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Technische Universit¨ at Berlin Fakult¨ at ii Institut f¨ ur Mathematik Prof. Dr. Dirk Ferus Differentialgleichungen ur Ingenieure u ρ Information. ur die erfolgreiche Teilnahme an diesem Modul erhalten Sie 6 Leistungspunkte nach ECTS. Entsprechend erwarten wir von durchschnittlich begabten und vor- gebildeten Studierenden folgenden Arbeitsaufwand: Vorlesung 2h/Woche ¨ Ubung 2h/Woche ausliche Nacharbeit und Hausaufgaben 6h/Woche Klausurvorbereitung 30h Version vom 09.02.2007

Differentialgleichungen fuer Ingenieure

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Text of Differentialgleichungen fuer Ingenieure

Technische Universitat BerlinFakultt ii Institut fr Mathematik a u Prof. Dr. Dirk Ferus

Dierentialgleichungen fur Ingenieure

u

Information. Fr die erfolgreiche Teilnahme an diesem Modul u erhalten Sie 6 Leistungspunkte nach ECTS. Entsprechend erwarten wir von durchschnittlich begabten und vorgebildeten Studierenden folgenden Arbeitsaufwand: Vorlesung Ubung Husliche Nacharbeit und Hausaufgaben a Klausurvorbereitung Version vom 09.02.2007 2h/Woche 2h/Woche 6h/Woche 30h

Inhaltsverzeichnis1 Einf hrung u 1.1 1.2 1.3 Dierentialgleichungen in den Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Blick auf die Mathematik von Dierentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . Lsungen von Dierentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1 2 7 8 11 12 16 22 23 26 28 32 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 41 47 48 53 54 56 57 63 67 67 67 71 73 73 75 77

2 Existenz und Eindeutigkeit von Lsungen o 3 Gewhnliche lineare Dierentialgleichungssysteme o 3.1 3.2 Struktur des Lsungsraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Der Exponentialansatz (die Eigenwertmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung 4.1 4.2 Struktur des Lsungsraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Der Exponentialansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Nichtlineare Gleichungen und Erhaltungsgren o 6 Stabilitt a 7 Laplacetransformation 7.1 7.2 Denition und grundlegende Eigenschaften Anwendungen der Laplacetransformation

8 Partielle Dierentialgleichungen 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Separation und Superposition, Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rand-Anfangswert-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode der Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebene-Wellen-Lsungen der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Separation in Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Die Besselsche Dierentialgleichung 10 Gewhnliche Rand- und Eigenwertprobleme o 10.1 Zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Anfangswertprobleme gegen Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Der Nutzen von Orthonormalsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Selbstadjungiertheit und Orthogonalittsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.2.1 Das Sturmsche Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Orthogonalitt der Eigenfunktionen (Sturm-Liouville) . . . . . . . . . . . . . a 10.3 Eigenwerte und die Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.1 Die Folge der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Anhang 11.1 Wiederholung: Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Die Matrix-Exponential-Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11.3 Erhaltungsgren: Die Keplerschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11.4 Die Herleitung der Wrmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 11.5 Ein nicht-lineares Randwertproblem: Der Eulersche Knickstab . . . . . . . . . . . . . 11.6 Der Verlauf der Zylinderfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 79 82 82 85 87 90 91 98

11.7 Die allgemeine Lsung der Besselgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 o 11.8 Die erzeugende Funktion der ganzzahligen Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 102 11.9 Die Legendresche Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.9.1 Konstruktion von Lsungen fr k > 0 durch Rekursion. . . . . . . . . . . . . 105 o u 11.9.2 Die Legendrepolynome oder Legendrefunktionen 1. Art . . . . . . . . . . . . 106 11.9.3 Funktionsverlauf der Legendrefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.9.4 Entwicklung nach Legendrepolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.10Die -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

LiteraturAls Lehrbcher zu dieser Veranstaltung werden empfohlen: u G. Brwol, G. Seifert: Hhere Mathematik f r Naturwissenschaftler und a o u Ingenieure, Spektrum Akademischer Verlag Meyberg, Vachenauer: Hhere Mathematik 1, Springer Verlag o Boyce, DiPrima: Gewhnliche Dierentialgleichungen, Spektrum Akademio scher Verlag (Sehr ausfhrliche Erklrungen!) u a Farbig unterlegt nden Sie Beispiel aus den Ingenieuranwendungen, oft mit expliziten Hinweisen auf Ingenieurskripten des Grundstudiums: Werkstoe I Werkstoe und Bauelemente der Elektrotechnik I, Skript TUB, Institut fr Werkstoe der Elektrotechnik u Werkstoe II Werkstoe und Bauelemente der Elektrotechnik II, Skript TUB, Institut fr Werkstoe der Elektrotechnik u Regelungstechnik I King: Regelungstechnik I, Skript TUB M ller: Mechanik II u W.H. Mller: Mechanik II, u Skript TUB SS 2002 Energie-, Impuls- und Stotransport Lehrbuch Baehr/Stephan: Wrme- und Stobertragung a u zur VL Auracher: Energie-, Impuls- und Stotransport Verfahrentechnik I Kraume: Verfahrenstechnik I, Skript TUB Regelung in der Luft- und Raumfahrt K. Wilhelm: Regelung in der Luft und Raumfahrt, Skriptum TUB, SS 2002 Zu einzelnen Veranstaltungen existieren mehrere, vielleicht auch neuere Skripten und Lehrbcher. Wir begngen uns meistens mit einem Zitat, auch wenn sich der betreende Sachu u verhalt in der Regel an mehreren Stellen ndet.

11.1

Einfuhrung Dierentialgleichungen in den Anwendungen

Wo in den Anwendungen kommen welche Dierentialgleichungen vor? Ein krftefreier Massenpunkt bewegt sich nach Newton mit konstanter Geschwindigkeit v. a Wirkt auf ihn eine Kraft F , so bewirkt diese eine zeitliche Anderung der Geschwindigkeit (=Beschleunigung) proportional zur Kraft. Die Geschwindigkeit v wird jetzt eine Funktion v = v(t), und es gilt mv = F . (1) Dieser so einfach erscheinende Sachverhalt ist fundamental fr unsere Methode, Naturu vorgnge und damit technische Vorgnge zu modellieren: Die momentanen (innitesimalen) a a Anderungen eines Systems werden ergrndet und beschrieben, um aus ihnen die mau kroskopische Entwicklung des Systems zu bestimmen. Durch (triviale) Integration von (1) ndet man die Entwicklung der Geschwindigkeit mv(t) = tF + mv0 . Wenn allerdings F nicht konstant ist, sondern selbst von t oder, wie bei Reibungsphnomenen, a auch von v abhngt, bekommt man eine kompliziertere Beziehung a mv(t) = F (t, v). Dann wird die Integration schwieriger, oder v(t) lt sich gar nicht mehr durch Integration a nden. Darauf gehen wir im nchsten Abschnitt ein. a Aufgrund der gerade erklrten fundamentalen erkenntnistheoretischen Methode ist es ofa fenbar, dass Dierentialgleichungen in den Ingenieurwissenschaften eine prominente Rolle spielen. Die Newtonsche Gleichung ist in allen Bereichen der Dynamik von fundamentaler Bedeutung, wie Sie in den Vorlesungen zur Mechanik feststellen werden [MueII, Abschnitt 13 ]. Vor allem gewhnliche lineare Dierentialgleichungssysteme sind das Kernstck der Regeo u lungstechnik, vergleichen Sie [Regelungstechnik I ] oder [Regelung in der Luft- und Raumfahrt ]. Andere Gebiete werden von partiellen Dierentialgleichungen bestimmt, also Dierentialgleichungen fr Funktionen von mehreren Variablen, deren partielle Ableitungen gewisse u Gleichungen erfllen. u Die Mathematik der Strmungslehre ist vor allem die Theorie der Navier-Stokes-Gleichung. o Die Schwingungsmechanik beschftigt sich mit der Wellen- oder Schwingungsgleichung. a Die Verfahrenstechnik und Energietechnik modellieren den Sto- oder Wrmetransport a mit Hilfe der Transport-, Diusions- oder Wrmeleitungsgleichung in immer neuen Variana ten. Vergleichen Sie [Verfahrentechnik I ] oder [Energie-, Impuls- und Stotransport ]. Etwas zugespitzt formuliert: Sie haben in den ersten Semestern die Dierentialrechnung nur deshalb lernen mssen, weil u Dierentialgleichungen fr Ingenieure so ungeheuer wichtig sind. u

1

1.2

Erster Blick auf die Mathematik von Dierentialgleichungen

Wir klren die einfachste Terminologie ... a ... und wir lsen die einfachsten Dierentialgleichungen. o Wir przisieren, was wir unter Lsungen verstehen wollen ... a o ... und formulieren einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Zur Terminologie: Dierentialgleichungen sind Gleichungen fr eine gesuchte Funktion, welche Ableitunu gen dieser Funktion involvieren. Wenn die Funktion vektorwertig ist, wenn also mehrere Komponentenfunktionen gesucht werden, spricht man von einem System von Dierentialgleichungen, sonst auch von skalaren Dierentialgleichungen. Wenn die Funktion von mehreren Variablen abhngt und partielle Ableitungen auftrea ten, spricht man von partiellen, andernfalls von gewhnlichen Dierentialgleichungen. o Die hchste auftretende Ableitungsordnung der gesuchten Funktion heit die Ordnung o der Dierentialgleichung.

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.Wir beginnen mit einigen Bemerkungen zu Dierentialgleichungen 1. Ordnung. Beispiel 1. Das einfachste Beispiel ist y = f (x) mit einer Funktion f : [, ] R. Die Lsungen sind die Stammfunktionen von f , die man o (bei stetigem f ) durch Integrieren nden kann:x

y(x) = y0 +

f (u)du.

Dabei ist y0 eine beliebige Konstante. Sie wird eindeutig bestimmt, wenn man auer der Dierentialgleichung noch eine Anfangsbedingung y() = y0 vorgibt. Beispiel 2. Das nchste Beispiel ist anders geartet, hier kommt die gesuchte Funktion auch a auf der rechten Seite vor: y = ay, a R. Das ist leicht zu lsen, y(x) := eax ist oenbar eine Lsung. Aber es ist nicht die einzige: o o y(x) = y0 ea(xx0 ) ist auch eine, die uberdies die Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 erfllt. Sind das nun alle Lsungen? In dem Modul Analysis fr Ingenieure wurde gezeigt, u o u dass das wirklich alle Lsungen sind. o

2

Beispiel 3. Wie lsen Sie o y = a(x)y (2) mit einer auf [, ] stetigen Funktion a? Knnen Sie eine Lsung nden, fr die y() = y0 o o u mit vorgegebenem y0 ist? Beispiel 4. Wenn Sie das letzte Beispiel geschat und eine Lsung gefunden haben, die wir o mal yH (x) nennen wollen, was machen Sie dann mit y = a(x)y + b(x), wobei a, b : [, ] R stetig sind? Dies ist die allgemeine lineare Dierentialgleichung 1. Ordnung. Linear deshalb, weil die gesuchte Funktion y nur linear darin vorkommt. Wenn Sie an die Produktregel der Dierentiation denken, ist es nicht so abwegig, als Lsung o y(x) = A(x)yH (x) zu versuchen, d.h. den Ansatz y(x) = A(x)yH (x) zu machen. Dann ist nmlich a y (x) = A(x)yH (x) + A (x)yH (x) = A(x)a(x)yH (x) + A (x)yH (x) = a(x)y(x) + A (x)yH (x). Wir mssen nur ein A(x) nden, fr das u u A (x)yH (x) = b(x) ist. Das tut A(x) = A0 + x

b() d. yH ()

Allerdings darf yH keine Nullstellen haben. Wie steht es damit? (Sie hatten doch (2) gelst!) o

Separable DifferentialgleichungenWir sehen uns noch ein wenig bei (nichtlinearen) Dierentialgleichungen erster Ordnung um und behandeln eine Verallgemeinerung des Beispiels 3, nmlich Dierentialgleichungen der a Form y = f (x)g(y). Wir wollen annehmen, dass die Funktionen rechts stetige Ableitungen haben ( technische Voraussetzung). Dann hat nach einem allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatz (vgl. Abschnitt 2) das Anfangswertproblem y = f (x)g(y), y(x0 ) = y0 ,

eine eindeutig bestimmte Lsung. Um sie zu nden, betrachten wir o y (x) = f (x). g(y(x)) Dazu nehmen wir an, dass g(y0 ) = 0, also g(y) = 0 fr kleines |y y0 |.1 Wir integrieren u beide Seiten. Dabei bercksichtigen wir, dass nach der Kettenregel u d dx1 Finden

y(x) y0

1 1 d = y (x). g() g(y(x))

Sie die eindeutig bestimmte Lsung im Fall g(y0 ) = 0. o

3

Damit nden wir

y(x) y0

1 d = g()

x

f ()d.x0

Stellen Sie sich die Integrale gelst vor. Dann ist das eine Gleichung fr y(x) ohne Ableituno u gen. Zu abstrakt? Betrachten Sie folgendes konkrete Beispiel 5. Wir betrachten y = x(1 + y 2 ), Dann liefert die vorstehende Uberlegungy(x)

y(0) = 0.

arctan y(x) =0

1 d = 1 + 2

x

d =0

x2 . 2

Daraus folgt x2 ). 2 Beachten Sie, dass Lsung dieses Anfangswertproblems nicht auf ganz R deniert ist, die o sondern bei x = ins Unendliche verschwindet. y(x) = tan( Verhltnismig hug trit man separable Dierentialgleichungen, bei denen f konstant a a a ist. Von diesem Typ sind die folgenden Beispiele. Beispiel 6 (Kettenlinie).Mller: Mechanik I, Abschnitt 4.6.2 oder Ziegler: Mechanik, Abschnitt 21 u

Die Form eines an zwei Punkten befestigten (homogenen) Seils unter dem Einuss seines Eigengewichtes sei gegeben durch den Graphen einer Funktion y(x), wobei y(0) der Tiefpunkt des Seils sei. In der Mechnik untersucht man die Krfteverhltnisse in dieser Situation und a a ndet fr die Ableitung v(x) = y (x) die Bedingung u v = 1 a 1 + v2 ,

mit einer Konstanten a, die durch Seillnge und Position der Befestigungspunkte bestimmt a ist. Das ist eine separable Dierentialgleichung, und wir nden sinh1 v = x + c1 . a

Die Voraussetzung uber y(0) bewirkt c1 = 0, also x v(x) = sinh . a Durch nochmalige Integration erhlt man a y(x) = a cosh x + c. a

Das ist die sogenannte Kettenlinie.

4

Beispiel 7 (Logistisches Gesetz). Ein weiteres wichtiges Beispiel liefert das sogenannte logistische Gesetz von Verhulst fr das Wachstum von Populationen unter Bercksichtigung u u sozialer Konkurrenz: y = ay by 2 . Wenn die unabhngige Variable die Zeit t ist, bezeichnet man die Ableitung oft mit y a statt mit y . Ohne Konkurrenz (d.h. bei einer Population, die klein ist im Vergleich zu den zur Verfgung stehenden Resourcen) ist das Wachstum proportional zur vorhandenen u Population (y = ay). Der Eekt der Konkurrenz ist proportional zur Zahl der Interaktionen zwischen Individuen der Population, also proportional zu y 2 . Die Separation liefert 1= 1 y b y y = + . ay by 2 a y a a by

Mit der Anfangsbedingung y(t0 ) = y0 folgtt

du =t0

1 a

y y0

y by + y a bv

dt

und nach Ausfhren der Integration u t t0 = Wir nden ea(tt0 ) = 1 a ln y y0 ln a by a by0 a y0 y . a by y0

Ausen nach y liefert nach kurzer Rechnung o y(t) = ay0 ea(tt0 ) ay0 = . a by0 + by0 ea(tt0 ) (a by0 )ea(tt0 ) + by0

Daraus sieht man, dass y(t) nach Ablauf einer langen Zeit (man sagt auch asymptotisch), annhernd konstant vom Wert a/b wird: at+

lim y(t) =

a . b

Wenn |t t0 | hingegen relativ klein ist, hat man y(t) y0 ea(tt0 ) , also ein exponentielles Wachstum. Beide Aspekte fgen sich zur Verhulstschen S-Kurve zusammen. u

5

Beispiel 8 (Brutbestand des Kormorans in Brandenburg). Das logistische Gesetz modelliert in gewissen Grenzen wirklich uberzeugend reale Populati onsdynamiken:12000 10000 8000 6000 4000 2000 1970 1980 1990 2000

Beispiel 9 (Tumorwachstum nach Gompertz). Auch das folgende Wachstumsmodell geht von einer Proportionalitt der Wachstumsrate zur vorhandenen Menge aus, wobei ala lerdings der Proportionalittsfaktor nicht konstant ist, sondern selbst exponentiell abnimmt: a y = a ebt y. Diese Dierentialgleichung von Gompertz beschreibt zum Beispiel das Wachstum von Tumoren oder die Ausbreitung von Rostfra. Die Lsung nden Sie o wieder durch Separation.

Beispiel 10 (Stationre einseitige Diusion). aVerfahrentechnik I, Abschnitt 1

Die Dierentialgleichung meins = Am D p dpA (x) A p pA (x) dx T R/M

fr die Funktion pA (x) beschreibt den stationren Stotransport durch Diusion2 . u a Gesucht sei eine Lsung mit der Anfangsbedingungen o pA (0) = p . A Dazu nehmen wir an, dass p > pA und schreiben die Dierentialgleichung als T R/MA eins (p pA (x)) d log(p pA (x)) mAm = = pD (p pA (x)) dx=:

Es folgt log(p pA (x)) = x + , also p pA (x) = Cebx . Whlen wir C = p p , so stimmt auch die Anfangsbedingung. a A

6

1.3

Losungen von Dierentialgleichungen

Wenn man die Lsung einer Dierentialgleichung nicht einfach so hinschreiben kann, o was dann? Beispiel 11 (Pendelgleichung).Mller: Mechanik II, Abschnitt 15.2 u

Der Ausschlagwinkel eines (ebenen starren) Pendels erfllt die Dierentialgleichung u mL = mg sin . (3)

Wenn man nur kleine Ausschlagwinkel betrachtet, ist sin und man kann die Gleichung linearisieren: mL = mg.

L

mg

Das ist mit dem Exponentialansatz und trigonometrischen Funktionen leicht zu lsen, ganz o im Gegensatz zur Originalgleichung (3): Fr die knnen Sie aus den Funktionen, die Sie kenu o nen, keine Lsungsfunktion (t) zusammenbasteln, die Gleichung ist nicht mit elementaren o Funktionen lsbar. o Das kommt nicht uberraschend. Sie kennen diese Situation schon von einem simplen Spezi alfall der Dierentialgleichungstheorie, nmlich aus der Integralrechnung. So einfache Funka tionen wie sin(x2 ) haben keine elementare Stammfunktion. Und dieser Fall kommt in der Praxis durchaus hug vor, vor allem, wenn man die partiellen Dierentialgleichungen mit a einbezieht. Unter diesen Umstnden ist es von besonderer Bedeutung sich uber folgende a Fragen Klarheit zu verschaen: Existenz: Gibt es uberhaupt Lsungen? (Sonst ist auch ein etwaiges Ergebnis eines o numerischen Verfahrens bestimmt keine Lsung!) o Eindeutigkeit: Wenn es Lsungen gibt, durch welche zustzlichen Forderungen ist dann o a eine Lsung eindeutig bestimmt. Wann knnen wir sicher sein, die richtige Lsung o o o gefunden zu haben? Eigenschaften: Welche Eigenschaften haben die Lsungen? Ist es mglich darber Ino o u formationen direkt aus der Dierentialgleichung zu gewinnen, auch wenn wir sie nicht explizit lsen knnen? o o (Beispiel: Die Lsungen von y = 1 + y 4 sind sicher alle monoton wachsend.) o Stabilitt: Gleichgewichtslsungen einer Dierentialgleichung sind zeitlich konstante a o Lsungen. Was passiert bei Strungen des Gleichgewichts? Kehrt das System dann o o wieder in die Gleichgewichtslage zurck? Solche Fragen sind etwa in der Regelungsu technik von groem Interesse. Sensitivitt: Diese Fragestellungen sind verwandt mit denen nach der Stabilitt. Zum a a Beispiel fr die Anwendung numerischer Verfahren ist es wichtig zu wissen, wie empu ndlich die Lsungen auf kleine Strungen der Dierentialgleichung (also der Koeo o zienten) und der zustzlichen Anfangs- oder Randbedingungen reagieren. a

7

2

Existenz und Eindeutigkeit von Lsungen o Wir lernen, warum man im Prinzip nur Dierentialgleichungen 1. Ordnung untersuchen muss. Wir lernen den grundlegenden Satz uber die Existenz und Eindeutigkeit von Lsungen o kennen.

Beispiel 12 (Newtonsche Bewegungsgleichung, Phasenraum).Mller: Mechanik II, Abschnitt 12.2 u

Die Gleichung fr die Bewegung eines Massenpunktes an der Stelle y(t) unter dem Einu u einer von Zeit und Ort abhngigen Kraft F (t, y) ist a my = F (t, y). Das ist also ein 3-dimensionales System 2. Ordnung. Denieren wir den Impuls durch p := my, so erhalten wir ein 6-dimensionales System 1. Ordnung: 1 y= p m p = F (t, y). Mit den Abkrzungen u x(t) := schreibt sich das als x = G(t, x). Oensichtlich kann man diesen Trick auf jede Dierentialgleichung hherer Ordnung anweno den. Wir halten fest: Jede Dierentialgleichung hherer Ordnung lt sich durch Einfhren neuer abhngiger Vao a u a riablen umschreiben in ein (hher-dimensionales) System 1. Ordnung der Form o x = G(t, x). (4)y(t) p(t)

,

G(t, x) :=

1 p m

F (t, y)

Denition 13 (Dynamisches System, Phasenraum). Wegen der Beziehung zum NewProblem nennt man Dierentialgleichungssysteme 1. Ordnung auch dynamische Systeme. Den von den Orts- und Impulskoordianten gebildeten 6-dimensionalen Raum und allgemeiner den Raum der x in (4) nennt man auch den Phasenraum des dynamischen Systems. Die Lsungen, also die Kurven x(t) heien auch die Phasenkurven oder Phasenbahnen. o Im Newtonschen Beispiel bekommt man daraus die Bahnkurve des Massenpunktes, indem man die letzten drei Komponenten von x(t), die sogenannten Impulskoordinaten vergisst. Denition 14 (Autonomes System). Ein Dierentialgleichungssystem der Formtonschen

x = G(x),

(5)

bei dem die rechte Seite nicht explizit von t abhngt, heit ein autonomes System. a Beispiel 15. Jedes dynamische System x = F (t, x) lt sich als autonomes System uma schreiben, indem man die unabhngige Variable t auch als gesuchte Funktion betrachtet: a d dtt x

=

1 F (t, x)

.

8

Beispiel 16 (Phasendiagramm). Insbesondere fr zweidimensionau le autonome Systeme lassen sich die Phasenkurven graphisch darstellen in einem sogenannten Phasendiagramm. Man kann sich (5) als ein Vektorfeld G(x) vorstellen, etwa das (stationre) Strmungsfeld einer a o Flssigkeit, zu dem man die Fluliu nien sucht. Konstruktion einer Lsung. Nun zur Frage nach der Existenz von Lsungen. Wir beo o schrnken uns wegen Beispiel 15 auf ein autonomes Anfangswertproblem a x = G(x), Wenn G konstant ist, bekommen wir durch x(t) = x0 + (t t0 )G eine Lsung. Diese ist ein Streckenzug. o Wenn G nicht konstant, aber stetig ist, knnen wir uns vorstellen, dass G wenigstens immer o ein Stck weit konstant ist, und knnen dann die Lsung (von der wir noch gar nicht u o o wissen, ob sie existiert!) ein Stck weit geradlinig approximieren. Genauer betrachten wir u eine Zeitsequenz t0 < t1 = t0 + h < t2 = t0 + 2h < . . . tN = t0 + N h mit positiver Schrittweite h > 0. Damit denieren wir rekursiv x(h, t0 ) := x0 , x(h, t) := x(h, ti ) + (t ti )G(x(h, ti )), ti < t ti+1 .Eulersche

x(t0 ) = x0 .

(6)

xh (t) ist dann also ein Polygonzug, und dieses Verfahren heit das verfahren oder kurz Eulerverfahren. Beispiel 17. Die Dierentialgleichung y = xy schreiben wir als autonomes System d dx Wir whlen y(0) = 1, also ax(0) y(0) x y

Polygonzug-

=

1 xy

.

=

0 1 Eu-

lerverfahren

als Anfangsbedingung. Die beiden folgenden Abbildungen zeigen die Ergebnisse des mit verschiedener Schrittweite im Vergleich mit der exakten Lsung o y(x) = ex2

/2

.

9

1 0.8 0.6 0.4 0.2 n=4

1 0.8 0.6 0.4 0.2

n=10

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

Man kann nun fr halbwegs anstndiges G beweisen: u a Wenigstens fr t-Werte nah bei t0 , also auf einem Intervall [t0 , t0 + [ exisitiert der u Grenzwert x(t) := lim x(h, t) (7)h 0

und deniert eine Lsung des Anfangswertproblems o x = G(x), x(t0 ) = x0 .

Je zwei Lsungen dieses Anfangsproblems sind gleich, jedenfalls auf dem Durchschnitt o ihrer Denitionsintervalle. Wir przisieren das in einem Satz, der auch fr den nicht-autonomen Fall gilt. a u

Satz 18 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz). Sei G(t, x) auf einer oenen Menge U R Rn stetig dierenzierbar3 und (t0 , x0 ) U ein Punkt dieser Menge. Dann ist das Anfangswertproblem x = G(t, x), x(t0 ) = x0 . (8) eindeutig lsbar. Genauer gilt: o (i) Es gibt ein Intervall J mit t0 J, so dass das Anfangswertproblem (8) auf J eine Lsung x(t) hat, wobei o (t, x(t)) U fr alle t J. u (ii) Jede weitere Lsung von (8) auf einem Intervall um t0 mit dieser Eigenschaft ist die o Beschrnkung der Lsung aus (i) auf ein Teilintervall von J. a o Die Lsung in (i) ist also eine eindeutig bestimmte maximale Lsung. o o

Numerische Verfahren. Die Konvergenz fr gegen 0 konvergierende Schrittweite wird u im vorangehenden Beispiel glaubhaft vermittelt. Dennoch hat das Eulersche Polygonzugverfahren als numerisches Verfahren gewisse Schwchen, zum Beispiel bezglich der Kona u vergenzgeschwindigkeit oder der Stabilitt gegenber Rundungsfehlern. Softwarepakete zur a u numerischen Lsung von Dierentialgleichungen benutzen deshalb Weiterentwicklungen des o Eulerschen Verfahrens, insbesondere das sogenannte Runge-Kutta-Verfahren, vgl. den Modul Numerik I fr Ingenieure. uVoraussetzung der stetigen Dierenzierbarkeit kann wesentlich abgeschwcht werden. Zum Beispiel a gengt es, wenn G stetig und nach den x-Komponenten stetig dierenzierbar ist. u3 Die

10

3

Gewohnliche lineare Dierentialgleichungssysteme

Wir untersuchen gekoppelte Systeme aus mehreren linearen Dierentialgleichungen der Form x1 x2 xn = a11 (t)x1 = a21 (t)x1 = an1 (t)x1 +a12 (t)x2 + . . . +a1n (t)xn +a22 (t)x2 + . . . +a2n (t)xn ... +am2 (t)x2 + . . . +ann (t)xn +b1 (t) +b2 (t) +bn (t)

(9)

mit stetigen Funktionen aij und bi auf einem Intervall I R. Die t-Ableitung bezeichnen wir in Zukunft wegen bequemerer Notation mit einem Strich statt mit einem Punkt. Mit Matrizen schreibt sich das kurz als x = A(t)x + b(t). (10)

Solche Systeme kommen in der Praxis sehr hug vor, nicht zuletzt deshalb, weil man uber a ihre Lsungen eine Menge wei, und deshalb bei der Modellierung physikalische Probleme o gern so lange vereinfacht, bis sie sich durch lineare Systeme beschreiben lassen. Natrlich u ist das in der Regel nur eine erste Annherung an die realen Verhltnisse. a a Wir fragen also, wie die Lsungsmenge von (9)/(10) aussieht, und ob und wie man Lsungen o o explizit nden kann. Ist b(t) = 0, so nennt man das System homogen, andernfalls inhomogen. Zu jedem inhomogenen System gehrt ein homogenes, bei dem einfach b(t) durch 0 ersetzt ist. o Warnung. Genauso wie bei gewhnlichen linearen Gleichungssystemen hat man auch bei o Dierentialgleichungssystemen ein kleines Problem mit der Bezeichnung: Eine Lsung von o (9)/(10) ist eine vektorwertige Funktion x(t) = x1 (t) . . . xn (t)

mit den Komponentenfunktionen x1 (t), . . . , xn (t). Wenn man dagegen verschiedene Lsuno gen von (9) oder (10) betrachtet, bezeichnet man die gern als x1 , x2 , . . .. Jetzt numeriert der Index also verschiedene Lsungen und nicht verschiedene Komponenten ein und derselben o Lsung. Die Komponenten von x1 bezeichnen wir, wenn es ntig ist, mit x11 (t), . . . , xn1 (t). o o Der zweite Index soll dann die Lsungen, der erste die Komponenten numerieren: o xj (t) = x1j (t) . . . . xnj (t)

Schreibt man mehrere Lsungen in eine Matrix, so stehen sie dort also als Spalten. o

11

3.1

Struktur des Lsungsraumes o

Lineare Dierentialgleichungen besitzen eine starke Analogie zur linearen Gleichungssystemen und wie diese einen sehr einfach strukturierten Lsungsraum. o Wir lernen einen Test auf lineare Unabhngigkeit von (Lsungs)funktionen kennen. a o Wir lernen ein Verfahren zur Lsung einer inhomogenen linearen DGL, wenn die zuo gehrige homogene Gleichung gelst ist. o o Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, der Satz 18, garantiert die eindeutige Lsbarkeit des o Anfangswertproblems, ohne etwas darber zu sagen, wie lange die Lsung lebt: Auf einem u o Intervall um t0 herum eben, aber es ist unklar, wie gro das ist, vgl. Beispiel 5. Ganz anders bei linearen Dierentialgleichungen. Dort leben die Lsung so weit wie die o Dierentialgleichung:

Satz 19 (Existenz und Eindeutigkeitssatz). Haben A(t) und b(t) auf dem Intervall I stetige Koezienten aij (t) und bi (t) und ist t0 I, so hat das Anfangswertproblem x = A(t)x + b(t) x(t0 ) = 0 fr jedes 0 = u10 . . . n0

(11) (12)

genau eine auf ganz I denierte Lsung. o

Weil alle Lsungen auf demselben Intervall deniert sind, kann man auch uber Linearkomo binationen von Lsungen reden, und es gilt: o

Satz 20 (Lsungsraum der homogenen Gleichung). Der Lsungsraum der homogenen o o Gleichung x = A(t)x. ist ein Vektorraum der Dimension n. Das heit: Linearkombinationen von Lsungen sind wieder Lsungen: Es gilt das Superpositionso o prinzip. Es gibt n linear unabhngige Lsungen. a o Sind die Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) linear unabhngig, so ist jede andere Lsung eine o a o Linearkombiantion von diesen: x(t) = c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t) (14) (13)

Man nennt x1 (t), . . . , xn (t) eine Lsungsbasis oder ein Fundamentalsystem von Lsuno o gen und (14) die allgemeine Lsung von (13). o Die Vorgabe eines Anfangswertes x(t0 ) = 0 bestimmt die Koezienten ci in der allgemeinen Lsung eindeutig. o

12

Lineare Unabhngigkeit: Wronskitest. Wir betrachten Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) von a o (13) und wollen wissen, ob sie linear unabhngig sind. Sind zunchst die Vektoren a a x1 (t0 ), . . . , xn (t0 ) an einer Stelle t0 linear unabhngig, so sind x1 (t), . . . , xn (t) als Funktionen linear una abhngig: a Aus 1 x1 (t) + . . . + n xn (t) = 0 fr alle t folgt nmlich insbesondere u a 1 x1 (t0 ) + . . . + n xn (t0 ) = 0. Weil diese Vektoren linear unabhngig sind, ist 1 = . . . = n = 0. a Aus dem Eindeutigkeitssatz fr das Anfangswertproblem folgt fr Lsungen von (13) auch u u o die Umkehrung. Daher sind die Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) genau dann linear unabhngig, o a wenn die Funktionswerte x1 (t0 ), . . . , xn (t0 ) an einer Stelle (und dann an jeder Stelle) linear unabhngig sind. Also sind die Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) genau dann linear unabhngig, a o a wenn die aus ihnen gebildete Matrix W = (x1 (t), . . . , xn (t)), die sogenannte Wronskimatrix, an einer und dann an jeder Stelle t vollen Rang = n bzw. Determinante = 0 besitzt. Machen Sie sich klar, warum Linearkombinationen von Lsungen des inhomogenen Systems o im allgemeinen keine Lsungen liefern. Und rechnen Sie nach, dass wenn x1 (t) und x2 (t) o zwei Lsungen des inhomogenen Systems sind, dass dann x(t) = x1 (t)x2 (t) das zugehrige o o homogene System lst. Dann haben Sie bewiesen: o

Satz 21 (Lsungsraum des inhomogenen Systems). Sei xP (t) eine Lsung der inhoo o mogenen Gleichung x = A(t)x + b(t). (15)

Man nennt das auch eine partikulre oder spezielle Lsung von (15). Dann ndet man alle a o Lsungen von (15), indem man zu xP alle Lsungen xH der homogenen Gleichung (13) o o addiert. Man sagt, x = xP + xH ist die allgemeine Lsung von (15), wenn xH die allgemeine Lsung von (13) ist. o o Ist x1 , . . . , xn eine Lsungsbasis fr die homogene Gleichung, so ist also die Menge der o u Lsungen der inhomogenen Gleichung gegeben durch o x = xP + c1 x1 + . . . + cn xn mit beliebigen Konstanten c1 , . . . , cn . Damit ist die Struktur des Lsungsraumes linearer Dierentialgleichungssysteme geklrt. o a Bleibt die Frage, wie man Lsungen von (15) nden kann. Wir erklren im nchsten Abo a a schnitt, wie man bei konstanter Systemmatrix A und b(t) = 0 vorgeht, um eine Lsungsbasis o 13

fr das homogene System zu nden. Wenn man die hat, gibt es (auch bei variabler Matrix u A) ein Verfahren zur Bestimmung einer partikulren Lsung des inhomogenen Systems: a o

Satz 22 (Variation der Konstanten). Sei x1 , . . . , xn eine Lsungsbasis der homogenen o Gleichung (13). Mit der Wronskimatrix der xi bilde man das lineare Gleichungssystem x11 . . . x1n c1 b1 x21 . . . x2n c2 b2 . = . . (16) . . ... . . bn cn xn1 . . . xnn Die (eindeutig bestimmten) Lsungsfunktionen ci integriere man. Dann erhlt man mit o a xP (t) = c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) eine partikulre Lsung der inhomogenen Gleichung (11). a o

Beweis. Wir machen den Ansatz x(t) = xP (t) = c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) und setzen dies in das Dierentialgleichungssystem ein. Zunchst berechnen wir a x (t) = c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) + c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) = c1 (t)A(t)x1 (t) + . . . cn (t)A(t)xn (t) + c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) = A(t)(c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t)) + c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) = A(t)x(t) + c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t). Also ist x(t) genau dann eine Lsung des inhomogenen Systems (11), wenn o c1 (t)x1 (t) + . . . + cn (t)xn (t) = b(t). In Matrixschreibweise ist das aber gerade (16). Beispiel 23. Gegeben sei das Gleichungssystem x1 x2 = x1 + 3x2 + 2 cos2 t = 3x1 + x2 + 2 sin2 t (17)

o Lsung des zugehrigen homogenen Systems. Das zugehrige homogene System hat folgeno o de Lsungsbasis o x1 (t) =e4t e4t

,

x2 (t) =

e2t e2t

.

Wie wir die gefunden haben, erklren wir spter. a a Variation der Konstanten. Wir machen den Ansatz xP (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t) und lsen o e4t e4t Wir nden c1 (t) = e4t , c2 (t) = (cos2 t sin2 t)e2t = cos 2t e2t . e2t e2tc1 c2

=

2 cos2 t 2 sin2 t

.

Nun mssen wir die cj (t) integrieren: u 1 c1 (t) = e4t , 4 c2 (t) = 1 (sin 2t + cos 2t)e2t . 4

14

Einsetzen in den Ansatz liefert 1 xP (t) = e4t 4e4t e4t

1 + (sin 2t + cos 2t)e2t 4

e2x e2t

=

1 (sin 2t + cos 2t 1) 4 1 (sin 2t + cos 2t + 1) 4

als eine spezielle Lsung von (17). o Eine andere Methode, um eine partikulre Lsung zu nden, ist das a o Erraten einer Lsung. Wir wollen hier nur folgenden Fall betrachten: o x = Ax et b (18)

mit konstanten A und b. Der Parameter kann reell oder auch komplex sein, so dass der Fall einer trigonometrischen rechten Seite mit erfat ist. Wir machen den Ansatz x(t) = et v mit einem konstanten Vektor v. Einsetzen liefert et v = et Av et b oder Av v = b. Das sieht in Komponenten so aus: (a11 )v1 + a12 v2 + . . . + a21 v1 + (a22 )v2 + . . . + ... an1 v1 + an2 v2 + . . . + a1n vn a2n vn (ann )vn = b1 = b2 = bn (19)

Also ist (19) genau dann eine Lsung von (18), wenn v dieses lineare Gleichungssystem lst. o o Beachten Sie aber, dass das Gleichungssystem nicht unbedingt lsbar sein mu; dann fhrt o u der obige Ansatz nicht zum Ziel. Das kann passieren, wenn ein Eigenwert der Matrix A ist, d.h. wenn das System mit Schwingungen in Eigenfrequenz angeregt wird (Resonanzfall). Beispiel 24. Fr eine Gleichung der Form u x = Ax cos t b mit reellen A und b lst man o x = Ax eit b mit der vorstehenden Methode und nimmt dann den Realteil der Lsung. o

15

3.2

Der Exponentialansatz (die Eigenwertmethode)

Die Linearen Dierentialgleichungssysteme mit konstanten Koezienten bilden die einzige grere Klasse von Dierentialgleichungen, die man mit einer elementaren Meo thode lsen kann. o Wichtiges Hilfsmittel dabei ist die Theorie von Eigenwerten und -vektoren einer quadratischen Matrix. In diesem Abschnitt behandeln wir die Eigenwertmethode zur Lsung homogener linearer o Dierentialgleichungssysteme mit konstanten Koezienten. Wir betrachten das homogene lineare Dierentialgleichungssystem x1 x2 xn = a11 x1 = a21 x1 = an1 x1 +a12 x2 + . . . +a1n xn +a22 x2 + . . . +a2n xn ... +am2 x2 + . . . +ann xn

(20)

mit Konstanten aij . Mit Matrizen und Vektoren schreibt sich das kurz als x = Ax. (21)

Weil bei der Dierentialgleichung x = ax oenbar der Exponentialansatz x(t) = et erfolgreich ist, nmlich mit = a eine Lsung liefert, probieren wir fr (21) etwas hnliches. Weil a o u a die Lsungsfunktion x(t) vektorwertig sein muss, versuchen wir den Ansatz o x(t) = et v. (22)

Einsetzen in die Dierentialgleichung zeigt, dass dies genau dann eine Lsung liefert, wenn o et v = A(et v), d.h. wenn nach Division mit et = 0 gilt Av = v. Diese Gleichung fr und v hat natrlich immer die Lsung v = 0 und beliebig, aber die u u o liefert auch nur die triviale Lsung der homogenen Dierentialgleichung. Daran sind wir nicht o interessiert. Interessant sind Lsungen mit v = 0, bei denen also ein Eigenwert und v ein o zugehriger Eigenvektor von A ist. Wie man zu einer gegebenen Matrix die Eigenwerte und o Eigenvektoren bestimmen kann, wissen Sie aus dem Modul Lineare Algebra fr Ingenieure. u Die Ergebnisse nden Sie noch einmal im Anhang Abschnitt 11.1. Wir haben also gefunden:

x(t) = et v ist genau dann eine (nicht-triviale) Lsung der o Dierentialgleichung x = Ax, wenn ein Eigenwert und v ein zugehriger Eigenvektor von A sind. o Beispiel 25. Wir betrachten das homogene mit der Matrix 2 A= 2 1 lineare Dierentialgleichungssystem x = Ax 2 3 1 6 2 0 (23)

16

Die charakteristische Gleichung ist det(A E) = 45 + 21 2 3 = 0. Sie hat die Lsungen 3 und 5, wobei 3 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen o Polynoms ist. Eigenvektoren zum Eigenwert 3. Wir erhalten das Gleichungssystem 1 2 3 x 4 6 y = 0 (A (3)E) v = 2 z 1 2 3 Man sieht mit bloem Auge, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten sind. Es bleibt also nur die Gleichung x + 2y 3z = 0 und wir knnen zwei Parmeter frei whlen: Der Lsungsraum, der sogenannte Eigenraum o a o zum Eigenwert 3 ist zweidimensional. z = 0, y = 1 = x = 2 z = 1, y = 0 = x = 3 Mit diesen Wahlen erhalten wir zwei linear unabhngige Eigenvektoren a v1 = zum Eigenwert = 3. Eigenvektoren zum Eigenwert 5. Wir erhalten das 7 2 (A 5E) v = 2 4 1 2 Mit dem Gaualgorithmus ergibt sich das 0 0 0 1 1 2 mit der Lsung v3 = o1 2 1 2 1 0

,

v2 =

3 0 1

Gleichungssystem 3 x 6 y = 0 z 5

a quivalente System 0 x 2 y = 0 z 5

als Eigenvektor zum Eigenwert 5.

Die allgemeine Lsung von x = Ax ist daher o x(t) = e3t (c12 1 0

+ c2

3 0 1

) + c3 e5t

1 2 1

.

Wie viele unabhngige Lsungen liefert die Eigenwertmethode? Im optimalen Fall a o hat eine n-reihige Matrix n-verschiedene Eigenwerte 1 , . . . , n . Die zugehrigen Eigenveko toren v1 , . . . , vn sind nach einem Satz der linearen Algebra dann linear unabhngig, und der a Wronskitest liefert, dass e1 t v1 , . . . , en t vn eine Lsungsbasis bilden. Aber es kann folgende Probleme geben: o 17

1. Auch bei reeller Matrix A knnen komplexe Eigenwerte auftreten. Dann sind die zuo gehrigen Eigenvektoren auch komplex, und man erhlt eben eine komplexe Lsungso a o basis. Wenn man aber an einer reellen Lsungsbasis interessiert ist, muss man noch o ein wenig arbeiten. 2. Das charakteristische Polynom kann mehrfache Nullstellen haben, und dann sind es eben nicht mehr n verschiedene. Aber zu einer k-fachen Nullstelle, man sagt zu einem Eigenwert der algebraischen Vielfachheit k, kann es durchaus k linear unabhngige a Eigenvektoren geben. Dann sagt man, die geometrische Vielfachheit sei gleich der algebraischen, und alles geht problemlos wie oben, der Eigenwert liefert k linear unabhngige Lsungen. a o 3. Ein Eigenwert der algebraischen Vielfachheit k > 1 kann aber auch nur weniger als k linear unabhngige Eigenvektoren besitzen, die geometrische Vielfachheit kann kleiner a sein als die algebraische. Wie ndet man dann dazu k unabhngige Lsungen der a o Dierentialgleichung? Dem ersten und dritten Fall wenden wir uns jetzt zu. Komplexe Eigenwerte. Sei A eine reelle Matrix. Wenn das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen hat, treten diese in komplex-konjugierten Paaren = + i und = i auf. Auch die entsprechenden Eigenvektoren sind dann konjugiert-komplex.

Fr die Lsung der Dierentialgleichung kann man von komplex-konjugierten u o Paaren von Lsungen je eine vergessen, wenn man von der verbleibenden den o Real- und Imaginrteil nimmt. a

Das ist klar, weil Linearkombinationen von Lsungen wieder Lsungen sind, die Gleichung o o ist ja homogen(!), und weil fr komplexes z u Re z = Beispiel 26. Die Matrix A= 1 1 . 1 1 1 1 z + z, 2 2 Im z = 1 1 z z. 2i 2i

hat die charakteristische Gleichung (1 )2 + 1 = 0. Sie hat die Lsungen o 1,2 = 1 i. Oensichtlich sind v1 =i 1

und v2 =

i 1

zugehrige Eigenvektoren. Das Dierentialgleichungssystem o x1 = x1 x2 x2 = x1 + x2 hat daher die allgemeine komplexe Lsung o x(t) = c1 e(1+i)ti 1

+ c2 e(1i)t

i 1

,

c1 , c2 C

18

Die Lsung o e(1+i)ti 1

= et (cos t + i sin t)

i 1

= et

sin t cos t

+ iet

cos t sin t

liefert die allgemeine reelle Lsung o x(t) = a1 et Die komplexe Lsung e(1i)t oi 1 sin t cos t

+ a2 et

cos t sin t

,

a1 , a2 R.

kann man also vergessen.

Dezite bei den Eigenvektoren. Die Eigenvektoren sind Lsungen der Eigenvektorgleio chungen (A E)v = 0 zu den verschiedenen Eigenwerten der n-reihigen Matrix A. Im Idealfall gibt es n linear unabhngige Eigenvektoren. Wenn das aber nicht so ist, gibt es mehrfache Eigenwerte, zum a Beispiel einen Eigenwert der algebraischen Vielfachheit k > 1, zu dem weniger als k linear unabhngige Eigenvektoren existieren. In der linearen Algebra zeigt man, dass es in a diesem Fall zu immer noch k linear unabhngige Hauptvektoren gibt, die gewissermaen a einen Ersatz fr die Eigenvektoren bilden. Ein Hauptvektor ist eine nicht-triviale Lsung u o der Gleichung (A E)k v = 0, woraus man sofort ersieht, dass Eigenvektoren auch Hauptvektoren sind, weil ja (A E)k v = (A E)k1 (A E)v ist. Wir beschreiben ein Verfahren zur Gewinnung einer Lsungsbasis des homogenen linearen o Dierentialgleichungssystems (21), wenn es nicht gengend linear unabhngige Eigenvektou a ren gibt. Satz 27 (Hauptvektorlsungen). Ist eine k-fache Nullstelle des charakteristischen o Polynoms von A und v eine Lsung von o (A E)k v = 0, also ein Hauptvektor, so istk1 j

(24)

x(t) := etj=0

t tk1 (A E)j v = et v + t(A E)v + . . . + (A E)k1 v j! (k 1)!

(25)

eine Lsung von o x = Ax. Es gibt immer k linear unabhngige Lsungen von (24), und solche fhren zu linear una o u abhngigen Lsungen der Dierentialgleichung. a o

Beweis. Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. Dabei hat man es leichter, wenn man beachtet, dass (A E)m v = 0 fr alle m k. Deshalb kann man die Summe in (25) u einfach bis laufen lassen. Wir schreiben

x0 (t) :=j=0

tj (A E)j v. j! 19

Dann folgt

x0 (t) =j=1

tj1 tj1 (A E)j v = (A E) (A E)j1 v (j 1)! (j 1)! j=1

= (A E)j=0

tj (A E)j v = (A E)x0 (t). j!

Daher ist x (t) =

d t e x0 (t) = x(t) + (A E)x(t) = Ax(t). dt

So einfach dieser Beweis im Grunde ist, so mysteris erscheint die Formel (25). Wie ist o man darauf gekommen? Dahinter steckt wieder eine ganz einfache Idee, deren technische Umsetzung aber einige Erklrung erfordert. Wir behandeln sie im Anhang 11.2. a Die direkte Anwendung des Satzes mit den Hauptvektoren ist mhsam, denn man muss die u Matrixpotenzen bis (A E)k bilden. Einfacher geht es bei doppelten Nullstellen, und es lohnt, sich diesen huger auftretenden Fall zu merken: a Beispiel 28. Ist ein zweifacher Eigenwert bei beliebiger Dimension, so berechnet man zunchst einen Eigenvektor v1 . Dazu mu man die Matrix A E bilden. Gibt es nun zu a keinen zweiten linear unabhngigen Eigenvektor, so gibt es einen von v1 linear unabhngigen a a Hauptvektor v2 . Fr den gilt u 0 = (A E)2 v2 = (A E)((A E)v2 ). Das heit, (A E)v2 ist ein Eigenvektor zum Eigenwert , also von der Form av1 . Wir haben daher 1 (A E)( v2 ) = v1 . a Weil es auf Vielfache = 0 bei Eigen- und Hauptvektoren nicht ankommt, knnen wir den o Faktor 1/a vergessen. Fazit: Fr einen Eigenvektor v1 ist das Gleichungssystem u (A E)v2 = v1 lsbar und liefert uns den fehlenden Hauptvektor zum Eigenwert . Die zugehrige Lsung o o o ist dann y(t) = et (v2 + tv1 ).

Beispiel 29. Wir betrachten 0 A = 2 1 1 1 3 1 1 1

Diese Matrix hat die Eigenwerte 1 = 2 = 1 und 3 = 2. Die Gleichung 1 1 1 x 0 (A 1 E)v = 2 2 1 y = 0 z 0 1 1 0 20

liefert einen linear unabhngigen Eigenvektor a 1 1 1 2 2 1 1 1 0 einen Hauptvektor0 0 1

1 1 0 x y z

zum Eigenwert 1. Daher liefert

=

1 1 0

zum Eigenwert 1. Das Dierentialgleichungssystem x (t) = Ax

hat in diesem Fall eine Lsungsbasis aus o x1 (t) = et1 1 0

,0 1 1

x2 (t) = et (

0 0 1

+t

1 1 0

)

und einer weiteren Lsung x3 (t) = e2t o

zum Eigenwert 2. Die allgemeine Lsung ist oc1 et + c2 tet c1 et + c2 tet + c3 et c2 et + c3 et

x(t) =

21

4

Lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung Skalare lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung kann man durch Einfhren von u Hilfsvariabeln quivalent umschreiben als ein lineares System 1. Ordnung. a Dann ubertrgt sich die Lsungstheorie von den Systemen auf den skalaren Fall. a o Fr die konkrete Lsung skalarer Gleichungen kann man diese aber auch - und einfacher u o - direkt behandeln.

Wir betrachten nun gewhnliche lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung fr reell- oder o u komplexwertige Funktionen. Im Gegensatz zu den Dierentialgleichungssystemen spricht man auch von skalaren Dierentialgleichungen. Die allgemeine Form ist diese: x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an (t)x = b(t) (26)

mit stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen ak (t) und b(t) auf einem Intervall I. Ist b = 0, so nennt man die Gleichung homogen, andernfalls inhomogen. Beispiel 30. Ein Beispiel liefert die Bewegungsgleichung fr ein Federpendel der Masse m u mit Federkonstante k und Reibungskoezient a: mx + ax + kx = 0, die nach Normierung mit1 m

(27)

in die vorstehende Form ubergeht.

Wenn man in diesem Beispiel die Geschwindigkeit mit v = x bezeichnet, ist die Gleichung a a quivalent zu einem linearen System, nmlich x=v v= oderx v

a b x v m m 1 a mx v

=

0 b m

.

(28)

Jede Lsung o eine Lsung o

x(t) v(t) x(t) x (t)

dieses Systems liefert durch Vergessen der zweiten Komponente eine von (28).

Lsung von (27). Umgekehrt liefert jede Lsung x(t) von (27) zusammen mit ihrer Ableitung o o

Skalare Gleichungen und Systeme. Allgemein ist x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an1 (t)x + an (t)x = b(t) nach Einfhrung von Hilfsfunktionen x1 (t) := u a quivalent zu 0 1 0 x1 0 0 1 x2 . ... . = . 0 0 0 xn1 xn an (t) an1 (t) an2 (t) x(t), x2 (t) := x(t) , . . . , xn (t) := x ... ... ... ...0 0 . + . . . xn1 0 1 xn b(t) a1 (t)

(29)(n1)

(t)

0 0

x1 x2 . . .

(30)

Als Konsequenz ist die Theorie der skalaren Dierentialgleichungen n-ter Ordnung ein Spezialfall der Systeme 1. Ordnung, und beide Theorien stimmen weitgehend uberein. Der nchste Abschnitt ist deshalb einfach eine mehr oder weniger wrtliche Ubersetzung des a o entsprechenden Abschnitts uber Systeme. 22

4.1

Struktur des Lsungsraumes o

Die Strukturen des Lsungsraums sind analog zum Fall von Systemen 1. Ordnung. o Der Wronskitest ist in diesem Fall interessanter. Und die Methode der Variation der Konstanten klappt auch.

Satz 31 (Existenz und Eindeutigkeitssatz). Gegeben sei Gleichung x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an (t)x = b(t) (31)

mit stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen ak (t) und b(t) auf einem Intervall I. Sei t0 I und seien Anfangswerte x(t0 ) = 0 , x (t0 ) = 1 , . . . , x(n1) (t0 ) = n1 vorgegeben. Dann gibt es genau eine Lsung x(t) von (31) mit diesen Anfangswerten. o

Weil alle Lsungen auf demselben Intervall deniert sind, kann man auch uber Linearkomo binationen von Lsungen reden, und es gilt: o

Satz 32 (Lsungsraum der homogenen Gleichung). Der Lsungsraum der homogenen o o Gleichung x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an (t)x = 0 (32) ist ein Vektorraum der Dimension n. Das heit: Linearkombinationen von Lsungen sind wieder Lsungen: Es gilt das Superpositionso o prinzip. Es gibt n linear unabhngige Lsungen. a o Sind die Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) linear unabhngig, so ist jede andere Lsung eine o a o Linearkombiantion von diesen: x(t) = c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t) (33)

Man nennt x1 (t), . . . , xn (t) eine Lsungsbasis oder ein Fundamentalsystem von Lsuno o gen und (33) die allgemeine Lsung von (32). o Lineare Unabhngigkeit: Wronskitest. Wir betrachten Lsungen x1 (t), . . . , xn (t) von a o (32) und wollen wissen, ob sie linear unabhngig sind. Wir erinnern uns an die Umschreibung a der Dierentialgleichung als System und bilden die Matrix x1 (t) x2 (t) ... xn (t) x1 (t) x2 (t) ... xn (t) W = . . . . . . x1(n1)

(t) x2

(n1)

(t) . . .

xn

(n1)

(t)

Die Lsungen sind genau dann linear unabhngig, wenn diese Matrix an einer (und dann an o a jeder) Stelle x den Rang n, also eine Determinante = 0 hat.

23

Satz 33 (Lsungsraum des inhomogenen Systems). Sei xP (t) eine Lsung der inhoo o mogenen Gleichung x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an (t)x = b(t) (34) Man nennt das auch eine partikulre oder spezielle Lsung von (34). Dann ndet man alle a o Lsungen von (34), indem man zu xP alle Lsungen xH (t) der zugehrigen homogenen o o o Gleichung (32) addiert. Man sagt, x(t) = xP (t) + xH (t) ist die allgemeine Lsung von (15), wenn xH die allgemeine Lsung von (13) ist. o o Ist x1 (t), . . . , xn (t) eine Lsungsbasis fr die homogene Gleichung, so ist also die Menge der o u Lsungen der inhomogenen Gleichung gegeben durch o x(t) = xP (t) + c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t) mit beliebigen Konstanten c1 , . . . , cn . Damit ist die Struktur des Lsungsraumes linearer Dierentialgleichungen n-ter Ordnung o geklrt. Bleibt die Frage, wie man Lsungen von (34) nden kann. Wir erklren im nchsten a o a a Abschnitt, wie man bei konstanten Koezienten und b(t) = 0 vorgeht, um eine Lsungsbasis o fr die homogene Gleichung zu nden. Wenn man die hat, gibt es (auch bei variablen ai ) u ein Verfahren zur Bestimmung einer partikulren Lsung des inhomogenen Systems: a o

Satz 34 (Variation der Konstanten). Sei x1 (t), . . . , xn (t) eine Lsungsbasis der homoo genen Gleichung (32). Mit der Wronskimatrix der xi bilde man das lineare Gleichungssystem x1 ... xn 0 c1 x1 ... xn c2 0 . = . . (35) . . ... . . x1(n1)

...

xn

(n1)

cn

b(t)

Die (eindeutig bestimmten) Lsungsfunktionen ci integriere man. Dann erhlt man mit o a xP (t) = c1 (t)x1 (t) + . . . cn (t)xn (t) eine partikulre Lsung der inhomogenen Gleichung (34). a o

Beispiel 35. Wir betrachten x + x = tan t. (36)

Oenbar sind x1 (t) = cos t und x2 (t) = sin t Lsungen der zugehrigen homogenen Gleio o chung. Die Wronskimatrix ist cos t sin t sin t cos t mit Determinante = 1, also haben wir eine Lsungsbasis. Das Gleichungssystem o cos t sin t hat die Lsungen o c1 = sin t tan t, 24 c2 = sin t sin x cos tc1 c2

=

0 tan t

und mit ein wenig Integrieren ndet man c1 = ln Das liefert die partikulre Lsung a o yP (t) = ln 1 + sin t cos t + sin t cos t cos t sin t cos t 1 + sin t = cos t ln cos t 1 + sin t + sin t, cos t c2 = cos t.

Das htte man nicht so einfach geraten. Die allgemeine Lsung der Gleichung (36) ist a o y(t) = cos t ln 1 + sin t + c1 cos t + c2 sin t. cos t

Ansatz vom Typ der rechten Seite. Natrlich kann man versuchen, eine partikulre u a Lsung von o x(n) + a1 (t)x(n1) + . . . + an (t)x = b(t) zu raten. Bei einfacher rechter Seite mag das gelingen. Weiter kommt man mit der Uberlegung, t dass die linke Seite fr x(t) = q(t)e mit einem Polynom q(t) wieder einen Ausdruck deru selben Form p(t)et mit einem anderen Polynom ist. Ist also b(t) = p(t)et von dieser Form, so kann man den Ansatz y(t) = q(t)et mit einem allgemeinen Polynom q(t) machen und versuchen, dessen Koezienten durch Koezientenvergleich entsprechend zu bestimmen. Welchen Ansatz wrden Sie versuchen, wenn b(t) = cos x? u

25

4.2

Der Exponentialansatz

Der Exponentialansatz wird einfacher als bei Systemen: Keine Determinanten, keine Eigenvektorberechnung. Wir betrachten nun das Problem, Lsungen der homogenen Gleichung n-ter Ordnung zu o nden: x(n) + a1 x(n1) + . . . + an x = 0. (37) Wenn die Koezienten ai konstant sind, und nur diesen Fall wollen wir jetzt betrachten, liefert die Umschreibung in ein System 1. Ordnung 0 1 0 ... 0 x1 x1 0 x2 x2 0 1 ... 0 . . , ... (38) . = . . . 0 0 0 ... 1 xn1 xn1 xn xn an an1 an2 . . . a1 kurz x = Ax, eine konstante Systemmatrix A, und wir wissen schon, wie die Lsungen dann aussehen: o Man erhlt Lsungsbasisfunktionen der Form x(t) = et , schlimmstenfalls zustzlich noch a o a solche der Form x(t) = tk et , wenn nmlich beim System Hauptvektorlsungen erforderlich a o werden. Dabei sind die die Eigenwerte der Systemmatrix. Es ist nicht so einladend, das charakteristische Polynom einer Matrix der Form aus (38) zu bestimmen. Aber wenn man in (37) den Ansatz x(t) = et einsetzt, ndet man sofort, dass genau die Lsungen der Gleichung o n + a1 n1 + . . . + an = 0. (39)

auch Lsungen der Dierentialgleichung liefern, und tatschlich ist dies (bis auf ein mgliches o a o Vorzeichen der linken Seite) die charakteristische Gleichung auch der Matrix A. Hat diese n verschieden Lsungen, so erhlt man eine Lsungsbasis, mglicherweise allerdings o a o o mit komplexen Funktionen e(+i)t = et (cos t + i sin t), die man wieder in Real- und Imaginrteil zerlegen kann, um eine reelle Lsungsbasis zu a o gewinnen. Beispiel 36. Betrachte x + 6x + 10x = 0. Die charakteristische Gleichung + 6 + 10 = 0 hat dann die Lsungen o 1 = 3 + i, 2 = 3 i, und die liefern die allgemeine Lsung o x(t) = c1 e(3+i)t + c2 e(3i)t . (40)2

Die allgemeine reelle Lsung erhlt man aus e(3+i)t = e3t (cos t + i sin t) durch Zerlegen. o a Sie ist x(t) = c1 e3t cos t + c2 e3t sin t.

26

Mehrfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Bei Matrizen der Form (38) kann die Situation mehrfacher Eigenwerte mit mehreren linear unabhngigen Eigenvektoren a nicht auftreten, man ist immer in der Hauptvektor-Situation, die im skalaren Fall aber sehr einfach ist: Eine k-fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung (39) liefert linear unabhngige a Lsungsbasisfunktionen o e , tet , . . . , tk1 et . Beispiel 37. Betrachte x + 6x + 9x = 0. Die charakteristische Gleichung + 6 + 9 = 0 hat dann die Lsungen o 1 = 3 = 2 . Die liefern fr die Dierentialgleichung die allgemeine Lsung u o x(t) = c1 e3t + c2 te3t . (41)2

27

5

Nichtlineare Gleichungen und Erhaltungsgren o Wir beschftigen uns jetzt mit der Frage, wie man Informationen uber die Lsungen a o von dynamischen Systemen nden kann, die man nicht explizit lsen kann. o

Beispiel 38 (Ruber-Beute-Modell und Volterra-Prinzip). Wir betrachten ein hug a a benutztes dynamisches System, das sogenannte Ruber-Beute-Modell von Volterra. Es ist a eine Weiterentwicklung der logistischen Gleichung von Verhulst aus Beispiel 7. In einem System mit Beute- und Ruberindividuen nimmt man an, dass die Zahl x der Beutetiere a exponentiell wchst, wenn keine Ruber vorhanden sind: x = ax. Beim Vorhandensein von a a y Rubern ist die Zahl der Ruber-Beute-Begegnungen proportional zu xy, und deshalb a a korrigiert sich die vorstehende Gleichung zu x = ax bxy. Ebenso nehmen die Ruber in a Abwesenheit von Beute exponentiell ab und man ndet y = cxy dy. Sind schlielich die Ressourcen fr die Beutetiere nicht unbegrenzt, so kommt ein Korrekturterm fr die soziale u u Reibung hinzu, und Analoges gilt fr die Ruber. Schlielich ergibt sich das sogenannte u a Volterra-Lotka-Modell x = ax bxy x2 y = cxy dy y 2 mit nicht-negativen Konstanten a, b, c, d, , . (Fr negatives c und d moduliert dieses System u die Populationsdynamik zweier konkurrierender Spezies.) Die Gre der verschiedenen Parameter ist entscheidend fr den Verlauf der Phasenkurven. o u Wir betrachten hier zunchst den Fall ohne soziale Reibung, also a = = 0. Im Punkt (, y ) = x d a c, b

, verschwindet die rechte Seite, und das bedeutet, dass x(t) := x, y(t) := y

eine (konstante) Lsung der Dierentialgleichung ist, ein sogenanntes Gleichgewicht. Darauf o gehen wir im nchsten Abschnitt ein. a Jetzt machen wir eine kleine trickreiche Rechnung. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit d/x, die zweite mit a/y und addieren: d x y + a = ad bdy + acx ad = acx cbxy + cbxy bdy x y = c(ax bxy) + b(cxy dy) = cx + by.

Also ist

d (d ln x + a ln y cx by) = 0. dt Das bedeutet aber, dass die Funktion E(x, y) = d ln x + a ln y cx by auf jeder Lsungskurve der Volterra-Lotka-Gleichung konstant ist, sie ist eine sogenannte o Erhaltungsgre oder ein Integral des Systems und jede Lsungskurve verluft innerhalb o o a einer Niveaulinie dieser Funktion.

28

Raeuber

Man kann sich numerisch-graphisch davon uberzeugen oder wirklich beweisen, dass die Niveaulinien von E geschlossene Kurven um den Gleichgewichtspunkt (, y ) herum sind, auf denen x die Lsungen periodisch herumlaufen. o

8 6 4 2 Beute

2

4

6

8

Sei (x(t), y(t)) eine solche Bahn mit Periode T . Dann ist wegen der Periodizitt a 1 TT 0

x 1 dt = (ln x(T ) ln x(0)) = 0. x T

Andrerseits folgt aus der Dierentialgleichung 1 TT 0

x 1 dt = x T

T

(a by(t)) dt = a b0

1 T

T

y(t)dt.0

Aus beidem zusammen folgt 1 T und mit gleichem Argument 1 TT T

y(t)dt =0

a =y b d = x. c

x(t)dt =0

Das zeitliche Mittel der Populationsgren ist also unabhngig von der Lsung immer d o a o c bzw. a . b Damit haben wir wichtige Informationen uber die Lsungen gewonnen, ohne diese explizit o zu kennen. Wir halten eine berhmte Folgerung daraus fest: u Das Volterra-Prinzip. Interpretiert man die Beute als Schdlinge, die Ruber als a a Ntzlinge und wendet ein Gift an, das die Ausbreitung der Schdlinge aber gleichermau a en auch das der Ntzlinge reduziert, so entspricht das der Addition von Termen x bzw. u y auf der rechten Seite, d.h. a wird zu a und d zu d + , der Mittelwert d/c der Schdlinge erhht sich auf (d + )/c, statt sich zu reduzieren. a o Fr nicht-verschwindende , gibt es wieder genau eine Gleichgewichtslsung u o (, y ) = x bd + a ac d , bc + bc + ,

aber man ndet keine Erhaltungsgre. Die Diskussion der Lsungen wird komplizierter. o o Mit Mathematica ndet man zum Beispiel numerisch a=4.4;b=1;c=.5;d=1; = .1; = .02; lsg:=NDSolve[{ x[t]==a x[t]-bx[t]y[t]- x[t]2 , y[t]==cx[t]y[t]-dy[t]- y[t]2 , x[0]==.2;y[0]==1;} {x,y},{t,0,20}] ParametricPlot[ Evaluate[{x[t],y[t]}/.lsg], {t,6,20},PlotRange >{{0,2.5},{0,3}}]

3 2.5 2 1.5 1 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

29

Es sieht aus, als liefen alle Bahnen gegen das Gleichgewicht, aber es knnte z. B. auch noch o eine sehr kleine geschlossene Bahn geben. Die Entscheidung darber ubersteigt den Rahmen u dieser Vorlesung, aber wir kommen auf verwandte Fragen im nchsten Abschnitt zurck, vgl. a u Beispiel 47. Das Aunden der Funktion E(x, y) im vorangehenden Beispiel erscheint als Zaubertrick. Bei physikalisch motivierten Dierentialgleichungen kennt man aber oft aus der Physik schon Erhaltungsgren (Energie, Impuls), und damit hat man dann wesentliche Information uber o die Phasenkurven des Systems. Wir machen das an drei klassischen Beispielen aus der Mechanik deutlich. Vgl. auch die Abschnitte 12.3 und 12.4 in Mller: Mechanik II. u Beispiel 39 (Massenpunkt im Potentialfeld).Mller: Mechanik II, Abschnitt 12.4 u

Wir betrachten das System fr einen Massenpunkt der u Raumdimension x = m1 p,

Newtonschen

Mechanik in einer

(42) p = F (x). Wir nehmen an, dass U (x) eine Stammfunktion von F (x) ist, und wir denieren E(x, p) := U (x) + 1 2 p . 2m (43)

Ist dann (x(t), p(t)) eine Lsungskurve von (42), so ndet man: o d E E 1 E(x(t), p(t)) = x(t) + p(t) = F (x)x(t) + pp = F (x)x(t) + xF (x) = 0. dt x p m Also ist E auf den Phasenbahnen konstant. In diesem Beispiel ist U gerade das Potential des Kraftfeldes und E die Summe aus potentieller und kinetischer Energie: Wir haben den Energieerhaltungssatz bewiesen. Aber eigentlich haben wir die Denition (43) getroen in Kenntnis des Energieerhaltungssatzes!

Beispiel 40 (Pendelgleichung).Mller: Mechanik II, Abschnitt 15.2 u

Fr die Pendelgleichung u = L1 = g sin . aus Beispiel 11 ist E(, ) = g cos + Pendels. In der Nhe von (0, 0) ist a1 2 2L

ein Integral, nmlich wieder die Energie des a

g 1 2 E(, ) g + 2 + , 2 2L die Kurven E = const fr kleine Konstante sind also ellipsenartige Kurven um (0, 0). Deshalb u ist (0, 0) ein stabiler Gleichgewichtspunkt: Bei kleiner Auslenkung bleibt das Pendel in der Nhe von (0, 0), vgl. den nchsten Abschnitt uber Stabilitt. Das war physikalisch klar, folgte a a a aber nicht aus unseren bisherigen Einsichten.

30

Weil die Phasenkurven in den Niveaulinien von E liegen bekommt man auerdem aus den letzteren ein komplettes Phasenportrt. Wiea der sind die Schnittpunkte der Phasenbah nen auf der -Achse keine Schnittpunkte von Phasenbahnen, sondern vielmehr selbst konstante Bahnen, instabile Gleichgewichtslagen des Pendels.

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -4 -2 0 2 4

Technische Anmerkung. Damit dieses Bild uberzeugt, mu das Niveau durch die instabilen Gleichgewichtspunkte sichtbar sein. Bei dem ContourPlot-Befehl von Mathematica sucht sich das Programm aber die Niveaus fr den Plot selbst aus, und das fragliche ist in der Regel u nicht dabei. Deshalb wurden 3 Bilder uberlagert: niveau[u , v , z ] =Contourplot[Cos[x] + y2 , {x, 4, 4}, {y, 2, 2}, AspectRatio > Automatic, Contours > z, ContourShading > False, Axes > True, AxesOrigin > {0, 0}, PlotPoints > 50, PlotRange > {u, v}] Show[niveau[1, 1, 1], niveau[1, .8, 3], niveau[1.01, 6, 5], PlotRange > {2, 2}]

Im Anhang Abschnitt 11.3 nden sie als Beispiel die Herleitung der Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz und den Bewegungsgleichungen von Newton. Sie dokumentiert eine der ganz groen Leistungen in der Geschichte der Naturwissenschaften und zeigt gleichzeitig sehr klar die Bedeutung von Integralen bei der Behandlung nicht explizit lsbarer o dynamischer Systeme. Fazit. Viele dynamische Systeme ( die meisten) lassen sich nicht explizit lsen, obwohl der o Existenz- und Eindeutigkeitssatz sicherstellt, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lsung besitzt. Information uber die Eigenschaften dieser Lsung lassen sich gelegentlich dio o rekt aus der Dierentialgleichung gewinnen. Zum Beispiel liefern bekannte Erhaltungsgren o solche Information. Wie ndet man aber Erhaltungsgren, wenn man sie noch nicht kennt? Was kann man tun, o wenn es keine Erhaltungsgren gibt? Fr diese Situationen gibt es keine Patentrezepte, man o u braucht fr die konkrete Dierentialgleichung konkrete Ideen. u

31

6

Stabilitt a Gleichgewichtszustnde von Systemen knnen auf Strung sehr unterschiedlich reagiea o o ren. Zunchst untersuchen wir, wie. a Besonders interessieren wir uns fr stabile Gleichgewichtszustnde. u a

Vergleichen sie zu diesem Abschnitt [Regelungstechnik I, Abschnitt 4.6 ] oder [Regelung in der Luft- und Raumfahrt, Abschnitt 6 ]. In der Regelungstechnik betrachtet man Regelkreisglieder, die einem Eingangssignal xe (der Regelabweichung) mit einem Ausgangssignal xa (der Stellgre) antworten. In einem mao thematischen Modell ist xa die Lsung eines Anfangswertproblems zum Beispiel mit xe als o rechter Seite. Ziel der Regelung ist der Erhalt eines bestimmten Systemzustandes, Regelabweichungen sollen korrigiert werden. Beispiel 41.Regelungstechnik I, Abschnitt 2.3

Wir betrachten T1 xa = xa + xe (t), xe (t0 ) = x0 . Das entspricht in der Regelungstechnik einem sogenannten P T1 -Glied. Fr gegebenen Einu gang xe erhlt man eine partikulre Lsung xa , die das Anfangswertproblem lst. Die alla a o o gemeine Lsung der Dierentialgleichung ist o xa (t) = xa (t) + Ce tt0 T1

.

Strungen der Stellgre xa , hervorgerufen durch Schwankungen im Betrieb des Reglers, o o die sich in der Anfangsbedingung niederschlagen, klingen wegen des negativen Exponenten von e also im Laufe der Zeit ab. Der Regler arbeitet stabil. Und diese Eigenschaft hngt a oenbar nicht von xe , sondern nur vom Rest der Dierentialgleichung, also vom Regler selbst ab. Es ist klar, dass Stabilitt eine wnschenswerte Eigenschaft von Reglern ist. a u Wir wollen deshalb die Stabilitt von (autonomen) dynamischen Systemen a x = F (x) betrachten. Denition 42 (Gleichgewicht). Punkte x0 Rn , in denen F (x0 ) = 0, heien Gleichgewichtspunkte des Systems. In anderer Terminologie heien sie auch stationre, a singulre oder kritische Punkte. Oenbar ist dann a x(t) x0 eine Lsung des Problems, und zwar eine konstante: das System ruht im Gleichgewicht. o Stabilitt betrit den Verlauf der Phasenkurven in der Nhe eines solchen Gleichgewichtsa a punktes. Zunchst ein Beispiel. a Beispiel 43. Wir betrachten im R2 das System x = Ax (45)

(44)

mit einer konstanten (2 2)-Matrix A, und wir setzen voraus, dass det A = 0. Mit 1 und 2 bezeichnen wir die Eigenwerte von A. Dann gilt einer der folgenden Flle: a 32

1 und 2 sind verschieden und reell. Dann ist die allgemeine Lsung von (45) von der o Form c1 e1 x v1 + c2 e2 x v2 1 = 2 reell. Dann ist die allgemeine Lsung von (45) von der Form o e1 x (c1 v1 + c2 v2 ) oder, falls die geometrische Vielfachheit von 1 kleiner als zwei ist, von der Form e1 x (c1 v1 + xc2 v2 ) Die Eigenwerte 1 = + i und 2 = 1 sind konjugiert komplex zueinander und nicht-reell. Dann ist die allgemeine Lsung von (45) von der Form o exa cos t + b sin t c cos t + d sin t

Wir skizzieren hier die Phasenportrts fr verschiedene Flle: a u a

1 > 0, 2 >0

1 > 0, 2 0 gibt, so dasst

lim x(t) = x0

fr jede Lsung x(t) mit |x(0) x0 | < . u o stabil, wenn alle Lsungen, die nahe x0 starten, in der Nhe des Gleichgewichts bleiben, o a d.h. wenn es zu jedem > 0 ein > 0 gibt, so dass |x(t) x0 | < fr jede Lsung x(t) mit |x(0) x0 | < . u o asymptotisch stabil, wenn es attraktiv + stabil ist. instabil, wenn nicht alle Lsungen, die nahe x0 starten, auch nahe x0 bleiben, d.h. o wenn es ein > 0 und zu jedem > 0 eine Lsung x(t) und ein t1 > 0 gibt, so dass o |x(0) x0 | < , aber Damit gilt |x(t1 ) x0 | > . fr alle t > 0, u

Satz 45 (Stabilittssatz: Linear konstanter Fall). Das Gleichgewicht 0 von a x = Ax ist (i) asymptotisch stabil, falls alle Eigenwerte von A negativen Realteil haben, (ii) stabil, falls kein Eigenwert von A positiven Realteil hat und fr die Eigenwerte mit Realteil=0 die geometrische Vielfachheit gleich der algeu braischen ist (iii) instabil, falls ein Eigenwert von A positiven Realteil hat oder ein Eigenwert mit Realteil 0 existiert, dessen geometrische Vielfachheit kleiner als seine algebraische ist. Fr den zweidimensionalen Fall folgt das direkt aus den oben aufgeschriebenen expliziten u Lsungen, und der hher-dimensionale Fall geht genauso. o o Wir wenden uns jetzt der Stabilitt im nichtlinearen Fall zu. a Im allgemeinen kann man dann die Lsungen des Systems nicht mehr explizit hinschreiben o wie bei linearen Systemen mit konstanten Koezienten. Aber man kann natrlich numerisch u experimentieren oder auf andere Weise sogar exakte Informationen gewinnen:

34

Im Pendelbeispiel 40 oder im Ruber-Beute-Modell Beispiel 38 mit = 0 = hatten wir a bereits stabile Gleichgewichte gefunden. Und im Ruber-Beute-Modell mit sozialer Reibung a lieferte die Numerik zumindest den Verdacht auf ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht. Mit Einschrnkungen lt sich der Typ des Gleichgewichts im nichtlinearen Fall aus der a a linearen Approximation von F bei x0 ablesen:

Satz 46 (Stabilittssatz: Nichtlinearer Fall). Ist F (x0 ) = 0 und haben die Eigenwerte a der (n n)-Matrix Fi (x0 ) F (x0 ) = xj smtlich negativen Realteil, so ist x0 ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht. Hat wenigstens a ein Eigenwert einen positiven Realteil, so ist x0 ein instabiles Gleichgewicht.

Beispiel 47 (Ruber-Beute-Modell). Fr das Vektorfeld aus Beispiel 38 ndet man im a u Gleichgewichtspunkt (, y ) die Ableitung x H (, y ) = x b x x c y y

und daraus die folgende Gleichung fr die Eigenwerte : u 2 + ( + ) + xy ( + bc) = 0. y x Fr = = 0 hat diese Gleichung rein-imaginre konjugiert-komplexe Nullstellen. Wir u a wissen zwar aus den Ergebnissen von Beispiel 38, dass das Gleichgewicht in diesem Fall stabil ist, aber das kann man im nicht-linearen Fall nicht aus 1,2 = i xy bc schlieen. Falls (, ) = (0, 0), haben alle Nullstellen der quadratischen Gleichung negativen Realy x teil + . Also kann man den Satz 46 anwenden und erhlt ein asymptotisch stabiles a 2 Gleichgewicht.

Beispiel 48 (Pendelgleichung).Mller: Mechanik II, Abschnitt 15.2 u

Vgl. Beispiel 40. Die Bewegungsgleichung fr das Pendel u = L1 = g sin . hat im (, )-Phasenraum die Gleichgewichtspunkte (n, 0), n ganzzahlig. Die Ableitungsmatrix 0 L1 g cos 0g hat die charakteristische Gleichung 2 + L cos = 0. Fr = n mit ungeradem n hat man u g also zwei reelle Eigenwerte L , von denen einer positiv ist: Das Gleichgewicht ist instabil, wie auch aus physikalischen Grnden oensichtlich ist. Fr gerades n, d.h. fr das Pendel u u u in unterster Position liegt aus physikalischen Grnden ein stabiles Gleichgewicht vor, wie u g wir auch schon im Beispiel 40 festgestellt haben. Aber die Eigenwerte i L haben Realteil = 0, und der vorstehende Satz macht keine Aussage.

35

7

Laplacetransformation Wir denieren die Laplacetransformation und zeigen ihre wichtigsten Eigenschaften. Wir denieren auch eine Klasse von Funktionen, die Funktionen von exponentieller Ordnung, fr die das uneigentliche Integral der Laplacetransformation immer existiert. u Der Ableitungssatz erklrt, warum die Laplacetransformation beim Lsen linearer Difa o ferentialgleichungen helfen kann. Sie ist dadurch gleichermaen fr gewhnliche wie u o partielle Dierentialgleichungen von Bedeutung. In der Regelungstechnik und der Theorie der linearen Systeme ist sie das zentrale mathematische Werkzeug, hinter dem die Dierentialgleichungen oft kaum noch erkennbar sind. Vergleichen Sie [Regelungstechnik I ] oder [Regelung in der Luft- und Raumfahrt ].

7.1

Denition und grundlegende EigenschaftenLaplacetransformation

Denition 49. Fr eine Funktion f : [0, [ C deniert man die u folgendermaen: Fr s C sei u

L[f ](s) :=0

f (t)est dt,

falls das Integral existiert, d.h. falls

lim

f (t)est dt0

existiert. Notation: Hug schreibt man einfacher F (s) statt L[f ](s). a Eine einfache Konsequenz der Denition ist der

Satz 50 (Linearitt). Die Laplacetransformation ist linear: Existieren L[f ] und L[g], so a existieren auch L[f + g] und L[af ] fr beliebiges a C und es gilt u L[f + g] = L[f ] + L[g], L[af ] = aL[f ].

Wir berechnen nun die

Laplacetransformation

einiger Funktionen.

36

Satz 51 (Laplacetransformierte). Es gilt fr a C und n N u L[eat ](s) = L[sin at](s) = L[cos at](s) = L[1](s) = L[tn ](s) = 1 sa a s2 + a2 s s2 + a2 1 s n! sn+1 Re s > Re a Re s > | Im a| Re s > | Im a| Re s > 0 Re s > 0 (46) (47) (48) (49) (50)

Beweis. Zu (46). 0

eat est dt =

1 e(as)t as 0 1 = e(Re aRe s) ei(Im aIm s) 1 as 1 1 (0 1) = , falls Re s > Re a. as sa

Zu (47). Aus (46) und der Linearitt von L folgt a L[sin(at)](s) = L[ = 1 iat (e eiat )](s) 2i

1 L[eiat ](s) L[eiat ](s) 2i 1 1 1 = 2i s ia s + ia 1 2ia = 2i s2 + a2 a = 2 . s + a2 Zu (48). Analog. Zu (49). Folgt aus (48) mit a = 0. Zu (50). Mit vollstndiger Induktion. Den Fall t0 = 1 haben wir gerade erledigt. Zum Ina duktionsschritt beachte, dass mit partieller Integration fr n > 0 u

tn est = [tn0

est n ] + s 0 s 0

tn1 est dt0

=

n n + ses s

tn1 est dt.n n1 ](s), s L[t

Fr geht der erste Summand gegen 0, der zweite gegen u L[tn ](s) = Das vollendet den Induktionsschritt. n n1 L[t ](s). s

also ist

Jetzt wollen wir auf die Frage nach der Existenz der Laplacetransformierten eine einfache Antwort geben. Dazu mssen wir zwei Dinge sicherstellen: u 37

1. Fr alle > 0 mu u

0

f (t)ezt dt existieren.

Das ist der Fall, wenn f (t) auf jedem endlichen Intervall beschrnkt und stckweise stea u tig ist, d.h. nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt. Beispiele liefern natrlich die steu tigen Funktionen f : [0, [ R, aber auch die nebenstehende Sgezahnfunktionen. a 2. Der Grenzwert

1

-2 -1

1

2

lim

f (t)est dt,0

mu existieren und das heit, der Integrand mu ausreichend schnell gegen 0 gehen. Nun ist mit s = x + iy |f (t)est | = |f (t)| |ext | |eity | .=1

Je grer x ist, um so schneller fllt ext und umso mehr Wachstum kann sich f (t) o a erlauben. Aber natrlich darf f (t) nicht schneller wachsen, als es die Exponentialu funktion kompensieren kann. Das fhrt zu folgender u Denition 52. Sei f : [0, [ C eine Funktion 1. f (t) heit stckweise stetig, wenn es in jedem endlichen Intervall nur endlich viele u Unstetigkeitsstellen besitzt. 2. f (t) heit von exponentieller Ordnung, wenn es Konstanten C und gibt, so dass fr u alle t 0 |f (t)| Cet . Beispiel 53. Die Funktionen tn , eat oder tn eat fr komplexes a sind von exponentieller Ordu nung. Damit sind alle Lsungen homogener linearer Dierentialgleichungen mit konstanten o 2 Koezienten von exponentieller Ordnung. Die Funktion f (t) = et ist nicht von exponentieller Ordnung, aber es ist kaum denkbar, dass Sie ernsthaft mit ihr zu tun bekommen.

Unter den jetzt diskutierten Voraussetzungen existiert die Laplacetransformation vielleicht nicht fr alle Werte von s, aber doch fr alu u le Werte mit hinreichend groem Realteil, also rechts von einer Geraden x = in der komplexen Ebene:

Satz 54 (Funktionen von exponentieller Ordnung). Sei f : [0, [ C von exponentieller Ordnung und stckweise stetig. Dann gibt es ein R, so dass L[f ](s) fr alle s C u u mit Re(s) > existiert. Weiter gilt fr reelles x u lim L[f ](x) = 0. (51)x

38

Beweis. Die Existenz der endlichen Integrale ist nach den gemachten Vorausetzungen klar. Seien nun C und wie in der Denition. Dann ist |f (t)est | = |f (t)ext | Cet ext = Ce(x)t . Wenn x > , geht dies fr t exponentiell schnell gegen null, und es existiert das u uneigentliche Integral. Weiter gilt

f (t)est dt 0 0

Ce(x)t dt =

C (x)t e x

=0

C 0 fr x . u x

Wenn f von exponentieller Ordnung ist, erhlt man fr t 0 a u |tf (t)| tCet et Cet = Ce(+1)t . Also ist auch tf (t) von exponentieller Ordnung. Man erhlt den a

Satz 55 (Multiplikationssatz). Es gilt L[tf (t)](s) = d L[f ](s). ds

Beweis.

L[tf (t)](s) =0

f (t)test dt = 0

f (t)

d st e dt = s ds

f (t)est dt = 0

d L[f ](s). ds

Generalvoraussetzung: Einstweilen setzen wir voraus, dass alle betrachteten Funktionen von exponentieller Ordnung und stckweise stetig sind. Die Gleichungen fr die Lau u placetransformierten gelten f r hinreichend groen Realteil von s, ohne dass wir das immer u wieder anmerken. Wir kommen nun zur Schlssel-Eigenschaft der Laplacetransformation in Bezug auf Dieu rentialgleichungen. Die Ableitung von f nach der Zeit bezeichnen wir dabei mit f statt mit f, weil das bei den hheren Ableitungen bequemer zu notieren ist. o Satz 56 (Ableitungssatz). Erfllen f (t) und f (t), . . . , f (n) (t) die Generalvoraussetzung, u so gilt L[f ](s) = sL[f ](s) f (0) und allgemeiner L[f (n) ](s) = sn L[f ](s) sn1 f (0) sn2 f (0) . . . f n1 (0).

Bis auf die additive Konstante f (0) entspricht der Dierentiation von f also die Multiplikation von F (s) = L[f ](s) mit s. Dierentialgleichungen werden damit zu algebraischen Gleichungen. Beweis. Es ist

f (t)est dt = f (t)est | 00 0

f (t)(s)est dt = f (t)est | + s 00

f (t)est dt.

39

Weil f und f die Generalvoraussetzung erfllen, folgt u

L[f ](s) = 0 f (0) + s0

f (t)est dt = sL[f ](s) f (0).

Die allgemeine Behauptung folgt daraus durch vollstndige Induktion. a

Satz 57 (Dmpfungssatz). Fr komplexes a gilt a u L[eat f ](s) = L[f ](s a).

Beweis. L[eat f ](s) =0

eat f (t)est dt =0

f (t)e(sa)t dt = L[f ](s a).

40

7.2

Anwendungen der Laplacetransformation

Wir behandeln Anwendungen der Laplacetransformation auf auf verschiedene Dierentialgleichungsprobleme. Beispiel 58. Lse das Anfangswertproblem o y 6y + 9y = t, y(0) = 0, y (0) = 1.

Wir wenden auf die Dierentialgleichung die Laplacetransformation an. Dabei benutzen wir die Linearitt und den Ableitungssatz. Wir schreiben zur Vereinfachung a Y := L[y(t)](s) und erhalten s2 Y sy(0) y (0) 6(sY y(0)) + 9Y = Einsetzen der Anfangswerte und Ausen nach Y liefert o Y = s2 (s 1 1 + . 2 3) (s 3)2 1 . s2

Partialbruchzerlegung des ersten Terms der rechten Seite mit dem Ansatz 1 A B C D = + 2+ + s2 (s 3)2 s s s 3 (s 3)2 liefert Y = 1/9 1 2/27 1/9 2/27 + 2 + + + . 2 s s s3 (s 3) (s 3)2

Die Rcktransformation ergibt u y= 2 1 2 3t 1 3t 2 1 2 10 + t e + te + te3t = + t + ( + t)e3t . 27 9 27 9 27 9 27 9

Natrlich kann man das vorstehende Problem auch mit Exponentialansatz und Ansatz vom u Typ der rechten Seite lsen. Einen Vergleich beider Methoden nden Sie im Anhang. Er o ergibt einen kleinen Vorteil fr die Laplacetransformation, aber Computer schaen das u natrlich noch einfacher: u DSolve[{ y[t]-6y[t]+9y[t]==t,y[0]==0,y[0]==1},y,t] 3#1 1 10e3#1 2 {{y > #1 2e27 + 27 & }} 9 + 9 Daraus ersehen wir, dass die Bedeutung der Laplacetransformation heute sicher nicht mehr in der Lsungspraxis fr lineare Dierentialgleichungen wie die obige liegt. Ihre Bedeutung o u hat andere Grnde. u In der Regelungstechnik und Netzwerktheorie spart man sich die Transformiererei, indem man einfach in den s-Bereich umzieht. Systemkomponeten werden einfach durch ihre Wirkung im transformierten Bereich (Bildbereich) beschrieben, und diese Wirkung ist dort eben einfach algebraisch. Die Laplacetransformation ist ideal fr die Behandlung von inhomogenen linearen Difu ferentialgleichungen mit unstetiger rechter Seite (Impulse, Sto- oder Schockphnomene). a 41

Bei partiellen Dierentialgleichungen, hat man es mit den Ableitungen nach mehreren Variablen zu tun. Durch Anwendung der Laplacetransformation auf eine Variable kann man gelegentlich die Variablenzahl drcken und das Problem vereinfachen. u Wir kommen auf alle diese Punkte zurck. Zuvor mssen wir allerdings noch einen Punkt aus u u der Lsung der Beispielaufgabe klren, nmlich die Frage nach der Rcktransformation. o a a u Wir haben Y berechnet und dann eine Funktion y angegeben, fr die L[y] = Y ist. Dabei hau ben wir unterstellt, dass es nur eine solche Funktion y gibt, dass also die Laplacetransformation injektiv ist. Zum Glck ist das so: u

Satz 59 (Eindeutigkeitssatz von Lerch). Wenn f und g unsere Generalvoraussetzung erfllen und wenn u L[f ](s) = L[g](s) fr alle s mit hinreichend groem Realteil, dann ist u f (t) = g(t) in allen Punkten t, in denen beide Funktionen stetig sind. Auf den Beweis verzichten wir hier, die Bedeutung des Satzes sollte oben deutlich geworden sein. Bemerkung zur R cktransformation rationaler Funktionen. Beim Beispiel 58 war u das Hauptproblem die Rcktransformation einer gebrochen-rationalen Funktion F (s) = p(s) u q(s) mit Polynomen p(s) und q(s). Das ist in diesem Zusammenhang ein typisches Problem. Aus limx F (x) = 0, vgl. Satz 54, folgt, dass der Zhlergrad kleiner ist als der Nennergrad, a und daher ist F (s) nach Partialbruchzerlegung eine Summe von Termen der Form a . (s si )k Dabei sind die si die Nullstellen von q(s), und wenn mi die Ordnung von si bezeichnet, ist 1 k mi . Wegen a a esi t tk1 = L (k 1)! (s si )k ist damit das Problem der Rcktransformation von gebrochen-rationalen Funktionen erleu digt, sobald man die Partialbruchzerlegung hat. Schon die Nullstellen des Nenners allein geben wichtige qualitative Information: Wegen esi t = exi t (cos yi t + i sin yi t) bestimmen der Realteil xi das Stabilitts- und der Imaginrteil yi das Frequenzverhalten der Lsung. a a o Unstetige rechte Seite. Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld sind lineare Dierentialgleichungen mit unstetiger rechter Seite. Dazu betrachten wir die Sprungfunktion oder Heavisidefunktion

u (t) :=

0 1

fr t , u fr t > . u

mit positivem . Sie ist ideal, um die rechte Seite einer Dierentialgleichung erst zum Zeitpunkt einzuschalten.

42

So sieht zum Beispiel u/2 (t) cos(t /2) aus:

1 0.5 -0.5 -1 2 4 6

Satz 60 (Verschiebungssatz). Ist g(t) stckweise stetig und von exponentieller Ordnung, u so gilt L[u (t)g(t )](s) = e s L[g(t)](s).

Beweis. Es gilt

L[u (t)g(t )](s) =0

u (t)est g(t )dt =

est g(t )dt,

und daraus folgt mit der Substitutionsregel

L[u (t)g(t )](s) =0

es(t+ ) g(t)dt = e s0

est g(t)dt = e s L[g(t)](s).

Beispiel 61. Die Dierentialgleichung mx + ax + bx = h(t)

(52)

x(t) = eat/2m (c1 cos t + c2 sin t),

2 =

Mit dem ublichen Trick kann man das auch schreiben als x(t) = Aeat/2m cos (t t0 ) und sieht ganz deutlich, dass man eine gedmpfte harmonische Schwingung erhlt. Anfangsa a amplitude A und Phase t0 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Aufgabe: Wie sieht die Bewegung mit Anfangsbedingungen x(0) = x (0) = 0 aus, wenn die Zwangskraft h(t) ein sehr kurzer Impuls (Futritt) zum Zeitpunkt 0 ist: h, (t) =1

0

fr t + , u sonst, +

mit sehr kleinem > 0.

43

kann man interpretieren als Gleichung fr die u gedmpfte Schwingung einer Masse m an einer Feder a mit Federkonstante b und der Zwangskraft h(t). Wir nehmen an, dass a > 0 und a2 4bm < 0. Dann hat die zugehrige homogene Gleichung die allgemeio ne Lsung o

m

x

b a2 . m 4m2

_ 1

Wir benutzen die

Laplacetransformation.

Es ist 1 st e s+

L[h, ](s) = Fr u

1

+

est dt =

= es

1 es . s

0 geht der Quotient nach der Regel von Bernoulli-lHospital gegen 1:

lim L[h, ](s) = es .0

Wir haben

lim h, (t) =0

0

fr t = u fr t = . u

Der ganz in konzentrierte Impuls ist also keine richtige mathematische Funktion mehr. Trotzdem versieht man ihn mit dem Symbol (t) und nennt (t) die in zentrierte Diracfunktion nach dem englischen Physiker P. A. Dirac (1902-1984), der zuerst solche verallgemeinerten Funktionen untersucht hat. Es ist also L[ ] = es und insbesondere L[0 ] = 1. Zurck zu unserem Problem: Lse die Schwingungsgleichung (52) fr einen Einheitsimpuls u o u h(t) = (t). Wir schreiben ms2 + as + b = m((s + liefert wegen x(0) = x (0) = 0 X(s) = esa 2 2m )

+ 2 ). Anwendung der Laplacetransformation

1 + as + b) s 1 =e a m (s + 2m )2 + 2 1 L[eat/2m sin t](s) = es m 1 =L u (t)ea(t)/2m sin (t ) (s) m (ms2

(53)

Dabei haben wir zum Schlu den Verschiebungssatz benutzt. Also erhalten wir 1 x(t) = u (t)ea(t)/2m sin (t ). m0.8

(54)

Das sieht dann so aus: = 3; a = 1; = 1; m = 3; x[t ] := If[t < , 0, Exp[-a(t - )/(2m)] Sin[(t - )]] Plot[x[t], {t, 0, 20}, AspectRatio >.7, PlotStyle > Thickness[0.01]]

0.6 0.4 0.2 5 -0.2 -0.4 10 15 20

Das in diesem Beispiel beschriebene Problem lt sich mit den normalen Methoden nicht a lsen, ja es lt sich gar nicht richtig formulieren, weil eben die Diracfunktionen gar keine o a Funktionen sind. Ihre Laplacetransformierten sind hingegen uber jeden Zweifel erhaben, und

44

deshalb ist die

das ideale Werkzeug fr solche Schockprobleme. u Die charakteristische Eigenschaft der Diracfunktion. Wir kommen noch einmal auf die Diracfunktion zurck. Ist f : [0, +[ R stetig, so ist u+

Laplacefunktion

lim

0

h, (t)f (t) dt = lim0

0

1

+

f (t) dt

= f (),

Mittelwert von f auf [, + ]

Wir schreiben das als 0 (t)f (t)dt = f () und wollen diese Gleichung noch etwas umformulieren. Wegen (t) = 0 ( t) =: ( t) gilt+

+

( t)f (t)dt = f ().0

Setzt man f (t) = 0 fr t < 0, so ergibt sich, wenn wir noch die Rollen von t und vertauschen u+

(t )f () d = f (t).

(55)

Denition 62. Die Faltung f g zweier Funktionen f, g : R C ist deniert durch+

(f g)(t) :=

f (t )g() d,

t R,

falls dies Integral existiert. Ist f (t) = g(t) = 0 fr t < 0, oder sind f und g nur auf [0, +[ deniert und setzt man sie u fr negative Werte mit 0 fort, so hat man u t

(f g)(t) =

f (t )g()d =0

f (t )g()d.

Beispiel 63. Nach (55) ist also f = f. (56)

Satz 64 (Faltungssatz). Seien f (t), g(t) stckweise stetig von exponentieller Ordnung. u Dann gilt L[f g] = L[f ]L[g]. Wegen der Injektivitt der a Korollar 65. f g = g f. Beweis des Faltungssatzes.t t

Laplacetransformation

folgt (57)

L0

f (t )g()d =0 0 t

f (t )g()d est dt est f (t )g()ddtt=0 =0

= ==0 t=

est f (t )g()dtd.

45

Nun knnen wir die Rechnung mit der Substitution t = x fortsetzen: o =0

est f (t )g()dtd =t= =0

g()x=0

es(x+) f (x)dxd

==0

g()es dx=0

= L[f ]L[g].

Beispiel 66 (Greensche Funktion). Lse das Anfangswertproblem o y (n) + a1 y (n1) + . . . + an y = h(t) y(0) = y (0) = . . . = y(n1)

(0) = 0

mit konstanten Koezienten und einer stckweise stetigen Funktion h von exponentieller u Ordnung. DieLaplacetransformation

liefert mit Y := L[y] usw. Y = (sn + a1 sn1 + . . . + an )1 H.=:G(s)

Findet man also ein g(t), so dass L[g] = G(s), so folgt aus dem Faltungssatzt

y(t) = g h(t) =0

g(t )h()d.

Die Funktion g(t ) =: K(t, ) heit auch die GREENsche Funktion fr das Anfangswertu problem. Hat man sie einmal gefunden, so ist die Lsung von (66) fr verschiedene rechte o u Seiten auf eine Integration reduziert.

46

Fr den letzten Schritt vergleiche die nebenu stehende Skizze. Wir nehmen ohne Beweis an, dass diese Vertauschung der Integrationsreihenfolge erlaubt ist.

t

esx f (x)dx

(58)

8

Partielle Dierentialgleichungen

Die partiellen Dierentialgleichungen bilden ein sehr umfang- und anwendungsreiches Kapitel der Mathematik. Eine halbwegs systematische Theorie gibt es eigentlich nur fr spezielle u Klassen oder Typen von Dierentialgleichungen, und selbst bei Beschrnkung auf einen Typ a wrde damit der Rahmen dieser Vorlesung bei weitem gesprengt. u Aufgrund der theoretischen Komplexitt ist die unspezizierte direkte Behandlung partieller a Dierentialgleichungen mit mathematischer Software so gut wie unmglich. Die meisten o PD-Probleme lassen sich nur numerisch behandeln. Die Auswahl der richtigen numerischen Verfahren und deren Anwendung erfordern Kenntnis und Erfahrung. Glcklicherweise treten u je nach Anwendungsgebiet spezielle Typen partieller Dierentialgleichungen auf, so dass solche Erfahrung sich bei Mathematikern und Ingenieuren im jeweiligen Bereich ausbilden und sammeln kann. Wir beschrnken uns daher darauf, zunchst an der Wrmeleitungs- oder Diusionsgleichung a a a = D , t gelegentlich auch an der Wellen- oder Schwingungsgleichung u = 1 2u c2 t2 (60) (59)

einige fundamentale Methoden und Phnomene aus dem Bereich der partiellen Dierentiala gleichungen zu erlutern. a Fr eine umfangreichere Behandlung von weiteren Einzelbeispielen vergleiche man etwa u Meyberg/Vachenauer, Hhere Mathematik 2, Springer 1991, Kapitel 12. o

47

8.1

Separation und Superposition, Anfangswertprobleme

Wir lernen ein auf Euler und Bernoulli zurckgehendes Verfahren zum Aunden von u Lsungen, den sogenannten Separationsansatz kennen, o sammeln Informationen uber die Menge aller Lsungen und o untersuchen, welche zustzlichen Daten eine Lsung eindeutig festlegen. a o Vergleichen Sie Energie-, Impuls- und Stotransport, Abschnitt 2.3.5. Im folgenden schreiben wir, wie vielfach in den Anwendungen ublich, die partiellen Ablei tungen vereinfachend als unteren Index. Spezialisierung. Wir beschrnken uns der Einfachheit halber auf eine Raumdimension, a haben also die Gleichung t = D xx (61) fr eine gesuchte Funktion = (x, t).4 u Oenbar knnen wir uns auf die Gleichung o t = xxx beschrnken, denn man rechnet sofort nach, dass fr (x, t) = ( D , t) gilt: a u

(62)

t = xx

t = Dxx .

Der Separationsansatz. Wir nehmen an, dass ein Produkt von Funktionen von jeweils nur einer Variablen, also von folgender Form ist: (x, t) = X(x)T (t). (63)

Diese Annahme oder dieser Ansatz ist eigentlich nur dadurch motiviert, dass er erfolgreich ist, nmlich Lsungen liefert. Es ist nicht wahr, dass er alle Lsungen liefert, es gibt auch a o o Lsungen (vgl. unten), die sich keineswegs in der Form (63) schreiben lassen. o Bei drei Raumvariablen macht man entsprechend den Ansatz (x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t). Wir setzen den Ansatz in die Dierentialgleichung (62) ein: X(x)T (t) = X (x)T (t). Wir nehmen weiter an, dass keine Nullstelle hat, und dividieren durch = XT . Wir erhalten X (x) T (t) = . T (t) X(x) Nun sind die Variablen separiert (=getrennt): die linke Seite hngt nur von t, die rechte nur a von x ab. Andert man t, so bleibt die rechte Seite und deshalb auch die linke Seite konstant. X (x) T (t) == T (t) X(x)4 Das entspricht physikalisch zum Beispiel der Wrmeleitung in einem Stab, oder im Raum um eine a (unendlich ausgedehnte) Platte in der yz-Ebene, wenn man Homogenitt parallel zu der Platte annimmt, so a dass von den rumlichen Koordinaten nur der Abstand von der Platte eine Rolle spielt. a

48

mit einer Konstanten , die einstweilen eine beliebige reelle Zahl sein kann (Separationskonstante). Wir erhalten zwei gewhnliche Dierentialgleichungen o T = T. und X = X. Die erste hat Lsungen T (t) = A et . Wir betrachten zunchst ein Abkhlungsproblem, o a u stellen uns also vor, dass die Wrme sich in dem (unendlichen) Medium verteilt und die a Temperatur an einem festen Punkte mit der Zeit abnimmt. Daher nehmen wir an, dass = 2 , negativ ist. Wir nden T (t) = C e t . Die zweite Gleichung X = 2 X hat Lsungen o X(x) = A cos x + B sin x, und unser Ansatz liefert (x, t) = e t (A cos x + B sin x) mit beliebigen A, B R. Da wir nicht wissen, ob es uberhaupt Lsungen (ohne Nullstellen) der Form (63) gibt, ist o nicht klar, ob unsere Uberlegungen inhaltlich irgendeinen Sinn haben und ob das gefundene eine Lsung der Wrmeleitungsgleichung is