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Astron. Nachr., Bd. 296, H. 3 (1975)

Die Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenem magnetischen Feld

in der Umgebung neutraler Flachen G. RUDIGER, Potsdam

Zentralinstitut fiir Astrophysik der AdW der DDR

(Eingegangen 1974 Oktober 31)

In FortMhrung der Untersuchung flber den Einflui3 eines konstanten Magneffeldes auf homogene Turbulenz (RUDIGER 1974) wird im Vorliegenden die Wirkung eines schwachen, schwach riiumlich verflnderlichen, eine Nullfliiche enthaltenden Magneffeldes bestimmt. Es wird nunmehr nicht nur die Isotmpie sondern auch die Homogeniet des ursprthglich ale homogen und isotrop eingeflihrten Turbulenzfeldes aufgehoben. Wegen der endlichen Komelationslibge wird das Bewegungsverhalten auch innerhalb der neutralen Schicht beeinflult. Die dort anzutreffende anisotmpe Diimpfung der turbulenten Bewegung wird fflr eine spezielle Klasse von Spektralfunktionen zwei- und dreidimensionaler Turbulenz angegeben.

Ferner wird der Einflul des nunmehr inhomogenen Turbulenzfeldes auf das die Inhomogenitst hervor- rufende mittlere Magneffeld bestimmt. Man e r m t eine zeitliche Veranderung dea miffleren Magnetfeldes, die mit Hilfe des BocarmRschen Theorems als zusgtzlicher ZcrfaNsmechanismus charakterisierbar ist.

Continuing an investigation concerning the influence of a uniform mean magnetic field on turbulence (RUDIGBR, 1974) we now consider a weak magnetic field changing spatially weakly and containing a neutral sheet. An originally homogeneous and isotropic turbulent field becomes inhomogeneous and anisotropic if such a magnetic field is present. Because of the finite correlation length the turbulent field is also affected in a neutral sheet. For a special class of spectral functions of two- und three-dimensional turbulence the anisotropic damping of the motions is given in the vicinity of the neutral sheet.

Furthermore, we point out the consequence for the mean magnetic field which is affected by such an inhomogeneous turbulent field. Using BOCHNER'S theorem concerning the spectral tensor of the originally homogeneous turbulence we obtain an additional decay of thr mean magnetic field.

1. EinMhrung

Der EinfluD eines globalen Magnetfeldes auf turbulente Bewegungen in inkompressibler, elek- trisch leitender Materie wurde bisher vorzugsweise fUr den Fall untersucht, in dem das magnetische Feld als raumlich konstant angenommen wird (MOFFATT 1966, MOREAU 1968, RADLER 1974, RUDIGER 1974). Eine Ausnahme bildet die Arbeit von KRAUSE und RUDIGER (1g75), in der gezeigt wird, daB ein raumlich beliebig verhderliches magnetisches Feld mit parallelen, geraden Feldlinien eine senkrecht zu den Feldlinien gerichtete turbulente homogene zweidimensionale Bewegung nicht beeinfldt. Es wurde vorgeschlagen, diesen Sachverhalt zur Grundlage eines Modells des Sonnenfleckenzerfalls zu machen. Im Rahmen einer umfassenden Behandlung der magnetohydrodynamischen Gleichungen haben neuerdings auch ROBERTS und SOWARD (1975) nichtkonstante globale Magnetfelder in die Be- trachtung einbezogen.

Im Mittelpunkt unserer Untersuchung soll die Frage stehen, wie ein dreidhensionales, urspriing- lich homogenes und isotropes Turbulenzfeld vom raumlich verhderlichen Magnetfeld beeinfluot wird. Magnetfeldrichtung und Richtung des Gradienten des Betrages bilden mei Vorzugsrichtungen, die in den Korrelationstensor der ursprihglich isotropen Turbulenz eingehen werden. Schon aus diesem Grunde werden die zur Beantwortung dieser Frage notwendigen Rechnungen einen hohen Aufwand erfordern. Interesse verdienen insbesondere die ,,neutralen Schichten", d. h. die Stellen des turbulenten Bereiches, in denen das mittlere magnetische Feld verschwindet. Eine solche Schicht tritt unter der Sonnenoberflache zwischen den beiden Fleckenwanderungszonen der toroidalen Feldgiirtel jeder Halb- kugei auf. Die in diesem Gebiet gewonnenen Beobachtungen lassen die Frage wichtig erscheinen, ob senkrecht zu beiden Vorzugsrichtungen in der neutralen Schicht ausgepriigte Turbulenzverstiirkung oder -d&mpfung anzutreffen ist. Bekanntlich nimmt der magnetische Druck beiderseits der neutralen Schicht hohe Wdrte an, wikend er in der Schicht selbst erschwindet. 10 htnm. Nsehr., Bd. -6, H. 3

1% G. RUDIGER: Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenem magnetischen Feld

Ein inhomogenes Magnetfeldwird im allgemeinen nicht nur die Isotropie sondern auch die Homo- genitat eines Turbulenzfeldes aufheben. Der auf die Fluktuationen zurtickgehende Term u' x B' der die Veriinderung des mittleren Magnetfeldes B beschreibenden Induktionsgleichung

(q molekulare Diffusivitat, B Magnetfeldschwankungen, u' Geschwindigkeitsschwankungen) ist dann nicht nur tiber rot 2 wie sonst fiir homogene und spiegelsymmetrische Turbulenz, sondern auch tiber den Korrelationstensor ortsabhiingig. Die Bildung der Vektoroperation rot fiihrt folglich auBer auf den auch bei homogener Turbyenz auftretenden Term rot rot multiplikativ enthaltend. Aufgrmd des zu fordernden Spiegelungsverhaltens muB dieser Term die Gestalt e x rot B besitzen (e polarer Vektor), sofew - wie wir es voraussetzen wollen - unter den Turbulenzparametern kein Pseudoskalar oder -vektor zu finden ist. Wahrend ein Vektor e im magnet- feldfreien, also homogenen und isotropen Turbulenzfeld nicht vorhanden ist, darf man hoffen, im vom Magnetfeld beeinfluBten Turbulenzfeld mit e = grad @ einen solchen Vektor konstruieren zu konnen. In diesem Falle veriindern sich auch globale Magnetfelder mit konstantem Strom rot B im Laufe der Zeit. Diese Veriinderung kann nur in einem Zerfall des Magnetfeldes bestehen, wie wir unten mit Hilfe des BocHNERschen Theorems zeigen werden. Ein solches Resultat ist zu erwarten, da andern- falls eine beliebig kleine Inhomogenitat des Magnetfeldes sogleich verstarkt wiirde, was der Beob- achtung grokkaliger Magnetfelder im Kosmos widerspricht.

Der beschriebene Effekt, der experimentell leicht nachpriifbar sein sollte, ist sicher von astro- physikalischem Interesse, da Felder mit linearer Ortsabhiingigkeit auf andere Weise nicht zerfallen.

Im folgenden sol1 daher der EinfluB eines globalen Magnetfeldes mit konstantemvektorgradienten

auf einen neuen Ausdruck, rot

- - - - B; = BijXj , Bji = 0 , Bii = const . (2)

auf ein homogenes Turbulenzfeld untersucht werden sowie der EinfluB des so entstehenden inhomo- genen Turbulenzfeldes auf das Magnetfeld. Den konstanten Anteil an (2) haben wir fortgelassen, da man oTt ein Koordinatensystem finden kann, in welchem er verschwindet [niimlich wenn det (gj) # 01. Immer aber kann man ein solches Koordinatensystem ftir den von uns spater im Detail untersuchten Fall paralleler Feldlinien finden, ftir den aus (2) ohne Einschriinkung der Allgemeinheit

& = JY (3) - -

(also B, = J , B;j = o sonst) folgt. Die GroBe J sei im Prinzip von der Zeit abhiingig, riiumlich aber konstant. Mit ihr verkntipft ist das Auftreten JouLEscher Warmeentwicklung J*/cT, deren Energie aber wegen a&/& = qABz = o nicht aus der des Magnetfeldes gedeckt werden kann, sondern vom nirgend- wo verschwindenden Poynting-Vektor geliefert wird.

Die globale LoRENTZkraft f x B besteht ftir das Magnetfeld (2) aus den Termen

Wiihrend das erste Glied der rechten Seite einen Druckgradienten darstellt und somit von vornherein keinen Beitrag zu einer eventuell vorhandenen globalen Bewegung liefert, verschwindet das zweite Glied erst ftir das spezielle Feld mit parallelen Feldlinien, (3). 'Dieses tibt daher keinen EinfluB auf die mittlere Bewegung aus; im letzten Abschnitt dieser Abhandlung wird festzustellen sein, daL3 auch im Falle des Auftretens von Turbulenz lediglich zusatzliche Druckkrafte auftauchen.

2. Grundgleichungen

Die Wechselwirkung zwischen der Bewegung leitender, inkompressibler Materie und dem magne- tischen Feld B wird durch das Gleichungssystem der NAVIER-sTOKES-GleiChung

du I I -- v d u = - - g r a d $ + f + - ( r o t B x B ) dt e K?

(4)

(v kinematische Viskositat, f auBere Kraftdichte) und der Induktionsgleichung

-- ?B at qAB = rot (u x B) (5)

G. RUDIGER : Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenem magnetischen Feld 135

beschrieben. Zu diesem System gesellen sich die beiden skalaren Beziehungen

die die Quellenfreiheit der betrachteten Felder ausdriicken. Das magnetische Feld spalten wir in den globalen und den von der schwankenden Bewegung induzierten schwankenden Anteil auf

d i v u = o , d i v B = o , (6)

B = B + B ' , (7) linearisieren unter Beschrhkung auf die Betrachtung schwacher Turbulenz mit

verwenden den Ansatz (2) und erhalten fiir die SchwankungsgroBen das Gleichungssystem

d i v B ' = o . (11) div u' = 0 ,

Ahnlich dem Vorgehen in friiheren Arbeiten (STEENBECK, KRAUSE, RADLER 1966, HELMIS 1971, RUDIGER 1974, ROBERTS, SOWARD 1975) postulieren wir die Existenz eines Turbulenzanteils do), der von dem auBeren Kraftfeld f' hervorgerufen gedacht wird und das vom mittleren Magnetfeld unab- hangig ist. Dieser ,,originale" Anteil an der Bewegung ruft aufgrund seiner Induktionswirkung gemaB (10) Magnetfluktuationen B' hervor - diese bilden mit &hRENTZkfafte und wirken auf diese Weise auf die Turbulenz zuriick. Ein solches Vorgehen ist natiirlich nur bei der Behandlung schwacher Magnetfelder zulksig. Eine Umgehung dieser einschneidenden Beschrankung der Giiltigkeit der Resul- tate wurde bei der Untersuchung der Wirkung konstanter Magnetfelder von RUDIGER (1974) angegeben.

Ein homogenes Originalfeld do) zieht bei Anwesenheit inhomogener globaler Magnetfelder ein inhomogenes Feld der Magnetfeldschwankungen B' nach sich. Wir haben daher neben dem FOURIER- Ansatz

den Ansatz

zur Losung der Gleichung (10) zu verwenden. Durch Einsetzen erhdt man unmittelbar

uC0) = // &(o)(k, 0) ei(b-4 dk d o (14

(13) B; = // {&k, 0) + xliiil(k, 0)) ei(b--cDt) dk d~

Mit einem Blick auf die rechte Seite von (9) schliel3en wir auf den zur Losung jener Gleichung notigen Ansatz :

U; = JJ [Gf)(k, w) + &?(k, o) + &$(k, o) xp + ;&(k, o) x& ei(k-ml) dk d o .

#' = lJ [?("'(lc, o) + &k, o) + @)(k, w) x p +

(- i o + vka) G:) - 2v(ikj&W $1 + &W) 81 1 = - - (iki$') + $9)) f EijkEjJmBdBy,

(16) Die mit dem Index I versehenen Glieder enthalten den Effekt der Wirkung des Mangetfeldes auf die Turbulenz. Fiir sie entstehen unter Verwendung eines entsprechenden Losungsansatzes fiir den Druck

o) x d ~ 4 ] ei(k--cuf) dk d o (17)

(18)

die folgende Gleichungen : I - A

e I

(- i o + vk8) &$ - 2ivkj(&&\ + &jib) = - - (ik.$(I) + 3(') pi + 3;;)) + n -

e ' p -.. &ijk&jlm ( B d k p + B c 9 B m i + ikA,Bcp) 8 (19)

(20) I , . - 6

(- iw + vka) %& = - ikipfj + eijrq,,,,ik,B~Bq .

136 G. R~~DIGER : Wechselwirknng zwischen homogener Turbulenz und inhomogemem magnetischen Fold

Aus diesen Relationen hat man unter Verwendung der aus (6) gewonnenen Beziehnngen

ik,Gf) + GV) = o , kj& = o , k,G& = o (21)

die Fomrm-Transformierten der vom Magnetfeld beeinflul3ten Geschwindigkeitsante, G(x), zu be- stimmen.

h

i k j i j + Bjj = 0 , ikjG# + Gl;ri + 6j;b = o ,

3. Ltrsung der Gleichungen

Zunachst ist es moglich, Gleichung (20) mit Hilfe der dritten Gleichung (21) zu losen. Man hat zur Elimination der charakteristischen Druckterme iki$(') die Gleichungen lediglich mit dem Tensor Eit = dig - kik,/k' zu iiberschieben. Die auf diese Weise entstehenden Terme kiGp), bzw. ki6&) oder ki&i;\sind stets mit (21) eliminierbar. Trotzdem stellt die Losung von (18) bis (20) eine so umstandliche iterative Prozedur dar, da13 wir hier nur die Ergebnisse angeben konnen :

Da nach (14) und (15) fii einen in k geraden und & einen in k ungeraden Ausdruck darstellen, dagegen ungerade Ausdriicke in k. Wir wollen zur Darstellung des sind G? sowie Gig gerade,

Zusammenhanges zwischen den Grol3en G(') und G(O) die Abkiirzungen

(25) n * u p = LiTG? , = Lj&) , %& = LjWGF) ,

einftihren. Li, und Lippi sind in k gerade und lauten

wie man nach Einsetzen von 6 und & aus (14) und (15) feststellt. Den in k ungeraden Tensor L J ~ geben wir weiter unten teilweise an.

4. Die Korrelation der Bewegungen an einem Ram-%it-PunM

Als erste Anwendung der eben gewonnenen Losungen sol1 der Tensor

bestimmt werden. Insbesondere wollen wir uns fur das Auftreten von Inhomogenit5t und Anisotropie - hervorgerufen durch die Wirkung des inhomogenen und anisotropen Magnetfeldes (2) bzw. (3) - in diesem Korrelationstensor interessieren.

G. RUDIGER: Wecbeelwirhrng zwischen homogener Twbnleoz und inhomogenem magnetischen Feld 137

4.1. GemiiD der obigen Definition entsteht fiir den gesuchten Korrelationstensor die Beziehung

Qij(x, t ) = JJJJ [Gf"(ks O) + Gp)(k, O) + X$g(k, W ) + X#@#k, w)] *

* [iiP)(k', W ) + Ey)(k', 0') + X&L(k', CO') + %,,,G&r&(k', or)] - exp {i[(k + k') x - (o + or) t ] } dk dk' do do' . (29)

Mit Hilfe der Gleichungen (25) schreibt sich der Integrand als Summe von Bildungen der Art G$')(k, w) &$O)(k', a'). Fiir diese kennt man die fur homogene und stationiire Turbulenzfelder giiltige Beziehung .

G$')(k, CU) G)")(k', (u') = @(k', w') 8(k + k', w + 0') , wofern 08) den Spektraltensor der vom Magnetfeld unbeeinflunten Turbulenz darstellt. Dessen in i und i symmetrischer Anteil ist real, sein antisymmetrischer Anteil dagegen imaginiir,

@&, 4 = O$(k w )

(Hermitizitiit). Andererseits gilt definitionsgemiiJ.3 die Gleichung A

Qij(- k, - W ) = @t(k, W ) (30 c) woraus im Zusammenhang mit der Hermitizitst zu schlieDen ist, daB der symmetrische Anteil eine in k und a, gerade Funktion darstellt und der antisymmetrische eine in seinen Argumenten ungerade. Da nun der Korrelationstensor der hier ausschlieSlich betrachteten spiegelsymmetrischen Turbulenzfelder nur in sehen Indizes symmetrische Anteile besitzt (KRAUSE und ~ L E R 1g71), treten in (29) lediglich die in k geraden Tensoren Li, und L m auf. Fiir spiegelsymmetrische Turbulenzfelder liefern die von ROBERTS und SOWARD (1975) explizit angegebenen, zu grad Ba proportionalen Terme keinen Beitrag.

Nach dem Gesagten wird es verstbdlich, daB wir nur in a gerade Ausdriicke fiir den Korrelations- tensor (28) erhalten, n W c h

Qij(x, t ) = JJ [ W j , + W j s + 4Ais + % p x ~ (Liw djs + Lj&sl) 0:) * do * (31) Indem wir den in (27) angegebenen Tensor Lippl bereits einsetzen, entsteht folgendes vorliiufiges Er- gebnis :

- Bis auf den zweiten Term der rechten Seite dieser Gleichung ist (32) dem fi i r & = xPZ3ip geschriebenen Resultat der Untersuchung von R~DIGER (1974) - entwickelt fiir kleine Feldstiirken - gleich.

4.2. Der eine magnetfeldbedingte Anisotropie auch an der neutralen Stelle y = o versprechende Anteil Q$) besitzt die Gestalt

!%in Auftreten zeigt, daB es i. a. nicht miiglich ist, in f i i r konstante Magnetfelder gewonnene Ergebnisse die riiumlich verhderlichen Ausdriicke einzusetzen. Auch in der neutralen Schicht, also bei ver- schwindendem Magnetfeld, wird aufgrund der endlichen Korrelationslkgen die Turbulenz vom Magnet- feld beeinfldt.

Den nach Einsetzen des Ausdruckes f i i r Li, entstehenden Tensor (33) wollen wir - der Kiirze halber - lecliglich in seiner bereits a d (3) spezialisierten Form angeben. Er lautet

Q$) = JJ ( W j , + L j A ) 6:) * do - (33)

(34) dk dw

iw + vk') (- i o + qk') '

v k l + - io + q k

4.2.1. Ein zweidimensionales Turbulenzfeld mit zum Magnetfeld senkrecht gerichteten Bewe- gungen enthat die Deltafunktion b(kJ als Faktor im Spektraltensor (KRAUSE und RUDIGER 1974). Da- jeder der Terme im obigen Ausdruck die Vektorkomponente 4 multiplikativ enthat, ergibt sich so- gleich QG) = o fiir eine solche Turbulenz. Dieses Resultat ist ein Spezialfall des allgemeinen Ergebnisses, daB eine solche Turbulenz im Rahmen der aufgeftihrten Naherungen von beliebigen globalen Magnet- feldern = BCy, 8) e, nicht beeinflufit wird (KRAUSE und RUDIGER 1975).

138 G. RUDIGER : Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenem magnetkchen Feld

4.2.2. Anders verhtilt es sich mit einem Turbulenzfeld, dessen Geschwindigkeitsvektoren parallel der x - z-Ebene, also parallel zur neutralen Schicht, liegen. Bedingt durch die starre Verbindung der einzelnen x - z-Ebenen, erleidet ein solches, zweidimensional gedachtes Turbulenzfeld selbst an der Stelle y = o eine magnetfeldabhangige Veranderung. Dies geschieht trotz der Tatsache, daD die Bewe- gungen bei y = o vollsthdig im feldfreien Raum stattfinden. Aber man kann die starre Verbindung probehalber aufbrechen, indem man der Turbulenz eine verschwindende Korrelationslange in y-Rich- tung zuspricht. In diesem Falle darf Q$) keinen Beitrag geben.

Im Spektraltensor des besagten Turbulenzmodells nehmen die Indizes nur die Werte I und 3 an : die Komponente & tritt nicht auf. Die bei y = o zu erwartende magnetfeldabhiingige Veranderung des Korrelationstensors ist demnach gemaB (34) dem Integral

m

(35) dka (- io + vk')' (- io + q P ) r4vka [ (- iz? vka -k -

0

proportional. Fiir eine Reihe sehr unterschiedlicher Spezialfalle (z. B. q = o oder v = q oder a, = 0 ) kann man tatsachlich das Verschwinden dieses Integrales zeigen.

4.2.3. Wir sind imstande, den Ausdruck (34) ftir ein spezialisiertes Turbulenzmodell weiter zu vereinfachen, namlich wenn die Abhangigkeit des stationaren Korrelationstensors QW(& t) = = ui(z, t ) %;(z + g, 2 + z) von der zeitlichen Distanz t die Gestalt exp (-ltl/T) aufweist. Der Spek- traltensor besitzt dann den Faktor I/(I + T w a ) , wodurch er ftir homogene und isotrope, dreidimen- sionale Turbulenz das Aussehen

k'djj - kjk! @(k, w ) = q(k) (o + i/T) (o - i/T)

hat. Im zweidimensionalen Fall mit der x - y-Ebene parallel gelegenen Geschwindigkeitsvektoren

wobei die Gebilde mit dem Zirkumflexzeichen zweidimensionalen Charakter

tragen. Wir wollen die Bemerkung einflechten, daB ein solches extrem anisotropes Turbulenzmodell den Verhtiltnissen in den obersten Schichten der solaren Konvektionszone einigermaBen entsprechen diirfte, sofern die z-Koordinate die radiale Richtung angibt. Nun bildet gemHB dem BoCHNERSChen Theorem der Spektraltensor eines homogenen Zufallsfeldes nur positiv definite quadratische Formen (s. KRAUSE und ROBERTS 1973). Es laBt sich leicht zeigen, daB als Folge dieser allgemeinen Eigenschaft die freien Funktionen q(k) und q ( i ) lediglich nichtnegative Werte annehmen konnen. Mit (36) ist die w-Integration in (34) sofort mit Hilfe der Residuumsatzes ausfilhrbar, zumal in der oberen komplexen Halbebene nur bei o = i/T ein einfacher Pol auftritt. Wir geben hier nur die nach einiger Rechnung zu erhaltenen Resultate fiir die drei voneinander verschiedenen Turbulenzintensitaten an :

co

0

m

m

10 58vkS 2oqk8 40Vak4 74vk4 + 46vvko) dk (I/ T+~ka) (ITTGk')' Q:: = - 1 6 n a J a T p q ( k ) I05H (-+ TB +Tp + -~ T +T

0

(37 a) Samtliche Tensorkomponenten besitzen negative Vorzeichen - die Turbulenz in der neutralen Schicht des Magnetfeldes wird offenbar gedampft. Wir erinnern daran, daB die verwendete o-Abhangigkeit der Spektralfunktion q(k, o) wegen waq/aw < o auch unter der Voraussetzung konstanten Magnetfeldes zu der turbulenzdampfenden Klasse gehort (RUDIGER 1974). Die mit (37a) zu beobachtende Diimpfung geschieht ffir kleine Korrelationszeiten in nicht sehr anisotroper Weise. Sie betriigt in y-Richtung etwa

G. RUDIGER: Wechselwirkung &hen homogener Turbdenz und inhomogenem magnetkchen Feld 139

das dreifache der in x-Richtung auftretenden Dhpfung. Ftir groSe Korrelationszeiten T allerdings sind die Zahlen charakteristischer und die Dampfung ist auch dem Betrag nach stilrker:

Die senkrecht zum (benachbarten) Magnetfeld.und senkrecht zu dessen Gradienten gemessene Turbu- lenzintensitat wird in der Nullschicht in dieser Naherung verhiiltnismUig stark unterdrfickt. Diese Komponente entspricht auf der Some der radialen Turbulenzintensitat, sofern das Magnetfeld (3) mit den toroidalen Felder n unter, der Sonnenoberfllche identifiziert wird, deren neutrale Schicht einen zeitlich langsam veranderlichen Breitenkreis bildet. Die entsprechenden Werte bei Betrachtung der zweidimensionalen Turbulenz mit dem Spektraltensor (36 b) werden durch

Q") - 33 - 1

gegeben . dampft als die dazu senkrechte.

Ganz offensichtlich wird die Bewegung in Richtung der (benachbarten) Feldlinien weniger ge- '

4.3. Die Anisotropie zwischen den Bewegungen in y- und z-Richtung tritt bei der Auswertung des dritten Terms in (32) nicht auf. FIir unser dreidimensionales Turbulenzmodell(36a) entsteht einfach

m

Zum Vergleich geben wir die Dhpfung der Bewegungen in Feldrichtung in der zu (37a) aquivalenten Form an:

In einem Abstand von

Y 5 Ilk'

(1/kS charakteristische Skalenlhge der Turbulenz) beginnt der in (32) dritte Term den oben ausffihrlich diskutierten Tensor Qg) an EinfluS zu fibertreffen.

Zum Schld3 dieses Abschnittes sei festgestellt, da0 (32) mit dem fiir homogene und isotrope Turbulenz giiltigen Spektraltensor keine gemischten Korrelationen I -2, I -3 oder 2 -3 liefert - ganz im Gegensatz zur Wirkung von Scherstromungen auf solche Turbulenzfelder.

5. Der Zerfall einea rihnlich linear vertlnderlichen Magnetteldes

In der Einleitung wurde die Moglichkeit angedeutet, daB infolge der durch die Einwirkung inhomogener globaler Magnetfelder entstehenden Inhomogenitat der Turbulenz auch Felder wie (2) zerfallen konnten, obwohl sie von der molekularen Diffusivitat nicht beeinfluSt werden. Wir wollen dies am Beispiel des Feldes (3) fiberpriifen. Zu diesem Zwecke benotigen wir gemaB (11) die Kenntnis des Ausdruckes ffir rot (u' x B'). Wieder haben wir nur die in k geraden Ausdrticke zu sammeln, sofern wir nur die in den Indizes symmetrischen Teile des ungestorten Korrelationstensors beriicksich-

140

tigen (spiegelsymmetrische Turbulenz) :

G. RUDIGER: Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenem magnetkchen Feld

(41) Die Rotation dieses Ausdruckes ergibt

rot, (u' x B') =

(42) Die GroBe LjpW ist nach (27) symmetrisch in p und s und dem Kroneckertensor dj, proportional. Vom bisher noch nicht explizit angegebenen Tensor Lj, benotigen wir offenbar nur den nicht zu bj, propor- tionalen Anteil ij,,,. Somit entsteht

Ftir if,,, berechnet man aus (23) mit (14) und (15) den Ausdruck - 2i k jkmkl&,T& Lip = - Wk*( - io + vk*) (- iw + qk') '

Nunmehr stehen alle benotigten GroDen zur Verftigung und man erhalt durch Einsetzen die Formel

Das vom Magnetfeld unbeeinfluBte Turbulenzfeld sei homogen und isotrop,

08) = q(k, W) (k*bij - kik,) , q 2 o , und das Magnetfeld habe die spezielle Gestalt (3). In diesem Falle wird (4) zu

(44)

(45)

2JgJJ vk6q(k, o) dk d o rot&' x B') = - 2y - 3pe (ma + vak4) (o* + q'k')

Wegen q ;1 o (BOCHNERsches Theorem) stellt das Integral eine positive GroBe dar. Fiir das betrachtete Magnetfeld lautet nunmehr die gemittelte Induktionsgleichung (I)

die wegen des eindeutigen Vorzeichens von x einen (schwachen) Zerfall des Magnetfeldes bzw. des mit diesem verbundenen Stromes beschreibt.

6. Globale turbulenzbedingte graftwirkungen

Zum SchluD wollen wir auf die in der Einleitung zu findende Bemerkung zuriickgreifen, nach der wohl das lineare Magnetfeld (3) keine anderen als Druckkrafte auf das Medium austibt, moglicherweise aber die turbulenzbedingte LORENTZkraft 1' x B' einen anderen Beitrag liefern kijnnte. Diese Frage zu priifen, fiihren wir die Aufspaltung

~ a - 1- (p' x B)j = - - ( B p i - - 2 B'..)

c1 8% (47)

G. R~~DIGER: Wechselwirkung zwischen homogener Turbulenz und inhomogenern magnetischen Feld 141

durch. Wieder gibt der Gradientenanteil nur einen Beitrag zum Druck, so daB wir uns auf die Diskussion der Tensordivergenz von BiB; beschrhken kiinnen. Fiir diese Bildung erhiilt man nach (13) sowie (14)~ (IS) und (30) den Ausdruck

-

Cik stellt einen konstanten Tensor dar, der nach der Divergenzbildung verschwindet. Die Auswertung des verbleibenden Anteils ergibt unter Zugrundelegung des fiir urspriinglich homogene, isotrope und spiegelsymmetrische Turbulenz geltenden Spektraltensors (45)

Die Bildung der Tensordivergenz ftihrt folglich neben neuen in unserem Zusammenhang unbedeutenden Gradientenan teilen auf

Wieder verschwindet fUr das spezielle Magnetfeld mit parallelen Feldlinien, (3), der ftir die mittlere Bewegung entscheidende Nichtgradientenanteil. Das Magnetfeld (3) tibt daher weder selbst noch im Zusammenwirken mit homogener Turbulenz andere als Druckkrafte auf das Medium aus.

Ich danke Herm Dr. K.-H. &LER ftir eine kritische Durchsicht des Manuskriptes.

Literatur

HELMIS. G.: 1971, Beitr. plasmaphysik 11. 417. KRAUSE. F., und ROBERTS, P. H.: 1973. Astrophys. J. 181.977. KRAUSE, F., nnd RUDIGER, G.: 1974, Astron. Nachr. 295, 185. KRAUSE, F.. nnd R~DIGER, G. : 1975, Solar Physics (im Druck). MOETAT, H. K.: 1966, J. Fluid Mech. 28, 571. MOREAU, R. : 1968, Symp. Turbulence of Fluids and Plasma, Brooklyn April 16- 18. TUDLER, K.-H.: 1974: Astron. "achr. 295, 267. ROBERTS, P. H., and SOWARD, A.: 1975, Astron. Nachr. 296.49. RUDIGER, G.: 1974, Astron. Nachr. 295. 277. STEENBECK, M., KRAUSE, F., und RADLER, K.-H.: 1966, 2. Naturforach. 21a. 369.

Anschrift des Verfassem:

G. R ~ I G E R Zentralinstitut filr Astrophysik der AdW der DDR Astrophysikalisches Observatorium Telegrafenberg

German Democratic Republic DDR-15 Potadam