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Differentialrechnung

Inhaltsverzeichnis Differentialrechnung .................................................................................................................. 1 Inhaltsverzeichnis....................................................................................................................... 1

1 Die Tagentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigung ............................................... 3 1.1 Begriffe: ....................................................................................................................... 3 1.2 Erklärung :.................................................................................................................... 3 1.3 Die Steigung im Punkt P (der Differentialquotient): ................................................... 3 1.4 Anwendung für den Differentialquotienten ................................................................. 4 1.5 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x²............................................................. 5 1.6 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x²-2x+3 ................................................... 6

2 Die 1. Ableitung der Funktion f(x)...................................................................................... 7 2.1 Ableitungsregel bei einfachen Potenzfunktionen......................................................... 7 2.2 Ableitungsregel bei Potenzfunktionen mit Faktor vor der Potenz ............................... 7 2.3 Ableitungsregel bei Summen und Differenzen von Potenzfunktionen........................ 7 2.4 Kleiner Ausflug in die Potenzen .................................................................................. 8

3 Ableitungsregeln verschiedener Funktionen....................................................................... 9 3.1 Die Konstante Funktion. .............................................................................................. 9 3.2 Die Lineare Funktion ................................................................................................... 9 3.3 Die Potenzfunktion ohne Faktor .................................................................................. 9 3.4. Die Potenzfunktion mit Faktor.................................................................................. 11 3.5 Die ganzrationale Funktion ....................................................................................... 11 3.6 Die Sinusfunktion....................................................................................................... 11 3.7 Die Wurzelfunktion.................................................................................................... 12 3.8 Die Funktion 1/x......................................................................................................... 12 3.9 Die Ableitung eines Faktors vor der Sinusfunktion ................................................... 13 3.10 Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen (Summenregel) ........................... 13 3.11 Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen (Produktregel)......................... 14 3.12 Die Ableitung des Quotienten mehrerer Funktionen (Quotientenregel) .................. 15 3.13 Die Ableitung von verketteten Funktionen .............................................................. 16 3.14 Ableitung der Exponentialfunktion.......................................................................... 17

3.14.1 Vorgehensweise beim Ableiten......................................................................... 18 4.1 Kurvendiskussion ....................................................................................................... 20

4.1.1 Einführung........................................................................................................... 20 4.1.2 Ableitungen einer Funktion................................................................................. 21 4.1.3 Monotonieverhalten der Funktion....................................................................... 21 4.1.4 Symmetrieverhalten ............................................................................................ 23 4.1.5 Nullstellen ........................................................................................................... 24 4.1.6 Lokale Extremwerte ( Minimum, Maximum ).................................................... 26 4.1.7 Hochpunkte und Tiefpunkte................................................................................ 26 4.1.8 Grundlegende Bedingung.................................................................................... 26 4.1.9 Hinreichende Bedingung..................................................................................... 27 4.1.10 Sattelpunkte....................................................................................................... 28 4.1.11 Wendepunkte..................................................................................................... 29 4.1.12 Verhalten im Unendlichen ................................................................................ 31

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4.1.13 Andere Beispiele ............................................................................................... 31 4.1.14 Skizze ................................................................................................................ 33

4.2 Extremwertaufgaben .................................................................................................. 34 4.2.1 Beispielrechnung für eine Extremwertaufgabe ................................................... 34 4.2.2 Eine Dose mit halbrundem Kopf......................................................................... 37 4.2.3 Extremwertaufgabe „Zylinder im Kegel“ ........................................................... 40 4.2.4 Die Fläche eines Fußballplatzes .......................................................................... 42

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1 Die Tagentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigung

1.1 Begriffe: 1. Sekante : Eine Gerade, die eine Funktion in zwei Punkten schneidet. 2. Tangente : Eine Gerade, die eine Funktion nur in einem Punkt berührt. 3. Steigung : Das Verhältnis zwischen der Gegenkatete und der Ankatete im

Steigungsdreieck. ms = Sekantensteigung mt = Tangentensteigung

1.2 Erklärung : Hat eine Funktion keinen linearen oder konstanten Verlauf, kann man die Steigung an einem bestimmten Punkt nicht direkt erkennen. Diesen Sachverhalt nennt man Tangentenproblem. Im nebenstehenden Bild ist eine Funktion f gegeben, die im Punkt P einmal von einer Sekante geschnitten und von einer Tangente tangiert wird. Die Steigung der Sekante (Dreieck) ist einfach auszurechnen, wenn die Funktionsbeschreibung, und zugleich die Px und x+h auf der X-Achse bekannt sind. DieBreite h ( ∆x) ist x+h minus x. Die Höhe des Dreiecks ( ∆y) ist der Funktionswert f(x+h) minus f(x).

unkte

Die Steigung des Dreiecks ist Allgemein: ms = Gegenkthete / Ankathete = ∆y/∆x Also ist die Sekantensteigung ms:

xy

hxfhxf

xhxxfhxfms ∆

∆=

−+=

−+−+

=)()()()(

entfällt

1.3 Die Steigung im Punkt P (der Differentialquotient): Nun ist aber die Sekantensteigung nicht die Steigung im Punkt P. Der Trick ist nun den Punkt Q auf der Funktion zum Punkt P zulaufen zu lassen, so dass sich aus der Sekante die Tangente ergibt, wenn Q und P gleich sind. Dabei wird h immer kleiner und wird schließlich Null. Man sagt: Die Tangentensteigung ist der Grenzwert der Sekantensteigung wenn h gegen Null geht. Hier ist eine Flash-Animation "Die Ableitung als Grenzwert" zur Veranschaulichung.

sh

t mm lim0→

= Das ist der Differentialquotient.

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1.4 Anwendung für den Differentialquotienten Gegeben ist die Gleichung 2. Grades 2)( xxf = Gesucht wird nun die Steigung der Funktion im Punkt x = 2. In die Formel für die Sekantensteigung

hxfhxfms)()( −+

= setzen wir unsere Funktionsgleichung ein, indem für jedes x in der Funktionsgleichung (x+h) eingesetzt wird und x² noch mal abgezogen wird. In den Nenner kommt dann noch h, fertig ist die Formel zum Differentialquotient.

hxhxms

22)( −+= Klammer auflösen

x² fällt raus h

hxhms

22 +=

hxhxhxms

222 2 −++=

h wird gekürzt hxms += 2 Da wir uns bereits überlegt haben, dass beim Zusammenlaufen der Punkte P und Q, h gegen Null geht, gilt für die Tangentensteigung mt

hxmm

hs

ht +==

→→

2limlim00

Da h gegen Null geht fällt es raus und mt ist xmt 2= Also gilt für jeden Punkt auf der Funktion 2)( xxf = die Tangentensteigung xmt 2= In der Aufgabenstellung am Anfang war nach der Tangentensteigung im Punkt x=2 gefragt also ist mt = 2*x = 2 * 2 = 4 Die Steigung der Tangente im Punkt x = 2 beträgt 4.

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1.5 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x² Gegeben ist jetzt die Funktion 23)( xxf = Gesucht ist jetzt, ganz allgemein, die Tangentensteigungsfunktion.

hxhxms

22)( −+= 23)( xxf =

hxhxms

22 3)(3 −+=Funktion einsetzen

hxhxhxms

222 3363 −++=Klammer auflösen

hhxhms

236 +=3x² fällt raus

h wird gekürzt hxms 36 += Da h gegen Null geht gilt

hxmmh

sh

t 36limlim00

+==→→

xmt 6= Jetzt kann man für jeden Punkt auf der Funktion f(x)=3x² die Tangentensteigung bestimmen. Beispiel: Gesucht ist die Steigung im Punkt x = 3 mt = 6 * x = 6 * 3 = 18 Die Steigung der Tangente im Punkt x = 3 beträgt 18.

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1.6 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x²-2x+3 Wenn die Funktionsgleichung komplexer wird, kann man beim Einsetzen einfach folgende Regel beachten. Für jedes x in der Funktionsgleichung (x+h) einsetzen,

und dann die Funktionsgleichung einfach noch mal abziehen. In den Nenner kommt dann noch h und fertig

ist der Differentialquotient.

Also gilt:

hxhxms

22)( −+=323)( 2 +−= xxxf

hxxhxhxms

)32²3(3)(2)²(3 +−−++−+=

hxxhxhxhxms

32²3322²36²3 −+−+−−++=

hhhxhms

2²36 −+=Zusammenfassen

h kürzen 236 −+= hxms

26236limlim00

−=−+==→→

xhxmmh

sh

t

Für jeden x-Wert der Funktion f(x)= 3x²-2x+3 ist die Tangentensteigung mt = 6x - 2

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2 Die 1. Ableitung der Funktion f(x) In der Mathematik wird die Tangentensteigung einer Funktion f(x) als 1. Ableitung bezeichnet, und mit f’(x) bezeichnet. Den mühsamen Fußweg zur ersten Ableitung, über den Differentialquotienten, haben wir auf den vorherigen Seiten ausführlich behandelt.

2.1 Ableitungsregel

f (x) = x² f (x) = x³ f (x) = xn Bei Potenzfunktionen gilum 1 verringert.

2.2 Ableitungsregel f (x) =3 x²

f (x) = 4 x f (x) = m x Steht ein Faktor vor der Fmultiplitiert.

2.3 Ableitungsregel

f (x) =3 x² f (x) = m x

Summen u Beispiel: f (x) = 0,5x f’(x) = 1,5 Wer aufgepasst hat sieht,Warum das so ist wird au

Es geht auch einfacher!

bei einfachen Potenzfunktionen

f’ (x) = 2x f’ (x) = 3x² f’ (x) = n*x n-1

t allgemein: Der Exponent rückt vor das x , und der Exponent wird

bei Potenzfunktionen mit Faktor vor der Potenz

f’ (x) = 3*2x 1 = 6 x 4 f’ (x) = 4*4 x 3 = 16 x 3n f’ (x) = m*n*x n-1

unktion, bleibt dieser Faktor erhalten und wird einfach mit

bei Summen und Differenzen von Potenzfunktionen

+ 2x f’ (x) = 3*2x 1 + 2*1x0 = 6 x + 2

n + k xl f’ (x) = m*n*x n-1+ k*l*xl-1

nd Differenzen werden gliedweise abgeleitet.

³ + 3x² - 5x + 3 x² + 6x – 5

dass das Absolutglied (Glieder ohne x) am Ende rausgeflogen ist. f der nächsten Seite erklärt.

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2.4 Kleiner Ausflug in die Potenzen Für alle die im Potenzrechnen nicht mehr so fit sind, hier ein paar Regeln.

x0 = 1 Eine beliebige Zahl hoch null ist immer 1 x1 = x Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl selbst x2 = x * x x3 = x * x * x

Im Beispiel auf der vorherigen Seite konnte man sehen, dass aus 5x in der Funktionsgleichung nur die 5 übrig blieb.

5x = 5 * x1 Man kann für jedes x auch x1 schreiben. Nach der Ableitungsregel für Potenzen f’(x)= n*xn-1 gilt: 5 * 1 * x 0 x 0 = 1 5 * 1 * 1 = 5 Es bleibt also nur die 5 übrig.

Ein Absolutglied in der Funktion Eine Zahl am Ende der Funktionsgleichung, der Absolutfaktor, verschiebt eine Funktion nur auf der y-Achse, je nach Vorzeichen, noch oben oder nach unten. An der Steigung der Funktion in jedem beliebigen Punkt auf dem Funktionsgraph ändert der Absolutfaktor nichts. Das bedeutet aber, dass er beim Ableiten entfällt, da die Ableitung ja nur die Steigung in einem Punkt ausdrückt.

Ein Absolutglied in einer Funktionsgleichung fällt beim Ableiten raus Beispiel: Die Nebenstehende Grafik zeigt bei 1 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x + 3 und bei 2 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x Wie man sieht ist der Graph bei 1 einfach um 3 nach oben verschoben. (1 schneidet y bei 3, 2 bei 0) Die rote Kurve zeigt die 1. Ableitung beider Funktionen. 3 f (x)=1,5x² + 6x – 5 Wie man sieht, hat das Absolutglied keine Auswirkung auf die Ableitung.

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3 Ableitungsregeln verschiedener Funktionen

3.1 Die Konstante Funktion. Ausgangsfunktion f(x) = c 1. Ableitung f‘(x) = 0 Anmerkung: Die konstante Funktion hat als erste Ableitung immer 0, da sie nirgends eine Steigung aufweist.

3.2 Die Lineare Funktion Ausgangsfunktion f(x) = mx + c 1. Ableitung f‘(x) = m Anmerkung: Nur der Faktor bleibt erhalten, da ja nur er das Maß für die Steigung der Funktion ist. X und die Konstante c fallen raus.

3.3 Die Potenzfunktion ohne Faktor Ausgangsfunktion f(x) = xn

1. Ableitung f‘(x) = n ⋅ x n-1

Anmerkung: Der Exponent wandert vor das x und wird selbst um eins verringert. Allgemein gilt : f‘(x) = n ⋅ x n-1

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3.4. Die Potenzfunktion mit Faktor Ausgangsfunktion f(x) = a ⋅ x n 1. Ableitung f‘(x) = a ⋅n ⋅ x n-1

Anmerkung: Der Exponent wandert wieder vor das x und wird dort mit a multipliziert. Der Exponent selbst wird wieder um eins verringert. Der Faktor vor der Funktion wandert unverändert vor die abgeleitete Funktion.

Der Faktor bleibt erhalten!

3.5 Die ganzrationale Funktion Ausgangsfunktion

f(x) = a ⋅ x n + b ⋅ xm + c ⋅ x 1. Ableitung

f‘(x) = an ⋅ x n-1 + bm ⋅ xm-1 + c Anmerkung: Die ganzrationale Funktion wird Gliedweise wie die normale Potenzfunktion abgeleitet. Das heißt in jedem Glied wird der Exponent wieder mit dem Faktor vor dem x multipliziert. Der Exponent wird dann wieder um eins vermindert.

3.6 Die Sinusfunktion Ausgangsfunktion f(x) = sin (x) 1. Ableitung f‘(x) = cos (x) 2. Ableitung f(x) = - sin (x) Anmerkung: Die Ableitung der Sinusfunktion ist einfach um +90° ( Pi/2) phasenverschoben. Das bedeutet aus Sinus wird Kosinus. Verschiebt man noch weiter zur 2. Ableitung wird daraus der negative Sinus.

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3.7 Die Wurzelfunktion Ausgangsfunktion f(x) = √x 1. Ableitung f‘(x) = 1

2 ⋅√x Anmerkung: Die Ableitung der Wurzelfunktion kann man am einfachsten erklären, wenn man die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten betrachtet.

f (x) = √x = x ½ Nun gilt die allgemeine Regel für Potenzen. Die Potenz kommt vor das x und wird um 1 verringert.

f‘ (x) = ½ ⋅ x -½ Jetzt ist der Exponent negativ und kann zur 2 in den Nenner wenn das Vorzeichen positiv wird.

f‘ (x) = 1 2 ⋅ x ½

Zuletzt macht man aus der Potenz im Nenner wieder die Wurzel und hat damit die endgültige Ableitung.

xxf

×=

21)('

3.8 Die Funktion 1/x Ausgangsfunktion f(x) = 1/x 1. Ableitung f‘(x) = - 1/x² Anmerkung: Da der Ausdruck 1/x auch in Potenzschreibweise dargestellt werden kann, ist er

auch mit der Potenzregel differenzierbar. xx

11 −=

x -2 kommt jetzt wieder in den Nenner! xx xfxf 21 1)(')( −− ×−=⇒=

xxxfxf 22

1)('11)(' −=⇒×−=

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Über die Kehrwertregel kommt man zum gleichen Ergebnis. Man kann sie auch leicht anwenden, wenn in der Ausgangsfunktion x in höherer Potenz im Nenner steht.

Die Regel besagt: y=1/v dann ist y‘= -v‘/v²

Beispiel: f (x) = 1 / x³ dann ist v‘= 3x² und v² = (x³)² = x6

xxx xfxf 46

23)(')(' 3 −=⇒

×−=

3.9 Die Ableitung eines Faktors vor der Sinusfunktion Ausgangsfunktion y = a ⋅ f(x) 1. Ableitung y = a ⋅ f‘ (x) Anmerkung: Der Faktor vor einer Funktion bleibt auch in der Ableitung unverändert erhalten. Beispiel: y = 5 ⋅ sin (x) y‘ = 5 ⋅ cos (x) Da der Faktor hier nur die Amplitude der Sinusfunktion ist, bleibt er auch in der Ableitung unverändert erhalten. Das gilt für alle Funktionen vor denen ein Faktor steht.

3.10 Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen (Summenregel) Ausgangsfunktion y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) + c ⋅ h(x) 1. Ableitung y‘ = a ⋅ f‘(x) + b ⋅ g‘(x) + c ⋅ h‘(x) Anmerkung: Die Faktoren vor den Einzelfunktionen bleiben wieder erhalten, die Einzelfunktionen selbst werden gliedweise abgeleitet. Beispiel: f(x) = 3 ⋅ sin(x) + 2 ⋅ √x + 0,5 x² f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + 2 ⋅ 1/(2⋅√x) + 0,5 ⋅ 2x f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + √x + x

Besteht eine Funktion aus einer Summe mehrerer Funktionen, so wird jeder Summand einzeln differenziert.

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3.1 Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinander multipliziert werden, so kann nicht gliedweise differenziert werden. Die Produktregel sagt: f (x) = g(x) × f(x) f ’(x) = g’(x) × h(x) + g(x) × h’(x) Beispiel: Gegeben ist die Funktion f (x) = x² × sin (x). Gesucht ist die 1. Ableitung Hier ist also g(x) x² und h(x) sin (x)

Eingesetzt in die Produktregel f ’(x) = 2x × sin(x) + x² × cos(x)

1 Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen (Produktregel)

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3.12 Die Ableitung des Quotienten mehrerer Funktionen (Quotientenregel)

nen, die durcheinander geteilt werden, so kann icht gliedweise differenziert werden.

ie Quotientenregel sagt:

’(x) = g’(x) × h(x) - g(x) × h’(x)

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktion D f (x) = g(x) / f(x) f ( h(x) )²

eispiel: B

) = x² / sin (x). esucht ist die 1. Ableitung

nd (x) ) nd (h(x))² sin²(x)

ingesetzt in die Quotientenregel

’(x) = 2x × sin(x) - x² × cos(x)

Gegeben ist die Funktion f (xG Hier ist also g(x) x² u h sin (xu E

sin²(x)

f

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3.13 Die Ableitung von verketteten Funktionen Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinander verkettet sind, kann nicht

der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren unktion multipliziert werden muss, um die Ableitungsfunktion der Gesammtfunktion zu

( h (x) )

be ist di n f (x = sin (esucht ist die 1. Ableitung.

ier is in ( x ) ( das x in der Klammer ist natürlich x², wird aber weggelassen, da es zur Ableitung der äußeren Funktion nicht notwendig ist. )

und h (x) = x² Die Ableitung von g ( x )

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, also ist g ‘ ( x ) = cos ( x ) Das x in der Klammer wird jetzt wieder durch das x² ersetzt: g ‘ ( x ) = cos ( x² )

gliedweise differenziert werden. Hier muss die Kettenregel angewendet werden. Die Kettenregel sagt aus, dass die AbleitungFerhalten. Die Kettenregel sagt: f (x) = g f ’(x) = g ‘ ( x ) ∗ h ‘ ( x ) Beispiel: Gege n e Funktio ) x² ) G H t g (x) = s

Die Ableitung von h ( x )

h ’ ( x ) = 2x

Eingesetzt in die Produktregel:

f ’(x) = cos ( x² ) ∗ 2 x

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3.14 Ableitung der Exponentialfunktion Bei den bisherigen Funktionen hatten wir noch nie x im Exponenten. Dadurch haben wir bisjetzt auch noch keine Möglichkeit, diese Funktionen abzuleiten. Sehen wir uns zunächst einige Funktionen an:

unächst fällt auf, dass alle unktionen durch den Punkt (0/1)

ch, da jede elle Zahl hoch 0 per Definition 1

xponentialfunktionen bildet die e-unktion, die als Basis die Zahl e

ine irrationale Zahl (e = ,7182818......) die auf den

enau diese e-Funktion bildet den Schlüssel für die Ableitungen aller Exponentialfunktionen. uerst muss man zwei Dinge Wissen:

1. Jede Exponentialfunktion k2. Die Ableitung der Funktion

ie wandelt man eine beliebige Funktion in eine e-Funktion um?

Man ka d in den Exponenten einsetzt. Beispiele:

⋅= xx e ( Kann man mit dem Taschenrechner kontrollieren )

ZFgehen. Das ist auch logisreergibt. Eine Besonderheit unter denEFhat. e ist e2Mathematiker Leonhard Euler zurückgeht. GZ

ann auf die e-Funktion zurückgeführt werden. ex ist ex.

W Es gilt: axx ea ln⋅=

nn also jede Funktion umwandeln in dem man als Basis e wählt unax ln⋅

2ln2 ⋅= xx e

5ln5

xxx ex ln⋅=

xxx ex

ln⋅=

11

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3.14.1 Vorgehensweise beim Ableiten

eispiel:

. Umwandeln in eine e-Funktion

B Finden Sie die erste Ableitung der Funktion xxf 5)( = 1

5ln5 ⋅= xx e 2. e-Funktion ableiten Sieht man sich die Funktion Verkettung von xexg =)( und (

5ln)( ⋅= xexf genauer an, fällt auf dass es eigentlich eine 5ln) ⋅= x ist. Und bei verketteten Funktionen gilt ja

tung“. Also bilden wir zuerst die innere Ableitung:

Weil die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist.

ierbei ist wieder daran zu denken, dass für x im Exponenten eigentlich steht.

lso ist die innere mal die äußere Ableitung:

Teil e au entspricht. Also ist:

55ln) ⋅=

Zusammengefasst gilt also:

xh„innere Ableitung mal äußere Ablei

5ln)('5ln)(

=⋅=

xhxxh

Die äußere Ableitung ist:

xexg =)(

xexg =)('

5ln⋅xH A

5ln5ln)(' ⋅⋅= xexf

obei der 2. 5ln⋅x ja gen x5w

xxf ('

Exponentialfunktion

1. Ableitung

axx eaxf ln)( ⋅==

aaxf x ln)(' ⋅=

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Weiteres Beispiel:

xxxf1

)( = Umwandeln in die e-Funktion:

xxexf

ln1

)(⋅

= innere Anleitung ist:

xx

xg ln1)( ⋅= el anwenden)

(Produktreg

222

1ln111ln1)('x

xxxx

xx

xg +⋅−=⋅+⋅−=

ußere Ableitung ist: ä

x

xexhln1

)(⋅

=

xxexh

ln1

)('⋅

= und das entspricht xxxh1

)(' = innere mal äußere Ableitung ist:

xxx

x 22 ln)(' ⋅⎟⎠

⎜⎝

⋅−= x

x111 ⎞⎛ +

lso ist:

f

A

xx xf1

)( =

xxx

x 22

1ln1⎜⎛ +⋅−

xxf

1

)(' ⋅⎟⎠⎞=

⎝

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4 Anwendungen der Differentialrechnung

4.1 Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion hilft uns, den graphischen Verlauf einer Funktion zu erkennen. Heute nehmen uns Programme wie Funktionsplotter oder graphische Taschenrechner diese Arbeiten weitgehend ab. Aber zum Verständnis wie der Graph einer Funktion

Kenntnisse zur Bestimmung von Kurvenmerkmalen wichtig. Diese beispielsweise das Monotonieverhalten, Nullstellen oder Extremwerte

der Funktion. Über die Kurvendiskussion werden genau diese Merkmale herausgearbeitet, und können abschließend in einer Skizze dargestellt werden.

will ich erst einen kurzen Überblick geben, was alles nötig ist um ine Kurvendiskussion durchzuführen.

1.Die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion muss gefunden werden. 2.Der Definitionsbereich muss bestimmt werden. In der Regel kommen bei Abiturprüfungen ganzrationale Funktionen vor, deren Definitionsbereich die realen Zahlen sind. Kommt aber ein gebrochen rationale Funktion (x steht im Nenner der Funktion) vor, gibt es Grenzwerte oder Polstellen die beschrieben werden sollen.

3.Das Monotonieverhalten der Funktion. (Punkt- oder Achsensymmetrie) 4.Nullstellen der Funktion (Stellen an denen der Graph die x-Achse schneidet) 5.Extremwerte der Funktion (Hoch-, Tief- und Sattelpunkte) 6. Wendepunkte

Das Verhalten im Unendlichen.

8.Die Skizze

4.1.1 Einführung

aussieht, sind Merkmale sind

Bevor wir Beginnen, e

7.

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4.1.2 Ableitungen einer Funktion

Der erste Schritt der Kurvendiskussion ist immer das Finden von Ableitungen der

Folgende Funktion ist gegeben:

Funktion. (gibt immer Punkte!)

xxxf 12)( 3 −=

1. Ableitung 123)(' 2 −= xxf 2.Ableitung xxf 6)('' =

. Ableitung 6)(''' =xf 3

.1.3 M

Wenn wir von Monotonieverhalten sprechen, meinen wir, in welchen Bereichen die Funktion steigt oder fällt. In den Bereichen, in denen sie steigt, ist sie monoton

nktion steigt oder fällt?

iv

. Ableitung 3 ausgeklammert

4 onotonieverhalten der Funktion

steigend ansonsten ist sie monoton fallend.

ie bekommen wir nun raus, wo eine FuW

Wir wissen ja bereits, dass die erste Ableitung die Tangentensteigung der Funktion angibt. Also müssen wir nur herausfinden, wo die Tangentensteigungsfunktion positoder negativ ist. Denn dann können wir genau die Bereiche eingrenzen in denen die

unktion f (x) steigt oder fällt. F

1 123)(' 2 −= xxf

)4(3)(' 2 −= xxf

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In der Klammer sehen wir jetzt x² - 4 . Die gesamte Funktion ist genau dann Null, wenn (x² - 4) Wenn also x den Wert 2 hat, ist der Funktionswert Null. Aber auch bei einem x-Wert von -2 ist der Funktionswert Null. Daraus können wir aber gleichzeitig folgern, dass links von x = -2 und rechts von x = 2 die Ableitungsfunktion positiv sein muss, und dadurch die Funktion auch monoton steigend ist. Das können wir überprüfen, indem wir verschiedene Werte in die Ableitu

positiv

null

x = -1 3 negativ

x = 1 negativ

itiv

Man sc

f(x) = monoton steigend für x < -2 und x > 2 (f von x ist monoton steigend für x kleiner –2 und x größer 2) f(x) = monoton fallend für x > -2 und x < 2

Funktion skizziert. Man bekommt hier schon einen ersten Eindruck über die Kurvenform.

Null ergibt, denn 3 mal (0) ist ja bekanntlich Null.

ngsfunktion einsetzen.

x = -3 15)43(3)(' 2 =−−=xf

x = -2 0)42(3)(' 2 =−−=xf

)41(3)(' 2 −=−−=xf

3)41(3)(' 2 −=−=xf

x = 2 0)42(3)(' 2 =−=xf null

x = 3 5)43(3)(' 2 =−=xf pos

hreibt:

Rechts ist der ungefähre Verlauf der

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4.1.4 Symmetrieverhalten

onal), an den man klar ablesen ann, ob die Funktion Achsensymmetrisch ist. Achsensymmetrisch bedeutet hier, dass der

Es gibt einige einfache Merkmale einer Funktion (GanzratikGraph an einer Achse (x, y) gespiegelt ist.

Hat eine Funktion nur gerade Exponenten, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.

ür die Punktsymmetrie gibt es auch ein Merkmal: (bei ganzrationalen Funktionen)

Hat eine Funktion nur ungerade Exponen risch zum

F

ten, ist sie punktsymmetUrsprung.

s gibt aber au nktionen, die nicht zur y-

eine

ie Nebenstehende Funktion zeigt diesen usammenhang an der Funktion

ie msenkrecschneidet. Wvon jed nktion

erschochsensymmetrisch zur y-Achse währe, wenn man von jedem x-Wert 2 abzieht!

Auf unser

hat nur ungerade Exponenten (x = x1), ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.

EA

ch Fuchse symmetrisch sind, aber trotzdem

Achsensymmetrie besitzen. DZ

2f )2()(' −= xx W an sieht, ist die Symmetrieachse eine

hte Linie, welche die x-Achse im Punkt 2 ie die Funktion schon zeigt wird hier

em x-Wert zwei abgezogen und dadurch die Fuben. Daraus kann man aber auch den Schluss ziehen, dass die Funktion

um zwei Punkte nach rechts va

e Ausgangsfunktion bezogen gilt also:

xxxf 12)( 3 −=

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4.1.5 Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet, also der Funktionswert null ist.

l 3 Nullstellen auftreten. Es können aber auch weniger sein.

rste Nullstelle

Da die Funktion nur ungerade Exponenten aufweist, wissen wir aus dem gen

st eine Nullstelle bei

x1 = 0.

Da der Funktionswert (y-Wert) an einer Nullstelle null ist, setzen wir die .

Da wir eine Funktion haben, bei der die höchste Potenz eine 3 ist, können auch maxima

E

Symmetrieverhalten, dass eine Nullstelle im Ursprung des Koordinatensystems liemuss. Also i

Weitere Nullstellen

Funktionsgleichung einfach zu null

xxxf 12)( 3 −=

xx 120 3 −=

Die anderen Nullstellen bekommen wir durch Ausklammern von x.

xx 120 3 −=

)12(0 2 −×= xx

Da bei einer Mu plik , sobald ein Faktor null ist, liegt die Lösung auf der Hand. Eine Nullstelle ist x = 0, da der Faktor x vor der Klammer die eine Möglichkeit darstellt (Haben wir ja schon aus dem

ymmetrieverhalten erkannt). Die zweite Möglichkeit, um die Multiplikation zu null erden zu lassen ist die Lösung der Klammer (x² - 12).

lti ation das Ergebnis immer null ist

Sw

- 25 - © VB 2003

Da das eine quadratische Gleichung ist, lösen wir diese einfach mit der A-B-C Formel auf.

Unsere Komponenten sind

A=1 B=0 C=-12

ACABBx

×××−±−

=2

42

2/1

2)12(1400

2/1−××−±

=x

2480

2/1±

=x

4641,32

480 4641,32

4801 −=

−=x =

+ 1 =x

so x2 = 3,4641 und x3 = -3,4641 Unsere Funktion hat also drei Nullstellen und die sind.

x1 = -3,4641 x2 = 0 x3 = 3,4641

Mit diesen Ergebnissen können wir unsere Funktion schon etwas genauer skizzieren.

Die beiden anderen Lösungen sind al

xxxf 12)( 3 −=

- 26 - © VB 2003

4.1.6 Lokale Extremwerte ( Minimum, Maximum )

Unter lokalen Extremwerten versteht man die Punkte im Graph, bei denen die höchsten und tiefsten Punkte liegen. Lokal sind sie deshalb, weil wir ja nur ein beschränktes Intervall (Ausschnitt) betrachten. Links und rechts dieses Intervalls können die Funktionswerte größer oder kleiner sein.

4.1.7 Hochpunkte und Tiefpunkte

Eine Funktion hat dann einen Hochpunkt, wenn links und rechts keine Punkte liegen, die höher sind (logisch :-) Das gleiche gilt analog für Tiefpunkte Weiterhin ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt der Funktion null (Berggipfel/Tal). Diese Bedingung für eine Extremwert bezeichnet man auch mit grundlegende Bedingung.

.1.8 G ingung

Da wir bereits wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion etwas über die Tangentensteigung aussagt, m nur zu null setzen um Punkte zu finden die eine Tangentensteigung von Null besitzen. Erst A 12 Nullse

4

rundlegende Bed

üssen wir diese

3)(' 2 −= xxf bleitung

tzen 1230 2 −= x Hier handelt es sich wieder um eine quadratische Gleichung, die wir mit der A-B-C Formel auflösen.

A=3 B=0 C=-12

ACABBx

×××−±−

=2

42

2/1

6)12(3400

2/1−××−±

=x

- 27 - © VB 2003

6

14402/1

±=x

261440

1 =+

=x 261440

1 −=−

=x

Die erste Ableitung hat also zwei Nullstellen und die sind.

1 = -2 x2 = 2

le Extremwerte besitzt. Wir müssen welcher ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.

iese Prüfung ist die sogenannte hinreichende Bedingung. 4.1.9 H

Überlegen wir, wie wir die beiden Punkte unterscheiden können. Dazu setzen wir die gefundenen Punkte in die zweite Ableitung für x ein, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse.

x

Wir wissen jetzt, dass unsere Funktion zwei lokaaber noch prüfen, D

inreichende Bedingung

xxf 6)('' = 2. Ableitung 12)2(6)('' −=−×=xf 1226)('' =×=xf Negativ Positiv

ir bekommen in der zweiten Ableitung einmal einen positiven und einmal einen egativen Wert.

einer Funktion hat links davon immer eine positive Tangente und chts eine Negative. Der Hochpunkt selbst hat eine Steigung von null.

Ein Tiefpunkt in einer Funktion hat links davon immer eine negative Tangente und rechts eine Positive. Der Tiefpunktpunkt selbst hat eine Steigung von null. Da die Ableitung der Ableitung ( 2. Ableitung ) ja ebenfalls die Tangentensteigung der ersten Ableitung angibt, muss im entsprechenden x-Wert bei einem negativer Wert in der 2. Ableitung ein lokales Maximum darstellen. Ein positiver Wert ist dann ein Minimum.

Wn Ein Hochpunkt in re

- 28 - © VB 2003

Nach dem wir also festgestellt haben wo Extremwerte liegen, müssen wir diese nur noch in die 2. Ableitung einsetzen und das Ergebnis prüfen. Positives Ergebnis in der 2. Ablei = lokales Minimum Negatives Ergebnis in der 2. Ableitung = lokales Maximum

4.1.10

Sattelpunkte sind die Stellen einer Funktion an denen kein Maximum oder Minimum vorliegt, aber dennoch die erste Ableitung keine Tangentensteigung hat.

erte ergeben in der . Ableitung aber als Ergebnis eine null.

bleitung = Sattelpunkt

t, hat die nebenstehende unktion weder einen Hoch- noch einen

telle der die angentensteigung Null ist, liegt hier ein attelpunkt.

Einsetz

tung

Sattelpunkte

Sie werden genau wie Extremwerte gesucht. Die gefundenen x-W2

Ergebnis null in der 2. A

Wie man siehFTiefpunkt. Die S anTS

Bei unserer Funktion ergab die hinreichende Bedingung allerdings einen Hochpunkt ei x = -2 (weil in der 2. Ableitung das Ergebnis negativ war) und einen Tiefpunkt bei b

x = 2 (Positive 2. Ableitung)

n in die Ursprungsgleichung e

Wir setzen die gefundenen Punkte noch in die Ursprüngliche Funktion ein um die y-erte auszurechnen. W

zu x = -2 16)24(8)2(122)( 3 =−−−=−×−−=xf zu x = 2 16248)2(122)( 3 −=−=×−=xf

- 29 - © VB 2003

ir haben also ein lokales Maximum bei

(2 / -16)

an erkennt jetzt schon ziemlich genau den Verlauf der Funktion. Auch dass die

4.1.11

in Wendepunkt einer Funktion, lässt sich am ispiel

Auto und aße. Eine Rechts-

inander.

Ihr fahrt jetzt in die Rechtskurve ein und müsst stark lenken, wenn ihr aber aus der Kurve ausfahrt, wird das Lenkrad wieder in Richtung seines Ursprungs zurück gedreht. Jetzt kommt irgendwann der Punkt, an dem die „Nullstellung“ des Lenkrades erreicht wird und ihr anfangt in die Linkskurve einzufahren.

en wo das Lenkrad auf seinem Ursprung steht ist ein Wendepunkt.

en sein. Die erste Ableitung der Funktion muss hier also ein aximum besitzen, und nach einem Maximum haben wir schon einmal gesucht.

esitzt die erste Ableitung ein Maximum muss die zweite Ableitung genau dort eine haben.

W (-2 / 16) und ein lokales Minimum bei

MFunktion keinen Sattelpunkt hat.

Wendepunkte

Eeinfachsten an einem anschaulichen Beverdeutlichen. Stellt euch vor, ihr sitzt imfahrt auf einer Kurvenreichen Strund eine Linkskurve kommen direkt nache

Der Punkt zwischen den Kurv

Wie man an der Grafik schon deutlich sieht, muss die Tangentensteigung am Wendepunkt am größtM BNullstelle

- 30 - © VB 2003

1.Maximum der ersten Ableitung = Nullstelle der zweiten Ableitung

ng 12

xxxf 12)( 3 −= Funktion

3)(' 2 −= xxf 1. Ableitu

.Ableitung 2 xxf 6)('' =

3. Ableitung 6)(''' =xf

Zweite

Ableitung Nullsetzen

x60 =

Nach x auflösen

0=x Wir haben also eine Nullstelle im Koordinatenursprung gefunden, müssen aber noch

kt handelt.

nen Punktes die 3. Ableitung

prüfen, ob es sich wirklich um einen Wendepun Dazu müssen wir prüfen ob an der Stelle des gefundeungleich Null ist (sonst wäre es ja ein Sattelpunkt)

Da die 3. Ableitung konstant 6 ist, muss im Punkt 0 / 0 ein Wendepunkt sein.

- 31 - © VB 2003

4.1.12

he er unktion

hen, ist allerdings von ca. –5 bis +5 beschränkt. Die Funktion liefert aber für alle positiven und negativen x-Werte den entsprechenden y-Wert.

ch die Funktion im

mer von dem Glied abhängt, dass x in der ufweißt, hier also x³, betrachten wir nur dieses Glied genauer.

Funk on nicht vorkommt und dadurch weder

erten auch große y-Werte

al

an sagt die Funktion divergiert 4.1.13 Andere Beispiele

Verhalten im Unendlichen

Im nebenste nden Graphen ist der Verlauf dF

xxx 12)( 3 −= f

it den gefundenen Merkmalen gezeichnet. m Das Intervall (der Ausschnitt) das wir hier se

Die Frage ist nun wie siUnendlichen (-/+) verhält. Da das Verhalten einer Funktion imhöchsten Potenz a Weiter ist klar, dass x im Nenner der tieine Polstelle noch ein Grenzwert vorliegt. Durch x³ ist also ganz klar zu erkennen, dass bei großen x-Wals Ergebnis auftauchen. Im positiven Bereich strebt die Funktion also gegen plus unendlich und im negativen x-Bereich gegen minus unendlich. (minus mal minus mminus = minus) M

Betrachten wir die einfache Funktion

2

1)(x

xf =

Hier kann man deutlich sehen, dass bei steigenden x-Werten der Funktionswert immer kleiner wird und durch x² im positiven und im negativen. (minus mal minus = plus) Man sagt, die Funktion konvergiert im unendlichen gegen Null. Im Koordinatenursprung dagegen weißt die Funktion ein anderes Verhalten auf. Der Funktionswert wird bei immer kleineren x-Werten immer größer, erreicht aber nie die y-Achse. Man sagt die x- und die y-Achse sind Asymptote

- 32 - © VB 2003

Gebrochen-rationale Funktionen

Die Funktion

265)(

2

=xx

−+−

xx

at im Nenner x stehen. Überlegen wir wie

en Wert 2 hat.

f

hsich die Funktionsgleichung verhält wenn x d

06102)(

2 +−=xf

Wir teilen durch Null, und das ist bekanntlicdieser Stelle eine Lücke. Die Funktion nähe

on –1, erreicht ihn aber nic

h nicht definiert. Also hat die Funktion an rt sich von beiden Seiten dem Grenzwert

ht. Kann man in diese Lücke einen Grenzwert, hier –1, veinsetzen, sagt man die Lücke ist hebbar.

- 33 - © VB 2003

4.1.14 Skizze

Abschließend wird die Funktion noch (am besten auf Millimeterpapier) gezeichnet, und alle gefundenen Merkmale beschriftet.

- 34 - © VB 2003

4.2 Extremwertaufgaben

Der Bereich der Extremwertaufgaben beschäftigt sich damit, einen gegebenen Zusammdann e Oft sind es Aufgaben aus der Verpackungsindustrie, die versuchen z.B für ein Dosenvolumen die kleinstmögliche Oberfläche der Dose zu berechnen, um den Materialaufwand so klein wie möglich zu halten.

4.2.1 Beispielrechnung für eine Extremwertaufgabe

Aufgabe

enhang in einer Funktion abzubilden. Durch die Funktionsbeschreibung kann in evtl. Hoch- oder Tiefpunkt ( Extremwert ) errechnet werden.

: Eine Blechdose mit 15 Liter (dm³) Inhalt, soll so gebaut werden, dass der Blechverbrauch minimal ist. Der erste Ansatz ist hier, sich die Formeln für die beiden Bedingungen der Dose zu suchen. Diese Bedingungen sind erstens das Volumen der Dose, und zweitens die Oberfläche. Da die Oberfläche bei gegebenem Volumen ein Minimum haben muss, ist die Formel der Oberfläche die Extremalbedingung. Die zweite Formel zur Volumenberechnung ist die sogenannte Nebenbedingung

Extremalbedingung Oberfläche = 2 ⋅ Grundfläche + Mantelfläche O = 2 ⋅ Π ⋅ r² + 2 ⋅ Π ⋅ r ⋅ h

Nebenbedingung

Volumen = r² ⋅ Π ⋅ h

In der Formel für die Oberfläche sind zwei Größen unbekannt ( r, h). Wir verändern deshalb die die Nebenbedingung so, dass h gesucht ist. Diese Formel können wir dann in die Extremalbedingung einsetzen. (Ist eigentlich nur die Anwendung des Einsetzungsverfahrens)

Π×=

²rVh

- 35 - © VB 2003

Im nächsten Schritt setzen wir h in die Extremalbedingung ein und vereinfachen den gefundenen Ausdruck

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Π×××Π+×Π=

²2²2

rVrrO

rVrO 2²2 +×Π=

Jetzt haben wir die Funktion gefunden, bei der wir ein Minimum suchen. Zum

weiteren Vorgehen müssen wir noch die 1. und 2.. Ableitung der Funktion suchen.

Funktion rVrrO 2²2)( +×Π=

1. Ableitung ²

304)('r

rrO −×Π=

2. Ableitung ³

604)(''r

rO +Π=

Da wir schon wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion die diese nur zu Null setzen, und nach dem

Radius (r) auflösen. t e h- oder Tiefpunkt.)

Erste Ableitung Null setzen

Tangentensteigungsfunktion ist, müssen wir

(Zur Erinnerung: Ist die Steigung einer Tangente 0, handel s sich um einen Hoc

0304 =−×Π r ²r

²4 30

rr =×Π

30³4 =×Π r

Π=

430

³r

=Π

= 3430r 1,337 dm

Nun wissen wir, dass bei einem Radius von 1,337 dm ein Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion liegt. Durch Einsetzen des Wertes in die 2. Ableitung können wir erkennen, um was es sich handelt (Ergebnis ist positiv = Minimum, Ergebnis ist negativ = Maximum)

- 36 - © VB 2003

r Einse g tzen in die 2. Ableitun

³604)(''r

rO +Π=³337,1

604)('' +Π=rO = 37,67 Lokales Minimum

a das Ergebnis positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt der Funktion. Anders gesagt, bei einem gegebenen Volumen von 15 Litern und einem Radius von 1,337 dm ergibt sich ein Minimum an Materialverbrauch.

Zum ein, um die Höhe auszurechnen.

D

Schluss setzen wir noch den gefundenen Radius in die Nebenbedingung

Π×=

²rVh

Π×=

3,1h

²3715

h = 2,673

Das Er

h = 2,673 dm

gebnis unserer Aufgabe ist somit:

r = 1,337 dm

Abschließend zeichnen wir die Funktion.

rVrrO 2²2)( +×Π=

Die Funktionsgleichung in der „Normalform“ sieht so aus:

xx²2 +×Π

an sieht, ist wirklich bei 1

xf 30)( =

Wie m

iefpun,337 ein

kt der Funktion. T

- 37 - © VB 2003

4.2.2 Eine Dose mit halbrundem Kopf

Die zweite Aufgabe ist etwas komplexer, aber kann auf die gleiche Weise

ufgabe:

gelöst werden.

A

st nun, bei Eine Dose (V=15 Liter ) soll einen halbrunden Aufsatz bekommen. Die Frage iwelchem Verhältnis von Radius und Höhe die Oberfläche ein Minimum hat.

Extremalbedingung

Nebenbedingung

Oberfläche = Boden + Mantelfläche + Halbkugel

O = Π r² + 2 Π r ⋅ h + 2 Π r²

Volumen = Vzylinder + VKugel

V = Πr² ⋅ h + 2/3 Πr³

Nebenbedingung umstellen nach h

2

322 3 r

rr

VhΠΠ −

Π=

Einsetzen von h in die Extremalbedin

O = Π r² + 2 Π r ⋅ h + 2 Π r²

gung

O = Π r² + 2 Π r ⋅ ( 2

3

2 32

rr

rV

ΠΠ

−Π

) + 2 Π r²

ürzen

Zusammenfassen

K

33 2

2 222 rrr

rV Π×−r

ΠΠ×

+Π=O

22

3423 r

rVrO Π−+Π=

- 38 - © VB 2003

Zusammenfassen

r

VrO 125 2 ×+Π=

rVr

3

234 2 +ΠrO

39 2 −Π=

rVrO 12

35 2 ×+Π= Funktion

2

1210'1.Ableitung 3

VrO ×−Π=r

3

202.Ableitung 23

1''r

VO ×+Π=

Nullsetzen der er ten A

s bleitung

0110 23 2 =×−Π

rVr ⏐ +2V/r²

2

23

10rVr =Π ⏐ / 2V

2

16

10rV

r=

Π ⏐ / r

36V110r

=Π ⏐ Stürzen u. 3. Wurzel

rVΠ

3106 =

42024,1415,31

903 == rl

- 39 - © VB 2003

Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen

3

223

10''r

VO ×+Π=

42,3142024,1

603415,31

3 =+=O

Der gefundene Wert ist ein lokales Minimum

Abschließend setzen wir h in die Nebenbedingung ein, um die Höhe zu berechnen.

2

3

2 32

rr

rV

ΠΠ

− hΠ

=

Der Materialv

Radius und di

Abschließend

rO 235 2 +Π=

Die Funktionsaus:

42,135

×Π=O

42024,1Π 42024,13

42024,1242024,115

2

3

2 =××Π

−×Π

=h

r = h

erbrauch ist, egal welches Volumen der Behälter hat, am geringsten, wenn der

e Höhe den gleichen W ben.

zeichnen wir die Funktion.

ert ha

rV 1×

gleichung in der „Normalform“ sieht so

42024,1130024 2 ×+

- 40 - © VB 2003

4.2.3 Extremwertaufgabe „Zylinder im Kegel“

ufgabe: In einem Kegel mit dem Verhältnis Höhe zu Durchmesser gleich 3/2, soll ein Zylinder mit maximalem Volumen gefunden werden.

Einsetzen, vereinfachen und

er Funktion

Funktion

.Ableitung

A

ausmultiplizieren

d

1.Ableitung 2

Extramalbedingung

ingung

Die Nebenbedingung wird uns von der Geraden- für die

gestrichelte (blaue) Seite des Kegels. Ihre Steigung bekommen wir aus dem Verhältnis Aus hk=-3 und rk=1. Der Achsenabschnitt ist dann hk=3.

Nebenbed

gleichung y=mx+b geliefert. Wir erstellen sie

)(33 khxy +−= Da y jeden Punkt auf der Gerade beschreiben kann, setzen wir ihn für hz in die Extremalbedingung ein.

z entspricht dann x. r

zzz hrV ×Π×= 2

3 = hk

2 = dk

rz

rk

hz

hrV zz ×Π×=

zzz

)3zzz

2

)33(2 +−×Π×= rrV

3(2 +−×Π= rrV

23 33 zzz rrV Π+Π−=

zzz rrV Π+Π−= 69' 2

Π+Π−= 618'' zz rV

23 33 zzz rrV Π+Π−=

- 41 - © VB 2003

Erste Ableitung Nullsetzen und Maximalwerte suchen.

6Π

Mit der A-B-C Formel bekommt man nun (0,6666...) und x2=0 Werte in die 2. Ableitung einsetzen

a=-9Π b=069 2 =Π+Π− zz rr

2 Extremwerte x1=2/3

Für x1=-18,84 und

Also liegt bei x1=2/3 ein Maximum der Fallgemein: 2/3 rk ist das Maximum.

Den gefundenen Wert in die Nebenbedingung einsetzen

für x2=18,84

unktion. Da der Radius des Kegels ja 1 ist gilt

In der Nebenbed

y ist die Höhe de

a die Höhe des Kegels 3 is

Π+Π−= 618'' zz rV

)(33 khxy +−= ingung ist x jetzt der gefundene Wert rz (2/3). s Zylinders.

D t gilt die Beziehung

ylin Maximum bei r

Der Z der hat ein z=2/3rk und hz=1/3hk

33z23 +×−=h

1=zh

31

=k

z

hh

31

kz hh =

- 42 - © VB 2003

4.2.4 Die Fläche eines Fußballplatzes

in Dorf möchte einen Fußballplatz mit einer 400m langen Laufbahn anlegen. Dabei soll der Sportplatz eine maximWie lang muss der Platz sein und wie groß ist die m läche des Platzes.

ie Fläche des Platzes ist

und das ist die Extremalbedingung.

Die Länge der Laufbahn ist 400m und etzt sich zusammen aus

ingung)

Die Nebenbedingung stellen wir nach d um,

Eale Fläche habe.

aximale F

D

dlF ⋅=

s

Π⋅+⋅= dlm 2400 (Nebenbed

dlmdlm

dlm

=Π−

Π=−Π⋅+⋅=

240024002400

setzen sie in die Extremalbedingung ein und suchen die erste Ableitung.

Π+−=

Π

Π+

Π−=

Π−

⋅l=40022400)( 2 lllmlF

Erste Ableitung Nullsetzen und nach l auflösen

4004)(' lF

l

ml

l

100)4(−⋅Π

)(400

40

=Π−⋅

=

Π+

Π−=

Die Länge des Platzes muss also 100m sein

400

e chnen wir, indem das Ergebnis in die Funktion eingesetzt wird. Die Fläche d s Platzes erre

222 2,636610040010024002)( mlllF =⋅Π

+⋅Π

−=Π

+Π

−=

Die Fläche beträgt dann 6366,2m²

- 43 - © VB 2003

sh

t mm lim0→

=

DDDiiiffffffeeerrreeennntttiiiaaalll---rrr uuunnnggg

iiimmm TTTeeellleeekkkooolllllleeeggg

eeeccchhhnnn