Hochschule Darmstadt

Mathematisches Seminar

Experimentelle Mathematik

Die wichtigste Funktion der Mathematik

Autor:Stefan Angersbach

Betreuer:Prof. Dr. Torsten-Karl Strempel

28. Februar 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Geschichtliches 22.1 Das Basler Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Konvergenz der Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Euler Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Spezielle Funktionswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Analytischer Teil 53.1 Die Riemannsche ζ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Funktionalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Die Riemannsche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Experimenteller Teil 94.1 Approximation der ζ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1 Approximation durch Reihendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.2 Approximation durch Euler-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3 Approximation durch abgebrochener Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.4 Vergleich mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Darstellung komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Ausblick und Fazit 13

1

1 Einleitung

Es gibt nicht wenige Mathematiker die behaupten die ζ-Funktion sei die wichtigste Funktion der Ma-thematik. Die Grunde dafur lassen sich unter drei wesentlichen Aspekten zusammenfassen.

Die ζ-Funktion taucht in vielen verschiedenen mathematischen Disziplinen auf, sei es die Analysis, dieZahlentheorie oder die Wahrscheinlichkeitstheorie und deswegen ist es ganz naturlich, das die Schnitt-menge der Mathematiker, die sich mit der ζ-Funktion beschaftigen, groß ist.

Des Weiteren steht die ζ-Funktion in Verbindung mit anderen wichtigen mathematischen Funktionen,darunter auch mit einer außerst exakten Primzahlfunktion. Da noch wesentliche Erkenntnisse uber denAufbau der Primzahlen fehlen, ist es nicht verwunderlich, dass auch die ζ-Funktion in der aktuellenForschung Gegenstand vieler Uberlegungen ist.

Zu guter Letzt sei noch erwahnt, das diese Funktion Ausgangspunkt eines der beruhmtesten Milleni-umproblemen ist, der Riemannschen Vermutung.

2 Geschichtliches

2.1 Das Basler Problem

Angefangen hat alles im Jahr 1644 mit dem Basler Problem. Schweizer Mathematiker interessiertensich fur den Wert der Summe der reziproken Quadratzahlen

1

2+

1

4+

1

9+

1

16+ ...

Also dem Grenzwert der unendlichen Reihe

∞∑n=1

1

n2= 1 +

1

22+

1

32+

1

42+ ...

Nach mehreren Jahren erfolgloser Suche, fand Euler die Losung fur dieses Problem.

Abbildung 1: Leonard Euler, schweizer Mathematiker, 1707-1783

2

Euler untersuchte hierfur unter anderem Verallgemeinerungen der Form

ζ(x) =∞∑n=1

1

nx

fur x ∈ R. Dieser Ausdruck ist ein einfacher Spezialfall einer Dirichletreihe, wobei der Zahler derkonstante Funktion F ≡ 1 entspricht. Der Einfachheit halber soll die Funktion (1) im Folgenden ζ-Funktion genannt werden, obwohl diese Bezeichnung eigentlich erst mit Riemann in Mode kam.

2.2 Konvergenz der Reihe

Diese Reihe ist auch unter dem Namen allgemeine harmonische Reihe bekannt geworden. Ihr Konver-genzverhalten lasst sich mit Hilfe des Cauchyeschen Verdichtungskriterium verifizieren.

Satz 1. Sei (an)n∈N eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Dann hat die unend-liche Reihe

∑∞n=1 an das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

∞∑k=0

2ka2k

Wendet man diesen Satz auf die Reihe∑∞

n=11nx an, so erhalt man die verdichtete Reihe

∞∑k=0

2k1

(2k)x=

∞∑k=0

(21−x)k.

Weiter folgt

∞∑k=0

((21−x)︸ ︷︷ ︸:=q

)k =∞∑k=0

qk

Man erhalt also die geometrische Reihe, von der man weiß, dass diese konvergiert wenn q < 1 ist. Dasist der Fall, wenn x > 1 ist. Demnach konvergiert die Reihe (1) fur alle x > 1 mit x ∈ R. Fur allex < 1 ist die Reihe divergent.

2.3 Euler Produkt

Euler war auch der erste, der einen Zusammenhang zwischen der ζ-Funktion und den Primzahlenerkannte. ∏

p prim

1

1− px=

∞∑n=1

1

nx= ζ(x)

3

2.4 Spezielle Funktionswerte

Schaut man sich nun die ersten Funktionswerte an, so offenbaren sich interessante Werte fur spezielleArgumente.

ζ(2) = 1.6449340668... =π2

6ζ(3) = 1, 2020569032...

ζ(4) = 1.0823232337... =π4

90ζ(5) = 1, 0369277551...

ζ(6) = 1.0173430619... =π6

945

Nun kann man sich offenkundig die Frage stellen, ob fur die geraden ganzzahligen Argumente einezuganglichere Formel findet. Und in der Tat, es fand sich folgende Berechnungsmoglichkeit

ζ(2n) = (−1)n−1(2π)2n

2(2n)!B2n

Wobei Bn die sogenannten Bernouli-Zahlen beschreiben mit der rekursiven Formel

Bn = − 1

n+ 1

n−1∑k=0

(n+ 1

k

)Bk Startwert B0 = 1

Mit dieser Formel hat man also die Moglichkeit fur gerade ganzzahlige Argumente exakte Funktions-werte zu berechnen ohne approximieren zu mussen. Da der Funktionswert fur ζ(2) im experimentellenTeil als Vergleichswert dienen wird, soll nun eine exemplarische Berechnung fur diesen Wert vorgefuhrtwerden.

Beispiel 1.

ζ(2) =(2π)2

2(2!)B2 =

4π2

4B2 = π2B2

B0 = 1

B1 = −1

2

0∑k=0

(3

k

)Bk = −1

2

(3

0

)B0 = −1

2

B2 = −1

3

1∑k=0

(3

k

)Bk = −1

3

[(3

0

)B0 +

(3

1

)B1

]=

1

3

[1− 1

2

]=

1

6

⇒ ζ(2) = π2B2 =π2

6

4

An dieser Stelle kann man sich nun zu Recht fragen, welche Werte die ζ-Funktion an nicht geradenganzzahligen Argumenten annimmt und ob es hierfur auch Formlen fur die exakte Berechnung gibt.Fur ganzzahlige negative Argumente hat sich folgende Formel finden lassen

ζ(1− n) = −Bnn

Daraus ergeben sich insbesondere

ζ(−2) = ζ(−4) = ζ(−6) = ... = 0

die sogenannten trivialen Nullstellen der ζ-Funktion. Fur positive ungerade Argumente hingegen findetsich bis heute kein endlicher Formelausdruck.

3 Analytischer Teil

3.1 Die Riemannsche ζ-Funktion

Um 1859 veroffentlichte Bernhard Riemann in seiner beruhmten zehnseitige Arbeit Uber die Anzahlvon Primzahlen unter einer gegebenen Große seine Ergebnisse zu weiterfuhrenden Untersuchung umdie ζ-Funktion.

Abbildung 2: Bernhard Riemann, deutscher Mathematiker, 1826 -1866

Riemann uberfuhrte die von Euler eingefuhrte reelwertige ζ-Funktion in eine Komplexwertige.

Definition 1. Die riemannsche Zetafunktion ist fur komplexwertige Zahlens = σ + it ∈ C wie folgt definiert

ζ(s) =

∞∑n=1

1

nsmit s ∈ {C|Re(z) > 1}

Ihre interessantesten Eigenschaften versteckt diese Funktion allerdings in einem noch undefiniertenBereich, den kritischen Bereich. Dieser erstreckt sich uber den Definitionsbereich

s ∈ {C|Re(z) < 1 ∧Re(z) > 0}

Um diesen Bereich sichtbar zu machen bediente sich Riemann den Konzept der Analytischen Fortset-zung. Die analytische Fortsetzung von Funktionen soll nicht Gegenstand dieser Ausarbeitung werden,daher wird sie an dieser Stelle nur kurz skizziert.

5

Einige Funktionen lassen sich bei bestimmten Voraussetzungen auf zuvor undefinierte Bereiche fort-setzen. Dabei ist es notwendig, dass die Eigenschaften der Ausgangsfunktion in der Fortgesetztenabgelesen werden konnen, sich also auf die fortgesetzte Funktion ubertragen. Desweiteren muss eineUbereinstimmung der Ableitungen an den Ubergangspunkten von Funktion zur fortgesetzten Funkti-on herrschen.

3.2 Funktionalgleichung

Riemann hat die ζ-Funktion analytisch fortgesetzt und dabei folgenden funktionalen Zusammenhangentdeckt.

ζ(1− s) =2

(2π)scos

πs

2Γ (s) ζ(s) fur s ∈ C \ {0, 1}

Diese Gleichung wird auch Funktionalgleichung der ζ-Funktion genannt.

Mithilfe der analytisch fortgesetzten ζ-Funktion und der Funktionalgleichung lassen sich Verbindun-gen zu vielen anderen Funktionen herstellen, wie zum Beispiel der riemannschen θ-Funktion mit derRiemann bestimmte Nullstellen (Nullstellen auf der kritischen Geraden) berechnen konnte. Aber eslassen sich auch andere Darstellungsformen der ζ-Funktion selbst herleiten. Im Folgenden sind nuneinige alternative Darstellungsformen vorgestellt.

ζ(s) = 2sπs−1 sinπs

2Γ (1− s) ζ (1− s) fur s ∈ C \ {0, 1} (1)

ζ(s) =1

Γ(s)

∞∫0

xs−1

ex − 1dx fur s ∈ C \ {1} (2)

ζ(s) =1

s− 1+

1

2+ 2

∞∫0

sin(s arctan t)

(1 + t2)s2 (e2π t − 1)

dt (3)

...

Die Gleichung (1) folgt unmittelbar aus der Funktionalgleichung. Eine Integraldarstellung der ζ-Funktion ist gegeben durch (2)

6

3.3 Die Riemannsche Vermutung

Durch die analytische Fortsetzung wurden also Bereiche der ζ-Funktion sichtbar, die vorher undefiniertwaren. Ein besonders großes Interesse widmente Riemann den Bereich zu, in dem der Realteil desArguments von s in das Intervall [0, 1] fallt, also dem Bereich

{s ∈ C | 0 ≤ Re (s) ≤ 1}

Dieser wird auch kritischer Bereich genannt.

Abbildung 3: Kritischer Bereich

7

Die riemannsche Vermutung besagt nun, dass sich alle nicht-trivialen Nullstellen auf der mittlerenGerade des kritischen Bereichs befinden. Also bei

{s ∈ C|Re(s) = 1/2}

Abbildung 4: Nullstellen auf kritischer Geraden

Dass diese Vermutung berechtigt ist zeigen auch folgende Veroffentlichungen mit numerischen Berech-nungen, die die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen im kritischen Bereich berechnen.

Jahr Anzahl Nullstellen Veroffentlicht von

1903 15 J.P. Gram

1914 79 R. J. Backlund

1925 138 J. I. Hutchinson

1935 1,041 E. C. Titchmarsh

1953 1,104 A. M. Turing

1956 15,000 D. H. Lehmer

1956 25,000 D. H. Lehmer

1958 35,337 N. A. Meller

1966 250,000 R. S. Lehman

1968 3,500,000 J. B. Rosser, J. M. Yohe, L. Schoenfeld

1977 40,000,000 R. P. Brent

1979 81,000,001 R. P. Brent

1982 200,000,001 R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter

1983 300,000,001 J. van de Lune, H. J. J. te Riele

1986 1,500,000,001 J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter

2001 10,000,000,000 J. van de Lune (unveroffentlicht)

2004 900,000,000,000 S. Wedeniwski

2004 10,000,000,000,000 X. Gourdon and Patrick Demichel

Der letzte Stand beschreibt also, dass die ersten 10 Billionen Nullstellen der ζ-Funktion im kritischenBereich auf der kritischen Geraden liegen. Numerische Indizien reichen fur einen mathematischen Be-weis jedoch nicht aus. Der riemannschen Vermutung haben sich schon viele beruhmte Mathematikerangenommen, doch bis heute ist Keinem der Beweis gelungen. Aufgrund ihrer Wichtigkeit wurde dieriemannsche Hypothese in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen und mit einem Preisgeldvon einer Million US-Dolllar datiert.

8

4 Experimenteller Teil

Der experimentelle Teil soll sich nun um zwei praktischen Problemstellungen drehen. Erstens demberechnen von Funktionswerten unter Verwendung verschiedener Darstellungsformen der ζ-Funktionund zweitens der komplexwertigen Veranschaulichung.

4.1 Approximation der ζ-Funktion

Im ersten Abschnitt des experimentellen Teils soll untersucht werden, wie gut sich die ζ-Funktion inihrer Reihendarstellung den exakten Funktionswerten annahert. Pradestiniert fur einen Vergleichswertsind hier die Funktionswerte bei positiv ganzzahligen Argumenten, da diese uber eine exakte Formel(siehe oben) berechnet werden konnen. Es soll nun im Folgenden der Wert

ζ(2) =π2

6= 1.6449340668482264...

als Vergleichswert dienen. Dabei wurde die Zahl π2

6 mit Hilfe von MATLAB auf 16 Nachkommastellengenau berechnet.

4.1.1 Approximation durch Reihendarstellung

Zuerst soll eine Betrachtung der Reihendarstellung der ζ-Funktion erfolgen. Hierfur wird die Reihenur bis zum n-ten Elementen summiert.

n∑∞

n=11nx

2 1.2500000000000000

5 1.4636111111111112

10 1.5497677311665408

100 1.6349839001848923

1.000 1.64439345666815615

10.000 1.6448340718480652

... ...

10.000.000 1.6449339668472596

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass die Summe sehr langsam konvergiert. Fur 10 Millionen Sum-mationsschritte ergeben sich lediglich funf Nachkommastellen Rechengenauigkeit. 1.6449340668482264

4.1.2 Approximation durch Euler-Produkt

Als nachstes wird das Euler-Produkt als Darstellungsform fur die ζ-Funktion in die Untersuchungenmit einbezogen.

n∏p prim

11−px

2 1.5000000000000000

5 1.6083441840277777

10 1.6330704904957392

100 1.6445152217242918

1.000 1.6449131747063350

10.000 1.6449328112728128

9

Auch hier zeigen die Daten ein ernuchterndes Ergebnis. Nach 10 Tausend Iterationsschritten ist le-diglich ein Zuwachs von zwei Nachkommastelle Rechengenauigkeit gegenuber der Reihendarstellungerzielt worden und das bei deutlich hoheren Rechenaufwand. Die Berechnung uber Primzahlen istsehr aufwendig, da die benotigten Primzahlen zuvor erst einmal ermittelt werden mussen. Ahnlichschlechte Ergebnisse liefern auch die meisten anderen Darstellungsformen der ζ-Funktion und manhinterfragt die Existenz einer schnell konvergieren Formel. Im nachsten Abschnitt jedoch wird so eineschnell konvergierende Funktion vorgestellt.

4.1.3 Approximation durch abgebrochener Summenformel

Die abgebrochene Summenformel empfiehlt sich wegen ihrer Konvergenzeigenschaften fur numerischeBerechnung. Die Formel wurde mit Hilfe der Euler-MacLaurin-Summenformel hergeleitet und verwen-det sind zwei frei wahlbare Parameter m und n.

ζ(s) =

n−1∑k=1

1

ks+n1−s

s− 1+

1

2n−s +

B2

2n−s−1 +

B4

24s(s+ 1)(s+ 2)n−s−3

+...+B2m

(2m)!s(s+ 1) ∗ ... ∗ (s+ 2m− 2)n−s−2m+1 +R2m(s)

mit R2m(s) = −s(s+ 1) ∗ ... ∗ (s− 2m− 1)

(2m)!

∞∫n

B2m(x− [x])x−s−2mdx

Uber dem Parameter m steuert man die Anzahl der Bernoullie-Terme, die hinzugefugt werden unduber den Parameter n wie weit summiert wird. Wahlt man m = 2 so vereinfacht sich der Ausdruckwie folgt:

n−1∑k=1

1

ks+n1−s

s− 1+

1

2n−s +

B2

2n−s−1 +

B4

24s(s+ 1)(s+ 2)n−s−3 +R4(s)

mit R4(s) = −s(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)

(24)

∞∫n

B4(x− [x])x−s−4dx

Wie performant dabei diese Funktion ist soll die Tabelle vor Augen fuhren.

n Summenformel

2 1.6447916666666667

5 1.6449337777777779

10 1.6449340644998740

100 1.6449340668482257

1.000 1.6449340668482282

Bereits nach 100 Iterationsschritten erreicht man eine Rechengenauigkeit von 14 Nachkommastellen.Iteriert man weiter bekommt man allerdings keine genaueren Werte mehr. Mochte man noch genauereWerte musste der Parameter m vergroßert werden.

10

4.1.4 Vergleich mit MATLAB

Als nachstes sollen die soeben vorgestellten Funktionen auch an anderen Stellen, neben der Stelle ζ(2)verglichen werden. Als Vergleichsgroße soll diesmal die MATLAB interne ζ.Funkion dienen. Die zu ver-gleichenden Funktionen werden uber reelle Zahlenwerte aus dem Intervall x ∈ [1.5, 3] definiert, dabeiist das Intervall in 100 aquidistante Stutzstellen eingeteilt. Anschließend wurden die Iterationsweiteerhoht. Die rote Linie entspricht dabei der MATLAB internen ζ.Funkion, die blaue der Reihendar-stellung blau, die grune des Euler-Produkts und die abgebrochene Summenformel verschwindet unterder roten.

(a) n = 2 (b) n = 5

(c) n = 10 (d) n = 100

11

4.2 Darstellung komplexer Funktionen

Der Schwerpunkt soll nun hin zu komplexwertige Argumente, anstelle der Reellwertigen, verschobenwerden. Mochte man sich die ζ-Funkion fur komplexwertige Zahlen anhand eines Plottes veranschau-lichen so ist dies nicht ohne Weiteres moglich, denn es wird dabei in den vierdimensionalen Raumabgebildet

C→ C2 ⇔ R2 → R4

Nichts desto trotz gibt es dennoch eine Moglichkeit der Veranschaulichung, auch wenn dies mit einemInformationsverlust verbunden ist.

C→ Rζ(s) 7→ |ζ(s)|

Man bildet also letztendlich eine komplexe Zahl s = a+ ıb auf den Betrag |z| =√a2 + b2 ab. Hierfur

muss man die Wurzel aus dem Realteil zum Quadrat, addiert zum Imaginarteil zum Quadrat, ziehen.Die Zerlegung der ζ-Funktion sei nun im Folgenden beschrieben. Damit man den Realteil und denImaginarteil aus der Funktion ablesen kann ist es notig diese zuvor in die ubliche Form a+ıb zu bringen.

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns=∞∑n=1

1

na+ıb

=∞∑n=1

n−(a+ıb) =∞∑n=1

elnn−(a+ıb)

=

∞∑n=1

elnn−(a+ıb)

=

∞∑n=1

e−(a+ıb) lnn =

∞∑n=1

e−a lnn + e−ıb lnn

=

∞∑n=1

e−a lnn [cos b lnn− ı sin b lnn]

=∞∑n=1

e−a lnn cos b lnn︸ ︷︷ ︸a

−ı e−a lnn sin b lnn︸ ︷︷ ︸b

An dieser Stelle konnen Realteil und Imaginarteil abgelesen werden

Re (ζ(s)) =∞∑n=1

e−a lnn cos b lnn

Im (ζ(s)) = −∞∑n=1

e−a lnn sin b lnn

und der Betrag gebildet werden

12

|ζ(s)| =√Re (ζ(s))2 + Im (ζ(s))2

Abbildung 5: ζ(s) 7→ |ζ(s)|

Die Abbildung zeigt einen Teilausschnitt der ζ-Funktion in ihrer Reihendarstellung, aus diesem Grundwurde der Realteil nicht Re (ζ(s)) < 1 gewahlt, da dieser, wie oben gezeigt, fur diesen Bereich nichtdefiniert ist.

5 Ausblick und Fazit

Man wird wohl auch in der Zukunft noch Neuigkeiten rund um die ζ-Funktion erwarten konnen.Einige optimistische Mathematiker gehen sogar stark davon aus, dass die riemannsche Vermutung inden nachsten Jahren bewiesen wird. Da es in der Physik, speziell in der Quantenmechanik und derstatistischen Mechanik, ahnliche Funktionen gibt, hofft man aus den Fortschritten in diesen Bereichenneue Beweisideen fur die Vermutung zu finden.

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Literatur

[1] JONATHAN BORWEIN, KEITH DEVLIN: Experimentelle Mathematik, Spektrum Aka-demischer Verlag, 2011

[2] BERNHARD RIEMANN: Uber die Anzahl von Primzahlen unter einer gegebenen Große,Monatsbericht der Berliner Akademie, November 1859

[3] H.M. EDWARDS: Riemann’s Zeta Function, Academic Press, New York, 1974

[4] KONRAD KONIGSBERGER: Analysis 1, Springer-Verlage, Berlin 2004

[5] Wikipedia/Zetafunktion

[6] Computation of zeros of the Zeta function

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