Turbulenz: Januar 2011 Heinz Horner Turbulenzhorner/Turbulenz.pdf · Turbulenz: Januar 2011 Heinz Horner 5 Der Advektionsterm in der Navier-Stokes Gleichung, und auch der Druckterm

Turbulenz: Januar 2011 Heinz Horner 1

TurbulenzHeinz Horner

Institut für Theoretische Physik der Ruprecht-Karls-Universität HeidelbergPhilosophenweg 19 69120 Heidelberg

Januar 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Euler und Lagrange Beschreibung eines Kontinuums 21.1 Euler Beschreibung, ortsfeste Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lagrange Beschreibung, mitbewegtes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Navier Stokes Gleichung 32.1 Inkompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Euler Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Reynolds’sches Ähnlichkeitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Wirbelsätze in inkompressiblen Strömungen 53.1 Zirkulation, Thomson’scher Wirbelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Stromlinien, Teilchentrajektorien, Wirbellinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Helmholtz’sche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Ebene Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Voll ausgebildete Turbulenz: Grundlagen und Skalenverhalten 74.1 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Energiespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Energiekaskade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Naive Skalenanalyse, Kolmogorov 41 Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Reynolds Gleichungen, Wirbelviskosität 115.1 Großräumige Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Kleinräumige Strömung und Wirbelviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Wirbeldehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Intermittenz, Kolmogorov-Obukhov 1962 146.1 Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Differentielle Geschwindigkeitsfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3 Kolmogorov 4/5-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.4 Intermittenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Feldtheoretische Ansätze 197.1 Klassische Nichtgleichgewichtsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2 ”Direct Interaction Approximation” (DIA, Kraichnan 1961) . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Skalenverhalten und Infrarot Divergenzen in der DIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.4 Advektion, stochastische Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.5 Lagrange’sche Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Zweidimensionale Turbulenz 278.1 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.2 Enstrophie- und Energiekaskade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9 Literatur 30


1 Euler und Lagrange Beschreibung eines Kontinuums

1.1 Euler Beschreibung, ortsfeste Koordinaten

Eine Kontinuumsbeschreibung eignet sich für Situationen, in denen die Längenskala für räumlicheÄnderungen groß gegenüber dem mittleren Abstand der Teilchen oder deren freier Weglänge ist. DieDichte lässt sich dann schreiben als

ρ(~x, t) = m∑

i

δ(~x− ~xi(t)

)(1.1)

wobei δ(~x) eine ausgeschmierte δ-Funktion ist.

Für die zeitliche Änderung der Dichte erhält man die Kontinuitätsgleichung

∂tρ(~x, t) = −∑

i

(~∇·~xi(t)

)δ(~x− ~xi(t)

)= −

(~∇·~j(~x, t)

)= −

(~∇·(ρ(~x, t)~u(~x, t)

))(1.2)

wobei der Strom ~j und Geschwindigkeit ~u gegeben sind durch

~j(~x, t) = ρ(~x, t)~u(~x, t) = m∑

i

~xi(t)δ(~x− ~xi(t)

)(1.3)

Die Beschreibung mit ortsfestem Koordinatensystem wird ”Euler Beschreibung” genannt, obwohl sievon d’Alembert eingeführt wurde.

Die Kontinuitätsgleichung (1.2) lässt sich auch in der Form

ddtρ(~x, t) =

( ∂∂t

+(~u(~x, t)·~∇

))ρ(~x, t) = −ρ(~x, t)

(~∇·~u(~x, t)

)(1.4)

schreiben. Die Ableitung

dd t· · · =

( ∂∂t

+(~u(~x, t)·~∇

))· · · (1.5)

wird als materielle, mitschwimmende, totale oder Lagrange’sche Zeitableitung bezeichnet.

1.2 Lagrange Beschreibung, mitbewegtes Koordinatensystem

Eine zweite Beschreibung ist die ”Lagrange Beschreibung”, die tatsächlich von Euler eingeführt wurde.Hier sind die Teilchen durch ihre Koordinaten ~xo zu einer festen Zeit to gekennzeichnet.Ihre Positionzu einer anderen Zeit t ist

~xi−→ ~x(~xo, t) mit ~x(~xo, to) = ~xo (1.6)

Entsprechend ist die Geschwindigkeit in der Lagrange Beschreibung definiert

~v(~xo, t) = ~u(~x(~xo, t), t

)(1.7)

Betrachten wir ein Volumelement δV (~xo, to). Die Zahl der Teilchen indiesem Volumelement ist δN(~xo, to) = ρ(~xo, to)δV (~xo, to). Zur Zeit tbefinden sich diese Teilchen in einem Volumelement δV (~x, t). Aus derKontinuitätsgleichung (1.2) erhält man

ddtδV (~x, t) = δV (~x, t)

(~∇·~u(~x, t)

)(1.8)

Turbulenz: November 2010 Heinz Horner 2

1 Hydrodynamische Grundgleichungen

1.1 Euler und Lagrange Beschreibung eines Kontinuums

Euler Beschreibung, ortsfeste Koordinaten:

Eine Kontinuumsbeschreibung eignet sich für Situationen, in denen die Längenskala für räumliche Än-derungen groß gegenüber dem mittleren Abstand der Teilchen oder deren freier Weglänge ist. Die Dichtelässt sich dann schreiben als

ρ(x, t) = ∑i

δx−xi(t)

(1.1)

wobei δ (x) eine ausgeschmierte δ -Funktion ist.

Für die zeitliche Änderung der Dichte erhält man die Kontinuitätsgleichung

fcsq ∂tρ(x, t) = −∑i

∇· .

x i(t)

δx−xi(t)

= −

∇·j(x, t)

= −

∇·

ρ(x, t)u(x, t)

(1.2)

wobei der Strom j und Geschwindigkeit u gegeben sind durch

j(x, t) = ρ(x, t)u(x, t) = ∑i

.x i(t)δ

x−xi(t)

(1.3)

Die Beschreibung mit ortsfestem Koordinatensystem wird ”Euler Beschreibung” genannt, obwohl sievon d’Alembert eingeführt wurde.

Die Kontinuitätsgleichung (1.2) lässt sich auch in der Form

ddt

ρ(x, t) = ∂

∂ t+u(x, t)·∇

ρ(x, t) = −ρ(x, t)

∇·u(x, t)

(1.4)

schreiben. Die Ableitung

dd t

· · · = ∂

∂ t+u(x, t)·∇

· · · (1.5)

wird als materielle, mitschwimmende, totale oder Lagrange’sche Zeitableitung bezeichnet.

Lagrange Beschreibung, mitbewegtes Koordinatensystem :

Eine zweite Beschreibung ist die ”Lagrange Beschreibung”, die tatsächlich von Euler eingeführt wurde.Hier sind die Teilchen durch ihre Koordinaten xo zu einer festen Zeit to gekennzeichnet.Ihre Position zueiner anderen Zeit t ist

xi−→x(xo, t) mit x(xo, to) = xo (1.6)

Entsprechend ist die Geschwindigkeit in der Lagrange Beschreibung definiert

v(xo, t) = ux(xo, t), t

(1.7)

Betrachten wir ein Volumelement δV (xo, to). Die Zahl der Teilchenin diesem Volumelement ist δN(xo, to) = ρ(xo, to)δV (xo, to). δV (xo, to)

δV (xo, t)


Teilchen, die in einem Volumen δV (xo, to) sind, befinden sich zur Zeit t im Volumen δV (x, t):

NδV (xo,t) = NδV (xo,to) (1.8)

Das setzt voraus, dass die Ausdehnung des betrachteten Volumelements groß gegenüber der freien Weg-länge der Teilchen ist.

Geschwindigkeit:

vi(t) = ∂txi(t)−→v(xo, t) = ∂tx(xo, t) (1.9)

Euler Beschreibung:

Geschwindigkeit

ux(xo, t), t

= v(xo, t) (1.10)

Zeitliche Änderung eines Volumelements δV = ∏α δxα :

v(xo, to)δtv(xo+δx, to)δt

δx(to)

δx(to+δt)∂toδV (xo, to) = ∑

α∂xo,α vα(xo, to) ∏

βδxβ

Zur Zeit t = to ist xo(to) = x(to) und v(xo, to) = u(x, to). Damit kann obige Gleichung zur Zeit t = to auchin Euler Koordinaten geschrieben werden

∂tδV (x, t) =

∇·u(x, t)

δV (x, t) (1.11)

Die Dichte ist ρx(xo, t), t

= NδV (xo,t)/δV (xo, t)

Teilchenzahlerhaltung:

ρx(xo, t), t

δV (xo, t) = ρ

xo, to)δV (xo, to) (1.12)

Kontinuitätsgleichung: Die Zeitableitung obiger Gleichung verschwindet

∂t ρ(x, t)+

u(x, t)·∇

ρ(x, t)+

∇·u(x, t)

ρ(x, t) = 0 (1.13)

Strom: j(x, t) = −ρ(x, t)u(x, t). Kontinuitätsgleichung: ∂t ρ(x, t) =

∇· j(x, t)

.

Materielle (Lagrange) Zeitableitung in der Euler Beschreibung

dd t

· · · =

∂∂ t

+

u·∇

· · · (1.14)

1.2 Navier Stokes Gleichung

Lagrange Gleichung für Teilchen mit Reibung

ddt

δL

δ xi

− δL

δxi+

δR

δ xi= fi (1.15)

Lagrange- und Dissipations-Funktion

L = 12 m∑

i

xi

2−Φ(x) F = 1

2 ∑i j

xiKi jx j

(1.16)


2 Navier Stokes Gleichung

Lagrange Gleichung für Teilchen mit Reibung

ddt

(δLδ~xi

)− δLδ~xi

+δFδ~xi

= ~fi (2.1)

Lagrange- und Dissipations-Funktion

L = 12m∑

i

(~xi)2 − Φ(~x) F = 1

2

∑

ij

(~xi ·K

ij· ~xj)

(2.2)

Zustandsgleichung für potentielle Energie, mit (1.1),

Φ(~x) =

∫d~x ϕ

(ρ(~x)

)=

∫d~x ϕ

(m∑

i

δ(~x− ~xi))

(2.3)

Damit wird

δLδ~xi

= m

∫d~y

dϕ(ρ(~y)

)

dρ(~y)~∇~xi δ(~y − ~xi) = m

∫d~y δ(~y − ~xi) ~∇~y

(dϕ(ρ(~y)

)

dρ(~y)

)(2.4)

Multipliziert man (2.1) mit δ(~x − ~xi) und summiert über i, erhält man die Kontinuumsversion derLagrange Gleichung

ρ(~x, t)ddt~u(~x, t) + ~∇P (~x, t) +

δF(t)

δ~u(~x, t)= ~f(~x, t) (2.5)

Dabei ist der Druck P = P (ρ) gegeben durch

dPdρ

= −ρdϕ(ρ)

dρ(2.6)

Die Dissipationsfunktion F ist quadratisch in den Geschwindigkeiten, kann aber nur von Gradientender Geschwindigkeiten abhängen, da für eine homogene Strömung keine innere Reibung auftreten kann.Weitere Einschränkungen ergeben sich für isotrope Medien. Damit erhält man

F = −12

∫d~x[µ(~u(~x)·∆ ~u(~x)

)+ (λ+ µ)

(~u(~x)·~∇

)(~∇·~u(~x)

)](2.7)

wobei µ und λ Volum- b.z.w. Scherviskositäten sind.

Damit erhält man mit (2.5) die Navier-Stokes Gleichung für kompressible Fluide

ρ(~x, t)

(∂t~u(~x, t)+(~u(~x, t)·~∇

)~u(~x, t)

−µ∆~u(~x, t)−(λ+ 1

3µ)~∇(~∇·~u(~x, t)

)= ~f(~x, t)−~∇P (~x, t) (2.8)

Diese Gleichung ist vollständig in der Euler’schen Beschreibung formuliert. Die Lagrange Beschreibungist nur insofern benutzt worden, als die Zeitableitung in (2.1) zur Lagrange’schen Zeitableitung in (2.5)b.z.w. (2.8) wurde. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung (1.2) und der Zustandsgleichung (2.6)hat man ein vollständiges System von Gleichungen, die noch durch Randbedingungen ergänzt werdenmüssen.

Die Navier-Stokes Gleichung ohne Viskositätsbeiträge (Euler Gleichung) wurde von Euler (1755) for-muliert, während die volle Gleichung 1827 von Navier und 1845 unabhängig von Stokes gefundenwurde.


2.1 Inkompressible Strömungen

Den Grenzfall inkompressibler Strömung erhält man für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber derSchallgeschwindigkeit sind. Die Dichte kann als konstant angesehen werden, ρ(~u, t) ≈ ρo, und für dieGeschwindigkeit gilt(~∇·~u(~x, t)

)= 0 (2.9)

Die Navier-Stokes Gleichung wird

∂t~u(~x, t) +(~u(~x, t)·~∇

)~u(~x, t)− ν∆~u(~x, t) = 1

ρo

[~f(~x, t)− ~∇P (~x, t)

](2.10)

wobei ν = µ/ρo als kinematische Zähigkeit bezeichnet wird.

Die Dichteschwankungen sind zwar in der c vernachlässigbar, erzeugen aber nicht vernachlässigbareDruckschwankungen. Bildet man die Divergenz der Navier-Stokes Gleichung, erhält man

~∇·((~u(~x)·~∇

)~u(~x)− 1

ρo~f(~x)

)= − 1

ρo∆P (~x) (2.11)

Unter Vernachlässigung von Randtermen lässt sich (2.11) integrieren:

~∇P (~x) = ρo

∫d3x′

~x− ~x′|~x− ~x′|3

~∇′ ·((~u(~x′)·~∇

)~u(~x′)− 1

ρo~f(~x′)

)(2.12)

Der Druckterm ~∇P ist damit ebenso wichtig wie der Advektionsbeitrag (~u·~∇)~u und er vermittelt eine

nichtlokale Wechselwirkung der Strömungen an verschiedenen Orten.

2.2 Euler Gleichung

Die Euler Gleichung erhält man aus der Navier-Stokes Gleichung im Grenzfall verschwindender Zähig-keiten (ideale Strömung)

∂t~u(~x, t) +(~u(~x, t)·~∇

)~u(~x, t) + 1

ρo~∇P (~x, t) = 1

ρo~f(~x, t) (2.13)

z

x


1.2.1 Inkompressible Strömungen

Den Grenzfall inkompressibler Strömung erhält man für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber derSchallgeschwindigkeit sind. Die Dichte kann als konstant angesehen werden, ρ(u, t) ≈ ρo, und für dieGeschwindigkeit gilt

∇·u(x, t)

= 0 (1.17)


kjgh ∂tu(x, t)+u(x, t)·∇

u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)

wobei ν = η/ρo als kinematische Zähigkeit bezeichnet wird.


ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)

Der Druckterm ∇P ist damit ebenso wichtig wie der Advektionsbeitrag (u·∇u.

1.2.2 Euler Gleichung



u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x

Betrachten wir als Spezialfall eine stationäre kräftefreie inkompressible Strö-mung in x-Richtung, deren Stärke nur von z abhängt: u(x) = u(z)ex. Für dieseStrömung gilt

∇·u

= 0, und aus (1.19) folgt P(x) = const. Damit ist diese

Strömung, für beliebige u(z), auch Lösung der Euler Gleichung. Im Besonde-rem erlaubt die Euler Gleichung Unstetigkeitsflächen. An derartigen Flächenwurde allerdings ∆u divergieren, und die Viskosität könnte nicht vernachläs-sigt werden.

u(z)

1.3 Wirbelsätze in inkompressiblen Strömungen

1.3.1 Euler Beschreibung, ortsfeste Koordinaten

Betrachten wir als Spezialfall eine stationäre kräftefreie inkompressible Strö-mung in x-Richtung, deren Stärke nur von z abhängt: ~u(~x) = u(z)~ex. Fürdiese Strömung gilt

(~∇·~u

)= 0, und aus (2.11) folgt P (~x) = const. Damit ist

diese Strömung, für beliebige u(z), auch Lösung der Euler Gleichung. Allge-mein erlaubt die Euler Gleichung Unstetigkeitsflächen mit Diskontinuitätender Strömung in tangentialer Richtung. An derartigen Flächen wurde aller-dings ∆~u divergieren, und die Viskosität könnte nicht vernachlässigt werden.Dies gilt auch für Grenzschichten an Wänden.

17.11.2010

2.3 Reynolds’sches Ähnlichkeitsgesetz

Eine Strömung sei charakterisiert durch eine Längenskala Lo, zum Beispiel die typische Skala vonRändern, eine Geschwindigkeitsskala Uo, zum Beispiel die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und diekinematische Zähigkeit ν, deren Dimension Länge2/Zeit ist. Aus diesen drei Kenngrößen lässt sich einedimensionslose Zahl, die sogenannte Reynolds Zahl

Re =Uo Loν

(2.14)


Der Advektionsterm in der Navier-Stokes Gleichung, und auch der Druckterm sind von der Größen-ordnung ∼ U2

o /Lo, der Beitrag der Viskosität ist ∼ ν Uo/L2o. Die Reynolds Zahl ist damit ein Maß

für den relativen Beitrag dieser Terme. Im Grenzfall großer Re erwartet man dass die Strömung durchdie Euler Gleichung beschrieben wird. Für kleine Re erhält man die lineare Stokes Gleichung ohneDruckterm.

Es sei ~u(~x, t) eine Lösung der Navier-Stokes Gleichung in einer Geometrie auf der Skala Lo und mitder Zähigkeit ν. Dann ist

~u′(~x′, t′) = ν′

νL′oLo~u(LoL′o~x, L

2o ν′

L′o2 νt′)

(2.15)

ebenfalls Lösung.

Typische Reynolds Zahlen sind:MikroorganismenStaubInsekten

10−5 · · · 10−2

100 · · · 101

102 · · · 103

VögelFlugzeugAtmosphäre,Meeresströmungen

103 · · · 105

106 · · · 108

109 · · · 1010

3 Wirbelsätze in inkompressiblen Strömungen

3.1 Zirkulation, Thomson’scher Wirbelsatz




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x


∇·u



u(z)




∇·u




1.3.1 Zirkulation, Thomson’scher Wirbelsatz

C u ds (1.21)




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x


∇·u



u(z)




∇·u





C u ds (1.21)




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x




∇·u(x, t)

= 0 (1.17)



u(x, t)−ν∆u(x, t) = 1

ρo

f (x, t)−∇P(x, t)

(1.18)



ecsi ∇u(x)·∇

u(x)− 1

ρof (x)

= − 1

ρo∆P(x) (1.19)





u(x, t)+ 1

ρo∇P(x, t) = 1

ρof (x, t) (1.20)

z

x


∇·u



u(z)




∇·u





C u ds (1.21)


Berücksichtigt man die allgemeine IdentitätC ds·∇ f (s) = 0, erhält man, falls auch die äußeren Kräfte

ddt ΓC = 0.

Der

1.3.2 Stromlinien, Teilchentrajektorien, Wirbellinien

Eine Stromlinien, die durch einen Punktxo geht, kann durch

efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)

mit xs(0;xo) =xo definiert werden. Damit ist eine Stromlinie in jedem Punkttangential zum Geschwindigkeitsfeldu(x).Eine Teilchentrajektorie für ein Teilchen am Ortxo zu einer Zeit to ist gegebendurch

dd

xT (t;xo) =uxT (t;xo)

(1.25)

Für stationäre Strömungen sind Stromlinien und Teilchentrajektorien iden-tisch. Dies gilt aber im allgemeinen nicht für zeitabhängige Strömungen.

Für inkompressible Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld u allein durch die Wirbelstärke ω , alsoderen Rotation bestimmt

ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)

Mit der Navier-Stokes Gleichung (1.20) erhält man

∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)

Dies lässt sich umformen in

ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)

da (1.29)

Wirbellinien sind analog zu (1.24) definiert

dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.30)



ddt ΓC = 0.

Der



efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)

da S (1.29)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.30)

Die Zirkulation entlang einer geschlossenen Kurve C ist definiert als

ΓC =

∫

C

(d~s·~u(~s, t)

)=

∫

S

(d~a·

[~∇× ~u(~a, t)

])(3.1)

wobei der Stoke’sche Integralsatz benutzt wurde.Betrachtet man die Kurve C als mitschwimmend, besagt der Thompson’scheWirbelsatz, dass die Zirkulation ΓC zeitlich konstant ist.

Die Lagrange’sche Zeitableitung obiger Gleichung ist

ddt

ΓC =

∫

C

d~s· d

dt~u(~s, t) + ~u(~s, t)· d

dtd~s

(3.2)

Für eine ideale Strömung lässt sich der erste Term mit der Euler Gleichung (2.13) berechnen:

d~s· ddt~u(~s, t) = 1

ρo

d~s· ~f(~s, t)−

(d~s·~∇

)P (~s, t)

(3.3)

Bei der Berechnung des zweiten Terms ist zu berücksichtigen, dass sich die Endpunkte desLinienelements mit unterschiedlicher Geschwindigkeit bewegen

ddt

d~s = ~u(~s+ d~s, t)− ~u(~s, t) =(d~s·~∇

)~u(~s, t) ~u(~s, t)· d

dtd~s = 1

2

(d~s·~∇

)u(~s, t)2 (3.4)

Berücksichtigt man die allgemeine Identität∫C d~s · ~∇ f(~s) = 0, erhält man, falls auch die äußeren

Kräfte als Gradient eines Potentials gegeben sind, ddt ΓC = 0. Der Thomson’scher Wirbelsatz gilt nur

für vernachlässigbare Viskositätsbeiträge.


3.2 Stromlinien, Teilchentrajektorien, Wirbellinien

Eine Stromlinien, die durch einen Punkt ~xo geht, kann durch

dd`~xs(`; ~xo) = ~u

(~xs(`; ~xo)

)(3.5)

mit ~xs(0; ~xo) = ~xo definiert werden. Damit ist eine Stromlinie in jedem Punkttangential zum Geschwindigkeitsfeld ~u(~x).Eine Teilchentrajektorie für ein Teilchen am Ort ~xo zu einer Zeit to ist gegebendurch

dd`~xT (t; ~xo) = ~u

(~xT (t; ~xo)

)(3.6)


Für inkompressible Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld ~u allein durch die Wirbelstärke ~ω, alsoderen Rotation bestimmt

~ω(~x, t) =[~∇× ~u(~x, t)

](3.7)


∂t~ω(~x, t) +[~∇×

(~u(~x, t)·~∇

)~u(~x, t)

]= ν∆~ω(~x, t) + 1

ρo

[~∇× ~f(~x, t)

](3.8)


ddt~ω(~x, t) =

(ω(~x, t)·~∇

)~u(~x, t) + ν∆~ω(~x, t) + 1

ρo

[~∇× ~f(~x, t)

](3.9)


dd`~xw(`; ~xo) = ~ω

(~xw(`; ~xo)

)(3.10)

3.3 Helmholtz’sche Wirbelsätze


Für eine ideale Strömung lässt sich der erste Term mit der Euler Gleichung (??) berechnen. Bei derBerechnung des zweiten Terms ist zu berücksichtigen, dass sich die Endpunkte des Linienelements mitunterschiedlicher Geschwindigkeit bewegen

ddt

ds =u(s+ds, t)−u(s, t) =ds·∇

u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)


als Gradient eines Potentials gegeben sind, ddt ΓC = 0. Der Thomson’scher Wirbelsatz gilt nur für ver-

nachlässigbare Viskositätsbeiträge.



efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)

Mit der Navier-Stokes Gleichung (??) erhält man

∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)

Wirbellinien sind analog zu (??) definiert

dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)

1.3.3 Helmholtz’sche Wirbelsätze

ω C (1.30)



ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)

Betrachten wir eine Wirbellinie und eine geschlossene Kurve C, wie in der Figurgezeigt. Berechnet man die Zirkulation als Integral über eine in C eingespannte FlächeS, findet man mit (3.1) ΓC = 0, da die Flächennormale d~a senkrecht auf ~ω =

[~∇×~u

]

steht.Mit der Zeit schwimmt die Wirbellinie zusammen mit C mit der Strömung. Aufgrundder Thomsompt’schen Satzes bleibt ΓC = 0 und ~ω(~xw) ist weiterhin tangential zurbetrachteten Linie. Diese behält also ihren Charakter als Wirbellinie. Dies ist einerder Helmholtz’schen Wirbelsätze.

Eine sogenannte Wirbelröhre wird aus Wirbellinien gebildet, die von einer Kurve Co ausgehen. Da dieWirbellinien dicht liegen und mit der Strömung mitschwimmen, können Teilchen nicht von innen nachaussen gelangen, oder umgekehrt. In einer inkompressiblen Strömung bleibt damit das Volumen derWirbelröhre erhalten. Dies ist ein weiterer Helmholtz’scher Wirbelsatz.






ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)



ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)

Betrachten wir eine Wirbellinie und eine geschlossene Kurve C , wie in der Figurgezeigt. Berechnet man die Zirkulation als Integral über eine in C eingespannte Flä-che S , findet man mit (1.21) ΓC = 0, da die Flächennormale da senkrecht aufω =

∇×u

steht.

Mit der Zeit schwimmt die Wirbellinie zusammen mit C mit der Strömung. Aufgrundder Thomsompt’schen Satzes bleibt ΓC = 0 und ω(xw) ist weiterhin tangential zur be-trachteten Linie. Diese behält also ihren Charakter als Wirbellinie. Dies ist einer derHelmholtz’schen Wirbelsätze.

Co (1.30)





ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)



ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)


∇×u

steht.


C C (1.30)





ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)



ddt


u(s, t) u(s, t)· d

dtds = 1

2

ds·∇

u2(s, t) (1.23)






efvidd

xs(;xo) =uxs(;xo)

(1.24)


dd


(1.25)



ω(x, t) =∇×u(x, t)

(1.26)


∂tω(x, t)+∇×

u(x, t)·∇

u(x, t)

= ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.27)


ddtω(x, t) =

ω(x, t)·∇

u(x, t)+ν ∆ω(x, t)+ 1

ρo

∇×f (x, t)

(1.28)


dd

xw(;xo) = ωxw(;xo)

(1.29)


ω C (1.30)


∇×u

steht.


C C (1.30)

Ein dritter Helmholtz’scher Wirbelsatz besagt, dass die Zirkulation ΓC entlangeiner Wirbelröhre konstant ist. Um dies zu zeigen betrachtet man zwei KurvenC und C′. Die Berechnung der Zirkulation ΓC kann auf einer beliebigen Fläche,die durch C begrenzt ist, erfolgen. Wählt man eine Fläche, die auf dem Mantelder Wirbelröhre zwischen C und C′ liegt und einer Fläche, die in C′ eingespanntist, Trägt die Fläche auf dem Mantel nicht bei, da hier

(d~a·~ω

)= 0 ist. Damit

ist ΓC = ΓC′ .Wie auch schon bei der Herleitung des Thompson’schen Wirbelsatzes wirdauch hier eine ideale Strömung ohne Viskosität vorausgesetzt.

Eine Konsequenz der Helmholtz’scher Wirbelsätze ist, dass in einer idealen Strömung Wirbel nichtentstehen oder vergehen können.

3.4 Ebene Strömungen

Als ebene Strömung bezeichnen man eine Strömung, in der uz = 0 ist und ux wie auch uy nur von xund y abhängen. Die Wirbelstärke hat damit nur eine nicht verschwindende z-Komponente ωz(x, y). Ineiner idealen kräftefreien Strömung folgt aus (3.9), dass die Wirbelstärke erhalten ist, also dωz/d t = 0

22.11.2010

4 Voll ausgebildete Turbulenz: Grundlagen und Skalenverhalten

4.1 Energiesatz

Im Folgendem betrachten wir wieder eine reale inkompressible Strömung. Die Energie ist dann durchdie kinetische Energie gegeben. Deren Dichte ist

ρE(~x, t) = 12ρo u(~x, t)2 (4.1)

Deren zeitliche Änderung erhält man aus der Navier-Stokes Gleichung (2.10):

ddtρE(~x, t) = −

(~u(~x, t)·~∇

)P (~x, t) +

(~u(~x, t)· ~f(~x, t)

)− ν ρo

(~u(~x, t)·∆ ~u(~x, t)

)(4.2)

Zur weiteren Behandlung des Viskositätbeitrags ist es zweckmäßig Tensoren der Schergeschwindigkeitund der Rotation einzuführen

ηαβ(~x, t) =∂xαuβ(~x, t) + ∂xβuα(~x, t)

ωαβ(~x, t) =

∂xαuβ(~x, t)− ∂xβuα(~x, t)

(4.3)

wobei in drei Dimensionen der antisymmetrische Tensor ω als Pseudovector ~ω geschrieben werden kann.Der letzte Term in (4.2) lässt sich damit umformen(~u(~x, t)·∆ ~u(~x, t)

)= −1

2Tr(η(~x, t)·η(~x, t)

)+(~∇·η(~x, t)·~u(~x, t)

)(4.4)

Damit wird (4.2)

ddtρE(~x, t) =

(~u(~x, t)·

[f(~x, t)− ~∇P (~x, t) + νρo

(~∇·η(~x, t)

)])− ε(~x) (4.5)

Die mitschwimmende Änderung der Energiedichte ist damit durch Arbeit gegeben, die durch äußereVolumkräfte, sowie Gradienten des Drucks und viskoser Scherkräfte, geleistet wird. Der letzte Termbeschreibt lokale Energiedissipation aufgrund der Viskosität:

ε(~x, t) = 12ρo ν Tr

(η(~x, t)·η(~x, t)

)(4.6)


Bei der Berechnung der Energie als Integral über ρE kann der zweite und dritte Beitrag auf der rechtenSeite von (4.5) in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden, trägt also bei geeigneten Randbedin-gungen nicht bei.

4.2 Energiespektrum

Fouriertransformierte Geschwindigkeit:

~u(~k, t) =

∫d3x e−i (~k·~x) ~u(~x, t) ~u(~x, t) =

∫d3k

(2π)3ei (~k·~x) ~u(~k, t) (4.7)

Energie:

E = 12ρo

∫d3x(~u(~x)·~u(~x)

)= 1

2ρo

∫d3x

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3ei (~k+~k′) ·~x ~u(~k)·~u(~k′)

= 12ρo

∫d3k

(2π)3~u(−~k)·~u(~k) = V

∫dk E(k) (4.8)

wobei der letzte Ausdruck das Energiespektrum E(k) bezogen auf die Energie pro Volumen definiert,also

E(k) =k2 ρo4π2

⟨~u(−~k)·~u(~k)

⟩(4.9)

Die Mittelung bezieht sich hier zunächst auf alle Richtungen. In der statistischen Theorie voll aus-gebildeter isotroper Turbulenz wird über Ensembles verschiedener Realisierungen oder verschiedenerexterner Kräfte gemittelt.Die zeitliche Änderung der fouriertransformierten Geschwindigkeit erhält man aus der Navier-StokesGleichung (2.10) und der Druckgleichung (2.11). Letztere ergibt zunächst

1ρoP (~k) = − 1

k2

∫ d3k′

(2π)3

(~k ·~u(~k′

) (~k ·~u(~k − ~k′)

)− 1

ρo

(~k · ~f(~k)

)(4.10)

Mit Hilfe eines transversalen Projektors Θ(~k) mit Komponenten

Θαβ(~k) = δαβ −kα kβk2

Θ(~k)·~k = 0 Θ(~k)·~u(~k) = ~u(~k) (4.11)

erhält man aus (2.10)

∂t ~u(~k, t) + i

∫d3k′

(2π)3

(~k ·~u(~k − ~k′, t)

)Θ(~k)·~u(~k′, t) + ν k2 ~u(~k, t) = Θ(~k)· ~f(~k, t) (4.12)

Die Änderung des Energiespektrums ist damit

∂tE(k, t) =k2 ρo2π2

⟨~u(−~k, t)·∂t~u(~k, t)

⟩

=k2 ρo2π2

⟨~u(−~k, t)· ~f(~k, t)

⟩− ν k2E(k, t)

−i k2 ρo2π2

∫d3k′

(2π)3

⟨(~k ·~u(~k − ~k′, t)

)(~u(−~k, t)·~u(~k′, t)

)⟩

=.Ff (k, t)+

.Fdiss(k, t)+

.Ftr(k, t) (4.13)


Die einzelnen Terme haben folgende Bedeutung:∫dk

.Ff (k, t) ist die von äußeren Kräften geleistete

Arbeit.∫dk

.Fdiss(k, t) ist die aufgrund der Zähigkeit dissipierte Energie. Im Fall ausgebildere Turbulenz

bei großen Re sind die externen Kräfte auf großer Längenskala, oder kleinen Wellenvektoren, wirksam,während die Dissipation erst bei großen Wellenvektoren dominiert.

Der Beitrag.Ftr(k, t) vermittelt einen Energietransfer zwischen verschiedenen Bereichen der Wellenlänge.

Er ist, wie wir noch sehen werden, für die Energiekaskade verantwortlich. Er trägt nicht zur gesamtenEnergiebilanz bei, i.e.

∫dk

.Ftr(k, t) = 0. Um dies zu zeigen betrachten wir die Größe

A(~k;~κ,~κ′) =i ρo2

⟨(~k ·~u(~κ)

)(~u(~κ′)·~u(~k)

)⟩+⟨(~k ·~u(~κ′)

)(~u(~κ)·~u(~k)

)⟩(4.14)

Für ~k + ~κ+ ~κ′ = 0 ist

A(~k;~κ,~κ′) +A(~κ;~k,~κ′) +A(~κ′;~k,~κ) = 0 (4.15)

Das Integral über.F tr(k, t) ist damit

∫dk

.F tr(k, t) =

∫d3k d3κ d3κ′

(2π)2δ(~k + ~κ+ ~κ′)A(~k;~κ,~κ′) = 0, (4.16)

wie man mit (4.14) durch Permution der Integrationsvariablen sieht.

4.3 Energiekaskade

Im Fall von Turbulenz bei hoher Reynolds-Zahl wird Energie auf großer Längenskala oder beikleinen Wellenvektoren Ko durch äußere Kräfte oder großräumige Bewegung in die Strömungeingebracht. Die Viskosität wird erst bei kleinenLängenskalen oder großen Wellenvektoren κdwirksam. Energie muss also von großen zukleinen Strukturen oder von kleinen zu großenWellenvektoren transferiert werden, ein Prozess,der als Energiekaskade bezeichnet wird. Ko

!dk

Arbeit Dissipation

Energiekaskade

Inertialbereich

Betrachte einen Wellenvektor K mit Ko K κd. Die Transferrate von Energie von kleinen Wellen-zahlen k < K zu größeren Wellenzahlen k > K ist

Π(K, t) =

∫ K

0dk

.Ftr(k, t) = −

∫ ∞

Kdk

.Ftr(k, t) =

∫ K

0

d3k

(2π)3

∫d3κ d3κ′

(2π)3δ(~k+~κ+~κ′)A(~k;~κ,~κ′) (4.17)

I

II IV

K

K

!

!!

IV

II

III

Aufgrund von (4.15) verschwinden die Beiträge zu obigem Integralfür k, κ, κ′ < K. Nicht verschwindende Beiträge erhält man fürk < K < κ, κ′, Bereich I, und für k, κ < K < κ′ beziehungsweisek, κ′ < K < κ, Bereich II. Letzterer kann mit (4.15) in ein Integralüber κ, κ′ < K < k, Bereich III, umgewandelt werden. Damit ist

Π(K, t) =

∫ K

0

d3k

(2π)3

∫ ∞

K

d3κ d3κ′

(2π)3δ(~k + ~κ+ ~κ′)A(~k;~κ,~κ′)

−12

∫ K

0

d3κ d3κ′

(2π)3

∫ 2K

K

d3k

(2π)3δ(~k + ~κ+ ~κ′)A(~k;~κ,~κ′) (4.18)

Das erste Integral beschreibt einen Energietransfer von langwelligen zu kurzwelligen Strukturen, daszweite Integral den umgekehrten Prozess. In drei Dimensionen dominiert der Transfer zu kleine-ren Strukturen, also der erste Term in (4.18). Die Hauptbeiträge zu beiden Integralen kommen von


k, κ κ′ ∼ K. Die Energie wird also nicht direkt von kleinen Wellenzahlen zu großen übertragen, sondernbei großen Reynolds-Zahlen in vielen Einzelschritten. Diesen Prozess bezeichnet man als Energiekas-kade.

4.4 Naive Skalenanalyse, Kolmogorov 41 Skalierung

Voll ausgebildete Turbulenz ist durch das Auftreten verschiedener Längenskalen charakterisiert. Im fol-gendem betrachten wir stationäre Turbulenz, die durch äußere Kräfte oder Randbedingungen aufrechterhalten wird.

Die größte Längenskala sei Lo. Hier wird die Energie durch äußere Kräfte oder geeignete zeitabhängigeRandbedingungen in die Strömung eingebracht. Die typische Geschwindigkeit auf dieser Skala sei Uo.Aufgrund naiver Dimensionsbetrachtung ist eine typische Zeitskala to ∼ Lo/Uo und die eingebrachteEnergie pro Zeit ist

εo ∼ ρo U2o /to ∼ ρo U3

o /Lo (4.19)

Auf einer mittleren Längenskala L sei die typische Geschwindigkeit uL und die Zeitskala tL ∼ L/uL.Dies ergibt für den Energietransfer eine Abschätzung

εL ∼ ρo u3L/L (4.20)

Auf der kürzesten Längenskala λD, der sogenannten Dissipationslänge, wird die eingebrachte Energiedissipiert. Diese ist einerseits aus obiger Gleichung für L = λD, andererseits durch (4.6) gegeben:

εD ∼ ρo u3D/λD ∼ ν ρo u2

D/λ2D (4.21)

Im stationären Fall ist εin = εL = εD = ε.Daraus erhält man die Abschätzung U3

o /Lo = u3L/L = u3

D/λD und mit (2.14)

λD = Re−3/4 Lo (4.22)

und für die entsprechenden Zeitskalen

tD = Re−1/2 to (4.23)

Danach zerfallen kleinere Strukturen schneller als größere.

Der Anteil von kleinräumigen Strukturen mit einer Ausdehnung kleiner L an der Energie ist mit (4.20)

ρ(L)E ∼ 1

2 ρo u2L ∼ 1

2 ρ1/3o ε2/3 L2/3 (4.24)

Für L = 2π/K kann dieser aber auch durch das Energiespektrum (4.9) berechnet werden

ρ(L)E =

∫ ∞

2π/Ldk E(k) (4.25)

Differentiaion beider Ausdrücke nach L liefert

E(K) ∼ ρ1/3o ε2/3K−5/3 (4.26)

Dieses Gesetz wurde von Kolmogorov 1941 und unabhängig davon von Weizsäcker und Heisenberg1945, Onsager, Prandtl und anderen aufgestellt. Die wesentlichen Annahmen betreffen die Existenzeiner Energiekaskade, also des schrittweisen Transfers der Energie von großen zu kleinen Strukturen,sowie der Annahme, dass das Energiespektrum allein vom Wellenvektor und der Dissipationsrate derEnergie abhängt. 1.12.2010


5 Reynolds Gleichungen, Wirbelviskosität

5.1 Großräumige Strömung

Ein wichtiger Beitrag zur Theorie voll ausgebildeter Turbulenz, aber auch zur Berechnung aktueller in-homogener Strömungen, ist die von Reynolds 1890 vorgeschlagene Zerlegung der Strömung in groß- undkleinskalige Beiträge. Statt einer Trennung im Fourierraum wird über kleinskalige Bewegung gemittelt.Es sei

~U(~x, t) =⟨~u(~x, t)

⟩L

~u(~x, t) = ~U(~x, t) + ~v(~x, t) (5.1)

wobei 〈· · ·〉L eine Mittelung über ein Volumen VL = L3 oder eine Zeit tL = (Lo/L)−2/3 to sei. Entspre-chend wird der Druck aufgeteilt in

P (~x, t) = P (~x, t) + p(~x, t) (5.2)

Wegen der Nichtlinearität in (2.11) enthält P (~x, t) auch Anteile, die die kleinräumigen Strömungenenthalten. Für inkompressible Strömungen können beide Anteile entsprechend (2.11) bestimmt werden.

Die äußeren Kräfte seien auf die größten Längenskala beschränkt, also⟨~f(~x, t)

⟩L

= ~f(~x, t).

Die Reynolds-Gleichung erhält man durch Mittelung der Navier-Stokes Gleichung (2.10)

∂t~U(~x, t) +(~U(~x, t)·~∇

)~U(~x, t)− ν∆ ~U(~x, t) = 1

ρo

~f(~x, t)− ~∇P (~x, t)−

(~∇·T(~x, t)

)(5.3)

Dabei ist T der Reynolds-Spannungstensor mit Komponenten

Tαβ(~x, t) = ρo

⟨vα(~x, t) vβ(~x, t)

⟩L

T(~x, t) = ρo

⟨~v(~x, t)⊗ ~v(~x, t)

⟩L

(5.4)

Mit To(~x, t) = 13Tr(

T(~x, t))

= 23ρ

(L)E ist dessen spurfreie Anteil T(~x, t) gegeben durch

Tαβ(~x, t) = Tαβ(~x, t)− To(~x, t) δαβ (5.5)

Die Mittelung in (5.4) hängt von der großräumigen Strömung ~U(~x, t) ab. Für ~U(~x, t) = 0 ist dieMittelung isotrop und T(~x, t) = 0. Der Beitrag erster Ordnung in einer Entwicklung nach ~U(~x, t)

verschwindet nicht, kann aber nur von der großräumigen Schergeschwindigkeit η(~x, t) mit Komponenten

ηαβ(~x, t) = 12

∂xα Uβ(~x, t) + ∂xβ Uα(~x, t)

(5.6)

abhängen. In dieser Ordnung muss T(~x, t) proportional zu η(~x, t) sein.

Definiert man eine L-abhängige effektive Wirbelviskosität νL

T(~x, t) = −νL ρo η(~x, t) (5.7)

wird die Reynolds-Gleichung (5.3)

∂t~U(~x, t) +(~U(~x, t) ·~∇

)~U(~x, t)−

(ν + νL

)∆ ~U(~x, t) = 1

ρo

[~f(~x, t)− ~∇

(P (~x, t) + To(~x, t)

)](5.8)

Sie entspricht damit der Navier-Stokes-Gleichung mit einer effektiven Wirbelviskosität. Die von dergroß- auf die kleinräumige Strömung übertragene Energiedichte ist entsprechend (4.6) gegeben durch

εL(~x, t) = 12ρo νL Tr

(η(~x, t)·η(~x, t)

)(5.9)


K41 Skalierung (naive Dimensionsanalyse) liefert für die Wirbelviskosität

νL ∼( LλD

)4/3ν (5.10)

Entsprechende Resultate erhält man auch aus der vorhergehenden Zerlegung der Strömung im Fou-rierraum. Der Reynolds’sche Spannungstensor wäre hier durch

T(~k, t) = ρo

∫ ∞

K

d3κ d3κ′

(2π)3δ(~k + ~κ+ ~κ′)

⟨(~u(~κ, t)⊗ ~u(~κ′, t)

)⟩(5.11)

gegeben, wobei der Mittelwert entsprechend nach der Strömung mit kleinen Wellenvektoren zu ent-wickeln ist.

5.2 Kleinräumige Strömung und Wirbelviskosität

Die Bewegungsgleichung für die kleinräumige Strömung folgt wieder aus der Navier-Stokes Gleichung(2.10):

∂t ~v(~x, t) +(~U(~x, t)·~∇

)~v(~x, t) +

(~v(~x, t)·~∇

)~U(~x, t) +

(~v(~x, t)·~∇

)~v(~x, t)− ν∆~v(~x, t)

= 1ρo

− ~∇p(~x, t) +

(~∇·T(~x, t)

)(5.12)

Der Druck ist wieder durch(~∇·~v(~x, t)

)= 0 bestimmt. Der letzte Term sorgt dafür, dass 〈~v〉L = 0

bleibt.

Für den Reynolds’schen Spannungstensor erhält man∂t +

(~U ·~∇

)Tαβ +

⟨vα(~v ·~∇

)(Uβ + vβ

)+ vβ

(~v ·~∇

)(Uα + vα

)− ν(vα∆vβ + vβ∆vα

)⟩L

= − 1ρo

⟨vα∇β + vβ∇α

p⟩L

+∑

γ

⟨vα∇γTγβ + vβ∇γTγα

⟩L

(5.13)

Die Mittelungen 〈· · ·〉L hängen auch hier von der größräumigen Strömung ~U ab. In niedrigster Ordnung,unter Vernachlässigung dieser Abhängigkeit, sind die Mittelwerte isotrop und translationsinvariant.Dadurch vereinfacht sich obige Gleichung. Mit Tr

(T)

=2ρ(L)E erhält man

∂t +

(~U(~x, t)·~∇

)ρ

(L)E (~x, t) = −

⟨~v(~x, t)·η(~x, t)·~v(~x, t)

⟩

L

+ ν⟨~v(~x, t)·∆~v(~x, t)

⟩L

(5.14)

und für T

∂t+

(~U(~x, t)·~∇

)T(~x, t) = −4

3 ρ(L)E (~x, t) η(~x, t)+ν ρo

⟨η(~x, t)·η(~x, t)− 1

3Tr(η(~x, t)·η(~x, t)

)⟩

L

(5.15)

wobei die kleinräumige Schergeschwindigkeit

ηαβ(~x) = 12

∇α vβ(~x) +∇β vα(~x)

(5.16)

ist.

Selbst in dieser Näherung sind diese Gleichungen nicht geschlossen, da auf der rechten Seite Erwar-tungswerte über die kleinräumige Strömungen auftreten, die nicht auf T zurückgeführt werden können.

Eine zuverlässige Berechnung der Wirbelviskosität ist damit nicht möglich. Für praktische Rechnungenwerden deshalb oft phänomenologische Ansätze erfolgreich benutzt.


5.3 Wirbeldehnung

Der physikalische Prozess des Energietransfers im Inertialbereich, Lo l λD besteht in einermittleren Dehnung kleinräumiger Strukturen. Dies wird durch den ersten Term auf der rechten Seitevon (5.14) beschrieben.

Betrachten wir als Beispiel eine großräumige Strömung der Form

!

!v

2r

d

!x

!z

η =

−1

2η 0 00 −1

2η 00 0 η

(5.17)

und einen Wirbelröhre mit Radius r, Dicke d und Länge `. Die Achse desWirbels sei um einen Winkel ϑ gegenüber der z-Achse geneigt. Die Änderungder Projektionen `x und `z ist

˙x(t) = −1

2η`x(t) ˙z(t) = η`z(t) (5.18)

und mit `x(0) = sin(ϑ) ` und `z(0) = cos(ϑ) ` erhält man für die Länge `(t)

`(t) =√e2ηt cos(ϑ)2 + e−ηt sin(ϑ)2 `(0) (5.19)

Das Volumen V = 2π `(t)r(t)d(t) und die Zirkulation Z = 2π r(t)v(t) bleiben entsprechend derWirbelsätze konstant und man erhält

r(t) =

√`(0)

`(t)r(0) d(t) =

√`(0)

`(t)d(0) v(t) =

√`(t)

`(0)v(0) (5.20)

und die Energie ist

EV (t) = 12ρoV v(t)2 =

`(t)

`(0)EV (0) (5.21)

Je nach Orientierung kann die Wirbelröhre gedehnt oder ge-staucht werden. Zur Abschätzung des Effektes mitteln wirüber alle Orientierungen

`(t)

`(0)=

1

4π

∫ π

0sin(ϑ) dϑ

∫ 2π

odϕ√

e2ηt cos(ϑ)2 + e−ηt sin(ϑ)2

=

∫ 1

0dw√

e−ηt +(e2ηt − e−ηt

)w2 (5.22)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4

!(t)

!(0)

e!t

Die nebenstehende Figur zeigt `(t)/`(0) als Funktion von eηt. Man sieht, dass unabhängig vom Vorzei-chen von η im Mittel immer eine Dehnung erfolgt und dass damit im Mittel Energie aus großräumigenin kleinräumige Strukturen übertragen wird.Dieser Prozess ist durch die Lebensdauer der betrachteten Strukturen begrenzt. Für eine Struktur derGröße L ist diese tL ∼ L/uL. Für η tL 1 kann man obigen Ausdruck entwickeln und erhält

`(tL)

`(0)≈ 1 + 2

5 η2 t2L (5.23)

Damit ist die Rate der auf der Längenskala L übertragenen Energiedichte

εL ∼ ρo v2L tL η

2 ∼ νL η2 (5.24)


K41 Skalenanalyse liefert für die hier abgeschätzte Wirbelviskosität wieder das Resultat (5.10). DieseÜberlegungen zeigen aber auch, dass die auf der Skala L übertragene Energie proportional zur bereitsvorhandenen Energie der kleinräumigen Bewegung ist.

6.12.2010

6 Intermittenz, Kolmogorov-Obukhov 1962

6.1 Experimente

In vielen Experimenten wird die Geschwindigkeit lokal als Funktion der Zeit gemessen. Ist einerturbulente Strömung eine konstatnte Grundströmung ~Uo überlagert, lässt sich aus der lokalen MessungInformation über die räumliche Struktur gewinnen. Aufgrund der K41 Skalenanalyse zerfällt eineStruktur der Länge L in einer Zeit tL ∼ (ε/ρo)

−1/3 L2/3. Andererseits ist diese Struktur in einemortsfesten Fenster nur für eine Zeit tL = L/Uo sichtbar. Identifiziert man Uo mit einer externenGeschwindigkeitsskala auf einerexternen Längenskala Lo wirdtL/tL ∼ (L/Lo)

1/3 1. Damit hängt~u(~xo − ~Uo t) − ~v nur noch schwach vonder Zeit ab, und ~u(~xo, t) ≈ u(~xo − ~Uo t, 0).Aus derartigen Messungen lassen sich ver-schiedene statistische Größen ermitteln.

340 L. Mydlarski and Z. Warhaft

-

- h h

&-

I I I l l l l l l I 1 1 1 1 1 I l 1 I I I I I l ld 10-1 100 10' lo2 103 104

k, (m-9

FIGURE 4. Longitudinal velocity spectrum, F i l ( k l ) , solid line, and transverse spectrum, F22(kl), dashed line. RA = 262, random mode. The insert shows k l F l l ( k l ) (solid line) and klF22(kl) (dashed line); k l is the longitudinal wavenumber = 27c:f/U.

are Gaussian with the skewness S,(= (u3 ) / ( ( u ~ ) ) ~ ' ~ ) and kurtosis K,(= (u4) / (u2)*) having values of 0 and 3 respectively. Here there are small departures: S, = 0.19 and K , = 3.17. For u, the skewness and kurtosis, S, and K,, were respectively 0.03 and 3.41. The relatively high turbulence intensity (table 1) and its rapid decay produces a small divergence of the turbulence kinetic energy, a/ax j ( $ (uiuiuj)). Although we determined this to be less than 5% of the turbulence energy dissipation rate E, the existence of the triple moment induces a slight skewness in u. The experimentally derived law for the third moment is also plotted in figure 3. It is ( u 3 ) / U 3 = 2 . 5 8 ( ~ / M ) - ~ . ~ ~ for U = 6.7 m s-'. This in turn possibly produces the small departure from the Gaussian state for u via higher-order terms in the equation for v4. Of course the skewness in u must be zero by symmetry and our results confirm this to a high degree. Although the large-scale velocity field is not strictly Gaussian we will show that its departure from the Gaussian state is very small compared to the highly non-Gaussian statistics of velocity differences and derivatives determined in the inertial subrange.

We now return to the departure from isotropy observed in the r.m.s. u and u profiles of figure 2. As noted in the Introduction, the anisotropic effects of shear flows are evident in the inertial subrange as well as at large-scales. Thus it is important to determine whether the anisotropy of this flow (which is much less than that observed in shear flows) affects the inertial subrange. Figure 6 shows the coherence between u and u in the laboratory coordinates and in transformed coordinates, with a 45" rotation. Here u' = (u + u ) / $ and u' = (u - v)/$. In the laboratory coordinates, there is no coherence between u and u while with the 45" rotation there is coherence at low wavenumbers but this drops to zero by klq - 3 x (The cross-correlation coefficient between u' and u' was 0.21.) Also shown in figure 6 is the u spectrum compensated to produce a plateau in the scaling region (i.e. the inertial subrange, see 54.1). It is clear that the coherence between u and u is essentially zero by the time the inertial subrange begins. We note that the 45" rotation produced the largest

6.2 Differentielle Geschwindigkeitsfluktuationen

High-Reynolds-number grid-generated wind tunnel turbulence 357

FIGURE 23. F l l ( k l ) spectra with the beginning and ends of the scaling region (sl and s2 respectively) and the intervals ra and rh used for velocity difference statistics (see text) marked by arrows. Upper curve Ri = 473 (random mode); lower curve Ri = 50 (static grid).

10 -5 0 5 10 Av/Avrms

FIGURE 24. The p.d.f.s of Au(ra) and Au(ro), (a) and (h) respectively. The R,, and kurtosis are labelled on the graph. Each graph has been shifted by 2 decades with respect to the lower one. The measurements for R, = 50 and 100 were done using a conventional static grid; for all other R, the active grid was in the random mode. The solid lines are Gaussian.

High-Reynolds-number grid-generated wind tunnel turbulence 357

FIGURE 23. F l l ( k l ) spectra with the beginning and ends of the scaling region (sl and s2 respectively) and the intervals ra and rh used for velocity difference statistics (see text) marked by arrows. Upper curve Ri = 473 (random mode); lower curve Ri = 50 (static grid).

10 -5 0 5 10 Av/Avrms

FIGURE 24. The p.d.f.s of Au(ra) and Au(ro), (a) and (h) respectively. The R,, and kurtosis are labelled on the graph. Each graph has been shifted by 2 decades with respect to the lower one. The measurements for R, = 50 and 100 were done using a conventional static grid; for all other R, the active grid was in the random mode. The solid lines are Gaussian.

transversal

U/U(L) U/U(L)

P! U

/U

(L)"

and Goldenfeld, 1995). These issues are being constantly

investigated with increasing precision (e.g., Anselmet

et al., 1983; Benzi et al., 1993; L’vov and Procaccia, 1995;

Arneodo et al., 1996; Cao et al., 1996; Tabeling et al.,1996; Sreenivasan and Dhruva, 1998).

The anomaly of scaling exponents is related to small-

scale intermittency. Roughly speaking, intermittency

means that extreme events are far more probable than

can be expected from Gaussian statistics and that the

probability density functions of increasingly smaller

scales are increasingly non-Gaussian (Fig. 3). This is a

statistical consequence of uneven spatial distribution of

the small-scale (Fig. 4), and can be modeled by multi-

fractals (Mandelbrot, 1974; Parisi and Frisch, 1985; Me-

neveau and Sreenivasan, 1991). Most nonlinear systems

are intermittent in time, space, or both, and the study of

intermittency in turbulence is useful in a broad range of

circumstances (e.g., Halsey et al., 1986).

Taken together, a major thrust of theoretical efforts

has been the understanding of intermittency, multifrac-

tality, and the anomaly of scaling exponents. Many

FIG. 3. The probability density functions, of differences of

velocity fluctuations, obtained in atmospheric turbulence

about 30 m above the ground. The ordinate is logarithmic in

the main figure and linear in the inset. Each curve is for a

different separation distance (using Taylor’s hypothesis). The

separation distance is transverse to the direction of the velocity

component. The smallest separation distance (about 2.5 mm) is

only five times the Kolmogorov scale , denoting the smallest

scale of fluctuations, while the largest (about 50 m) is compa-

rable to the height of the measurement point. For small sepa-

ration distances, very large excursions (even as large as 25

standard deviations) occur with nontrivial frequency; they are

far more frequent than is given by a Gaussian distribution

(shown by the full line), which is approached only for large

separation distances. Extended tails over a wide range of scales

is related to the phenomenon of small-scale intermittency (that

is, uneven distribution in space of the small scales). These

probability density functions are nonskewed. If the separation

distance is in the direction of the velocity component mea-

sured, the probability density functions possess a definite

skewness, as shown by Kolmogorov (1941a). This skewness is

related to the energy transfer from large to small scales. In

contrast to velocity increments, velocity fluctuations them-

selves have a nearly Gaussian character at this height above

the ground. The shape of the probability density function de-

pends on the flow and the spatial position in an inhomoge-

neous flow. For isotropic and homogeneous turbulence, it is

marginally sub-Gaussian for high fluctuation amplitudes.

FIG. 4. Planar cuts of the three-dimensional fields of (a) en-

ergy dissipation and (b) squared vorticity in a box of homoge-

neous and isotropic turbulence. The data are obtained by solv-

ing the Navier-Stokes equations on a computer. Not

uncommon are amplitudes much larger than the mean; these

large events become stronger with increasing Reynolds num-

ber. Such quantities are not governed by the central limit theo-

rem. The statistics of large deviations are relevant here, as in

many other broad contexts of modern interest. Kolmogorov

(1962) proposed log-normal distribution to model energy dis-

sipation (and, by inference, squared vorticity), but there seems

to be a general agreement that lognormality is in principle

incorrect (e.g., Mandelbrot, 1974; Narasimha, 1990; Novikov,

1990; Frisch 1995). Both these quantities have been modeled

successfully by multifractals (Meneveau and Sreenivasan,

1991). A promising alternative is the log-Poisson model (She

and Leveque, 1994).

S389Katepalli R. Sreenivasan: Fluid turbulence

Rev. Mod. Phys., Vol. 71, No. 2, Centenary 1999

U/U(L)

P! U

/U

(L)"

longitudinalAls Maß für Geschwindigkeiten auf einerLängenskala L betrachtet man Geschwin-digkeitsdifferenzen

~U(~L) = ~u(~x+ ~L)− ~u(~x) (6.1)

und deren Momente

D(p)l,t (L) =

⟨Ul,t(L)p

⟩(6.2)

wobei Ul,t(L) die longitudinale b.z.w.transversale Komponente von ~U ist.

K41 Skalenverhalten liefert mit (4.20)

D(p)l,t (L) = cl,t

(εL)p/3 (6.3)

Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung PL(U) müsste dementsprechend eine L-unabhängige universelleVerteilung

PL(U) =1

U(L)P( U

U(L)

)U(L) =

√D2(L) (6.4)

gegeben sein. Die Figur zeigt, dass gemessene Verteilungen P sehr wohl von L abhängen. Am Anfang derEnergiekaskade auf großer Längenskala L/λD ∼ 105 ist die Geschwindigkeit fast gaussverteilt, währendmit fortschreitender Kaskade, z.B. bei L/λD ∼ 100, die Verteilung sehr viel schwächer abfällt. Damit istaber auch das Skalenverhalten der höheren Momente zu modifizieren. Die hier gezeigte Verteilung der


longitudinalen Geschwindigkeitsdifferenzen Ul zeigt außerdem eine Assymmetrie, während Verteilungenfür die transversale Komponente Ut symmetrisch ist.

6.3 Kolmogorov 4/5-Gesetz

Bevor wir uns der Frage der Intermittenz zuwenden, untersuchen wir das Kolmogorov 4/5 Gesetz

Dlll(L) = −4

5εL+ 6νD′ll(L) (6.5)

wobei Dll(L) = D(2)l (L) =

⟨Ul(L)2

⟩und Dlll(L) = D

(3)l (L) =

⟨Ul(L)3

⟩ist. Für L λD, also im

Inertialbereich, ist der letzte Beitrag vernachlässigbar und die L-Abhängigkeit entspricht K41 Skalen.Es gilt aber allgemein und folgt allein aus der Navier-Stokes Gleichung sowie der Forderung nachIsotropie und Homogenität.

Zur Herleitung betrachten wir

D(~L) =⟨(~u(~L+ ~x)− ~u(~x)

)⊗(~u(~L+ ~x)− ~u(~x)

)⟩=⟨~U(~L; ~x)⊗ ~U(~L; ~x)

⟩(6.6)

Für homogene Turbulenz hängt dieser Ausdruck nicht von ~x ab.Mit ~v = ~u(~L+ ~x) und ~v′ = ~u(~x) liefert die Navier-Stokes Gleichung für ~U

∂t~U + (~v ·~∇)~v − (~v′ ·~∇′)~v′ − ν(∆~v −∆′~v′

)= − 1

ρo

(~∇P − ~∇′P ′

)(6.7)

Mit ~∇ → ~∇L und ~∇′ → ~∇x − ~∇L erhält man

∂t~U + (~U ·~∇L)~U + (~v′ ·~∇x)~U − 2ν[∇2L − ~∇L ·~∇x + 1

2∇2x

]~U = − 1

ρo~∇x[P − P ′

](6.8)

Daraus erhält man

∂tD +⟨(~U ·~∇L

)(~U ⊗ ~U

)⟩− 2ν∆LD + 2ν

∑

γ

⟨(∇γ~v

)⊗(∇γ~v

)+(∇′γ~v′

)⊗(∇′γ~v′

)⟩

= − 1ρo

⟨~U ⊗

(~∇x(P − P ′)

)+(~∇x(P − P ′)

)⊗ ~U

⟩(6.9)

wbei benutzt wurde, dass aufgrund der Homogenität ∇x 〈· · ·〉 = 0 ist. Der vierte Term auf der linkenSeite lässt sich aufgrund von Isotropie, Inkompressibilität und (4.6) umformen∑

γ

⟨(∇γvα

)(∇γvβ

)⟩= 1

3

∑

γδ

⟨(∇γvδ

)2⟩δαβ = 4 ε

3 ν ρoδαβ (6.10)

Der Term auf der rechten Seite verschwindet, was wie folgt gezeigt wird. Mit (6.1) erhält man Aus-drücke, die nur von einem Ort abhängen⟨[vα(~x)∇β + vβ(~x)∇α

]P (~x)

⟩= −

⟨P (~x)

[∇βvα(~x) +∇αvβ(~x)

]⟩= −2

⟨ηαβ(~x)P (~x)

⟩= 0 (6.11)

Dabei wurde homogenität, also ~∇〈· · · (~x) = 0〉, und isotropie, also⟨Q(~x)

⟩= 1

3

⟨Tr(Q(~x)

)⟩1, mit

⟨Tr(η)⟩

= 0 benutzt. Außerdem erhält man Ausdrücke, die von zwei Orten abhängen

⟨vα(~x+ ~L)∇βP (~x)

⟩= ∇(L)

β

⟨vα(~x+ ~L)P (~x)

⟩= ∇(L)

β

⟨Uα(~L, ~x)P (~x)

⟩(6.12)


Der Erwartungswert auf der rechten Seite ist aufgrund der Isotropie von der Form⟨~U(~L, ~x)P (~x)

⟩= ~L f(L) (6.13)

Bildet man die Divergenz erhält man

~∇L ·⟨~U(~L, ~x)P (~x)

⟩=⟨(~∇L · ~U(~L, ~x)

)P (~x)

⟩= 0 = 3 f(L) + Lf ′(L) (6.14)

Dies liefert f(L) = fo L−3. Andererseits verschwindet (6.13) für L → 0 und fo = f(L) = 0. Damit ist

auch die rechte Seite von (6.9) gleich 0.

Für eine stationäre Strömung erhält man damit∑

γ

∇(L)γ Dγαβ(~L)− 2ν∆LDαβ(~L) = − 16 ε

3 ρoδαβ (6.15)

Die Forderung nach Isotropie liefert

Dαβ(~L) = Dtt δαβ +(Dll(L)−Dtt(L)

) LαLβL2

(6.16)

Dαβγ(~L) = Dltt(L)(LαLδβγ +

LβLδαγ +

LγLδαβ

)+(Dlll(L)− 3Dltt(L)

)LαLβLγL3

(6.17)

Aus der Forderung nach ~∇·~v(~x) = 0 erhält man weitere Relationen. Betrachten wir dazu

∑

β

∇(L)β Dαβ(~L) =

∑

β

⟨(vα(~L+ ~x)− vα(~x)

)∇(L)β vβ(~L+ ~x) +

(vβ(~L+ ~x)− vβ(~x)

)∇(L)β vα(~L+ ~x)

⟩

=∑

β

⟨(vβ(~L+ ~x)− vβ(~x)

)∇(x)β vα(~L+ ~x)

⟩=∑

β

⟨∇(x)β

[(vβ(~L+ ~x)− vβ(~x)

)vα(~L+ ~x)

]⟩

= 0 = D′ll(L) +2

L

(Dll(L)−Dtt(L)

)(6.18)

Bildet man die Divergenz von (6.15) erhält man mit (6.18)∑

βγ

∇(L)β ∇(L)

γ Dγαβ(~L) = 2ν∑

β

∇(L)β ∆LDαβ(~L) = 0 (6.19)

und mit (6.17)

( ddL

+3

L

)(D′lll(L) +

1

L

(Dlll(L)− 6Dltt(L)

))= 0 (6.20)

Diese Gleichung wird durch D′lll(L) + 1L


)∼ L−3 gelöst. Andererseits ist für L→ 0

Dlll(L)→ 0 und Dltt(L)→ 0, und man erhält damit

D′lll(L) +1

L


)= 0 (6.21)

Mit diesen Resultaten erhält man schließlich für stationäre Turbulenz im Inertialbereich

Dlll(L) = 3Dltt(L) = − 4 ε

5 ρoL (6.22)


6.4 Intermittenz

Eine lokale Energiedissipation, (4.6), gemittelt über ein Volumen der Länge L sei gegeben durch

ε(~x, L) = 12ρo ν

⟨Tr(η(~x)·η(~x)

)⟩

L

(6.23)

Mit fortschreitender Energiekaskade, also kleineren Werten von L zeigt ε(~x, L) zunehmende Fluktua-tionen.

Kolmogorov und Obukov (1961) führten entsprechend eine Verteilung der Energiedissipation P (ε, L)auf einer Skala L ein. Die Verteilung auf Skala L sei durch die Verteilung auf einer größeren Slala, z.B.2L gegeben durch

P (ε, L) =

∫dε′W (ε|ε′)P (ε′, 2L) (6.24)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit W (ε|ε′) sei, unabhängig von L,

W (ε|ε′) =1

ε′f( εε′

)(6.25)

Die Erhaltung der Norm liefert∫

dε P (ε, L) =

∫dε′∫

dεε′f( εε′

)P (ε′, 2L) =

∫dy f(y)

∫dε′ P (ε′, 2L) =

∫dy f(y) = 1 (6.26)

Aus der Erhaltung der mittleren Energiedissipation folgt entsprechend∫

dε εP (ε, L) = ε =

∫dy y f(y)

∫dε′ ε′ P (ε′, 2L)

∫dy y f(y) = 1 (6.27)

Höhere Momente der Energiedissipation sind

⟨εp⟩L

=

∫dε εp P (ε, L) =

∫dy yp f(y)

⟨εp⟩2L

(6.28)


Für∫

dy yp f(y) = 2τ(p) (6.29)

ist damit

⟨εp⟩L

= 2τ(p)⟨εp⟩2L

=( LLo

)−τ(p)εp (6.30)

wenn man davon ausgeht, dass auf der größten Skala Lo keine Fluktuationen auftreten. K41 Skalierungbedeutet τ(p) = 0.

Für die Geschwindigkeit liefert K41 Skalierung UL ∼ (εL)1/3. Mittelt man nun Potenzen von UL überdie Fluktuationen von ε erhält man

⟨UpL⟩

=( LLo

)ζ(p) (εLo)p/3 ∼

∫dε(εL)p/3

P (ε, L) = Lp/3⟨εp/3

⟩L

=( LLo

)p/3−τ(p/3) (εLo)p/3 (6.31)

und

ζ(p) = p/3− τ(p/3) (6.32)

Mit (4.26) wird das Energiespektrum

E(K) ∼ ρ1/3o ε2/3K−5/3

o

( KKo

)−α(6.33)

mit dem zugehörigen Exponenten

α = 5/3− τ(2/3) (6.34)

Von Kolmogorov und Obukov wurde für f(y) eine Lognormale Verteilung vorgeschlagen. Das bedeutet,dass x = − ln(y)

ln(2) Gaussverteilt ist. Damit ist

f(y) =2x√

2πσ ln(2)e(x−x)2/2σ2

(6.35)

und mit (6.29) und µ = τ(2) = 2σ findet man

τ(p) = 12µ p (p− 1) ζ(p) = 1

3 p− 118 µ p (p− 3) α = 5/3 + µ/9 (6.36)

Für p = 3 ist ζ(3) = 1 im Einklang mit dem Kolmogorov 4/5 Gesetz (6.5).

Alternativ wurde ein Prozess diskutiert, bei dem die Energie in jedem Schritt nur auf einen Bruchteilβ des Volumens verteilt wird, also

f(y) = (1− β) δ(y) + βδ(y − 1/β) (6.37)

Dies liefert

τ(p) = ln(1/β)ln(2) (p− 1) = (p− 1)µ µ = τ(2) = ln(1/β)

ln(2)

ζ(p) = 13p− 1

3µ (p− 3) α = 5/3 + 13µ (6.38)


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 2 4 6 8 10

B

p

!(p)K 41

Lognormal µ=0.3

Experimentelle Daten für ζ(p) werden für nichtzu große p gut durch die Lognormalvertei-lung mit µ = 0.3 reproduziert. Daraus resul-tiert α = 5/3 + 0.033. Die Korrektur zum K41-Verhalten des Energiespektrums ist damit nichtsignifikant.

k !D

!E(k)

("#5)1/4

k!5/3

Normiertes Energiespektrum13.12.2010

7 Feldtheoretische Ansätze

7.1 Klassische Nichtgleichgewichtsdynamik

Eine feldtheoretische Formulierung klassischer dynamischer Systeme wurde von Wyld (1961) im Zu-sammenhang mit der Theorie voll ausgebildeter Turbulenz, und in allgemeinerer und transparentererForm von Martin, Siggia und Rose (1973) entwickelt.

Bevor wir uns der Turbulenz zuwenden, betrachten wir einen einzigen Freiheitsgrad ϕ(t), der einernichtlinearen Langevin-Gleichung genügt:

∂tϕ(t) = −ηoϕ(t−) +K(ϕ(t−)

)+ f(t−) (7.1)

wobei die Wirkung der Kräfte retardiert sei (Ito Kalkül).

Wir betrachten ein Ensemble von Gaussverteilten äußeren Kräften mit⟨(f(t)− 〈f(t)〉

) (f(t′)−

⟨f(t′)

⟩ )⟩= γo(t, t

′) (7.2)

Für spezielle Anwendungen, z.B. Brown’sche Bewegung, betrachtet man γo(t, t′) ∼ δ(t − t′), im Zu-

sammenhang mit einer statistischen Theorie der Turbulenz werden wir langzeitig korrelierte Kräftebetrachten.

Es sei O(ϕ

)eine Observable, die möglicherweise von ϕ(t) zu verschiedenen Zeiten abhängt. Wir

interessieren uns für Erwartungswerte⟨O(ϕ

)⟩f, wobei ϕ(t) Lösung von (7.1) mit vorgegebener An-

fangsbedingung ϕ(to) sei. Die Mittelung bezieht sich auf Kräfte f(t) und Anfangsbedingung ϕ(to).Für stationäre Zustände betrachtet man to→−∞, womit die Abhängigkeit von Anfangsbedingungenentfällt.

Ein Erwartungswert lässt sich als Pfadintegral darstellen

⟨O(ϕ

)⟩=

⟨∫Dϕ, ϕO

(ϕ

)e∫

dt−(∂t+ηo)ϕ(t)+K(ϕ(t−))+f(t−)ϕ(t)

⟩

f

(7.3)


wobei über reelle Pfade ϕ(t) und imaginäre Pfade ϕ(t) integriert wird. Letztere entspricht einemProdukt von δ-Funktionen, das dafür sorgt, dass (7.1) zu jeder Zeit erfüllt ist.

Der Erwartungswert über die gaussverteilten fluktuierenden Anteile der Kräfte kann jetzt durchgeführtwerden und liefert⟨O(ϕ

)⟩=

∫Dϕ, ϕO

(ϕ

)e∫

dt−(∂t+ηo)ϕ(t)+K(ϕ(t−))+f(t−)ϕ(t)+ 12

∫dtdt′ϕ(t)γo(t,t′)ϕ(t′) (7.4)

Neben Erwartungswerten ist man auch an deren Änderungen bei Änderung der äußeren Kraft inter-essiert, z.B. einer linearen Antwortfunktion δ

⟨O(ϕ

)⟩f/δf(t). Diese lässt sich als verallgemeinerter

Erwartungswert

δ⟨O(ϕ

)⟩f/δf(t) =

⟨O(ϕ

)ϕ(t)

⟩f

(7.5)

schreiben. Damit haben auch die Hilfsvariablen ϕ eine physikalische Bedeutung, und wir können imFolgenden f(t) = 0 setzen.

Kausalität fordert δ⟨O(ϕ

)⟩f/δf(t) =

⟨O(ϕ

)ϕ(t)

⟩= 0 falls O

(ϕ

)keine Observable ϕ(t′) zu

Zeiten t′ ≥ t enthält. Integration über über ϕ(s) b.z.w ∂sϕ(s) für s ≥ t liefert ϕ(s) ≡ 0 für s ≥ t, imEinklang mit der Forderung nach Kausalität, die hier formal eine Konsequenz des Ito-Kalküls ist.

Ausgehend von der Pfadintegraldarstellung kann eine Skelettgraphenentwicklung hergeleitet werden.Dazu schreiben wir⟨O(ϕ, ϕ

)⟩=

∫Dϕ, ϕO

(ϕ, ϕ

)eWo+W ′ (7.6)

mit

Wo = −∫

dt ϕ(t) ϕ(t)−∫

dt∫ t

dt′ ϕ(t) η(t, t′)ϕ(t′) + 12

∫dt∫dt′ ϕ(t) γ(t, t′) ϕ(t′) (7.7)

und

W ′ =

∫dtK

(ϕ(t)

)ϕ(t)−

∫dt∫ t

dt′ ϕ(t)(ηoδ(t− t′)− η(t, t′)

)ϕ(t′)

+ 12

∫dt∫dt′ ϕ(t)

(γo(t, t

′)− γ(t, t′))ϕ(t′) (7.8)

Ziel ist es, η(t, t′) und γ(t, t′) so zu bestimmen, dass von W ′ generierte Beiträge näherungsweise ver-schwinden.

Korrelations- und Responsefunktion für das ungestörte Problem sind C(t, t′) = 〈ϕ(t)ϕ(t′)〉o undG(t, t′) = 〈ϕ(t) ϕ(t′)〉o. Bewegungsgleichungen für diese Größen erhält man aus der allgemeinen Iden-tität∫Dϕ, ϕ δ

δϕ(t)O(ϕ, ϕ

)eW = 0 (7.9)

Für W →Wo und O(ϕ, ϕ

)= ϕ(t′) ergibt sich

∂tG(t, t′) = δ(t− t′)−∫ t

t′ds η(t, s)G(s, t′) (7.10)

mit G(t, t′) = 0 für t < t′. Für O(ϕ, ϕ

)= ϕ(t′) erhält man

∂tC(t, t′) = −∫ t

ds η(t, s)C(s, t′) +

∫ t′

ds γ(t, s)G(t′, s) (7.11)


oder

C(t, t′) =

∫ds ds′G(t, s) γ(s, s′)G(t′, s′) (7.12)

Zur Bestimmung von γ(t, t′) untersuchen wir∫Dϕ, ϕ eWo

δ2

δϕ(t)δϕ(t′)eW′

= γo(t, t′)− γ(t, t′) +

⟨K(ϕ(t)

)K(ϕ(t′)

)⟩ != 0 (7.13)

und fordern, dass dieser Ausdruck verschwindet. Näherungsweise werten wir den Erwartungswert mitW =Wo aus. Damit ist

γ(t, t′) ≈ γo(t, t′) +⟨K(ϕ(t)

)K(ϕ(t′)

)⟩o

(7.14)

Entsprechend erhält man η(t, t′) mit∫Dϕ, ϕ eWo

δ2

δϕ(t)δϕ(t′)eW′ ≈ η(t, t′)− ηoδ(t− t′)−

⟨K(ϕ(t)

)K ′(ϕ(t′)

)ϕ(t′)

⟩o

!= 0 (7.15)

Speziell für K(ϕ(t)

)= 1

2g ϕ(t)2 erhält man

η(t, t′) = ηoδ(t− t′)− g2C(t, t′)G(t, t′) γ(t, t′) = γo(t, t′) + 1

2g2C(t, t′)2 (7.16)

Damit bilden (7.10), (7.11) und (7.16) ein geschlossenen Gleichungssytem für Korrelations- undResponsefunktionen.

Beiträge höherer Ordnung zu η(t, t′) und γ(t, t′) können durch Skelettdiagramme dargestellt werden.Dabei wird K(ϕ) durch

!(t, t!)

!(t, t!)

, C(t, t′) durch

!(t, t!)

!(t, t!)

und G(t, t′) durch

!(t, t!)

!(t, t!)

dargestellt. Die Diagrammebis zur Ordnung g4 sind in der folgendem Figur gezeigt.

!(t, t!)

!(t, t!)

24.1.2011

7.2 ”Direct Interaction Approximation” (DIA, Kraichnan 1961)

Die Navier-Stokes-Gleichung in Fourierdarstellung, (4.12), ist

∂tuα(~k, t) + i∑

βγ

∫d3p d3q

(2π)3δ(~k − ~p− ~q)Vαβγ(~k)uβ(~p, t)uγ(~q, t) + ν k2 uα(~k, t)Θαβ(~k)

=∑

β

Θαβ(~k) fβ(~k, t) (7.17)

mit

Vαβγ(~k) = −Vαβγ(−~k) =

!(t, t!)

!(t, t!)

= Θαβ(~k) kγ (7.18)

In einer statistischen Theorie der isotropen voll ausgebildeten Turbulenz betrachtet man ein Ensemblegaussverteilter äußerer Kräfte mit⟨fα(~k) fβ(−~k)

⟩= Θαβ(~k) γo(k, t) (7.19)


Sie bestimmen die größte Längen- und Zeitskala. Entsprechend verschwindet γo(k, t) für k > Ko undist für t < to(Ko) konstant.

Die Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts lassen sich aufgrund der formalen Ähnlichkeit von(7.17) mit (7.1) unmittelbar übertragen. Für stationäre, isotrope und homogene Turbulenz sindKorrelations- und Responsefunktionen durch skalare Funktionen gegeben, die nur von k = |~k| undt− t′ abhängen:

Cαβ(~k, t, t′) = Θαβ(~k)C(k, t− t′) Gαβ(~k, t, t′) = Θαβ(~k)G(k, t− t′) (7.20)

Entsprechendes gilt für die Selbstenergien γ(k, t) und η(k, t).In der DIA wird jeweils nur das erste Diagrammvon γ(k, t) und η(k, t) berücksichtigt. Da derVertex nicht symmetrisch ist, erhält man die hiergezeigten Diagramme. Damit wird

!(t, t!)

!(t, t!)

!

!

γ(k, t) = γo(k, t) + 14

∑

αββ′γγ′

∫d3p d3q

(2π)3δ(~k + ~p+ ~q) Θββ′(~p)C(p, t) Θγγ′(~q)C(q, t)

×[Θαβ(~k) kγ + Θαγ(~k) kβ

][Θαβ′(~k) kγ′ + Θαγ′(~k) kβ′

]

= γo(k, t) + k2

∫

∆dp dq F (k, p, q) a(k, p, q)C(p, t)C(q, t) (7.21)

Dabei kommt der Faktor

F (k, p, q) =p q

4π2 k(7.22)

von der Umwandlung der Integration über ~p und ~q in ein Integral über Dreiecke mit Seiten k, p und q.Der Faktor

a(k, p, q) = 12k2

[Tr(Θ(~p) ·Θ(~k)

)(~k ·Θ(~q) · ~k

)+(~k ·Θ(~p) ·Θ(~k) ·Θ(~q) · ~k

)

+(~k ·Θ(~q) ·Θ(~k) ·Θ(~p) · ~k

)+ Tr

(Θ(~q) ·Θ(~k)

)(~k ·Θ(~p) · ~k

)]

=S2

8k4p2q2

[k2(p2 + q2) +

(p2 − q2

)2] (7.23)

berücksichtigt die Summationen über die transversalen Projektoren Θ···(· · · ), und

S =√

2k2p2 + 2k2q2 + 2p2q2 − k4 − p4 − q4 (7.24)

ist die Fläche des Dreiecks mit Kanten k, p und q.

Eine entsprechende Rechnung liefert

η(k, t) = νk2δ(t− t′) + k2

∫

∆dp dq F (k, p, q) b(k, p, q)G(p, t)C(q, t) (7.25)

mit

b(k, p, q) =S2

4k4p2q2

[2k2p2 − q2(k2 + p2 − q2)

](7.26)


Es gelten folgende Beziehungen:

a(k, p, q) = a(k, q, p) k2b(k, p, q) = p2b(p, k, q) a(k, p, q) = 12

(b(k, p, q) + b(k, q, p)

)(7.27)

Die Bewegungsgleichungen sind entsprechend (7.10) und (7.12)

∂tG(k, t) = δ(t)−∫ t

0ds η(k, t− s)G(k, s) (7.28)

und

∂tC(k, t) = −∫

0ds η(k, s)C(k, t+ s) +

∫ds γ(k, t+ s)G(k, s) (7.29)

Man erhält damit ein geschlossenes Gleichungssystem. Es kann z.B. numerisch, allerdings mit gewissemAufwand, gelöst werden.

Die Energiedichte (4.8) ist

ρE = 12ρo

∫d3k

(2π)3

⟨~u(~k, t) · ~u(−~k, t)

⟩= 1

2ρo

∫d3k

(2π)3

∑

α

Cαα(~k, t, t) = ρo

∫k2 dk2π2

C(k, t, t) (7.30)

Die Transferrate von Energie von kleinen zu großen Wellenvektoren Π(K), (7.27), ist

Π(K) = ρo

∫ K

0

k2 dk4π2

⟨∂t~u( ~K, t) · ~u(−~k, 0)

⟩ ∣∣∣t=0

= ρo

∫ K

0

k2 dk2π2

∂tC(k, t)∣∣∣t=0

=ρo

16π4

∫dt∫ K

0dk∫ ∞

Kdp∫ p+k

p−kdq k3 p q b(k, p, q)C(q, t)

G(k, t)C(p, t)−C(k, t)G(p, t)

(7.31)

wobei benutzt wurde, dass aufgrund von (7.27) der Integrationsbeitrag für p < K verschwindet. Dasentsprechende Integral über k > K liefert einen Beitrag −Π(K). In der DIA ist damit Energieerhaltunggewährleistet.

7.3 Skalenverhalten und Infrarot Divergenzen in der DIA

Durch die Korrelation der fluktuierenden Kräfte γo(k, t) ist eine größte Längenskala b.z.w. ein kleinsterWellenvektor Ko gegeben. Im folgenden wollen wir die Abhängigkeit von Ko untersuchen. Eine we-sentliche Annahme in der Kolmogorov 41 Theorie war eine Unabhängigkeit von Ko und eine konstanteTransferrate Π(K) = ε im Inertialbereich k Ko.Wir untersuchen ein etwas allgemeineres Skalenverhalten mit einer Zeitskala

τ(k) ∼ k−2/3 (k/Ko)−δ (7.32)

und dem Ansatz

C(k, t) ∼ k−11/3(k/Ko)ζ C(t/τ(k)

)G(k, t) ∼ G

(t/τ(k)

)(7.33)

wobei δ = ζ = 0 dem K 41 Skalenverhalten entspricht.

Das Energiespektrum (4.9) wird damit

E(k) ∼ k−5/3(k/Ko)ζ (7.34)


Unter der Annahme, dass die Hauptbeiträge in den Integralen in (7.21), (7.25) und (7.31) von p ∼ q ∼ kstammen, erhält man folgende Abschätzungen

γ(k, τ(k)) ∼ k−7/3(k/Ko)2ζ η(k, τ(k)) ∼ k4/3(k/Ko)

ζ Π(k) ∼ (k/Ko)2ζ−δ (7.35)

Zur Abschätzung der Abhängigkeit von Ko k untersuchen wir die Beiträge von p − k ∼ q ∼ Ko

beziehungsweise q−k ∼ p ∼ Ko. Mit (7.26) findet man im ersten Fall b(k, k, q)→ 2 für q → 0, währendb(k, p, k)→ p2 für p→ 0. Das führende Verhalten ist also durch q ∼ Ko gegeben. Bei der Abschätzungvon Π(K) ist zu berücksichtigen, dass sich die beiden Beiträge in (7.31) im Grenzfall q → 0 und p→ kkompensieren. Man erhält schließlich

γ(k, τ(k)) ∼ k−7/3(k/Ko)2/3+ζ η(k, τ(k)) ∼ k4/3(k/Ko)

2/3 Π(k) ∼ (k/Ko)−1/3+ζ−δ (7.36)

Eine Abschätzung der Zeitskala erhält man aus (7.28), und mit (7.32) ist

1

τ(k)∼ τ(k) η

(k, τ(k)

)η(k, τ(k)

)∼ k4/3 (k/Ko)

2δ (7.37)

Die Existenz einer Energiekaskade erfordert Π(K) = ε, unabhängig von K, im Inertialbereich. Diesbedeutet ζ = 1

2δ. Für δ >−2/3 tragen damit Werte von q ∼ Ko nicht zum Energietransfer bei, unddie Kaskade ist lokal. Für ζ < 2/3 und folglich δ < 4/3 wird η und γ durch Beiträge von q ∼ Ko

dominiert.Der Vergleich von (7.36) mit (7.37) liefert δ = 1/3 und ζ = 1/6. Das Energiespektrum E(k) ∼ k−3/2

weich von dem Kolmororovspektrum, allerdings nur wenig, ab. Bemerkenswert ist, dass die Energie-transferrate nicht durch Ko bestimmt ist, die typische Zeitskala τ(k) jedoch schon.

30.1.2011

7.4 Advektion, stochastische Galilei-Transformation

Die Navier-Stokes Gleichung ist -invariant. Betrachten wir ein Laborsystem mit Koordinaten ~x und Ge-schwindigkeiten ~u(~x, t), sowie ein mit konstanter Geschwindigkeit ~v bewegtes System mit Koordinaten~x und Geschwindigkeiten ~u(~x, t). Dann gilt

~x = ~x+ ~vt ~u(~x, t) = ~u(~x, t) + ~v (7.38)

und für die Fourier-transformierten Geschwindigkeiten

~u(~k, t) = e−i~k·~v t~u(~k, t) + ~v δ(~k) (7.39)

Die Zeitableitung in der Navier-Stokes Gleichung transformiert sich entsprechend

∂t~u(~k, t)→ e−i~k·~v t[− i(~k · ~v

)+ ∂t

]~u(~k, t) (7.40)

und der Advektionsterm

i

∫d2pd3q

(2π)3δ(~k + ~p+ ~q)

(~k ·~u(~q, t)

)Θ(~k)·~u(~p, t)

→ e−i~k·~v t[i

∫d2pd3q

(2π)3δ(~k + ~p+ ~q)

(~k ·~u(~q, t)

)Θ(~k)·~u(~p, t) + i

(~k · ~v

)~u(~k, t)

](7.41)

wobei sich die Terme ∼(~k · ~v

)gegenseitig wegheben, womit die Galilei-Invarianz gezeigt ist.


Die Transformation der Korrelations- und Responsefunktionen ist

C(~k, t) = e−i~k·~v t C(~k, t) + ~v ⊗ ~v δ(~k)) G(~k, t) = e−i~k·~v t G(~k, t) (7.42)

Nehmen wir an, dass im bewegten System eine charakteristische Zeitskala τ(k) existiert. Im La-borsystem existiert dann eine weitere Zeitskala τA(k) = 1/(v k), die möglicherweise kürzer ist, alsoτA(k) τ(k). In diesem Fall wird die Dynamik im Laborsystem im wesentlichen durch Advektion,und nicht durch die intrinsische Dynamik im bewegten System, bestimmt.

Speziell sei die Bewegung des bewegten System durch die großräumigen Strömung bewirkt. Diese seidurch die Fourier-Komponenten mit k < K1 definiert. Bei der Transformation von bewegtem Systemzum Laborsystem ist damit über die großräumige Bewegung zu mitteln. Unter Vernachlässigung derZeit- und Wellenzahlabhängigkeit ist damit über eine Verteilung P (v) zu mitteln, die näherungsweiseals Gauss-Verteilung angenommen werde. Damit wird (für k 6= 0)

C(~k, t) = e−16k2〈v2〉t2 C(~k, t) G(~k, t) = e−

16k2〈v2〉t2 G(~k, t) (7.43)

mit

⟨v2⟩

=

∫ K1

Ko

k2 dk2π2

C(k, 0) (7.44)

Falls die Korrelations- und Responsefunktionen im bewegten System in DIA berechnet, erhält mandas vorher diskutierte Skalenverhalten mit Abschneidewellenzahl K1. Wählt man K1 = λk Ko erhält man für C(k, t) und G(k, t) Kolmogorov-Skalierung. Für gleichzeitige Erwartungswer-te, z.B für das Energiespektrum, hat die Transformation auf das Laborsystem keinen Einfluss.Man erhält also das Kolmogorov-Spektrum E(k) ∼ k−5/3. Die Zeitskala für Advektion wird damitτA(k) ∼ k−2/3

(k/Ko

)−1/3. Gegenüber der ursprünglichen DIA ändert sich also das Spektrum, die Zeit-skala bleibt jedoch unverändert, also ζ = 0 und δ = 1/3. Dies zeigt aber auch, dass die Galilei-Invarianzin der DIA gebrochen ist.Die hier vorgeschlagene Prozedur ist nur bedingt brauchbar, vor allem, weil die Ergebnisse stark von λabhängen, und der Übergangsbereich von kleinen zu größeren Wellenvektoren nicht adäquat behandeltwird. Es zeigt aber auch, dass allgemein eine auf der Euler’schen Beschreibung basierende DynamischeTheorie, durch Advektionseffekte korrumpiert wird.

7.5 Lagrange’sche Theorien

Die grundlegende dynamische Gleichung, die Navier-Stokes-Gleichung ist in Euler’scher Beschreibungformuliert. Für eine Theorie, die nicht durch Advektioneffekte korrumpiert ist, scheint eine Lagran-ge’sche Beschreibung angebracht.

Als Ausweg wurde von Kraichnan, 1966, eine Formulierung vorgeschlagen, die auf verallgemeinertenGeschwindigkeiten ~u(~x, t|s) beruht, die als Spezialfall sowohl die Euler’sche wie auch die Lagrange’scheBeschreibung enthalten.

In der Lagrange’schen Beschreibung ist ~x(~x0, t) die Position eines Flüssigkeitsteilchens, welches sichzur Zeit 0 am Ort ~xo befunden hat. Die Lagrange’sche Geschwindigkeit ist ~uL(~xo, t) = ∂t~x(~x0, t). Fürdie Euler’sche Geschwindigkeit gilt ~uE

(~x(~xo, t), t

)= ~uL(~xo, t).

Kraichnan führte eine verallgemeinerte Geschwindigkeit uK(~xo, s|t) ein, in der als Koordinate der Ort~x(~xo, s|t) eines Teilchens zu einer Zeit t benutzt wird, welches sich zur Zeit s am Ort ~xo befunden hat.Sie ist definiert als

uK(~xo, s|t) = uE(~x(~xo, s|t), t

)(7.45)


mit

~x(~xo, t|t) = ~xo uK(~x, t|t) = uE(~x, t)

(7.46)

und

∂t~x(~xo, s|t) = uE(~x(~xo, s, t), t

)= ~uK(~xo, s|t) (7.47)

Es gilt

~x(~xo, s|t) = ~x(~x′, s′|t) = ~x(~x(~xo, s|s′), s′

∣∣t)

(7.48) s s! t

x(s)

x(s )!

x(t)

Differentiaion nach s′ liefert mit s′→s

∂s~x(~xo, s|t) = −(~uE(~xo, s)·~∇o

)~x(~xo, s|t) (7.49)

und mit (7.47)

∂s~uK(~xo, s|t) = −(~uK(~xo, s|s)·~∇o

)~uK(~xo, s|t) (7.50)

Dieser Ausdruck erinnert an den Advektionsterm in der Navier-Stokes-Gleichung.

Man definiert verallgemeinerte Korrelationsfunktionen

CK

(~x, s|t ; ~x′, s′|t′) =⟨~uK(~x, s|t) ⊗ ~uK(~x′, s′|t′)

⟩(7.51)

und entsprechende Responsefunktionen. Spezialfälle sind

CK

(~x, t|t ; ~x′, t′|t′) = CE

(~x, t; ~x′, t′) CK

(~x, s|t ; ~x′, s|t′) = CL

(~x, t; ~x′, t′; s) (7.52)

Interessiert ist man an der Lagrange’schen KorrelationsfunktionCL

(~x, t; ~x′, t′; s). Die Euler’sche Korrelations- und Responsefunktion fol-gen Bewegungsgleichungen, die aus der Navier-Stokes-Gleichung gewon-nen wurde, z.B. den Gleichungen der DIA. Die Transformation von Euler-zu Lagrange’scher Beschreibung geschieht mittels Bewegungsgleichungenvom Typ (7.50). Die Berechnung erfolgt also durch Integration entlangder roten, blauen und wieder roten Linie im s-t-Diagram. Die Nicht-linearitäten, die bei der Transformation von der Lagrange- zur Euler-Beschreibung, also bei der Integration entlang der roten Wege, auftretenwerden wieder entsprechend der DIA behandelt.

s

t

Infrarotdivergenzen treten auf jedem der Teilwegen auf, sie kompensieren sich aber vollständig. Diehier skizierte LHDIA (Lagrange History Direct Interaction Approximation) liefert damit Kolmogorov41 Skalierung. Die numerische Lösung der resultierenden Gleichungen ist aufwendig und nicht ohnezusätzliche Näherungen Möglich.Damit hat man, wenigstens im Prinzip, das Problem der Advektion gelöst. Es existiert aber nach wievor kein kleiner Parameter, der eine Beschränkung auf die einfachsten Diagramme rechtfertigen würde.Intermittenzkorrekturen wären beispielsweise erst bei einer besseren Behandlung von Vierpunktfunk-tionen zu erwarten.

Ein alternativer Vorschlag zur Vermeidung der Advektionseffekte wurde von Belinicher und L’vov(1987) gemacht, und von L’vov und Procaccia (1995 und folgende) weiter entwickelt.Es sei ~y(~xo, to|t) die Koordinate eines Teilchens zur Zeit t, welches sich zur Zeit to am Ort ~xo befundenhat. Sie genügt der Gleichung

∂t ~y(~xo, to|t) = ~uE(~y(~xo, to|t), t) ~y(~xo, to|to) = ~xo (7.53)


Man definiert eine Geschwindigkeitsdifferenz

~w(~xo, to|~x, t) = ~uE(~x+ ~y(~xo, to|t), t

)− ~uE

(~y(~xo, to|t), t

)(7.54)

für die wieder eine Bewegungsgleichung vom Typ der Navier-Stokes-Gleichung gilt. Daraus wird einediagrammatische Entwicklung hergeleitet, die aber frei von Infrarotdivergenzen ist, da hier Geschwin-digkeitsdifferenzen betrachtet werden. In einfachster Form erwartet man damit K41 Skalierung. DieAufsummation von Leiterdiagrammen führt zu logarithmischen Divergenzen, die anomale Exponenten,also Intermittenzkorrekturen, anzeigen.

3.2.2011

8 Zweidimensionale Turbulenz

8.1 Erhaltungsgrößen

Das Energiespektrum (4.9) in zwei Dimensionen ist

E(k) =k ρo4π

⟨~u(~k)·~u(−~k)

⟩(8.1)

und die zeitliche Änderung aufgrund von Energietransfer, (4.13) und (4.14), ist

Etr(k) =k

2π

∫d2p d2q

(2π)2δ(~k + ~p+ ~q)A(k, p, q) (8.2)

mit

A(k, p, q) =i ρo4

⟨(~k ·~u(~p)

)(~u(~k)·~u(~q)

)⟩+⟨(~k ·~u(~q)

)(~u(~k)·~u(~p)

)⟩

=i ρo4

⟨(~k ·~u(~p)

)(~u(~k)·~u(~q)

)⟩−⟨(~p·~u(~q)

)(~u(~k)·~u(~p)

)⟩(8.3)

wobei in der zweiten Zeile ~k + ~p+ ~q = 0 und(~q ·~u(~q)

)= 0 benutzt wurde. Es gilt

A(k, p, q) = A(k, q, p) A(k, p, q) +A(p, q, k) +A(q, k, p) = 0 (8.4)

und damit die Erhaltung der Energie bezüglich Transferprozessen∫

dk Ftr(k) = 0 (8.5)

Für die Wirbelstärke in zwei Dimensionen gilt

~ω(~k) = i~k × ~u(~k) = i k u(~k)~ez (8.6)

wobei ~k und ~u(~k) in der x− y−Ebene liegen und ~ez ein Einheitsvektor in z−Richtung sei. Analog zu(8.1) sei

Ω(k) =k

2π

⟨~ω(~k)·~ω(−~k)

⟩=k3

2π

⟨u(~k)u(−~k)

⟩=

2 k2

ρoE(k) (8.7)

und

Aω(k, p, q) =i

2

⟨(~k ·~u(~p)

)(~ω(~k)·~ω(~q)

)⟩+⟨(~k ·~u(~q)

)(~ω(~k)·~ω(~p)

)⟩

=i

2

k q⟨(~k ·~u(~p)

)(u(~k)u(~q)

)⟩− k p

⟨(~p·~u(~q)

)(u(~k)u(~p)

)⟩(8.8)


und entsprechend (8.4) gilt

Aω(k, p, q) = Aω(k, q, p) Aω(k, p, q) +Aω(p, q, k) +Aω(q, k, p) = 0 (8.9)

womit auch die sogenannte Enstrophie

Z =

∫dkΩ(k) =

∫dk k2E(k)

∫dk k2Etr(k) = 0 (8.10)

eine Erhaltungsgröße ist.Die zugehörigen Transferraten sind

Π(K) =

∫ K

0

d2k

(2π)2

∫d2p d2q

(2π)2δ(~k + ~p+ ~q)A(k, p, q) (8.11)

und

Πω(K) =

∫ K

0

d2k

(2π)2

∫d2p d2q

(2π)2δ(~k + ~p+ ~q)Aω(k, p, q) (8.12)

8.2 Enstrophie- und Energiekaskade

Dimensionsanalyse in d Dimensionen liefert

E(k) ∼ ρo k−3 τ−2(k) Etr(k) ∼ k2d−1A(k, p, q) ∼ ρo k−3 τ−3(k)

A(k, p, q) ∼ ρo k−2 τ−3(k) Π(k) ∼ ρo k−2 τ−3(k)

Ω(k) ∼ 1ρok2E(k) ∼ k−1 τ−2(k) Πω(k) ∼ τ−3(k)

Ediss(k) = −ν k2E(k) = −12νρo Ω(k) Πdiss(k) =

∫ k

0dκ Ediss(κ) ∼ −νρoτ−2(k) (8.13)

Die Annahme der Existenz einer Energiekaskade ergibt Kolmogorov-41 Skalengesetze

Π(k) = ε τ(k) ∼ ρ1/3o ε−1/3 k−2/3 E(k) ∼ ρ−1/3

o ε2/3 k−5/3

Πω(k) ∼ ρ−1o ε k2 Ω(k) ∼ ρ−1/3

o ε2/3 k1/3 Πdiss(k) ∼ −νρ1/3o ε2/3 k4/3 (8.14)

In zwei Dimensionen ist auch die Enstrophie erhalten und es besteht die Möglichkeit einer Enstro-phiekaskade. Nimmt man an, dass ein Inertialbereich existiert, in dem außer der Wellenzahl nur dieentsprechende Transferrate bestimmend ist, erhält man

Πω(k) = η τ(k) ∼ η−1/3 E(k) ∼ ρo η2/3 k−3

Π(k) ∼ ρo η k−2 Ω(k) ∼ η2/3 k−1 Πdiss(k) ∼ −νρo η2/3 (8.15)

Von Kraichnan (1968) wurde folgendes Konzept entwickelt, das durch numerische Simulationen undExperimente gestützt wird. Nehmen wir an, dass die Turbulenz durch äußere Kräfte in einem Wel-lenzahlbereich um Ki aufrecht erhalten wird. Dann existiert für k > Ki eine Enstropiekaskade in derWirbelstärke zu kleineren Strukturen transportiert wird und schließlich durch viskose Kräfte dissipiertwird. Für k < Ki existiert eine inverse Energiekaskade in der Energie zu großräumigen Strukturentransportiert wird. Um einen stationären Zustand zu erreichen muss diese letztlich zum Beispiel an


Wänden in Grenzschichten dissipiert werden. Im Übergangsbereich k ∼ Ki ist η ∼ ρ−1o εK2

i und dieAbschätzungen in (8.14) und (8.15) stimmen überein.

Im Bereich der Enstrophiekaskade wird zwar Wirbelstärke zu kleinen Strukturen transportiert, derEnergietransport klingt aber für k > Ki schnell ab. Die bis zu einer Wellenzahl k dissipierte EnergieΠdiss(k) ist konstant. Die viskose Energiedissipation ist also, bis auf logarithmische Korrekturen, ver-nachläßigbar.

Da die auf der Skala Ki eingebrachte Energie nicht zu größeren Wellenzahlen transportiert wird, kannsie nur zu kleineren Wellenzahlen, also größeren Strukturen, transportiert werden, oder lokal dissipiertwerden. Das Verhältnis von dissipierter zu eingebrachter Energie ist aber Πdiss(Ki)/Π(Ki) ∼ 1/Re, istalso für große Reynold’sche Zahlen vernachlässigbar. Ein stationärer Zustand kann also nur erreichtwerden, wenn weitere Mechanismen zur Dissipation von Energie, zum Beispiel durch viskose Dämpfungan Grenzschichten von äußeren Wänden, bestehen.

Insgesamt ergibt sich folgendes Bild: Kleinere Wirbel werden in der Scherströmung größerer Wirbelzu dünneren Filamenten verformt, und schließlich dissipiert. Dies entspricht der Enstrophiekaskade.Ein kleiner Teil der Wirbelstärke der kleinen Wirbel wird in die großen Wirbel eingebracht, wodurchderen Stärke noch anwächst. Im Fall zerfallender Turbulenz bleiben also nur wenige große Wirbel übrig,aber auch im Fall stationärer Turbulenz ergibt sich eine Verteilung mit wenigen großen Wirbeln. Diesentspricht der inversen Energiekaskade.


9 Literatur

Lehrbücher:G.K.Batchelor: The theory of homogeneous turbulence (Cambridge University Press, 1953/1982)M.Lesieur: Turbulence in Fluids (Kluwer Academic Publishers, 1997)

Übersichtsartikel:K.R.Sreenivasan: Fluid turbulenc, Rev.Mod.Physics, 71, 383 (1999)Ye Zhou: Renormalization group theory for fluid and plasma turbulence, Phys. Rep. 488, 1 (2010)

Vorlesungen aus dem InternetG.Boffetta: Introduction to fully developed turbulence

http://seminairetransalpin.in2p3.fr/2009/talks/Boffetta.pdfJ.M.McDonough: Introductory Lectures on Turbulence

http://www.engr.uky.edu/ acfd/lctr-notes634.pdfA. Celani: Hydrodynamic Turbulence (2003 Chalkidiki Summer School)

http://www.astro.auth.gr/ vlahos/school2003/ss/celani.pdf

Originalarbeiten:A. N. Kolmogorov: The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large

Reynolds number, Dokl.Acad. Nauk. SSSR 30, 9 (1941)C.F.von Weizsäcker: Das Spektrum der Turbulenz bei großen Reynoldsschen Zahlen,

Z.Phys. 124, 614 (1948)W.Heisenberg: Zur Statistischen Theorie der Turbulenz, Z.Phys. 124, 628 (1948)A. N. Kolmogorov: A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence

in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number, J. Fluid Mech. 13, 82 (1962)A.M.Obukhov: Some specific features of atmospheric turbulence, J.Fluid Mech. 13, 77 (1962)R.H.Kraichnan: Irreversible statistical mechanics of incompressible hydromagnetic turbulence,

Phys. Rev. 109, 1047 (1958)R.H.Kraichnan: Decay of Isotropic Turbulence in the Direct-Interaction Approximation,

Phys.Fluids. 7, 1030 (1964)R.H.Kraichnan: Lagrangian-History Closure Approximation for Turbulence,

Phys.Fluids. 8, 575 (1965)V.L’vov and I.Procaccia: Exact Resummations in the Theory of Hydrodynamic Turbulence I-II,

Phys.Rev. E, 52, 3840, 3858 (1995)R.H.Kraichnan: Lagrangian-History Closure Approximation for Turbulence,

Phys.Fluids. 10, 1417 (1967)

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Turbulenz: Januar 2011 Heinz Horner Turbulenzhorner/Turbulenz.pdf · Turbulenz: Januar 2011 Heinz Horner 5 Der Advektionsterm in der Navier-Stokes Gleichung, und auch der Druckterm