Ein Problem der Approximation mit trigonometrischen Funktionen

Vol. XIII, 1962 363

Ein Problem der Approximat ion mit trigonometrischen Funkt ionen

Herrn RErS~OLD BAER zum 60. Geburtstag gewidmet

Von

HEINZ KO.~ZG und JORGEN TOBERGTE

In der vorliegenden Arbeit handelt es sich um ein Problem der folgenden Art: Es sei �9 ein endliches Borel-Mag auf der Zahlengeraden. Wir bilden in den zugehSrenden Banaeh-R~umen LP (r mit 1 ~ p < oo den von allen Exponentialfunktionen

Et:Et(x)-----e izt mit t ~ 0

erzeug~en abgeschlossenen linearen Teilraum S. Dann ist E ~ S = {EA] : ] �9 S ) der von den E, m i t t ~ A erzeu~o~e abgeschlossene lineare Teilraum des L~(~b). Wir haben

(*) E A S E S fiir A _ ~ 0 ,

und die .gAS bilden eine absteigende Kette. Es sei S + der Durchschrdtt aller EAS . Der Teilraum S + besteht also aus denjenigen ] �9 L~ (r die fiir jedes reelle A durch Linearkombinationen der Et m i t t ~ A approximiert werden kSnnen. Dieser Teil- raum S + ist zu bestimmen.

Das Ergebnis ist das folgende : Es sei ~ die zu r geh6rende normierte Verteflungs- funktion. I m Falle

f o" {loo ~ (z) l . _ T u a x - oo

haben wir S = S + = L~ ((/i). I m Falle

1 log •'(x) [ l + x, ~ dx < oo

- - o o

ist S - LP (~5), und S + besteht aus denjenigen / �9 L~ (r die aul3erhalb einer Lebesgue- .N%llmenge, welche den singxfl/iren Teil des Mal3es r tr~igt, verschwinden.

Das vorstehende Ergebnis erscheint am Ende der Arbeit als einfachste Folgerung aus der in den Abschnitten 3, 4 und 5 entwickelten Theorie. Hierin legen wir einen weitgehend beliebigen abgeschlossenen linearen Teilraum S des LP (~b) re.it der Eigen- schaft (*) zugTunde. Nach Vorbereitungen in Abschnitt 1 werden in Abschnitt 2 die notwendigen Tatsachen aus der Theorie der Fourier-Int%oTale zusammengestellt.

Die Anreg~ng zu der vorliegenden Untersuchung lieferte uns die Theorie der

24*

364 H. K6Nm und J. TOBERGTE ARCH. MATH.

dissipativen linearen Systeme [5], [6]. Unsere Ergebn/sse (ira Fa[le p = 2) erlauben eiue befriedigende Behand/ung der Frage nach der Reversibilit~it oder Irreversibil/t~t solcher Systeme. Wir werden hierauf an anderer Stelle eingehen. Wir weisen ferner auf die Untersuchungen yon AKUTOWlCZ [1], [2] hin, in denen verwandte Probleme behandelt werden.

1. Vorbereitungen. Wir betraehten ein festes endliches Borel-MaB ~ auf der Zahlen- geraden R. Es sei ~0 der absolut stetige Teil und ~b* = ~b - - r der sing~l~re Teil yon r Ferner sei A das Lebes~e-MaB auf R. Wit nehmen eine feste Borel-Funk- t ion/1 (x) >= 0 auf R mit

~o (M) = ~/1 (x) dx f'ur jede Borel-Menge M . M

Dann is t /1 (x) = q)'(x) fast iiberall blnsiehtlich A, worin

1 9 : 9(~) = -~ ~ ( ( - oo, x)) + ~ ~ ( ( - oo, ~])

die zu r gehSrende nom i e r t e Verteilungsfunktion ist. Es sei N ---- {x :/1 (x) = 0}. Ferner sei T eine feste Borel-Menge mit A(T) ---- 0 und r = 0

Es sei B (r die Gesamtheit der Klassen ] yon hinsichtlich r s komplex- wertigen Borel-Funktionen auf R. Die charakteristische Funktion XM einer Borel- Menge M ist als Element yon B( r genau dann = 0, wenn r 0 ist. Wit nennen zwei Borel-Mengen U und V ~quivalent, wenn X v = Xv in B(~b), also wenn ~b(U u V - - U n V) = 0 ist.

1.1. Definition. Es 8ei S eine Teilmenge yon B (q~). Eine Borel-Menge M heiflt eine Tr~igermenge yon S, wenn

1. [ XcM = 0 ]i~r alle [ e S ;

2. zu jeder Borel-Menge B r M mit qS(B) > 0 existiert ein [ e S mit ]XB * O.

1.2. Lemma. Jede Teilmenge S yon B (r besitzt eine Tr~igermenge M. M i s t bis au] ~quivalenz eindeutig bestimmt.

Bewe i s . Es sei ~ die Gesamtheit der Borel-Mengen A mi t [XA = 0 fiir alle / e S. Wir setzen ~ = Sup{r : A e ~} und bilden eine Folge yon Borel-Mengen A t e mit ~ (AD -+ ~ fiir k --> oo. Darm gehSrt auch die Vereinigung V der Az zu ~, und es ist ~ (V) ---- ~. Daher ist M = C V eine Tr~igermenge yon S. Die Eindeutigkeits- aussage ist klar.

Es sei M eine Borel-Menge. Es bezeichne E (M) die Gesamtheit der ] e B (r mit /XM = /. Dann ist M eine Tr~igemenge yon E (M). Ferner ist E (U) = E(V) genau dann, wenn U und V ~quivalent sind.

Wir betraehten nun die Rs LP (~b) mit 1 =< p ~ oo. Es sei I ] Ip die Norm in L r (~b). Wegen der Endlichkeit des Ma~es ~b haben wit

L r162 (~b) c Lq (~b) c L~ (r c L I (~b) fiir 1 ~ io ~ q =< 0r

Vol. XIII, 1962 Approximation mit trigonometrisehen Funktionen 365

Daher sind die Exponentialfunktionen

Et : Et (x) ----- e ~ mit reellem t

in jedem l~aum LP (r enthalten. I m Falle 1 ~ p < oo haben wir

1 1 ----1 (LP(r = Lq(r f~r ~ +

mit dem Skalarprodukt

( H , / ) - - - - ] H ( x ) ] ( x ) d q S ( x ) ftir / e L P ( r und HeLq(~b) . R

1.3. Satz. Es sei S ein abgeschlossener linearer Teilraum des L~ (qS) mit 1 ~ p < oo. Es sei

Et S : {Et / : / e S ) c S /iir jedes reelle t .

Dann ~st S ---- E (M) (~ L~ (~b), worin M eine Trdgermenge yon S ist.

Bewe i s . Es ist sicher S c E(M) n L~(~) . Wir haben die Gleichheit nachzuweisen. Wir nehmen ein beliebiges H �9 La(~b) mit ( H , / ) ~ -0 fiir alle / � 9 S. Wir zeigen (H, h) ~- 0 ftir alle h �9 E (M) (h L~ (r l~'ach Voraussetzung ist

c o

(H, E t / ) ---- ] e ixt H (x) / (x) d e (x) ---- ~ e izt dv q (x) ---- 0 - - o o

fiir jedes / � 9 S und jedes reelle t. Hierin ist

0 : O(x) = -~ H ( u ) / ( u ) d ~ ( u ) + g I t (u ) / (u )dqS(u ) (-oo,• (-oo,z]

eine normierte Funktion yon beschr~nkter Variation. l~ach dem Eindeutigkeitssatz der Fourier-Stieltjes-Transformation ist v q = 0. Wir haben daher

[Var t9]_~ = f l g (u ) ] [/(u)[ dqb(u) = 0

oder H/---- 0 fiir jedes / �9 S. Es sei nun H (x) eine zu H geh6rende Borel-Funktion und B ---- (x �9 M : H ( x ) . 0}. Wenn ~5 (B) > 0, dann existierte ein / �9 S mit / X s 4= O, also mit H / X B * 0, im Widerspruch zu H I = O. Daher ist ~b(B) ---- 0 o d e r H X M ---- O. Hieraus folgt

( H , h ) ---- (H , h X M ) -~ ( H X M , h ) -~ 0 fiir jedes h � 9 nL~(~b) .

Damit ist der Satz bewiesen.

1.t. Folgerung. Es sei K eine Teilmenge des L~ (qS) mit 1 ~ P < oo. Es sei S der yon allen E t K mit reellem t erzeugte abgeschlossene lineare Teilraum des LP (~5). Dann ist S ~- E (M) n Lp (r worin M eine Trdgermenge yon K ist.

2. i u s der Theorie der Fourier-Integrale. Der erste Satz ist das .4~alogon zu einem bekannten Satz der Gebrtider RrEsz [8] tiber Fourier-Reihen. Er ist eine einfache Folgerung aus den Ergebnissen von HrLLE-ThMxR~:I~ [4].

3 6 6 H . KSNm u n d J . TOBERGTr .',RCm MAI'It.

2.1. Satz. Es sei z9 eine kornplexwertige normierte Fun~ion von beschriinkter Varia- tion au/17 und

fe~xtdt~(x) = 0 liir t > O. - - o o

Dann ist die Funktion ~ absolut stetig.

Beweis . Wit betraehten in der oberen Halbebene z = x + iy mit y > 0 die holomorphe Funktion

l y t dO(u). H(z)-- 2~i u - - z

In der unt~ren Halbebene y < 0 haben wit nach Voraussetzung

? -,, ? ,) 1 d O ( u ) - i - e - i ~ e iutdO(u d t = O . = -:- ei(U-z)tdt dO(u) = 1

U - - Z ~ 0 - - - - o o

Daher ist

;( ) L H(z) -- 1 1 1 dO(u) = 1 Y dO(u) fiir y > 0 2,'zi u - - z u--? ~ - - x-~2 -t- y 2 "

- - o o - - c o

~ieraus folgt die Absch/itzung

f l 1 Y (u) dx H ( x + iy) l dx < ~ ( u - z ) ~-+ , - - o o - - - -

1 Y d V ( u ) = V ( o o ) ftir y > O = ~ (u - z )2 +

mit V(x) -= [Var v~]x_~. Nach H~mLE-T~.~KIN [4] Theorem 2.1 existiert eine kom- plexwe~ige Borel-Funktion h (x) auf .R mit

f t h ( x ) l d x < oo, ] l H ( x + i y ) - - h ( x ) l d x - > O fiir y-->O. - - o o - - c o

Insbesondere haben wit ftir jedes reelle s

~ X

SH( + iy)ex-,fh( )e y--,o.

Andererseits ist

f H ( i y )d 1 y x § x = zt u - z)~ + y'~ d x u ) = - - o o - - o o - -

- - o o

Vol. XIII, 1962 Approximation mit trigonometrischen Funktionen 367

und dieser Ausdruck konve r~e r t f'fir y--> 0 gegen

(~(s + o) - v~(~ - 0)) + (0(s - o) - ~ ( - ~ ) ) = O(s). 2

Wi t e rha l~n daher 8

zg(s) = f h(x) dx ffir jedes reelle s , - - o o

was zu beweisen war.

2.2. Satz. Es sei H (x) ~ 0 eine Borel-Funktion au[ R mit

0 < f H ( x ) dx < oo. - - 0 o

Dann existiert eine komplexwertige Borel-Funktion h (x) yore Betrage ]h(z) l = 1 au[ R mit

.re ~• H ( x ) d x = O [iir t >= O - - o o

genau dann, wenn o o

s I log H (x) i J i T V a x < ~ .

- - o o

Der vorstehende Satz ist das L1-Analogon zum sogenannten Hauptsa tz der Theorie der quasianalyCischen Funkt ionen yon PALEY-WIE-~ER [7]. Der Beweis ist in Hrr,r.•- TA.'~xl~Kr~ [3] zu finden.

Im Zusammenhang mit dem in Satz 2.2 auf t re tenden Logarithmus-IntegTal werden wit das nachstehende Lemma bcnStigen. Es sei

~logc ftir c_>--i } log + c = [ 0 fiir 0 - - < c - - < l . '

Dann ist log c = log + c -- log- c,

und 0 _--_< log + c --<_ c fiir c ~ 0.

0 fiir c ~ l } l o g - c = - - l o g c ftir 0 = < c ~ l "

] log c[ = log + c + l o g - c

2.3. Lemma. Es seien F1 (z) . . . . . Fr (x) >--_ 0 Borel-Funktionen au/ R und F (x) -~ = F1 (x ) . . . Fr (x). E8 sei

flog * Fk (x) . / log F (x) ] i - - 7 ax < oo /iir k = l . . . . . r, l + xZ dx < oo.

- - r - - o o

Dann ist

f II~ l dx < ~ ii2r k -~ 1, . , r . ~ _ - ~ . . .

- - o o

B e w eis. Wir haben im Falle F (x) :~ 0

368 H. KSNIG und J. TOBERGTE ARCH. MATH.

log- /7k (x) -- - - log Fk (x) + log + F z (x) =

= - - log F (x) d- ~. log F , (x) + log + _Fk (x) iffik

[ log F (x) I -4- ~. log + F~ (x) -4- log + Fx (x) =

---- I log F (x) I + Z l~ + -Fi (x),

und die resultierende Absehiitzung ist sicher aueh im Falle F (x) -~ 0 richtig, ttier- aus folg~ die Behauptung.

3. Der Hauptsatz.

3.1. Voraussetzung. Es sei S ein abgeschlossener linearer Teilraum des L~ (qS) mit

1 ~ p ~ oo. Es sei

E~ S = {Et / : / e S} c S /iir jedes t >= O.

Ferner sei M eine TrS~jermenge von S.

Alsdann ist E t S ffir jedes reelle t ein abgeschlossener linearer Teilraum des L~ (4). Nach Voraussetzung ist E t S ~ E u S fiir t ~ u, die E t S bilden also eine absteigende Ket te . Es sei

S-=UEtS und S + = A E ~ S . t t

Wir haben dann S - ~ E t S a E u S ~ S + f'fi.r - - ~ t ~ = u ~ .

S - ist der yon allen E t S erzeug%e abgeschlossene lineare Teilraum des LP(~) . Naeh Folgerung 1.4 haben wir

S - = E (M) r~ L~ (4) .

Ferner ist S + ein abgeschlossener linearer Teilraum des LP (~5) und E t S + ~ S + f'fir

jedes reelle t. ~'ach. Satz 1.3 ist daher

S + ---- E(Q) r~ L~(O) ,

worin Q eine Tr~germenge yon S + ist. Wi t nehmen vorerst eine beliebige Tr~germenge Q yon S + mi t Q r M.

3.2. Satz. Es ist S + ~ S genau dann, wenn S ~ E(M) (~ LP(~) ist.

B e w e i s . Nach dem Vorangehenden ist S + ---- S genau dann, wenn E t S ~- S fiir jedes reelle t ist. Ebenso ist S - ---- S genau dann, wenn E t S ~ S fiir jedes reelle t ist.

I m folgenden sei nun S O die Gesamtheit der H E Lq(~)) mit H X M ~ Y-I und

( H , / } - - - - 0 f t i ral le / ~ S .

Zu jedem h ~= S- , h ~ S existiert ein H ~ S o mit (H, h} r Im Falle S ~ S - be- s teht S o offenbar nur aus dem Element H ---- 0.

3.3. Lemma. Fiir jedes H ~ S ~ i~t H XQ ~ O .


B e we is. Fiir jedes / ~ L~ (~) i s t / X Q ~ S + c S trod daher

<HXQ, ]> = <H,/XQ> = O.

Hieraus folgt H XQ = O.

8.4. Lemma. Fiir jedes H e So ist H X T = O.

Bewe i s . Nach Voraussetzung ist

< H, Et /> = S e~xt H (x) / (x) d ~ (x) = ~ e ~xt dz$ (x) = 0

Ftir jedes / e S und jedes t > 0. Hierin ist

v~: v~(x) = -~ H ( u ) / ( u ) d r H(u)/(u)dqb(u) (-~,z) (-r162

eine normierte Funktion yon beschr/inkter Variation. Nach Satz 2.1 ist die Funk- tion v~ absolut stetig. Daher ist auch die Funktion

I f i f V: V(x) = [Var vaJz_r162 = -~ IH(u) l ]/(u) l d (u) tH(u)! I/(u) l dr (-r162 (-r162

absolut stetig, t t ieraus fo l~

l H(x)[ I/(x) l d e * (x) ---- ] l H ( x ) ] I/(x)[ X T (x) dr = 0 / / R

oder t t ] X T = 0 f'fir jedes / e S. Es sei nun H(x) eine zu H gehSrende Borel-Funk- tion, die auf C M verschwindet, und

B = { x e T : g ( x ) #0)---- { x e T n M : g ( x ) . 0 } .

Wenn ~b (B) > 0, dann existierte ein / e S mit /XB * 0, also mit H / X B :~ O, im Widerspruch zu H / X B = H ] X T X B = 0. Daher ist r = 0 oder H X T 0, was zu beweisen war.

3.5. Lemma. Es ist q~( (M -- Q) r T) = O.

B e we is. Wir setzen ( M - Q)(~ T----B. Es sei entgegen der Behauptung r ( B ) > 0. Dann ist XB ~ S +, denn sonst w/~re XB = XBXQ ---- X~ar ---- 0. Daher existiert ein reelles t m i t XB q~ E t S oder E-tXB ~ S. Andererseits ist E - t X B e S - wegen B c M. Daher existiert ein H e S o mit <H, E-tXB> +0. Hieraus folgt HXB ~0, w/~hrend nach Lemma 3.4 H X B = H X T X B = 0 sein muB. Das ist der gesuchte Wider- spruch.

3.6. Zemma. I m Falle S * E(M) (~ Lv(~b) ist A(CM) = 0 und A(Q) = O.

Auf Grand der zweiten Relation ist M :3 T eine Tr/igermenge yon S +. Denn hieraus und aus Lemma 3.5 folgt

XQ ~ X Q X T ~ X M X T ~ X M q T ,

die Borel-Mengen Q und M (3 T sind also/~quivalent.

370 H. KS,xm und J. TOBERGTE AltCI~. MATH.

3.7. Satz. I m Fa//e S . E (M) n L~ ( r ist A (N) = O. Es ist also A (x) > 0 /ast iiberall hinsichtlich A .

B e w e i s yon Lemma 3.6 und Satz 3.7. Nach Satz 3.2 ist S * S +. Wi t nehmen ein beliebiges / e S mit [ ~ S +. Es sei / (x) eine zu [ geh6rende Borel-Funkt ion und A - - = { x : [ ( x ) = O } . Wegen / ~ S + existiert ein u > 0 mit [ ~ E u S oder E - u / ~ S . _Madererseits ist E - u / E E - u S c S - . Daher existiert ein H ~ S O mi t (H , E - u / } * O. Es sei H (x) eine zu H geh6rende Borel-Funktion, die auf C M u Q w T verschwindet, und B = {x : H(x) = 0}. Dann ist also C M w Q w T c B. Wi t haben nun

( H, Et ]) = f e izt U (x) / (x) dq5 (x) = f e izt H (x) [ (x) A (x) dx R 12

fiir jedes reelle t. Hierin ist F (x) = I H (x) I [ / (z) l A (x) = 0 genau auf B ~) A ~) N. Auf Grund yon (H , E - u / ) * 0 muB

0 < f F (z) dx = f I H (x) [ ] / (x)] A (x) dx < oo

sein. Andererseits ist (H , E t [ ) = 0 f i i r t __> 0. Nach Satz 2.2 ist daher

f II~ dz < oo. /, (z) I

1 + x 2

Hieraus erhalten wir A (B k3 A k3 Zr) = 0. Insbesondere ist A (C M) ----A(Q) = A (N) = 0, womit alles bewiesen ist.

Wir benutzen die vorstehende Uberlegung noch zum Nachweis der Relat ion

f [log If(z)]p2 (z)] dx < oo �9 1 + x z

Wir bilden hierzu die Borel-Funktion

I H(x)] im Falle T ----- 1 "

Dann haben wir

Ferner ist (F(z))~ = (I/(z) lpd (x)) a (x ) .

f f log + G(x) log + If(z)[PA (z) dz < ~ . 1--. z z " l + x z " d x < ~ 1 7 6

B It

Die erste dieser Relat ionen folgt aus

~og§ I 1(*) I * ~ (~) =< [ ! (~/I p ~ (~).

Die zweite Relat ion ist klar im Falle p = 1 und folgt im Falle 1 < p < ~ aus

p p log§ a(~) = T ~og§ I n (~) I q A (~) < 7 1H (~) [~ A (~).

Hieraus und aus dem Ergebnis des vorangehenden Absatzes erhalten wit naeh Lem- ma 2.3 unsere Behauptung.


3.8. Satz. Es sei S . E ( M ) n L ~ ( r Dann ist A ( C M ) = 0 und

S+ = E (M n T) n L~ ( r Ferner ist

f ll~ dx < ~ /iir jedes ] e S mit / ~ S + 1 + x 2

R

Der vorstehende Satz ist der Hauptsatz dieses Abschnittes. Wir werden im folgenden Abschnitt ein in die umgekehrte Richtung gehendes Resultat beweisen.

4. Ein Umkehrsatz.

4.1. Yoraussetzung. Es sei S �9 abgeschlossener linearer Teilraum des Lv (q~) mit 1 < p < ~ . Ferner sei M eine Trd~xjermenge yon S.

4.2. Satz. Es sei A (M) > O. Ferner existiere �9 F �9 Lv (qS) mit

f [ l o g < IF(x) I~(x)I dz 1 + x 2 R

derart da~ S in dem yon allen Et.F mit t > 0 erzeuglen abgeschlossenen linearen Teil- raum des Lv ( q~ ) enthalten ist. Dann ist S ~= E ( M ) n Lv (r

Beweis . Es sei F(x) eine zu 2' gehSrende Borel-Funktion und A = {x : F(x) = 0}. Aus unserer Voraussetzung folgt A ( A ) = A(N) = 0. Nach Satz 2.2 existiert eine Borel-Funktion h (x) mit

Ih(x) l = l auf C T , h ( x ) = 0 auf T und mit

f e ixt h (x) I F (x) l~/1 (x) dx = f e izt h (x) I .F (x) lv d~b (x) = d f'fir t > O.

Wir bilden nun die Borel-Funktion

H(x) = {h(x) F(x) I F(X)o Iv-2

Dann ist {x : H (x) = 0} = A u T. Aus

fiir x C A }

ffir x �9 A "

IH(x)l a = Ih(x)l IF(x)! (v-l)a = Ih(x)I IF(x)l ~ < IF(x) lv

im Falle 1 < p < ~ und I H (x) I < 1 im Falle p = 1 folg~ H e Lq (q}). Ferner ist

g (x) F (x) = h(x) IF(x)Iv und daher

<H, Et 2"> = 5 eixt h (x) I F (x) I v dO (x) = 0 fiir t > 0. R

Hieraus fo l~ nach Voraussetzung (H, ]> = 0 ffir jedes / �9 S. Es sei nun S = E (M) n Lv (~b) entgegen der Behauptung. Dann ist

< H X M , / > -= < H , / X M > = 0 fiir jedes / �9

372 H. K6~,'IG und J. TOBEaGTr AeCH. MA'rH.

u n d d a h e r H X M ---- 0. D a s b e d e u t e t

r ~ C(A u T)) = r = O.

Hieraus folgt A ( M n C A (~ CT) ---- 0, da auf Grund yon A ( N ) = 0 die Nullmengen hinsichtlich r mit den Nullmengen hinsichtlich A iibereinstimmen. Wit erhalten daher

A ( M ) ~ A ( M ~ C A n C T ) + A ( A ) + A ( T ) = O,

also einen Widerspruch zu unserer Voraussetzung A (M) > 0. Damit ist der Satz bewiesen.

5. Folgerungen.

5.1. Voraussetzung. Es sei 1 <= p < oo. Wir betrachten ein /estes W ~ B (qS) mit

W V - - ( l • m eLp(q~) / i i re in r e = O , 1,2 . . . . .

JEs sei M eine Trggermenge yon W.

Im folgenden sei C die Gesamtheit der unbeschr~inkt stetig differenzierbaren kom- plexwertigen Funktionen F auf B, die auBerhalb eines, (yon F abh~ingenden) beschr~nkten Intervalles [0, c] verschwinden. Dutch sukzessive partielle Integrat!on erhalten wir

eiZ~.P(t) d t - - (l + x~)m . e ix~ 1 - - -~-[ F ( t )d t fi iralle x . o o

Daher ist das Produkt W [ e i z ~ F ( t ) d t in L~(~) . o

5.2. Definition. Es sei S w der yon allen

[ : / ( x ) = W ( x ) f e ~ Z t F ( t ) d t mit F E C o

erzeugte und S W der von allen o o

[ : / (x) = W (x) f e~zt F'(t) dt mit _F e C o

erzeugte abgeschlossene lineare Teilraum des LP ( qS). t t

Hiernach ist S w c Sw. Man erkennt sofort E t S w c S w und E t S w c S w ftir jedes p �9

t ~_ 0. Wit haben ferner S w ~ S v und S w c S v.

5.3. Lemma. Es sei iV ~ LP (qS). Dann ist S w der yon allen Et W m i t t ~ 0 erzeugte und S w der von allen (Et -- 1)W m i t t ~ 0 erzeugte abgesehlossene lineare Teilraum

d~ L~ (~b).

Bewe i s . Es sei S der yon allen E t W m i t t ~ 0 erzeugte und S' der yon allen (Et -- 1)W mit t ~ 0 erzeug~se abgeschlossene lineare Teilraum des LP(r Wir be-


traehten eine Funktion .F �9 C, die aul3erhalb des Intervalles [0, c] verschwinde. Es sei ~ : 0 = to ~ tl ~ "" ~ tn ---- c eine Zerlegung des Intervalles [0, c] mit

5 ( ~ ) = M a x ( t l - - t 0 . . . . . tn - - t ~ - l ) und u : t k - l ~ u~: ~t~: ffir k = l , . . . , n

eine zu ~ geh5rende Zwischenpunktwahl. ]:)ann haben wir

c o ~ tk I co f e i Z t F ( t ) d t - eiXUkyF(t)dt ~ M i n ( 2 , Ix I 5(~)) y l F ( t ) ! dt 0 k = 1 t ~ - i 0

ffir alle x. H.ieraus und aus dem Satz yon LEBv.SGV~ fiber die Vertausehbarkeit yon IntegTation und Grenzfibergang bei majorierter Konvergenz erhalten wit Sw c S und S~v c S'. Zum Nachweis der umgekehrten Relationen nehmen wir eine feste, auBerhalb yon [0, 1] versch~ndende nichtnegative Funktion 2' �9 C mit

1 ]F( t ) d t = 1 0

und bilden die zu C gehSrenden Funktionen

P : P ( t ) - - - - ~ F ,

t

f Q : Q ( t ) = 1 F ~ - g F du f'fir ~>--0 und d > O . 0

Die im ersten Teil des Beweises verwendete Ungleiehung liefert darm

I;I f eizt P(t) d t - e~x~ -~ Min(2 ,1x l ~), l0 ' co

J e i z tQ ' ( t )d t - - (e ~ x ~ - 1) ~ 2Min(2, ]x[ 5) fiir aUe x.

i t Hieraus folgt S c Sw und S r S W. Damit ist anes bewiesen.

5.4. Lemma. Es ist M Trdgermenge yon Sw und M ' = {x ~ M : x :*: 0} Trggermenge yon S~,.

Bewe i s . Es ist sicher

/ XcM ---- O fftr jedes [ e S w , / XcM, ---- O f i i r jedes / e S W.

Wir nehmen nun eine zu W gehSrende Borel-Funktion W (x) mit M ----- {x : W (x) ~: 0}. Es sei erstens B c M mit r > 0. Wenn ]XB = 0 ftir alle / e Sw, dann w~re

o o

X B ~ e ~ x t F ( t ) d t = O f i ir jedes F e C 0

und daher / X B = 0 Ftir jedes / ~ St. H_ieraus folg~e aber XB = 0 oder ~ (B) = 0. Daher ist M Tr~germenge yon Sw. Es sei zweitens B c M ' mit ~b (B) > 0. Wenn / X B = 0 f'tir a l l e / e S w , dann w~re

374 H. KSNIG und J. TOBERGTE ARCR..',tA:rIt.

oo

XB f e ixt F'(t) dt = 0 ffir jedes F e C 0

und daher ]XB : 0 ffir jedes ] e S~. Rieraus folgte aber

( E t - - 1 ) X B = O oder r x] < 2 z / t } ) = 0

fiir jedes t > 0, also q5 (B) = 0. Daher ist M' Tr/igermenge yon S w.

ist

I m Falle

ist

5.5. Satz. I m Falle

f ]l~ < ~ jedes dx ffir 1 +x~ R

Nach Satz 3.2 ist Sw :v (Sw) +, also sind die oo

/ : / ( x ) ~ - - W ( x ) f e i z t F ( t ) d t mit F e C 0

nicht alle in (Sw) +. Wir nehmen ein solches [ q~ (Sw) +. Aus

log + [W(x)!~A (x) _<_ log + IV(x)[~A (x) + m log (1 + x 2)

< I v (z) I p ,J (x) + ,n log (1 + x2) fo l~

f log+lW(x)!~A(x) 1 - - x" dx ~ o o .

f 11~ = oo dx 1 + x 2 R

Sw = (Sw) + = E(M) c~L~(r

S w = (8w)+ = E(M' ) n LP( r

f [log [ W(:~)l~A(x)[ i - ~ dx<oo

S w , E(M) ~ L~ (q)), (Sw) + = E (M (~ T) c~ L~ (q)),

S'w ~= E (M') c~ LP (q~), (S'w) + = E (M' n T) n L~ (r

Bewe i s . Wir nehmen zuerst Sw �9 E(M) (~ L~(~O) an. Nach Satz 3.8 ist dann

] e Sw mit / r +.

oo

Hieraus und aus der Beschr~nktheit der Funktion fe~XtF(t)dt auf R folg% naeh Lemma 2.3 o

f l log [ w (z) I p zl (:~) I dx < 1 + x 2

Aus der Annahme S~v �9 E(M')t~L~(~b) erh~lt man dieselbe Relation. Im Falle der I)ivergenz dieses Logar i thmus-Inte~ales ist also

t Sw = E (M) (~ L~ (~) und Sw = E (M') (~ L~ (qS)

Vol. XIII, 1962 Approximation mit trigonometrisehen Funktionen 375

t

und daher nach Satz 3.2 (Sw) + = Sw und (Sw) +" S w. Dami t ist der erste Tell der Behauptung bewiesen.

Wi t setzen nun f liog I w ( z ) I ~ A (z) l d x < ~ ,

1 + x 2 .R

voraus. Dann ist auch

f [log[ < oo V(x)[vA(x)] d x 1 + x 2

R

t

Es folgt A ( C M ) ---- 0, also A ( M ) = A ( M ' ) = oo. Ferner ist S w c S w c S v . Hier- aus f o l ~ nach Satz 4.2 und L e m m a 5.3

S w * E(M) c~Lv(r S W . E ( M ' ) c ~ L ~ g b ) .

Nach Satz 3.8 ist daher

(Sw) + = E ( M ( ~ T) c ~ L v ( r (Sw) + = E ( M ' n T) ~ L v ( r

Dami t ist der zweite Tell der Behauptung bewiesen.

5.6. Folgerung. Es existiere eine zu W geh6rende Borel-Funktion W (x) mit

W ( x ) * O [ i i ra l lex f II~ d x < o o ' ~ 1 + x 2 "

Dann ist im Falle

f II~ = oo : Sw = (Sw) + (fib) A (z)[

T ~ - ~ dx = LP , R

S ~ = (Sw)+ = E ( R ' ) (~ Lp ((ib) und im Falle

f II~ dx < oo : Sw -'- Lp ((i5) (Sw) + E ( T ) (3 Lp((ib) r:-U-_-V ' - ' = '

R t

S w * E ( R ' ) r ~ L v ( r (Sw) + = E ( T ' ) r ~ L v ( r

5.7. Beispiel. Die Vorawssetzungen 5.1 und in Folgerung 5.6 sind iwsbesondere dann er/iillt, wenn eine zu W e B(~b) geh6rende Borel-Funktion W (x) mit

l _ ~ [ W ( x ) l _~A(1 -? -x2 ) m ]iirein A >=1 undein r e = O , 1,2 . . . .

existiert. Der ein]achste Fall ist der Fall W =- 1.

L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

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Zusatz bei der Korrel~ur: Die Verfasser danken Herrn B. Sz.-NaGY fiir den Hinweis auf ein Ergebnis yon M. G. K~zr~ aus dem Jahre 1945, das in dem in der F.inleitung behandelten Spezialfall enthalten ist (vgl. N. I. ACHIF-,SER, Vorlesungen iiber Approximationstheorie, Berlin 1953; Anhang, Abschnitt 12, S. 263--266).

Eingegangen am 30. 3. 1962

Anschrift der Autoren: Heinz KSnig Jiirgen Tobergte Institut fiir Refine und Angewandte Mathematik Teehnische Hochschule Aachen

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Ein Problem der Approximation mit trigonometrischen Funktionen