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willahelm-ackmann
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DIE HÜLLKURVE
• Beispiel aus dem Alltag:• Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst
überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke bewegen lassen.
Berechnung einer Hüllkurveam Beispiel der Kurvenschar ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax
I. Ordinatenbestimmung
• Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse
• An dieser Stelle betrachten wir alle Punkte Pa der Scharkurve, die direkt über oder unter uns liegen.
Pa (x ; 1/a · e – ½ x² + ax )
• Der Bereich in dem die Ordinaten liegen = Wertemenge der Funktion
hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax
Für x > 0
hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax
z.B.h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a
ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax
z.B.
g2(x) = 1/2 ∙ e – ½ x² + 2x
h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a = ga(2) = 1/a ∙ e -2 + 2a
• Wir suchen nun den Wert für a für den die Funktion hx(a) Extrempunkte besitzt:
II. Wertemenge der Hüllkurve
hx(a) = 1/a · e – ½ x² + ax
hx ‘(a) = - 1/a² · e – ½ x² + ax + 1/a · x · e – ½ x² + ax
hx ‘(a) = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax
• Extremwertbestimmung: Wir suchen den Wert für a für den hx‘(a) = 0
0 = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax
da die e-Funktion keine NS hat:
0 = (-1/a² + x/a)a = 1/x
• Ordinaten der Extrempunkte:
hx(1/x) = x ∙ e – ½ x² + 1
Die Extrempunkte der Funktion hx(a) besitzen alle die Koordinaten Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1)
Für x > 0
Vorzeichenwechsel von -1 nach +1
Minima
E0,2 (5 ; 0,53)
E0,5 (2 ; 1,2 )
E1 (1 ; 1,65)
Für x < 0
Vorzeichenwechsel von +1 nach -1
Maxima
z.B.
E -2 (-0,5 ; - 0,75)
E-1 (-1; - 1,7)
Zusammenfassung:
• Für a = 1/x besitzt die Wertemenge der Funktion Extrempunkte
• Alle Extrempunkte besitzen die Koordinaten: Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1)
Alle Punkte der Hüllkurve liegen auf dem Graf der Funktion y = x · e – ½ x² +1
Hüllkurve von hx(a)
ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax
ga ‘(x) =(-x/a + 1) · e – ½ x² +1
0 = (-x/a + 1) · e – ½ x² +1
x = a
ga(a) = 1/a ∙ e ½ a²
• Die Ortslinie waagrechter Tangenten von ga(x) stellt die Hüllkurve der Funktion hx(a) dar.
• Um nun die Wertemenge der Funktion hx(a) zu bestimmen müssen wir einige Grenzwerte berechnen
• Fallunterscheidung:x > 0
Minima im Bereich a > 0lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞a0+
Erster Teil der Wertemenge: [x e – ½ x²+1 ; +∞[
a < 0 hx‘(a) < 0
lim hx(a) = lim 1/a e – ½ x² +ax = 0-
a-∞ a-∞
Zweiter Teil der Wertemenge: ]- ∞ ; 0[
Whx = ] -∞ ; 0[ U [x e - ½ x²+1; +∞[
Für x > 0
Wertemenge für positive Parameter x:
x < 0
Maxima im Bereich a < 0
lim 1/a e – ½ x² +ax = - ∞a0-
Erster Teil der Wertemenge: ]-∞ ; x e – ½ x² +1]
a > 0lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞
a0+ lim 1/a e – ½ x² +ax = 0a+∞
Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + ∞[
Für x < 0
Whx = ]-∞ ; x e – ½ x² +1] U ]0; + ∞[
Wertemenge für negative Parameter x:
• Die Hüllkurve besteht aus der x-Achse und der Kurve y = x ∙ e – ½ x²+1
• Aufgabe:
Bestimme von folgender Schar die Hüllkurve:
ga(x) = (x + a) ∙ e (a-11x)/12x