2. angew. Math. Mech. Kleino Mitteilungen 311 - Bd. 32 Nr. 10 Okt. 1952

vielen Fallen u. U. der mathematische Charakter des beobachteten Vorgangs erkennen liiI3t. In den meisten Fallen wird man den Mittelwert der Messungen be- notigen, wobei es sehr erwiinscht ist, Zwischenergeb- nisse fixieren und deuten zu konnen.

Liegt z. B. die Aufgabe vor, nachstehende Rech- nung graphisch durchzufuhren

dann kann man wie folgt vorgehen: Man triigt den Faktor a in der Absdseenrichtung

auf und betrachtet den Faktor b als Richtungsfaktor - Bild 1 -. Die Richtung wird mit Hilfe einer ,,Neben"-figur bestimmt und durch Parallelabsetzen in die Hauptfigur iibertragen. Der Endpunkt des Linienzuges wird d a m mit dem Koordinatenanfangs. punkt verbunden, nach Parallelversohiebung dieser SchluNinie in die ,,Neben"-figur liest man dort die G r o I der mittleren Richtung, also den Mittelwert von b ab.

Das eingezeichnete Beispiel entstand aus den Werten

c = 20 XI = 5 y, = 1.2 x, = 5 Y, = 3 x , = - 8 Ya = 4 x4 = 9 Y4 = 132 x5 = 3 ys = 4.

Nach Ziehen der SchluDlinie ergibt sich ein Y von 2,27. Der errechnete Wert lautet 2,2714.

Fur den Ziihler liefert das Net2 den Wert 31,8 - wiihrend man fur Zz 14 ebliest.

Je nech den Funktionsteilungen der Koordineten- achsen lassen Bich euf diem Art und Weise Mittel- werte von Summen, Frodukten, Potenzen UEW. bilden. Die Anwendung projektiv verzerrter Papiere liefert in Verbindung mit geringem zeitlichen Aufwand bei der Auswertung von Zahlenmeterial die Ergebnisse mit einer fur die meisten Fiille der Praxis ausreichenden Genauigkeit. [l] Felix Wolf: Wiss. Veroff. a. d. Siemens-Konzern

111. Bd. 1923. tZbt man jedoch auf die Netztafel in der Absziseen-

richtung eine Projektivitiit derart aus, daD die in Berlin-Friedrichshagen. J o h . F i s c h e r .

Die Rohrrchelb, ihre Beanrpruchung und Wirkung auf dar Rohr unter Berkkrichtigung einer anfhglichen Spider.

Einleitung. Herr Prof. Dr.-Ing. Rudolf Sonntag hat e m

Ende seines Aufsatzes ,,Ober ein neueeitliches Feetig- .M keits roblem des Apparatebaues"1) auf die Bean-

spruc%ung einer Rohrschelle (Bild 1) ohne 8 iel hin. gewiesen. Die Rohrschelle ist ein offener L i m i n g

I 0

Bild 2

Bild 1 im Unendlichen liegende Anstiegsgerade im Zeichenfeld erscheint, dann eriibrigt sich daa Zeichnen der Nebenfigur, da nun ein Parallelenabsetzen nicht mebr erforderlich ist (Bild 2). Dieser Gedanke wude erstmalig vonFel ix Wolf in die Praxis ubersetzt [I]. Die theoretische und praktische Weiterentwicklung dieeer Methode erliffnet zahlreiche Moglichkeiten, woriiber in einem besonderen Aufsatz in den ,,Act& hydrophysica" ausfuhrlich berichtet werden eoll. I n der vorliegenden kurzen Notiz sol1 vorerst nur ein Beispiel herausgegriffen werden. In Bild 3 ist ein projektiv verzerrtes Nets dargestellt, das zwei Flucht- punkte aufweist, und zwar wurde die Ordinaten-

den Bereich o< < 50 brauchbctr unterzubdgen.

Bild 1. Fhhrschelle mltden von der Klemmschraube ausgellbten Krl f te Q, (8. E. Sonntag Bild 10)

Radius r, der an Enden durch je cine LIingskrafi Q und ein Bie@ngsmoment Q ' a belesM

lagerkriifte im Gleichgewicht g h l t e n wid. Die richtmg ebenfalls einer fiojektion unterworfen, um

~t mfe dieses papieres lassen sich Ausdriicke der

let (Bild 2), und durch die vom b b r ausgefibten Auf-

wesentliche Erkenntnia fb eb3 Rahrschelle ohm folgenden Form darstellen Spiel bestand darin, daD, solange ein Hebelarm a>O,

der SchlieDkraft Q existiert, eine gleichmliBig fiber den anzen Ring wirkende Anpressung qo - sdbst bei

fbibungsfreiheit - nicht erreicht werden kann. Die gleichmBlli e An ms~ung q0 erstreckt sich vielmehr nur fiber fen ~~1 2 (n-qo) dee Rohree, und es treten zusiitzlich konzentrierte Kr&fte Po und Pl suf.

i =n Dem Verfasser lag vor einiger Zeit ein Industrie- C + 2 z iy i problem vor, bei dem es vor allem derauf enkam, eine

i =I sehr hiifti e und gleicbmiiDige Anpreesung der Mel l e i=fl * um das Ro%r unter Vermeidung konzentrierter K&te

C + 21 YI + zay, + a * . xn* 21 + $1 + - - . xn Y=

oder andere geschrieben

Y= 2 xi i=1 8) Chemie - Ingenienr - Technlk 1961, 8.186-139.

21.

Z. angew. hfnth. Yech. 3 12 Kleine Mitteilungen Bd. 82 Nr. 10 OH. 1952

zu erreichen. Dieee Aufgabe l&Bt sich nur bei einem Spiel und eindeutig bestimmbaren Belastungs- und Abmessungeverhtiltnissen erffillen. Die Rechnung wird hier vereinfacht ohne Beriicksichtigung der Kriimrnung und verschiedenen mittleren Radien von Rohr und Schelle durchgefiihrt. AnschIieBend wird der EinfluD der Nachgiebigkeit des Rohres ge- priift und auf die experimentellen Moglichkeiten der Spannungsoptik hingewiesen.

Blld 2. (8. R. Soantag Blld 11.) Vertellmgder vom Bohr auf dle o h n e 8 pi e 1 angepaOte Bohellr Ubertragenem Anflsgerkr&fte, hervorgerafen dnroh die Klcmmkrllfte Q

(8. Bild 1)

Problemst ellun EB sollen die Kriifte zwiscben %ohr und Scbelle

unter Berticksichtigung eines Spieles A T in Abbhn ig- keit der SchlieBkraft Q berechnet werden. Die Defor- mation des Rohres wird zuniichst vernachliissigt ; das ist sicher solange ZuliLssig als das Rohr starker a18 der Ring und deseen Durchmeseer gr6Ber als seine H6he iet. Fiir den besonders interessierenden Fall gleich- m&Bi er Pressung des Rohres SOU fiir die breite Rohr- schelfe der Einflul) der Deformation des Rohree zu- e&tzlich untersucht werden.

Sobnge Reibungskrirfte in tangentialer Richtung tI vorhanden sind (herriihrend vom Anspannvorgang), setzen diese den Reibungswiderstand der Schelle ge en axiale Verschiebung herab. Bezeichnen wir t e n axialen Verschiebungswiderstasd eines Oherflachen- elementes dee Rohres mit t,, so kann die aus der tangentialen Komponente t , und axialen Kompo- nente t, resultierende &aft die Reibungskraft nicht iiberschreiten, d. h.

vmt = pq oder 1, = v&i - (84)' . Mit einer axialen Verschiebung der Rohrschelle tritt ein Abbau der tangentialen Reibungskriifte t , und damit erne ErhUhung den axialen Reibungswider- stsndes t, ein bis der Urnfang des Rohres frei von tangentialen Reibungskriiften geworden ist. Wir k6nnen deshalb die Rechnung vereinfacht ohne Rei- buhg durchfuhren.

L6eung des Problems. Wir wollen den Vorgang der SchlieBung der Rohr-

schelle in vier Zustilnde unterteilen. Die Zeichnungen zeigen vereinfacht nur die eine Hhlfte der symme- triechen Klemme.

I. Die Klemme beginnt dae Bohr annahernd im Punkt p = n/2 (ebenso Spiegelbild zur Symmetrie- linie) zu beriihren, und iibertriigt nur dort eine =aft PI (Bild 3). Mit zunahmender Belastung nithert sich die Schelle dem Rohr bis sie es gleichzeitig in allen Punkten des Abschnittes p = n/2 bis n beriihrt. Dieser Fall tritt dann ein, wenn

S =So=O ; P,=Q denn ist Jf, =Q ((I. + r ) eingesetzt inobigen Ausdruckgibt

. . . . . . . . . . . . . . (2). Ar Q = E J - - ra (a + r )

J = Trrigheitsmoment des Querschnittee der Schelle

Bis diese Anlage des ganzen Abschnittes p = ;z bie n

erreicht ist, wirkt nur P , , also reine NuBknacker- wirkung.

n

A? ?'(a +I)

Blld 3. Zuatand I QS EJ-

11. Die SchlieBkraft Q wird iiber den Wert AT

Q = J rF+3 gesteigert, dann kommt ein Teil der Klemme mit gleichm&Biger Druckwirkung qo zum Tragen, ee be- stehen dartiber hinaus jedoch noch Einzellasten PI (Bild 4a).

.- Y O

AT AT Blld 4s. Zmtand I1 EJ < Q < EJ.-

r'(5 +?) ?'a

Es gilt aus Gleichgewichtsgriinden

8, =go * r . . . . . . . . (3)

= Q [a + r (1 -cos qO)] (4s),

und fiir q>po Ar M = M, = E J Y

daraus folgt die Bestimmungsgleichung fiir qo

(4b). Q ( a + r ) - E J Ar/rS

Qr COB fp, =

Blld 4 b. Zustand 11. Qlelchgewichtsbetrachtung ft lr den Abschnitt q-0 blB 9=qs

P, und qo folgen aus einer Schnittbetrachtung p = pa (Bild 4b). Dee Gleichgewicht der Kriifte verlangt

Diese Gleichungen(6) gelten nur solange sich aus (4b) O< fpo< n/2 ergibt.

Z. anger. Path. l e e h . Kleine Mitteilungen 3 13 Bd. 32 Nr. 10 Okt. 1052

FGr lo = 0 verschwindet die konzentrierte &aft Pl und es ergibt sich der giinstige Sonderfall I11 bei dem allein eine gleichmitBige Anpressung der Schelle an das Rohr erzielt wird:

Ideale, gleichmitnige Anpressung der Schelle. 111. (Bild6)

Ar M , = Q a = E J - T' 1

+s, A r Bild 5. Zustand 111. Q = E J - -

I' a

Wenn also eine bestimmte Pressung qo und damit ScblieBkraft Q vorgeschrieben sind, dann stehen a18 Konstruktionsfreiwerte zur Verfiigung: Die Wand- starke h bzw. das Triigheitsmoment J, dae Spiel Ar und der Hehelarm u der SchlieBe.

J A r - Qra __-_ a E *

Besonders bei der Wahl des' Spieles Ar ist darauf zu achten, daB beim Schliehn die Elastizitlitsgrenze nicht Gberschritten wird.

IV. Wird die SchlieBkraft weiter iiber den Wert Ar ar

Q = E J - - ,

gesteigert, dann tritt wieder ein Abhebes der Klemme vom Rohr ein, wobei jetzt konzentrierte Kriifte PI und Po auftreten (Bild 6a).

A r Bild Ba. Zustand IV. Q> EJ - I* a

Ea gilt wieder Ar

8 , = q o . r ; M o = E J F . . . . (7).

Aus einer Gleichgewichtsbetrachtung der links von einem Schnitt q~ = lo wirkenden Krbfte und Momente (Bad Bb) folgt:

S o = Q c o s ~ o + P o s i n ~ o J In die zweite der G1. (8) Po eingesetzt, gibt

, Y 0 = Q [ i + ~ ] - E J ~ , A T . l o = - - " (9). r

Da die Querkraft f& q>qo verschwindet, folgt

Ea fehlt noch die Bedingungsgleichung fiir lo.. Die Aufgabe ist statiach unbestimmt, weshalb wir auf die Formiinderungen eingehen miissen. Der Bereich 'p = 'po bis n lief am Rohr an, ma6 durch obige Bedingung M o = J Arlra bereits erfiillt ist. Der zwischen Po

P l=Qs inp lo -Pocos~o . . . . (10).

Bild 6 b. ZuetaUd IV. Ichnittbetrachtung far den Absohnitt p = 0 bis p = p"r

und PI liegende Bereich Q ] = 0 bis lo hebt sich vom Rohr ab und wir beetimmen cp, und damit Po und PI aus der Bedingung daB die Schelle fiir p = 0 dae Rohr wieder beriihren mu& um die Kraft Po iibertragen zu k6nnen.

Die Schelle muD also an der Stelle l = O urn f = 2 Ar im Durchmesser verkiirzt sein. Nach einem Arbeitssatz*) der Mechanik lautet die gesuchte Bedin- gungsgleichung

worin A die im Klemmbogen ( p = O bis n aufge- a icherte Formtinderungsarbeit bedeutet. Es wird z b e i geniigen die Biegeerbeit zu berficksichtigen, sie lautet

aAlaPo= - 2 Ar . . . . . . (il),

n

A = J m r d q M' . . . . . . (12)

0

womit nach Einsetzen in (11) n

Die Durchfilhrung der Rechn zendente Beetimmungsgleichun3iir (po

ergibt die trans-

1

in ubereinstimmung mit derFormel von R. Sonntag wenn entsprechend verschwindendem Spiel Ar =O ; M o = 0 gesetzt wird.

Mit zunehmender Belastun nimmt der Winkel Pjo dee sich vom Rohr abhebenfen Bogens zu, bis fGr Q1=m als Grenzwert der Winkel erreicht ist, der sich nach R. Sonntag ftir No= 0 ergibt.

Beispieli Wir wollen' die vier beachriebenen Zuetiinde an

einem Beispiel verfolgen und die Kriifte 80 =I r qo, PI. Po sowie den Winkel als Funktion der SchlieBkraft Q in Bild 7 daretellen.

Wir legen der Rechnung die Abmeasungen r = 3 cm, h=0,4cm, a=1,3 cm zugrunde und setzen die Breite b der Scbelle gleich der Einbeit, d.h. b = 1 cm.

a) 8. L. B. A. F (Ippl, ,,Vorlesungen tlber technisehe lechanlk", Bd. 9 , B.Oldenbourg, Mllnchen.

3 14 Kleine Mitteilungen 2. angew. Math. Mech. Bd. 92 Nr. 10 Okt. I 0 5 2

Wir beginnen mit dern Zustand I und erkennen, da13 steigen. Ebenso nimmt die konzentrierte Kraft Po nur die Umschlingun skrctft So und damit die An- schnell ZU. Es is t also a d e r s t schwierig den Ideal-

s t h d e II -1V mit der SchlieBkraft Q zunimmt. Be- Abweichungen in der vorgeschriebenen SchlieBkraft sonders interessiert die Umgebung des Zustandes I11 und in den Herstellungstoleranzen zu erheblichen die wir ale ideal bezeichnet haben, weil hier die kon- konzentrierten Kr&ften fiihren.

fall III praktisch zu verwirklichen. d a bereits geringe

d e r R o h r v e r f o r r n u n g . Fur eine breite Rohr-

schelle sol1 im Idealzu- stand 111 der EinfluD der Rohrverformung unter- sucht werden. Die Rech- nung wird wieder auf die Einbeitbreite b = 1 bezo- gen. Wenn wir mit h , die Stiirke der Schellebe- zeichnen, dann folgt aus (6) fiir eine Pressung qo

Unter der Pressung qo wird das Rohr der Wand- starko h, urn einen Betrag il r2 zusarnmengedriiekt

von der Schelle kberwun:

d r = d r , + A r , . DasHer. Blld 7. Dle zwlschen Bohrschelle und Rohr wlrkrndrn KrMte mlt zunrlimentler Hchlit~fikrsft Q .

(Alle CrBOen auf cine Brelte b = 1 cm der Schelle brzogen.) Abmrssungen: r- 3 om, dr := 0 ,03 cm, h = 0,1 c m ( J =h' /12) , a = 1,s crii

Bild 8. Bpannungroptirohe Aulnallrnc elnrs Rohrra m i t Rlrmn~chrlle. L h g s I d v r Linle lu~ dle Beaunpruchuog konetant Sle ist proportlonal dm eingetragrnen Zshlcii

zentrierten Kriifte verechwinden. Wlr erkennen, dab die konzentrierte Kraft P, beim t'berganq v o n Zu- stand I1 zu 111 steil abfMlt

stellungsfipiel mu13 de mnath dr = A i l - dr, be- traKcn. Eine Beriicksirhtigung wird abet nur dann erforderlich Rein, wrnn AT, rnehr als 5% von /Jr, betragt. Wirerhnltendurch Division der GI. (15) (16):

. . * . . . (17). urn d a M sogleich im spitzen Winkel wieder anzu-

Kleine M 2. angew. Bhth. Mech. Bd. 32 Nr. 10 Okt. 1952

Fiir obiges hchenbeispiel ergibtsich, wenn b, =0,6cm angenommen wird Ar,/Ar, = 1/365, also vernach- lissigbar klein. Die Rechnung wurde sehr vereinfacht ohne Beriicksichtigung der Kriimmung und der ver- schiedenen mittleren Radien von Rohr und Klemme durchgefiihrt, was aber zu dieser Abschiitzung vollig ausreicht. Einer Verfeinerung der Rechnung steht nichts im Wege.

Aus blick. Obige Rechnung hat gezeigt, wie eine ideale gleich-

miiBige UmschlieBung und Pressung eines Rohres durch eine Schelle erreicht werden kann. Zu den an Bild 7 erliiuterten Schwierigkeiten wegen der Enge des giinstigen Bereiches,treten in der F'raxis die Last- einleitungsprobleme. Die Krafte konnen dem ge- schlitzten Ring nicht in der idealen, der Berechnung zugrunde gelegten Weise am Schlitz zugeleitet werden. Um die Beanspruchung praktischer Ausfiihrungen sichtbar zu machen, steht uns als anschauliches Hilfs- mittel die Spannungsoptiks) zur Verfiigung. Bild 8 zeigt eine solche spannungsoptische Aufnahme. Lieder schwarzen Linie (Isochromate) entspricht eine durch Eichung eindeutig bekannte Beanspruchung. Das Bild zeigt dem Spannungsoptiker auch deutlich die Biegespannungen im Rohr bei ungiinstiger Gestaltung der Klemmschelle. In Zusammenarbeit von Theorie und Spannungsoptik konnen alle derartigen Probleme in vollendeter Klarheit erfaBt und bearbeitet werden.

Miinchen. G. Sonntag. --____ 1) 8. z . B . L. F o p p l und E. Y o n c h , ,,Praktlschc Spannungs-

optlk" Springer Berlln 1950.

tlber zwei Ntiherungskonstruktionon zur Mercatorkarte l).

Durch P. D i e r c k e *) wurde 1929 eini Niiherungs- konstruktion f ur die Mercatorkarte veriiffentlicht. In der folgenden Betrachtung sollen zuniichat diese Konstruktionen nliher untersucht und gunstigere Konstanten angegeben werden. Dann sol1 eine weitere, ebenso einfwhe Konstruktion, die noch geringere Ab. weichungen zeigt, dargelegt werden.

0

itteilungen 315

und p (geogr. Breite), beide im BogenmaB gemessen, gelten f iir die Mercatorkarte die Abbildungsgleichun- gen :

x = ~ , y = l n t g

D i e r c k e gibt folgendes Niiherungaverfahren an zur Konstruktion der y-Leiter (Bild 1): Ein Kreis vom Radius r, beruhrt im Nullpunkt die y-Leiter und die h n k t e Pl (Bezifferung p) der gleichmiiBig getsilten Kreisskala mit dem Zentriwinkel Q OMP,= elp gegen den Anfangsstrehl werden vom Kreismttel- punkt &us auf die y-biter projiziert. Dies bedeutet, daB man die in (1) aufgestellte Funktion y durch die Naherungsfunktion

5 = rl tg e,p . . . . . . . . (2)

ersetzt. r, und el sind also so zu bestimmen, deB die einzelnen Abweichungen E (pi) = y (rpi) - (p;) mog- lichst gering werden. D i e r c k e wahlt el= 0,76 und gibt - ohne niihere Begriindung - ale giinstigsten Wert fur r, an:

r, = arc 76,6" = 1,31 772, wobei der erste Wert in den Breiten 0-35" und 70-75" und der zweite Wert fur die Breiten 40-66" sich am beaten anpaBt.

In der am SchluB angegebenen Tabelle Bind zum Vergleich angegeben worden: die exakten Werte (Spalte 2), die Niiherungswerte y' (Spalte 3, 6, 7, 9) und die Einzelabweichungen E (q,) fur qi von 0-70° in Abstanden von 5" (Spalte 4, 6, 8, 10). Zur Be. urteilung des MaBes der Anniiherung sind angegeben:

a) die Summe der Einzelabweichungen LT: E (p,), b) die Summe der Quadrate der Einzelabweichungen

;es(pi) und c)dermittlerenFehler m =f-, wobei n die Zahl der Funktionswerte iet (hier n =16). Die Anniiherun ist also um so besser, je niiher die Summe bei a) i e r Null ist und zugleich die Summe

rl= arc 76" = 1,32 646 bzw.

11

1

Blld 1

1. Fiir einen Punkt der Kugel vom bdiua r = 1 mit den geographischen Koordinaten A (geogr. Unge)

Aus dem Instltut fur Angewandte Mathematik der Tech-

9 P. D 1 e r c k e : Dle graphlsche Konstmktloo der lercetor- nlschen Hoahschule Brauuschwelg.

kerte. Ann. Eydrographle 67 (1929), 5. 61-66.

Blld 2

bei b)' einem Minimum zuBtrebt, d. h. je kleiner der mittlere Fehler ist.

Von D i e r c k e wird nicht en egeben, wie er die Zahlwerte seiner Konstanten erhaten hat. Men kann nun diese Konstanten auf verschiedene Weise ver- bessern. Halt man zuniichst einmal den Winkel- fektor el feat, so kenn man nech der Methode der