Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe kann beliebig groß werden

Die Ordnung der SCHAFAREWITSCH-FATE-Gruppe kann beliebig groS werden

Iron R'EINHARD BOLLING in Berlin

(Eingegangen am 20. 12. 1973)

Sei k ein endlicher algebraischer Zahlkorper, d eine uber k definierte elliptische Kurve. Besitzt A wenigstens einen uber k definierten Punkt 0, so kann auf A eine abeldche Gruppenstruktur definiert werden, wobei o die Rolle des Nullelements uberiiimmt. d wird zu einer iiber k definierten eindimensionalen abelschen Mannigfaltigkeit, und man erhalt umgekehrt alle auf diese Weise. Zur Abkurzung wollen wir d als abelsclze Kurve bezeichnen. Fur jeden Oberkorper K von k sei .-Z(K) die Gruppe der uber K definierten (kurz: K-ratiotzaletz) Punkte von CR sowie K eine algebraische AbschlieBung von K .

Das Ziel dieser Arbeit besteht in dem Nachweis, dalj die Ordnungen der ~ C H A F A R E ~ I T S C H - ~ A T F , - G ~ ~ ~ ~ ~ ~ Vl(d, k ) bei vorgegebenem Grundkorper k und festgehalterier absoluter Invariante j (A) = j beliebig groB werden konnen, d. h. es gilt fur jedes j E k

(*I ('GI = Ordnung einer Gruppe G und M(j, k ) die Menge der uber k definierten ahelschen Kurven mit der absoluten Invariante j).

'I'atsiichlich wird etwas niehr, namlich die entsprechende Aussage fiir die 2-Koinponente voii ZlZ(&, k ) bewiesen. Dabei ist

supremum If lZ(A, k)j = 00 d E M ( i , k )

ILl( lq E ) = n Kerj, $1

mi t den Lok a1 is ieru ngshomomoi p h i sinel 1

j,: H l ( k , A(/%)) + If'&, A(E,)) , wobei p alle Primdivisoren von k durchlauft, kv die Vervollstandigung von k bezuglich p bezeichnet . Da die Gruppe der Isonmrphieklassen der pririzipalen liomogenen Raurne von d uber li isomorph zu H l ( k , d(h)) ist (s. z. B. [7], [ i l l ) , entqxechen den Elernenten von IL!Z(&, k ) diejenigen Klassen prinzipaler homo- gener Riiume von ,R uber k , die beziiglich aller Primdivisoren p wenigstens einen kp-rationalen Punkt besitzen. Damit lrarin IlZ(A, k ) a18 eine Art Ma13 fur die Ab- weichung von der Giiltigkeit eiiies entsprechenden Lokal-Global-Prinzips an- gesehen werden.

158 Bolling, Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe

Keispiele dafur, daI3 iiberhaupt vl(d, k) =l 0 rnoglich ist, wurden zuerst von C.-E. LIND (1940; [S]) und H. REICHARDT (1942; [lo]) angegeben sowie weiterhin insbesondere von E. S. SELMER (1951; [12]).

Fur den Fall j = 0 ( k = Korper der rationalen Zahlen) bewies J. W. S. CAS- SELS (1964; [4]) die Gultigkeit von (*). Der im weiteren hier angegebene Nachweis fur beliebige j orientiert sich an dem Vorgehen dieser Arbeit.

Die SCHAFAREWITSCH-TATE-Gruppe ist bisher fur kein Paar (d, k ) bekannt. Es ist sogar in keinem Fall bekannt, ob sie endlich (bzw. unendlich) ist. Es besteht die Vermutung (2. B. [ 5 ] , [14]), da13 sie in jedem Fall endlicli ist. Es gibt aber Beispiele, in denen die Elemente der Ordnung p bzw. die p-Komponente (deren Verschwinden) bestimmt werden kann (fur kleine Primzahlen p ; z. B.

Fur das Thema dieser Arbeit mochte ich Herrn Professor I. R. SCHAFA- [11, ~91).

REWITSCH an dieser Stelle herzlich danken.

1. m-uberdeckungen und Invarianzsysteme

Wir stellen zunachst einige allgemeine Bemerkungen in dem Umfang an den Anfang, wie wir sie spiiter benotigen werden.

Sei I' die GALoIsgruppe von k beziiglich k. Fur eine beliebige komrnutative Gruppe G und eine beliebige natiirliche Zahl m bezeichne G , die Untergruppe der von m annullierten Elemente von G .

Aus der exakten Sequenz von r-Moduln

0 + A(/%), + & ( k ) 2 A ( E ) 4 0

( 5 bezeichnet die Multiplikation mit m) folgt die exakte Sequenz (s. z. B. [5], ~ 7 1 ,

( 1 . 1 ) 0 --+ d(k)/mdZ(k) + H ' ( k , A(/%),) % ; H ' ( E , A(/%)), - 0 ,

Anstelle der Elemente von H l ( k , A ( k ) , ) werden wir einerseits die von J. W. S. CASSELS eingefiihrten m- Uberdeckzcngen und andererseits die Invuriccnzsysteme heranziehen (131, [ 5 ] ) .

Als m-Uberdeckung von d uber k wird eine Aquivalenzklasse von komniu- tativen Diagrammen

Bolling, Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe 159

mit den entsprechenden allgemeinen Punkten

bezeichnet, worin 8 eine iiber h definierte birationale Abbildung und M eine iiber k definierte rationale Abbildung ist. Ein weiteres derartiges Diagramin mit der (dann notwendig elliptischen) Kurve V' uiid den Abbildungen 8', 34' heist aquivalent zum Diagramm (1.2), wenn ein kommutatives Diagramm

tE A R &

O l lo' zi ---+?Ir

A existiert, worin t, die Translation urn einen gewissen I'unkt I3 E A(&), und A eine iiber k definierte birationale Abbildung bezeichnet. Es gibt eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von H ' ( k , d(k) , ) und den m-Uberdeckungen von d iiber k , wonach auf der Menge der m-Uberdeckungen eine kornmutative Gruppenstruktur induziert wird.

Eine weitere Interpretation der Elemente von H l ( k , A(h)*&) stellen die In- rarianzsysteme dar. Ein Invariunzsystem von & uber k zum Exponentcn m ist ein nzi-Tupel { A E } von Elementen A E € &*, wobei E alle Punkte von J(h)*& durch- Iauft, mit den Eigenschaften:

(1.3) pE,$ - . --. AEAE' ~~ E k ( E , E') @cf) &+,'

C T V ~ = vOE; C T ~ ~ : , , . == pOE,,Er f u r rille 0 E r . Reziiglich der komponentenweisen Multiplikation bilden die Invarianzsysteme eine Gruppe. Zmei Invarianzsysteme { A E ) , {I , ; } heiBen aquivalent , wenn 08 einen Charukter x, von d ( h ) , , und Eleniente I, E k ( E ) mit 01, = I,, fur alle CT E T gibt, fur die (1.4) lLi =- l b E ~ , ( E ) lE f i i r alle li: E d ( k ) , gilt. Die so gewonnenen Invuriunzklusscn von & uber k z u m Elcponcntcn ?n konnen in eineindeutiger Weise den Elementen von H ' ( k , d(k),) zugeordnet w-erden, wobei der Addition in H ' ( k , die durch die Multiplikation der Invarianz- systeme induzierte Multiplikation der Tnvarianzklassen entspricht. Einein In- varianzsysteni {?LE) ist dabei der eintleutig bestimmte 1-Kozyklus f : r + d ( k ) , mit

02.E

4 l E = X ( f ( O ) , OE:) (1.5)


(fur alle 0 E r, E E A(E)J zugeordriet, wobei x die WmLsche Paarung von Cnfk), x A(k),, mit Werten in der Gruppe der m-ten Einheitswurzeln ist. Nach dem oben Gesagten ist damit die Gruppe der Invarianzklassen zum Exponenten ?n isomorph zur Gruppe der m-cberdeckungen. Wir henotigen einige Angaben uber diesen Isomorphismus.

Aus der bekannten Charakterisierung der Hauptdivisoren von A (Satz von ABEL) folgt fur jeden Punkt El E d ( k ) , die Existenz von Punktionen qE, f E E k ( A ) ok E niit den Divisoren

(1.6) ( f E ) = mE - m o

(zwischen cler Addition (den Vielfachen) von Divisoren und Punkten wird in der Rezeichnung keiii Unterschied gemacht ; aus tlein Zusamnierihang ist die jeweilige Bedeutung zu entnehnien). Navh geeigneter Normierung kann (1 .7) 9; = vOE f i i r alle o E r erreicht werden (& entsteht aus vB (lurch Anwendung von (r auf die Koeffi- zienten). Seien x, unabhiingige allgenieine Punkte von A uber k . Dann gilt bei geeigneter Normierung

u nd

( ' .9) fE(7726) = YE(F)"L *

Sei X = { A R } ein beliebiges Invarianzsystem von A uber k zum Exponenten nz. Dann existiert in der m-Ubercleclrung, die der Klasse von S zugeordnet ist, ein D iagramni

- A m Jc- I f

mit der Eigenschaft, da13 fiir die Funktionen TE/T init

(1.11) il,T,/T = pE

gilt :

und (1.13) {O(S)-J>* (T,/T) E k ( V ( S ) ) @ k(B)

k

(der Index * bezeichnet hier und im folgenden die durch eine rationale Abbildung induzierte Abbildung der entsprechenden Funktionenkorper).


Fur die erwiihnten Isomorphismen fiihren wir folgende Bezeichnungen ein :

Cruppe der Invarianz- klassen zum Exponenteiz m

Zur Vereinfachung der Bchreibweise werden wir diese, jeweils auf gewissen Klassen definierten Abbildungeii eberifalls als Abbildungen der die Klassen bildenden Elemente betrachten.

Wir wollen diese Ergebnisse nun auf den Fall m = 2 anwenden. Dazu moge die abelsche Kurve d in WEIERSTRASssCher Normalform

(1.15) y?z = x3 + a x 9 + bz3, (u , b E k )

mit o = (q: y7,: zo) = (0: 1 : 0) gegeben sein ihre absolute Invariante ist j (d) =

(1.16) It:, = ( c , : 0 : 1); ( x = 1 , 2, 3)

die von o verschiedenen 2-Teilungspunkte von ,A, wobei wir verabreden, mit dem Index K modulo 3 zu rechnen. Zur Abkiirzung schreiben wir fur einen Index E, nur cx.

Wenn die 2-Teilungspunkte k-rational sind, kann eine Kurve V ( S ) nach (1.12) und ( 1.13) sofort angegeben werden. Unter Berucksichtigung der Redingungen (1.6), ( 1 . 7 ) , (1.8) koniieri wir

Y

wiihlen. Sei 2(lr: y : z ) Nach (1.11) ist

( 1 . 1 7 )

wonach wir fur ?l(S) im folgenden stets die durch die Gleichungen

( X : Y : 2) .

vE(Tm/Z ' )2 = S/Z - e l ,

(1.18) init (1.19) da = ez - ( a = 1 , 1, 3) definierte Kurve (im dreidimensionalen projektiven Raum) wahlen. Offenbar ist damit jedem Invarianzsystein S vermoge der Isomor~diismen von (1.14) eiri Diagramm (1.10) zugeordnet, wobei sich M ( S ) explizit durch (1.17) und

Y , + ~ T ~ + ~ - v,T: 1 dZT!

J f l & T E J T = Y ' Z

n = l

sngeben lafit. Fur den allgemeinen Fall betracliten wir die durcli

11 %lath. Naehr. Bd. (ii


definierte Kurve mit den Koordinaten TB(/3 = 1, 2, 3)) die im weiteren mit W ( S ) bezeichnet wird. Tatsiichlich definiert (I .20) eine uber k(dz(h),) definierte birationale Abbildung von W ( S ) und V ( S ) , da die Determinante der gegebenen linearen Transformation genau dann nicht verschwindet, wenn d eine elliptische Kurve ist.

Lemma 1. Fur jedes Invarianzsystem S won d uber k liefert die Zuordnung s - W ( S )

(Definition s. (1.20)) eine explizite Besckreibung des Isomorphismus der Gruppe der Invarianxklassen won d uber k zum Exponenten 2 und der Gruppe der 2-Ober- deckungen vond iiber k ( s . (1.14)). W ( S ) wad V ( S ) (Definition s. (1.18)) sind uber k(d(E) , ) birationul isomorph.

Beweis. Dem Invarianzsystem S sei der I-Kozyklus f : r ---f dz(h)2 zugeordnet. Bei der Konstruktion von 8” aus (1.14) setzt man 7 auf k(d) Ok h durch die Festlegung fort, daI3 (T E I‘ wie t&, x o mit der Translation trc,,, um den Punkt f(o) operiert. Aus der bekannten Relation (z. B. [3], sect. 2 )

q(,,)YB = X ( m E ) 9 E

o(T,/T) = T,/T folgt

und ELUS (1.20) schliel3lich

u(T , /T) = FJT fur alle (T E r. Insbesondere ist W ( S ) uber k definiert.

lich fur eine beliebige naturliche Zahl In die exakte Sequenz ( [ 5 ] , chap. 20; [3]) Aus (1.1) erhalt man durch den Ubergang zu den lokalen Korpern k, bekannt-

(1.21) 0 + d(k)/mcA(k) ---f S”’(d, k ) 3 ur(dz, k), -+ 0 ,

worin die mittlere Gruppe als SELMERgrUppe bexeichnet wird. Den Elementen dieser endlichen Untergruppe von H l ( k , A(E),) entsprechen bei dem Isomorphis- mus 8” (s. (1.14)) diejenigen Klassenvoii Diagrammen (1.2), fiir die V wenigstens einen kp-rationalen Punkt bezuglicli aller Primdivisoren p von lc besitzt. Sei AS ein gegebenes Invarianzsystem von d uber k zum Exponenten m. Wir benotigen Bedingungen fur 3 ( S ) E LS(’~)(A, k). Bezuglich eines Primdivisors p von k, prim zu m, fur den dz gute Reduktion besitzt, ist nach eineni Ergebnis von LANG und TATE ([7J, 5 4, Cor. 1) die Unverzweigtheit der Erweiterung k ( S ) / k fur p hinreichend dafur, daB V ( S ) einen kp-rationalen Punkt besitzt (man beachte, daS e(S) iiber k(d (k ) , , , 8 ) definiert ist.). Fiir die irn weiteren durchzu€uhrenden uher- legungen ist eine entsprechende Aussage in Fallen von ausgearteter Reduktion wichtig .

Ds es uns Zuni groBten Teil nur auf die Abhangigkeit v o n j ankonimt, werden wir unter den moglichen abelschen Kurven solche auswiihlen, die fiir unsere Zweclse besonders geeignet sind. Diesem Ziel dient

Bolling, Die Ordnung der Schafarewitsch-Tste-Gruppe 163

Leaims 2. Sei j E k. Es gibt eine uber k definierte abelsche Kurve A! der F o r m

(i) d, ist ganzes Ellement von k2 (ii) aus w(d,) + 0 folgt w(d,) = 1 (mod 2)

(1.15) m i t der absoluten Invariante j (d) = j u n d den Eigenschuften

fur j ede diskrete unverzweigte Fortsetzung w einer Bewertungvon k auf k2 = k(A(IE),) u n d alle IndizQs u.

Beweis. Bekanntlich gibt es eine uber k definierte abelsche Kurve

A!'): y2z = 2 3 + ax$ + bz3; (a , b E k) mit j(A0) = j (z. B. fur j $= 0 ; 123: y% = x3 - 3j ( j - 123) 5 2 2 - 2 j ( j - l23)2 z3).Die d t seien nach (1.19) aus den entsprechenden ell bestimmt. Fur einen beliebigen endlichen Primdivisor '$ von k2 mit der zugehorigen additiven Bewertung w3 bilden wir

W egen

wird das Minimum wenigstens zweimal angenommen. Sei k , der von 9 geteilt wird: 9 I p .

a; = min (w%(dy) , w % ( d i ) , u;%(d:)) .

dy + d; + d: = 0 der Primdivisor von

Wir bilden a$ - 1 wenn nicht alle u+,(dt) gleich, aber untereinander [ -5-1 kongruent modulo 2 sind

up = I,?, sonst

(ep-Verzweigungsexponent von p in k,; [ "J -das groSte Ganze). Die Berechtigung zu dieser Definition ergibt sich darnus, da13 fur jedes CT E Gal (k , /k )

W,,(Odt) = wrp(dg)

u:, = u; .

gilt uiicl die Divisoren (od;) eine Permutation der Divisoren (de) darstellen. Ins- hesondere haben wir

Fast alle up (d. h. bis auf endlich viele) sind Null. Wir bilden den Divisor

von k, worin p alle endlichen Primdivisoren von k durchlauft. Aus der Divisoren- klasse, die invers xu der durch b beatirnmten ist, wahlen wir irgendeinen ganzen Divisor b*, in dem nur Primdivisoren 8 mit w%(dq) = 0 fur alle '$ I p und alle a in ciner ungeraden Potenz aufgehen mogen. Dann ist

fur ein gewisses f E k*. Die abelsche Kurve

leistet das Verlangte.

bb" = (i)

A: ?/?z = xJ + at"Xz2 + bt3za

1 I*


Lemma 3. Sei d eine iiber k difinierte abelsche Kzirve, deren 2-Teilungspiinkte k-rational sind und dic den Bedingzingen ( i ) und ( i i ) nus Lemma 2 geni igf . F u r e i n Invarianzsyslem S = {A,) von <4 iiber k zum Exponenten 2 g i l t

9(S) E S(Z'(d, k )

genau d a m , wenn gilt :

(Normenrestsymbol zuin Exponenten 2 ) f u r alle Indizes u iind ulle (aiich unendlichen) Primdivisoren p von E zcnd (ii) V ( S ) besitzt eincn kp-rationalen P u n k t f u r ulle p der enclliclmz Primdiz.i.Yoren-

'(" = { I einen Index u ist dz p-adisckc Einheit ; o d f r p ~2

menge

1. nicht alle v, sind p-adische Einheiien iind f u r icenigstens

B e w e is. Die Bedingungeii sind notwendig : Es gibt T, z1, T?, zJ E k, rnit

(1.22) Y, - vat: = d,T'

fur alle GI, wonach sirh direkt ( i ) ergibt. Die Hedingungen sind hinreichend : Aus der Theorie der KuMMERscheii Erweiterungen ist bekanrit , daB

w V I (v ) e ~ L ' ~ ( Y ~ ) = i ~ ~ ~ ( v ~ ) = 0 (mod 2)

fur wp(2) = 0 die Unverzweigtlieit von k(iY)/k beziiglic-h p nnch sicli zietit. Fu r den Fall, da13 4 gute Reduktion modulo p luesttzt, ergibt sich dsts Gewiinschte ttus dein oben zitierten Resultttt von L4NG und TATE.

Es bleiben deher noch die Solgenden Falle zu untersuchen. Sei p B ' ( S ) . Fall 1: ? ( ' & Y I )

Fall [I: 7up(v,) = 1 (mod 2 ) fur wenigstens eitieti Inc1r.s K :

Fall I II : Q 1st unetidlicher Prirndivisor. Zunbchnt Fnll 1. Da dte Bedingunyeti ( L ) , ( i i ) hotvie the ISeliauptung utia1)liiiiigig

Mind in bezug ttufAl&ntleruny dw v, inotlulo k:', kijnnen wir ohnc 13eschriinkunq der Allgeineinheit

?uq(vJ) E 7uu(vi) = 0 (mod 2 ) uiitl 4 hesttzt ffir p keirie gute Kduk t ion ;

7(' v l (v ) = 7CV(Y , ) = iP&,(V,) = 0

annehinen. Sei w,(d,) + 0 fur einen lndex cc. Wogen

folgt


und damit

Wegen v, - E k:'.

gibt es z, z a W l , z, E k , mit (1.23) v,zz - va-izN-l 2 = d , - l z z .

AuBerdeni konneri wir ohne Besc*hrankung der Allgemeinheit annehmen, da13 z, z, p-ganz und wenigstens zwei von ihnen p-adische Einheiten sind. Dar- iiber liinaus liann man immer zcj,(z,) = 0 erreichen. Hatte man namlich eine Gleicliung (1.23) mit ~ ~ ( 2 , ) > 0 und 2 / ' + , ( 7 , - 1 ) = wt,(z) = 0, so ergabe sich

Dann is6 aber - d a - l E "2.

V , Z ~ = V , - - - (- <la 1) T' sogar fur jedes voigegebene p-game z, E k, in p-ganzen Elementen von k, losbar.

Sei nunmehr w,(rE) = 0. Schliel3lic.h haberi wir noch v, = V , + ~ U ~ fur ein ?( E k:. Dann gibt es nach den bekannten Satzeii iiber die Losbarkeit von Glei- chungen in lokalen Kijrpern ein z, + F_ E, mit

uncl v, , zu + :=. u r n (mod p ) .

- v,z: = d,z'

Fall TI. Sei irt,(v,) = 0 (mod 2 )

und W , ( V ~ - ~ ) = ~ * , ( v ~ + ~ ) z 1 (mod 2)

fur einen Index a. M'egen p B Z(S) haben wir

Au b w p ( d , ) z w,(d2) = zcL,(d3) --= 1 (mod 2)

folgt

und somit, - dy" . - dV - w& - 1) E /p

n - 1 P sow ie

- d, - ivi-il E kg2

also - v, - lzz - = dK - fur ein z, - E kg . Analog ergibt


die Beziehung (J -1 E k"2 a V a + l '

also ~ , + ~ z : + ~ = d, fur ein T,,~ E kp*. Damit sind die Gleichungen

fur T , = 0, T = 1 losbar. Fall 111. lnteressant ist nur der Falleines reellen Primdivisors .p. Seij, : k 'lc, R die kanonische Einlagerung von k in die Vervollstandigung bezuglich p

(R-Korper der reellen Zahlen). Falls j,(v,), j ,(v2),j,(v3) > 0 lassen sich die Gleichungen (1.24) z. B. mit T = Olosen. Fallsj,(vz) > 0 undjp(va-l),jp(v,+l) < 0 fur einen Index c( gilt, so ergeben die Voraussetzungen j,(d, - lva), j,(d,v, + 1) > 0, wonachj,(d, - 1) > 0 undj,(d,) < 0 ist. Dann lassen sich die iiach Anwendung von j, aus (1.24) entstehenden Gleichungen zum Beispiel init 71, = 0 losen. Damit ist das Lemma bewiesen.

2. Eine lokale Hilfspaarung

Wir fixieren einen beliebigen Primdivisor p von k und eine natiirliche Zahl m. Mit r, bzw. 8, bzw. ' pp seien die lokalen Analogs (d. h. beziiglich k , als Crund- korper) von r bzw. 3 (8 . (1.14)) bzw. q (s. ( 1 . 1 ) ) bezeichnet.

Die m-Teilungspunkte von d seien kp-rational. Fur zwei beliebige Erzeugende E , E" von A(,$,), uiid beliebige Invarianzsysteme S = { j . E ) , S = {A,} von d iiber k, zum Exponenten m setzeii wir

(mit den Normenrestsymbolen zum Exponenten rn auf der rechten Seite). Offen- bar ist damit eine Paarung auf der Gruppe der Invarianzklassen von A iiber k , zum Exponenten m mit Werten in der Gruppe der rn-ten Einheitswurzeln definiert.

Lemma 4. Die Paarunq hE*,E,, ist auf 9 x 9 trivial, ivobei 9 dus volle Uybilcl

Beweis. Sei 3,(S), $&S) E Ker pp. Ferner sei S bzw. S tier 1-Kozyklua f

Aus einem Ergebnis von CASSELS ([3], Lemma 3.1) folgt, daD der 2-Kozyklus

won Ker cp, bei 3, ist.

bzw. f bei 3, zugeordnet.

(0, z) - x(f(4Lm); ((7, z E T p >

mit Werten in k: ein 2-Korand ist (dort in etwas abweichender Bezeichnung). Andererseits ist


fur eine primitive m-te Einheitswurzel [,, den kanonischen Isoinorphismus

invp: Br(k,) ---t Q/Z

der lokalen Klassenkorpertheorie ( Br(k,)-BRAuER-GrUppe, Q-Korper der rationalen Zahlen, Z-Ring der ganzen rationalen Zahlen) und das von der Wahl von (, abhangige Symbol

(YZf, Vg-) f W k & > das durch den 2-Kozyklus

" e (S ,E";r )

((7, z) - (Y?) reprasentiert werden kann, wobei e ( 8 , E" ; z) irgendeine (modulo 7n eindeutig bestimmte) ganze rationale Zahl init

ist (z. B. [13], XIV, $ 2, Prop. 5 sowie (1.3)). Hiernach und wegen (1.6) folgt, daB

(vE., j i E , , ) + (vE,,, B E . ) E Br(k,),

durch den 2-Kozyklus

mit ((7, z) - x(f(4, P(4)

P ( z ) = e ( S , E"; z) E' -- e ( a , E ' ; z) E"

reprasentiert werden kann. Sei X ( E , E ' ) = r, P(z) = cf(z)

fur ein c f Z. Aus der Tatsache, daB x nicht ausgeartet ist, folgt nach (1.5)

fur alle z E r,. Unter Berucksichtigung der eingangs gemaclzten Bemerkung ist damit das Lemma bewiesen.

A n m e r k u n g . I n dem Fall m = 2, fiir den das Lemma lediglich benotigt wird, 1aBt sich ein Beweis auch direkt aus den Gleichungen (1.22) fuhren.

3. Eine globale Hilfspaarung

Fur unsere Belange ist es zweclrma5ig, einer von CASSELS ([2], [3]) angegebenen Paarung eine andere Form zu geben.

Wir setzen im folgenden voraus, daB alle 2-Teilungspunkte von Jz k-rational sind.

Fur einen von o verschiedenen 2-Teilungspunkt E definieren wir die folgenden Untergruppen der Gruppe der Invarianzsysteine von d uber k zum Exponenten 2

U , ( d , k ) = (8 j S(8) F_ #(')(A, k ) und A, E k*)

168 Bolling, Die Ordnung der Scharafewitsch-TLtte-Gruppe

sowie U(d, k) = n U , ( 4 k).

E

Nit S liegen auch die Tnvariaiizsysteme der Klasse von S (die zu AS aquivalenten) in den Untergruppeii.

Wir fuhren die Funktionen

%’e(J’) = { O ( W ’>* (f’e) ei n .

y , y’ E I;* schreiben wir Zur Abkurzung legeii wir folgendes fest. Sei 1, ein 1)eliehiger Korper. Fur

y - y‘ @ yy‘ € L”’. L

Fur ein Element S € UE,(<4, E ) niit ~ ( L S ) - 0 7r)ezeicahne 0(8) den nicht- trivialeii Autoniorphismus der qumiratiscbhen Erweiteruiig k ( ~ S ) / k . ,4us (1.5) folgt f ( c ( S ) ) = E’. Es gilt dann fur jeden voii o verschiedenen 2-Teilungspunkt /r:

(mit der Koiirrentioaf,(E) = f , (P)fE(Q)) fur irgeiidwelclie fixierten P, Q E A ( k ) init P + Q = 3, da wir uns nur fur die Funktionswerte iriodulo Ic*? interessieren (man beachte ( i .S) , (1.9)). Zum Naehweis hat man (1.8) und (1.9) zu beruck- sicht igen.

k ) fblgt, daO vEfE(E’) E k* iiberall lokale Norm ist, d. h. Fezuglich der Erweiterungeii k p ( S ) / k 4 €ur alle Primdivisoren P voii k (bezuglich einer fixierten Einlagerung von I% in lp). Nacli eineiii bekannten Ergebnis der Xlassenkorpertheorie (HnssEscher Nonnensatz) ist dann v&(E’) globale Norm. Sei / I B ( # ) € I c ( S ) ein beliebiges Element mit

(3.2) iiormk(8),kPE(S) 7 vEfE’(E’) . Hieraus folgt die Existenz voii Funktionen &(AS) E k(Zi(S)) niit

-4us $(A?) E

Der ausgeschlossene Fall $(S ) = 0 ordnet sich in offensichtlicher Weise ein. Wir definieren eine Abbildung

H : U ( d , k) x LJ(d2, k ) ---t {+ 1, - I )

ZunSichst sei fur S E U,(dz, k ) , S E U(d2, k )

wobei das Produkt fur die IYori~ienrests~iii~ole zuin Exponenten 2 uber alle Primdivisoren .p voii Ic genonimen wird uiid ein beliebiger kp-rationaler Punkt van V ( S ) ist sowie E”,h?” zwei untereinander und von o verschiedene fixierte

Bolling, Die Ordnung der Sehafarewits~.li-Tate-Gr~ippe 169

2-Teilungspunkte von d sind. SchlieSlich sei fur ein S = n S, E U ( A , I c ) mit

8, E U , ( 4 k )

( 3 . 5 )

E+O

H(X , 8’) = ~ “ ( S E , s’) . E+O

Dabei konnen nur endlich viele Faktoren des Produktes in (3.4) von 1 ver- schieden sein, weil nach (1 .8) , ( 1 . 1 1 ) und (3.3) fur fast alle p

wp(LE(X) (8,)) = 0 (mod 2 )

gilt (w, bezeiclinet die zu einem endlichen l’iimdivisor p gehorende additive 13ewertung von k,). Die Abbildung H ha11gt nicht von der Auswshl der L,(“C), 91G, 8, und der 2-Teilungspnkte E’, E” ab. Dam hat man mi beriicksichtigen. dal3 fur eirie weitere mogliche Funktion L&S) nach (3.2) uiid (3.3) ein y E ( S ) E k* niit

esistiert. Aus (1.8) und (1.9) folgt

L E ( 4 (X@ Q)k(z&4 ( ~)S,(V) (0 bezeichnet die durch e(S) gegebenc uber k definieite regulare Ab\)ildung l’(S) x A - V ( S ) ) . Das ergibt zusimiiieii mit (1.9), (1.1 1 ) und dem Lemma 4 sowie der HrLoEnTschen Produktforrnel fur das Normenrestsymbol die Una1)- Iiiingiglreit beziiglich der hE(S) und 91,. Die Unabhiingigkeit von H bezugIich der Ausrvahl der R, liefie sich durch entsprechende Uberlegungen iiachweiseii . Sie wird sich aber weiter unten a m ancleren Grunden ergeben. Die Unabhangig- keit bezuglich E’, E” folgt darsus, daS nian wegen

ohne Reschr&nkung der AIIgerneinlieit den Fa11

an n e h nien kann .

B e m e r k u n g . H ( # , 8) ist offensichtlich auch fur alle 8 init 8(9) E &S( ’ ) (J , k) clefiniert (s. Lemma 4).

Leiiima 5. Die Abbildung I1 i.st ,ccl~iqfs~jzlm,,ietriHch und in beiden Argunaenten ??I li It i pliknt iv.

Beweis . Sei S ein beliebiges lnvarianzsystern mit S E UE(&, k ) fur eiiien gewisseii 2-Teilungspunkt E’ von A. Zur Veveinfachung der Schreihweise lassen wir S als Jndes nach Moglichkeit weg. Nach (3.1) gibt es Funktionen G , E k ( 2 ) mit

(3.6) ~ E ~ ~ s ) =: vEfE’(E‘) G i


und QE E k ( X ) (V) mit

Sei ?3 = O(o). ’i2’egen

( Z E ) = 2 D @ E - 2s ( ? Y E ’ (v U( 5’) ) = 2 C@ ( E 4- E’) - 2 DGJ B’

haloen wir

und erhalten

(GB) = Q 01”: + @ ( E 4- E‘) - CJ @ l3’ -

( E + E’ im Sinne der Addition auf A ) . Sei 59, der durch

5QB = 3 0 E - c + (@&)

o(S) 59E = rZjE

definierte Diviwr. Aus (3.7) folgt

und daher i h t $ B ein zu 5 @ E - 2 linear ayuivalenter uber k definierter Divisor. Nach ( 3 . 7 ) ltonnen wir fur die Herechilung von H ohne Beschriinkung der Allgemeinheit

LE = GEQE@gS’, setzen. Fiir den Divisor dieser Funktion folgt

(LE) = 2 5 9 , . tJetzt befindet man sich 111 der Situation der Arbeit 121 von CASSELS. Unter Ueachtung des in: Beweis ron Lemina 4 aiigefuhrten Zusammenlianges mit der CASSELSSChen Arloeit ergibt sich aus den Resultaten von [2] die Behauptunq.

Lernrna 6. Fiir nllc S E U(,A, k ) iPt H(S*, AS) = 1 ,

f a l b 8 ( S * ) E Ker cp (s. ( 1 . 2 1 ) ) g i l f . Beweis. Es gilt

3(S*) E Ker y

genau d a m , wenn V ( S * ) einen k-rationalen Punkt hesitzt. Der Rest folgt nach (3.4) aus der HILEERTscben Produ kt formel fur das Normenrestsymbol.

4. Im(A, 7c) I kann beliebig groB werden

Satz. J’ur einen endlichen mlgehrnischen Znhlkiirper k und j E Ic sei M ( j , k ) die J lenge der iiber k dcj’inierten nbelschcn Kurven init der absoluten lizvariante j . Es gilt

supremum iL!l(d, k)l == 00 . A EJ.!(i,k)

Balling, Die Ordnung der Schafarenitsch-Tate-Gruppe 171

B e m e r k u n g . Aus dem Reweis ergibt sich eine entsprechende Aussage fur die 2-Komponente der SCHAFAREWITSCH-TATE-Gruppe.

B e w e i s . Das Hilfsmittel fur den Beweis ist die Paarung H (Lemma 6). Wir werden im folgenden mehr die Ubersichtlichkeit, als die Allgemeinheit in den Vor- dergrund stellen (so lieBen sich beispielsweise einige der auftretenden Kongruenz- bedingungen abschwachen).

Nach Lemma 2 sei eine uber k definierte abelsche Kurve

A": ZJ'X = ~3 + U X Z ? + 623 : (a, b E k ) mit +j(A") = j und den von 0 verschiedenen 2-Teilungspunkten 23: (a = I , 2 , 3) gewahlt. Zur Abkiirzung sei do = dt d i dy gesetzt (s. (1.19), der obere Index sol1 auf 4) hindeuten) sowie k2 = k(EY, E:, By) der (fur j =+ 0 ; 123 nur von j ahhiingige) 2-Teilungskorper von A().

Sei 91, eine beliebig vorgegebene gerade naturliche Zahl. Durch sukzessive Anwendung des Satzes von der arithmetischen Progression in k , findeii wir Hauptr)rimdiTrisoi.en (1Iu) ersien Grades mit total positiven 17, E k2 mit den Eigenschaften

und 11, =e 1 (mod P A ( ) )

im Full [ k , : k ] 5 2

(4.1) 17~ = I (mod 23 L I ( J ~ , - . . . . ? t . y - - l )

IIu = I (mod 234011, . . . a n , -I)

im Fall [k , : k ] > 2

fiir alle Indizes 1 < - x < y < __ n und alle nichttrivialen Automorphismen o von k , /k mit der Abkurzung

zV = norm kZ,k ITv .

Das in (4.2) auftretende Symbol bezeichnet lzier und iin folgenden das Potenzrest- symbol zum Exponenten 2. Von der Realisierbarkeit der Bedingungen (4.2) kxnn man sich durch Anwendung eines Schubfachschlusses uberzeugen.

Nach dem Reziprozitatsgeseta fur Potenzreste folgt iin Fall [ k 2 : k] 5 2 :

14.3) (;)k = 1

fur alle Indizes 1 5 v , ~t 5 n. Weiterhin gilt f i i r [k,: k ] > 2 :


fur alle Indizes 1 5 v < x 5 9% und alle nichttrivialen Automorphismen o von k,llc. Analog erhalt man

(4.5) (;jk2 hangt nicht von v, 3t(v =k x ) ab.

Fur den Beweis seien zwei Indizes A’, i” mit i’ + A” fest gewahlt. Wir definieren Invarianzsysteme von A0 iiber k2 zum Exponenten 2 . Offenbar ist die Invarianzklasse durch die Angabe der va (s. Abschnitt 1) eindeutig bestimmt, untl die in1 folgenden eingefuhrten Invarianzsysteme bezeichnen irgendein fixiertes Element dieser Invarianzklasse.

S e i fiir [k,: k] 5 2 :

P,: {V),. = 1 , V I ‘ - l = v>,.+1 = z,}

P,: {Y, = v, = v:j

(4.6) -

I> fiir alle x , 1 C-rat ionaler 2-Teilungspunkt von sei.

it 5 n, wobei ohne Reschr~nkung der Bllgemeinlieit Ea. ein

Sci f i i r [k? : k ] > 2 : - -

P,: (v),.. = 1, Y),,, .~ = V),” + = X,Z, + I rr,- 117x-:l)

P, : (v),. = 1, v),, - I = Y),’ + 1 = 6 (z.p, + $1;

n, = normk,,k(EpL

- - (4 .7 )

fiir alle x , 1 5 x 5 n - I , wobei -

und @ ein Autornorphisrnus von kz /k mit a&:. = E’:,, sei. Die Produkte P f , sind Invarianzsysteme von A0 iiber Ic (zum Exponenten 2) ,

wie unrnittelbar aus der Definition folgt. Die s - 1 nioglichen Produkte aus verschiedenen P,P, lasseri sich schrei.ben als

-

S, = QnQn ( I 5 J. 5 S )

- in irgendeiner Anordiiung - mit, 2n f u r [k,: E l 2 2

s = { 2%-1 f i i r [ k 2 : k ] > 2 , wobei wir noch zusatzlich das lnvarianzspstem

8,: {YI = vq = Y3 = l} aufgenonimen haben. Die Invarimzklassen der IS, bilden eine Untergruppe der Ordnung s in der Gruppe der lnvarianzklassen von A iiber k zum Exponenten 2 . Dabei bezeichnen Q), bzw. Q, die auftretenden ent.sprechenden Produkte der P, bzw. P,. Wir haben

v),!.+l = PA> Q A : {Y),,, = 1 , &,: {v),. = 1, Y),s - l = vA.+l = pzn}

v ) , . . -~ -. --

fur gewisse p),, pn E kZ.

Balling, Die Ordnung der Srhafarewitsch-Trtte-Gruppe 173

Fur alle lndizes 2 gilt

- n1 - . . . -7c.,f,,(E;.,) E Norm l ~ ~ ( ~ ~ ~ ) / k ~

fn.(E:.) E Norrn k2( Lx) /k . ! . (4.8)

Der Nach weis wird mit dem bereit s zitierten HAssEschen Normerisatz gefuhrt. Ails (4. I ) , (4.2) und der HILBERTschen Produktformel folgt

fur alle Indizes v, a , sowie alle Automorphismen o von k 2 / k und alle Primdivisoren p von k2 . Weiterhin haben wir noch (4.3)

f i i r [k2 : k ] 5; 2:

fiir alle Indizes v, 1 5 v 5 12, und alle Primdivisoren p von k2. Es gilt j i ir [k,: k ] > 2:

fCir alle Iiidizes v, 1 5 v 5 - 1 , und alle Primdivisoren p von k, . Das ergibt sich aus (4.2), (4.41, (4.5), der Geradzahligkeit, von n und dem Reziprozit'Btsgesetz fur das quadratische Potenzrestsyrnbol. Aus (4.9), (4.10) und (4.11) ergeben sicli irisgesamt. die beiden Relat.ioneti von (4.8).

E k2( rp<) mit FVir mBlilen beliebige, aber iin meit'eren feste p: E k2 (vii) und

110r1nk2(\-!,l,)/k2 P:

~ ' ( ) T . . J \ ' ~ j , ) / k 2 fl: f,4 E?,) '

pj7i * . . . * xJ),,(E?,,) (4.12)

Bezeichne Z die (mdliche) Alenge der endlichen Primdivisoren p \-on k2

~ ~ ( f l ; ) + 0 (mod 2) n d c r 7 5 ( f i : ) sg 0 (mod 2)

mit :

fiir wenigstens einen fiber p liegenden Primdivisor TI von k,( I'pJ ljzw. k,( ftfi),) und wenigstens eineti Index I , , I 5; 1. '1: s.

Sei

Durch sukzessive Anwendung des Satzes von der arithmetischen Progression in k, finden wir Htluy)tpriiridivisoreii (B,J, 1 5 I. 5 s , ersten Grades mit total


positiven R, E k2 mit den Eigenschaften

R, = 1 (mod 23A0rnnl . . . -zCn)

I I , = 1 (4.13) (mod 2"0rnnl * . . . -nnRI * . . . - R,-J ($) = (G) hangt nur von cr ab

fur alle Indizes I 5 x < A 5 s und alle nichttrivialen Automorphismen cr von E2/k. Die Existenz derartiger Elemente wird wie bei (4.2) eingesehen.

Wir bilden den Korper

fz = ka *

Die Primdivisoren (R,) sind voll zerlegt in Q. Fur jeden Index A, 1 5 A 5 s, wi-ihlen wir einen Primdivisor %, von fz, der uber (R,) liegt. I n Ergiinzung zu (4.13) konnen wir die (R,) ohne Beschrankung der Allgemeinheit so wiihlen, dal3 gilt :

%>

(4.14) (3, hangt nur von x ab.

Wir wollen ein [ E fz bestimmen, das eine Zerlegung

(6) = %I * . . . - %J? fur einen gewissen Primdivisor % ersten Grades v o n 9 besitzt. Hierbei konnen noch die Kongruenzwerte von 5 nach einer endlichen Anzahl paarweise primer Moduln festgelegt werden ([B], Teil 2, 8 24).

Fur jeden Index A, I 5 A 2 *s, wiihlen wir Elemente b, E fz mit

fur A > 1.

nicht trivial operiert. Sei cr; ein Automorphismus der galoisschen Erweiterung Blk,, der auf 7c2(lZ} Hiernach legeii wir fur l die folgenden Kongruenzbedingungen fest .

ER;' = b, (mod 31,) 5 = a,b, (mod o,%,)

6 = 1 mod alten restlichen Primdivisoren , vonfz , die uber (IZ,) liegen 1 '1 nL, . . . ,nn und i l (4.16)

fur alle Indizes A , 1 5 A 5 s.

Gewiinschte leistet. Nach diesen Konstruktionen bestimmen wir eine abelsche Kurre, die das

Da die (R,) in 9 voll zerlegt sind, erhalten wir (norm.a,k2t) = (BL . . . R$)


(als Divisoren von kL) fur einen Hauptdivisor (R) von k2. Da R nur his auf Ein- heiten aus k, festgelegt ist, nehmen wir ohne Reschraiikung der Allgenieinheit

(4.17)

an. Mit den Abkurzungen

normQlk& = R, * . . . * R,R

en = normk,lkRn e = norink2,,R

haben wir

(4.18) normalk 5 = el * . . . .

Wir setzen

t = ;dl * . . . *n,el* . . . @,@.

I y22 = x3 - t 2 52''

Dam legen wir den weiteren Betrachtungen die abelsche Kurve

A: y22 = 2 3 - t323 f u r j = 0 y% = x3 + atlxxz -+ bt32J f u r

f u r j = 123

j + 0; 123

zugrunde. Zunachst sollen Elemente von U ( A , k2) bzw. U ( A , k ) angegeben werden.

Wir definieren (in dem oben beschriebenen Sinn) folgende Invarianzsysteme von dz iiber k 2 :

(4.19) 9,: {v,, = 1, Y ~ . - ~ = v , . + ~ = R,Rn_l}

fiir alle Indizes A, 2 5 il s. Es gilt

( i ) P,P* E U ( d , k) (ii) ( i i i ) s, E U ( A , k")

P,, P, E U ( A , k d

fur alle zugelasseiien Indizes

N s c h w e i s voii ( i ) . Wegeii (4.1) uncl (4.2) konnen wir uns auf die Primdivi- soren von k heschriinken, die nicht iiber 2 liegen. Sei p eiii eiidlicher Primdivisor von k , fiir den d gute Iteduktion ljesitzt. Die Primdivisoren ( d I v ) , 1 5 Y 5 n, sind fiir alle Autoinorphisnien CT von k2/k in SZ unvei-zweigt. Andererseits sind d und W(PdP,) iiber SZ birational isomorph. Wie beim Beweis von Lemma 3 folgt hieraus nach einein Ergebnis von IANG und TATE ([7], 4 4, Cor. l ) , daB W(PxPn) eineii k,-rationalen Punkt besitzt. Fur die restlichen endlichen Primdivisoren p von k konnen wir uns wegen (4.1) und (4.2) auf diejenigen beschranken, die in t aufgehen. Diese sind in kl voll zerlegt. Dnher sind W(Pxp,,) und V ( U f , ) (s. Lemma 1) fiber k p birational isomorph. Fur den weiteren Nachweis koiinen wir damit Lemma 3 anwenden.

176 Bijlling, Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe

Betrachten mir zunachst den Fall [ k , : k] Fur p += (ny) haben wir

2.

(4.20) ( 3 ) d

Fur g =t: (e) folgt das aus (4.3) und (4.13). Fur $I = ( e ) hat man zu berucksichtigen, daS nach (4.16) normQikz5 = 1

(mod n,) und nach (4.13) damit (4.21) I z = 1 (modn,)

gilt. Fur p = (‘?I”) sei eine Einlagerung j, von I in I E , ohne ReschrSinkung der Allgemeinheit so gewahlt, daR ui,(jpIJ1.) = 1 gilt. Aus (4.3) und (4.1) bzw. (4.9) folgt

Unter Verwendung von Leniina 3 ist damit der Nachweis fur den Fall [kL : k ] 5 2 beendet.

Betrachten wir den Fall [ k l : k ] :j 2 . Wir haben

fiir alle iiber g liegeriden Primdivisoren !$ von k,, alle Indizes 1 5 Y 5 ?I - 1 und alle Automorphismen G von k2/lc, fur die das Symbol definiert ist. Dazu ziehe man (4.11), (4.21) und das Reziprozitatsgesetz fur das quadratische Potenzrest- s\-mboI hernn. Hieraus folgt unter Verwendung von Lemma 3 bei Beachtung von (4.1 1) tler gewiinsclite Nachweis.

SchlieRlich sei p ein unendlicher Primdivisor von k. Es ist nur der Fall eines reellen Yrinidivisors iiiteressuut. Entwcder ist ftir den 2-Teilungskorper von ‘4 iiber I;, [k .p ,2 : k,] = 2 oclcr [A+: k,] = 1 .

Wemi im ersten Fall etwa E, der von o verschiedene kv-rationale 2-Teiluiigs- punkt ist, dann besitzt 21(P,P,) stets einen kp,,-rationalen Punkt mit zz E k , und wegen (1.3) konjugiert komplexen zE-l, z,,~ E k,,2 (beispielsweise gibt es iinmer einen solchen Punkt mit z, = 0 ) . Diesem Punkt ist inittels der birationalen Transformation (1.20) eiri k,-rat ionaler Punkt suf W ( P,PJ zugeordnet.

Sind alle 2-Teilungspunkte k,-rational, so Bind W( P,P,) und V ( P , P y ) iiber kv birational isomorph. Nach Vomussetzung sind die ITv total positiv. Mail wende nun Lemma 3 an.

Nachweis v o n (ii). Man sclilieBt unter Reachtung von (4.9), (4.11) uiid (4.22) genauso wie fur den Fall (i).

Nachweis von (iii). Bus Lemma 3 und (4.13) folgt, daB wir lediglich fur alle Primdivisoren g voii k,, die in norm,,,t aufgehen, bis auf die zwei Falle

Balling, Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe 177

(R, + 1) die Gleichung

zu zeigen haben. Falls p nicht in ( p ) aufgeht, gestaltet sich der Nachweis wie fur (4.11). Fur die Falle p = (RJ, ( B 2 + J benutze man (4.13), das Reziprozitats- gesetz fur quadratische Potenzreste und

fur alle 1 5 3t 5 s, was unmittelbar aus (4.16) folgt. Betrachten wir noch die in (e) aufgehenden Primdivisoren. Sei (T ein Automorphismus von Q / k , der auf k2 nicht trivial operiert. Aus (4.16) und (4.17) erhalten wir

( norm121k2 ~ .rl-F) = 1

(die Einschriinkung von (T Ltuf k2 wird der Einfachheit halber mit demselben Symbol bezeichnet). Weiterhin folgt aus (4.13) und Schlussen, die denjenigen zu (4.4) entsprechen

und damit der Nachweis von (4.23) fur p = ( U R ) . Fur den restlichen Primdivisor p = (R) schliel3t man analog oder verwendet einfacher die HILBERTsChe Produkt- formel fur das Normenrestsymbol. Damit ist ( i i i ) bewiesen.

Wir werden

H(X,, + 1

( E l bzgl. k2 als Grundkorper gebildet) fiir alle Indizes 2 5 A 5 s zeigen, womit dann W(S,) nach Lemma 5 und Lemma 6 keiiien k,-rationalen Punkt besitzt und der Satz bewiesen ist. Hierfur wird im einzelnen

H(Q,, 5.J i 1

WQ,, S,) = 1 u n d

nachgewiesen. Die unendlichen Primdivisoren und die in 2 bzw. do aufgehenden sowie die

in Z enthaltenen Primdivisoren spielen nach (4.13) fur die Berechnung von H(S,, 8,) keine Rolle. Ebenso werden wir fiir alle weiteren von (R,), (RA-l) verschiedenen Primdivisoren $I

fur 8 = Q, bzw. S = &, zeigen (Bezeichnungen wie bei der Definition von H ) . I ? Math. Nachr. Bd. 67

178 Bolling, Die Ordnung der Schrtfarewitsch-Tate-Gruppe

Die weiteren Betrachtungen beziehen sich auf eine fixierte Einlagerung von E in L,.

Zunachst sei .p ein Primdivisor, fur den LR gute Reduktion besitzt. Sei

(4.26) %, = O(S) (a,) fur einen k,,,(S)-rationalen Punkt a, von d und ein a: E A(h,) mit

gewahlt. Dann ist a: uber einer unverzweigten Erweiterung von k p , 2 ( S ) definiert ([5], Lemma 19.1; [7], Prop. 9). Aus (1.9) folgt

a, = 2a;

8,dfi) ((21,) = f . , (ap) = va.(a;I2 *

Zusammen mit der Tatsache, da13 kp ,Z(X) eine unverzweigte Erweiterung von k,,, ist, folgt hieraus und mit (3.3)

(4.27) w,(Ja,(fJ) W,)) ~ , ( P i , ( f i ) ) (mod 2) ($ bezeichnet den Primdivisor von k,,,(S)). Unter Beriicksichtigung von (4.12) und (4.18) konnen wir

fur S = Qa: (4.28) Pa,(Qa) = P! norm,/h(s) E

undfiir S = Q,

(4-29) P,,(&a) = PI: wahlen (man beachte k2 n k (S ) = k). Aus (4.27) folgt dann fur alle betrachteten Primdivisoren

w,(La,(S) ((21,)) = 0 (wegen $I B Z), woraus wir (4.25) erhalten.

Fur die restlichen von (RJ, (R, - verschiedenen Primdivisoren ergibt sic11 der Nachweis von (4.25) aus (4.13) und (4.23).

Zur weiteren Berechnung bernerken wir, daB die R,, 1 5 ~t 5 s , in k2(S) voll zerlegt sind. Dann gilt fur die Punkte aus (4.26)

(mod 2)

mit einem iiber 22% Iiegenden Primdivisor z, von k,(S), der durch die Wahl der Einlagerung von li in k(,%, eindeutig bestimmt ist. Da H nicht von der speziellen Wahl der Einlagerung abhiingt, konnen wir ohne Beschriinkung der Allgemeinheit annehmen, daB der Primdivisor 8% von 9 uber r X liegt.

Betrachten wir die durch {v,. = 1 , vl, - = v,' + = R,) definierten Invarianz- systeme von d uber I C ( ~ , ) , ~ . Die ihnen zugeordneten Kurven (Lemma 1) besitzen jeweils einen k(,,,,,-rationalen Punkt. Das folgt &us Lemma 3 nach (4.13) und (4.24). Fur einen Primdivisor @ und einen k,-rationalen Punkt a, = &I: von d

__

Bolling, Die Ordnurlg der Schafarewitsch-Tate-Gruppe 179

gilt 2Qya(a;)} E Ker q4. Aus Lemma 4 folgt daher insbesondere

Da die (R,) Primdivisoren ersten Grades aus Q sind, haben wir daher

Aus (4.16) folgt wegen (4.15) d a m schliefilich

H(&,, 8,) =+ 1 fur alle Indizes 2 5 A 5 s.

Fur die Invarianzsysteme S = Q, folgt aus (4.14) entsprechend

mQ,, 9,) = 1

fur alle Indizes 2 5 A 5 s.

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Die Ordnung der Schafarewitsch-Tate-Gruppe kann beliebig groß werden