Diss - Ein Simulationssystem Für Granulare Aufschüttung Aus Teilchen Variabler Form - Schinner - 2001

Ein Simulationssystemfur granulareAufschuttungen ausTeilchenvariabler Form

DissertationzurErlangungdesakademischenGrades

doctorrerumnaturalium(Dr. rer. nat)

genehmigtdurchdieFakultat fur NaturwissenschaftenderOtto-von-Guericke-UniversitatMagdeburg

von Dipl. Phys.AlexanderSchinnergeb. am3.12.1968in Wasserburg amInn

Gutachter: Prof.Dr. KlausKassnerProf.Dr.-Ing. JurgenTomasProf.Dr. DietrichWolf

Eingereichtam: 25.10.2000Verteidigungam: 10.7.2001

Danksagung

EineDissertationkannmannicht fertigstellen,ohnedavieleLeutedirektoderindirektdaranbetei-ligt sind.MeinemBetreuerProf.KlausKassnerdanke ich fur die vielfaltigeUnterstutzungmeinerArbeit, dieDiskussionenmit ihm und fur die Geduld,die er hatte,als ich gc2d entwickelte.SeineIdeenundRatschlagehabenmir sehrviel geholfen.SeinkritischesAuge hat so manchemRohentwurfeinerVeroffentlichungodereinesVortrageserstzur endgultige Formverholfen.Die Zusammenarbeitmit Dr. Hans-Georg Matuttisbegann,als er mich bei einemFruhstuck in Re-gensburg auf die Idee brachte,doch uber GranulareMedien zu arbeiten.Und dank Email ist dieEntfernungzwischenMagdeburg undTokio sehrklein geworden.Im LaufederletztenJahrehabenvieleLeutedasArbeitsumfeldin unsererArbeitsgruppemitgestaltetunddamitzur Form dieserArbeit beigetragen.JensMPI Kappey undich habenlaufendversucht,unserejeweiligenProgrammenocheffizienter zu gestalten.PeterMaple KohlerthatdasManu-skriptgelesen,seineSchlagfertigkeit war in DiskussionenstetseineHerausforderung.Beidendankeich fur unzahligeGespracheuberPhysik,Computer, denSinndesLebensunddenRestdesUniver-sums.ThomasFischaleckbestanddarauf,daich Sandhaufenmittle undDorotheaErndtwar alsSekraterinbei vielenFormularenunentbehrlich.Heiko Bauke war der erste,der mit dem Quellcodevon gc2d zu arbeitenhatte.Er hat die alteGrafikbibliothekYGL durchGTK ersetztunddie Bibliothek gsi.pm aufgebaut.Auerdemhatermir TEXnischeTricksbeigebracht.Dr. StephanMertenshat mit mir so manchenAbendzugebracht,entwederbei der AdministrationunseresClustersoderin denFreienKammerspielen.Bei denDiskussionenbeim Mittagessenhabeich viel gelernt.Zusammenmit Prof.KlausKassnerhabenwir TINA, einenBeowulf-Cluster, geplantundbeantragt.Dr. Severin Thummererdanke ich fur unzahligeGesprache,dasLesendesManuskriptsundvielesmehr.MeinerMutterdanke ich fur all die UnterstutzungundHilfe wahrenddesStudiumsundderPromo-tion.

HerzlichenDank!

i

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Granulare Medien 31.1 GrundlegendeEigenschaftengranularerMaterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 GranulareAufschuttungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Boschungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Lawinenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 GroenSegregation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 DruckverteilunguntergranularenAufschuttungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Ausblickaufdie Dynamikvon Granulaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Simulationsmethoden 212.1 VerschiedeneMethodenzur Simulationvon Granulaten. . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 AbstrahierendeMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Diskrete-ElementeMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 PhysikalischeGrundlagenderSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 GestaltundEigenschaftenderPartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 KraftberechnungbeiderKollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 AnderungderTeilchengroe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 BerechnungphysikalischerDatenausdenSimulationsergebnissen . . . . . . . . . . 352.3.1 Simulationsdaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 BerechnungweitererGroen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 BerechnungderlokalengemitteltenDichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4 Berechnungvon SpannungstensorenausdenKraften . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Methodenzur effizientenSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.1 GrundlegendeKonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.2 BoundingBoxesundSortierverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.3 BestimmungderPartikelabstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.4 Parallelisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.5 Anpassungandie Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 TestderSimulationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.1 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.2 Stovon zweiundmehrTeilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.3 Brachystochrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.4 GaltonBrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5.5 MaxwellscherDamon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ii INHALTSVERZEICHNIS

3 Druckverteilung in Schuttgutsaulen 693.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Erweiterungauf verallgemeinerteSiloformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 StufenformigesSilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4 Silo mit schragenWanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5 ParabelformigesSilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Granulare Aufschuttungen 794.1 GeordneteSandhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Sandhaufen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 GeschichteteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 GeschutteteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 BeeinflussungeinesSandhaufens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1 Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2 ExterneKontrolledesDruckminimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.3 ElastischeKonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Eigenschaftenkohasiver Aufschuttungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Zusammenfassungund Ausblick 109

A Namenskonventionenbei Dateinamen 111

B Format der Eingabedateien 113B.1 EingabedateizurSimulationsbeschreibung (gsi ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.1.2 DasObjektGENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.1.3 DasObjektDISPLAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118B.1.4 DasObjektPARTICLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.1.5 DasObjektWALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.1.6 DasObjektGENERATE BLOCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125B.1.7 DasObjektDROPSOURCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128B.1.8 Beispielfur eineEingabedatei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.2 Eingabedateienfur Kollisionen(gci ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C Format der Ausgabedateien 133C.1 Ausgabedateienfur die Systembeschreibung (gso ) unddieKollisionen(gco ) . . . . 133C.2 BeschreibungderTeilchengeometrie(ggf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.3 BeschreibungderKrafte(gff ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.4 PositionundGeschwindigkeit (gpf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135C.5 ZeitabhangigeGroen(gtf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135C.6 Trajektorien(gpl ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

D Ein Praprozessorfur die Eingabedateien 137D.1 DasPerl-Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137D.2 Makrobibliotheken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140D.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140D.4 Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141D.5 Rechtecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142D.6 RegulareHaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142D.7 RotierendeTrommeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.8 Einlesenvon XFig -Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

iii

E Inter na von gc2d 145E.1 Kommandozeilenoptionenvon gc2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145E.2 KonfigurationbeiderKompilierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145E.3 GraphischeUbersichtderFunktionsaufrufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146E.4 Strukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

F Gear Predictor-Corrector 151

Ein Sandkorn wurdein ein Hausgeweht.Esliegt dort in einerdunklenEckehintereinemSchrankbein,

unerwischtvom PutzlappenderHausfrau.Denktnicht,daessostill daliegt, wie eseucherscheint;

in ihm rasenAtome,umkreisenElektronendie Atomkerne.WehtederWind dasSandkorn in denWinkel,

damitihm die Gelegenheitwurde,Erkenntnissezu sammeln?

Erwin StrittmatterDer Wundertater

1

Einleitung

GranulareMaterialien,derenprominentesterVertreterSandist, sind in sehrvielen Forschungbe-reichenvon Bedeutung.Ihr besonderenEigenschaftenmachensie sowohl fur die industrielleAn-wendungbedeutsam,alsauchalsArbeitsgebietin derGrundlagenforschung.Die vorliegendeArbeitbefatsichmit dernumerischenUntersuchungvon Granulaten.

Die GroenskalatypischergranularerTeilchenbeginnt im -Bereichfur feine Staube.Die obe-renGrenzeliegt etwa im Bereichvon einigenKilometernTeilchendurchmesserfur die Felsbrockenin denRingendesSaturn[1]. Obwohl manim allgemeinenbei GranulatenimmerangroeZahlenvon Partikeln denkt,so ist diesnicht notwendig,um interessanteSystemezu erhalten.SchondieUntersuchungderDynamikeineseinzelnenTeilchensin Kontaktmit einerWand[25] kanninter-essanteErkenntnisseliefern. Einige DutzendMurmeln in einerPetrischalezeigenschonneuartigeVerhaltensweisenwie die sog.Reptationsbewegung[58]. Zur UntersuchungkomplexererSystememit Hilfe einerComputersimulationist esnotwendig,hinreichendgroeTeilchenzahlenberechnenzu konnen.Hier ist esdannsinnvoll, durchdie ImplementierungoptimierterAlgorithmendie vor-handeneRechenzeitbesserzu nutzen.Von besondererBedeutungist auchdie Form derTeilchenineinemgranularenMedium.Runde,glatteDrageesin einerPharmafirmahabensicherandereEigen-schaftenalsdie rauhenErzbrocken im Bergbau.Deswegenwurdein demfur dieseArbeit erstelltenSimulationsprogrammauchdie Gestaltder Teilchenmit berucksichtigt.Ein noch komplizierteresVerhaltenkannentstehen,wennGranulatenochmit Flussigkeiten[912] oderGasen[13] wechsel-wirken. Ebensohat die Form der Wechselwirkung zwischenzwei Partikeln einenEinflu auf dasVerhaltendesGesamtsystems.Kommtzur Kraft aufgrundvon Kollisionennocheineweitereanzie-hendeKraft [14] hinzu,kannmandenEinfluvon Kohasionuntersuchen.

Die Arbeit gliedertsichfolgendermaen:zuerstwird im Kapitel 1 aufdiejenigengrundlegendenEi-genschaftenvon Granulateneingegangen,die fur die untersuchtenSystemevon Bedeutungsind.ImdarauffolgendenKapitel 2 werdendie verwendetenSimulationsmethodenvorgestelltunderlautert.Dies umfatdie physikalischeModellierungder Kontakte,die Auswertungder Simulationsergeb-nisse,denTestderNumerikunddie verwendetenStrategien,um die Simulationin akzeptablerZeitdurchzufuhren.Die beidenfolgendenAbschnittebefassensich dannmit der UntersuchungzweierverschiedenerSysteme.Kapitel 3 beschaftigt sich mit Schuttgutsaulen;hier wird eineErweiterungderklassischenTheorievon Janssenvorgestelltundmit Simulationenverglichen.Im Kapitel 4 wer-dendannSimulationsergebnissebeschrieben,dieeinenEinblick in Sandhaufenermoglichen.Eswer-denfur dieTheorieninteressanteGroenuntersucht.Ebensowird versucht,denBlick aufeinebishernicht berucksichtigteGroe,die lokaleDichte,zu lenken.Abschlieendwerdendie ErgebnissederArbeit nochmalszusammengefatundim Hinblick auf zukunftigeEntwicklungenbewertet.

Dasim RahmendervorliegendenArbeit entstandeneProgrammsystemgc2d wurdesoentwickelt,daverschiedenstegranulareSystemeuntersuchtwerdenkonnen.DiesesSimulationssystembestehtausdrei Komponentenfur die Beschreibung deszu simulierendenSystems,die SimulationselbstunddieAuswertungderSimulationsergebnisse.

Die Vorgabedeszu berechnendenSystemsubereineBeschreibungssprachesoll eserleichtern,die

2

vielfaltigenMoglichkeiteneffektiv zu nutzen.Die eigentlicheSimulationselbstgeschiehtdurcheinC-Programmmit demNamengc2d 1, esgabauchdemGesamtsystemseinenNamen.Die Auswer-tung derSimulationsergebnissemit Matlab, einemProgrammfur die numerischeBerechnungundgraphischerDarstellung,erfolgtdurchselbstentwickelteRoutinen.Dies,zusammenmit denverwen-detenkomplexen Algorithmen,fuhrte zu einemsehrgroenUmfangvon mehrals 15.000ZeilenC-Code,3.000Zeilen Perl-Skriptenund uber5000Zeilen Matlab-Routinen.Um die NutzungdesSystemsauchfur andereNutzer zu ermoglichen,dient der Anhangals Programmdokumentation.Eswerdenin denAnhangenB undC die FormatederEin- undAusgabedateienbeschrieben,sowieim AnhangD dasInterfacezur SkriptsprachePerl. Im AnhangE.3 wird ein graphischerUberblickuber die verwendetenFunktionengegeben.Die weiterenAnhangebeschreibendie verschiedenenOptionenbei derKompilierungundbeimStartdesProgrammssowie andereprogramminterneDe-tails.Auf derbeigelegtenCD sindverschiedeneFilme,die einenEindruckvon dervielfaltigenNut-zungsmoglichkeit von gc2d geben.EbensofindetsichdorteinelauffahigeVersiondesProgramms.

1DerNamegc2d ist lediglicheineAbkurzungfur Granulate/ C-Programm/ 2 Dimensionen.

3

Kapitel 1

Granular eMedien

1.1 GrundlegendeEigenschaftengranularer Materie

1.1.1 Einf uhrung

In diesemAbschnitt soll eineUberblick uberdie Vielfalt der PhysikgranularerSystemegegebenwerden.DetaillierteBeschreibungenderGrundlagenfur die in dieserArbeit behandeltengranularenAufschuttungenfolgendannim Abschnitt1.2.

TypischeVertreterfur dieseStoffklassesind beispielsweiseGetreide,Sand,Kies, TablettenoderPellets.Aber auchdie RingedesSaturns[1] oderEisschollenauf demMeer [15,16] konnenalsgranularesMaterial betrachtetwerden.Die Verschiedenartigkeit der Materialienlaterahnen,damanbei der Untersuchungvon GranulateneineVielzahl von Arbeitsbereichenzu berucksichtigenhat.

Bezeichnung Korngroenbereichin mmBlocke uber200Steine uber63bis 200Kies uber2 bis 63Sand uber0.06bis2.0Schluff uber0.002bis 0.06Tonkorn unter0.002

Tabelle1.1: Korngroenverteilungvon SandnachDIN 4022/1.Fur Kies, SandundSchluff gibt esjeweils nochEinteilungenin grob,mittel undfein.

JenachGroehabenverschiedeneKrafteeinenEinfluaufdie Partikel.

Bei sehrkleinenPartikeln(Staub,Feinkorn) ist derEinfluvonanziehendenoderabstoendenWech-selwirkungenaufgrundvonLadungennochvonBedeutung.AuchdasdiePartikel umgebendeMedi-ummuberucksichtigtwerden.EineeinfacheAbschatzung,wie schnelleinderartigkleinesTeilchenin Luft fallt, zeigt dasProblem.Nimmt manfur dasPartikel die Kugelformmit undderDichte an,sogilt mit derStokes-Reibung

"!$# % & . AlsquasistationareLosungfur hinreichendlangeZeiten

'$( *),+*- erhalt manalso '. *) /

.

Bei etwas groerenPartikeln (typischerweise01 mm) kann der Einflu der Luft in bestimmtenSystemenvernachlassigtwerden.Dies gilt naturlich nicht, wennein Luftstrom uberdasGranulatstreicht;dabeikanneszur BildungDunenundRippelnkommen.

4 GranulareMedien

Abbildung 1.1: Die physikalischeBeschreibung einesgranularenSystemsgeschiehtauf mehre-ren Ebenen.Bei der Simulationmit gc2d werdenEigenschaftender mikroskopischenEbene(Masse,Form, etc.) vorgegeben.Die Simulation liefert als ErgebnisseDaten im mikroskopi-schenBereich(z.B.Krafte).DurchMittelunguberkleine/groeVolumina,erhalt mandannmeso-/makroskopischeGroen.Durchdie in Abschnitt2.3 beschriebeneAuswertungkannmandannbeispielsweisedieSpannungstensorenbestimmen.(aus[22])

Die Bagnold-Zahl[17]

2 3 4 5768:959=@? (1.1)

gibt Auskunft daruber, ob mandasGranulatals reineFlussigkeit mit einerkorrigiertenViskositatbetrachtenkann.Dabeibeschreibt

4die KonzentrationderTeilchenin einerFlussigkeit mit derdy-

namischenViskositat %>=@? . 9 59

1.1GrundlegendeEigenschaftengranularerMaterie 5

zumStillstand,konstantemittlereGeschwindigkeit oderbeschleunigteBewegung)gibt, die von derReibungundderEnergiedissipationbeimStoabhangen.Untersuchungenzursogenanntenstick-slipBewegungbeimZieheneinesBlocksubereineOberflachewurdenvon Elmer[27,28] durchgefuhrt.Ein einzelnesTeilchenin einerTrommelzeigteinSchwingungsverhalten,mit demsichverschiedeneKraftgesetzeuntersuchenlassen.Dabeizeigtsich,dazur Beschreibung dieseseinfachenFalls dasCoulombscheReibungsgesetznicht ausreichendist [5,29]. Schereret al. habendie BewegungvonwenigenKugelnin einergeschwenktenSchaleuntersucht[68,29]. Hierbeizeigtsich,dasicheineUmkehrderBewegungsrichtungabhangigvom FullgraddesBehaltersergibt. Man kanndabeidenUbergangvon derBewegungeinzelnerTeilchenzur Bewegungbeobachten.

H. Jagerbezeichnetdie beidenExtremfalle einesschnellenScherflussesundderkompaktenruhen-denTeilchenanordnungals alive stateund deadstate.Eine SystemkanndurchexterneKrafteangeregt werden.Dissipationund Reibung entziehenihm Energie und bringenes zur Ruhe.DasProblemist, dader Ubergangals eineFunktionder Dichte durcheinengroenBereichmetasta-biler Systemeerfolgt. Hier ist die DichtederPartikel grogenug,um durchgegenseitigeBlockadedenUbergangzu verlangsamen.Als FolgekanndasSystemsehrleicht einfrieren, alsoin einemmetastabilenBereichhangenbleiben.DasVerhaltendesSystemswird irreversibelundhysteretisch,abhangigdavon ab, wie starkdasSystemgekuhlt oder geheizt wird. JagerbezeichnetdiesenZustandalsglasartig[22].

Bei der technischen/physikalischen Bedeutungvon Granulatengibt esein breitesSpektrumanMo-glichkeiten. Die Geowissenschaftenbeschaftigen sich schonseit Tausendenvon Jahrenmit Gra-nulaten;der Ausspruch. . . auf Sandgebautfindet sich schonin der Bibel. Aussagenuber dieTragfahigkeit desUntergrundesermoglicheneserst,HochhauserundBrucken zu konstruieren,dieauchstandfestsind.Auch derTransportvon Granulatenist von groertechnischerBedeutung.DieFordertechnikbeschaftigt sich mit dendabeiauftretendenProblemen.Die Physikbegannsich erstdeutlichspaterfur dieseMaterialienzu interessieren,wie Arbeitenvon Coulomb[30] uberdie Rei-bung,Faraday[31] uberSandauf einerschwingendenPlatteundReynolds[32] uberdie Dillatanzzeigen.ReynoldsbeispielsweisebeschriebdieDillatanz,alsodieVolumenzunahmeeinesGranulatesbeiScherung.In denletztenJahrenhatdasInteressedannsehrstarkzugenommen.Dieshangtsichermit derzunehmendenLeistungsfahigkeit derComputerzusammen,aberauchmit derVereinfachungderBildanalyse,sodagranulareSystemstorungsfreiuntersuchtwerdenkonnen.

Die ForschungangranularenMedienberuhrt auchandereForschungbereiche.Die Ahnlichkeit vonflieendemSandund demAutoverkehr ist schonseit einigenJahrenThemaeinerKonferenzreiheunterdemNamenTraffic andgranularFlow [33,34].

Bak, Tang,Wiesenfeldfuhrtenein Modell [35,36] einesSandhaufensals ein Paradigmafur dieselbstorganisierteKritikalit at ein(sieheAbschnitt1.2.2).Frette[37] untersuchtedieLawinenbildungfur Reis in einer Hele-Shaw Zelle, also einemquasizweidimensionalenSystem,und fand diesesVerhalten.

All dieszeigt,daGranulateaufgrundihrerVielfalt einanspruchsvolles,vielseitigesForschungebietsind.Da esunmoglich ist, dieganzeVielfalt derSystemegleichzeitigbearbeitenzu wollen,mudieArt desSystemsfestgelegt werden,dasbeschriebenwerdensoll. In dervorliegendeArbeit werdenSystememit denfolgendenEigenschaftenbehandelt:

1. zweidimensionaleSysteme

2. keinelangreichweitigenWechselwirkungen.

3. Reibung,Kohasionwerdenberucksichtigt.

4. RauheundglattePartikel sollenunterschiedenwerden.

6 GranulareMedien

5. Die Partikel sindelastisch,nichtplastisch,undkonnennicht brechen.

6. beliebigeGroenverteilungen

AufgrunddieserVorgabenkonnendievomSimulationsprogrammzuerfullendenForderungenange-gebenwerden:

1. Kraftewirkennurbei Kontakten.Beruhrensich2 Teilchennicht, ist die Kraft zwischenihnenNull.

2. Die Partikel werdendurchPolygonebeschrieben.EinegroeZahlvonEckennaherteinglattesTeilchenbeliebiggenauan.

3. Eine hinreichendgroeZahl an Partikeln muberechnetwerden,um physikalischrelevanteSystemesimulierenzukonnen.

Die zweiteunddritte Forderungzusammenfuhrenzu einemProblemmit derRechenzeit.TypischeSimulationenin dieserArbeit berechnenzwischen3000und 10000Teilchenbei etwa K bis *LZeitschritten.Dabeikannmansichdie speziellengeometrischeEigenschaften(sieheAbschnitt2.4)derPartikel zunutzemachen,umschnelle,effizienteAlgorithmenzuentwickelnundzurAnwendungzu bringen.

1.2 Granular e Aufschuttungen

1.2.1 Boschungswinkel

Schuttet manein gewohnliches,trockenesGranulatauf eineEbene,so entstehtein Haufen.DieseTatsacheist als solcheeigentlichschonbemerkenswert.Eine Flussigkeit wurdezu einemdunnenFilm zerflieen,begrenztnur durchseineOberflachenspannung.Ein FestkorperwurdeseineFormbis aufelastischeundplastischeVerformungenbeibehalten.

Die OberflacheeinesSandhaufensscheintauf Skalen,die groerals der typischeTeilchendurch-messersind,eineglatteKurve zu sein.Der Winkel, dendie OberflacheeinesSandhaufensmit demUntergrundeinschliet,heitBoschungswinkel oderangleof repose.DieserWinkel ist einety-pischeGroedesverwendetenMaterials.Am einfachstenist danndie Form einesSandhaufenszubestimmen,derauf einerPlattemit einerbestimmtenForm aufgeschuttet wird. DabeientstehtdannderKorper, derunterderVoraussetzung,dadie OberflachedenBoschungswinkel hat,maximalesVolumenhat.Auf einerrundenScheibeist diesbeispielsweiseeinKegelundaufeinerquadratischenGrundflacheeinevierseitigePyramide.

Nach Herrmann[38] gibt esnoch keineTheorie,mit der mandenBoschungswinkel fur einebe-stimmteGranulatsorteausdessenmikroskopischenEigenschaftenwieGroe,Form,Oberflachenrau-higkeit, Restitutionskoeffizient undElastizitatsmodulberechnenkann.In derselbenVeroffentlichungwird ein Modell vorgestellt,welchesden Boschungswinkel fur ein vereinfachtesSystembestim-menkann.Eswird angenommen,dadie OberflachedesSandhaufensauseinzelnenStufenbesteht.Springtnunein Teilchenmit derEnergie MON eineStufehinunter, hatesanschlieenddie Energie

MQPN RSMON !UTWVYX Z (1.2)

1.2GranulareAufschuttungen 7

Abbildung 1.2: NumerischbestimmteWertedesBoschungswinkels [ in Abhangigkeit derFunktion\^] )7__ fur W`ba ( c ), 0.5( d ), 0.7( e ) und0.9(f ). Dabeiist derRestitutionskoeffizientenund \die HohederStufen(aus[38]).

wobei der Restitutionskoeffizient ist und TWV der Energiegewinn aufgrundder Hohe der Stufe.In einemrealenSandhaufenkannein herabrollendesKorn in einemlokalenEnergieminimumlie-genbleiben.Dieswird durcheineEnergiebarriere

\beschrieben.Wennalso M P N 0 \ ist, bleibt das

Teilchenliegenunderhoht stattdessendie Stufe.Die beidenParameter und \ fassendanndie mi-kroskopischenParameterzusammen,wobei denStozweierTeilchencharakterisiertund \ dasAnhaftenanderOberflachedesHaufens.

NumerischeUntersuchungen[38,39] ergebendasin Abbildung1.2dargestelleVerhalten.Die StufensindArtefaktedesModells,daaufeinemquadratischenGittersimuliertwurde.DerallgemeineTrendist aber, wennentwederbei jedemSprungviel Energie dissipiertwird (kleines ) oderdie lokalenMinima sehrgrosind(groesU), dannsteigtderBoschungswinkel. DasgenannteModell latsichauchanalytischberechnen,wobeimanannimmt,dasichderHaufenin einemstationarenZustandbefindet.Diesstellt gewisseBedingungenandieEnergiendereinzelnenStufen,diedannnichtmehrwachsenoderschrumpfendurfen.EinegenaueAbleitungfindetsich in [38,40]. Interessantist, dasichdiesesModell auf ein Ising-Spinglasmit langreichweitigerWechselwirkung abbildenlat.DieHamiltonfunktionist dann:

g N\ -hNi j Nlk m

n R

8 GranulareMedien

0.005000 m/s0.002500 m/s

{|

Abbildung 1.3: Geometriezur BestimmungderBoschungswinkel y}yh~ und yh

(a) Abhangigkeit desBoschungswinkels vonder Dicke der Hele-Shaw Zelle und demTeil-chendurchmesser

(b) Abhangigkeit der Boschungswinkel und vonderZellenbreite

Abbildung 1.4: Experimentvon Graselliin einerHele-Shaw Zelle (aus[38])

Die AngabeeinesBoschungswinkels ist abernicht ausreichend,um echteSandaufschuttungenzubeschreiben.DazumumandasVerhalteneinesechtenSandhaufensansehen.Man schuttet Mate-rial auf und die Neigungder Oberflachenimmt zu. Irgendwann ist der Winkel y / erreichtund dieOberflachesetztsichin BewegungundkommterstbeieinemzweitenWinkel yh zumStehen.SchonBagnoldzeigtedies[17] undbestimmteT yy / $yh . *D j ; y / heitderstatische(staticangleof repose)und yO derdynamischeBoschungswinkel (dynamicangleof repose).Man muberucksichtigen,daderHaufeneineausreichendeGroehabenmu.Sonstist derdurchdie Winkel y / und yh eingeschlosseneBereichso eng,dadort keineTeilchenPlatzfinden.DannkannsichkeinegroeLawineausbildenunddieArt derLawinenbildungandertsich[41]. EineBasisvon ungefahr30 Partikeln kannalstypischeMindestgroeangenommenwerden.

Die Experimentevon Grasselli[38,42] sindauszwei Grundeninteressant.Erstenswurdendie Ver-suchein einervertikalenHele-Shaw Zelledurchgefuhrt, derenDickevariiertwurde.DamitkannderEinfluderWandebeimUbergangvon einemquasi2-zweidimensionalenzu einemdreidimensiona-len Experimentuntersuchtwerden.

In Abbildung1.4(a)siehtman,daderBoschungswinkel mit zunehmenderDickederZelleabnimmt.

2Die Reibungmit denWandenhatEinfluaufdasVerhaltendesSystems.

1.2GranulareAufschuttungen 9

DerEinfluderWandeist beiSystemen,derenDickeungefahrdemTeilchendurchmesserentspricht,sehrgro. Deswegen ist ein Vergleich dieserSystememit echt zweidimensionalenSimulationenschwierig.Die Reibung zwischendenPartikeln und derGlasplattewird bei denSimulationenum-gangen.Die ExperimentezeigenauerdemeinenZusammenhangzwischendenkritischenWinkelnund der innerenStruktur beziehungsweiseder EntstehungsgeschichtedesHaufens.Das Granulatwurde in die Hele-Shaw Zelle am Randeingefullt, so danur ein halber Sandhaufenentstand.Dannwurdeein kleinesLoch an der Unterseiteder Zelle geoffnet, so dadasMaterial langsam,ohneLawinen,ausflieenkonnte.Wie in Abbildung1.3 dargestellt,entstandendamit zwei weitereBoschungenmit denWinkeln y ~ und yh . Dabeiist ausAbbildung1.4(b)ersichtlich,dadurchgangigy0yO0yh~ gilt. Ein Erklarungsansatzkonntein derStrukturierungdesMaterialsdurchdenvorher-gehendenAufschuttungsprozegesuchtwerden.

Ein weitererkritischer Winkel yh tritt auf, wenn man dasGranulatam Flieenhalt. Dies wirdbewerkstelligt,indemesin einerhorizontalenTrommellangsamum die Langsachsegedrehtwird(z.B. [4348]).

Im allgemeinengibt es also mehrerekritische Winkel, die zusatzlich noch durch Kohasion[49],DichtedesSystems[50] undandereParameterbeeinflutwerdenkonnen.

1.2.2 Lawinenbildung

Eng verbundenmit demPhanomendesBoschungswinkels ist die Bewegungvon Partikeln auf derOberflacheeinesGranulates.Dabeitretentypischerweisezwei Bewegungsmusterauf: entwedereineinzelnesTeilchenbewegt sichuberdieOberflachedesSandhaufensoderaberdasbewegteTeilchenlosteineLawineaus.

Bei derBewegungeineseinzelnenPartikels ubereinerauheFlachegibt esnachExperimenten[51,52] undtheoretischenArbeiten[2,3,2426] dreiBereiche:

1. DasTeilchenverliert bei jederKollision Energie undbleibt irgendwannliegen.

2. Das TeilchenerreichteinenstationarenZustand:im Mittel verliert es durch die Kollisionegenausoviel Energie,wie esdurchseineAbwartsbewegunggewinnt.

3. Die Zeit zwischendenStoenwird immer langer, die SprungedesTeilchenswerdenimmergroer. Dabeinimmt dieGeschwindigkeit linearzu.

Ein schematischesPhasendiagrammist in Abbildung1.5dargestellt.Ein erweitertesSystemwurdevon Quartieret al. [53] untersucht.Dabeiwird derUntergrunddurchKugellagerersetzt,sodadieBeweglichkeit einerSandoberflache,dasAbrollen der Korner, genauerreprasentiertwird. DieseSystemeals Modell fur die OberflacheeinesSandhaufenshabendort ihre Grenzen,wo dassichbewegendeTeilchengenugEnergie hat,um weitereTeilchenausderOberflacheherauszulosen.

Wenn es eine kollektive Bewegung von vielen Sandteilchengibt, spricht man von einer Lawine.Da diesein einemrelativ groenBereichdasMaterial umlagern,konnensie die innereStruktureinesSandhaufensverandern.Interessantist dabei,wie tief eineLawine wirkt undob lawinenartigeUmordnungsvorgangeauchim InnereneinesSandhaufensstattfindenkonnen[54].

Bei denExperimentenmit Lawinenin dunnenSandschichtenkonnteAguirre[55,56] zeigen,dadieGroedesBoschungswinkels fur Systeme,die tiefer alsetwa 10 Lagensind,nicht mehrbeeinflutwird. Auch andereDatenzeigen,dadieseine typischeGroeder Lawinen in demuntersuchtenSystemist.

10 GranulareMedien

R/r

A

B

C

Abbildung 1.5: Phasendiagrammder BewegungeinesTeilchensauf der schiefenEbene.Auf derAbszissewird dasVerhaltnis der Kugelgroe zur Oberflachenrauhigkeit der Ebeneaufge-tragen,auf der Ordinatedie Neigung y der EbeneBereichA: DasTeilchenkommt zur Ruhe.BereichB: DasTeilchenbewegt sichmit einerkonstantenmittlerenGeschwindigkeit BereichC:DasTeilchenwir beschleunigt.(nach[3])

Daerr[5759] untersuchtedie AusbreitungeinerLawine in einerdunnenGranulatschichtauf einerrauhenUnterlage.Dabeizeigtsich,dadieLawineabeinembestimmtenNeigungswinkel zusatzlichauchbergaufwartslaufenkann.Auerdemwurdein dieserArbeit dieFormderFrontuntersucht.

AllgemeineretheoretischeModelleversuchendie zeitlicheEntwicklungderOberflacheeinesSand-haufensV RvuZ X unterverschiedenenAnnahmen[60,61] zuberechnen.Daswohl bekanntesteModellvon Bak,TangundWiesenfeld[35,36] diskretisiertzusatzlichdie Ortsvariablen.Man hateinenzel-lularenAutomatenmit denRegeln:

RvuZ X1 RvuZ X YZ (1.5) RvusZ X1 RvusZ XD! Z (1.6) RvuqZHs X1 RvuZsU XD! Z (1.7)falls RvuZ X groerals ein kritischerWert K ist. Der Wert z entsprichtdabeider lokalenSteigungeinesSandhaufens.Fur die RanderdesSystemsgilt , wasbedeutet,dadie Teilchen dortherabfallen. Das Systemwird mit einer zufalligen Anfangsbedingung ( initialisiert undentwickelt sich dannin einenstationarenZustand;fur alle RvuqZ X gilt 0 . Um die Dynamikzu untersuchen,stort mandasSysteman zufalligen PositionenRvuZ X . Die dabeientstehendenLa-winenkonnenauf allenGroenskalenauftreten(

]= -Rauschen).DiesesModell ist dasParadigmaderSelf-OrganizedCriticality. Ein ahnlicherzellularerAutomatvonNishimori[62,63] beschreibtsehranschaulichdie Bildung der verschiedenartigenDunenund ihre Wanderungin einerWuste.DieseModellesind fur die Ziele dieserArbeit nur sehrschweranwendbar, dasiekeineAussageuberdieinnereStruktureinesSandhaufenstreffen.DakeineKrafteim InnerendesHaufensbeschriebenwer-den,ist esnichtsinnvoll, AussagenuberSpannungstensorenoderDruckverteilungenzutreffen,ohnevorherweitereAnnahmenzu machen.

Interessantist in diesemZusammenhangnocheineArbeit vonAlonsoundHerrmann[64], in dersiedie Form desFueseinesSandhaufensbeschreiben.Lawinen,die auf einemSandhaufenabgehen,werdenja am EndedesAbhangsvom Untergrund aufgehalten.Die Oberflachetrifft nicht exaktunterdemWinkel y denUntergrund,sondernhateinenAuslaufer. Aus UberlegungenzumFluderTeilchenR VYX undderForderung,daderHaufenwahrenddesWachstumsimmerstationarseinsoll,folgt alsProfil uqR VX

1.3DruckverteilunguntergranularenAufschuttungen 11

uR VYX V V[ ! V V ` (1.8)

Dabei ist V die HohedesHaufensan der Spitze, [ der Reibungskoeffizient und die typischehorizontaleEntfernung,bevor ein Teilchenauf derOberflacheliegenbleibt.Zur SteigungaufgrunddesBoschungswinkelskommtalsonochein logarithmischerKorrekturtermhinzu.

1.2.3 Gr oenSegregation

Bei derHandhabungeinerMischungvonunterschiedlichengranularenMaterialien(Groe,Reibung,Rauhigkeit) gibt eseinenEffekt, derdie Ergebnissestarkbeeinflussenkann.Die verschiedenenPar-tikel desGranulatesentmischensich.

DasklassischeBeispiel fur die Entmischungist die FrageWarumliegenim Musli die Nusseim-meroben?und fuhrt zumbekanntestenProblem,demBrazil-Nut-Effekt. Wennmanein Granulat,dasausvielen kleinenPartikel und einigengroerenbesteht,in einemBehalter vibriert, so ist esmoglich, dadie groenPartikel nachobenwandern,selbstwenn sie einehohereDichte als diekleinenPartikel haben.BeispielsweiseuntersuchtenJageret al. [22,65] mit NMR-MesungendenAufstieg vonKaffeebohnenin MohnsamenundkonntenGeschwindigkeitsprofileim InnerendesSy-stemsbestimmen.K. Aoki [66] zeigtesehranschaulich,dain diesenSystemenKonvektionsrollenauftreten.Diesesollenin bestimmtenSystemenfur denTransportvon Teilchenan die Oberflacheverantwortlich. Duran[67] untersuchtedie Wechselwirkung zweierPartikel in einerderartigenVer-suchsanordnung.Wennim Abschnitt4 ein SandhaufendurchVibrationverandertwird, somumandieAmplitudederVibrationsoklein wahlen,dadieserEffekt nicht auftritt.

Als weiterenEffekt gibt esdieEntmischung,wennmaneinenmit einemGranulatgefulltenZylinderum seineLangsachsedreht.Dabeisind zwei Formenzu unterscheiden,die axialeSegregationunddieradiale.Bei derradialenSegregationentstehteinKern,in demsichdanneineSortedesMaterialsansammelt.Bei deraxialenSegregationentstehenStreifen,in deneneineSortedesMaterialsgehauftauftritt. Ristow untersuchtemit SimulationendasGeschwindigkeitsprofil [43,68] in einerderartigenTrommel,bestimmtemit Hilfe von NMR die Geschwindigkeit, mit dersichderKernausbreitet[69]undzeigtedenEinflu derRohrenendenauf dasSystem[43]. Ein ahnlicherEffekt kannauchauf-treten,wennmanein Material in einenBehalterfullt. Karolyi et al. zeigtenmit derSimulationeineszellularenAutomaten,dasich einebidisperseMischungvon Teilchenbeim Einfullen in ein Siloentmischenkann,wennmandie Teilchennichtmittig, sondernseitlichzufuhrt [70].

Derwohl optischreizvollsteEffekt derEntmischungist dieStratifikation[44,7276].Ein groflachi-gesStreifenmusterentsteht,wennsicheineMischungzweierunterschiedlicherPartikel lawinenartighangabwarts bewegt und dabeivon einersich hangaufwarts bewegendenSchockfrontabgebremstwird. Dadie im Abschnitt4 simuliertenHaufenmit dergleichenMethodeaufgeschuttetwerdenwiein denExperimenten,mutebeachtetwerden,ob eszur Streifenbildungkam.Koppezeigt [71] einPhasendiagramm,dasdie Bereichebeschreibt,in denenStreifenbildungbeobachtetwerdenkann.

1.3 Druckverteilung unter granularen Aufschuttungen

Die Druckerverteilungauf demUntergrundeinesSandhaufensist nicht eindeutigbestimmt.Typi-scherweisezeigenkegelformigeSandhaufenein deutlicheslokalesMinimum im Druck direkt unterder Spitze(siehe1.7). Der Druckabfall kannbis zu 50% desMaximaldrucksbetragen[77], hangtabersehrstarkvon derArt desverwendetenMaterials[78] unddessenGroenverteilung[79] ab. Es

12 GranulareMedien

Plate Width (mm)

a) b)

Abbildung 1.6: a) Bilder derStratifikationbei Sandhaufen.b) Phasendiagrammfur dasAuftretenderStratifikationin Abhangigkeit vom PlattenabstandundderFlussrate.(aus [71])

gibt aberauchMaterialien,derenDruckminimasehrahnlichsind,zumBeispielSeesandundeinebe-stimmteSorteDunger[80,81]. Die FormdesSandhaufensspielteinegroeRolle,keilformigeSand-haufen(Dunen)habenbisherin denExperimentenkeinen[82,83] odereinensehrkleinen[77] sog.Dip gezeigt.DieserUnterschiedkanndurcheineMittelung entlangder Duneerklart werden[84].Die Effekte,die aufgrundderEigenschaftendereinzelnenKornerwie Form,Reibung,Oberflachen-rauhigkeit undanderenentsteht,sinddagegensehrviel komplexer.

Die Schwierigkeitenbei derBeschreibung von Granulatenresultierenabernicht nur ausdenMate-rialeigenschaftender einzelnenPartikel, sondernauchausdenentstehendenStrukturen.Der Mag-deburgerDom ist ausSandsteinblocken errichtet.In einemHaufenSandsteinblocke habenzwar diePartikel die gleichenEigenschaftenwie die erstegothischeKathedralenordlich derAlpen,aberdieEigenschaftenalsGanzessindvollig unterschiedlich(naturlich ganzabgesehenvondenasthetischenAspektendiesesVergleiches).Im folgendensolleneinigeeinfacheModellvorstellungen fur denin-nerenAufbau einesSandhaufensunddie darausresultierendenDruckverteilungengezeigtwerden.EntsprechendeSimulationenzueinigendieserBeispielefindensichim Abschnitt4.1.

Abbildung 1.8(a) zeigt daseinfachsteModell, dessenDruckverteilungauchdem entspricht,wasman intuitiv erwartet.EinzelneSteinewerdenubereinandergeschichtet, der Druck wird senkrechtnachuntenabgeleitet.SolcheDruckverteilungenerhalt manbei Sandhaufen,die schichtweiseauf-geschuttetwurden(sieheAbschnitt4.2.1)undalsModellefur Dammedienen[83].

Daszweite(Abbildung1.8b)Modell ordnetdie Partikel auf einemGitter soan,dadie Partikel ihrEigengewicht aufdiebeidenunterenNachbarngleichmaigverteilen.Die Partikel amBodentragendannalle jeweils gleichvielLast,derDruck amBodenist konstant.Wichtig ist, daderUntergrunddannauchdieKraftein Tangentialrichtungaufnehmenmu.WennmandenWinkel desHaufensver-kleinert,indemmaneinzelneTeilchenanderOberflacheentfernt(siehe1.8c),umfatderkonstanteBereichzwar nicht mehrdenganzenHaufen,bleibt abervorhanden.EinegenaueremathematischeBehandlungdiesesModellsfindetsichbei Hong[86]. MolekulardynamischeSimulationen[87,88]zeigten,dadieseanalytischenResultatemit der Simulation,abgesehenvon einerAbrundungdesDruckverlaufesdurchdie endlicheElastizitat, sehrgut ubereinstimmen.

DasdritteModell (Abbildung1.8d)setztdenSandhaufenausStabenzusammen,umeinensogenann-tenf alschenBogenzu bilden.Die KraftewerdendannnurentlangderStabeweitergeleitetundinderMitte ist derDruck gleichNull. Die Vorstellung,daGranulateeinzelneStabebilden,erscheintauf denerstenBlick etwaseigentumlich. Die verschiedenenBilder derKraftnetzwerke in dieserAr-beit zeigenaber, dadie KraftesichtatsachlichaufPfadenfortsetzen,diedenStabenahnlichsehen.Dreht mandie Stabeso,dasie einenanderenWinkel habenals derBoschungswinkel, soentsteht


Abbildung 1.7: ExperimentelleBestimmungderDruckverteilungeines(oben)von einerpunktformigenQuelleausaufgeschuttetenSandhaufens(unten)untereinemgeschichtetenSandhaufen.(aus[85])

eineDruckverteilungmit einemDip (Abbildung1.8e).Ein ahnlichesBild zitierenauchWittmer etal [89], die auf Edwardsund Oakeshott[90] verweisen.Eigentlich ist die Art und Weise,mit die-serAnordnungDruck zur Seiteabzuleiten,schondeutlichalter. Die altenAgypterhabenmit dieserMethodebereitsihrePyramiden(Abbildung1.8f) gebaut,wobeisieim InnerenzurVerstarkungver-steckteWandeeinsetzen,die die Lastvon derin derMitte befindlichenGrabkammerwegleiten;diefalschenBogenwurdenauchuberderGrabkammerselbsteingesetzt.Pyramidenhabteneineahnli-cheFormwie Sandhaufen,auchneigenmanchePyramiden,wie beispielsweisediejenigein Medun,gelegentlichzur Lawinenbildung.Trotzdemsind dieseBauwerke mit einemBoschungswinkel von56 und ihrer regelmaigeninnerenStruktur (vergl. Abschnitt 4.1) keine geeignetenModelle furSandhaufen.

DurcheineLinearkombinationdieserModellelatsicheinefastbeliebigeDruckverteilungrealisie-ren.KommtdannnochdiezufalligePositionierungderTeilchenundderKraftehinzu,soexistierteinriesigerParameterraum,derdie a-priori Auswahl einesModellssehrschwermacht.ErstdasWissenuberdie innereStrukturvon Sandhaufenmit einemDip in derDruckverteilungerleichtertdabeidieAuswahl.

Auf der TagungPhysicsof Dry GranularMedia 1997 in Cargesegabeseine intensive Diskus-sion uberdie Modellierungvon granularenMedienund denzugehorigenRandwertproblemen.ImZentrumstanddabeiein Ansatzvon Wittmer, CatesundClaudin[89,9194], derdaslokaleDruck-minimum zu erklarenversucht.Dabei werdenAnnahmenuber die Spannungenim InnereneinesSandhaufensgemacht,die anschaulichmotiviert werdenkonnen.DieseAnnahmensind aberex-perimentellnur sehrschwer[95] zu verifizieren.Bishergibt esnur wenigeexperimentelleMetho-den,um Kraftnetzwerke zuvisualisieren.MankanndieSpannungendurchdenphotoelastischenEf-fekt [96,97] sichtbarmachenodermit derMethodevonTsoungui [98] arbeiten,beiderdieKontakt-flachegemessenwird. DieseMethodenbietenabernochnicht die Moglichkeit, sehrgroeSystememit unterschiedlichenTeilchenquantitativ zu untersuchen.Dies motivierte zu denUntersuchungenanSandhaufendurchSimulationen.

14 GranulareMedien

b)

f)e)

c) d)

a)

Tomb chamber

0 5 10 15 mOblique auxiliary walls

3 Layers of large blocks

Abbildung 1.8: Einfache Modelle, um dasInnereeinesSandhaufenszu beschreiben.f) zeigtschematischdasInnereeineragyptischenPyramide.


n

m

r

z

S=0S=1

g

Abbildung 1.9: KoordinatensystemnachWittmer [89]

Um die Simulationsergebnisseim Abschnitt 4 werten zu konnen,sollen hier kurz die Theorienvon Wittmer et al. vorgestelltwerden.In ihren Veroffentlichungen[89] werdenvier verschiedeneLosungsansatzefur einzweidimensionalesSystemuntersucht.

Da dasModell in denOrginalarbeitenauf 3 Dimensionenerweitertwird, werdenZylinderkoordina-tenverwendet(sieheAbbildung1.9).DerUrsprungliegt in derSpitzedesHaufens, zeigtsenkrechtnachunten.Die Dichte wird als konstantangenommenund gleich 1 gesetzt.Im mechanischenGleichgewicht gilt dann

_>__ ! _ (1.9) _&_ ! ` (1.10)Man hat alsozwei Gleichungenfur drei Unbekannte.In einemelastischenFestkorperhat manalsdritte,konstitutiveGleichungdasHookescheGesetz,welchesSpannungundVerformungzueinanderin Beziehungsetzt.Bei einemGranulatscheinteinesinnvolle DefinitioneinerVerformungabernichtimmer moglich. Vielmehrwird versucht,dasSystemaufgrundder Reibung an denKontaktenzuverstehen.Die Reibung gibt abernur einenMaximalwert fur die Scherungan, die ein einzelnerKontakttragenkann.

Wittmer et al. nehmennunan,daauf einerLangenskalagroeralsdie Einzelteilchenein Zusam-menhangzwischendermittlerenReibungunddenNormalkraftenbesteht.DadurchrechtfertigtsichdieAnnahme,dadiefehlendekonstitutiveGleichungeinenZusammenhangzwischendeneinzelnenKomponentendesSpannungstensorsdarstellt.FolgendeAnforderungenwerdendabeigestellt:

1. Die Gleichungist lokal.

2. Die lokaleAnordnungunddieKontaktederPartikel soll wiedergespiegelt werden.

3. Die konstitutivenGleichungsollendie Entstehungsgeschichte desMaterialsberucksichtigen.

4. Ab demZeitpunkt,an demein Bereichuberdecktist,ist die Entstehungsgeschichte zu einemAbschlugekommenund die konstitutiven Gleichungkonnensich nicht mehrandern.Witt-meretal. sprechenhier von einemperfektenGedachtnis.

Zu bemerkenist hier, daWittmer denBegriff derkonstitutivenGleichungetwasandersbenutzt,alsnormalerweiseublich.Die vorgeschlagenenkonstitutiven Gleichungensindnicht nur blossvon denMaterialeigenschaftenabhangig,sonderngeltennur fur dasErgebniseinesbestimmtenProzesses.

16 GranulareMedien

Fur die weitereRechnungwird nocheineSkalenvariable $ _ ' Ui__ RS X Q RS X >_ RS X (1.11)Die Stabilitatsbedingunglegt gleichzeitigauchnoch dasVerhaltnis der KomponentendesSpan-nungstensorsin derNahederOberflachefest

bb ] >_ RS X

__ RS X __ RSX

Q RS X ! j __>_ R >_

Q ZX ` (1.15)

Die AnnahmedesperfektenGedachtnissesdesSandhaufensfuhrt dazu,dadie Funktion nichtvon abhangendarf,also

>__ _ R _

QX R \ X mit \ RS X _ Q (1.16)

Fur ein derartigesR \ X gilt, ist der Winkel der HauptachsedesSpannungstensorsgegen dieSenkrechtederOberflacheimmergleich

RS X R j qXS ` (1.17)Nun zu deneinzelnenModellen.DasersteModell IFE (Incipient Failure Everywhere) nimmt an,dadie Bedingung,dadasMaterial an der Stabilitatsgrenzeist, nicht nur an der Oberflachegilt,sondernim ganzenHaufenerfullt ist. Esgilt dann

R \ X R 8 ! X sj R \ X 8 (1.18)

DiesesModell zeigtfur kein lokalesMinimum.DasBCC-Model(Bouchaud-Cates-Claudin) nimmt an,dadie DiagonalelementedesSpannungs-tensorszueinanderproportionalsind.

3Diesbedeutet,dadieOberflachegeradenichtamAbrutschenist.


R \ X % (1.19)Aus der IFS-Annahmefolgt auerdem% % . Q hat hier im Innerenein ebenesPlateau,aberkeinenDip.

DasFPA-Modell (FixedPrincipalAxis) postuliert,dadie Orientierung

derHauptachsenim In-nerendesSandhaufensimmergleichist. Aus derIFS-Annahmefolgt dann

} j \

18 GranulareMedien

Wittmer et al. stellendanndie Gleichung1.10in derForm

R ] _ X R 8 _ X Nm} (1.24)mit ] k 8 ]8 R s 8 ! % X dar.Fur die Losungenunterscheidetmandeninneren0t

'h'undeinenauerenBereich

'h' 0 . MitderAbkurzung

-h" 8 % (1.25)gilt dann

- RSU X RS X (1.26)>__ -O&RSU X % (1.27)_ - RSU X % (1.28)

im Innerenund

Q - ] ] RS ] X (1.29)>__ -O ] ] % ] (1.30) _ -O ] ] % (1.31)

im Auenbereich.

Im Abschnitt4 sollendie Winkel der HauptachsendesSpannungstensorsmit diesenErgebnissenverglichenwerden;dazuwerdendie Eigenvektorenvon Nm bestimmt.Im Auenbereichhabendie Eigenvektorenvon Nm die Form

M ] ] R Z X und M 8 8 R Z X (1.32)

undsindsomitunabhangigvon S.Darauskannmanfolgern,daderWinkel derHauptachsenkon-stantist, zusammenmit derIFS-Bedingungergibt sich

R'h' 00 X R 8 qXS

j.

Im Innenbereichist

nur beim FPA-Modell konstant.Bei den anderenModellen ist der Winkelabhangigvon .

1.4 Ausblick auf die Dynamik von Granulaten

Die bisherigenAbschnittebeziehensichaufdiejenigenBereichedergranularenMedien,diewichtigfur die vorliegendeArbeit sind.Bei denbeschriebenenSystemenhandeltessichum statischeSyste-me,zumTeil erzeugtdurchlangsamesFlieenderTeilchen.Diesist abernureinTeil dervielfaltigenFragestellungen,die esbei derForschungzu Granulatengibt. In derDynamikvon Granulatengibt

1.4Ausblickaufdie Dynamikvon Granulaten 19

a) b) c) d)

Abbildung 1.10: VerschiedeneDunenformen,simuliertmit demzellularenAutomatenvon Nishi-mori. a) Wanderdunenb) Sicheldunenc) seif Dunenundc) sternformigeDunen(aus[63] )

a) b) c) d)

Abbildung 1.11: Musterauf derOberflacheeinesvibrierendenGranulates.a) Quadrateb) Streifenc) Hexagoned) Oszillonen(aus[100])

esnochvielfaltige Probleme,bei denenFluktuationen,Intermittenzund Instabilitateneinewichti-ge Rollen spielen.Um denFormenreichtumgranularerSystemzu zeigen,solleneinigeBeispielevorgestellterwahntwerden.

DassicherlichbekanntestePhanomenausdemBereichderGranulateist dieBildungvonDunenundRippeln.Der Grundlagenzu diesemForschungsgebietwurdenvon Bagnoldin seinemBuch [99]The Physicsof Blow SandandDesertDunesgelegt. Die EntstehungdervielfaltigenFormenundihrezeitlicheEntwicklungbirgt nocheineVielzahlanunverstandenenProblemen.

Zur Musterbildungkanneskommen,wennmaneinedunneSchichtausKugelnvibriert. Ein anfang-lich flachesBett ausBronzekugelnzeigt dannStrukturenwie Faraday-Instabilitat oder Rayleigh-Taylor, die ahnlichjenenvon anderenstrukturbildendenSystemensind.Dabeikonnenauchlokali-sierteStrukturenentstehen,diesogenanntenOszillonen(sieheAbbildung1.11).

Die UntersuchungstarkverdunnterGranulatebzw. granularerGaseist ein weiteresfruchtbaresFor-schungsgebiet.Es tretenverschiedeneinteressantePhanomeneauf, wie beispielsweisedie Bildungvon Clustern,StrukturbildungundSchockwellen.Ein kleinesBeispielfur denEffekt derClusterbil-dungfindetsichim Abschnitt2.5.5.

Eine Schilderungaller Effekte wurdedenRahmendieserArbeit sprengen.Eine EinfuhrungbietetderBandder SommerschulePhysicsof Dry GranularMedia [101], die Konferenzbande[23,33,34], dasBuch von Duran[102] und speziellzu granularenGasen[103]. Ein Teil der Effekte kannbereitsjetzt mit demProgrammsystemgc2d untersuchtwerden.Im folgendenkonzentriertsichdievorliegendeArbeit aufgranulareAufschuttungenausTeilchenvariablerForm.

21

Kapitel 2

Simulationsmethoden

Mit derEntwicklungleistungsstarker ComputeretabliertsichdieSimulationalsdrittesStandbeinderPhysik.Abbildung2.1zeigt,wie Allen undTildesley [104] dieRollederComputersimulationin derPhysiksehen.DurchdenVergleichvon ExperimentundSimulationlatsichdasderSimulationzu-grundeliegendeModell bestatigen.DannkannmanausderSimulationweitereErkenntnisseziehen,diedabeihelfen,eineTheoriezuentwickeln undzutesten.KomplexeSimulationenwie dasin dieserArbeit vorgestellteSystemsind zusatzlich im Grenzgebietzur Numerik/Informatikangesiedelt,dadasLaufzeitverhaltendie GroederuntersuchbarenSystemebegrenzenkann.

2.1 VerschiedeneMethodenzur Simulation von Granulaten

EssollenverschiedeneMethodenvorgestelltwerden,mit denenmanein SystemgranularerMedienoderbestimmteTeilaspektedavon simulierenkann.Zuerstsollenbei einigenMethodendie Grundi-deenkurz beschriebenwerden.Auerdemwird diskutiert,warumsienicht zur Anwendungkamen.Im nachstenAbschnittwird schlielichdie verwendeteDiskrete-Elemente-Methodeerklart.

gleichVer-

Ver-gleichgranulat

Modell-

Theorie

Simulation

reales

Modellierung

GranulatExperiment

theoretischeVorhersage

exp.Ergebnis

exakte Lsung

des Modells

TheorieTest der

ModellsTest des

Abbildung 2.1: Die Verbindungvon Experiment,TheorieundSimulationnach[104]

22 Simulationsmethoden

2.1.1 AbstrahierendeMethoden

Eine Moglichkeit bei der Simulationist, die Teilchenebenenicht zu berucksichtigen,sonderndasGranulatalsKontinuumzubeschreiben.Die besonderenEigenschaftendesGranulateswerdendurchgeeigneteMaterialgesetzeberucksichtigt.Beispielsweiseist in derGeotechnikdie Finite-Elemente-Methodeein bewahrtesHilfsmittel fur quasi-statischeSysteme.Auch derschnelleFlu einesGra-nulateskanndamituntersuchtwerden.Auf weitereDetailsderkontinuumsmechanischen Modellie-rungfestkorper- oderflussigkeitsahnlicherSystemesoll nichtweitereingegangenwerden,daimmerStoffgesetzezur Beschreibung benotigt werden.Geradediesesollenaberdurchdie Simulationun-tersuchbargemachtwerden.

Bei derBeschreibungderPhanomenologieeinesgranularenSystemssindzellulareAutomatennutz-liche Werkzeuge.Dabeiwird die kontinuierlicheNaturdesRaumsdurchauf einemGitter angeord-netegleichartigeZellenunddieZeit durchfesteZeitintervalle abstrahiert.DiesediskreteStrukturisteinederwichtigstencharakteristischenEigenschaften.JedeZellekannnur in bestimmtenZustandensein1, im einfachstenFall nur, ob sichein Sandkorn andieserPositionbefindetodernicht.Die Ent-wicklung einerZelle hangtdannnur nochvon denZustandenderNachbarzellen2 ab. Die Wahl derRegeln fur dieseZustandsanderungenist daszentraleElementder Simulation.Einer der besonde-renVorzugederzellularenAutomatenist die Geschwindigkeit, mit derdie Simulationenberechnetwerdenkonnen.Die im allgemeinensehreinfachenRegeln mussenin einergroenMatrix nur lo-kal angewandtwerden.Die SimulationderEntstehungundBewegungvon Sicheldunen[62,63] isteinesderschonstenBeispielefur die Simulationvon Granulaten.AllerdingsvereinfachenzellulareAutomatendie Kraftberechnungubermaigstark,sodadie Berechnungvon Kraftnetzwerken undSpannungsverteilungen nicht mehrsinnvoll erscheint.

Ein Modell, dasdie geometrischenBeschrankungenbei der Bewegung sehrstark betont, ist dievon Baumann[46,47] verwendeteBottom-to-Top-Restructuring Methode.DieseMethodewurdehauptsachlichzur Untersuchungvon Groensegregationin verschiedenenSystemen(Aufschuttung,rotierendeTrommel)verwendet.Dabeibewegt sich ein Teilchenauf der Oberflacheso langeent-langdergrotenSteigunghangabwarts,bis esin einemlokalenMinimum festsitzt;die Berechnungvon Kraftenerfolgt nicht. Die Krafte werdennur nochabstraktdurchdie GeometriedesSystemsberucksichtigt.

EinebeeindruckendeTeilchenzahlbeiderSimulationvonGasenerreichtmandurchdieNutzungvonDirect SimulationMonte Carlo [105]. Muller [106108] erweitertedieseMethodeauf granulareGase.Dabeiwird die DynamikdereinzelnenPartikel sehrstarkidealisiert.DieseMethodekommtahnlichwie die ereignisgesteuerteMolekulardynamikohneKraftberechnungenausundeignetsichgleichzeitighervorragendzur Parallelisierung.DabeiwerdenBewegungundKollision derTeilchenvollstandigentkoppelt.Durchdie ZusammenschaltungzweierCray T3E (StuttgartundPittsburgh)konnten1,759,165,695Teilchensimuliertwerden.

2.1.2 Diskrete-ElementeMethode

Zur Untersuchungvon Gasenund Flussigkeiten wurdenSimulationsmethodenentwickelt, die aufderUntersuchungderindividuellenBewegungdereinzelnenTeilchenberuhen[104].DieseMethodeheitMoleculardynamics(MD). Dabeiberechnetmandie TrajektoriejedesMolekulesoderAtomsder Simulation.Erstmaligauf die Untersuchungvon GranulatenwurdedieseMethodein den70erJahrenvonCundallundStrack[109] angewandt.Naturlich berechnetmannichtmehrdieBewegung

1MancheSimulationengeheninzwischenvondiskretenWertenfur dieZusandezuGleitkommazahlenin deneinzelnenZellenuber.

2WelcheZellenalsbenachbartbetrachtetwerden,hangtvonderArt derSimulationab.

2.1VerschiedeneMethodenzurSimulationvon Granulaten 23

verlorene Kontakte

inellastic collaps

t

t

t

DEM

ED

Ereignisse

?

Abbildung 2.2: Duran[102] stellt in einemahnlichenDiagrammdie EreignissealseinzelneZeit-punktedar. Bei Simulationen,die ein Ergebnismit ruhendenTeilchenliefern, konnenKontakteaberauchsehrlangedauern.Erlauterungenzum inelastischenKollaps werdenim Abschnitt2.1.2.1,zu denverlorenenKontaktenin Abschnitt2.1.2.2gegeben.

einzelnerAtome,sonderndiekleinsteEinheitist einSandkorn.Fur dieseArt derSimulationhatsichder Namediscreteelementmethod (DEM) eingeburgert. Prinzipiell gibt es keinenUnterschiedderMethoden,aberbei Simulationenfur GaseundFlussigkeitenhatmanmeistenslangreichweitigeWechselwirkungen,beiGranulatentypischerweisenurkurzreichweitige,dochauchhiergibt esAus-nahmen,wennmanelektrischgeladeneTeilchenuntersucht[18]. Ausgehendvon denNewtonschenBewegungsgleichungenmumanfur jedesPolygonderSimulation

N NUN ! m ] Nm (2.1)

N NN ! mh ] iNm (2.2)losen.Dabeisind N und N Ort undWinkel desPolygons.Als Teilcheneigenschaften hatmanderenMasse N unddasTragheitsmoment N . N ist dieSummeallerexternwirkendenKrafte,meistensnurdie Gravitation. Fur dieseArbeit wird angenommen,daeskeineexternenDrehmomenteiN gibt.DarausergebensichaberkeineEinschrankungen,sodamanbei Bedarfauch iN" setzenkann. Nm ist die Kraft, die auf dasi-te Teilchenvom j-ten Teilchenausgeubt wird. Es gilt Nm mN .Drei- oderMehrteilchenkraftewerdenvernachlassigt: Nm .DurchdieseVereinfachungenfolgt ausdenGleichungen2.1und2.2dann

N N N ! m ] Nm (2.3)

N N mh ] iNm` (2.4)

2.1.2.1 EreignisgesteuerteDynamik

Zu ErklarungderereignisgesteuertenDynamik(ED, eventdriven)gehtmansinnvollerweisevon ei-nemsehrstarkverdunntengranularenSystemaus(siehez.B. Abbildung 2.42(b)).Dabeibewegensichdie Partikel zwischenzwei Kollisionenfur relativ langeZeit, vom Blickpunkt derzeitschrittge-steuertenMolekulardynamikausgesehen,nurbeeinflutvonderGravitation,unddiesaufeinfachen,


analytischzuganglichenTrajektorien.Mannimmtnunan,dadieZeit fur dieKollision zweierParti-kel unendlichkurz ist. Diesbedeutet,damandieKugelnalsunendlichhartannimmt.Die Kollisionwird durcheinenKollisionsoperatorbeschrieben,der ausdenGeschwindigkeitenund der Positiondie GeschwindigkeitennachdemStoberechnet.

DerAlgorithmusist dannsehreinfachundelegant.Wir startenzumZeitpunktt:

1. BerechnedenZeitpunkt ' dernachsteKollision einesTeilchenpaares2. BerechnedieneuePositionallerTeilchenfur dasZeitintervall T '

N Rv ' X j T 8 ! N Rv XST ! Rv X (2.5) NRv ' X T ! NRv X (2.6)3. BerechnedieKollision von Teilchenp und r

PNlk m UR N Z m Z N Z m X (2.7)4. setze '5. Springezu 1.

Die Art, wie die BerechnungderKollision erfolgt, bestimmtdie physikalischenEigenschaften.AufDetailssoll nicht genauereingegangenwerden,siefindensichunteranderemin [3,102,110] undinvielenArtikeln in [23,33,34,101].

Der groeVorteil von ED ist, wie manim Beispielin Abbildung2.2sieht,damanmit sehrgroenSchrittendie Bereicheuberspringt,in denensich nichtsereignet.Damit ist esdannmoglich, sehrgroePartikelzahlenund/odersehrlangeZeitenzu simulieren.

Die Anpassungder Zeitschrittean die stattfindendenEreignissefuhrt allerdingsauchdazu,daesumsomehrKontaktepro Zeitraumgibt, je dichterdasSystemist; derAlgorithmuswird langsamer.Der Fall desinelastic collaps ist der schlimmstmogliche Fall. McNamaraet al. zeigten,daesmoglich ist, bei bestimmtenKonstellationenin einemgranularenGas[111114] in einemfestenZeitraumunendlichviele Kollisionenzu haben.Der AlgorithmuskanndannuberdiesenZeitpunktnichthinausrechnen.ErstdurchzusatzlicheErkennungsalgorithmenvonLuding[113] kannmandasSystemuberdieseGrenzehinwegsetzen.Die sinkendeEffizienz bei steigenderDichte bleibt abererhalten.

DieAnnahme,dadieKontaktzeitunendlichkurzist,bedeuteteinweitereGrenzefurdieseMethode.Es ist nicht moglich, ruhendeKontaktezu haben.Systeme,in denenein Klotz auf einerUnterlagewie Abschnitt2.5.1ruht,sindnicht simulierbar.

NebendiesenmethodenbedingtenNachteilengibt esauchnochein numerischesProblem,wennEDaufPolygoneangewandtwerdensoll. Fur zweiKugelnp und r mit denRadienN und m berechnetmanuber[3]

o NRv ! SNm X m

2.1VerschiedeneMethodenzurSimulationvon Granulaten 25

2.1.2.2 ZeitschrittgesteuerteMethode

Im RahmendieserArbeit wurdedie zeitschrittgesteuerte Methode(time driven, TD) verwendet.Dabei lost mandie Gleichungen2.3 und 2.4 mit einemDifferentialgleichungsloser in festenZeit-abschnittenT . Fur gc2d wurdedasPredictor-CorrectorVerfahrennachGear[104,116,117] ver-wendet.Eine Beschreibung diesesDifferentialgleichungslosers findet sich im AnhangF. Er bietethoheStabilitat undhatvor allemdenVorteil, dadieEnergieguterhaltenwird [118].Diesheit,daderLosernicht durchnumerischeFehlerEnergie zufuhrt.GleichzeitigterlaubtdasVerfahrenrelativgroeZeitschritte,wasderGeschwindigkeit derSimulationzugutekommt.

Andersals beim ED ist jetzt die Kontaktzeitnicht gleich Null, sondernendlich.Der Differential-gleichungsloserbenotigt dieaufgrundderKontaktewirkendenKrafte.DieseKraftberechnung(sieheAbschnitt2.2.2)bestimmtwie bei derED die physikalischeRelevanzdesSystems.

Die Wahl desZeitschrittesist von entscheidenderWichtigkeit. Um die Programmeffizienz zu stei-gern,solltederZeitschrittnaturlich moglichstgrosein.Andererseitsbenotigt derDGL-Losercirca10Schritte,um eineKollision korrektzubeschreiben.

Die Obergrenzewird wie folgt abgeschatzt: da die Kontaktkrafte wie ein harmonischerOszillator

modelliert sind, kann man ausder Eigenfrequenz die Zeitdauereiner halbenPeriodeberechnenunddamitdenZeitschrittabschatzen:

T W (2.9)

Dabeiwird als Masse die desleichtestenPartikels angenommen.DieseAbschatzungist nur furrundlicheTeilchenbrauchbar. Werdenlange,dunneTeilchensimuliert, berechnetman besserfurjedesTeilchenp denmaximalenRadiusN desKreises,dersichin dasPolygonumdenSchwerpunkteinbeschreibenlat.Mit demkleinstenRadius N wird die Obergrenzevon T mit U 8 N abgeschatzt.Dadie Kontaktzeitauchvon derTeilchenformabhangt,sinddiesnurObergrenzen.ZurKontrollemudieSimulationmit kurzerenZeitschrittendurchgefuhrt werden,danursouberprufbarist, ob dasSystemstabil arbeitet.Aus der festenWahl derZeitschritteresultierenaberaucheinigetypischeProbleme:

Wennder Zeitschrittzu grogewahlt wird, kannessein,daKontakte,die kurzerals T dauern,ubersehenwerden(sieheAbbildung2.2).Dabeigibt eszwei Extremfalle: die ersteMoglichkeit istein streifenderKontakt,wie beispielsweisebei denSimulationenin Abschnitt2.5.2.WenndieserKontaktdannnursokurzdauert,daer ubersehenwurde,ist derFehler, denmandabeimacht,nichtsehrgro.Bei den Untersuchungenin Abschnitt 2.5.2 konntedieserBereichgar nicht gefundenwerden.

Die zweite,sehrviel problematischereSituationliegt vor, wennein Teilchenso schnellwird, daesmittenin ein anderesTeilchenhineinspringt.Dadurchsteigtdie Gesamtenergie desSystemsdra-matischan,esexplodiertregelrecht.Dasbedeutetaber, daein derartigerFehlerim EndzustanddesSystemsdeutlichsichtbarist. Die Gefahr, daderFehlerunentdecktbleibt, ist gering.

Die zeitschrittgesteuerte Diskrete-ElementeMethodeist sehrgutgeeignet,umstatischeunddynami-scheSystemehoherDichtezuuntersuchen.DasVerfahrenzeichnetsichdurchgroeZuverlassigkeitundRobustheitaus.AusdiesemGrundwurdeeszurUntersuchungderin dieserArbeit vorgestelltenSystemeverwendet.


a

rbr

a) b) c)

Abbildung 2.3: a) ZulassigeTeilchenformenb) UnzulassigeTeilchenformen,die Polygonesindnichtkonvex odernurStreckenc) Bestimmungderzufallig generiertenTeilchendurchPlazierungderEckenaufeinerEllipse

2.2 PhysikalischeGrundlagen der Simulation

2.2.1 Gestalt und Eigenschaftender Partik el

Der Versuch,einenHaufenausGlasmurmelnzu bauen,wird zwangslaufig scheitern,da Teile desHaufensabrollen.Um in derzweidimensionalenSimulationrealistischeHaufenzuerzeugen,gibt estypischerweisezweiAlternativen.Entweder, manstellt die TeilchenalsKreisedarundschranktdenRotationsfreiheitsgrad kunstlichein odermanversucht,rauheTeilchenzusimulieren[48,119121].

Fur dievorliegendeArbeit wurdediezweiteMoglichkeit gewahltundalsFormderzusimulierendenTeilchenPolygoneverwendet.Dabei ergebensich einige Herrausforderungen,die bei der Simu-lation von Scheibennicht auftreten:die ModellierungdesKraftgesetzeswird schwierigerund derRechenaufwandsteigtdeutlichan.WerdengeeigneteKraftgesetze(Abschnitt2.2.2)und effizienteAlgorithmen(Abschnitt2.4) verwendet,bekommt manein zuverlassigesWerkzeug,um granulareSystemezu untersuchen.

Fur die simulierbarenPolygonegibt esnurzwei Beschrankungen:

1. DasPolygonhatmindestens3 Ecken.

2. DasPolygonist konvex.

Die ersteForderungist naheliegend,wenndie Art derKraftberechnungberucksichtigtwird. Wie inAbschnitt2.2.2erlautertwird, ist die Abstoungbei Kontaktproportionalzu derFlachedesUber-lappszweierPolygone.StreckenoderPunktealsTeilchensinddannnichtsinnvoll, dadie Uberlapp-flacheimmergleichNull ware.DamitwurdeaufdiesePartikel keineKraft aufgrundvonKollisionenwirken. Die zweiteForderungist eineEinschrankungdesAlgorithmus zur Abstandsbestimmung,gewahrleistetaberauerdem,daeszwischenzweiTeilchennureinenKontaktbereichgibt.

Bei vielen in dieserArbeit vorgestelltenSystemenwerdengroeMengenvon Teilchensimuliert,die sich zwar ahnlichseinsollen,aberdochUnterschiedein Groeund Form habenmussen,umOrdnungseffekte zu umgehen.DiesePartikel werdenwahrenddesProgrammlaufserzeugt,indemmanper Zufall Ecken auf einerEllipse plaziert.Wennalso in denweiterenAbschnittenAngabenzu denRadieneinesTeilchensgemachtwerden,beziehensich dieseimmer auf die Ellipse, in diedasTeilcheneingepatwurde.DetaillierteAngaben,wie dieForm,EckenzahlundGroenverteilungvorgegebenundbestimmtwerden,findetsichim AnhangB.1.6.

Fur die Simulationmussenfur jedesPolygondrei Groenberechnetwerden:

2.2PhysikalischeGrundlagenderSimulation 27

1. Masse

2. Schwerpunkt

3. Tragheitstensor

Eswird angenommen,dadie PolygoneeinehomogeneMassenverteilunghaben,die Dichte ist .Zur Berechnungder Massewird dasPolygonin einzelneDreiecke p zerlegt, derenFlache Neinfachzubestimmenist.

Danngilt

/ d8 >Rv X N ]

N (2.10)Gleichesgilt auchfur dieBerechnungdesSchwerpunktes.Manzerlegt dasPolygonwiederin geeig-neteDreiecke, fur die die Masse N undderSchwerpunktN bestimmtwird. Esgilt dann

d8 r N ] N NN ] N ` (2.11)

Danachwird dasPolygonsoverschoben,daseinSchwerpunktbei (0,0) liegt undderTragheitsten-sorwird bestimmt.Dannwird dasPolygoneinweiteresmal in Dreiecke zerlegt, diesmalso,davonallenDreiecke p eineEcke auf demUrsprungliegt. DannkanndasTragheitsmomentmit Hilfe desSteinerschenSatzesfur dieRotationumdieseEckeberechnetundsomitdasGesamttragheitsmomentbestimmtwerden[118].

/ N ]

N (2.12)Die BerechnungdieserGroenwird fur jedesPartikel nureinmalbeidessenErzeugungdurchgefuhrt(sieheAbbildungE.1).Zu diesemZeitpunktwerdennochviele andereInitialisierungen(Listenver-waltung,Voronoiregionen,BoundingBoxes)fur dieeffektiveReprasentationeinesTeilchensdurch-gefuhrt. Diesesind aberfur die physikalischenEigenschaftennicht von Bedeutung.EinenkurzenUberblick bietetder AnhangE, ansonstensind dieseSchritteausfuhrlich im Quellcodevon gc2ddokumentiert.

2.2.2 Kraftber echnungbei der Kollision

Die Kraft, die auf polygonalePartikel wirkt, zu modellieren,ist die Herausforderungbei derSimu-lation.FolgendeKrafte3 wurdenberucksichtigt:

c Gravitationc Abstossungbei Kontaktc Reibung

3Mit gc2d ist esauchmoglich,FedernaneineinzelnesPartikel anzuhangen.DadieseKraftenichtzurphysikalischenModellierungderKollision gehoren,werdensiehiernicht beschrieben(sieheAnhangB).


c KohasionDavon jedemKorn p dieMasse N bekanntist, erfolgtdieBerechnungderGravitationskrafteinfachuber

F N ` (2.13)Der Wert von kannvorgegebenwerden.Solangenichtsandereserwahntwird, ist `b ) 8verwendetworden.

EigentlichmutemanbeiderKollisionvonweichenTeilchenderenDeformationberechnen.MoglichwaredieszumBeispielubereineFinite-Elemente-Methode.AusRechenzeitgrundenist diesabermitheutigenComputernnichtpraktikabel.StattdessenerlaubtmandenTeilchenwahrendderSimulationzu uberlappen.Nachdemvon Hertz[122] hergeleitetenKraftgesetzist bei Kugelndie Kraft Nm vonderEindringtiefe V AJ ] 8 abhangig:

Nm V (2.14)Die RichtungderKrafteist dannparallelzur VerbindungsliniederSchwerpunkte.In gleicherWeisewird diesesKraftgesetzauchfur die Simulationvon Scheibenin zweidimensionalenSystemenver-wendet[3,123].Fur PolygonemussmandiesenAnsatzerweitern.Hier beschreibtdie Eindringtiefedie Kollision sichernicht mehr vollstandig, sonderndie Kraft hangt auchvon der GeometriederbeteiligtenTeilchenab. Auerdemist die Kraftrichtungnicht mehrausderLagederSchwerpunktebestimmbar, wie sichamBeispielzweierlangerStabezeigt,die sichanihrenEndenberuhren.

Man nimmt nun an, dader deformierteBereichbei der Kollision zweier Partikel p und r demUberlappbereichentspricht.Dannkannmanmit derPoissonschenVermutung[123], dadie Kraftproportionalzur verformtenFlacheist, folgern, dadie Normalkraftauchproportionalzur Flache Nm desUberlappgebietesseinmu.Dadie Uberlappflache undEindringtiefeV beiScheibenuber A zusammenhangen,gilt fur diesenFall weiterhin Nm} V .In Abbildung 2.4 sind die beteiligtenVektorenund Punktedargestellt.Als Angriffspunkt -hNm derKraftewurdedie Mitte derStrecke ] 8 gewahlt.Es ist auchmoglich,stattdessendenSchwerpunktderFlacheA zuverwenden,diesfuhrtaberzustarkerenOszillationenbeiverschiedenenGeometrien.Im FallevonKugelnsindbeidePunkteidentisch.NormalkraftewirkensenkrechtzurVerbindungsli-nie,Tangentialkrafteparallelzur ihr.

Bevor die Berechnunggenauerbeschriebenwird, sollen noch einige praktischeGroendefiniertwerden.

CharakteristischeLange: N mN ! m (2.15)ReduzierteMasse: $ N m N ! m (2.16)Zur Berechnungder Tangentialkrafte notwendigeMasseunterBerucksichtigungder Tragheitsmo-mente

N und m :$ ] ! ] ! _

! _ (2.17)


nn

j

v

j

v

i

mi mj

r

j

i

1

c2

i

r

c

A

ijs

l

Abbildung 2.4: Die Normalen-undTangentialrichtungbei derKollision wird durchdie Kontaktli-nie (grun) bestimmt.Die VektorenN und m deutenvom SchwerpunktdesjeweiligenTeilchenszur Mitte derKontaktlinie.

Tangentialgeschwindigkeit amPunkt -hNm Rv ] ! 8 ! Rv ] ] XD! Rv 8 8 XSXv (2.18)

Effektive Eindringtiefe V =@= (2.19)DieeffektiveEindringtiefesetztdabeidieUberlappflacheunddiecharakteristischeLangezueinanderinsVerhaltnis.

Die Normalkraft,alsodieKraft in Richtungvon , wird bestimmtdurch: V =@=

(2.20)

Dabei ist der Elastizitatsmodul(Young-Modul),in zwei Dimensionenhat es die Einheit N/m.DieseModellierungder Kraft orientiertsich am HookschenGesetz.Die Definition der effektivenEindringtiefefuhrt zu folgenderUberlegungunterder AnnahmedesUberlapps

zweierPartikel:

je kleiner die beteiligtenTeilchensind, umsokleiner ist , entsprechendist die Normalkraft danngroer. Dies modelliertdie Tatsache,daesleichterwird, einenKorperum ein festesVolumenzukomprimieren,je groerer ist.

Beim zentralenStozweierPartikel ist praktischkonstantunddie Kraft nimmt mit zunehmenderUberlappflachezu. Fur die in Abbildung2.5 dargestelltenGeometrienwurdenun derKraftverlauffur eineKollision zweieridentischerTeilchensimuliert. In Abbildung2.6 ist die Abhangigkeit derNormalkraftvon derEindringtiefe V dargestellt.Fur die Kollision zweierKugelnerhalt man


h hh

a) b) c)

Abbildung 2.5: BestimmungderEindringtiefebeiderKollision zweierScheiben(rot), zweierSpit-zen(grun) undzweierPlattchen(blau).Die Plattchenwurdenleicht versetztdargestellt,um dieDarstellungzuverbessern.Bei denSimulationenzu denAbbildung2.6und2.7gabesdieseVer-setzungnicht.

105

104

103

102

102

100

102

104

106

Eindringtiefe h [m]

Nor

mal

kraf

t Fn

[N]

Plttch. F hScheibe F h3/2

Spitzen F h2

Abbildung 2.6: Der ZusammenhangzwischenderEindringtiefeundderNormalkraftbei derKol-lisonzweierSpitzen,zweierScheibenoderzweierPlattchen.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10

3

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

x 104

Kontaktzeit [s]

Kra

ft [N

]

Spitzen Fn

Spitzen Fd

Scheibe Fn

Scheibe Fd

Plttch. Fn

Plttch. Fd

Abbildung 2.7: Der zeitlicheVerlauf der Normalkraft und Normalendampfungbei der KollisonzweierSpitzen,zweierScheibenoderzweierPlattchen.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10

3

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

x 104

Kontaktzeit [s]

Kra

ft [N

]

Spitzen FN

Spitzen Ft

Scheibe FN

Scheibe Ft

Plttch. FN

Plttch. Ft

Abbildung 2.8: DerzeitlicheVerlaufderTangentialkraftbeimschragenAuftreffen(45 ) einerSpit-ze,einerScheibeodereinesPlattchensaufeineWand.


. Dies ist die HertzschePressung[109]; die Kollision zweierStabeentsprichtdemHookschen

Gesetz . AusdemUberlappzweier45 -Spitzenfolgt fur diesenFall .WahrenddesStoeswird, auerim voll elastischenFall, Energie dissipiert.Im erstenSchrittwirddie DampfungderDampfungskraft

desharmonischenOszillatorsnachempfunden.

(2.21)Dabeiwird wiederangenommen,da

wahrendderKollision konstantist.

ist dieDampfungskon-

stante,wobei!#"

demelastischenFall entspricht.Bei derKollision kannnunderFall auftreten,dadieDampfungbetragsmaiggroerwird alsdieNormalkraft.Dieskannauftreten,wennsichdieTeilchenwiedervoneinanderentfernen,dadanndieNormalkraftuberkompensiertunddamitnegativwerdenkann.Dieswurdekurzzeitigzu einerattraktivenWechselwirkung fuhren.Deswegenerfolgtdie BerechnungdereigentlichenDampfungdurch

beiAnnaherung$%&(' *)+ -, beiSeparation (2.22)derPartikel. Ein typischerVerlaufderNormalkraftundderDampfungist in Abbildung2.7gezeigt.Simuliertwurdewiederdie SituationausAbbildung2.5,diesmalmit

./"1032. Dargestelltist immer

derKraftverlaufabdemBeginn derKollision. Man sieht,dadie Kontaktzeit 5476898 von derGeome-trie abhangig ist. Bei der Kurve fur die Kollision der Quadratewird dasAbschneidenvon

im

Zeitraum ' : =@? , sichtbar. machtzur Zeit :


Warumnun kannmannicht einfachmit demAnsatz C _X und die Kraftrichtungentgegen-gesetztzu N C arbeiten?Im BereichderOszillationsehrkleinerGeschwindigkeitenum 0 wurdedieReibung bei gleichemBetragdauerndihr Vorzeichenwechseln;die Unstetigkeit desKraftverlaufsfuhrt zu numerischenProblemen.

Um dieszu umgehen,wird normalerweiseein viskoserReibungsterm[3, 102,126] verwendet,furkleineGeschwindigkeitengilt dann `S X N C E G .DiesesModell fuhrt bei polygonalenTeilchendazu,daein rechteckigerBlock auf einerschiefenEbenenie zumStillstandkommtoder, wenner gestopptwird, nicht liegenbleibt.ErstderTrick mitdemlangsamenEinschaltender Reibung gewahrleistet,daein Block auf einerschiefenEbenezur Ruhekommenkann(sieheAbschnitt2.5.1).Um Tangentialschwingungenzu dampfen,wurdeeinvikoserDampfungsterm

C analogzuGleichung2.21verwendet: C N C OQ C (2.26)

Da auchdie Summe C I C immerkleineralsdie Reibungskraftbleibensoll, ist die vollstandigeDarstellungderTangentialkraft C bei CoulombscherReibungdann

DCFE 4JI GJba $L M c CFE 4 G IN C OQ I*N C OQ C c ) c X E 4 G c (2.27)wobeisichdasVorzeichennachdemdeserstenTermsrichtet.

In Abbildung2.8 wird die EntwicklungderNormal- undderTangentialkraftexemplarischfur dreiKorper(Scheibe,Plattchenmit derKanteundDreieckmit derSpitze)bei schragemAuftreffen aufdenBodendargestellt.Fur denReibungskoeffizientengilt

Xde"1032, fur die Dampfung

e"10 A . BeiallendreiKorpernsiehtmandasAnsteigendesBetragesderTangentialkraftmit zunehmenderDauerdesKontaktesbiszueinemjeweiligenExtremwert.DieseMinima beidendreiKurvenderTangenti-alkraftsindjeweilsderZeitpunkt,beidemsichdasVorzeichenderNormalengeschwindigkeit andert,die Teilchensichalsowiedervoneinanderwegbewegen.Beim QuadratsiehtmanabdemZeitpunkt 4 A @;1">=@f eineAnderungdesKurvenverlaufs.Ab dannrutschtdasTeilchennicht mehrmit derKanteuberdenUntergrund,sondernkippt uberdie vordereEcke ab. Gleichzeitigwird die Tangeti-alkraft durchdie CoulombscheReibung dominiert.Bei Dreieckund Kugel ist dasVerhaltenetwasanders.Zu BeginndesKontaktesdominiertdieCoulombscheReibung.Dann,bedingtdurchdieRo-tation,nimmt die TangentialkraftabundwechseltsogardasVorzeichen.ErstgegenEndedominiertderTerm

X wieder C .EineeinfacheModellvorstellungfur die Kohasionist, dadie Kraft proportionalzur Kontaktflacheist. In unseremzweidimensionalenModell entsprichtdie Groeder Kontaktflacheder Lange

der

Strecke ghBiFh (sieheAbbildung2.4).Die Kohasionskraftist dann -j7kml /n jokml c cWp (2.28)wobeiderParameter

n jokml dieStarkederKohasionbestimmtunddieEinheit[N/m] hat.Im GegensatzzudemvonKun[127] vorgeschlagenenModell,beidemdieattraktivenKraftezwischendenSchwer-punktendirektwirken,greifensiehieramKontaktpunktanundsindnichtkonstant.DieseDefinitionderKohasionlatsichsehreinfachfur die vorgestellteSimulationvon Polygonenrealisieren,dadieGeometriedesKontaktesauchschonfur die Berechnungvon Normal-undTangentialkraftnotwen-dig ist. Der numerischeAufwandreduziertsichdadurchauf eineAddition undeineMultiplikationproKontakt.


DasaufgrundeinesKontakteswirkendeDrehmomentumdenSchwerpunktfur Teilchenq istr

r sHt F 0 (2.29)

2.2.3 Anderung der Teilchengroe

EskannausverschiedenenGrundeninteressantsein,dieGroedesTeilchenswahrendderSimulati-on zuverandern:

u Ausdehnungaufgrundvon globalenTemperaturanderungenu MaterialabtragdurchReibungu VolumenanderungdurchAustrocknungdesGranulates

Dabeiwerdenkeine Formanderungenberucksichtigt,sonderneineSkalierungdesTeilchendurch-messersdurchgefuhrt. Diesewird bei derBerechnungderPositionder v + tenEcke desq + tenTeil-chensberucksichtigt.wTsyx pz syx sinddie KoordinatenderEckenim SchwerpunktsystemdesTeilchens,w s pz s dessenSchwerpunktund { s dessenWinkel:

w`|syx } s E~w syxR1 { I z syx L M { G I w s (2.30)z |syx } s E + wsx L M { I z syx 1 { G I z s 0 (2.31)} s ist derSkalierungsfaktordeseinzelnenTeilchens.} s b; gibtdieOrginalteilchengroe, "/} s /;bedeuteteineVerkleinerungderTeilchen,

;/} s eineVergroerung.Um die EinflusseeinerglobalenTemperaturanderungzu simulieren,setztmanmit

} i b} /0B0B0-/}b/} E G (2.32)alle Skalierungsfaktorenauf den selbenWert.

} ] ; entsprichtdanneinemAufheizendesSy-stemsin Bezugauf

}*;und

}*;ein Abkuhlen.Damit sind Simulationenzu Systemen,wie

sieGeminard[128,129] untersucht,durchfuhrbar. Dabeiwird die KompaktioneinesGranulatesge-messen,welchesperiodischerwarmt und wiederabgekuhlt wird. Die Veranderungder GroederPartikel fuhrt dannzueinerVolumenveranderungdesGasamtsystems.DieseMoglichkeiten,dasSy-stemaufzuheizen,ist in gc2d implementiert.Wie dieseMoglichkeiten genutztwerden,ist imAnhangB.1.2.3beschrieben.In der gleichenArt und WeisekannmanauchdasSchrumpfendesGranulatesdurchAustrocknungsimulieren.

Eine anderesSystem,bei demdie Groenanderungder Partikel berucksichtigtwerdenmu,ist inErweiterungvon [130] der Materialabtragvon Eisenbahnschotterbei Belastung.Bei der Simulati-on bietet es sich an, die einzelnenSkalierungsfaktorenin Abhangigkeit der wirkendenKrafte zuverandern.Ein moglichesModell ware,daman den Teilchendurchmesserum reduziert,wenneinegewisseKraft , die aufdasTeilchenwirkendarf, uberschrittenwird:

} sE I GH} s E I G s $%& E } s ) E ; + Gm} sE GmG `sD 0 (2.33)

2.3BerechnungphysikalischerDatenausdenSimulationsergebnissen 35

Kleiner als} s durfendie Teilchendabeinicht werden,um Konflikte mit demZeitschrittdesDif-

ferentialgleichungslosers auszuschlieen.gc2d ist fur dieseErweiterungenvorbereitet(sieheAn-hangE.2),in dieserArbeit gilt abergrundsatzlich4

} s /; .

2.3 Berechnungphysikalischer Daten ausdenSimulationsergebnissen

The aim of computingis enlightenment,not numbers [131] konntemanals Motto uberdiesenAbschnittsetzen.EinSimulationslaufvongc2d kannmehrereGigabyteanDatenliefern.AusdiesenRohdatenmussendannerstdieausphysikalischerSichtinteressantenDatengewonnenwerden,seiesdurchgeeigneteMittelung oderdurchkomplexereBerechnungen.Die dazuverwendetenMethodenwerdenim folgendenAbschnittvorgestellt.

2.3.1 Simulationsdaten

Zuerstsoll beschriebenwerden,welcheDatenzur Verfugungstehen.Dabei ist esunwichtig, wiedieseDatentatsachlichgespeichertwerden.EinegenaueBeschreibungdiesestechnischenAspektesfindetsichin AnhangC.1.Die Daten,diemanausderSimulationfur eineinzelnesTeilchenq erhalt,lassensichin zweiUntergruppeneinteilen:

1. zeitunabhangigeDaten

2. Datenfur einenbestimmtenZeitpunkt Zu denzeitunabhangigenDatengehorenin ersterLinie Materialparameterwie Dichte,ElastizitatundReibungskoeffizient. Bei einerSimulationist eszwar einfachmoglich, dieseWertewahrendeinesLaufs zu verandern,in der vorliegendenArbeit wurdevon dieserMoglichkeit aberkein Gebrauchgemacht5. Ebenfalls zu denzeitunabhangigenDatengehort die MasseeinesTeilchens,die sichausdessenGeometrieberechnenlat.Hiermumanaberberucksichtigen,dabeiSimulationenin denendie AusdehnungeinesGranulatesaufgrundexternerErwarmungbeschriebenwird, sich die Flacheund Dichte desTeilchenssehrwohl andern.Im weiterenwird, wenn nichts andereserwahnt ist,mit konstanterTeilchenflachegerechnet.Zeitunabhangigist auchdie Form derPartikel, alsoist furein Teilchenq auchdie Zahl derEcken s konstant.Bekanntist fur denFall, daderSchwerpunktxs wTsz s

"" im Ursprungliegt unddie Rotation { " gleichNull ist, die Positionder + tenEcken

s w sz s mit /;J0B0B0 s 0 (2.34)ZeitabhangigeGroeneinesPartikelssindseinePositionx E G , seinRotationswinkel {DE G , sowie dieentsprechendenGeschwindigkeiten E G , {E G undBeschleunigungen E G , {DE G . Die LagederEckenzumZeitpunkt berechnetsichdannfur Teilchenq mit demSchwerpunktxs5E G undderRotation{Ts5E Gmittels

4Um Rechenzeitzu sparen,ist durchentsprechendeKompilierung(sieheAnhangE.2)sichergestellt,dadieMultipli-kationmit 1 garnichterstausgefuhrt wird

5Ein Ausnahmebildet der Film mid9f.mpg auf der beigelegtenCDROM. Hier wurdewahrendder SimulationdieReibungschlagartigaufNull reduziert,waszurFluidisierungeinesSandhaufensfuhrt.


s E GJ w s 1 {s5E G I z s L M {s5E G+ w s L M {s5E G I z s 1 {s5E G I wsE G

z sE G 0 (2.35)NebendenDatenfur einzelneTeilchensind auchdie komplettenDatender Krafte zu einembe-stimmtenZeitpunktbekannt.Fur jedeKraft q sind

1. derAnsatzpunktderKraft s

2. dieGroederKraft sbekannt,ebenso,aufwelcheTeilchendie Kraftewirken.

2.3.2 Berechnungweiterer Gr oen

In denAbschnitten3 und 4 wird esnotig werden,denDruck auf denBodenbzw. die SeitenwanddesSystemszu berechnen.DazuwerdenausallenKraftendesSystemszuerstdie Krafte s andenPunkten

s ausgesucht,die aufdiezuuntersuchendeWandwirken.Die Seitenwandbzw. derBoden

habedieLange. DermittlereDruckaufeinenBodenergibt sichdannaus

65 ; s s p (2.36)

deraufeineSeitenwandaus

; s s 0 (2.37)

Interessantist abernichtnurdermittlereDruck,sondernauchdie ortlicheVerteilungEw G . Um dieszu erreichen,bestimmtmandenDruck in einemgeeignetenMessintervall derBreite O1 .Dazudefinierenwir eineTestfunktionEw p w | G mit

Ew G; w + w | w I "

sonst0

(2.38)

Angewandtauf die AngriffspunktederKrafteergibt sEw p s G alle Krafte,die innerhalbeines

bestimmtenIntervalls um w angreifen.Der lokaleDruckaufeinenBodenist

65 Ew GJ ;O1 s sEw p W

s G p (2.39)

deraufeineWand

@ E z G ;O1 s sE zPp

s GH0 (2.40)

Bei derBestimmungdesDrucksgilt es,einengeeignetenWert fur die GroedesMeintervalls zufinden.Ist dasIntervall zu klein, wird uberzu wenigeKraftegemitteltund in derDruckkurve sind


a) b)

b

Abbildung 2.9: Die BestimmungdesBoschungswinkels kann a) uber einenFit an die oberstenPartikel in einzelnenIntervallenoderb) uberdie FlachedesSystemserfolgen.

die einzelnenKrafte zu erkennen.Ist dasMeintervall zu gro,so werdenDetailswie daslokaleDruckminimumbeieinemSandhaufenweggemittelt.Die Erfahrunghatgezeigt,da10-20Kontaktepro Intervall einguterKompromisind.EsmuaberimmerdurchVariationderIntervallbreiteuber-pruft werden,ob vermeintlicheEffekte nicht nur Artefaktesind.Andersals im realenExperimentist esauchmoglich, die Mebereicheuberlappenzu lassen,sodaeinebessereortlicheAuflosungmoglich ist.

Aus der Simulationsind alle wirkendenKrafte bekanntund es ist einfach, entsprechendeWahr-scheinlichkeitsverteilungen zubestimmen.Manberechnetdie RichtungenTs derKrafte s uber

%M Ts s s (2.41)

undbestimmtdannderenWahrscheinlichkeiten Em G . DieseDatenwerdensinnvollerweisein einemPolarkoordinatensystem aufgetragen(siehez.B. Abbildung 4.2(e)oder4.5(e)).Hier ist sehrleichtzuerkennen,obdasKraftnetzwerkanisotropist. DaanjedemKontaktzweientgegengesetzteKrafteangreifen6, gilt Em G Em aG . Die Verteilungder Groeder Krafte ES ] G ist auchdirektberechenbar.

Da bekanntist, auf welchesTeilchen

jede der Krafte wirkt, kann fur ein bestimmtesTeilchenabgezahlt werden,wieviele Kontakteeshat.DieseZahl heitKoordinationszahl , ihre VerteilungEm G ist wiederumdirektberechenbar.Zur BestimmungdesBoschungswinkelswurdenzweiMethodenverwendet:

Im Fall einesHaufens,deraufeinemUntergrundaufgeschuttetwurde,ist dieOberflachehinreichendglatt. Ein Beispielist derHaufenin Abbildung4.17.Von jedemTeilchenq ist dessenSchwerpunktbekannt.Dannwird fur Intervalle andenOrten wTs (ahnlichwie Gleichung2.38)der jeweils hochst-gelegeneSchwerpunkt

EwTs G bestimmt.An Ew G wird eineGeradeangefittet,uberderenSteigungder Boschungswinkel berechnetwird. Eigentlichsollte bei der Bestimmungder OberflachediehochstliegendeEckegesuchtwerden,dabei derBerechnungmit Hilfe desSchwerpunktesdieOber-flache

4o Ew GH 4o S@ F Ew G I zu tief angesetztwird. DaabernurdieSteigunginteressantist, ist unwichtig.Die BerechnunguberdieSchwerpunkteist im allgemeinenumdenFaktor10-20schneller. ProblematischkonntedieseVereinfachungerstwerden,wennmaneinenHaufenaussehrlangenStabenaufschuttenwurde.

6Gravitationskrafteseienhier unberucksichtigt.


a) b)

Abbildung 2.10: Die Testflache(rot) zur BerechnungdeslokalenFullgrads.GraueingezeichneteFlachenwerdenbei der Berechnungder lokalenDichte berucksichtigtund der gemittelteFull-gradwird dannfur denrot markiertenSchwerpunktderTestflacheangegeben.b) Die Testflacheschneidetdie freie OberflachedesGranulates;die Flachewird entsprechendverkleinert(gestri-chelteroteLinie).

Wenn,wie im Abschnitt4.4 die Oberflachenallerdingssehrzerkluftet sind, ist eineandereMetho-de,analogderin [49,132] verwendeten,gunstiger. Allerdingsmuhierzudie Breite derBasisderAufschuttungbekanntsein.AusderFlache , diedasGranulateinnimmt,ergibt sichderBoschungs-winkel uber

%M { O 0

(2.42)

Der Vorteil dieseMethodeist, dasieintegralenChrakterhatundeineBestimmungderOberflachenicht notwendigist. Dadurchumgehtmandie Problememit starkzerkluftetenGranulathaufenbeisehrstarker Kohasion.

EherderVisualisierungalsderAuswertungdienendist die DarstellungdesSystemsselbstbzw. desKraftnetzwerkes;eigenartigeSimulationenlassensichsofruhzeitigerkennen.

Bei derDarstellungdesSystemsselbstbekamendie TeilchenimmereineFarbeentsprechendihrerinternenTeilchennummerzugewiesen.DadieseNummerim allgemeinenaufsteigendvergebenwird,habenbei denSandhaufenTeilchengleichenAlters ahnlicheFarben.Damit kannmandie Ge-schichtedesSystemserkennen.Soist zumBeispielandemHaufenin Abbildung4.16zuerkennen,dawohl im LaufederEntstehungdiesesHaufenseinTeil desHaufenszurSeitegerollt/gerutschtistundsichdaruberliegendesMaterialwie einKeil dazwischengeschobenhat.DerGrunddafur ist, dadie TeilchensehrglattwarenundexaktdieselbeGroehaben.

Radji (sieheTitelseitevon [23]) verbindetzur Darstellungder Kraftnetzwerke die SchwerpunktezweiersichberuhrenderTeilchen.Die BreitederLinie ist dannproportionalzurKraft. HatmanabernichtrundeTeilchen,so wird im allgemeinender Aufpunkt der Kraft nicht auf dieserLinie liegen.Deswegenwurdestattdessenfur jedenKontaktje eineLinie vom Schwerpunktzum Aufpunkt derKraft gezeichnet.Auch hier ist die Dicke undFarbigkeit proportionalzumBetragderKraft. Durchdie Darstellung(z.B. Abbildung4.20(a))lassensichsehreinfachPfadedarstellen,entlangdererdieKraftewirken.

2.3.3 Berechnungder lokalen gemitteltenDichte

BetrachtetmaneinenAusschnittauseinergranularenAufschuttung,so ist zu sehen,dadie ein-zelnenKornerdenvorhandenenRaumnicht wie eineFlussigkeit oderein Gasausfullen, sondern


dagroeZwischenraumeentstehen.In zwei Dimensionenbeschreibtdie Packungsdichte,wievielProzentderFlachevom Festkorperbedecktwerden.Die Packungsdichteist nicht nur von FormundGroenverteilungderTeilchenabhangig,sondernauchvon derEntstehungsgeschichtedesSystems.Dementsprechendist esinteressant,diesenWertauchortlich aufgelostzubestimmen.

Dazuwird eineTestflache uberdasSystemgelegt undfur alleTeilchenq derSimulationberechnet,welcherAnteil Ts derTeilchenflacheWs innerhalbderTestflacheliegt. Dabeigilt

`s ;

Teilchenq vollstandigin "Teilchenq auerhalbvon " `s /; sonst

0(2.43)

DereinfachsteAnsatzfur die lokalerelative Dichteist dann

| S 8 s `sWs0

(2.44)

Fur denFall, dawie in Abbildung 2.10a)die Testflachekomplett von Granulatumgebenist, istdieseMethodezuverlassig.Problematischwird esaber, wenndie TestflacheamRanddesSystemsliegt, alsonicht komplettausgefullt wird. In Abbildung2.10b)wurdedanndie lokaleDichteextremunterschatztwerden.Deswegenwird in einemzweitenSchrittdie Testflacheverkleinert.Dazuwirddie Menge

i der innerhalbvon liegendenEcken derjenigenTeilchenbestimmt,fur die s ] "gilt. Dann berechnetman die Mengeder Schnittpunkte

der Teilchenmit dem Rand.Von denPunkten

iD wird danndie konvexe Hulle undderenFlache bestimmt.Die verbesserteDefinition fur die lokaleDichtelautetdann

S 8 s `sWs 0 (2.45)Im InnerendesSystemssindGl. 2.44undGl. 2.45gleichwertig.Am Randunterschatztdie Variantemit derkonvexenHulle dieDichteaberdeutlichweniger.

2.3.4 Berechnungvon Spannungstensoren ausdenKr aften

Zur BestimmungderSpannungstensorenim GranulatstehendieKrafteundderenAngriffspunktezurVerfugung.Zuerstsoll gezeigtwerden,wie darausdermittlereSpannungstensorin einemeinzelnenPartikel berechnetwird, anschlieendwird dieRechnungaufgroereGebietemit mehrerenTeilchenerweitert;es gilt immer q p v p n p ( w pzP . Im Gleichgewichtszustandgilt fur einendeformiertenKorper

` s 8 w 8/"K0

(2.46)

Zur BerechnungdesmittlerenSpannungstensorswird Gleichung2.46mit wx multipliziert unddannuberdasVolumen desTeilchensintegriert [122].

T s 8 w 8 wTx d E s 8 wTx G w 8 d +

s 8 wTx w 8 o d

/"(2.47)


a) b)F

x

Abbildung 2.11: a) Alle Teilchen,derenSchwerpunktinnerhalbeinerTestflacheliegt, werdenzurSpannungsberechnungherangezogen.b) Krafte (grun) die im Innerenwirken, tragenzur Span-nungsberechnungnichtbei.Die Testflachewird denAufpunkten derKrafteangepat.

Mit demGausschenIntegralsatzwird dasVolumenintegral in ein Oberflachenintegral umgeschrie-ben.

s 8 wTx d 8 syx d (2.48)DaanderOberflachedesPartikelsnureinzelneKrafteangreifen,kanndie linke Seitede

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Diss - Ein Simulationssystem Für Granulare Aufschüttung Aus Teilchen Variabler Form - Schinner - 2001