Normalverteilte Zufallsvariablen

Beispiele für (approximativ) normalverteilte Zufallsvariable:- Körpergröße (-gewicht, IQ) eines zufällig ausgewählten erwachsenen Bundesbürgers über 18- Rendite einer Aktie an einem zufällig ausgewählten Börsentag- Anzahl Autos, die in einer Stunde eine Kreuzung passieren- Anzahl Leser des Leitartikels in der FAZ

Eigenschaften der Normalverteilung

Außerdem sind Linearkombinationen von normalverteilten ZVen i.a. wieder normalverteilt (konkret: wenn sie eine gemeinsame Normalverteilung haben).

Zentraler Grenzwertsatz:

Seien X₁, … Xn unabhängige Zufallsvariablen mit endlichen und beschränkten Varianzen. Dann nähert sich die Verteilungsfunktion von

Zn := X1 + …+ Xn

mit wachsendem n immer mehr der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern μ= E(Zn )und σ²= Var(Zn)

5.3 Unabhängige Ereignisse und bedingteWahrscheinlichkeiten

Wiso-Skript Kap. 8.4

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Aufgabe:Betrachten sie folgenden beiden Ereignisse beim einfachen Poker (jeder erhält verdeckt fünf Karten):

A: Ich habe mindestens drei AsseB. Ich habe mindesten drei Könige

Sind A und B unabhängig? Wenn ja, warum. Wenn nein, warum nicht.

4 häufige Fehler bei bedingten Wahrscheinlichkeiten:

1. Mentale Kurzschlüsse in der Interpretation desbedingenden Ereignisses

2. Verwechseln von P(A|B) mit P(B|A)

3. Verwechseln von P(A|B) mit P(A|B und C)

4. Reinfallen auf das Simpson-Paradox

Vier gleich wahrscheinlicheMöglichkeiten für ein

Geschwisterpaar:

(M,M), (M,J), (J, M), (J, J)

Ich wähle zunächst die linke Tür

3. Fehlertyp. Verwechseln von

P(A|B) mit P(A|B und C)

P(Ehemann ist Mörder| Ehemann hat Frau geschlagen) = 1/2500

P(Ehemann ist Mörder | Ehemann hat Frau geschlagen und Frau ist

ermordet worden) = 8/9

Siehe I. Good: „When batterer becomes murderer,“ Nature 391, 1969, S. 481

Simpson-Paradox (nach E. H. Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1951, S. 238–241):

Es ist möglich, dass

P(A|B und Ci) > P( A| nicht B und Ci)

für alle i, und trotzdem

P(A|B) < P(A| nicht B)

>/

Age 1970 ´ 2001 0-4 7 3 5-9 6 210-14 4 215-19 6 220-24 8 425-29 12 630-34 21 1335-39 45 2540-44 84 5145-49 144 9850-54 214 16155-59 305 24060-64 415 32165-69 601 46870-74 850 65675-79 1183 92480-84 1644 1587

Number of women (among 100.000 in the respective age groups)who died from cancer in Germany

Aus: W. Krämer und G. Gigerenzer: “How to confuse with statistics“, Statistical Science 2005

Diskriminierung bei der Studienplatzvergabe?

Verteilung der Bewerber auf die Fächer:

Journalistik Mathematik insgesamt

Männer 100

(10=10%)

400

(200=50%) 500

(210=42%)

Frauen 400

(80=20%)

100

(60=60%) 500

(140=28%) rot: akzeptierte Bewerber