Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren1 Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften

Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 1

Einleitung

Die naheliegendsten Anwendungen der

Differentialrechnung bestehen darin,

Eigenschaften einer gegebenen reellen

Funktion herauszufinden, die mit ihrer

Ableitung, d.h. ihrer Änderungsrate zu tun

haben.


Übersicht

Wie lautet ihr Definitionsbereich?

Existenz und Lage von Nullstellen

In welchen Intervallen steigt oder fällt sie?

Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und

wenn ja, wo?

Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo?

Wie verläuft die Wendetangente der Funktion?

Ist die Funktion differenzierbar und/oder stetig?

• Wie lautet das Krümmungsverhalten?


Typ der Funktion

Handelt es sich um einen bekannten Funktionstyp?• Parabel,• Hyperbel, • ...Wenn ja, können vielleicht Rückschlüsse auf• Definitionslücken,• Nullstellen, • Pole • und Asymptoten gezogen werden.


Definitionsbereich

Als erstes ist der Definitionsbereich einer Funktion anzugeben:

einer Funktion f :Menge aller x-Werte, für die die Funktion f(x) mathematisch erklärt ist.z.B.Definitionslücken treten z.B an Stellen auf, an denen durch 0 geteilt würde oder die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde.

RDf

RDf

0. inkl. Zahlen reellen positiven alleRDxf(x)

0. außer Zahlen reelen alleRDx1

)x(f

0f

*f


Wertebereich - Grenzwerte

Wo gegen strebt der Graph?Welche Funktionswerte hat die Funktion?

Grenzwertbetrachtung z.B.

x

x

2

lim

lim

x)x(f


Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion f sind ganz allgemein

durch die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 gegeben.

Sie entsprechen jenen Punkten, an denen der Graph

die x-Achse schneidet.

Altbewährte Methoden:• pq-Formel• quadratische Ergänzung• Polynomdivision• Substitution


Differenzierbarkeit

Falls die Ableitung existiert, heißt die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, wenn Sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Ableitungsfunktion

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h


Lokale Extrema


Lokale Extrema

Ist f differenzierbar, so ist an all diesen Stellen

(sofern sie nicht am Rand des Definitionsbereichs

liegen) die Tangente an den Graphen parallel zur x-

Achse, d.h. hat den Anstieg 0. Der Graph hat dort ein

Extremum. Da die Ableitung den Anstieg der

Tangente an den Graphen ausdrückt, sind die

Kandidaten für lokale Extrema die Lösungen der

Gleichung

f ‘(x) = 0.


Lokale Extrema

f ‘(x) = 0 dann Nullstellen in f ‘‘(x) einsetzen, wenn

f ‘‘(x) < 0 dann lokales Maximum

f ‘‘(x) > 0 dann lokales Minimum

(f ‘‘(x) =0 dann Sattelpunkt - vgl. Folie 11 Sattelpunkte)

Grenzwerte mit in Betracht ziehen, um zu sehen, ob

lokale Extrema auch globale Extrema sind.


Sattelpunkte

Ist x eine Lösung der Gleichung f ‘(x) = 0 und ist die Ableitung links und rechts von x ungleich 0 und hat in beiden Bereichen dasselbe Vorzeichen, so ist x eine Sattelstelle. Der entsprechenden Punkt am Graphen heißt Sattelpunkt.

tSattelpunk ist Extremum

n Vorzeichepositives auch hat 1)(' f

n Vorzeichepositives hat (-1)' f

: xvon Umgebung der aus WerteZwei

0x0x3)x('f

x)x(f2

3


Wendepunkte

Eine Tangente kann sich an den Graphen an

bestimmten Punkten von der einen Seite zur anderen

''wenden''. Die Punkte, an denen das passiert, heißen

Wendepunkte, die entsprechenden Stellen sind die

Wendestellen.

Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die

Wendepunkte dar.

f ‘‘(x) = 0


Kurvenverhalten

Wechselt f ‘‘(x) an der Stelle x=a das Vorzeichen von:

1) +nach - , dann wechselt der Graph von einer Links-

in eine Rechtskurve.

2) - nach + , dann wechselt der Graph von einer

Rechts- in eine Linkskurve.

D.h. man setzt Werte in f ‘‘(x) ein, die zum einen größer

und zum anderen kleiner sind als die Nullstelle der

zweiten Ableitung.


Wendetangentensteigung

Um die Steigung der Wendetangente zu bestimmen,

nutzt man natürlich wiederum die erste Ableitung.

Dazu werden die Nullstellen von f ‘‘(x) in f ‘(x)

eingesetzt.


Monotonie

Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt).

f ‘(x) = 0 setzen Werte die links bzw. rechts der Nullstelle liegen in f ‘(x) einsetzen:Wenn <0 => f(x) streng monoton fallendWenn >0 => f(x) streng monoton steigend


Krümmungsverhalten

Konvex = linksgekrümmt ( )Konkav = rechtsgekrümmt ( )

Krümmung von ff‘‘(x) > 0 => f streng konvex im Intervallf‘‘(x) < 0 => f streng konkav im Intervall


Symmetrie

achsensymmetrischf(x) = f(-x)

punksymmetrischf(-x) = - f(x)

Beispielf(x) = x2

f(x) = f(-x) => x2 = (-x)2 Dies können wir bestätigen.

f(x) = x3

f(-x) = - f(x) =>(-x)3 = - (x)3 Dies können wir auch bestätigen.


Wichtige Funktionen !!!

Kostenfunktion K(x) x = (Produktions-) menge

Durchschnittskostenfunktion (Stückkosten) x = (Produktions-) menge

x)x(K

Nachfragefunktion N(p) p = Preis je Mengeneinheit

Angebotsfunktion A(p) p = Preis je Mengeneinheit

Erlösfunktion E(p) = p * N(p) p = Preis je MEE(x) = x * p(x) p = Preis x = Menge

Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x)


Wichtige Funktionen !!!

2x

)x(K)x('Kx'

x)x(K

Grenzkosten: K‘(x)

Grenznachfragefunktion: N‘(p)

Grenzerlösfunktion: E‘(p) = N(p)+p*N‘(p)

Grenzdurchschnittskostenfunktion:


Beispiel

Gegeben Kostenfunktion K(x) = (x-2)3+10

Grenzkostenfkt. und Durchschnittskostenfkt. gesucht

K(x) = (x-2)3+10 = x3 – 6x2 +12x - 8 + 10 = x3 – 6x2 +12x + 2

Grenzkostenfunktion = K‘(x) = 3x2 – 12x + 12

Durchschnittskostenfunktion =x

2x12x6xx

)x(K 23


Differential

Ziel: näherungsweises Berechnen der Änderung eines Funktionswertes f(x0) bei Variation von x0.

Anwendung: Die Preiselastizität der Nachfrage gibt näherungsweise an, um wieviel % sich die Nachfrage ändert bei der Variation des aktuellen Preises p0 um 1%.

Idee: Der Graph einer Funktion f lässt sich in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes (x0,f(x0)) relativ gut durch die Tangente an die Kurve annähern.


Differential

Differential: Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich f(x0) um

Einheiten.

Die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (x0,f(x0)) besitzt die Steigung

Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich der Funktionswert auf der Tangente um df = f‘(x0)*dx Einheiten.Für kleine Variationen dx stimmen gutüberein.

)x(f)dxx(ff 0o

dxdf

)x('f 0

df und f


Differential

df und dx bezeichnet man als Differentiale

auch als Differentialquotientdxdf

)x('f 0

t)(angenäher 2,12,062,0)3('fdx)(xf'df

(exakt) 24,1924,10)3(f)2,3(f)x(f)dxf(xf

2x(x)f' 0,2dx und 3x ,x)x(f

0

00

02

Variiert man x0=3 um dx=0,2 Einheiten, so ändert sich f(3) um 1,24 Einheiten


Beispiel

K o s t e n f u n k t i o n K a b h ä n g i g v o n P r o d u k t i o n s m e n g e x :

K ( x ) = 1 + x , P r o d u k t i o n g e h t v o n x = 4 0 0 n a c h x = 4 0 1

W i e h o c h i s t d i e S t e i g u n g d e r K o s t e n ?

d f = d K ( x ) = K ‘ ( x ) d x = x2

1 d x =

= 40

1

202

11

4002

1

= 0 , 0 2 5

Exakte Kostensteigungy=K(401)-K(400)=0,024984...


Differential


Wachstumsrate

Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative

Änderung von f(x0):

Dies entspricht für kleine dx näherungsweise der relativen Änderung auf der Tangenten

Die Funktion bezeichnet man als

Wachstumsrate von f.

.)x(f

f

0

dx)x(rdx)x(f)x('f

)x(fdf

0f0

0

0

f'f

rf


Wachstumsrate

Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative

Änderung von f(x0): .

)x(ff

0

t)(angenäher %33,131333,02,032

dx)(xr)x(f

df

(exakt) %78,131378,0924,1

)x(ff

x2

x

x2)x(f)x('f

)x(rist Dann

2x(x)f' 0,2dx und 3x ,x)x(f

0f0

0

2f

02


Elastizität

Variiert man x0 um s %, so ändert sich f(x0) relativ um:

Die Variation von x0 um s %entspricht einer Änderungvon x0 um dx= x0 *s % Einheiten.

Für kleine Variationen von s% ergibt sich die Annäherung

bezeichnet man als Elastizität

)x(f)x(f%)sxx(f

0

000

%s)x(%sx)x(r%sx)x(f)x('f

0f00f00

0

)x(f)x('f

x)xf


Elastizität

t)(angenäher %10%52%s)x(

(exakt) 10,25%0,1025 9

9)15,3(f

)3(f)3(f%)533(f

)x(f)x(f%)sxx(f

2x

x2x

)x(f)x('f

x)x(ist Dann

2x(x)f' 5s und 3x ,x)x(f

0

0

000

2f

02

S =1: Die Elastizität an einer Stelle x0 gibt näherungs- weise an, um wieviel % sich f(x0) ändert, wenn x0 um 1% variiert.


Beispiel

f ( x ) = 2 x 2 - 1 0 x + 2 0 f ' ( x ) = 4 x - 1 0

f ( 1 0 ) = ?

f ( x ) = f ' ( x )

)x(fx

20x10x2

x)10x4(

2

20x10x2

)10x4(x2

f ( 1 0 ) = 5,2

410

120300

20100200)1040(10


Integralrechnung

Ziel: 1) Umkehren des Differenzierens

(unbestimmtes Integral) 2) Flächenberechnung (bestimmtes Integral)

das unbestimmte Integral:Wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist, dann ist:

f(x)dx = {F(x) + c} ; cR

Menge aller Stammfkt. F(x) von f(x). Dabei muss f in einem Intervall [a,b] stetig und F dort differenzierbar sein.


Die Stammfunktion

)1n( cF(x) cx1n

1dxx 1nn

x3 ist eine Stammfunktion von 3x2, denn die Ableitung von x3 ist 3x2. Aber auch x3 + 17 oder auch x3 - 1 sind Stammfunktionen von 3x2.

Die Menge aller Stammfunktionen von 3x2 => 3x2dx = {x3 + c}

Zwei Stammfkt. der gleichen Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante (,die beim Ableiten wegfällt).


Stammfunktionen

Beispiele:

x2dx = 1/3x3 + c

(5x2+1)dx = 5/3x3 + x + c

dx = 1dx = x + c

exdx = ex + c

(30x2 + 2x)dx = 10x3 + x2 + c

c|x|lndxx

1


Stammfunktionen

dxxdxx

1 22

cx

1cx

12

1 12

dx)5x(dx5x 21

c)5x(3

2c)5x(

1

121

21 11

21


Integral und Flächeninhalt

Der Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Senkrechten x = a, x = b, der x-Achse und des Graphen der Funktion f ist

A = b

a

dx)x(f


Das bestimmte Integral

b

a

dx)x(f mit a,bR wird ein bestimmte Integral genannt.

b

a

dx)x(f = F(b) - F(a) = |b

a

)x(F

3

1

3

1

32 |xxdx)1x3(

(27 + 3) - (1 + 1) = 30 - 2 = 28


Beispiele

3

2

3

2

32 |xxdx)1x3(

(27 + 3) - (8 + 2) = 30 - 10 = 20

04

1

4

1x

4

1dxx

1

1

1

1

43 |

2ln2ln1lnxlndxx

11

2

1

2

|


Beispiele

1

1

dxx

1 nicht definiert, denn

x

1ist nicht definiert wenn x=0


Flächen

Beispiel 1Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien x=0, x=1, der x-Achse und dem Graphen von x3

A = 4

10

4

1|x

4

1dxx

1

0

1

0

43 Beispiel 2Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien y=0, y=1, der y-Achse und Grafik von x3

A = 1 – A von Beispiel 1 = 1 - 1/4 = 3/4


Flächen

Beispiel 3Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Graphenf(x)=x2+8x+22 undg(x)=-x2+4x+38

Schnittpunkte:f(x)=g(x) x2+8x+22 = -x2+4x+38 2x2+4x-16 = 0 x2+2x-8 = 0 (x+4)(x-2) = 0 x = - 4 x = 2

A =

2

4

dx)x(g -

2

4

dx)x(f

=

2

4

dx))x(f)x(g(


Flächen

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