Math. Nachr. 168 (1994) 97- 108

Die Klassengruppe einer kommutativen Ordnung

Von FRANZ HALTER-KOCH in Graz

(Eingegangen am 2 . 9 . 1992)

Einleitung

Die Idealtheorie der Ordnungen algebraischer Zahlkorper ist in ihren Grundzugen seit R. DEDEKIND [4] bekannt. Der Zusammenhang zwischen der Idealtheorie einer beliebigen Ordnung und der Idealtheorie der zugehorigen Hauptverordnung ist in [S], $ 8 (ohne Beweise) skizziert. Eine ausfuhrliche Darstellung mit vollstandigen Beweisen findet man bei R. SCHERTZ [14]. Die dort bewiesenen Satze uber die Struktur der Klassengruppen sind weitgehender Verallgemeinerungen Fahig : J.-P. SERRE [ 151 betrachtete den Fall eindimen- sionaler reduzierter noetherscher Ringe und schuf damit die Grundlage fur die Untersuchung der Klassengruppen ganzzahliger Gruppenringe, siehe [2], $ 50. E. HUBSCHKE [7] betrachtete integrale noethersche eindimensionale Schemata; siehe auch [ 121, $6 12, 13.

In der vorliegenden Note zeige ich, da5 die Voraussetzung, noethersch und eindimensional zu sein, im Falle von Ringen mit Nullteilern zu stark ist. Ich betrachte kommutative Ringe mit ,,nicht zu vielen" Nullteilern im Sinne von [8], d. h., ich setze voraus, dalj sie entweder die Marot-Bedingung erfullen oder additiv regular sind; ferner sol1 jedes regulare Ideal endlich erzeugt und jedes regulare Primideal maximal sein. In diesem Kontext gebe ich Beweise fur alle bei [ 141 erwahnte Resultate, welche auch im klassischen Fall der Ordnungen in algebraischen Zahlkorpern neu sind. Der Begriff der Klassengruppe ist so allgemein gefaot, da5 auch die in der algebraischen Zahlentheorie wichtigen Klassengruppen im engeren Sinne darunterfallen; fur deren Definition sowie fur eine ausfuhrliche Diskussion der Ordnungen in quadratischen Zahlkorpern siehe [3] und [l 13.

6 1. Klassengruppe und Picardgruppe

In der ganzen Arbeit seit A ein kommutativer Ring mit Eins 1 E A ; A' bezeichne das Monoid der Nichtnullteiler von A, A" die Gruppe der invertiblen Elemente und T ( A ) = A'-'A einen totalen Quotientenring von A.

7 Math. Nachr., Bd. 168

98 Math. Nachr. 168 (1994)

Fur A-Untermoduln a, b c T ( A ) seien a + b, ab und a : b in ublicher Weise definiert. Ein A-Untermodul a c T ( A ) heiDt regular, wenn a n T ( A ) " + 0; diese Bedingung ist offensichtlich aquivalent mit a n A' + 0, und nach [l], ch. 11, 5.5, Prop. 8 auch mit aT(A) = T(A) .

Ein R-Untermodul a c T ( A ) heiBt invertierbar, wenn es einen A-Untermodul b c T(R) gibt mit ab = A. Ein A-Untermodul a c T ( A ) heiDt gebrochenes A-Ideal, wenn es s, t E A' gibt rnit As c a c A t - ' . Sind a und b gebrochene A-Ideale, so auch a + 6, ab, a n b und a : b. Jeder invertierbare A-Untermodul a c T ( A ) ist ein gebrochenes A-Ideal, und b = A : a ist der einzige A-Untermodul von T ( A ) rnit ab = A ; siehe [l], ch. IT, 5.6, Prop. 10; ich schreibe gelegentlich auch a - 1 an Stelle von A : a .

$ (A) bezeichne die Gruppe der invertierbaren gebrochenen A-Ideale und

X ( A ) = {aA I a E T ( A ) " }

%"(A) = y(A)/-@"o

die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale. Die Faktorgruppe

heifit Idealklassengruppe von A. Fur a E 9 ( A ) sei [a] E %'(A) die a enthaltende Idealklasse. Definiert man 6 : T ( A ) + $(A) durch 6(u) = aR, so ist 6 ein Gruppenhomomorphismus, Bi (6) = P ( A ) , und wir erhalten die exakte Sequenz

l + A X 4 T ( A ) " k q 4 ) ~ % ? ( A ) + l

mit n(a) = [a]. Unter der Picardgruppe Pic (A) von A verstehe ich die Gruppe der Isomorphieklassen

projektiver A-Moduln vom Rang 1. Nach [l], ch. 11, 4 5.6, Theorem 4 ist jeder invertible A-Modul a projektiv vom Rang 1, und offensichtlich ist genau dann a N A, wenn a E X ( A ) . Damit erhalt man einen Gruppenmonomorphismus

@:%'(A) -+ Pic (A)

(siehe [l], ch. 11, Sequenz

5.6, Prop. l l ) , und nach [l], ch. 11, 4 5.7, Prop. 12 besteht eine exakte

I -+ %'(A) % Pic (A) * Pic ( T ( A ) ) ,

wobei 4 von der Basiserweiterung a ++ aT(A) induziert wird. 1st A noethersch, so ist T ( A ) semilokal und Pic (T(A) ) = 0, also e ein Isomorphismus; siehe [l], ch. 11, 5.7, Remark 2.

Im folgenden werde ich noch etwas allgemeinere Klassengruppen betrachten, um die in der algebraischen Zahlentheorie bedeutsamen engeren Klassengruppen ebenfalls zu erfassen. Sei C c T ( A ) " eine Untergruppe,

X q A ) = {UA I a E C} c 4 ( A )

@(A) = S(A) /X" IA) ; und

V'(A) heiBt C-Klassengruppe von A. Fur a E 9 ( A ) bezeichne [alZ die C-Klasse von a. Die C-Klassengruppe ist rnit der gewohnlichen Klassengruppe durch die exakte Sequenz

1 + CA" 4 T ( A ) " L % ' z ( A ) L w ( A ) -.+ 1

mit E ( U ) = [aR]' und v([a]') = [a] verknupft.

Halter-Koch, Die Klassengruppe einer kommutativen Ordnung 99

Beispiel 1. Sei A eine Ordnung in einem endlich-algebraischen Zahlkorper K und C c K " die Gruppe der total-positiven Zahlen von K (x E K heirjt total-positiv, wenn q(x) > 0 fur jede reelle Einbettung q : K + R). Dann ist %?'(A) die Klassengruppe von A im engeren Sinne.

6 2. Diskrete Bewertungsringe; Dedekindringe

Ein RingA heifit Marot-Ring, wenn jeder regulare R-Untermodul a c T ( A ) von regularen Elementen erzeugt wird. Viele Satze der Idealtheorie von Integritatsbereichen verallgemeinern sich in naturlicher Weise auf Marot-Ringe; siehe [8], [9].

Lemma 1. fur einen Ring A sind aquiualent: a) A ist ein Marot-Ring. b) Fur zwei regulare A-Untermoduln a, b c T ( A ) gilt a c b genau dann, wenn

Beweis. a) => b) Aus a n T(A)" c b folgt a = R(a n " ( A ) " ) c b. b) => a) Sei a c T ( A ) ein regularer R-Untermodul und a, = R ( a n T ( A ) " ) . Dann ist

Fur ein Prirnideal p von A sei

a n "(A)" c 6.

a n "(A)" c a,, also a c a, und damit a = a,. 0

A(+,) = ( A ' \ p ) - ' A =

die regulare Lokalisierung nach p.

Lemma 2. Sei A ein Marot-Ring, s2 die Menge aller regularen maximalen Ideale oon A und a c T ( A ) ein regularer A-Untermodul. Dann folgt

a = . P E R

Beweis. Nach Lemma 1 genugt es, zu zeigen:

T(A)" n n aA(,, c a . P E R

Sei c E T(A)" n aA(,, fur alle p E i2 und q = {x E A I xc E a}. Offensichtlich ist q ein Ideal a a

von A ; ist - E a n T ( A ) (mit a, s E A'), so folgt - E q n T(A)" , also ist q regular. Ware S sc

U q =k A, so gabe es ein p E 0 mit p 2 q; wegen c E aA,,, folgt c = - mit a E a, s E A' \ p, also s E q, ein Widerspruch! Aus q = A folgt 1 E q und c E a. 0

Eine diskrete Bewertung auf T ( A ) ist eine surjektive Abbildung

u : T(A) + z u {a} rnit folgenden Eigenschaften:

(1) u(xy) = u(x) + u(y) fur alle x, y E T ( A ) ; (2) u(x + y) 2 rnin {u(x), u(y)} fur alle x, y E T ( A ) ; (3) u ( 1 ) = 0 und u(0) = 00.

7'

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Ein Ring A heifit diskreter Bewertungsring, wenn es eine diskrete Bewertung v auf T ( A ) gibt, so da13 A = {x E T ( A ) I v(x) 2 0) .

Satz 1 (Charakterisierung diskreter Bewertungsringe). Fur einen Marot- Ring A sind aquivalent:

a) A ist ein diskreter Bewertungsring. b) A ist ganz-abgeschlossen, besitzt genau ein regulares Primideal, und dieses ist endlich

erzeugt.

Beweis. [13], Prop. 23. 0

Definition. Ein Marot-Ring A heil3t Dedekindring, wenn jedes regulare Ideal von A ein Produkt von Primidealen ist.

Satz 2 (Charakterisierung von Dedekindringen). Fur einen Marot- Ring A sind iiquivalent : a) A ist ein Dedekindring. b) Jedes regulare gebrochene R-Ideal ist invertierbar. c) A ist ganz-abgeschlossen in T(A), jedes regullire Ideal von A ist endlich erzeugt,

d) Jedes regulare Ideal von A ist endlich erzeugt, und fur jedes regulare Primideal

e) A ist ein Krullring, und jedes regulare Primideal von A ist maximal.

Beweis. Die im nullteilerfreien Fall bekannten Beweise iibertragen sich unter Be- rucksichtigung von Lemma 1 und Lemma 2 ohne weiteres auf Marot-Ringe (der Begriff des Krullringes wird wie in [8] verwendet):

Fur die Aquivalenz von b), c) und d) siehe [6], § 2, Proposition 1; fur die von a) und c) siehe [lo], Theorem 11.6; fur die von b) und e) siehe [lo], Theorem 12.5.

Fur Ringe mit Nullteilern findet man die Aquivalenz von a) und e) in [9], Proposition (7.9); abgeschwachte Formen der Aquivalenz von a), b) und c) stehen in [9], Propositionen (2.1) und (2.2). 0

und jedes regulare Primideal von A ist maximal.

von A ist A(,) ein diskreter Bewertungsring.

Satz 3. A sei ein Dedekindring und 9 die Menge der regularen Primideule von A . Fur p E B sei up die diskrete Bewertung auf T ( A ) mit Bewertungsring A ( p , . Fur a E 9 ( A ) sei

v,(a) = min {v,(a) I a E a} ;

dann ist v,(a) = 0 fur fast alle p E 9, und a = n p ~ u (4 .

P E Y

Fur ein Element a E T(A)" ist

v , ( 4 = v , (a4

fu r alle p E 9.

Beweis. Offensichtlich ist PA(, , das einzige regullre Primideal von A(,,, PA, , , n A = p , und nach Satz 2 ist A ( p ) ein Dedekindring. Damit folgt die Behauptung wie im nullteilerfreien Fall; siehe [6], 9 2, Proposition 2. 0

Halter-Koch, Die Klassengruppe einer kommutativen Ordnung 101

Als nlchstes diskutiere ich die Verallgemeinerung des Approximationssatzes fur Krullringe

Sei C c T ( A ) " eine Untergruppe. Ich nenne den Ring A C-komplett, wenn es zu jedem unter Einbeziehung ,,unendlicher Stellen".

y E A und b E A' ein u E A gibt, so daI3

y + b u E C .

Genau dann ist A additiv regular (vgl. [8], 8 7), wenn A T(A)"-komplett ist. 1st A C-komplett fur eine Untergruppe C c T(A) ", so ist A additiv regular. Jeder noethersche Ring ist additiv regular, und jeder additiv regulare Ring ist ein Marot-Ring; siehe [8], Theorem 7.2.

Beispiel 2. Sei K eine endlich-dimensionale halbeinfache @Algebra und A c K eine Ordnung im klassischen Sinne (d. h., A ist freier Z-Modul maximalen Ranges). Dann ist T ( A ) = K = K , 0 ... 0 K,mitalgebraischenZahlkOrpernKi,T(A)x = K," x ... x K,", und ich betrachte die Untergruppe

C = { (xl, . . . , x,) E K I xl, . . . , x, total-positiv}

(vgl. Beispiel I). Dann ist A C-regular: 1st namlich y E A , b E A', y = (yl, .. . , y,), b = (b l , ..., b,), so ist b2 = ( b f , ..., b:) E Z; fur genugend groI3es N E IN ist yi + Nb? E K i total-positiv, also y + b(Nb) E C.

Satz 4 (Approximationssatz fur Krullringe). Sei A ein C-kompletter Krullring fur eine Untergruppe C c T (A) ; 9 sei die Menge der minimalen regularen Primideale von A , und Q sei die Menge der zu den p e p gehorigen diskreten Bewertungen von T(A). Seien vl, ... , v, E Q paarweise verschieden und k , , . .. , k , E Z. Dann gibt es ein Element t E Z mit v,(t) = k , fur alle v E {I, ..., n } , und v(t) 2 0 fur alle v E Q \ { v l , ..., v,}.

Beweis. Der in [S], Theorem 10.3 fur den Fall C = T(A)" gegebene Beweis bleibt auch im allgemeinen Fall gultig. 0

Satz 5. Sei A ein C-kompletter Dedekindring fu r eine Untergruppe C c T ( A ) ', und sei f

i ) Z u jedem z E A gibt es ein a E C n A mit a E z mod f. ii) In jeder Klasse C E %?'(A) gibt es ein regulares Ideal a a A mit a + f = A.

Beweis. i ) Sei z E A und c E f n A'. Dann gibt es wegen der C-Komplettheit ein Element

ii) Sei 9 die Menge der regularen Primideale von A, C E %?'(A) und c E C - '. Nach Satz 4

ein regulares Ideal von A .

u E A mit a = z + cu E C n A, und natiirlich ist a = z mod f.

gibt es ein Element t E C, so daI3 fur alle p E 9 gibt:

v,(t) = v,(c), falls v,(f) > 0 ,

v,(t) 2 v,(c), falls v,(f) = 0 .

Dabei ist up die diskrete Bewertung auf T ( A ) rnit Bewertungsring A(,,, und v,(c) ist wie in Satz 3 definiert. Dann ist v,(tc-') 2 0 fur alle p E B und v,(tc-') = 0 fur alle p E 9 rnit v,(f) > 0; daraus folgt tc-' E C und tc-' + f = A. 0

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8 3. Ordnungen

Definition. Ein Marot-Ring R heil3t Ordnung, wenn gilt: 1) Jedes regulare Ideal von R ist endlich erzeugt. 2 ) Jedes regulare Primideal von R ist maximal. 3) Der ganze AbschluD R von R in T(R) ist ein endlich erzeugter R-Modul. Fur eine Ordnung R sei P(R) die Menge der regularen Primideale von R, und

8 = { c E R I c R c R};

8 heil3t Fuhrer von R.

Fur den Rest dieses Paragraphen sei R eine Ordnung, R der ganze AbschluB von R in T(R) und 8 der Fuhrer von R.

Satz 6. i ) Jeder Zwischenring R c R' c R ist eine Ordnung. i i) R ist ein Dedekindring. iii) 8 ist ein regulares Ideal von R , und es ist das groJte ganz in R liegende Ideal

von R.

Beweis. i) Sei R c R' c R ein Zwischenring. Dann ist T(R) = T(R'), R ist der ganze AbschluD von R' in T(R), und als endlich erzeugter R-Modul ist R auch ein endlich erzeugter R'-Modul. Daher bleibt zu zeigen: Jedes regulare Ideal von R' wird von endlich vielen regularen Elementen erzeugt, und jedes regullre Primideal von R' ist maximal.

Sei a' a R' ein regulares Ideal. Da R ein endlich erzeugter R-Modul ist, gibt es ein Element s E R' mit s R c R. Dann ist sa' c R ein regulares Ideal, also sa' = R ( ~ l t . . . , a,) mit a,, . . . , a, E R'. Daraus folgt aber

a' = (:, ..., 7) = R ( : , ..., 7) . R

Sei p' a R' ein regulares Primideal. Dann ist p' n R ein regulares Primideal von R, also

ii) folgt nach Satz 3, c). iii) Offensichtlich ist 8 a R, und da R ein endlich erzeugter R-Modul ist, ist 8 regular

(jeder gemeinsame Nenner eines R-Erzeugendensystems von R gehort zu 8). 1st 2l a R beliebig mit 2l c R, so gilt aR c 91 c R fur alle a E 2l, also a E 3; damit folgt 91 c 8.

maximal, und daher ist auch p' maximal; siehe [9], $9 , Lemma 2.

0

Fur jedes gebrochene R-Ideal a ist aR ein gebrochenes R-Ideal, und die Ringerweiterung

ist ein Gruppenhomomorphismus. Fur ein regulares Ideal a a R ist a n R ein regulares Ideal von R . Der folgende Satz zeigt, daD die beiden Operationen a I+ aR und Ti H ii n R im Bereich der zu 8 primen Ideale zueinander invers sind.

Halter-Koch, Die Klassengruppe einer kommutativen Ordnung 103

Satz 7. i ) Sei Z a R ein regulares Ideal mit Ti + 5 = R. D a m folgt (Ti n R ) + 5 = R,

ii) Sei a Q R ein regulares Ideal mit a + 8 = R. Dann folgt a E 9 ( R ) , und Ti = (Ti n R ) R.

R : a = g(R:aR) + R , aR + 5 = R und

a R n R = a .

Beweis. Fur p E 9 ( R ) ist SR,,, Q R(,, - und SR,,, = 5RR,,, Q RR,,,; im Falle p + 5 folgt ZR,,, = R,,) Q RR,,,, also R(,, = RR,,,.

i) Aus 8 c R folgt (ii n R ) + 5 = (5 + 8) n R = R, und offensichtlich ist (ii n R ) R c Ti. Nach Lemma 2 genugt es daher, zu zeigen: Fur alle p E Y ( R ) gilt

- aR,,) c (ii n R ) RR(,, .

Q

S

C c t st

Sei zunachst p + 5 und z E iiR,,,, z = - mit a E ii, s E R' \ p . Wegen Ti c R c R(,, folgt

a = - mit c E Z n R , t E R ' \ p , also z = - E (ii n R ) R(,,.

Im Falle p =) 8 ist SR,,, c pR,,, + R ( p , und

R(,) = (3 n R + 5) R(p) = (C n R ) R,,) + SR,,, 9

- also (ii n R ) R(,, = R(,, und folglich (Ti n R) RR,,, = RR,,, 2 QR(,,.

ii) Aus R = a + 5 c aR + 5 Q R folgt aR + 5 = R. Ferner gilt - -

a[s(R:afT) + R] = S ( a R ) ( R : a R ) + a = 5 + a = R ,

woraus a E Y ( R ) und R : a = %(R: a@ + R folgt.

p E 9 ( R ) ist Offensichtlich ist a c aR n R ; daher genugt es (nach Lemma 2), zu zeigen: Fur alle

(aR n R ) R,,, c aR,,, .

Im Falle p 2 8 ist R,,, = (a + 5) R,,) =aR(,, + 5!(,,, und wegen 5R,,, =k R(,) folgt aR(,, = R(,). Im Falle p + 5 ist a&, = aRR(,, 2 (aR n R ) R(,). 0

Satz 8. i ) Seien z , z' E R mit zz' = 1 mod 5. Dann folgt zR + 5 E $(R), und R : (zR + 5) ii) Ker (pR) = {zR + 5 I z E R, zR + 5 = R } . Beweis. i ) Wegen zz' E 1 + 5 c R ist zz'R + 3 = R, also auch zz'R + 5' = R. Wegen

- - = z'R + 5.

( z + 2') 8 c 8 c R folgt nun

(zR + 5) (z 'R + 3) = ZZ'R + ( Z + z ' ) 5 + 8' = R.

ii) 1st z E R mit zR + 5 = R, so gibt es ein z' G R mit zz' = 1 mod 5; aus i) folgt dann zR + 8 E Y ( R ) , und offensichtlich ist zR + 5 E Ker (pR).

Sei nun a E Ker (,uR); dann ist aR = a-'R = R, und fur jedes c E 5 gilt ca-' c cR c R, also c E (a- ')- = a, woraus 5 c a folgt. Seien vl, . . . , y, E Y(R) die Primoberideale von 5

-

104 Math. Nachr. 168 (1994)

in R . Ware a c Sp, u ... u 'p,, so folgte R = a R c 'p, u ... u '$,, was offensichtlich falsch ist. Daher gibt es ein Element

i = 1

zR + 8 afT ist ein regulares Ideal, und nach Konstruktion gibt es kein ~ E . Y ( R ) mit zR + 8 c 'p. Daraus folgt zR + 8 = R , und nach i) ist

a, = zR + 8 E Ker ( p R ) .

Wegen a, c a ist a,a-' a R, und aus R = pR(aOa-') = a,a-'fT folgt a&' = R nach [lo], Theorem 9.3. Folglich ist a = a, = zR + 8.

Sei f 4 R ein regulares Ideal. Ein invertibles R-Ideal c E Y(R) heifit prim zu f, wenn c = ab-' rnit relullren Idealen a, b Q R, so da13 a + f = b + f = R. Mit 9,(R) c Y(R) bezeichne ich die Untergruppe der zu f primen invertiblen R-Ideale. 1st R ein Dedekindring, so ist Y,(R) die von den zu f primen regularen Primidealen frei erzeugte abelsche Gruppe.

0

Satz 9. p R : S ( R ) -+ Y(R) induziert eine Bijektion von der Menge der zu 8 primen regularen Primideale von R auf die Menge der zu 8 primen regularen Primideale von R und einen Gruppenisomorphismus

P R I 4s(R):yE(R) *

Insbesondere ist .Ys(R) die von den zu 8 primen regularen Primidealen von R j i e i erzeugtr abelsche Gruppe.

Beweis. Fur jedes regulare Ideal a Q R mit a + 8 = R ist aR + 8 = R (Satz 7 ) ; daher

Sei p E P(R), p + 8 = R und E B(R) rnit ji 2 pR. Dann ist j.i + 8 = R und p n R 3 p. Aus der Maximalitat von p folgt = (@ n R) R = p R ( p ) . 1st umgekehrt PEY(R) mit p + 8 = R gegeben, so folgt (wieder rnit Satz7) p = p n R E Y(R) , p + 8 = R und p = p R ( p ) . Daher induziert p R eine Bijektion von der Menge der zu 8 primen regularen Primideale von R auf die Menge der zu 8 primen regularen Primideale von R . Da Ys(R) von den zu 8 primen regularen Primidealen erzeugt wird, induziert p R einen surjektiven Gruppenhomomorphismus p R I 98(R) : .YE(R) .+ Yaw(@, und es bleibt nur noch Ker ( p R ) n Y,(R) = {R) zu zeigen.

Sei c E Ker ( p R ) n Ys(R), c = ab-' rnit regularen Idealen a, b a R, so da13 a + 3 = b + 8 = R. Dann folgt aR = bR, also (nach Satz 7 ) a = aR n R = bR n R = b und damit

folgt PR(Yn(R)) Y i J ( R ) .

n R = p, und Satz 7 impliziert

c = R . 0

6 4. Die Struktur der Klassengruppe

Dieser Abschnitt enthalt die Hauptresultate der Arbeit. Ich verknupfe die C-Klassen- gruppe @(R) einer Ordnung R rnit der Z-Klassengruppe @(R) des ganzen Abschlusses R von R (Satz 10) und rnit einer geeignet zu definierenden C-Strahlklassengruppe %'@) nach dem Fuhrer 8 von R (Satz 12). Dabei mu13 ich R als Z-komplett voraussetzen. Ich beginne rnit einem einfachen Hilfssatz.

Halter-Koch, Die Klassengruppe einer kommutativen Ordnung 105

Lemma 3. Sei R eine Ordnung, x der ganze AbschluJ von R in T ( R ) und 8 der Fuhrer von R. Seien cl, c2 E R mit c1 3 c2 mod 3 und c2 E R'. Dann folgt

Beweis. Sei c1 = c2 + b rnit b E 8. 1st x = clu E clR n R (mit u E R), so folgt

C1 x = - (c2u) und c2u = c lu - bu E R , c2

also

X E - R ( c 2 R n R ) . (1: ) 1st

- Z ( C ~ U ) E - R (c,R n R) = (1: ) (:: )

(mit z E R, u E R, c2u E R), so folgt

x = clzu = (c2u) z + buz E clR n R . 0

Satz 10.

i) Jede Klusse C E @(R) enthalt ein regulares Ideal c a R rnit c + 8 = R. ii) Definiert man

Sei R eine Ordnung mil Fuhrer 8; der ganze AbschluJ von R in T ( R ) sei C-kompfett fur eine Untergruppe C c T(R)" .

E : @(R) + @(R) durch &([a]') = [LIE]", so ist E ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, und es besteht die exakte Sequenz

1 + Wi(R) 4 (R/g)" %"(R) A V"(R) + 1 . Dabei ist ( R / s ) " die prime Restklassen modulo 8 in R ; f i r eine Restklasse a = a + 8 E (Rig) mit a E C n R sei @(a) = [aR n R]' E %"(R), und

.%g(R)= { c u + 8 E ( R / ~ ) x I c E ~ n R , u E C n R x ) .

Beweis. i ) Sei C E %"(R) und a E C. Nach Satz 5 gibt es ein regulares Ideal C 4 R rnit C + 8 = R und [:Iz = [aR]"; sei y E C rnit C = yaR. Nach Satz 7 ist C n R E #(R), C n R + 8 = R und C = (5 n R) R. Daraus folgt ya(5 n R)-' E Ker (pR), also nach Satz 8 y a ( c n R)-' = zR + 8 rnit z E R, so daR zR + 8 = R. Nach Satz 5 gibt es ein Element z' E C mit zz' = 1 mod 8, und ich setze

b = z'ya(t n R)-' = zz'R + z ' 8 c R .

Offensichtlich ist b a R ein regulares Ideal, und b + 8 = zz'R + 8 = R. Damit ist auch (C n R ) b ein regulares Ideal von R,

( 5 n R) b + 8 = R und [a]' = [b(C n R)]' = C .

Das Ideal c = b(c n R ) leistet also das Gewunschte.

106 Math. Nachr. 168 (1994)

i i) Wegen pR(aR) = a R fur alle a E C induziert p R einen Gruppenhomomorphismus E : W'(R) -+ %"(R).

Fur den Nachweis der Surjektivitat von E sei ~ E % ' ( R ) und F E Z ein regulares Ideal von R rnit t + 8 = R (nach Satz 5). Aus Satz 7 folgt C n R E 9 ( R ) und C = (7 n R ) R, also C = E ( [ C n R]").

Sei a E C n R und a + 8 E @IS)", also a E + 8 = R . Nach Satz 7 ist a R n R e 9 ( R ) und (aR n R ) R = aR, also [aR n R]" E Ker ( E ) c W'(R). Sind a,, a , E C n R mit a, + 8 = a , + S E (R /5 )" , so folgt a,R n R = - R (a2R n R) (nach Lemma 3), also t: 1 .'. [a,R n R]' = [a2R n R]' E %'(R). Da nach Satz 5 jede Restklasse modulo 5 ein Element aus R n C enthalt, gibt es einen Gruppenhomomorphismus 0 rnit @(a + 8) = [aR n R]" fur a E R n C mit a + S E (R i s ) " ) , und es ist Bi (0) c Ker ( E ) .

Fur den Nachweis von Bi (0) = Ker (E) sei C E Ker (e). Nach i) gibt es ein regulares Ideal c E C rnit c + 8 = R, und f u r dieses ist dann cR = cR rnit c E C n R . Nach Satz 7 ist c R +

Trivialerweise ist B!i(R) c Ker (0); fur den Nachweis der Gleichheit sei y E Ker (0); nach Satz 5 ist y = a + 8 rnit a E 2 n R , und es folgt a R n R = cR rnit c E C n R. Wegen y E ( R / S ) " ist aR + 8 = R, also cR = (aR n R) R = a R nach Satz 7. Es folgt a = cu rnit u E R " , u n d w e g e n a , c E Z i s t a u c h u E C .

-

= E, also c + 8 E (Rig)" , und c = cR n R, woraus C = 0 ( c + 8) folgt.

Ich komme nun zur angekundigten Definition verallgemeinerter Strahlklassengruppen. Sei A ein C-regularer Dedekindring fur eine Untergruppe C c T ( A ) ', und sei f 4 A ein regulares Ideal. Nach Satz 5 induziert die Einlagerung 9 f ( A ) 4 9 ( A ) einen surjektiven Homomorphismus 9 f ( A ) -+ %'"(A) rnit Kern %';(A) = &'(A) n Yr(A), und ich identifiziere %'((A) mit Yf(A) /#f (A) .

Ein Element c E T ( A ) " heine multiplikativ kongruent zu 1 modulo f,

c = l m o d " f ,

a b

w e n n c = - m i t a , b E A ' , s o d a B a + f = b + f E ( A / f ) " . I c h s e t z e

Ypf(A) = { c A I c E C, c = 1 mod" f} c %;(A)

und

g; (A) = 9f(A)/Y;(A) '

Ich nenne .!Y'f(A) den C-Strahl modulo f und %?;(A) die C-Strahlklassengruppe modulo f in A. Fur a E 9&4) sei [a]; E +$(A) die a enthaltende C-Strahlklasse modulo f.

Satz 11. Sei A ein C-rrgulurer Dedekindring fu r eine Untergruppe C c T ( A ) und f a A

i ) In jeder Strahlklasse C E $(A) giht es ein regulares Ideal c,, a A. ii) Definiert man 71: %';(A) -+ @'(A) durch x([a];) = [a]', so ist 71 ein surjektiver Gruppen-

ein regulares Ideal.

homomorphismus, und es hrsteht die exakte Sequenz

1 -+ %;(A) 4 (A/f) $$(A) * %?'(A) -+ 1

Halter-Koch, Die Klassengruppe einer kornmutativen Ordnung 107

Dabei ist (Alf) ' die prime RestklassengrMppe modulo f ~ n d

% [ ( A ) = { u + f ~ ( A / f ) ' l u E C n A " } ;

f i r a E ( A / f ) ' , a = a + f m i t a E C n A s e i O ( a ) = [aA][.

Beweis. i) Sei C E %?[(A) und c E C, c = ab-' rnit regularen Idealen a, b Q A, so daD a + f = b + f = A. Nach Satz 4 gibt es ein Element t E C, so da13 fur alle p E 9 ( A ) gilt:

v,(t) = 0, falls v , ( f ) > 0,

v,(t) 2 v,(b), falls u,(f) = 0 .

(Bezeichnungen wie im Beweis von Satz 5). Dann folgt ~ E A und t A + f = A, also gibt es nach Satz 5 ein t' E C n A rnit tt' = 1 mod f. Das Ideal co = tt'c leistet nun das Gewunschte.

ii) Nach Satz 5 ist n surjektiv. Sind a,, a, E C n A mit a , + f = a2 + f E (A/ ! ) ' , so folgt - A E .4pf(A) und daher

[a,A]f = [a&. Folglich ist 0 ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus; offensichtlich ist Ker (0) = @[(A) und Bi (0) c Ker (n). Fur den Nachweis von Bi (0) = Ker (n) sei C E Ker (R); nach i) ist C = [co]f rnit einem regularen Ideal, co a A, so daD co + f = A und co = c A rnit c E C. Daraus folgt c E A, c + f E (Rlf)" und C = 0 ( c + f ) .

a , a2

0

Satz 12. Sei R eine Ordnung mit Fuhrer 5. Der ganze Abschlufi x von R in T ( R ) sei C-komplett f u r eine Untergruppe C c T (R) ' . Dann besteht die exakte Sequenz

1 -+ %g(R) c+ .Bi(R) % %?@) 4X"(R) -+ 1 .

Dabei hat %i(R) die Bedeutung von Satz 11 u n d B i ( R ) die von Satz 10. Die Homomorphismen cp und IQ sind wie folgt gegeben:

Fur c E %?@) und ein regulares Ideal C E c sei

I Q ( ~ ) = [5 n R]" E %"(R) .

Fur a = a + 5 E B:(R) mit a E C n R sei

cp(a) = [ax]; E %;(I?). Be w ei s. Der Isomorphismus

[ P R I 9@)1- : -f$CR) j&v (vgl. Satz 9) induziert nach Satz 10 einen Epimorphismus

$G : cfT(E) -+ 4X"(R)

mit

Ker (6) = PR(Z'(R) n cyz(R))

und @(C) = [5 n R]" fur jedes regulare Ideal C a rnit t + 8 = R.

108 Math. Nachr. 168 (1994)

a

b Ich zeige nun Y@?) c Ker (6): Sei cR E Y;(R) mit c = ~ E C, a, b E R und a + 5

= b + 5 E (R@) x . Aus Lemma 3 und Satz 7 folgt

cR = (aR n R ) (bR n R)-' E &(R) n ZO"(R),

und cR = ,uR(cR).

Ker ( y ) = Ker (@)/Yi(R). Daher induziert @ einen Epimorphismus w:Vi(R) 4 V z ( R ) wie behauptet, und es ist

1st a, + 5 = a, + 5 E W i ( R ) mit a,, a , E C n R, so folgt !!RE Y i ( R ) ; daher ist a2

cp:Wi(R) + U@)

ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Offensichtlich ist Ker (9) = 4@), und Bi (cp) c Ker (y). Fur den Nachweis der Gleichheit sei c E Ker (w); nach Satz 11 ist C = [:I; mit einem reguliiren Ideal

F a R , c + $ = R und T n R = c R ,

wobei c E C n R. Aus Satz 7 folgt

F = ( T n R ) R = c R und c R + g = R ,

also c + 5 E W i ( R ) und = cp(c + 5). 0

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Franz Halter-Koch Instilut fur ~ a t h e ~ a t i k Karl-Franzens- Universif at Heinrichstrasse 36/1V A-8010 Graz, Osterreich