sind die A , aber stetig veriinderlich.

T a b e l l e 1 Mittelpunktskoordinaten der Ausbreitungskugel

9 = A, fJ, + A , b, + A, b,

Abb. 7. Abb. 3.

A , = - A, = 41,2 , A, = 0 A , = 43,3 , A, = - 39,9 , A, = 1,3

} Winkelabweichung 2 40'

Abb. 8. Abb. 4.

A, = A, = 0 , A, = - 58,2 A, = 0,71, A, = 0,14, A, = - 58,2 ] Winkelabweichung 43'

SolcheEinstellungsungenauigkeiten liegen nach Herrn C o c h r a n e s schon erwahnten Mitteilungen durchaus im Bereich des Mijglichen. Die Ubereinstimmung in der Satellitenlage zwischen den Abb. 1 und 3, zwischen 2 und 4 diirfte nichts mehr zu wiinschen iibrig lassen. Nur sieht man hier, wie auch schon an Abb. 7 und 8, daD die Sus- breitungskugel keineswegs niir an Punkten der in Abb. 5 und 6 dargestellten Ebenen A , = A, und A, = 0 voriiberfiihrt, daB vielniehr auch solche der benachbarten Schichten A, = A, + 2 und A, = - 1 in den oberen Teilen der Abbildungen dafiir in Betracht kommen.

I n Skizze 3 fiihrt die dusbreitungskugel sogar genau durch den Punkt 755, den eine Vmrandung deshalb hervorhebt, und den Aufnahme 1 (wenigstens ein photographischer Abzug des Originals) unverkennbar zeigt. Die Kugel fiihrt weiterhin dicht vorbei an den die oberste Reihe bildenden Punkten 864, 862, 860 und 862 und zwar noch erheblich dichter als a n den Punkten 113, 111, 117, die von allen Punkten der Abb. 5 der Kugel am nachsten liegen. Die erstgenannten vier Punkte zeigen keine Satellitenaufspaltuiig, sind aber in Abb. 1 wesentlich verschwommener als alle Satelliten. Die Theorie deutet dies dahin, dab sich die Stacheln erst in einigern Abstand vom Gitterpunkt aus dem ,,Hauptkorper" des Intensitats- bereichs herausltisen; in diesen $'allen geht die Kugel offenbar noch

M . v. Laue. Erkennung submikroskopischer Kristalljlachen usw. 219

durch den ,,HauptkSrper" hindurch '). Bei den zuletzt genannten Punkten 113, 111 und 117 ist die Aufspaltung zwar deutlich, aber geringer als bei allen anderen aufgespaltenen Punkten (vgl. auch unter d).

Weiter enthalt Skizze 3 in der Horizontalreihe des umrandeten Punktes 755, der zweiten Reihe von oben, DurchstoDpunkte von Stacheln. Zwei solche ersetzt natiirlich der genannte Punkt; die beiden rechts davon gehoren zu 757, die beiden nachsten links zu 753. In groBerem Abstande kommen die Satelliten von 757. duf- nahme 1 zeigt von diesen Satelliten nichts, wohl weil die Helligkeit ganz allgemein nach oben abnimmt. Selbst die Satelliten der darunter liegenden Punktreihe 64m sind nur schwach und zum groBten Teil gar nicht zu sehen.

Eigentlich ist jede solche Angabe zweideutig, weil die Stachel- richtungen immer zwei Punkte ma und ma f 1 verbinden. Wir machen stets den Gitterpunkt namhaft, der dem DurchstoBpunkt des Stachels durch die Ausbreitungskugel zunachst liegt.

Wegen der Schiirfe der Satelliten lieB sich der Vergleicli zwischen gemessenen und berechneten Satellitenabstanden bis auf '/,,, mm d u d - fiihren ; Abweichungen fanden sich nicht.

I n Aufnahme 2 sind alle Satelliten verschwommener, ohne daB sich ein theoretischer Grund dafur angeben lieBe. Mit verminderter Genauigkeit laBt sich aber nbereinstimmung der Satellitenlagen auch zwischen Aufnahme 2 und Abb. 4 behaupten. I n beiden kommen, wie erwahnt, auch Gitterpunkte der Ebene A, =- 1 vor. Deswegen tragt Skizze 4 auger der ausgezogenen, fur A, = 0 giiltigen auch eine gestrichelte Koordinateneinteilung fur die letztere Ebene. Unmittelbar auf der Kugel liegt (aul3er 000) noch der Punkt 791; diclit an ihr liegen 971, 200, 020 und 220 (sowie der nicht mit- aufgenommene Punkt 3 - 11 - 1). Sie alle sind ohne Satelliten. Hingegen sollten nach der Rechnung die Punkte der zweiten Reihe von oben, 951, 771, 591 vierfache Aufspaltung zeigen, wiihrend die Aufnahme diese nur bei dem mittelsten erkennen la&. DaB bei den anBeren immer nur ein Satellit da ist, liegt zum Teil, abgesehen von der allgemeinen Lichtschwache in dieser Gegend, wohl an dem recht verschiedenen Abstand der 4 DurchstoBpurikte voni zugehorigen

11 Da F r aunhofersche Beugungsbilder rnit sichtbarem Licht ein zwei- dimensionales Snalogon zu einem Intensitgtsbereich im reziproken Gitter bilden, geben die Beugungsaufnahmen am Dreieck oder Sechseck, wie sie z. B. J. S c h r e i n e r u. S. H i r a y a m a , Abh. d. Berliner Akademie 1894 (Anhang) ver- offentlicht haben, eine Veranschaulichung fur den Ubergang des Hauptkorpers in die Stacheln. Diese Bilder sind wiedergegeben in der Ztschr. f. Kristallo- graphie 95. S. 411. 1936 und im Handb. d. Euperimentalphysik 18. 8. 307. 1928.

220 Annulen der Physik. 5. Folge. Band 2.9. 1937

Gitterpunkt; im allgemeinen nimmt die Intensitat langs eines Stachels nach auBen ab. Das Unzureichende dieser Erklarung beweist aber die Tatsache, daB auch die Punkte 39T nnd 19i ihren helleren Satelliten oben haben. Alle hier erwahnten lnterferenzpunkte (597, 39i, 197) samt den ihnen symmetrisch links in der Abbildung liegenden (957, 931, 91T), ebenso T 9 i und 9T1, liegen im Gegensatz zu allen anderen innerhalb der Ausbreitungskugel; denn sie liegen in der Abb. 4 innerhalb des durch 7 9 i fiihrenden Kreises um Punkt +, in welchem die Kugel die Ebene A, = - 1 schneidet. Darurn entspricht bei ihnen der obere Satellit dem riickwgrts verlangerten Stachel TTT, der untere 117, gerade umgekehrt, wie sonst. Doch kommen wir auf diesen Punkt unter c) noch zuriick.

In der dritten Reihe wird die Zuordnung der Satelliten zu Gitter- punkten fur das Auge manchmal zweideutig; erst die Rechnung zeigt, welcher Gitterpunkt der nachstgelegene ist. Deswegen kann man auch nicht in Strenge sagen, jedem Gitterpunkt entsprachen 4 Satelliten. Offenbar sind die Stacheln hier so lang, da6 zwischen den Stacheln benachbarter Qitterpnnkte kein Zwischenraum bleibt. Die Verbindungslinien je zweier Punkte ina und ma s 1 sind ganz ,,mit Intensitat belegt".

c) Wir wenden uns zu den Intensitatsverhaltnissen bei den beobachtbaren Satelliten. In Aufnahme 1 sind die Satelliten des-

Abb. 9. Oktaeder, geschnitten von der Ebene 110

selben Gitterpunktes gleich stark; geringe Abweichungen, die vorkommen, diirften dem Zufall zuzuschreiben sein. InAufnahme 2 hingegen unterscheidet man an den meisten Punkten das schwa- chere, horizontal verschobene Satellitenpaar i i i und iii von einem starkeren, vertikal verschobenen Paar 111 und TIT . Die Erklarung gibt Abb. 9.

In einem Wiirfel hangt hier ein Oktaeder, geschnitten von der Ebene 110. Die fur den Beschnuer vor der Schnittebene liegende Halfte

ist durch starkere Umrandung hervorgehoben; sie hat die Eck- punkte A , A', B , B' , C, C'. Man sieht, sie hat zwei groBe Flachen A CC' und A'CC' mit den Indizes 111 und 111, sowie vier nur halb so groBe? auf der Schnittebene senkrechte, paarweis

M . v. Laue. Erlcennung submikroskopischer Kristalljlachen usw. 221

parallele Flachen ABC und A’B‘C‘ (Indizes ili), sowie AB’C‘ und A’BC (Indizes 1Tf) . Nun ist aber nach der Theorie die Intensitat auf einem Stachel ceteris paribus proportional zum Quadrat des Flacheninhaltes der zugehorigen Flache l). Sind zwei gleichgroBe Fliichen parallel, so vervierfacht diese Doppelheit bestens- falls die Intensitat, kann sie aber auch auf Null heruntersetzen. Somit konnte schon Abb. 9 den Helligkeitsunterschied zwischen den Paaren deuten.

Nun war es aber reine Willkur, von einem idealen Oktaeder zu sprechen. Nichts hindert die Annahme, daB die Ebenen A C C ‘ und A’CC‘ in der Richtung C C vie1 weiter ausgedehnt sind, als die Ab- bildung es zeigt, daB sie also die 4 anderen Ebenen weit mehr noch iibertreffen. Man konnte der makroskopischen Grenzflache 110 sogar eine ,,Wellblechstrukturc6 (mit scharfen Kanten) zuschreiben, bei der die tatsachliche Begrenzung ausschlie@lich aus diesen beiden Ebenen besteht. Liegt dieser Extremfall beim Kobalt auch sicher nicht vor, so versteht man doch den in Rede stehenden Intensitats- unterschied danach urn so besser 2).

VCTarum aber ist in Aufnahme 2 der untere Partner des vertikalen Satellitenpaares fast immer der starkere? Die beiden Ebenen A C C ’ und A’C C’ sind doch kristallographisch gleichwertig und fur diesen Versuch bei genauer Einstellung auch geometrisch gleichberechtigt! Man konnte sich hier vielleicht auf den Atom- und Warmefaktor berufen, die ja neben dem Kristallformfaktor im lntensitatsausdruck stehen und ein allgemeines Abklingen der Helligkeit mit wachsendem Kinkel gegen die Einfallsrichtung bewirken. Sie sind sicher wirksam uncl bevorzugen in der Tat den unteren der beiden Satelliten. Da- gegen, daW sie hier entscheidend sind, spricht aber die schon er- wahnte Tatsache, daB bei den Punkten 59T und 957 gerade der obere Satellit der allein sichtbare ist, was uns das oben angegebene Argument der verschiedenen Abstande vom Gitterpunkt doch nicht ausreichend erkyart, zumal auch bei den Punkten 391 und 191 der obere Satellit zweifellos starker ist als sein unterer Partner. (Bei den symmetriscli dazu liegenden Punkten 9 3 i und 917 mochte ich keinen bemerkbaren Intensitatsunterschied behaupten). Es sind dies solche Punkte, fur

1) Vgl. die angefuhrte Arbeit Ann. d. Phys. 26, G1. (10) und den auf (10’) folgenden Ausdruck auf S. 64; oder die angefuhrte Arbeit Ztschr. f. Kristallo- graphie 95, G1. (7). Bei einem Paar gleicher und paralleler Fllchen tritt zu dem fur eine davon geltenden Ausdruck der Faktor 4 - sin2 y, wobei y zum Abstand der Flachen proportional ist; das folgt aus GI. (lo’) der ersteren Arbeit und steht explizite in G1. (7’) der letzteren.

2) Den Unterschied beider Fllchenpaare hebt schon Co c hrane hervor.

222 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 29. 1937

die die Zuordnung der Satelliten zu den Stacheln anomal ist (vgl. unter b); der obere Satellit entspricht TTT. Man wird also wohl sagen miissen: Der Stachel l l f ist sturker ausgepragt als I l x

Eine mogliche Erklarung dafiir gibt der Schnitt durch einen Vorsprung in Abb. 10. I n ihr ist die Zeichenebene eine 1i0-Ebene,

die Basis des gleichschenkligen Drei- eclis A B C gibt die 110-Ebene an, mit welcher die makroskopischeGrenz- ebene des Kristalls iibereinstimmen sollte, die beiden anderen Seiten die Ebenen 11 1 und 11T. Wenn nun infolge eines kleinen Einstellungsfehlers

die Grenzebene tatsachlich die durch A D angegebene Lage hat, so werden die frei auftretenden Flachen der Ebenen 111 und l l i dadurch verschieden gro8, sie verhaltcn sich ungefahr wie A B : A D I)

und die Stachelintensitaten, welche zu den Quadraten der Plachen- inhalte proportional sind, wie

C B A

Abb. 10

Nun ist u a18 Winkel zwischen 110- und Ill-Ebene gleich 35O16'.

Nehmen wir die Abweichung = 2O an, so ist [m) = 0,82;

bei /3 = 3 O gleich 0,74. Da solche dbweichungen durchaus mijglich erscheinen, erklaren sie vielleicht die groBereHelligkeit derStachell1 1 ; eine Nachpriifung ware aber erwunscht. - In der entsprechenden Aufnahme am Nickel (hbb. 14) tritt dieser Intensitatsunterscliied nicht auf.

Trotxdem hier etwas Ungeklartes bleibt, deutet d i e Annahme, die Kobaltschicht trage oktaedrisch begrenxte Vorspriinge , so viele Ziige der Aufnahmen 1 und 2 , dab man sie wohl als gesichert hinstellen darf. Auf einige nichtveroffentlichte Kobaltaufnahmen C o c h r a n e s kommen wir am Ende von § 4 zuriick.

d) Wir versuchen zum SchluB eine rohe Bbschatzung der GroBe der Vorspriinge. Nach G. N e n z e r s Rechnung geht die Aus- breitungskugel an drei der beobachteten Interferenzpunkte im Ab- stand I lj I = 0,04 - b voriiber z), namlich in Aufnahme 1 (oder Skizze 3) an 864 und 862, in Aufnahme 2 (oder Sliizze 4) an 220; diese zeigen,

A D

--_

1) Urn etwas Genaues zu sagen, muSte man wissen, ob der Vorsprung wie in Abb. 9 die Hiilfte eines idealen Oktaeders ist, oder ob er in der Richtung CC' gr6Bere Ausdehnung als dort besitzt.

2) lj ist hier der Radiusvektor zum Aufpunkt vom niichstgelegenen Gitterpunkt.

X. v. Laue. Erkennung submikroslcopischer Kristallflachen usw. 223

wie erwahnt, keine Satelliten. Hingegen weist Punkt 111 in Auf- nahme 1 Satelliten auf, und der Abstand ist hier 14 I = 0,O'i - b. Zwischen beiden Abstanden, sagen wir bei 0,Ofi. b , mu3 also der ,,HauptkGrper" des Intensitatsbereichs seine Grenze haben. b aber ist gleich l / a , also bekannt.

Denken wir uns einen der Vorspriinge als das Halboktaeder der Abb. 9 und verwenden wir trotz der Halbierung die grofien- ordnungsma6ig auch jetzt giiltigen Formeln fur das Volloktaeder, so hangt die Intensifat nach L a u e und Riewe a. a. 0. von den Kom- ponenten des Vektors $j = Lq , wobei L die Kantenlange AC bedeutet. Die Intensiat klingt nach G1. (12) daselbst sowie nach den allgemeineren Formeln, die der Verf. in Ann. d. Phys. a. a. 0. ge- geben hat, ab wie 1 $j sobald es sich nicht um eine durch Stachel- bildung bevorzugte Richtung handelt. Nehmen wir

6 _ _ 1$j/ = V l O O = 2,15

als Grenze des Hauptkorpers an, so folgt mit dem angefiihrten Wert von 14 1

2J5a L = - - - 36a = 1,3.10-6 cm. 0,oe

Uabei ist die Gitterkonstante a des Kobalts mit 3,55 - lo-* cm ein- gesetzt. Nach Abb. 9 ragen dann die Vorspriinge urn + L = G - lo-? cm ails der Oberflache 110 hervor.

2. Ein Satz uber die Lage der Satelliten Jede Stachelrichtung fdlt mit einer Translation des reziproken

Gitters zusammen, da sie auf einer Grenzfliiche des Kristalls, also einer Netzebene seines Raumgitters, senkrecht steht (dies gilt natiirlich nicht immer fur kunstlich hergestellte Grenzflachen; doch erleiden dann die folgenden Ausfiihrungen nur unwesentliche Ab- iinderungen). Schreitet man von einem beliebigen Punkte A des reziproken Gitters um die Translationen bm, 2bm, 36, usm. fort, und zieht durch jeden Punkt dieser Punktreihe denselben Stachel, so liegen diese alle in einer Netzebene des reziproken Gitters. Wechsel des Ausgangspunktes A macht daraus eine unendliche Schar paralleler Netzebenen, und diese bestimmt auf der Ausbreitungskugel eine endliche Zahl von Parallelkreisen; die Projektion vom Mittelpunkt bildet diese auf der Auffangeplatte als Kegelschnitte ab, je nachdem als Ellipsen oder Hyperbeln, einschlieblich der Parabel und der Geraden als Grenzfalle. Jede solche Kurve ist Ort derjenigen Satelliten , welche der genannten Stachelrichtung und einer Punkt- reihe angehoren. Man erkennt in den Aufnahmen 1 und 2 sowie in den Skizzen 3, 4, 7 und 8 leicht derartige Kurven.


Es kann vorkommen, daB verschiedene Stacheln derselben Punkt- reihe in derselben Netzebene liegen, daher verschiedene Satelliten auf demselben Kegelschnitt. Auch das zeigen die Abbildungen in 8 1.

Bei beschrankter Stachellange (die nach § 1 beim Kobalt nicht vorliegt) brauchen nicht alle geometrisch moglichen Satelliten ver- wirklicht zu sein. Wahrend die obige Konstruktion keine eindeutige Zuordnung einer Punktreihe zu einem vorgegebenen Kegelschnitt ermoglicht, macht beschrankte Stachellange sie eindeutig ; ebenso erreicht dies die schon in 8 2 gemachte Festsetzung, jeden Satelliten als zu dem Gitterpunkt gehorig zu betrachten, welcher dem entsprechenden DurchstoB auf der Ausbreitungskugel zunachst liegt. Freilich gehort dann i. A. nicht zu allen Teilen des- selben Kegelschnitts die gleiche Punktreihe.

Betrachten wir z. B. in Skizze 4 oder 8 die Punktreihe 040, 240, 440, 640. Ihre Satelliten l l i und i l i liegen offensichtlich auf einem Kegelschnitt. Im weiteren Verlaufe aber geht dieser d u d die Satelliten T i 1 und 111 des Punktes 95T, weiterhin durch die Satelliten 1 l i und 117 des Punktes 1 1 . 5 - 1 . Hier liegt also ein aechse l der Punktreihe vor. Dazwischen en thdt die Kurve einen einzelnen Satelliten etwas zweifelhafter Herkunft, den man nach der Rechnung dem Punkt 75% als dem nkchstgelegenen zuzuschreiben hat.

3. Strukturfaktor und ausgeloechte Interferenzpunkte

a) Der Satz in 5 2 gibt ein bequemes Hilfsmittel, in Beugungs- aufnahmen nach noch nicht aufgefundenen Satelliten zu suchen. Man braucht sich nur durch schon bemerkte Satelliten zwei Kegelschnitte zu ziehen, auf denen der gesuchte liegen muB. Wendet man dies Verfahren nun an, in den Aufnahmen 1 und 2 nach den Satelliten der durch den Struliturfaktor ausgeloschten Punkte mit ,,gemischten" Indizes zu suchen, so sucht man vergebens. In Aufnahme 1 z. R. miiBten die Satelliten der Punkte 225, 223, 221, 22i , 223, 225 zwischen den so auffallenden von 226, 224, 223, 220, 222, 229, 22G zu erkennen sein, ebenso die von 336, 334, 332, 330, 332, 332, 33% zwischen den in die Augen springenden der Punkte 337, 335, 333, 331, 331, 333, 335, 337; es ist keine Spur von ihnen da. Und das ist verwunderlich; denn, wie schon friiher betont, loscht ein im Gitterpunkt verschwindender Strukturfaktor keineswegs den ganzen Intensitatsbereich aus; 60 lange Stacheln, wie wir sie beim Kobalt sehen, ragen gewiB von verbotenen Punkten in Bereiche hinein, in denen der Struktnrfaktor durchaus von Null verschieden ist.

b) Wir wollen zur Sicherheit den Strukturfaktor, wie er auf den Stacheln verlauft , berechnen. Im Raum des reziproken Gitters

M . v. Laue. Edcennung submikroskopischer Kristallflachen usw. 825

fuhren wjr die Koordinaten AU durch die Festsetzung ein, da6 der Fahrstrahl vom Xull- zum Auflxmkt gleich A, b, + A , 6, + A, b, seiri soll. Die Strukturamplitude des kubisch-flachenzentrierten Gitters hat fiir diesen Punkt den Wert:

F = 1 + ez { ( A , + -43) + en i (A:, + -41) + en i i A i + . (1) Fiir den Stachel der Richtung 11 1, der vom ganzzahligen Punkt m, ausgeht, ist

zu setzen, so daM An = ma + p (a = 1, 2, 3)

F = 1 + e 2 z i 46 en i (rill + 1j19) + en i (ma + ? J Z J + i Olil + 7%)) i wird. Sind die ma ungemischt, gerade oder ungerade, so heiMt dies:

(2) sind sie aber gemischt, so bedeutet es: (31 F = 1 - $ n i ~ , / F i 2 = 4 sin2 n p .

F u r einen Stachel der Richtung 111 ist hingegen zu setzen:

folglich:

F = 1 + 3 e 2 n i r , 4 + 12 cos2 n p ;

A l = m 1 - p 7 A , = m , + p , A , = m 3 + p ,

F = 1 + e x i (ma + ' J I L ~ ) + ex i (?nl + m,) + e 2 z i / t . en i (m, + . Dies ergibt fur ungemischte Indizes :

(4) fur gemischte : .z;" = - 1 + e z z i p , falls m, das einzige gerade oder ungerade m ist, F 1 - e""ip , falls auBerm, auchm, od.m, gerade od. ungerade ist; ,jedenfalls also : (5) I F , 2 = 4 sin2 m p .

F u r die Stacheln IT1 und 111 gilt dieselbe Rechnung unter Permutation der Indizes 1, 2, 3, was das Ergebnis nicht Bndert. duf allen 4 Stachelrichtungen verlsuft nach G1. (2) bis (5) der Struktur- taktor in derselben Weise. Zwar sind die von verbotenen Punkten ausgeheriden Stacheln den von erlaubten abstammenden gegenuber immer loenachteiligt; wiihrend bei jenen der Strukturfaktor fur p == 4 den Hochstwert 4 erreicht, nimmt er fiir diese an der entsprechenderi Stelle den Mindestwert 4 an, so daB nur an diesen Stellen beide Stachelarten gleich iutensiv sein sollten. Sber der Unterschied ist uicht so groB, dafi jene dadurch ganz unterdriickt wiirden, zunial Satelliten niit p nahe gleich + in den Aufnahmen 1 und 2 mehrfach sichtbar vorkornmen und auch an den vergeblich gesuchten Stachehi

F = 3 + e A ~ i l c , IF\ '= 4+ 1 2 cos2 n p ,

Annalen der Physik. 5. Folge. 28. 15


vorkommen miifiten. Darf man auch die Stellen p = i- selbst nicht zum Vergleich heranziehen, weil sich an ihnen j e ein wirklich vor- handener rind ein Stachel eines ausgelbschten Punktes kreuzen, so bleibt doch bei dieser Betrachtung das vollige Fehlen der letzteren unverstandlich.

c) Ganz anders lautet das Ergebnis, wenn wir das Gitter des Kobalts statt durch die clrei Wurfelkanten aU durch die bekannten schiefwinkligen primitiven Translationen aufkespannt denlren:

(Abb. 11). Die Indizes der Punkte im reziproken Qitter rechnen sich nach derselben Transformation urn:

1 1 M , = #2 + ma),

1

1

M , = T ( W , 3 + mJ1

M , = 7j-(m, + m2).

Ail)b. 11. Das primitive Rhomboeder im kubisch-flachenzentrierten Gitter

Dann erhalt jede Zelle nur ein Atom; es gibt keinen Strukturfaktor und keine ausgeloschten Punkte im reziproken Gitter. Vielmehr sind alle ganzzahligen Punkte vorhanden; die friiher als aus- geloscht bezeichneten gehoren wegen Halbzahligkeit ihrer M - Werte nicht dazu. Nach der Theorie des Kristallformfaktors

der in den 3 Koordinaten AU die Periode 1, aber keine kleinere hat, sind nun ausschliefllich die ganzzahligen Punkte TrBger von Inten- sitatsbereiehen. Wir konnen daher nur an den Punlrten Satelliten- bildung erwarten, an denen die hufnahmen 1 und 2 sie auch wirklich zeigen.

Die Aujnahmen 1 und 2 beweisen also, dap die Natur dus Kobaltgitter i m vorlie genden Fall nicht aus jlachenzentrierten Wiirf eln aufgebaut hat, sondern aus primitiven, schitfwinkligen Rhomboedern.

d) Aber sind beide Bauarten nicht mathematisch identiscli? Qewifl, fur das Iunere! Die Stachelbildung aber ist eine Ober-

At'. v. Lnue. Erkennung submikroskopischer Kristallflachen usw. 2'27

flachenerscheinuug; und die Grenzflachen fallen je nach der Bauart verschieden aus I).

Die erstere zeigt das Aussehen jeder oktaedrischen Begrenzung fiir den Fall, da6 das Gitter aus flaichenzentrierten Wiirfeln entstanden ist. Die Ecken solcher Wiirfel ragen aus einer Oktaederebene heraus, und tragen an tleren Ecken recht isolierte, ihrer Nachharn beraubte Stome;

Dies erlautern die Abb. 12a und 12b.

Abb. 12 a. Oktaederflache, ein Gitter aus flachenzentrierten Wiirfeln begrenzend. 0 Atome der obersten, nur zu 'I4 besetzten Schicht, o Atome der zweiten, vollbesetzten Schicht, x 5 Stellen in der obersten Schicht, an welchen Atome fehlen.

Die Atome der dritten Schicht sind zum Teil zu sehen, aber nicht besonders hervorgehoben

0 Atome der obersten Schicht, o Atome der zweiten Schicht.

Die htome der dritten Schicht sind voll- ziihlig sichtbar, aber nicht bezeichnet. Die

oberste Schicht ist voll besetzt.

Abb. 12b. Oktaederflache, dasselbe Gitter begrenzend, sofern es sich aus den primitiven Rhomboedern aufbaut

denn die BuQerste Atomschicht ist nur zu 'I4 besetzt. Man versteht nicht recht, wie sich diese dort halten sollen. Im Gegensatz dazu ist beim Aufbau nach Rhomboedern schon die oberste Schicht voll besetzt. Das bedarf keiner Erlauterungen fur die Oktaeder- fiiichen m = i l l , l T 1 , l 1T, da sie nach der Transformation (6) gemaB (7) die Indizes M = 100,010,001 haben und somit bei dem besprochenen Aufbau ohne weiteres als glatte Flachen entstehen. Es trifft aber nach Abb. 12b auch fiir die Ebene zu, welche vor wie nach der

1) Darauf machte ich schon friiher einmal aufmerksam; M. v. L a u e , Berliner Sitzungsberichte 1930, 8. 26.

15*


Transformation 111 he&. Zwar stehen hier die schiirfsten Spitzen der Rhomboeder iiber eine Oktaederebene hinaus; das ist aber ohne physikalische Bedeutung; die Zellen und ihre Kanten sind nur inathematische Konstruktion. Die oberste Atomschicht hingegen ist jetzt voll besetzt und unterscheidet sich in nichts von den tiefer liegeuden; die 4 Oktaederflkchen sind also auch als Grenzfliichen einander iiquivalent l\. Dieseri Unterschied gegeniiber dem Aufbau aus M'iirfeln stellt die Elektronenbeugung in Co c h r a n es Versuchen mit aller Deutlichkeit fest.

Hier zeigt sich im Versuch die Wirksamkeit schon einer einzigen Atomschicht. Andererseits aber erkennt man an der Moglichkeit dieser Unterscheidung die erstaunliche BegelmaBigkeit im Bau dieser Kristallflachen. Das hatte ich nicht geglaubt, als ich in der angefiihrten Annalenarbeit den Kristallformfaktor , oder genauer, das Integral E (All) der Gleichung (7), mittels einer Niiherung berechnete, welche jede atomartreppenformige Grenzschicht durch eine makroskopisch-glatte Flache ersetzte. Die Naherung wird hier unzuliissig, wie man am einfachsten daran erkennt, daB nach ihr die an sich streng gultige Umformung (5) fiir die Stacheln der 4 Oktaederfliichen verschiedene intensitat ergibt, sobald man das Rhomboeder aus den dabei zugrunde legt. Dies ist ein unmogliches Krgebnis, da doch die 4 FlSchen, wie gezeigt, vollig gleichen atomaren Bau zeigen. Die erforderliche Abknderung der Berechnung von E hofle ich bald nachholen ZLI konnen. Sie kann nicht bedeutend werden und vor allem die hier angewandte Vorstellung der ,,Stacheln" nicht gefiihrden. Denn diese lieB sich ja unabhiingig von jener Berech- nung durch die Satze in 8 3 der friiheren Brbeit beweisen.

In den Versuchen von K i r c h n e r und L a s s e n , die wir in der Einleitung anfuhrten, fehlen ebenfalls die Stacheln der Gitterpunkte rnit gemischten Indizes. Betrachtet man in ihrer Abb. 1 die Lage der Ausbreitungskugel im reziproken Gitter2), so sieht man. daB sie dicht an den Punkten 100, 300, 500 und einigen weiteren derselbeii Reihe voruberfuhrt. Trotzdem die Sufnahmen dieser Verfasser nicht die Klarheit der spiiter von Cochrane erzielten besitzen. scheint uns doch daraus hervorzugehen, daB ihre Haute aus Silber. Gold und anderen flachenzentriert-kubisch kristallisierenden Metallen

1) Statt der Transformation (6) kann man durch Vorzeichenbnderungen 3 gieichwertige hinschreiben, wclche Bhomboeder der gleichen Gestalt, aher xnderer Lage der ausgezeichneten Aehse als Zelle ergeben. Diese 4 Dar- stellungen des Gitters sind nieht nur fiir das Innere gleicliwertig, sondern auch fur die Beschaffenhtsit begrenzender Olitaederebenen.

2) Ann d. Phys. [3] 24. S. 113, 115. 1934.

M . v. Laue. Erkennung submikroskopischer Kristallflachen usw.

auch die Oberflachenbeschaffenheit cler Abb. 12 b zeigen, wie es ja dynamisch von vornherein wahrscheinlich ist.

e) Einen S a c 1 -Turfel konnen wir aus einem flachenzentriert- kubischen Ea-Gitter und einem ihni kongruenten C1-Gitter so zusammengesetzt denken, dalS sich beide mit der Verschiebung um ‘1, a, durchdri.ngen. Dann besteht die iiufierste Schicht auf dem Ebenenpaar 100 aus je einer Atomart, Na oder C1, walirend auf den anderen Grenxflachen beide Arten, auch in der BuBersten Schicht, miteinander wechseln. Dieser Versehiehung entspricht im Struktur- faktor ein Teilfaktor:

(F’Z = lq + q ’ e = ’ 4 j Z ,

wo 11) untl ~ p ’ die Streuvermogen der beiden Atonie bedeuten. Dieser Faktor ist konstant auf den Stacheln 010 und 001, er befolgt ein cos2-Gesetz auf den Stacheln 100. Wiihlen wir als Verschiebung hingegen ’/, (a, + a2 + a3), so nimmt der Teilfaktor die Gestalt an:

Dann fallen die Unterschiede zwischen den genannten Stacheln fort. Jedoch wiirden bei oktaedrischer Begrenzung die Grenzflhchenpaare ungleichwertig, wie man am Verlaufe der Funktion IF’ j auf ihren Stacheln sogleich sieht. Das ist auch recht anschaulich; denn auf den Flachen 111 gibt es jetzt Doppelschichten von nur einer htomart (Na oder Cl). Rei i l l hingegen ebensowenig wje bei 111 oder 117.

Dieses nach Phantasie gewiihlte Beispiel eroffnet vielleicht die hussicht auf weitere Verwendungsmijglichkeiten der Elektronen- beugung xur Untersuchung von Grenztizchen.

l P j 2 = i q, + q , , ‘ e = i c A l + A t 1,) 2 .

4. Cochranes Beobachtungen am Nickel

a) C o c h r a n e s Aufnahmen am Nickel, unter denselben geo- iiietrischen Bedingungen gewonnen wie die Aufnahmen 1 und 2 (natiirlich abgesehen von kleinen Einstellfehlern), geben wir in Abb. 13 und 14 wieder. Die erstere entspricht der Aufnahme 1, die Einfallsrichtung ist 170, hei der zweiten ist wie in Aufnahme 2 die Einfallsrichtung 001. Diese Aufnahmen 2 und 14 khneln sich meitgehend; entsprechend dem geringen Unterschied in den Gitter- konstanten [a = 3,55 . cm bei Kobalt, = 3,60 - 10-8 cm Nickel nach C o c h r a n e s Messungen an diesen SchichtenI)] sind auch die Absfande der Satelliten ununterscheidbar. Nur, daB die horizontal verschobenen Satelliten Ton 2 in 14 bis auf ganz geringe An-

1) Sonst ist fur Nickel n = 3,517 . cm. Hier hat sich das Nickel der griiBeren Gitterkonstanten des Kupfers bis zu einem gewissen Grade an- gepaBt, wie C o c h r a n e , a. a. 0. S. 729, bemerkt.


deutungen fehlen. Beim Nickel fehlen also die E'lachen 111 und 177 der Abb. 9 (fast) vollstandig; die Vorsprunge geben hier der makroskopisch als 110 bezeichneten Oberflache, soweit sie sie be- clecken, die in § 1 c erwiihnte ,,U'ellblechstruktur''l). I n dem vertikal verschobenen Satellitenpaar fehlen die Intensitiitsunterschiede, die wir in 5 l c fur Kobalt als Folge von Richtungsabweichungen zu verstehen suchten - was nach dieser Deutung nicht auffallen kann. U-iederum fehlen die Stacheln der durch den Strukturfaktor des fliichen- zentrierten Kubus ausgeloschteii Punkte, so daf3 wir, wie in 9 3 fiir Kobalt, auf eine Oberflachenstruktur nach Abb. 12 b schlieBen miissen.

b) Weit groBer sind die Unterschiede zwischen den Auf- nahmen 13 und 1. In 13 zeigt sich ein Rautenmuster, in welchem sich neben den ganzzahligen, reguyaren Interferenzpunkten an den Ecken der Rhomben etwas schwiichere irregulare Punkte heraus- heben, jeder vom niichsten regularen um 1/3 des Abstandes zweier regularer Punkte entfernt. Von Satelliten, d. h. DurchstoBpuukten irgendwelcher Stacheln. unterscheiden sich diese irregularen Punkte durch die Gleichheit ihrer AbstAnde von den regularen; eine Deutung mittels neuer, bisher nicht in Betracht gezogener Grenzflachen ver- bietet sich schon deswegen. Cochrane nimmt zu ihrer Erklh-ung eine Zwillingsbildung an, welche diese Punkte geometrisch durchaus wiedergibt, sich auch aus seinen anderen Sufnahmen nicht wider- legen IaBt. Sie stimmt aber nicht recht zu den sonstigen Erfahrungen uber Zwillingsbildung. Ich mochte die Deutung mittels eines einheitlichen Gitters versuchen und mich dabei ganz schematisch von der Fourieranalyse leiten lassen, davon ausgehend, daB jede ab- gebeugte Intensitat zum Quadrat des Absolutwerts eines E'ourier- koeffizienten proportional ist. Die zu analysierende B'unktion ist das elektrostatische Potential im Raumgitter. DaB wir die In- tensitat als nur durch einen Fourierkoeffizienten bestimmt betrachten. entspricht der beim Kristallformfalctor uberhaupt benutzten ersten Naherung der Interferenztheorie, die aber nach dem Obigen weit- gehend auszureichen scheint. Jedenfalls gehen wir dabei durchaus konsequent Tor.

Wegen der linearen Beziehung zwischen einer Funktion und ihren Fourierkoeffizienten konnen wir das Potential in Summanden zerlegen und jeden einzeln analysieren. Wir scheiden sofort als

1) K. W. H a u s s e r und P. S c h o l z , Wissenschaftliche Veroffentlichungen aus dem Siemens-Konzern 5. €1. 3, S. 144. 1926-1927, bilden derartige Well- blechstrukturen als Atzungsergebnis an Kupferkristallen ab in ihrcn Abb. 13 und 21. Natiirlich sind deren Abmessnngen vie1 groBer, als die im Text besprochenen.

M . v. Laue. Erkennung submikroskopischer Kristallfliiichen usw. 231

Abb. 13. Cochranev Aufnahme an Nickel,

Kinfallsrichtung anniihernd 170

Abb. 14. Cochranes Aufnahme an Nickel,

Einfallsrichtung anniihernd 001

232 Annalen der Physik. 5. FoEge. Band 29. 1937

uninteressant einen dreifach periodischen Anteil aus, der die reguliiren Interferenzen angibt. Zuerst beschiiftigen wir uns niit dem Anteil, welcher die linienhaft stetige Intensitutsverteilung in Sufnahme 13 verursacht.

c) Jeden Punkt in Aufnahme 13 oder der entsprechenden Skizxe 5 kann man, wie in 5 1 erwiihnt. durch 3 im allgemeinen nicht gankzahlige Indices -4, derart kennzeichnen, daB

0 = A , 5, + A, 5, + -4,b3 den Radiusvektor vom Nullpunkt des reziproken Gitters zu ihm darstellt. Die beiden in Aufnahme 13 sichtbaren Geradenscharen, die wir auch in Skizze 5 eingetragen haben, haben dann (lie Gleichungen

(11-t) A, + A, -k 2A3 = 4m+ und

(11 -) A, + A, - 2 A 3 = 4m- rnit ganzzahligem m+ und m-; das bestiitigt man leicht an den Inclizes der ganzzaliligen Punkte aiif ihnen. Ware die Aufnahme 10 genau in einer Ebene IT0 liegend zu denken, so miifiten wir auger- dem A, = A, setzen. Da diese Bedingung nicht vollig erfullt ist, werden wir besser nnter Einfiihrung einer kleinen, stetig veriinder- lichen Zahl B

(12) A, - A, = 28 setzen. Fuhren wir schlieBlich noch

(13) A, + d2 = 2 A ein, 60 folgt durch Auflosung der G1. (12), (13) rind (11+) ocler (1 1-1 fur die erste Geradenschar,

( 1 4 + ) { A l ” , + A r J 1 $ + A 3 x , = - ~ i z , +x , - - J+ &(XI - x J + 2m+ x3 = A?/+ + E E + 2m+ x3

fur die zweite

,14-){Al ’1 f A , $2 z 3 = A ( z , + ’2 -k23) + s ( x 1 - X 2 1 - 2m- ‘3

= Aq- + € g - 2m-x,

+ $2 F 33 = 82

\\ obei zur Abkiirzung

(15) x1 - 2% = 6, gesetzt ist. Unter den xi verstehen wir dabei rechtwinklige, nach den Wiirfelkanten orientierte Koordinaten im Raumgitter des Kristalls. I n cler allgemeinsten Fourierdaistellung fur das Potential,

N. v. Laue. Erkennung submikroskopischer Kristallflachen usw. 2!-H

setzen wir nun alle Iioeffizienten Null, fur welche weder ( 1 1 +) noch ( 1 1 - ) zutrifft; dann verwandelt sie sich in

Den Integrationsbereich fiir E abzuschatzen, reicht die eine Aufnahme 13 nicht aus; erstreckte er sich von 0 bis + 2 und -2, muBte Aufnahme 14 in der Nahe der Punkte 400 und 040 etwas von stetiger Intensitatsverteilung zeigen. Da dem nicht so ist, und da grad die in der makroskopischen Grenzebene liegende Bichtung 1x0 hat, nehmen wir an, das V sehr wenig von { abhaugt, der Integrationsbereich nach E somit lilein gegen 1 ist. Stark ab- hangig ist V hingegen von z3 und I ] + ; denn nach Aussage der Auf- nahme 13 sind die Koeffizienten rp und 11 dem Absolutvlert nach innerhalb des Beobachtungsbereichs, der doch viele Einheiten von A und m, bzw. nz- umfaBt, uiiveriinderlich. Wir bleiben in gber- einstimmung mit der Aufnahme und beriicksiclitigen die vollige Gleichwertigkeit der Richtungen I / + und 91-, wenn wir von dem Unterschied der und 7 p ganz ahsehen und aus (17) den SchluB ziehen: (1 S) v = FP,, 7/+) + P(Z,, d. Die Funktion F ist dann in z3 periodisch mit der Periode +a, in aber unperiodisch. Die Gradienten von haben aber die Richtungen 1 l T oder 111, stehen somit senkrecht zu den aus Anf- iiahme 14 erschlossenen Grenzflachen. G1. (18) druckt also eine doppelte Gitterdeformation aus, beide Teile sind unperiodische Funktionen der zu je einer der Grenzebenen senkrechten Richtungen 117 und 111. Die Periodizitat des Gitters nach x3 bleibt deswegen bestehen, weil jene beiden Richtungen zur Ebene 001 syminetrisch liegen. Dieses Ergebnis ist eindeutig, weil wir dabei nur von den Absolutwerten der Fourierkoeffizienten Gebrauch gemacht haben.

Es ist j a auch recht anschaulich, daB eine unperiodische De- formation die linienhaft-stetige Helligkeitsverteilung in Aufnahme 13 hervorruft, ahrend ihre Wiederholung auf iiquidistanten Geraden durch die Periodizitat in x3 verursacht wird.

d) Es bleiben noch die irreguliiren Punkte der Aufnahme 13 zu deuten. Dabei setzen wir von vornherein E == 0, rechnen also, als fiele die Ausbreitungskugel genau mit der Ebene l i 0 zusammen; sonst hatten wir hernach die obige auf E beziigliche Diskussion zu wiederholen. Diese irreguliiren Punkte liegen jeder auf' eiuer

2 34 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 29. 1937

Geraden der Scharen (1 1 +) und (11 -), und jeder hat vom ngchsten regularen Punkt ein Drittel des Abstandes, den diese untereinander haben. Diese Punkte fehlen aber auf den Geraden, fur welche mit ganzzahligem n

7 ~ 1 ~ = 3n l ist. 1st hingegen

na+_ = 3n+ + 1. so liegt ein irregullrer Punkt oberhalb eines ganzzahligen; und ist

mi. = 3 n , - 1 . SO liegt er unterhalb eines solchen. L). h. in der allgemeinen Fourier- darstellung (16) sind die Koeffizienten Null, auger wenn entweder na+= 3 n + + 1

oder m + = 3n,- 1

oder m-= 3%-+ 1

1 1 1 und A , = A , = m , + 3 . A , = m , - =2wb+-ml-- 3 3

1 1 I 3 und A, = A , =ml - 3 . A, =m,+ =2m,-ml +

1 1 1 und A, = A, = m, + 3 7 A,=m,+ 3 =-2m-+m,+ oder m-= 3%-- 1

1 1 1 und A , = A , = m , - : ~ , A3=m3- =-2m-+m,- 3

ist. Folglieh geht (16) uber in die Reihe

(19)

n- m, I

n- m,

Aus Symmetriegrunden schlieBen wir wieder auf die Gleichheit der Koeffizienten 9 und y, soweit sie dieselben Indizes tragen; d. h. es ist

(20) T7 =f t” s , 71+) +f(”,, a-).

M . v. Laue. Erkennung submikroskopischer liristallflachen usw. 235

Wie das F von Gl. (1s) ist f mit der Periode +-a periodisch in xs; es ist im Gegensatz zu F auch periodisch in ? I ? , aber nicht mit der normalen Gitterperiode a. sondern mit 313. Das Raum- gitter hat also auch periodische Fehler, und diese rufen analog zu den periodischen Fehlern eines optischen Strichgitters ,,Geister" hervor, namlich die Ljcharfen, aber irregular gelegenen Interferenz- punkte von Aufnahme 13. Buch dieser SchluB ist wohl eindeutig ').

Die Vorspriinge der Nickelschichten Cochranes sind also fast ausschlieplich von Ebenen 111 Und 111 begrenzt. Senkrecht zu diesen ist das (iitter verformt; es besteht eine perwdische Verformung von dreifnclt vergroperter Periode und eine unperiodische.

Ob die Vorspriinge die Grenzebene 110 ganz bedecken oder nur zum Teil, bleibt eine offene Frage.

Hier tritt wohl zum erstenmal eine Gitterverformung im Zu- sammenhang mit der Oberflachengestaltung experimentell nachweisbar zutage. Auch kann man wohl den Grund vermuten, aus dem die Fehlerperiode gleich 3 a ist. Die Netzebenen 111 und 117 haben ja [vgl. (15)] die Gleichungen q+ = AT. a , mit ganzen Zahlen N . I n den Variablen ?I+ mu8 das Potential des ungestorten Gitters also die Periode a haben. Nun betinden sich aber, wie Abb. 12b zeigt, die drei obersten dieser Netzebenen nicht mehr vollig im Inneren des Gitters, sondern liegen mehr oder minder blo8; sieht man senkrecht auf die Orenzflache, so gewahrt man ihre Atome unverdeckt durch andere Atome, was bei keiner tiefer liegenden Netzebene mehr stattfindet. Und das hangt n i c k rnit der in der Abbildung gewiihlten Zellenform zusammen , sondern rnit der dich- testen Kugelpackung, welche ja das flachenzentrierte kubische Gitter entstehen lafit. In der Dreizahl dieser Netzebenen darf man vielleicht die Ursache fur die dreifach vergroBerte Periode des Gitter- fehlers vermuten. Unveroffentlichte Aufnahmen Co c h r a n e s von Iiobalt, welche mir der Autor freundlichst zusandte, zeigen iibrigens bei einer von 170 etwas abweichenden Einfallsrichtung Andeutungen clerselben periodischen und aperiodischen Gitterfehler.

5. B r i i c k s Aufnahmen an Silber und Nickel

Briick gibt a. a. 0. Aufnahmen an diinnen Hauten aus Silber, Nickel und aiideren Metallen. von denen wir uns aber nur mit den in Abb. 18 und 19 bei ihm dargestellten beschaftigen.

1) Aber die Diskussion erschiipft nicht den Inhalt der G1. (19); sie bliebe n&mlich, wie sie ist, wenn in (19) an die Stelle der Faktoren 3 n t 1 von z8 irgendwelche nnderen ganzzahligen Faktoren triiten.

236 AnnaEen der Ykysilc. 5. Folge. Hand 29. 1937

Rei Abb. 1s durchsetzt der einfallende Ytrahl die Schicht uuter 12O Neigung gegen die 001-Richtung, bei dbb. 19 unter 260. Bei allen Neigungswinkeln sieht man nach deni beistehenden Text Satelliten 111, 111, 1T1, i l l , daneben aber auch (was der Text nicht erwahnt), einen Satelliten 001, der also auf das Auf- treten einer Wiirfelflache als Grenzebene neben den 4 Oktaeder- fiiichen hinweist. Die Satelliten 100 und 010 treten sclion deshalh nicht auf, weil die Ausbreitungskugeln die Stacheln nicht schneidet, an denen sie entstehen miifiten. Dieser funfte Satellit liegt in Ahb. 18 mitten in den Vierecken, welche die Satelliten 111 usw. bilden; aber auch in der Abb. 19 ist er an einigen Stellen unverkennbar. Das Fehlen der Stacheln der Gitterpunkte mit gemischten Indizes miissen wir, wie in 3 . auf den Aufbau des Raumgitters ails schiefwinkligen Rhomboedern (Abb. 11) statt aus flachenzentrierten Wiirfeln deuten. Der wesentliche Unterschied gegeniiber C o c h r a n e s Aufnahnien aber liegt in einer Verstarkung der Oktaedersatelliten in dem Abstand . b f:j vom jeweils nachsten Gitterpunkt (vgl. Kri icks Abb. 17). Diese Erscheinung kommt ineines Erachtens nicht van der Oberflache. wenigstens nicht so unmittelhar wie die Stacheln. Ich halte die Verstiirkungen vielmehr fur ,,Geister". also fur die Folge von Gitterfehlern irn Innern, die nllerdings ihrerseits den Zusammenhang mit der Oberfliiche nicht verleugnen.

Zur ngheren Untersuchung verwenden wir wieder die Fourier- analyse unter Fortlassung des dreifach periodischen Snteils am elektrostatischen Potential. M'ir miissen dazu in (16j die Koeffi- zienten v - ~ , A , A, Xu11 setzen, auBer wenn entweder:

uder

oder

oder ~,=m,+-, 1 A , = m , t T , 1 A , = m T - 1

3 3 (24)

ist; in je drei zusaniniengehorigeu Gleichungen sind gleichzeitig die oberen oder die unteren Vorzeichen zu verwenden. AuBerdem iiiiissen die ganzen Zahlen ma ungemischt sein, eine Bedingung, die wir in den Formelri nicht explizite zum dusdruck bringen. Dann

M. v. Lam. h'rkenmmg submikroskopischer Kristal~fliic?ie?i usw. 2%

geht das Integral (l(i), sofern wir zunaclist nur von der Moglich- keit (21) Gebrauch machen, iiber in die Sunime:

Berucksichtigt nian auBerdem noch die Moglichkeiten (22), (23) und (24) und setzt man aus Synimetriegrunden in allen 4 Teil- summen die Koeftizienten init gleichen Indizes einander gleich, so ergi b t sicli :

Das bedeutet einen periodischen Fehler von der Periode 3 a in den drei rechtwinklichen Koordinaten xa. Er ist nach (25) und den drei entsprechenden Teilsummen identisch mit vier periodisclieti Fehlern, deren jeder von TI+ oder 7- [vgl. (15)] oder zwei analog aus den xu gebildeten Veranderlichen abhingt, und! wie in $j 4, die Periode 3 a besitzt. Das hier vier solche Fehler auftreten, beruht zweifellos auf der Ausbildung aller vier Oktaederebenen zu Grenz- fliclien, wilirend wir bei Cochranes Xickelkristallen deren nur zwei vor uns sahen.

Man gewinnt also von diesen MetallhHuten das Bild, daB sie aus genau parallelgestellten, der Hauptsache nach oktaedrisch be- grenzten Iiristallen bestehen, die mit Wurfelflachen und Rhomben- dodekaederflachen aneinander haft en ').

Zussmmenfasimng

Aus EleIctronenbeugungsaufnahrnen C oc h r a n e s und Bri ick s! aufgenommen bei der de Brogliewellenlange von rund ti - cni an einkristallinen Kobalt-, Nickel- und Silberschichten, scIilieBt diese Arbeit auf Grund des Kristallformfaktors auf die bei ilinen vor- kornmenden Obeiflkclien und ihre atoniare Besetzung.

Beini Kobalt ragen nach Cochranes Versuchen aus der ma- Irroskopischen 1 10-Ebene oktaedrisch begrenzte Vorsprunge his zu Holien von t i m lo-? cm lieraus; deren submikroskopische Grenz- fliiclien 111 usw. sind schon in der obersten Atonlschiclit voll besetzt,

1) Eine genauere I'ntersuchung wird Herr G. Menzer demniichst in dieser Zeitschrift verSffentlichen (Zusatz bei der Korrektur).


nicht nur zu einem Viertel, wie man bei dem Aufbau des Gitters aus fliichenzentricrten Wiirfeln erwarten miiBte (Abb. 12 b im Gegensatz zu Abb. 12a).

Beim Xickel treten nach Cochraues Versuchen von den vier Oktaederflachen nur zwei als Begreuzungen der Vorsprunge aus der 110-Ebene auf; letztere zeigt somit ,,Wellble~hstruktur~~. Such hier ist schon die oberste Atomschicht voll besetzt; im Oegensatz zum Kobalt aber xeigt Nickel deutliche Gitterfehler im SnschluB an die beiden Grenzniichen 111 und 111, und zwar periodische und unperiodische.

Bri icks Anfnahmen an einkristallinen Silber- und Nickelhauten besagen das Vorkommen von Wiirfelflachen als Begrenzungen nebeii den 4 Oktaederflgchen, sowie dss Auftreten von periodischen Gitter- fehlern, die sich den 4 Oktaederflachen anschliegen.

Bei Bruck, ebenso friiher bei K i rchne r und Lassen , sind die Oktaederflachen als Grenzebenen genau so gebaut, wie nach C o - c h r a n e s Versuchen an Kobalt und Nickel.

Ihren Schwerpunkt hat diese Untersuchung aber weniger in diesen Ergebnissen, als in der verwandten Methode, die vielleicht noch manche andere Versuche zu deuten vermag').

Herrn Dr. K.-H. Riewe mijchte ich an dieser Stelle fur die Berechnung der Skizzen 7 und 8 danken, und Herrn Dr. G. Menze r fur die Berechnung der Skizzen 3 und 4, die Zeichnung der Ab- bildungen und vor allem fur die sorgfiiltige und verscandnisvolle Beratung bei der Diskussion der Aufnahmen und bei kristallographischen Fragen. Nicht minderen Dank schulde ich Herrn W. Cochrane in London fur briefliche Mitteilungen und die uber- lassung photographischer Abziige seiner Aufnahmen.

1) Am Schlul3 der zitierten Annalenarbeit hatte ich in einer Anmerkung xuf Beobachtungen T. Yamltgu t ie (Proc. Physico-Mathematical Sec. Japan 17. S. 443. 1933) hingewiesen, bei denen mir die Lage der Interferenzflecke zu seinem Texte nicht zu passen schien. Wie sich inzwischen herausgestellt hat, lag lediglich ein RIiSverstLndnis des Textes vor; eine Deutung der auf Y ama- gut is Aufnahrne 7 sichtbaren Auswiichse aus den Interferenzfleckeu mittels des Kristallformfaktors ist mir aber auch jetzt nicht gelungen.

B e r 1 i n - 1) a h 1 e m , Kaiser-filhelm-Institut fur Physik, im Februar 1937.

(Eingegangen 2. Miirz 1937)

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Die Erkennung submikroskopischer Kristallflächen durch Elektronenbeugung. (Nach Versuchen W. Cochranes und L. Brücks)