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Terme / Grundlagen Arbeitsanleitung / Theorie
30.12.08 VIP 1
1. Termumformungen 1.1. Zahlen, Terme 1.2. Termauswertungen 1.1.1 Negative Zahlen a) Zeichen
b) Addition und Subtraktion Diese beiden Operationen stellt man sich am besten bildlich auf dem Zahlenstrahl vor. 1. „+“ bedeutet nach rechts gehen und „–“ bedeutet nach links gehen.
2. Der 1. Summand (oder der Minuend) gibt den Startwert vor. Der 2. Summand (oder Subtrahend) gibt die Anzahl Einheiten vor, die man zurücklegen muss. Der Endwert entspricht dem Resultat.
3. Verwenden Sie zum Rechnen immer die vereinfachte Schreibweise ohne Klammern.
c) Multiplikation und Division
Ungleiche Vorzeichen, Produkt negativ. Gleiche Vorzeichen, Produkt positiv.
0-1 +1 +2 +3 +4 +5
(+ 4) - (+ 5)= + 4 - 5
Anfangswert Endwert
- 5(+ 4) + (- 5)= + 4 - 5
0-1-2-3-4-5
(- 5) + (+ 4)= - 5 + 4
Anfangswert Endwert
+ 4
(- 5) - (- 4)= - 5 + 4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2045
2045
2045
2045
+=−⋅−
+=+⋅+
−=+⋅−
−=−⋅+
- (- 4 - (+5))
Gegenzahl
Vorzeichen
Operationszeichen
Terme / Grundlagen Arbeitsanleitung / Theorie
30.12.08 VIP 2
Kapitel 2: Termumformungen 2.1. Addition, Subtraktion und Multiplikation 2.1.1 Einführung Algebraische Summen vereinfachen Sie, indem Sie nur gleichartige Glieder zusammenfassen. Bei Potenzen muss Basis und Hochzahl gleich sein. Sie rechnen nur mit den Koeffizienten (Zahl vor der Variablen) und schreiben die Variablen ab. Sie dürfen einzelne Glieder vertauschen, wenn Sie die Zeichen davor mitnehmen. Ordnung alphabetisch, innerhalb Alphabet nach Exponentengrösse. Beispiel 1
510310151033223233
xyxxxxyxyxxxx +−+=−+−++−
2.1.2 Klammerregeln der Addition und Subtraktion (Polynome)
1. Pluszeichen vor der Klammer: Klammer und Pluszeichen davor weglassen. 2. Minuszeichen vor der Klammer: Klammern und Minuszeichen davor weglassen, dazu müssen
gleichzeitig die Zeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden. (Achtung: Steht vor dem ersten Glied in einer Klammer kein Vorzeichen, so ist an dieser Stelle
stets ein Pluszeichen zu denken.) 3. Mehrfachklammern lösen Sie schrittweise von innen nach aussen. Beispiel 2
( ) 33443534435 −+=−+−−=+−−− yxyxyxyxyx
Beispiel 3
[ ] [ ][ ] [ ]
zyx
zyxxzyxxzyxxzyx
zyxxzyxzyxxzyx
472
473473345343
)34(5343))3(4()53(43
+−
=+−−=−+−=−+−+−−
=+−−+−−=−−−−−−
→→→→ Übung S. 4, Nr. 1 bcfgh / 2bc 2.1. Multiplikation a) Monom mal Monom Eine Multiplikation ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise einer Addition mit dem gleichen
Summanden. Zeichenregeln
Ungleiche Vorzeichen, Produkt negativ. Gleiche Vorzeichen, Produkt positiv.
Bei der Multiplikation gelten die gleichen Vorzeichenregeln wie bei den negativen Zahlen. Ein Produkt mit gerader Anzahl negativer Faktoren wird immer positiv. Ein Produkt mit ungerader Anzahl negativer Faktoren wird immer negativ. Es können auch verschiedene Glieder miteinander multipliziert werden. Das Operationszeichen der Multiplikation kann weggelassen werden: baab ⋅⋅= 44 Beispiel 1
abccbacab 20210210 −=⋅⋅⋅⋅−=⋅−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2045
2045
2045
2045
+=−⋅−
+=+⋅+
−=+⋅−
−=−⋅+
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30.12.08 VIP 3
Beispiel 2
yxyxxxyx2
8)2(4)2(4 =⋅⋅⋅−⋅−=−⋅−
Beispiel 3
abccbacba 24324)3(24 −=⋅⋅⋅⋅⋅−=−⋅⋅
b) Monom mal Polynom Ausmultiplizieren: Multiplikation von Klammerausdrücken (Polynome) Distributivgesetz
Jedes Glied in der Klammer muss mit dem Ausdruck vor der Klammer multipliziert werden. Vorzeichenregeln der Multiplikation beachten !
Beispiel 4
xxxxxx 826)43(2232 −+−=+−−
c) Polynom mal Polynom
Jeder Summand der ersten Klammer muss mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden, gleiche Glieder falls möglich zusammenfassen. Die Vorzeichen der Glieder ergeben sich aus den Vorzeichenregeln der Multiplikation.
Beispiel 5
xxxyxyxxyxx 826396264)32)(32(232 −+−=+−++−=+−+
d) Binomische Formeln
22
222
222
))((
2)(
2)(
bababa
bababa
bababa
−=−+
+−=−
++=+
Beispiele 6
( ) 9124 = 3222
+++ xxx
Beispiele 7
( ) 9124 = 3222
+−− xxx
Beispiele 8
( )( ) 94 32322 −=−+ xxx
e) Vermischte Aufgaben Potenz vor Punkt vor Strich! Ausmultiplizieren von Klammern nach Minuszeichen: erneut Klammern setzen. Beispiel 9
4153416444
)4164()144()4)(14()12(
22323
23222
+−−=++−−+−
=−−+−+−=+−−−
nnnnnnnn
nnnnnnnnnn
→→→→ Übung S. 5, Nr. 3 / 4abcdf / abcfgjklmopqtwy
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30.12.08 VIP 4
2.2 Faktorzerlegung Beim Ausmultiplizieren in 2.1 verwandeln wir Produkte in Summen (Klammern werden aufgelöst). Das Faktorisieren ist die Umkehrung: Summen werden in Produkte verwandelt (Klammern werden gesetzt).
Ausmultiplizieren
Produkt xbxabax ⋅+⋅=+⋅ )( Summe
Ausklammern, faktorisieren a) Ausklammern mit Distributivgesetz Kommt ein Ausdruck in jedem Summanden vor, so kann er vor eine Klammer gezogen werden.
Beispiel 1 )( cbadcdbdad −+=−+
Beispiel 2 (Ausklammern von Teilsummen, Klammern ausklammern)
( ) ))(+()+(= bavuvubvuabvbuavau −=+−−−+
Beispiel 3 (Ausklammern von Teilsummen, Klammern ausklammern)
))(1())(()())(( yxvwvyxxyvwvyx −−⋅−+−=−−+−
)2)(()))((()())(( wvyxvwvyxyxvwvyx +−=++−=−⋅++−
→→→→ Übung S. 6, Nr. 6abcdeghilnoqtu, Nr. 9abc b) Ausklammern mit Binomischen Formeln
Beispiel 4 22
)12(144 +=++ xxx
Beispiel 5 (Ausklammern —> Binomische Formeln
( ) ( )22222 424484 yxyxyxyxyx −=+−=+−
→→→→ Übung S. 6, Nr. 7 abcdghijk
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30.12.08 VIP 5
c) Mittelgliedzerlegung (Zweiklammermethode)
Beispiel 6
????1662
=−− xx ⇒ ?)....?)(...( xx
Alle Produkte mit Ergebnis 16 aufschreiben Die Faktoren auswählen, die addiert 6− ergeben
16- = (+4)(-4)
16- = +2)(-8)
16- = (-2)(+8)
16- = (+1)(-16)
16- = (-1)(+16)
(
0 = (-4)+(+4)
6 = (+8)+(-2)
15- = (-16)+(+1)
15 = (+16)+(-1)
6- = (-8)+(+2)
⇒ 16- = (+2)(-8)
⇒ ⇒ ( )( )82166
2 x x xx −+=−−
Beispiel 7 (Ausklammern —> Mittelgliedzerlegung)
( ) ( )( )322 =621222 222234 −+−−=−− xxxxxxxxx
→→→→ Übung S. 6, Nr. 8 abcdefg
d) Mehrere Verfahren in einer Aufgabe (Reihenfolge einhalten!)
1. Soviel wie möglich ausklammern. 2. Zwei-, dreigliedrige Restsummen mit den Binomischen Formeln weiter zerlegen oder... 3. Dreigliedrige Restsummen mit der Mittelgliedzerlegung weiter zerlegen. 4. Kontrolle durch Ausmultiplizieren. Achtung: es gibt Summen, die nicht in Faktoren zerlegt werden können!
→→→→ Übung S. 6, Nr. 10 acdejk (fakultativ)
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30.12.08 VIP 6
3. Bruchterme 3.1. Zahlbegriff
Als Bruch bezeichnen wir eine Zahl in der Form q
p, mit p, q R∈ , q 0≠ . (p heisst Zähler, q Nenner)
3.2. Vorzeichen
b
a
b
a
b
a
−=
−=−
b
a
b
a=
−
−
3.3. Kürzen Bruchterme werden gekürzt, indem Zähler und Nenner durch den gleichen (von 0 verschiedenen ) Term dividiert werden. Achtung: Summen dürfen nie gekürzt werden !
( ) ( )1.5200
200 1,00985
4
6
31
51
3
5
203
205==
+
+≠
+
+==
Lösungshilfen Beispiel 1 Faktorisieren mit Ausklammern
( ) ( )z
z
z
z
z
zz
z
zz 28142
45
1490
45
9036022
2 −=
−=
−⋅=
−
Beispiel 2 Faktorisieren mit Ausklammern, ganze Klammerausdrücke kürzen
( )( )
www
ww
ww
ww=
+⋅
+⋅=
+
+
1
12
2
23
Beispiel 3 Faktorisieren mit Binomischer Formel
( )( ) ( ) 12
2
1212
122
14
242 +
=−⋅+
−⋅=
−
−
rrr
r
r
r
Beispiel 4 Teilsummen ausklammern (ganze Klammern ausklammern)
Beispiel 5 Faktorisieren mit Mittelgliedzerlegung, -1 ausklammern
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 2
6
72
7)1(6
72
76
214
42132 k
k
kk
k
kk
k
kk −=
−⋅
−⋅−⋅−=
−⋅
−⋅−=
−
+−
( ) ( )( )
( ) ( )( ) k
k
pk
pk
pk
kkp
kkp
kpkp 5
1
15
1
5555 −=
+⋅
+⋅−=
+⋅
−+−=
+
−+−
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→→→→ Übung S. 7, Nr. 14 abcdefgij / 15abcdef / 16 ab
3.4. Erweitern / gleichnamig machen Ist eine Zahl(Term) v sowohl Vielfaches einer Zahl (eines Terms) a als auch Vielfaches einer Zahl (eines Terms) b, so heisst v gemeinsames Vielfaches von a und b. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit kgV bezeichnet. Das kgV zweier Zahlen (Terme) erhält man durch die Faktorzerlegung in Primfaktoren. Man wählt jeden Primfaktor dort aus, wo er am häufigsten vorkommt und multipliziert alle ausgewählten Primfaktoren miteinander.
18053322
522
33
=⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
kgV
360
218
Lösungshilfen
Beispiel 1
( )
( ) qm-qmkgV
qmmq
m=m
223
3
22
1205321
218
5315
=⋅⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=−
⋅⋅
Beispiel 2 Faktorisieren, kgV bestimmen
( )
( ) ( )
( )( )22
224
22
2
3
223
−+=
⋅⋅
⋅
nnnkgV
n-n+n=n–n
n+=nn+n
→→→→ Übung S. 8, Nr. 17 abcdeghi
3.5. Addition und Subtraktion
Gleichnamige Brüche (gleicher Nenner) werden addiert(subtrahiert) indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält. Ungleichnamige Brüche werden addiert(subtrahiert) indem man die Brüche gleichnamig macht und diese gleichnamigen Brüche dann addiert(subtrahiert).
cd
bcad
cd
bc
cd
ad
d
b
c
a ±=±=±
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30.12.08 VIP 8
Lösungshilfen
Beispiel 1 Gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, ausmultiplizieren, zusammenfassen
( ) ( ) ( )ab
ba
ab
bababa
ab
bababa
ab
bab
ab
baa
a
ba
b
ba 222222 +=
+−+=
−−+=
−−
+=
−−
+
Beispiel 2 Eins als Nenner, gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, Vorzeichen (Achtung: Bruch wirkt wie eine Klammer), zusammenfassen
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2112121
1
212
k
kk
k
kkk
k
kk
k
k
k
kk
k
kk −+=
−+−=
+−−=
+−−=
+−−
Beispiel 3 Faktorisieren, gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, ausmultiplizieren (Vorzeichen Achtung: Bruch wirkt wie eine Klammer), zusammenfassen, kürzen
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) 1
1
11
1
11
5132
11
5
11
112
11
1
11
5
1
12
11
5
1
12
1
222
2
2
2
2
+=
−+
−=
−+
++−−−−
=−+
++
−+
++−
−+
−
=−+
++
−
+−
+=
−
++
−
+−
+
nnn
n
nn
nnnnnn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
Beispiel 4 Faktorisieren, gleichnamig machen (2. Bruch mit -1 erweitern), alles auf einen Bruchstrich, ausmultiplizieren (Achtung Vorzeichen...), zusammenfassen, ausklammern, kürzen
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) 3352
52
352
52
352
38
352
)3(
352
8
52352
8
)1(25
(-1)
352
8
25152
8
2222
22
2
2
+=
+−
−
=+−
−=
+−
++−=
+−
+−−
+−
−
=−
−−
+−
−=
−⋅−
⋅−
+−
−=
−−
−+
−
m
m
mm
mm
mm
mm
mm
mmmm
mm
mm
mm
mm
m
m
mm
mm
m
m
mm
mm
m
m
mm
mm
→→→→ Übung S. 8, Nr. 19 abcdefghimno / 20 abcdefgh
Terme / Grundlagen Arbeitsanleitung / Theorie
30.12.08 VIP 9
3.6. Multiplikation
NennerNenner
ZählerZähler
⋅
⋅ Faktorisieren, alles auf einen Bruchstrich, kürzen!
Lösungshilfen (Klammern setzen, nicht auflösen!) Beispiel 1 Faktorisieren mit Mittelgliedzerlegung
( )( )
( ) ( ) 335
55
1582 −
=−⋅−
−⋅=−⋅
+− d
d
dd
ddd
dd
d
Beispiel 2 Faktorisieren mit Ausklammern / -1 ausklammern oder mit -1 erweitern
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )5
12
5
43
5
43
55
4433
gf
gf
gf
gf
gffg
gf
gffg
+⋅−=
−⋅−
+⋅⋅−⋅−⋅=
−⋅
+⋅⋅−⋅=
−
+⋅−
gf1)(
Beispiel 3 Faktorisieren mit Binomischer Formel, Mittelgliedzerlegung
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )3
23
3213
192
65
99
33
442
2
2
+
+⋅=
+⋅+⋅−⋅
−⋅⋅+=
++
−⋅
−
++
v
v
vvt
tv
vv
t
t
vv
3.7. Division Bruchterme werden miteinander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Lösungshilfen Beispiel 1 Kehrwert mit Nenner 1 bilden, ausklammern, kürzen.
( )2
60
32
1810
1323
1
18:
10
9618:
10
96
s
s
hss
shhs
s
hhshs
s
hhs −=
⋅
⋅−⋅=
−=
−
Beispiel 2 Kehrwert, Vorzeichenüberlegung, alles auf einen Bruchstrich, kürzen
ffh
hf
h
f
h
f
8
13
4885
8578
85
48:
85
7823
3
3
2
3=
⋅
⋅+=
−−
Beispiel 3 Kehrwert, alles auf einen Bruchstrich, Faktorisieren (ausklammern, Binomische Formel), kürzen.
( ) ( )( ) ( )( ) 1
4
112
241
84
1:
2
22
+=
−+⋅+
+⋅−=
+
−
+
−
m
m
mmm
mmm
m
m
m
mm
Beispiel 4 Kehrwert, alles auf einen Bruchstrich, -1 ausklammern, kürzen.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 7717
771
7
7
1
7
7
7:7 +=−−⋅−=
−
−−⋅−⋅−=
−
−−⋅
−=
−−
−− kk
k
kk
k
kk
k
kk
Terme / Grundlagen Arbeitsanleitung / Theorie
30.12.08 VIP 10
3.8. Doppelbrüche Doppelbrüche werden weggeschafft, indem man den Hauptbruchstrich durch ein Divisionszeichen ersetzt und dann die beiden Brüche dividiert:
bc
ad
d
c
b
a
d
cb
a
== :
→→→→ Übung Aufgabenblatt unten / S. 9 Nr. 22 abef / 23 ac
Aufgabenblatt Multiplikation / Division
1. b
aab
4
96 ⋅ 2.
m
n
n
m
14
3
12
72
3
2−
⋅−
3. gf
gffg
55
44)33(
−
+⋅− 4.
nm
m
m
nm
22
5
3 −⋅
−
5. d
d
d
d
−⋅
−
1
12
18
12
6. 65
99
33
442
2
++
−⋅
−
++
vv
t
t
vv
7. tt
vu
vu
t
+
−⋅
+2
2233
44 8. de
e
de6:
4
15
9. )(:22
baab
ba+
+ 10.
9
9:
9
90192
+
−
+
+−
n
n
n
nn
11. 44
2:
1222
4223
2
++−− xx
x
xxx
x 12.
z
z
z
z
22:
33 −−
13. 84
1:
2
22
+
−
+
−
m
m
m
mm 14.
c
dc
c
dc
−
+
−
−
1:
1
22
Lösungen
1. 2
272
a / 2.
n
m
8 / 3.
5
)(12 gf +− / 4.
6
5 / 5.
3
2d− / 6.
3
)2(3
+
+
v
v / 7.
)1(4
)(3
+
−
t
vu
8. e8
5 / 9.
ab
2 / 10. 10−n / 11.
3
2
−
+
x
x / 12.
3
2− / 13.
1
4
+m
m / 14. cd −
Potenzen Arbeitsanleitung / Theorie
30.12.08 VIP 11
4. Potenzen 4.1 Potenzen mit natürlichen und ganzen Exponenten (1) Definition der Potenz für { } Z n und m ;0\IRa ∈∈ Bedeutung positiver Exponent
aaaa3 ⋅⋅=
Spezialfälle positive Exponenten
aa1 = 11n =
1a0 = definiert nicht 0n
Bezeichnungen
Potenz }a Basis Exponent n
Bedeutung negativer Exponent
nn
a
1a =
−
( )
( ) gerade n , a a
ungerade n ,aann
nn
=−
−=−
Spezialfälle negative Exponenten
a
1a 1
=−
mm
a
b
b
a
=
−
Potenz vor Punkt vor Strich !
93)1215()4315()2315(22222 ==−=⋅−=⋅−
→→→→ Übung S. 35, Nr. 1, 2 (2) Die 5 Potenzgesetze
Strichoperationen Punktoperationen Potenzieren
Basis und Exponent gleich
Gleiche Basis Gleicher Exponent Basis unverändert
0 1 2 4 5 3
n
nn
a)dc(
adac
⋅+
=⋅+⋅
nmnm aaa +=⋅
nmn
ma
a
a −=
( )nnn abba =⋅
n
n
n
ba
b
a
=
nmnm a)a( ⋅=
Potenz ausklammern Basis und Exponent beibehalten
Exponenten addieren, Basis beibehalten
Exponenten subtrahieren, Basis beibehalten
Basis multiplizieren Exponent beibehalten
Basis dividieren Exponent beibehalten
Exponenten multiplizieren Basis beibehalten
→→→→ Übung S. 36, Nr. 4, 5 (natürliche Exponenten) →→→→ Übung S. 39, Nr. 18, 21 (ganze Exponenten)
Potenzen
30.12.08 12
4.3 Wissenschaftliche Schreibweise grosser und kleiner Zahlen • Beispiel 1: Grosse Zahlen In der Astronomie verwendet man die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, als Längeneinheit:
m 000 000 000 000 460 9s 6060243651000s
km790 299 Lichtjahr 1 ≈⋅⋅⋅⋅⋅=
Eine solch riesige Zahl in Normalform ist unübersichtlich und nur sehr schwer lesbar. Deshalb stellt man sie als Produkt zwischen einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz dar:
m 1046.9 m 000 000 000 000 460 9Lichtjahr 1 15⋅≈≈ Der Exponent 15 der Zehnerpotenz gibt an, dass das Komma um 15 Stellen nach rechts verschoben werden muss, um die Zahl in Normalform zu schreiben. • Beispiel 2: Kleine Zahlen In der Atomphysik hat man es häufig mit sehr kleinen Zahlen zu tun. So beträgt die Atommasse des Wasserstoffatoms:
g 67 001 000 000 000 000 000 000 000.0mA =
Eine solch winzige Zahl in Normalform ist unübersichtlich und nur sehr schwer lesbar. Deshalb stellt man sie als Produkt zwischen einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz dar:
g 101.67 g 67 001 000 000 000 000 000 000 000.0m -24A ⋅==
Der Exponent – 24 der Zehnerpotenz gibt an, dass das Komma um 24 Stellen nach links verschoben werden muss, um die Zahl in Normalform zu schreiben.
Die oben verwendete Schreibweise heisst Wissenschaftliche Schreibweise oder Gleitkommadarstellung („scientific notation“). Ihre allgemeine Form ist:
k10a ⋅ , mit 10a1 <≤ und Zk ∈ Bezeichnung: a heisst Mantisse, k ist der
Exponent. Der Exponent gibt an, um wie viele Stellen der Dezimalpunkt der Mantisse beim Verwandeln von der Wissenschaftliche Schreibweise in die Normalform nach links (wenn der Exponent negativ ist) oder nach rechts (wenn der Exponent positiv ist) verschoben werden muss. Normalform Wissenschaftliche Form Taschenrechner 3200000000 9102.3 ⋅ 3.2E9
3200000 6102.3 ⋅ 3.2E6
3.2 0102.3 ⋅ 3.2E0
0.0032 3102.3 −⋅ 3.2E-3
0.00000032 7102.3 −⋅ 3.2E-7
Potenzen
30.12.08 13
• Taschenrechner Wir können Zahlen auch in wissenschaftlicher Form eingeben. Bsp. 24
1067.1−
⋅ Eingabe 1.67 EEX -x 24
Anzeige 1.67 1.67E 1.67E- 1.67E-24 Sie können auch mit der Taste "MODES" beim Menü "NUMBER FORMAT" den Rechner auf "SCIENTIFIC" einstellen. Nun gibt der Rechner alle Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise an. • Vorsätze der Masseinheiten für grosse und kleine Zahlen Vorsätze der Masseinheiten für grosse und kleine Zahlen:
Vorsatz Kurzzeichen Bedeutung (Faktor) In Worten 2110 Trilliarde
1810 Trillion
Peta P 1510 Billiarde
Tera T 1210 Billion
Giga G 910 Milliarde
Mega M 610 Million
Kilo k 310 Tausend
Dezi d 110− Zehntel
Zenti c 210− Hundertstel
Milli m 310− Tausendstel
Mikro µ 610− Millionstel
Nano n 910− Milliardstel
Piko p 1210− Billionstel
Femto f 1510− Billiardstel
1810− Trillionstel
2110− Triiliardstel
1.5 Gigatonnen bedeuten: t 000 000 500 1t 105.1 9 =⋅
5.2 Pikometer bedeuten: m 0052 000 000 000.0m 102.5 12 =⋅ −
→ Übung S. 38, Nr. 10 – 12 (grosse Zahlen) → Übung S. 38, Nr. 14 – 16 (kleine Zahlen)
Potenzen
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• Aufgaben 1. Schreiben Sie in Normalform (Dezimaldarstellung): a) 61053.1 ⋅ b) 31053.1 ⋅ c) 01053.1 ⋅ d) 21053.1 −⋅
e) 61053.1 −⋅ f) 5105.4 ⋅− g) 5105.4 −⋅− h) 4100023.0 ⋅ 2. Schreiben Sie in wissenschaftlicher Form (Gleitkommadarstellung): a) 000 50 b) 456 123 c) 000000828271 d) 007.0 e) 12345.0 f) 8182027000.0 g) 1 Million h) 13.3 Billionen i) 17 Tausendstel k) 5 Trillionstel 3. Geben Sie folgende Grössen in wissenschaftlicher Form (Gleitkommadarstellung) mit der Einheit m an: a) Mittlerer Durchmesser eines menschlichen Haares: mm 07.0 b) Durchmesser eines roten Blutkörperchens: mm 0075.0 c) Länge des Tollwuterregers: mm 125 000.0 d) Länge eines Rohrzuckermoleküls: mm 7 000 000.0 e) Atomkernradius, ca.: mm 01 000 000 000.0 4. Lösen Sie die folgenden angewandten Aufgaben: a) Der leichteste Atomkern, das Proton, hat die Masse 271067.1 −⋅ kg, das Elektron
311011.9 −⋅ kg. Wie viel mal ist das Proton schwerer als das Elektron ? b) Bei Normalbedingungen (0° C und 1013hPa) sind in 22.4 l eines Gases 231002.6 ⋅ Moleküle enthalten. Aus wie vielen Molekülen besteht bei Normalbedingungen 1 cm3 Luft? c) Wie viele Blutkörperchen enthalten die ca. 6 Liter Blut eines Menschen, wenn 1 mm3 Blut durchschnittlich 5 Millionen Blutkörperchen enthält? d) Wie viele km hat ein Lichtjahr (1 Lichtjahr = Weg des Lichtes in einem Jahr)? Lichtgeschwindigkeit c = 300 000 km/s, 1 Jahr = 365 Tage. e) Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 8105.1 ⋅ km und die Lichtgeschwindigkeit beträgt 300 000 km/s. Wie lange ist das Licht von der Sonne zur Erde unterwegs? Wie viele Jahre hätte ein mit 100 km/h fahrender Zug für diese Strecke? f) Eine Ölschicht auf ruhendem Wasser ist ca. 810− m dick. Welche Fläche kann ein Liter Öl bedecken?
Potenzen
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• Lösungen 1. a) 1 530 000 b) 1 530 c) 1.53 d) 0.0153 e) 0.000 001 53 f) –450 000 g) –0.000 045 h) 23 2. a) 4105 ⋅ b) 51023456.1 ⋅ c) 111071828.2 ⋅ d) 3107 −⋅
e) 1102345.1 −⋅ f) 51071828.2 −⋅ g) 610 h) 131033.1 ⋅
i) 2107.1 −⋅ k) 18105 −⋅ 3. a) -5107 ⋅ m b) -6105.7 ⋅ mc) -71025.1 ⋅ m d) -10107 ⋅ m
e) -1410 m 4. a) 31083,1 ⋅ mal b) 191069,2 ⋅ Moleküle
c) 13103 ⋅ Blutkörperchen d) 121046,9 ⋅ km e) 8 Min. 20 Sek. / 171 Jahre f) 1,0 km2
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2. Lineare Gleichungen 2.1. Einführung Definition Gleichungen der Form ax + b = 0 oder solche, die in diese Form übergeführt werden können, heissen lineare Gleichungen. x ist die Lösungsvariable. Die Gleichung x·(x – 4) = x·(x – 1) + 12 ist eine lineare Gleichung, wie die Umformung zeigt: x·(x – 4) = x·(x – 1) + 12 Klammern auflösen
x2 – 4x = x2 – x + 12 – x2 / + x / – 12
–3x – 12 = 0 ⇒ Lineare Gleichung mit a = – 3 und b = –12. Lösungsanzahl (G = D = R) Normalfall: eine Lösung Beispiel: wir lösen die obige Gleichung fertig auf: –3x – 12 = 0 + 12
–3x = 12 :(–3)
x = –4 L = {–4}
Sonderfälle: verschwindet beim Umformen der Gleichung die Lösungsvariable x auf beiden Seiten, so liegt einer der beiden Sonderfälle vor. Beispiel 1 8 + x = x – x
8 = 0 f (falsche Aussage) L = { } Sonderfall 1: a = 0 (deshalb ist x verschwunden), b = 8
Interpretation: die Lösungsvariable fällt weg und es entsteht eine falsche Aussage. Ich kann in der ursprünglichen Gleichung jedes Element aus D einsetzen, die Aussage bleibt falsch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer. Beispiel 2 105 – 72x – 53 – 69 = 55x + 43x – 23 –170x + 6 vereinfachen
– 72x – 17 = – 72x – 17 +72x / + 17
0 = 0 üüüü Sonderfall 2: a = 0, b = 0 L = D = R Interpretation: die Lösungsvariable fällt weg und es entsteht eine wahre Aussage. Ich kann in der ursprünglichen Gleichung jedes Element aus D einsetzen, die Aussage bleibt wahr. Deshalb ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge.
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Allgemein Eine lineare Gleichung hat…
• genau eine Lösung, falls a ≠ 0 L = {a
b−} Normalfall
• keine Lösung, falls a = 0 und b ≠ 0 L = { } leere Menge Sonderfall 1 • unendlich viele Lösungen a = 0 und b = 0 L = D Sonderfall 2 Lösen durch Anwenden der Äquivalenzgesetze In der Regel lösen wir lineare Gleichungen auf, indem wir mit Hilfe der Äquivalenzgesetze (= Umformungsregeln) die Lösungsvariable x isolieren. Lernziele
• Sie können die Lösungsmenge von linearen Gleichungen / Ungleichungen mit Hilfe der Äquivalenzgesetze bestimmen
• Sie kennen die beiden Sonderfälle und können die Lösungsmengen korrekt angeben • Sie achten beim Lösen auf korrekte Darstellung (Lösungsweg, Lösungsmenge) Lösungshilfen
• Klammerprobleme Hier müssen Sie alle Klammerregeln und die Binomischen Formeln beherrschen und anwenden. Beispiel 3 ( )[ ] ( )[ ]3xx93x53x7 +−=−− innere Klammern auflösen
[ ] [ ]3xx93x315x7 −−=+− zusammenfassen
[ ] [ ]3x8315x47 −=− äussere Klammern auflösen
9x24105x28 −=− – 24x / +105
96x4 = : 4
24x =
{ }24L =
Beispiel 4
( )( ) ( )23x5x3x −=−+ Klammern auflösen
9x6x15x2x 22 +−=−− – x2 / + 6x / +15
24x4 = : 4
6x =
{ }6L =
→→→→ Übung S. 44 – 45, Nr. 1 – 3
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2.2 Parametergleichungen Definition Gleichungen mit mehreren Variablen, von denen eine oder mehrere für bekannte Grössen (Parameter) stehen und eine für eine gesuchte Grösse (Lösungsvariable), heissen Parametergleichungen. Lösen von Parametergleichungen Es gelten die gleichen Äquivalenzgesetze (Umformungsgesetze), wie bei den numerischen Gleichungen. Damit x isoliert werden kann (d.h. die Unbekannt x allein auf einer Seite erscheint) muss man x oft ausgeklammern (anschliessend Division durch den Klammerausdruck). • Beispiel 1 Rechteck Gegeben: a, u (Parameter) Gesucht: b (b = Lösungsvariable) Alle (geometrischen) Formeln sind Parametergleichungen, die nach jeder Variable aufgelöst werden können. Die Lösungsmenge wird hier nicht angegeben, da es sich um eine angewandte Aufgabe handelt. • Beispiel 2 Flächenformel Trapez Von einem Trapez sei die Fläche A und die beiden Mittelparallelen a und c bekannt und gesucht ist die Höhe h. Die Flächenformel ist nach h aufzulösen ( h = Lösungsvariable)
h⋅+
=2
caA | h im Zähler schreiben
( )
2
caA
h⋅+= |· 2
( ) h⋅+= ca2A |: (a + c)
h=+ ca
2A
Die Lösungsmenge wird hier nicht angegeben, da es sich um eine angewandte Aufgabe handelt. • Beispiel 3 Gleichungen mit Parametern treten auch auf, wenn man mehrere einzelne Gleichungen mit gleicher Struktur, aber mit verschiedenen Zahlen lösen will. Wenn man in die nach x umgestellte Gleichung für a nacheinander spezielle Werte einsetzt, erhält man das jeweilige Ergebnis. Eine Art Parametergleichungen braucht man bei Berechnungen in Excel-Tabellen. Wenn wir z.B. den Umfang unterschiedlichster Rechtecke berechnen wollen, können wir für Feld C1 die Formel = 2 * A 1 + 2 * B 1 eingeben.
a
b
Lösung:
2au2
22au
−=
+=
b
b
für a = 1000 wird x = - 3000 für a = - 0.5 wird x = 1.5 für a = ... wird x = .....
2x + 1 = 5x + 10 2x + 2 = 5x + 20 2x + 3 = 5x + 30 2x + 4 = 5x + 40 2x + 5 = 5x + 50 2x + 6 = 5x + 60 ..........................
2x + a = 5x + 10a – 3x = 9a ax 3−=
a2
u−=b
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• Beispiel 4 Parametergleichung mit Ausklammern
( ) 2a18)a3x(b2b2xa3 =−−+ | Klammern auflösen
a18ab6bx2ab6ax3 2=+−+ | ordnen, alle Ausdrücke mit x auf eine Seite
12ab-21823 abxax =− | x ausklammern
( ) b2a3a6x)b2a3( −=− |:(3a – 2b)
( )
b2a3
b2a3a6x
−
−= | kürzen
a6x =
{ }a6L =
Lernziele
• Sie können lineare Gleichungen mit Parametern ohne Fallunterscheidung auflösen • Sie können Formeln nach jeder beliebigen Variablen auflösen. →→→→ Übung S. 48, Nr. 22 2.3 Ungleichungen Beispiel x55x3 +−≤+− – x / – 5
10x4 −≤− : (– 4) Achtung: Zeichenwechsel !
5.2x ≥ { }Rx5.2x xL ∈∧≥=
→→→→ Übung S. 49, Nr. 31
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2.4 Bruchgleichungen ohne Variable im Nenner Das erste Ziel beim Umformen ist, eine bruchfreie Gleichung zu erhalten. (1) Brüche falls möglich kürzen (2) Durch Erweitern (Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren) Brüche gleichnamig machen → Hauptnenner (3) Beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren, die Gleichung ist bruchfrei (4) Nach x auflösen (Äquivalenzgesetze) Beispiel
02512
x11
16
x15=−− + 25
1
25
12
x11
16
x15=− Erweitern: Hauptnenner 48 (kgV von 16 und 12)
1
25
12
x11
16
x15
⋅
⋅=
⋅
⋅−
⋅
⋅
48
48
4
4
3
3
48
1200
48
x44
48
x45=− · 48 mit dem Hauptnenner multiplizieren
48
1200
48
x44
48
x45 ⋅=
⋅−
⋅ 484848
1200x44x45 =− nach x auflösen
1200x = { }1200L =
Bruchgleichungen mit Variable im Nenner Da die Division durch Null nicht definiert ist, muss verhindert werden, dass der Nenner Null wird. Dies geschieht, indem wir die Definitionsmenge einschränken.
82
312
82
232
−=+
−
+
xx
x { }4\RD =
82
312
82
232
−=+
−
+
xx
x )82( −⋅ x
31)82(2232 =−++ xx Klammern auflösen
31164232 =−++ xx zusammenfassen, x auf eine Seite
246 =x 6:
4=x 4 nicht in der Definitionsmenge enthalten, deshalb:
{ }=L
→→→→ Übung S. 45 und 48 , Nr. 4 und 25
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2.4. Textaufgaben Beim Lösen von Textaufgaben lohnt sich ein systematisches Vorgehen, häufig mit Hilfe von Tabellen. Zu jeder Lösung gehören... • ... Ansatz (Tabelle, Skizze): x = ? (Festlegen, welche Grösse x sein soll) • ... Gleichung oder Ungleichung (nach x auflösen) • ... Antwort (Grundmenge beachten !) Allgemeines Vorgehen: Lesen Sie jede Aufgabe zuerst mehrmals sorgfältig durch! Beginnen Sie mit der Auflistung der gegebenen und gesuchten Grössen. Die Fragestellung zeigt, wofür die Lösungsvariable x steht. Dann muss der Grundzusammenhang zwischen den verschiedenen Grössen bestimmt werden. Diese Grundgleichung sagt aus, wie die Grössen verknüpft sind. Falls nur Proportionen vorkommen (keine quadratische Abhängigkeiten) kann der Sachverhalt sehr oft in Produktform und Tabelle dargestellt werden: Tabelle Spalte 1 · Spalte 2 = Spalte 3 (Produkt) Zeile 1 Produkt 1 + Zeile 2 Produkt 2 = Summe (Differenz) Summe Produkt 3 = Summe(P1+P2) Gleichung Produkt 1 + Produkt 2 = Produkt 3 Wichtige Grundgleichungen: Spalte 1 · Spalte 2 = Spalte 3 Kapital · Zinssatz Jahreszins Stückzahl · Stückpreis Gesamtpreis Volumen · Dichte Masse Volumen · Volumenprozent reiner Stoff
(z.B. Alkohol) Zeit · Geschwindigkeit Strecke Zeit · Arbeitsleistung
(„Geschwindigkeit“) verrichtete Arbeit
Zeit · Leistung Verrichtete Arbeit Zeit · Füllgeschwindigkeit
(Volumen / Zeit) Volumen (voll = 1)
Zeit · Beschleunigung / 2 Strecke Länge · Breite Fläche
Bemerkung: statt p% verwenden wir besser 100
p, also 0.05 statt 5 %
Bei geometrischen Aufgaben ist eine saubere, beschriftete, genügend grosse Hilfsskizze unerlässlich. Die Formelsammlung kann die Suche nach den geometrischen Sätzen und Formeln, die zum Aufstellen der Gleichung gebraucht werden, erleichtern. Häufig erhellen erst selber eingezeichnete Hilfslinien den Grundzusammenhang. Zu beachten: • Die Grundmenge ist durch die Aufgabenstellung gegeben • Die Grössen müssen zusammenpassende Masseinheiten haben • Einheiten gehören zum Ansatz (in den Tabellenkopf) und nie in die Gleichung Aufgaben
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Beispiel 1 (Sorten) Ein Händler bezahlt für einen Liter Wein einer Sorte A Fr 2.-, für einen Liter der Sorte B Fr. 2.80. Er möchte 120 Liter eines Gemischs herstellen, das ihn Fr. 2.50 pro Liter kostet. Wie viele Liter muss er von jeder Sorte nehmen? Menge Sorte 1 in l x
Menge [ ]l • Literpreis [ ].Fr = Totalpreis [ ].Fr Sorte A x 2 2 x Sorte B 120 – x 2.8 2.8 (120 – x)
Summe 120 2.5 120 ⋅⋅⋅⋅ 2.5 = 2 x + 2.8 (120 – x)
Gleichung 120 ⋅⋅⋅⋅ 2.5 = 2 x + 2.8 (120 – x) Beispiel 2 (Kapital und Zins) Ein Kapital ist zu 5,25 % angelegt und bringt jährlich Fr. 395.- mehr Zins als ein anderes, um Fr. 6000.- kleineres Kapital mit einem Zinsfuss von 4,75 %. Wie gross sind die beiden Kapitalien ? Kapital 1 in Fr. x
Kapital [ ].Fr • p01.0 = Zeitzins [ ].Fr Kapital 1 x 0.0525 0.0525x Kapital 2 x − 6000 0,0475 0.0475(x − 6000)
Differenz 6000 0.0525x −−−− 0.0475⋅⋅⋅⋅(x −−−− 6000) = 395
Gleichung 0,0525 x −−−− 0,0475⋅⋅⋅⋅(x −−−− 6000) = 395 Beispiel 3 (Mischungen) 10 Liter 80 % Alkohol soll mit Wasser zu 50% Alkohol verdünnt werden. Wie viel Wasser muss zugefügt werden ? Menge [ ]l Alkoholgehalt
( p01.0 ) Reiner Alkohol [ ]l
Gemisch alt (80%) 10 0.8 10 ⋅ 0.8 = 8 Wasser x 0 x ⋅ 0 = 0 Gemisch neu ( 50%9)
10 + x 0.5 8+0 = (10 + x) ⋅⋅⋅⋅ 0.5
Gleichung 8 + 0 = (10 + x) ⋅⋅⋅⋅ 0.5 →→→→ Übung S. 45 – 46 und 49, Nr. 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 21, 28, 29
