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Dariiber hinaus sieht man, dal~ genau dann e = M (~) zul~ssig ist, wenn entweder die primitive Periodenlfi.nge k ungerade ist, oder aber, falls sie gerade ausf/illt, aueh ein gerades ~ existiert. Die Einzelheiten des Beweises werden demn~iehst in gr61lerem Rahmen in der Math. Ztsehr. erscheinen. Die entseheidende Hilfsformel, dureh deren Entwicklung (2) hervorgeht und ftir die wir einen ver- einfaehten Beweis mittels Matrizenrechnung geben, rtihrt yon HERMA~N SCtt~FFL~R her (Die un- bestimmte Analytik, Hannover 1854, S. 159 (6)). Es mag gesehiehtlieh bemerkt werden, dal~ in diesem wohl- wenig bekannten, trotz gelegentlieher Irrtiimer reeht beaehtenswerten Buehe bereits (mehr als dreillig Jahre vor HVaWlWZ) die regelmiil]igen Kettenbrfiehe mit ganzen komplexen Zahlen als Teitnermern behandelt sind, nebst Beweis ffir die PeriodizittLt der Entwieklung im Falle einer fiber dem Gausssehen Zahlk6rper relativ-quadratischen Zahl.

ROBERT SCHMIDT, Mi inchen :

O r t h o g o n a l s y s t e m e y o n P o l y n o m e n u n d i h r e N u l l s t e l l e n

Mit Belegungshmktionen Z(~) kann man dureh Anwendung des Orthogonalisienmgsprozesses auf 1, x, x ~ . . . . Folgen yon Polynomen

P k ( x ) - - - - a k ~ + a k i x + . . . + a k k x k (akle:4 = O)

gewinnen, die Orthogonalsysteme hilden:

+ o o

j" P . (x) P,,(x) dx = e,~ . . . .

Dazu geh6ren z. B, die Systeme yon LEGENDRE, HERMITE, LAGUERRE und TEHEBYEHEF. Die folgenden -- jedenfalls fiLr LEGENDRE-P01ynome geliiufigen -- Tatsaehen werden einheitlich her- geleitet:

1. Pk(x) besitzt genau k einfache reelle Nullstellen. 2. Zwisehen je zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen yon P k + l ( x ) liegt genau eine Nullstelle

yon Pk(x).

~VALDEMAR SCHOBE, S t u t t g a r t :

D i e N a h e r u n g s f o r m e l n y o n N I C ~ O L S O N u n d WATSO:~ f t i r Z y l i n d e r -

f u n k t i o n e n

Wenn das Argument z und der Index v einer Zylindedunktion beide unendlich werden, so gibt es for den Flmk.tionswert zwei asymptotische Entwicklungen von DEBt-E, die aus elementaren

Funktionen gebildet sind. Die eine gilt ftir-~Z = | b = eonst @ 1 (Hauptreihe), die andere ffir

z -- v = 7 = eonst (Ausnahmereihe). Der Geltungsbereich beider Reihen r~icht weiter, als soeben

angegeben, doeh erfassen beide nicht den Bereich, in dem 7 yon der GrSl3enordnung z~ ist. Hier gelten die Niiherungsformeln (1) von •ICHOLSON und (2) yon WATSON.

(1) \3 4 :,

Selbstreferate fiber die auf der D.M.V.-Tagung in Tfibingen gehaltenen Vortr/ige 23t

e Y ~ ! / ~ ) ( v ~ c b ) ~ _ ~ o ~ , H~ 2) ~ 3 b . ~ . (~)

Der fibliche Beweis yon (1) bentitzt das heikle Prinzip der stationaren Phase, set.zt fiberdies ganzzahliges v voraus und liefert keinertei Angabe tiber den Fehler. Ffir (2) hat WA.TSON nieht nur einen exakten Beweis, sondern im Reetlen auch eine Fehlersehranke angegeben, die allerdings ftir die Praxis unbrauehbar hoeh ist.

Es gelingt, asymptotische Entwieklungen aufzustellen, deren Anfangsglieder mit den rechten Seiten yon (1) und (2) tibereinstimmen, und dadurch das asymptotische Verhalten des Feblers dieser N/ihenmgsformeln zu erkennen. Die ,,NicnoisoN-Entwieklung" der zweiten HhNKEL- Funktion lautet

~ " ~ r t z ) ~ Fzz (2yz) "[S,(y)g )(y)+T.,(YlH (y)] (ia) , ( ~ 0

(2 r)~ mit y 3z~ , wobei Sr Tr Polynome hSehstens yore Grade 2/~ sind.

( la) ist eine asymptotisehe Entwieklung ftir z--> c~, falls -- 2 ~ + s ~ are z ~ ,~ -- e ist

( s > 0 beliebig klein) und ~ = O(z�89 bleibt, ffede Zylinderfunktion Z,~(z) hat in jedem Winkel- raume (m -- 1 + ~) ~ _<_ arc z < (m + 1 -- s) .~ bei ganzzahligem m eine derartige Entwiekltmg,

wobei in (la) rechts an die Stelle yon H~f ),'- H(~ geeignete, aueh yon m abh~ngige Zvlinderfunk-

tionen ~�89 ~_~ des Argumentes y treten.

Der Beweis beruht auf einer bekannten Umformung des SOMMEnF~LDsehen Integrals in die

Gestalt i ( e x p ( zt 3 )dUdt 1 ta i s t . Hier sehreibt man den ~ - . -- 6- - - y u ~-~ , worin |

.Integranden e 6t~--7 t t , entwiekeit den Klammerfaktor zuniiehst nach Y und

gelangt dureh die Substitution Y = y t zu einer Entwieklung naeh Polynomen in t, die glied- weise behandelt sehlieBlieh die NicHOLSON-Reihe (1) liefert. Nebenbei ergibt sieh eine Verbesserung der NICHOLSONsehen Formel, n~imlich

. ~- ~. - -~, , '~ + ,

wiihrend bei (1) der Fehler v o n d e r GrSBenordnungO(z -~) ist.

Auf verwandtem, abi~r mfihsamerem Wege entsteht die ,,W,tTSO~-Entwiekhmg", die ftir die zweite H.~K~L-Funktion folgenderma~en lautet:

~,(2) (v ~ec b) ~ (2a) / 2 v

, a = 0

mit ~ = v T~ ~ b, wobei s,,07), t**(~]) Polynome h6chstens 2#-ten Grades sind. Wird das ~orzeiehen yon b umgekehrt, so ~ndert sich "die WhTso~-Reihe wesentlich; es gibt also zwei WATso~-Reihen,

die ffir ~ = O(z�89 d. h. ~ ~ O (1) im Winkelraum -- 2~ + ~ --< are v < ~ -- s beide gtiltig sind.

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Werden aber bei. festem # => 1 ffir r]--> co die Funktionen s.~(r]), i H~ 2)~ und tu(r]).H(~ ) , je ffir sich

nach HA.WKEL as)n-nptotisch entwiekelt, so zeigt sich z. B. ffir positive v, dat~ bei der Normierung

76 ~ < arc (3:g b) < -- -g: die hSchsten Glieder dieser HANKEL-Entwieklungen sick, verst/irken,

be ide r anderen Normierung - - - ~ - < a r c ( ~ g b ) < sieh verniehten. Die letztere Normierung

liefert die,,bevorzugte" WATsoN-Enta~ricklung. Diese gilt nicht'nur im Bereiehe y = 0 (z~), sondern

z. B. auoh bei jeder Beweg'tmg __z = coast, so dag die bevorzugte WxwsoN-En~icklung einen sehr Y

umfassenden Geltungsbereich hat. Es ergibt sieh dabei, dag die yon WATSON im Reellen ffir z > v und z < v gegebenen Fehlerschranken sdner N~herungsformel (die Anfangsglied einer bevorzugtea Entwicklung ist) selbst im ungiinstigsten Falle um ein Mehrhundertfaches grSBer sind als das zweite Glied der Entwieklung.

Wird jedes Glied der bevorzugtea WATsoN-Reihe ia eine HANKELSChe asymptotische Reihe entwickelt, dann geht die so entstehendo Doppelreihe bei geeigneter Umordmmg in die DEs'~Esche Hauptreihe tiber, die ja v~cgen der darin auftretenden Polynome in ~.tg2 b ebenfalls eine Doppel- reihe ist. Analog zeigt sieh: wird jedes Glied der NICHOLSON-Reihe (la) in eine Potenzreihe uach

~, z - } entwickelt -- diese Potenzreihen konvergieren bestgndig --, so l~tl~t sich die entstehende Doppelreihe in die D~BY~sche Ausnahmereihe umordnen. Insbesondere entsteht die Potenzreihen- entwiekhmg des NICHOLSONSehen Ngherungsausdrucks, wean man in der DEB'LEsehen Ausnahme- reihe jedes Polynom Bz(~,) dutch die hSehste darin enthaltene Potenz coast yl ersetzt. Zwisehea den verschiedenen Niihenmgsformeln und Entwicklungen bestehen also enge formale Zusammen- h~ia~ge.

.~hnliehe Verschgrfungen lassen sieh aueh ftir die uumerisch vorziigliehe Ngherungsformel yon V. Foc~ (vgl. Referat in FdM. 60, 2 [1934])

e ~ H(~ ) (v see fl) ~ y ~ -- fl etg fl H~ ) (~ (tg fl-- fl)) (3)

geben.

HELMUT WAGNEB, Wetzlar:

Anwendung moderner mathematischer l~[ethoden auf Probleme des

optischen Rechnens

Voa einer Inhaltsangabe des Vortrags aa dieser Stelle wird abgesehen, da ein ausfiihrlicheres Selbstreferat im ngehsten IIeft dieses Archivs erseheinen soll.

ALWI~ W~LTHER, D a r m s t a d t :

D i e I n t e g r i e r a n l a g e I P ~ ' I - O T T

Ein Selbstreferat ist nicht beider Schriftleitung eingegangen.