DIE GRUNDLEHREN DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE

HERAUSGEGEBEN VON

B. ECKMANN· R. GRAMMEL . E. HEINZ F. HIRZEBRUCH . E. HOPF . H. HOPF . W. MAAK

W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT· K. STEIN B. L. VAN DER WAERDEN

BAND 110

VORLESUNGEN DBER FUNKTIONENTHEORIE

VON

ALEXANDER DINGHAS

SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG

1961

VORLESUNGEN

UBER FUNKTIONENTHEORIE

VON

DR. ALEXANDER DINGHAS O. PROFESSOR DER MATHEMATIK

AN DER FREIEN UNIVERSITAT BERLIN

MIT 25 ABBILDUNGEN

SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG

1961

ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG

IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN

OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT

GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM

WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN

© BY SPRINGER-VERLAG OHG.

Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1961 BERLIN' GOTTINGEN • HEIDELBERG 1961

ISBN-13: 978-3-642-94819-0 e-ISBN-13: 978-3-642-94818-3 DOl: 10.1007/978-3-642-94818-3

BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN

MEINEN FREUNDEN

ERNST JACOBSTHAL UND IWAN STRANSKI

Vorwort

Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor­lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhelms­Universitiit Berlin und spater, wenn man von einem einsemestrigeu Kur­sus liber Modem Theory of Functions an der Columbia University New York im Herbst 1952 absieht, wiederholt an der Freien Universitiit Berlin gehalten habe.

Offen gesagt, hatte ich kaum die Zeit gefunden, diese Vorlesungen flir den Druck bereitzustelien, wenn uicht die Verzweiflung vieler meiner Harer, die manches Vorgetragene in der vorhandenen Literatur schwer finden konuten, mich zu dem EntschluB geflihrt hatte, auf Kosten anderer Arbeiten die Herausgabe dieses Buches zu beschleunigen.

Was in diesen Vorlesungen geboten wird, ist nichts anderes als die Grundlage der Cauchy-Riemann-Nevanlinnaschen Funktionentheorie unter Zugrundelegung modemer Gesichtspunkte. Sie flihren den Leser bis an die Grenze eines groBen Teiles modemer Forschung und enthalten das, was meiner Meinung nach den Inhalt eines zwei- bzw. dreisemestri­gen Kursus liber Funktionentheorie an einer graBeren deutschen Uni­versitat ausmachen soli.

Die Darsteliung eines so umfangreichen Gebietes wie der Funktionen­theorie zwingt natlirlich jeden Verfasser zur Auswahl und zur gelegent­lichen Betonung dessen, was er (mit mehr oder weniger Recht) flir wichtig hiilt. Trotzdem glaube ich nicht, beim Aufbau dieser Vorlesungen alizu stark von der orthodoxen Linie abgewichen zu sein. Das geschah mehr aus padagogischen GrUnden als aus dem Wunsch heraus, einen allgemei­nen und abstrakten Weg (der wohl auch wesentlich klirzer gewesen ware) zu wahlen. Ein solcher namlich mliBte mit der Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten und dem WeierstraBschen Monodromiesatz beginnen und liber die Homologie-Theorie zu der Cauchyschen Integraltheorie auf einer Riemannschen Flache flihren. Das ware aber flir ein Lehrbuch unmaglich.

Die Voransteliung der Cauchyschen Integraltheorie und somit die Bevorzugung der schlichten komplexen Ebene hat neben den erwahnten padagogischen Rlicksichten auch den Vorzug, den Lemenden mit einer Flilie an Material vertraut zu machen, aus dem er dann leicht die Rie­mannschen Konzeptionen selbst zusammenfligen kann. Mein Hauptziel war es, dem Leser, insbesondere dem Studierenden, Methoden zu liber­mitteln und ihn flir funktionentheoretisches Denken zu interessieren.

Vln Vorwort

1ch habe mich deswegen nicht gescheut, manche Satze und Fragen­komplexe zweimal mit verschiedenen Verfahren zu behandeln, wenn ich nur dabei das Gefiihl hatte, dem Leser einen neuen Aspekt des Problems entwickeln zu konnen. Der aufmerksame Leser sowie mancher Referent wird an vielen Stellen auf Entwicklungen stoBen, die, ohne daB dies jedesmal hervorgehoben wird, auf geistiges Eigentum des Verfassers zUrUckgehen. Andererseits solI hier zum Ausdruck gebracht werden, daB ich von einigen Fachbiichern, insbesondere von dem Ahlforsschen Lehr­buch und den Landauschen Ergebnissen vieles gelernt habe.

Wenn man von dem fiir seine Zeit bahnbrechenden Buch von BIEBER­BACH absieht, der vor mehr als 30 J ahren zum ersten Male die damals in der Entstehung befindlichen Theorien von R. NEVANLINNA einem breiteren mathematischen Publikum in seinen Hauptziigen zuganglich machte, gibt es im deutschen Sprachgebiet kaum ein Lehrbuch der Funktionentheorie, das dem Durchschnittsstudenten ein Bild der modernen Funktionentheorie, insbesondere der Werteverteilung, gibt. Von den beiden ausgezeichneten Biichern von R. NEVANLINNA ist das erste in franzosischer Sprache erschienen, zum Teil durch spatere Forschung iiberholt, das zweite, in derselben Sammlung wie vorliegen­des Buch, fiir den Horer eines normalen Kursus iiber Funktionen­theorie viel zu hoch und hochstens fUr einen spateren Forscher auf dies em Gebiet geeignet. Eigentiimlicherweise gehen die meisten in den letzten Jahren erschienenen Lehrbiicher der Funktionentheorie (wie z. B. die ausgezeichneten Biicher von CARATHEODORY und BEHNKE­SOMMER sowie auch von KNESER) an der Nevanlinnaschen Theorie vorbei und begniigen sich lediglich mit einem Hinweis auf die er­wahnten Monographien.

Beim Aufbau des Stoffes im einzelnen stellte ich mich auf die Cauchy­Riemann-\VeierstraB-Nevanlinnasche Linie. Die beiden ersten Teile ent­halten ziemlich alles, was der Studierende braucht, urn sich ein vollstan­diges Bild der analytischen Funktion zu machen, wobei der Weg zunachst iiber CAUCHYS Definition der regularen Funktion in einem gegebenen Gebiet zu der fundamentalen Konzeption des analytischen Gebildes von WEIERSTRASS und der Riemannschen Flache fiihrt. Der dritte Teil be­handelt, wenn man von Majorisierungsproblemen absieht, vorwiegend Fragen der konformen Abbildung und der Werteverteilung.

Hoffentlich wird mein EntschluB, den Turanschen Beweis des Fabry­schen Satzes in das vorliegende Buch aufzunehmen, begriiBt. Dieser Be­weis ist, wie ich auch an anderer Stelle dieses Buches betone, nicht nur fUr den Beweis des fraglichen Satzes wichtig, sondern stellt eine all­gemeine Methode dar (deren Urspriinge auf BOHR zuriickgehen), die fUr eine Reihe wichtiger Probleme der Funktionentheorie und der analyti­schen Zahlentheorie von Bedeutung ist.

Vorwort IX

Den Fragenkomplex des Denjoy-Carleman-Ahlforsschen Satzes sowie eine Reihe von Satzen von LINDELOF und einen Satz von WIMAN be­handele ieh, statt den Verzerrungssatz von AHLFORS zu benutzen, mit Hilfe einer Methode, deren Grundidee auf CARLEMAN zuriickgeht. Hof­fentlich findet auch dieser Versuch die Zustimmung einiger Fachkollegen. 1m Gegensatz zu allen bisherigen Darstellungen der Nevanlinnaschen Werteverteilungstheorie, die den Fall einer in der ganzen Ebene mero­morphen Funktion behandeln, studiere ieh (urn das Analogon des Caso­rati-WeierstraBschen Satzes zu erzielen) die Werteverteilung einer ein­deutigen analytischen Funktion in der Umgebung einer isolierten wesent­lichen Singularitat. Somit durfte das durch WEIERSTRASS eroffnete Feld durch die Nevanlinnasche Vertiefung der Satze von PICARD und BOREL eine mehr oder weniger endgultige Form gefunden haben. DaB ieh in die­sem Zusammenhang auf die Nevanlinna-af Hallstromsche Theorie der meromorphen Funktionen in mehrfach zusammenhangenden Gebieten nieht ausfUhrlich eingehen konnte, wird dem Leser einleuchten, der die Fulle des Materials ubersieht, das ich hier zur Behandlung hatte bringen mussen.

An Vorkenntnissen setze ich hier nur die wichtigsten Satze der klas­sischen Analysis voraus, namlich: Eine gute Kenntnis der Theorie des Riemannschen Integrals und der daran anschlieBenden Theorie der Linienintegrale, die Satze uber die Vertauschung der Reihenfolge der Integrationen bei mehrfachen Integralen und die grundlegenden Tat­sachen aus der Theorie des Stieltjesschen Integrals. Das sind Satze, die aIle in jedem normalen Kursus uber Analysis behandelt werden. Die Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Riemannschen Flachen ist viel zu kurz gekommen, ich hoffe jedoch, daB das als ein nieht allzu groBer Mangel des Buches angekreidet wird. Dasselbe gilt fUr die Theorie der elliptischen Funktionen, die aus Raummangel nur in kurzen Zugen angedeutet werden konnte, sowie fUr die Theorie der Uniformisierung. Sonst findet der Studierende, soweit ieh es ubersehen kann, mit Aus­nahme trivialer Rechnungen und einfacher Abschatzungen, die zur reellen Analysis gehOren, jeden Beweisschritt ausfUhrlich dargestellt und jede (mir als wichtig erscheinende) Rechnung bis ins Einzelne durch­gefUhrt.

Zum SchluB noch einige Worte uber die Erganzungen. Diese, ins­besondere diejenigen der letzten Kapitel, gehOren eigentlich zum Text und unterscheiden sich von ihm nur durch den gedrangten Stil und die knappe Darstellung. Der groBte Teil des Stoffes ist hinreiehend entwickelt und durfte von jedem Leser verstanden werden, der die kurzen An­gaben durch Nachrechnen sowie eigene Uberlegungen vervollstandigen will. Ein kleiner Teil der Erganzungen ist wieder ohne Zuhilfenahme der Originalliteratur schwer verstandlich. Hoffentlich wird dadurch der Leser

x Vorwort

irgendwie angeregt werden, die Originalarbeiten entweder genau zu studieren oder sie mindestens durchzubHittern.

Beim Lesen eines Telles der Fahnen haben mich an erster Stelle Herr L. BIEBERBACH und Herr Dr. H. W AADELAND in Trondheirn unterstiitzt. Herr Dr. K. HABETHA sowie Herr Dipl. Math. H.-W. ROHDE haben ins­gesamt die zweite Halfte des druckfertigen Manuskriptes gelesen und mir bei der Durchsicht der Fahnenkorrekturen wertvolle Hilfe geleistet. Herr B. W ATZEK hat mir auBer beim Korrekturlesen noch bei der Herstellung eines Teiles des Literatur- und des Sachverzeichnisses geholfen. Fraulein HERTHA SCHLEIFF hat mit gr6Bter Sorgfalt die Maschinenabschrift angefertigt und Fraulein INGE SCHOLL die Figuren sowie die Formeln eingetragen. Neben dem hier genannten Personenkreis gebiihrt mein besonderer Dank auch dem Springer-Verlag fUr das Ein­gehen auf jeglichen Wunsch, sowie fUr die rasche Drucklegung.

Berlin, Friihjahr 1961 ALEXANDER DINGHAS

Inhaltsverzeichnis

Erster Teil

Die Grundlagen der Funktionentheorie

Erstes Kapitel

Die komplexe Ebene

1. Der Korper K der komplexen Zahlen . . . . . 2. Der Korper der reellen Zahlen als Teilkorper von K. Isomorphe Darstel-

lungen ................. . 3. Elementare Geometrie der komplexen Ebene . 4. Die Riemannsche Kugel und die Zahl z = 00

S. Gruppen. Lineare Transformationen 6. Metrisierungsfragen. Bewegungen der komplexen Ebene 7. Bemerkungen und historische Zusammenhange .

Erganzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.

1. Die Formel von MOIVRE. 2. Gleichungen elementarer Gebilde. 3. Das Doppelverhaltnis von vier Punkten. 4. Spezielle Gruppen. S. Drehungen der Riemannschen Kugel. 6. Bewegungen des Einheitskreises. 7. \Vurzel­operationen.

Zweites Kapitel

Topologie der komplexen Ebene. Die Cauchysche Konvergenztheorie. Stetige Abbildungen

2 S 6 8

11 13

IS

8. Grundlegende Begriffsbildungen 17 9. Offene und abgeschlossene Punktmengen. . . 18

10. Die Cauchysche Konvergenztheorie . . . . . 20 II. Der Uberdeckungssatz von HEINE-BoREL und der Satz von BOLZANO-

WEIERSTRASS 22 12. Kurven ..................... . 13. Eine Peano-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Gebiete und Kontinuen. Der Begriff des Zusammenhangs IS. Abbildungen durch eindeutige komplexe Funktionen 16. Linienintegrale komplexer Funktionen 17. Bemerkungen und Literaturnachweis .....

Erganzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel

I. Oberer und unterer Limes von Punktmengen. 2. Anwendungen. 3. Offener Kern. 4. Der Kern einer Gebietsfolge. S. Topologische Abbildungen. 6. Vereinigung von offenen und abgeschlossenen Punktmengen.

Drittes Kapitel

Lokale Eigenschaften der eindeutigen analytischen Funktionen

18. Definition der eindeutigen analytischen Funktion . 19. Das Fundamentallemma der Funktionentheorie

24 27 29 30 32 33

34

36 38

XII Inhaltsverzeichnis

20. Lokale Darstellungen von w (z) . . . . . . . . . . . . . . 39 21. Der analytische Charakter von w'(z). Die Cauchy-Taylor-Entwicklung

von w(z) .......... . . . . . . . . . . . . . 43 22. Hebbare Stellen. Erweiterung des Regularitatsbegriffes . . . . . . . . 45 23. Pole und wesentliche Singularitaten. Die Entwicklung von LAURENT-

VVEIERSTRASS . . . . . . . . . . . 48 24. Der Satz von CASORATI-VVEIERSTRASS 51 25. Bemerkungen und Literaturnachweis . 52

Erganzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel 56

1. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe. 2. MORERAS Definition der eindeutigen analytischen Funktion. 3. Eine Definition der regularen ana­lytischen Funktion. 4. Der Satz von LOOMAN-MENCHOFF. 5. Der Satz von CAUCHy-LIOUVILLE. 6. Bestimmung einer eindeutigen analytischen Funk-tion durch abzahlbar viele VVerte. 7. Aufgaben dazu.

Viertes Kapitel

Die Hauptsatze der Cauchyschen Funktionentheorie

26. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie . 62 27. Die allgemeine Cauchy-Formel . . . . . . . . . . . . . . 64 28. Der Residuensatz von CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 65 29. Erste Anwendungen des Residuensatzes. Die Poissonschen Formeln fUr den

Vollkreis und den Halbkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 30. Bestimmte Integrale rationaler und trigonometrischer Funktionen . . . 70 31. Die Cauchyschen Integralsatze in allgemeinen Gebieten von endlichem

Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 32. Nullhomologe und nUllhomotope Kurven. Die allgemeine Form des Fun-

damentalsatzes der Funktionentheorie .......... 75 33. Homologie- und Homotopiegruppen. Mehrdeutige Funktionen 77 34. Literaturhinweise. . . . . . . . . . . . . . 81

Erganzungen und Aufgaben zum vierlen Kapitel

1. Definition der trigonometrischen Funktionen. 2. N ullstellenfragen. 3. Residuen von cotg nz bzw. l/sin nz. 4. Die Formel von PLANA-ABEL­CAUCHY. 5. Eine allgemeine Formel von CAUCHY. Der Satz von ROUCHlJ:. 6. Die Ungleichungen von HADAMARD und BOREL. 7. Eine Ungleichung von BOREL und CARATHEODORY. 8. Eine Verallgemeinerung des Cauchy­Liouvilleschen Satzes. 9. Aufgaben. 10. Ein Satz von LIOUVILLE. 11. Eine Ungleichung von H. A. SCHWARZ.

Zweiter Teil

Die Gruncllagen cler Riemann-WeierstraBschen Funktionentheorie

Fiinftes Kapitel

Erzeugung analytischer Funktionen durch Grenzprozesse Der Riemann-WeierstraBsche Begriff der analytischen Funktion

35. Funktionenraume ........... . 36. Kompaktheitsfragen. Vorbereitende Tatsachen 37. Die Satze von ASCOLI und VITALI 38. Reihen. Unendliche Produkte. Integrale . . .

83

95 96 99

102

Inhaltsverzeichnis XIII

39. Der WeierstraBsche Begriff der analytischen Funktion. Der Satz von POINCARE-VOLTERRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

40. Analytische Fortsetzung in der Nahe einer isolierten singularen Stelle. Alge-braische Funktionselemente . . . . . . . . . . . . . . 112

41. Der Begriff des analytischen Gebildes . . . . . . . . . . . . . . . . U5 42. Der Begriff der Riemannschen Flache. LJberlagerungsflachen . . . . . . 118 43. Nicht fortsetzbare Reihen. Der Turansche Beweis des Fabryschen Liicken-

satzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 44. Geschichtliche Zusammenhange und Literaturangaben 133

Erganzungen und Aufgaben zum fiinften Kapitel. . . 137

1. Ein Beweis des Auswahlsatzes. 2. Der Satz von MITTAG-LEFFLER. 3. Nochmals die trigonometrischen Funktionen. 4. Die WeierstraBsche Produktdarstellung von w (z). 5. Die elliptischen Funktionen. 6. Additions­formeln. 7. Der Monodromiesatz. 8. Das WeierstraBsche Permanenz­prinzip der Funktionalgleichungen. 9. Algebroide und algebraische Funk­tionen. 10. P6LYAS Vermutung iiber Potenzreihen mit Fabry-Liicken. 11. OSTROWSKIS Vertiefung des Hadamardschen Liickensatzes. 12. MOR­DELLs Beweis des Hadamardschen Liickensatzes. 13. Ein Satz von FATOU und P6LYA. 14. Die Umkehrung einer Potenzreihe.

Sechstes Kapitel

Die Eulersche Gammafunktion und die Riemannsche Zetafunktion

45. Konvexe bzw. logarithmisch konvexe Funktionen 159 46. Der Satz von BOHR und MOLLERUP. . 163 47. Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . . 165 48. Das asymptotische Verhalten von r (s) • • . • . 169 49. Dirichlet-Reihen. Die Zetafunktion von RIEMANN. 175 50. Zahlentheoretische Eigenschaften von ~ (s). Die Eulersche Produktdarstel-

lung und der Satz von HADAMARD-DE LA VALLEE-POUSSIN. 180 51. Beweis des Primzahlsatzes. . . . . . . . . . . . . 183 52. Geschichtliche Zusammenhange und Literaturangaben 188

Erganzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel 190

1. Ein allgemeiner Satz von HURWITZ. 2. Zwei Funktionalgleichungen von LEGENDRE. 3. KUMMERS Fourier-Entwicklung von log r (0"). 4. Die Konvergenzabszissen einer allgemeinen Dirichlet-Reihe. 5. Der Abelsche Grenzwertsatz fiir allgemeine Dirichlet-Reihen. 6. Der Satz von VIVANTI­PRINGSHEIM-LANDAU. 7. FABRYS Liickensatz fiir Dirichlet-Reihen. 8. Ein Satz von HARALD BOHR. 9. Der Fall linear unabhangiger Exponenten. 10. Die Laurent-WeierstraBsche Entwicklung der Zetafunktion.

Dritter Teil

Maximumprinzip und Werteverteilung

Siebentes Kapitel

Majorisierungs- und Wachstumsprobleme

53. Das Maximumprinzip fiir subharmonische Funktionen ....... 201 54. CARLEMANS Prinzip der harmonischen Majorisierung. LINDELOFS Ver­

allgemeinerung des Maximumprinzips ...........•.... 203

XIV Inhaltsverzeichnis

55. Konvexitatseigenschaften des Maximums von subharmonischen Funktio-nen. Der Dreikreisesatz von HADAMARD und das Schwarzsche Lemma. 206

56. Einbeziehung der Nullstellen von w (z). Blaschkesche Satze 210 57. Die Formel von CARLEMAN und der Satz von CARLSON-NEVANLINNA 212 58. Zwei Satze von LINDELOF . . . . . . . . . . . . . 215 59. Der allgemeine Konvexitatssatz. Der Satz von WIMAN. 222 60. Der Satz von DENJOY-CARLEMAN-AHLFORS. . . . . . 225 61. Geschichtliche Zusammenhange und Literaturnachweis 231

Erganzungen und Aufgaben zum siebenten Kapitel . . 233

1. Eine wichtige Identitat. 2. N ochmals das Maximumprinzip. 3. Eine Ungleichung von AHLFORS. 4. Verallgemeinerung des vorstehenden Ergeb­nisses. 5. Der Satz von JULIA-WOLFF-CARATHEODORY. 6. Der Satz von MILLOUX-SCHMIDT. 7. Ein Satz von FATOU und RIEsz.

Achtes Kapitel

Geometrische Funktionentheorie. Konforme Abbildung

62. Nochmals die linearen Transformationen . . . . . . . . . . 244 63. Fixpunkte. Elliptische, hyperbolische und parabolische Transformationen 245 64. Spiegelung an einem Kreis. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip . . . . 247 65. Zusammenhange mit der hyperbolischen Geometrie. PICKS Formulierung

des Schwarzschen Lemmas ................... 251 66. Schlichte Funktionen. Der Riemannsche Abbildungssatz ...... 255 67. Das Dirichletsche Problem. Greensche Funktion und harmonisches MaJ3 260 68. Approximationsfragen. Die Symmetrieeigenschaft der Greenschen Funk­

tion. LINDELOFs Kontraktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . 267 69. Funktionen auf Riemannschen Flachen. Konstruktion der Modulfunktion

durch das Spiegelungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 274 70. Kapazitatsfragen. Die Evans-Selbergsche Funktion . 279 71. Anwendung der Modulfunktion auf den Beweis der Satze von PICARD,

LANDAU und SCHOTTKY ........... . 287 72. BLOCHS Methode zum Beweis der Satze von PICARD, LANDAU und SCHOTTKY 289 73. Der allgemeine Satz von PICARD und der Satz von JULIA 294 74. Geschichtliche Zusammenhange und Literaturangaben 298

Erganzungen und Aufgaben zum achten Kapitel . . .

1. Der isometrische Kreis einer linearen Transformation. 2. Der Funda­mentalbereich einer Gruppe. 3. Der Begriff der automorphen Funktion. 4. Eine Ungleichung von PLEMELJ und CARATHEODORY. 5. Der Verzerrungs­satz von KOEBE und BIEBERBACH 6. Der Drehungssatz von BIEBERBACH­GOLUSIN. 7. Das Koeffizientenproblem. 8. Die konforme Abbildung eines Polygons auf eine Halbebene. 9. Der Ahlforssche Verzerrungssatz. 10. Kano­nische konforme Abbildungen. 11. CARATHEODORYS Verscharfung des groBen Picardschen Satzes. 12. Eine Ungleichung von OSTROWSKI-NEVAN­LINNA. 13. Das Normalitatskriterium von CARATHEODORY und LANDAU. 14. Der Montelsche Beweis des Picardschen Satzes. 15. Nochmals der Satz von JULIA. 16. Das Problem der Randerzuordnung. 17. Ein Satz von PICARD. 18. Das Uniformisierungsproblem. 19. Durchfiihrung des Uni­formisierungsbeweises. 20. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ. 21.Der transfinite Durchmesser einer Punktmenge.

303

75. 76. 77. 78.

Inhaltsverzeichnis xv

Neuntes Kapitel

Eindeutige analytische Funktionen in der Umgebung einer wesentlichen isolierten Singularitiit

Die Wachstumscharakteristik einer meromorphen Funktion . . . .. 336 Der Nevanlinnasche Konvexitatssatz der charakteristischen Funktion. 338 Charakterisierung rationaler Funktionen. . . . . . . . . . . . .. 342 Der Begriff der lokalen Charakteristik. Charakterisierung der Stellen ratio-nalen Charakters ......................... 344

79. Der Nevanlinnasche Invarianzsatz. Der Begriff der Ordnung und des Kon­vergenzexponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

80. Die Ordnung eines kanonischen Produktes. F. NEVANLINNAS Beweis der Produktdarstellung einer meromorphen Funktion. . . . . 355

81. Der Nevanlinnasche Hauptsatz der Werteverteilungstheorie 360 82. Die Nevanlinnasche Defektrelation . . . 366 83. Der Satz von PICARD-BoREL. . . . . . . . . . . . 367 84. Meromorphe Funktionen irn Einheitskreis . . . . . . 370 85. Geschichtliche Zusarnrnenhange und Literaturangaben 374

Erganzungen und Aufgaben zurn neunten Kapitel. ." .

1. LITTLEWOODS Begriff der subordinierten Funktion. LEHTOS Maxirnurn­prinzip. 2. Eine Ungleichung von AHLFORS. 3. Nochrnals der Picard­Borelsche Satz. 4. BEURLINGS Verallgerneinerung eines Satzes von FATOU. 5. Die Theorie von NEVANLINNA-AF HALLSTROM. 6. Die Nevanlinna­Selbergsche Theorie der algebroiden Funktionen. 7. Urnkehrung des Nevanlinnaschen Fundarnentalsatzes. 8. Abhangigkeit des Defektes von der Wahl des Nullpunktes. 9. Ein allgerneiner Satz liber die Defektrnenge einer rnerornorphen Funktion.

Litera turverzeichnis . . . . . Narnen- und Sachverzeichnis.

378

393 396