Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Simulationen für ...itp1.uni-stuttgart.de/publikationen/abschlussarbeiten/buecheler... · Motivation Seit der Entdeckung riesiger Magnetfelder in Neutronensternen

Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Simulationenfur Vielelektronen-Atome

in Neutronensternmagnetfeldern

Von der Fakultat fur Mathematik und Physik der Universitat Stuttgartzur Erlangung der Wurde eines Doktors der

Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung

Vorgelegt von

Steffen Bucheleraus Stuttgart

Hauptberichter: Prof. Dr. Gunter WunnerMitberichter: Prof. Dr. Manfred Fahnle

Tag der mundlichen Prufung: 11. Juni 2007

1. Institut fur Theoretische Physik der Universitat Stuttgart

2007

mailto:[email protected]

http://itp1.uni-stuttgart.de

http://www.uni-stuttgart.de

Inhaltsverzeichnis

Abkurzungsverzeichnis 5

Zusammenfassung 7

Abstract 9

1. Einleitung 111.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Forderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren 132.1. Grundlegendes zum Quanten-Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Monte-Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3.

”Importance Sampling“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.4. Metropolis-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Ableitung der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Losen der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Das Verfahren im außeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.4. Der Computeralgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Fuhrungswellenfunktion 313.1. Hartree-Fock-Gleichungen fur Atome in sehr starken Magnetfeldern . . . 313.2. Losung der Hartree-Fock-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1. Formulierung als aquivalentes Variationsproblem . . . . . . . . . . 353.2.2. B-Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3. Losen des Variationsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Eingabedaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.1. Beispiel: Helium (Z = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2. Beispiel: Eisen (Z = 26) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. Fuhrungswellenfunktion beim Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren 463.4.1. Quantenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

Inhaltsverzeichnis

3.4.2. Lokale Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5. Jastrow-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Parallelisierung 574.1. Anforderungen an die Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1. Initialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2. Hauptprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3. Programmende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Benutzerhinweise zum cacau-Rechencluster (HLRS) . . . . . . . . . . . . 63

5. Ergebnisse 655.1. Das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren im Vergleich zu anderen

Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2. Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.1. Abhangigkeit vom imaginaren Zeitschritt ∆τ . . . . . . . . . . . . 1075.2.2. Abhangigkeit vom freien Parameter des Jastrow-Faktors bJF . . . 108

5.3. Rechenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Zusammenfassung und Ausblick 1196.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Summary 125

A. Atomare Einheiten 133

B. Herleitung der Diffusionsgleichung 135

C. Losung der Diffusionsgleichung mittels Greenscher Funktion 137

D. Quantenkraft bei komplexer Fuhrungswellenfunktion 139

E. Rechencluster 141

Literaturverzeichnis 143

Danksagung 147

Lebenslauf 149

4

Abkurzungsverzeichnis

2DHF 2-Dimensonales Hartree-Focka.u.

”atomic units“

Abb. Abbildungad adiabatische NaherungDF Dichte-FunktionalDIN Deutsches Institut fur NormungDQMC Diffusions-Quanten-Monte-CarloFPDQMC

”fixed-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo

HFFEM Hartree-Fock Finite-Elemente-MethodeHLRS Hochstleistungsrechenzentrum StuttgartJF Jastrow-FaktorMCPH3

”Multi Configurational Perturbative Hybrid Hartree-Hartree-Fock“

MPI”Message-Passing Interface“

RPDQMC”released-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo

Tab. TabelleVLT

”Very Large Telescope“

VQMC Variations-Quanten-Monte-CarloXMM

”X-ray Multi-Mirror“

5

Zusammenfassung

Atomare Daten fur Atome und Ionen in intensiven Neutronensternmagnetfeldern sindfur die Interpretation thermischer Spektren von Neutronensternen, die mit weltraumba-sierten Rontgenobservatorien (zum Beispiel dem Chandra-Satelliten) gemessen wurden,von großer Bedeutung. Die Losung der Schrodinger-Gleichung mittels der Hartree-Fock-Gleichungen in adiabatischer Naherung, die mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode undmit der B-Spline-Interpolation gelost wurden, liefern lediglich approximative Energieei-genwerte. Durch Anwendung des Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrens lassen sichdie numerischen Werte fur die Grundzustandsenergien verbessern. Dazu wird ein Simu-lationsverfahren angewandt, das sich

”Walkern“ bedient, die sich im 3N -dimensionalen

Raum gefuhrt bewegen. Die Transformation der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichungauf imaginare Zeit ergibt eine Diffusionsgleichung, die sowohl die Propagation, als auchdie Erzeugung und Vernichtung (

”Branching“) dieser Walker beschreibt. Die Walker

unterliegen dem Einfluß der Quantenkraft und legen einen Zufallsweg zuruck. Eine zen-trale Rolle in dem Verfahren spielt dabei die Fuhrungswellenfunktion. Hierfur wird dieHartree-Fock-Wellenfunktion in adiabatischer Naherung multipliziert mit einem Jastrow-Faktor gewahlt. Zur Anwendung kamen das Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren,das

”fixed-phase“ und das

”released-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren.

Das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren liefert, bei Bildung des arithmetischenMittelwertes der

”lokalen Energie“, an den Walkerpositionen, die gesuchte Grundzu-

standsenergie. Wegen der mit der Anzahl der Elektronen stark ansteigenden Rechenzeitwurden die Simulationen auf einem Rechencluster des HochstleistungsrechenzentrumsStuttgart durchgefuhrt. Die ermittelten Werte stellen die umfassendsten und genauestenErgebnisse fur die Grundzustandsenergie von mittelschweren Atomen bis Eisen (Z = 26)in Neutronensternmagnetfeldern in der Literatur dar.

7

Abstract

Atomic data of atoms and ions in intensive neutron star magnetic fields are important forinterpreting thermal spectra of neutron stars. These spectra are measured with space-based X-ray observations (e.g. by the Chandra satellite). The solution of Schrodinger’sequation via Hartree-Fock equations in adiabatic approximation solved with the finiteelement method and B-spline interpolation yields only approximate energy eigenvalues.Ground state energy values are improved by applying the Diffusion Quantum MonteCarlo method. A simulation technique is used by introducing walkers guided in 3Ndimensional space. The transformation of the time-dependent Schrodinger equationto imaginary time leads to a diffusion equation describing both propagation and cre-ation/annihilation (branching) of the walkers. The walker underlie the influence of thequantum force and perform a random walk. A central role of the simulation techniqueis played by the guiding wavefunction. The Hartree-Fock wavefunction in adiabatic ap-proximation multiplied by a Jastrow-Factor is used as the guiding wavefunction. In thisthesis the Variational Quantum Monte Carlo method, the fixed-phase and the released-phase Diffusion Quantum Monte Carlo method are applied. The Diffusion QuantumMonte Carlo method yields, by taking the average of the local energies at the walkerpositions, the desired ground state energy. The CPU time increases rapidly with grow-ing number of electrons. Therefore the simulation is carried out on a computer clusterof the ”High Performance Computing Center Stuttgart”. The calculated values are themost comprehensive and accurate ground state energies of medium-Z atoms up to iron(Z = 26) in neutron star magnetic fields presented in literature so far.

9

1. Einleitung

1.1. Motivation

Seit der Entdeckung riesiger Magnetfelder in Neutronensternen (B ≈ 105−109 T) in denspaten siebziger Jahren [28] mit Beobachtungen im Radio- und Rontgenbereich wurdedas Thema von Atomen in starken Magnetfeldern zu einem Forschungsschwerpunkt [28].Neutronensterne sind stellare Uberreste von Supernovaexplosionen. Die quantitativeAnalyse ihres elektromagnetischen Spektrums erlaubt prinzipiell die Bestimmung ih-rer physikalischen Parameter, z.B. der Oberflachentemperatur, der Masse, des Radiusund der Magnetfeldstarke. Aus diesen Daten konnen Ruckschlusse auf den inneren Auf-bau der massiven kompakten kosmischen Objekte und die Physik der Materie unterextremen Magnetfeldstarken gezogen werden. Die spektroskopische Untersuchung dieserlichtschwachen Objekte im optischen wurde erst mit dem Bau von Großteleskopen der10m-Klasse (VLT, Keck) und dem Start von weltraumbasierten Rontgenobservatorien(XMM, Chandra) moglich.Die Elemente Wasserstoff und Helium in sehr starken Magnetfeldern wurden bereits inder Vergangenheit ausgiebig untersucht [28]. Dahingegen fehlen bislang verlaßliche Da-ten fur die hoheren Elemente. Es wird davon ausgegangen, daß bei Neutronensternendie Atmosphare aus Atomen und Ionen von Elementen besteht, die bei der Kernfusionim Laufe des Lebens des Sterns entstanden sind, d.h. von Kohlenstoff, Sauerstoff uberSilizium hinauf bis zu Eisen. In dieser Hinsicht sind dann vor allem die atomaren Datenvon mittelschweren Elementen bis zu einer Kernladungszahl von Z = 26 interessant.Die Berechnung synthetischer Spektren, basierend auf zuverlassigen atomaren Daten,wird an der Universitat Tubingen in der Arbeitsgruppe von K. Werner [34] vorangetrie-ben. Ziel der Arbeit war es, die Struktur mittelschwere Atome unter Anwendung derDiffusions-Quanten-Monte-Carlo-Methode zu untersuchen. Speziell sollen die Grundzu-standseigenschaften von Atomen bis zu einer Kernladungszahl Z = 26 in ausgewahltenMagnetfeldstarken untersucht werden.

1.2. Aufbau der Arbeit

Die Arbeit beschaftigt sich im folgenden mit der Losung der Schrodinger-Gleichungdurch ein Simulationsverfahren fur Vielelektronen-Atome in sehr starken Magnetfeldern.Zur Anwendung kommen zum einen das Variations- und zum anderen das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren. Das Grundlegende zu diesen beiden Verfahren findet

11

1. Einleitung

sich in Kapitel 2. Ein wichtiger Punkt stellt dabei die Wahl der Fuhrungswellenfunktiondar. Fur bestmogliche Ergebnisse muß sie geeignet gewahlt sein. Selbst gutes

”Raten“

fuhrt in der Regel nicht zum Ziel. In Kapitel 3 wird daher beschrieben, wie die Wahlfur die bisher ungeloste Behandlung von Atomen mit Kernladungszahlen hinauf bis Ei-sen getroffen werden kann. Auf Grund der mit der Elektronenzahl stark ansteigendenRechenzeit wurden die Simulationen auf einem Rechencluster ausgefuhrt. Die zur Par-allelisierung wichtigen Informationen werden in Kapitel 4 beschrieben. Die durch dieseSimulationen gewonnen Ergebnisse werden in Kapitel 5 mit anderen Verfahren verglichenund graphisch veranschaulicht. Außerdem enthalt dieses Kapitel Hinweise zur Fehlerbe-trachtung und zur Rechenzeit. Letztlich folgt das Kapitel 6, welches eine Zusammenfas-sung dieser Arbeit und einen Ausblick auf offene Problemstellungen gibt. Ferner werdenweiterfuhrende Gedanken zur Losung dieser Fragestellungen aufgezeigt. Der Anhangenthalt allgemeine Informationen u.a. zu Konventionen und detaillierte Umformungeneinzelner Gleichungen. Bei der Anfertigung dieser Arbeit wurde großter Wert auf diepraktische Umsetzung bzw. Anwendung gelegt. Der direkte Abdruck des Quellcodes desProgramms ware sicher nicht weiterfuhrend, jedoch befinden sich an verschiedenen Stel-len ausfuhrliche Programmablaufdiagramme, sog. Nassi-Shneiderman-Diagramme undrelevante Listings, die dem Leser einen tieferen Einblick in das Simulationsverfahrengeben.

1.3. Forderung

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Teilprojektes A15”Numerische Methoden fur

Vielelektronen-Atome in Neutronensternmagnetfeldern“, des Sonderforschungsbereichs382

”Verfahren und Algorithmen zur Simulation physikalischer Prozesse auf Hochstlei-

stungsrechnern“. Es handelt sich dabei um ein Gemeinschaftsprojekt der beiden Univer-sitaten Tubingen und Stuttgart.

12

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

Ziel ist es, eine moglichst exakte Losung der Vielteilchen-Schrodinger-Gleichung zu er-mitteln, die die Grundzustandsenergie E0 liefert. Das Quanten-Monte-Carlo-Verfahrenbietet hier einen statistischen Zugang durch ein Simulationsverfahren mit Hilfe sog.

”Wal-

ker“, die sich im 3N -dimensionalen Raum gefuhrt bewegen. N steht dabei fur die Zahlder Elektronen des zu betrachtenden Atoms, sie ist in dieser Arbeit mit der Kernladungs-zahl Z identisch. Es wird gezeigt werden, daß sich die Walker statistisch so verteilen,daß das Mittel der

”lokalen Energie“, genommen an den Positionen der Walker, gerade

der Grundzustandsenergie E0 entspricht. Im folgenden werden zunachst in Abschnitt 2.1grundlegendes zum Verfahren, in Abschnitt 2.2 das Variations- und in Abschnitt 2.3 dasDiffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren besprochen.

2.1. Grundlegendes zumQuanten-Monte-Carlo-Verfahren

2.1.1. Variationsprinzip

Das Variationsprinzip [23] bildet die Grundlage fur viele Ansatze, um zu einer approxi-mierten Losung der Schrodinger-Gleichung zu gelangen. Bei Problemen, die sich nichtanalytisch losen lassen, bietet es den großen Vorteil, daß es bei einem nach unten be-schrankten Spektrum fur einen beliebigen Testzustand ΨT stets einen Energiewert liefert,der großer ist als die gesuchte Grundzustandsenergie E0. Das Variationsprinzip liefertalso eine obere Schranke. Der Erwartungswert ist:

〈ΨT|H |ΨT〉 =

∫Ψ∗

THΨTdτ∫Ψ∗

TΨTdτ. (2.1)

ΨT kann dargestellt werden als eine Linearkombination von Basiszustanden Ψn

ΨT =∑n

cnΨn , (2.2)

mit der Nebenbedingung fur die Koeffizienten cn∑n

|cn |2 = 1 . (2.3)

13


Angenommen wird, daß die Ψn eine vollstandige Basis bilden und die tatsachlichen,normierten Eigenfunktion von H sind. Eingesetzt und ausgewertet ergibt dies:

〈ΨT|H |ΨT〉 =

∫ (∑n

c∗nΨ∗n

)H

(∑m

cmΨm

)dτ

=∑n

∑m

c∗ncm

∫Ψ∗

nHΨmdτ

=∑n

∑m

c∗ncmEmδnm

=∑n

|cn |2En . (2.4)

Offensichtlich gilt ∀n En ≥ E0 und damit:

〈ΨT|H |ΨT〉 ≥ E0 . (2.5)

Fur ein reines Variationsverfahren sollte der Testzustand ΨT die gesamte bekannte Phy-sik enthalten. Der Testzustand ΨT enthalt noch freie Parameter, die sogenannten Varia-tionsparameter. Durch Variation dieser Parameter und der Auswertung von Gleichung(2.4) kann eine minimale Energie aufgefunden werden. Dies bedeutet aber nicht, daßes sich hierbei um die gesuchte Grundzustandsenergie E0 handelt. Vielmehr handeltes sich um die minimale Energie, die mit diesem Testzustand erreichbar ist. Nur fallsdie Parameter so gewahlt werden konnen, daß die wahre Grundzustandswellenfunkti-on beschreibbar ist, wird die Grundzustandsenergie E0 durch Variation der Parametererreicht.

2.1.2. Monte-Carlo-Integration

Der Begriff”Monte-Carlo“ im Zusammenhang mit wissenschaftlichem Rechnen wurde

im Jahre 1947 von Metropolis [18] gepragt. Bei dieser Art der Integration konnen hoch-dimensionale Integrale, die sich nur numerisch losen lassen, mit Hilfe von Zufallszahlenberechnet werden. Die hierfur generierten Zufallszahlen mussen statistisch unkorreliertsein, d.h. die

”Qualitat“ des Zufallszahlengenerators spielt eine entscheidende Rolle. Die

Stutzstellen (i = 1 . . .N ) liegen bei der Monte-Carlo-Integration nicht auf einem aquidi-stanten Gitter, sondern werden mit Hilfe einer Reihe von Zufallszahlen {Xi} ermittelt.Betrachtet wird etwa folgendes Integral:

F =

∫ x2

x1

f (x )dx , (2.6)

14

2.1. Grundlegendes zum Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

welches aufgefaßt werden kann als eine Flache F , gegeben durch Lange (x2 − x1) multi-pliziert mit einem gemittelten Funktionswert f :

F = (x2 − x1) limN→∞

1

N

N∑i=1

f (Xi)︸︷︷︸f

. (2.7)

Die Standardabweichung des Mittelwertes ist dabei gegeben durch

σm =σ√N

, (2.8)

wobei die Varianz

σ2 =

∑i [f (Xi)− f ]2

N(2.9)

eine Abschatzung des statistischen Fehlers bei der Monte-Carlo-Integration liefert. Dergroße Vorteil der Monte-Carlo-Integration liegt in der Abschatzung des Fehlers, der zwarvon der Anzahl der Stutzstellen abhangig und durch den Ausdruck 1√

Ngegeben ist, aber

bei dem die Dimension des betrachteten Problems keine Relevanz besitzt. Gerade dieLosung hochdimensionale Integrale ist mit dieser Art der Integration erst praktikabel.

2.1.3.”Importance Sampling“

Es ist leicht einzusehen, daß, wenn die Stutzstellen bei der Monte-Carlo-Integration zwarzufallig aber in gewisser Hinsicht

”gleichmaßig“ verteilt sind, die Abschatzung fur das

Integral sicher nicht den bestmoglichen Wert liefern kann. Geschickter ware es, wenndie Funktion in starkerem Maße an den Stellen ausgewertet wird, an denen große Funk-tionswerte fur das Integral zu erwarten sind. Metropolis [17] fuhrte dazu 1953 einenneuen Algorithmus ein, um die Auswahl der Stutzstellen mittels einer Verteilungsfunkti-on w(x ) vorzugeben. Die Verteilungsfunktion, fur die w(x ) ∼ |f (x )| gelten soll, hat zweiEigenschaften:

1. w(x ) ≥ 0 , ∀x ∈ R

2.∫ x2

x1w(x )dx = 1 , mit x2 > x1 ∧ x1, x2 ∈ R .

Die Gleichung (2.6) wird wie folgt erweitert:

F =

∫ x2

x1

f (x )

w(x )︸︷︷︸g(x)

w(x )dx

=

∫ x2

x1

g(x )w(x )dx = limN→∞

1

N

N∑i=1

g(Xi) . (2.10)

15


Da der Integrand f /w naherungsweise konstant ist, ist die Varianz deutlich kleiner, alsohne das Importance Sampling. Das Importance Sampling ist also ein wichtiges Mittelzur Steigerung der Effizienz der Monte-Carlo-Integration. Die oben angegebenen Eigen-schaften der Verteilungsfunktion w(x ) gestatten die Einfuhrung einer dazu gehorigenmonton steigenden Stammfunktion:

y(x ) =

∫ x

x1

w(x ′)dx ′ . (2.11)

Ferner gilt fur die Integrationsgrenzen:

y(x1) = 0 (2.12)

y(x2) = 1 . (2.13)

Das Integral aus Gleichung (2.10) geht mit der Umkehrfunktion x (y) von y(x ) uber in

F =

∫ 1

0

f (x (y))

w(x (y))dy . (2.14)

Dieses Integral laßt sich nun mittels einer Monte-Carlo-Integration auf zweierlei Weiseberechnen:

F =

lim

N→∞

1

N

N∑i=1

f (Xi)

w(Xi), mit Xi gemaß w(x ) verteilte Zufallszahlen

limN→∞

1

N

N∑i=1

f (x (Yi))

w(x (Yi)), mit Yi gleichverteilte Zufallszahlen in [0, 1] .

(2.15)

Die zweite Zeile der Gleichung (2.15) ist, was die Erzeugung der Zufallszahlen angeht,deutlich einfacher realisierbar. Hierfur stehen in der Literatur seit vielen Jahren Stan-dardroutinen zur Verfugung. Das Problem besteht allerdings in der Angabe der Stamm-funktion y , die zwar fur Spezialfalle bekannt ist, sich aber spatestens im Mehrdimensiona-len nicht unbedingt angeben laßt. Bleibt also nur die Variante der ersten Zeile ubrig. Hierstellt sich die Frage, wie die Zufallszahlen gemaß einer vorgegebenen Verteilungsfunktionermittelt werden? Eine Losung dieses Problems stellt der

”Metropolis-Algorithmus“ dar.

2.1.4. Metropolis-Algorithmus

Wie eingangs erwahnt handelt es sich bei der Losung der Schrodinger-Gleichung umein Simulationsverfahren. Dabei kommen sog.

”Walker“ zum Einsatz. Diese mussen in

geeigneter Weise im 3N -dimensionalen Raum bewegt werden. Der von einem Walkerzuruckgelegte Weg entspricht dabei einer Markov-Kette, d.h. die jeweilige neue Positionhangt nur von der unmittelbar vorherigen ab. Ein Aspekt dieser Bewegung ist gegebendurch den Metropolis-Algorithmus [17]: Der Weg selbst ist so ausgelegt, daß die Punkte

16

2.1. Grundlegendes zum Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

des Wegs im Limes großer Schrittanzahl der richtigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktiongehorchen. Ein Walker wird beschrieben durch den 3N -komponentigen Vektor

~R = (~r1,~r2,~r3, . . . ,~rN ) . (2.16)

Dabei enthalt jedes ~ri die Raumkoordinaten des i -ten Elektrons; ~R spiegelt damit diekomplette Elektronenanordnung des Atoms wider. Die neue Position ~R′ ergibt sich durch:

~R′ = ~R + ~η , (2.17)

wobei ~η dem Zufallselement entspricht, welches fur jedes Elektron (1 . . .N ) und jede

Koordinate (1 . . . 3) zu ermitteln ist. Die Wahrscheinlichkeit fur einen Ubergang von ~R

nach ~R′ ist P(~R → ~R′). Entsprechend ist P(~R′ → ~R) die Wahrscheinlichkeit fur einen

Ubergang von ~R′ nach ~R. Es gilt offenbar folgende Wahrscheinlichkeitsbetrachtung furdie Ubergange:

P(~R → ~R′) = Ptrial(~R → ~R′)Paccept(~R → ~R′) (2.18)

P(~R′ → ~R) = Ptrial(~R′ → ~R)Paccept(~R

′ → ~R) . (2.19)

Dabei ist Paccept die Akzeptanzwahrscheinlichkeit und Ptrial die Wahrscheinlichkeit desVersuchs eines Ubergangs. Fur letztere gilt wegen des durch den Zufall bestimmtenWeges (

”random walk“):

Ptrial(~R → ~R′) = Ptrial(~R′ → ~R) . (2.20)

Anderseits gilt fur die Verteilungsfunktion w auf Grund des detaillierten Gleichgewichts(”detailed balance“):

w(~R)P(~R → ~R′) = w(~R′)P(~R′ → ~R) . (2.21)

Aus obigen Gleichungen laßt sich nun – in nicht eindeutiger Weise – eine Akzeptanz-wahrscheinlichkeit gewinnen:

Paccept(~R → ~R′) = min

{1,

w(~R′)

w(~R)

}. (2.22)

Praktisch umgesetzt wird dies, indem eine neue Position ~R′ ausgewurfelt, der Quotientw(~R′)

w(~R)berechnet und zusatzlich eine gleichverteilte Zufallszahl X im Intervall [0, 1] er-

mittelt wird. Ist die Zufallszahl kleiner als der Quotient, so wird der Walker bewegt,ansonsten wird er zuruckgewiesen, d.h. er verharrt in seiner alten Position.Diese Betrachtungsweise ist gultig, solange jeder Punkt im Konfigurationsraum von je-dem anderen innerhalb eines Schrittes, auch unter Uberwindung einer lokalen Energie-barriere, erreicht werden kann. Es wird auch von der Ergodizitat gesprochen, falls der

17


Walker jedem Punkt im Konfigurationsraum in endlicher Zeit beliebig nahe kommt.Wenn der Konfigurationsraum sehr groß ist und nur kleine Schritte zugelassen sind, istes unter Umstanden nicht mehr moglich jeden Punkt unmittelbar zu erreichen. Die An-wendung des Metropolis-Algorithmus laßt sich allerdings insoweit rechtfertigen, als dieWalker zuerst ins Gleichgewicht gefuhrt werden und anschließend erst mit der eigentli-chen Monte-Carlo-Integration begonnen wird.

2.2. Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

Das Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (VQMC-Verfahren) baut auf dem Va-riationsprinzip und der Monte-Carlo-Integration einschließlich des

”Importance Samp-

ling“ auf. Der Hamilton-Operator eines Atoms mit N Elektronen und Kernladung Zbei Vernachlaßigung der kinetischen Energie des Atomkerns fuhrt auf die elektronischeSchrodinger-Gleichung:

Ha.u. = −1

2

N∑i=1

~∇2i︸︷︷︸

kinetische Energie

+1

2

N∑i ,jj 6=i

1

|~ri − ~rj |︸︷︷︸Coulombwechselwirkung

− ZN∑

i=1

1

|~ri |︸︷︷︸Coulombpotential

. (2.23)

Die Darstellung des Hamilton-Operators erfolgt in atomaren Einheiten (siehe AnhangA). Der Einfachheit und Ubersichtlichkeit wegen wird auf den Index [a.u.] im folgendenverzichtet. Der Erwartungswert der zu diesem Hamilton-Operator gehorigen Grundzu-standswellenfunktion Ψ0 ist gegeben durch:

E0 =〈Ψ0|H |Ψ0〉〈Ψ0|Ψ0〉

=

∫Ψ∗

0(~R)HΨ0(

~R)d~R∫Ψ∗

0(~R)Ψ0(

~R)d~R. (2.24)

Dieses VQMC-Verfahren beruht auf einer Testwellenfunktion ΨT, die eine”vernunftige“

Naherung an die Grundzustandwellenfunktion Ψ0 sein soll. Die Energie, die mit derTestwellenfunktion verknupft ist, ergibt sich aus:

ET =〈ΨT|H |ΨT〉〈ΨT|ΨT〉

=

∫Ψ∗

T(~R)HΨT(~R)d~R∫Ψ∗

T(~R)ΨT(~R)d~R. (2.25)

18

2.3. Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

Wie bereits erwahnt ist ET ≥ E0 und damit eine obere Schranke. Wird der Zahler vonGleichung (2.24) mit 1 = ΨT/ΨT erweitert, ergibt sich:

ET =

∫|ΨT(~R)|2 HΨT(~R)

ΨT(~R)d~R∫

|ΨT(~R)|2d~R

=

∫|ΨT(~R)|2ELd~R∫|ΨT(~R)|2d~R

. (2.26)

Der Term EL(~R) = HΨT(~R)

ΨT(~R)beschreibt die sog.

”lokale Energie“. Wenn ΨT normiert ist,

dann vereinfacht sich diese Gleichung letztlich zu:

ET =

∫|ΨT(~R)|2ELd~R . (2.27)

Der Vergleich der beiden Gleichungen (2.27) und (2.10) liefert

ET = limN→∞

1

N

N∑i=1

EL(Xi) . (2.28)

Die Gleichung (2.22) fur die Akzeptanzwahrscheinlichkeit ist dann gegeben durch:


{1,|ΨT(~R′)|2

|ΨT(~R)|2

}. (2.29)

Die zur Testwellenfunktion ΨT gehorige Energie ET ist das arithmetische Mittel uberdie lokale Energie, ausgewertet an den durch die Funktion |ΨT|2 generierten StutzstellenXi . Das Nassi-Shneiderman-Diagramm, dargestellt in Abbildung 2.1, liefert eine Zusam-menfassung des Verfahrens und ist eine Hilfe bei dessen Programmierung.


Ahnlich dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Verfahren, beruht das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (DQMC-Verfahren) auf der Simulation der Walker im3N -dimensionalen Raum. Dieses ist theoretisch ein exaktes Verfahren, liefert es vomPrinzip her doch die wahre Grundzustandsenergie E0. Es folgt die theoretische Darstel-lung der Methodik.

2.3.1. Ableitung der Diffusionsgleichung

Gesucht ist die stationare Grundzustandsenergie E0. Um so uberraschender ist daherder Zugang zu dieser Energie, da sie uber die Diffusionsgleichung, abgeleitet aus der

19


Initialisierung

Wurfeln: ~η, X

Paccept > X ?

~R 7→ ~R + ~η

dynamisches Gleichgewicht?

N = 0Wurfeln: ~η, X

Paccept > X ?

Ja Nein

~R 7→ ~R + ~η ~R 7→ ~R

EL(~R) = HΨT(~R)

ΨT(~R)

ET 7→ ET + EL

N 7→ N + 1N = Nmax?

ET 7→ ET · 1N

Abb. 2.1.: Nassi-Shneiderman-Diagramm des VQMC-Verfahrens. (Diese Art derDarstellung des Programmablauf stammt von Isaac Nassi und Ben Shnei-derman [22].) Die einzelnen Blocke stellen dabei Programmanweisungendar, welche sequentiell von oben nach unten abgearbeitet werden. Einge-ruckte, umschlossene Blocke bilden dabei eine Schleife, die bis zu derenErfullung wiederholt wird. In diesem Fall haben sie eine L-Form. Es wirdin diesem Fall auch von einer fußgesteuerten Schleife gesprochen. Einealternative Programmausfuhrung wird durch ein spitzes, nach unten zei-gendes Dreieck dargestellt. Die Bedingung selbst steht in diesem Dreieck,die moglichen Falle außerhalb, so daß eine eindeutige Zuordnung desweiteren Programmablaufes ersichtlich ist. Mit dem ∅-Symbol fur dieleere Menge wird der Fall gekennzeichnet, bei dem unmittelbar mit demnachsten Schritt fortgefahren wird (siehe Abb. 2.2). Die Symbole sindgemaß DIN 66261 genormt. Die Diagramme dieser Arbeit wurden mitHilfe des LATEX-Programmpaketes struktex von Jobst Hoffmann erzeugt(http://tug.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/struktex/).

20

http://tug.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/struktex/


zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung erfolgt (in atomaren Einheiten):

i∂ |Ψ〉∂t

= H |Ψ〉 . (2.30)

Mit Einfuhrung der imaginaren Zeit τ = it ergibt sich

∂ |Ψ〉∂τ

= −H |Ψ〉 . (2.31)

Die allgemeine Zeitentwicklung – angepaßt an die imaginare Zeit – fur die Wellenfunktion|Ψ(τ)〉 ist gegeben durch:

|Ψ(τ)〉 =∑

i

cie−Eiτ |Φi〉 , (2.32)

wobei die Eigenvektoren |Φi〉 und Eigenwerten Ei die zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung erfullen

H |Φi〉 = Ei |Φi〉 . (2.33)

Im Grenzfall τ → ∞ klingt die Exponential-Funktion fur die angeregten ZustandeΦi , (i > 0) schneller ab als die des Grundzustands Φ0. Ubrig bleibt dann nur nochdie Basisfunktion des Grundzustandes, sofern dieser nicht gerade senkrecht zum Grund-zustand des zu betrachtenden Systems ist, d.h. nicht c0 = 0 ist:

limτ→∞

|Ψ(τ)〉 = c0e−E0τ |Φ0〉 , (2.34)

bzw. in der Ortsdarstellung

limτ→∞

Ψ(~R, τ) = c0e−E0τΦ0(~R) . (2.35)

Andernfalls liefert die asymptotische Losung den ersten angeregten Zustand [3]. Es wirdnun ein geeigneter Energieoffset ET, d.h. eine Verschiebung des Energienullpunkts, z.B.das Ergebnis einer Variations-Quanten-Monte-Carlo-Simulation (siehe Abschnitt 2.2),eingefuhrt, so daß die in imaginare Zeit transformierte Schrodinger-Gleichung (2.31) umeinen Term auf der rechten Seite erganzt werden muß:

∂Ψ(~R, τ)

∂τ= −HΨ(~R, τ) + ETΨ(~R, τ) . (2.36)

Entspricht der Energieoffset ET gerade der Grundzustandsenergie E0, so liefert das asym-ptotische Verhalten von Ψ(~R, τ) eine stationare Losung. Wird der Hamilton-Operator inkinetische und potentielle Energie zerlegt, und werden die Terme neu sortiert, so ergibtsich:

1

2~∇2

~RΨ(~R, τ)︸︷︷︸

Diffusionsterm

+[ET − V (~R)

]Ψ(~R, τ)︸︷︷︸

Quellterm

=∂Ψ(~R, τ)

∂τ. (2.37)

21


Im folgenden wird ausgenutzt, daß die Schrodinger-Gleichung, formuliert in imaginarerZeit, der Diffusionsgleichung fur die Teilchendichte %

−D∆%+ % = S (2.38)

mit der Diffusionskonstanten D und dem Quellterm S ahnelt, die sich aus einer Konti-nuitatsgleichung der Stromdichte ~j

div~j + % = S (2.39)

unter Hinzunahme der Proportionalitat zwischen der Stromdichte und dem Teilchen-dichtegradienten

~j = −D ~∇% (2.40)

ableiten laßt. D.h. die Gleichung (2.37) entspricht gerade einer 3N -dimensionalen Diffu-

sionsgleichung mit Diffusionskonstante D = 12, wobei Ψ(~R, τ) die Rolle der Dichte der

Diffusionsteilchen ubernimmt und nicht Ψ∗Ψ. Der Ausdruck [ET−V (~R)]Ψ(~R, τ) ist derQuellterm und beschreibt die Verzweigung, das sog.

”Branching“ (Erzeugung und Ver-

nichtung einzelner Teilchen). Die gesamte Gleichung laßt sich durch eine Kombinationaus einem Diffusions- und Verzweigungsprozeß beschreiben, bei dem sich die Anzahldich-te der der Diffusion unterliegenden Teilchen, an einen gegebenen Punkt proportional zurDichte der Teilchen und der potentiellen Energie im Konfigurationsraum erhoht bzw.verringert.Die numerische Simulation der Gleichung (2.37) ist auf einem Computer nicht ganz un-

problematisch. Der Grund liegt in der Verzweigungsrate, die proportional zu V (~R) ist.

Dies fuhrt fur ~R gegen Null bei atomaren Systemen wegen des Coulombpotentials zu Sin-gularitaten und daher zu großen Fluktuationen. Durch die Einfuhrung von

”Importance

Sampling“ [12, 27], in gleicher Weise wie in Abschnitt 2.1.3, lassen sich diese erheblichverringern. Dieses erfolgt in mehreren Schritten. Zuerst wird eine sog. Fuhrungswellen-funktion1 ΨG eingefuhrt, mit der eine neue Verteilungsfunktion f (~R, τ) = ΨG(~R)Ψ(~R, τ)

definiert wird, die die Schrodinger-Gleichung erfullt, sofern Ψ(~R, τ) dies leistet. Die Sub-

stitution von f (~R, τ) in Gleichung (2.37) fuhrt zur wichtigen Ausgangsgleichung desDQMC-Verfahrens (siehe Anhang B):

−1

2~∇2f (~R, τ)︸︷︷︸

Diffusionsterm

+ ~∇·[~F (~R)f (~R, τ)]︸︷︷︸Driftterm

− S (~R)f (~R, τ)︸︷︷︸Quellterm

= −∂f (~R, τ)

∂τ. (2.41)

1Beim DQMC-Verfahren spricht man von der Fuhrungswellenfunktion (”guiding wavefunction“ ), wah-rend man beim VQMC-Verfahren von der Testwellenfunktion spricht. Beide enthalten die gesamten,bereits bekannten physikalischen Eigenschaften. In der Regel wird die beste Testwellenfunktion alsFuhrungswellenfunktion verwendet.

22


Dabei wird ~F (~R) als”Quantenkraft“ aufgefaßt. Es wurde die Definition des Terms gemaß

[32] verwendet2:

~F (~R) =~∇ΨG(~R)

ΨG(~R). (2.42)

Der Ausdruck S (~R) ist der Quellterm und ist gegeben durch

S (~R) = ET − EL(~R) . (2.43)

Die darin enthaltene Energie EL, ist die bereits erwahnte”lokale Energie“:

EL(~R) =HΨG(~R)

ΨG(~R). (2.44)

Statt einer Diffusionsgleichung fur Ψ(~R, τ) liegt nun eine Drift-Diffusionsgleichung fur

f (~R, τ) vor, bei der die Verzweigungsrate jetzt nicht mehr proportional zum Potenti-

al V (~R), sondern zur Abweichung der lokalen Energie EL und dem Energieoffset ET

ist. Die Verzweigungsrate ist beim Vorliegen der exakten Wellenfunktion gleich Null,d.h. ET = EL. Die

”Starke“ der Verzweigungsrate ist also ein Maß fur die Qualitat der

Fuhrungswellenfunktion. Das Verhaltnis aus Wellenfunktion zur Fuhrungswellenfunk-tion Ψ/ΨG sollte dabei so glatt wie moglich sein. Die richtige Wahl einer geeignetenFuhrungswellenfunktion ist ein zentrales Thema dieser Arbeit, ihr ist ein eigenes Kapi-tel gewidmet (siehe Kapitel 3).

2.3.2. Losen der Diffusionsgleichung

Die Diffusionsgleichung (2.41) kann in integraler Form geschrieben werden (vgl. hierzu[32]):

f (~R′, τ + ∆τ) =

∫d~RG(~R′, ~R; ∆τ)f (~R, τ) . (2.45)

Hierbei ist G die Greensche-Funktion3, gegeben durch

G(~R′, ~R; ∆τ) = 〈~R′| e−H∆τ |~R〉 . (2.46)

Das Problem wurde darauf verschoben, daß jetzt ein analytischer Ausdruck fur dieGreensche-Funktion G gefunden werden muß. Unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel (BCH) gilt:

e−H∆τ = e−(T+V )∆τ BCH= e−T∆τe−V∆τe

12[T ,V ]∆τ 6= e−T∆τe−V∆τ (2.47)

2In der Literatur wird oft die Quantenkraft mit ~F (~R) = 2~∇ΨG(~R)/ΨG(~R) angetroffen. In dieser Arbeitwurde der Faktor 2 mit der Diffusionskonstante D = 1/2, resultierend aus dem Hamilton-Operator,bereits verrechnet.

3Wie in der Literatur ublich wird die Greensche-Funktion fur die Losung der Differentialgleichungohne Importance Sampling mit G , mit Importance Sampling mit G geschrieben.

23


Der letzte Teil obiger Gleichung gilt, weil die Operatoren T und V nicht miteinanderkommutieren

[T , V ] 6= 0 , (2.48)

Eine mogliche Naherung zur Losung der Greenschen Funktion besteht in der Zerlegungder imaginaren Zeit τ in kurze Zeitschritte ∆τ — die sog.

”short time“-Naherung. Sie

erlaubt, den Kommutatorbeitrag auf Null zu setzen und ermoglicht die Einzellosung derbeiden in der Gleichung (2.41) enthaltenen Diffusions- und Ratengleichungen. Mit Hilfedieser als Trotter-Suzuki-Zerlegung [31] bekannten Aufspaltung, laßt sich die Greensche-Funktion nun angeben als

G(~R′, ~R; ∆τ) = 〈~R′| e−T∆τe−V∆τ |~R〉+O(∆τ 3) , (2.49)

dabei sind

T = −1

2~∇2 + ~∇·~F (~R) (2.50)

V = [EL(~R)− ET] . (2.51)

Die Greensche-Funktion kann in Kurzzeitnaherung deshalb geschrieben werden als

G(~R′, ~R; ∆τ) ' e−∆τ [EL(~R′)−ET] 〈~R′| e−∆τT |~R〉= GB(~R′, ~R; ∆τ)GD(~R′, ~R; ∆τ) , (2.52)

wobei die Verzweigungsrate GB und der Diffusions-/Driftanteil GD gegeben sind durch(siehe Anhang C):

GB(~R′, ~R; ∆τ) = e−∆τ [EL(~R′)−ET] (2.53)

GD(~R′, ~R; ∆τ) =1

(2π∆τ)3N/2e−(~R′−~R−∆τ ~F (~R))2/2∆τ . (2.54)

In der Literatur findet man beim Quellterm auch eine Symmetrisierung derart, daß nichtnur die lokale Energie an der Position ~R′ sondern das arithmetische Mittel der lokalenEnergien an den beiden Positionen ~R′ und ~R in die Simulation eingeht. Die Schrittweite∆τ ist in dieser Arbeit stets so klein gewahlt, daß die Symmetrisierung keinen nennens-werten Effekt aufweist, zumal sich der Driftanteil GD nicht symmetrisieren laßt.Die Gleichung (2.22) fur die Akzeptanzwahrscheinlichkeit andert sich zu:


{1,|ΨG(~R′)|2GD(~R, ~R′; ∆τ)

|ΨG(~R)|2GD(~R′, ~R; ∆τ)

}. (2.55)

Dies bedeutet nun, daß das eigentliche physikalische Problem, die Losung der zeitun-abhangigen Schrodinger-Gleichung fur ein atomares System, durch zwei gleichzeitig ange-wandte Simulationen erfolgen kann: Hierzu wird ein sog. Walker in den 3N -dimensionalen

24


Raum am Ort ~R positioniert. Fur den Walker wird eine neue Position ~R′ mit Hilfe vonZufallszahlen ermittelt. Ferner unterliegt die neue Position dem Einfluß der Quanten-kraft. Ob die neue Position zu akzeptieren ist, wird mit Hilfe des Metropolis-Algorithmusentschieden. Je nach Große der Verzweigungsrate wird der Walker anschließend verviel-facht, erhalten oder geloscht. Das Mittel uber die lokale Energie eines Ensembles vonWalkern ergibt bei jedem Schritt des zuruckzulegenden Weges die Grundzustandsenergie.Abgesehen vom statistischen Fehler, liegt diesem Losungsweg nur die Naherung bezug-lich der kleinen Zeitschritte zu Grunde. Die Fuhrungswellenfunktion besteht aus einerSuperposition vieler Wellenfunktionen. Einerseits muß genugend Zeit vergangen sein, bisdie hoheren Anteile abgeklungen sind, andererseits durfen wegen der Kurzzeitnaherungnur kleine Zeitschritte getatigt werden. Die Simulation besteht daher aus sehr vielenkleinen imaginaren Zeitschritten.

2.3.3. Das Verfahren im außeren Magnetfeld

Bei Problemstellungen ohne außeres Magnetfeld kann stets eine reellwertige Fuhrungs-wellenfunktion ΨG gefunden werden. Dabei ist zu beachten, daß das Produkt aus Fuh-rungswellenfunktion ΨG und Grundzustandswellenfunktion Ψ wegen der Betrachtungs-weise als Dichteverteilung f (~R, τ) = Ψ(~R, τ)ΨG(~R) das Vorzeichen nicht andern darf.Da die Knoten (Nullstellen) der Grundzustandswellenfunktion unbekannt sind, wird an-genommen, sie fielen mit den Knoten der Fuhrungswellenfunktion zusammen. Damitandern beide Funktionen gleichzeitig das Vorzeichen und die Dichteverteilung behaltihr Vorzeichen bei. Walker, die bei einem Schritt zu einer Veranderung des Vorzeichensder Dichteverteilung fuhren wurden, werden zuruckgewiesen. Diese Vorgehensweise wirdals

”fixed-node“-Naherung bezeichnet. Im Gegensatz dazu wird von

”released-node“-

Naherung in der Literatur gesprochen, wenn die Walker sehr wohl die Knoten uber-queren durfen. Dazu wird die Fuhrungswellenfunktion entsprechend konstruiert bzw. eswerden zusatzliche Gewichte eingefuhrt, die sicherstellen, daß sich das Vorzeichen beimUberqueren des Knotens effektiv nicht andert [7].Bei Hinzunahme eines außeren Magnetfeldes wird die Grundzustandswellenfunktion imallgemeinen komplex. Das Quanten-Monte-Carlo-Verfahren ist auf diese Situation anzu-passen. Relativ leicht umsetzen laßt sich die Umstellung der Variablen, die jetzt kom-plexwertig sind. Anders verhalt es sich fur die Großen, die direkt auf die Simulationeinwirken, wie die Quantenkraft und die lokale Energie, da die Simulation der Walkerweiterhin im Reellen stattfindet. Zunachst wird die sog.

”fixed-phase“-Naherung bespro-

chen [1], eine Verallgemeinerung der”fixed-node“-Naherung. Die Wellenfunktionen lassen

sich in Betrag und Phase zerlegen:

ΨG(~R) = |ΨG(~R)|eiΦG(~R) (2.56)

Ψ(~R, τ) = |Ψ(~R, τ)|eiΦ(~R) . (2.57)

25


Die Bedingung fur die Dichteverteilung f (~R, τ) ≥ 0

f (~R, τ) = Ψ∗(~R, τ)ΨG(~R) (2.58)

= |Ψ(~R, τ)||ΨG(~R)|ei(ΦG(~R)−Φ(~R)) (2.59)

kann gewahrleistet werden, falls angenommen wird, daß die Phase der Fuhrungswellen-funktion der Phase der Grundzustandswellenfunktion ΦG(~R) = Φ(~R) entspricht, denndann ist

f (~R, τ) = |Ψ(~R, τ)||ΨG(~R)| ≥ 0 . (2.60)

Dem Grunde nach handelt es sich — wie bei”fixed-node“ — um eine Naherung. Durch

die Einfuhrung von”fixed-phase“ ergibt sich fur die Quantenkraft:

~F (~R) =~∇|ΨG(~R)||ΨG(~R)|

+ i~∇ΦG . (2.61)

Da sie an den neuen Walkerpositionen beteilgt ist und die Simulation ausschließlich imreellen stattfindet, wird der zusatzliche imaginare Term aus Gleichung (2.61) vernach-lassigt und wird als Teil der

”fixed-phase“-Naherung betrachtet. Die Quantenkraft wird

neudefiniert als:

~F (~R) =~∇|ΨG(~R)||ΨG(~R)|

, (2.62)

wobei auf die Tilde gleich wieder verzichtet wird. Im Anhang D wird gezeigt, daß dieunhandliche Berechnung der Quantenkraft wesentlich einfacher uber die Betragsbildungmit Differentiation durch Realteilbildung des Quotienten erfolgen kann:

~F (~R) =~∇|ΨG(~R)||ΨG(~R)|

= Re

(~∇ΨG(~R)

ΨG(~R)

). (2.63)

Diese Beziehung veranschaulicht die”fixed-phase“-Naherung. Die lokale Energie EL ist

gegeben durch:

EL(~R) =HΨG(~R)

ΨG(~R). (2.64)

Sie ist jetzt ebenfalls eine komplexwertige Große EL = ReEL+i ImEL und findet Eingangin Gleichung (2.53) fur die Verzweigungswahrscheinlichkeit GB.

GB(~R′, ~R; ∆τ) = e−∆τ [E∗L(~R′)−ET] (2.65)

= e−∆τ [ReEL(~R′)−i ImEL−ET] (2.66)

= e−∆τ [ReEL(~R′)−ET] · ei∆τ ImEL(~R′) (2.67)

= e−∆τ [ReEL(~R′)−ET] · ϕ(~R′,∆τ) . (2.68)

26


Mit der Abspaltung der Phaseninformation ϕ(~R′,∆τ) = ei∆τ ImEL(~R′) kann die Simu-lation weiterhin im Reellen durchgefuhrt werden. Der Phasenfaktor wird an die lokaleEnergie zur Berechnung des statistischen Mittelwertes in Form eines komplexen Gewich-tungsfaktors Υ

Υ(s) =s∏

i=1

ϕ(i) (2.69)

herangezogen (siehe Abschnitt 2.3.4). Dabei sammelt der Walker entlang des Zufalls-wegs, mit den Schritten s = 1 . . . smax die Phaseninformation auf. Dieses Verfahren wird

”released-phase“-Methode [10] genannt. Ohne es im folgenden stets anzugeben, sind alle

Endergebnisse dieser Arbeit beim DQMC-Verfahren mit dem”relased-phase“-Methode

(RPDQMC) ermittelt worden.

2.3.4. Der Computeralgorithmus

Zum besseren Verstandnis, wird die Implementierung des Algorithmus an dieser Stelleausfuhrlich besprochen. Statt nur einen Walker zu betrachten, wird wegen der Verbesse-rung der Statistik ein Ensemble von Nc Walkern vorgegeben, deren Aufgabe einzig undallein darin besteht, einen gefuhrten Zufallsweg im 3N -dimensionalen Raum zuruckzu-legen. Die Walker unterliegen dabei keiner gegenseitigen Wechselwirkung.

1. Am Anfang steht die Initialisierung. Die Walker werden gemaß der Wahrscheinlich-keitsverteilung der Fuhrungswellenfunktion ΨG gesetzt. In aller Regel werden dieWalker-Positionen und der Energieoffset dem vorgeschalteten VQMC-Verfahren

(ΨG!= ΨT, ET = EVQMC) entnommen. Wenn keine weiteren Informationen vorlie-

gen, ist dies die bestmogliche Ausgangsposition.

2. Jeder Walker (j = 1 . . .NC) reprasentiert alle Elektronen (i = 1 . . .N ) einesAtoms. Das Bewegen des Walkers bedeutet daher, daß fur alle Elektronen gemaß

~r ′i = ~ri + ∆τ ~F (~ri) + ~η (2.70)

eine neue Position vorgeschlagen werden muß. ~F ist dabei die Quantenkraft und~η ein gaußverteilter Zufallsvektor4, mit Erwartungswert µ = 0 und einer Stan-dardabweichung σ = ∆τ . Der Walker legt den durch die Schritte s = 1 . . . smax

gegebenen Weg zuruck.

3. Zur Sicherstellung des”detaillierten Gleichgewichts“ wird der Gewichtungsfaktor

4Das Zufallselement ist nicht konstant hinsichtlich der verschiedenen Elektronen und Koordinaten.

27


der Bewegung

W (~R′, ~R; ∆τ) =|ΨG(~R′)|2GD(~R, ~R′; ∆τ)

|ΨG(~R)|2GD(~R′, ~R; ∆τ)

=|ΨG(~R′)|2

|ΨG(~R)|2e[~F (~R)+~F (~R′)]{(~R−~R′)+ 1

2∆τ(~F (~R)−~F (~R′))} (2.71)

und gemaß dem Metropolis-Algorithmus die Akzeptanzwahrscheinlichkeit

Paccept(~R, ~R′; ∆τ) = min(1,W (~R′, ~R; ∆τ)) (2.72)

berechnet. Die Bewegung wird letztlich ausgefuhrt, wenn fur die Akzeptanzwahr-scheinlichkeit gilt:

Paccept > X , mit X ∈ [0 . . . 1] , (2.73)

wobei X eine gleichverteilte Zufallszahl ist.

4. Nachdem nun fur alle Elektronen eine neue Position – welche auch der alten ent-sprechen kann – ermittelt wurde, ist in der Simulation die imaginare Zeit ∆τverstrichen und der Walker hat einen Schritt getatigt.

5. Es folgt die Berechnung der lokalen Energie EL, der Verzweigungswahrscheinlich-keit PB

PB = e−∆τ(ReEL(~R′)−ET) (2.74)

und die Ermittlung der Anzahl der Vervielfaltigungen

PB = int(PB + ζ) , (2.75)

wobei ζ ∈ [0 . . . 1] eine gleichverteilte Zufallszahl ist. Ist PB = 0 wird der Walkergeloscht, bei PB = 1 bleibt der Walker erhalten, und PB > 1 bedeutet, es werdenPB − 1 zusatzliche Walker angelegt. Zur Stabilisierung hat es sich zum einen alszweckmaßig erwiesen, die Zahl der Kopien auf z.B. zwei weitere zu beschranken undzum anderen den Wert fur PB auf einen Wert kleiner als Eins zu setzen, falls dieneue Position nicht akzeptiert wird. Die Erfahrung zeigt, daß es in seltenen FallenWalker gibt, die eine Position im Konfigurationsraum einnehmen, von der sie aufGrund einer außerst geringe Akzeptanzwahrscheinlichkeit nicht mehr wegkommen.Mit dem Setzen von PB = 0.9 wird die Moglichkeit eingeraumt, diesen Walkerzu loschen aber auch zu behalten. Die Zeit bis zum Erreichen des dynamischenGleichgewichts, darf in keinem Fall zur Statistik zahlen. Die aktuelle Anzahl derKonfigurationen ist jmax .

6. Anschließend folgt die Berechnung der Phaseninformation ϕ und des Gewichtungs-faktors Υ

ϕ = ϕ(s) = ei∆τ ImEL(~R′) (2.76)

Υ(s) =∏S

ϕ(s) . (2.77)

28


Dieser Wert wird kontinuierlich weitergeschrieben. Gelangt ein Walker an einenVerzweigungspunkt mit PB > 1 , so wird dieser Parameter dem/n neuen Walker(n)vererbt.

7. Die Schritte 2 bis 6 sind fur jeden Walker j durchzufuhren. Die Statistik beziehtsich jedoch auf die Gesamtzahl. Die neuen Positionen der Walker werden fur dieBerechnung der lokalen Energie fur diesen Schritt s herangezogen

EL(s) =

∑jmaxj=1 E j

L(~R′) ·Υj (s)∑jmaxj=1 Υj (s)

. (2.78)

8. Die Schritte 2 bis 7 werden nun fur eine bestimmte Anzahl von Schritten smax

wiederholt. Ein typischer Wert fur smax ist 200. Am Ende ist damit ein”Block“

(b = 1 . . . bs . . . bmax) vollendet. bs gibt dabei den Block an, ab dem die Blockmit-telwerte zur Statistik zahlen. Das arithmetische Mittel der lokalen Energie ergibtden Blockmittelwert EB:

EB(b) =1

smax

smax∑s=1

EL(s) . (2.79)

Der gleitende Blockmittelwert wird zur Aktualisierung des Energieoffsets ET her-angezogen:

ET =1

2(ET +

1

b

∑b

EB(b)) . (2.80)

Außerdem wird die Zahl der Walker auf NC renormiert: Es werden zufallig |Nc−jmax|Walker ausgewahlt. Fur jmax > Nc werden die ausgewahlten Walker geloscht, furjmax < Nc werden diese Walker als

”Kopiervorlage“ verwendet. Danach liegen wieder

Nc Walker vor.

9. Die Schritte 2 bis 8 werden fur alle Blocke wiederholt, schließlich ergibt sich dieGrundzustandsenergie E0 als Mittelwert der Blockenergie:

E0 =1

bmax − bs + 1

bmax∑b=bs

EB(b) . (2.81)

Bleibt noch anzumerken, daß die Statistik nur”gefahren“ werden darf, wenn sich das Sy-

stem bereits im Gleichgewicht befindet. Dem Diffusions- ist daher das VQMC-Verfahrenvorzuschalten und die Simulation ist bereits einige Zeit im DQMC-Modus zu betreiben,bevor mit der Summation der Statistikdaten begonnen wird. Das Nassi-Shneiderman-Diagramm, gezeigt in Abbildung 2.2 veranschaulicht die Erkenntnisse dieses Abschnittes.

29


Initialisierung (VQMC, Abb. 2.1)

b = 0b 7→ b + 1

Wurfeln: ~η, X , ζ

~F (~R) = Re~∇ΨG(~R)

ΨG(~R)

~R′ = ~R + ∆τ ~F (~R) + ~η

W (~R′, ~R; ∆τ) = |ΨG(~R′)|2GD(~R,~R′;∆τ)

|ΨG(~R)|2GD(~R′,~R;∆τ)

Paccept(~R, ~R′; ∆τ) > X ?

Ja Neinm = 1 m = 0

~R 7→ ~R′∅

EL(~R′) = HΨG(~R′)

ΨG(~R′)

τ 7→ τ + ∆τ

ϕ = ei∆τ ImEL(~R′), Υ(s)

m = 1?

Ja Nein

PB = int(e−∆τ(ReEL(~R′)−ET) + ζ) PB = int(0.9 + ζ)

PB = 1?

Ja Nein

PB = 0?

Ja Nein

Walker loschenjmax 7→ jmax − 1

Walker kopierenjmax 7→ jmax +max(PB, 2)

∅

EL(s) =Pjmax

j=1 E jL(~R′)·Υj (s)Pjmax

j=1 Υj (s)

~R′ 7→ ~RAlle Schritte eines Blocks (s = 1 . . . smax)?

EB(b) = 1smax

∑smaxs=1 EL(s)

ET = 12(ET + 1

b

∑b EB(b))

Renormierung der Gesamtzahl an Walkern

Alle Blocke (b = 1 . . . bs . . . bmax)?

E0 = 1bmax−bs+1

∑bmaxb=bs

EB(b)

Abb. 2.2.: Nassi-Shneiderman-Diagramm des DQMC-Verfahrens. Zur Erklarung derSymbole siehe Abb. 2.1.

30

3. Fuhrungswellenfunktion

Der in diesem Kapitel beschriebene Ansatz fur eine Fuhrungswellenfunktion entspricht inkeiner Weise einem Ansatz, wie er in der einschlagigen Literatur zum Thema Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren zu finden ist. Ganz bewußt wurde die im folgendenbeschriebe Art und Weise fur den Aufbau der Fuhrungswellenfunktion gewahlt, da sichmit dieser Methode erstmalig mittelschwere Atome (hier bis Z ≤ 26) in extrem starkenMagnetfeldern behandeln lassen. Am Ende des Kapitels wird klar werden, daß geradedieser Aufbau der Fuhrungswellenfunktion im Hinblick auf die lokale Energie und Quan-tenkraft erhebliche Vorteile in ihrer Berechnung aufweist.Dieses Kapitel ist derart aufgebaut, daß zuerst die Hartree-Fock-Gleichungen, anschlie-ßend die Losung dieser Gleichungen mit der Finite-Elemente-Methode unter Zuhilfe-nahme der B-Spline-Interpolation und die Anwendung auf das Quanten-Monte-Carlo-Verfahren besprochen werden. Abschließend wird der Jastrow-Faktor erlautert.

3.1. Hartree-Fock-Gleichungen fur Atome in sehrstarken Magnetfeldern

Bei Vielelektronensystemen mit außerem Magnetfeld laßt sich die stationare Schrodinger-Gleichung

HΨ = EΨ (3.1)

nicht exakt analytisch losen. Die Anwendung eines Naherungsverfahrens ist damit un-umganglich. Die hier verwendeten Hartree-Fock-Gleichungen lassen sich aus einem Va-riationsprinzip ableiten:

δ

∫ Ψ∗HΨdτ︸︷︷︸E

− ε∫

Ψ∗Ψdτ︸︷︷︸Normierung

= 0 . (3.2)

Generell gilt, daß wenn bei einer Variation der exakten Wellenfunktion Ψ die Ener-gie E ein Minimum annimmt, E ein Eigenwert der Schrodinger-Gleichung ist. SollteΨ keine exakte Losung sein, so entspricht dieses Energieminimum dem bestmoglichenNaherungswert. Der zweite Ausdruck stellt die Normierung von Ψ wahrend der Varia-tion sicher (Ankopplung uber Lagrange-Parameter). Die Durchfuhrung der Variationfuhrt von einer Mehrteilchen-Schrodinger-Gleichung zu einem System aus gekoppelten

31


Einteilchen-Integro-Differentialgleichungen, den sog. Hartree-Fock-Gleichungen, die nu-merisch gelost werden konnen. Daruber hinaus besteht grundsatzllich die Moglichkeit,sich Ψ in parametrisierter Form vorzugeben und durch Variation der Parameter ein Mi-nimum von E aufzufinden. Mit dieser Methode kann allerdings nur ein Minimum erreichtwerden, das der Parameterbereich zulaßt. Die Doktorarbeit von M. Klews [14], die aufdie Doktorarbeit von P. Proschel [26] aufbaut, verfolgt den Ansatz der adiabatischenNaherung und liefert als Ergebnis u.a. die Wellenfunktionen der Grundzustande, diewiederum als Fuhrungswellenfunktionen in dieser Arbeit verwendet werden konnen. DieHartree-Fock-Gleichungen fur eine beliebige Anzahl von Elektronen N werden aus demHamilton-Operator in atomaren Einheiten fur Atome im Magnetfeld parallel der z -Achse

(~B = B~ez , β = B/B0 mit B0 = 2α2m2e c2

e~∼= 4.7 · 105 T und α = e2

4πε0~c) in kartesischen

Koordinaten (x , y , z )

H =N∑

i=1

[−1

2

(∂2

∂x 2i

+∂2

∂y2i

+∂2

∂z 2i

)− iβ

(xi

∂

∂yi

− y∂

∂xi

)

+β2(x 2

i + y2i )

2+ βσzi −

Z

|~ri |

]+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |(3.3)

bzw. in Zylinderkoordinaten (z ,ρ,ϕ)

H =N∑

i=1

[−1

2

(∂2

∂ρ2i

+1

ρi

∂

∂ρi

+1

ρ2i

∂2

∂ϕ2i

+∂2

∂z 2i

)− iβ

∂

∂ϕi

+β2ρ2

i

2+ βσzi −

Z√ρ2i + z 2

i

]+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |(3.4)

abgeleitet. Die Gleichung (3.4) laßt sich auch darstellen als eine Summe bestehend ausEinteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren:

H =N∑

i=1

hi +1

2

N∑i ,j=1j 6=i

gij , (3.5)

mit

hi = −1

2∆i − iβ

∂

∂ϕi

+β2ρ2

2− βσzi −

Z√ρ2i + z 2

i

(3.6)

gij =1

|~ri − ~rj |. (3.7)

32

3.1. Hartree-Fock-Gleichungen fur Atome in sehr starken Magnetfeldern

Ein Losungsansatz bei vernachlassigbarem Zweiteilchen-Operator ist gegeben durch dieadiabatische Naherung. Sie ist bei Magnetfeldern der Großenordung 108 T anwend-bar: Fur die Einteilchenwellenfunktion ψi wird ein Produktansatz aus einer z -abhangigen,noch nicht bekannten Wellenfunktion Pνm(z ) der longitudinalen Coulomb-Anregung ent-lang der z -Achse (ν gibt die Knotenzahl an), einen von ρ und ϕ abhangigen Landau-Zustand Φnm(ρ, ϕ) mit den Energie-Niveaus En = ~ωc(n + 1

2), wobei n = 0, 1, 2, . . . ist,

mit der Projektion des Bahndrehimpulses m (m = 0,−1,−2, . . . ) auf die z -Achse, undeinem Spinorzustand χ(s) eingefuhrt:

ψi(~r , s) = ψνnm(z , ρ, ϕ, s) = Pνm(z ) · Φnm(ρ, ϕ) · χ(s) . (3.8)

Aufgrund der rießigen Magnetfelder B ∼ 108 T wird die Landau-Anregungsenergie vonder Großenordnung ∼ 10 keV. Fur die atomaren Grundzustande genugt es daher, sich aufdas niedrigste Landau-Niveau n = 0 zu beschranken, bei dem alle Spins antiparallel zum

außeren Magnetfeld ausgerichtet sind. Fur die Spinfunktion gilt deshalb χ(s) =

(01

),

was zu einer Energieabsenkung ES (vgl. Gleichung (3.39)) fuhrt. Im folgenden wird daherdie Spinfunktion nicht weiter betrachtet. Die Gesamtwellenfunktion Ψ ist dann gegebendurch eine Slater-Determinate

Ψ =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1(~r1) ψ1(~r2) · · · ψ1(~rN )ψ2(~r1) ψ2(~r2) · · · ψ2(~rN )

......

. . ....

ψN (~r1) ψN (~r2) · · · ψN (~rN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (3.9)

welche die Einteilchenwellenfunktionen ψi enthalt. Dieser Ansatz sichert die Antisym-metrie der Gesamtwellenfunktion unter Teilchenaustausch (Pauli-Prinzip). Die Landau-Zustande Φnm(ρ, ϕ) sind analytisch [15] gegeben

Φnm(ρ, ϕ) =

√β|m|+1n!

π(n + |m|)!eimϕρ|m|e−

β2ρ2

L|m|n (ρ2β) , (3.10)

wobei L|m|n die assoziierten Laguerre-Polynome des Grades n

Lkn(x ) =

exx−k

n!

dn

dxn(e−xxn+k) (3.11)

sind. Die Landau-Zustande sind normiert und orthogonal:∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

0

ρdρΦ∗nimi

Φnjmj= δninj δmimj . (3.12)

33


Im folgenden wird nur das niedrigste Landau-Niveau (n = 0) betrachtet und unterBeachtung von Lk

0(x ) = 1 ergibt sich

Φ0m(ρ, ϕ) =

√β|m|+1

π|m|!eimϕρ|m|e−

β2ρ2

= N eimϕρ|m|e−β2ρ2

. (3.13)

Aufgrund der nicht vernachlassigbaren Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen unter-einander ist eine Separation in reine Einteilchengleichungen jedoch so nicht moglich. Beidem hier verwendeten Hartree-Fock-Verfahren bleibt das vereinfachte Einteilchenbild er-halten, und die Elektron-Elektron-Wechselwirkung wird durch die Einfuhrung effektiverselbstkonsistenter Potentiale berucksichtigt. Dabei ist zu beachten, daß jedes Elektroneine unterschiedliche effektive Ladung spurt; außere Elektronen unterliegen wegen derAbschirmung der Ladung des Atomkerns durch die inneren Elektronen einer deutlich klei-neren elektrischen Feldstarke, andererseits unterliegen die inneren Elektronen noch fastdem Feld der kompletten Kernladung. Die Ableitung der Hartree-Fock-Gleichungen [26]fur die Einteilchenorbitale aus Gleichung (3.13) wird an dieser Stelle kurz skizziert:

� Es wird der Gesamtenergieausdruck gebildet, indem

E =

∫Ψ∗HΨdτ =

N∑i=1

∫ψ∗i hiψidτ+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

[∫∫ψ∗i (1)ψ∗j (2)g12ψi(1)ψj (2)dτ1dτ2

−∫∫

ψ∗i (1)ψ∗j (2)g12ψj (1)ψi(2)dτ1dτ2

](3.14)

berechnet wird. Dies fuhrt auf

� Einteilchenintegrale und

� Zweiteilchenintegrale, die berechnet werden. Schließlich folgt die

� Durchfuhrung der Variationen.

Letztlich liefert dieses Vorgehen die Hartree-Fock-Gleichungen in adiabatischer Nahe-rung:[

−1

2

d2

dz 2+ V EF

i (z )− εi +∑j 6=i

∫Pj (z

′)Pj (z′)W DI

ij (z , z ′) dz ′

]Pi(z )

=∑j 6=i

Pj (z )

∫Pj (z

′)Pi(z′)W EX

ij (z , z ′) dz ′ , (3.15)

34

3.2. Losung der Hartree-Fock-Gleichungen

mit den drei Funktionen V EFi (z ), W DI

ij (z , z ′) und W EXij (z , z ′) fur das effektive Kernpo-

tential, das direkte Elektron-Elektron-Potential und das Elektron-Elektron-Austausch-potential:

V EFi (z ) = −Z

∫φ∗0mi

(ρ, ϕ)φ0mi (ρ, ϕ)

|~r |dr⊥ , (3.16)

W DIij (z , z ′) =

∫∫φ∗0mi

(ρ, ϕ)φ0mi (ρ, ϕ)φ∗0mj(ρ′, ϕ′)φ0mj (ρ

′, ϕ′)

|~r − ~r ′|dr⊥ dr ′⊥ , (3.17)

W EXij (z , z ′) =

∫∫φ∗0mi

(ρ, ϕ)φ0mi (ρ′, ϕ′)φ∗0mj

(ρ′, ϕ′)φ0mj (ρ, ϕ)

|~r − ~r ′|dr⊥ dr ′⊥ . (3.18)

Die Losung des Differentialgleichungssystems (3.15) geschieht iterativ: Zur Initialisierungwerden zunachst Naherungen fur die Wellenfunktionen Pi(z ), z.B. aus den Einteilchen-wellenfunktionen der wasserstoffahnlichen Atome, und fur die Lagrange-Parameter εi be-schafft. Diese werden zur Berechnung der Ein- und Zweiteilchenwechselwirkungsintegraleherangezogen, und es werden die Hartree-Fock-Gleichungen fur jedes Elektronenorbitalgelost. Damit konnen nun neue Wellenfunktionen Pi(z ) und die Gesamtenergie berech-net werden. Die verbesserten Wellenfunktionen dienen der Verbesserung der Wechselwir-kungsintegrale. Sobald sich Konvergenz mit der gewunschten Genauigkeit in Bezug aufdie Gesamtenergie eingestellt hat, wird das Verfahren beendet (siehe Abbildung 3.1). DieLosungen der Einteilchenwellenfunktionen und die Potentiele (siehe Gleichungen (3.16)bis (3.18)) sind dann selbstkonsistent.

Beschaffung von Naherungslosungen Pi(z )

Berechnung der Wechselwirkungsintegrale

Berechnung der Lagrange-Parameter εi

Berechnung der Wellenfunktionen Pi(z )

Berechnung der Gesamtenergie E

Gewunschte Genauigkeit erreicht?

Ergebnisausgabe (Gesamtenergie E )

Abb. 3.1.: Nassi-Shneiderman-Diagramm des Hartree-Fock-Verfahrens.


3.2.1. Formulierung als aquivalentes Variationsproblem

Die Losung der Hartree-Fock-Gleichungen geschieht mit Hilfe der Finite-Elemente-Me-thode und der B-Spline-Interpolation. Die Grundlagen zur Finite-Elemente-Methode

35


sind in [36] zu finden. Unter dem Begriff der finiten Elemente ist eine Diskretisierungder Art zu verstehen, daß der Definitionsbereich einer Differentialgleichung in eine An-zahl von n Teilstucken zerlegt wird und die Differentialgleichung innerhalb der Teil-stucke unter den Randbedingungen der Stetig- und Differenzierbarkeit zu den anderenTeilstucken bzw. dem globalen Rand gelost wird. In der Regel ergibt sich ein mehroder weniger großes Differentialgleichungssystem, welches sich mit Standardmethoden,z.B. dem Gaußschen Eliminationsverfahren losen laßt. Die Hartree-Fock-Gleichungenin adiabatischer Naherung besitzen bereits die notwendige Form zur Anwendung derFinite-Elemente-Methode:

APi(z ) + b(z ) = 0 (3.19)

mit

A =∂2

∂z 2− V EF

i (z ) + εi −N∑

j=1j 6=i

∫ ∞

−∞dz ′P2

j (z ′)W DIij (z , z ′) (3.20)

und

b(z ) =N∑

i ,j=1i 6=j

Pj (z )

∫ ∞

−∞dz ′Pj (z

′)Pi(z′)W EX

ij (z , z ′) . (3.21)

Diese Gleichungen sind die Euler-Lagrange-Gleichungen zu dem Extremalprinzip

∏=

∫ ∞

−∞(Pi(z )APi(z ) + 2Pi(z )b(z ))dz

!= extremal . (3.22)

Als konkreter Ansatz fur die Wahl der finiten Elemente, werden die B-Splines benutzt.Bereits in [14] wurde gezeigt, daß dieser Ansatz der Hermite- und Lagrange-Interpolationin Bezug auf die Konvergenzgeschwindigkeit und damit die Rechenzeit uberlegen ist.

3.2.2. B-Spline-Interpolation

Die Grundidee der Spline-Interpolation geht auf I. Schoenberg zuruck und wurde vonihm 1946 vorgestellt [30]. Unter einem Spline k -ter Ordnung wird eine Funktion ver-standen, die aus Polynomen maximalen Grades k − 1 besteht, so als ob mittels einesKurvenlineals eine Kurve gezeichnet wird, die durch alle Knoten verliefe. Je nach Ord-nung wird unterschieden zwischen linear (k = 2), quadratisch (k = 3), kubisch (k = 4)usw. Die praktische Umsetzung stammt von Carl de Boor [5]. Splines, die in einer Ba-sis dargestellt werden, werden B-Splines genannt. Insbesondere fur die Berechnung derlokalen Energie beim Quanten-Monte-Carlo-Verfahren wird die zweite Ableitung beno-tigt. Deshalb muß die Interpolation so erfolgen, daß an den vorgegebenen Knoten dieFunktion wenigstens zweimal stetig differenzierbar ist. Der große Vorteil der B-Spline-Interpolation im Rahmen der Finite-Elemente-Methode liegt in der globalen Definition

36


der B-Splines. Die Entwicklung einer Wellenfunktion nach B-Splines lautet:

Ψ(z ) =N∑

i=1

αiBi(z ) . (3.23)

Die Knotensequenz {zi} sei gegeben (zi+1 ≥ zi), dann sind die B-Splines uber eineRekursionsformel definiert als:

Bi ,k(z ) =z − zi

zi+k−1 − ziBi ,k−1(z ) +

zi+k − z

zi+k − zi+1

Bi+1,k−1(z ) (3.24)

Bi ,1(z ) =

{1, zi < z < zi+1

0, sonst .(3.25)

Es ist also in Gleichung (3.23)

Bi(z ) = Bi ,k(z ) (3.26)

zu setzen. Dem Grunde nach handelt es sich dabei um die Zerlegung der Eins. Die nfiniten Elemente werden so gewahlt, daß die Elementgrenzen mit den Knoten zusam-menfallen. Somit ist die stetige Differenzierbarkeit der Funktion innerhalb jedes finitenElements gesichert. Damit die Zerlegung der Eins gelingt, befinden sich beginnend anden beiden Randern k weitere Knoten. Die so entstandene Knotensequenz nseq ergibtsich zu

nseq = n − 1 + 2k . (3.27)

Die Abbildung 3.2 zeigt zwei Beispiele fur das B-Spline-Basissystem zur Interpolationvon Funktionen im Intervall [0, 5], also bei n = 5 finiten Elementen. Die Knotensequenzwurde gemaß Gleichung (3.27) erganzt, so daß Teilbild (a) die B-Spline-Interpolation biszur Ordnung (k = 2, nseq = 8) und Teilbild (b) bis zur Ordnung (k = 3, nseq = 10) beieinem aquidistanten Abstand der Elemente der Knoten zeigt. Jede zur Ordinate parallelgezogene Linie ergibt bei Summation der Werte der Ordinate an den Schnittpunkten mitden B-Splines gerade Eins. Die Knotensequenz laßt sich frei wahlen, so daß die außerhalbliegenden Knoten auch auf den Rand gesetzt werden konnen, womit die Knotensequenzdiese Knoten mehrfach enthalt:

z−2, z−1 → z0 und z6, z7 → z5 . (3.28)

Zu den n finiten Elementen gehoren innerhalb des Intervalls n − 1 einfache Knotenund k -fache Knoten am Rand des Intervalls. Damit ist die k -fache Differenzierbarkeitder Funktion im gesamten Definitionsbereich garantiert. Im Teilbild (a) von Abbildung3.3 ist die Zusammenlegung der Knoten außerhalb des Intervalls auf den Rand gezeigt.Hier ist wie im Teilbild (b) von Abbildung 3.2 dasselbe Intervall und dieselbe Ordnungk = 3 aufgetragen, wobei jetzt die Aquidistanz der Knotenfolge nur noch innerhalb desIntervalls vorliegt. Im Teilbild (b) von Abbildung 3.3 ist die Knotensequenz quadratisch

37


Abb. 3.2.: Vollstandige B-Spline-Basissatze zur Interpolation im Intervall [0, 5]. Im Teil-bild (a) fur die Ordnung k = 2 und in Teilbild (b) fur die Ordnung k = 3.

aufgeweitet, dies bedeutet, daß die Elementgrenzen und damit die Knoten zi wie folgtdefiniert sind:

zi =(i − 1)2

n2zmax, i = 1, . . . , n + 1 . (3.29)

Die Große zmax steht fur den maximalen Integrationsradius. Diese Art der Aufweitungerweißt sich der Physik der Atome, bei denen die Wellenfunktion in Kernnahe struktur-reicher ist, als sehr gut angepaßt. Dabei wachst die Große der finiten Elemente linearan:

∆zi = zi+1 − zi =2i − 1

n2zmax, i = 1, . . . , n . (3.30)

Die B-Spline-Interpolation mit quadratischer Aufweitung wurde der in dieser Arbeitverwendeten Fuhrungswellenfunktion zugrunde gelegt. Freundlicherweise wurde ein um-fangreiches Softwarepaket [4] von Carl de Boor zur Verfugung gestellt. In diesem Soft-warepaket befinden sich zwei fur diese Zwecke nutzliche Unterprogramme. Zum einenBSPLVN, welches alle positiven, nicht den Wert Null habende B-Splines am Ort z berech-net und zum anderen BSPLVD, welches die benotigten Ableitungen, in beim Quanten-Monte-Carlo-Verfahren benotigt werden, berechnet. Damit liegen die Basiszustande zuGleichung (3.23) vor. Es fehlen nun noch die Entwicklungskoeffizienten αi .

3.2.3. Losen des Variationsproblems

Durch die Aufteilung des Raums in die j finiten Elemente geht das Integral aus Gleichung(3.22) in eine Summe von Integralen uber die lokalen Koordinaten z ∈ [0 . . . zmax] der

38


Abb. 3.3.: (a) Vollstandige quadratische (k = 3) B-Spline-Basissatze zur Interpolationim Intervall [0, 5] mit mehrfachen Knoten an den Intervallgrenzen bei aqui-distantem Knotenabstand. (b) Vollstandige quadratische (k = 3) B-Spline-Basissatze zur Interpolation im Intervall [0, 100] mit mehrfachen Knoten anden Intervallgrenzen mit quadratischer Aufweitung der Knotenpositionen.

finiten Elemente uber. Wird Gleichung (3.23) in (3.22) eingesetzt, ergibt sich:

∏=∑J

[∫ z jmax

0

dz (j )∑k ,l

α(i)k α

(j )l Bk(z

(j ))ABl(z(j ))

+ 2

∫ z jmax

0

dz (j )∑

k

α(i)k α

(j )l Bk(z

(j ))b(z (j ))

]

=∑

j

(∑k ,l

α(i)k α

(i)l A

(j )kl + 2

∑k

α(i)k b

(j )k

), (3.31)

wobei die Matrizen und die Vektoren durch:

A(j )kl =

∫ z jmax

0

dz (j )Bk(z(j ))ABl(z

(j )) (3.32)

b(j )k =

∫ z jmax

0

dz (j )Bk(z(j ))b(z (j )) (3.33)

gegeben sind. Der Index i an den Entwicklungskoeffizienten der B-Splines kennzeichnetdie Entwicklung der Wellenfunktion des i -ten Elektrons hin. Die Anwendung des Varia-tionsprinzips

δ∏

=∑m

∂∏

∂α(i)m

α(i)m = 0 (3.34)

39


liefert ein lineares Gleichungssystem fur die Koeffizienten α(i)k :

∑j

(∑l

α(i)l A

(i)ml + b(j )

m

)= 0 ⇐⇒

∑j ,l

A(j )mlα

(j )l = −

∑j

b(j )m . (3.35)

3.3. Eingabedaten

Die Eingabedaten wurden mit Hilfe der Ausgabe des Programms aus [14] gewonnen.Zur besseren Veranschaulichung der vorangegangen Abschnitte und zu Dokumentati-onszwecken seien hier beispielhaft einige Ausgabewerte und -grafiken gezeigt.

3.3.1. Beispiel: Helium (Z = 2)

Das Listing 3.1 gibt die Koeffizienten-Datei des Heliumatoms nach Anwendung desHartree-Fock-Verfahrens mit der Finite-Elemente-Methode und B-Spline-Interpolationwieder. Sie wird im Quanten-Monte-Carlo-Verfahren eingelesen und legt den z -Anteilder adiabatischen Fuhrungswellenfunktion fest.

� In der Zeile 1 stehen der Reihe nach die Anzahl der finiten Elemente n = 15,die Ordnung der B-Splines k = 6, die Elektronenanzahl N = 2, die Kernladungs-zahl Z = 2, der maximale Integrationsradius in z -Richtung zmax = 4 sowie dieMagnetfeldstarke β = B/B0 = 212.765957 (entspricht B = 108 T).

� Es folgt in Zeile 2 bis 27 die Knotensequenz inklusive der mehrfachen Knotenim Intervall [0 . . . 4]. Der Bereich fur z < 0 ergibt sich durch Ausnutzung derParitatseigenschaften:

Pi(z ) = (−1)νPi(z ). (3.36)

� Die Zeile 28 deklariert das erste Elektron mit den Quantenzahlen m = 0 undν = 0.

� Die Zeilen 29 bis 48 beinhaltet die dem ersten Elektron zugehorigen Entwick-lungskoeffizienten (vgl. Gleichung (3.35)) der B-Spline-Interpolation der Dimensionn − 1 + k = 20. Dieser Block wiederholt sich fur jedes Elektron, hier ab Zeile 49fur das zweite Elektron mit den Quantenzahlen −m = 1 und ν = 0.

Listing 3.1: Beispiel der Koeffizienten-Datei fur Z = 2 und B = 108 T.

1 15 6 2 2 4 . 212.7659572 0 .3 0 .4 0 .

40

3.3. Eingabedaten

5 0 .6 0 .7 0 .8 0.01777777789 0.0711111111

10 0 .1611 0.28444444412 0.44444444413 0 .6414 0.87111111115 1.1377777816 1 .4417 1.7777777818 2.1511111119 2 .5620 3.0044444421 3.4844444422 4 .23 4 .24 4 .25 4 .26 4 .27 4 .28 0 029 1.6873709530 1.6873652631 1.6797699732 1.6035405433 1.3547633534 0.9504748935 0.5469113136 0.26146487237 0.10439721438 0.034839795439 0.0096980810340 0.0022595535141 0.00043673248642 7.25309607E−0543 8.79533699E−0644 1.87133881E−0645 −1.64349841E−0746 3.66598372E−0747 3.02326311E−0848 8.88517541E−08

41


49 1 050 1.4216918251 1.4216877152 1.419222753 1.3908400654 1.2674028155 1.014353556 0.70508130357 0.42815814858 0.22736885559 0.10535858360 0.042644297361 0.015058737862 0.0046586118663 0.0012547458864 0.00029984658565 5.99660718E−0566 2.43724022E−0567 1.13635641E−0568 9.32289165E−0669 9.20167635E−06

Die Abbildung 3.4 zeigt die zu dieser Koeffizienten-Datei gehorigen Einteilchenwellen-funktionen (z -Komponente) der beiden Elektronen.

3.3.2. Beispiel: Eisen (Z = 26)

Die Besetzung der Energieniveaus erfolgt in der Reihenfolge, daß zuerst die”Tightly-

Bound“-Zustande besetzt werden. Die tiefliegenden Tightly-Bound-Zustande sind Zu-stande mit der Quantenzahl ν = 0. Die Energie dieser Zustande wachst mit abnehmendermagnetischer Quantenzahl m. Gesucht werden muß dann die magnetische Quantenzahlm, bei der der zugehorige tightly-Grundzustand energetisch hoher liegt als ein angereg-ter ν = 1 Zustand mit m = 0. Es werden dann Niveaus mit ν = 1 und m = 0, m = −1usw. besetzt (siehe Abbildung 3.5). Prinzipiell konnen die Quantenzahlen durch Varia-tion (m, ν) bestimmt werden. Das Minimum in der Energie weist auf die richtige Wahlhin. Die Abbildungen 3.6 und 3.7 zeigen fur das Eisen-Atom die Einteilchenwellenfunk-tionen, so wie sie aus dem Hartree-Fock-Verfahren mit der Finite-Elemente-Methodeund B-Spline-Interpolation in adiabtischer Naherung ermittelt wurden. Das erste Bild(Abbildung 3.6) enthalt die Einteilchenwellenfunktionen fur die 21 verschiedenen m-Zustande (m = [0 . . . -20]) mit ν = 0 (Tightly-Bound-Zustande), wahrend das zweiteBild (Abbildung 3.7) die funf m-Zustande (m = [0 . . . -4]) mit ν = 1 zeigt.

42

3.3. Eingabedaten

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Pi(z

)

z

m=0, ν=0

m=−1, ν=0

Abb. 3.4.: z -Komponente der Einteilchenwellenfunktionen des Grundzustandes von He-lium (Z = 2) bei einer Magnetfeldstarke von (B = 108 T) in adiabatischerNaherung.

43


Abb. 3.5.: Die Lage der Energieniveaus mit positiver z -Paritat links ohne Magnetfeld,rechts im starkem Magnetfeld. Pro Hauptquantenzahl n und magnetischerQuantenzahl m ergibt sich ein deutlich abgesenkter Energiezustand (Tightly-Bound-Zustande). Die Anzahl dieser Zustande hangt von der Magnetfeldstar-ke ab (entnommen aus: [28]).

44

3.3. Eingabedaten

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 0.5 1 1.5 2

Pi(z

)

z

m=0, ν=0

m=−20, ν=0

Abb. 3.6.: z -Komponente der 21 Einteilchenwellenfunktionen fur die m-Zustande[m=0. . . -20] mit ν = 0 des Grundzustandes von Eisen (Z = 26) bei einerMagnetfeldstarke von (B = 108 T) in adiabatischer Naherung.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 0.5 1 1.5 2

Pi(z

)

z

m=0, ν=1

m=−4, ν=1

Abb. 3.7.: z -Komponente der funf Einteilchenwellenfunktionen fur die m-Zustande[m=0. . . -4] mit ν = 1 des Grundzustandes von Eisen (Z = 26) bei einerMagnetfeldstarke von (B = 108 T) in adiabatischer Naherung.

45


3.4. Fuhrungswellenfunktion beimDiffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

Zuerst werden die Terme des in Zylinderkoordinaten dargestellten Hamilton-Operatorsaus Gleichung (3.4) neu sortiert:

H = −1

2

N∑i=1

∂2

∂z 2i︸︷︷︸

Tz

+N∑

i=1

H(i)L +

N∑i=1

βσzi︸︷︷︸Es

−N∑

i=1

Z

|~ri |+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |(3.37)

mit dem Landau-Hamilton-Operator

H(i)L = −1

2

(∂2

∂ρ2i

+1

ρi

∂

∂ρi

+1

ρ2i

∂2

∂ϕ2i

)− iβ

∂

∂ϕi

+β2ρ2

i

2. (3.38)

Der Index i steht dabei fur das i -te Elektron. Da sich alle Elektronen im niedrigstenLandau-Niveau (n = 0) befinden, laßt sich der Energieanteil des Spins aller Elektronen(in atomaren Einheiten) leicht angeben:

ES =N∑

i=1

βσzi = −Nβ . (3.39)

Ausgehend von Gleichung (3.9) wird die in adiabatischer Naherung gewonnene Fuh-rungswellenfunktion Ψad

G wie folgt angesetzt:

ΨadG =

1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1(~r1) ψ1(~r2) · · · ψ1(~rN )ψ2(~r1) ψ2(~r2) · · · ψ2(~rN )

......

. . ....

ψN (~r1) ψN (~r2) · · · ψN (~rN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (3.40)

Fur die Einteilchenwellenfunktionen wurde ein Produktansatz aus Orts- und Spinfunk-tion (siehe Gleichung (3.8)) gewahlt, der Anteil der Spinfunktion wurde bereits bei derBerechnung von ES (siehe Gleichung (3.39)) ausgewertet. Die Einteilchenwellenfunktio-nen haben dann fur das niedrigste Landau-Niveau (n = 0) folgende Gestalt:

ψi(~r) = ψν0m(z , ρ, ϕ) = Pνm(z ) · Φ0m(ρ, ϕ) . (3.41)

In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, daß die Pνm(z ) numerisch in Form vonB-Splines als Ergebnis der den Hartree-Fock-Rechnungen in adiabatischer Naherung unddie Φ0m(ρ, ϕ) analytisch vorliegen.

46

3.4. Fuhrungswellenfunktion beim Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

3.4.1. Quantenkraft

Beim Quanten-Monte-Carlo-Verfahren wird zur Berechnung der Quantenkraft

~F =~∇ΨG

ΨG

(3.42)

die erste Ableitung benotigt. Fur das i -te Elektron lautet die z -Komponente der Quan-tenkraft der adiabatischen Fuhrungswellenfunktion:

F adzi

=1

ΨadG

∂

∂zi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1(~r1) ψ1(~ri) · · · ψ1(~rN )ψ2(~r1) ψ2(~ri) · · · ψ2(~rN )

......

. . ....

ψN (~r1) ψN (~ri) · · · ψN (~rN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.43)

=1

ΨadG

∂

∂zi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1(z1)Φ1(ρ1, ϕ1) P1(zi)Φ1(ρi , ϕi) · · · P1(zN )Φ1(ρN , ϕN )P2(z1)Φ2(ρ1, ϕ1) P2(zi)Φ2(ρi , ϕi) · · · P2(zN )Φ2(ρN , ϕN )

......

. . ....

PN (z1)ΦN (ρ1, ϕ1) PN (zi)ΦN (ρi , ϕi) · · · PN (zN )ΦN (ρN , ϕN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

ΨadG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1(z1)Φ1(ρ1, ϕ1)

∂∂zi

P1(zi)Φ1(ρi , ϕi) · · · P1(zN )Φ1(ρN , ϕN )

P2(z1)Φ2(ρ1, ϕ1)∂

∂ziP2(zi)Φ2(ρi , ϕi) · · · P2(zN )Φ2(ρN , ϕN )

......

. . ....

PN (z1)ΦN (ρ1, ϕ1)∂

∂ziPN (zi)ΦN (ρi , ϕi) · · · PN (zN )ΦN (ρN , ϕN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .(3.44)

Die Simulation findet in kartesischen Koordinaten statt. Fur die Quantenkraft in x - undy-Richtung ist der Zusammenhang der Koordinaten

ρ =√

x 2 + y2 (3.45)

ρe−iϕ = x − iy (3.46)

zu beachten. Die Koordinatentransformation der Landau-Zustande von (ρ, ϕ) nach (x , y)ergibt:

Φ0m(x , y) = N (x − iy)|m|e−β2(x2+y2) . (3.47)

Wie bereits angemerkt treten fur n = 0 nur negative Werte der Bahndrehimpulskom-ponente auf. Die Normierungskonstante N ist in Gleichung (3.13) definiert. Weil sowohl

die Quantenkraft ~F als auch die lokale Energie EL auf die Fuhrungswellenfunktion ΨG

normiert sind, spielt die Normierung der Fuhrungswellenfunktion ΨG selbst keine Rolle.Die Komponenten der Quantenkraft fur das i -te Elektron in x - bzw. y-Richtung ergeben

47


sich aus der Ableitung der i -ten Spalte der Slater-Determinaten:

F adxi

=1

ΨadG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1(z1)Φ1(x1, y1) P1(zi)

∂∂xi

Φ1(xi , yi) · · · P1(zN )Φ1(xN , yN )

P2(z1)Φ2(x1, y1) P2(zi)∂

∂xiΦ2(xi , yi) · · · P2(zN )Φ2(xN , yN )

......

. . ....

PN (z1)ΦN (x1, y1) PN (zi)∂

∂xiΦN (xi , yi) · · · PN (zN )ΦN (xN , yN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.48)

bzw.

F adyi

=1

ΨadG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1(z1)Φ1(x1, y1) P1(zi)

∂∂yi

Φ1(xi , yi) · · · P1(zN )Φ1(xN , yN )

P2(z1)Φ2(x1, y1) P2(zi)∂

∂yiΦ2(xi , yi) · · · P2(zN )Φ2(xN , yN )

......

. . ....

PN (z1)ΦN (x1, y1) PN (zi)∂

∂yiΦN (xi , yi) · · · PN (zN )ΦN (xN , yN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (3.49)

Die Φi ’s bezeichnen Landau-Zustande. Die Ableitungen im einzelnen sind:

∂

∂xi

Φ(xi , yi) =

(|m|

xi − iyi

− βxi

)Φ(xi , yi) (3.50)

∂

∂yi

Φ(xi , yi) =

(|m|

yi + ixi

− βyi

)Φ(xi , yi) . (3.51)

3.4.2. Lokale Energie

Die lokale Energie ist definiert als

EL =HΨG

ΨG

. (3.52)

Es gilt die folgende Eigenwertgleichung fur die Landau-Zustande1

HLΦnm(ρ, ϕ) = β(2n + m + |m|+ 1)Φnm(ρ, ϕ) (3.53)

HLΦ0m(ρ, ϕ) = β(m + |m|+ 1)Φ0m(ρ, ϕ) . (3.54)

Diese Gleichung laßt sich noch weiter vereinfachen: Unter der Annahme der negativenWerte des Bahndrehimpulses m, ergibt sich fur das niedrigste Landau-Niveau:

HLΦ0m = βΦ0m . (3.55)

Wird die Summe uber alle N -Elektronen gebildet,

N∑i=1

HLΦ0m =N∑

i=1

βΦ0m (3.56)

= Nβ︸︷︷︸−ES

Φ0m , (3.57)

1Eine ausfuhrliche Darstellung der Landau-Zustande in starken Magnetfeldern, wie sie bei astrophysi-kalischen Rechnungen benotigt werden, befindet sich in [2].

48

3.5. Jastrow-Faktor

so heben sich gerade die Terme des Landau-Hamilton-Operators und die Energie ES, dievon den parallelen Spins (antiparallel zum außeren Magnetfeld) herruhrt, gegenseitigauf. Der Hamilton-Operator vereinfacht sich daher zu:

H = Tz −N∑

i=1

Z

|~ri |+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |, (3.58)

und die lokale Energie der adiabatischen Fuhrungswellenfunktion ist gegeben durch

E adL =

TzΨadG

ΨadG

−N∑

i=1

Z

|~ri |+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |. (3.59)

Der kinetische Anteil der z -Richtung laßt sich mit der Slater-Determinante schreiben als

TzΨadG = −1

2

N∑i=1

∂2

∂z 2i

ΨadG (3.60)

= −1

2

N∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1(z1)Φ1(ρ1, ϕ1)

∂2

∂z2iP1(zi)Φ1(ρi , ϕi) · · · P1(zN )Φ1(ρN , ϕN )

P2(z1)Φ2(ρ1, ϕ1)∂2

∂z2iP2(zi)Φ2(ρi , ϕi) · · · P2(zN )Φ2(ρN , ϕN )

......

. . ....

PN (z1)ΦN (ρ1, ϕ1)∂2

∂z2iPN (zi)ΦN (ρi , ϕi) · · · PN (zN )ΦN (ρN , ϕN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Die Berechnung der lokalen Energie in adiabatischer Naherung E adL reduziert sich mit

Hilfe der B-Spline-Interpolation auf die Berechnung obiger Slater-Determinanten der Di-mension N ×N und der potentiellen Energie der Elektron-Kern- und Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Insgesamt sind fur jedes Elektron bei jedem Schritt des Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrens pro Walker eine und beim Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren wegen der Quantenkraft drei weitere N×N -Determinaten zu berechnen.Dies ist trotz der heutigen schnellen Rechner auf Grund der Vielzahl der Schritte einezeitaufwendige Angelegenheit. Ein Vergleich der Rechenzeiten fur verschiedene Atomemit Kernladungszahl Z wird in Abschnitt 5.3 gegeben.

3.5. Jastrow-Faktor

Bei der aus Einteilchenwellenfunktionen der Hartree-Fock-Gleichungen in adiabatischerNaherung aufgebauten Fuhrungswellenfunktion besteht die Moglichkeit, daß sich zumeinen die Elektronen gegenseitig und zum anderen die Elektronen dem Kern beliebignahe kommen konnen. Dies liegt daran, weil die Korrelationen beim Aufbau der Fuh-rungswellenfunktion bis jetzt unberucksichtigt sind. Der Jastrow-Faktor fuhrt nun genaudiese Korrelationsterme ein. Er hat die Form

ΨJF = e−u (3.61)

49


und wird mit der in adiabatischer Naherung ermittelten Fuhrungswellenfunktion ΨadG

multipliziert. Es resultiert ein neuer Ansatz fur die Fuhrungswellenfunktion:

ΨG = ΨJFΨadG = e−uΨad

G . (3.62)

Die potentielle Energie weist an den Atomkernen eine Singularitat auf, also wenn derElektron-Kern-Abstand ri gegen Null geht. Ebenso liegt eine Singularitat vor, wennder Elektron-Elektron-Abstand rij gegen Null geht. Der Jastrow-Faktor sollte also sogestaltet sein, daß er die Abstande in der Art enthalt, daß der Faktor gerade bei sehrkleinen Abstanden einen Beitrag leistet, so daß die Wellenfunktion nicht verschwindet(Coulomb-Abstoßung). Andererseits sollte der Faktor in eine Konstante ubergehen furentsprechend großere Abstande r . Fur den Elekron-Elektron-Abstand wird fur Atomein der Literatur folgender Ansatz fur die Pade-Jastrow-Funktion uEE gewahlt [33]:

uEE =aJF

EErij

1 + bJFEErij

, mit rij = |~ri − ~rj | . (3.63)

Aus der Tatsache, daß bei den hier sehr starken Magnetfeldern alle Spins antiparallelzum Magnetfeld ausgerichtet sind, ergibt die Cusp-Bedingung [13]

∂uEE

∂rij

∣∣∣∣rij =0

= −1

4, (3.64)

so daß der Parameter aJFEE zu

aJFEE = −1

4(3.65)

bestimmt werden kann, wahrend der Parameter bJFEE ein freier Parameter der Dimension

einer inversen Lange ist. Ein analoger Ansatz fur den Elektron-Kern-Abstand [33] istgegeben durch:

uEK =aJF

EKri

1 + bJFEKri

, mit ri = |~ri | . (3.66)

Die Cusp-Bedingung [13] liefert hier

∂uEK

∂rij

∣∣∣∣rij =0

= +Z , (3.67)

so daß der Parameter aJFEK gerade der Kernladungszahl Z entspricht

aJFEK = +Z . (3.68)

Der Parameter bJFEK bleibt wiederum ein freier Parameter, wobei bJF = bJF

EE = bJFEK gewahlt

wurde. Durch den Vergleich des diamagnetischen Energieanteils (siehe Gleichung (3.38))und der Energie des niedrigsten Landau-Niveaus (siehe Gleichung (3.55))

1

2β2ρ2 = β ⇒ ρ =

√2

β, (3.69)

50

3.5. Jastrow-Faktor

laßt sich fur den Parameter bJF eine Abschatzung

bJF '1

ρ=

√β

2(3.70)

ableiten. Beim VQMC-Verfahren ist mit einer Abhangigkeit der Grundzustandsenergievom Parameter bJF zu rechnen, was zu einer Energieabsenkung hin zur eigentlichenGrundzustandsenergie fuhren kann. Hingegen sollte beim DQMC-Verfahren keine Ab-hangigkeit bestehen. Jedoch fuhrt der Jastrow-Faktor in diesem Fall zu einer Verrin-gerung der Varianz der lokalen Energie und damit zu einer Effizenzsteigerung des Ver-fahrens. Der Jastrow-Faktor fur eine Elektron-Elektron-Wechselwirkung und fur eineElektron-Kernwechselwirkung ist fur verschiedene bJF-Parameter in Abbildung 3.8 dar-gestellt. Deutlich erkennbar ist die Konstanz bei großen Abstanden. Die Jastrow-Terme

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10

ΨJF

r

Elektron−Elektron

Elektron−Kern (Z=2)

bJF=1

bJF=1

bJF=2

bJF=2

bJF=20

Abb. 3.8.: Der Jastrow-Faktor im oberen Teilbild fur die Wechselwirkung eines Elektron-Elektron-Paars und im unteren Teilbild fur die Wechselwirkung eines Elek-trons mit dem Kern (exemplarisch fur Z = 2). Die Werte fur den Parametersind bJF = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20.

fur ein Vielelektronensystem mit N Elektronen sind damit gegeben durch

u = −1

4

N∑i ,j=1i<j

rij

1 + bJFrij

+ ZN∑

i=1

ri

(1 + bJFri). (3.71)

51


Unter Ausnutzung der Produktregel der Differentiation laßt sich die Quantenkraft desi -ten Elektrons berechnen zu:

~Fi =~∇iΨG

ΨG

=~∇iΨ

adG

ΨadG︸︷︷︸

~Fadi

+~∇iΨ

JF

ΨJF︸︷︷︸~FJFi

= ~F adi + ~F JF

i

= ~F adi +

1

4

N∑j=1j 6=i

~ri − ~rj

rij (1 + bJFrij )2− Z

~ri

ri(1 + bJFri)2

= ~F adi +

1

4

N∑j=0j 6=i

[c(j )

~ri − ~rj

rij (1 + bJFrij )2

], (3.72)

wobei die Koeffizienten c(j ) wie folgt definiert sind

c(j ) =

{−4Z j = 0

1 j 6= 0(3.73)

und ~r0 = ~0 dem Nullvektor entspricht, d.h. der Atomkern befindet sich im Koordi-natenursprung. Die Veranderung der Quantenkraft durch die Einfuhrung des Jastrow-Faktors ist also gegeben durch:

~F JFi =

1

4

N∑j=0j 6=i

[c(j )

~ri − ~rj

rij (1 + bJFrij )2

]. (3.74)

Fur die lokale Energie ergibt sich:

EL =HΨG

ΨG

=HΨad

G

ΨadG︸︷︷︸

EadL

−1

2

N∑i=1

~∇2i Ψ

JF

ΨJF− iβ

ΨJF

N∑i=1

(xi∂ΨJF

∂yi

− yi∂ΨJF

∂xi

)︸︷︷︸=0, wegen der Symmetrie

−N∑

i=1

~∇iΨ

adG

ΨadG︸︷︷︸

~Fadi

·~∇iΨ

JF

ΨJF︸︷︷︸~FJFi

= E ad

L − 1

2

N∑i=1

N∑j=0j 6=i

N∑k=0k 6=i

(c(j )(~ri − ~rj )

4rij (1 + bJFrij )2· c(k)(~ri − ~rk)

4rik(1 + bJFrik)2

)

−N∑

i=1

N∑j=0j 6=i

c(j )

4rij (1 + bJFrij )3−

N∑i=1

(~F ad

i · ~F JFi

). (3.75)

52

3.5. Jastrow-Faktor

Eine weitere Moglichkeit der Gestaltung des Jastrow-Faktors besteht in der Berucksich-tigung von Drei-Teilchen-Termen, den Elektron-Elektron-Kern-Termen uEEK. Hinweisezur Umsetzung dazu befinden sich in den Arbeiten [29, 19, 16], wobei nicht ubersehenwerden darf, daß die Anzahl der zu berucksichtigenden Terme mit der Elektronenzahlstark zunimmt und sich damit auch negativ auf die Rechenzeit auswirken kann. Die imListing 3.2 angegebene Unterroutine veranschaulicht die Programmumsetzung. Es ist zubeachten, daß dieses Unterprogramm lediglich die zusatzlichen Terme der Quantenkraft~F , der lokalen Energie EL und der Fuhrungswellenfunktion Ψ wegen der Multiplikationder adiabatischen Fuhrungswellenfunktion mit dem Jastrow-Faktor berechnet. Der Pa-rameter bJF des Jastrow-Faktors ist bjf, die Koeffizienten aus Gleichung (3.73) werdenmit der Variablen c bezeichnet. Der Programmaufruf beinhaltet noch die Variable pa

zur Unterscheidung, ob das Unterprogramm innerhalb des Variations- oder Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren aufgerufen wird. Diese ist deshalb wichtig, weil beimVariations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren die Quantenkraft eigentlich nicht benotigtwird, aber bei der lokalen Energie durch die Einfuhrung des Jastrow-Faktors Termeauftreten, die der Quantenkraft entsprechen.

Listing 3.2: Unterprogramm zum Jastrow-Faktor

1 subroutine j a s t row ( r ,F ,E, Psi , b j f , c , pa )2

3 implicit none4

5 integer i , j , k , di , eanz6 parameter (EANZ=26)7 complex*16 E, t8 real *8 F(3 , eanz ) ,FJF(3 , eanz ) , r (3 , eanz ) , Psi , u9 real *8 ra ( eanz , 0 : eanz ) , rd (3 , eanz , 0 : eanz ) , r s

10 real *8 b j f , c ( 0 :EANZ)11 character*1 pa12

13 C * Elektron ( i )−Kern(0)−Abstand , Koord ina t end i f f e r enz14

15 do i =1, eanz16 ra ( i ,0)= dsqrt ( r (1 , i )**2+ r (2 , i )**2+ r (3 , i )**2)17 do di =1,318 rd ( di , i ,0)= r ( di , i )19 enddo20 enddo21

22 C * Elektron ( i )−Elektron ( j )−Abstand , Koord ina t end i f f e r enz23

24 do i =2, eanz25 do j =1, i−126 ra ( j , i )=0.0d0

53


27 do di =1,328 rd ( di , j , i )=r ( di , j )−r ( di , i )29 rd ( di , i , j )=−rd ( di , j , i )30 ra ( j , i )=ra ( j , i )+rd ( di , i , j )**231 enddo32 ra ( j , i )=dsqrt ( ra ( j , i ) )33 ra ( i , j )=ra ( j , i )34 enddo35 enddo36

37 C * Berechnung der Quantenkraft38

39 do i =1, eanz40 do di =1,341 FJF( di , i )=0.0d042 enddo43 enddo44

45 do i =1, eanz46 do j =0, eanz47 do di =1,348 i f ( i . ne . j ) FJF( di , i )=FJF( di , i )+49 + 0.25 d0*c ( j )* rd ( di , i , j )/50 + ( ra ( i , j )* ( 1 . 0 d0+b j f * ra ( i , j ) )**2 )51 enddo52 enddo53 enddo54

55 C * Berechnung der l oka l en Energ ie / s e t z en der Quantenkraft56

57 do i =1, eanz58 do di =1,359 E=E−F( di , i )*FJF( di , i )60 i f ( pa . eq . ’D’ ) then61 F( di , i )=F( di , i )+FJF( di , i )62 else63 F( di , i )=0.0d064 endif65 enddo66 enddo67

68 do i =1, eanz69 do j =0, eanz70 do k=0, eanz

54

3.5. Jastrow-Faktor

71 i f ( k . ne . i . and . j . ne . i ) then72 r s =0.0d073 do di =1,374 r s=r s+rd ( di , i , j )* rd ( di , i , k )75 enddo76 E=E−0.03125d0*c ( j )* c ( k )* r s /( ra ( i , j )*77 + (1 . 0 d0+b j f * ra ( i , j ) )**2*78 + ra ( i , k )* ( 1 . 0 d0+b j f * ra ( i , k ) )**2 )79 endif80 enddo81 i f ( i . ne . j ) then82 E=E−0.25d0*c ( j )/ ( ra ( i , j )* ( 1 . 0 d0+b j f * ra ( i , j ) )**3 )83 endif84 enddo85 enddo86

87 C * Berechnung des Exponenten und des Jastrow−Faktors88

89 u=0.0d090 do i =1, eanz91 do j =1, eanz92 i f ( i . l t . j ) u=u−0.25d0*c ( j )* ra ( i , j ) / ( 1 . 0 d0+b j f * ra ( i , j ) )93 enddo94 u=u−0.25d0*c (0)* ra ( i , 0 ) / ( 1 . 0 d0+b j f * ra ( i , 0 ) )95 enddo96 Psi=Psi *dexp(−u)97

98 end

55


56

4. Parallelisierung

Bei der Parallelisierung wird zumeist ein Rechencluster eingesetzt. Unter einem Rechen-cluster wird die Vernetzung mehrerer Einzelrechner zu einem Gesamtsystem verstanden.Die einzelnen Rechner sind uber die Variable Rang gekennzeichnet. Ein Rechner, meistder mit Rang 0 ubernimmt neben den ublichen Rechenoperationen die Fuhrung bzw. Ko-ordination, d.h. die Verteilung und Zusammenfuhrung der Daten der

”Rechenknechte“.

Dabei kommt diese Struktur gerade den Programmen zu Gute, die uber Teilprogrammeverfugen, die unabhangig voneinander gerechnet werden konnen, so wie dem in Kapi-tel 2 vorgestellten Quanten-Monte-Carlo-Verfahren. Außerdem konnen nun statt z.B.500 Walker auf einem Rechner zu simulieren, genauso gut je 25 Walker auf 20 vernetz-ten Rechnern simuliert werden. Bei der Durchfuhrung der Parallelisierung des DQMC-Verfahrens gibt es einige Punkte zu beachten, auf die im folgenden naher eingegangenwird.

4.1. Anforderungen an die Programmierung

Auf den Plattformen der Cluster sind verschiedende Implementierungen installiert, diedie Kommunikation zwischen den einzelnen Rechnern standardisieren und damit verein-fachen. Die Routinen des MPI Forums (http://www.mpi-forum.org), genauer der MPIStandard (

”Message-Passing Interface Standard“) wurden in dieser Arbeit verwendet.

Alle Routinen beginnen mit MPI_, enthalten den Kommunikator MPI_Comm_World undin Fortran eine Fehlerruckmeldevariable ierror .

4.1.1. Initialisierung

Bei der Initialisierung werden nicht nur samtliche Variablen gesetzt, sondern es mußsichergestellt sein, daß das Programm, welches auf allen Rechnern gleichzeitig ausge-fuhrt wird, zwar das Gleiche, aber nicht dasselbe rechnet. Beim Quanten-Monte-Carlo-Verfahren bedeutet dies, daß der Zufallszahlengenerator fur jeden Rechner unterschied-lich initialisiert werden muß. Dies wird erreicht, indem die Initialisierung des Zufallszah-lengenerators durch die Variable IR den dem Prozessor uber das Batchsystem zugewie-senen Rang enthalt, z.B.

IR = −(1 + Rang). (4.1)

Im nachsten Schritt gilt es die Walker (Nc = 500) zu setzen. Wegen der Singularitat desCoulomb-Potentials ware es ungeschickt den/die Walker in den Koordinatenursprung zu

57

http://www.mpi-forum.org

4. Parallelisierung

setzen. Andererseits ist es schwierig die Walker gemaß der Wahrscheinlichkeitsverteilungder Fuhrungswellenfunktion zu setzen. Die Walker werden deshalb gemaß einer gaußver-teilten Zufallsfunktion1 (gasdev) mit einer geringen Breite mit 0,02 wie im Listing 4.1ersichtlich initialisiert.

Listing 4.1: Setzen der Walker

1 do j , Nc2 do d=1,3*N3 r (d , j )=0.02* gasdev4 enddo5 enddo

Die Walker, d.h. die Koordinaten werden gleichmaßig auf alle Rechner verteilt. Die Zahlder Rechner sei R. Dazu dient die MPI-Funktion

MPI_Scatter(r,Nc/R,walker,r1,Nc/R,walker,0,MPI_Comm_World,ierror).

Anschließend werden die Walker gemaß des Metropolis-Algorithmus bewegt, so daß sicheine Grundverteilung2 ergibt. Damit ist die Initialisierung abgeschlossen.

4.1.2. Hauptprogramm

Das parallelisierte DQMC-Verfahren erfordert auch den Austausch an Informationenzwischen den Prozessoren. Dazu gehort der Energieoffset ET, der am Ende jedes Blockesaktualisiert werden muß. Dies geschieht in zwei Schritten. Zuerst wird eine Summe uberdie Blockenergie EB jedes Rechners

MPI_Reduce(EB,REB,1,MPI_Double_Complex,MPI_Sum,0,MPI_Comm_World,ierror)

und der Walker

MPI_Reduce(jz,rjz,1,MPI_Integer,MPI_Sum,0,MPI_Comm_World,ierror)

gebildet. Die Summe der Blockenergie (REB =∑

R EB) sowie die Summe der Walker(rjz =

∑R jz), die sich wegen der Verzweigungswahrscheinlichkeit geandert haben

konnte, ist nur dem Rechner mit Rang 0 bekannt. Im zweiten Schritt wird die neueTrialenergie

ET →1

2

(ET +

∑R EB∑R jz

)(4.2)

an alle Rechner verteilt

MPI_Bcast(ET,1,MPI_Double_Complex,0,MPI_Comm_World,ierror).

1Bei der praktischen Umsetzung kamen die Routinen ran2 und gasdev aus [24] zum Einsatz.2Alternativ kann auch beim VQMC-Verfahren ein statistikfreier Vorlauf durchgefuhrt werden.

58


Der Aufruf von MPI_Reduce und MPI_Bcast stellt dabei jeweils einen Synchronisations-punkt dar. Auf Grund der Verzweigungswahrscheinlichkeit bleibt die Anzahl der Walkernicht konstant. Damit die einzelnen Rechner gleichmaßig ausgelastet bleiben und es beider notwendigen Synchronisation nicht zu unerwunschten Wartezeiten kommt, werdennach jedem Schritt die Walker so umverteilt, daß sich die Anzahl der Walker pro Rech-ner maximal um einen Walker unterscheidet. Dazu dient das im folgenden Listing 4.2dargestellte Unterprogramm.

Listing 4.2: Umverteilung der Walker

1 subroutine r e d i s t ( jz , r ,F , Psi ,WF,E, Rank , s ize )2

3 IMPLICIT NONE4

5 include ”mpif . h”6

7 INTEGER EANZ,DMAX,JMAX8 include ’parameter . h ’9 PARAMETER (DMAX=3*EANZ,JMAX=2000)

10 INTEGER i , j z , j zv ( 0 : 3 99 )11 DOUBLE PRECISION r (DMAX,JMAX) ,F(DMAX,JMAX) , Psi (JMAX)12 DOUBLE COMPLEX E(JMAX) ,WF(JMAX)13 DOUBLE PRECISION t r a n s f e r (2*DMAX+5)14 INTEGER Rank , size , i e r r o r , status ( MPI Status Size )15 INTEGER imin , imax , i r16

17 ca l l MPI AllGather ( jz , 1 ,MPI INTEGER, j zv ( 0 ) , 1 , MPI Integer ,18 & MPI Comm World , i e r r o r )19 5000 continue20 imin=021 imax=022 do i r =1, size−123 i f ( j zv ( i r ) . l t . j zv ( imin ) ) imin=i r24 i f ( j zv ( i r ) . gt . j zv ( imax ) ) imax=i r25 enddo26 i f ( j zv ( imax)− j zv ( imin ) . l e . 1 ) goto 510027 i f (Rank . eq . imax ) then28 do i =1,DMAX29 t r a n s f e r ( i )=r ( i , j zv ( imax ) )30 t r a n s f e r ( i+dmax)=F( i , j zv ( imax ) )31 enddo32 t r a n s f e r (2*dmax+1)=Psi ( j zv ( imax ) )33 t r a n s f e r (2*dmax+2)=drea l (WF( j zv ( imax ) ) )34 t r a n s f e r (2*dmax+3)=dimag (WF( jzv ( imax ) ) )35 t r a n s f e r (2*dmax+4)=drea l (E( j zv ( imax ) ) )

59

4. Parallelisierung

36 t r a n s f e r (2*dmax+5)=dimag (E( j zv ( imax ) ) )37 ca l l MPI Send ( t r an s f e r , 2*DMAX+5,MPI Double Precis ion ,38 & imin , 42 ,MPI Comm world , i e r r o r )39 e l s e i f (Rank . eq . imin ) then40 ca l l MPI Recv ( t r an s f e r , 2*DMAX+5,MPI Double Precis ion ,41 & imax , 42 ,MPI Comm World , status , i e r r o r )42 do i =1,DMAX43 r ( i , j zv ( imin)+1)= t r a n s f e r ( i )44 F( i , j zv ( imin)+1)= t r a n s f e r ( i+dmax)45 enddo46 Psi ( j zv ( imin)+1)= t r a n s f e r (2*dmax+1)47 WF( jzv ( imin)+1)=dcmplx ( t r a n s f e r (2*dmax+2) ,48 & t r a n s f e r (2*dmax+3))49 E( j zv ( imin )+1) =dcmplx ( t r a n s f e r (2*dmax+4) ,50 & t r a n s f e r (2*dmax+5))51 endif52 j zv ( imin)= jzv ( imin)+153 j zv ( imax)= jzv ( imax)−154 goto 500055 5100 continue56 j z=jzv (Rank)57 END

Die Funktionsweise ist dabei wie folgt: die MPI-Funktion MPI AllGather vereint alleWalker im Vektor jzv. Wenn an einem Prozessor ein relativer Uberhang und an einemder anderen Prozessoren ein relatives Defizit an Walkern besteht, so wird der uberzahligeWalker verschoben. Der Prozessor mit dem Uberhang schaltet dazu in den Sendemodus(MPI Send), der mit dem Defizit in den Empfangsmodus (MPI Recv). Es mussen alleDaten des Walkers verschoben werden. Dazu gehoren alle zur aktuellen Position gespei-cherten Informationen wie die Position selbst (r), die Quantenkraft (F), der Wert derWellenfunktion (Psi), der Gewichtsfaktor (WF) und die lokale Energie (E). Die fur diesenFall von MPI zur Verfugung gestellten sog.

”derived datatypes“ erwiesen sich als nicht

praktikabel, weshalb kunstlich eine entsprechende Gemeinschaftsvariable (transfer) ge-schaffen wurde.

4.1.3. Programmende

Die Statistikdaten werden am Ende des Blockes, also wahrend des Programmablaufsstandig zum Hauptprozeß (Rang 0) geschickt und separat verarbeitet, so daß am Endedes Programms nur noch die Ausgabe der Ergebnisse steht (siehe Listing 4.3). Nach derAngabe der Kernladungszahl, der Elektronenzahl N und der Magnetfeldstarke (β, βZ =β/Z 2), folgen die Anzahl der Konfigurationen (Walker) und die Anzahl der parallelverwendeten Rechner, sowie die gesamte Rechenzeit in Sekunden. Anschließend folgt

60


die Ausgabe fur die unterschiedlichen Simulationsverfahren: das Variations-, das”fixed-

phase“ Diffusions- und das”released-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren.

Jeder dieser Abschnitte enthalt das ∆τ , den Parameter b des Jastrow-Faktors und dieAnzahl der Blocke. In Klammern steht die Anzahl der Blocke, die nicht zur Statistikzahlten. Es folgen die Anzahl der Schritte pro Block. In der Zeile Total steht die Ak-zeptanzwahrscheinlichkeit (akzeptierte Schrittzahl / vorgeschlagene Schrittzahl), auchin Prozent. Bei der Zeitangabe steht der erste Wert fur die imaginare Zeit pro Block,der Wert in Klammern steht fur die verstrichene Zeit wahrend des Statistiklaufs. DieKontrollparameter uberwachen, ob und wie oft die Zahl der Walker vor bzw. beim Sta-tistiklauf unter- bzw. uberschritten wurde. Die Energie ist die komplexe mittlere Block-energie EB (± die Standardabweichung):

σBlockenergie = ±

√√√√1

b

∑b

(E 2B)− 1

b2

(∑b

EB

)2

. (4.3)

Die Standardabweichung der lokalen Energie EL (siehe Abschnitt 5.2) ist durch sigma

gegeben

σlokale Energie = ±

√√√√1

s

∑S

(E 2L)− 1

s2

(∑S

EL

)2

. (4.4)

Der Abschnitt schließt mit der Angabe des Energieoffsets ET und der Rechenzeit inSekunden fur diesen Programmteil.

Listing 4.3: Beispiel der Ergebnisausgabe-Datei fur Z = 10 und B = 108 T.

1

2 Z u s a m m e n f a s s u n g :3 ==============================4

5 Di f f u s i on s−Quanten−Monte−Carlo−Simulat ion6 Modus : mit Branching7 Ansatz der Fuhrungswel lenfunkt ion : Losungen der8 Hartree−Fock−Gleichung in ad i aba t i s ch e r Naherung9 Kernladung : 10

10 Elektronen : 1011 Beta : 212.76595700000012 Beta Z : 2.1276595700000013 Zahl Konf . : 50014

15 *** P a r a l l e l i s i e r u n g ***

16 Rechner : 5017 Rechenze i t : 52162.918

61

4. Parallelisierung

19 *** Var iat ions−QMC ***

20

21 Delta Tau : 0.00010000000000022 JF−Par . b : 14.586499134473623 Blocke : 100 ( 21)24 Sch r i t t e : 20025 −> Total : 6443262 / 10000000 ( 64.43%)26 Ze i t : 0 .0200000000 ( 0 .42000)27 Kontr . Par . : 0 0 (Min 125) 0 0 (Max 2000)28 Energie : −10630.130693958619304 0.94904695544334529 +/− 22.125422848598937 −0.57612086484094630 Sigma (EL) : 1849.096063752580449 −0.07807818306398931 ET : −10630.130693958619304 0.94904695544334532 Rechenze i t : 6071 .233

34 *** f i xed−phase D i f f u s i on s−QMC ***

35

36 Delta Tau : 0.00010000000000037 JF−Par . b : 14.586499134473638 Blocke : 300 ( 101)39 Sch r i t t e : 20040 −> Total : 27708037 / 28315426 ( 97.85%)41 Ze i t : 0 .0200000000 ( 2 .02000)42 Kontr . Par . : 0 0 (Min 125) 0 0 (Max 2000)43 Energie : −10752.669765426260710 1.17141654942141144 +/− 21.108530164158214 0.40359604806869245 Sigma (EL) : 1325.410580758960577 0.11405463337518446 ET : −10753.967578807543759 0.91389531544818447 Rechenze i t : 22644.248

49 *** r e l e a s ed−phase D i f f u s i on s−QMC ***

50

51 Delta Tau : 0.00010000000000052 JF−Par . b : 14.586499134473653 Blocke : 300 ( 101)54 Sch r i t t e : 20055 −> Total : 27574300 / 28178610 ( 97.86%)56 Ze i t : 0 .0200000000 ( 2 .02000)57 Kontr . Par . : 0 0 (Min 125) 0 0 (Max 2000)58 Energie : −10766.385207708972302 −0.50787302270277559 +/− 10.415182710226206 3.67347220547553160 Sigma (EL) : 1240.650212946362899 −10.49392260633895061 ET : −10766.260696258486860 −0.28253736313508162 Rechenze i t : 22808.0

62

4.2. Benutzerhinweise zum cacau-Rechencluster (HLRS)

4.2. Benutzerhinweise zum cacau-Rechencluster (HLRS)

Das in Fortran geschriebene Programm dqmc_par.f wird auf dem cacau-Rechenclusterdes HLRS (siehe Anhang E) in Anlehnung an die sonst ubliche Methodik mittels

mpif90 dqmc_par.f -o dqmc_par

ubersetzt. Da das Programm dqmc_par nicht direkt auf den einzelnen Maschinen gestar-tet werden kann, bedarf es einer Startdatei dqmc_par.mpi, die es in die Warteschlangeeinreiht. Die Verteilung erfolgt dann automatisch. Die Startdatei gliedert sich in zwei Tei-le. Zum einen enthalt sie die notwendigen Parameter fur das StapelverarbeitungssystemPBS (Portable Batch System), so die Knotenzahl (nodes=25), die benotigte Rechenzeit(walltime=00:30:00), die hier systembedingt maximal 12 Stunden betragen darf unddas Schreiben der Bildschirmausgabe (o) und Fehlermeldungen (e) in je eine Datei imHeimatverzeichnis. Zum anderen enthalt sie auch die

”normalen“ Anweisungen zur Pro-

grammausfuhrung, wie die Angabe des Arbeitsverzeichnisses (WORKDIR=$HOME/dqmc/).Durch eine Besonderheit des cacau-Rechenclusters, namlich die von zwei Prozessoren proKnoten, sind die zu verwendenden Knoten zweifach in die Maschinenliste (machines)aufnehmen. Dies wird mittels eines Verdopplungstricks

cat $PBS_NODEFILE $PBS_NODEFILE|sort > machines

erreicht. Letztlich folgt die eigentliche Programmausfuhrung mit mpirun_ssh. Die Op-tion np gibt die Knotenzahl an. Durch den Verdoppelungstrick steht hier, im Gegensatzzur Angabe im PBS-Teil der zweifache Wert! Die Option -hostfile machines teiltdie zu verwendenden Knoten dem System mit. Es folgt ein Beispiel fur eine Startdateidqmc_par.mpi (siehe Listing 4.4):

Listing 4.4: Startdatei zur Benutzung auf dem cacau-Rechencluster (HLRS)

1 # ! / b i n / s h

2 #3 #PBS − l nodes=254 #PBS − l wa l l t ime =00:30:005 #PBS −k eo6

7 WORKDIR=$HOME/dqmc/8 cd $WORKDIR9 cat $PBS NODEFILE $PBS NODEFILE | s o r t > machines

10 mpirun ssh −np 50 −h o s t f i l e machines $WORKDIR/dqmc par

Die Startdatei wird mittels qsub dem Stapelverarbeitungssystem ubergeben:

qsub dqmc_par.mpi

63

4. Parallelisierung

Mit den Befehlen qstat oder showq kann der Programmausfuhrungsstatus abgefragtwerden. Die Ausgabe erfolgt in die Datei dqmc_par.mpi.o##### und etwaige Status-informationen und Fehlermeldungen in dqmc_par.mpi.e##### (##### = Prozessnum-mer).

64

5. Ergebnisse

5.1. Das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren imVergleich zu anderen Verfahren

Die mit dem Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren gewonnen Ergebnisse, wurdenin Form von Tabellen und Diagrammen aufgearbeitet. Bei konstanter Magnetfeldstarkewurde fur ansteigende Kernladungszahl Z die Grundzustandsenergie E0 ermittelt.Es gilt die folgende Zuordnung der Tabellen und Abbildungen in Abhangigkeit der Ma-gnetfeldstarke B :

� B = 107 T: Tabelle 5.1 (Seite 68), Abbildungen 5.1 bis 5.9 (Seite 71 bis 75)

� B = 5 · 107 T: Tabelle 5.2 (Seite 68), Abbildungen 5.10 bis 5.22 (Seite 75 bis 81)

� B = 108 T: Tabelle 5.3 (Seite 69), Abbildungen 5.23 bis 5.47 (Seite 82 bis 94)

� B = 5 · 108 T: Tabelle 5.4 (Seite 70), Abbildungen 5.48 bis 5.72 (Seite 94 bis 106)

Der besseren Ubersichtlichkeit wegen enthalt die jeweils letzte Spalte der Tabellen diezugehorige Abbildungsnummer. In den Tabellen wie auch den Abbildungen wurden Ver-gleichswerte aus der Literatur eingearbeitet, die mit den folgenden Verfahren berechnetwurden:

� Hartree-Fock in adiabatischer Naherung mit der Finiten-Elemente-Methode undB-Spline-Interpolation (HFFEM [14])

� 2-Dimensonales Hartree-Fock (2DHF [8])

� Multi-Configurational-Perturbative-Hybrid Hartree-Hartree-Fock (MCPH3 [21])

� Dichte-Funktional-Rechnungen (DF [11]).

Die Abbildungen 5.1 bis 5.72 zeigen jeweils den Verlauf des Energieoffsets ET, der Block-energie EB und den Mittelwert der Blockenergie 〈EB〉 aufgetragen uber dem Block. DieVariable Block wurde allein fur die Darstellung der folgenden Abbildungen durchnume-riert, obgleich jede Teilsimulation intern mit b = 1 beginnt und mit b = bmax endet. DieAbbildungen sind deshalb in drei Bereiche, markiert durch eine vertikal durchgezogenenLinie, aufgeteilt. Diese Linie steht an der Stelle des letzten Blocks der vorangegangen

65

5. Ergebnisse

Teilsimulation. Diese drei Teilbereiche sind wiederum in zwei Abschnitte getrennt, ge-kennzeichnet durch eine vertikal gestrichelte Linie, die den letzen Block zeigt, der inner-halb der Teilsimulation nicht zur Statistik beitrug (b = bs−1), sondern fur das Erreichendes dynamischen Gleichgewichts reserviert ist. Die ersten 100 Blocke beziehen sich aufdas Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (VQMC), die Blocke 101 bis 400 bezie-hen sich auf das

”fixed-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (FPDQMC)

und die Blocke 401 bis 700 geben den Energieverlauf fur das”released-phase“ Diffusions-

Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (RPDQMC) wieder. Jeder Block besteht selbst aus200 Schritten. Die HFFEM-Rechnungen liefern als Ergebnis neben der Grundzustands-energie die adiabatische Fuhrungswellenfunktion Ψad

G , welche nach der Multiplikationmit dem Jastrow-Faktor als Eingabe in das DQMC-Verfahren einfloß. Fur den noch frei-en Parameter bJF des Jastrow-Faktors wurde in Ubereinstimmung mit der Abschatzunggemaß Gleichung (3.70) und der Abbildung 5.76 aus dem Abschnitt 5.2.2

bJF =√β =

√B

B0

(5.1)

gewahlt. Damit ist sichergestellt, daß der Energiewert der Variationsrechnung nicht inden kritischen Bereich fur einen zu kleinen Wert fur bJF fallt; ganz im Gegenteil, durchdiese Wahl ist das Minimum in der VQMC-Energie erreichbar. Ohne den Jastrow-Faktorware das Ergebnis des VQMC-Verfahrens innerhalb des statistischen Fehlers identischmit den HFFEM-Werten. Bei den anderen Verfahren (2DHF, MCPH3, DF) sind dieErgebnisse mit den DQMC-Werten zu vergleichen. Beim 2DHF-Verfahren liegen Ver-gleichswerte jeweils bis Z = 10 vor. Das MCPH3-Verfahren liefert Vergleichswerte furB = 107 T bis Z = 6, B = 5 · 107 T bis Z = 14, B = 108 T bis Z = 20 und B = 5 · 108 Tbis Z = 26. Daruber hinaus beinhaltet die betreffende Publikation [21] auch Werte furandere Kernladungszahlen, die nicht mit einem

”Multikonfigurations“-Ansatz berechnet

wurden. Diese Werte sind hier nicht eingetragen. Beim DF-Verfahren liegen nur ex-emplarische Werte fur die hier betrachteten Magnetfeldstarken B vor. Sofern ein Werteines Vergleichsverfahren vorliegt, wird dieser in der jeweiligen Abbildung als durchge-zogene Linie dargestellt. Der in den Bildunterschriften angegebene Energiewert ist derRPDQMC-Energiewert, der Fehler ergibt sich aus der Schwankung der Blockenergie EB

gemaß Gleichung (4.3).

Ohne auf jede Abbildung im Einzelnen einzugehen, sei folgendes angemerkt:

� Insgesamt sind die Fluktuationen relativ gering. Die mittlere Blockenergie EB,die zu Beginn jeder Teilsimulation (vertikal durchgezogenen Linie) neu initialisiertwird, pendelt zugig auf den Energieendwert ein, d.h. sie ist nahezu konstant.

� Im Bereich des Variationsverfahrens konnte eine große Energieabsenkung durchHinzunahme des Jastrow-Faktors erreicht werden, gegenuber der sonst reinen Ver-wendung der adiabatischen Fuhrungswellenfunktion Ψad

G . Damit konnten bereitsdie Energiewerte des HFFEM-Verfahrens [14] verbessert werden.

66

5.1. Das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren im Vergleich zu anderen Verfahren

� Bereits die”fixed-phase“-Energiewerte liegen alle knapp unter den Werten, die mit

dem 2DHF-Verfahren [8] berechnet wurden. Die”released-phase“-Energiewerte lie-

gen zumeist noch um ca. 0.1% niedriger. Bei kleiner Kernladungszahl Z ist Unter-schied nicht sehr groß, so daß hier u.U. die Statistik dominiert. Die relativ kleineDifferenz zwischen dem RPDQMC- und dem FPDQMC-Energiewert laßt daraufschließen, daß die Phase der adiabatischen Fuhrungswellenfunktion bereits sehrgut mit der Grundzustandswellenfunktion ubereinstimmt (der Jastrow-Faktor istreell und tragt nicht zur Phase bei).

� Der Vergleich zum MCPH3-Verfahren [21] zeigt, daß bei kleiner Kernladungszahl Zdie hier ermittelten Energiewerte meist tiefer und erst bei großerer Kernladungszahlhoher liegen.

� Beim DF-Verfahren [11] liegt am ehesten noch eine Ubereinstimmung großerenKernladungszahlen vor. Eine Einschrankung bei diesem Verfahren ist, daß fur dieAustauschwechselwirkung ein Ansatz gewahlt werden muß und es sich daher umein Verfahren handelt, welches prinzipiell keine untere Energiegrenze liefern muß.

Die jeweilige Zahl in eckigen Klammern bei den Verfahren HFFEM und MCPH3 gibtan, wieviele Elektronen sich im Zustand mit der Quantenzahl ν = 1 befinden. DasDiffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren laßt hier keine Aussage uber die Konfigura-tion nach der Simulation zu, so daß in den Tabellen hierzu auch keine Angaben gemachtwerden. Dieser Information kann allerdings die Ausgangskonfiguration der Elektronenfur die Simulation entnommen werden. Als Beispiel sei aus der Tabelle 5.1 fur Z = 8 dieElektronenkonfiguration angegeben:

(−m ν)Z=8 = {(0 0), (1 0), (2 0), (3 0), (4 0), (5 0), (6 0), (0 1)}. (5.2)

Beim Diffusion-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren spielt die Elektronenkonfiguration unddamit der Aufbau der Fuhrungswellenfunktion insofern eine Rolle, als sichergestellt seinmuß, daß die Grundzustandswellenfunktion in der Entwicklung (siehe Gleichung (2.34))enthalten ist. Die Simulation liefert sonst einen angeregten Energiezustand, der Grund-zustand innerhalb eines Symmetrieunterraums ist.

67

5. Ergebnisse

Z RPDQMC FPDQMC VQMC HFFEM 2DHF MCPH3 Abb.

2 -0.2649 -0.2649 -0.2617 -0.2556 -0.26387 -0.2613 5.13 -0.5421 -0.5422 -0.5329 -0.5167 -0.54042 -0.5337 5.24 -0.9029 -0.9020 -0.8845 -0.8474 -0.89833 -0.8897 5.35 -1.338 -1.338 -1.305 -1.239 -1.33229 -1.327 5.46 -1.847 -1.849 -1.792 -1.687 -1.83895 -1.854 5.57 -2.432 -2.429 -2.349 -2.184 -2.41607 5.68 -3.100 -3.093 -2.980 -2.752[1] -3.08253[1] 5.79 -3.846 -3.841 -3.686 -3.373[1] -3.82966[1] 5.810 -4.675 -4.668 -4.455 -4.041[1] -4.65087[1] 5.9

Tab. 5.1.: Grundzustandsenergie in keV der Elemente mit Kernladungszahlen Z=2. . . 10(B = 107 T). Die Zahl in eckigen Klammern gibt an, wieviele Elektronen sichin den Orbitalen mit der Quantenzahl ν = 1 statt ν = 0 befinden. Simulati-onsparameter: 500 Walker, ∆τ = 10−4 a.u.

Z RPDQMC FPDQMC VQMC HFFEM 2DHF MCPH3 Abb.

2 -0.4626 -0.4629 -0.4592 -0.4551 -0.46063 -0.4567 5.103 -0.9661 -0.9653 -0.9575 -0.9459 -0.96180 -0.9526 5.114 -1.622 -1.621 -1.606 -1.582 -1.61624 -1.600 5.125 -2.421 -2.418 -2.393 -2.349 -2.41101 -2.390 5.136 -3.349 -3.345 -3.306 -3.236 -3.33639 -3.308 5.147 -4.402 -4.398 -4.344 -4.234 -4.38483 -4.353 5.158 -5.573 -5.564 -5.491 -5.336 -5.55032 -5.517 5.169 -6.857 -6.849 -6.749 -6.535 -6.82794 -6.803 5.1710 -8.250 -8.242 -8.100 -7.826 -8.21365 -8.198 5.1811 -9.752 -9.740 -9.572 -9.205 -9.718 5.1912 -11.400 -11.392 -11.116 -10.729 [1] -11.410 [1] 5.2013 -13.163 -13.148 -12.877 -12.331 [1] -13.251 [1] 5.2114 -15.031 -15.013 -14.672 -14.020 [2] -15.246 [2] 5.22

Tab. 5.2.: Grundzustandsenergie in keV der Elemente mit Kernladungszahlen Z=2. . . 14(B = 5 · 107 T). Die Zahl in eckigen Klammern gibt an, wieviele Elektro-nen sich in den Orbitalen mit der Quantenzahl ν = 1 statt ν = 0 befinden.Simulationsparameter: 500 Walker, ∆τ = 10−4 a.u.

68


ZR

PD

QM

CFP

DQ

MC

VQ

MC

HFFE

M2D

HF

MC

PH

3D

FA

bb.

2-0

.582

7-0

.582

7-0

.579

1-0

.575

4-0

.579

99-0

.576

65.

233

-1.2

30-1

.229

-1.2

20-1

.211

-1.2

2443

-1.2

145.

244

-2.0

81-2

.080

-2.0

65-2

.044

-2.0

7309

-2.0

565.

255

-3.1

22-3

.119

-3.0

95-3

.057

-3.1

0924

-3.0

855.

266

-4.3

38-4

.331

-4.2

94-4

.236

-4.3

1991

-4.2

885.

277

-5.7

16-5

.712

-5.6

60-5

.568

-5.6

9465

-5.6

575.

288

-7.2

52-7

.246

-7.1

73-7

.045

-7.2

2492

-7.1

765.

299

-8.9

38-8

.930

-8.8

34-8

.658

-8.9

0360

-8.8

455.

3010

-10.

766

-10.

753

-10.

630

-10.

400

-10.

7245

2-1

0.66

4-1

0.70

5.31

11-1

2.72

5-1

2.71

6-1

2.56

9-1

2.26

6-1

2.62

55.

3212

-14.

827

-14.

817

-14.

618

-14.

249

-14.

745

5.33

13-1

7.06

1-1

7.04

3-1

6.81

3-1

6.35

2[1

]-1

6.97

3[1

]5.

3414

-19.

480

-19.

461

-19.

185

-18.

619

[1]

-19.

408

[1]

-19.

095.

3515

-22.

022

-22.

009

-21.

665

-21.

002

[1]

-21.

987

[1]

5.36

16-2

4.70

0-2

4.66

8-2

4.27

5-2

3.48

2[2

]-2

4.71

8[2

]5.

3717

-27.

541

-27.

523

-27.

044

-26.

130

[2]

-27.

618

[2]

5.38

18-3

0.52

9-3

0.50

9-2

9.95

0-2

8.89

0[2

]-3

0.76

6[2

]5.

3919

-33.

650

-33.

605

-32.

999

-31.

756

[2]

-34.

036

[2]

5.40

20-3

6.89

1-3

6.88

1-3

6.14

5-3

4.75

0[3

]-3

7.50

0[3

]-3

5.48

5.41

21-4

0.29

6-4

0.27

4-3

9.45

8-3

7.86

5[3

]5.

4222

-43.

867

-43.

821

-42.

900

-41.

083

[3]

5.43

23-4

7.52

6-4

7.49

0-4

6.45

8-4

4.42

6[4

]5.

4424

-51.

360

-51.

271

-50.

102

-47.

877

[4]

5.45

25-5

5.27

9-5

5.22

4-5

3.91

5-5

1.43

0[5

]5.

4626

-59.

366

-59.

311

-57.

913

-55.

108

[5]

-56.

015.

47

Tab

.5.

3.:G

rundzu

stan

dse

ner

gie

inke

Vder

Ele

men

tem

itK

ernla

dungs

zahle

nZ

=2...2

6(B

=10

8T

).D

ieZah

lin

eckig

enK

lam

mer

ngi

bt

an,

wie

vie

leE

lektr

onen

sich

inden

Orb

ital

enm

itder

Quan

tenza

hlν

=1

stat

tν

=0

befi

nden

.Sim

ula

tion

spar

amet

er:

500

Wal

ker,

∆τ(Z

=2...1

0)=

10−

4a.

u.,

∆τ(Z

=11...1

9)=

5·1

0−5a.

u.,

∆τ(Z

=20...2

6)=

2·1

0−5a.

u.

69

5. Ergebnisse

ZR

PD

QM

CFP

DQ

MC

VQ

MC

HFFE

M2D

HF

MC

PH

3D

FA

bb.

2-0.9664

-0.9672-0.9620

0.9589-0.96191

-0.9574-1.04

5.483

-2.103-2.101

-2.088-2.080

-2.08931-2.078

5.494

-3.630-3.626

-3.607-3.591

-3.61033-3.586

5.505

-5.525-5.524

-5.491-5.465

-5.49950-5.476

5.516

-7.766-7.764

-7.727-7.679

-7.73528-7.695

-8.035.52

7-10.343

-10.336-10.279

-10.214-10.29919

-10.2315.53

8-13.224

-13.221-13.144

-13.055-13.17543

-13.0995.54

9-16.412

-16.407-16.314

-16.185-16.34997

-16.2645.55

10-19.881

-19.873-19.738

-19.594-19.81072

-19.702-20.24

5.5611

-23.635-23.614

-23.489-23.268

-23.4065.57

12-27.655

-27.629-27.446

-27.199-27.436

5.5813

-31.931-31.888

-31.696-31.376

-31.6755.59

14-36.442

-36.421-36.192

-35.793-36.154

-36.765.60

15-41.203

-41.179-40.898

-40.438-40.915

5.6116

-46.214-46.173

-45.852-45.308

-45.8815.62

17-51.445

-51.407-51.030

-50.395-51.067

5.6318

-56.894-56.856

-56.425-55.693

-56.5305.64

19-62.584

-62.532-62.044

-61.196-62.181

5.6520

-68.447-68.414

-67.934-66.901

-68.031-68.37

5.6621

-74.669-74.605

-73.989-72.899

[1]-74.184

[1]5.67

22-81.071

-81.039-80.358

-79.112[1]

-80.602[1]

5.6823

-87.633-87.652

-86.876-85.530

[1]-87.263

[1]5.69

24-94.561

-94.494-93.667

-92.148[1]

-94.259[1]

5.7025

-101.615-101.549

-100.590-98.964

[1]-101.25

[1]5.71

26-109.079

-108.966-107.913

-106.134[2]

-108.64[2]

-108.185.72

Tab

.5.4.:

Gru

ndzu

standsen

ergiein

keVder

Elem

ente

mit

Kern

ladungszah

lenZ

=2...26

(B=

5·10

8T

).D

ieZah

lin

eckigen

Klam

mern

gibt

an,w

ieviele

Elek

tronen

sichin

den

Orb

italenm

itder

Quan

tenzah

lν

=1

stattν

=0

befi

nden

.Sim

ulation

sparam

eter:500

Walker,

∆τ(Z

=2...22)

=10

−5a.u

.,∆τ(Z

=23...26)

=5·10

−6a.u

.

70


Z = 2, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.272

−0.270

−0.268

−0.266

−0.264

−0.262

−0.260

−0.258

−0.256

−0.254

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3

Abb. 5.1.: Grundzustandsenergie am Ende der Simulation E0 = -0.2649± 0.0015 keV.

Z = 3, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.555

−0.550

−0.545

−0.540

−0.535

−0.530

−0.525

−0.520

−0.515

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


71

5. Ergebnisse

Z = 4, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.920

−0.910

−0.900

−0.890

−0.880

−0.870

−0.860

−0.850

−0.840

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 5, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−1.380

−1.360

−1.340

−1.320

−1.300

−1.280

−1.260

−1.240

−1.220

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


72


Z = 6, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−1.880

−1.860

−1.840

−1.820

−1.800

−1.780

−1.760

−1.740

−1.720

−1.700

−1.680

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 7, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−2.500

−2.450

−2.400

−2.350

−2.300

−2.250

−2.200

−2.150

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHF


73

5. Ergebnisse

Z = 8, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−3.200

−3.100

−3.000

−2.900

−2.800

−2.700

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHF


Z = 9, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−4.000

−3.900

−3.800

−3.700

−3.600

−3.500

−3.400

−3.300

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHF


74


Z = 10, B = 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−4.800

−4.700

−4.600

−4.500

−4.400

−4.300

−4.200

−4.100

−4.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHF


Z = 2, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.470

−0.468

−0.466

−0.464

−0.462

−0.460

−0.458

−0.456

−0.454

−0.452

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


75

5. Ergebnisse

Z = 3, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.980

−0.975

−0.970

−0.965

−0.960

−0.955

−0.950

−0.945

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 4, B = 5 · 107 T, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−1.640

−1.630

−1.620

−1.610

−1.600

−1.590

−1.580

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


76


Z = 5, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−2.440

−2.420

−2.400

−2.380

−2.360

−2.340

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 6, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−3.400

−3.380

−3.360

−3.340

−3.320

−3.300

−3.280

−3.260

−3.240

−3.220

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


77

5. Ergebnisse

Z = 7, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−4.450

−4.400

−4.350

−4.300

−4.250

−4.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 8, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−5.650

−5.600

−5.550

−5.500

−5.450

−5.400

−5.350

−5.300

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


78


Z = 9, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−6.950

−6.900

−6.850

−6.800

−6.750

−6.700

−6.650

−6.600

−6.550

−6.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 10, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−8.400

−8.300

−8.200

−8.100

−8.000

−7.900

−7.800

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


79

5. Ergebnisse

Z = 11, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−9.900

−9.800

−9.700

−9.600

−9.500

−9.400

−9.300

−9.200

−9.100

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 12, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−11.600

−11.500

−11.400

−11.300

−11.200

−11.100

−11.000

−10.900

−10.800

−10.700

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


80


Z = 13, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−13.600

−13.400

−13.200

−13.000

−12.800

−12.600

−12.400

−12.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 14, B = 5 · 107 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−15.400

−15.200

−15.000

−14.800

−14.600

−14.400

−14.200

−14.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


81

5. Ergebnisse

Z = 2, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−0.590

−0.585

−0.580

−0.575

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 3, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−1.250

−1.245

−1.240

−1.235

−1.230

−1.225

−1.220

−1.215

−1.210

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


82


Z = 4, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−2.110

−2.100

−2.090

−2.080

−2.070

−2.060

−2.050

−2.040

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 5, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−3.160

−3.140

−3.120

−3.100

−3.080

−3.060

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


83

5. Ergebnisse

Z = 6, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−4.380

−4.360

−4.340

−4.320

−4.300

−4.280

−4.260

−4.240

−4.220

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 7, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−5.750

−5.700

−5.650

−5.600

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


84


Z = 8, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−7.300

−7.250

−7.200

−7.150

−7.100

−7.050

−7.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 9, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−9.050

−9.000

−8.950

−8.900

−8.850

−8.800

−8.750

−8.700

−8.650

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


85

5. Ergebnisse

Z = 10, B = 108 T, ∆τ = 10−4 a.u.

−10.900

−10.800

−10.700

−10.600

−10.500

−10.400

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3

DF


Z = 11, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−12.900

−12.800

−12.700

−12.600

−12.500

−12.400

−12.300

−12.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


86


Z = 12, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−15.000

−14.900

−14.800

−14.700

−14.600

−14.500

−14.400

−14.300

−14.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 13, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−17.200

−17.000

−16.800

−16.600

−16.400

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


87

5. Ergebnisse

Z = 14, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−19.800

−19.600

−19.400

−19.200

−19.000

−18.800

−18.600

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3

DF


Z = 15, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−22.400

−22.200

−22.000

−21.800

−21.600

−21.400

−21.200

−21.000

−20.800

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


88


Z = 16, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−25.000

−24.800

−24.600

−24.400

−24.200

−24.000

−23.800

−23.600

−23.400

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 17, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−27.800

−27.600

−27.400

−27.200

−27.000

−26.800

−26.600

−26.400

−26.200

−26.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


89

5. Ergebnisse

Z = 18, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−30.500

−30.000

−29.500

−29.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 19, B = 108 T, ∆τ = 5 · 10−5 a.u.

−34.500

−34.000

−33.500

−33.000

−32.500

−32.000

−31.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


90


Z = 20, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−37.500

−37.000

−36.500

−36.000

−35.500

−35.000

−34.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3

DF


Z = 21, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−41.000

−40.500

−40.000

−39.500

−39.000

−38.500

−38.000

−37.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ET EB ⟨EB⟩ HFFEM


91

5. Ergebnisse

Z = 22, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−45.000

−44.500

−44.000

−43.500

−43.000

−42.500

−42.000

−41.500

−41.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block



Z = 23, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−52.000

−50.000

−48.000

−46.000

−44.000

−42.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block


Abb. 5.44.: Grundzustandsenergie am Ende der Simulation E0 = -47.526± 0.361 keV .

92


Z = 24, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−6 a.u.

−52.000

−51.500

−51.000

−50.500

−50.000

−49.500

−49.000

−48.500

−48.000

−47.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block



Z = 25, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−56.000

−55.000

−54.000

−53.000

−52.000

−51.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block



93

5. Ergebnisse

Z = 26, B = 108 T, ∆τ = 2 · 10−5 a.u.

−60.000

−59.000

−58.000

−57.000

−56.000

−55.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

DF


Z = 2, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−1.060

−1.040

−1.020

−1.000

−0.980

−0.960

−0.940

−0.920

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3

DF


94


Z = 3, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−2.140

−2.130

−2.120

−2.110

−2.100

−2.090

−2.080

−2.070

−2.060

−2.050

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 4, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−3.660

−3.640

−3.620

−3.600

−3.580

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


95

5. Ergebnisse

Z = 5, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−5.600

−5.580

−5.560

−5.540

−5.520

−5.500

−5.480

−5.460

−5.440

−5.420

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 6, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−8.050

−8.000

−7.950

−7.900

−7.850

−7.800

−7.750

−7.700

−7.650

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3

DF


96


Z = 7, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−10.400

−10.350

−10.300

−10.250

−10.200

−10.150

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 8, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−13.350

−13.300

−13.250

−13.200

−13.150

−13.100

−13.050

−13.000

−12.950

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


97

5. Ergebnisse

Z = 9, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−16.600

−16.500

−16.400

−16.300

−16.200

−16.100

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3


Z = 10, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−20.300

−20.200

−20.100

−20.000

−19.900

−19.800

−19.700

−19.600

−19.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

2DHFMCPH3

DF


98


Z = 11, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−23.800

−23.700

−23.600

−23.500

−23.400

−23.300

−23.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 12, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−27.900

−27.800

−27.700

−27.600

−27.500

−27.400

−27.300

−27.200

−27.100

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


99

5. Ergebnisse

Z = 13, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−32.200

−32.100

−32.000

−31.900

−31.800

−31.700

−31.600

−31.500

−31.400

−31.300

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 14, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−36.800

−36.600

−36.400

−36.200

−36.000

−35.800

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3

DF


100


Z = 15, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−41.400

−41.200

−41.000

−40.800

−40.600

−40.400

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 16, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−46.600

−46.400

−46.200

−46.000

−45.800

−45.600

−45.400

−45.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


101

5. Ergebnisse

Z = 17, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−51.800

−51.600

−51.400

−51.200

−51.000

−50.800

−50.600

−50.400

−50.200

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 18, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−57.200

−57.000

−56.800

−56.600

−56.400

−56.200

−56.000

−55.800

−55.600

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


102


Z = 19, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−63.000

−62.500

−62.000

−61.500

−61.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 20, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−69.000

−68.500

−68.000

−67.500

−67.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3

DF


103

5. Ergebnisse

Z = 21, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−75.500

−75.000

−74.500

−74.000

−73.500

−73.000

−72.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 22, B = 5 · 108 T, ∆τ = 10−5 a.u.

−81.500

−81.000

−80.500

−80.000

−79.500

−79.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


104


Z = 23, B = 5 · 108 T, ∆τ = 5 · 10−6 a.u.

−88.500

−88.000

−87.500

−87.000

−86.500

−86.000

−85.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 24, B = 5 · 108 T, ∆τ = 5 · 10−6 a.u.

−95.500

−95.000

−94.500

−94.000

−93.500

−93.000

−92.500

−92.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


105

5. Ergebnisse

Z = 25, B = 5 · 108 T, ∆τ = 5 · 10−6 a.u.

−102.500

−102.000

−101.500

−101.000

−100.500

−100.000

−99.500

−99.000

−98.500

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3


Z = 26, B = 5 · 108 T, ∆τ = 5 · 10−6 a.u.

−110.000

−109.500

−109.000

−108.500

−108.000

−107.500

−107.000

−106.500

−106.000

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

ETEB

⟨EB⟩HFFEM

MCPH3

DF


106

5.2. Fehlerbetrachtung


5.2.1. Abhangigkeit vom imaginaren Zeitschritt ∆τ

Als Kriterium fur eine”gelungene“ Simulation wird in [35] fur die Akzeptanzwahrschein-

lichkeit mindestens 99.9% angegeben. Bei den hier vorliegenden hohen Magnetfeldstar-ken und den damit verbundenen nadelformigen Atomen kann bei einer in alle Raum-richtungen symmetrischen Simulation nicht generell eine solch hohe Akzeptanzwahr-scheinlich erreicht werden. Die Tabelle 5.5 und die Abbildung 5.73 gibt die Akzeptanz-wahrscheinlichkeiten der einzelnen Simulationen an. Es kann festgestellt werden, daß beikonstantem Zeitabschnitt ∆τ und wachsender Kernladungszahl Z die Akzeptanzwahr-scheinlichkeit A kontinuierlich, fast linear, sinkt. Dennoch ist das in den Simulationenverwendete ∆τ = [10−4 . . . 5 · 10−6] um mehrere Großenordnungen kleiner als sonst inder Literatur [27, 9] ublich, so daß die Kurzzeitnaherung (siehe Abschnitt 2.3.2) weiter-hin gerechtfertigt ist. Die praktische Umsetzung zeigte, daß das ∆τ nicht beliebig kleingewahlt werden darf. Dies liegt daran, daß ∆τ wesentlich in die neue Position eingeht:Zum einen direkt im Produkt mit der Quantenkraft, zum anderen indirekt als Standard-abweichung der Zufallszahlen (vgl. Gleichung (2.70) in Abschnitt 2.3.4). Ein zu kleines∆τ bedeutet eine Verringerung der Dynamik des Systems, die nur durch eine Steigerungder Zahl der Schritte wettgemacht werden kann. Wahrend ∆τ keinen direkten Einflußauf die Rechenzeit hat, ist die Schrittzahl unmittelbar mit der Rechenzeit verknupft.Eine Großenordnung in ∆τ bedeutet eine Verzehnfachung der Schritte bei gleicher fort-geschrittener imaginarer Zeit.Die Abbildungen 5.74 und 5.75 sollen exemplarisch fur alle Berechnungen stehen. Inden Abbildungen wurde im jeweiligen oberen Teilbild die Grundzustandsenergie E0

fur verschiedene ∆τ aufgetragen (linke Skala). Erkennbar ist ein leichter Anstieg derGrundzustandsenergie zu kleinerem ∆τ , wahrend gleichzeitig der statisische Fehler derGrundzustandsenergie, d.h. der Blockenergie zunimmt. Im gleichen Teilbild befindet sichdie Standardabweichung σ der lokalen Energie EL (siehe Gleichung (4.4)), die einenexponentiellen Verlauf zu kleinerem ∆τ aufweist (rechte Skala). Das jeweilige untereTeilbild entspricht dem oberen, wobei die Standardabweichung σ durch die Akzeptanz-wahrscheinlichkeit A ausgetauscht wurde. Großere Werte fur ∆τ waren wegen der dannsehr starken Verzweigungswahrscheinlichkeit und damit der verbundenen Instabilitatennicht moglich. Das Ergebnis dieser beiden Abbildungen ist, daß eine hohe Akzeptanz-wahrscheinlichkeit zu großen Standardabweichungen in der Blockenergie und der lokalenEnergie fuhren. Andererseits fuhren kleine Akzeptanzwahrscheinlichkeiten zu Instabi-litaten. Wenn eine exakte Fuhrungswellenfunktion vorliegen wurde, dann wurde jederWalker an jedem Punkt zu jeder Zeit als lokale Energie EL die GrundzustandsenergieE0 liefern. Die Varianz bzw. die Standardabweichung der lokalen Energie ware dannNull. Es ist also auch das Ziel, die Standardabweichung zu minimieren. Daher muß einKompromiß in Bezug auf die Wahl von ∆τ eingegangen werden. Fur eine gute Dynamikeinerseits und Stabilitat des Algorithmus andererseits wurde deshalb ∆τ so gewahlt,

107

5. Ergebnisse

daß die Akzeptanzwahrscheinlichkeit nicht unter ca. 98% abfiel. Das ∆τ wurde dahersukzessive angepaßt, was auch an den Sprungen der Akzeptanzwahrscheinlichkeit A zuerkennen ist.

5.2.2. Abhangigkeit vom freien Parameter des Jastrow-Faktors bJF

In diesem Abschnitt soll die Abhangigkeit des Parameters bJF des Jastrow-Faktors un-tersucht werden. Weil sich der der Jastrow-Faktor nur beim Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren auf den Absolutwert der gemittelten Blockenergie auswirkt, beschranktsich die Darstellung hier auf diesen Teil des Simulationsverfahrens. Beim Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren wirkt sich der Jastrow-Faktor in einer Verringerungder Varianz aus, die Lage des Energieniveaus ist hiervon unbeeinflußt. Beide Teilbilderder Abbildung 5.76 sind gleich aufgebaut. Beim oberen Teilbild wird fur das Atom mitZ = 2 bei einer Magnetfeldstarke B = 107 T, im unteren Teilbild fur das Atom Z = 10bei einer Magnetfeldstarke B = 108 T die Abhangigkeit der Blockenergie EVQMC vomParameter bJF des Jastrow-Faktors veranschaulicht. Neben der Standardabweichung derBlockenergie wurde auch die Standardabweichung σ der lokalen Energie EL eingetra-gen (rechte Skala). Außerdem wurde der mit dem

”released-phase“-Diffusions-Quanten-

Monte-Carlo-Verfahren ermittelte Wert als horizontale Linie eingezeichnet. Die anderehorizontale Linie entspricht dem Energiewert ohne Jastrow-Faktor, also fur bJF → ∞.Die vertikale Linie stellt den in den vorangegangenen Rechnungen verwendeten Wertdes Parameters bJF =

√β dar. Zum einen zeigen die Graphiken, daß die Abschatzung

fur den minimalen Wert des Parameters bJF =√

β2

(siehe Gleichung (3.70)) sehr gut

ist – kleiner durfte der Parameter keinesfalls gewahlt werden, da sonst sehr schnell derWert der VQMC-Energie ohne Jastrow-Faktor uberschritten wird und die Fehlerbalkenzunehmen. Dies ware dann keine Verbesserung mehr. Zum anderen zeigen die Teilbilderauch, daß der Jastrow-Faktor zu einer erheblichen Energieabsenkung hin zur

”wahren“

Grundzustandsenergie fuhrt. Theoretisch wird die Grundzustandsenergie beim DQMC-Verfahren bei jeder noch so schlechten Fuhrungswellenfunktion erreicht. Jedoch sinddann die statistischen Fluktuation sehr groß. Zumindest fur den VQMC-Teil ist auchersichtlich, daß die Fluktuationen im Bereich des Minimums der Energie minimal sind.Erwahnt werden sollte auch, daß das Minimum der Energie und das Minimum der Stan-dardabweichung σ der lokalen Energie offensichtlich nicht zusammenfallen, was die Wahldes Parameters an dieser Stelle nicht vereinfacht. Fur die Ermittlung der vorangegange-nen Energiewerte wurde fur den Parameter bJF =

√β gewahlt. Gemaß der Abbildungen

5.76 befindet sich dort das Minimum der gemittelten Blockenergie und die Simulationliefert somit den bestmoglichen VQMC-Energiewert.

108


B=

107T

B=

5·1

07T

B=

108T

B=

5·1

08T

ZD

QM

CV

QM

C∆τ

DQ

MC

VQ

MC

∆τ

DQ

MC

VQ

MC

∆τ

DQ

MC

VQ

MC

∆τ

299

.99

94.7

510

−4

99.8

688

.95

10−

499

.64

84.7

010

−4

99.8

789

.30

10−

5

399

.97

93.3

910

−4

99.7

786

.20

10−

499

.39

80.9

410

−4

99.7

886

.69

10−

5

499

.96

92.2

010

−4

99.6

783

.86

10−

499

.15

77.7

910

−4

99.6

984

.47

10−

5

599

.95

91.1

610

−4

99.5

881

.78

10−

498

.92

74.9

910

−4

99.6

082

.51

10−

5

699

.94

90.1

810

−4

99.4

979

.90

10−

498

.70

72.5

310

−4

99.5

280

.77

10−

5

799

.92

89.2

710

−4

99.4

178

.20

10−

498

.48

70.2

610

−4

99.4

479

.16

10−

5

899

.88

88.3

610

−4

99.3

276

.63

10−

498

.27

68.2

110

−4

99.3

577

.66

10−

5

999

.86

87.4

810

−4

99.2

375

.11

10−

498

.06

66.2

210

−4

99.2

776

.27

10−

5

1099

.84

86.6

610

−4

99.1

573

.73

10−

497

.86

64.4

310

−4

99.2

074

.97

10−

5

1199

.06

72.4

310

−4

99.1

072

.98

5·1

0−5

99.1

273

.69

10−

5

1298

.80

71.1

210

−4

99.0

271

.74

5·1

0−5

99.0

572

.51

10−

5

1398

.70

69.9

110

−4

98.8

170

.59

5·1

0−5

98.9

771

.41

10−

5

1498

.43

68.7

410

−4

98.7

369

.44

5·1

0−5

98.9

070

.32

10−

5

1598

.64

68.3

45·1

0−5

98.8

369

.29

10−

5

1698

.40

67.3

35·1

0−5

98.7

668

.27

10−

5

1798

.30

66.3

35·1

0−5

98.6

967

.34

10−

5

1898

.21

65.3

15·1

0−5

98.6

266

.39

10−

5

1998

.12

64.3

35·1

0−5

98.5

665

.50

10−

5

2099

.40

76.2

02·1

0−5

98.4

864

.63

10−

5

2199

.38

75.5

82·1

0−5

98.3

463

.83

10−

5

2299

.35

74.9

52·1

0−5

98.2

762

.95

10−

5

2399

.28

74.3

72·1

0−5

99.3

172

.61

5·1

0−6

2499

.26

73.7

72·1

0−5

99.2

872

.02

5·1

0−6

2599

.19

73.2

12·1

0−5

99.2

671

.43

5·1

0−6

2699

.16

72.6

32·1

0−5

99.1

870

.90

5·1

0−6

Tab

.5.

5.:A

kze

pta

nzw

ahrs

chei

nlich

keit

inP

roze

ntfu

rve

rsch

ieden

eK

ernla

dungs

zahle

nZ

bei

unte

rsch

iedlich

enM

agnet

-fe

ldst

arke

nB

bei

mD

QM

C-und

VQ

MC

-Ver

fahre

n.A

nge

ben

ist

das

jew

eilige

∆τ

ina.

u.

109

5. Ergebnisse

60.0

65.0

70.0

75.0

80.0

85.0

90.0

95.0

100.0

VQ

MC

Akz

epta

nz A

/%B=107 T

B=5⋅107 TB=108 T

B=5⋅108 T

97.5

98.0

98.5

99.0

99.5

100.0

5 10 15 20 25

DQ

MC

Akz

epta

nz A

/%

Z

B=107 TB=5⋅107 T

B=108 TB=5⋅108 T

Abb. 5.73.: Akzeptanzwahrscheinlichkeit uber der Kerlandungszahl Z bei verschiedenenMagnetfeldstarken B fur das Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren(oben) und das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (unten).

110


−3.380

−3.370

−3.360

−3.350

−3.340

−3.330

−3.320

−3.310

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

1.100

1.200

E/k

eV

σ/ke

V

Eσ

−3.380

−3.370

−3.360

−3.350

−3.340

−3.330

−3.320

−3.310

1⋅10−6 1⋅10−5 1⋅10−4 1⋅10−395.0

95.5

96.0

96.5

97.0

97.5

98.0

98.5

99.0

99.5

100.0

E/k

eV

Akz

epta

nz A

/%

∆τ

EA

Abb. 5.74.: ∆τ -Abhangigkeit der gemittelten Blockenergie E0 fur Z = 6 und B = 5·107 Tim Vergleich zur Standardabweichung σ (oben) und zur Akzeptanzwahr-scheinlichkeit A (unten).

111

5. Ergebnisse

−10.820

−10.800

−10.780

−10.760

−10.740

−10.720

−10.700

−10.680

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

E/k

eV

σ/ke

V

∆τ

Eσ

−10.820

−10.800

−10.780

−10.760

−10.740

−10.720

−10.700

−10.680

1⋅10−6 1⋅10−5 1⋅10−4 1⋅10−394.0

95.0

96.0

97.0

98.0

99.0

100.0

E/k

eV

Akz

epta

nz A

/%

∆τ

EA

Abb. 5.75.: ∆τ -Abhangigkeit der gemittelten Blockenergie E0 fur Z = 10 und B = 108 Tim Vergleich zur Standardabweichung σ (oben) und zur Akzeptanzwahr-scheinlichkeit A (unten).

112


−0.2650

−0.2600

−0.2550

−0.2500

−0.2450

−0.2400

−0.2350

−0.2300

−0.2250

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180E

/keV

σ/ke

V

bJF=4.61

EVQMC

E(bJF→∞)

ERPDQMC

σ

−11.000

−10.000

−9.000

−8.000

−7.000

−6.000

1 10 1001.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

9.000

E/k

eV

σ/ke

V

bJF

bJF=14.58

EVQMC

E(bJF→∞)

ERPDQMC

σ

Abb. 5.76.: Grundzustandsenergie (EVQMC) und die Schwankung σ der lokalen Ener-gie beim Variations-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren in Abhangigkeit vomParameter bJF. Oben fur Helium (Z = 2) und einer Magnetfeldstarke von(B = 107 T), unten fur Neon (Z = 10) und einer Magnetfeldstarke von(B = 108 T). Zum Vergleich wurde jeweils als durchgezogene Linie zumeinen die Energie eingezeichnet, die sich ohne Parameter (bJF → ∞) er-gibt (adiabatische Naherung) und zum anderen der Wert fur das

”released-

phase“-Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren. Als vertikale Linie wur-de der Wert fur bJF =

√β eingezeichnet.

113

5. Ergebnisse

5.3. Rechenzeit

Tabelle 5.6 gibt die benotigte Rechenzeit des Programms zur Berechnung der Ergebnissein Sekunden des Clusters (siehe Anhang E) fur die Simulation mit 500 Walkern, beste-hend aus der Initialisierung (10 Blocke je 200 Schritte), dem Variationsverfahren (100Blocke je 200 Schritte), dem

”fixed-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

(300 Blocke je 200 Schritte) und dem”released-phase“ Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-

Verfahren (300 Blocke je 200 Schritte) wieder. In den Spalten befinden sich die Werte furverschiedene Feldstarken. Der angegebene Wert fur die Rechenzeit in Sekunden wurdemit 25 Knoten mit je zwei Prozessoren insgesamt benotigt. Damit entspricht die ange-gebene Rechenzeit der Zeit, die ein serieller Rechner vergleichbarer Aussattung benotigthatte.Die benotigte Rechenzeit pro Atom mit der Kernladungszahl Z , die in dieser Arbeit derElektronenzahl N entspricht, veranschaulichen die Abbildungen 5.77 bis 5.80. Da die Re-chenzeit maßgeblich von der Elektronenzahl N abhangt, wahrend die Kernladungszahl Z

”nur“ multiplikativ im Coulomb-Potential eingeht, wird in diesem Abschnitt die Elektro-

nenzahl verwendet. Damit konnen auch Aussagen uber die Rechenzeit fur entsprechendeIonen getroffen werden. Jede der Abbildungen enthalt eine dem Linienverlauf angepaßteKurve gemaß t = pN q , mit den Parameter p und q . Es zeigt sich, daß sich der Linien-verlauf sehr gut durch eine Potenzkurve mit der Elektronenzahl als Basis darstellen laßt.Der Exponent liegt dabei zwischen 2.5 und 3.2 und hangt von der Magnetfeldstarke ab.Im Großen und Ganzen steigt die Rechenzeit in etwa kubisch mit der ElektronenzahlN . Dies liegt im wesentlichen an der zeitaufwendigen Berechnung der Determinanten(siehe z.B. Gleichung (3.60)), deren Anzahl mit der Elektronenzahl stark zunimmt. DieRechenzeit liegt umgerechnet zwischen einer halben Stunde fur N = 2 bei B = 107 Tund 223 Stunden fur N = 26 bei B = 108 T.

114

5.3. Rechenzeit

N B = 107 T B = 5 · 107 T B = 108 T B = 5 · 108 T

2 2427.1 2439.5 2389.8 2361.43 4510.5 4249.0 4527.3 4161.34 9419.7 6914.7 8888.2 6284.15 11983.2 12922.7 11142.2 13553.56 18071.4 17744.5 14748.1 18230.57 29292.5 26598.8 21298.0 28972.58 30269.1 35864.5 26961.2 34982.29 43384.4 51520.5 39120.6 43150.810 69777.6 69386.4 52162.9 53821.511 86000.5 69851.4 66801.312 108802.9 96187.0 88892.513 122579.3 108242.1 118030.514 162472.5 145746.4 146309.915 166517.8 160217.216 205651.8 215186.417 231213.7 242485.518 309842.9 292252.519 343826.0 324740.620 416223.9 388365.321 467672.7 439742.222 549604.4 515361.623 611333.5 608759.524 729815.8 646225.625 840223.3 790371.526 973622.4 802349.7

Tab. 5.6.: Rechenzeit in Sekunden des Simulationsverfahrens. An der Simulation warenjeweils 25 Knoten mit zwei Prozessoren beteiligt (siehe Kapitel 4).

115

5. Ergebnisse

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14

t/104 s

N

CPU−ZeitFit

Abb. 5.77.: Rechenzeit uber der Elektronenzahl N (B = 107 T). Die an den Linienverlaufangepaßte Kurve t = pN q hat die Parameter p = 167.215 a.u. und q =2.58587.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14

t/104 s

N

CPU−ZeitFit

Abb. 5.78.: Rechenzeit uber der Elektronenzahl N (B = 5 · 107 T). Die an den Linien-verlauf angepaßte Kurve t = pN q hat die Parameter p = 188.329 a.u. undq = 2.55111.

116

5.3. Rechenzeit

0

20

40

60

80

100

120

140

160

5 10 15 20 25 30

t/104 s

N

CPU−ZeitFit

Abb. 5.79.: Rechenzeit uber der Elektronenzahl N (B = 108 T). Die an den Linienverlaufangepaßte Kurve t = pN q hat die Parameter p = 29.3782 a.u. und q =3.18669.

0

20

40

60

80

100

120

140

5 10 15 20 25 30

t/104 s

N

CPU−ZeitFit

Abb. 5.80.: Rechenzeit uber der Elektronenzahl N (B = 5 · 108 T). Die an den Linien-verlauf angepaßte Kurve t = pN q hat die Parameter p = 72.0477 a.u. undq = 2.87162.

117

5. Ergebnisse

118

6. Zusammenfassung und Ausblick

6.1. Zusammenfassung

Diese Arbeit liefert die fur die Analyse elektromagnetischer Spektren von massereichenSternen notwendigen Grundzustandsenergien. Es konnte gezeigt werden, daß sich mitdem Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren auch Problemstellungen mit großererKernladungszahl Z > 2 bei Vorliegen eines sehr starken Magnetfeldes behandeln las-sen. In den Bereichen, in denen Vergleichswerte eines Verfahrens mit oberer Schran-ke [8, 14] bereits vorlagen, konnten diese verbessert werden. Selbstverstandlich konnennach diesem Verfahren weitere Werte fur andere Magnetfeldstarken berechnet werden.Die Abbildung 6.1 soll das Arbeitsschema darstellen: Ausgangspunkt waren Hartree-Fock-Rechnungen in adiabatischer Naherung, die mit Hilfe der Finite-Elemente-Methodeund B-Spline-Interpolation gelost wurden. Die daraus resultierende Grundzustandwellen-funktion wurde als adiabatische Fuhrungswellenfunktion mit dem Jastrow-Faktor mul-tipliziert und dem Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren zugefuhrt. Damit konn-ten erstmals Grundzustandsenergien in einem breiten Spektrum von unterschiedlichenMagnetfeldstarken berechnet werden. Als Naherung liegt dem Verfahren lediglich dieKurzzeitnaherung zu Grunde, deren Einfluß wegen der sehr kleinen Schrittweite als ver-nachlassigbar betrachtet werden darf. Zweckmaßigerweise wurden die Simulationen aufeinem Rechencluster des Hochstleistungsrechenzentrums Stuttgart durchgefuhrt.

Die Tabelle 6.1 gibt eine Gesamtubersicht der”released-phase“ DQMC-Werte und

faßt damit die Ergebnisse der Tabellen 5.1 bis 5.4 der Atome Z = N = 2 . . . 26 furdie verschiedenen Magnetfeldstarken B = 107 T bis B = 5 · 108 T zusammen. Deutlicherkennbar ist die stetige, starke Absenkung der Grundzustandsenergie E0 bei steigen-der Kernladungszahl Z und Magnetfeldstarke B . Der jeweilige in Klammern angegebe-ne Wert entspricht dem statistischen Fehler der gemittelten Blockenergie. Diese Wertestellen die umfassendsten und genauesten Ergebnisse fur die Grundzustandsenergie vonmittelschweren Atomen bis Eisen in Neutronensternmagnetfeldern in der Literatur dar.

6.2. Ausblick

Zwangslaufig stellt sich die Frage, wie sich die gewonnen Ergebnisse weiter verbessernlassen. Bei einem statistisch gepragten Verfahren ist eine Reduktion der statistischenFluktuationen sicher wunschenswert. Dies konnte zum einen durch die bereits erwahn-ten Jastrow-Faktoren noch weiter verbessert werden. Sie berucksichtigen bis jetzt nur

119


Hartree-Fock-Verfahren mitadiabatischer Naherung

Finite-Elemente-Methode

B-Spline-Interpolation

Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren

mit Jastrow-Faktor

Abb. 6.1.: Prinzipieller Aufbau: Das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren bautauf das Hartree-Fock-Verfahren mit der Finite-Elemente-Methode und B-Spline-Interpolation auf. Das Hartree-Fock-Verfahren liefert die adiabatitischeFuhrungswellenfunktion, die mit dem Jastrow-Faktor multipliziert wird undals Fuhrungswellenfunktion Eingang in das Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren findet.

120

6.2. Ausblick

Z B = 107 T B = 5 · 107 T B = 108 T B = 5 · 108 T

2 -0.2649 (15) -0.4626 (22) -0.5827 (25) -0.9664 (60)3 -0.5421 (30) -0.9661 (31) -1.230 (3) -2.103 (8)4 -0.9029 (43) -1.622 (5) -2.081 (5) -3.630 (12)5 -1.338 (5) -2.421 (6) -3.122 (5) -5.525 (16)6 -1.847 (9) -3.349 (7) -4.338 (10) -7.766 (19)7 -2.432 (11) -4.402 (9) -5.714 (10) -10.343 (25)8 -3.100 (15) -5.573 (12) -7.252 (11) -13.224 (34)9 -3.846 (14) -6.857 (17) -8.938 (17) -16.412 (32)10 -4.675 (24) -8.250 (25) -10.766 (10) -19.881 (42)11 -9.752 (17) -12.725 (23) -23.635 (44)12 -11.400 (27) -14.827 (24) -27.655 (45)13 -13.163 (12) -17.061 (6) -31.932 (47)14 -15.031 (34) -19.480 (44) -36.442 (60)15 -22.022 (40) -41.203 (58)16 -24.700 (60) -46.214 (66)17 -27.521 (39) -51.445 (81)18 -30.529 (24) -56.894 (75)19 -33.650 (48) -62.584 (75)20 -36.891 (64) -68.447 (94)21 -40.296 (107) -74.669 (76)22 -43.821 (11) -81.072 (112)23 -47.526 (361) -87.633 (117)24 -51.348 (71) -94.562 (137)25 -55.279 (166) -101.615 (154)26 -59.366 (132) -109.079 (186)

Tab. 6.1.: Grundzustandsenergie E0 in keV in Abhangigkeit der Magnetfeldstarke furverschiedene Elemente. Die Ergebnisse wurden mit Hilfe des

”released-phase“

Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrens ermittelt. Der Wert in Klammergibt den statistischen Fehler an.

121


die Elektron-Elektron-Wechselwirkung und die Elektron-Kern-Wechselwirkung. Damitsind nur Zweiteilchenwechselwirkung berucksichtigt. Eine Erweiterung waren die Drei-teilchenwechselwirkungen, genauer die Elektron-Elektron-Kern-Wechselwirkung. Ande-rerseits konnte die parallel zu dieser Arbeit entstehende Dissertation [6], die sich mit einerErweiterung der longitudinalen Hartree-Fock-Rechnungen durch Berucksichtigung hohe-rer Landau-Niveaus (Hartree-Fock-Roothaan-Methode) beschaftigt, zu einer Verbesse-rung der Fuhrungswellenfunktion in Bezug auf den transversalen Freiheitsgrad fuhren.Auch die Berechnung von Ionen ist mit diesem Programm moglich, sofern die hierfur not-wendige adiabatische Fuhrungswellenfunktion vorliegt [25] (ein Beispiel zeigt Abbildung6.2).

Z = 26, N = 13, B = 5 · 109 T, ∆τ = 10−6 a.u.

−228.5

−228.0

−227.5

−227.0

−226.5

−226.0

−225.5

−225.0

0 100 200 300 400 500 600 700

E/k

eV

Block

EHFFEM=−225.433 keV

ERPDQMC=−227.041 keV


Abb. 6.2.: Beispiel fur die Grundzustandsenergie eines Fe13+-Ions, ermittelt mit dem indieser Arbeit beschriebenen Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren.

Eine Erweiterung des Verfahrens in Bezug auf die Berechnung angeregter Energiezu-stande wurde von Jones et al. [10] vorgeschlagen. Dabei sind explizit nicht die angeregtenEnergiezustande gemeint, die zugleich Grundzustand innerhalb eines Symmetrieunter-raums sind. Fur Helium (Z = 2) konnten mit diesem Ansatz bei deutlich geringerenMagnetfeldstarken bereits angeregte Zustande berechnet werden. Die Grundidee bautauf der Bildung eines Systems aus Basisfunktionen auf, die zu einem verallgemeinertenEigenwertproblem fuhren. Es lassen sich Matrizen in Abhangigkeit der Projektionszeitangegeben, deren Diagonalisierung, d.h. die Berechnung der Eigenwerte, den Grundzu-stand und die angeregten Energiezustande ergeben. Das Basisfunktionensystem konnte

122

6.2. Ausblick

mit Hilfe der Losungen der adiabatischen Hartree-Fock-Gleichungen mit unterschied-lichen Quantenzahlen realisiert werden, d.h. mit mehreren Koeffizienten-Dateien. DieProjektionszeit ist die imaginare Zeit, die zwischen zwei zu betrachtenden Verteilungender Walker vergangen ist. Die Verteilungen konnen dabei mehre Schritte auseinanderliegen.Der Einbau der Jastrow-Faktoren und vor allem die Ermittlung angeregter Energiezu-stande durch Aufbau von Matrizen in Abhangigkeit der Projektionszeit sind Ansatzeund zugleich eine Herausforderung, die sich lohnen, weiter verfolgt zu werden.

123


124

Summary

The topic of this thesis is ’Diffusion Quantum Monte Carlo simulations for many-electronatoms in neutron star magnetic fields’.

Introduction: Since the discovery of large magnetic fields (B ≈ 105−109 T) in neutronstars in the late seventies [28] atoms in strong magnetic fields have become a hot topic ofresearch [28]. Neutron stars are stellar remnants of supernovae explosions. In principlethe quantitative analysis of their electromagnetic spectrum permits the determination ofits parameters, e.g. surface temperature, mass, radius and magnetic field strength. Fromthese data the internal structure and the physics of the cosmic object can be deduced.The spectroscopic investigation of these faint objects became only possible by meansof large telescopes of the 10m-class (VLT, Keck) and space-based X-ray observatories(XMM, Chandra).Hydrogen and helium in very strong magnetic fields were already examined extensivelyin the past [28]. By contrast reliable data for the higher elements are still missing. It isassumed that the atmosphere of neutron stars consists of atoms and ions created duringthe lifetime of the star. In this regard all elements up to a nuclear charge number ofZ = 26 are of interest. The computation of synthetic spectra is done at the Universityof Tubingen in the group of K. Werner [34]. This thesis presents for the first time thepossibility of treating medium-Z atoms in selected magnetic fields using the applicationof the Diffusion Quantum Monte Carlo method which yields the correct ground stateenergy.In this thesis Schrodinger’s equation is solved for many-electron atoms in very strongmagnetic fields by a simulation method. On the one hand the Variational, and on theother hand the Diffusion, Quantum Monte Carlo method is used. The general idea ofthese two methods is described in chapter 2. The guiding wavefunction which mustbe carefully chosen to obtain good results is of crucial importance. Not even an ed-ucated guess leads to the goal. Chapter 3 describes how the guiding wavefunction isconstructed for the unsolved problem of treating atoms up to Z = 26 in strong magneticfields. The computing time increases rapidly with the number of electrons. Thereforethe simulation was implemented on a computing cluster. Important information whichhas to be considered for parallelism is given in chapter 4. In chapter 5 the results arecompared with other methods by means of tables and diagrams. This chapter considers,additionally, the error estimate and the computing time. Chapter 6 follows which gives asummary of this thesis and an outlook. Further thoughts on the solution of the questionspointed out in the outlook are given. The appendix contains general information about

125

Summary

conventions and detailed transformations of several equations. Utmost importance isattached to practical implementation. The complete printout of the source code of theused program would not be helpful. However, detailed flowcharts (Nassi-Shneidermandiagrams [22]) and listings are shown at different places to provide the reader with adeeper understanding of the simulation method.This thesis is a part of the project A15“Numerical Methods for Many-Electron Atoms inNeutron Star Magnetic Fields” in the context of the“Sonderforschungsbereich”382“Pro-cedures and Algorithms for the Simulation of Physical Processes on High-PerformanceComputers” - a joint project of the Universities of Tubingen and Stuttgart.

Quantum Monte Carlo Method: The aim was to obtain as accurately as possible theground state energy E0 of the many body Schrodinger equation with the Hamiltonian:

H = −1

2

N∑i=1

~∇2i︸︷︷︸

kinetic energy

+1

2

N∑i ,jj 6=i

1

|~ri − ~rj |︸︷︷︸Coulomb interaction

− ZN∑

i=1

1

|~ri |︸︷︷︸Coulomb potential

. (1)

A statistical approach is given by Quantum Monte Carlo simulations. The techniqueis based on walkers moving in 3N -dimensional space. N stands for the number ofelectrons of the atom considered and for the neutral atoms treated here is equal to theatomic number Z . The chapter starts with basics of the Quantum Monte Carlo methodincluding

� the Variational Principle [23], providing an upper bound (see equation (2.5))for the energy expectation value ET of a trial function ΨT,

� the Monte Carlo Integration [18], perfectly suitable for the high dimensionalintegrals used here,

� the Importance Sampling, increasing efficiency of the Monte Carlo integrationand

� the Metropolis Algorithm [17], making a statement about the acceptance prob-ability (see equation (2.22)).

The above points lead directly to the Variational Quantum Monte Carlo method(VQMC, see figure 2.1). This is one of the two simulation techniques used in this thesis.It yields an upper bound of the ground state energy

ET = limN→∞

1

N

N∑i=1

EL(~R) (2)

126

through averaging over the so-called local energy EL(~R) = HΨT(~R)

ΨT(~R). This energy is the

corresponding energy for the trial function ΨT(~R) (note that from here on N standsfor the number of walkers). The more important simulation technique is the DiffusionQuantum Monte Carlo method (DQMC). It can in principle provide the exactground state energy instead of only an upper bound as the variational one does. Itintroduces the imaginary time τ = it . The general solution of the time-dependentSchrodinger equation has now an exponentially decaying behaviour (see equation (2.32)).With the progress of imaginary time the true ground state wavefunction is the one whichis least damped (see equation (2.34)). By introducing an applicable energy offset ET, itis also possible to reach a stationary behaviour. Importance sampling is introduced bymultiplying the unknown ground state wavefunction by a guiding wavefunction ΨG(~R).This is done to prevent singularities caused by the Coulomb potential in the simulationand leads to a new function f (~R, τ) = ΨG(~R)Ψ(~R, τ) and the most important equationof the DQMC method:

−1

2~∇2f (~R, τ)︸︷︷︸

diffusion term

+ ~∇·[~F (~R)f (~R, τ)]︸︷︷︸drift term

− S (~R)f (~R, τ)︸︷︷︸source term

= −∂f (~R, τ)

∂τ. (3)

In equation (3) ~F (~R) is the quantum force:

~F (~R) =~∇ΨG(~R)

ΨG(~R). (4)

The term S (~R) is a source term, given by

S (~R) = ET − EL(~R) . (5)

The energy EL therein contained is the local energy already mentioned:

EL(~R) =HΨG(~R)

ΨG(~R). (6)

Since this equation looks like a diffusion equation, the technique is called DQMC. Thisequation can also be written in integral form (see equation (2.45)) and is solved using aGreen’s function (see equation (2.49)) in short-time approximation. The Green’s func-tion factorises for short imaginary time steps in a branching GB and a diffusion-/driftpart GD

GB(~R′, ~R; ∆τ) = e−∆τ [EL(~R′)−ET] (7)

GD(~R′, ~R; ∆τ) =1

(2π∆τ)3N/2e−(~R′−~R−∆τ ~F (~R))2/2∆τ . (8)

127

Summary

The acceptance probability is given by equation (2.55). Due to the presence of anexternal magnetic field, the ground state wavefunction will be complex-valued, just as thelocal energy. To overcome the fixed-phase approximation [1] and also to ensure that thesimulation takes place in real space, the phase factor can be considered as a further weightof the branching term (see equation (2.68)). The phase factor ϕ(~R′,∆τ) = ei∆τ ImEL(~R′)

is a complex weight factor Υ (see equation (2.69)) and is multiplied by the local energyto calculate the statistical average. This technique is called released-phase DQMC [10].The ground state energy is given by:

E0 =1

bmax − bs + 1

bmax∑b=bs

1

smax

smax∑s=1

∑jmaxj=1 E j

L(~R′) ·Υj (s)∑jmaxj=1 Υj (s)

. (9)

The realisation of the computer algorithm is displayed in a Nassi-Shneiderman diagramin figure 1.

Guiding Wavefunction: The Hamiltonian of a many-electron atom in an external mag-netic field reads:

H =N∑

i=1

[−1

2

(∂2

∂x 2i

+∂2

∂y2i

+∂2

∂z 2i

)− iβ

(xi

∂

∂yi

− y∂

∂xi

)

+β2(x 2

i + y2i )

2+ βσzi −

Z

|~ri |

]+

1

2

N∑i ,j=1j 6=i

1

|~ri − ~rj |(10)

with ~B = B~ez , β = B/B0 and B0 = 2α2m2e c2

e~∼= 4.7 · 105 T, α = e2

4πε0~c. It is employed

an ansatz for the guiding wavefunction ΨG as a product of a guiding wavefuntion Ψad

determined by adiabatic approximation and the Jastrow factor ΨJF. The adiabaticguiding wavefunction Ψad itself is based on an approach with a Slater determinant

Ψ =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ1(~r1) ψ1(~r2) · · · ψ1(~rN )ψ2(~r1) ψ2(~r2) · · · ψ2(~rN )

......

. . ....

ψN (~r1) ψN (~r2) · · · ψN (~rN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (11)

composed of single-particle wavefunctions ψi . Those single-particle wavefunctions areassumed as products of a z -dependent, not yet known wavefunction Pνm(z ) of the lon-gitudinal Coulomb excitation along the z axis (ν stands for the number of nodes), a ρand ϕ dependent Landau state Φnm(ρ, ϕ) with the energy levels En = ~ωc(n + 1

2), with

n = 0, 1, 2, . . . and projection of the angular momentum m (m = 0,−1,−2, . . . ) on thez axis, and a spinor state χ(s):

ψi(~r , s) = ψνnm(z , ρ, ϕ, s) = Pνm(z ) · Φnm(ρ, ϕ) · χ(s) . (12)

128

Initialisation (VQMC, see figure 2.1)

b = 0b 7→ b + 1

Generate random numbers: ~η, X , ζ

~F (~R) = Re~∇ΨG(~R)

ΨG(~R)

~R′ = ~R + ∆τ ~F (~R) + ~η

W (~R′, ~R; ∆τ) = |ΨG(~R′)|2GD(~R,~R′;∆τ)

|ΨG(~R)|2GD(~R′,~R;∆τ)

Paccept(~R, ~R′; ∆τ) > X ?

Yes Nom = 1 m = 0

~R 7→ ~R′∅

EL(~R′) = HΨG(~R′)

ΨG(~R′)

τ 7→ τ + ∆τ

ϕ = ei∆τ ImEL(~R′), Υ(s)

m = 1?

Yes No

PB = int(e−∆τ(ReEL(~R′)−ET) + ζ) PB = int(0.9 + ζ)

PB = 1?

Yes No

PB = 0?

Yes No

Delete walkerjmax 7→ jmax − 1

Copy walkerjmax 7→ jmax +max(PB, 2)

∅

EL(s) =Pjmax

j=1 E jL(~R′)·Υj (s)Pjmax

j=1 Υj (s)

~R′ 7→ ~RAll steps of each block (s = 1 . . . smax)?

EB(b) = 1smax

∑smaxs=1 EL(s)

ET = 12(ET + 1

b

∑b EB(b))

Renormalise the number of walkersAll blocks (b = 1 . . . bs . . . bmax)?

E0 = 1bmax−bs+1

∑bmaxb=bs

EB(b)

Figure 1.: Nassi-Shneiderman diagram of the DQMC method.

129

Summary

Because of the huge magnetic fields B ∼ 108 T, the Landau excitation energy is of themagnitude ∼ 10 keV. For the atomic ground state it is therefore adequate to restrictthe wavefunction only to the lowest Landau level n = 0. At this level all spins arealigned anti-parallel to the external magnetic field. The single-particle wavefunctionsPνm(z ) are the results of solving the Hartree-Fock equations in adiabatic approximation(see equation (3.15)), formulated as an equivalent variational problem (see equation(3.22)) [26]. In doing so B-spline interpolation [30] and the finite element method [14] isused. In listing 3.1 an example for an input file for calculating the wavefunction Pνm(z )is given. Figure 3.4 shows the single-particle wavefunctions in adiabatic approximationfor helium, and figures 3.6 and 3.7 those for iron. Finally it is not only possible tocalculate the wavefunction Pνm(z ) at any position, but it is also possible to calculatetheir derivatives which are required for the quantum force (see equation (3.44), (3.48)and (3.49)) and the local energy (see equation (3.59) and (3.60)). The Landau states

Φ0m(ρ, ϕ) = N eimϕρ|m|e−β2ρ2

(13)

are given analytically. The evaluation of the spin function is simple because of thealignment of all spins leading to a lowering in energy ES =

∑Ni=1 βσzi = −Nβ. This

thesis considers both the electron-electron as well as the electron-core interaction withina Jastrow factor (ΨJF = e−u , with the Pade-Jastrow function [33] u). The cusp condition[13] configures the parameter aJF, an estimate (see equation (3.69) and (3.70)) for theparameter bJF is given by the comparison of the diamagnetic energy part (see equation(3.38)) and the energy of the lowest Landau level (see equation (3.55)). The Pade-Jastrow function for a many-electron system is given by

u = −1

4

N∑i ,j=1i<j

rij

1 + bJFrij

+ ZN∑

i=1

ri

(1 + bJFri). (14)

By using the product rule the additional terms of the local energy and quantum forceare given by equation (3.74) and (3.75). Therefore there is no practical limitation in theapplication of the guiding wavefunction to medium or heavy atoms.

Parallelisation: Parallelisation is done on a computer cluster. If the program containsparts which can run independently, the usage is more efficient. Chapter 2 presentsthe Quantum Monte Carlo method as being predestined for parallelisation. Instead ofsampling, e.g., 500 walkers on one machine, it is also possible to sample 25 walkers on20 networked machines. Because of the implementation of parallelisation, the programrunning on all machines is always the same but processes different data. This meansthat the random number generator has to be initialised on each machine differently(see equation (4.1)). This chapter explains some used MPI (Message Passing Interface)routines. It also includes a listing 4.2 for redistribution the walkers inside the cluster’s

130

machines for an equal load. Because of branching the number of walkers varies. Theexample output of the program is described and given in listing 4.3. The chapter endswith some special hints as to the capacity of the used cluster of the HLRS (appendix E).

Comparison with other Methods: The results of the Variational and Diffusion Quan-tum Monte Carlo simulation are compared by means of tables and diagrams. The groundstate energy E0 was determined for a constant external magnetic field, and decreases withnuclear charge number Z . There is a correlation between tables and diagrams which arearranged in order of the magnetic field strength B :

� B = 107 T: Table 5.1 (page 68), figures 5.1 up to 5.9 (page 71 up to 75)

� B = 5 · 107 T: Table 5.2 (page 68), figures 5.10 up to 5.22 (page 75 up to 81)

� B = 108 T: Table 5.3 (page 69), figures 5.23 up to 5.47 (page 82 up to 94)

� B = 5 · 108 T: Table 5.4 (page 70), figures 5.48 up to 5.72 (page 94 up to 106)

For clarity, the last column of each table contains the appropriate figure number. Bothtables and diagrams include values of other methods for a direct comparison:

� Hartree-Fock in adiabatic approximation with Finite Elements Method and B-spline interpolation (HFFEM [14])

� 2 Dimensional Hartree-Fock (2DHF [8])

� Multi Configurational Perturbative Hybrid Hartree Hartree-Fock (MCPH3 [21])

� Density Functional calculations (DF [11]).

The figures 5.1 up to 5.72 show the evolution of the trial energy ET, the block energyEB and the average of the block energy 〈EB〉 plotted as a function of the number of theblock. The variable block is counted from 1 to 700 only for these figures, although eachpart simulation starts internally with b = 1 and ends with b = bmax. The figures aretherefore partitioned in three areas marked by a vertical solid line. This line representsthe last block of the previous simulation. Each of these three areas is further separatedin two parts marked by a vertical dashed line dividing the part which does not countto statistics (b = bs − 1) but is retained for achieving the dynamic equilibration. Thefirst 100 blocks refer to Variational Quantum Monte Carlo simulation (VQMC), theblocks 101 up to 400 refer to fixed-phase Diffusion Quantum Monte Carlo simulation(FPDQMC) and the blocks 401 up to 700 refer to released-phase Diffusion QuantumMonte Carlo simulation (RPDQMC). Each block contains 200 steps. The HFFEMcalculations not only provide the ground state energy but also the adiabatic guidingwavefunction Ψad

G , which is afterwards multiplied by the Jastrow factor to obtain theinput guiding wavefunction of the DQMC simulation. The free parameter bJF of the

131

Summary

Jastrow factor was chosen in accordance with the estimate corresponding to equation(3.70) and figure 5.76 in section 5.2.2. A horizontal solid line is printed in the figure ifother methods provide a comparable value. The quoted energy value in the caption ofeach figure is the RPDQMC ground state energy value; the error gives the variation ofthe block energy EB according to equation (4.3). This chapter also states the dependenceof ∆τ (see figures 5.74 and 5.75) and bJF (see figure 5.76). It is observable that groundstate energy increases slightly for smaller ∆τ but the statistical error increases too.The implementation shows that ∆τ may not be chosen arbitrarily small. Regardingthe acceptance probability it can be said that a great acceptance probability leads toa large standard deviation, and a small one to instabilities. Therefore ∆τ is chosen insuch a way that the acceptance probability does not sink below 98% . The figures forthe Jastrow parameter bJF show a very good agreement with equation (3.70); it is notadvisable to choose a smaller bJF. Therefore the DQMC method bJF =

√β is set. The

chapter closes with a view on computing time (see figures 5.77 up to 5.80) increasing onthe whole with the cube of the number of electrons N .

Conclusion and outlook: It is obvious that the Diffusion Quantum Monte Carlomethod can also treat problems with greater atomic number than Z = 2 in the presenceof an external magnetic field. In regions where values for comparison are available foran upper bound [8, 14] these values can be improved. Of course this method can alsocalculate ground state energies for other magnetic fields and for ions. This is done in anongoing diploma thesis [25]; as a foretaste, for Fe13+ results are given in figure 6.2. Fig-ure 6.1 shows the scheme of this program. Only the short-time approximation is appliedbut the influence can be neglected because of the tiny steps in ∆τ . Table 6.1 gives anoverview of the released-phase DQMC values. These values are the most comprehensiveand accurate ground state energies of medium-Z atoms up to iron (Z = 26) in neutronstar magnetic fields presented in literature.An extension of the Quantum Monte Carlo method to calculate excited states was pro-posed by Jones et al. [10]. Note that it is always possible to extract one excited stateby choosing a guiding wavefunction perpendicular to the true ground state. This is theground state within a sub-space. But in this context they are not to be understood as theexcited states. In the past excited states for helium (Z = 2) could be calculated in lowmagnetic fields by means of this approach. The idea of the method is to create a basisset of functions and to formulate a generalised eigenvalue problem. The diagonalisationof these matrices as a function of projection time leads to the ground state and someexcited states simultaneously. The numbers of excited states are given by the numberof basis functions minus one. These basis functions can be realised by several input filesfor the HFFEM calculations by using different quantum numbers. This idea offers theopportunity of obtaining highly accurately calculated excited states of heavy atoms orions in strong magnetic fields.

132

A. Atomare Einheiten

Atomare Einheiten [20] (atomic units: a.u.) werden in der Atomphysik benutzt. Dabeiwerden folgende Großen

Masse Ruhemasse des Elektrons me me = 9.1093826(16) · 10−31 kgLadung Elementarladung e e = 1.60217653(14) · 10−19 CDrehimpuls Wirkungsquantum ~ = h

2π~ = 1.05457168(18) · 10−34 Js

formal auf Eins (e = me = ~ = 4πε0 = 1) gesetzt. Dies hat zur Folge, daß die Er-gebnisse, berechnet in atomaren Einheiten

Lange Bohrscher Radius a0 = 4πε0~2

mee2 a0 = 0.5291772108(18) · 10−10 m

Energie Hartree-Energie 1H= ~2

mea20

EH = 27, 211384523 eV

magn. Flußdichte B0 = 2 ~ea0

B0 = 4.70 · 105 T

entsprechend mit ihrer Grundeinheit multipliziert werden mussen, um sie in SI-Einheiten(Standard International: SI) zu erhalten. Beispiel fur die Energie:

ESI = Ea.u. · EH . (A.1)

Die Gleichungen der Atomphysik lassen sich einfach in atomare Einheiten umschreiben,in dem e = me = ~ = 4πε0 = 1 gesetzt wird.

Beispiel Hamilton-Operator H eines Atom mit Kernladung Z :

In SI-Einheiten:

HSI = − ~2

2me

N∑i=1

~∇2 +e2

8πε0

N∑i ,jj 6=i

1

~ri − ~rj

− Ze

4πε0

N∑i=1

1

|~ri |. (A.2)

In atomaren Einheiten:

Ha.u. = −1

2

N∑i=1

~∇2 +1

2

N∑i ,ji 6=j

1

~ri − ~rj

− ZN∑

i=1

1

|~ri |. (A.3)

133

A. Atomare Einheiten

134

B. Herleitung der Diffusionsgleichung

Ausgangspunkt ist die Gleichung (2.37):

1

2~∇2

~RΨ(~R, τ) +

[ET − V (~R)

]Ψ(~R, τ) =

∂Ψ(~R, τ)

∂τ. (B.1)

Mit der Einfuhrung von”Importance Sampling“ f (~R, τ) = ΨG(~R)Ψ(~R, τ) ergibt sich:

1

2~∇2

(f (~R, τ)

ΨG(~R)

)+ [ET + V (~R)]

f (~R, τ)

ΨG(~R)=

∂

∂τ

f (~R, τ)

ΨG(~R). (B.2)

Multiplikation von links mit ΨG:

1

2ΨG(~R)~∇2

(f (~R, τ)

ΨG(~R)

)+ [ET + V (~R)]f (~R, τ) =

∂

∂τf (~R, τ) . (B.3)

Unter Ausnutzung der Beziehung

v ~∇2(u

v

)= ~∇2u − u

v~∇2v +

2

v

(u

v~∇v − ~∇u

)· ~∇v (B.4)

folgt

1

2~∇2f (~R, τ)− 1

2

~∇2ΨG(~R)

ΨG(~R)f (~R, τ)

+1

ΨG(~R)

(f (~R, τ)

ΨG(~R)~∇ΨG(~R)− ~∇f (~R, τ)

)· ~∇ΨG(~R)︸︷︷︸

1

ΨG(~R)(~∇ΨG(~R))f (~R,τ)−~∇·

„~∇ΨG(~R)

ΨG(~R)f (~R,τ)

«

+ [ET − V (~R)]f (~R, τ) =∂

∂τf (~R, τ) . (B.5)

135

B. Herleitung der Diffusionsgleichung

Einfuhrung der lokalen Energie EL(~R) und Quantenkraft ~F (~R)

1

2~∇2f (~R, τ) +

[1

2

~∇2ΨG(~R)

ΨG(~R)− V (~R)

]︸︷︷︸

− HΨG(~R)

ΨG(~R)=−EL(~R)

f (~R, τ) + ETf (~R, τ)

− ~∇ ·

~∇ΨG(~R)

ΨG(~R)︸︷︷︸~F (~R)

f (~R, τ)

=∂

∂τf (~R, τ) (B.6)

ergibt schließlich mit S (~R) = ET − EL(~R)

−1

2~∇2f (~R, τ) + ~∇·[~F (~R)f (~R, τ)]− S (~R)f (~R, τ) = −∂f (~R, τ)

∂τ. (B.7)

136

C. Losung der Diffusionsgleichungmittels Greenscher Funktion

Ausgangspunkt ist die Gleichung (2.41):

−1

2~∇2f (~R, τ) + ~∇~R ·[~F (~R)f (~R, τ)]− S (~R)f (~R, τ) = −∂f (~R, τ)

∂τ, (C.1)

mit

S (~R) = ET − EL(~R) (C.2)

EL(~R) =HΨG(~R)

ΨG(~R)(C.3)

~F (~R) =~∇~RΨG(~R)

ΨG(~R). (C.4)

Zur Losung wird folgende Annahme getatigt:

~∇~R ·~F (~R) = 0 , (C.5)

d.h. die Quantenkraft ist konstant in einer lokalen Umgebung von ~R.Integrale Darstellung von Gleichung (C.1)

f (~R′, τ + ∆τ) =

∫d~RG(~R′, ~R; ∆τ)f (~R, τ) , (C.6)

mit der Losung in Kurzzeitnaherung:

G(~R′, ~R; ∆τ)∆τ klein≈ e[ET−EL(~R′)]∆τ · 〈~R′| e−

∆τ2

~∇2~R−∆τ ~F (~R)~∇~R |~R〉 (C.7)

= GB(~R′, ~R; ∆τ) · GD(~R′, ~R; ∆τ) . (C.8)

Die Greensche Funktion faktorisiert in einen Verzweigungsanteil

GB(~R′, ~R; ∆τ) = e[ET−EL(~R′)]∆τ (C.9)

137

C. Losung der Diffusionsgleichung mittels Greenscher Funktion

und einen Diffusionsanteil GD(~R′, ~R; ∆τ):

GD(~R′, ~R; ∆τ) = 〈~R′| e−∆τ2

~∇2~R−∆τ ~F (~R)~∇~R |~R〉

=1

(2π)3N

∫d3N~ke−i~k ·(~R−~R′)e−

∆τ2

~k2−i∆τ ~F (~R)~k

=1

(2π)3N

∫d3N~ke−

∆τ2

[~k+ i∆τ

(~R−~R′+∆τ ~F (~R))]2− 12∆τ

(~R−~R′+∆τ ~F (~R))2

=1

(2π∆τ)3N/2e−

12∆τ

(~R′−~R−∆τ ~F (~R))2 . (C.10)

138

D. Quantenkraft bei komplexerFuhrungswellenfunktion

Es soll an dieser Stelle die Relation von Gleichung (2.63) gezeigt werden:

~F = Re

(~∇Ψ

Ψ

)=~∇|Ψ||Ψ|

, (D.1)

wobei Ψ = ΨR + iΨI ist.

~F = Re

(~∇Ψ

Ψ

)=

1

2

[~∇Ψ

Ψ+~∇Ψ∗

Ψ∗

](D.2)

=1

2

[Ψ∗~∇Ψ + Ψ~∇Ψ∗

ΨΨ∗

](D.3)

=1

2

[(ΨR − iΨI)~∇(ΨR + iΨI) + (ΨR + iΨI)~∇(ΨR − iΨI)

|Ψ|2

](D.4)

=1

2

[2ΨR

~∇ΨR + 2ΨI~∇ΨI

|Ψ|

]· 1

|Ψ|(D.5)

= ~∇√

Ψ2R + Ψ2

I ·1

|Ψ|(D.6)

=~∇|Ψ||Ψ|

. (D.7)

Der Vorteil bei der Programmierung ist offensichtlich: Statt der aufwendigen Betragsbil-dung mit anschließender Differentiation reicht die Realteilbildung des Quotienten aus.

139

D. Quantenkraft bei komplexer Fuhrungswellenfunktion

140

E. Rechencluster

Alle Berechnungen bzw. Simulationen wurden auf dem im Jahre 2005 installierten cacau-Cluster (http://www.hlrs.de/hw-access/platforms/cacau/), zu sehen in AbbildungE.1 des Hochstleistungsrechenzentrum Stuttgart (HLRS, http://www.hlrs.de/) durch-gefuhrt.

Abb. E.1.: cacau-Rechencluster (Foto: Bernd Krischok, HLRS)

Zur Vergleichbarkeit der Rechenzeit sollen an dieser Stelle die Eckdaten dieses Clustersangegeben werden:

� Zugangsrechner: 2fach NEC Express5800/120Rg-2 Server mit 6 GByte Hauptspei-cher.

� Anzahl der Knoten: 204.

� Prozessoren pro Knoten: 2 Intel Xeon EMT64T 3.2GHz.

� Speicher pro Knoten: 1 oder 2GByte.

141

http://www.hlrs.de/hw-access/platforms/cacau/

http://www.hlrs.de/

E. Rechencluster

� Festplatte: 1.2TByte verteilter Festplattenarbeitsspeicher (204·58GByte), 1TBytegemeinsames Heimat-Verzeichnis.

� Spitzenleistung: 2.6TFlop/s.

� Einfache Geschwindigkeit zwischen den Knoten: 10 GBit/s Infiniband.

� Betriebssystem: Tao Linux release 1 (Mooch Update 2).

� NEC HPC Linux Softwarepacket.

� Intel Kompiler.

� Voltaire MPI.

Abb. E.2.: Detailausschnitt cacau-Rechencluster (Foto: Bernd Krischok, HLRS)

Im Detailausschnitt des cacau-Rechenclusters in Abbildung E.2 sind hinter dem Loch-blech (Abdeckung) die einzelnen Knoten zu erkennen.

142

Literaturverzeichnis

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145


146

Danksagung

Das Entstehen dieser Arbeit ware ohne so manchen Wegbegleiter nicht moglich gewesen.Bedanken mochte ich mich an dieser Stelle bei:

� Herrn Prof. Dr. Gunter Wunner fur die Moglichkeit, an diesem interessanten The-ma arbeiten zu konnen und fur die weitreichende Freiheit beim Anfertigen dieserArbeit.

� Herrn Prof. Dr. Manfred Fahnle fur die Ubernahme des Mitberichts.

� Herrn apl. Prof. Dr. Jorg Main gilt ein besonderer Dank dafur, daß er sich trotzder vielen eigenen Aufgaben stets die Zeit nahm, mit mir uber die Probleme zudiskutieren, fur so manche Hilfestellung und fur seine

”ansteckende“ Begeisterung.

� Den Kollegen der Arbeitgruppe: insbesondere Herrn Holger Cartarius fur die Tipsim Umgang mit LATEXund Gnuplot, Herrn Dirk Engel fur die interessanten Gespra-che und die 1A-Systempflege, Herrn Tomaz Fabcic, Herrn Alen-Pilip Prskalo furdie Zusammenarbeit und die schonen Kaffeerunden. Allen Kollegen des 1. Institutsfur Theoretische Physik fur die angenehme Atmosphare.

� Frau Petra Mayer fur das Korrekturlesen der englischsprachigen Zusammenfassung.

� Den Mitarbeitern des Hochstleitungsrechenzentrum Stuttgart fur die Betreuungund Pflege des cacau-Clusters.

� Der Deutschen Forschungsgemeinschaft, die diese Arbeit durch den Sonderfor-schungsbereich 382 gefordert hat.

� Meinen Eltern und Herrn Alexander Volker Petzold fur die vielfaltige Unterstut-zung.

147

steffenbücheler

geboren am 26.10.1972 in Stuttgart-Hedelfingen

Schulausbildung

1979–1983 Grundschule.

1983–1989 Realschule.

1989 Realschulabschluß.

Berufsausbildung

1989–1992 Kommunikationselektroniker Fachrichtung Informationstechnik (verkürzte Ausbil-dungszeit). Im Anschluß Weiterbeschäftigung im Geschäftsbereich PKW - Werk-stätten Meßzentrum (Mercedes-Benz AG).

1992 Abschlußprüfung IHK.

Zweiter Bildungsweg

1992–1994 Technische Oberschule Stuttgart.

1994 Fachgebundene Hochschulreife.

Studium

1994–2001 Studium der Physik an der Universität Stuttgart.

1996 Diplomvorprüfung.

2000 Diplomarbeit, Semiklassische Quantisierung chaotischer Billardsysteme mit C4v -

Symmetrie, 1. Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart, unter Anleitung

von Herrn apl. Prof. Dr. Jörg Main.

2001 Diplom in Physik.

Wissenschaftliche Tätigkeiten

2000–2001 Wissenschaftliche Hilfskraft, 1. Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart.

2001–2006 Wissenschaftlicher Mitarbeiter im Sonderforschungsbereich 382 - Teilprojekt A15,

Numerische Methoden für Vielelektronen-Atome in Neutronensternmagnetfeldern.

2002 66. Physikertagung, Hyperbelbillard: Semiklassische Quantisierung mittels harmonischer

Inversion, Leipzig, 18. - 22. März 2002.

Vortrag

2004 68. Physikertagung, Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Methode für Atome in starken Ma-

gnetfeldern, München, 22. - 26. März 2004.

Posterpräsentation

2006 70. Physikertagung, Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Methode für Atome in sehr starken

Magnetfeldern, Frankfurt, 13. - 17. März 2006.

Vortrag

2007 Wissenschaftliche Hilfskraft, 1. Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart.

Sonstige Tätigkeiten

1994 Ferienbeschäftigter im Bereich Kommunikationsservice (Mercedes-Benz AG).

1996–1999 Teilzeitbeschäftigung Stella AG.

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Ehrenwortliche Erklarung

Ich erklare, daß ich diese Dissertation, abgesehen von den ausdrucklich bezeichnetenHilfsmitteln und den Ratschlagen von den jeweils namentlich aufgefuhrten Personen,selbstandig verfaßt habe.

Stuttgart, 6. Marz 2007 Steffen Bucheler

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Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Simulationen für ...itp1.uni-stuttgart.de/publikationen/abschlussarbeiten/buecheler... · Motivation Seit der Entdeckung riesiger Magnetfelder in Neutronensternen