Die Untergruppen der freien Gruppen

Die Untergruppen der freien Gruppen.

Von OTTO SCHREIER in Hamburg.

Eines der Probleme, zu denen jede vorgelegte Gruppe AnlaB gibt, ist die Bestimmung der Struktur aller in ihr enthaltenen Unterg~lppen. Mit dieser Fragestellung wollen wir uns bier beschaftigen, und zwar in der Hauptsaehe unter der Voraussetzung, dab die betrachtete Gruppe die aus irgendwelchen Erzeugenden aufgebaute freie Gruppe ist. Die Strnktur gewisser Untergruppen der freien Gruppen ist bereits untersucht worden. Herr J. NIELSEN hat bewiesen, dag jede aus endlich vielen Elementen erzeugbare Untergruppe einer freien Gruppe bei passender Wahl ihrer Erzeugenden selbst wieder eine freie Gruppe ist~). Weitergehend hat Herr J. NIELSEN s0gar ein finites Verfahren angegeben, um diese freien Erzeugenden aufzufinden. Sodann hat Herr E. ARTIN die Kommutator- gruppen tier freien Gruppen untersucht. Es ergab sich wieder, dab die Kommutatorgmppe jeder freien Gruppe bei geeigneter Wahl ihrer Erzeugenden selbst eine freie Gruppe ist. Wit werden nun hier allgemein beweisen: Jede Untergruppe eino" freien Gruppe - - ski sie dutch endlieh viele Elemente erzeugbar oder nicht, sei sie ausgezeiehnet oder nicht - - ist selbst bei geeigneter Wahl yon erzeugenden Elementen frei. In Anbetracht des Umstandes, dab man dabei im allgemeinen unendlich viele Erzeugende ben6tigt, wird man allerdings kein Verfahren erwarten diirfen, die freien Erzeugenden zu bestimmen, vielmehr werden wir uns mit dem Existenzbeweis begniigen mfissen. Dagegen werden wir zu einer merkwfirdigen Beziehung zwischen der Erzeugendenzahl") der Gesamtgruppe, der Erzeugendenzahl der Untergruppe und ihrem Index gelangen. Werden namlich diese drei Zahlen der Reihe naeh mit n, N, j bezeiehnet, so gilt (1) j + N = l + n j .

Diese Beziehung gestattet in vielen Fallen, N zu bereehnen, wenn n und j bekannt sind. In den tibrigen Fallen kann man ohne weitere Annahme N nieht mehr angeben, vielmehr sind dann alle dutch (1) zugelassenen Werte yon N m6glieh, wovon man sieh an Beispielen

~) Natematisk Tidsskrift B, 1921, S. 77 ft. 2) ,,Erzeugendenzahl einer freien Gruppe" bedeutet hier wie im folgenden

,,Machtigkeit einer Menge yon freien Erzeugenden der Gruppe". Ebenso verwenden wir um tier kiirzeren Ausdrucksweise willen die Worte ,,Zahl" und ,,Anzahl" auch im Sinn einer unendlichen Mi~chtiokeit.

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mfihelos iiberzeugt. Anders steht es aber, sobald wir blol~ ausgezeichnete Unter~'uppen der freien Gruppen in Betracht ziehen. Dann gilt in allen jenen Fallen, in denen N durch (1) nicht festgelegt ist, die Beziehung

(1") N ~ n j .

Beriicksichtigt man noch, da~ j bei endlichem n h(ichstens abziihlbar unendlich und bei unendlichem n nicht grtiBer als n sein kann, so ergibt sich folgender Saehverhalt: Ist ~ eine freie Gruppe mit n Erzeugenden und n endlich, so ist jede Untergruppe yon endlichem Index j eine freie Gruppe yon l ~ - j ( n - - 1 ) Erzeugenden u~2d jeder Normal- teller yon unendlichem Index eine freie Gruppe ~'on abzii]dbar unendlich vielen Erzeugenden. Ist aber n e i n e unendliche M~icht~qkeit, so ist jede Untergrul~pe, deren Index kleiner als n ist, und iiberdies jeder Normal- teller mit der Gesamtgruppe einsbr isomoqTl~.

Die Frage nach der Struktur der Untergruppen der freien Gruppen ist ein spezieller Fall der folgenden: Es sei eine Gruppe durch erzeugende Elemente und definierende Relationen gegeben; man bestimme Erzeugende und definierende Relationen einer - - als irgendwie gegeben gedachten - - Untergruppe. Dieses Problem war bis vor kurzem nur in ganz ver- einzelten Spezialfitllen gel(ist wordeil und schien allge.mein fast unan- greifbar. Nun ist es Herrn K. REIDEMEISTER gelungen, unter sehr weiten Voraussetzungen das Problem tatsi~chlich zu 16sen3). Er entwickelt sein Verfahren allerdings nur fiir die Normalteiler einer gegebenen Gruppe yon endliehem Index. Allein seine Methode lagt sich - - wenigstens im Prinzip - - ohne wesentliche Modifikation auf beliebige Untergruppen yon beliebigem Index anwenden. Atff die freien Gruppen angewendet ergibt jedoch das REIDEMEISTERsehe Verfahren keineswegs unmittelbar die Freiheit aller Untergruppen sowie die Beziehungen (1), (1"). Um zu diesen Ergebnissen zu gelangen, ist es notwendig, genauer auf das Verfahren einzugehen; erst durch vollstiindige Ausniitzung der in dem Verfahren noch gelegenen Willkfir gelingt es, die Erzeugenden tier Unter- gruppen so zu w~hlen, da~ die behaupteten S~tze sich ergeben.

Ffir die Darstellung schien es zweckm~t~ig, gewisse Begriffe und Satze aus der Theorie der abstrakten Gruppen nicht als bekannt voraus- zusetzen, sondern sie neu herzuleiten, da eine zusammenhangende Dar- stellung in der Literatur bisher wohl kaum vorhanden ist. Als Aus- gangspunkt ffir die Theorie der durch Relationen definierten Gruppen ~)

a) Hamb. hbh. Bd. 5 (1926), S. 8ft. ~) Vgl. W. v. DYCK, ]~Iath. AmL 20 (1882), S. 1 ft. ; W. BUI~NSIDE, Theory of

Groups of Finite Order, 2nd ed. (1911), S. 372ff.; J.-A. de S~OUIER, Elements de la th~orie des groupes abstraits (1904), S. 15 ft.; H. TXETzE, Monatsh. f. Math. u. Phys. 19 (1908), S. 56 if.; M. DEH~, M~th. Ann. 69 (1910), S. 140 ft.

Die Untergruppen der freien Oruppen. 163

dienen naturgem~tB die freien Gruppen. Der Begfiff ,freie Gruppe" ist yon Herrn E. ARTIN und dem Verfasser zu deln Begriff des freien Produkts gegebener Gruppen verallgemeinert worden, der sich fib' manche Untersuchung als niitzlich erweist. Ein allgemeiner Existenz- beweis fiir das freie Produkt beliebiger Gruppen ist zuerst von Herrn E. ARTIN verOffentlicht worden'~'). Das freie Produkt l~tl~t noch eine etwas weitere Fassung zu. W~thrend zun~tchst zwischen den Elementen der verschiedenen Faktoren des Produkts keinerlei Relationen bestehen sollten, ist es m6glich, auch solche Produkte zu betrachten, in denen gewisse Untergruppen aller Faktoren miteinander identifiziert werden, sonst aber keine weiteren Relationen bestehen. Diese Bildung diirfte ffir die Untersuchung gewisser durch Relationen definierten Gruppen brauehbar sein. So sei ohne Beweis erw~thnt, dall mit ihrer Hilfe das Identit~ttsproblem z. B. ohne weiteres ftir solche Gruppen gel6st wird, die durch Elemente X1, X~, . . . , :I~, ~ , �9 .. erzeugt und dureh eine Relation der Gestalt f(X)g(Y)~--1 definiert werden. Dabei sollen f(X), g(Y) Ausdriicke in den Xi bzw. Yi sein, yon denen keiner

1 ist. Wir geben daher in w 1 einen Existenzbeweis fiir das ,freie

Produkt mit vereinigten Untergruppen". Der Beweis ist dem ARWlN- sehen ithnlieh, abel" in Anbetraeht der gr6geren Allgemeinheit etwas umstitndlieher. In w 2 wird dureh Spezialisierung die dureh eine beliebige Menge yon Symbolen erzeugte freie Gruppe gewonnen, und flu' diesen Spezialfall des freien Produkts noeh ein zweiter sehr ein- faeher, auf ganz anderer Grundlage ruhender Existenzbeweis angegeben. (w 1 ist daher zum Verstitndnis des Folgenden nieht erforderlieh.) Auf Grund einer prttzisen Formulierung des Begriffs der Folgerelation werden nunmehr die dureh Relationen definierten Gruppen eingefiihrt. w 3 enthiilt das REIDEMEISTERsehe Verfahren in tier oben angedeu- teten Verallgemeinerung sowie die Ausgestaltung der Methode fiir unsere Zweeke. w 4 endlieh bringt den Beweis der eingangs auf- gestellten Siit ze tiber die Untergruppen freier Gruppen. Zur Veran- sehauliehung des Beweises wird jeder Untergruppe einer dureh Rela- tionen gegebenen Gruppe ein linearer Graph, das Nebeng~llppenbild, zugeordnet. Das Nebengruppenbild stellt eine Verallgemeinerung des DEHNsehen Gruppenbildes ~) dar, auf das es sieh in speziellen F~llen reduziert. Sehliet31ieh werden die gewonnenen S~itze angewendet, um zu zeigen, dal3 fib-jede Gruppe ein System definierender gelationen yon besonderen Eigensehaften exisfiert.

5) In F. KLEIN', Vorlesungen tiber h6here Geometrie, 3.Aufl., hrsg. v, W. BLASCttK~ (1926), S. 361 ft.

6) M. DEll.X, a. a. 0.~). 12"

164 O. Schreier.

w 1. Ein Ex i s tonzsatz . Es sei uns eiue Menge M yon Gruppen ~ g'egeben, iiberdies eine

weitere Gruppe ,~. Jedc der Gruppen q5 enthalte eine mit .~ isomorphe ~) Untergruppe .9| Ein Isomorphismus zwischen .~ und .ga werde durch die Abbildung {H(---~ Ha} vermittelt . . Wir wollen versuchen, eine Gruppe ~ zu konstruieren, die folgende Eigensehaften besitzt:

1. ~ enth~tlt zu jeder Gruppe (~ aus ~1I eine isomorphe Untergruppe ~. Ein Isomorphismus yon (~ mit (~ sei dureh {G (---~ G} gegeben; den Elementen H| yon ~)$ entsprechen bei. dieser Abbildung die Elemente

yon �9 2. Die Untergruppen (~ erzeugen !~, d .h . jedes Element yon ~ liifit

sich aus Elementen G zusammensetzen. 3. Die verm0ge der Abbildung {G (--~ G} den Untergruppen , ~ ent-

spreehenden Untergruppen yon ~ sind identisch; d. h. !~ enthi~lt eine Untergruppe ~, die dutch die Abbildung {H , - ~ / t l isomorph auf ,~ bezogen sei, u n d e s ist /~| ~---H ffir alle (~ aus M.

4. Die Gruppe ~ ist - - in einem noch nigher zu bestimmenden Sinne - - mtiglichst allgemein. Denken wir uns in jeder rechtsseitigen Nebengruppe ~| G yon ,~$

in (~ ein festes Element, den l~epr~tsentanten der Nebengruppe, aus- gezeichnet! Der Repr~tsentant von ~| selbst sei die Einheit yon (~. Sei nun ~ eine Gruppe, die den Forderungen 1., 2., 3. geniigt; dann l~tgt sich jedes Element yon !~ in einer gewissen Normalform darstellen. Zuniichst darf naeh 2. jedes Element yon ~ in der Form G~ G~ . . . ~ . angenommen werden, wobei 5~i der Gruppe (~-~ entnommen ist und (~, (~_~, . . . , ~ gleiehe oder verschicdc:'.c Gruppen aus M bedeuten. Offenbar diirfen wit dabei annehmen, (lab (~i-1 :~ (~i (i = 2, 3, . . . , r), da wir ja sonst Gi_~ G~' durch G~_~ Gi ersetzen kOnnten. Ferner k(innen wit voraussetzen, dab G~ nicht zu @| geh0rt (i = 2, 3, . . . , r). Denn wi~l~ etwa Gi ~- H~,,

so ware naeh 3. /t| ~ H~,_, und wir kOnnten G~_~ Gi durch G~-IH~,_~ ersetzen. Nunmehr sei A~ der Reprasentant yon ~| also G,. ~ H|

dann ersetzen wir G-r-1 Gr durch - ' ' _ Gr-1-4,., wobei G~_~ = G.,._~ H| , gesetzt ist. Analog k0nnen wir jetzt G'_~ dureh den Reprasentanten yon .~r G ' - I ersetzen, wobei wir blofl G~_~ abzu~tndern haben. Durch Fortsetzung dieses ,,Durchziehprozesses" erkennen wir schlie~lich, dag jedes Element yon ~3 sich auf eine yon folgenden Formen bringen l~gt:

R;

Dabei ist H ein Element yon ~, r eine natiirliche Zahl, Ai geh(irt der Gruppe q~ an, ist yon der Einheit verschieden und ist der Reprt~sentant

~) Isomorph verwenden wir stets in der Bedeutung yon ,,einstufig isomorph".

Die Untergrnppen der freien Gruppen. 165

der Nebengruppe ~ , & , endlich ist I~-1 ~ (~i {i--= 2, 3 , . . . , r). U n s e r Zie l i s t es nlun , die E x i s t e n z e ine r G r u p p e ~ n a e h z u w e i s e n , in der j ede s E l e m e n t blofi auf e ine Weise in de r N o r m a l f o r m dar - g e s t e l l t w e r d e n kann . In diesem Sinne war in 4. yon einer mOglichst allgemeinen Gruppe ~ die Rede.

Den Nachweis erbringen wir folgenderinaflen: Wir betraehten die Menge aller Symbole

[B]; [H; &, A,, . . . , A,.],

wobei H, r, A,, . . . , A~ dieselbe Bedeutung haben sollen wie zuvor. Zwei Symbole sollen dann und nur dann g l e i e h heiflen, wenu sie identiseh sind. Um die beiden Falle [H]; [H; A1,- . . , At] nicht best~tndig unter- scheiden zu miissen, schreiben wir abgekfirzt auch [/-t; 91], wobei 9I eine endliche (eventuell leere), geordnete Menge von ReprRsentanten aus den Gruppen ~ bedeutet, die s~tmtlieh von der Einheit verschieden sind und you denen kein Paar benachba~er Elemente aus der gleichen Gruppe I~ stammt. Die Anzahl der Elemente yon 91 nennen wir die L~tnge 1 ([H; 91]) des Symbols [H; 91].

Ffir je zwei von unseren Symbolen a, ~ defmieren wir nun eine K o m p o s i t i o n :

I. Ist l(a) ~ 0, also a ~ [H], und ~ = [K; ~3], so sei ~/~ = [HK; ~]. II. Es sei a =- [E; A], wo E die Einheit yon .~o bedeutet und A ein

Repr~tsentant aus der Gruppe 1~ ist. Ferner sei # -~- [K; ~3]. GehOrt dann das erste Element B yon ~3 gleiehfalls der Gruppe ~ an, so sei AKoB ~ L| wo Lo zu ~0| gehOrt und C Repr~entant der Neben- gruppe ist. Dann setzen wir

[L; 6; ~'], wenn C uicht die Einheit ist, a~ / [L; ~'], wenn C die Einheit ist,

wobei ~3' zur Abkfirzung fiir die etwa auf B folgenden Elemente yon ~3 geschrieben ist. In jedem anderen Fall (insbesondere, wenn ~9 leer ist) setzen wir analog AK| LoC und definieren:

a ~ = [L; C, !8l.

IIL Ist l ( a ) > O, etwa a =- [H; 91] = [H; 91', A], wo A das letzte Element yon 91 und 91' die etwa vorangehenden Elemente bedeutet, so sei

c~3 - [H; 91'1 ([E; AI 3).

l)a /([H; 91']) = l ( u ) - - l , ist dutch l., ]l. mid ]]I. das Produkt , ~ verm(Ige vollst~ndiger Induktion allgemein und eindeutig definiert. Es ist nachzuweisen, daft die Menge unserer Symbole dureh unsere Vorsehrift

166 0. Schreier.

eine Gruppe wird. Der wesentliche Punkt ist dabei der Nachweis des A s s o z i a t i v g e s e t z e s

( ~ P ) r = ~ ( ~ r ) ,

den wir in meh~ren Sehritten fiihren. a) Es sei l(a) ~ 0, a = [2/]. Ist dann auch l (~) = 0, so verifiziert

man unmlttelbar die Richtigkeit der Behauptung. Sei also das Assoziativ- gesetz bereits bewiesen, sobald die Lange des ersten Faktors Null und die des zweiten kleiner als l ( # ) ( ~ 0 ) ist. W k setzen ~ = [K;!8 ' ,B]; dann ist ([HI [K; !~', B]) r ~- [HK; !~', B] r --= (nach I.)

---- [HK; !~'] ([E; B] r) ~-- (nach III.)

= ([H] [g; !~']) ([E; B] ~') : (nach L)

---- [H] ([K; !8'] ([E;B] u --- (nach Induktionsannahme)

[H] ([K; ~ ' , B] u (naeh III.)

Damit ist fllr den Fall 1 (a) = 0 das Assoziativgesetz allgemein bewiesen. b) Es sei a ~ [E; A], ~ ----- [K], r ~ [L; ~], wobei A zu f~ gehOre.

Fiir den Fall, daft nieht gerade das erste Element yon ~ auch zu q~ gehOrt, setzen wir:

A K , ~-- K ; A*,

A* L o L~ A**

wobei A*, A** die Reprasentanten der betreffenden Netzgruppen yon ~| sind. Dann ist

A ( KL) , -~- A K o L , --~ K~ L~ A** -= (K* L*)$A**. Folglich ist

([E; A] [K]) [L; ~] = [K*; A*] [L; ~] = (nach II.) [K*] [L*; A**, E] = (nach III., H.)

[K* L*;A**, ~] (nach I.) [E; A] ([K] [L; ~]) = [E; A] [KL; ~] (nach I.)

----- [K* L*; A**, E] (naeh II.)

Da der Fall, dab das erste Element yon {~ zu @ geh~rt, analog zu behandeln ist, gilt demnach allgemein:

([E; A] [K]) r = [E; A] ([K] ~).

e) Wir beweisen jetzt

(2) ([E; A] [K; B]) r = ([E; A] [K]) ([E; BI D,

wenn A und B derselben Gruppe q~ angeh(h'en. Ftir den Fall, daft (s nieht mit einem Element von q~ beginnt, setzen wir

Die Untergruppen der freien Gruppen.

A K o B - - K~A*,

A* L~ ~ L~ A**,

167

wobei A*, A** wieder die betreffenden Repr~sentanten sind. linke Seite yon (2) erhalten wir dann

(3) [K* L*; A**, {~],

wobei A** zu streichen ist, falls es die Einheit sein sollte. wir weiter

AK.= K A• B L$ ~- L~ B •

A X L x B x - - L ~ X A xx ,

Fiir die

Setzen

wol~n A x, A xx, B x Repr~sentanten sind, so ergibt sich fftr die reehte Seite yon (2) (4) [K x LXX; A xx, ~:],

wo wieder A •215 zu streichen ist , falls es die Einheit sein sollte. ist aber

. 4 K ~ B L ~ = K ; L ~ A * * = K ~ L ~ • •215

Nun

also stimmen (3) und (4) iiberein; der Fall, dab ~: mit einem Element yon $ beginnt, ist analog zu behandeln, womit dann (2) bewiesen ist.

d) Als n~chstes zeigen wir

(5) ([E; Al~)g ~--- [E; AI(~y).

Da dies in b) ffir l(#) ~ 0 bewiesen ist, nehmen wir (5) als bewiesen an, sobald die L&nge des zweiten Faktors ~ l ( ~ ) ( ~ 0 ) ist. Dann folgt,

= [K; ~' , B] gesetzt:

([E; A]Z)r : ([E; A][K; ~]'])([E; B ] r ) : (naeh r and III.)

[E; A]([K; '~']([E; Bit)) ~ (nach Induktionsannahme)

[E; A]([K; ~' , B]r) (nach IIL)

womit (5) allgemein bewiesen ist. e) Um nun das Assoziativgesetz allgemein zu erharten, wenden

wi~-nochmals vollstandige Induktion an. ]n a) ist ja alas Gesetz ffir l(a) ~ 0 bewiesen. Es sei bereits bewiesen, sobald die Lange des ersten Faktors ~l(a)(~O) ist. Setzen wir dann a --= [H; ~t', A], so erhalten wir:

168 O. Schreier.

( [H; ~{', Al,~)r = ([H; ~ ' ] ( [ E ; A ] Z ) ) r - -

= []r ~ ' ] ( ( [E ; A]Z) r ) =

= [H; ~']([E; Al(~r)) =

= [H; ~[', A] (~r)

(naeh ]lI.)

(naeh Induktionsannahme)

(nach d)

(nach II1.)

Damit ist in der Tat der Beweis allgemein erbracht. Um nun den Nachweis dafiir, dab unsere Kompositionsvorsehrift

die Menge der Symbole [H; ~] zu einer Gruppe macht, zu Ende zu bringen, bemerken wir, dab nach I. [El linksseitige E i n h e i t ist. Ferner ist nach I., II. und 1-IT

[H; A ~ , . . . , A~] = [H][E; A~]. . . [E; A,.].

(Klanunern sind auf Drund des Assoziativgesetzes iibertiiissig.) Es bleibt also nur mehr zu zeigen: Die Gleichungen

~[H] = [E]; ~[E; A] = [E]

sind stets 16sbar. Setzen wir A -~ = K| B, wo B der Reprasentant yon ~| -1 ist, so sind aber ersiehflicli durch

_ ~ = [ H - ~ ] ; �9 ~ = [ K ; B ]

L(isungen unserer Gleichungen gegeben. Es sei nun G ein beliebiges Element von q~, das n ich t in ~| liegt,

A der Reprasentant von ~ (7 und G ----- H| A. Wir bezeichnen [H; A] mit (7, ebenso [H] m i t / t = / t ~ . Dann erkennt man miihelos, da~ unsere Gruppe den oben gestellten Forderungen gentigt und jedes ihrer Elemente blofl eine Normalform besitzt. Daraus folgt welter, da~ unsere Gruppe yon der Auswahl tier Repri~sentanten der Nebengruppen unabh~ngig ist. Wir bezeichnen.die so konstruierte Gruppe als f r e i e s P r o d u k t der G r u p p e n (~ mi t v e r e i n i g t e n U n t e r g r u p p e n ~| Dann gilt der Satz:

Es gibt eine und ~ yon isomorphen Gruppen abgesehen - - nut eine G~ppe, die den Forde~e~flen 1, 2 , 3 , 4. geni~gt, das freie Produkt der Gruppen ~) mit vereinigten Untergruppen ~ .

W~thlen wir speziell die Untergruppen ~ si~mtlich ~ls die triviale, aus der Einheit allein bestehende Gmppe, so erhalten wir das f re ie P r o d u k t schlechthin de r G r u p p e n q~ arts ~/.

w 2. Freie Gruppen und deflnierende Relationen. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fa l l da~ jede der Gruppen (~

eine unendliche zyklische Gruppe ist, ~flso aus den Potenzen A k (k = 0, 4-1, 4- '2 , . . . ) eines ihrer Elemente besteht, wobei aus A ~ = A z stets k = 1 folgt. Jedes yon der Einheit versehiedene Element

Die Untergruppen der freien Oruppen. 169

des freien Produkts l~flt sich dann auf eine und nur eine Weise in die Gestalt setzen A~ ~ A2 ~ -~" �9 .. A~, wobei die ~# 4-1 und niemals zwei benaehbarte Faktoren des Produkts zueinander invers sind. 0ffenbar ist die so konstruierte Gruppe bereits dutch die Machtigkeit der Menge yon zyklischen Gruppell festgelegt, also unabhangig yon tier Bedeutung der Gruppen (~. Wir k0nnen daher einfacher geradezu eine beliebige Menge ~ yon Symbolen S vorgeben und diese Symbole S die Rolle der Symbole A spielen lassen. Es gibt demnach zu jeder Menge ~ yon Symbolen S die freie yon den Symbolen S erzeugte Gruppe ~. Jedes

Element yon ~ hat die Form 1-I S~', wo die S i irgendwelche - - gleiche ~ - 1

oder v e r s c h i e d e n e - Elemente aus ~ und die ei ~ 4- 1 sind, und zwar ist diese Darstellung eindeutig, sobald wir fordern, dal~ niemals zwei benachbarte Faktoren zueinander invers .sind; die Einheit yon ~ ist in dieser reduziel~en Form durch das leere PotenzProdukt 1 gegeben;

In Anbetracht der gro~en Wichtigkeit der freien Gruppen ftir die Theorie tier diskontinuierliehen Gruppen soll bier noeh ein zweiter Existenzbeweis erbraeht werden. Sei also wieder eine beliebige Menge yon Symbolen S gegeben. Wir betrachten die Menge der symbolischen

r"

Ausdriieke I-[ S~', wo wieder die S i irgendwelche Elemente aus ~ und i = 1

die ~ ~ 4- 1 sind; in unserer Menge soll auch 1 als Reprasentant des- jenigen Ausdrucks vorkommen, tier gar kein S +1 enth~tlt. Ffir diese Symbole, die zunRchst nati~rlich noch n i c h t als Produkte, sondern blol~ als ein Ganzes aufgefaBt werden diirfen, definieren wir folgendermal~en eine G l e i c h h e i t : Zwei Symbole a(S), B(S) sollen dann und nur dann gleich hei~en, wenn bei jeder Ersetzung der in ihnen vorkommenden S durch Permutationen S von endlich (aber beliebig) vielen Ziffern die entsprechend gebildeten Ausdriicke 8) a(S), fl(S), die nun als Produkte aufzufassen sind, die gleiche Permutation darstellen. Die Gleichheit ist gemaB dieser Definition eine symmetrisehe, transitive und reflexive Relation. Nunmehr erkl~ren wir die Z u s a m m e n s e t z u n g zweier Symbole durch Nebeneinanderschreiben der beiden Ausdriicke, wobei 1 ihrer Bedeutung gemafi - - sie war. Ersatz des leeren Ausdrucks nicht an- geschrieben wird, aul~er in der Verbindung 1 �9 1 ~ 1. Das so bestimmte Produkt hRngt in der Tat nicht yon der Schreibweise der Faktoren ab. Denn ist a, (S) ~ / ~ (S), ~ ( S ) ~ ~ (S), so gilt bei jeder Ersetzung der ~ durch Permutationen ~ (S) ~-- fl~ (8), a~ (S) ~ ~ (S), also gilt auch a~(S) a~(S)~--- fl~(S)/~(~. 0ffenbar ist diese Vorschrift a s soz i a t i v , ebenso ist das Vorhandensein einer Einheit sowie eines in v ers en Elements zu jedem Element evident, also haben ~vir es mit einer Gruppe zu tun.

~) 1 ist durch die identische Permutation zu ersetzen.

170 0. Schreier.

Insbesondere diil~en jetzt die Symbole wirklich als P r o d u k t e ' d e r einzelne

Faktoren S~' aufgefaflt werden und S -1 ist das zu N inverse Element. r

Wir behaupten, daft unsere Gruppe fi'ei ist, d.h. . daft ein Symbol I-I s~',

in dem kein Paar benaehbarter Faktoren invers ist, yon 1 verschieden ist. Um dies zu zeigen, oestimmen wir Permutationen S der Ziffern 0, 1, . . . , r

folgendermaflen: ~ ' fiihre / - - 1 in i fiber ( / ~ 1, 2, . . . , r). Obwohl ein und dasselbe Symbol S mehrmals unter den S~ auftreten kann, k(innen diese Forderungen einander nicht widemprechen. Denn fiber die Ziffer i wird ja blofl in der /-ten und (/-}-1)-ten Bedingung vefffigt und diese beiden Verfiigungen ~vidersprechen einander dann und nur da,nn, wenn gleiehzeitig S~ ~ S~+1: u n d e~ ~-- - - e ~ + l ist, was aber ausgesehlossen war. W~thlen wir also ~lie ~ gemitfl unseren Bedingungen, so ergibt sieh

fiiri__~lS/ eine Permutatior~, die 0 in r fiberffihrt und demnach v o n d e r

Identititt verschieden istg). Es sei nun (~ irgendeine Gruppe, ~ eine Menge von Erzeugenden S

tier Gruppe q~, also eine so!che Menge von Elementen yon (~, da6 sich aus den S 'und S -1 jedes Element yon (~ zusammensetzen la6t. Im aUgemeinen ist dann q~ nicht die yon den Elemen.ten S erzeugte freie Gruppe. Sondern es werden zwisehen den Elementen S i. allg. gewisse nieht-triviale Relationen bestehen, also Gleichungen der Form

,j-

H , , ' : , = 1, i = 1

wobei der Ausdruck lin~s kein Paar benachbarter inverser Elemente enthitlt. Sind s~tmfliehe derartigen Relationen gegeben, so ist dadureh often- bar die Gruppe @ abstrakt festgelegt; zwei solehe Grnppen @ sind isomorph und unterseheiden sich h0chstens dureh die Bedeutung der Elemente S. Aber es ist, u m @ festzulegen, keineswegs n(itig, alle Relationen zu geben; es wird genfigen, ein System yon Relationen anzugeben, aus denen alle fibrigen Relationen sich als Folgerungen ergeben. Dabei bedarf allerdings der Begriff ,,Folgerelation" noch einer naheren Bestimmung. Wir definieren: Es sei P eine Menge yon Relationen 0 (S) -~ -1 ; dann heiBt die Relation y ~ ( S ) = 1 eine F o l g e r e l a t i o n der Relationen aus P, wenn bei jeder Ersetzung der S durch Elemente S einer Glaippe, in tier die Relationen (, ( S ) = 1 gelten, aueh ? (S)m_ 1 gilt. Es' handelt sich jetzt darum, zun~tchst einen tTberblick fiber die Gesamt- heit der Folgerelationen eines Systems P yon Relationen Q (S) ~--- 1 zu gewinnen. Betrachten wir zu dem Zwecke die yon den Symbolen S er-

9) Diese Permutation wurde von Herrn E. ARTIN und dem Verfasser gelegentlich zu anderem Zweck verwendet.

Die Untergruppen der freien Gruppen. 171

zeugte freie Gruppe ~. Die Menge der Elemente e (S) und ihrer Trans- formierten t(S)O(S)t-l(S) erzeugen einen Normalteiler ~ yon ~. (t(8) ist dabei ein beliebiges Element yon ~, t -1 (S) sein inverses.) ~ besteht aus s~mtliehen Elementen, die sich auf die Form bringen lassen:

(8) t? I (8),

wobei die ei irgendwelehe Elemente aus P, die ti (8) irgendwelche Elemente yon ~ und die 8i ~ 4-1 sind. Wir bflden nun die Faktorgl~ppe ~/9l ~ ~ .

wird yon den Nebengruppen 9lS ~ S erzeugt. Es ist ~ (8) - - ~ ( 8 ) ~ , d. h. in ~ gelten die Relationen ~ (S) ~ 1. Ist also ~ (S) ~ 1 eine Folge- relation der Relationen ausP, so muff auch ~(S) --" 1 sein oder ~ ( S ) ~ ~ . D. h.: ~ (S) geh0rt dem Normalteiler 9l an, l ~ t sich also auf die Form

r

(8) ---- I ] t~ (8) Q~' (S) t~ -1 (8) bringen, wobei ~ bedeutet, dab links und

rechts das n~mliehe Element der freien Gruppe steht oder, was dasselbe bedeutet, daft die beiden Ausdriicke durch die trivialen Umformungen des Streiehens oder Einschaltens yon Faktoren SS -1, S--xS auseinander hervorgehen. Umgekehrt ist aber klar, daft jede Relation

(6) I -I t,(8) = 1 i = l

auch wirklich eine Folgerelation der Relationen Q (8) ~-- 1 ist. Also e~gibt sich: Alle und nur die Folgerelationen der Relationen e (S) ~ 1 k0nnen durch triviale Umformungen auf die Form (6) gebracht werden. Gleieh- zeitig zeigt die Gruppe ~ , daft es eine Gruppe gibt, in der neben beliebig gegebenen Relationen Q ( S ) ~ 1 nur die Folgerelationen aus diesem System gelten. Wir sagen, ~ werde dureh die Elemente 8 erzeugt und durch die Relationen Q(S) ~ 1 definiert. Durch Xnderung tier Bezeichnungs- weise erhalten wir so zu jeder Menge ~ yon Symbolen S und jeder Menge yon Relationen e (8) - - 1 die durch die Symbole 8 erzeugte und durch die Relationen e (S) ~ 1 definierte Gl~ppe.

Urn sp~terer Anwendungen willen wollen wir jetzt noch die ein- f~che Tatsache beweisen, dab zwei freie Gruppen blo~ dann isomorph sind, wenn ihre Erzeugendenmengen gleiche M~chtigkeit besitzen. Zu diesem Zwecke bemerken wir zun~chst, da~ die Menge der Elemente einer freien Gruppe abzahlbar unendlich ist, wefin die Menge der Er- zeugenden endlich oder abzahlbar unendlich ist, und da~ die Menge der Gmppenelemente mit der Menge der Erzeugenden gleich m~chtig ist, wenn diese Menge yon unendlicher Miichtigkeit ist~~ Also haben wir blol~

1o) Dies folgt aus der fiir jede unendliche M~chtigkeit m gtHtigen Beziehung m2-- - m.

172 O. Schreier.

noeh die freien Gruppen mit endlich oder abz~thlbar unendlich vieleu Erzeugenden zu vel~leiehen. Dazu ziehen wit die Kommutatorgruppe ~t tier freien Gruppe ~ in Betracht. ~ besteht aus den Ausdrlicken in den Erzeugenden S, in denen fiir jede einzelne Erzeugende S die algebraisehe Summe ihrer Exponenten Null ist. Denn einerseits wird ~ yon den Kommutatoren erzeugt, enthitlt also nur Elemente dieser Art. Aber aus tier Tatsaehe, daft ~ / ~ eine ABELSChe Gruppe ist, folgt umgekehrt, daft sie alle zu ~ geh(Iren. Ist nun s eine nattirliche Zahl, die die Erzeugenden- z a h l ' ) yon ~ nicht iibertrifft, so ~ b t es in ~ s Elemente T~, Ts, ..., T~ yon der Art, daft ein Produkt T~I~ T~,,' '~' 2 "'" T~ , worin die x~ ganze Zahlen sind, blofl dann zu ~ geh(irt, wenn alle xi verschwinden. Wir brauchen dazu blofl ffir die Tz s yon den Erzeugenden yon ~ zu wahlen. Ist dagegen die natfirliche Zahl s gr{ifler als die Erzeugendenzahl n von ~, so gibt es zu je s Elementen T~, Tz,. . . , Ts yon ~ ganze Zahlen xi, x2,.-., x,, die nicht samtlieh versehwinden, so daft T ~ ' T 2 ~ . . . T~" zu ~ gehOrt. Sei zum Beweis Tk ~ - t k ( 8 ) und a/~ die Exponentensumme der /-ten Erzeugenden in tk(S) ( i - ~ 1, 2, . . . , n; k -~- 1, 2, . . . , s). Dann erhalten wir als Bedingungen fiir die xk

8

~ a ~ x k ~ 0 i ---- 1, 2, . . . , n . k ~ l

Diese Gleichungen besitzen wegen s ~ n eine nicht-triviale L(/sung in ganzen Zahlen xk. Daraus folgt aber nun allgemein, daft die Erzeugenden- zahl eine Invariante der fi'eien Gruppe ist.

w 3. Deflnierende Relationen yon Untergruppen. Es sei q~ eine Gruppe, die durch Erzeugende und definierende

Relationen gegeben ist. ~ sei die Menge der Erzeugenden X und P die Menge der definierenden Relationen ~(X) ~ 1. Wir wollen nun nach dem Verfahren yon Herrn' K. REmEMEmTEn Erzeugende und definierende Relationen einer beliebigen Untergruppe .~ yon ~ angeben. Wit beginnen mit einem Sondel~all, auf den der allgemeine Fall sich dann zuriickffihren lRflt: Es sei ~ eine Teilmenge yon i~, bestehend aus den Elementen T; dann sei ~ zunitehst die yon den T erzeugte Untergruppe von (~. Es soll ein System definierender Relationen zwischen den T gefunden werden. Wit denken uns in jeder Nebengruppe ~ G yon ,~ in q~ ein bestimmtes Element in festgewahlter Darstellung durch die X als Repr~tsentanten gewithlt; es sei der Ausdruck G, wobei also G nieht nur ein festes Element aus ,~G bedeutet, sondern auch dessen fest- gewfihlte Darstelhmg als Potenzprodukt der X andeuten soll. hn all-

l.) Vg i 2).


gemeineu wahlen wir G beliebig, nur kommen wir iiberein, da~ als Repri~sentant yon .~ selbst die 1 gew~thlt werden soll. Ist H irgendein Element yon .~, so gilt gema~ tier Bedeutung yon G als Reprasentant sciner Nebengrnppe die Beziehung H G ~ G, insbesondere ist /~ :---~ 1.

Es sei jetzt IrI X ~' irgendein in ~ liegendes Potenzprodukt der X. Wir "~i

wollen eine eindeutige Vorsehrift geben, dieses Potenzprodukt in ein Potenzprodukt der T zu verwandeln. Wir setzen

Go ~ 1; J

G j = I - I X ~' j = 1 , 2 , . . . , r . i ~ l

Es ist dann Go ~-- (~ ~-- 1. da ja G~ zu ~) geht~rt. Algo ist

i ~ 1 i ~ l

Wir ffihren nun die Elemente _ _ - - 1

U ,x = XGX eiu und erhalten:

-1 ~U~,~, x~ wenn ~i ~ ~- 1, (8) a,

(U-I+;,x, wenn +i ~--- - - 1.

Tragen wir dies in (7) ein, so haben wir also zuni~chst eine bestimmte Vorschrift, jeden zu ~ gehtirigen Ausdruck in den X in einen Ausdrur in den U umzuformen. Die Elemente U geh(iren selbst zu ~5. Denn es ist ja

~ H G ; G X ~ H ' G X ,

wobei H , H ' Elemente vou ~ bedeuten; demnach haben wir

Ua. x ~ H G X ( H r G X ) -1 ~ H H ,-1.

W~llen wir also unser Produkt in ein Produkt der T +1 verwandeln, so geniigt es, dies ffir die U zu tun. Sei also

(9) u - - ( T ) ~ G , X - - - tt 'G,X

eine be, liebige, aber feste Darstellung der U durch die T, wobei wir blo[l verabreden wollen

(9*) U1, T ~ - / ( I , T ( T ) ~ T

174 O. Schreier.

zu withleu. I)~um sMzen wir fest: ~' sei diejenige l)arstellung

r

des Elements [ I X [ ' dm'eh die T, die man erhitlt, wenn mau zuniellst i=1

(8) in (7) eintrigt und sodann jeden Faktor U :~ naeh (9) dureh u +~ (2') ersetzt. Diese Regel hat folgende Eigeusehaften:

1. Gehen zwei zu �9 geh~rige Ausdrfieke hi(X), h~(X) dureh triviale Umformungen in den X auseinander hervor, so lassen sieh (h~ (X))*, (h2 (X))* dureh triviale Umformungen in den T ineinander iiberff, hren.

2. Geh~ren h~ (X), h~(X) zu .~, so ist

(,,,, (x) h~, (x) )* == (h, (x))* (h,, (x))* .

3. Geh(~rt h(X) zu ,~, so ist

(h -1 (X))* - - (h(X)) *-1.

4. Ftir jeden Ausdruek f (T) , d e r n u r die Erzeugenden T enthilt, gilt

(f(T))* ---- f (T) . Es sei nun a ( T ) ~ 1 irgendeine Relation zwischen den T. Naeh

Definition von (~ ist also a ( T ) ~ 1 eine Folgerelation der definierenden Relationen Q(X)----1. Also gilt eine Identitat

i~1

X haben i~ezeichnen wir mit ~(X) den Reprisentanten yon ~ t i ( ) , so wir weiter

--I --I __--I

~(T) - - (ti(X)Y~ (X)). ~ ( X ) ~ (X) t~ (X) )" . (t~(X) t~ (X)) -1. i~1

Die linke Seite geh(irt zu ~, ebenso alle dutch Klammern zusammen- gefaltten Ausdrficke auf der rechten Seite. Nach 1., 2., 3., 4. ist daher

i ~ --1 - - 1 __--1 if(T) ---- ( , i(X) ti (X)) $ (~ (X) ~i(X) ti ( / ) ) , e i . ( t i (X) ti (X)) *-I

i~1

wo ---- sich jetzt auf triviale Umformungen in den T bezieht. Damit erhalten wir aber'unmittelbar das Resultat:

- - 1

Durch (FQ(X) F )* ~-- 1 ist ein System defi~ierender l?elationen yon ~ gegeben, wenn Q (X) die definierenden Relationen yon ff~ und ~; die Reprgsentanten der Nebengruppen yon ,~ d~rchlguft.

Wit gehen nun zu dem allgemeinen Fall fiber. (~ sei die durch die Elemente S der Menge ~ erzeugte und durch die Relationen e(S) ~ 1 der ~Ienge P definierte Gruppe, .~ eine beliebige Untergruppe yon (~.

Die U n t e r g r u p p e n der freien Gruppen. 175

Wieder wi~hlen wir in jeder Nebengruppe ~ G einen repri~sentierenden Ausdruck G. Insbesondere sei 1 ~ 1. Dann erkennen wir wie zuvor, daft die Elemente

U~, s = G S G S

zu ~) gehOren und Erzeugende v o n � 9 sind. Nun k(tnnen wir aber (~ auffassen als die durch die Elemente S und U&s erzeugte und durch die Relationen

e(S) = 1; U~, s G S S -x G ~- l

definierte Gruppe. Damit kommen wir auf den frfiheren Fall zurfick. Die Erzeugenden X bestehen aus den S und den U, wobei die U die Rolle der T fibernehmen. Um den ProzeB ( )* zu definieren, haben wir, indem wir die G als Repri~sentanten beibehalten, blof noch eine Vor-

--1 schrift zu geben, wie die Elemente G X G X durch die US, s darzu- stellen sind; dabei bedeutet X ein S oder ein U. NaturgemRf wi~hlen

--1 wir fiir G S G S die Darstellung

--1 G S G S -= U~,s,

--1

ftir F U F U aber irgendeine Darstellung

_ _ _ - - 1

FUs , s FUo , s = f~ ,5 , s (g ) .

F, G haben unabhi~ngig voneinander alle Repri~sentanten zu durchlaufen. Nur haben wir gemi~B (9*) zu setzen

f ,<s (u) - - U<s.

Der Prozel~ ( )* lautet demnaeh in unserem Falle so:

Ist h ( X ) -~- [ I X ~ ' ein zu ,~o geh0riger Ausdruck in den S und U, i = 1

so forme man ihn zun~chst um r

--1

,,(x) _--_ I I x:, o , , i = l

J wobei Go = 1, Oj - - I-I x~' gesetzt ist (.] = 1, 2, . . . , r), und ersetze

i = 1

nun den Faktor ~ - x "gT' Gi

durch Uo,_~.s , wenn X i = S und e; = + 1 ,

dureh U. z~ G,,s, wenn X i = ,b' und t~ ---- - - 1 ,

176 0. 8ehreier.

durch f#,_.O,s (U), wenn X i : U#, s und e, : + I,

1 durch f~,,#~s (U), wenn Xi = U~.s und ~i = - - 1; der so entstehende Ausdruck in den U ist (h(X))*.

Als definierende Relationen zwischen den Erzeugenden U der Unter- gruppe ~ erhalten wir n~h dem oben Bewiesenen."

- - i

(a) (_~(~(S) F )* : 1, --1 - - 1

(b) a S S - 1 6 F )* =

Dabei durchlaufen F, G alle Repriisentanten, S alle Elemente yon ~, r alle Eler~ente von p~2).

Der Prozefi ( )* ist yon vornherein keineswegs eindeutig bestimmt. Er hitngt davon ab, welche Repritsentanten und welche Darstellungen

_--1 f~,g,s (U) tier Ausdriicke FUd, s FU&s ciurch die U wir gewahlt haben. Es liegt die Frage nahe, ob man nicht durch Ausniitzung dieser Frei- heiten die Relationen (b) vereinfachen oder gar zum Fortfall bringen kann.

Bemerken wit zunitehst, dal~ beim Berechnen der linken Seiten von (b) nur ein einziges Mal ein Faktor f~,d,s (U) auftritt, nitmlieh in

der dureh die drei Angaben F , ~ , S bestimmten Gleiehung (b). Diese wird folgende Gestalt besitzen:

f l (U)f~,tT, s ( Y ) f 2 (U) = 1.

Nun steht es uns, solange F :~ 1, vollstitndig frei, welche unter allen _ _ - 1

m0gliehen Darstellu;~ "~- des Elements _~Us, s FUs, s dutch die U wir fftr f~',~,s (U) wahlen wollen. Kommen wir also iiberein, gerade die Dar-

stellung j~-i (U)f~-I (U) zu w~thlen, so wird die betreffende Gleichung (b) trivial, kann demnach fortgelassen werden. Es bleiben also yon den Gleichungen (b) nur diejenigen iibrig, ill denen F = 1:

--1 (b') (Ua, s ~ S -~ G )* = 1.

Auf Grund der Eigenschaften des ()*-Prozesses, kann dies auch geschrieben werden:

(b") US, s (G,~GS )* = 1.

Es bleibt uns nunmehr, um die Gleichungen (b") zu vereinfaehen, noch die Freiheit in der Wahl der Repr~tsentanten G, yon denen ja bloB 1 =: 1 festgesetzt war. Wit iiberlegen uns zuerst, daI~ es m6glich ist, die gemitB folgender Forderung zu wAhlen:

t2) Vgl. K. REIDEMEISTER R. 3.. 0.3), S. 13.


r

(_F) J edcsmal , wenn G -::= [I s:' t{e l ) r~scntant se iner Neben- i-~-i

gruppe ist , so l len auch die A b s c h n i t t e des P r o d u k t s /

H S / r ' (j = 1, 2 , . . . , r - - l ) i = 1

die R e p r i t s e n t a n t e n ih re r N e b e n g r u p p e n sein. Es gibt in jeder Nebengruppe ~)G mindestens ein Potenzprodukt

l

(10) H S'~' 0]i = -4-1) i = l

mit m0glichst geringer Faktorenzahl 1. Wir nennen 1 die L~inge tier dureh (10) bestimmten Nebengruppe und wahlen nun zunitchst in jeder Nebengruppe einen solchen Ausdruck geringster Faktorenzahl naeh Be- lieben. ,~ ist die einzige Nebengruppe der Litnge Null, in ihr ist also das leere Potenzprodukt 1 ausgew~thlt, das auch Repritsentant yon sein sollte. Nehmen wir nun an, es sei uns bereits gelungen, in allen Nebengruppen, deren Lange kleiner als l ( ) 0 ) ist, einen. Ausdruck als Repr~tsentanten zu wRhlen, dessen. Faktorenzahl gleich der Lt~nge der Nebengruppe ist und der Forderung (F) geniigt. (Fiir 1 ~- 1 trifft diese Annahme zu.) Sei nun ~G eine Nebengruppe der L~nge 1 und (10) das in ihr gew~thltr Potenzprodukt. Dann betrachten wir die Nebengruppe

t--1

(11) 1-] i = l

Ihre L~nge ist 1--1. Denn zunRehst enthalt sie nach (11) einen Aus- druck yon blofi 1--1 Faktoren; enthielte sie aber einen kiirzeren Aus- druckf(S) , so geh0rte f ( S ) S { r~' zu der durch (10) gegebenen Neben- gruppe und hittte doch weniger als 1 Faktoren, was nicht sein kann. Daher ist nach Annahme in (11) ein Produkt

l--1

Hs:' i = l

l--1 als Repr~sentant gewahlt, das (F) geniigt. Nun setzen ~ r G-~.~_S:'.S~'~'.

Verfahren wir ebenso ffir alle Nebengruppen der L~tnge l~ so erkennen wir, daft nunmehr unsere Induktionsannahme fiir 1 + 1 erffillt ist. Damit ist unsere Behauptung bewiesen.

Denken wir uns jetzt die Repr~tsentanten irgendwie gemRg (E) bestimmt. Wit teilen dann die Elemente U~s in zwei Klassen: Ug. s heifle yon e r s t e r Art oder zur Klasse A gehtfrig, wenn ~ ~ GS; die

18

178 0. Schreier.

fibrigen US, s nemmn wir yon z w e i t e r Art und fassen sie zur Klasse B zusammen. Ist nun U6. s yon erster Art, so ist demnach

G S G S ~ 1 (=-~:in denN), folglich auch

- - 1

( G S G S ) * ~ - - ~ 1 ( ~ i n d e n U),

d. h. die betreffende Gleichung (b") kann dutch

Uo, s =~= 1

ersetzt werden. Mit anderen Wol%en: Die Erzeugenden Ur s der Klasse A sind iiberfiiissig, da sie der Einheit gleich sind. Wir untersuchen jetzt die Elemente der'Klasse B. Sei

r s

i ~ 1 k = l

- - 1

Gemini3 der Vorschrift zur Berechnung yon ( G S G S Reprasentanten derjenigen NebengruI)pen einzufiihren, Abschnitte des Produkts

bestimmt sind. Ausdr.ficke:

)

)* haben wir die die durch die

r 1

i = 1 kl:22 #

Gemii8 Forderung (F) sind es tier Reihe naeh folgende

1; I . - I s / , ( j - 1 , 2 , . . . , , . ) ; 1. i ~ - I k = l

- 1

Ffir (GS G S )* ergibt sich nun ein Produkt yon r + 1 + s Faktoren U -+1. Man erkennt aber ohne Mfihe, daft die ersten r und die letzten s Faktoren U yon erster Art sind, also gemini] den bereits betrachteten Relationen (b") weggelassen werden durfen. Der somit allein iibrigbleibende ( r + i)-te Faktor ist UO, s selbst, so daft die in Frage stehende Gleiehung (b") sich auI die Identiti~t

~6,s U~,s --~- 1 reduziert.

Zusammenfassend haben wit also folgendes erreicht: D u t c h ge- e i g n e t e Wahl der A u s d r i i c k e f ~ a , s ( U ) - - auf die es im iibrigen

nicht mehr ankommt - - w e r d c n die G ] e i c h u n g e n (b) fiir /~-~ 1

Die Untergrul}pen der fr~fien Gruppen. 179

e l i m i n i e r t , .~o dal~ n u t die G l e i e h u n g e n (b") t ib r igb le iben . W e r d e u i iberdies die R e p r a s e n t a n t e n der N e b e n g r u p p e n gemafl der F o r d e r u n g ( F ) g e w / i h l t , so e r g i b t s ieh, dab die G l e i e h u n g e n ( b " ) d u r e h die F e s t s t e l h m g e r s e t z t w e r d e n dfirfen, dab d i e j e n i g e n Ua,s, fiir die GS ~ GS gi l t , de r E i n h e i t g l e i c h sind.

w 4. Anwendung auf die freien Gruppen. Maehen wir nun die besondere Annahme, die Gruppe (~, deren

Untergruppen wir untersuchen wollen, sei die yon den Symbolen ,~' der Menge ~ erzeugte freie Gruppe! Ist dann @ eine Untergruppe yon q~ und die Elemente UO. s wie zuvor definiert, so sind diese Elemente Er- zeugende und die Relationen (b) ein System definierender Relationen yon g~. Die Relationen (a) entfallen ganz, da ja die Menge der q(S) im Fall der freien Gruppe leer ist. Nun haben wir aber gesehen, daft bei passender Einrichmng des ()*-Prozesses die Relationen (b) bloI3 besagen, daft die Ua. s yon erster Art der Einheit gleich sind. Also erhalten wir das Ergebnis: Die U n t e r g r u p p e ~ i s t die von den E l e m e n t e n UO. s z w e i t e r Ar t e r z e u g t e f r e i e G r u p p e . Oder, da ja .~ irgendeine Untergruppe yon (~ war:

Jede Untergruppe ~iner fi'eien Gruppe ist bei geeigneter Wahl ihrer erzca~genden El~nente frei.

Wir haben nun oben (w 2) gesehen, dal~ die Erzeugendenzahl einer freien Gruppe yon der Auswahl der freien Erzeugenden unabhangig ist. Daher wollen wir versuchen, fiber diese Erzeugendenzahl yon ~ Aussagen zu machen. Es sei n die Er~eugendenzahl yon q~, N die Erzeugendenzahl yon ,~ und j der Index von .~ in ~, d. h. die Anzahl ~) der NebengTuppen, in die (~ nach ,~ zerf~illt. Wir behaupten dann die Beziehung

(12) N - b - j ~-- 1 + n j .

Diese Beziehung zeigt, daft in gewissen Fallen, n~tmlich 1. wenn j endlich, 2. wenn (bei unendlichem n ) j - Z n ist, N durch n und j allein bestimmt ist, dal~ also alle Untergruppen vom gleichen Index isomorph sind.

Zum Beweis denken wir uns die Repr~tsentanten G nach Forderung (F) gew~thlt. Die Anzahl aller UO, s ist offenbaa" nj. Ferner ist N die Anzahl der 5~, s yon zweiter Art. Bezeiehnen wir also mit a die Anzahl der U(;,s yon erster Art oder die Machtigkeit der Klasse A, so ist o ~ - N ~ n j und es genfigt zu beweisen:

(13) j ::-: 1 -]- a.

l,~) Vgl. 2).

1 ~0 O, 8chreier.

l it.( Beziehung ist nun auch fiir beliebige Gruppen richtig, wenn wieder j den Index der betrachteten Unte~ruppe und a die Anzahl der U5. s von erster Art bedeutet. (Die Forderung (F) setzen wir von nun an, auch w o e s nicht besonders gesagt ist, stets als erfiillt voraus.) Wir bezeichnen mit p~- die Anzahl der Reprasentanten, die aus 1Faktoren bestehen und deren letzter Faktor den Exponenten --1 besitzt, mit p~- die Anzahl der iibrigen Repr~sentanten mit 1 Faktoren. (Es ist also Po : 0, po + = 1.) Wit berechnen jetzt, welchen Beitr~g diejenigen U0. s zur Klasse A geben, die mit Reprfisentanten aus 1 Faktoren gebildet sind. Es handelt sieh also darum zu bestimmen, ftir wieviele tier Erzeugenden S bei gegebenem G der Lange 1 der Ausdruck G S ~ GS ist. Soll diese Beziehung gelten, so kann G S nur aus l - - 1 oder l + 1 Faktoren bestehen. Der erste Fall tritt nun offenbar dann und nur dann ein, wenn (7 mit dem Faktor Sl -~ endigt und S : St ist. Dies gibt zu unserer Anzahl den Beitrag Pz-" ]m zweiten Fall ist GS ein Reprasentant aus ( l ~ 1 ) F a k t o r e n mit dem letzten Exponenten + 1. Uberdies wird jeder solche Reprasentant aueh auf genau eine Weise so erhalten, da S als sein letzter Faktor, (; aber als Produkt der vorangehenden Faktoren gew~thlt werden muG. Also erhalten wir Pz+~+ als Beitrag. Insgesamt liefern daher die mit Repriisentanten G der Lange 1 gebildeten U5, s den Beitrag p~-+p+~ zur Klasse A. Daher ist

oO

l~0

Andererseits ist 0ffenbar j die Anzahl aller G, f olglieh

J = _P+ + ~ (P;- - ~ - P ~ i ) , /=0

womit wegen po + ~--- 1 die Gleichung (13) bewiesen ist. Die soeben durchgefiihrte Abz~thlung laBt sich durch eine graphische

Interpretation des Verfahrens sehr anschaulich machen. Sei n~tmlich jeder Nebengruppe ,~oG ein Punkt zugeordnet. Sind /)1, P~ die den Nebengruppen ~G, ,~GS zugeordneten Punkte, so verbinden wit P1 mit P~ durch eine von PI nach P~ gerichtete, mit S bezeichnete Strecke. (Es kann vorkommen, dab ~ mit P1 zusammenfiillt; dann setzen wir naturgemii[~ an P1 einen mit S bezeichueten, irgendwie gerichteten Kreis an.) Fiihren wir dies fiir alle derartigen Punktepaare (1~, P~) durch, so erhalten wir einen linearen Graphen, der j Punkte und ~l Typen von Strecken besitzt, so dab jeder Punkt Anfangs- und Endpmlkt je einer Strecke jedes Typs isL. Sei Po der ,~ entsprechende Punkt unseres Graphen. Wit ordnen jedem Ausdrm;k in den ,~' einen yon Po aus-

Die Untel'gruppen der freien Gruppen. 181

gehenden Weg zu: Der 1 werde der aus Po allein bestehende triviale Weg zugeordnet. Ist aber die Zuordnung bereits ftir Ausdrtieke fiir weniger als r ( . '>O)Faktoren definiert, so ordnen wir dem Ausdruek

7"

f(8) I-I sr == s i-----I

folgenden Weg zu: Ist w' der f ' ( 8 ) zugeordnete Weg und P ' der End- punkt yon w', so bestehe der f(S) zugeordnete Weg w aus der Durch-

j yon I p , ~auslaufenden[ laufimg von w' und der |naeh[ /einlaufenden/ Streeke 8,., wenn

j+l I - -1 ' Der Endpunkt yon w ist natfirlieh der der Nebengruppe

~of(8) zugeordnete Punkt. Es genfigt also, dell ~ zugeordneten Punkt zu kennen, um den einer beiiebigen NebengTuppe entspreehenden Punkt auffinden zu kilnnen. Wir fassen insbesondere die den Repritsentanten G zugeordneten Wege ius Auge. Ihre Vereinigung sei D. D ist ein Teil des Nebengruppenbildes 9~, der alle Punkte enthiilt. Wir bemerken, daft ~ ein Baum ist. Digs erkennen wir etwa so. Sei Dt die Ver- eiuigung der Wege, die den Reprasentanten mit h(fehstens l Faktoren entspreehen. Jedes ~t ist (ebenso wie ~) zusammenh~tngend. Gesetzt.

ware kein Baum, enthielte also einen gesehlossenen ~Veg. Daun enthielte aueh ~z flit hinlttnglieh grofles 1 einen gesehlossenen Weg. i sei die kleinste Zahl, ftir die dies zutrifft. (Sicher ist l ~ 0.) Dann mtifite beim 0bergang yon Dt-~ zu ~z entweder eine Streeke angesetzt werden, die zu einem bereits in !~t_~ enthaltenen Punkt P fiihrt, oder es miiflten zwei unter den angesetzten Streeken zu ein und demselben Punkt P ftihren. Beides abet ist unmtlglieh. Denn das hielie ja: in d e r d e m Punkte P zugeordneten Nebengruppe sind (mindestens) zwei Potenz- produkte als Repriisentanten gewithlt.

Nunmehr k(innen wir aber unsere Abziihlung der Klasse A verifizieren. Ersiehtlieh bedeutet ja im Nebengruppenbild die Identiti~t GS ~ GS gerade dies: Wenn P d e r dCr Nebengruppe .~ G entspreehende Punkt ist, so geh(~rt die vo~ P auslaufende Streeke S zu !~. kuf diese Weise ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwisehen der Klasse A und den Streeken yon ~ hergestellt. (Ebenso besteht eineindeutiges ],ntspreehen zwisehen der Klasse B und den nicht zu ~ gehtirigen Streeken yon 9L) Also ist nur mehr zu zeigen: Die um 1 vermehle~e Anzahl der Streeken eines--Baumes yon j Punkten ist j. Um dies in unserem Fall einzusehen, zeiehnen wir wieder den Punkt Po aus und ordnen jedem yon Po ver- sehiedenen Punkt P die letzte Streeke des (einzigen) unverkiirzbaren Wegs yon Po naeh P zu. Damit sind in tier Tat in umkehrbar ein-

I82 (). Schrcier.

deutiger Weise die V011 /~o verschiedeuen Punkte auf die Strecken yon abgebildet.

Zu dem Nebengruppenbild mag noch folgendes erw~thnt werden: 1. Jeder zusammenhi~ngende Graph 92, der aus gerichteten Strecken

yon u Typen S besteht, derart, dal~ jeder Punkt Anfangs- und Endpunkt je einer Strecke jedes Typs ist, kann nach Auw eines seiner Punkte P~ als Nebengruppenbild einer Untergruppe ~ in einer von den ,~ erzeugten Gruppe ~ aufgefaiit werden, wobeiPo der Nebengruppe .~ entspricht. Allerdings ist (~ im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Sondern der Saehverhalt ist folgender. Es sei ~ die yon den S erzeugte freie G2~ppe, ,go diejenige Untergruppe yon ~, die aus den Ausdrficken f(S) besteht, die den yon Po ausgehenden und dahin zurfick- kehrenden Wegen entsprechen. Dann ist ~ das Nebengruppenbild yon ~)o in ~, aber aueh, falls ~t eine in :~o enthaltene ausgezeichnete Unter- gruppe yon ~ bedeutet, das Nebengruppenbild yon ,9o/~I in ~/~I.

2. Es sei ~ das Nebengruppenbild yon ,~ in qfi, Po der ~ entsprechende Punkt. Zeichnen wir nun in ~ statt Po einen anderen Punkt aus, so kOnnen wir 92 nach 1. yon neuem als Nebengruppenbild auffassen, und zwar erhalt man so die Nebengruppenbilder der mit ~ in (~ kon- jugierten Untergruppen.

3. Notwendig und hinreichend daftir, dai~ ~ eine ausgezeichnete Untergruppe yon (~ sei, ist die Homogeneitat des Nebengruppenbildes. D.h.: Ist f(S) ein Ausdruck in den S, der einem geschlossenen Weg yon einem gewissen Punkt P des Nebengruppenbildes aus entspricht, so ist der f(S) entsprechende, yon irgendeinem Punkte aus durchlaufene Weg stets gesehlossen. In die~e~n Fall ist 92 gleiehzeitig das DEHNsche Gruppen- bild der Faktorgruppe ~/�9

Auf Grund der letzten Bemerkung kCinnen wir ffir Normalteiler der freien Gruppen die Erzeugendenzahl allgemein bestimmen. Nach dem oben Gesagten ist ja nut mehi der Fall zu erledigen, dalt j unendlich und, falls auch n unendlich, tiberdies j ..... n ist. Es sei nun ~ ein yon der Einheit verschiedener Normalteiler yore In(lexj der freien Gruppe

yon n Erzeugenden, f(S) - - [ ] 5'~ ein yon 1 verschiedenes Element yon �9 i ~ l

und zwar in unverk~h'zbarer Form geschrieben. Sei ferner ~ das Neben- gruppenbild yon ,~ in ~ und ~ der friiher konstruierte Baum. Ist nun P irgendein Punkt yon 92 und wp der dem Ausdrucke f(S) entspreehende, Yon P ausgehende Weg, so endigt wp wieder in t : Also gibt es fiir jeden P u n k t / ) mindestens eine Strecke s~ in we, die nicht zu !~ geh6rt. Eine feste Strecke s kommt abet h(ichstens in J' Wegen w~, vor. Denn es gibt, sieher htiehstens einen Punkt P, so daI~ der Weg we die Strecke s gerade als k-te Streeke enthalt (k ~ 1, 2 , . - . , r). Da aber die Anzahl


der nicht zu !~ geh(irenden Strecken gleich der Anzahl der Elemente U4, s yon zweiter Art ist, also mit der Erzeugendenzahl von .~ iibereinstimmt, erhalten wir rN~ . ] , also N unendlich und daher N ~ j . Ist nun ~ endiich, so ist folglich A T abz~thlbar unendlich; ist aber n selbst unendlich, so sind u und N gleichzeitig die Miichtigkeiten, der Gruppen ~ und ~o, also N ~ n, somit N ~-- n, wegen j ~ n. Wir erkennen demnaeh:

Die Erzeuqendenzahl N eines Normalteilers yore Index j in einer fi'eien C~'uppe mit n Erzeugenden ist fiir e~dliches j durch (12), fiJr une~dliches j abet durch X ~- nj gegeben.

Die Ergebnisse fiber die Untergruppen der freien Gruppen lassen eine Anwendung auf die Theolie der definierenden Relationen zu. Es sei q~ eine yon den Symbolen S erzeugte Gruppe. Wir haben oben gesehen, da~ die linken Seiten der si~mtlichen Relationen zwischen den S in q~ einen Normalteiler ~ der yon den ~ erzeugten freien Gruppe bilden. Die 0rdnung der Gruppe q~ ist der Index yon ~ in ~. Wir wissen jetzt, daft ~ selbst wieder eine f~eie Gruppe ist. Ist also eine Menge yon freien Erzeugenden a(S) der Gruppe ~ , so litiit jedes Element yon ~ sich auf eine und nur eine Weise in der Form

r

(14) I - I ~" (S) i ~ 1

darstellen, wobei die e~ ~--- 4- l sind und die a~ in gewohnter Weise gleiehe, oder verschiedene Elemente yon ~" sind, mit tier einzigen Ein- sehrankung, daft niemals benaehbarte Faktoren invem sein soUen. Ffir die Gruppe q~ bedeutet dies aber:

Es .qibt ein System definierender Relationen, ndmlich a (S ) -~ -1 , von der Beschaffenheit, daft die linke Seite jeder Folgerelation durch triviale b~Tformun.qen eindodig auf die Form (14) gebracht werden kann. ~Tberdies ist die Anzahl der in einem solchen System a~tretc~dm~ Rclationvn durch die Ordnung yon, (~ und die Anzahl der gewiihlten Erzcatgende~ S eindeutig bestimn~t.

Diese Wahl der definierenden Relationen hat den Vorteil, da~ die Folgerelationen relativ leicht zu fiberblieken sind, dagegen den Nachtefl, dab man im allgemeinen mehr definierende Relationen erhi~lt als ntitig, z. B. fiir eine unendliche Oruppe stets unendlich viele Relationen, aueh dann wenn die Gruppe an sich almh durch endlich viele Relationen definiert werden kann, es sei denn, dali die Gruppe l~rei ist.

H a m b u r g , )fathematisches Seminar, im 0ktober 1926.

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Die Untergruppen der freien Gruppen