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Ein funktionentheoretisches Analogon zum Satz yon Lindemann

Yon

PETER BUNDSCHUH

Der Lindemannsche Satz fiber algebraische Unabh~ngigkei t yon Wer ten der Ex- ponent ia l funkt ion laute t in seiner ursprfinglichen Formul ie rung (vgl. [3]) : Ist m ~ 2 und sind ~r paarweise verschiedene algebraische Zahlen, 8o sind exp(~l) . . . . . exp (~m) i~ber 1) Q linear unabMingig.

Naras imhan ha t folgendes analyt ische Analogon zum Satz yon L indemann be- wiesen: Ist m ~ 2 und sind ]1(~) . . . . , ~m(8) 9anze Funktionen, wobei ]~ - ]j nicht konstant sein mSge liar 1 ~ i < ] ~ m, so sind exp (]1) . . . . . exp (/m) i~ber C [$] linear unabh~ngig [4, Th6or~me 1].

Z u m Beweis dieses l~esultats stfi tzt sich I~aras imhan auf den ers ten H a u p t s a t z und auf die wesentl ichste Absch~tzung bei der Gewinnung des zweiten Haup t sa t zes der Nevanl innasehen Theorie meromorpher Funkt ionen. Naras imhan merk t an, dal3 ein e lementarer Beweis seines Satzes yon Interesse sei; dem Autor der vorliegenden Arbei t ist inzwischen ein vSllig e lementarer Beweis gelungen im Fall, wo s~mtliehe ]i Po lynome sind.

Hie r soil jedoch mi t einer geringffigigen Modifikation der Naras imhanschen Methode ein weiteres analyt isehes Analogon za L indemanns Satz gezeigt werden. Wir definie- ren zun~chst ffir ganze Funk t ionen F (8) wie fiblich die Wachs tumsordnung ~ (F) als 2)

9 (F) : - - l ~ l l~176 mit M(r,_F) : - - M a x I F ( ~ ) [ . r-~r log r Iz~l _~r

(v=l ..... n)

Den Ring der ganzen Funk t ionen F(~) m i t ~ (F) < ~ bezeichnen wir mi t ~(n). Wir behaup ten den folgenden

Satz 1. Ist m ~ 2 und sind ]1 (~),- . . , ]m (~) ganz und so, daft fi - - /1 ~ C [~] ]i~r 1 ~ i < ~ ~ m, so sind exp(/1) . . . . . exp([m) linear unabMingig ~ber ~(n).

qT~

I s t / ~ - - /~ e C [~], e twa gleich P (~), for ein Paa r (k, l) m i t k # l, so ist ~ F~ exp (/~) - 0 i = l

mi t F~ -- 0 for i ~=k, l; F~ -~ - - 1 ; F~ = e x p ( P ) und hier sind offensiehtlich alle

1) Q bzw. C bezeichnen in dieser Arbeit die KSrper der rationalen bzw. komplexen Zahlen; steht fiir (zl,... ,an) ~ @n; C[$] bedeutet den Ring der Polynome in zl , . . . ,zn mit Koeffizienten

a U S C. 2) Ffir reelles x ~ 0 wird gesetz~- log+x ~- logx, falls x ~ 1, und = 0, falls 0 ~ x < 1.

46 P. BUNDSCHUH ARCH. MATH.

Fl ~ ~(n) aber nieht alle identisch 0. Aus Satz 1 gewinnt man leicht folgendes KoroUar:

Satz 2. Sei m ~ 2;/1 (~) . . . . . /m (~) seien ganz. Genae d~nn sind exp (/1) . . . . . exp (/m) a~lebraisch enabh~ngig i2ber ~(n) wenn /~r jedes m-tupel (21,. . . , 2m) =~ (0 . . . . . 0), alle ~j e q, gilt: ~1/1 + ' " + 2m I~ ~ c[~].

1. Zusammenstel lung funktionentheoretischer Hflfsmitte]. (i) I s t ](z) ganz, so ist fOr jedes r >= 0 nach [2], Kap. I, Lehrsatz 8 mit R = 2r :

M ( r , / ) =< 2 (MaxRe](z) - - Re f(0)) + l/(0) l . [zl <2r

Is t f meromorph, so setzt man fOr r > 0

T

1V (r, l) : = ~ (n(t, l) - n(O, l)) dt/t + n(O, l) log r , o

wobei n (t , /) die Anzahl der Pole (unter Beriicksichtigung der Vielfachheitea) yon 1 in I z l < t ist. Ferner setzt man

T (r, l) :---- m (r, l) ~- N (r, /)

(ii) und ha t fOr ganze ]: T(r , / ) = re(r, / ) sowie naeh [lJ, Theorem 1.6 mit R = 2r :

T (r, f) < log + M (r, /) =< a T (2 r , / ) (r > 0) .

(iii) 57aeh [i , S. 5] ist for m e r o m o r p h e / l

5" (r, ~/~ (z)) --< log p A- ~ T (r, ti (z)), i = l i=1

P T(r,I~/~(z)) < ~ T ( r , h(z));

i=1 i=1

dieselben Ungleichungen gelten, wenn man T dutch m ersetzt.

(iv) I~aeh [1, Theorem 1.2] ist fiir merom0rphes ] ~ 0

T(r, 1 / / ) = T ( r , / ) + O ( 1 ) for r - + c~.

(v) Ist / meromorph und nieht konstant , so gilt aul3erhalb einer Menge E (/) yon r-Werten mir Lebesguemal3/.t(E(/)) < 2:

m(r,]'/]) = O(logT(r ,])) + 0( logr ) ( r - ~ oo).

Dies liefert eine Kombinat ion der Lemmata 2.3 und 2.4 yon [1], wenn man in Lem- ma 2.3 zunaehst noeh die Voraussetzung / (0) =~ 0, oo beseitigt, dann R = r + l I T (r,/) w/ihlt mad zum SehluB Lemma 2.4 anwendet . Is t / konstant , aber ~ 0, so ist m (r , / ' ] / ) = 0 f f ir r >_-- O.

(vi) I s t t meromorph, r6cht rational, so ist lira (log r) /T (r, ]) = O.

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2. Beweis yon Satz 1. Wit beweisen Satz 1 zun/~ehst im Fall n = 1 und zeigen zum Sehlu$, wie man daraus Satz 1 im allgemeinen Fall gewirmen kann.

I m Fall n = 1 machen wit I nduk t ion naeh m. Sei m = 2 und seien ]1, /2 ganze Funk t ionen derart, da$ exp (/1) mad exp (/2) fiber ~ (1) linear abhangen. Darm existie- ren F1, F2 e ~(1~, beide nieht identisch 0 derart, da$ F1 exp(/1) -4- F2 exp(/2) = 0 gilt. D a n n ist nach (ii), (iii), (iv) und noehmals (ii) ffir r --> oo

log+ M(r , exp (]1 - - ]2)) < 3 T (2 r , - -F2) + 3 T(2r, l/F1) =

= 3T(2r , F1) -F- 3T(2r , F2) + 0(1) <

< 3 l o g + M ( 2 r, F1) -4- 3 l o g + M ( 2 r, F2) -4- 0(1) = O(re+9

mit ~ = Max (~ (F1), ~ (F~)) bei beliebigem ~ > 0. Daher ist for gr6$e r

Max Re (11 - - 12) = log Max I exp ( /1 - - ]2 ) I = 0 (~'@+ ~) Izl = r Izl = r

und hieraus f o l ~ nach (i) ffir r -+ oo

M~x I f l - - 12 [ = 0 (~+~), Izl~r

was besagt, dab Ix - - ]2 ein Po lynom h6ehstens des Grades ~ is t ; also i s t /1 - - 12 e C [z]. Sei je tz t m > 3 und Satz 1 bereits fOr m - - 1 bewiesen; wir wollen ikn ffir m zeigen.

Wir nehmen an , es g/ibe F1 . . . . . Fme~(1) , nieht alle - 0 derart , dab

m (1) ~F~ (z) exp (]~(z)) - 0

4 = 1

ist. Hier sind naeh der Indukt ionsvorausse tzung sogar alle Fl nieht identiseh 0. Wit setzen fiir 1 _< i <-- m - - 1

(2) 2'0,~ : = F~, g~ := /~ - / ~

und aul3erdem ffir 1 < k < m - - 2

(3) F~,~ : = F~-l , i + g~F~-l,i �9

Nun behaupten ~ r

(4) D -~ 0, w o b e i / ) : = De t

I s t dies gezeigt, so ist aueh

Fo,1 exp (gl), �9 . . . . . . Fo, m-1 exp (gra-1) ]

/ Det = 0 .

[Fm-2,1 exp (gl), �9 �9 F~-2 , ~-1 exp (gin-l))

48 P. BUNDSCHUH ARCH. MATH.

H i e r i s t f f i r l --< k - - < m - - 2 / t (d/dz) (Fk-1 , / exp (gl)) = (/Vk-l,c + gi F~- I , ~) exp (g~) = F~, i exp (gl) ;

also ist D die Wrons ld-Determinante der m - - 1 Funk t ionen F1 exp (gl) . . . . , Fro-1 �9 exl0 (gin-l), so dab diese fiber C ]inear abhs nach (2) g ib t es daher eine lineare Relat ion zwischen exp (/1) . . . . . exp (/m-l) mi t Koeffizienten aus t~(1), die nicht sCmt- liche identisch 0 sind entgegen der Indukt ionsvorausse tzung.

Zum Beweis yon (4) maehen wir die Annahme, es sei D �9 0. Differenziert m a n die aus (1) folgende Rela t ion

m - - 1

7F0,~ exp (g~)= - - Fm i = 1

( m - 2)-real, so erhal ten wir wegen (3) das lineare inhomogene Gleichungssystem

~-- i Z F ~ , l exp (g~) ---- - - F ~ ) (k = 0 . . . . . m - - 2)

i=1

in den exp (gi), 1 <-- i --< m - - 1, dessen De te rminan te D ~ 0 ist. Daher ist

(5) hi : = exp(gi) = D I / D (1 _<i - - < m - - 1),

wobei Dl diejenige De te rminan te ist, die aus D entsteht , indem m a n hier die i-re Spalte dutch die Spalte der - -Fro, - -F '~ . . . . . - - F ( ~ -2) ersetzt . Nach (5), (iii) und (iv) ist ffir r -+ oo

(6) T(r, ht) <= T(r , Di) -5 T(r , 1/D) ---- T(r ,D~) -5 T ( r , D ) + 0 ( 1 ) .

Mittels (iii) schs wir T (r, D) und T (r, D~) aus den Dete rminantendars te l lungen der D0 D~ ab; zuns T (r, D). Es ist

m - - 2

(7) T ( r , D ) <= l o g ( m - 1 ) ! -5 ( m - 1 ) !Max Z T ( r , t ' ~ , i , ) , k=0

wobei das M a x i m u m fiber alle Pe rmu ta t i onen iz . . . . . im-z der Zahlen 1 . . . . , m - - 1 zu nehmen ist. Aus (3) ergibt sieh mit te ls (iii) ffir 1 --< i --< m - - 1, 1 ~ k --< m - - 2

f I wegen h~ ~ g~ hi

T(r, E~,t) ---- re(r, F~,~)

_< log2 -5 m(r, F~_I,i/F~_I,~ ) -5 2re(r, Fz-I ,~) -5 m (r, h~/hi) ,

woraus wegen (v) ffir r -+ 0% r ~ E (Fk-1, t) W E (hi) folgt

(8) T (r, F~, I) ---- 0 (T (r, F~- I , i)) -5 0 (log T (r, hi)) -5 0 (log r) ;

wegen hi ~ 0 ist die Anwendung yon (v) korrekt , falls Fz-1, ~ �9 0. I s t aber F~-z , i --- 0, so ist nach (3) auch F~,~ - 0, also T(r , Fz,~) ---- 0 ffir alle r _--> 0, so da[~ in diesem Fall (8) trivialerweise r iehtig ist. Aus (8) erhs m a n sofort indukt iv

T (r, Fz, ~) = 0 (T (r,/"~)) + 0 (log T (r, hi)) + 0 (log r)

Vol. XXV, 1974 Analogon zum Satz yon Lindemann 49

~[jk--1 } ffir r-->o% teE(hi)t.)[i=oZ(Fj, i ) . m e r a u s und aus (7) folgt

m--1 m--1 (9) T(r, D) ~ cl ~ T(r, Fj) + czlog l ~ T(r, hi) -4- c31ogr,

wenn r --> oo auflerhalb einer gewissen Menge yon r -Wer ten mi t endliehem l inearem MaB. Eine zu (9) analoge Ungleichung, eventuel l m i t anderen c's und anderer Aus- nahmemenge , gilt fox T (r, Di), so dab aus (6) und (9) folgt

m--1 m--1 (10) T(r, ht) <=c4 ~ T ( r , Fj)-4-c510g~IT(r, hj)-4-c610gr

i=l j=i

fox i ---- 1 . . . . . m - - 1 und r --> oo auBerhalb einer gewissen Ausnahmemenge mi t end- l ichem MaB. Addier t man die Ungleichungen (10) ffix i = 1 . . . . . m - - 1 und beach te t l inks die Ungleichung zwischen a r i thmet i schem mad geometr i schem Mitre], so folgt

m--1

]=1 m - 1

(11) p1/(m-1) g c4 ~ T ( r , F~) A- c510g P + c610gr. ]=1

Da s/~mtliche g~ nach Voraussetzung nicht kons tan t sind, sind alle hi ganz trans- zendent ; d .h . es ist T(r, hi) > log r fox alle gToBen r nach (vi). Danaeh mad naeh (11) gilt ffir alle groBen r auBerhalb einer gewissen Ausnahmemenge endiiehen MaBes

m--1 m--1 (12) T(r,h~) <l-~ T(r, hj) < (2c4 ~ T(r, Fi) -f- 2c61ogr) m-1

i=i j=i

(2 c4 ~ l o g + M (r, Fj) + 2 cs log r ) m - 1 = 0 (re (m-l)+ e). j = l

m - 1 Hierbei wurde (ii) beach te t und ~ = Max Q (F~) gesetzt ; e ist beliebig positiv. Wegen

i=1 h~= exp(/~--/ra)und (ii) sehlieBt m a n aus (12) au f die Exis tenz beliebig groBer r-Werte , fiir die

log+ M (r, exp (/4 - - Ira)) = O (r0 (m-l)+ 9

gilt. Wie im Fal l m = 2 erh~lt m a n hieraus, dab alle ]~ - - /m e C [z] sind, entgegen einer Voraussetzung yon Satz 1.

Sei j e tz t n > 1 und se ien/z , . . . , ]m ganze Funk t ionen yon ~ derar t , dab exp (]1) . . . . . exp(/ra) fiber ~(n) l inear abhgngen; darm ~ b t es F1 . . . . . Free ~(n), nicht alle identisch 0 derar t , dab

~ F (13) ~ ~(~)exp(/~(S)) - 0 /=1

gilt. Analog zu l~aras imhans Vorgehen in [4] setzen wir

A :----- (a] aeC n, F~(za) = 0 fox alle z e C mad i = 1 . . . . . m} Archiv der Mathematik XXV 4

50 P. BUNDSCHUH ARCH. M A T H .

und merken an, dal3 A keine H~ufungspunk te hat . W~re n~mlieh a ein I-I~ufungs- p u n k t yon A, so exist ierte eiae maendliche, gegen a konvergente Folge {aj} mi t a1 e A, aUe a I paarweise verschieden, derar t , dal3 F t ( a j ) = 0 (i = 1 . . . . . m); d o c h dann w~re _~ ~ 0 ffir 1 ~< i --< m. Wei terh in setzen ~ r fiir i, ~ mi t 1 =< i < j ~ m

Elf : = {a [ a �9 C n - - A, It (z a) - - ]1 (z a) e (3 [z] ffir alle z e C}.

~ E Trivialerweise ist ~ J q c C n - - A ; wir zeigen unter Benutzung des bereits fiir n ---- 1 i,j=l i<j

bewiesenen Satzes 1 die U m k e h r u n g : Sei a ~ C n - - A . Darm exist ier t ein io mi t 1 _<-- io =< m derar t , dab Ft0 (z a) �9 0. Fassen wir die F~ (z a) als ganze Funk t ionen yon z au f (und sehreiben sie als Gt(z)), so ist Glo(Z) ~- 0 und G~(z)e ~(1) (i = 1 . . . . . m) wegen

n

Max G~(z) ~ Max F~(zl . . . . . z~) ] = M (r. Max I aj ], F 0 . Iz -<r --alle ]z,t i=i

<: r ' M a x [ a~]

Naeh (13) ist

~ G , (z) exp (]i (z a)) = 0 , i = 1

wobei die ], (z a) ganze ~ m k t i o n e n yon z shad; naeh Satz 1 ffir n = 1 ist ]io (z a) - - - - ]~o(Z a) e (3 [z] fiir wenigstens ein P a a r (7"0, k0) mi t ]o =~ ko und daher ist a e Eh~ o, so dab gezeigt ist

~ E U i] = C n - A " i , i ~ l i<j

Da A keine H~ufungspunk te hat , g ibt es em Paa r (k, 1), k =~ l derar t , dab E~t ein

nicht leeres I rmeres E~l hat . N u n wahlen wir ein festes a e E~l, a ~= (0, . . . , 0) und

haben z a e kz ffir alle z e t3 mi t [ z - - 11 < e bei geeigaaetem e > 0; wegen a e E ~ ist /k (z a) - - It (z a) e r [z] for alle z e C. Also ist 1~ (~) - - ]z (~) e t3 [3] jedenfalls dann, wenn ~ in einer gewissen offenen Teilmenge yon E ~ liegt; naeh dem Iden t i t a t s sa tz ist aber /~($) ~/~(~)e~318] ftir alle 3 e ~ n, was unseren Satz 1 aueh im Fall n > 1 beweist.

Z u S a t z 2. Gibt es (21, . . . , 2m) ~= (0, . . . , 0), a]]e 21 e Q derart , dab

~:/ : (~) + .-. + 2~ t~(~) = P G ) ec[~]

und setzen wit A~ :---- 1 .2 i , l der Haup tne rmer .aller 2i, so sind alle AI ganzrat ional , nicht alle 0 u n d so, dab

m 1-~ (exp (lJ (~))A, = exp (l. P (~)) ~-~ (exp (l~ (~))I Ajl; 1=~ i=i A~_~O A~<O

wegen e x p ( 1 - P ( ~ ) ) G ~ ( n ) sind also exp( f l ) . . . . . exp(~m) fiber ~(n) algebraisch ab- h/~ngig. Seien umgekeh r t exp (/1), . . . , exp ([ra) fiber ~(n) algebraisch abh/ingig; darm

Vol. XXV, 1974 Analogon zum Satz von Lindemann 51

exist ieren Fr~ ,..., r~($) e ~<m (0 < rj < Rj; ] = 1 . . . . . m), nicht sgmtliche identisch 0 derar t , dal3

Z F~ ...... ~(8) exp (r111(8) + ... + rm/~(8)) = 0;

nach Satz 1 gibt es zwei versehiedene m-tupel (r(~) . . . . . r~)), ]c = 1, 2 derar t , dal3

~(r(~) - - r(~))h e C[8] ist, womi t Satz 2 gezeigt ist.

N a r a s i m h a n gibt a m Ende yon [4] folgendes Korol lar zu seinem eingangs zi t ier ten Satz an : Seien /1 (~), . . . , / m (8) ganz. Genau dann sind exp (/1) . . . . . exp (/m) algebraisch unabhgngig i~ber C [8], wenn 1, ]1 . . . . , /m iiber dem Ring der ganzen rationalen Zahlen linear unabMingig sind. Die eine Rich tung dieser Aussage ist nicht korrekt , wie folgendes Beispiel zeigt: Sei q ~ C nieht algebraisch yon e inem Grad ~ 2; setze ]1 (8) = q,/2 (8) ~- q2. Dann sind 1, ]~,/2 fiber Q linear unabhangig , aber exp (/1) und exp (/2) hangen fiber C [8] algebraisch ab; es ist exp (/1) - - exp (q - - q2) exp (/2) --- 0 mi t exp (q - - q2) ~ C [8]-

Literaturverzeiehnis

[1] W. K. H_A~ZM~, 1Keromorphic functions. Oxford 1964. [2] B. J. LEWIN, Nullstellenverteihmg ganzer Funktionsn. Berlin 1962. [3] F. LI:~DE~-Z~, ~ber die Zahl ~. Math. Ann. 20, 213--225 (1882). [4] R. ~T.~AS~FS, Un analogue holomorphe du th4or~me de Lindemann. Ann. Tnst. Fourier

(Grenoble) 21, 3, 271--278 (1971).

Eingegangen am 22. 8. 1972

Anscbxift des Autors: Peter Bnndsehuh Mathematisches Institut der Universit~t 78 Freiburg i.Br. Hebelstr. 40

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