Ein Projektions-Iterationsverfahren für Evolutionsgleichungen

Ein Projektions-Iterationsverfahren fur Evolutionsgleiehungen

Von HERBERT GAJEWSKI und KONRAD GROCER in Berlin

(Eingegnngen am 4.10. 1974)

Es sei V ein HILBERT-Raum mit vc V* und A eine stark monotone LIPSCHITZ- stetige Abbildung von L2([0, TI; V ) in L2([0, TI; V * ) . I n einer vorangegangenen Arbeit [I] haben wir ein Iterationsverfahren angegeben, das unter anderem zur Losung von Anfangswertaufgaben fur Evolutionsgleichungen der Form u' + Au = f und zur Bestiinmung von periodischen Losungen derartiger Gleichungen geeignet ist. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, da13 dieses Iterationsverfahren im Balle der Evolutionsgleichungen mit dem GALERKIN-Verfahren zu einem Pro- jektions-Iterationsverfahren verknupft werden kann.

Die Arbeit besteht aus vier Abschnitten. Im ersten Abschnitt stellen wir die spater benotigten Bezeichnungen und Begriffe sowie ejnige Hilfsmittel zusamnien. I m zweiten Abschnitt befassen wir uns rnit dem GALERKIN-Verfahren fur Evo- lutionsgleichungen rnit stark monotonen LIPscHITz-stetigen Operatoren. Wir beweisen Aussagen uber die Konvergenz dieses Verfahrens, die fur das erwahnte Projektions-Iterationsverfahren von Bedeutung sind. Der dritte Abschnitt ent- halt die Formulierung des Projektions-Iterationsverfahrens und einige Satze uber die Konvergenz dieses Verfahrens. I m vierten Abschnitt befassen wir uns unter Voraussetzungen, die in Anwendungen hLuiig gegeben sind, mit der prak- tischen Realisierung des Projektions-Iterationsverfahrens. In jedem der Ab- schnitte 2, 3 und 4 behandeln wir zuerst Anfangswertprobleme und danach das Problem der Bestimmung periodischer Losungen.

1. Bezeichnungen, Begrif fe, Hilf smittel

Es sei v ein HILBERT-Raum, der in einen weiteren HILBERT-Raum H stetig eingebettet ist und in diesem dicht liegt. Wir identifizieren H mit seinein dualen Raum H* und H* mit einem Teilraum des zu B dualen Raums B*. Dann gilt V c H c V*. Das Skalarprodukt zwischen V* und V bezeichnen wir ebenso wie das Skalarprodukt in H mit (. , .). Fur die Normen in 8, H und V* benut'zen wir die Bezeichnungen I ( * I I , 1 . I und l \- l l*.

I m Hinblick auf das GALERKIN-Verfahren und das Projektioiis-Iterations- verfahren nehmen wir an, da13 ejne Folge (T'%), n=O, 1, . . . , von endlichdiinensio-

120 Gajenski fGroger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

nalen Unterra'uinen von V mit folgenden Eigenschaften gegeben ist :

(1.1) -

T',c Vnfl, n=0, 1, . . .; u V , liegt in V dicht. n=O

Die RBunie Ti, versehen wir niit der von V induzierten Norm I l - I J . Der zu VTn duale R.auni V*, kann unter Zuhilfenahme des Skalarprodukts (. , .) mengenmaDig mit V , identifiziert, werden; fur die Norm in V:, die wir init [ ( - j [ * n bezeichnen werden, gi It dement sprechend

ijzij*n= sup (2 , z ) ~ l l z i I ~ V Z C F'z . IIXII d 1 X € V n

(1.2)

Mit J bezeiclinen wir die durch die Beziehung

(1.3) (J., .)=1121p=/\J./1; V X € V

definiert.e Dualit.&tsabbildung von V auf V*. Da V HILBERT-RSUIII ist, ist J linear. Entsprec.hend wird die Dualitatsabbildung J, von V , auf V z durch (1.4) (Jnx, :c) =i[xil2=jiJ It zli- ihln Q x E F ' n

definiert . S = [0 , T] se.i in1 folgenden stets ein endiches Interval1 der reellen Achse. Fur

einen BAXACH-RRUI~Z E bezeichnen wir, wie iiblich, init Lp(,S'; E ) den Raum der auf S definierten zur p-ten Potenz integrablen Funktionen init PVerten in E und mit G(S; E ) (bzw. C+S; E)) den Raum der auf S definierten stetigen (bzw. stetig differenzierbaren) Funktionen mit \Verten in E . 1st w eine auf S definierte Funk- tion und ct reell, so schreiben wir fur die Funktion t++t"u(t) im folgenden der Einfachheit halber tau..

Zur Abkiirzung setzen wir X = L'(S; V ) und X , = U ( S ; V,). Die dualen Raunie X * und Xz konnen dann niit L'(S; V*) bzw. D ( S ; Vf) identifiziert werden. Fur den Wert eines linearen Funktionals f€ X* (bzw. f € XE) im Punkt 16 C X (bzw. UEX,) schreiben mir ( f , a). Dann ist

(f, I t > = .f (f(% W ) )

!Ifll' - Jllf(~)ll2*,~~" J~l f (~) l l~~~~=l l f l l~* V f a ;

(LZC, 7") =jlI1ll:y =IILU[l;* V U E X

*

S

Fur die Sorm in XE gilt wegen (1 2)

x;-s S (1.5)

Mit L bezeichnen tvir die durch

definierte Dualitatsabbildung von X auf X*. Zwischen L und der durch (1.3) definierten Dualitatsabbildung J des Raunis V besteht folgender Zusammen- hang :

(Lu) ( t ) = J t ~ ( t ) V'tCS, V U E X .

Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren 121

Analog bezeichnen wir mit L, die Dualitatsabbildung von X, auf X:, die durch die Beziehung

(Lnu, 21) =IIuII$= llLnuI12 V U E X ~ =; charakterisiert wird.

Wir definieren nun eine Abbildung QnE ( X * -4:) durch die Beziehung

(1.6) ( Q J ) u)=(f, u) VuEX, *

Mit P, bezeichnen wir die orthogonale Projektion von X auf X,. W e man leicht beweisen kann, gilt

(1.7) L,P,=Q,L bzw. P,L-I=L-‘Q n n ‘

Fiir eine Funktion u c X bezeichnen wir mit ZL‘ die Ableitung von u im Sinne der Distributionen uber 10, T[ mit Werten in V*. Neben den bisher eingefulirten R h m e n benotigen wir noch die Raume

1Y=(zc j UEX, ?L’€X*} und

TT’, = ( U 1 u E X n , U’ E X:) ,

die wir fur gegebenes r w 0 mit folgenden Normen versehen : 1 -

‘14Jj-r= (jjZLjj;+Ilr&*)2 VZLE W

II~Ii~~,r=(iiuii~i-II~u’II~ *)’ V ~ E W ,

bzw. 1 -

Mit diesen Normen (und den entsprechenden Skalarprodukten) sind die Rsume W und TIT, HILBERT-Raume. Fiir ~ ~ u ~ ~ l T , i bzw. ~ ~ U I ] , ~ , , ~ schreiben wir kurz llz&

Lemma 1.1. Die Raume W und W,, n=O, 1, . . . , sind stetig in den Rnum bzw- IIUIIW, .

C(X; H ) eingebettet. M i t einer eon n unabhangigen Konstanten p gilt

(1.8) I I ~ I I ~ ( S ; ~ ) ~ Y I llullw V u E W ; l l u l l c ( s ; ~ ) ~ ~ ~ II~IJV, VuE Wn * Beweis. Bis auf die zweite Aussage in (1.8) folgt Lemma 1.1 aus Satz 1.17,

Kap. IV, in [3]. Wegen der stetigen Einbettung von V in H existiert eine Kon- stante y mit

1x1 sy //x/I VxE v . Fur uE W , ergibt sich damit

T ] u ( T ) I ~ = J { ~ ~ ( S ) [ ~ + + S ( U ’ ( S ) , u ( s ) ) ) ds 9

122 Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

Damit ist Lemina 1 .l bewiesen.

Lemma 1.2. Zu jedenb U E It’ existiert e ine Fotge (v,) mit

(1.9) v n ~ C i ( S ; VJ, vn-u i n TV.

Einen Beweis dieses Lemmas findet man in [3] (Lemma 1.5, Kap. VI). Die beiden folgenden Lemmata iibernehinen wir aus der Arbeit [ 2 ] .

Lemma 1.3. 1s t E ehz HILBERT-Ruum icnd a eine gegebene reelle Zuhl, so gilt f u r eine Funktion v€L’ - (S ; E ) die Beziehztng t”v’cL’(S; E ) genau duniz, w e n n die dzcreh

l o fiir T-h-=tST

defiitierten Fwnkt ionen vh, h €10, TI, cler Bedingung

Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterntionsverfahren 123

Damit ist Lemma 1.5 bewiesen.

2.1. Anfangswertaufgaben. nTir betraehten Aufgaben der Form

(A) u + A u = f , u(O)=U, u E W , mit einem Operator A E ( X - X * ) und gegebenen Elementen

(2.1) fES*, U G H . Dabei nehmen wir an, daI3 A stark monoton und LIPSCHITZ-Stetig ist, d. h., da13 folgendes gilt :

( 2 . 2 ) (AU-AW, u - w ) s m llu-w!~;, m>O,

~~.4U-AWIlx*~M IIu-w]I.y vu, VWEX . Wir befassen uns zunachst init dem GALERKIN-Verfahren fur die Aufgabe (A). Dazu sei ( Q , ~ ) eine Folge von Elementen aus V niit

(2.3) anEV7,, a,+u in H .

Neben (A) betrachten wir fur n = 0, 1 , . . . die GALERmN-Aufgaben

(An) { A,E(X,+xf), Anv =Q,Aw V'vEX,, f,=Q,fEX:. ui + Anun =.fN, un(0) = a,, ten E wn 9

Satz 2.1. Es se ien d ie Voraussetzungen (2.1) - (2.3) erfullt. Dann besitze.12 d i e A u f g a b e n (A) u n d (An), n=0, 1, . . . , eindeutig best immte Losungen u bzw. u,, u n d es gilt (2.4) Zd, -+ 71 in X , (2 .5) L L ; ~ ~ ; - ~ in X*, (2.6) Um+U in C(X; H ) .

Beweis. Aus der Definition von Q,E(X*--X;) und A,c(X,-X;) folgt

{A,u-Anw, z c - v ) z m Ilu--w~/~, llAnz~-Anw]!,isM l j u - ~ ] ] ~ Vu, V W E X ' , .

Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen folgen daher aus einem in [I] (Bemer- kung 3) forrnulierten Ergebnis.

124 Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterat,ionsverfahren

Gajemski/GrGger, Ein Projektions-Iterstionsverfahreii 125

Satz 2.2. Es seien die Voraussetzungen (2.1) - (2.3) und (2.7) erfiillt. Zusatzlich sei tf'EX*. Dnnm gilt fur die Losungen u,, n=O, 1, . . . , und u von (A,) bzw. (A):

(2.8) yiu, --t fiu in La(#; V ) ,

(2.9) ~ t ~ ~ ; ' u ~ - ~ l l t u ' in L ~ ( s ; v*) , (2.10) Yi+V'tU' in L2(S; H ) . Dem Beweis von Satz 2.2 stellen wir zwei Lemmata voran.

Lemma 2.1. Unter den Voraussetzungen (2.2) und (2.7) gilt fur bekiebige x, yc V und t cS (2.11) (A(t) z -A( t )y , X-y)smllx-yll2, IlA(t) x-A(t) y l l * ~ ~ l l ~ - Y l l -

Einen Beweis dieses Lemmas findet man in [3] (Lemma 2.2 und Lemma 3.3, Kap. VI).

Lemma 2.2, Unter den Voraussetzungen vom Satz 2.2 gil t

(2.12) sup j[tu;(jwn<- . n

B eweis. Wir bemerken zunachst, da13 auf Grund der LIPSCHITZ-Stetigkeit von A aus

IIu:II *=IIfn-AnumII *sIIf -AtLnIIg* =n =n

und un+u in S die Beschranktheit der Polge (l/u:jl *) folgt. Unter Benutzung von Satz 2.1 und Lemma 1.3 erhalt man daher xn

126 Gejewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

T -h -“s 2 11s (u,(s+h)-u,(s))112ds 0

I C7h2 - - /IS ( u n (s+h)-un(s))II’ds; - 2 Ti;̂ - 0

hierbei sind c1 und c2 von w und h unabhangige Konstanten. Durch nochmalige Anwendung von Leninia 1.3 folgt. am dieser Abschiitzung (2.13) SUP j l t ~ J l ~ - = - .

Weiter gilt 12

T -h

= J 5 J S’lI(f-AU,) ( s + h ) - ( f - A u , ) (s)\l;ds

5% j” s2 (llf (8 +h)- f (s) l l i+ (hp(/~(ntS)l) 11 + l l ~ , ( ~ ) l l ) ) ~

I I ( ~ % - Anan) (S + h ) - ( f n - Anu,) (S)II:n ds 0 T -h

0 T -h

u + J P / 1 u n ( S + h ) - t i , ( S ) p } ds .

Daraus ergibt sich unter Benutzung von (2.13) und Lemma 1.3 (2.14) SUP Iltun /Ix* . Aus (2.13) und (2.14) folgt die Behauptung (2.12). Damit ist Lemma 2.2 bewiesen.

Bewe i s von Satz 2.2. Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt fur die Losung der Aufgabe (A) (siehe [2], Satz 2j

I ,

n n

~ ’ G L c E - ( s ; vj, ME 11-, & Y L ~ S ; HjnL-(S; v*) . Die Behauptung (2.8) ergibt sich auf Grund von Leinma 1.4 aus (2.4) und (2.13). Die Behauptung (2.9) folgt wegen i ~ t L E ~ ’ t ~ ~ ~ ~ x . = jtL;’u, / / x = l l t ~ n / I auf Grund von Lemma 1.4 aus (2.5) und (2.14).

I , I ,

-‘n

Zum Beweis x-on (2.10) wahlen wir eine Folge ( t i ) iiiit

(2.15) w,fCI(#; JTn), w,-+tzi‘ in It7 . Eine solclie Folge existiert nsch Lenims 1.5. Es gilt

j- s p ; ( + ? ~ ’ ( s ) ~ ~ a s

- - J (z&(s) - ~ ’ ( s ) , szt;(s) - vn(s) + z . ~ ( Y ) - sLc’ (s ) ) ds

= J{(U&) -

S

S

( s ) , .l(JS, - wn(s)) - (.&) - (W‘ (s), -u(.))] ds S

+(qhn(T)-u(T), V,(Tj-Tu’(T))-(a,-a, V,(Oj)

Gajeivski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren 127

5 IIui -Qnu'II IItu; - v ~ I I X + 11'; - (tu')'/IL* IIUn - U/ IL =n

+ 2 Ilun-uIl~~s;~~ llVn-'u'll,(s;a, . Unter Benutzung von Satz 2.1, Bemerkung 2.1 und (2.15) folgt daraus die Be- hauptung (2.10). Damit ist Satz 2.2 bewiesen.

Satz 2.3. Es seien die Voraussetzungen (2.2), (2.3) und (2.7) erfullt. Perner sei

(2.16) f E X " , f'EX", a € V , f(o)-A(O) aEH und (2.17) SUP l f (O)-A(O) U n J < ~ .

n

D a m gilt fur die Losungen un, n= 0, 1 , . . . , und u von (A,) bzw. (A) : (2.18) U,+U in C(S; V ) , (2.19) LL;'ui-u' in C(S; V*) , (2.20) ui-u' in L*(S; H ) .

Dem Beweis von Satz 2.3 stellen wir ein Lemma voran. Lemma 2.3. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.3 gilt

(2.21) SUP llu~llFvn- .

(2.22) sup jlU;llx-=-

n

Beweis. In [a] (Lemma 2 ) ist (unter etwas schwacheren Voraussetzungen) die Beziehung

n

bewiesen worden. Weiter gilt T -h s 114 (s+4-uh)I lL ds 0

T -h

5 J il(f-A%) (s+h)-(f-Aun) (411; ds

5~ J { I I ~ (s+h)-f(s)II~+(he(Iun(s)I) (1 +IIun(s)II))2

0 T -h

u + l W /Jun (S$h)-Un(S)JJ2} as;

hierbei ist c eine von n und h unabhangige Konstante. Daraus ergibt sich unter- Benutzung von ( 2 . 2 2 ) und Lemma 1.3

(2.23) sup /jun(Ixf-=- .

Aus (2.22) und (2.23) folgt die Behauptung (2.21). Damit ist Lemma 2.3 bewiesen. Beweis von Satz 2.3 . Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt fur die.

Losung u der Aufgabe (A) (siehe [2], Satz 3)

I ,

n n

u€C(S; V ) , u'€ w .


Die Behauptung (2.18) ergibt sich auf Grund von Lemma 1.5 aus (2.4) und (2.22). Die Behauptung (2.19) folgt wegeii ~]LL;lz~~~~xr* = j j 2 ~ , / I 9 . auf Grund von Lemma 1.5 aus (2.5) und (2.23).

(2.24) vnEC1(S; V,), v,+u' in llr

(vgl. Lemma 1.2). Es gilt

r t

n

Zum Beweis von (2.20) wahlen wir eine Folge (v,) mit

J I t / i ( S ) - W J S ) I 2 as = f ( ZL:(S) - (Q,$) (.) + U ~ S ) - V J S ) , 4 4 - w,(s)) as s s

5 ( / & - Q ) z ~ ~ ' ~ ~ + (/u' -wnIIx*) ~jw~l-un~lx . Auf Grund von (2.221, (2.24) und Beiiierkung 3.1 folgt daraus die Behauptung (2.20). Damit ist Satz 2.3 bewiesen.

2.2. Periodische Losungen. Wir befassen uns nun init dem GALERKIN-Ver- fahren fur Aufgaben der Form

(PI 'ZL'+A2/=f, U ( O ) = U ( T ) , U E TI' . Neben (P) betrachten wir fur n = 0, 1, . . . die GALERKIN-Aufgaben

7lnfL4,21,=f,, u,(O)=?L,(T), U,E Tv,, (Pn) 1 *4,E ' (Xn-+X:), A,w =Q,Av V V E S , , f,=Q,,fEX: .

Satz 2.4. D e r Operator A € (S -X*) geniige der Voraussefzung ( 2 . 2 ) , zind es sei fEX'*. Dann besitzen die A u f g a b e n (PJ, .)z=O, 1: . . . , und (P) einde7it'ig bestimmte Losungen 21, bzw. v , w i d es gilt

(2 .25 ) , t t , - . u ,in X , (2.26) LL;'+/' ijz, X * ,

(2.27) 11,-+2L in C ( S ; H ) . Beweis. Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen von Satz 2.4 folgen aus

Satz 1.4, Kap. VI, i n [3]. FVir wahlen eine Folge (v,) mit wnEC+!3; Vn) , w,(O)= =v,(T) und v,-u in It-. Die Existenz einer solchen Folge laat sich leicht durch ,Mittlung der zu einer periodischen Funktion auf R' fortgesetzt,en Funktion u und nachfolgende Pro jektion beweisen. Es gilt

0 = (u' - z i k 1. AU -At[,,, W , - u + zc - ZL,)

= (u' - ui, v, - 11) + (Au - Ailn, v, - u> + ( , ~ z L - Au,, ZL -ti,) r ,

-{'Un-ll , U-'U.,)-L$! \ \?L-71n!izr I ( V , ~ - U / ~ ~ ~ + W L 1121 -Unl&

m.

2 s -~ I I Z L - ZL,//; - c !/vn - t(&, c = const.

Auf Grund der \Vahl der Folge (v,) folgt daraus die Behauptung (2.25). Die Behauptungen (2.26) und (2.27) ergeben sich aus (2.25) ebenso wie die entsprechenden Beziehungen (2.5) und (2.6) aus (2.4) (vgl. den Beweis von Satz 2.1). Damit jst Satz 2.4 bewiesen.


Satz 2.5. Der Operator A € ( X - X * ) genZige d e n Voraussetzungen (2.2) tcnd (2.7). Perner sei (2.28) fex, f'EX", f(O)=f(T), A ( O ) = A ( T ) . Dann gilt fur die Losungen u,, n=0, 1, . . . , und u von (P,) bxw. (P):

(2.30) LL;'u:-u' in C(S; V*) , (2.29) u,+u i.n C(S; V ) ,

(2.31) u~-u' in Lyx; H ) .

(2.32) sup lIu:llwncm .

Dem Beweis von Satz 2.5 stellen wir ein Lemma voran. Lemma 2.4. Unter den Voraussetxungcn von Satz 2.5 gilt

n B ew eis. Wir bemerken zunachst, da13 un unter den gegebenen Voraussetzun-

geri zu CI(S; V,) gehort, da die Aufgabe (P,) den Voraussetzungen des Existenz- satzes von PEANO genugt. Fur hE]O, T] erhalt man unter Benutzung von Satz 2.4

1 2 - (Iu,(T)-un (T-h)Iz- Iun(')-un(O)I') =r (u; (8 + h) - u&), un (s + h) -an(.,) ds

=Th( ( f -Au , ) (s+h)-((f-Au,) (4, u, ( S f h ) - U , ( S ) ) ds

0

0 T -11

5 1 { ( ~ ~ f ( s + h ) -~(S) I I * +IIA (S+h) un(s) -A(s)un(s)~l+) I I U ~ (S+h) -U'lp(8)11

0

--m 11% ( ~ + ~ ) - ~ u , ( ~ ) / 1 2 1 ds

s c l { i i f (s+h)-f(s)II~+(he(Iu,(s)I) (1+IIUn(a)II))*I ds 0 Th

T -h -"s 2 lju, (s+h)-u,,(s)ll"ds 0

(S+h)-U,(s)il?ds;

0

hierbei sind cl und cz von n und h unabhangige Konstanten. Wir dividieren diese Abschatzung durch h2 und fuhren den Grenzubergang h -0 aus. Es ergibt sich

S

9 M8th. Nachr. Bd. 72


Wegen ZL;( T ) = f,( T ) -Ala( T) ?r,(T) = fn(0) - A,(O) u,(O) = ui (0) folgt daraus

("33) sup :'&-< 03 . n

Die Beziehung ,, (2.34) SUII ' i t ( , t ; i

n Z'n

ergibt sich ebenso wie die Beziehiing (-3.23) beirn Beweis von Lemma 2.3. Damit ist Lemma 2.4 bewiesen.

Beweis von Satz 2.5. Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt fur die Losung zi der Aufgabe (P)

u E C ( S ; V), U ' E TY (siehe [ 2 ] , Satz 7 ) . Daher lassen sich die Behauptungen von Satz 2.5 mit Hilfe von Lemma 2.4 und Satz 2.4 ebenso beweisen wie die Behauptungen von Satz 2.3.

3. Das Projektions-Iterationsverfahren

3.1. Anfangs~~-ertaufgaben. \Vir beginnen wieder init der Anfangswertaufgabe

(A) u'+du=f, zc(O)=a, 2 ( E w . Satz 3.1. Es seiex die Voraiissetxunge?z (3.1) - (2.3) erfiillt. F e r n e r sei r c 0, -- . ] E[ Ist u die L o w q der Aufgabe (A) w i d (uf,) die m c h der Vorschrift

(3.1)

gebildete Polye: MI gil t

(3.2) W , - 16 iu S , (3.3) LL;'w~+u' i n S*, (3.4) w,, - It iiL C(S; H ) .

Bemerkuiig 3.1. Da13 zu gegebeiiein ~ , , E - Y ~ , die Folge (w,) durch die Vor- schrift (3.1) eindeutig bestiinmt w i d , folgt aus einem bekannten Satz uber Evolutionsgleichungen (siehe etwa [3], Satz 1.1, Kap. VI).

Beweis von Sstz 3.1. IVir definieren B,,E (X,-+S,) durch die Zuordnung,

rW~,+Lnwl l=Ln~~, - , --r (A~,wn-l--jn), w,(o)=~,, wncW,, { n = 1 , 2 , . . . , w,,&Y,, beliebig, &=&,A, fn=Q,f,

z'*w = BII1z*, rw' + L i w = LRc - r (S,v -fJ, w(O) =a,, W E W , . Mit Hilfe von B,, laBt sich (3.1) in der Form

(3.5) schreiben. B,, ist in S,, strikt kontruktiv init der von n unabhiingigen Kon-

traktionskonstanten fir = (1 - 2mr + -lf%-?)Z (siehe [ 13, Lemma 1 und Satz 2 ) . Der

W, = B,,,wl, - , n = 1, 2 , . . . , zu,, E So beliebig ,

1

Gajewski/Groger, Ein Projelitions-Iterationsverfahren 131

Fixpunkt von B,, ist offenbar die Losung u, der GALERKIN-Aufgabe (A,). Da die Folge (u,) nach Satz 2.1 in X gegen die Losung u der Aufgabe (A) konvergiert, folgt die Behauptung (3.2) aus Lemma 3.2, Iiap. 111, in [3].

Aus (A,) und (3.1) folgt r (L;'w; - Li'u;) = wn-l - w, - rL;' (A,w,-, - A,u,) .

r IIL; 'w; - L;'u;IIx s IIw, - - w,IIx + rM IIw,-, - unIIx --t 0 . Wegen (2.4) und (3.2) ergibt sich weiter

Mit Hilfe von (2.5) erhalt man daraus die Behauptung (3.3). Die Behauptung (3.4) beweist man unter Benutzung von (3.2) und (3.3) wie die Beziehung (2.6). Damit ist Satz 3.1 bewiesen.

Bemerkung 3.2. 1st A € (X--5") ein Potentialoperator, so bleibt Satz 3.1

richtig, wenn man die obere Schranke fur r durch - ersetzt (vgl. [l], Bemer-

kung 2) . Man hat dabei zu beachten, da13 mit A auch die Operatoren A,E (X, +X:) Potentialoperatoren sind.

2 M

Die Bemerkung 3.2 gilt sinngemafi auch fur die Satze 3.2 - 3.5.

Satz 3.2. Es seien d i e Voraussetzungen (2.1)-(2.3) u n d (2.7) erfullt, wad zu-

satzlich sei tj"EX*. Ferner sei rE 0, - u n d (w,) eine nach der Vorschrift (3.1)

gebildete Polge, deren erstes Element wo der Bedingung twi E X , geniigt. Dann gilt, w e n n wir rnit u die Losung der Aufgabe (A) bezeichnen:

(3.6) p w n -+ ytu in L"(S; V ) ,

(3.7) ~ ~ L L ; ~ ~ ; ~ - . ~ J L ~ in L ~ ( s ; v*) , (3.8) yrw; -f 1Jid in La(S; H ) .

1 :[

Fur den Beweis von Satz 3.2 benotigen wir das folgende Lemma. Leiiiiiia 3.1. Unter d e n Voraussetzungen won Sa t z 3.2 gilt

(3.9) SUP IItW:IIW,,l.-==- * n

Der Beweis von Lemma 3.1 ist dem von Lemma 4 in [2] vollig analog. Man hat dort lediglich W , J usw. durch W,, J , usw. zu ersetzen.

Beweis von Satz 3.2. Satz 3.2 ergibt sich aus Stttz 3.1 und Lemma 3.1 in der gleichen W'eise wie Satz 2.2 aus Satz 2.1 und Lemma 2.2.

Satz 3.3. Es seien die Voraussetzungen (2 .2 ) , (2.3), ( 2 . 7 ) , (3.16) und (2.17) erfullt. Fur die Folge (a,) gelte (3.10) sup IJ, (an-aTL-l)l < m .

n

Ferner sei r € ] O , $ [ a n d (w,) eine nach der Vorschrift (3.1) gebildete Folge,

deren erstes Element wo d e n Bedingungen w i € X 0 u n d wo(0)=ao genugt. Dann gilt, 9*


wenm wir die Loszing cler Aufgabe (A) mit u bezeichnen:

( 3 . i l ) u,l+'21. i n C ( S ; V ) , (3.12) L L ~ ' w ~ - u ' in C ( S ; V * ) , (3.13) 'L#L-'26' in D ( S ; H ) .

Bemerkung 3.3. Die Forderungen (2.3), (2.17) und (3.10) an die Folge (an) sind trivialerweise dann erfiillt, wenn das Anfangselement a zum Raum Vo gehort und alle a, gleich a gesetzt werden.

Fur den Beweis von Satz 3.3 benotigen wir das folgende Lemma.

Lemma 3.2. Unter d e n Voraussetzzcngen von Satz 3.3 gilt

(3.14) "up l l ~ ; l lw , ,F~ . n

Beweis. Der Beweis verlauft zuniichst dem Beweis von Lemma 5 in [2 ] vollig analog. Man gelangt so zu folgender Beziehung :

T -h

J ( r? I I W ~ ( ~ + ~ ) - w L ( s ) I I : ~ + ~ ~ w ~ (s+h)-wn(s)113} ds-r 1w,(h)-a,/2 0

hierbei ist ci eine von n und h unabhangige Konstante. IVir dividieren diem Ungleichung durch h? und fuhren den Grenzubergang h-0 aus. Es ergibt sich mit Hilfe von Lemma 1.3 :

(3.15) J (r2 ilw~~'(s)ii~,+ilw~(s)ii') d s s r I W ~ ( O ) I ? + kr J IIw;-l(s)I12 ds+c, . S S

Aus der Definition von w, folgt

rw;(~)+J,a,=J,a,-,--r(A,(~) a,-,-fn(0)) . Daher ist

r I W ~ ( O ) I IJ, (an-a,-l)I + r IA,(o) a n - i - t n ( o ) ~

iJ, (aa-an-i)I +r iA(O) an-i - f ( o ) l s c 3

fur eine von n unabhiingige Konstante c2, Aus (3.15) folgt somit

ll~il;-,,T-3 fk, ll~;-,li;l-n,, . Daraus ergibt sich durch Induktion die Behauptung (3.14).

Beweis von Satz 3.3. Satz 3.3 ergibt sich aus Satz 3.1 und Lemma 3.2 in der gleichen IVeise wie Satz 2.3 aus Satz 3.1 und Lemma 2.3.

3.2. Periodische Losungen. \Vir koinmen nun zu Aussagen uber die Konvergenz des Projektions-Iterationsverfahrens fur die Aufgabe

(P) zc'+Au=f, zc(O)=u(T), uE JV .


Satz 3.4. Der Operator A € ( X - X * ) genuge der Voraussetzung (2.2). Ferner sei

fEX", rE 0, - und (w,) die nuch der Vorschrift 1 ;[ rwi+Lnw,=Lfiw,-,-r (A,w,-i-f,)> Wn(O)=w,(T), wn€ Wn 9

n = 1 , 2 , . . . , w0 c X o beliebig, A , =&,A, f , = Q, f , gebildete Folge. D a m gilt, Wenn wir die Losung der Awfgabe (P) mit u bezeichnen:

(3.17) W,+U in X, (3.18) LL;'wi-u' in X * , (3.19) W,-U in C ( X ; H j .

B ewe i s. IC'ir definieren B,, E ( X , + X,) durch die Zuordnung

w + w = B,,v, rw'+L,w=L,v-r (A,.-f,), w(O)=w(Tj, W E W, . Mit Hilfe von B,, lBBt sich (3.16) in der Form

(3.20)

schreiben. B, ist in X, strikt kontraktiv mit der von n unabhiingigen Kon-

traktionskonstanten k, = (1 - 2mr + Mfr2)' (siehe [l], Lemma 1 und Satz 3). Der Fixpunkt von B,,, ist offenbar die Losung u, der GALERKIN-Aufgabe (P,). Da die B'olge (u,) nacli Satz 2.4 in X gegen die Losung u der Aufgabe (P) konvergiert, folgt die Behauptung (3.17) aus Lemma 3.2, Kap. 111, in [3]. Die Behauptungen (3.18) und (3.19) beweist man ebenso wie die Beziehungen (3.3) und (3.4). Damit ist Satz 3.4 bewiesen.

Satz 3.6. Es seien die Voraussetzungen (2.2)) (2.7) und (2.28) erfuillt. Ferner sei

w, = B,,w,-~, n = 1, 2, . . . , wg E 9, beliebig ,

1

r c 0, - u,nd (w,) e ine nuch der Vorschrift (3.16) gebildete Folge, deren erstes 1 :[ Element wo den Bedingungen wi EX, und wo(0) = w,(T) genugt. Dann gilt, wenn u die Losung der Aufgabe (P) 6ezeichnet: (3.21) W,+U in C ( S ; V ) , (3.22) LL;'w~-u' in C(X; V*) , (3.23) w~-u ' in L2(S; H ) .

Fur den Beweis von Satz 3.5 benotigen wir das folgende Lemma.

Lemma 3.3. Unter den Voraussetzungen von Sutx 3.5 gilt

(3.24) SUP llw~llwn,r- . n

Der Beweis von Lemma 3.3 ist den1 von Lemma 6 in [2] vollig analog.

Beweis von Satz 3.5. Satz 3.5 ergibt sich aus Satz 3.4 und Lemma 3.3 in der gleichen IVeise wie Satz 2.3 aus Satz 2.1 und Lemma 2.3.


4. Realisierung des Projektions-Iterationsverfahrens unter speziellen Voraussetzungen

Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daB der Einbettungsoperator von V in H vollstetig jst. In diesem Fall existiert ein in V vollstandiges System {hi, h?, . . .} mit folgenden Eigenschaften :

(4.1) Jhj=Ajhj, Aj=-O, (hi, h,)=dj, . Fur ein solches System gilt

Es sei (d,), n=O, 1, . . . , eine gegebene inonoton wachsende Folge naturlicher Zahlen init lim d,=m. \Vir wahlen V , als lineare Hulle von {hL, . . . , ha,}. Dann

ist fur j= 1, . . , d, 1z-0.

und die Dualitatsabbildung Jn von V , ist die Einschrankung getroffenen il'ahl der Raume V , entsprechend gilt jetzt

von J auf V,. Der

und , a, :2 a, 2 a,

' C Cjhj 1 = Ccjhj j=1 x, j=1 x j=l

= C i j j j c j /~Iy(~) .

MengenmaBig ist X: = X,. Fur die Norm in XE gilt

dn 1 I an 2

~ c cjhj = c 7 IIC~II;~(~) . x; j=l

j= 1

Die Dualitatsubbildung L,, von 5, wird durch die Beziehung

gegeben.

Spezialfall die Behauptung (3.5) von Satz 2.1 durch die Beziehung Bemerkung 4.1. Aus (4.2) geht hervor, daB man in dein hier betrachteten

t l ; + ? i in s* ersetzen kann. Entsprechend vereinfachen sich die jeweils zweiten Konvergenz- aussagen der ubrigen Satze.

Gajewski/Groger, Ein Projektiona-Iterationsverfaliren 135

4.1. Anfangswertprobleme

Satz 4.1. Es seien die Voraussetzungen (2.1) und (2 .2 ) erfullt. Ferner sei

Bestimmf man fur gegebenes r > 0 die Funktionen c,,~, j = 1, . . . , d,, n = 1, 2, . . . , be'i beliebiger Wahl von ~ ~ , ~ c L2(S), j= I, . . . , do, mit Hilfe der Rekursionsformel

and setzt man d n

w,= 2 Cn,jhj, j= 1

n = O , 1, . , . , (4.4)

so gilt fu r n=l, 2, . . . d n

rw~fL,w,=L,w,-i-r ( A , W ~ - ~ - ~ , ) , w,(0)= ztcihi, W,E W,. j=l

Beweis. Die Behauptung von Satz 4.1 ergibt sich mit Hilfe von (4.1) und (4.2) in elementarer Weise aus der Definition der Funktionen G,,~ und w,.

Bemerkung 4.2. Satz 4.1 zeigt, da13 fur die durch (4.3) und (4.4) definierte Funktionenfolge (w,) die Konvergenzaussagen der Satze 3.1, 3.2 und 3.3 gelten, sofern die in diesen Satzen genannten Voraussetzungen erfullt sind.

4.2. Periodische LSsungen

Satz 4.2. Der Operator A € ( X - X * ) geniige der Voraussetzung ( 2 . 2 ) , und es gelte - f = C bihiEX", b j€La(S) .

j= 1

Bestimmi man fur gegebenes r =- 0 die Funktionen c n j , j= 1, . . . , d,, 72 = 1, 2 , . . . , bei beliebiger Wahl von C ~ , ~ € L ~ ( S ) , ~ = 1, . . . , do, mit Hive der Rekursionsformel

136 Gaje.wski/Groger, Ein Projektions-Iterationaverfahren

und setzt mcr.n dm

so gil t far n = 1 , 2, . . . r~~+L,w,=L,w,-,-r (Anwn-i-fTt)7 w , ( o ) = ~ , ( T ) , wnE W , .

Beweis. Satz 4.2 folgt wie Satz 4.1 aus (4.1)7 (4.2) und der Definition der Funktionen cnsj und wn.

Bemerkung 1.2. Satz 4.2 zeigt, da13 fur die durch (4.5) und (4.6) definierte Funktionenfolge (w,) die Konvergenzaussagen der Siitze 3.4 und 3.5 gelten, sofern die in diesen Siitzen genannten Voraussetzungen erfullt sind.

Literatur

[l] H. GAJEWSKI und K. GROGER, Ein Iteratiomverfahren fur Cleichungen mit einem maximal monotonen iind einem stark monotonen Lipschitz-stetigen Operator. Diese Nachr. 68,307-317 (1975).

[2] - , Zur Konvergenz eines Iterationsverfahrens fur Erolutionsgleichungen. Diese Nachr. 68,

[3] H. GAJEWSKI, K. C R ~ G E R und li. ZACHARIAS, Xichtlineare Operatorgleichungen und Operator-

[4] K. GROGER, Regularitatsaussagen fur Evolntionsgleichungen mit st.ark monotonen Operatoren.

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differentialgleichungen. Berlin 1974.

Diese Xachr. 67,21-34 (1975).

Akadennie der Kissenschaften der DDR Zentralinstitut jiir Jfathentatik und Mechanik DDR - 108 Berlin HohrenstraJe 39

Documents

Ein Projektions-Iterationsverfahren für Evolutionsgleichungen