Ein neuer Beweis des Endliehkeitssatzes fiir Orthogonalinvarianten.

Von

Max Schiffer in Berlin.

w

Hat man eine Form k-ten Grades in n Variablen x l , x~ . . . . , x,~, und unterwifft man diese einer linearen Substitution, die in bekannter Weise als x = s (x ' ) bezeichnet wird, aus einer Gruppe (~, so ergibt sieh das Formenproblem de r Invariantentheorie folgenderma~en. Ist die Form als /(a, x) gegeben, wobei a die Gesamtheit der Koeffizienten der Form repr~sentiert, so ordne man die Form nach den x,', urn, so da] man f ( a , x) = ] (a s, x') erh~lt. Hierbei stellen die a se ine lineare Substitution der a dar, die der Substitution s eindeutig zugeordnet ist. Man suche nun alle homogenen rationalen Funktionen J (a) auf, fiir die gilt

J (a s) ---- ~sJ (a),

wobei ~8 nur von s abh~ngt. Dies sind die Invarianten der Form in bezug auf die Gruppe (~, auf deren Bestimmung es ankommt.

W~hlt man als Substitution x-----s'(x'), wobei s' die zu s trans- ponierte Matrix ist, so unterliegen die a einer Gruppe ~ yon linearen Substitutionen Q ( s ) , welche die Gruppe ~5 darstellen. Zu jeder Sub- stitution s aus ~5 gibt es also genau eine zugeordnete Substitution Q (S) aus ~ , so daB, wenn Q(s) und Q(t) den Matrizen s und t aus ~5 ent- sprechen, ihr Produkt Q (s). Q (t) der Matrix s. t aus (~ zugeordnet ist. Eine solehe Darstelluug werde im folgenden als Homomorphismus zu ~5 bezeichnet. Die Gruppe s ist also der Gruppe ~5 homomorph.

Man kann dann yon vornherein folgende Frage aufwerfen. Man suche alle homogenen rationa]en Funktionen irgendeiner Variablenreihe a , die invariant bleiben, wenn man die a einer Substitution Z (s) aus einer zu ~5 homomorphen Gruppe ~ unterwirft. Dies Problem enth~ilt dann als Spezialfall das Formenproblem. Im folgenden soll nur noch von den zu einem solchen Homomorphismus gehSrenden Invarianten gesproehen werden.

Im :Vordergrunde bei allen diesen Betraehtungen steht nun die Frage naeh einer endlichen Basis. Unter dieser ist in der Invariantentheorie

Mathematische Zeitschrift. 38. 21

16 M. Schiffer.

eine Gesamtheit yon endlich vielen Invarianten zu verstehen, aus denen sich alle anderen ganz und rational mit konstanten Koeffizienten aufbauen lassen. Aus dem Hilbertschen Formensatz ist die Existenz einer endlichen Basis sofort herzuleiten, wenn man einen Operator 0 mit folgenden Eigen- schaften herhiten kann:

1. 0 [/(a)] ~ - P ( a ) ist entweder Null oder eine Invariante vom ghichen Grade wie / (a).

2. 0 [/t (a) -4- g (a)] ---- 0 [/t (a)] + 0 [g (a)].

3. Ist J (a) eine Invarianf~, so ist O [J (a). g (a)] = J (a).O [g (a)].

4. O [J(a)] = c J ( a ) , wobei e eine yon Null verschiedene Kon- stante ist.

Einen solchen Operator gewann z.B. Hflbert ffir die projektive Gruppe mit Hilfe des Q-Prozeases.

w Nun hat Hurwitz 1) einen Integrationsprozefl entwiekelt, der bei jeder

abgeschlossenen kontinuierlichen Gruppe ~ in bezug auf den Hom.o- morphismus aller Q (s) anwendbar ist und der einen Operator der eben be- schriebeneu Art liefert. Diese Methode lgl~t sich aueh ohne weiteres auf alh stetigen Homomorphismen dieser Gruppen anwenden. Der wichti~te Fall, an dem auch Hurwitz seine Methode entwickelt, ist der Fall der reellen Drehungsgruppe. Deren stetige Homomorphismen sind iibrigens aUe rational, wie Herr Schur ~) gezeigt hat.

Bei der reellen Drehungsgruppe geht Hurwitz folgendermal3en vor. Er beschr~nkt sich nut auf abso]ute Invarianten, da eine Erweiterung auf beliebige Invarianten dann unschwer erfolgen kann. Er betraehtet den n~-dimensionalen Raum aller reelhn Matrizen mit ~2 Elementen und in ibm den Unterraum ~ aller orthogonalen Matrizen. Geht nun a s dutch Anwendung irgendeines Homomorphismus L (s) der Drehungsgruppe aus a hervor, ist ferner /(a) eine beliebige Funktion ddr Variablen a 1 . . . . . am, so wende man~folgenden Operator H an:

H~(a)] = ~ f ( a s )ds = F(a).

x) ]~ber die Erzeugung der Invarianten durch In~gration. GSttinger Nach- richten 1897, S. 71.

2) ~eue Anwendung der Integra|rechnung auf Probleme der Invariantentheorie. Sitzungsber. d. BerL Akad. 1924, S. 297.

Neuer Beweis des Endliehkeitssatzes ffir Orthogonalinvarianten. 317

Hierbei ist d s das Volumenelement in 9~, dessen Bestimmung das Kern- stiiek der Untersuehung yon Hurwitz ist.

Man erkennt, da~ der Operator H den B e d i n ~ g e n 2, 3, 4 ohne weiteres geniigt, wenn unter J (a) absolute Invarianten gegenfiber dem betreffenden Homomorphismus L(s) verstanden werden. Abet auch 1 ist erfiillt. Denn es ist

F (aq = ~ t (a~ q d s,

wenn auch t eine Drehung ist. Nun ist im n~-dimensionalen Matrizen- raum die Multiplikation aller Matrizen mit einer festen orthogonalen Matrix nut eine I)rehung des Raumes, bei der iiberdies der Unterraum 9~ in sich iibergeht. Dann ist bekanntlich nach den Regeln der Integral rechnung d s = d (8. t), und somit ist

Damit ist die Invarianz yon iv (a) nachgewiesen.

Ebenso wie bier

bewiesen wurde, kann man auch ohne Miihe folgern:

~ /(at') i~s ~ ~ /(a')ds.

Diese Tatsaehe wird sp~ter eine wesentliche Rolle spielen.

w

Bei der rechnerischen Durchfiihrung d e s Hurwitzschen Prozesses kommt es vor allem darauf an, eine Parameterdarstellung der Drehungs- gruppe zu finden. Dazu bedarf es einer n~iheren Untersuchung dieser Gruppe. Es ist daher yon Interesse, dab eln anderer ]ntegrations- proze~ existiert, der mit dem Hurwitzschen Proze8 ira wesentlichen identisch i s t ' u n d der rein formal zu entwickein ist, ohne n~here Eigenschaften der orthogonalen Gruppe zu gebrauchen. Be~onders bemes ist es, dab die Abgeschlossenheit dieser Gruppe nicht benutzt wird. Einen /ihnliehen ProzeB benutzt schon Herr Schur 8) im projektiven Fall.

s) Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme der Invarianten- theorie I. Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1924, S. 189.

318 M. Sehiffer.

Zur Bildung des neuen Prozesses bmucht man einen Hilfssatz, der sich schon bei Kelland und Tait 4) und allgemeiner bei Frobenius ~) finder, und auf den reich mein Freund, Herr W. Ledermann, aufmerksam mac]ate. Ist niimlich ~ eine beliebige Matrix yon nicht verschwindender Deter.. minante, so ist

a (3) = (3 T')-~112 e~me orthogonale Matrix�9

Man sieht sofort, dal] rein formal wirklich a (v)(a(v))' = E ist, wenn E die Einheitsmatrix bedeutet. Denn es ist

Hierbei ist unter (3 T')-'I:, jene Wurzelbildung verstanden, die schon Sylvester und 'Frobenius benutzten und die folgendermaSen definiert ist:

Es sei P eine symmetrisehe Matrix mit positiven Eigenwerten (was ja ftir (~r erftillt ist); man kann dann eine reelle orthogonale Matrix Q so angeben, dall Q. p Q - 1 in der Diagonalform

I il �9 . ~ 0

o) 2 0 Q P Q - ~ = . : . ~

erseheint . Man nehme nun an, dai~ ke in o ~ , , - 0 wird und dal~ al]e

Wurzeln verschieden sind. Dann ist die Interpolationsaufgabe

"-~ -112 f i i r i 1,2, n ao + al coi + . . . + an _ l oJ ~ = eoi . . . . ,

15sbar, und zwar erscheinen dann die "a, in folgender Gestalt:

Hierbei ist G, eine ganze rationale Funktion von ~/~-~ .... . . V~-~, und r i s t die gandermondesche Determinante H ( w ~ - w~). Bildet man nun

~'<~ / ' ~ 1 . ~ 0 . . . 0

0 t o ~ % " / ( P ) = a o + a ~ P + + a n _ I P ' - ~ = Q - ~ . Q ,

" ' " " 0

6 . . . 0 " ~ - d ' t ~-

so ist das jedenfalls eine FunktioI:, die der Gleiehung

t (P) ' I (P)-- - - - P-~

4) Quaternions, 1873, Chapter 10. 5) ]~ber die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen. Sitzungsber.

d. Rerl. Akad. 1896; S. 7.

Neuer Beweis des Endlichkeitssatzes ftir Orthogonalinvarianten. 319

geniigt: Man kann also ] (P) = P-II2 setzen, und es ist bekannt, dab hierbei ](P) nicht yon d e r Wahl der transformierenden Matrix Q ab- h~ingt. Man hat damit also p:_ll~ eindeutig definiert, falls nut alle Werte m,, untereinander und yon Null verschieden sin& Man kann nun abet (naeh einer mtindliehen Bemerkung yon Herrn Schur) die a~ in eine Gestalt bringen, an der man das Verhalten dieser Funktion studieren kann, wenn mehrere Wurzeln einander gleieh werden 0der wenn eine

Wurzel versehwindet. Ftir ~ = ~ verschwindet sowohl G,, als auch V in der obigen Darstellung fiir a,,; daher s i n d V und G~ dutch die Vander-

mondesche Determinante //(~/~-~,--~/~'~) teilbar. M a n kiirze in den a~ a<:fl

aus, und man erh~It im Nenner yon av abgesehen yon dem Wurzelprodukr

,,Geminante" <//(~/~- - - H ~/~ nur die . q-,~/g~). Man ersieht daraus erstens,

dab die oben definierte Bildung ](P)~ aueh noeh Sinn hat, wenn zwei Wurzein gleieh werden u n d dab aueh dann I ( P ) ' ] ( P ) = P-~ wird. Zweitens bemerkt man aber aueh, dab {PIz](P) fiir .einen hinreiehend gro~en Ex]~onenten 1 eine stetige Funktion der Matrix wird, die flit P I - ~ 0 gegen den Weft Null konvergiert. Denn i n IPl~- la~ treten ja

~/~-~ ] / ~ auf, die wegen der Ungleichung Faktore der *

ab ab a _ ~ . b ~ a , a ~ . . b ~ b fiir a ~ 0, b ~ 0

besehr~nkt sind, so da]] I Pl~a~ ~ bereits gegen Null geht. (Man sieht leicht

ein, da~ es gen iigt 1 2> [~ ] ~- 2 zu w~ihlen, wenn [ 2 ] die grS[3te ganze ~b

Zahl unterhalb yon ~ ist.) Dieses Verhalten Yon I P I s / (P) wird im

folgenden eine wesentliche Rolle spielen. ~brigens hat Frobenius das Verhalten yon ] (P) fiir den Fall s~udiert, dab I PI -* 0 geht. Er wies nach, da~ ] (P) konvergiert und somit im Limes eine orthogonale Matrix darstellt.

w Mit den eben abgeleiteten Hilfsmitteln kann man nun einen Inte-

grationsprozeI~ definieren, der die in w 1 verlangten Eigenschaften hat. Ist wieder ] (a) eine beliebige Form, so wende man folgenden 0pe- rator O~ an:

O~L/(a)] -~ j" e ,,k Ivl'lf(aq('))do = G~(a). - - o o

320 M. Schiller.

Hierbei bedeutet d e das Yolumenelement d~11.. , d~, , . Es ist dabei tiber aUe n ~ Elemente der Matrix 3 = (~ik) yon - oo bis + oo zu inte- grieren, a (3) ist dabei die in w 3 definierte Matrix, die zu x eindeutig zugeordnet ist, und / ist ein Exponent, der ausreicht, um 1312t ](a "(~)) zu einer beschrRnkten Funktion der ~k zu machen, was ja nach w 3 stets m6glich ist. Wie in w geht a "(~) aus a hervor, indem man auf a die a (3) entspreehende Substitution aus irgendeinem stetigen Homo- morphismus der Drehungsgruppe anwendet.

Auch bei diesem Operator sind die Eigenschaften 2., 3., 4. augen- fRllig. Denn Ol (]) ist linear und homogen, und ist J (a) eine Invariante gegen den betreffenden Homomorphismus, so is~

Ol [J {a) U (a)] = J (a) . Ot [U (a)],

da J(a ~c')) = J(a) ist. (Es werden bier wie bei Hurwitz nut absolute Invarianten untersueht.) SpezielI ist

+ ~

Hierbei ist der Faktor c~ > 0. Naehzuweisen bleibt also nut, dal] G~ (a) eine Invaxiante ist. Dazu bilde man

+oo

G,(at) ---- ~ e-X~k 131" ](a"(~)t) de. ~ o o

Hierbei sCellt t eine o~hogona|e Matrix dar. In diesem Fall iBt abet

~r ( 3 ) . t = (3 ~ ' ) - ' , 3 t = (3 t . t' r ~/, 3 t = ,r ( 3 . t).

Ftihrt man feraer die Koml~nenten r/~k der Matrix 2 = ~rt ein, so gilt

1 . , . ~ 1 . , . n

2 :eh= L',~h; I~t=lal; ae=a,7,,...dv.,=d#. ~,~ ~,~

S o m i t fo lgt

O,(a') = ~ ~- ~ h I~ 1 ~' t (a"(~) a ~ = o,(~).

Damit ist gezeigt, dal~ aueh die Bedingung 1 erfiillt ist.

w Nun ist es noch yon Interesse, den Nachweis zu f~ren , dal~ der

Hurwitzsche Prozet~ mit dem Prozel~ O~(a ) ] bis auf einen konstanten Faktor iibereinstimmt. Der Beweisgedanke ist der gleiehe wie der in dem

Neuer Beweis des Endlichkeitssatzes ftir Orthogonalinvarianten. 321

analogen Fall der projektiven Gruppe yon Herrn Schur U) entwickelte. Dort wurde nachgewiesen, dab jeder invariantenerzeugende Prozel3, der mit dem Hilbertsehen Operator vertausehbar ist, mi?, diesem bis auf einen kons~anten Faktor iibereinstimmt.

Man bilde zum Beweis

wobei wieder H[](a)] den Hurwitzsehen Operator bedeuten soll. Da der Integrand stetig ist und das uneigentliche Integral absolut und gleich- m~iBig konvergiert (jetzt kann ja die Abgeschlossenheit der Drehungs- gruppe benutzt werden), sind die Integrationen vertauschbar. Also ist

+:r = e--~,k[ {~](a"(~)'*)ds}dg. //[e,(a)] I '

Nun wurde schon in w 2 hervorgehoben, daf$ auch

= .ft(a )

ist, wofern t eine orthogonale Matrix ist. Also ist

+ ~

H[G,(a)] = e - - ; , a . l ~ ] 2 ~ { /(a'~)dsld~

und folglich

H [G, (a)] = c, H [/(a)].

Andererseits ist G, (a) eine Invariante und H [/(a)] erfiillt die Bedingung 4. Also ist

H [G, (a)] = h G~ (a), wobei

i s t . .Also folgt

"h = j'ds

C l

Ot [] (a)] = ~ H [~ (a)].

Damit ist die Identit/it der beiden Operationen nachgewiesen, was zu einer 'bemerkenswerten Integralidentit~t Anlaf~ gibt. Dieselbcn Uber- legungen zeigen auch, d al~ Prozesse der Art

J e -~-~ikj Jvj~ ~v ([ v l) / (a"(')) de - - ocJ

~) Neue Anwendungen der Integralrechnung usw. I, S. 194.

322 M. Schiller, Neuer Beweis des Endllchkeit~satzes ffir Orthogonalinvarianten.

mit �9 -~ 1, 2, . . . , und beliebigen Funktionen ~ (I v I), fiir die das Integral noch konvergiert, ebenfalls bis auf einen konstanten Faktor mit dem Hurwitzschen Prozel] identisch sind.

Rechnet man im bin~iren Fall den ProzeB Ot[] (a)] wirklich dutch, so kann man die Integralidentit~it direkt rechnerisch best~tigen; man finder, da~ das Integral yon O~ [] (a)] sich dutch geeignete Trans- formationen in ein Produkt yon drei Integra!en zerlegen l~Bt. Davon fiihren zwei Integra]e auf Konstanten, die nut yon 1 abh~ngen. Das dritte Integral ist gerade H ~ (a)].

Berlin-Siemensstadt, den 11. M~rz 1933.

(Eingegangen am 13. M~rz 1983.)