Algebraische Methoden der QuantentheorieMichaelKeylInstitut f ur Theoretische Physik, Technische Universitat Berlin, SoSe 97Institut f ur Mathematische Physik, Technische Universitat Braunschweig SoSe 992InhaltsverzeichnisI Einf uhrungundMotivation 51 KlassischeStatistikvs.Quantenmechanik 71.1 QuantenmechanikeinesdNiveausystems. . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 DerdseitigeW urfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 AlgebraischeFormulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 DasfreieFermigas 132.1 DasFermigasimKasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 DerthermodynamischeLimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 DasvanHove-Modell 193.1 DieKlein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 DasfreieskalareFeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 WechselwirkungmitklassischenQuellen . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 DasvanHoveModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42II C*-undvonNeumann-Algebren 474 C*-Algebren 494.1 GrundlegendeBegrieundDenitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 ResolventeundSpektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 PositiveElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 DarstellungenvonC*-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Zustande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 DieGNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 AbelscheC*-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 VonNeumannalgebren 735.1 Operatortopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 VonNeumannalgebren,elementareEigenschaften . . . . . . . . . . . 755.3 NormaleZustandeunddasPradual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4 AbelschevonNeumann-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Typ-Klassizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.6 Modulartheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.8 DirekteIntegraleundzentraleZerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . 8234 INHALTSVERZEICHNISIII CCRundCAR 836 DieCCR-Algebra 856.1 DenitionundgrundlegendeEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 RegulareundquasifreieZustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Bogolubovtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Beispiel:DerharmonischeOszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947 DieCAR-Algebra 977.1 DenitionundgrundlegendeEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 QuasifreieZustandeundFockzustande . . . . . . . . . . . . . . . . . 97IV AnwendungeninderQuantentheorie 998 Quantenstatistik 1018.1 KMS-Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 DasfreieFermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.3 DasfreieBosegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.4 DasBCSModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019 Quantenfeldtheorie 1039.1 DasfreieSkalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2 DasSkalarfeldimauerenPotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3 DasfreieDiracfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4 DasDiracfeldimauerenelektromagnetischenFeld . . . . . . . . . . 1099.5 DasvanHoveModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.6 WechselwirkendeFelderundHaagsTheorem. . . . . . . . . . . . . . 1129.7 AlgebraischeQuantenfeldtheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210Quanteninformationsverarbeitung 11310.1 Kanale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.2 Kanalkapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.3 OptimaleKloniererundverwandteOperationen . . . . . . . . . . . . 11310.4 Verschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113V Anhang 115AFockraume 117A.1 GrundlegendeDenitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.2 DiekanonischenVertauschungsrelationen. . . . . . . . . . . . . . . . 123A.3 DerkanonischenAntivertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . 128TeilIEinfuhrungundMotivation5Kapitel1KlassischeStatistikvs.QuantenmechanikWir wollen zunachst die Grundidee und einige Vorz uge eineralgebraischen Formu-lierungder Quantentheorie aufzeigen und starten daher in diesem Kapitel mit zweieinfachenBeispielen.1.1 QuantenmechanikeinesdNiveausystemsAls erstes wollenwir Quantenmechanikauf einemendlich-dimensionalenHilber-traum H = Cdmit d < , also die Theorie eines dNiveausystems, betrachten. Wirsetzenvoraus, dadieses Modell aus der Quantenmechanikwohlbekannt ist undbegn ugenunsdahermiteinerkurzenZusammenfassung.Gema den ublichen Regeln der Quantenmechanik, werden die Observableneinessolchen Systems durch selbstadjungierte Operatoren A B(H) und ZustandedurchDichtematrizen B(H)beschrieben, wobei B(H)dieAlgebraderbeschranktenOperatoren auf H (hier also die Menge der ddMatrizen) und B(H) seinen (topo-logischen)Dualraum(alsoebenfallsdieMengederd dMatrizen)bezeichnet.DieIdentikationvonDichtematrizenmitElementendesDualraumsvon B(H), alsomitLinearformen auf B(H),rechtfertigtsichduchdie TatsachedajedeDichtema-trixdurchdenErwartungswert (A):=tr(A)einesolcheLinearformdeniert.Wirwerdenspatersehen(Korollar5.3.7), daf urunsereinfachesBeispiel derfol-gendegilt1.1.1.Satz. F ur H=Cdhat einFunktional B(H) genaudanndieForm(A) =tr(A) mit einer Dichtematrix, wennpositivund normiert ist, dasheit(AA) 0giltf uralleA B(H)und(1I) = 1,wobei1IdieEinheitsmatrixbezeichnet.DiemoglichenMewertederObservablenAbildenihrSpektrum(A),welchesindiesemeinfachenFalle(dimH=d< )lediglichausdenEigenwertenvonAbesteht.MitanderenWortenf uralle Cgilt/ (A)(A 1I)1existiert (1.1)78 KAPITEL1. KLASSISCHESTATISTIKVS.QUANTENMECHANIKZu jedem Eigenwert (A) gehort ein Projektor E der von H auf den Eigenraum H[ A= projiziert,dieEsindalsopaarweiseorthogonal.GenausowieAselbstsinddieseSpektralprojektorenEObservablen, diejedoch(imGegensatzzu A) nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen konnen. Sie sind mit A durch dessenSpektralzerlegungA =

(A)E(1.2)verkn upftundlassensichwiefolgtohneexpliziteVerwendungdesHilbertraumes Hcharakteriseren(EindeutigkeitderSpektralzerlegung; solltebekanntseinundwirddahernichtbewiesen):1.1.2.Satz. Es existiert genaueine Familie (A) E B(H) mit denfolgendenEigenschaften:1. E2= EundE= E(d.h.dieEsindProjektoren).2. EE= EE= 0f uralle, (A)mit ,= (d.h.dieEsindpaarweiseorthogonal).3. Alatsichbez uglichderEspektralzerlegen:A = (A)E.ZusammenmitdemweiterobenerwahntenBegridesErwartungswertes, bil-det die Spektralzerlegung von Anundie Grundlage f ur eine statistische Inter-pretationdesModells: DieWahrscheinlichkeitbei einerMessungderObservablenAimZustanddenWert (A) zumessen, ist durchdenErwartungswert(E)=tr(E)desSpektralprojektorsEgegeben. Allgemeinergilt: DieWahr-scheinlichkeit bei selbiger Messung den Mewwert in der Menge (A) zu ndenist() =

(E) = __

E__ = _E()_(1.3)wobei E()= Egesetztwurde. DieAbbildung(A) () [0, 1]isteinWahrscheinlichkeitsmaaufdemMeraum_(A), T((A))_,wenn T((A))die Potenzmenge von (A) bezeichnet. Entsprechend ist (A) E() B(H)einprojektionsoperatorwertigesMa(PV-Ma)aufdemselbenMeraum,dassogn.SpektralmadesOperatorsA,mitdemGleichung(1.2)dieausderFunktionalana-lysisbekannteFormA =_(A)E(d) (1.4)erhalt.1.2 DerdseitigeW urfelAlszweitesBeispielwollenwiraufeinsimplesModellderklassischenWahrschein-lichkeitstheorie zur uckgreifen: EinZufallsexperiment mit d < moglichenEle-mentarereignissen; wir werdenimfolgendenvomdseitigenW urfel reden. Er1.2. DERDSEITIGEWURFEL 9wird beschrieben durch die Ereignismenge T(X), wobei Xdie endliche MengeX= x1, . . ., xdderElementarereignisseund T(X)derenPotenzmengebezeich-net.Abweichendvonder ublichenSprechweisederWahrscheinlichkeitstheorie, aberinAnalogiezur Quantenmechanik, werdenwirddieBegrieObservableundZu-standbenutzen. Dabei entsprechendieObservablendenZufallsvariablen, inunse-remeinfachenBeispielalsoreellwertigeFunktionenfaufX.EinZustand,d.h.einePraparationdes Systems (Herstellungdes W urfels) ist durcheinWahrschein-lichkeitsmaaufdemMeraum(X, T(X))gegeben.IndiesemspeziellenFallealsodurcheinenZufallvektor, dasheitdurchp=(p1, . . . pd) [0, 1]dmit j pj=1,gegeben.(DaszupgehorigeMaistdannoenbarp() = p,wobei Xist.)DerErwartungswert derObservablenf imZustandpistdurchdasIntegralp(f) = _X f(x)p(dx) = j f(xj)pjgegeben.UmdieAnalogiezurQuantenmechanikzuerhohen, f uhrenwirnundenRaum((X) der komplexwertigen Funktionen auf Xein. Mit demProdukt fg(x) =f(x)g(x)handeltessich, ahnlichwiebei demRaum B(H)denwirimletztenAb-schnitt betrachtet haben, um eine assoziative Algebra(siehe 4.1.1) auf der durch dieKomplexkonjugation f(xj) = f(xj) eine *-Operation(also ist ((X) eine *-Algebra,siehe4.1.2) gegebenist. Wir konnendaher dieObservablenals selbstadjungierteElemente (f= f) dieser Algebra einf uhren und Zustande durch ihren Erwartungs-wert ((X) f p(f) CmitlinearenFunktionalen, alsoElementendesDuals((X) identizieren. Es ist leicht zu sehen, da in Analogie zu Satz 1.1.1 die folgendeAussagegilt:1.2.1.Satz. EinlinearesFunktional ((X)hatgenaudanndieForm(f)=_X f(x)p(dx)mitdemWahrscheinlichkeitsmap,wennpositivundnormiertist.Das Spektrum(f) der Observablenf ist, wie inder Quantenmechanik, dieMengeihrermoglichenWertealso(f):= f(x) [ x X. Alternativkonnenwir(f)jedochauchgenausowie(A)inGleichung(1.1)charakteriesieren:/ (f)(f 1I)1existiert, (1.5)wobei1I ((X)durch1I(x) = 1deniertist.Jedem (f)konnenwirnunwie-dereinespezielleObservable,namlichdiecharakteristischeFunktionderMengef1()zuordnen, welcheeineahnlicheRollewiedieSpektralprojektorenausdemletztenAbschnittspielen,dennesgibtoensichtlicheineCharakterisierungderdiederAussagedesSatzes1.1.2volliganalogist(derBeweisisterneutsimpelundwirddaherweggelassen):1.2.2.Satz. Es existiert genaueine Familie (A) ((X) mit denfolgendenEigenschaften:1. 2= und= ,2. = = 0f ur, (f)und ,= ,3. flatsichbez uglichderspektralzerlegen:f= (A).10 KAPITEL1. KLASSISCHESTATISTIKVS.QUANTENMECHANIKVielleicht etwas umstandlichaber ebenfalls inenger Analaogie zur Quanten-mechanikkonnenwirnundiestatistischeInterpretationdesModellsangeben: DieWahrscheinlichkeit bei einer fMessungimZustandpdenWert zumessenistp()=p(f1())wobei wiraufrechtenSeitedieserGleichungpalsWahrschein-lichkeitsmaansehen. DieWahrscheinlichkeitbei derselbenMessungdenMewertin der Menge (f) zu nden ist p() = p(f1()) genauso wie in (1.3).1.3 AlgebraischeFormulierungDie beidenbisher betrachtetenBeispiele lassensichoenbar wie folgt auf eineneinheitlichenformalenRahmenzur uckf uhren:1. ObservablensindselbstadjungierteElemente(d.h. A=A)einer(endlichdi-mensionalen)*-Algebra /dieeinEinselement1Ibesitzt.2. Zustandesindlineare,positive((AA) 0),normierte((1I)=1)Funktio-naleauf /.DerErwartungswert derObservablenAimZustandist(A).3. DiemoglichenWerteeinerObservablenAsinddurchihrSpektrum(A) Cgegeben.Dabeiist (A)gdwA 1Ikein(stetiges)Inversesbesitzt.4. Es existiert genaueine Familie (A) E/vonpaarweise or-thogonalenProjektorensodaA= (A)E. Dabei verstehenwir un-terProjektor E2=EundE=EundunterpaarweiseorthogonalEE= EE= 0f ur ,= .5. DieWahrscheinlichkeitbeieinerAMessungimZustandeinenWertinderMenge (A) zu nden ist durch (E()) mit E() = Egegeben.Ausgehend von diesem allgemeinen Schema gelangen wir zu den beiden Beispie-lenausdenAbschnitten1.1und1.2indemwirf ur /entweder B(H)oder ((X)setzen. Die algebraische Betrachtungsweise liefert hier zwar keine neuen Aspekt derbetrachtetenModelle, siebildetjedocheineMoglichkeitvieleunterschiedlichesta-tistischeTheorienineinunddemselbenformalenRahmenzuuntersuchen.NebendenSpezialfallenQuantenmechanikundklassischeWahrscheinlichkeitstheoriesinddies etwaTheoriendie nebenquantenmechanischenauchklassische Observablenenthalten.ZumBeispielkonnenwireineTeilchenquelleuntersuchendieElektronenundPositronenemittiert.Interessierenwirunsdabeinurf urdenSpin(quanten-mechanischerAnteil)unddieLadung(klassischerAnteil),gelangenwirzueinerstatistischen Beschreibung indem wir obiges Schema auf die Algebra B(C2) B(C2)anwenden.WirwerdenindenKapiteln4und5diejenigenAlgebren(C*undvonNeumannAlgebren) untersuchen, die f ur eine prazise Formulierung der soeben skiz-ziertenIdeenotwendigsind.EinThemawelches wir bisher ausgeklammert haben, ist dieZeitentwicklung.DerGrundhierf urist, dasdiebeidenuntersuchtenBeispielehierunterschiedlicheAnsatzeerfordern, diesichjedochtrotzdemindensoebenvorgestelltenalgebrai-schenRahmeneinf ugenlassen.BetrachtenwirzunachstdieQuantenmechanik.Die1.3. ALGEBRAISCHEFORMULIERUNG 11ZeitentwicklungistindiesemFalledurcheine(starkstetige)einparametrigeGrup-pe R t Ut B(H)unitarerOperatorengegeben.ImHeisenbergbildgiltdaherA t(A) := UAUf ureineObservableA.Diesomitauf B(H)denierten,linea-renAbbildungenthabendiezusatzlicheEigenschaftdat(AB)=t(A)t(B)undt(A) =t(A)ist. SolcheAbbildungenheien*-Automorphismen(sieheDenition 4.4.1). Da in unserem Beispiel H endlichdimensional, B(H) also eine Ma-trixalgebraist,habenalle*-Automorphismenvon B(H)dieFormUAU:1.3.1.Satz. Sei Hendlichdimensional, undein*-Automorphismusvon B(H),dannexisitierteinunitarerOperatorUauf HsodaUAU= (A)ist.DieAussageisteineKonsequenzderEindeutigkeitderGNS-Konstruktion,wirkommeninAbschnitt 5.3darauf zur uck(siehe Korrollar 5.3.8). Als KonsequenzdiesesSatzeskonnenwirauchdieZeitentwickungdesdNiveausystemsvollstandigalgebraischformulieren,d.h.ohnedenHilbertraum Hexplizitzuverwenden.ImFallederklassischenWahrscheinlichkeitstheorieistdieSacheetwaskompli-zierter. ErstensistinvielenFalleneinediskreteZeitenwicklungangemesseneralseinekontinuierlicheundzweitenssind*-Automorphismenimallgemeinenzueng,dennjeder*-AutomorphismusderAlgebra ((X)hatdieForm(f) = f ,wobeieinePermutationder ElementevonXist. Dies folgt aus der TatsachedareineZustande(=Diracmae)aufreineZustandeabbildenmu(siehehierzuAb-schnitt4.7).SinnvolleristesdaherbeiabelschenAlgebrenpositiveAbbildungenzubetrachten.WirkommenimKapitel10daraufzur uck.12 KAPITEL1. KLASSISCHESTATISTIKVS.QUANTENMECHANIKKapitel2DasfreieFermigasImBeispielausAbschnitt1.1wardieCharakterisierungvonZustandendurchihreErwartungswertfunktionale vollig aquivalent zur herkommlichen Beschreibung durchDichtematrizen. DadiesbeikomplizierterenModellennichtmehrderFallist,unddadiesomitgewonnenezusatzlicheFreiheitphysikalischsinnvoll genutztwerdenkann soll in diesem Kapitel am Beispiel des freien Fermigases aufgezeigt werden. EinevollstandigeDiskussiondiesesModellsistallerdingserstinKapitel8.2geplant.2.1 DasFermigasimKastenWir betrachtenzunachst einnichtrelativistisches, freies Teilchen, welches sichineinemKasten = (x1, x2, x3) R3[ pi< xi< pi + li, i = 1, 2, 3 (2.1)aufhalt. Als Hamiltonoperator f ur dieses System verwenden wir den Laplaceoperator mit Dirichletrandbedingungen, genauer gesagt die Friedrichsfortsetzung Hdessymmetrischen,positivenOperatorsC0(, C) L2(, d3x) (2.2)wobeiwirdieEinheitensogewahlthaben, da /2m=1ist. HiststriktpositivundhatreindiskretesSpektrum:(H) =____n1n2n33l1l2l3_2 (n1, n2, n3) N3___. (2.3)Daher ist f ur jedes positive R der Operator exp(H) ein Spurklasseoperator.WirgehennunzueinerbeliebigenAnzahl vonFermionen uberdiesichwech-selwirkungsfreiindemKastenbewegen.HamiltonoperatordiesesSystemsistdiezweiteQuantisierung(sieheSatzA.1.8)d(H)auf demfermionischenFockraumH= T(L2(, d3x)).Wirnehmenferneran,dasichdasSystemimthermodyna-mischenGleichgewicht,beschriebendurchdiegrokanonischeGesamtheit=eKtr (eK)mitK= d(H1I) (2.4)bendet. Dawohldeniert, exp(K) alsoeinSpurklasseoperator ist, folgtdabeiausderfolgendenAussage:1314 KAPITEL2. DASFREIEFERMIGAS2.1.1.Behauptung. Sei Hein selbstadjungierter Operator auf den Hilbertraum /und R,dannsinddiefolgendenBedingungenaquivalent:1. exp(H)isteinSpurklasseoperatorauf /.2. exp(d(H 1I))istf uralle ReinSpurklasseoperatorauf T(/).Beweis: Die Implikation 2. 1. ist trivial, da die Einschrankung von d(H) auf denEinteilchensektorvon HmitH ubereinstimmt. F urdenBeweisderumgekehrtenImplikation1. 2. betrachtenwireineEigenbasis N n n L2(, d3x)vonHundberechnendanndieSpurvonexp(d(H 1I))inderdurchSatzA.3.1Punkt3gegebenenBasisvon H.Ubungsaufgabe;siehe[6,5.2.22].Wir sind nun insbesondere an Erwartungswerten (P) =tr(P) interes-siert. Explizit konnenwir diesenAusdruckbestimmen, wennP einPolynominErzeugungsundVernichtungsoperatorenist.EsgiltdabeidiefolgendeAussage:2.1.2.Behauptung. Seidiein(2.4)deniertegrokanonischeGesamtheitaufdemHilbertraum H:= T(L2(, d3x))unddasdurch(P) = tr(P)gegebe-nelineareFunktional auf B(H).1. F urf, g L2(, d3x)ist(A(f)A(g)) = g, zeH(1I +zeH)1f) (2.5)wobeiz= exp()diesogn.Aktivitatbezeichnet.2. Ist P ein Polynomin Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren, dann ist(P)einPolynominAusdr uckenderForm(A(f)A(g)).Beweis: Zu1.AhnlichwieinSatzA.1.15folgtexp(K)A(f) = zA(exp(H)f) exp(K). (2.6)DamitundmitdenkanonischenAntivertauschungsrelationenerhaltenwir(A(f)A(g)) =z tr(A(eHf)eKA(g))tr(K)(2.7)= z(A(g)A(eH)) (2.8)= z(A(eHf)A(g)) + zg, eHf). (2.9)Diesf uhrtzu(A((1I +zeH)f)A(g)) = zg, eHf) (2.10)unddaher:(A(f)A(g)) = g, zeH(1I + zeH)1f) (2.11)waszubeweisenwar!2.1. DASFERMIGASIMKASTEN 15Zu 2. Es reicht oenbar die Aussage f ur Monome der Form

nj=1A(fj)

mk=1A(gk) zu beweisen, da aufgrund der kanonischen Antivertau-schungsrelationen jedes Monom anderer Form in eine Linearkombination von diesenspeziellen Ausdr ucken umgeformt werden kann.Ahnliche Argumente wie im BeweisvonPunkt1f uhrennunzu__n

j=1A(fj)m

k=1A(gk)__ = z__n

j=2A(fj)m

k=1A(gk)A(eHf1)__(2.12)unddaherzu__n

j=1A(fj)m

k=1A(gk)__ =n

p=1(1)npzgp, eHf1)____n

j=2A(fj)m

k=1k,=pA(gk)____z__A(eHf1)n

j=2A(fj)m

k=1A(gk)__(2.13)Linearitatundersetzenvonf1durch(1I +zeH)1f1f uhrtdannzu__n

j=1A(fj)m

k=1A(gk)__ =n

p=1(1)np(A(f1)A(gp))____n

j=1A(fj)m

k=1k,=pA(gk)____. (2.14)IterationdieserGleichungliefertdieBehauptung.Unter Verwendung von Behauptung A.1.16 konnen wir nun den ErwartungswertderTeilchenzahlbestimmen.2.1.3.Behauptung. Der Erwartungswert der Teilchenzahl imZustand istdurch(N) =

n1,n2,n3=1ze(n1,n2,n3)1 + ze(n1,n2,n2)(2.15)gegeben,wobei

(n1, n2, n3) =_n1n2n33l1l2l3_2(2.16)dieEigenwertedesEinteilchenhamiltonoperatorssind.Beweis: DasisteineeinfacheKonsequenzvonBehauptung2.1.2Punkt1undBe-hauptungA.1.16.16 KAPITEL2. DASFREIEFERMIGASWir konnten nun fortfahren weitere Groen wie Energiedichte, Druck etc. zu be-stimmen,denthermodynmischenLimesl1, l2, l3 durchzuf uhrenunddiether-modynamischenGesetzmaigkeitendesSystemsabzuleiten.DadiesjedochausderVorlesung uberThermodynamikundStatistikbekannseinsollteverzichtenwirandieserStelledarauf(siehejedochAbschnitt8.2).Wirwollenvielmehruntersuchen,wiesichdiegrokanonischeGesamtheitimLimes verhalt.2.2 DerthermodynamischeLimesWirbetrachtennuneinfreies, nichtrelativistisches, Teilchen, welchessichimgan-zenOrtsraum(R3)bewegenkann. DerHamiltonoperatordiesesSystemsistdanndie(eindeutige) selbstadjungierteFortsetzungdes Lapalaceoperators H:= :D(H) L2(R3, dx3). EinebeliebigeAnzahl vonFermionendiesichwechselwir-kungsfrei imgesamten OrtsraumR3bewegen, ist, ahnlich wie imletzten Ab-schnitt, durchdiezweiteQuantisierungd(H)auf demferminonischenFockraumH := T(L2(R3, dx3)) gegeben. Im Gegensatz zum Fermigas im Kasten hat der Ein-teilchenhamiltonoperatornunjedocheinreinkontinuierlichesSpektrum. DerOpe-rator exp(H) ist daher keinSpurklasseoperator, weshalbsicheinthermischerGleichgewichtszustand nicht wie in (2.4) beschreiben lat. Stattdessen bedienen wirunshierdesLimes :2.2.1.Lemma. Sei f : RCeine beschrankte, stetige Funktion, dann istlimk|f(Hk) f(H)| =0f ur L2(1, d3x) undjede strikt monotoneFolge(k)kNdie R3ganzausschopft.Beweis:Ubungsaufgabe!Hinweis:BetrachteeineFolgevonW urfelnn= [ln, ln]3und vergleiche die Spektraldarstellungen von Hn (=Fourierreihe) und H (=Fou-rierintegral)Sieheauch[6,Lemma5.2.25].2.2.2.Satz. Sei N n n R3einestriktmonotoneFolgevonQuadern(2.1)dieganz R3ausschopftunddiein(2.4)denierteDichtematrix,1. dannistmitaus(2.5)undf, g L2(1, d3x):(A(f)A(g)) :=limnn(A(f)A(g)) (2.17)= g, zeH(1I + zeH)1f) (2.18)=_R3 g(k) f(k) ze|k|2d3k1 + ze|k|2(2.19)undderGrenzwerthangtnichtvonderFolgenab.2. Ist Pein Polynom in Vernichtern und Erzeugern, dann existiert der Grenzwert(P) := limnn(P)undhangtnichtvonderFolgenab.Beweis: 2. ist eine simple Konsequenz von 1 und Behauptung 2.1.2 Punkt 2. Punkt1folgtausBehauptung2.1.2Punkt1unddemfolgendenLemma.2.2. DERTHERMODYNAMISCHELIMES 17Betrachten wir nun die *-Algebra Adie von Operatoren A(f), A(f) mitsupp f R3kompakterzeugtwird.F urjedesdieserfexistiertoenbareinmitf L2(, d3x), so da wir den soeben bewiesenen Satz anwenden und das Funktio-nal : A Cdurch(P):=lim(P)denierenkonnen. istpositivundnormiertalsoeinZustandimSinnevonAbschnitt1.3. PhysikalischbeschreibtdasthermodynamischeGleichgewichtdesfreienFermigasesimthermodynamischenLimes R3.JedochexisiertkeineDichtematrixauf H,sodatr(P) = (P)ist. Einen Hinweis f ur die Richtigkeit dieser Aussage liefert die mittlere Teilchenzahl-dichte,zunachstf urdasFermigas imKasten.Aus Gleichung(2.15)folgtoenbar=1l1l2l3

n1,n2,n3=1ze(n1,n2,n3)1 + ze(n1,n2,n2), (2.20)wasf ur R3zu:=limR3=1(2)3_R3ze|k|2d3k1 +ze|k|2(2.21)f uhrt(Ubungsaufgabe!). DadasModell translationsinvariantist, istdieTeilchen-zahldichte oenbar ortsunabhangig, so da aufgrund des unendlichen Volumens desR3der Erwartungswert der Gesamtteilchenzahl (N) im thermodynanischen Gleich-gewichtunendlichist. Darausfolgtzumindesttr(N) = , wasallerdingsetwasschwacheralstr() = ist.EineetwasexaktereAnalyseliefertdiefolgendeAussa-ge.2.2.3.Satz. Es exisitert keine Dichtematrix auf Hso da (A(f)A(g)) =tr(A(f)A(g))ist.Beweis: WirwerdendenBeweisimKapitel 8.2ausf uhrlichbetrachten. DieGrun-didee ist es die Matrixelemente eines potentiellen, ) = (A) mit A =[)[) zu betrachten und im thermodynamischen Limes zu approximieren: (A) =lim(A). WegenLemma2.2.2konvergiert aber exp(d(H 1I))f ur und f ur jedes Fgegen exp(d(H1I). Also m ute bis auf einenNormierungsfaktor mit exp(d(H1I)) ubereinstimmen, dies kann jedoch nichtsein,daexp(d(H 1I))keinkompakterOperatorist(besitztkontinuierlichesSpektrum). Der einzige Punkt des Beweises der zuklaren ware, ist die Denition von(A) f ur das oben angegebene A, welches oenbar kein Polynom in A(f), A(g) ist.DieseFragewerdenwirinKapitel8.2klaren.18 KAPITEL2. DASFREIEFERMIGASKapitel3DasvanHove-ModellAhnlich wie in der Quantenstatistik kann eine algebraische Formulierung der Quan-tentheorieauchinderQFTvonNutzensein. WirwerdenzudiesemZweckeeinebestimmteKlassevonModellenausderQuantenfeldtheorieuntersuchen, namlichskalareQuantenfelderdiemitklassischenQuellenwechselwirken.Vorbildf urdiesesKapitelwarderentsprechendeAbschnittimBuchvonEmch[10]welcheszumTeildie Grundlage f ur die folgenden Ausf uhrungen ist (Ich habe jedoch versucht wesent-lichausf uhrlicher zu sein). Weite Teile der Abschnitte uber freie Felder gr unden sichteilweiseauchauf[19,X.7].Bevor wirnunbeginnen, mochteichnochdarauf hinweisen, daessichnichtumeineVorlesung uberQuantenfeldtheoriehandelt. Dasheit, obwohl indiesemKapitel einrelativhoherGradanSelbstkonsistenzangestrebtist, kanneineReihevonAspekten, dieaus Sicht der Quantenfeldtheorievongroer Wichtigkeit sind,nichtodernurunzureichenddiskutiertwerden.3.1 DieKlein-Gordon-GleichungAusgangspunktsoll dasfreieskalareFeldauf demMinkowskiraumsein, dasheitwirsuchennachLosungenderKlein-Gordon-Gleichung2t2(t, x) (t, x) +m2(t, x) = 0. (3.1)Bevor wir operatorwertige Felder betrachten, die diese Gleichungerf ullen, ist esn utzlichzunachstihreklassischenLosungenzuuntersuchen. Dasheitwirwollenf urdenRestdiesesAbschnittesannehmen,da C(R4, C), (t,) =: t o(R3, C) t R (3.2)gilt, wobei o(R3, C)denRaumderkomplexwertigenSchwartzfunktionenauf demR3bezeichnet.Da also jedes tnach Voraussetzung eine Schwartzfunktion ist, konnen wir Glei-chung (3.1) bez uglich der drei Raumkoordinaten fouriertransformieren und erhalten2t2t(k) +|k|2 t +m2 t= 0 (3.3)1920 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLwobeit o(R3, C)f urjedest RdieFouriertransformiertevontbezeichnet.Wirerhaltenalsof urjedesk R3einegewohnlicheDierentialgleichungzweiterOrdnungintwelchediefolgendeLosungbesitzt:t(k) = b(k)ei(k)t+c(k)ei(k)t. (3.4)Dabeibezeichnet(k)dieFunktionR3 k (k) :=_|k|2+m2 R. (3.5)Wirwollennunannehmen,dadieAnfangsbedingungen(0, x) = f(x), t(0, x) = p(x) x R3(3.6)erf ullt,wobeif, p o(R3, C)sind.Danngiltoenbarf(k) = b(k) +c(k)und p(k) = i(k)(b(k) c(k)) (3.7)unddamitb(k) =12( f(k) i(k) p(k)), c(k) =12( f(k) +i(k) p(k)). (3.8)F uralleAnfangsdatenaus(3.6)konnenwirdamitdieLosungderDierentialglei-chung (3.1) konstruieren. Dabei ist zu beachten, da die Funktionen b und c aufgrundvonGleichung(3.8)ebenfallsSchwartzfunktionensind. Auerdemistdiekonstru-ierteLosungeindeutig(imdurchFormel (3.2)gegebenenFunktionenraum); dennf ureineLosungmitAnfangsdatenf=0undp=0w urdeaus(3.8)b=c=0unddamit= 0folgen.WirhabendamitdenfolgendenSatzbewiesen:3.1.1.Satz. Die Klein-Gordon-Gleichung(3.1) besitzt f ur alle Anfangsdaten f, p o(R3, C)genaueineglatteLosungsodadieFunktionx (t, x)f urallet ReineSchwartzfunktionist.DieseLosungistdurch(t, x) =1(2)3/2_R3_b(k)ei(k,x)+(k)t)+ c(k)ei(k,x)(k)t)_d3k (3.9)gegeben,wobeib, c o(R3, C)gemaGleichung(3.8)durchdieAnfangsdatengege-bensind; ,)bezeichnetdas ublicheSkalarproduktim R3.3.1.2.Bemerkung. DieserExistenz-undEindeutigkeitssatzkannunterbedeutendallgemeineren Bedingungen bewiesen werden. Es ist ausreichend, wenn die Anfangs-dateneinergeeignetenSobolevklasseangehoren. Eineausf uhrlicheDiskussiondie-ser Tatsache im Rahmen unendlichdimensionaler Hamiltonscher Systeme ndet sichz.B.imBuchvonChernovundMarsden[7].Wir sind im folgenden an reellwertigen Losungen interessiert. Das heit (x, t) =(x, t)wasf urdieFouriertransformierte:t(k) =t(k) k R3(3.10)3.1. DIEKLEIN-GORDON-GLEICHUNG 21bedeutet.MitGleichung(3.8)erhaltenwirdadurchb(k) = c(k)undc(k) = b(k) k R3. (3.11)Aus(3.9)folgtnunoenbar(t, x) =1(2)3/2_R3b(k)ei(k,x)+(k)t)d3k+1(2)3/2_R3c(k)ei(k,x)(k)t)d3k, (3.12)undwirkonnenimerstenIntegraldieSubstitutionk kvornehmen.Mit(3.11)erhaltenwirsomit:(t, x) =1(2)3/2_R3_c(k)ei(k,x)+(k)t)+ c(k)ei(k,x)(k)t)_d3k. (3.13)MitderFunktionR3 k a(k) =_2(k)c(k) C (3.14)erhaltenwiralso(t, x) =1(2)3/2_R3_a(k)ei(k,x)(k)t)+a(k)ei(k,x)(k)t)_d3k_2(k)(3.15)f ur(t, x)unda(k) =12___(k) f(k) +i_(k) p(k)__(3.16)f(x) =1(2)3/2_R3_a(k)eik,x) +a(k)eik,x)_d3k_2(k)(3.17)undp(x) =i(2)3/2_R3_a(k)eik,x)a(k)eik,x)_(k)2d3k (3.18)f ur die Beziehungen zwischen a(k) und den Anfangsdaten p bzw. f. (Die Einf uhrungdes Faktors 1/2ist an dieser Stelle vollig unmotiviert und auch uber ussig. Bei derBehandlung der Quantenfelder werden wir jedoch sehen, da dieser Faktor dort vongroerWichtigkeitist(siehedieBemerkungen3.2.7und3.2.8). DawirAusdr uckef urdieklassischenLosungenderKlein-Gordon-Gleichungerhaltenwollen, diefor-mal dieselbe Gestalt wie die Quantenfelder haben die wir spater konstruieren wollen,m ussenwirunsschonandieserStellemitdiesen1/2Faktorenbeschaftigen.)Zu-sammenfassendgiltalsodasfolgendeKorollar:3.1.3.Korollar. Sind die Anfangsdaten f, p in Satz 3.1.1 reellwertig, dann ist auchdie Losung (t, x) reellwertig und sie hat die Form(3.15) mit der in Gleichung(3.16)gegebenenFunktiona o(R3, C).22 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL3.1.4.Bemerkung(hamiltonscheFormulierung). Wir wollen nun die klas-sische Hamiltonfunktion f ur die Klein-Gordon-Gleichung betrachten (f ur eineausf uhrliche Darstellung der hamiltonschen Formulierung linearer hyperbolischerDierentialgleichungen, sei erneut auf das Buch von Chernov und Marsden [7]verwiesen). Als Phasenraumdient dabei der Raumder Anfangsdaten o(R3, R) o(R3, R).DieHamiltonfunktionhatdanndieFormo(R3, R) o(R3, R) (f, p) H(f, p) :=12p, p) +12(m2)f, f) R, (3.19)wobei ,)dasSkalarprodukt inL2(R3, d3x)bezeichnet. UmdiekanonischenBe-wegungsgleichungen dieser Hamiltonfunktion zu bestimmen, f uhren wir die partiellenAbleitungenHf (f, p), ) :=ddH(f+, p)[=0(3.20)undHp(f, p), ) :=ddH(f, p +)[=0(3.21)ein.Imallgemeinenm ussendiesepartiellenAbleitungennat urlichnichtexistieren,inunseremFallejedocherhaltenwirHf (f, p) = (m2)fundHp(f, p) = p (3.22)undsomitf urdiekanonischenBewegungsgleichungenft=Hp(ft, pt) = pt(3.23) pt= Hf (ft, pt) = (m2)ft. (3.24)Ist t (ft, pt) eine Losung dieser Gleichungen, dann lost (t, x) := ft(x) die Klein-Gordon-Gleichungundlostumgekehrt(t, x)dieKlein-Gordon-Gleichungdannist(ft, pt) mit ft=(t,) undpt=t(t,) eine Losung der kanonischenBewe-gungsgleichungen.Dieszeigt,dadieklassischeHamiltonfunktionHinderTatdieKlein-Gordon-Gleichungbeschreibt.Wir wollen nun noch untersuchen, welche Gestalt Hals Funktion von ao(R3, C)hat. Wirbenutzenhierf urdieUnitaritat derFouriertransformation. Dasheitwirberechnen p, p) = p, p)und 2 f,f) = (m2)f, f).F urdieFourier-transformiertenvonfundpaus(3.7)und(3.14)erhaltenwirf(k) =1_2(k)(a(k) +a(k))und p(k) = i(k)2(a(k) a(k)). (3.25)Diesliefertsomit(m2)f, f) =_R3(k)2_a(k) +a(k)_ _a(k) +a(k)_d3k (3.26)3.1. DIEKLEIN-GORDON-GLEICHUNG 23undp, p) =_R3(k)2_a(k) a(k)_ _a(k) a(k)_d3k. (3.27)ZusammenalsoH(a) =12_R3(k)_a(k)a(k) + a(k)a(k)_d3k (3.28)undwennwir, ahnlichwieoben, dasIntegral ineineSummevonzwei IntegralenzerlegenundimerstenIntegral dieSubstitutionk kvornehmen,dannfolgt:H(a) =12_R3(k)_a(k)a(k) +a(k)a(k)_d3k =_R3(k)a(k)a(k)d3k. (3.29)UnsernachstesZiel istnundieQuantisierungdieserklassischenFeldtheorie,dasheitwirwollendieklassischenLosungen(t, x)derKlein-Gordon-Gleichungdurchoperatorwertige Felder(t, x) zu ersetzen. Genauer gesagt wir suchen einenHilbertraum TundeineAbbildung R4(t, x) (t, x)diejedemEreignis(t, x)des Minkowskiraumes R4einen selbstadjungierten Operator (t, x) so zuordnet, da(ineinemgeeignetenSinne) dieKlein-Gordon-Gleichungerf ullt ist. (Wir werdensehen, da unter den zusatzlichen Bedingungen die an dieses Modell zu stellen sind,dieser Wunschnicht ganz erf ullt werdenkann. Wir werdendie (t, x) nicht alsOperatorensondernnuralsquadratischeFormendenierenkonnen.)AlleindieForderung(t, x)solleeineLosungderKlein-Gordon-Gleichungseinreicht allerdings bei weitem nicht aus, um die quantisierte Theorie eindeutig festzu-legen.InAnalogiezumklassischenFallkonntemansagen,dadieAnfangsdaten(x)=(0, x)und(x)=t(0, x)durchgeeigneteBedingungenfestgelegtwer-denm ussen.DerwichtigsteAnhaltspunkthierf uristdieForderung,dadieTheo-riekanonisch quantisiert werdensoll. F ur eineTheoriemit endlichvielenFrei-heitsgraden heit dies, da die klassischen Orts- und Impulskoordinaten qi, pjdurchOperatoren Qi, Pjzu ersetzen sind, so da die kanonischen Vertauschungsrelationen[Qi, Qj] =[Pi, Pj] =0und[Qi, Pj] =ii,jgelten.Ubertragenauf eineFeldtheoriebedeutetdies,f urdieoperatorwertigenFelder(x), (x):[(x), (y)] = i(x y), [(x), (y)] = 0, [(x), (y)] = 0, x, y R3. (3.30)Ichmochte allerdings schonandieser Stelle bemerken, dadiese ForderungdieQuantisierungnicht eindeutigfestlegt; selbstwennmandieProblemeauerachtlat, die vonder Nichtaquivalenz der Weylschenundder HeisenbergschenFormder Vertauschungsrelationenherr uhren(siehe[20, VIII.5] f ur eineDiskussionderProblemederkanonischenVertauschungsrelationenschonf urSystememitendlichvielen Freiheitsgraden). Wir werden im 4. Kapitel sehen, da es bei einer Feldtheoriebeliebig viele inaquivalenteDarstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationengibt und wir zusatzliche Bedingungen benotigen, um die Quantisierung eindeutig zumachen(DieserUmstandist ubrigens einwesentlicherGrund, weshalbalgebraischeMethodenbei derBehandlungvonSystemenmitunendlichvielenFreiheitsgradenbesondersn utzlichsind;wirwerdendiesimVerlaufdiesesKapitelsnocheingehen-derdiskutieren).EinedieserForderungen(aberebenfallsnichtausreichend)istdie24 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLnachPoincareinvarianz, das heit bei dem Wechsel des Inertialsystems durch einePoincaretransformation(, v)(beschreibtdabei eineLorentztransformationundv R4eine Raumzeitranslation) soll sich das Feld durch eine geeignete unitare Dar-stellungU,vderPoincaregruppetransformieren:U,v(t, x)U,v= ((t, x) + v).Umdieszuerreichen, werdenwirindennachstenzwei Abschnitteneinopera-torwertigesFeldk A(k)(denVernichtungsoperator)suchen,soda(x),und(x)dieForm(x) =1(2)3/2_R3_A(k)eik,x) +A(k)eik,x)_d3k_2(k)(3.31)und(x) =i(2)3/2_R3_A(k)eik,x)A(k)eik,x)_(k)2d3k (3.32)(vergl. Formel (3.17) und(3.18)) haben. Die in(3.30) angegebenenkanonischenVertauschungsrelationen legen dabei die Moglichkeiten f ur die Wahl der OperatorenA(k) bis zu einem gewissen Grade fest (aber nicht vollstandig, wie bereits erwahnt).Das freie, skalare Quantenfeld(t, x) ist dannwie in(3.15) ebenfalls durchdieOperatorenA(k)gegeben:(t, x) =1(2)3/2_R3_A(k)ei(k,x)(k)t)+A(k)ei(k,x)(k)t)_d3k_2(k). (3.33)Der in diesem Integral auftauchende 1/(1/2) Faktor ist dabei ein Vorgri auf die be-reits erwahnte Poincareinvarianz (vergleiche Bemerkung 3.2.8 f ur eine ausf uhrlichereDiskussiondiesesUmstandes).3.2 DasfreieskalareFeldDerersteSchrittumdenzumTeilsehrheuristischenUberlegungenvomEndedesletztenAbschnitteseinenprazisenmathematischenSinnzugeben,istdasStudiumeinerbestimmtenDarstellungderinGleichung(3.30)angegebenenVertauschungs-relationen. Zu diesem Zwecke betrachten wir den, im Anhang A behandelten, boso-nischenFockraum TS(H)zumHilbertraum H := L2(R3, d3x).WirdenierennunzunachstaufdemDenitionsbereichDS= F0[ (n) o(R3n, C) n N (3.34)denVernichtungsoperatorA(k) : DS TS(L2(R3, d3x)):(A(k))(n)(k1, . . . , kn) =n + 1(n+1)(k, k1, . . . , kn). (3.35)DenErzeugungsoperator A(k)kannmannunjedochnicht als AdjungiertenzuA(k)denieren, daeinestrikteAnwendungderDenitiondesAdjungierteneinen3.2. DASFREIESKALAREFELD 25Operator mit Denitionsbereich 0 (!) ergeben w urde. Nur formalkonnen wir daherschreiben(A(k))(n)(k1, . . . , kn) =1nn

l=1(k kl)(n1)(k1, . . . ,kl, . . . , kn). (3.36)UmA(k)einenexaktenmathematischenSinnzugebenm ussenwirquadratischeFormenbenutzen. Dasheitauf demDenitionsbereichDSDSkonnenwirdiequadratischeFormDS DS (, ) A(k)[, ] := , A(k)) C (3.37)einf uhrenundA(k)alsdiezudieseradjungiertequadratischeFormdenieren:DS DS (, ) A(k)[, ] := A(k), ) C. (3.38)IstzumBeispiel= (0, (1), 0, . . . )und= (0, 0, (2), 0, . . . )dannfolgtaus(3.38)A(k)[, ] =12_R3_(2)(k1, k)(1)(k1) +(2)(k, k1)(1)(k1)_d3k1. (3.39)UmnundieBeziehungzwischenA(k)undA(k)einerseitsunddenin(A.19)und (A.21) denierten Operatoren A(f) und A(f) andererseits herzustellen, m ussenwir die quadratischenFormenA(k), A(k)mit einer Testfunktionf o(R3, C)verschmieren.DasheitwirbetrachtendieIntegrale_R3A(k)f(k)d3kund_R3A(k)f(k)d3k, (3.40)welcheimschwachenSinnezuinterpretierensind.F ur, DSsollgelten:__R3A(k)f(k)d3k_[, ] =_R3A(k)[, ]f(k)d3k (3.41)bzw.__R3A(k)f(k)d3k_[, ] =_R3A(k)[, ]f(k)d3k. (3.42)DamiterhaltenwirdiefolgendeAussage:3.2.1.Behauptung. F urjedeTestfunktionf o(R3, C)geltendieGleichungenA(f) =_R3A(k)f(k)d3k (3.43)undA(f)=_B3A(k)f(k)d3k (3.44)imschwachenSinne. Dabei sindbeideSeitenjeweilsalsquadratischeFormemmitDenitionsbereichDS DSaufzufassen.26 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLBeweis: DieGleichung(3.43)folgtunmittelbardurchVergleichderDenitionvonA(k) in Gleichung (3.35) mit dem Ausdruck f ur A(f) in (A.22). Die Gleichung (3.44)folgt durch Bildung von Adjungierten (oder durch Vergleich des formalen Ausdrucks(3.36)mit(A.23)).Wir sindnunbereit die amEnde des Abschnittes 3.1angegebenenformalenAusdr uckewiefolgtzuinterpretieren:3.2.2.Satz. DurchdieschwachenIntegrale(x) =1(2)3/2_R3_A(k)eik,x) +A(k)eik,x)_d3k_2(k)(3.45)(x) =i(2)3/2_R3_A(k)eik,x)A(k)eik,x)_(k)2d3k (3.46)und(t, x) =1(2)3/2_R3_A(k)ei(k,x)(k)t)+A(k)ei(k,x)(k)t)_d3k_2(k). (3.47)sind f ur alle (t, x) RR3quadratische Formen mit dem Denitionsbereich DSDSdeniert.DabeibezeichnenA(k)undA(k)f urjedesk R3diequadratischenFor-menaus(3.37)und(3.38). (t, x)erf ulltdieKlein-Gordon-Gleichung(imschwa-chenSinne).Beweis: Aus den Denitionen von A(k) und A(k)folgt, da f ur jedes , o(R3n, C) H(n)dieFunktionen R3A(k)[, ] Cbzw. R3A(k)[, ] CSchwartzfunktionensind. Dies impliziert jedoch, dadieIntegrandender zuun-tersuchendenIntegraleschwachintegrierbarsind,dieIntegralealsoexistieren.Da(t, x)[, ]f ur, DSdieKlein-Gordon-Gleichungerf ulltfolgtunmittelbarausderDiskussionderklassischenLosungenimAbschnitt3.1.MitdiesemSatzhabenwirdenAusdr uckenvomEndedesAbschnittes3.1inmathematisch zufriedenstellender Weise interpretiert. Allerdings sind (x), (x) und(t, x) keine Operatoren, sondernnur quadratische Formen. UmOperatorenzuerhaltenm ussenwirdieFeldermiteinerTestfunktionf o(R3, C)verschmierendasheitwirm ussendieschwachenIntegrale(f) =_R3f(x)(x)d3x, (f) =_R3f(x)(x)d3x (3.48)und(t, f) =_R3f(x)(t, x)d3x (3.49)betrachten. MitderAussage3.2.1undderDenitiondesSegaloperatorserhaltenwir3.2. DASFREIESKALAREFELD 273.2.3.Satz. Die schwachen Integrale in (3.48) und (3.49) existieren und denierenf ureinereellwertigeTestfunktionf dieauf demDenitionsbereichDSwesentlichselbstadjungiertenOperatoren(f) = S_f_, (f) = S_i f_(3.50)und(t, f) = S_eit f_. (3.51)Beweis: Wirbetrachtennur(f)dadieanderenAussagenvolliganalogbewiesenwerdenkonnen.PerDenitionist(f) =_R3f(x)(x)d3x (3.52)=_R3f(x)1(2)3/2_R3_A(k)eik,x) +A(k)eik,x)_d3k_2(k)d3x (3.53)=_R3_A(k)_1(2)3/2_R3f(x)eik,x)d3x_(3.54)+A(k)_1(2)3/2_R3f(x)eik,x)d3x__d3k_2(k)(3.55)=_R3_A(k) f(k) + A(k) f(k)_d3k_2(k)(3.56)beim letzten Gleichheitszeichen ist zu beachten, da die Testfunktion reellwertig ist.Mit3.2.1folgtdieBehauptung.Nunkonnenwir die Aussagendes Satzes A.2.3 verwenden, umzunachst zuzeigen, da die Felder (f) und (f) den kanonischen Vertauschungsrelationengen ugen.3.2.4.Satz. DieFelder(f)und(f)erf ullendiekanonischenVertauschungsre-lationen,dasheitf uralle DSgilt:[(f), (g)]= 0, [(f), (g)]= 0, [(f), (g)]= if, g). (3.57)Beweis: Wir betrachtennur reellwertige Testfunktionen. Die allgemeine Aussagefolgtdanndurchkomplex-linearesFortsetzen(beachte, dadieSegalquantisierungf S(f)nicht komplex-linearist).Damitist[(f), (g)]=_S_f_, S_ g__ (3.58)= i Im_f, g_ (3.59)28 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLDas Skalarprodukt auf der rechtenSeite der zweitenGleichungist jedochreell:InversesFouriertransformierenvonf1/2liefert1(2)3)_R3_R3f(x)eik,x)d3x1_(k)eik,y)d3k =1(2)3)_R3_R3f(x)1_(k)eiyx,k)d3xd3k (3.60)Imkonjugiert komplexenAusdruckdes zweitenTerms dreht sichjedochnur imExponentenvonexpdas Vorzeichenum. Dader Integrandinksymmetrischist((k)=(k))kanndiesdurcheineSubstitutionk kkompensiertwerden.Alsoist,wenn T1dieinverseFouriertransformationbezeichnetT1_f_ = T1_f_(3.61)unddamit, wiebereitsgesagt, dasSkalarproduktin(3.59)reinreellwertig. Damitfolgt [(f), (g)]=0undauf genaudiegleicheWeisefolgt [(f), (g)]=0.Damitbleibt[(f), (g)]:[(f), (g)]=_S_f_, S_i g__ (3.62)= i Im_i_f, g__ (3.63)Das Skalarprodukt auf der rechten Seite der zweiten Gleichung ist wieder reellwertig,da es jedoch im Argument von Im mit i multipliziert wird, folgt die Behauptung.NunwollenwirunsdemfreienHamiltonianzuwenden.Hierf urdenierenwirzunachstdenEinteilchenhamiltonian:o(R3, C) f h0f:= f L2(R3, d3k). (3.64)Es ist unschwer zu erkennen, da h0auf seinem Denitionsbereich wesentlich selbst-adjungiert ist und da seine selbstadjungierte Fortsetzung die einparametrige unitareGruppe(ut)tRmitL2(R3, d3k) f utf:= eitf L2(R3, d3k) (3.65)erzeugt.DaheristderfreieHamiltonianH0:= d(h0) : DS TS(L2(R3, d3k)) (3.66)auf seinemDenitionsbereichebenfallswesentlichselbstadjungiertundererzeugtdiefreieDynamikUt:= (ut).MitSatzA.2.3(5)folgtdahersofortdieAussage:3.2.5.Satz. DerOperator3.66istwesentlichselbstadjungiertunddiedurchseineselbstadjungierte Fortsetzung erzeugte unitare Gruppe Ut=exp(itH0) erf ullt dieGleichung:Ut(f)Ut = (t, f) (3.67)f uralle DS.3.2. DASFREIESKALAREFELD 29Beweis: UnmittelbareFolgevonA.2.3(5)derGleichung(3.51)undderTatsache,daUt= (ut)denDenitionsbereichDSinvariantlat.Diese Aussage rechtfertigt die Interpretation von H0 als freier Hamiltonoperator,daerdieDynamikdesFeldes(x, t)beschreibt.DamitistdieKonstruktiondesfreienFeldesabgeschlossen. WirwollenjedochnocheinpaarBemerkungenanschlieen.3.2.6.Bemerkung. Zunachst wollen wir einen alternativen Ausdruck f ur den frei-en Hamiltonian betrachten, der uns im nachsten Abschnitt den Weg weisen wird, wiewir denHamiltonoperator f ur einmit klassischenQuellenwechselwirkendes Feldkonstruierenkonnen.WirbetrachtenzudiesemZwecke, H(n)Dannist, H0) =_R3

_R3_n

i=1(ki)_(k1, . . . , kn)(k1, . . . , kn)d3k1. . . d3kn. (3.68)Da die Funktionen , aber in ihren Argumenten vollstandig symmetrisch sind folgtdaraus:, H0) =_R3

_R3n(k)(k, k1, . . . , kn1)(k, k1, . . . , kn1)d3kd3k1. . . d3kn1(3.69)WirbetrachtennundenAusdruck, A(k)A(k)) = A(k), A(k)) (3.70)=_R3

_R3n(k, k1, . . . , kn1) (3.71)n(k, k1, . . . , kn1)d3k1. . . d3kn1. (3.72)Diesf uhrtunmittelbarzu, H0) =_R3

_R3(k)(A(k))(k1, . . . , kn1)(A(k))(k1, . . . , kn1)d3k1. . . d3kn1d3k (3.73)also, H0) =_R3(k)A(k)A(k)[, ]d3k. (3.74)ImSinnequadratischerFormengiltalsoH0=_R3(k)A(k)A(k)d3k. (3.75)Diesist jedochgenauderAusdruckf urdieklassischeHamiltonfunktionin(3.29)wenndieFunktiona(k)durchdiequadratischeFormA(k)ersetztwird.30 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL3.2.7.Bemerkung(LorentzinvarianteMae). Nun ist noch der Grund f ur dasbisherrechtunmotivierteAuftauchendervielen(k)1/2zuklaren.DenHintergrundhierf urbildetdasStudiumLorentzinvarianterMaeaufderpositivenMassenscha-leMm:= p R4[ g(p, p) = m2, p0> 0, (3.76)wobei g: R4R4R die Minkowskimetrik g(v, w) := v0w0

3i=1viwiist. OenbaristMmeinOrbitder eigentlichen,orthochronenLorentzgruppeL+:= : R4R4[linear,g(v, w) = g(v, w) v, w R4, det = 1, 00> 0, (3.77)das heit f ur alle p Mmist p Mm. Dies legt denWunschnahe, auf MmeinMamzunden, welches invariant unterLorentztransformationenist, alsom() = m()f urjedemebareTeilmenge Mmundf urjedes L+.Eszeigtsich,dajedesMadieserArteinVielfachesvonm() =_jm()d3k(k)(3.78)ist.DabeiistjmdiedurchMm (k0, k1, k2, k3) (k1, k2, k3) R3gegebenePara-metrisierungvonMm[19,Thm.IX.37].BetrachtenwirnundenHilbertraumL2(Mm, m).EineunitareTransformationvonL2(Mm, m)aufL2(R3, d3k)istoenbardurchL2(Mm, m) f Jm(f) :=f j1m_() L2(R3, d3k) (3.79)gegeben.SetzenwirdiesindenAusdruckf ur(f)inGleichung(3.50)einerhaltenwir:(f) = S_f_ = (Jm)S( f)(Jm)(3.80)f ur reellwertige Testfunktionen f o(R3, R). Dabei bezeichnetSden Segaloperatorim Fockraum uber L2(Mm, m). Das heit wir haben sozusagen imfalschenHilber-traumgearbeitetunddiesdurchdasBer ucksichtigender(k)1/2Faktorenkompen-siert. WarumnunderHilbertraumL2(Mm, m)f urunsereZweckedergeeignetereistwerdenwirindernachstenBemerkungdiskutieren.ZuvorjedochnocheinpaarWortezumFeld(t, x).WirhabenesinSatz3.2.3raumlichverschmiert umeinenOperator zuerhalten. Es ist jedochauchmoglich(t, x)miteinerFunktionvonxundtzuverschmieren.Umzuerkennen,waswirdannerhaltenf uhrenwirzunachstdieAbbildungo(R4, C) f Ef:=2 fMm L2(Mm, m) (3.81)ein,wobeifeineVariantederFouriertransformationist:f(p) :=1(2)2_R4eig(v,p)f(v)d4v. (3.82)3.2. DASFREIESKALAREFELD 31Dasheitanstattdes ublichenSkalarproduktesverwendenwirdieMinkowskimetrikimExponenten.EineRechnungahnlichderausSatz3.2.3zeigtnunsofortdaf urallef o(R4, R)durch(f) :=_R4(t, x)f(t, x)dtd3x = (Jm)S(Ef)(Jm)1(3.83)einauf demDenitionsbereichF0wesentlichselbstadjungierterOperatordeniertist. Auchdies zeigt, daL2(Mm, m) oenbar derangemessenere Hilbertraumist.3.2.8.Bemerkung(TransformationsverhaltenderFelder). AmEndediesesAbschnittes sollenschlielich nocheinpaarWortezurphysikalischen Interpretationfallen. Wir betrachten zu diesem Zweck das Transformationsverhalten des Feldes un-terPoincaretransformationen(, a) T+(DiePoincaregruppeistdassemidirekteProduktausLorentzgruppeundTranslationsgruppe;istalsoeineLorentztransfor-mation und a eine Translation des R4). Zu diesem Zweck betrachten wir die folgendeDarstellungderPoincaregruppeaufL2(Mm, m):T+ (, a) Um(, a), (Um(, a)f)(p) = eig(p,a)f(1p) (3.84)f urallef L2(Mm, m). IdentizierenwirnundurchdieunitareTransformationJmaus Formel (3.79) denFockraum TS(L2(R3, d3k)) mit TS(L2(Mm, m)) dannkanngezeigtwerdenda(Um)(t, x)(Um) = ((t, x) +a) (3.85)gilt [19, Thm X.42]. An dieser Stelle sehen wir, warum der Hilbertraum L2(Mm, m)so wichtig ist und warum also in vielen Formeln die scheinbar unmotivierten (k)1/2Faktoren auftreten. Ohne diese Faktoren hatte das Feld (t, x) nicht dieses Transfor-mationsverhalten, welches f ur die physikalische Interpretation des Modells wesentlichist.Bevorwirdaraufnahereingehenseinochbemerkt,dadasStudiumdesTrans-formationsverhaltensderFelderf urdieQuantenfeldtheorievonentscheidenderBe-deutungist. Wirwollendieshiernichtvertiefen, werdenjedochbeimStudiumderkanonischen Vertauschungsrelationen im Kapitel 4 auf diesen Punkt zur uckkommen.3.2.9.Bemerkung(PhysikalischeInterpretation). NacheinemPostulat vonWigner werden relativistische, freie Teilchen gerade durch eine irreduzible,starkstetige, unitareDarstellungder universellenUberlagerungsgruppeder Poin-caregruppe beschrieben (Wigner motivierte dieses Postulat durch die Annahme,daUbergangswahrscheinlichkeitenbei demWechsel desInertialsystemsinvariantbleibensollten). EineAnalysedieserirreduziblenunitarenDarstellungenzeigt dasiedurchzwei Parameter, MasseundSpin, charakterisiert werdenkonnen(Eineausf uhrliche Darstellung dieses Sachverhalts ndet sichimBuchvonBarut undRaczka[2];DieDarstellungUmistnun,wiesichzeigenlatirreduzibel undgehortzurMassemundSpin0. Einnormiertes TS(L2(R3, C)) mit N=kanndaheralsderZustandeinesskalarenTeilchensderMasseminterpretiert werden.EntsprechendbeschreibtdannN= ndenZustandeinesn-Teilchensystemesund32 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL0denZustandganzohneTeilchen,welcherzugleichderZustandniedrigsterEner-giealsoH00= 0ist.Diese Bemerkung klart die physikalische Interpretation des Modells: es beschreibtalso eine beliebige Anzahl wechselwirkungsfreier skalarer Teilchen der Masse m (etwa0Mesonen).OenistjedochnochdieInterpretationeinigerdervonunskonstru-iertenObservablen. Einfachistdiesbei denOperatorenNundH0, siebeschreibenTeilchenanzahl undGesamtenergie.SolchdirekteAussagensindf ur(x)und(x)problematisch.Jedochkonnenund,genausowieinderQuantenmechanikOrts-und Impulsoperator, benutzt werden, um neue Observablen zu konstruieren. Das ein-fachste Beispiel hierf ur, welches wir kurz skizzieren wollen, ist der freie HamiltonianH0.WirkonneninderklassischenHamiltonfunktionH(f, p)(3.19)dieAnfangsda-tenfundpdurchdiequantentheoretischenAnalogaundersetzen.WirerhaltendanndenformalenAusdruck12_R3(x)(x)d3x +12_R3ijxi(x) xj(x)d3x +12m2_R3(x)(x)d3x. (3.86)UmformungenahnlichwieinBemerkung3.1.4f uhrendannzumebenfallsformalenAusdruck:12_R3(k) (A(k)A(k) +A(k)A(k)) d3k. (3.87)DerindiesemAusdruckauftauchendeTermA(k)A(k)ist jedochnicht deniert,auch nicht als quadratische Form, da , A(k)A(k)) =A(k), A(k)) undA(k)nicht als Operator deniert ist. AufgrundphysikalischerUberlegungen(f urdieichauf dieLehrbuchliteratur uber Quantenfeldtheorieverweisenwill, zB. [4])kann(3.87)jedochalsSummebestehendausdemfreienHamiltonianH0undeinemdivergentenTerm, derunendlichenSelbstenergiedesVakuums(etwaanalogzurNullpunktenergiedesharmonischenOszillators)aufgefatwerden.DanurEnergie-dierenzennicht jedochabsoluteBetragegemessenwerdenkonnen, ist es legitimdenEnergienullpunktneufestzulegen,alsodieEnergiezurenormieren.DasAuf-tauchenderdivergentenNullpunktsenergiekonnenwiralsogrobgesagtalsschlechteWahl desEnergienullpunktesinterpretierenunddenentsprechendenTermsubtra-hieren. Wir gelangen dann zumrenormierten HamiltonianH0, den wir gleich vonAnfanganalsdenrichtigenHamiltonoperatorinterpretierthaben.Um (3.87) zu renormieren, haben wir also den undenierten Ausdruck A(k)A(k)durch die quadratische Form A(k)A(k) zu ersetzen. Diese Idee f uhrt zur Einf uhrungder Wickordnung, die wie folgt deniert werdenkann. Gegebensei einPolynomP(A(k), A(k)) inErzeugungs und Vernichtungsoperatoren(z.B. einPotenz von(x)), dannistdas normalgeordnetePolynom:P(A(k), A(k)): deniertalsdie-jenigequadratischeFormdieentsteht, wennjedesMonomvonP(A(k), A(k)) soumgeordnet wird, daalleErzeugerA(k)linksvonallenVernichternstehen. MitdiesemBegrikonnenwirnundenfreienHamiltonianauchdurchH0=:12_R3_(x)(x) +ijxi(x) xj(x)d3x + m2(x)(x)_d3x : (3.88)angeben.DieseMethodelatsichnunaufandereObservablen ubertragen.ZumBei-spiel aufdenGesamtimpulsoderdenEnergie-Impuls-Tensor.3.3. WECHSELWIRKUNGMITKLASSISCHENQUELLEN 333.3 WechselwirkungmitklassischenQuellenWirwollennuneinenSchrittweitergehenundQuantenfelderbetrachtendiemitklassischenQuelltermenwechselwirken.DasheitwirsuchennachLosungenderFeldgleichung2t2(t, x) (t, x) +m2(t, x) + (x) = 0, (3.89)wobei einegeeignete, moglicherWeisesingulareInhomogenitatist. Physikalischbeschreibt ein solches Modell Mesonen deren Wechselwirkung durch den klassischenQuelltermapproximiertwird.BesondersinteressiertunsdersingulareQuellterm=. Dieser Fall kannals (sehr einfaches) Modell der starkenWechselwirkungaufgefatwerden:EsbeschreibtdenEinuderNukleonen(diehiernurdurchdieQuellverteilung=eingehen)auf dasMesonenfeld. DerersteSchrittzurKon-struktioneinersolchenTheorieistdieApproximationvondurchglatteQuellter-me.F urdenRestdiesesAbschnitteswollenwirdaher o(R3, R)betrachten,umdannimnachstenAbschnittdenGrenz ubergang durchzuf uhren. BevorwirmitdermathematischenAnalysediesesProblemsbeginnensei nochbemerkt, dabei diesenModelleneigentlichnicht vonWechselwirkung geredet werdenkann,daderQuelltermzwarAuswirkungenauf dieQuantenfelderhat, umgekehrtdieQuantenfelderjedochnichtaufdieQuellezur uckwirken.Um nun ein solches Modell zu konstruieren suchen wir als erstes nach einen An-satzf urdenWechselwirkungshamiltonianH. Essolltesichdabei umeinenselbst-adjungiertenOperatorauf demFockraum TS(L2(R3, d3x))handeln. Diewechsel-wirkendenFeldererhaltenwirdanndurcheitH (x)eitH=:(t, x) (3.90)wobei(x)einequadratischeFormahnlichderaus(3.45)ist.UmeinenAnsatzf urHzuerhaltenorientierenwirunsanderForm(3.75)desfreienHamiltonian.DieseentsprachinihrerGestaltderklassischenHamiltonfunktionH(a)(siehe(3.29).DerDiskussion aus 3.1.4 folgend erhalten wir als Hamiltonfunktion f ur die Feldgleichung(3.89)denAusdrucko(R3, R) o(R3, R) (f, p) H(f, p) +f, ) (3.91)wobei H(f, p) die Hamiltonfunktion des freien Feldes aus (3.19) ist. Ersetzen wir dieAnfangsdatenf, pdurchdieFunktiona(k)dannerhaltenwirHW(a) :=_R3(k)a(k)a(k)d3k +1(2)3/2_R3(x)_R3_a(k)eik,x) +a(k)eik,x)_d3k_2(k)d3x. (3.92)Wenn wir in diesem Ausdruck formal a(k) durch A(k) und a(k) durch A(k) ersetzenerhaltenwirdenOperator(siehehierzuauchdieDiskussionderWickordnunginBemerkung3.2.9)H:= H0 +() : DS TS(L2(R3, d3x)) (3.93)34 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLderauf seinemDenitionsbereichsymmetrischist. Eineausf uhrlicheAnalysevonOperatorendieserGestaltwurdevonCook1961durchgef uhrt[8]. Wirwollenf uralle Beweise in diesem Abschnitt auf diese Arbeit verweisen (siehe auch den entspre-chendenAbschnittimBuchvonEmch[10]).Alserstesgilt3.3.1.Satz. DerOperatorHausGleichung(3.93)istauf demDenitionsbereichD(H0)selbstadjungiert.AuerdemistHwesentlichselbstadjungiertaufjedemCorevonH0.Beweis: Der Beweis einer verallgemeinerten Version dieser Aussage ndet sich in [8,Lemma2].Wirwollenf urdenBeweisdasfolgendeTheoremvonKatoundRellichverwenden[19,Thm.X.12]:AundBseiendicht denierte Operatorenauf einemHilbertraum Hsoda1. D(A) D(B) ist, 2. mitR a | |2( + 1)mit > | |2m(3.106)erf ullt,wasdenSatzbeweist.Der nachste Schritt besteht in der Spektralanalyse des Hamiltonians H. Genauergesagt,wirwerdenuntersuchenwiedasSpektrumdesfreienHamiltoniansH0unddasSpektrumvonHmiteinanderzusammenhangen.ZudiesemZweckef uhrenwirmittelsderOrtsdarstellungdesEinteilchenhamiltonians h0f= (h0 f)denunitarenOperatorV:= ei(h02)(3.107)ein,welcherfolgendemSatzgen ugt.36 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL3.3.2.Satz. F uralle D(H0) = D(H)giltV HV1= H0 +WmitW:=12|

h01|2. (3.108)Das heit Hist bis auf die additive Konstante Wunitar aquivalent zumfreienHamiltonian.Beweis: DerBeweiseinerVerallgemeinerungdieserAussagendetsichwiederimArtikelvonCook[8,Thm.1].Wirwollenhiereinenk urzerenBeweisangeben.DerersteSchritt ist dieSuchenacheinemgemeinsamenCoref ur dieOperatorenH0und H. Gema Satz 3.3.1 reicht es hierf ur einen Core von H0zu nden. Wir f uhrendaherf urjedesf L2(R3, d3k)dieExponentialvektorene(f) :=

n=0fnmitfn:=___

nk=1f f urn > 01 f urn = 0(3.109)ein[18,Kapitel19].DieunitarenOperatorenUt=exp(itH0)wirkennunaufdieseExponentialvektorendurch[18,Kapitel20]Ute(f) = e(eith0f) = e(eitf) (3.110)DaherwirdderlineareTeilraumcS:= spane(f) [ f o(R3, C) (3.111)von TS(L2(R3, d3k))durchUtaufsichabgebildet. cSistjedochzugleicheindichterTeilraum[18, Kor. 19.5] von TS(L2(R3, d3k)). Daherfolgtaus[20, Thm. VIII.11],da cSeinCoref ur H0ist undsomit ist, wiebereitsgesagt, Hauf cSebenfallswesentlichselbstadjungiert. Diesimpliziert, dawirGleichung(3.108)nurf uralle cSbeweisenm ussen.Die Strategie des Beweises ist es, Vund V1durch Potenzreihen zu ersetzen. Da(

h0)jedocheinunbeschrankter Operatorist, sindV undV1nurformal durchsolchePotenzreihendeniert.(FormaleRechnungendieserArtsindsehrgefahrlich!Vergleiche hierzu die Gegenbeispiele von Nelson [20, VIII.5].) Wir betrachten daherdieAbbildungC C R (z1, z2, s) Y (z1, z2, s) := V (z1)eisH0V (z2)e(f) TS(L2(R3, d3k)), (3.112)wobeiV (z):= exp(i(z

h02))ist.Mit[18,Kap.20]undwegenH0= d(h0)folgtnunY (z1, z2, s) = C(s, z1, z2)e(eish0(f+z1

h02) z2

h02) cS, (3.113)mitC(s, z1, z2) =exp_12|z2

h02|212|z1

h02|2+

h02, eish0(f+z1

h02) f)_. (3.114)3.3. WECHSELWIRKUNGMITKLASSISCHENQUELLEN 37F urjedes TS(L2(R3, d3k))istdaherdieAbbildungC C R (z1, z2, s) Y (z1, z2, s), ) C (3.115)stetigdierenzierbar insundanalytischinz1, z2[18, Prop. 20.2, 20.3]. Aus derDenitionanalytischerAbbildungenfolgtnunjedoch,daauchC C (z1, z2) ddsY (z1, z2, s), )[s=0= iV (z1)H0V (z2)e(f), ) (3.116)f uralle TS(L2(R3, d3k))analytischist.DiesbedeutetjedochperDenitiondieschwacheAnalytizitatvonC C (z1, z2) X(z1, z2) := V (z1)H0V (z2)e(f) (3.117)undwegen[20, VI.4] auchdiestarke Analytizitat. Daher [14, Thm3.11.4, Thm3.15.1]existiertdieTaylorentwicklung

n=0,l=01n!l!n+lXzn1zl2(0, 0)zn1zl2(3.118)als absolut konvergente (in der Normtopologie) Potenzreihe. Wir m ussen also ledig-lich die Ableitungen der Funktion Xbestimmen. Aus dem Satz von Stone [20, Thm.VIII.8]folgt:n+lXzn1zl2(0, 0) =nzn1lzl2sY (z1, z2, s)[s=z1=z2=0(3.119)=nzn1slzl2Y (z1, z2, s)[s=z1=z2=0(3.120)= (i(

h02))nH0(i(

h02))le(f). (3.121)HierbeihabenwirdieTatsacheber ucksichtigt,da(z1, z2, s) Y (z1, z2, s)inallenArgumentenstetigdierenzierbarist,unddaherdieReihenfolgederpartiellenAb-leitungenvertauschtwerdendarf(diesgiltnichtnurim Rnsondernf urallestetigdierenzierbarenAbbildungenzwischenBanachraumen[9,8.12.3]).Dahererhaltenwirmit TS(L2(R3, d3k))f urdieTaylorreiheaus(3.118):V1H0V=

n=0,l=01n!l!(i(

h02))nH0(i(

h02))l (3.122)= H0 +

n=11n! [i(

h02), [i(

h02), . . . [i(

h02). .nmal, H0] . . . ]]. (3.123)DaszweiteGleichheitszeichenfolgtmitvollstandigerInduktion(Ubungsaufgabe!).WirberechnennundieinderletztenGleichungauftretendenKommutatoren. F urF0galt aufgrunddes Satzes 3.2.5 exp(itH0)(f) exp(itH0) =(t, f).Leiten wir beide Seiten nach t an der Stelle t = 0 ab, erhalten wir daher:i[H0, (f)]= (f).Nunistjedoch(f) = (i

h0f)(sieheSatz3.2.3)daheralsoi[H0, (

h02)]= i[H0, (i

h01)]= (i

h01)= () (3.124)38 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLundaufgrundderkanonischenVertauschungsrelationen(sieheSatz3.2.4)[(

h02), [(

h02), H0]]= i[(

h02), ()]==

h02, )= |

h01|2. (3.125)F urn > 2giltoenbar:[i(

h02), [i(

h02), . . . [i(

h02). .nmal, H0] . . . ]]= 0. (3.126)Setzenwirdiesin(3.123)ein,dannfolgtoenbardieBehauptung.DieserSatzzeigt, daaufgrundderWechselwirkungmitdemQuelltermdieGesamtenergiedesSystemsgegen uberdemwechselwirkungsfreienSystemumeineendliche Konstante Wverschoben ist. Man kann sich obendrein uberlegen, da dieserBetraggeradedurchSelbstwechselwirkungenderQuellendurchYukawapotentialezustande kommt (siehe [10, 1.d] unddie Zitate darin). Das heit aber, dadieniedrigst mogliche Energie des Systems gerade durchdie Konstante Wgegebenist. DaabernurEnergiedierenzenundkeineabsolutenBetragegemessenwerdenkonnenunddadie Subtraktionder KonstantenWkeine Auswirkungenauf dieZeitentwicklungvonErwartungswertenhat:eit(HW1I), Aeit(HW1I)) = eitWeitH, eitWAeitH) (3.127)= eitH, AeitH) (3.128)konnenwirdenWechselwirkungshamiltonianHdurchdenrenormiertenHamilto-nianH:= H W1I : D(H) TS(L2(R3, d3k)) (3.129)ersetzen,derunitaraquivalentzumfreienHamiltonianist.Umnundas wechselwirkende Feldzudenieren, benotigenwir eine Darstel-lung der kanonischen Vertauschungsrelationen, d.h. Felder (x), (x), die mit einerTestfunktionf o(R3, C)verschmiert(f) =_R3f(x)(x)d3x, (f) =_R3f(x)(x)d3x (3.130)abschliebareOperatorendenieren,diedieselbenKommutatorrelationenwie(f)und(f) inSatz3.2.4erf ullen. DieFelder (x) und(x) aus (3.46) bzw(3.47)sindnichtgeeignet,dadasnackteVakuum0zwarbzgl.desTeilchenzahlopera-torsNdereinzigeZustandohneTeilchenist,jedochnichtderZustandniedrigsterEnergievonHist.Obendreinist0nichtinvariantunterderdurchHgegebenenZeitentwicklung,d.h.exp(itH)0 ,= 0.EinebessereWahlistdaher(x) = V (x)V, (x)= V (x)V(3.131)denn f ur die so gewahlten (x), (x) spielt dasphysikalische Vakuum := V 0,welches oenbar der Eigenzustand von Hzur niedrigsten Energie ist, dieselbe Rolle3.3. WECHSELWIRKUNGMITKLASSISCHENQUELLEN 39wie 0f ur die (x), (x). Um diese Aussage etwas zu prazisieren betrachten wir dieOperatoren(freellwertig)A(f) =12_(( f)) +i((1f))_, A(if) = iA(f) (3.132)welchesichzu(x), (x)genausoverhaltenwiedieVernichtungsoperatorenA(f)zu (x), (x) (vergleiche die Ausdr ucke f ur (f) und (f) in Satz 3.2.3 und die De-nition des Segaloperators in Satz A.2.3) Die A(f) annilieren nun das physikalischeVakuum d.h. A(f)= 0 f ur alle f. Wir denieren daher das wechselwirkende Feld(t, x) := eitH(x)eitH= V (x, t)V(3.133)welches oenbar unitar aquivalent zum freien Feld ist. Dieser Umstand deutet schonan, da das somit konstruierte Modell aus physikalischer Sicht noch nicht besondersinteressantist. Deutlicher, wirddieswennwirdiezumFeldgehorendeStreu-theorieuntersuchen.Zuvor wollen wir jedoch eine n utzliche Beziehung der Felder (x) zu den freienuntersuchen.WirbetrachtenzudiesemZweckdieverschmiertenFelder(t, f) =_R3(t, x)f(x)d3x = V (t, f)Vf o(R3, C) (3.134)underhalten:3.3.3.Behauptung. F urjedeTestfunktionf o(R3, C)giltdieBeziehung(t, f) = (t, f) +h20 , eit f). (3.135)Beweis: Dieswirdauf diegleicheWeisebewiesen, wieSatz3.3.2. EslediglichH0durch(t, f)zuersetzen(nat urlichm ussenamEndeandereVertauschungsrelatio-nen benutzt werden) und zu ber ucksichtigen, da (t, f) = ((exp(it) f)) ist.Wir konnen also die Dynamik der wechselwirkenden Felder (t, x) direkt durchdieDynamikder freienFelder ausdr ucken, ohneexplizit denHamiltonianHzubenutzen. Dies wirdimnachstenAbschnitt sehr n utzlichsein. Zuvor jedocheinpaarWortezurStreutheorie.3.3.4.Bemerkung(physikalischeInterpretation/Streutheorie). Diegrund-legendeIdeederStreutheorie1kannwiefolgtskizziertwerden:WirbetrachtenTeil-chen, derenDynamikbei Anwesenheit einesStreuzentrums durchdenWechsel-wirkungshamiltonianHundbei Abwesenheit des Streuzentrums durchdenfreienHamiltonian H0beschrieben wird. In groer Entfernung vomStreuzentrumsolldabei die Wechselwirkung vernachlassigbar sein, d.h. dort kann die wechselwir-kendeDynamikdurchdiefreieDynamikapproximiert werden. Das heit derEx-perimentator prapariert in der fernen Vergangenheit freie Teilchen imZustandinunder registriert inder fernenZukunft ebenfalls freie TeilchenimZustand1IchhabemichmitdieserBemerkungsehrengandieentsprechendenAusf uhrungenin[10]gehalten, die ein ausf uhrlicheres Studium der Streutheorie nicht ersetzen konnen. Dies ist jedochkeineVorlesung uberStreutheorie. Einemathematischausf uhrlicheDarstellungstelltderdritteBand des Buches von Reed und Simon [21] dar.40 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLout. Die wesentlichen physikalischen Groen die dabei gemessen werden, sindUbergangswahrscheinlichkeitenin out.Umdiesezuermittelnnimmtmannunan, daeinintermediarerZustandexistiert, dessenZeitentwicklungdurchdiewechselwirkendeDynamikgegebenist undderf urt denIn-bzw.Out-Zustand approximiert. Das heit, da f ur jeden Inzustand in und jeden Outzustandouteinexistiert,sodalimt[eitH0in, AeitH0in) eitH, AeitH)[ = 0 (3.136)undlimt[eitH0out, AeitH0out) eitH, AeitH)[ = 0 (3.137)f uralleObservablenAerf ulltist.WirkonnensomitdenZustanddurchlimteitHeitH0in(3.138)bzw.durchlimteitHeitH0out(3.139)denieren.DieserLimesdeniertalsodiebeidenMlleroperatoren= s limteitHeitH0(3.140)(Genauergesagt:= s limteitHeitH0Pac(H0), (3.141)wobei Pac(H0) die Projektionauf denabsolut stetigenTeilraumvonH0bezeich-net; siehe [21, XI.3]). Wir konnen sie verwenden umdie eingangs erwahntenUbergangswahrscheinlichkeitenzubestimmen. Wir suchendieWahrscheinlichkeit,daamEndedesExperimentsderZustandoutgemessenwirdwenndasSystemzuBeginnimZustandinprapariertwar:[, )[2= [+out, in)[2= [out, +in)[2=: [out, Sin)[2. (3.142)Der Operator S dessen Matrixelemente also die gesuchtenUbergangswahrscheinlichkeiten beschreiben heit Streuoperator oder S-Matrix.Ihnzubestimmenist daswichtigsteZiel einerwechselwirkendenQuantenfeldtheo-rie.Kommen wir nun auf die zuvor konstruierte Quantenfeldtheorie zur uck. Im FalleeinerFeldtheoriewandelnwirdieasymptotischenBedingungen(3.136)und(3.137)inBedingungenandieFelderum,dief urdasvonunsuntersuchteModelllimt, in(t, f) (t, f)) = 0 (3.143)undlimt, out(t, f) (t, f)) = 0 (3.144)3.3. WECHSELWIRKUNGMITKLASSISCHENQUELLEN 41lauten.DieasymptotischfreienFelderin(t, f)undout(t, f)stimmeninunseremFallemitdemfreienFeld(t, f) uberein.WirerkennendiesunterVerwendungvonBehauptung3.3.3,denn(3.143)und(3.144)sindoenbaraquivalentzulimt

h02, (eit f)) = 0, (3.145)wobei h0f= (h0 f) den Einteilchenhamiltonian in Ortsdarstellung bezeichnet (vergl.Satz3.3.2).ImImpulsraumwirddieserAusdruckzulimt_R3 (k)2(k)eit(k) f(k)d3k. (3.146)F uhrenwirnunzusatzlichdieneuenKoordinatenS2(m2, ) (, s) (, s) :=s2m2 R3(3.147)ein,f uhrtdieszumIntegral_S2_m2 ((, s)s2eits f((, s))ss2m2dsdV (), (3.148)wobei dV () das Oberachenelement der S2bezeichnet. Nunbetrachtenwir dieFunktionS2R (, s) h(, s) :=___ ((,s)s2f((, s))ss2m2s > m20 s < m2.(3.149)Oenbarists h(, s)f uralle S2integrierbar,dennundfsindSchwartz-funktionen, der Rest Polynomial beschrankt. Daher existiert die inverse Fourier-transformationh(t) :=12_Rh(, s)eitsds (3.150)f uralle S2undist aufgrunddesRiemann-LebesgueLemmas[19, Thm. IX.7]einestetigeFunktiondieimUnendlichenverschwindet.DaauerdemdieFunktionS2 R (, t) h(t)beschrankt ist (alsodieFunktionenschar h(t)mittalsScharparameter)gleichmaigbeschrankt)folgt mit demSatz uberdominierteKonvergenz[20,Thm.I.11]dalimt2_S2h(t)dV () =2_S2limth(t)dV () = 0 (3.151)also(3.144)erf ulltist.Diesimpliziert,dadiemitdemQuantenfeldverbundeneStreutheorietrivialist: Das asymptotisch freie In-Feld instimmt mit dem asymptotisch freien Out-Feldout uberein. Daher ist dieS-MatrixdieIdentitat. Dies bestatigt, was wir bereitsweiterobenangedeutet haben: DiebisherkonstruierteTheorieist nochnicht sehrinteressant, dadieStreutheorievoneinerWechselwirkungnichtssp urt. DieswirdsichimnachstenAbschnittjedochandern.42 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL3.4 DasvanHoveModellZu Beginn des letzten Abschnittes haben wir bereits erwahnt, da unser eigentlichesZielderFall = ist.PhysikalischistdieserFallalsprimitivesModellderstarkenWechselwirkung zu betrachten. Die Nukleonen treten hier nur sehr rudimentar durchden Quellterm auf. Beschrieben wird daher nur der Einu der Nukleonen auf dieMesonen.Die Vorgehensweise aus dem letzten Abschnitt ist nun nicht mehr anwendbar, daH0+() keine wohldenierter Operator ist. Dieser Umstand deutet bereits an, daderWechselwirkungshamiltonianHimFalle=auf demFockraumdesfreienFeldesnichtalsselbstadjungierterOperatorexistierenkann.Wirwerdendiesnochgenauer untersuchen, zuvor jedoch zeigen, wie die wechselwirkenden Felder trotzdieserSchwierigkeitenkonstruiertwerdenkonnen.ZudiesemZweckwollenwirdieDynamikdesfreienFeldesundeinesFeldes, zunachst mit o(R3, R), in einem neuen Kontext formulieren. Wir betrachtendaherdieAlgebraA := span_n

i=1(fi) [ fi o(R3, C), n N 1I_(3.152)dievondenFeldoperatoren(f)erzeugtwird.Aisteine*-Algebra:DasheitAisteinVektorraum,aufdemeinbilineares,assoziativesProduktAA (A, B) AB Aundeine*-OperationA A A Adeniertist. Oenbarsindalle(t, f) und alle (t, f) Elemente dieser Algebra. Wir konnen daher die AbbildungenA A 0t(A) = eitH0AeitH0 A (3.153)undA A t(A) = eitHAeitH A (3.154)denieren. 0tund tsind Automorphismender Algebra A: Sie sind linear und mul-tiplikativt(AB)=t(A)t(B)undvertauschenmitder*-Operation: t(A)=t(A). F ur uns sind sie deshalb interessant, weil sie die Dynamik der Felder undwiederspiegeln:Esgilt:(t, f) = 0t((f))und(t, f) = t((f)).Damit bleibt dieFrage, was wir mit dieser Konstruktioneigentlichgewonnenhaben.Hierf urbenutzenwirdieBehauptung3.3.3unddieAbk urzungenc(f, ) := H20, f)undft:= (eit f)(3.155)underhaltent((f)) + c(f, )1I = t((f) +c(f, )1I) = t((f)) == 0t((f)) + c(ft, )1I, (3.156)woraust((f)) = 0t((f)) +c(ftf, )1I (3.157)3.4. DASVANHOVEMODELL 43folgt. DadieAlgebraAvondenFeldern(f) erzeugt wird, ist durchdieletzteGleichungteindeutigbestimmt, ohne denWechselwirkungshamiltonianexplizitzubenutzen.Schreibenwirc(ft, )inImpulsdarstellungauf_R3 (k)2(k)_eit(k) f(k) f(k)_d3k, (3.158)erkennenwirdaderGrenz ubergang 1(alsoimOrtsraum )problemlosdurchzuf uhrenistc(, ft) := lim 1_R3 (k)2(k)_eit(k) f(k) f(k)_d3k (3.159)=_R3eit(k) f(k) f(k)2(k)d3k. (3.160)DafeineSchwartzfunktionist, istdasletzteIntegral unddamitauchc(, ft f)wohldeniert. Wir habendamit das wechselwirkendeFeld(t, f) unddiedazu-gehorigentdeniert:(t, f) := t((f)) = 0t((f)) +c(, ftf)1I. (3.161)AusSichtderQuantenfeldtheoriereprasentierendieFeldermit o(R3, R)einenImpulsraum-Cuto.Dasheit,umdiebeigroenFrequenzenauftretendenDivergenzen(etwabei demVersuchdenWechselwirkungshamiltonianf ur =zudenieren)zubeseitigen, werdendieseFrequenzendurchdieCuto-Funktion o(R3, C)abgeschnitten. DieTheorieistdannwiewirgesehenhabenendlich.Nun haben wir algebraische Methoden benutzt, um den Cuto zu entfernen und daswechselwirkenden Feld zu denieren. Dies zeigt, wie n utzlich algebraische MethodeninderQuantenfeldtheorieseinkonnenundmotivierteinintensiveresStudiumvonOperatoralgebren,welcheswirimnachstenKapitelbeginnenwollen.Zuvor jedoch wollen wir ein paar Argumente untersuchen, die aufzeigen, da dieDynamik des Feldes auf dem Fockraum des freien Feldes tatsachlich nicht unitarimplementierbarist. DasheitaufdiesemHilbertraumgibteskeinenselbstadjun-giertenOperatorHsoda(t, f) =exp(itH)(f) exp(itH)ist. Damitengverkn upft ist die Tatsache, da es keinen Vektor im Fockraum des freien Feldes gibt,derdieRolledesphysikalischenVakuums ubernehmenkann.Wir denieren zu diesem Zwecke, wie in (3.132), die zum Feld (t, f) gehorendenVernichtungsoperatoren A(f). Unter Ber ucksichtigung von (3.161) erhalten wir we-gen(f) = t(t, f)[t=0denAusdruck(f urreellwertigesf):A(f) = A(f) +d(f, )1I, d(f, ) :=12_R3f3/2(k)d3k. (3.162)A(f)istoenbareinwohldenierter(abschliebarer)OperatoraufdemFockraumTS(L2(R3, d3k))undwirsehen, daerf urjedesf L2(R3, d3k)deniertist(beiantilinearer Fortsetzung: A(if) :=iA(f)) denndas Integral d(f, ) konvergiertoenbarf urjedessolchef.DasphysikalischeVakuumistnundurchdieBedingungA(f)=0gegeben. Wirwerdenimfolgendenzeigen, daeinsolchesnichtexistiert:44 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELL3.4.1.Satz. Das einzige Element in F0 TS(L2(R3, d3k)), so da A(f)= 0f urallef L2(R3, d3k)gilt,istdieNull.Beweis: Seialso0 = A(f)=

n=0A(f)(n)=

n=0A(f)(n)+

n=0d(f, )(n), (3.163)dannfolgt wegenA(f)(n)SnH(n)undwegen H(n)H(n+1)daf ur allendieGleichung A(f)(n+1)= d(f, )n)gilt. Mit der Denition von A(f) (siehe (A.19))folgtdaher|d(f, )(n)| = |A(f)(n+1)| n + 1|f||(n+1)| (3.164)f ur alle n N. Diese Ungleichung ist jedoch nur dann erf ullbar, wenn = 0 ist oderwenneineKonstanteKmit |d(f, )| K|f|existiert.Letzteresw urdebedeuten,daf d(f, )einstetigeslinearesFunktional auf demHilbertraumL2(R3, d3k)ist. Aufgrunddes Darstellungssatzes vonRiesz [20, II.4] m ute dannjedochein L2(R3, d3k) existieren, sodad(f, ) = , f) f ur allefL2(R3, d3k). Diekonkrete Form von d(f, ) impliziert daher, da 1/3/2quadratintegrabel sein mu.Dies ist jedochnicht der Fall. Wir integrierenhierf ur 1/3(also (1/(3/2))2) inKugelkoordinaten ubereineKugelK(R) R3vomRadiusR:_S2_R0r2(m2+r2)3/2drdV () = 4_R0r2(m2+r2)3/2dr (3.165)Das Integral uber r verhalt sich f ur groe r wie 1/r und divergiert daher f ur R (kannmanauchzuFuausrechnen).DiesbeweistdieAussage.Wir konnen dieses Ergebnis sofort benutzen, umzu zeigen, da die durchf (f), f (f) und f (f), f (f) gegebenen DarstellungenderkanonischenVertauschungsrelationenunitarinaquivalentsind(dadieFelderf (f), f (f)dieVertauschungsrelationenwirklicherf ullenfolgtausderDenitionvon(t, f)unddamitauchvon(f), (f)inGleichung(3.161)undaus der Tatsache, daf(f), f(f) eineDarstellungder Vertauschungs-relationenist; sieheSatz3.2.4). Warensienamlichunitar aquivalent, w urdeeinunitarerOperatorexistieren, sodaU(f)U=(f)undU(f)U=(f)ist.Dies impliziert aber eineentsprechendeRelationf ur dieVernichtungsoperatoren:UA(f)U= A(f)unddiesewiederumw urde0 = UA(f)0= A(f)U0zurFolgehaben, wenn0dasnakteVakuumist. Alsoware0 ,=U0dasphysikalischeVa-kuum, welches jedoch, wie soeben gesehen, nicht existiert. Von ahnlicher Art ist diefolgendeAussage:3.4.2.Satz. Es existiert kein unitarer Operator Ut: TS(L2(R3, d3k)) TS(L2(R3, d3k))sodaUt(f)Ut= t((f))ist.Beweis: AngenommenesgabeeinsolchesUt, dannw urden,t(f)=(t, f)und,t(f) =s(t + s, f)[s=0einezu(f), (f) unitar aquivalenteDarstellungderVertauschungsrelationenbildenundwiesoebengeseheneinVakuumt,besitzen.Dies kann nun, unter Verwendung von Formel (3.161) genauso wie im letzten BeweiszumWiderspruchgef uhrtwerden.3.4. DASVANHOVEMODELL 45MitanderenWortendieDynamikdeswechselwirkendenFeldesistaufdemHil-bertraumdesfreienFeldesnichtunitarimplementierbar! Dasheitinsbesondere,da kein Wechselwirkungshamiltonian existiert (jedenfalls nicht auf dem selben Hil-bertraum auf dem der freie Hamiltonian deniert ist). Daher kann eine StreutheoriewieinBemerkung3.3.4skizziertgarnichtformuliertwerden.EinAuswegausdie-semDilemmabildet die Storungstheorie. Manversucht die S-MatrixdurcheineStorungsreihe zu approximieren. Diese Storungsreihe ist auch als formale Potenzrei-he(Termf urTerm)mathematischwohldeniert,siekonvergiertjedochnichtgegeneinen unitaren Operator. In diesem einfachen Beispiel ist der Grund daf ur klar: DieS-MatrixkanngarnichtalsunitarerOperatoraufdemselbenHilbertraumwiedasfreie Feld existieren (oder besser gesagt in der selben Darstellung) wenn nichteinmalder Wechselwiekungshamiltonianwohldeniert ist. DiealgebraischeFormulierungderQuantentheorieumdiewirunsnunk ummernwollenzeigtunshierganzdeut-lich, da der ubliche Fockraumformalismus der Quantenfeldtheorie zu eng f ur nicht-triviale Theorien ist. Fairer Weise mu ich allerdings an dieser Stelle hinzuf ugen, datrotzeinesbesserenVerstandnissesderProblematikauchdiealgebraischeTheoriebisherkeineLosungf urdieKonvergenzproblemederStorungsreihebeiwirklichin-teressantenTheorien(wieetwaderQuantenelektrodynamikoderbeipolynomialenSelbstwechselwirkungen)gefundenhat.46 KAPITEL3. DASVANHOVE-MODELLTeilIIC*-undvonNeumann-Algebren47Kapitel4C*-AlgebrenUmdie inTeil I entwickeltenIdeenzuprazisieren, ist die Bereitstellungeinigermathematischer Grundlagennotwendig. Dies soll indennachstenzwei Kapitelnerfolgen. Es ist handelt sichjedochnicht umeine erschopfende DarstellungderTheorie der Operatoralgebren. F ur diese Zwecke mochte ich auf die umfangreiche zudiesemThemavorhandeneLiteraturverweisen. Insbesondereauf denerstenBandder MonographievonBratelli undRobinson[5] demichimvorliegendenKapitelweitestgehendfolgenwerde.4.1 GrundlegendeBegrieundDenitionenDas Standardbeispiel f ur die Operatoralgebren die wir in diesem Kapitel betrachtenwollenistdieAlgebra B(H)derbeschranktenOperatorenauf einem(komplexen)Hilbertraum H. WirwollendaherdiewesentlichenmathematischenEigenschaftendiesesObjektesuntersuchen.Zunachstist B(H))eineassoziativeAlgebra.4.1.1.Denition. EinkomplexerVektorraum /heit Algebra, wennauf /einebilineare Abbildung // (A, B) AB /, dieMultiplikation ausgezeichnet ist./heit assoziativeAlgebra,wenndasProduktassoziativist:(AB)C= A(BC) =:ABCf uralleA, B, C /.DieMultiplikationin B(H)istoenbardasOperatorprodukt. EineweitereEi-genschaft von B(H) betrit dieAdjungierten. ZujedemA B(H) ist auchderAdjungierteAin B(H).Dasheit B(H)isteine*-Algebra.4.1.2.Denition. EineassoziativeAlgebraheit *-Algebra,wenneineantilinea-re1Abbildung / A A /mitdenEigenschaften1. A= Af uralleA /und2. (AB)= BAf uralleA; B /ausgezeichnetist.(EineAbbildungmitdiesenEigenschaftenheitInvolution).1Das heit (A+B) = A +B.4950 KAPITEL4. C*-ALGEBRENAuf der *-Algebra B(H) ist eine Norm, die Operatornorm |A| := sup|x|=1|Ax|gegeben. Esistleichtzuzeigen, da B(H)mitdieserNormeineBanach*-Algebraist.4.1.3.Denition. EineassoziativeAlgebra /heit normierteAlgebrawennauf/eineNorm ||mitderEigenschaft |AB| |A||B|f uralleA, B /ausge-zeichnet ist. Ist /eine*-Algebraundgilt zusatzlich |A|= |A|f uralleA /,dann heit / normierte *-Algebra. Ist schlielich / vollstandig in dieser Norm heit/Banach*-Algebra.Damit bleibt eineEigenschaft von B(H), genauer gesagt eineEigenschaft derOperatornorm, dievonbesondererBedeutungist. Wirkonnennamlichzeigendaf uralleA B(H)gilt: |AA| = |A|2.Diesfolgtnicht ausdenEigenschafteneinerBanach*-Algebra. Dort gilt imallgemeinennur |AA| |A|2, weshalbes sichumeineechteZusatzeigenschaft handelt, dieBanach*-AlgebrenvonC*-Algebrenunterscheidet.4.1.4.Denition. Eine Banach*-Algebra / heit C*-Algebra, wenn die zusatzlicheBedingung |AA| = |A|2f uralleA /erf ulltist.Mit Algebren dieses Typs wollen wir uns im Folgenden beschaftigen und beginnenmiteinpaarBeispielen.4.1.5.Beispiel. ZunachstdieAlgebra B(H)allerbeschrankten, linearenOperato-ren auf einem Hilbertraum H. Wir haben bereits bemerkt, da B(H) mit dem Opera-torproduktalsMultiplikation,derHilbertraumadjungiertenals*-OperationundderOperatornormeineC*-Algebraist.4.1.6.Beispiel. Ist insbesondere H=Cnerhaltenwir mit demRaumM(n, C)allerkomplexenn n-MatrizeneinenSpezialfall diesesBeispiels.4.1.7.Beispiel. DiekomplexenZahlenbildenmitdemBetragalsNormeineabel-scheC-*-Algebra.4.1.8.Beispiel. Ist /eine C*-Algebra, dannist auchjede normabgeschlossene,selbstadjungierte(d.h. abgeschlossenunterder*-Operation)Unteralgebra Bvon /eineC*-Algebra.4.1.9.Beispiel. Istalsoinsbesondere / = B(H)und B= L((H),dieAlgebraderkompaktenOperatoren,erhalteneinenSpezialfall diesesBeispiels.4.1.10.Beispiel. DieAlgebraAausdemAbschnitt3.4(sieheGleichung(3.152))istmitOperatorproduktundAdjungiertemeine*-Algebra.Esist keineNormgege-ben,dadieElementevonAunbeschrankteOperatorensind.4.1. GRUNDLEGENDEBEGRIFFEUNDDEFINITIONEN 514.1.11.Beispiel. Sei Xeinlokal kompakter, topologischerRaumundC0(X)derRaum der stetigen, komplexwertigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden,das heit f ur jedes f C0(X) und f ur jedes R+existiert ein Kompaktum K Xsoda [f(x)[ < f ur alle x X K. Wir denierendas Produkt punktweise:(fg)(x) := f(x)g(x),die*-OperationdurchkomplexeKonjugationf:=funddieNormdurch |f| := supxX[f(x)[.Betrachten wir nun ein Ma auf Xund den Hilbertraum L2(X, ) dann konnenwirC0(X)alsAlgebrader Multiplikationsoperatorenauf diesemHilbertraumauf-fassen.DaheristdiesesBeispiel ebenfallseinSpezialfall von4.1.8.4.1.12.Beispiel. ZumSchluschlielichnocheineKombinationdesletzenBei-spielsmit4.1.5.WirbetrachtendenRaumC0(X, B(H))vonstetigenAbbildungaufXmit Werteninder Algebra B(H) diegenausowiezuvor imUnendlichenver-schwinden.Diesliefertwiein4.1.11eineC*-Algebra,diejedochnichtkommutativist.EinewichtigeRollebeiderUntersuchungvonC*-AlgebrenbildenAlgebrenmitIdentitat,dasheit:4.1.13.Denition. EinElement 1I einer C*-Algebra /heit Identitat (und /dannC*-AlgebramitIdentitat),wennf uralleElementeA /dieGleichung1IA =A1I = Agilt.WenneineAlgebraeineIdentitatbesitztsoistdieseeindeutig, dennwenneszwei Identiaten1I, 1It/gibt dannfolgt 1I =1I1It=1Italso1I =1It. Es kannallerdings passieren, daeineAlgebrakeineIdentitat besitzt. IndiesemFalleistesf urvieleZweckenotigeinesolchehinzuzuf ugen. WiediesgeschiehterklartdiefolgendeAussage.4.1.14.Behauptung. Sei /eine C*-Algebraohne Eins undC1I+ /der Pro-duktraum C/mit derMultiplikation(, A)(, B)=(, B+ A + AB), der*-Operation(, A)= ( , A)undderNorm|(, A)| := sup|B + AB| [ B /,|B| = 1. (4.1)C1I+/ ist eine C*-Algebra mit Eins. / kann mit der Unteralgebra (0, A) C1I+/von C1I +/identiziertwerden.Beweis: DerBeweisisteineinfachesUberpr ufenderDenitionenundbleibtdemLeseralsUbungsaufgabe uberlassen(sieheauch[5,Prop.2.1.5]).4.1.15.Beispiel. WirBetrachtenerneut dasBeispiel 4.1.11.X:=X be-zeichnedieEinpunktkompaktizierungvonX.Dannist C1I + C0(X)isomorphzurAlgebraC0( X) aller stetigen, komplexwertigenFunktionenaufX. Multiplikation,*-OperationundNorminC0( X) sinddabei wieinC0(X) deniert, undderIso-morphismusistdurch C1I + C0(X) (, f) +f C0( X)mitdereindeutigen,stetigenFortsetzungfvonf C0(X)aufXgegeben.WeiterewichtigeGrundbegriederAlgebrentheoriesindIdeale unddiedurchdiesegegebenenQuotientenalgebren.52 KAPITEL4. C*-ALGEBREN4.1.16.Denition. Sei /eineassoziativeAlgebraund BeinVektorteilraumvon/.1. Dannheit BeinlinksseitigesIdeal von /, wennAB BausA /undB Bfolgt. Entsprechendheit BrechtsseitigesIdeal wennBA BistundzweiseitigesIdealwennbeideAussagenerf ulltsind.2. Wenn /eine *-Algebra ist, dannheit Bselbstadjungiert (siehe Beispiel4.1.8) falls f ur jedes BBauch BElement von Bist. Ein(linksseiti-ges/rechtsseitiges)Ideal Bvon /heitdann*-Ideal wenneszugleichselbst-adjungiertist.4.1.17.Bemerkung. Jedes Ideal Bist automatisch eine Unteralgebra von /, dennwennB1, B2 BdannistB1 /undsomitB1B2 B.4.1.18.Bemerkung. Jedes*-Ideal BisteinzweiseitigesIdeal von /. Sei BzumBeispieleinlinksseitigesIdeal,dannistAB Bf uralleB BundA /.Wegender Selbstadjungiertheit von Bist Bebenfalls ein Element von B. Daher ist AB Bf uralleA /underneutwegenderSelbstadjungiertheitBA = (AB) B.Betrachtenwir nuneine Banach*-Algebra /undeinabgeschlossenes *-Ideal1. DannistderQuotientenraum //1erneuteinBanachraummitderNorm([A]bezeichnedieAquivalenzklassevonA)|[A]| = inf|A +I| [ I 1. (4.2)Wir konnen jedoch aus //1sogar eine Banach*-Algebra machen. Wir f uhren hierzudieMultiplikation//1 //1 [A][B] [AB] //1 (4.3)unddie*-Operation//1 [A] [A] //1 (4.4)ein. Diese Operationen sind unabhangigvom Reprasentanten derAquivalenzklasse,dennmitA+I1 [A]undB +I2 [B](I1, I2 1)istoenbar(A+I1)(B +I2) =AB + AI2 + I1B + I1I2undAI2 + I1B + I1I2:= I3 1,wasA + B + I3 [A + B]impliziert. Ebensoist(A + I1)=A + I1 [A] wegenI1 1. WirhabendamitdiefolgendeAussagebewiesen:4.1.19.Behauptung. Sei /eine Banach*-Algebraund 1 ein*-Ideal, dannist//1zusammenmitderMultiplikationaus(4.3),der*-Operationaus(4.4)undderNormaus(4.2)eineBanach*-Algebra,welchedieQuotientenalgebragenanntwird.4.1.20.Beispiel. BetrachtenwirzumBeispiel dieAlgebra B(H)derbeschranktenOperatorenaufdemHilbertraum H(siehe4.1.5)undeinenVektor H.Dannist1:= A B(H) [ A = 0einlinksseitigesIdeal.4.2. RESOLVENTEUNDSPEKTRUM 534.1.21.Beispiel. DieAlgebraderkompaktenOperatorenausBeispiel4.1.9istein*-Ideal der Algebra B(H), denn das Produkt eines beschrankten Operators mit einemkompaktenOperatoristeinkompakterOperator.4.1.22.Beispiel. BetrachtenwirschlielichnochdieAlgebraC0(X)ausBeispiel4.1.11. IstF XeineabgeschlosseneMenge, dannist 1:= f C0(X) [ f(x)=0, x Feinabgeschlossenes *-Ideal.DieQuotientenalgebrakannmitderAlgebraC0(F)identiziertwerden.4.2 ResolventeundSpektrumEiner der wichtigstenBegrieaus der Operatortheorieist der des Spektrums ei-nesOperators. F urdieDenitiondesSpektrumssindjedochnurreinalgebraischeMethodennotwendig,dieaufjederassoziativenAlgebrazurVerf ugungstehen.4.2.1.Denition. Sei /eineassoziativeAlgebramitIdentitat1I,1. dannheiteineElementA /invertierbar,wennzuAeininversesElementA1existiert. Dasheit esgilt AA1=A1A=1I(DasInverseist oenbareindeutig).2. F urjedesElementA /istdieResolventenmengedurchr,(A) = C[ 1I Aistinvertierbar C (4.5)deniert.Daszu1I AinverseElement(1I A)1heitdieResolventeAin.3. Das Komplement ,(A) der Resolventenmenge r,(A) heit dasSpektrum vonA.Ist /eine assoziative Algebra ohne Identitat, dann benutzen wir die AlgebraC1I + /=:/zur Denitionder Resolventenmengeunddes Spektrums. Mit an-derenWortenwirdenierenindiesemFall:r,(A) = r,(A)und,(A) = ,(A).4.2.2.Beispiel. F ur die Algebra B(H) und einen beschrankten Operator A B(H)stimmendieBegrieResolvente,ResolventenmengeundSpektrumoenbarmitdenausderFunktionalanalysisbekanntenBegrien uberein.4.2.3.Beispiel. EinSpezialfallistdieAlgebraM(n, C)derkomplexwertigennnMatrizen. C ist genau dann ein Element des Spektrums der Matrix A M(n, C)wennEigenwertvonAist.DerFundamentalsatzderAlgebraimpliziertoenbar,dadasSpektrum,(A)nichtleerist.4.2.4.Beispiel. Betrachtenwir CalsC*-Algebra.DasSpektrumeinerkomplexenZahl zistoenbarC(z) = z.DieResolventevonzin ,= zistalso1/( z).54 KAPITEL4. C*-ALGEBREN4.2.5.Beispiel. Schlielichbetrachtenwir nochdieabelscheAlgebraC0( X) aus4.1.15).DasSpektrumeinerFunktionf C0( X)istdurchC0( X)(f) = f(x) [ x Xgegeben.Die Analyse des Spektrums eines Elements einer assoziativen Algebra kann sehrkompliziertsein.ImFallevonBanach*-undC*-AlgebrenstehenjedochzahlreicheTechnikenzur Verf ugung, diezustarkenAussagenf uhren. VieleAussagendiesesunddesnachstenAbschnitteslassensichmitHilfevonReihenentwicklungenundanalytischeFortsetzungenbeweisen.WirwollendieGrundideehierkurzskizzierenundansonstenaufdieentsprechendenStellenin[5]verweisen.Sei /alsoeineBanach*-Algebra,A /und Cund> |A|dannistdieFolgederPartialsummenderReihe1

n=0_A_n(4.6)oenbareineCauchyfolgeinderNormtopologievon /undkonvergiertwegenderVollstandigkeitvon /gegeneinElementaus /.Betrachtenwirnun(1I A)1

n=0_A_n=

n=0_A_n

n=0_A_n+1(4.7)= 1I. (4.8)Daherfolgtalso1

n=0_A_n= (1I A)1(4.9)und r,(A). Mit anderen Worten das Spektrum ist durch ,(A) [[ |A|beschrankt. Auf ahnliche Weise zeigt man, daf ur 0r,(A) und [ 0[|01I A)1|dieNeumannscheReihe

n=0( 0)n(01I A)n1(4.10)gegeneinElementvon /konvergiert,welchesdasInversevon1I Aist,also r,(A). Dies zeigt insbesondere, da r,(A) C oen und ,(A) damit abgeschlossenist.Auerdemist (1I A)1stetigaufr,(A).MitahnlichenMethodenlatsichnunzeigen, dadasSpektrum,(A)nichtleerist.4.2.6.Behauptung. Sei /eine Banach*-Algebramit Identitat 1I undA/,dannist durch(A) =supA(A)[[ der Spektralradius deniert. Er erf ullt dieUngleichung(A) =limn|An|1/n=infnN|An|1/n |A|. (4.11)DieserGrenzwertexistiertf uralleA,wasimpliziert,da,(A)nichtleerist.Beweis: Siehe[5,Prop.2.2.2].4.2. RESOLVENTEUNDSPEKTRUM 55Alsnachsteswollenwir nundieSpektrenbestimmter KlassenvonElementeneinerC*-Algebracharakterisieren.Wirdenierenhierzu:4.2.7.Denition. Sei /eine*-Algebra,dannheiteinElementA /1. normalwennAA= AAgiltund2. selbstadjungiertwennA = Aist.3. Hat /eineIdentitat1IdannheitAeineIsometriewennAA = 1istund4. unitarwennAA = AA= 1I4.2.8.Bemerkung. JedesElementAeiner*-Algebra /hateineeindeutigeZer-legungindieSummeA = A1 +iA2wobeiA1, A2 /selbstadjungiertsind.SiesindoenbardurchA1= (A +A)/2undA2= (A A)/2gegeben.4.2.9.Satz. Sei / eine C*-Algebra mit Identitat 1I, dann gelten die folgenden Aus-sagen:1. F urnormalesoderselbstadjungiertesA /istderSpektralradius(A)durch(A) = |A|gegeben.2. WennAisometrischoderunitarist,danngilt(A) = 1und3. f urunitaresAist,(A) C[ || = 1.4. Das Spektrum,(A) eines selbstadjungiertenElementes Aist imIntervall[|A|, |A|]enthaltenundf urdasQuadratA2gilt:,(A2) [0, |A|2].5. F ureinbeliebigesA /undjedesPolynomPistP(,)(A) = P(,(A)).Beweis: Siehe [5, Thm. 2.2.5]. Wir wollen hier nur 1. beweisen, weil dort be-sonders deutlichdie C*-Eigenschaft eingeht. Aus Beh. 4.2.6 wissenwir da dieFolge (|An|1/n)nNgegen(A) konvergiert. Daher konvergiert auchdie Teilfolge(|A2n|1/2n)nNgegen(A).Betrachtenwiralso |A2n|2.WegenderC*-EigenschaftundwegenderNormalitatvonAgilt:|A2n|2= |(A)2nA2n| = |(AA)2n|. (4.12)Nunist jedoch(AA)2n1selbstadjungiert unddaher gilt unter VerwendungderC*-Eigenschaft|(AA)2n| = |(AA)2n1(AA)2n1| = |(AA)2n1|2. (4.13)WendenwirdieseProzedurinduktivan,erhaltenwir|A2n|2= |AA|2n= |A|2n+1. (4.14)Nunistwieeingangsbemerkt(A) =limn|A2n|2n=limn_|A2n|2_2(n+1)(4.15)56 KAPITEL4. C*-ALGEBRENundmit(4.14)daher(A) =limn_|A2n|2_2(n+1)=limn_|A|2n+1_2(n+1)= |A| (4.16)waszubeweisenwar.WirsehenandieserAussage, dabei C*-AlgebrendieTopologiesehrengmitder algebraischen Struktur verkn upft ist, denn die Norm deniert die Topologie von/undistaufgrunddessoebenbewiesenenSatzesdirektmitdemSpektralradiusverkn upft, der ein rein algebraisches Konzept ist. Es gilt daher die folgende Aussage:4.2.10.Korollar. Sei /eine*-Algebra, auf der eineNormgegebenist, diedieC*-Eigenschafterf ullt.Ist /vollstandigindieserNorm,dannistsieeindeutig.Beweis: Oenbar mu f ur selbstadjungierte A / die Gleichung (A) = |A| geltenundf urbeliebigesAdieGleichung |A| = |AA|1/2= (AA)1/2.DaderSpektral-radius aber, wie soeben bemerkt, ein rein algebraisches Konzept ist, ist die Aussagebewiesen.DerBegridesSpektrumsistvonderAlgebraabhangig,indererdeniertist.Istalso BeineTeilalgebraeinerassoziativenAlgebra /, danngiltf urA Bzwar,(A) B(A) jedochsindbeide Mengenimallgemeinennicht identisch. EineAusnahmebildenhierC*-Algebren.4.2.11.Satz. Sei Beine C*-Teilalgebra einer C*-Algebra /, dann gilt f ur alle A BdieGleichungB(A) = ,(A).Beweis: DieIdeedesBeweisesistesdieC*-Algebra (zubetrachten,dievonA, Aund1Ierzeugtwird(dasheitdiekleinsteTeilalgebravon /diealledreiElementeenthalt).Oenbaristdann ( BunddieBehauptungfolgtwenn((A)=,(A)bewiesenwurde. Umdiesdurchzuf uhren, istdieSpektralradiusformel (Punkt1inSatz4.2.9)notwendig. AufdieseWeisegehtdieC*-EigenschaftindenBeweisein.Detailssindbitte[5,Prop.2.2.7]zuentnehmen.4.2.12.Bemerkung. Daalsodas SpektrumvonA /nicht vonder Algebraabhangt,werdenwirimFolgendendieAlgebra /nichtmehrimIndexf uhren.Dasheitwirschreiben(A)statt,(A).4.3 PositiveElementeDiewohl n utzlichsteTeilmengeeinerC*-AlgebraistdieMengederpositivenEle-mente.DurchsieistesmoglicheinepartielleOrdnungaufderAlgebraeinzuf uhrenundquantitativeAbschatzungendurchzuf uhren. Wir werdenauchindiesemAb-schnittaufdiemeistenBeweiseverzichtenundstattdessenaufdenentsprechendenAbschnittin[5]verweisen.4.3.1.Denition. Ein Element Aeiner C*-Algebra/heit positiv, wenn esselbstadjungiert istundwenndasSpektrum (A)Teilmengederpositiven Halbachseist.DieMengeallerpositivenElementevon /wirdmit /+bezeichnet.4.3. POSITIVEELEMENTE 574.3.2.Beispiel. Betrachten wir die komplexen Zahlen, dann ist C+= R+0+i0, alsodiepositivenreinreellwertigenZahlen.4.3.3.Beispiel. InderAlgebraC0(X)isteinElementfgenaudannpositiv,wennf(x) R+0f urallex Xist.4.3.4.Beispiel. InderAlgebraM(n, C) allerkomplexennnMatrizenist einElementpositiv,wennalleEigenwertereell undpositivsind.4.3.5.Beispiel. Einbeschrankter, selbstadjungierterOperatorAauf demHilber-traum H,alsoeinElementderC*-Algebra B(H)istpositiv,wenn , A)> 0f uralle Hgilt.Aus einem positiven Element f C0(X) lat sich oenbar die Wurzelfziehen.Der folgende Satz zeigt daes sichdabei umeinallgemeines Konzept handelt,welchesaufbeliebigenC*-Algebrendeniertist.4.3.6.Satz. Sei /eineC*-AlgebraundAeinselbstadjungiertes Element. Aistgenaudannpositiv, wenneinselbstadjungiertesElement B /existiert, sodaB2= Aist.BisteindeutigundliegtindervonAerzeugtenabelschenUnteralgebravon /.WirnennendieseseindeutigeBdieWurzel vonAundschreibenB=AoderB= A1/2.Beweis: Siehe[5,Thm.2.2.10].Mit der Denition der Wurzel konnen wir nun den Betrag eines selbstadjungier-tenElementesA /denieren:4.3.7.Denition. Sei /einC*-AlgebraundA /einselbstadjungiertes Ele-ment,dannistdurch [A[ =A2der BetragvonAdeniert.Als nachstes untersuchen wir die Eigenschaften der Menge /+ und die ZerlegungvonselbstadjungiertenElementeninpositiveundnegativeAnteile.4.3.8.Satz. DieMenge /+derpositivenElementederC*-Algebra /einnorm-abgeschlossener, konvexerKegel mitderEigenschaft /+ /+= 0. IstA /selbstadjungiertunddenierenwirA= ([A[ A)/2danngilt:1. A /+,2. A = A+Aund3. A+A= 0.AsinddieeinzigenElementemit diesenEigenschaften. DieZerlegungvonAinAheit orthogonaleZerlegungvonA.Beweis: Siehe[5,Prop.2.2.11].58 KAPITEL4. C*-ALGEBREN4.3.9.Beispiel. Betrachten wir einen selbstadjungierten beschrankten Operatorauf demHilbertraumH, also ein Element der AlgebraB(H). Bezeichne nunE+=E(0, ) bzw. E=E(, 0) diezurpositiven, bzw. negativenHalbachsegehorendenSpektralprojektorenvonA.DanngiltA= EAE.4.3.10.Beispiel. F ur einselbstadjungiertes Element f der Algebra C0(X) gilt:f+(x) =(f(x)) undf(x) =(f(x)), wobei durch(x) =0f urx 0 da (B+1I)1(A +1I)1ist.Beweis: Siehe[5,Prop.2.2.13].AmEndediesesAbschnitteswollenwirnochzwei n utzlicheZerlegungenbelie-bigerElementeeinerC*-Algebraangeben.4.3.14.Behauptung. In einer C*-Algebra/mit Identitat hat jedes ElementA /eineZerlegungderFormA=a1U1 + a2U2 + a3U3 + a4U4mitdenunitarenElementenUi, i = 1, . . . , 4undai Cmit [ai[ |A|/2.4.4. DARSTELLUNGENVONC*-ALGEBREN 59Beweis: EsreichtoenbardenFall |A| =1zubetrachten.DannistA=A1 + A2mit den selbstadjungierten Elementen A1= (A+A)/2 und A2= (AA)/2 (sieheBem.4.2.8).Oenbarist |A1| 1und |A2| 1.JedesselbstadjungierteElementBvon /mit |B| 1latsichjedochalsSummevonzwei unitarenElementenschreiben;MitU= B i1I B2giltB= (U+U)/2.DiezweiteZerlegungistdieausderFunktionalanalysisbekanntePolarenzerle-gung.4.3.15.Behauptung. IneinerC*-Algebra /mitIdentitathatjedesinvertierbareElement A /eineZerlegungder FormA=U[A[, wobei [A[ =AAundUunitarist.Beweis:Ubungsaufgabe!Zeige [A[istinvertierbarunddeniereU= A[A[1.4.4 DarstellungenvonC*-AlgebrenIndenvorhergehendenAbschnittenhabenwirTeilederabstraktenAlgebrentheo-riebetrachtetundTeilalgebrenderAlgebra B(H)alsBeispielebenutzt. IndiesemAbschnittwollenwirdieDarstellungstheorieunddamitdieVerkn upfungzwischenabstrakten C*-Algebren und Operatoralgebren aufzeigen. Wir beginnen mit der De-nitionvon*-Automorphismen.4.4.1.Denition. EineAbbildung: / Bzwischenzwei C*-Algebrenheit*-Morphismusvon /in BwenndiefolgendenAxiomeerf ullt:1. ist linear: (A+B) = (A)+(B) f ur alle A, B / und alle , C.2. istmultiplikativ:(AB) = (A)(B)f uralleA, B /.3. vertauschtmitder*-Operation:(A) = (A)f uralleA /.Ein *-Morphismus heit *-Isomorphismus wenn er bijektiv ist. Die Umkehrab-bildung ist dann ebenfalls ein *-Isomorphismus. Ein *-Isomorphismus heit *-Automorphismuswenn / = Bist.WirhabenbereitsinZusammenhangmitdemSpektralradiusbemerkt,dato-pologische und algebraische Eigenschaften einer C*-Algebra eng