Math. Ann. 257, 335-339 (1981) tmam �9 Springer-Verlag 1981

Ein Normalbasissatz fiir Einheiten algebraischer Zahlkiirper

Franz Halter-Koch* und Falko Lorenz**

* Mathematisches Institut der Universit~it, ElisabethstraBe 11, A-8010 Graz, Osterreich ** Mathematisches Institut der Universit~it, Roxelerstra~ 64, D-4400 Miinster, Bundesrepublik Deutschland

I i

Im folgenden bezeichne K einen algebraischen Zahlk~Srper, d.h. einen Erweite- rungsk6rper des KSrpers Q der rationalen Zahlen mit [K :Q]<oo . Ist K galoissch mit Galoisgruppe G=Gal(K/Q), so besitzt K bekanntlich stets eine Normalbasis, d.h. es gibt ein ~ aus K, so dab (a~),~o eine Q-Basis von K ist 1.

In dieser Note soil nun untersucht werden, wann ein solches ~ als Einheit gew~ihlt werden kann, K also eine Normalbasis aus Einheiten besitzt.

Im folgenden nehmen wir den algebraischen Zahlk/Srper K stets als festen Teilk6rper des K0rpers IE der komplexen Zahlen an; es gilt dann der folgende

Satz 1. Ein #aloisscher algebraischer Zahlk6rper K besitzt eine Normalbasis aus Einheiten, es sei denn, K ist ein imaginiirer Zahlk6rper mit nut reellen oder rein imaginfiren Einheiten.

Da ein imagin~irer ZahlkSrper mit nur reellen oder rein imagin~iren Einheiten sicherlich keine aus Einheiten bestehende Normalbasis besitzt, gibt Satz I somit eine vollstiindige Antwort auf die eingangs gestellte Frage.

o

Wir setzen K o := Kn~.. (1)

und bezeichnen mit Q die Einschr~inkung der komplexen Konjugation - auf K 2. Der Beweis von Satz 1 beruht auf dem folgenden

Lenuna 1. Es sei K #aloissch mit Galoisgruppe G, und das Element e yon K erffille die Bedingun#en

lel > 1 und I~rel < 1 J~r jedes a aus G mit a :~id, ~. (2)

1 Vgl. etwa [2, S. 229] 2 Ist K galoissch, so ist [K : Ko] ~ 2

0025-5831/81/0257/0335/$01.00

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Ist dann im Falle K ~e Ko auch noch " ~ +e, so gibt es ein n~IN mit

det ((~- 1 tre,),,o~ ) 4= 0. (3)

Die Giiltigkeit dieses Lemmas erst einmal vorausgesetzt, geben wir jetzt zun~ichst einen

Beweis yon Satz 1. Es sei G=GaI (K/Q) die Galoisgruppe von K. Nun enth~ilt K bekanntlich stets eine Einheit e, for welche die in (2) formulierten Bedingungen erftillt sind (vgl. etwa [1, S. 524]). Ist dann im Falle K ~ K o auch noch g#: _+e, so gibt es nach Lemma 1 ein n~N, so dab das System

yon Elementen aus K linear unabh~ingig fiber (I~ ist, also wegen [K : Q] = G : 1 eine 11~-Basis yon K bildet. Sei jetzt K =k K 0 und gelte ~= _+ e. Sind abet nun nicht alle Einheiten von K reell oder rein imagin~ir, so enth~ilt K eine Einheit ~/mit 0 4= +_ q, und man kann Lemma 1 auf eine Einheit der Gestalt

e"q mit hinreichend groBem m

(anstelle yon e) anwenden. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Beweis yon Lemma 1. Sei d : = [K : I I ) ]=G :1. Fiir e~K und jedes n ~N ist dann zuniichst

Wir betrachten nun zuerst den Fall

K = K o,

setzen K also als TeilkSrper von ~ voraus. Im Hinblick auf (1) konvergiert dann abet die Folge der Matrizen

j ~ - to'e" n = 1, 2, 3 . . . . . (4) Ix,aEG

fiir n ~ oo gegen die d x d-Einheitsmatrix. Folglich gilt

det((z- ttre")~,~) :~0

ftir alle hinreichend groBen n. Im Falle K = K o ist damit Lemma 1 bereits bewiesen. Sei jetzt also

K ~ K o ,

und sei a 1 . . . . . a, ein Vertretersystem der Linksnebenklassen yon G nach der Untergruppe ( 0 ) =Ga l (K /Ko) . Ferner sei n e S r die durch

O'kO ---- QOn(k) fdr j = 1, 2 . . . . . r

definierte Permutation der Ziffern 1, 2 . . . . , r. Dann hat die Matrix (4) zun~ehst die Gestalt

_-"Zz'V2"~_ _.

Normalbasissatz fiir Einheiten 337

wobei die Indizes k, l in den angedeuteten vier Teilmatrizen jeweils unabh~ingig voneinander die Ziffern 1,2,..., r durchlaufen. Durch Anwendung geeigneter Zeilen- und Spaltenvertauschung auf die Matrix (5) erkennt man nun leicht (beachte: rcist Involution), dab

det ((~ - z trs")~, ~) = e "d det (D,)

gilt, wobei D, die - von rc freie - Matrix

/1 -1 . ~ \ / ~ k ~l~ 1~;1~"

D " = | I ~ 1 -1 , [ /

bezeichnet. Wegen ~# _+e hat die komplexe Zahl e eine Polarkoordinatendarstel- lung

e = e '~ mit ~0r

Die Folge (5"), besitzt nun sicherlich einen von 1, - 1 , i, - i verschiedenen Haufungspunkt. Mit anderen Worten: (e~'P), hat eine konvergente Teilfolge (ei"~) k, ftir die gilt:

l ime~"~=e "" mit q~*r k--* c~

Aufgrund der Voraussetzung (2) sowie der Wahl von al . . . . . ~, gilt dann zun~ichst

lim D,k= ( E, e-2~<O*E,I (6) k~ ~ e - zi~o*Er Er /

wobei E, die r x r-Einheitsmatrix bezeichnet. Doch die Matrix auf der rechten Seite von (6) hat die Determinante

(1 --e-4i~*)" #O ,

da ~p*r ;E. Allen k mit hinreichend grol3em k erftiUen somit die Behauptung (3) yon Lemma 1.

,

Die imagin~iren Zahlk~Srper K, deren s~imtliche Einheiten reell oder rein imagin~ir sind, wollen wir jetzt noch auf andere Weise charakterisieren. Dazu ben6tigen wir

Lemma 2. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum fiber einem K6rper K mit unendlich vieten Elementen. Dann ist V nicht Vereinigun9 yon endlich vielen echten Unterriiu- men yon V.

Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an. Dann gibt es nicht-triviale Linearformen f l , - . . , f , auf V mit

r

V= U Kerf i . (7) i = l

Ohne Einschr~inkung sei V=K". Die f~ k~innen wir dann als Elemente des Polynomringes K [X I, . . . ,X ,] in n Variablen tiber K auffassen. Aufgrund yon (7)

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verschwindet das Polynom f l " f z " . . . ' f , auf ganz K". Folglich ist f l "f2" ..." f , = 0 im Widerspruch zu fi 4:0 f'tir alle i 3.

Satz 2. Sei K c=IE ein beliebiger (nicht notwendig galoisscher) algebraischer Zahl- kSrper mit Einheitengruppe E K, Einheitswurzelgruppe W x und Ko=Kn~,:I:K. Dann sind iiquivalent :

(i) Alle Einheiten yon K sind reel1 oder rein imaginSr, d.h. Ex c= F, uIR ]/f---1. (ii) K 4: Q(E~).

(iii) Fiir alle e6 E K ist K 4: Q(e2). (iv) K ist totalimagin~r, K o totalreell, [-K :Ko] =2, Wx~_ ( ~ - 1 ) , und im FaUe

W K = (V'Z-1) ist Ex = wx'exo.

Beweis. (i)=~(ii): Aus Ex__C_IRuIR ] / / - 1 folgt E~_-__P,, also Q(E~c)~_Ko4:K. (ii)=~(iii): klar. (iii)=~(iv): Sei ~-- die Menge aller echten Teilk6rper L v o n K. Nach Vorausset-

zung ist dann U /~4r

also auch

Ex |174 ~ r E L ~ Q �9

Daraus folgt aufgrund von Lemma 2, dab es einen Teilk6rper L 4: K yon K geben mul3 mit

Ex|174

Dann haben aber K und L den gleichen Einheitenrang, folglich ist

L totalreell, K totalimagin~ir, [K : L] = 2

und insbesondere L = K o. Wir nehmen nun an, (iv) sei falsch, und konstruieren ein ee E x mit folgenden

Eigenschaften:

{151> 1, lae[ < 1 l'fir alle Einbettungen a: K ~ mit a 4:id, q /

8ZCK 0 ~ (8)

Fiir ein solches e aus E K ist dann n~imlich Q(~2)= K im Widerspruch zu (iii). Zun~ichst gibt es sicherlich (vgl. wieder [1, S. 524]) ein eoe EKo mit

I%1>1 und laoeol<l ftiralle a o : K o ~ , mit ao4=idKo.

Enthglt K eine Einheitswurzel co mit co4 4:1, so erfiillt ~: = co~ o die Bedingungen (8).

Sei jetzt also Wx = (I//-L-1). Wir betrachten dann die yon dem Endomorphismus 1-0 yon EK vermittelte exakte Sequenz

I'-'~ WxEKo--* Ex ~-~) Wr/W 2 (9)

3 Den hier gcf~hrten Beweis verdanken wir einer milndliehen Mitteilung yon F. Ischebeck. Im fibrigen ist die entspr~honde Aussage f'tir ondlich erzeugte freie abelsche Gruppen nicht mchr richtig, wie man dutch Betrachtung des Epimorphismus ~-~(Z/p) ~ sofort crkennt

Normalbasissatz ftir Einheiten 339

(, ,Kummersches Lemma"). Ware daher Ex4= WrEKo, so folgt die Existenz eines

rl~ E x mit t//~/= ~ i, also r/2~Ko . Fiir geniigend groBes n erf'tillt dann

5: = e~r/ die Bedingungen (8).

(iv)=~(i): Aus (iv) und der exakten Sequenz (9) folgt e/~ = _+ 1 f'tir alle e~ Ex, also (i).

Bemerkung. Sei K ein algebraischer Zah lk r rpe r (mit Einheitengruppe E r u n d Einheitswurzelgruppe WK), und sei n > 1 eine beliebige natiirliche Zahl. Analog wie im Beweis von Satz 2 zeigt man : Genau dann enthiilt K eine Einheit mit K = tl~(e"), wenn nicht die folgende Situation vorliegt :

K totalimaginiir, K o totalreell, [K : K o ] = 2 , IWxl teilt 2n,~. (lO)

J und im Fallr ]WK] = 2n ist E x = W~Exo

o

AbschlieBend wollen wir als Konsequenz der Siitze 1 und 2 noch den folgenden Satz formulieren.

Satz 3. Fiir einen galoisschen algebraischen ZahlkSrper K sind 5quivalent : (i) K besitzt eine Normalbasis aus Einheiten.

(ii) K = Q(E2). (iii) Es gibt ein e~E K mit K=l~(e2).

Bemerkung. Die Existenz einer Normalbasis aus Einheiten durch (ii) zu charakteri- sieren, geht auf einen Vorschlag von H. W. Lenstra jr. zuriick, dem wir t'tir wertvolle Hinweise und kritische Bemerkungen zu dieser Arbeit danken.

Literatur

1. Hasse, H. : Zahlentheorie, 2. erw. Aufl. Berlin: Akademie-Verlag 1963 2. Lang, S. : Algebra. London, Amsterdam, Paris : Addison-Wesley 1965

Eingegangen am 14. April 1981