Mathematik macht Freu(n)de AB – Komplexe Zahlen

Die Gleichung x+ 4 = 0 hat in den natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .} keine Lösung.Wir führen als Lösung die „neue“ Zahl ein. Eine natürliche Zahl +4 ist niemals 0.Wir erweitern N zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Die Gleichung 3 · x = 1 hat in den ganzen Zahlen Z keine Lösung.Wir führen als Lösung die „neue“ Zahl ein.

Wir erweitern Z zum Zahlenbereich der rationalen Zahlen Q ={a

b| a, b ∈ Z, b 6= 0

}. „Bruchzahlen“

Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist endlich oder periodisch.

Die Gleichung x2 = 2 hat in den rationalen Zahlen Q keine Lösung.Wir führen als Lösung die „neue“ Zahl ein.Die Gleichung hat dann die beiden Lösungen und .Wir erweitern Q um die irrationalen Zahlen zum Zahlenbereich der reellen Zahlen R.

Als Dezimalzahlen haben irrationale Zahlen unendlich viele Nachkommastellen und sind nicht periodisch.Zum Beispiel:

√2 = 1,414 21... oder π = 3,141 59.... Die reellen Zahlen sind genau alle Zahlen auf der Zahlengerade.

Erkläre, warum die Gleichung x2 = −1 in den reellen Zahlen R keine Lösung hat.Wir brauchen also eine neue Zahl.

Erweiterungen der Zahlenbereiche

Die imaginäre Einheit i ist eine Lösung der Gleichung x2 = −1. Es gilt also i2 = i · i = −1.Die Gleichung x2 = −1 hat dann die beiden Lösungen i und −i.

Zur Unterscheidung von der elektrischen Stromstärke wird sie manchmal auch mit j bezeichnet.

Imaginäre Einheit

Jede Zahl z der Form z = a + b · i mit reellen Zahlen a und b heißt komplexe Zahl.Wir nennen a den Realteil von z und schreiben auch a = Re(z).Wir nennen b den Imaginärteil von z und schreiben auch b = Im(z).Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C = {a+ b · i | a, b ∈ R} abgekürzt. „Complex Numbers“

Komplexe Zahlen

Um negative Zahlen grafisch darzustellen, haben wir den Zahlenstrahl zur Zahlengerade erweitert.Um komplexe Zahlen grafisch darzustellen, erweitern wir die Zahlengerade zur Zahlenebene:Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punktin der Zahlenebene und umgekehrt:

a+ b · i ←→ (a | b)

Zeichne die folgenden komplexen Zahlen rechtsals Punkte in der Zahlenebene ein.

1) z1 = 3 + 2 · i

2) z2 = 5− 2 · i

3) z3 = −3− i

4) z4 = −1 + 3 · i

5) z5 = −4 + 0,5 · i

6) z6 = −1− 2,5 · i

7) z7 = 4

8) z8 = 4 · i

9) z9 = −i

Zahlenebene

Datum: 19. Juni 2019

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Die schrittweisen Erweiterungen der Zahlen-bereiche sind im folgenden Mengendiagrammgrafisch veranschaulicht:

N Z Q

R

IrrationaleZahlen

C

In Mengenschreibweise gilt:

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

„Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.“„Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.“„Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.“„Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.“

Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an,in denen die Zahl enthalten ist:

N Z Q R C42−33,14−4,2̇√

3√

98/3

− 30/6

4− 2 · i−3,725 = −3,725 252 5...π = 3,141 592 653 5...−2 · i

Zahlenbereiche

Wir rechnen mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen und Variablen.Zum Beispiel gelten die folgenden Rechenregeln:

1) x+ y = y + x und x · y = y · x (Kommutativgesetze)2) x+ (y + z) = (x+ y) + z und x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativgesetze)3) x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz)

Zusätzlich beachten wir, dass i2 = −1 für die imaginäre Einheit i gilt.

Rechenregeln

Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 4 + 2 · i und z2 = 3− 5 · i.Stelle z1 + z2, −z2, z1 − z2, z1 · z2, 1z2 und

z1z2

in der Form a+ b · i dar.

Hinweis: Um 1c+d·i zu vereinfachen, multipliziere mit

c−d·ic−d·i = 1. Die Zahl c− d · i heißt komplex konjugierte Zahl von c+ d · i.

Grundrechnungsarten

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Um einen Punkt in der Zahlenebene eindeutig festzulegen, gibt es mehrere Möglichkeiten.

1) Die beiden Koordinaten des Punkts angeben.Bei komplexen Zahlen sind das also der Realteil a undder Imaginärteil b der komplexen Zahl z = a+ b · i.Die Darstellung z = a + b · i heißt Komponentenform.

2) Den Abstand r vom Koordinatenursprung undden Winkel ϕ, den der Zeiger zum Punkt unddie positive horizontale Achse einschließen.Die Darstellung z = (r; ϕ) heißt Polarform.

Re(z)

Im(z)

a

b

r

ϕ

z = a+ b · i

Der Abstand r heißt auch Betrag der komplexen Zahl, und man schreibt r = |z|. Der Winkel ϕ heißt auch Argument.

Komponentenform & Polarform

Zeichne rechts die Zeiger zu den komplexen Zahlen ein.Wandle die Zahlen in Polarform um.

1) z1 = 3 · i =

2) z2 = 4 =

3) z3 = −5 · i =

4) z4 = −2 =

5) z5 = −3− 3 · i =

Zeiger & Polarform

Links ist eine komplexe Zahl im 1. Quadranten eingezeichnet.

Stelle mit r und ϕ eine Formel für den Realteil a auf:

Stelle mit r und ϕ eine Formel für den Imaginärteil b auf:

Die gleichen Formeln gelten in jedem Quadranten.So sind die Winkelfunktionen genau definiert.

Mehr dazu findest du auf dem AB – Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Umrechnung von Polarform in Komponentenform

Wandle die komplexe Zahl z = (5; 142◦) in Komponentenform um.

Welcher Quadrant?

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Der Realteil a und der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind bekannt. Setze jeweils < oder > ein:1. Quadrant: a 0 und b 0 2. Quadrant: a 0 und b 0

3. Quadrant: a 0 und b 0 4. Quadrant: a 0 und b 0

Stelle mit a und b eine Formel für den Betrag r der komplexen Zahl auf:

r =

Überlege dir in jedem Quadranten,welcher Winkel α mit

α = arctan(∣∣∣∣ ba

∣∣∣∣)berechnet wird. Zeichne ihn oben ein.Stelle mit a, b und α eine Formel für dasArgument ϕ der komplexen Zahl auf.

ϕ =

im 1.Quadranten

im 2.Quadranten

im 3.Quadranten

im 4.Quadranten

Umrechnung von Komponentenform in Polarform

Wandle die komplexe Zahl z = 4− 2 · i in Polarform um.

Welcher Quadrant?

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Gegeben sind zwei komplexe Zahlen z1 = (r1;ϕ1) und z2 = (r2;ϕ2) in Polarform.Zum Multiplizieren von z1 und z2 werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert:

z1 · z2 = (r1 · r2; ϕ1 + ϕ2)

Zum Dividieren von z1 und z2 werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert:

z1

z2=(

r1

r2; ϕ1 − ϕ2

)Eine Erklärung dafür findest du im Kompetenzheft – Komplexe Zahlen.

Multiplikation und Division in Polarform

a) Berechne z1 · z2 undz1z2

für z1 = (10; 320◦) und z2 = (5; 70◦).

b) Berechne das Ergebnis, und übersetze die Rechnung in Komponentenform:

(1; 90◦) · (1; 90◦) =

Rechnen in Polarform

Gegeben ist eine komplexe Zahl z = (r;ϕ) in Polarform.

1) Erkläre, warum z2 = (r2; 2 · ϕ) gilt.

2) Erkläre, warum zn = (rn; n · ϕ) gilt.

Potenzieren komplexer Zahlen

Berechne (−6 + 8 · i)7. Gib das Ergebnis in Komponentenform und in Polarform an.

Warum sind der Realteil und der Imaginärteil von (−6 + 8 · i)7 sicher ganze Zahlen?

Potenzieren komplexer Zahlen

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Berechne die 5 Lösungen der Gleichung z5 = (32; 150◦) in C.Gesucht sind also komplexe Zahlen (r;ϕ) mit (r5; 5 · ϕ) = (32; 150◦).

Wurzelziehen

Berechne die 3 Lösungen der Gleichung z3 = −8, und zeichne sie rechts in der Zahlenebene ein.

2 weitere Lösungen

In manchen Büchern werden Schreibweisen wie√−1 = i oder 5

√(32; 150◦) verwendet.

Das ist aus mehreren Gründen irreführend:

1) Mit einem Wurzelausdruck ist immer eine bestimmte Zahl gemeint. Zum Beispiel:√

4 ist die eindeutige positive reelle Zahl x mit x · x = 4, nämlich x = .

Die Gleichung x2 = 4 hat dann 2 Lösungen: x1 =√

4 = und x2 = −√

4 =

3√27 ist die eindeutige positive reelle Zahl x mit x3 = 27, nämlich x = .

3√−27 ist die eindeutige negative reelle Zahl x mit x3 = −27, nämlich x = .

Welche der fünf Lösungen von z5 = (32; 150◦) soll aber 5√

(32; 150◦) sein!?Es gibt keine sinnvolle Auswahl, die mit den bisherigen Definitionen von

√4 und 3

√−27 zusammenpasst.

2) Die Rechenregeln für Wurzeln wären außerdem bei Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht mehr gültig.Sonst könnten wir zum Beispiel aus

√a · b =

√a ·√b den Widerspruch −1 = 1 herleiten:

−1 =√−1 ·

√−1 =

√(−1) · (−1) =

√1 = 1

Wir vermeiden daher bewusst Schreibweisen wie√−9 = 3 · i.

Wurzelschreibweise

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Die Gleichung x2 = −4 hat 2 Lösungen, nämlich x1 = und x2 = .Die Lösungen unterscheiden sich also nur um das Vorzeichen.

In solchen Fällen können wir sinnvoll

x2 = −4 ⇐⇒ x = ±√−4

schreiben. Dazu vereinbaren wir allgemein, dass ±√−a = ± i ·

√a für alle a ≥ 0 gilt.

Mit dieser Vereinbarung erhalten wir die gewünschten Lösungen:

x2 = −4 ⇐⇒ x = ±√−4 = ± i ·

√4 = ± 2 · i

Eine sinnvolle Wurzelschreibweise

Berechne die 2 Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + 4 · x+ 13 = 0.

Quadratische Gleichung

Berechne die 3 Lösungen der kubischen Gleichung 2 · x3 − 20 · x2 + 58 · x = 0.

Kubische Gleichung

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Jede Polynomfunktion f von Grad n hat genau n Nullstellen in C, wenn man Folgendes beachtet:

1) Nullstellen können auch komplexe Zahlen sein. Zum Beispiel:

f(x) = x2 + 1

Die komplexen Zahlen x1 = i und x2 = −i sind Nullstellen von f .i2 + 1 = −1 + 1 = 0 und (−i)2 + 1 = i2 + 1 = 0

2) Nullstellen können auch mehrfach auftreten. Zum Beispiel:

g(x) = (x+ 1) · (x− 2) · (x− 2) = x3 − 3 · x2 + 4

Die Funktion g hat eine doppelte Nullstelle bei x = 2und eine einfache Nullstelle bei x = −1.

Allgemein hat jede Polynomgleichung der Form

an · xn + an−1 · xn−1 + · · ·+ a2 · x2 + a1 · x+ a0 = 0 mit a1, a2, . . . an ∈ C, n ≥ 1, an 6= 0

genau n Lösungen x1, x2, . . . , xn in C. Es gilt dann

an · xn + an−1 · xn−1 + · · ·+ a2 · x2 + a1 · x+ a0 = an · (x− x1) · (x− x2) · . . . · (x− xn).

Auf beiden Seiten erhält man genau dann 0 als Ergebnis, wenn man für x eine der Zahlen x1, x2, . . . , xn einsetzt.

Fundamentalsatz der Algebra

Die kubische Polynomfunktion f mit

f(x) = a · x3 + b · x2 + c · x+ d

hat die Nullstellen x1 = −3, x2 = 3 + 2 · i und x3 = 3− 2 · i.Der Graph von f verläuft durch den Punkt (4 | 2).Berechne die Koeffizienten a, b, c und d.

Umkehraufgabe

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