Diskrete Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsräume

Zufallsvariablen

Erwartungswert

Varianz

Quiz

1

Im Fall einer Gleichverteilung sind gleich großeTeilmengen von W gleich wahrscheinlich.

Z.B. gilt für W={0,1,2}:

P({0})=P({1})=P({2})= 31

P({0,1})=P({0,2})=P({1,2})= 32

Analog müsste im Fall der unendlichen Menge W=(0,1]gelten:

1])1,0(( =P

21

21

21 ])1,((]),0(( == PP

31

32

32

31

31 ])1,((]),((]),0(( === PPP

41

43

43

42

42

41

41 ])1,((]),(]),((]),0(( ==== PPPP

Die Wahrscheinlichkeit eines Teilintervalls von (0,1]wäre also einfach gegeben durch seine Länge.

Komplemente, Vereinigungen und Durchschnitte vonTeilintervallen von (0,1] sind wieder Teilintervalle von(0,1], z.B.

]1,(],0( 31

31 =c ,

],(],(],( 87

81

87

83

85

81 =È ,

],(],(],( 85

83

87

83

85

81 =Ç ,

oder zumindest aber Vereinigungen disjunkterTeilintervalle von (0,1], z.B.

]1,(],0(],( 74

72

74

72 È=c .

Die Länge/Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungdisjunkter Teilintervalle von (0,1] ist gegeben durchdie Summe der Längen/Wahrscheinlichkeiten dereinzelnen Teilintervalle von (0,1], z.B.

94

91

93

97

96

94

91

97

96

94

91 ]),((]),((]),(],(( =+=+=È PPP .

2

Im Fall von W=(0,1] müsste eine Gleichverteilung Pjedem Teilintervall von (0,1] seine Länge alsWahrscheinlichkeit zuordnen.

Leider gibt es keine Wahrscheinlichkeitsverteilung P,die diese Anforderung erfüllt und darüber hinaus auchnoch jeder beliebigen Teilmenge von (0,1] eineWahrscheinlichkeit zuordnet. Das liegt daran, dass esauch sehr komplizierte Teilmengen von (0,1] gibt,für die man unmöglich eine Länge angeben kann.

Will man für W=(0,1] trotzdem eine Gleichverteilungdefinieren, dann muss man sich auf einfachereTeilmengen beschränken, z.B. Teilintervalle von (0,1]sowie ihre Komplemente, Vereinigungen und Durch-schnitte.

Teilmengen von Â, die man mit den MengenoperationenÇÈ,,c aus Intervallen erzeugen kann, heißen Borel-

Mengen.

Beispiele von Borel-Mengen:

[-8,-5)È(0,1]È(p,¥),

),( ¥-¥=Â ,cÂ=f ,

{3}=[3,3]

Abzählbar unendliche1 Vereinigungen und Durchschnittesind auch erlaubt. Daher ist beispielsweise auch die Mengeder natürlichen Zahlen

...}3{}2{}1{}0{,...}3,2,1,0{ ÈÈÈÈ==À

eine Borel-Menge.

1 countably infinite

3

Eine Menge F von Teilmengen einer nichtleeren MengeW heißt s-Algebra2 auf W, wenn für alle A,A1,A2,…ÎF gilt:

fÎF,WÎF,

AÎF Þ AcÎF, A1, A2, A3,…ÎF Þ A1ÈA2È A3È…ÎF,

A1, A2, A3,…ÎF Þ A1ÇA2Ç A3Ç…ÎF

Beispiele:

Die Menge aller Borel-Mengen ist eine s-Algebra auf .Â

F={f,{0},W} ist keine s-Algebra auf W={0,1}, weil

{0}c ={1}ÏF.

F={f,{1},{2},{1,3},{2,3},W} ist keine s-Algebra aufW={1,2,3}, weil

{1}È{2}={1,2}ÏF, {1,3}Ç{2,3}={3}ÏF.

2 s-algebra (or s-field)

F={f,{1},{2,3},W} ist eine s-Algebra auf W={1,2,3},weil

fÎF, WÎF,f c=WÎF, Wc=fÎF, {1}c={2,3}ÎF, {2,3}c={1}ÎF,f È{1}={1}ÎF, f È{2,3}={2,3}ÎF, f ÈW=WÎF,{1}È{2,3}=WÎF, {2,3}ÈW=WÎF,f Ç{1}=fÎF, f Ç{2,3}=fÎF, f ÇW=fÎF,{1}Ç{2,3}=fÎF, {2,3}ÇW={2,3}ÎF.

Die Potenzmenge P(W) einer nichtleeren Menge W isteine s-Algebra auf W. Sie enthält alle Teilmengen vonW, also insbesondere auch f und W. Außerdem sind alleKomplemente, Vereinigungen und Durchschnitte vonTeilmengen von W wiederum Teilmengen von W und sinddaher auch in P(W) enthalten.

4

Eine Funktion P: F:®[0,1] heißt Wahrscheinlichkeits-verteilung3, wenn F eine s-Algebra auf einer Menge Wist und für alle AÎF sowie für alle paarweise disjunktenA1,A2,A3,…ÎF gilt:

P(f)=0,P(W)=1,

P(Ac)=1-P(A), P(A1ÈA2ÈA3È…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…

Teilmengen von W, die in F enthalten sind, heißenEreignisse4. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Pordnet nur Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu,nicht aber Teilmengen von W, die nicht in F enthaltensind.

Das Tripel (W,F,P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum5.

3 probability distribution (or probability measure)4 events5 probability space

Beispiele:

· P={(f,0),({1},0.8),({2,3},0.2),({1,2,3},1)}

ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf

F={f,{1},{2,3},{1,2,3}}.

· P={(f,0),({1},0.7),({2,3},0.2),({1,2,3},1)}

ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf

F={f,{1},{2,3},{1,2,3}},weil

P({1})+P({2,3})=0.7+0.2=0.9¹ P({1}È{2,3})=P({1,2,3})=1.

5

Eine Funktion X: W®Â heißt Zufallsvariable6 auf demWahrscheinlichkeitsraum (W,F,P), wenn das Urbild jederBorel-Menge ein Ereignis ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einenWert in einer Borelmenge B annimmt, ist gegeben durch

P(XÎB) = P(X-1(B))=P({wÎW: X(w)ÎB}).

Für jedes wÎW heißt X(w) eine Realisierung7 von X.

Beispiel: Ist W={1,2,3} und F={f,{1},{2,3},W}, dann istdie Funktion X={(1,5),(2,0),(3,7)} keine Zufallsvariable,weil

X-1([4,9])={wÎ{1,2,3}: X(w)Î[4,9]}={1,3}ÏF,X-1([0,0])={wÎ{1,2,3}: X(w)Î[0,0]}={2}ÏF,

M

6 random variable7 realization

Eine Funktion nX ®W: heißt n-dimensionale Zufalls-variable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (W,F,P), wenndas Urbild jeder n-dimensionalen Borel-Menge ein Ereignisist.

Die s-Algebra der n-dimensionalen Borel-Mengen istdie kleinste s-Algebra aufÂn, die alle n-dimensionalenIntervalle enthält.

2-dimensionale Intervalle sind Rechtecke.3-dimensionale Intervalle sind Quader.

Beispiel: X1 … Augenzahl (bei 1 ´ Würfeln)X2 … Quadrat der AugenzahlX3 … Vorzeichen der Augenzahl

3-dimensionale Zufallsvariable: X=(X1,X2,X3)

X(4) =(X1(4),X2(4),X3(4)) =(4,16,1)ÎÂ3

Statt P(X1Î(3,4]) und P(XÎ[0,1]´(2,4)´(0,5]) schreibt manauch P(3<X1£4) bzw. P((0£X1£1)Ù(2<X2<4)Ù(0<X3£5)).

6

Beispiel: X = Anzahl der Köpfe bei 2-maligem Münzwurf

W={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}P({(0,0)})=P({(0,1)})=P({(1,0)})=P({(1,1)})= 4

1

X((0,0))=2, X((0,1))=1, X((1,0))=1, X((1,1))=0

P(-1<X£1.5)=P(XÎ(-1,1.5])=P(X-1((-1,1.5])) =P({(0,0),(0,1),(1,0)}= 4

3

Beispiel: X = (X1, X2) zweidimensionale ZufallsvariableX1 =Anzahl der Zahlen bei 2-maligem Münzwurf

X2 =Anzahl der Köpfe bei 2-maligem Münzwurf

W={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}, P({(0,0)})=…=P({(1,1)})= 41

X((0,0))=(0,2), X((0,1))=(1,1), X((1,0))=(1,1), X((1,1))=(2,0)

P(0.5<X1£1.5Ù 0.5<X2£1.5)=P(XÎ(0.5,1.5]´(0.5,1.5]) =P(X-1((0.5,1.5]´(0.5,1.5]))=P({(0,1),(1,0)})= 4

2

7

Beispiel: X = Augenzahl bei 1-maligem Würfeln

z <- sample(1:6,60,replace=TRUE); z4 3 5 1 4 3 3 3 5 1 5 2 3 2 4 1 2 6 6 1

4 2 2 5 4 5 3 6 4 5 4 4 4 2 4 5 1 5 2 6 3 4 4 2 3 4 2 1 5 6 1 5 1 5 1 4 1 6 3 2table(z)

1 2 3 4 5 6 10 10 9 14 11 6

Der Mittelwert der 60 “gewürfelten“ Augenzahlen(Realisierungen von X ) kann auf verschiedene Artenberechnet werden:

(i) ⋯ = 3.4

(ii) ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = 3.4

(iii) 1 ∙ + 2 ∙ + 3 ∙ + 4 ∙ + 5 ∙ + 6 ∙ = 3.4

Erzeugt man weitere 60 Realisierungen von X, so erhältman in der Regel einen anderen Mittelwert.

z <- sample(1:6,60,replace=TRUE); mean(z) 3.25

Verwendet man hingegen in (iii) die theoretischenWahrscheinlichkeiten anstatt der (vom Zufall abhängigen)empirischen Wahrscheinlichkeiten, so erhält man einenfesten Wert, den Erwartungswert der Zufallsvariablen X :

= 1 ∙16 + 2 ∙

16 + 3 ∙

16 + 4 ∙

16 + 5 ∙

16 + 6 ∙

16 = 3.5

Der Erwartungswert8 einer Zufallsvariablen X: W®Âmit möglichen Werten x1,…,xn ist gegeben durch

)(...)()( 11 nn xXPxxXPxXE =++== å=

==n

jjj xXPx

1)( .

8 expected value

8

Beispiel: 1 ´ Würfeln

W={1,2,3,4,5,6}, P({1})=P({2})=…=P({6})= 61

X(w)=|w-3| (Abstand der Augenzahl von 3)

Mögliche Werte von X: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3

( ) = 0 ∙P(X=0)+1 ∙P(X=1)+2 ∙P(X=2)+3 ∙P(X=3)= 0 ∙P({3})+1 ∙P({2,4}) +2 ∙P({1,5}) +3 ∙P({6})

= 0 ∙ +1 ∙ +2 ∙ +3 ∙ =

( ) = √ , = ( ) ( [ ]: nächstkleinere ganze Zahl )

Mögliche Werte von Y: y1=0, y2=1

( ) = 0 ∙P(Y=0)+1 ∙P(Y=1)

(i) = 0 ∙P({3})+1 ∙P({1,2,4,5,6}) = 0 ∙ +1 ∙ =

(ii) = 0 ∙P(X=0)+1 ∙P(X=1˅X=2˅X=3)= 0 ∙P(X=0)+1 ∙ (P(X=1)+P(X=2)+P(X=3))= g(0)P(X=0)+g(1)P(X=1)+g(2)P(X=2)+g(3)P(X=3)

Allgemein gilt:

åå==

====Þ=n

iii

m

jjj xXPxgyYPyYEXgY

11)()()()()(

9

Es gilt: )()( XEXE ll =

Beweis: XXgYxxX n l===W )(},,...,{)( 1

åå==

====Þn

iii

n

iii xXPxxXPxgYE

11)()()()( l

44 344 21)(

1)(

XE

n

iii xXPx

=

=å == l

Eine Zufallsvariable X, die den Wert l mit der Wahr-scheinlichkeit 1 annimmt, hat eine Einpunktverteilung9

mit Parameter l.

Þ=×=== llll 1)()( XPXE ll =)(E

X und Y seien (auf demselben Wahrscheinlichkeitsraumdefinierte) Zufallsvariablen mit den möglichen Wertenx1,…,xn bzw. y1,…,yn. Es gilt: )()()( YEXEYXE +=+

9 degenerate distribution

Beweis: 10

)( YXE + )()(1 1

jim

i

n

jji yYxXPyx =Ù=+= å å

= =

å å= =

=Ù==m

i

n

jjii yYxXPx

1 1)( å å

= ==Ù=+

m

j

n

ijij yYxXPy

1 1)(

å=

=Ù=++=Ù==m

iniii yYxXPyYxXPx

11 ))(...)((

å=

=Ù=++=Ù=+n

jjmjj yYxXPyYxXPy

11 ))(...)((

å=

=Ù=ÚÚ=Ù==m

iniii yYxXyYxXPx

11 ))(...)((

å=

=Ù=ÚÚ=Ù=+n

jjmjj yYxXyYxXPy

11 ))(...)((

å=

==m

iii xXPx

1)( å

==+

n

jjj yYPy

1)( )()( YEXE +=

10 Text auf grünem Hintergrund kann übersprungen werden.

10

Beispiel: Einmaliges Würfeln

Die Zufallsvariable X nimmt im Fall eines Erfolgs(Sechser) den Wert 1 an und im Fall eines Misserfolgs(kein Sechser) den Wert 0.

}6,...,1{=W

)}1,6(),0,5(),0,4(),0,3(),0,2(),0,1{(=X

Erfolgswahrscheinlichkeit:

611 })6({))1(()1( ==== - PXPXP

Misserfolgswahrscheinlichkeit:

651 })5,4,3,2,1({))0(()0( ==== - PXPXP

Eine Zufallsvariable X, die den Wert 1 mit der Wahr-scheinlichkeit p und den Wert 0 mit der Wahrschein-lichkeit 1-p annimmt, ist Bernoulli-verteilt mitParameter p (Erfolgswahrscheinlichkeit).

pppXPXPXE =×+-×==×+=×= 1)1(0)1(1)0(0)(

Man sagt auch, dass X eine Bernoulli-Verteilung11 mitParameter p hat, und meint damit diejenige Wahrschein-lichkeitsverteilung P* auf Â, die jeder Borel-Menge Adie Wahrscheinlichkeit

ïïî

ïïí

ì

ÎÎÏÎ-ÎÏÏÏ

=

AAAApAApAA

AP

1,0falls,11,0falls,11,0falls,1,0falls,0

)(*

zuordnet.

11 X has a Bernoulli distribution (or X is Bernoulli-distributed)

11

Beispiel: Zweimaliges Würfeln

)}6,6(),...,2,1(),1,1{(=W

X1 nimmt den Wert 1 an, wenn beim 1. Wurf ein Sechserkommt, andernfalls den Wert 0.X2 nimmt den Wert 1 an, wenn beim 2. Wurf ein Sechserkommt, andernfalls den Wert 0.Die Zufallsvariable X=X1+X2 ordnet jedem ErgebniswÎW die Gesamtanzahl der Sechser zu, z.B.

0,1)})5({( =X , 1,6)})2({( =X , 2,6)})6({( =X .

z <- sample(1:6,2,replace=TRUE); z 5 1x <- ifelse(z==6,1,0); x 12

0 0X <- sum(x); X 0

12 Use the command help(ifelse) to get more information about ifelse.

Die Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, falls

)( BYAXP ÎÙÎ )()( 21 BXPAXP Î×Î=

für alle Borel-Mengen A und B.

Im vorigen Beispiel sind die Zufallsvariablen X1 und X2

unabhängig.

Beispielsweise erhalten wir für A=[-2,0] und B={1}:

})1{]0,2[( 21 ÎÙ-Î XXP )10( 21 =Ù== XXP)})6,5(),6,4(),6,3(),6,2(),6,1({(P=

365=

})1{(])0,2[( 21 Î×-Î XPXP )1()0( 21 =×== XPXP

61

65 ×=

365=

12

Beispiel: n-maliges Würfeln)}6,...,6,6(),...,2,...,1,1(),1,...,1,1{(=W

X1 nimmt den Wert 1 an, wenn beim 1. Wurf einSechser kommt, andernfalls den Wert 0.

MXn nimmt den Wert 1 an, wenn beim n. Wurf einSechser kommt, andernfalls den Wert 0.

Die Zufallsvariablen X1,…,Xn sind unabhängig, d.h.)()...()...( 1111 nnnn AXPAXPAXAXP ÎÎ=ÎÙÙÎ

für alle Borelmengen A1,…,An.

Die Zufallsvariable X=X1+X2+…+Xn ordnet jedemErgebnis wÎW die Gesamtanzahl der Sechser zu, z.B.

2})2,6,1,4,6)4,4,2,4,3,({( =X .z <- sample(1:6,10,replace=TRUE); z 4 4 2 4 3 2 6 1 4 6x <- ifelse(z==6,1,0); x; X <- sum(x); X 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2

n=3:

65

65

65

321 )0()0()0()0( ====== XPXPXPXP)0()0()1()1( 321 ===== XPXPXPXP

)0()1()0( 321 ===+ XPXPXP)1()0()0( 321 ===+ XPXPXP

65

65

61

61

65

65

65

61

65

65

65

61 3=++=

65

61

61

61

61

65

61

65

61

65

61

61 3)2( =++==XP

61

61

61)3( ==XP

n=4:

65

65

65

65)0( ==XP

65

65

65

61

61

65

65

65

65

61

65

65

65

65

61

65

65

65

65

61 4)1( =+++==XP

61

65

65

61

65

61

65

61

65

65

61

61)2( ++==XP

65

65

61

61

61

61

65

65

61

65

61

65

65

61

61

65 6=+++

65

61

61

61

61

61

61

65

61

61

65

61

61

65

61

61

65

61

61

61 4)3( =+++==XP

61

61

61

61)4( ==XP

13

Die SummenXXX ++= ...1

von n unabhänigen Zufallsvariablen X1,…,Xn, die eineBernoulli-Verteilung mit Parameter p haben, hat eineBinomialverteilung13 mit Parametern n und p.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert jÎ{0,1,2,…,n}annimmt, ist gegeben durch

jnj ppjn

jXP --÷÷ø

öççè

æ== )1()( ,

wobei der Binomialkoeffizient14

)!(!!

jnjn

jn

-=÷÷

ø

öççè

æ

die Anzahl der Möglichkeiten angibt, die j erfolgreichenVersuche aus den insgesamt n Versuchen auszuwählen.

13 binomial distribution14 binomial coefficient

Es gibt12...)1(! ×××-×= nnn (n Faktorielle)15

n-Tupel mit den Zahlen 1,2,…,n als ihren Komponenten.Für die erste Komponente des n-Tupels kommen nochalle n Zahlen in Frage, für die zweite nur noch n-1 usw.

n=3:3 Wahlmöglichkeiten: 1 2 32 Wahlmöglichkeiten: 2 3 1 3 1 21 Wahlmöglichkeit: 3 2 3 1 2 1

Man kann beispielsweise jedes der 3!=3×2×1=6 Tripel

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)

zur Auswahl von 2 Zahlen verwenden. Allerdings wählendas 1. und das 3., das 2. und das 5. sowie das 4. und das6. Tripel jeweils dieselben 2 Zahlen. Die Anzahl derWahlmöglichkeiten ist also in diesem Fall gegeben durchdie Anzahl der Tripel dividiert durch 2: 3=6:2=3!:(2!1!)

15 n factorial

14

Da eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameternn und p definiert ist als Summe

nXXX ++= ...1

von n unabhänigen, Bernoulli-verteilten ZufallsvariablenX1,…,Xn mit Parameter p, ist ihr Erwartungswertgegeben durch

)...()( 1 nXXEXE ++= )(...)( 1 nXEXE ++=

pp ++= ... np= .

Beispiele:

· Es gibt 45 über 616 verschiedene Tipps beim Lotto6 aus 45.

0601458123456

404142434445)!645(!6

!45645

=××××××××××

=-

=÷÷ø

öççè

æ

sample(1:45,6,replace=FALSE) 21 4 39 36 18 23

16 45 choose 6

· Es gibt 5!=5×4×3×2×1=120

verschiedene Anordnungen der 5 BRICS-Staaten:

BRA,CHN,IND,RUS,ZAF (Alphabet) CHN,IND,BRA,RUS,ZAF (Bevölkerung)

M

· Es gibt 30 über 5 verschiedene Aktienportfolios,die 5 der 30 im Dow Jones Industrial Average (DJIA)berücksichtigten Industrieunternehmen17 enthalten:

DIS,KO,MCD,AAPL,NKE18 (kids‘ choice) AXP,GS,JPM,TRV,V19 (Geld)

M

50614212345

2627282930)!530(!5

!305

30=

××××××××

=-

=÷÷ø

öççè

æ

17 DJIA-Komponenten vom 19.03.201518 Walt Disney, Coca-Cola, McDonald's, Apple, Nike19 American Express, Goldman Sachs, JPMorgan, Travelers, Visa

15

Beispiel: Würfeln bis zum ersten Sechser

),...}6,2,1(),6,1,1(),6,5(),...,6,2(),6,1(,6{=W

Die Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis die Anzahlder Misserfolge bis zum Erfolg (erster Sechser) zu.

Beispielsweise nimmt X den Wert 0 an, wenn gleich beimersten Mal ein Sechser kommt, den Wert 1, wenn erst beimzweiten Mal ein Sechser kommt, usw.X kann also die Werte 0,1,2,3,… annehmen, d.h.

À==W ,...}3,2,1,0{)(X .

Beispielsweise ist

75,3,6)})3,4,1,3,5,({( =Xund

15)})62,3,4,2,4,2,5,2,2,4,2,4,3,4,2,({( =X .

Eine Zufallsvariable heißt diskret20, falls )(WX endlichoder abzählbar unendlich ist.

Ist die Menge der möglichen Werte einer ZufallsvariablenX abzählbar unendlich, d.h.

,...},,{)( 321 xxxX =W ,

dann ist ihr Erwartungswert gegeben durch

...)()()( 2211 +=+== xXPxxXPxXE

å¥

===

1)(

jjj xXPx ,

allerdings nur, falls diese unendliche Summe existiert.

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Xkann einheitlich geschrieben werden als

)()()(

xXPxXEXx

== åWÎ

.

20 discrete

16

Würfelt man solange, bis ein Sechser kommt, dann istdie Wahrscheinlichkeit von j Misserfolgen gegebendurch

( ) ÀÎ== jjXP j ,)( 65

61 .

Gleich beim 1. Mal ein Sechser, kein Misserfolg:

61)0( ==XP

Erst beim 2. Mal ein Sechser, ein Misserfolg:

61

65)1( ==XP

Erst beim 3. Mal ein Sechser, zwei Misserfolge:

61

65

65)2( ==XP

Erst beim 4. Mal ein Sechser, drei Misserfolge:

61

65

65

65)3( ==XP

M

Eine diskrete Zufallsvariabe hat eine geometrischeVerteilung21 mit Parameter p, falls

ÀÎ-== jppjXP j ,)1()( .Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1:

1)1()1()( )1(11

000==-=-== --

¥

=

¥

=

¥

=ååå pj

j

j

j

jpppppjXP

Den Erwartungswert von X erhält man wie folgt:

åå¥

=

¥

=-=-=

10)1()1()(

j

j

j

j ppjppjXE

( )å¥

=

-- -+---=1

11 )1()1()1()1(j

jj ppppjp

å¥

=--+-=

0)1()1()()1(

j

jpppXEp

pp

p XEppXpE --- =Þ-=Þ 1

)1(11 )()1()(

21 geometric distribution

17

Ein Maß für die Streuung22 einer Zufallsvariablen X istgegeben durch den Erwartungswert der absolutenAbweichung vom Erwartungswert:

)( XEXE - 23 (mittlere absolute Abweichung24)

Ein alternatives Maß erhält man, wenn man zuerst denErwartungswert der quadrierten Abweichung vomErwartungswert ermittelt und dann die Wurzel zieht:

2))(()var( XEXEX -= (Varianz25)

)var()(sd XX = (Standardabweichung26)

Für 2))(( XEXY -= gilt:

)()()(

yYPyYEYy

== åWÎ

åWÎ

=-=)(

2 )())((Xx

xXPXEx

22 dispersion23 Weglassen der Klammern bei E(…) kann die Lesbarkeit verbessern.24 mean absolute deviation25 variance26 standard deviation

Beispiel: X hat eine Bernoulli-Verteilung mit Parameter p

pXE =)(

ppppXEXE -+--=- 1)1(0)(

)1()1()1()0()var( 222 ppppppppX -=-=-+--=

)1()(sd ppX -=

p <- c(0.2,0.4,0.6,0.8)MAD <- abs(0-p)*(1-p)+abs(1-p)*p # absolute valuesd <- sqrt(p*(1-p)) # square rooth <- rbind(p,MAD,sd); h # combine by rows p 0.20 0.4000000 0.6000000 0.80 MAD 0.32 0.4800000 0.4800000 0.32 sd 0.40 0.4898979 0.4898979 0.40

18

Eigenschaften der Varianz (X Zufallsvariable, a,bÎÂ):

)var(X 2))(( XEXE -=

)))(()(2( 22 XEXEXXE +-=22 ))(())(2()( 321321

ÂÎÂÎ

+-= XEEXEXEXE

22 ))(()())(2()( XEXEXEXE +-=22 ))(()( XEXE -=

)var( Xba + 2))(( XEXE baba +-+=2))(( XEEXE baba --+=

2))(( XEXE baba --+=2))(( XEXE bb -=

22 ))(( XEXE -= b22 ))(( XEXE -= b

)var(2 Xb=

Ist X binomialverteilt mit Parametern n und p, dann giltfür n=2

22 )()var( XEXEX -=2222 )2()2(2)1(1)0(0 pXPXPXP -=+=+==

2022112 4)1(2)1(210 ppppp --+-+=

)1(2 pp -= ,für n=3

)1(3...)var( ppX -==und allgemein

)1()var( ppnX -= .

Die Varianz einer Summe von n unabhänigen, Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit Parameter p ist alsogegeben durch

)1()...var( 1 pnpXX n -=++

und ist somit gleich der Summe

)1(...)1()var(...)var( 1 ppppXX n -++-=++

der Varianzen der Summanden.

19

Allgemein gilt=++ )...var( 1 nXX )var(...)var( 1 nXX ++ ,

falls X1,…,Xn paarweise unabhängig sind.

Beweis (für n=2):)()( 2211

)(21

)(21

1211

xXxXPxxXXEXxXx

=Ù== ååWÎWÎ

)()( 2211)(

21)( 1211

xXPxXPxxXxXx

=== ååWÎWÎ

)()( 22)(2

)(111

1211

xXPxxXPxXxXx

=== ååWÎWÎ

)()( 21 XEXE=2

212

2121 ))(()()var( XXEXXEXX +-+=+Þ

)()(2)( 2221

21 XEXXEXE ++= 2

21 ))()(( XEXE +-

)()()(2)( 2221

21 XEXEXEXE ++=

2221

21 ))(()()(2))(( XEXEXEXE ---

22

22

21

21 ))(()())(()( XEXEXEXE -+-=

)var()var( 21 XX +=

20

Momente:

Für kÎÀ heißt

)( kXE

das nichtzentrale Moment der Ordnung k 27 von X,kXEXE ))(( -

das zentrale Moment der Ordnung k 28 von X undk

XXEXE ÷÷

ø

öççè

æ -)(sd

)(

das normierte zentrale Moment der Ordnung k 29

von X.

27 noncentral moment of order k28 central moment of order k*29 normalized central moment of order k

Spezielle Momente:

Nichtzentrales Moment der Ordnung 1: Erwartungswert

Zentrales Moment der Ordnung 2: Varianz

Normiertes zentrales Moment der Ordnung 3: Schiefe30

Normiertes zentrales Moment der Ordnung 4: Wölbung31

30 skewness31 kurtosis

21

Quiz

F={f,{3,5},x,y} s-Algebra auf W={3,4,5}, |x|+|y|=?

P={(f,0),({0,1,2},0.2),({3},x),({0,1,2,3},1)}, x=?

P Gleichverteilung auf {-5,-4,…,4}, X(w)=w2, P(X£4)=?

P(X=-5)=0.1, P(X=-3)=0.2, P(X=2)=0.7, E(X)=?

E(X)=4, E(Y)=-1, Z=3+3X -Y, E(Z)=?

P(X=3)=0.3, P(X=-2)=0.2, P(X=1)=0.5, E(X2)=?

var(X)=3, Y=-19-2X, var(Y)=?

E(X)=4, var(X)=23, E(X2)=?

X Gleichverteilung auf {2,3,4}, Y~B(4,0.5)32, E(X+Y)=?

32 Abkürzung für: Y hat eine Binomialverteilung mit n=4 und p=0.5

Lösungen

|x|+|y|=|{3,5}c|+|W|=|{4}|+|W|=1+3=4

{3}={0,1,2}c Þ x=P({3})=1-P({0,1,2})=1-0.2=0.8

P({-5})=…=P({4})= 101 Þ P(X£4)=P({-2,….,2})= 10

5 =0.5

E(X)=(-5)×0.1+(-3)×0.2+2×0.7=0.3

E(Z)=3+3E(X)-E(Y)=3+3×4-(-1)=16

E(X2)=32×0.3+(-2)2×0.2+12×0.5=4

var(Y)=var(-19-2X)=var((-19)+(-2)X)=(-2)2var(X)=4×3=12

var(X)=E(X2)-(E(X))2Þ E(X2)=var(X)+(E(X))2=23+42=39

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2 31 +3 3

1 +4 31 +4×0.5= 3

9 +2=5