Die Robertson-Walker Metrik

Ausbildungsseminar Astroteilchenphysik

Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik

Universität Regensburg

Inhaltsverzeichnis

1 ART in Kürze 11.1 Koordinaten & Koordinatentrafo . . . . . . . . . . . 11.2 Der metrische Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Riemann- & Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Einstein-Tensor & Einsteingleichung . . . . . . . . . . 41.6 Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld . . . . . . . 4

2 Die Robertson-Walker Metrik 52.1 Das kosmologische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Herleitung der Robertson-Walker Metrik . . . . . . . 52.3 Geometrische Analogien & Eigenschaften . . . . . . . 7

3 Ein paar Abstandsbegrie 10

4 Literaturverzeichnis 12

1 ART in Kürze1

Die ART wird in einem 4 dimensionalen Riemann'schen Raum for-muliert. Dieser unterscheidet sich von einem euklidischen Raumhauptsächlich durch seine ortsabhängige Metrik. Sie enthält in derART die gesammte Information über das Gravitationsfeld. Mankann sich den Rieman'schen Raum als eine 4 dimensionale Mannig-faltigkeit eingebettet in einen höherdimensionalen Rn vorstellen. Imfolgenden gilt die Summenkonvention und die abkürzende Schreib-weise Aµ,ν := ∂Aµ

∂xνfür die Ableitung. Auÿerdem sei c = 1.

1.1 Koordinaten & Koordinatentrafo

Man parametrisiert den Riemann'schen Raum mit dem Koordina-tensystem xµ(µ = 0, 1, 2, 3), wobei mehrere Karten nötig sein kön-nen um den gesamten Raum abzudecken. Unter einer Koordinaten-trafo

xµ 7→ x′µ = x′µ(x0, x1, x2, x3)

transformieren Kontra- & Kovariante Vektorfelder (Aµ , Bµ) wiefolgt:

A′µ =∂x′µ

∂xνAν (1a)

B′µ =∂xν

∂x′µBν (1b)

Gemischten Tensoren transformieren in den einzelnen Indizes wieoben.

1.2 Der metrische Tensor

Der metrische Tensor gµν bestimmt das Quadrat des Raumzeitinter-valls ds2 zwischen zwei innitesimal benachbarten Punkten xµ undxµ + dxµ folgendermaÿen:

ds2 = gµνdxµdxν (2)

Es gilt oenbar gµν = gνµ. Der kovariante metrische Tensor wirddeniert durch

gµνgνλ = δλµ (3)

1P. A. M. Dirac & J. N. Islam

1

(a) (b)

Abbildung 1: Die Änderung von einem Vektor zum nächsten ist kein Elementdes Tangentialraumes

Diese Tensoren führen auÿerdem ko- in kontravariante Vektorenüber und umgekehrt:

Aµ = gνλAλ (4a)

Aµ = gνλAλ (4b)

Lokal kann man die Koordinaten immer so wählen, dass sich dieMetrik in diesen zu einer Minkowski-Metrik reduziert.

1.3 Die kovariante Ableitung2

Ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ist so deniert, dass jedemPunkt auf der Mannigfaltigkeit ein Vektor aus dem Tangentialraum(an diesem Punkt) zugeordnet wird. Betrachtet man nun den Gra-dienten eines solchen Vektorfeldes, dann liegt das Gradientenfeldim Allgemeinen nicht mehr im Tangentialraum. Man deniert nundie kovariante Ableitung so, dass das Gradientenfeld wieder in denTangentialraum projeziert wird:

Aµ;ν := Aµ,ν + ΓµνλAλ (5a)

Aµ;ν := Aµ,ν − ΓλµνAλ (5b)

Γµνλ heiÿt Christoelsymbol. Für sie gilt Γµνλ = Γµλν und sie sind keineTensoren. Sie werden durch die Metrik deniert:

Γµνλ :=1

2gµσ(gσν,λ + gσλ,ν − gνλ,σ) (6)

2T. Flieÿbach, S. 99

2

Bei der kovarianten Ableitung von Tensoren höherer Stufe muss manje Index den entsprechenden Γ-Term anhängen. Durch eine einfacheRechnung (einfach einsetzen und ausrechnen)lässt sich zeigen, dassdie kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet:

gµν;λ = 0 (7a)

gµν;λ = 0 (7b)

Damit gilt auch innerhalb der kovarianten Ableitung

gµλAλ;ν = Aµ;ν (8a)

gµλAλ;ν = Aµ;ν (8b)

1.4 Riemann- & Ricci-Tensor

Im Gegensatz zur partiellen Ableitung vertauschen zwei kovarianteAbleitungen im Allgemeinen nicht mehr. Deshalb deniert man über

Aµ[;ν;λ] := Aµ;ν;λ − Aµ;λ;ν = AσRσµνλ (9)

den Riemann-Tensor Rσµνλ. Er lässt sich schreiben als:

Rσµνλ := Γσµλ,ν − Γσµν,λ + ΓσανΓ

αµλ − ΓσαλΓ

αµν (10)

Man kann zeigen, dass der Riemann Tensor folgende Symmetrieei-genschaften hat:

Rσµνλ = −Rµσνλ = −Rµσλν (11a)

Rσµνλ = Rνλσµ (11b)

Rσµνλ +Rσλµν +Rσνλµ = 0 (11c)

Rσµνλ;ρ +Rσ

µρν;λ +Rσµλρ;ν = 0 (Bianchi-Identität) (12)

Der Ricci-Tensor wird nun deniert als

Rµν := Rσµσν

Gl.10= Γλµν,λ − Γλµλ,ν + ΓλµνΓ

σλσ − ΓσµλΓ

λνσ (13)

Deniert man zusätzlich √ :=√−det(g), dann gilt auÿerdem

Rµν =1√ [Γλµν

√]− [ln

√],µ,ν − ΓσµλΓ

λνσ (14a)

Γλµλ = [ln√

],µ (14b)

Aus Gl. 14a folgt Rµν = Rνµ. Man deniert nun die skalare Krüm-mung (bzw. den Ricci-Skalar) als die Spur des Ricci-Tensors:

R := gµνRµν = Rµµ (15)

3

1.5 Einstein-Tensor & Einsteingleichung

Man deniert nun den Einstein-Tensor als

Gµν := Rµν − 1

2gµνR (16)

Die Einsteingleichung lautet dann wiefolgt:

Gµν = 8πGTµν (17)

wobei G die newtonsche Gravitationskonstante und Tµν den Energie-Impulstensor bezeichnet. Über diese Gleichung kann man nun alsoim Prinzip die Metrik unseres Raumes aus der (Massen/)Energie-und Impulsverteilung berechnen. Das Hauptproblem dabei ist, dassdas Gravitationsfeld selbst Energie trägt und damit auch zum Energie-Impulstensor beiträgt. Mittels Gl. 12 kann man zeigen, dass Gµν

;ν = 0und dementsprechend T µν;ν = 0 ist. Letztere Gleichung entspricht derEnergie-Impuls-Erhaltung.

1.6 Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld

Wir betrachten nun eine (in ihren Komponenten) dierenzierbareKurve xµ(λ) (λ ∈ R),wobei der Tangentenvektor dxµ

dλwie ein kontra-

varianter Vektor transformiert. Betrachtet man nun ein VektorfeldY µ, dann spricht man von einem Paralleltransport entlang der Kur-ve, wenn gilt

0!

= Y µ;ν

dxν

dλGl.5a= Y µ

,ν

dxν

dλ+ ΓµνσY

σ dxν

dλ

=dY µ

dλ+ ΓµνσY

σ dxν

dλ

(18)

Eine Kurve heiÿt Geodäte, wenn ihre Tangente immer parallel zuihr transportiert wird, wenn sie also innerhalb unserer Raum-Zeitimmer gerade verläuft. Dementsprechend folgen Massen, die auÿerder Gravitation keine weitere Kraft spüren immer solchen Geodäten.Um die Geodäten-/Bewegungsgleichung zu erhalten, setzen wir alsoY µ = dxµ

dλ:

d2xµ

dλ2+ Γµνσ

dxν

dλ

dxσ

dλ= 0 (19)

Ist der Tangentenvektor dxµ

dλfür alle λ zeitartig, dann kann man den

Weg auch durch die Eigenzeit parametrisieren.

4

2 Die Robertson-Walker Metrik

2.1 Das kosmologische Prinzip3

Wie wir wissen, ist die Materie im Weltall nicht gleich verteilt, son-dern hauptsächliche auf Sterne konzentriert. Diese bündeln sich wie-derum zu Galaxien und Galaxienhaufen. Bei der Betrachtung desWeltalls in groÿen Maÿstäbenhat man jedoch von diesen örtli-chenInhomogenitäten zu abstrahieren,...4

Der (für uns) sichtbare Teil des Universum hat einen Radius vonca. 1010 Lichtjahren (Lj). Wir beobachten auf einer Skala von ca.108Lj (Ausdehnung von Galaxienhaufen ca. 107Lj) eine homogeneVerteilung der Galaxien. Auÿerdem sind die Galaxien um uns herumisotrop verteilt. Fordert bzw. postuliert man nun Homogenität undIsotropie für den gesamten Raum (auch bekannt als kosmologischesPrinzip), dann bedeutet dies, dass man eine sogenannte Weltzeitwählen kann, in der die Metrik des Raumes in allen Punkten undRichtungen zu jedem Zeitpunkt dieselbe ist. Man erhält also eineMetrik der Form

ds2 = dt2 − gijdxidxj (20)

2.2 Herleitung der Robertson-Walker Metrik

Wir betrachten nun zunächst allein die Metrik des (3 dimensionalen)Raumes und vernachlässigen die Zeitabhängigkeit (Zur Verdeutli-chung werden lateinischen Indizes (i,j,k,... = 1,2,3) verwendet). Wirschreiben die Metrik in der Form

dl2 = gijdxidxj (21)

Die Krümmung des Raumes wird vollständig durch den Krümmungs-tensorRijkl bestimmt, der im Fall vollständiger Isotropie allein durchden metrischen Tensor gij bestimmt ist und folgende Form hat:5

Rijkl = λ(gikgjl − gilgjk) (22)

Für den Ricci-Tensor erhält man dann

Rjl = gikRijkl = λ(gikgikgjl − gikgilgjk) = λ(3gjl − gkl gjk) = 2λgjl(23)

3L. D. Landau & T. Flieÿbach4L. D. Landau, S. 4275für den mathematischen Beweis vgl. L. P. Eisenhart

5

und für die skalare Krümmung

K = 2λgjlgjl = 6λ (24)

Die Krümmung des isotropen Raumes wird also alleine durch dieKonstante λ bestimmt (Es sei darauf hingewiesen, dass λ nur räum-lich und nicht zeitlich konstant ist). Man kann nun beweisen, dasssich eine Metrik mit der Eigenschaft (22) immer folgendermaÿenschreiben lässt:6

dl2 =(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2

[1 + λ4(x2 + y2 + z2)]2

= ...

→ Kugelkoordinaten

... =dr′′2 + r′′2(

:=dΩ2︷ ︸︸ ︷dθ2 + sin2(θ)dφ2)

[1 + λ4r′′2]2

= ...

• r′ = r′′

1+λ4r′′2

• λ(t) = kR(t)2

mit k = +1,0,-1

... =dr′2

1− kR(t)2

r′2+ r′2dΩ2 = ...

• r = r′

R(t)

... = R2(t)[dr2

1− kr2+ r2dΩ2]

Setzt man dies nun in Gl. 20 ein, so erhält man die Standardformder Robertson-Walker Metrik:

ds2 = dt2 −R2(t)[dr2

1− kr2+ r2dΩ2] (25)

Man kann also im wesentlichen 3 Fälle unterscheiden:

• k = +1: der Raum konstanter, positiver Krümmung ( r ∈ [0, 1[

• k = 0: der Raum verschwindender Krümmung (euklidischerRaum, r ∈ [0,∞[)

6vgl. L. P. Eisenhart

6

• k = −1: der Raum konstanter, negativer Krümmung (r ∈[0,∞[)

Mit folgender Substitution in Gl. 25

r = f(χ) =

sin(χ) für k = 1χ für k = 0

sinh(χ) für k = −1(26)

erhält man eine weitere nützliche Form der Metrik:

ds2 = dt2 −R2(t)[dχ2 + f 2(χ)dΩ2] (27)

mit

χ ∈

[0, π] für k = 1

[0,∞[ für k = 0

[0,∞[ für k = −1

Die Koordinate χ misst die Entfernung zum Koordinatenursprung(R(t)χ). Man sieht (bzw. rechnet leicht nach ), dass die Transfor-mation R→ −iR und χ→ iχ gerade die Fälle k = +1 und k = −1ineinander überführt. Hat man also eine Gröÿe für den Fall k = +1berechnet erhält man den Fall k = −1 (bis auf eventuelle Vorzei-chenfehler) umsonst dazu.

2.3 Geometrische Analogien & Eigenschaften

Um eine Vorstellung von einem Universum mit konstanter, von Nullverschiedener Krümmung zu erhalten, ist obige Herleitung nicht un-bedingt geeignet, sondern es ist bequemer auf geometrische Analo-gien zurückzugreifen. Deshalb betrachten wir im Folgenden den 3dimensionalen Raum als Mannigfaltigkeit, die in einen ktiven 4dimensionalen Raum eingebettet ist (Dieser Raum hat mit der 4dimensionalen Raum-Zeit nichts zu tun). Auÿerdem sei R(t) = R =konst. Für die Krümmung erhalten wir mit Gl. 24 und der Denitionλ(t) = k

R(t)2

K = 6λ =6k

R2(28)

Für k = +1 erhält man nun als geometrische Analogie gerade die 3-Sphäre mit Radius R. Das besondere am Fall positiver Krümmungist, dass der Rauminhalt V endlich, das Universum aber dennochabgeschlossen ist. V ergibt sich zu

7

Abbildung 2: Positiv gekrümmte Raumzeit für θ = π2 = konst

V =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ

∫ π

0

dχR3sin2(χ)sin(θ) = 2π2R3 (29)

Es ist auÿerdem erwähnenswert, dass in einem endlichen Raum dieGesamtladung Null wäre:7 Jede geschlossene Fläche in einem endli-chen Raum schlieÿt auf beiden Seiten einen endlichen Bereich ein.Da der Fluss durch diese Fläche also einerseits gleich der eingeschlos-senen Ladung Qi, andererseits aber gleichzeitig gleich der negiertenäuÿeren Ladung Qa sein muss, gilt Qi = −Qa. Für die Gesamtla-dung erhält man also Q = Qi +Qa = 0 (Die gleiche Argumentationgreift auch für den Gesamtviererimpuls).Das konvexe Universum hebt sich noch in einem weiteren Punkt vonden beiden anderen Fällen ab: Da es abgeschlossen und endlich istexistiert eine maximale Entfernung Rπ zwischen zwei Punkten.Für k = −1 erhält man keine ganz so anschauliche Analogie. Eshandelt sich um eine Pseudosphäre, die man lokal durch ein Hyper-boloid nähern kann. Ein solches Universum wäre oen und unend-lich.Um die Universen unterschiedlicher Krümmung weiter zu charakte-risieren ist das Verhältnis der Oberäche8 einer Kugel mit RadiusD zu 4πD2 (= Oberäche einer Kugel mit gleichem Radius im eu-klidischen Raum) recht nützlich. Wir erhalten zunächst (wir wählenden Weg γ(λ) = xi(λ) = (χ = λ, θ = π

2, φ = 0) mit λ ∈ [0, χ0])

7L. D. Landau S. 4308G. Bali & T. Flieÿbach

8

(a) Hyperboloid (b) Pseudosphäre

Abbildung 3: Beispiele für 2-dimensionale negativ gekrümmte Räume

D(χ0) =

∫γ

dl =

∫ χ0

0

dλ

√gik(λ)

dxi(λ)

dλ

dxk(λ)

dλ=

∫ χ0

0

dλ√gχχ(λ) = Rχ0

(30)und für die Oberäche

A(χ0) =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ√gθθgφφ = 4πf 2(χ)R2 (31)

Trägt man nun A4πD2 gegenüber χ auf, so sieht man, dass die Ku-

geloberäche für k = −1 mit dem Radius schneller wächst als imeuklidischen Fall (k = 0). Für k = +1 hingegen wächst sie langsa-mer als für k = 0. Sie erreicht für D = Rπ

2ihr Maximum, fällt dann

wieder ab und wird für D = Rπ schlieÿlich Null.

Abbildung 4: Verhältnis einer Kugeloberäche in der RWM zu einer Kugelober-äche im euklidischen Raum10

Ein weitere Möglichkeit die beiden (konstant) gekrümmten Räumevom euklidischen Raum zu unterscheiden ist die Winkelsumme vonDreiecken. Sie ist für ungekrümmte Räume stets 180, während sie

9

für positiv gekrümmte Räume darüber und für negativ gekrümmteRäume darunter liegt.

Die letzten beiden Eigenschaften führen nun zu durchaus meÿba-ren Eekten (z.B. Linseneekt bei der Hintergrundstrahlung). Ge-messen wird jedoch, dass die Krümmung K im heute sichtbarenUniversum gleich Null bzw. zu vernachlässigen ist. Wir leben alsoanscheinend in einem euklidischen Universum. Bedeutet dies nunautomatisch k=0? Nicht unbedingt. Angenommen der Radius desmit uns kausal verbundenem Teil des Universum rEH ist viel kleinerals der Skalenfaktor R, was gleichbedeutend ist mit r1 in Gl. 25,dann folgt aus

ds2 = dt2−R2(t)[dr2

1− kr2+r2dΩ2]

r<<1≈ dt2−R2(t)[dr2+r2dΩ2] (32)

eine euklidische Metrik unabhängig von k.

3 Ein paar Abstandsbegrie

Im dynamischen Universum gibt es fast unendlich viele Möglichkei-ten Abstände zu denieren - es kommt eben ganz darauf an wasman wissen will. Um nicht noch mehr zur (anscheinend vorhande-nen) Verwirrung beizutragen, will ich anhand einiger konkreter Fra-gestellungen auf die verschiedenen Abstandsbegrie eingehen (Wirbenden uns dabei immer am Koordinatenursprung).

Welchen Abstand hat ein Raumpunkt (χ0, φ0, θ0) von uns?

Er hat zu jedem Zeitpunkt (auch im expandierenden Universum)den Koordinatenabstand ∆χ (comoving distance ). (Das ist nichtverwunderlich, da wir unser Koordinatensystem ja gerade so gewählthaben). Das entspricht zum Zeitpunkt t = konst gerade dem Ab-stand Dp(t) = R(t)∆χ (cosmological proper distance).

10

Welche Zeit ∆t braucht ein Lichtstrahl um den Koordina-tenabstand ∆χ zu überwinden?

Für Licht gilt ds2 = 0. Damit erhält man

ds2 = dt2 − dl2 φ,θ=konst= dt2 −R2(t)dχ2 !

= 0

und folglich (∆t = t2 − t1)∫ t2

t1

dt

R(t)=

∫ χ2

χ1

dχ = ∆χ (33)

Wie stark ist die Rotverschiebung (aufgrund der Expansi-on) z := ∆λ

λquellefür ein solches Signal?11

Aus der obigen Gleichung folgt direkt

∆χ =

∫ t2

t1

dt

R(t)=

∫ t2+δt2

t1+δt1

dt

R(t)

⇒ 0!

=

(∫ t2

t1

−∫ t2+δt2

t1+δt1

)dt

R(t)=

(∫ t1+δt1

t1

−∫ t2+δt2

t2

)dt

R(t)=

δt1R(t1)

− δt2R(t2)

⇒ δt1R(t1)

=δt2R(t2)

Damit erhält man für die Rotverschiebung

z =∆λ

λquelle=λ2 − λ1

λ1

=λ2

λ1

− 1 =δt2δt1− 1 =

R(t2)

R(t1)− 1 (34)

Es handelt sich hierbei um die rein kosmologische Rotverschiebung.Gravitationsrotverschiebung und Rot- / Blauverschiebung aufgrunddes Dopplereekts müssen zusätzlich berücksichtigt werden.

Was ist ein Luminositätsabstand?12

Man kann auch durch den Unterschied zwischen scheinbarer (l) undabsoluter (L) Luminosität auf die Entfernung eines Himmelskörpersschlieÿen. Dabei ist l die auf der Erde empfangene Energiestrom-dichte und L die tatsächlich ausgesandte Leistung. Für l erhält man

l =L

A

R(t1)2

R(t2)2(35)

11G. Bali12T. Flieÿbach

11

Einen Faktor R(t1)R(t2)

erhält man durch eine Ausdünnung der Photo-nen, da der Raum ja seitdem gerade um diesen Faktor gestrecktwurde. Den zweiten Faktor R(t1)

R(t2)erhält man durch die mit der Rot-

verschiebung einhergende Energieverringerung der Photonen. Für Amuss man nun die in Gl. 31 berechnete Kugeloberäche einsetzen.Der Kosmologe deniert nun folgendermaÿen

l =L

4πf 2(χ)R2(t2)

R(t1)2

R(t2)2=:

L

4πD2L

(36)

Dementsprechend ist der Luminositätsabstand

DL = R(t2)f(χ)R(t2)

R(t1)= R(t2)f(χ)(1 + z) (37)

Es handelt sich also um den Abstand zu einer (erdachten) Projektiondes Punktes in unseren Tangentialraum, gestreckt um den Faktor,um den sich das Universum seit der Aussendung des Signals aus-gedehnt hat. Mittels folgender Formel kann man aus DL wieder Dp

berechnen:

Dp =DL

(1 + z)

χ

f(χ)(38)

4 Literaturverzeichnis

• J. N. Islam, 1992, Cambridge University Press, An introductionto mathematical cosmology

• L. D. Landau, 1992, Akademie Verlag Gmbh, Klassische Feld-theorie

• T. Flieÿbach, 1995, Spektrum - Akademischer Verlag, Allge-meine Relativitätstheorie

• P. A. M Dirac, 1996, Princeton University Press, General Theo-ry of Relativity

• L. P. Eisenhart, 1997, Princeton University Press, RiemannianGeometry

• D. W. Hogg, 2000, Distance measures in cosmology

• D. Burger, 2001, Aulis Verlag, Silvestergespräche eines Sechs-ecks

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