Die nachbildung von Magnetisierungskurven durch einfache algebraische oder transzendente Funktionen

Archly itir 2~6 J. FISCheR u. J~I. MosI~R: Die Nachbildung yon Magnetisierullgskurven usw. Elektrotechnik

Die Nachbildung von Ma~,netisierungskurven durch einfache algebraische oder transzendente Funktionen

Voi~

J . FISCHER u n d H. Mos~I~

Mit 15 Textabbildungen

( E i n g e g a n g e n a m 25. N o v e m b e r 1955.)

Inhaltslibersicht. L Gegenstand und ZieI der Untersuchung. -- 2. ~ 'echselstrommagnetis ierungsknrven. -- 3. Allgemeine Gesiehtspunkte. VergleichsmaB far die Gtite yon N~herungen. -- 4. N~.tlernngsbereiche. -- 5. N~laerungen flit den Anfangsbereich. -- 6. Einfaehe N~iheru~gen ftir den Gesamtbereich. -- 7. N~iherungen ffir den Hauptbere ich: a) N~herungen, die Exponent ia l funkt ionen oder mi t diesen verwandte Funkt ionen be- nutzeI~ ; b) N~herungen, die hyperbelar t ige Nurven benutzen ; c) NSherungen dutch Potenzen und Summen yon Potenzen; d) N~iherungen mi t t i i l fe yon Eou~I~R-Summen; e) Tabeliarische ~dbersicht der untersuchten Nach- bi ldungen (Ersatzfunktionen).

1. Gegenstand und Ziel der Untersuchung

M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n w e r d e n d u r c h M e s s u n g e n g e w o n n e n . G e l i n g t es, e ine g e g e b e n e e m p i -

r i s c h e M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e m i t a u s r e i c h e n d e r G e n a u i g k e i t z u e r s e t z e n d u r c h die K u r v e e ine r

g e n t i g e n d e i n f a c h e n a l g e b r a i s c h e n o d e r t r a n s z e n d e n t e n F u n k t i o n , so w e r d e n h / iu f ig A u s s a g e n

u n d F o l g e r u n g e n m 6 g l i c h , d ie n i c h t a u f e i n e n v o r g e l e g t e n E i n z e l f a l l be sch r~ ink t s i nd , s o n d e r n

e ine gr613ere M a n n i g f a l t i g k e i t u m f a s s e n ; d a d u r c h k a n n w i e d e r d ie B e h a n d l u n g e ines E i n z e l f a l l e s

e r h e b l i c h e r l e i c h t e r t w e r d e n . H i e r i n l i eg t h e u t e d e r e inzige , z u w e i l e n a b e r d o c h be t r~ i ch t l i che

N u t z e n d e r a n a l y t i s c h e n E r f a s s u n g e m p i r i s c h e r M a g n e * i s i e r u n g s k u r v e n . E i n i g e Be i sp ie l e m 6 g e n

d i e s e n S a c h v e r h a l t e r l / i u t e r n :

1. Die Hystereseschleife ha t bei sehr kleinen magnetischen Aussteuerungen die Gestalt einer schr~tg liegenden I2anzette. Stell t man nach RACLEIGI~ ihre Aste dar dutch Parabeln zweiten Grades, so kann man zum Beispiel die Hystereseflfiche (den spezifischen Hystereseverlust) und die nicktl inearen Verzerrungen (die Ober- sckwingungen) in a l lgemeinen Zeickert ausdrticken, man kann daher fiber diese beiden Erscheinungen allgemeine Aussagen machen, die ftir a l l e F~tlle gtiltig sind, die innerhalb der Voraussetzungen liegen. Im Gegensatz dazu s teht im allgemeinen ein befriedigel~der anaIytischer N~heru~gsausdruck nicht zur Verfiigung, wenn bei grol3en magnetischen Aussteuerungen die Hystereseschleife bis ins S~ttigungsgebiet geht. Man kann dann wohl ftir einen gegebenei1 Einzelfall die Hysteresefl~che durch Planimetr ieren und die Verzerrungen dutch punktweises Konstruieren gewinnen; die gefundenen Ergebnisse haben dann individuelle Bedeutung itir diesen E f n z e l f a l l ,

aber keine allgemeine. Bei AnderuI~g irgend eines Parameters mnB die Arbei t noch einmal vorgenomlnen werden.

2. Is t q0 der magnetisehe Flul3 einer Spule, die die Stromstgrke I ~fihrt, und is t die Permeabili t / i t des Eeld- raumes unabh~ngig yon der magnetischen FeldstXrke, so is t die Energie des magnetischen Feldes Wm = o,5 ~b I und die Selbst induktivi t / i t is t L = # / I = const v Is t Eisen im Feldraum vorhanden (,,geschlitzter magneti- scher Xreis"), so is t der Znsammenhang zwisehen # und f n icht Iinear. Es sei mOglich, diese Funkt ion mi t ausreiehender Genanigkeit durch eine einfache Parabel h6heren Grades darzustellen: ~ = k 11/~ mit zwei Konstanten k und n. Dann is t die magnetische Eeldenergie

C~I W,,~ -- (L 1 }

$~+ 1 '

die totale Selbst induktivi t~t is t L t = k I ~ / n - * und die differentielle L d = L t / n .

Zum Beispiel wird mi t dem ~Vert n = 9, der gelegentlich brauckbar is t :

Ws, = o,1 (P I , L t = k I -s/a , L d = L t / 9 .

Natiirlich is t dieser Ersatz durch eine P~,rabel nur summarisch, er befriedigt zum 13eispieI nicht im Nultpunkt .

3. Wenn die StromstS.rke in einer Wicklmag sinusf6rmig verl~tuft: I = I sin rs t, so ist bei Anwesenkeit yon Eisen im magnetischen Peld die Klemmenspannung verzerrt ; sie ist oft im wesentlichen durch d~b/dt gegeben.

XLII. Band H e f t 5 - i956 J. FISCHER U. H. iViOSER: Die Nachbildung yon Magnetisierungskurven usw. 287

Es sei ausreichend genau, den Zusammenhang zwischen StromstSxke I u n d Flul3 ~b durch einen tIyperbelast darzustellen :

La I _ 0.2)

L~ i~u~I

Hierin sind L a und ~0 s zwei Konsta, nte yon anschaulicher Bedeutung: fiir I = o ist d ~ ) / d I = La, diese An- fangstangente kSnnen wir daher als Anfangs-SelbstinduktivitXt (der Ersatzkurve)auffassen; Itir I - + =L- oo wird #--> �9 #s diese t(onstante k6nnen wir daher als den S~ittigungswert des Flusses betrachten 1. Dann ist

d# ~ L~ I cos ~o t u L a ~ )2 (t'3)

1 ~ s l s i n o ) t

Der Ersatz der empirischen Magnetisieru~gskurve hat also zu einem allgemeinen Ausdruck ffir die Klemmen- spannung gefiihrt; so welt diese NS.herung befriedigend ist, ist es nicht mehr n6tig, im gegebenen Einzelfall die Klemmenspannung aus der empirischen Einzelkurve punktweise zu bestimmen. Die Verzerrungen (die h6heren Harmonischen) der Klemmenspannung werden nach (i.3) durch das Verh~itnis .La/q~ s der Anfangs-Selbst-

induktivitS~t zum S/itti~ungsfluB und durch die Amplitufe I der sinusf6rmigen StromstSske bestimmt. Natiir- lich 1513t sich auf dieselbe Weise auch ein Ausdruek ftir die Stromschwingung bei sinusf6rmiger Spannungs- schwingung gewinnen 2.

In einer vorangegangenen gr6Beren Studie ist gezeigt worden [1], dab und wie es m6glich ist, die Z u s t a n d s k u r v e n r e m a n e n t e r M a g n e t e (das sind die ~iuBersten Hysteresekurven im !I. Quadranten) im ganzen Bereich zwischen Remanenzinduktion und Koerzitivfeldst~irke durch Kurven zweiten Grades anzun~ihern, und es konnten daraus verhiltnism~il3ig weitreichende Folge- rungen gezogen nnd recht allgemeine Aussagen gemacht werden. Dies war ein AnlaB daftir, eine kritische Untersuchung der zahlreichen Vorschlfige zu versuchen, die ftir den n/iherungsweisen Ersatz der M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n v o n w e i c h e m E i s e n gemacht worden sind. Voll- stindigkeit ist dabei weniger erstrebt worden, als vielmehr ein zusammenfassender ~berblick tiber die Anwendungsm6glichkeiten der Ersatzfunktionen, fiber die mit ihnen erreichbaren Ge- nauigkeiten und fiber den Aufwand, der notwendig wird, um sie im gegebenen Fall zu bestimmen [2]."

2. Wechselstrommagnetisierungskurven

Von der Magnetisierungskurve (im Gegensatz zu der Hystereseschleife) spricht man, wenn der Zusammenhang zwischen der magnetischen Induktion B und der magnetischen Feldst~trke H ein d e u t i g is t : B = B(H) ist eine eindeutige, steigende, stetige Funktion, dB/dH ist positiv, ftir H = o ist B = o, ftir immer mehr wachsendes H steigt B nurmehr wenig und (fast) linear mit H an (S~ittigung). - - Zwar ist die Darstellung B = B(H) die am meisten verbreitete, jedoch durch- aus nicht immer die zweckm~il3igste. Auch die inverse Funktion H = H(B) wollen wir Magneti- sierungskurve nennen.

Die Wechselstrommagnetisierungskurven pflegt man so aufzunehmen, dab entweder die Feld- st~irke H oder die Induktion B eine sinusf6rmige Schwingung ist. Die Magnetisierungskurven hfingen nattirlich stark davon ab, welche Gr6Ben der beiden Schwingungen H und B man einan- der zuordnet. Es k6nnen gemessen werden: die Scheitelwerte H~x, B~x (mit dem Vektor- messer), die arithmefischen Mittelwerte einer halben Periode Hfi,, Bzi, (mit dem Vektormesser), die Effektivwerte Hqi, B,// (mit thermischen MeBger~tten oder mit Pr~zisionsdreheisenger~iten),

t Man kann die Konstante ~b s = L s Is schreiben und dadurch den Ausdruck ftir # noch allgemeiner ge- stalten (L s ist die Selbstinduktivitgt im Sittigungsgebiet, in welchem I > Is ist). Im Nenner yon (1.2) und yon (1.3) gilt das positive Vorzeichen fiir I ~ o, das negative fiir I ~ o.

2 Dazu ist es unerlif31ich, den (schwachen) linearen Anstieg yon O) mit I i m S~ttigungsgebiet durch ein lineares Glied ~_ L s I in (i.2) zum Ausdruck zu bringen. Stets ist L s ~ L a.

Archiv f/ i t 2 8 8 J . F i s c ~ z R u . H . M o s s R : D i e N a c h b i l d u n g y o n ~ { a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n u s w . E l ek t r o t echn i k

schlieB]ich die Etfektivwerte der Grundschwingungen H~ff, B~# t. Bild 1 zeigt als BeispieI die starken Unterschiede. Nessungen mit beliebigen Gleichrichterinstrumenten, deren Kurvenform- fehler nngenfigend bekannt sind, sollten ausgeschIossen werden. - - Die Darstetlung yon B ..... als Funktion yon H~f/ ist in der Literatur besonders verbreitet. Verschiedene Gr613en yon Ober- schwingungen k6nnen denselben Effektivwert der Gesamtschwingung ergeben; dieselben Ober- schwingungen kannen bei verschiedener Phasenlage verschiedene Seheitelwerte ergeben.

Wit bezeichnen und benutzen im folgenden als Wechselstrommagnetisierungskurve die Zu- ordnung tier Scheitelwerfe B,,~ und H~,~ zueinander. Diese Kurve ist erstens physikalisch klar definiert: sie ist der geometrische Oft der Spitzen der Hystereseschleifen, die durchlaufen

f/.__~ werden, sie ist zweitens sauber

kG

10

~g 6

z~

,/4 _ _ 4_---- - ~ " . - ~ - ' ~ - - ~ ~ - - -,

5 10 15 20 ~ ~5

B i l d L Wechse l s t rom-Magne t i s i e rungskurven desselben Mate r i a l s (E lek t rob lech m i t 4 , i % Si) bei verschiedenen Def in i t ionen yon H . K u r v e i : B n, a x als F u n k t i o n yon Hn, ax~ I (u rve 2 :

BmrLx als F u n k t l o n von He / / , I ( u r v e b : /~i'ma,~ a l s F u n k t i o n vori Hie//, Nur~re 4 : Bma ~ Ms F u n k t i o a von Hli~.

mel3technisch erfagbar (zum Beispiel mit dem Vektormesser).

Bild 2 zeigt als Beispiel die Wechselstrommagnetisierungs- kurven dreier mit Silizium legier- ter Eisenbleche des Elektro- maschinenbaus (aufgenommen bei technischer Frequenz, Mit- telwert aus l~ings und quer zur \u gesehnittenen Btechen, Dicke o,5 mm) mit den handelsfiblichen Bezeichnungen

1. Elektroblech II (~{ax- Hfitte P 7i7) mit etwa 2,8% Si,

2. Dynamoblech III (SSW), 3. ElektroblechC37 (ASEA)

mit etwa 3,5 % Si.

Die Kurve 3 kann als verh~iltnis- m/il3ig typischer Mittelwert an- gesehen werden.

Die Wechselstrommagnetisierungskurven technischer Elektrobleche haben, bei betricht- lichen Unterschieden im einzelnen, doch untereinander ~ihnlichen Verlauf. Das GegenteiI gilt ftir die Speziallegierungen, die insbesondere fiir die Zwecke der Schwachstromtechnik entwickelt worden sin& Bild 3 vermittelt einen Uberblick. Hier etwa f/Jr die Kurve 6 eine brauchbare N~iherung zu sehaffen, ist ersichtlich vie1 schwieriger, als zum Beispiel fiir die Kurve 3 in Bild 2.

,t I 0 111 15 ~0 ~ ~5

Bi ld 2. \~Techselstrom-Magnetisierungskm'veI1 technischer E lek t rob!eche yon typischeln Verlauf .

B i ld 3. Magne t i s i e rungskurven yon Speziallegie~mger~ fflr Zwecke t ier Schwachs t romtechn ik : 1 I soperm Vak. H a n a u ; 2 H y p e r m 766 Wid i a ; 3 H y p e r m 36 Wid ia ; 4 H y p e r m 1 T Widia ;

5 H y p e r m 5o T Wid ia ; 6 5ooo Z Vak. H a n a u ; 7 T r a f o p e r m N 2 Vak. H a n a n .

1~ / / i

I

0 0,?, 0,# 0,6 13,8 1,[I ~ 1,g

B i l d 3.

XLII. Band Heft 5 - - J 9 5 6 J . FlscH~a u. H. ~VIOSER: Die Nachbildung yon l~lagnetisierungskurven usw. 289

3. Allgemeine Gesichtspunkte. VergleichsmaG f/Jr die Gtite der Niiherungen

Eine N~iherung braucht nicht genauer zu sein, als der Unsicherheit entspricht, mit der die Magnetisierungskurve gemessen worden ist und bei wiederholter Herstellung des Materials (Le- gierungscharge, Behandlung und Verarbeitung) reproduziert werden kann. Auch dem MeBver- fahren muB, wie erw~hnt, Aufmerksamkeit geschenkt werden; die Angaben hieriiber sind in vielen Druckwerken unzureichend. Die Brauchbarkeit einer N~herung wird ferner nicht atlein durch ihre Abweichung yon der darzustellenden Magnetisierungskurve bestimmt, sondern auch yon dem ffir ihre HersteJlung erforderlichen rechnerischen oder zeichnerischen Aufwand, schHeB- lich auch noch yon dem Zweck, dem sie dienen soll, und der Leichtigkeit ihrer raathematischen Handhabung. Mit Recht werden Technik und Theorie nur yon sochen Ersatzfunktionen wirk- lich Gebrauch machen, die in ihre r Herstellung und in ihrer Anwendung mathematisch nicht zu aufwendig, schwerf~!lig oder uniibersichtlich sind.

In mathematischer Hinsicht liegt zum Beispiel der Gedanke nahe, eine o p t i m a ] e N ~ h e r u n g durch folgendes Verfahren zu gewinnen: es sei y(x) der in einem IntervaI1 a _< x ~ b als stetige I(urve empirisch gegebene Zusammenhang und Y(x) die gewXhlte Ersatzfunktion, eine algebraische oder ~ranszendente Funktion also, die eine Anzahl noch unbestilnmter t(oeffizienten enth~lt. ])ann kSnnte man als optimale N~herung die betrachten, ffir ciie das Integral

b J = f (y -- Y)~ dx (3.1)

ein Minimum wird. Aus dieser Vorschrift I~13t sich ein System yon Gleichungen gewinnen, mit dem die unbe- s t immten IZoeffizienten in Y(x) eindeutig best immt werden k6nnten. In diesen ]3estimmungsgleichungen treten dann nattirlieh best immte (zwischen den Grenzen a und b genommene) Integrale auf, die nur graphisch 1 ermittel t werden k6nnen, da ihre Integranden die nur empirisch als Knrve gegebene Funktion y(x) enthalten. In dieser Tatsache liegt die Schwierigkeit ftir die praktische Anwendung dieses mathematisch so einfach schei- nenden Verfahrens. Schon bei recht einfachen Ersatzfunktionen, etwa einem Polynom mit drei Gliedern, wird das Verfahren so aufwendig, dab man es im aIlgemeinen nicht anwenden wird 2. Auch wenn man das Integral (3.1), dutch eine Summe aus endlich vielen Gliedern ersetzt, bleibt dieses Verfahren hOCk verh~ltnism~Gig recht umstgmdlich [2].

Die Anwendung von N/therungen wird h~iufig erleichtert, ihre Genauigkeit wird erh6ht, wenn der gesamte anzun~ihernde Bereich in mehrere Teilbereiche aufgeteilt wird und wenn ein Teilbe- reich herausgegriffen werden kann. An diese beiden Vorgehen hat man sich anderswo l~ingst ge- w6hnt, zum Beispiel in der Beschreibung yon MeBgleichrichtern oder der Kennlinien yon Elek- tronenr6hren 3.

Ein einfaches, mSglichst allgemein anwendbares Ver- gleichsmaB ffir die B e u r t e i l u n g der Gfite yon N~iherungen hat bis heute merkwiirdigerweise gefehlt. Ein solches MaB soll nicht nur bei verschiedenen L~ngen b--a des Intervalls einen Vergleich gestatten, sondern auch bei verschiedenen Lagen des Intervalles, denn es ist ersichtlich, dab eine N~iherung, die das ganze Gebiet starker und ungleichm~iBiger Kriimmung der Magnetisie~rungskurve erfassen soll, viel schwieriger herzustellen ist, als eine N~therung im S~ittigungsgebiet, wo die Magnetisierungskurve sich yon einer Geraden nur noch sehr wenig unterseheidet. Das davon, wohin das Intervall gelegt wurde und wie groB es ist, liegenden N/iherungsfunktion gestatten.

~Z X' .-

Bild 4. Zur Definition der G/itezahl K.

VergleichsmaB soll also unabMngig ein Urteil fiber die Eignung der vor-

1 ocler numerisch. 2 0 b e r eine Vereinfachung im Rechnungsgang siehe H. voN SANDEN, Praktische iV[athematik, 4. AufI.,

Stuttgart 1956] S. 13 o. 3 Abgesehen yon der Teilung in Anlaufstrombereich, Raumladulagsstrombereich und S~ttigungsstrombe-

reich, der nicht den Sinn der Wahl yon Ersatzfunktionen hat, ersetzt man bekanntlich fiir gewisse Zwecke eine gegebene Kennliniein einem gegebenen 13ereich zum BeispieI durch eine Parabel, oder dutch eine ganze rationale Funktion, oder durch eine Exponentialfunktion oder eine Summe solcher. Gerade n i t Hilfe des Ersatzes durch Exponentialfunktionen ist es zum Beispiel M. STR~;TT gelungen, zu recht weitreichenden allgemeinen Aussagen zu kommen [3]-

Arehiv f. Blektrotechnik. XLII. Band, 5. Heft. 21

Archiv fiir 2 9 0 ] . FlSCI~ER U. H. MOSE~: D i e N a c h b i l d u n g yon M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n usw. Elektrotechnik

Die folgende Definition kommt dieser Forderung entgegen (Bild 4): Es seien wieder y(x) die empirisch gegebene, anzun~ihernde Magnetisierungskurve, Y(x) die Ersatzkurve, a und b die Intervallgrenzen, daher y, nnd Yb die Werte der gegebenen, anzun~hernden Funktion an den Grenzen a und b, Y~ und Yb die Werte der Ersatzfunktion dort. Durch die empirische Kurve y, dutch die Strecke b--a auf der Abszissenachse und die Ordinaten y~ und Yb wird eine Fl~iche/1, berandet, und ebenso wird durch die N~herungskurve Y, durch die Strecke b--a auf der Abszis- senachse nnd die Ordinaten Y~ und Yb eine Fl~iche/e berandet. Die Differenz wollen wir die ,,Fehlerfl~che" nennen:

b

/ = 1 / 1 - / 2 1 = f ( Y - - Y ) dx . (3.2) I

Als einfachste und schlechteste N~therungskurve wird man praktisch stets die Verbindungsgrade g zwischen den Punkten A und B der empirischen Kurve y anzusehen haben~ Die Gerade g und die empirische Kurve y, die die Punkte A und B gemeinsam haben, b~randen eine Fl~che

b

F = y dx Z (b a) (Yv + Y~) (3.3)

und einen gr6Beren Wert, als F, hat man ftir die Fehlerfl~iche / nicht in Betracht zu ziehen, weil die Gerade g als schlechteste N~therung gelten soll. - - Dann ist das Verh~lfnis der Fehlerfl~iche / zu ihrem gr613ten in Betracht zu ziehenden Wert F eine Kennzahl

/ K _ F , (s.4)

die weitgehend den oben gestellten Forderungen entsprieht, yon der Lage und der L~inge des !ntervaIles unabh~ingig zu sein (in Bild 2 ist die Fl~iche / waagerecht, die FI~iche F schr/ig schraf- fiert): Im allgemeinen wird man im gegebenen Fall den Wert yon K dadurch gewinnen, dab man die beiden Fl~ichen / n n d / ; dutch einfaches Planimetrieren bestimmt. Nach dieser Definition liegt K zwlschen o und 1. Im Fall K = 1 hat die Fehlerfl~iche / ihren gr6Bten in Betracht zu ziehenden Werf F, der Idealfall K = o trit t ein, wenn die Fehlerfl~che / verschwindet.

4. Niiherungsbereiche Die meisten Vorschl~ige daftir, wie eine Magnetisierungskurve n~iherungsweise ersetzt werden

sol1, sind ffir Magnetisierungskurven gemacht worden, die den einfachen Verlauf (Bild 2) zeigen. Wechselstrommagnetisierungskurven dieser Art dienen daher im folgenden in erster Linie als Beispiele.

Welche N~iherung vorteilhaft sein kann, richtet sich bei diesem Kurvenverlauf u n t e r an- d e r e m nach der GrSBe der magnetischen Beanspruchung. Wir unterscheiden drei MSglichkeiten :

A. den Anfangsbereich: die magnetische Beanspruchung ist so klein, dab die Kurve vom Nuilpunkt an bis etwa in das Gebiet der steilsten Kurventangente in Betracht kommt;

B. den Hauptbereich: die magnetische Bean@ruchung geht bis an das S~ittigungsgebiet heran. Dies ist der technisch wichtigste Fall. Will man in diesem Gebiet den Kurvenverlauf, insbesondere die wechselnde Krtimmung, gut ann~,hern, so werden oft Ersatzfunktionen erforderlich, die nicht einfach gebaut sind. Die Anfangskrtimmung der Kurve spielt jed0ch oft nur eine untergeordnete Rolle;

C. den Gesamtbereich: die magnetische Beanspruchung geht in das S~tttigungsgebiet hinein. Es kommt weniger darauf an, den Kurvenverlauf im einzelnen besonders genau zu erfassen, als vielmehr darauf, entweder die Einmtindung in das S~ittigungsgebiet und den Verlauf dort gut darzustellen, oder aber darauf, eine mathematisch einfach gebaute und einfach zu handhabende Ersatzfunktion zu linden, die den Verlauf in Bausch und Bogen (summarisch) gentigend genau wiedergibt.

I m B e i s p i e l d e r K u r v e 3 i n B i l d 2 ( B l e c h C 37) w t i r d e de r A n f a n g s b e r e i c h e t w a y o n H = o b i s H = 1 b i s 2 A / c m , B ~ 8 k O zu l e g e n se in , d e r t - I a u p t b e r e i c h e t w a b i s H = 25 A / c m , e n t s p r e c h e n d e t w a B = 19 kG, de r G e s a m t b e r e i c h w ~ r e e t w a y o n H = o b i s H = 300 A / c m , e n t s p r e c h e n d B = o b i s etwa, 25 k G a n z u s e t z e n (in S o n d e r f ~ l l e n s o g a r b i s e t w a H = 3ooo A/cm) .

XLII. Band Heft5 - - ~ 9 5 6 J . F ISCHER 12. H . !V~OSER: D i e N a c h b i l d u n g v o n M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n u s w . 2 9 l

Die Gleichungen in den Iolgenden Abschnitten k6nnen ausnahmslos als Z a h l e n w e r t g l e i - c h u n g e n aufgefaBt werden, in denen B den Zahlenwert der magnetischen Induktion in kG nnd H den Zahlenwert der magnetischen Feldst~irke in A/cm bedeutenL Soweit die Gleichungen in allgemeinen Zeichen geschrieben sind, k6nnen sie teils als Gr6Bengleichungen verstanden, teils ohne weiteres in solche nmgeschrieben werden.

5. Ni iherungen fiir den Anfangsbere ich

Die Anfangskr0mmung der lViagnetisierungskurven wird durch den einfachen Ansatz

B = a H ( 5 a )

mit zwei Konstanten a und n genfigend genau erfaBt. Ftir den Exponenten n findet man Werte yon 2 bis 4. Je kleiner die magnetische Beanspruchung wird, desto genauer wird n = 2. Man kann anch den Ansatz (5.1) durch ein lineares Glied erweitern. Jedoch ist dieses Vorgehen im Anfangsgebiet dann ein unnStiger Aufwand, wenn, wie es h~iufig der Fall ist, dort die Magneti- sierungskurve nur mit geringer Sicherheit bekannt i s t Der Ersatz durch eine Ursprungsgerade, der in der Starkstromtechnik gdegentlich vorgenommen wird, kann ftir den Hauptbereich und noch mehr ffir den Gesamtbereieh im gegebenen Fall ausreichen, ffir den Anfangsbereich alldn ist er natfirlich nich+ befriedigend.

6. Einfache Nfiherungen fiir den Gesamtbereich

Einfach und oft genfigend genau ist der summarische Ersatz durch eine allgemeine Parabel

I4 = a B", (6a)

deren Konstanten a und b in bekannter Weise, zum Beispiel durch Anwendung von doppelt- togarithmischem Koordinatenpapier (Potenzpapier) ermittelt werden kSnnen. Dieser Ansatz kann auch ffir ein begrenztes I ntervall eine gute N/iherung sein. Im Nullpunkt versagt er. Eine Verfeinerung yon (6.1) zu b

B = a H ~ - - - - (6.2) H

mit drei Konstanten a, b nnd m liefert brauchbare Ergebnisse, ist aber umst~indlicher in der Her- stellung und in der Handhabung. - - In Bild 5 sind die Wechselstrommagnetisierungskurven verschiedener Elektrobleche mit doppeltlogarith- mischer Achsenteilung dargestellt (damit die Zeich- nung deutlich bleibt, sind die einzelnen Kurven in Ordinatenrichtung gegeneinander verschoben). Man erkennt, dal3 in einem bemerkenswert weiten Be- reich der einfache Potenzansatz (6.1) eine ausrei- chende N~iherung sein kann. Die Konstanten haben etwa die Zahlenwerte a ~ o,8 und n ~ 1 4 ffir H ungef~hr zwischen lo und 3o A/cm. Bild 5 a zeigt ein Beispiel ffir die Nachbildung durcb eine einfaehe Parabel zwisehen zo und 3ooo A/cm. Oberraschend ist vor allem, dab der Exponent n ffir die verschie- densten Blechsorten ungef~ihr derselbe i s t GroBe praktische Bedeutung hat dieser Zusammenhang wohl deswegen nicht, well das Intervall, in welchem er brauchbar ist, nicht oft mit dem Intervall fiber-

o L Schwa& E-Bl~ch G%S'~

~ S~hweIE- glech C37

P A T ~ ~

~ ~3ynamablech ~7 ~SW

P h q ~ :

i i i i I , i i i i 1 1 1 1 1 i i i i ! 5 6 7 8 9 10 15 ~0 A 30

Bild 5. ~agtmtisierungskurven in d0Ppeltlogarithmischer Darstellung.

einstimmt, das bei prakti- a0 vo omm

rabel in einem weiten Bereich : / ] ,B = 11,576 �9 H ~176176176 fQr H = Io eta bis 3ooo A/cm, G/itezahl K < %oz. I t Elektroblech C 37. Die Punkte der 1[12~ '

Magnetisierungskurve sind durch Kreise ~u a 3 4 5 fl 7 8 9100 Z 5 4 5 6 7 8 95000 ~ 3 4 5 angedeutet /~'

V s V s A lO 2 A = 4 --- = - - O e r s t e d ; 4 ~ = i 2 , 5 6 6 ..- 1 k G K i l o g a u B l o 3 G = -5 _ _ _ = l o - 1 ~ - ~ ,

i0 Crn2 cm In i0

2:1"

Archiv Itir ~99, ]. ~ISCH~R U. H. MoSEt~: Die Nachbi ldung yon Magnet is ierungskurven usw. Elektroteehnik

Nit gutem ErfoIg lassen sich im Gesamtbereich auch Hyperbeln anwenden, etwa

b B = ~ - - ~ (63)

mit zwei Konstanten a und b, und noch weiter komlnt man nattirlich mit Fovl~iER-Summen. ~3ber beide Verfahren wird im n~ichsten Abschnitt berichtet.

Werden feinere Ann~iherungen im Gesamtbereich gefordert, so mul3 man diesen teilen und in den einzelnen Teilbereichen N~herungen anwenden, die diesen angepaI3t sin& Eine Teilung in zwei oder drei Bereiche geniigt meist.

7. Niiherungen besonders fiir den Hauptbereich

a) N~ihe rungen , die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e n o d e r m i t d i e s e n v e r w a n d t e F u n k - t i o n e n b e n u t z e n .

In Bild 6 sind die Wechse!strommagnetisierungskurven mehrerer Elektrobleche halblog- arithmisch dargestellt (mit verschiedenen Ordinatenmal3st~iben). Man sieht, dab nur vergleichs-

weise sehr kurze Nfiherungsstacke durch k~ Geradenstticke ersetzt werden k6nnen. Die

Ann~iherung durch die einfache Exponen- tialfunktion, etwa

H ----- a �9 e b ~ ( 7 . 1 )

mit zwei Konstanten a und b ist also hSch- stens ftir kleine Intervalle befriedigend, und dasselbe gilt daher auch Itir die Funk- tion

B = a ( 1 - - e ~B), (7.2)

l die zudem ist. wenig anpassungsf~hig Natfirlich kann man daran denken, durch eine Summe yon Exponentialfunktionen anzunfihern"

H = a 1 e bib + a2e~B + . . . . (7.3)

Dieser Ausdruck erscheint schmiegsam, weil jeder Posten zwei passend zu be- stimmende Konstanten enthfilt. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Kon- stanten 1 wSchst mit derAnzahl der Glieder und steht oft in keinem befriedigenden

0 ~,0 10 100 ~ 1000 t / ~ c~ Verh~ltnis zur erreichten G~ite der Nach-

Bild 6. Magnetisir~rungskurven in halblogarithmiseher DarstelIung. Damit bildung. die Kurven voneinander unterschieden werden k6nnen, sind in der Ordi- natenriehtung verschiedene (lineare) Maflst~ibe angewendet. An jeder I~2urve Auch N~herungen vom Bau sind die Punkte B ~ 5, lo und 15 kG an gemerkt. - - Materialien: 1 Elektro- blech I 0,5 mm (Lieferwerk: Maxhtitte); z Elektrobleeh I t o,5 mm (Liefer- werk: Maxh'/itte); 3 Elektrobleeh I I I o ,5mm (Lieferwerk: Maxhiitte); 2r~r : l~(ebB~'--1) / 4 Elektrobleeh IV o,5 mm (Lieferwerk: Capito u. Klein) ; 5 Elektrobleeh IX" a - ' o,35 mm (Lief . . . . . . . k Capito u Klein); 6 Speziallegi . . . . . g o,5 ram; 7 Dyname- (7-4) bleeh IV 0,5 mm (Lieferwerk: Siemens) ; 8 Elektrobleeh 0,5 mm (Schwedisehe 1 [

Lieferfa.); 9 Elektrobleeh 0,5 mm (I ieI . . . . . . . k : aE~. B : ~- l/ln (a H 4- 1)

mit zwei Konstanten a und b sind vorgeschlagen worden. Sie sind jedoch ftir gewShnliche Magne- tisierungskurven (Verlauf wie Bild 2) im allgemeinen wenig befriedigend. Die Funktion (7.4) 1/iBt sich dem individuellen Krtimmungsverlauf einer gegebenen Magnetisierungskurve schlecht an- passen. Zudem ist es umstfindlich, die individuellen Konstanten a und b zu bestimmen.

1 Vergleiche zum Beispiel FR. A. ~7~ILLERS, _~.~ethoden der prakt ischen Analysis. Berlin 195 o, S. 243 u. f., ~. STRUTT [3]"

XLII. Baild Heft5 --1956 J. FISCHER U. H. ~V~OSER: Die Nachbi ldung yon Magnet is ierungskurven usw. 293

Verh~iltnism~iBJg h~iufig in der Literatur ist der Ersatz durch die Funktion Areasinushyper- bolicus und durch die Funktion Arcustangens, well diese Funktionen rechnerisch leicht zu hand- haben sind:

B -- a �9 ar sinh b H , b H = sinh B/a (7.5)

und

B = a �9 arc tan b H, b H = tan B/a (7.6)

mit zwei Konstanten a und b. Um diese zu bestimmen, kann man vorschreiben, dab die empirisch gegebene Magnetisierungskurve B = B(H) mit der ] irsatzkurve in zwei Punkten oder in einem Punkt und einer Tangente iibereinstimmen soil Man erh~ilt so zwei transzendente Glei- chungen fur die Bestimmung yon a und b. Wesentlich einfacher lassen sich die Konstanten dutch ein graphisches Probier-Verfahren finden, das wir K u r v e n d e c k u n g s v e r f a h r e n nennen wollen. ]is besteht darin, dab die zu ersetzende Kurve in geeigneter Weise normiert und darauf durch Probieren mit der Ersatzkurve zur Deckung gebracht wird. (Dieses Verfahren l~igt sich zum Beispiel auch bei den Zustandskurven remanenter Magnete mit Erfolg anwenden) 1. Macht man Gebrauch yon logarithmischen MaBst~iben, so kann es gelingen, dab die Konstanten a und b einfach als s trecken in der Figur abgemessen werden kSnnen.

Wir zeigen das Verfahren an der ]irsatzfunktion (7.5). Damit die Funktion

y = log z, x = log (sinh z) (7.7)

eine Parameterdarstellung der Funktion (7-5) ist, mug offenbar sein

B y log - - , x = log b H , (7.8) a

Wit nennen die zeichnerische Darstellung der Funktion (7.7) ,,Grundkurve" und die zeichnerische Darstellung der empirisch gegebenen Magnetisierungskurve B = B(H) in der Parameter- darstelhmg

= log B, ~ = log H (7.9)

,,Deckkurve". Wenn die Koordinatensysteme der beiden Kurven gleich sind: y = ~, x ---- ~, so decken sich im allgemeinen diese beiden Kurven nicht. Man verschiebt nun ohne Drehung das Koordinatensystem ,~, ~ der (individuellen) Deckkurve gegeniiber dem Koordinatensystem x, y tier (generellen) Grundkurve, his sich die beiden Kurven in dem geforderten Bereich mSglichst genau deckeno In dieser Lage hat der Ursprungspunkt ~ = o, r] = o des Koordinatensystems der Deckkurve die Abszisse x' und die Ordinate y' in dem Koordinatensystem (x, y) der Grundkurve, zum Beispiel

Y = ~7 - - Y', x = ~ + x'. (7.1o)

Damit werden abet die beiden zu bestimmenden Konstanten a und b der Ersatzfunktion (7.5) dutch einfaches Abgreifen tier Strecken y ' und x' erhalten, denn tier Vergleich von (7.1o) mit (7.8) und (7.9) lehrt

log a = y' , log b ---- x'. (7.11)

Die , ,Grundkurve" (7.7) hat man also nur ein einziges Mal zu zeichnen. Bei der Funktion Arcustangens (7.6) w~ihlt man zweckm~Big als Grundkurve

y ~- log (arc tan z) , x ~- log z , (7.12)

und als Deckkurve wiederum (7,9). Das Verfahren (7.1o) und das Ergebnis (7.11) ist dasselbe.

1 Vergleiche [1]. Dor t genfigt es, die Koord ina ten B, H durctt Bezugnahme auf die l~emanenzindukt ion B r und die Koerzit ivfeldst~rke H c zu normieren: b = B / B r und h = H / H c. W~hl t man zum Beispiel als Ersatz- funkt ion eine Hyperbel , so lau te t deren Gleichung einfach

1 - - h h -

i -- h/a

mi t einer letzten Kons tan ten a, die sich leicht uus der individuellen, el~lpirisch gegebenen, normier ten Zu- s tandskurve b = b(h) ermit te ln l~3t.

294: J. FlSCi~R u. H. 2viosE~: Die Nachbildung yon Magnetisierungskurven usw. Archiv flit Elektrotechnik

1B kc! 14

18

10

6

0

16 kG 14

10

6

4

2

O

/

J i

z 4

/ !

!

6 8 10

. . . . . , . . , - -

i

4 15 g 10

Bild i 1~ 14 16 1B ~O 2~ Z4~ ~6 f/~

l

I Bild B

1~ 14 16 1B 20 ~2 24A 26 / / =

Bild 7 zeigt ein Beispiel Itir die Anwendung der Ersatzfunktion (7.5). Die Konstanten sind mit dem Kur- vendeckungsverfahren ermittelt.

Wendet man die Funktion Arcus- tangens an, so f~iIlt auf, dab die Wiedergabe der Magnetisierungs- kurven im Gebiet der starken KriJm- mung oft recht gut ist. I)urch Hin- zuftigen eines linearen Gliedes kann man diese N~herung oft wesentlich verfeinern:

B = a o arc tan b H + c H . (7.13)

Bild 8 zeigt ein Beispiel.

Eine besondere Stellung nimmt die Ersatzfunktion

B = exp (7.14)

ein, denn diese Kurve hat einen Wendepunkt. Wenn also der Wende- punkt, den eine empirisch gegebene Magnetisierungskurve hat, in der Ersatzfunktion zum Ausdruck gebracht werden muB, kann man zu (7.14) greifen. Die zwei Konstanten a und b werden auch bier am ein- fachsten durch ein Kurvendeckungs- verfahren bestimmt. Bild 9 zeigt ein Beispiel.

0

16 k~

1o

c~

6

# /

4

!

/

6 B 10 12 14 16 1B ~0 2Z

I ,i i

i

r I

H

6 g ID I~ 1r 16 I 8 gO 2s M' =

J I

Z4~ Z6

1 i

i

I Bild~O i i

Bild 7- Magnetisierungskurve (ansgezogen): Elektro- blech C 37. N~iherungsfunktion

B = 2,~75 ar sinh 7,2o H

im Bereich H = 0,5 bis 25A/cm. Gtitezahl: K = %o64.

BiId 8. Magnetisierungskurve (ausgezogen) : Elektro- blech C 37. Nfiherungsfunktion

B = 9,35 arc tan 0,82 H + o, o5o5 H

im Bereich H = o bis 25 A/era. Gtitezahl: K = o,ox6.

Biid 9- Magnetisierungskurve (ausgezogen): Elektro- blech C 37. N~therungsfunktion

]3 ~ exp H ( o , m o 9 + 35 H ) . . . .

im Bereich H = o bis 25A/era. GtitezahI: K = %o28.

Bild Io. Magiletisierungskurve (ausgezogen) : EIektro- blech C 37. N~herungsfuttktion

H

0,0883 + o,o6~o H

im Bereich H = o his 25 A/era. Giitezahh K = o,o 1 J.

XLII. Band H e f t 5 - 1956 J . FISCHER U. H . !VIOSER: D ie N a c h b i l d u n g y o n M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n usw. 295

b) N ~ i h e r u n g e n , d ie h y p e r b e l a r t i g e K u r v e n b e n u t z e n .

Hier ist vor allem der klassische Ansatz yon FR6LICH ZU nennen

H B = (7.15) a + b H "

Die Konstanten a und b sind leicht graphisch zu bestimmen: aus (7.15) folgt

~_ t~ B - ~ 4- b , (7.16)

und dies ist die Gleiehung einer Geraden in dem rechtwinkligen Koordinatensystem 1 / B = y ,

1 / H = x. Man braucht also nur die gegebene Nagnetisierungskurve in diesem Koordinaten- system aufzuzeichnen.

Das Beispiel Bild lo zeigt, dab man mit dem einfachen zweikonstantigen Ausdruck (7.15) eine verNiltnism~iBig befriedigende N/iherung erreichen kann 1. Dies ist eine Erfahrung, die man mit diesem Ausdruck ganz allgemein macht, wenn man ihn auf gew6hnliche Magnetisierungskurven (Bild 2) an- wendet, abet Sondermaterialien mit steilem Anstieg und raschem Krfimmungswechsel der Magnetisierungskurve (Bild 3) ausschlieBt. Die Anfangskrfimmung und der Wendepunkt kommen natfirlich mit (7.15) nicht zum Ausdruck. Auch bei steilerem Anstieg ist besonders vom Wendepunkt bis ins S~ittigungsgebiet hinein oft der Ansatz geeignet

ag B = a 0 4- a 1 H - - ~- (7.17)

mit drei Konstanten a o, a 1, a s. Im S~ittigungsgebiet geht er in den linearen Anstieg B = a 0 q- a 1 H fiber, im Nullpunkt ist er nicht brauchbar. Bei Bestimmung der Konstanten im gegebenen Fall finder man oft, dab unterhalb vom S~ittigungsgebiet das Glied a 1 H im wesentlichen eine Korrektur be- deutet. Bei Vernachl~tssigung entsteht der ~iuBerst einfache Ausdruck

a~ (7.18) B = a o H "

Die Konstanten a 0 und a 2 best immt man bier leicht graphisch, 0 2 4 s s 10 ~z 1~ Is 1~ ~o z~ ~

indem man B H als Funktion yon H aufzeichnet : nach (7.18) Bila 11. Darstellung von BH als Funktion ist dies yon H. Damit die K . . . . . . oneinand . . . . ter-

schieden werden k6mlen, si~d sie in Ordinaten- B H = a 0 H - - a~ (7.19) richtung gegeneinander paralM verschob . . . .

Materialien: 1 Elektroblech I I I Maxhiitte; eine Gerade. Bild 11 zeigt B H in AbMngigkei t yon H ffir ~ Elektroblech tII BBC; 3 Elektroblech IV

C n. K; 4 Elektroblech I Maxhiitte; 5 Schwed. mehrere Elektrobleche (die Kurven sind in Koordinaten- Bleoh3,5%Si(C37); 6Schwed. Blechg~2%Si;

7 Schwed. Blech 1,9% Si. richtung gegeneinander verschoben, damit die Zeichnung deutlich bleibt). Man finder also verMltnismN3ig groge Intervalle, in denen der einfache Ansatz (7.18) anwendbar ist. Die Umgebung des Nullpunktes muB wieder ausgeschlossen bleiben.

Die N~iherungen dieser Gruppe b ) s i n d vergleichsweise einfach herzustellen, sie sind h~iufig bei richtiger Anwendung auch bei recht verschiedenen Kurvenformen der Magnetisierungskurven befriedigend.

c) N ~ i h e r u n g e n d u r c h P o t e n z e n u n d S u m m e n y o n P o t e n z e n .

Ober den Ersatz der Magnetisierungskurve durch eine einzelne Potenz ist im 6. Abschnitt zu (6.1) das N6tige gesagt. Natiirlich ist eine Ann~iherung durch eine Potenzreihe immer m6glich, und ffir die Bestimmung der Koeffizienten der Glieder stehen bekannte Arbeitsmethoden der

1 GegebeneI1 F a l l e s ErgS, n z u n g d u r c h e i n l i n e a r e s Z u s a t z g l i e d cH.

Archiv fiir 296 J. FISCHER U. H . IV~OSGR: D i e N a c h b i l d u n g v o n N [ a g n e • u s w . Elektrotechnik

praktischen Analysis zur Verftigung (zurn Beispiel die Verfahren von NEWTON, yon LAGRANGE). Abet schon bei nicht sehr groBer Gliederzahl wird diese Rechenarbeit so nmfangreich, dab man dieses einfachste klassische Verfahren nur in besonderen Fgllen ausfiben wird. Ftir die Ann~herung dutch Summen von Potenzen ist fibrigens die Magnetisierungskurve in der Form H -= H ( B )

stets der fibliehen Darstellung B = B (H) vorzuziehen. Versucht man deswegen eine abgekfirzte Potenzsumme yon der Form

H = a0 + al B + am B '~ (7.20)

mit vier Konstanten %, al, am nnd u, wobei gegebenenfalls das absolute Glied a 0 wegbleiben kann, so findet man, dab der Exponent n wesentlich fiber 3 liegen muB, wenn die Krt immung der gew6hnlichen Magnetisierungskurven (Bild 2) einigermal3en befriedigend erfa13t werden solI. Bild~2 vermittelt ein Beispiel mit ~ = 3, 7 und 9, und a o = o. Aus einer gegebenen Magnetisie- rungskurve kSnnen die Konstanten des Ausdruckes (7.2o) in bekannter Weise ermittelt werden (zum ]3eispiel durch .~bereinstimmung in Punktkoordinaten oder in Punktkoordinaten nnd Neigungswinkeln). Bequemer ist oft ein graphisches N~iherungsverfahren. Wir nennen es , ,Dif- f e r e n z k u r v e n v e r f a h r e n " o

Wit zeigen es zun~tchst an der Aufgabe, eine gegebene Magnetisierungskurve H -~ H ( B ) anzun~ihern durch den Ausdruck (7.20) : Es ist zuerst eine Anfangsgerade zu w/thlen, die sich m6g- lichst gut der empirischen Kurve anschlieBt: ihr Abszissenabschnitt ist H ( B = o) = a o und ihre

<) = a x. (Je nach Aufgabestellung kann als Anfangs- Neigung auf der Abszissenachse ist ~ B=o

gerade auch eine Ursprungsgerade in Betracht kommen: a o ---- o.) Hierauf best immt man die Differenzkurve

A = H ( B ) - - a o - - a 1 i?. (7.2~)

Nach (7.2o) soll diese Kurve durch die Parabel a , B" ersetzbar sein. Um am und ~ zu bestimmen, benutzt man die Koord~naten H1, B 1 eines passend gew/ihlten Punktes der Differenzkurve (ira

C) Bereich ihrer st~rksten Neigung) und die Steigung der Tangente d-B H=H1 = H1 in diesem Punkt ; man erh~ilt ~ R~ ~

~r H1 , a m - - B ~ . (7"22)

Hierbei ergibt sich im allgemeinen der Exponent n nicht als ganze Zahl. Bild 13 zeigt das Er~ gebnis eines solchen Vorgehens. Wenn wegen der weiteren Anwendung der N~herung der Ex- ponent ~ eine ganze Zahl sein soll, so wird man auf die beschriebene Weise seinen Wert an mehreren Punkten der Differenzkurve bestimmen und die dem Mittelwert am n~chsten benaeh- barte ganze Zahl w~ihlen.

Das Verfahren lfil3t sich als ein N~herungsverfahren aueh anwenden bei einem viergliedrigen Ausdruck

H = a o + a~ B + am B n + a,~ B ~'. (7.23)

Bei diesem Ausdruck wird man, schon wegen seiner Handhabung, im allgemeinen vorschreiben, dab ~ nnd m gauze Zahlen sein sollen. - - Man best immt hier, wie oben beschrieben, a G und a 1 und bildet die erste Differenzkurve zJ 1 wie (7.21). Nach (7.23) mtiBte sein

z/1 = am B '~ + a,~ B m . (7.24)

Fal3t man nun hier das zweite Glied als vernachi~issigbare Korrektur auf, wozu man bei gew6hn- lichen Magnetisierungskurven im allgemeinen berechtigt ist, so kann man am und ~ in A~ ~ a,, B"

auf die oben gezeigte Weise (7.22) n~herungsweise bestimmen. Um dann das Restglied aus der zweiten Differenzknrve

B ,~ = B ~ A2 = A~ - - a,~, am (7.25) ebenso bestimmen zu k6nnen, wie ~ und am aus der ersten Differenzkurve best immt worden sind, muB der aus d~ ermittelte N~therungswert ~, wie eine genauere Untersuchung zeigt, auf die n~ichste ganze Zahl a b g e r u n d e t werden. Hinsichtlich des Restgliedes hat man ~brigens noch grunds~itzliche Freiheit, ob man es als Potenz mit ganzen oder mit gebrochenen Exponenten oder durch eine andere geeignete Funktion darsteIlen will. Bild 14 zeigt ein Beispiel.

X L I I . B a n d H e f t 5 --~956 3 . F I S C H E R U. H . M O S E R : D i e N a c h b i l d u n g y o n M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n u s w . 297

d) N~iherung mit Hilfe yon F o L 'RIFR- S u m m e n .

FaBL m a n die gegebene 5Iagnet i - sierungskurve im betrachteten Inter- vall auf als Teil einer periodischen Kurve, so Higt sie sich ann~hern durch eine Summe von trigonome- trischen Funktionen; die Koeffi- zienten der einzelnen Glieder dieser Reihe werden durch die Mittel der FouRER-Analyse bestimmt. Die mathematischen Eigenschaften dieser Methode (zum Beispiel hinsichtlich Konvergenz und Gliederzahl) sind bekannt, gleichfalls bekannt sind sowohl instrumentelle Hills- mitre1 (harmonischer Analysator), als auch graphische, rechnerische und graphisch-rechnerische Ver- fahren, mit deren Hilfe die Koeffi- zienten nach festem Arbeitsrezept einfach und schematisch (ohne Will- ktir) bestimmt werden. Wir gehen daher hier auf diese Hilfsmittel nicht ein. - - Auf diesemWege k6nnen sehr befriedigende N~herungen auch fiir weniger einfache Magnetisierungs- kurven erhalten werden; auch den Wendepunkt kann man zum Aus- druck bringen. Da die Koeffizienten

B i l d l e . Magne t i s i e rungsknrve (ausgezogen): E l e k t r o - btech C 37- Naherungs fmlk t io l l :

I) H = o,153 B + 3 , 7 8 2 . ~o -~~ B% II) H = o,148 B + 8 , 1 7 8 . l o -s B 7,

I I I ) H = - - 0,o4 B + o,oo464 B 3 (N/iherurtg nach JoJ~u

Bere ich : H = o bis 25 A/cm. Gfi tezahl ffir 1) K = 0,041, ft ir II) K = o,054.

1/+ . . ~ ~ f ~ j ~ - ~ I I

12 Ib ~'<f~'~ I . . f " /

8ild'

4 6 8 10 ,~ . 14 16 18 ~l] Z~, 2#F4~ Z6

14

Ii

1(

c~ i

r

0

16 k~ 14

12

I0

Bi ld 13. Nagne t i s i e rungsku rve (ausgezogen): E lek t ro - blech C 37. N~he lungs funk t ion

13 [ ~B 9,~5 _ H = 1,?. ~o + 0 ' 3 9 ~ o )

i m Bere ich H = o bis 25 A/era . Gt i tezahl K = 0,026.

J /

f [ I

E !

I

! Bild 13 I p

2 4 6 . 8 10 lZ 14 16 18 ~0 ~. ~4 ~ 26 f f =

i-

2 4 6 8 ~o IX 14 16 18 to zZ z4AZ6 /-/ .

B i l d 24. Magne t i s i e rungskurve : E tek t rob lech 1 (etwa 3 , 2 % Si). Nf iherungsfunkt ion : H = 0,35 + o,145 B + 3 ,493 . l o -8 B 7 + o , 4 1 o 3 . 1 o .22 B 19. Zugle ich D a r - s t e l lung des Di f fe renzkurvenver fahrens : M K gegebene Magne t i s i e rungskurv% G gew~ihlte Anfangsgerade , zJ 1 l ers te Di f fe renzkurve nach (7.24), P I d e r auf i h r ge-

l w~ihlte P u n k t zur E r m i t t l u n g yon an und ~ ; zl 2 zwei te Di f fe renzkurve nach (7.25), P2 der au f i h r gew~hlte r P u n k t zur E r m i t t l u n g yon arm und m. Die P u n k t e der N~iherungskurve s ind als Kreise au f de r gegebenen

5Iagne t i s ie rungskurve M K e inge t ragem Vgl. e), Tabel t . 0 b e r s i c h t .

B i ld x5. Magl le t i s ie rungskurve (ausgezogert): E lek t ro - blech C 37. Nfi2aelullgsfunktioll: H = 12,36 �9 sin ~ot - - 6,92 �9 sin 3 cot + 3,44 " sin 5 o)t - - 1,6o �9 sin ? e)t + o ,7t �9 sin 9 m~ + o,o9 - sii1 z l cot, B = 15,35 �9 sir~ cot.

Bere ich : H = o his 25 A/era . Gi i tezahl K % o ,o l .

Z 4 6 8 10 1~ 14 16 18 20 ZZ Z4~Z6

Archiv f fir 2 9 8 J . FISCHER 11. H . ~J[OSER: D i e N a c h b i l d u n g y o n M a g n e t i s i e r u n g s k u r v e n u s w . Elektrotechnik

T a b e l l a r i s c h e " 0 b e r s i c h ~ d e r u n t e r s u c h t e n N a c k b i l d u n g e n ( E r s a t z i u n k t i o n e n )

~. 2 3 4 6

Funktion G1.

H = a . e x p (bB) !(7.1)

H = a ( 1 - - e x p ( - - b B ) ]

H = a 1 . e x p ( b l B ) + a 2 �9 e x p (b e B)

(7.2)

(7.3)

- - ( 7 - 4 ) a !

B = a . a r s i n h b H [(7.5)

B - - a . a r c t a n b H + c H i (7.13)[

13 : e x p :~(7.14) i I

B : a ~ t a n k b H

H B - -

a + b H

a 2 B = ao+ a l H - - ~ ] .-

B = a o - ~

1~, : a t t n

H = a I .]9 + a n B n

+ (+ ao)

Ermittlung der Konstanten

r e c h n . ; g r a p h .

( E x p o n . - p a p i e r )

K u r v e n d e c k v e r f .

I n t e r p o l . - m e t h . ,

a u c h [3]


K u r v e n d e c k v e f f .

D i f f e r e n z k . - v e r f .


K u r v e n d e c k v e f f . I

I I

1(7-z5) z. B . g r a p h . : 1/B f i b e r 1/H

(7.17) 1 I n t e r p o l . - m e t h .

i

(7.18)[ z. ]3. g r a p h . :

B H t i b e r H

(6.1) r e c h n . ; g r a p h .

( P o t e n z - P a p . )

(7 .20)

J

H = a 0-}- a I + B + a n B n (7.23) + am B m

D i f f e r e n z k . - V e r f .

n g e b r o c h e n ~ g a n z z a h l i g

D i f f e r e n z k . - V e r f .

n , m g a n z z a h l i g

FOURIER-Koef I i z .

Richtwerte der Konst. Allg. Eigenschaften (C 37)

e i n f . N ~ h . , n u r *

I t i r k l e i n e ]3e-

r e i c h e

w e n i g a n p a s -

s u n g s f / i h i g

a n p a s s u n g s f ~ i h . ,

a b e r u m s t ~ n d -

l i c k

w e n i g a n p a s - s u n g s f ~ h i g


s u n g s f i i h . , m a t h .

e in f .

a n p a s s u n g s f ~ i h i g ;

a u c h m i t c = o

W i e d e r g a b e d e s W e n d e p k t s .


sungsf~h., m a t h .

e i n f .

g u t e N~iherg . a l l g e m , u . i n

g rof3en B e t .

g u t e N~iherg .

a l l g e m , u . i n g rof3en B e t .

e i n f a c h , g u t e

N~ih., a u s g e n . k l e i n e H - W e r t e

e i n f . N~ih. p a u -

s c h a l f a r w e i t e B e r .

a n p a s s u n g s f / i h i g

a n p a s s u n g s f i i h i g

s e h r a n p a s s u n g s -

I i ih. , a u c h W i e - d e r g a b e d e s ~ r

a = 0 , 0 0 4 - - 0 , 2

b = 0 , 2 - - 0 , 6

a = 15 b = 0 ,4

a I = 0 , O O 5 - - 0 , 1 2

a~ = 0 , 3 - - 0 , 6

bl = O , 1 - - ~

b 2 = 0 , 5 - - 0 , 7

a = 1,2

b = o , o 1 3

a = 2 , 2

b = 7 , 1

a = 9 ,35 b = 0 ,82

C = O,O 5

O,Ol, b ~ o, 1

H = alsin cat

-[- a 3 s i n 3 o ~ t + . . . @ a n s i n 11 t o t ,

J3 = B m s i n o ) t

= 15, b = o , 4 2

a = 0 ,09 , b = 0 ,06

a 0 = 13,8, a I = 0 ,08

a~ = 8, 7

a 0

a 2

= 15,6

= 14

= 1 1 , 5 = 0 , 0 8 9 6

n = 9 ,15 , a 1 = o ,17 a n = 0 , 2 7 6 . lO -~

n = 7, a l = o , 1 4 8 a~ = 8 , 1 7 8 ~ lO - s

~r = 9, a l = o , 1 5 3 a n = 3 ,782 �9 lO 10

a 0 = 0 ,35 a 1 = o , 1 4 5 a n = 3 , 4 9 " 1 ~ a m = o ,41 �9 lO-22

n = 7, ~Y~ = 22

a I = 11,6 a 3 = 6,2 a 5 = 3,1, a7 = 1, 3 g 9 = 0 , 6 , a l l = 0 , 2

7 8

GfitekennzaM - Alob (c 37)

o , o 5 - - o , 1 . 2 6

0 , 0 7 4

0 , 0 4 _ 0 , 0 6 i _

0 , 0 7 6

0 , 0 6 4

o , o 1 6 8

0 , 0 2 8 9

0 , 0 6

O , O l l 10

0 , 0 3 8

0,062 II

0 ,02 5, 5 a

0 , o 2 6 13

0 , 0 5 4 12

O,O41 12

O,O1 14

"~ 0 ,01 15

XLII . Band Heft 5 -- 1956 A. HITZ: Die graphische Darstellung cler Leistungen nnd des Drehmomentes usw. 299

1miner naeh einem festen Arbeitsschema ermittel t werden, kann man es in Kauf nehmen, dab je nach Umst~inden eine gr6f3ere Gliederzahl erforderlich wird. B i l d 15 zeigt als Beispiel die N~iherung, die mi t einer St imme aus 6 Gliedern erreicht werden kann.

e) T a b e l l a r i s c h e U b e r s i e h t d e r u n t e r s u c h t e n N a c h b i l d u n g e n ( E r s a t z f u n k - t i o n e n )

Die tabellarische idbersicht auf S. 298 der untersuchten Nachbildungen (Ersatzfunktionen) soll nicht als Empfehlung, sondern nur als Zusammenstel lung aufgefaBt werden. Die 3. und 4. Spalte enthalten lediglich allgelneine Hinweise, die 6. SpaRe Richtwerte. Das Zeichen * in der 5. Spalte bedentet , dab es einfach ist, die inverse Funkt ion zu bilden. Die Angaben in der 6., 7. und 8. Spalte beziehen sich auf das als Beispiel gewghlte Elektroblech C 37, dessen Wechselstr0mmagnetisie- rungskurve in Bild 2 als Kurve 3 angegeben ist. Die angegebenen Zahlenwerte gelten dann, wenn unter B der Zahlenwert der magnetischen Indukt ion in kG und unter H der Zahlenwert der magnetischen Feldst~trke in A / c m vers tanden wird. Die Giitekennzahl K in der 7. SpaRe ist aus der graphischen Darstellung (8. SpaRe) nach GI. (3.4) gem~iB Bild 4 ermittelt.

Literatur [1] J. FISCttER, AbriB der Dauermagnetkunde, Berlin, G6ttillgen, Heidelberg, Springer 1949, besonders

S. 144--164; aucll Z. techn. Phys. Bd. 24 (i943) S. 149; Arch. f. Elektrotechn. Bd. 39 (1949) S. 327. [2] FI. Mos~R, Kritische Ulltersuctmng i~ber die M6glichkeiten der N~herung roll gegebenen _~Vfagnetisierungs- kurven durcll einfaehe, algebraisehe oder transzendente Funktionen auf der Grundlage geometriscller fi~bnlich- keit. Dissertation lZarlsruhe 1955. -- [3] IV[. STRIJT% FIocllfrequenztechnik Bd. 43 (1934) S. 18; Moderne ~'Vfehrgitterelektrollenr6hren, Berlin 194o; Verst~Lrker und Empfgnger, Berlin, G6ttingen, FIeidelberg: Springer 1951 (Letlrbuch der drahtlosen Nachriehtentechnik, herausgegeben yon N. V. I{ORSHENEWSKY und W.T. RIJNGE, 4- Band). Prof. Dr.-Ing. J. FIscHeR, Karlsruhe, Technische Hochschule.

D i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g d e r L e i s t u n g e n u n d d e s D r e h m o m e n t e s

i m K r e i s d i a g r a m m v o n W e c h s e l s t r o m m a s c h i n e n

Von

Dipl. Ing. A. HITZ, Muri/t3ern

3/iit 8 Textabbildungen

(Ei~r am 1. November 19.56)

13bersicht. Auf Grulld der Mlgemeinen Theorie der XVeehselstrommaschinen in vektorieller Dar- stellung wird fiir den Fall, dab dieselbe als Ortskurven fiir die Str/Sme iKreise mit einwertiger Parameter- verteilung ergibt, ein neues VerfalTren entwickelt, um allgemein zn beweisen, dab im Stromdiagramm Ellipsen und davon ausgehend Geraden gezeichnet werden k6nnen, mit deren tiilfe die mechallisctle Leistung und die Verluste der Maschine, sowie deren Drehmoment in einem zweckm~flig wiihlbaren MaBstab auf einfache ~reise graphisch ermittelt werden k6nnen. Am Beispiel des Repulsionsmotors wird die praktische Anwendung des Verfahrells vorgefiihrt.

A. Voraussetzungen Die vektorielle Wechselstromtheorie zahlreicher elektrischer Maschinen, z . B . der Mehr-

phasen-Asynchronlnaschine, des Repulsionsmotors, der Mehrphasen-Kollektormaschine, ge- wisser Kaskadenschal tungen zwischen Indukt ionsmaschine und Kollektormaschine asw., liefert fiir die beiden StromkreJse dieser Naschinen Spannungsgleichungen und dalnit ftir den Priln/ir- stroln ~1 und den Sekund~rstrom ~2 Ausdrticke yon folgender Form1

~l(v) = ~1 + ~ v . .~(v) ----- ~ ' + ~ ~ ~ + ~ v ' ~ + :~v " (~)

Die G1. (1) stellen bekanntl ich in der komplexen Zahlenebene K r e i s e in allgelneiner Lage mit einwertiger Paralnetervertei lung dar.

1 Siehe z. B. : W. MICHAEL, ,,Theorie der Wechselstrommaschinen in vektorieller Darstellung", Leipzig: Teubner 1937-

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Die nachbildung von Magnetisierungskurven durch einfache algebraische oder transzendente Funktionen