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8. Die W4rkwng eines ZClzefidUch l m g m Hetall- xglimders auf Hertxsche WeLlm;
von W. SeQts.
Bei der groBen praktischen Bedeutung , welche die elek- trischen Wellen durch die Telegraphie ohne Draht erlangt haben, diirfte es nicht nur von theoretischem Interesse sein, die Storungen , welche metallische Korper in Beziehung auf die Ausbreitung der Wellen hervorbringen, zu studieren. Ab- gesehen von der Reflexion an Metallwanden wurde bis jetzt nur die Wirkung einer metallischen Kugel l) berechnet.
Im folgenden soll nun untersucht werden, wie ebene elek- trische Wellen in der Umgebung eines unendlich langen leiten- den Zylinders , dessen Achse senkrecht zur Fortpflanzungs- richtung der Welle liegt, verandert sind. Freilich weichen die hier zugrunde liegenden Bedingungen von den in Wirk- lichkeit vorkommenden Verhaltnissen , wo man es stets mit endlichen Leitern zu tun hat, und wo die Wirkung des Empfangers nicht zu vernachlbsigen ist, erheblich ab. Aber man darf vermutlich doch aus den Resultaten der folgenden Rechnungen einige Schliisse auch auf die unter realen Ver- suchsbedingungen vorkommenden Storungen ziehen.
In der nun allgemein gebrauchlichen Bezeichnungsweise lauten die Maxwellschen Gleichungen
___ +-@==ro t$ j 4 n u und --=rot&. P a @ a t c a t
(Es bedeutet @ die elektrische (statisch gemessene), $j die mag- netische Kraft, & und p die Dielektrizitats- bez. Magneti. sierungskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit und B die elektro- statisch gemessene Leitfahigkeit.)
Zur Losung unseres Problems miisaen wir Polarkoordi- naten anwenden, und zwar soll die z-Achse mit dem unend- lich langen Drahte zusammenfallen, r sei der Abstand des
1) J. J. Thomson, Recent researches in electricity and Magne- tisme. 1893.
W?rkung eines unendlich langen Metallzylinders etc. 7 47
gegebenen Punktes von der Drahtachse, sp der Winkel, welchen r mit der positiven x-Achse bildet, wobei sp in der Richtung der positiven Rotation wachst.
Die Komponenten von Q nach diesen Koordinaten sind Gs, @,. und @,, und die von S j sind Qz, Qr und 8,.
Die Max w ellschen Gleichungen, auf Polarkoordinaten transformiert, lauten dann l):
I. Rap i t e l .
Fu r den Fall ebener Wellen, deren elektrische Kraft parallel dem Drahte, also in der z-Richtung verlauft, ver- einfachen sich diese Bleichungen ganz erheblich. Offenbar wird G und S j unabhlngig von z sein, es verschwinden also alle Differentialquotienten aid z. In der urspriinglichen ebenen Welle war Gv und GV = 0, und hieran kann die Anwesenheit des Drahtea nichts andern; also auch diese Gr8Sen verschwin- den, und demnach ebenfalls &. Da G und Q der Zeit nach rein periodisch sind, so muS, falls der Differentialquotient einer Funktion a/d t = 0 ist, dies ebenfalls yon der Funktion selbst gelten.
Die Gleichungen (2), (3), (4) werden identisch gleich Null, und es bleibt bestehen :
___ I! a@* 4 n u @ = 1 - ar43, - -~ ’ a @ ? , c a t +c= r ar r acp (1)
1) A. Sommerfe ld , Wied. Ann. 67. p. 237. 1899.
7 48 W. Seitz.
Da im folgenden nur noch eine Komponente der elektrischen Kraft vorkommt, so sol1 an Stelle von Qg einfach Q geschrieben werden.
Es sind folgende Grenzbedingungen zu erfiillen: Fur T = 00 hat man ebene Wellen, welche sich vom positiven x nach abnehmenden x fortbewegen, es muS also sein:
wenn man unter Ad die elektrische Amplitude, unter il die Wellenllnge, unter 4 2 m die Schwingungszahl versteht.
Ferner mussen an der Drahtoberflache die Tangential- komponenten der elektrischen wie der magnetischen Kraft aus dem iiuheren Raum in das Innere des Metalles stetig uber- gehen; also fur T = Q (d. i. Drahtradius)
wobei der Index 1 sich auf den auheren Raum, der Index 2 sich auf den Draht bezieht. Aus (111) folgt dann fur T = Q
(@.)I = (@k! 7 ( W 1 = (%)a 9
Durch Differentiation von Gleichung (11) nach y ~ , von Glei- chung (111) nach T, und von Qleichung (I) nach t erhalten wir, indem wir $jq und Qv eliminieren, den bekannten Ausdruck:
Da Q in Beziehung auf die Zeit rein periodisch ist, so konnen wir setzen:
wobei u eine Funktion von T und 'p ist. halt dann die Form: (v) ( - T + T z n spno 4 n u p .
Im auSeren Raume ist die Leitfahigkeit (r = 0, im Drahte selbst dagegen darf man die Verschiebungsstrome gegeniiber
u7 Q = e i n t
Ausdruck (IV) er-
Wirkung eines unendlich langen Metallzylinders etc. 749
den Leitungsstromen vernachlassigen, und demnach E p na/cB = 0 setzen. l)
Bezeichnen wir den Ausdruck in der Klammer mit (- kB) und setzen fiir u Q,cosmy Zahlen darstellt, so geht die kannte Be sselsche Qleichung
deren partikulare Lijsungen die
ein, wobei m beliebige ganze Differentialgleichung in die be- uber
(k2 - $) Q, = 0,
Besselschen Funktionen erster und zwelter Art J,(k r) und 9, (A r) mit dem Argument k . T
sind. Der Index m bedeutet, daB die Funktionen rnbr Ord- nung sind.
Die allgemeine Losung yon (V) wiire daher:
C(%K&(W + L J m ( k ~ ) ) c o s m y , wobei m alle ganzen Zahlen von 0 bis 00 darstellt.
Im AuBenraum ist 12 2 n k = k , = fGT = T .
Im Drahte ist
Da f i r das Argument 0, also fir T = 0 K = 00 wurde, so reduziert sich fiir den Innenranm das Integral auf
u, = Cb,J , (k , r ) cosrnrp .
Damit im AuBenraum die Bedingung a
= Meikrcos'p i 4 r coa 'p U , = ~ = M ~
erfiillt wird, errtwickeln wir e i *I 7 ~ 0 8 'P nach J, (k, r). Es istq
Wir setzen also im AuSenraum m W
1 bm' J, (k, r) = JZ [bo (kl r) + 2 2 im J, (kl T ) cos (rn 97 )] = Mei k re08 'P,
1 ) A. Sommerfeld, Wied. Ann. 67. p.261. 1899. 2) E. Heine, Haadb. d. Rugelf. 1. Bd. p. 82. Gleichung (14b).
750 W. Seitz.
(VZ) *
OD
% = c a,,, Krn ( P l ) cos (m 94
1 + M [ Jo (PI) + 2 F i" Jh,) cos m 'p W
OD
\ 0 = 2 a,,, K , (p,) COB (m y ) + Me'P1 cos ,
a1 Kl (Pl) + M 2 J, (PI) = 6, J1 (P?) 7
az 4 (pi) - M2 Ja (PI) = bz Jz ( ~ 2 ) ;
Hieraus konnen die Konstanten a,, a,, a, etc. berechnet werden; namlich :
1) A. Sommerfeld, Wied. Ann. 67. p, 248. 1899.
Wirkuny eines unendlich Zangen MetaZZzylinders etc. 751
I a, = 2 i M I Im folgenden sollen einige far das Rechnen mit Bessel-
Es istl): schen Funktionen notige Formeln angegeben werden.
P7 P9 P4 . . .) . J m ( p ) = K G {l - 2 . ( 2 n + 2 ) + 2 .4 . (2~~+2) (2n- t -4 )
Fur sehr gro8es Argument mit nicht verschwindendem imagi- naren Teil, wie dies bei ps der Fall ist, wird
j e nachdem der imaginare Teil positiv oder negativ ist.3 Ferner ist 3, :
1) E. H e i n e , 1. c. Gleichung ( 1 4 ~ ) ; R. W e b e r , Partielle Diff.- Gleichungen 1. p. 157. Tabellen der Besselschen Funktionen erster Art finden sich bei L o m m e l (Besselsche‘finktionen 1868), ferner noch ausfiihrlicher bei M e i s s e l (Abhandl. d. Berl. Akad. 1888), Tabellen der Besselschen Funktionen zweiter Art bei B. A. S m i t h (Mess. of mathem. 26. p. 98. 1896/97). Die letzteren Zahlen sind nach einer etwaa anderen Formel berechnet als der von H e i n e angegebenen, konnen aber durch Vorzeichenwechsel und Addition von J, (p) (In 2 + 0,577 215 7) auf diesen Ausdruck zuriickgefrihrt werden. Den Hinweis auf diese Tabellen, wie manchen anderen wertvollen Rat verdanke ich Hrn. Prof. W. W i e n .
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 248. 3) E. H e i n e , 1. o. Qleichung (44f).
(XVIII) .
762 w. seitz.
Zur Berechnung der Funktionen dienen auch die Formeln:
a Jm (PI - m - J,’(P) = 7 J, (PI - J, + 1 (PI9 (XIV) a P
2 m * J, (PI = P (J, -1 (PI + J, + 1 (PI) 7
=m’ (P) = p 4% (P) - JL+* (PI 7
(XV)
(XVQ
(XVII) 2 m K ( P ) = P ( % - l ( P ) + Km+l(P)).
sowie ??1
Aus Formel (XU) fur groSe Werte von p mit negatiuem . Teil berechnet sich mit Hilfe von (XIV) und (XV) :
-A+(+ - + i 8
-- - pa - etc. - p - 2 . 4
P P + 1 + - - 2 If,
Diese Ausdriicke werden wir im folgenden zur Berechnung von a,, a,, as gebrauchen.
Kupferdraht vom Radius 0,l om.
Die Leitfiihigkeit
$ = 5,83.lO-4 abs. Einheiten.
Die Schwingungszahl sol1 lo9 pro Sekunde sein, also n-2 11d. log, die Wellenlange in Luft gleich 3. 1010/109 = 30cm. Da in diesem, wie in allen iibrigen Fiillen der den Draht umgebende Raum mit Luft erflillt sein 8011, so wird p, und el = 1, pees iet hier ebenfalls = 1.
N'irhuiig eines icnendlich Zangen iMetallzyZincters etc. 753
Es wird daher n 2.n k = - = _ . l o - ' = 0,2095,
1 c 3
4 n u n - k , = J- i.-- - (1 - z] 2 n i 5 , 8 3 . lo5 = (1 - i) 4800, CZ
fur die Drahtoberflache, d. i. 1' = (1 = 0, l cm ist p , = 0,02095, p , = (1 - i) 480. Fur diesen Wert von p , kann man die ab- gekurzte Form (XVIII) benutzen :
Es ist ferner -~ =2,182.10-5((1 +i), J,(p,)=0,99989, Jo'(pl)= -0,010474, P,
also: KO = 5$135, KO1= - 47,79,
0,99989 i + 2,182. l O - ' ( l + i) 0,010474 - 2,182. (1 + i) . 47,79 - i 5 , 1 3 5 cc, = fM
- - - ~%'(0,19468 + 0,00003989i); ferner
. l + i = 2 - ~
J l ' ( P 9 ) - 1 ~~ - i -
J1 (p,) = 0,010474, Kl ( p l ) = 47,29,
J1 (PJ (1 - Z) 480 960 ' J1'(p,) = 0,49993, Kl'(Pl) = - 2276,1,
- 2,182. l O - ' ( l + i) 0,49993 a, = M 2 i
- 2,18 . 10-4(1 + i ) 2276,13 - ( i - Lg;;) 47,793
= M(0,913.10-6 - 0,000 439 i ) ; ferner
J2 ( p l ) = 0,00005461, K, (pl) = 4557,.5,
Ja'(pl) = 0,005213, R,'(p,) = - 435085
0,00005461 (i + 9.1 . - 2,182. 10-5(1 + 23 0,005213 n , = - y - 2,182. 10-'(1 + i) 435 085 - (2 + 9, l . 10-3 4557,5 = M(2,38. lo-' + 9,82. l O - " i ) , Annalen der Physik. IV. Folge. 16. 48
W. Seitz. 754
ferner
a, =
J , ( p , ) = O,OU000019, J3'(pl) = 0,00002721,
K 3 ( ~ 1 ) = 870122, -&'(pi) =- 124596720,
0,00000019 (i - s&) - 2,182. 10-4(1 + i)0,00002721 2 i M
- 2,182. lO- ' ( l + i) 124,60. lo6 - 870121 -
= - M(0,272 -' 43,6 i) . lo-'"
Fur die OberfEiiche des Dralites ist r = 0,l cm, also p , =0,02095. Fur diesen Wert ist:
KO (PI) = 5,135, x, (p , ) = 47,793,
Ir, (PI) = 4557,5, K3 (pl) = 870122
Q t = e i n t + M e i l l t + l l l ~ ~ ~ ~ und
fur cp = 0, d. i. in der Richtung der einfallenden Wellen, da sich diese vom positiven zum negativen x bewegen
@ = ( a o K o + a , K l + a , K , +a ,K ,+ . . . ) ( cosnt+ i s innt )
-
+ (cos (n t + p,) + i sin (n t + p,))
Wenn wir fur a M ( a + ip) schreiben, so wird der reelle Teil von (3, der allein zu berucksichtigen ist:
Q = [a,K,, + u ~ A', + C C ~ K2 +CL, K, + . . . + COSY,] M C O S ~ ~
+ [Po KO + PI Kl + P2 K, + P3 K , + . . . - sinp,] Main n t ,
= [-0,9997 + 4,36.10-6+ 10,83.10-'- 2,365.10-9 + , . . + 0,99978Jillcosnt,
+ [0,0002044 + 0,02096 - 4,475. lo-' - 3,79.10-T
+ . . . - 0,020941 M sin n t , = 0 ;
IVirkung eines unendlich Eangen Metullzylinders etc. 755
fur cjj = TC, d. i. hinter dem Draht: - @ = [ao KO - ul Kl + a, K, - u3 K3 + . . .] (cos n t + isin n t)
+N[cos(n t -pp , ) + iain(nt-pp,)],
= [G, KO - ctl Kl + KB - cc3 K3 +. . . + cosp,] Mcosnt
+ [ P o KO - p1 Kl + pa Ka - ps K, + * * + sinp,] Msin n t, = [0,9997 - 4,36. lo-'' + . . . + 0,999781 M C O S t
+ [O,OOO 2014 - 0,02096 - . . . + 0,020941 Msin n t ,
= 0 ; 7c fur y = & -
@ = [o, KO - u B K a . . . ] (cosnt+is innt) + M(cosnt+is innt) ,
=[q,K,-ct,K, ... + l ] M c ~ s n t + C p , K ~ - ~ ~ $ ...] sinnt ,
2 --
= [0,9997 - 10,83.
= 0 .
+ . . . + 13 M C O S T Z ~
+ [0,0002044 + 4,475. . . .]sin n t ,
In der gleichen Weise sind die Werte von 6 fur grofieren Abstand berechnet worden, und die Ergebnisse in der folgen- den Tabelle zusammengefaBt. Die Reihen konvergieren desto schneller, je grol3er p , d. i. r ist; es braucht daher bald nur das erste Glied der Reihe beriicksichtigt zu werden. AuBerdem wurde noch die mittlere elektrische Energie der Welle fur die einzelnen Punkte berechnet, da es bei experimentellen Hrstimmungen gerade auf diese ankommt.
Sie ist T
0
wenn wir setzen: @ = M ( A cos n t + B sin n 1) .
I n der letzten Rubrik der folgenden Tabelle ist die mittlere Energie in Prozenten der mittleren Energie der ursprung- lichen Welle angegeben.
4 8 *
756 W . Seitz.
Tabel le 1.
0 r = 9,56 cm
0 r = 11,95 cm
0 r = 14,34 em
r = 16,78 cm
r = 19,12 cm
0 r = 21,51 cm
Q
0 0 0
M (0,300 COB n t - 0,09322 sin n t) M(0,SOO COB n t + 0,0955 sin n t) M(0,305 COB n t + 0,00014 sin n i)
Y (0,427 COB n t - 0,1960 sin n t) Y(0,427 COB n t + 0,1960 sin n t ) M(0,447 COB n t + 0,00013 sin n t)
N(0,520 COB n t - 0,3680 sin n t) Y(0,520 COB n t + 0,3882 sin n t) Y(0,599 COB n t + 0,000082 sin rrt)
M (0,3955 cos n t - 0,8405 sin n t) Y (0,3955 cos IZ t + 0,8405 sin n t ) M (0,855 COB IZ t + 0,00003 sin n t )
M (0,0717 COB n t - 0,9982 sin n t ) Y (0,0717 COB n t + 0,9982 sin I) t )
Y (- 0,311 COB n t - 0,909 sin n t )
M 1,106 COB n 3
M (- 0,6377 cos n t + 0,5998 sin n r) M 1,1631 COB n t
M(-0,8161 COB n t - 0,1417 sin nl) M(-0,8161 cos n t + 0,1417 sin n t ) M 1,1738 COB n t M (- 0,7935 COB n t -I- 0,3504 sin n t ) M (-0,7935 COB a t - 0,3504 sin n t ) M 1,1432 cos R t M (- 0,5674 COB n t + 0,7588 sin n t) M(-O,5674 COB la t - 0,7588 sin IZ t) M 1,0843 COB n t
M (- 0,1954 COB n t + 0,9784 sin n t) Y(-O,1954 cos n t - 0,9184 sin n t ) M 1,0125 cos n 1
~~-
M (1,0019 COS n t )
M (-0,311 COB n t + 0,909 sin n t)
Y(-0,6377 cos 91 t - 0,5992 8h at)
r l P + I P ) . 100 ~-
0 0 0
9988 O/*
9,91 9,30
22 22 20
42 42 85,8
86,2 86,2 78,O
100,01 100,Ol l00,4
92,t 9q1
76,4 76,4
135,5
68,5 68,6
158,O
1,222
75,2 75,Z
130,5
89,7 89,7
117,s
99,L 99,4
102,5
Wirkung eines uneiidlich langen Metallzylinders etc.
Tabel le 1 (Fortsetzung).
757,
r = 23,90 cm
(Pl = 5)
r = 26,29 cm
(PI = 5,5)
1' = 28,68cm
(P1 = 6)
r = 33,46cm
(P1 = 7)
r = 38,24 cm
(P1 = 8)
r = 43,02 cm
(P, = 9)
r = 47,80cm
(p1= 10)
Q
d.i (0,2296 COB n t + 0,9891 sin n t) M (0,2296 cos n t - 0,9591 sin n t ) M 0,9456 cos n t M (0,606 L COB n t + 0,7061 sin n t ) M(0,6061 cos n t - 0,7061 sin n t) M 0,8978 COB n t
M (0,8379 cos n t + 0,2807 sin n t ) hf (0,8379 cos n t - 0,2807 sin n t) M 0,8781 cos n t
M (0,6781 cos n t - 0,6575 sin n 2) M (0,6781 cos n t + 0,6575 sin n t) Y 0,9246 cos n i! M (-0,1209 COB n t - 0,9888 sin n t) M (- 0,1209 cos n t + 0,9888 sin n t) dl 1,02975 COB n t M(-0,8147cosnt - 0,4115sinnt) M (- 0,8147 cos n t + 0,4115 sin n t) 211 1,0967 cos n t
M (-0,7664 cos n 2 + 0,5448 sin n t) M (- 0,7664 COB n t - 0,5448 sin n t) M 1,0723
8 2 + B y . 100
97,16 ' lo 97,16 89,3
86,75 86,76 80,6
78,O 78,O 7 7,O
89,l 89,l 85,3
99,5 99,5
106,O
83,l 83,l 120,l
88,4 88,4
115
Fig. 1.
Die Energie der uraprtinglichen Welle wird, wie aus der Tabelle hervorgeht, durch den Draht vor und hinter dem- selben, d. i. far sp = 0 und sp =.n,. in gleicher Weise ver-
758 W; Seitz.
Jo ( p a ) = 0,90926 - 0,05452 i J1 (p,) = 0,16956 - 0,16056 i Ja (pl) = 0,0004953 -0,00226 i
Jo ’ (~a ) = - 51 (pa) Jl’(pa) = 0,5000 + 0,0407 i J , ( p z ) = 0,08553 - 0,0795 i
andert, falls wir von den kleinsten Werten von r absehen, in ganz anderer Weise dagegen far cp = & n12. Der Verlauf der Energie der Wellen bei verschiedenem Abstand vom Draht ist am besten aus dem vorstehenden Kurvendiagramm (Fig. 1 ) zu ersehen.
Ordinate ist die Energie in Prozenten der unveriinderten Welle, die Abszisse bildet p , d. i. der Abstand von der Achse, gerechnet in Wellenlangen und multipliziert mit 2 m.
Jo (Pl) = 1 7
J1 ( p l ) = 0,0002005, Ja ( p l ) = 2,2. lO-lO,
Jo’(P1) = - 4 (Pl) 9
J,’(P,) = 0,500, J i ( p l ) = 1,05.10-j.
Wirkung eines unendlich Iangen Metallzylinders etc. 759
Durch Einsetzen dieser Zahlenwerte in (IX) erhalt man: a. = - M(0,05303 + 0,041 935 i),
u 1 = a4 = - M(0,0392 - 0,342 i ) .
jM (0,475 - 0,0308 9 . lo-'",
Die Werte von fi5 fur verschiedene T und y wurden ebenso, wie in dem zuerst behandelten Falle berechnet und sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Tabel le 2. -~
r
-0,0002 cm '=%- ( berfliiche) (pl = 0,000041 9)
0,239 cm
(P1 = 0,051
0,478 cm (Pl = 04)
0,956 cm
(P1 = 092)
1,912 cm
(PI = 074)
4,78 cm
(Pl - 1,O)
7,17 cm
(PI = 195)
9,56 cm
(PI = 2)
11,95 cm
(PI = 215)
E
M (0,398 COB n t + 0,476 sin n t) M (0,398 COB n t + 0,476 sin n t) 31 (0,398 cos n t + 0,476 sin n t) M (0,7727 COB n t + 0,1290 sin n t ) M (0,7727 COB ra 1 + 0,2280 sin n t) M (0,7740 COB n t + 0,1785 sin n t) M (0,806 COB n t + 0,049 sin n t ) M(0,806 COB n t + 0,249 sin n t ) M(0,811 COB ra t + 0,149 sin ra t) M (0,8295 COB n t - 0,080 sin n t ) M (0,8295 COB n t + 0,318 sin n t) M (0,8494 COB n t + 0,119 sin n t) .U (0,8120 COB n t - 0,3026 sin n t ) M (0,8120 COB n t + 0,4754 sin n t) M (0,8909 cos n t + 0,0905 sin n t )
M (0,501U COB n t - 0,8102 sin n t) M(0,5010 COB n t + 0,8726 sin n t) M(0,9605 COB ra t + 0,0312 sin n t) M (0,07027 COB n t - 0,9980 sin n t) bI (0,0049 COB n t + 0,9972 mn n 1) M (1,0005 cos n t - 0,0004 sin n 1)
M (-0,3880 COB n t + 0,8861 sin n t]
iN (-0,7664 a s n t - 0,6341 sin n t )
-11 (1,0444 cos rat - 0,0351 sin n t )
M (- 0,3680 COB n t - 0,9317 sin n t)
211 (1,0289 COB IC t - 0,0228 sin ?1 t)
M (- 0,7564 COB 1 + 0,5639 sin n t )
A' + BP
38,5 Yo 88,5 38,6
61,4 64,5 63,0
66 71 68
69 78,5 73,4
75 89 80
90,7 101,1 92,5
100 99,5
100,1
101,8 93,4 106
97,2 88,7
109
760 W. Seitr.
T a b e l l e 2 (Fortsetzung).
14,34 cm
(PI = 3)
16,73 cm
(PI = 395)
19,12 cm (P1 = 4)
21,51 cm
(Pl = 495)
23,90 cm
(Pl = 5)
26,29 cm
(PI = 5,5)
28,68 cm
(PI = 6)
~~ ~
0
M (-0,9426 cos n t - 0,1791 sin n t ) J!f (- 0,9426 cos n t + 0,1043 sin n t ) M (1,0473 cos n t - 0,0374 sin n t) 111 (-0,8977 COB n t + 0,3194 sin la t) M (- 0,8977 cos n t - 0,381 sin n 2) Jf (1,0390 COB n t - 0,0308 sin n t )
M (-0,6288 cos n t - 0,7797 sin n t ) M (1,0229 cos n t - 0,02115 sin n t )
M (- 0,2045 cos n t + 0,9754 sin n t ) Y (-0,2045 cos n t - .0,9808 sin n t)
M (0,2692 COB n t + 0,9705 sin n t ) ?d (0,2692 cos n t - 0,947 I sin n t) M (0,9852 COB n t + 0,0117 sin n 2)
31 (0,6804 COB n t + 0,7279 sin n 1 ) M (0,6804 cos n f - 0,6839 sin n t) M (0,9721 COB n t + 0,0220 sin n t ) M (0,9266 cos n 1 + 0,3069 sin n t ) M (0,9266 COB n t - 0,2544 sin n t) M (0,9668 cos n t + 0,02625 sin n t )
M (-0,6288 COB 12 t + 0,7373 12 t )
M (1,00339 cos TZ t - 0,00268 S b vz 1)
A?+ B1
92,o “lo
90,O 109,6
90,7 95,o
93,s 100,2 104,s
99,2 100,2 100,8
101,2
108
96,7 97,O
99,2 92,9 94j5
95,3 92,4 93,3
Die Energie der Welle fir verschiedene Werte von p , und f i r y = O , rn und n / 2 ist ebenso wie im ersten Falle durch das folgende Kurvendiagramm (Fig. 2) dargestellt.
R - JZ - 4 ? 4
Fig. 2.
Wirhung eines unendlich langen illetailzylinders etc. 7 6 1
Wahrend im ersten Falle, d. i. bei dem Kupferdraht, auf der Oberflache des Metalles Q nahezu gleich Null war, kommt hier der elektrischen Kraft auch an dieser Stelle noch ein endlicher Wert zu. Demnach muB auch eine endliche Energie- menge vom Platindraht absorbiert werden.
Man kann diese mittels des Poyntingschen Satzes be- rechnen. Nach diesem ist der EnergiefluB durch die Ober- flache eines Drahtstuckes vom Radius p und der Lange eines Zentimeters :
E = = P C jn @ z @ V d y *
0
GZ ist nach obiger Tabelle an der Oberfiiiche des Platindrahtes von 'p unabhangig. Dasselbe gilt von &; denn nach (111):
Da ferner h, = n / c c k
@ p - - 7 1 $12 ( ~ o ~ o ' ( p , ! + a, ~ , ' (p , )Co~cp + )
. + Jficosye~PicosV eI?Lt
= - iB [(0,05303 + 0,04193 i) 0,23867 . lo5 - (0,475 - 0,0308 i). 10-l'. 5,696. 1O8c0s y + (0,0392-0,342i).10-'o.55,43.1013cos(2q)- ... + ieiPi C O S T cos q] ei n 1 .
I n dieser Reihe konnen alle Glieder, welche enthalten, ver- nachlassigt werden, ebenso das Glied i e ipi co8 'P cos (p, da dessen grBBter Wert gleich i ist.
Es ist daher 8, nahezu unabhangig von cp. Wenn man ausmultipliziert und dann nur den rellen Teil
berucksichtigt, so erhalt man
Es ist daher
E =
8, = (1265 sin n t + 1000 cos 72 t ) .
'b '' 2z - -- &f9 (0,398 cos n t + 0,476 sin n t) 2 4%
(1265 sin n t + 1000 cos n t) = M 2 . 3 . 106(980 cos n t sin n t + 205 sinan d + 398).
7 62 U? Seitz.
Wiihrend einer Schwingung absorbiert der Draht folgende Energiemenge :
T 2 n
= 3 . 106MaP(102,5 + 398) = 3 . los M a lO-9.500,5 = 1,50 Ma.
Auf noch einfachere Weise liiBt sich diese Zahl berechnen aus dem Ohmschen Gesetz, da die elektrische Kraft auf der Drahtoberflache von q~ unabhangig ist.
Der Strom ist bei der geringen Dicke des Drahtes im ganzen Querschnitt nahezu gleichmiiBig verteilt, wie aus der bekannten Formel von Lord Kelvin hervorgeht.')
Es ist T T
Der elektrostatische Widerstand fi ist gleich 1 10-0 1 10-7 .-=--
6,9.104'900 p 2 n 780 ' ferner ist
M2 2
fCEa d t = - 0,385 I' (vgl. Tab. 2). 0 T
J E d t = 780. lo7 . 10-9.Ma.0,1925 0
= Ma 1,50.
Eisendrctht vom Radius 2 em. Es ist
z = 1 0 , 8 . 1 0 - 6 , p z = l l O . z ) CS
1) Vgl. die von Hospital ier berechnete Tabelle dee Wechsel- stromwiderstandes gerader Driihte; G. Ferraris, Wiseensch. Grundl. d. Elektrotechnik p. 294. Teubner, Leipeig 1901.
2) J. KlemenEiE, Wied. Ann. 50. p. 475. 1893.
Wirkung eines unendh'ch Zangen Metalkylinders etc. 763
Ferner sei
daher n = 2 n . 0 ,5 .10* , also il = 600 cm, -
2 I. 0,5.108 3.10'0
= 0,010475. k, =
h i = - ~ i . 8 ~ a , 1 0 , 8 . 0 , 5 . 1 0 e . l 1 0 , It, = (I - 44850 .
An der Drahtoberfllche ist demnach: p , = 0,02095, p , = (1 - i) 9700.
Hier konnen fur J,,' ( p , ) / J , (pa) etc. die abgekurzten Formeln (XVIII) angewandt werden.
notigen GroBen sind auBer A,, k,, pa, Jd(pa)/Jm(pa) dieselben wie im Falle I, da p , denselben Wert hat,.
Es ergibt sich:
Die zur Berechnung von a,, a, ,
a, = - M(0,1945 + 2,155.lO-*i), a, = ~ ( 4 : 8 9 . 1 0 - 6 - 4,33.10-4 i), uZ = M(2,35.10-* + 5,35. 10-10i).
Die Werte von @ fur verschiedene Abstande I- sind ebenso wie in den vorigen Beispielen berechnet und in Tab. 3 zu- sammengestellt.
Tabel le 3.
(pI = 0,02095)
~~ ~ ~ ~
Q
0 0 0
M (0,5086 COB n t - 0,09466 sin ?a #) Y (0,3025 COB n t + 0,09620 sin n t ) M (0,3075 cos n t + 0,00077 sin n t)
dI (0,4276 COB n t + 0,1969 sin n t) dl (0,4476 COB n t + 0,00081 sin n t) M(0,620 COB n t - 0,5876 sin n t) M (0,520 cos n t f 0$3885 sin n t) 111 (0,699 cos n t + 0,08046 ah n t )
M (0,4276 COB t - 0,1957 1) f )
A S + P
0 0 0
10,05 10,08 9,45
23,lO 22,16 20,oo
4a,o 42,l 35,T
164 W, Seitz.
Tabe l l e 3 (Fortsetzung).
Q
dl (0,3941 COB n t - 0,8405 sin n t) M (0,3940 COB n t + 0,9408 Bin n t ) M (0,8533 COB n t + 0,00016 ein n t) M (0,07163 COB n t - 0,9970 sin n t ) Y(0,07163 COB n i! + 0,9970 sin n t )
Y(-0 ,3 l l cosnt- 0,909sinnt) M (-0,311 COB n t + 0,909 sin n t) Y (1,1057 COB n t - 0,00018 a h la t )
Y (- 0,6377 COB n t - 0,5990 sin n t ) M (- 0,6377 COB n t + 0,5990 sin n 2) M(1,1632 COB n t - 0,00018 an n t )
M (-0,8160 cos la t + 0,1418 COB n 2)
Y 1,0019 cos m t
M(-018160COSnt- 0,1422CO898t)
M(1,1738 COB n t - 0,00014 ah 71 t )
A2 + B4 ~~
~~ ~
8612 "0
86,2 72,8
99,9 99)9
100,4
92,O 92,O
12.2,l
76,3 76,3
135,5
68,6 69,6
138,O
Die Abhangigkeit der mittleren elektrischen Energie von r bez. p , ist, wie in den fruheren Beispielen,. in folgendem Kurven- diagramm (Fig. 3) dargestellt.
1 - a -F 2
Fig. 3.
Eieendraht vom Radius 2 cm. Es sei jetzt
n = 2 R . 7.82. lo*, also I = 384 ni .
Wirkiing eines unendlich langen Metallzylinders etc. 7 65
Da wie in1 vorigen Beispiel
cB = 10,s. 10-5, p2 = 110 ist, so wird
und an der Drahtoberflache p1 = 0,0003274,
Fur Jo’(p2)/Jo ( p , ) , J1’ (p , ) /J , (p,) etc. kommen auch hier die abgekurzten E’ormeln (XVIII) in Anwendung.
Die zur Berechnung yon ao, al , a, niitigen Besselschen Funktionen sind:
R, = 0,000 1637 , R, = (1 - i) 606,25
p , = (1 - i) 1212,5.
Jo (PI) = 1,0000 9 J o ’ ( p l ) = - 1,637.10-4, J1 (pl) = 1,637. lo-” J 1 ’ ( p l ) = 0,5000, J , (p l )= 1,34 J a ’ ( p l ) = 0,819.10-4. KO (pl) = 9,29475, Ko’ (p l ) = - 0,3060. lo4 ,
(pl) = 0,3060. lo4, Rl’(pl) = - 9,35 . loG, K, ( I>~) = 0,1873. lo*, K,’(pl) = - 0,1144.10’a.
Daraus berechnet sich ntlch Formel (IX): a, = - M(0,1071 + 0,00052 i),
a 1 = a, = M(1,177 + 0,2165i).
M(0,892 - 9,7b i ) . lo-”
Die Werte von (3 fur rerschiedene r sind, wie im Vorher- gehenden berechnet und in Tab. 4 zusammengestellt.
Tabe l l e 4.
r
T = 0 = 2cm (Oberflbhe)
( p , = 0,000 327 4j
306 cm 1 1
(Pi = 0,051
(PI = 0,1)
(PI = 0,2)
612 cm
1224 cm
Q
0 0 0
df(O,642 COB n f - 0,0473 sin w t) df(O,542 c o ~ l n f + 0,0517 ein n f ) M (0,543 cos n t + 0,0022 sin n t) M(0,6111 COB n t - 0,0980 sin PZ t)
(0,611 COB n t + 0,1017 sin n t ) 64 (0,616 COB n t + 0,00185 sin n t )
M(0,6754 coa n f - 0,1972 sin n 1) Y (0,6754 COB n f + 0,2001 sin ra f ) df(0,6958 COB 98 t + 0,00148 sin n t)
A’ + BB ~~
0 0 0
29,7 29,4 38,3 38,4 38,O 49,5 49,6 48,s
2996 %
766 w. seitz.
Tabelle 4 (Fortsetzung).
l ' p
15 300 cm
18360 cm
24 480 cm
Q
M (0,700 cos n t - 0,3883 sin n t ) 111 (0,700 cos ra t + 0,3905 sin n t ) M (0,779 cos n t + 0,001 1 sin n t) bI (0,4606 cos n t - 0,8410 sin n t ) dl (0,4606 cos R t + 0,8417 sin 1c t ) M (0,9201 cos vz 1 + 0,0004 sin n t )
111 (0,07081 COB n 1 - 0,9976 sin A t) M (0,07081 cos n t + 0,9976 sin A t ) M (0,99895 COB n t) 211 (-0,359 cos la t - 0,909 sin n t) 111 (-0,359 cos n t + 0,909 sin n t ) M(1,0586 COB a t - 0,00028 sin A 2 )
M (- 0,7109 cos vz t - 0,6994 sin n t ) M(-0,7109 COB n t + 0,5986 sin n t) M(l,O899 cos n t - 0,00044 sin 1c t ) 111 (-0,8943 COB n t - 0,1422 sin n t ) M(-0,8943 cos A t + 0,1422 sin n t) M (1,09625 cos n t - 0,00046 sin A t) M (0,6054 cos n 1 + 0,7583 sin t ) M (0,6054 COB n t - 0,7587 sin n t)
M (-0,2010 COB n t + 0,9781 sin n t ) dl (-0,2010 COB n t - 0,9781 sin n t) M (1,0069 cos n t - 0.00003 sin n t)
Y (1,0463 COB n t - 0,0002 12 t)
Ap + Be
64,l OiLl
64,2 60,5
91,s 91,9 84,5
100,o 100,o 99,8
95,2 95,2 112,o
86,2 86,l 118,5
81,9 81,9 120
93,9 94,O 109,6
99,5 99,5 101,4
Wirkung eines unendlich langen Metallzylinders etc. 7 6 7
Der Verlauf der mittleren Energie mit p , bez. T wird auch hier durch das vorhergehende Kurvendiagramm (Fig. 4) veranschaulicht .
11. Kapi te l . Die Schwingungen der elektriechen Kraft erfolgen senkrecht
zur Drahtachse.
Die Drahtachse sei parallel der z-Achse ; die Fortpflanzungs- richtung der Wellen sei die negative x-Achse, wie im I. Eapitel.
Auch jetzt wird Q und LE von z unabhangig sein. Es verschwinden daher alle Differentialquotienten 813 z ; in der urspriinglichen Welle sind @,, 8, und @# gleich Null und selbstverstandlich gilt dies auch in der Nahe des Drahtes. Wenn ferner fiir eine Komponente von @ oder @ der Differential- quotient nach der Zeit verschwindet, so muB diese Eomponente ebenfalls verschwinden.
Die sechs auf Polarkoordinaten transformierten Haupt- gleichungen (vgl. p. 747) vereinfachen sich daher folgender- maBen:
1 a r . Q w 1 a @ , -_--- r a r +FF’ - P 3 8 s (XXI) cat
Wir fiihren nun eine Hilfsfunktion 17 durch folgende Glei- chung ein’):
d 2 r I 4 n u a n ,$j = 2 c a V a t aq , + ~ ~ _ , (XXII)
Wir konnen dann die Ausdrucke (XIX) und (XX) syrnbolisch folgendermaBen anschreiben :
(XIX) ( 5 ~ a + 4 n u Q =- 1 & a --++- 4 n u a s n c a t 7) r r ( c a t c O l { L ’
und daraus folnt:
(xxrv) 1) Ahnlich verfiihrt S o m m e r f e l d in oben geuauuter Arbeit.
768 W. Seitz.
Setzen wir (XXII), (XXIII), (XXIV) in (XXI) ein, so er- halten wir:
s p a 3 n 4 n u t u P I T 1 a asn 1 aan
4 n u p an a 1 an a e n (xx~) c2 a t 2 a ( c + 0% a t a p l = r x ( r m ) + p F g -
L a T (y!g + c2 a t ) = & i j , + 3 7 + 7 7 7 uncl daher auch
c'l a t2 a 9 n 4 n c r y an - 1 an a=n 1 8 % ~ - +-+---.
+ 0 2 a t r -87 ar1 rt (XXV) ~
Setzen wir
so erhalten wir L? = w e i n t ,
Ebenso wie im I. Kapitel konnen wir im Drahte selbst (e p /ca) na vernachlassigen, und umgekehrt wird im AuBenraum
4 n u p i r L = 0. ~~
c:!
In der dort gebrauchten Bezeichnungsweise konnen wir schreiben, indem wir noch setzen u; = P, sin m y :
d. i. eine Gleichung, die durch Besselsche Funktionen inte- griert wird. Setzen wir
w2 = i~ 2 J, ( l i , r) sin (rn y ) (vgl. p. 749).
Nach (XXII) ist dann
Damit die Bedingung
erfullt wird, setzen wir
(Qm) = e ' ' l ' ' + i . r . c o s ~ )
W
1
OD C a:, J , (hl r) cos m y = JfJ0 + 2 Jfx iDL 4, cos m y 0
- iu i 01 t + I , , r cos $01 . -
Krkung eines unendlich langen Metallzylinders etc. 7 69
Ferner ist nach (XXII ) :
(XXII') nach (XXIII) ist:
4 n o an O0
a'p 0 8, = ~~ = C bm J,(k, r) cosm cp e inn' ,
1 a * I I l e a* W , ( @ ) = - = - i n l - I r l 1' a 9 2 r a 'p'
Aus (XXIV) folgt
1) Fiir r k, ist wieder p , und fur r k, ist p , gaechrieben. Annalen der PhFaik. IV. Folge. 16. 49
7 70 K Beilz.
Aus diesen Gleichungen lassen sich die Werte von q,, q, aa und as berechnen.
Es ist die Rechnung durchgefuhrt ftir den im I. Kapitel behandelten Kupferdraht von 0,l cm Radius bei einer Schwin- gungszahl lo9 pro Sekunde; die betreffenden Daten finden sich p. 753-754.
Die Rechnung ergibt : a0 = - M (0,000 21 9 5 + 0,000 000 46 i), a, = iM 0,000435,
a 2 =- icz. 2,42.10-8, a3 = - i M M . 4 , 3 7 . l O - ' 3 .
Da k, = n / c , so wird
(XXIV) (@& = i e i n t [ C am cos m cp. KA(p,) +A2 i. cos 'p e"rco8V I . An der Drahtoberfiache, d. i. fur P = g = 0,l cm bez.
p, = 0,02095 wird:
fur 'p = 0 - (@,h = (icosnt - sinnt)N[0.0002195.47,79
- i. 0,000435.2276,l + 2,42.10-*. 4,W. 106
+ i4,37.10-15.1,25.108--. .. + iO,99978-0,02098], = M [ ( - 0,01047 - 0,01052 + 0,02098) sin n t
+ (0,99985 - 5,46. - 0,99978) COB R t] = 0 ;
fiir cp = R - = (i cos n t - sin n t) M[O,OOO 2 19 5 .47,79
+ i. 0,000435.2276,l + 2,42.10-8.4,35.106 - i4,37.10-13.1,25.108-. .. - i.0,99978 - 0,020981,
= 0; R 7T fiir = + und sp = - -
2
eV, = (i cos n t - sin n t) M[0,000219 5 .47,79 - 2,42.10-8,4,36 . lo6. , .] m= 0.
Wirhung eines unendlich lanyen Metallzylinders etc. 7 7 1
Nach (XXIV') ist:
(QJ, = + fur
fiir y =f + ist:
i e in t [$a,,, m Km(pl) sin m cp)t Bib, p sin 'p eiplco*,
= 0 und cp = rn ist: Q,= 0 ,
q=*- (i cos n t - ain n t) [i 0,000 435 . 4 7,8 0,02095
+ i . 4,37. lo-''. 3.8,7. lo6 - . . . + i0 ,2095], = F M l , 9 9 2 c o s n t ,
T
Im folgenden seien noch die Werte von Q, und @? fur r = 0,478, d. i. pl = 0,1, angegeben.
y=OJ Q, * M(0,0966 sin nt - 0,9532 cos nt),
T $ J @ $ d t = -OJ916, iw d.i.9176Proz.;
+J@;dt c ,0,916, M' d.i.9176Proz.;
2 0
y = w , = M(0,0966 sin n t + 0,9532 cos nt), T
0 n
SP'fT' @v = - M0,00125 sin n t ,
L J @ $ d t T = ~ 0 , 0 0 0 0 0 1 5 2
T
0
0
Gr = M 1,0444 COB n t , I T
l o d. i. 109 Proz.
Die Wirkung des Drahtes verschwindet demnach schon in ganz yeringer Entfernung, was man ohne weitere Rechnung aus den
49 *
772 W. Seitz. Wirkung etc.
Werten von a,,, a,, n2, a3 und den Reihen, welche Q, und Q, darstellen, erkennen kann.
Zusammenfassung der Resultate.
1. Drahtacbse para l l e l der e l ektr i schen Kraft .
Der Mittelwert von @ a verschwindet auf der Oberfllche des Drahtes in allen berechneten Beispielen, mit Ausnahme des Platindrahtes von 0,0002 cm Radius, wo er nur auf 38,5 Proz. des ursprunglichen Wertes reduziert ist.
Der Mittelwert von E2 veriindert sich mit wachsendem Abstand vom Draht in allen untersuchten Fallen, abgesehen von dem auBerst dunnen Platindraht, in ahnlicher Weise. In quantitativer Beziehung bestehen freilich bedeutende Unter- schiede. Der Verlauf von Qz mit T ist am besten aus den Kurven zu ersehen. Die Wirkung des Drahtes erstreckt sich auf Abstande von mehreren Wellenlangen.
Der Mittelwert von Q2 ist fur 'p = 0 und y = n, d. i. vor und hinter dem Drahte, gesehen in der Richtung der fort- schreitenden Welle, nahezu derselbe, fur y = f n/2, d. i. auf beiden Seiten, ein hiervon ganz abweichender. Auch in dieser Beziehung zeigt der diinne Platindraht eine etwas andere W irkung.
2. Drahtachse para l l e l der magnet i schen K r a f t , a lso senkrecht Bur e l ektr i schen Kraft.
An der Oberflache des Drahtes (Kupferdraht von 1 mm Radius) ist fur y = 0 und cp = n die Radial- und die Tangential- komponente der elektrischen Kraft gleich Null , wahrend fur
= f n / 2 die Radialkomponente sogar verstiirkt, die Tan- gentialkomponente ebenfalls verschwindend klein ist. Es werden also hier durch den Draht die elektrischen Kraftlinien konzentriert.
Schon in sehr kleiner Entfernung von der Oberflache er- lischt die Wirkung des Drahtes auf die Wellen.
Wiirzburg, Physik. Inst., Januar 1905. (Eingegangen 26. Januar 1905.)
