199

3. E6n xwedd6rnensionales Dispemionsproblem I); von Clernens Schaefer u n d H e l e n e StaZZw4tw.

§ 1.

Die Beugung elektromagnetischer Wellen an einem Zylinder aus beliebigem Material ist bereits fruher z, streng behandelt worden. Dagegen sind zahlreiche an ebenen Git- tern aus Zylindern beobachte te Erscheinungen noch un- geklart. Dahin gehoren z. B. die von F. Brauns) beob- achteten Polarisationserscheinungen an auf Glasplatten nieder- geschlagenen, zerstaubten Metallen, die er unter Annahme einer submikroskopischen Gitterstruktur durch H e r t zsche Gitterwirkung erklart. Dieser SchluB ist jedooh nicht biindig, worauf der eine von uns in Verbindung mit F. Reiche4) hingewiesen hat. Allerdings macht eine theoretische Unter- snchung dieser Autoren uber die Beugung von Lichtwellen an eilzem Zylinder es wahrscheinlich, da13 F. B r a u n mit seiner Erklarung recht hat ; doch kann man aus der Erscheinung an einem Draht nicht mit Sicherheit auf diejenige an einem engen Gitter schlieBen, weshalb eine Erweiterung der Theorie in dieser Richtung notwendig ist.

Wir haben uns daher die folgende, in nahem Zusammen- hange mit all diesen Gitterpro blemen stehende Aufgabe ge- stellt : Aus der bekannten Losung des Beugungsproblemes fiir einen Zylinder sollen die elektromagnetischen und optischen

1) Eine kurze Mitteilung der in vorliegendem Aufsatze enthaltenen Resultate ist in den Sitzungsberichten der Berliner Akademie der Wissen- schaften, p. 674, 1913, erschienen. Ausfiihrlich in der Breslauer Diss. von H. Stallwitz.

2) W. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 18. p. 495. 1905. - W. Sei tz , Ann. d. Phys. 16. p. 746. 1905. - C. Schaefer, Sitzungsber. d. Berl. Akad. d. Wiss. p. 326. 1909. - C. Schaefer u. Fr. Grossmenn, Ann. d. Phys. 81. p. 455. 1910.

3) F. Braun, Ann. d. Phya. 16. p. 1. 1905. 4) C. Schaefer u. F. Reiche, Ann. d. Phys. 32. p. 577. 1910.

2CO C. Schaefer u. H . Stallwitx.

Konstanten eines Medium hergestellt werden, das dadurch entsteht, daB ins Vakuum in gegen die Wellenliinge der auf- fallenden Strahlung kleinen AbstBnden parallele Zylinder aus beliebigem Material eingebettet werden. Eine sehr diinne Schicht eines solchen Medium darf wohl mit einem H e r t z - schen (und Braunschen) Gitter identifiziert werden. 1st diese Aufgabe gelost, so haben wir also die Moglichkeit, die erhaltenen Formeln auf die von B r a u n entdeckten Erscheinungen anzu- wenden. Das war wenigstens der Ausgangspunkt der folgenden Untersuchung. Aber auch unabhtingig davon diirften die Resultate derselben ein selbstiindiges Interesse besitzen.

Unsere Untersuchung steht am nachsten einer Arbeit von R. Gans und H. Happe l l ) , die das analoge Problem fiir ein Medium h e n , in das -Kugeln eingelagert sind; diese Au- toren benutzen in derselben Weise die Untersuchung von G. Mie2) uber die Beugung an einer Kugel, wie wir im fol- genden die zitierten Arbeiten uber Beugung an einem Zylinder verwerten. Insofern wir im folgenden zeigen werden, da13 das von uns betrachtete Medium Dispersion und Absorption be- sitzt, steht unsere Arbeit in Beziehung zu allen Dispersions- theorien, insbesondere der yon M. P l a n c kS) entwickelten. Sie geht insofern uber die Gans-Happelsche und P l a n c k - sche Untersuchung hinaus, als Unser zugrunde gelegtes Medium auch die Eigenschaft der Doppelbrechung besitzt .

2.

Zwei FBlle sind zu unterseheiden, je nachdem die elek- trische Kraft der einfallenden Welle parallel oder senkrecht zur Zylinderachse gerichtet ist, die wir im folgenden kurz als ,,parallelen Fall" und ,,senkrechten Fall" bezeichnen werden. Wir behandeln zunachst den parallelen Fall; wenn notwendig, unterscheiden wir die entsprechenden GroBen durch Indizes 1 1 oder 1 voneinander.

Wenn eine ebene Welle (Fig. 1) ein@tzlc), parallel zur negativen x-Richtung fortschreitend , auf einen Zylinder

1) R. Gans u. H. Rappel , Ann. d. Phys. 29. p. 277. 1909. 2) G. Mie, Ann. d. Phys. 26. p. 377. 1908. 3) Id. Planck, Sitzungsber. d. Berl. Akad. d. Wiss. p. 470. 1902;

p. 480. 1.903; p. 740. 1904.

Ein xweidimensionales Dispersionsproblem. $01

(Radius e, Dielektrizitiitskonstante c2, Leitfahigkeit u,, Per- meabilitiit ,uz = l), dessp Achse parallel der z-Achse ist und dessen Mittelpunktskoordinaten (6, 9) sind, auffiillt, so ergibt

4

" Fig. 1.

sichl) f i i r die elektrische und magnetische Kraft der von ihm ausgehenden Storung im Punkte (2, y) oder (r, y ) :

O,m e ,I = ,is(t+C,'c) Cam &,(PI) cos m

z' an QI (PI) 00s m ~ p . b I, = - i & ( f + h / c )

9 n (1) {

Die Koeffizienten a, sind definiert durch die Gleichung

wobei fiir m = 0 der Faktor 2 auf der linken Seite m streichcn ist. Dabei bedeuten :

7 % = (z - &2 + (y - q)2; I die Wellenliinge im Vaknum;

wo bei :

1) Vgl. z. B. C. Schaefer II. F. Grossmann, Ann. d. Phys. 81. p. 469ff. 1910.

Annalen der Phpik. IV. Folge. 50. 14

202 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

1st @ / A hinreichend klein, so reduzieren sich die Gleichungen (1) nuf die folgenden einfacheren:

[ao &o (PI) + ~i Qi (PI) COB YJI 9 e = ein(t t e l 4

5 = - iein(t+hle) [ao &,,‘(pi) + a, Q,’(pl) COB 971. (7) { . ”

Man kann also setzen:

(8) e - e, + e , ; fj = 5 0 + 5,’ Die Glieder mit dem Index 0 bezeichnen wir als die erste, entsprechend die mit dem Index 1 als die zweite ,,Partialwelle“. Es ist also:

5 ~ ) ~ , & , ( P ~ ) ; , ~ ~ = - j e i * ( t + t / c ) n & ’ ( ) a - Gin(:+ e l 0 0 P,’

qQ1(p1) cos ‘p; tjl = - ie ‘* ( t+Wz, Ql’(pl) cos ‘p . Fur kleine Argumente pl, d. h. fur kleine Werte von r , lassen sich die magnetischen Kriifte Ijo und ljl schreiben:

(9) { eo el - = ein(t+€/c)

ljo kann also als das Magnetfeld eines geradlinigen Wechsel- stromes von der Starke

a , i n e i n ( t t t / c ) 2 k,’

betrachtet werden; ljl, wie der Fakt,or

anzeigt, als dasjenige zweier um ein unendlich kleines Stuck langs der x-Achse verscho bener, entgegengesetzt gerichteter Wechselstrome. Das Produkt aus der Verschiebung der Mittel- punkte und der Stromstiirke ist hier:

ein(t + 2 k,

1) Log y = 0,5772, die Bog. Maecheronische Konstante.

Ein zweidiwnsiona1e.s Dispersionsproblem. 203

Ahnlich lassen sich die hoheren Glieder deuten; dies ent- spricht dem halogen fiir die Kugel, bei der an Stelle der geradlinigen Strome ,,Dipole" auftreten.1) Fiir das Moment des ljo liquidenten Stromes ergibt sich:

analog fiir die zweite Partialwelle:

und daraus, wenn die Anzahl der die FlBcheneinheit durch- setzenden Zylinder N ist, fiir die den beiden Partialwellen entsprechenden Polarisationen pro Volumeinheit :

Die Polarisationen sind also proportional der erregenden Welle ; ist diese nkht e i " ( t + t l c ) , sondern (3' (oder @'), so wird aus (12):

Im folgenden entsprechen sich ubrigens nicht Sp0 und rP,, sondern Po und

welche auch von gleicher Dimension sind.2) Die elektrischen und magnetisahen Kriifte lassen sich

leicht auf Vektorpotentiale (h, ul) zuruckfiihren - die s h - laren Potentiale sind bei unserem Problem gleich Null -, und zwar in folgender Weise:

Nennen wir das Vektorpotential und das Skalarpotential zuniichst allgemein 8 und y, so ist nach der Elektronen- theorie :

8% as 7

--

1) Vgl. die genwmte Arbeit,von Gans md Eeppel. 2) Vgl. dazuetwa H. A. Lorentz, Theoryof Electrons, p.. 16. Art. 11.

14.

2Q.1 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

nnd die rechte Seite der ersten Gleichung (13) verschwindet bei uns, weil hier offenbar div = 0 ist. Da die Losungen der homogenen Gleichung (lS), der Wellengleichung, in der Elektronentheorie im allgemeinen nicht in Betraoht kommen l), so diirfen wir also zunBchst y = 0 setzen. Dann ist weiter allgemein :

(14)

wenn mit 6 und $.j allgemein elektrischer und magnetischer Vektor bezeichnet werden. Also ist speziell bei uns:

so = rot a, , e , = - - - 1 8 % a t

1 aa, I a t e l = - - - 5, = rot a, I (15)

und durch Vergleich mit (9), (10) und (11)'folgt daraus sofort:

Fur den senkrechten Fall ergibt sich analog (1):

wobei wieder der Faktor 2 fiir m = 0 zu streichen ist. Daraus lassen sich alle analogen Bildungen fiir den senkrechten Fall leicht ableiten.

9 3. . Die von den einzelnen Zylindem erzeugten Felder e, 9

setzen sich im Mittel zu dem Felde 6, @ der ,,Maxwellschelz Krtifte" zusammen. Diese sind es jedoch nicht, die einen

1) Vgl, z. €3. H. A. Lorentz, Theory of Electrons p. 19 und Note 6 p..240ff.

Ein xweidimenswnales Dispersionsproblem. 205

einzelnen Zylinder zu Schwingungen anregen. Denn zu G, 6 tragen alle Zylinder bei, zu den ,,erregenden Kriiften" Q', 8' alk, mit Ausnahme des errsgten selbst. Die Wichtigkeit dieser Unterscheidung ist namentlich von Planckl) betont worden. Die wichtigste Aufgabe ist also fiir uns die, den Zusammen- hang zwischen Q', und Q, zwischen 8' und 8 featzustellen. Dies kommt, wenn man B', 8' einerseits und G, 6 anderseits wieder von Vektorpotentialen ableitet, die wir $' bzw. 8 nennen wollen, darauf hinaus, W zu 8 in Bedehung zu setzen. Dann folgen ohne weiteres daraus durch Differentiationen die erregenden KrHfte als hnktionen der Maxwellschen.

Die Potentiale W findet man auf folgende Weise duroh eine Mittelwertsbetrachtug, die mutatis mutandis der sohon genannten Arbeit von Gans und Happel entnommen werden kann: Wir legen senkrecht zu der Achse der Zylinder eine Ebene durch das Medi'um und haben nun in dieser Ebene sehr viele stromdurchflossene Kreisfliichen (Zylinderquerschnitte). Um das Zentrum (5, q) einer dieser Kreisfliichen, fiir die wir die erregende Kraft bzw. deren Vektorpotential feststellen wollen und die deshalb als entfernt zu denken ist, schlagen wir einen Kreis vom Radius I , der groB gegen den mittleren Abstand zweier Zylinder, aber kleb gegen die Wellenllinge ist. Der Raum auBerhalb dieses Qeises kann als gleichlsaBig polarisiert angesehen werden. Die (mittlere) Einwirkung der innerhalb dieses Kreides liegenden Stromfliichen stellen wir in folgender Weise fest: Wir schlagen um jeden im Innern des gedachten Kreises vom Radius I liegenden Zylinder (,,Re- sonator") ebenfalls einen Kreis vom Radius I , denkerl den Resonator dann entfernt und bringen diese verschiedenen Kreisfliichen aur Deckung. Dann entsteht ein Kreisring, dessen innerer Radius R gleich dem kleinsten Abstande zweier Zylinder- resonatoren ist, und dessen &uBerer Radius 1 ist. Der Kreis- ring wird wegen der vielfachen fibereinanderlagerung, wo- durch sich alle etwa vorhandenen Individualitliten ausgleichen, ebenfalls gleichmliBig .polarisiert sein, und mar wird seine Polarisation gleich m !$ sein, wenn m Kreise ubereinander gelagert wurden. Die (mittlere) Polarisation eines einfachen Kreises vom Radius I , die wir ja kennen wollen, erhalten wir also durch Division mit m; es ergibt sich also der Wert '$.

1) M. Planck, Sitzungsber. d. Berl. A k d . d. Wiss. p. 470. 1902.

206 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

Nun ist das Vektorpotential a, eines Zylinders nach (16):

(natiirlich nur fiir die erste Partialwelle) und, da der Raum auSerhalb eines Zylinders im Mittel als gleichmaBig polarisiert angesehen werden darf, seine Polarisation pro Volumeinheit Ip,, also das Vektorpotential pro Volumeinheit unter Berucksich- tigung der letsten Gleichung

Betrachten wir ein Volumelement von der Grundfliiche d F und der Hohe 1, so ist das Vektorpotential a&,' pro Volum- element :

dgo'= - ' - a'o Qo (A, T ) d P ; a i

also folgt durch Integration uber den ganzen AuBenraum, was wir kurz durch die Grenzen R und 00 andeuten, fur a,,' der Wert :

Ebenao folgt fiir das aus a, abgeleitete Potential Partialwelle :

der zweiten

Aus '$I,,' und leitet sich durch Differentiation das Feld der erregenden Krfifte Q', @' ab.

Jetet haben wir 9l0 und illl zu berechnen, aus denen sich das Feld 6, $j der Maxwellschen Kriifte ergibt. Dazu haben wir die partiellen Differentialgleichungen (13) zu integrieren, was mittels des zweidimensionalen Greenschen Satzes leicht geschieht. Streichen wir auch hier wieder die Glieder, die der Losung der homogenen Gleichungen (13) entsprechen, so folgt BUS (13) allgemein:

Ein zweidimenswnales Dispersimsproblem. 207

v = o , m

Also folgt fiir $!Io jedenfalls, indem man einfach !@ durch Po nach (12) ersetzt:

m

und ebenso, nach einer in 0 2 gemachten Bemerkung:

womit der sciiwierigste Teil der Betrachtung erledigt ist. Um nun den Zusammenhang zwischen &', 8' und 6, 8

zu finden, haben wir nur W mit 9.l in Beziehung zu setzen. Nehmen wir zun8chst und go, SO ist nach (19a) und

(20a) :

also :

Wegen der Kleinheit von R im Vergleich zur Wellenlilnge konnen wir ein!t++Blc) aus dem Integralzeichen heraussetzen, und durch seinen Wert im Mittelpunkte ein(' ersetzen; gleichfalls diirfen wir fiir Q0 (k,r) die Annilherung fi i r kleine Argumente benutzen. So folgt :

R

Das Integral

208 C. Schaefer u. H. Stallwifz.

stellt das innere Potential einer homogenen Kreisflache dar ;1) es ist also:

Schlieljlich folgt, wenn wir allgemeiner e in( t + = I c ) durch a' rrsetzen :

$'= 910 -

Ebenso, nur in der Rechnung etwas komplizierter, folgt fur die zweite Partialwelle:

ocler, wenn die einfallende Welle nicht e i n ( t + z / c ) , sondern 0.' ist,, unter Rucksicht auf (12):

Durch Ausfiihrung der in (14) geforderten Differentiationen folgt dann sofort :

I@'=@,

(5 4. Die hier auftretende Versohiedenheit von @' und Sj be-

weist, daB a B1 a x --

einer magnetischen Polarisation '$3, gleichwertig2) ist. Urn dies einzusehen, erortern wir folgendes Problem :

In einem Medium von der Permeabilittit p bestehe ein homogenes magnetisches Feld; der Vektor Sj sei parallel der

1) Vgl. z. B. A. Wangerin, Theorie des Potentials und der Kugel- frinktionen Bd. L p. 142. 1909.

2) Vgl. hierzu auch: Minkowski-Born, Math. Ann. 68.526ff. 1910.

Ein xweidimemwnales Dispersionsproblem. 209

y-Achse orientiert. Wir nehmen aus diesem Medium einen Zylinder vom Radius e, dessen Achse parallel der z-Achse gerichtet ist, heraus. Das urspriingliche Feld erfiihrt eine hde rung ; wir wollen den neuen Tdektor mit a’ bezeichnen Dieser liil3t sich aus einem skalaren Potentiale @ ableiten, das folgenden Bedingungen zu geniigen hat :

In der ganzen 2 y-Ebene - auf diese kann man sich offen- bar beschrgnken - gilt die zweidimensionale La pla cesche Gleichung : (4 d @ = O .

Versehen wir ferner das Potential fiir den AuBenraum mit dem Index a, fiir den Innenraum des Zylinders mit dem Index i, so gilt im Unendlichen der 5 y-Ebene:

welohe Gleichung zum Ausdruck bringt, daB in unendlicher Entfernung vom Zylinder die durch ihn verursachte Storung verschwindet. Ferner muB im Innern des Zylinders sein: (Y) Oi = endlich ?

und an seiner Grenzflache (r = e) gelten die bekannten Grenz- bedingungen der MagnetGstatik:

@i =a,, a a a ai ,

(s) I-- an

Setzen wir d, = Y (T ) . cas y, wo ‘p der Winkel ist, den der Radiusvektor r mit der y-Achse bildet, so lautet die Laplace- sche Gleichung (a) in ebenen Polarkoordinaten :

1 1 W”(r)+ W ( r ) - V(r) = 0,

deren allgemeine Losung ist : B V r ( r ) = A r + - - .

Mit Riicksicht auf die Bedingung (7) fur CDi ergibt sich:

21 0 C. Schaefer u. H . Stallwitz.

Fiir die iibrigen Konstanten folgt &us den Grenzbedingungen :

(4

Daher ist:

und fiir den neuen Feldvektor @' im Innern des Zylinders folgt durch Differentiation :

Dieser neue Wert @' ist offenbar das Analoge, wie bei unserem eigentlichen Problem die ,,erregende Kraft", wiihrend das ur- spriingliche Feld @ mit der sogenannten ,,Maxwellschen Kraft" zu identifizieren ist. Denn um die erregenden Kriifte au berechnen, mugten wir ja auch den ,,erregten" Zylinder &us dem Medium entfernen, wodurch eben die Maxwell- schen Kriifte in die erregenden ubergehen.

Jedenfalls sieht man aus ( x ) , daB @' von @ nur dann verschieden ist, wenn p 1, d. h. wenn eine magnetische Polarisation p,,, existiert. Wir konnen also die letzte Gleichung in der Form schreiben, wenn die ubliche Definition der ma- gnetischen Polarisation benutzt wird : (4 @'-$j=2zn!43Pm.

Vergleichen wir dies mit (25), so sieht man in der Tat, daB, wie behauptet,

einer magnetischen Polarisation entspricht.

§ 5.

Nach dieser Einschaltung ziehen wir die Gleichungen der Elektronentheorie fiir die dielektrische Verschiebung 5D und die magnetische Induktion B heran:

SD = Q + 4npe b = @ = 4npm ' (26)

Ein zweddimensionales Dispwsionsproblem. 91 1

wo ?& und rP, elektrische und magnetische Polarisation be- deuten; dann wird also nach (25) and (A):

(27)

Nennen wir nun Ell und ,G u die mittlereEelektrizitiitskonstante und Permeabilitiit unseres Mediums, so sind nach (27), (25) und

Benutat man noch einmal (25), so werden diese Gleiohungen zu:

i n Na, 1 - 7 (28) 4

Daraus folgen sofort fiir den pardelen Fall Dielektriaitiits- konstante und Permeabilitiit Wseres Mediums:

und da Ell ,GI, =(vII - ~ x I I ) ~ ist, wenn vlI und X n Brechungs- exponent und Extinktionskoeffizient bedeuten:

woraus vII und Ganz analog verliiuft die Untersuohung fiir den senk-

rechten Fall, fiir den wir deshalb hier nur das Resultat an-

sich sofort ergeben.

2 i N & 1 +-- I k,' '

212 C. Schaefer u. H . Stallwitz.

Lj 6.

Die Formeln (29) bis (32) enthalten des gewiinschte Resultat. Man kann aus ihnen sofort folgende allgemeine Schlusse ziehen :

1. Da Dielektrizitatskonstante und Permeabilitat, also auch der Brechungsexponent, im parallelen und senkrechten Falle versshjedene Werte haben, so ist dus Medium doppelt- brechend.

2. Da die Eigenschwingungen cier Zylinder dadurch de- finiert sind l), daB.die reellen Teile der Nenner von a, und d, verschwinden, und diese in beiden Fallen an verschiedenen Stellen des Spektrums liegen, so ist das Medium dichroitisch.

3. Brechungsexponent und Extinktionskoeffizient sind im allgemeinen nicht konstant, sondern Funktionen der Wellen- liinge. Das M e d i u m ist also dispergierend und selektiv absor- bierend. Man kann dasselbe also in gewissem Sinne als ein- faches Model1 eines einachsigen dichroitischen Kristalls be- trachten. Allerdings besteht' insofern ein Unterschied, als wir hier kein Raumgitter irn eigentlichen Sinne des Wortes haben, da die Zylinder ja unregelmaSig angedrdnet sind und ledig- lich parallele Achsen haben. Besser ist daher der Vergleich mit einem sogenannten flussigen Kristall oder einer aniso- tropen Flussigkeit , bei denen nach einem Versuche von v a n d e r Lingenz) ebenfalls kein Raumgitter vorhanclen zu sein scheint. Nach den untersuchungen Vor l ande r s scheint bei den nicht drehenden anisotropen Fliissigkeiten die Anisotropie durch die langgestreckte Gestalt der Molekule hervorgerufen zu werden, was durchaus dem Sinne unserer Analogie gemiil3 ist.S) Auf einen weiteren Grund, der diese

1) C. Schaefer u. F. Grossmann, Ann. d. Phys. 31.p. 473ff. 1910. 2) St. v. d. Lingen, Verhdl. d. Deutsch. Phys. Ges. 16. p. 913. 1913. 3) Auch die kiirzlich von Diesselhorst u. Freundlich (Physik.

Zeitschr. 16. p. 419. 1915) beschriebene Doppelbrechung des Vanadin- pentoxydsols usw. diirfte dsniit in Zusammenhang stehen und sich theo- retisch verstehen lassen. (Anna. bei der Korr.)

Ein xweidinoensionnles Dispersioizsproblena. 21 3

Parallele xu stutaen scheint, werden wir gleich zu sprechen kommen.

4. Von Interesse scheint uns ferner der Umstand zu sein, daB die mittlere Permeabilitat von 1 verschieden ist, obwohl die Zylinder aus unmagnetischem Material vorausgesetxt sind. Fiir unendlich groBe Wellenlangen, d . h. fiir statische Zu- stande, geht natiirlich ji in den Wert 1 uber, wie es sein muB.

Es liegt nahe, zu fragen, worin dieser Unterschied gegen- uber den gewohnlichen Dispersionstheorien, bei denen die Permeabilitat 1 sich ergibt, begriindet liegt. Wenn man die zweite Gleichung (29) betrachtet, so erkennt man, daB die Abweichung der inittleren Permeabilitat von 1 von dem Koef- fixienten a,, d. h. von dern Mitwirken der zweiten Partial- welle, abhangt. Wiirden wir das Verhaltnis @/A so klein wahlen, daB der Koeffizient a, gegen a, verschwindet, so wiirde, mie in der gewohnlichen Theorie, ji = 1 folgen. In der ge- wohnlichen Theorie berucksichtigt man eben nur die erste Niiherung, die erste Partialwelle, um in unserer Ausdrucks- weise zu bleiben.

7.

Die Formeln (29) bis (32) sind zu kompliziert, urn eine weit ere allgemeine Diskussion zuzulassen. Wir wenden sie daher auf einige Spezialfalle an, und zwar betrachten wir in diesem Paragraphen dielektrische Zylinder, bei denen @/A so klein ist, dal3 in a, und d, bereits die vierten Potenzen von @/A vernachlassigt werden konnen.

Eine leichte Rechnung ergibt dann I) fur die Koeffizienten innerhalb der obigen Genauigkeit die Wert.e :

Sind die Zylinder nicht ins Vakuum eingebettet, wie bisher angenommen wurde, sondern in ein Medium von der Dielek- trizitatskonstante el, so hat man ahnlich:

1) Vgl. z. B. C. Schaefer u. F. Reiche, Ann. d. Phys. 35. p. 828. 1911.

21 4 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

Man erhiilt daher aus (29) bis (32): 81, = &* + Nwg' (E2 - El); PI, = 1.

Nun ist N n e2 = F derjenige Bruchteil der Flachen- einheit, der von den Zylinderquerschnitten eingenommen wird ; (1 - B') also der ,,freie" Bruchteil. Setzt man F = 6,; 1 - F = 6,, so kann man die Gleichungen (35) schreiben:

Dies sind die von 0. Wiener1) angegebenen, durch elelitro- statische Betrachtungen abgeleiteten sogenannten ,,FomneZn der Sttibchendo~pelbrechu~g", die sich hier als Spezialfalle ergeben. Unsere Ableitung hat den Vorzug, da13 sich der Giiltigkeits- bereich dieser Formeln genau angeben laBt, was bei der Wiener- schen Herleitung naturgemii13 nicht der Fall ist. Die durch Gleichungen (36) bestimmte ,,St&bchendoppelbrechung" ist, wie schon Wiener betont, stets positiv. Dies ist ein weiteres Argument dafur, unser Medium mit der Konstitution der anisotropen Fliissigkeiten in Beziehung zu setzen; denn die Doppelbrechung aller nicht optisch aktiver anisotroper Fliissig- keiten ist nach den Untersuchungen von Dorn und Vor- l a n d e r stets positiv. 2,

Man kann die letzten Formeln in Zusammenhang mit der Mosotti-Clausiusschen Theorie der Dielektrika bringen. Setzen wir namlich in der zweiten Gleichung (36) = 1, d. h. betrachten wir wieder ins Vakuum eingebettete Zylinder, so geht diese ForEel uber in:

" - -a,*const. 61fl- Da 6, = Nn e2, also proportional der ,,Dichte" d des Mediums ist, kann man aucb schreiben:

1 8 1 - 1 (37) d s i + 1

- const.

1) 0. Wiener, Ber. d. Kgl. Sachs. Akad. d. Wiss., Math.-phya.

2) Darauf weist ebenfalls schon Wiener hm; 1. c. 61. p. 115 u. 116. Klasse. 61. p. 113. 1909; 62. p. 263. 1910.

Ein zweidimensimtales Dispersionsproblem. 215

Das aber ist das Analogon zu der Clausius-Mosotti- schen Formell) fiir einen aus Vakuum und eingebetteten Kugeln bestehenden Mischkorper.

Etwas xhnliches erhalten wir, wenn wir in der ersten Gleichung (36) el = 1 setzen; dann folgt niimlich:

(38)

und dies is t das zweidimensionale Analogon zur sogenannten L a plac e schen Formel. 2,

1 (sll - 1) = conet.,

0 8.

Als zweites Beispiel wiihlen wir die Untersuchung der Extinktion fi i r Wellenlangen, die weit ab von jeder Eigen- schwingung unseres Mediums liegen. Diese Extinktion zeigt in ihren Gesetzen eine bemerkenswerte Verwandtschaft mit der Rayleighschen Theorie des Himmelblaus, als deren mbi- dimensionales Analogon sie direkt bezeichnet werden kann. Betrachten wir zunlichst dielektrische Zylinder, so erhiilt man fiir die Koeffizienten a, und al im parallelen Falle:

(39) 2 n9 43 n4 e'

a, = - 1o (E2 - 1) - i 2 S 7 ( E a - 1)s; u1 = 0;

Also gemaB (30), nach Trennung des Reellen vom Imagi- n&ren, mit derselben Genauigkeit wie (39):

und daraus endlich: n4 (vl* - 1)s

XI1 = - 0

2 NAP VU

Ebenso ist fur den senkrechten Fall:

do = 0, {42) dl = 4 ° F d e 4 ( 8 , - - i(T)2 89 - 1 . a,+ 1 S , + l '

und daraus mit demselben Grade von Genauigkeit wie (42) nach (32):

1) Vgl. z. B. A. H. Lorentz, Theory of Electrons, p. 145. 2) A. H. Lorentz, Theory of Electrons, p. 144.

21 6 C. .Schaefer u. H. Stallwitz.

(43)

1 V12 =

6 - 1 ' 1 - 2 n ~ e 9 ' -

6, + 1

daraus endlich fur xL:

(44)

Es ist nach Definition des Extinktionskoeffizienten x , wenn Go die in das Medium eindringende elektrische Feld- starke ist:

wenn 6 die elektrische Kraft nach Durcheilen der Strecke d ist; also ist f i i r die mittlere Energie:

woraus : 4 n x h = -

I

folgt. Aus (41) und (44) folgt demnach fi i r den parallelen und senkrechten Fall :

2 , 3 ( y n P - 1y

( Y L * - l ) *

h, , = -.

h , = y .

II N13 I I N I v L 3 '

(45)

wahrend nach Rayleigh ist: s / s 0 n3 (v' - 1)' k = -

NA4 V

Die Analogie der Formeln (45). mit (46) springt in die Augen; nur ist bei uns die Extinktion proportional l / L 3 , bei Rayleigh l / A 4 . Das durch die Beugung an Kugeln hervor- gerufene Blau ist daher intensiver als das durch Beugung an Zylindern entstandene.

Sehr iihnliche Formeln erhHlt man auch, wenn man die dielektrischen Zylinder durch unendlich gut leitende ersetzt.

Ein zweidimensionales Dispersionsproblem. 21 7

1,302 2,363 2,800 2,848 2,759 2,243 1,413. 0,861 0,426 0,239 0,109

0

§ 9.

Als drittes Beispiel wiihlen wir folgendes: In das Vakuum seien Wasserzylinder vom Radius e = 0,2 cm eingelagert; ihre mittlere Entfernung voneinander l/v% sei gleioh 1, also N = 1. Fiir den parallelen und senkrechten Fall sind nach den allgemeinen Formeln (30) und (32) Brechungsexponent und Extinktionskoeffizient zwischen 1 = 5 em und I = 00

berechnet worden ; fur kleinere Wellenliingen gelten die For- meln nicht mehr, da dann die Bedingung 1 Jm < I. , d. h. daB die Abstiinde der Zylinder klein gegen die Wellen- liinge sein sollen, verletzt werden wiirde. Die numerische Berechnung ergibt folgende Tabelle f i i r den parallelen und senkrechten Fall, die in den Figg. 2, 3, 4 dargestellt ist.

1,174 1,151 1,133 - - - -

1,131 - - -

1,131

5 7

10 12 13 14 15 18 20 25 30 40 m

- 1 - - - - - - - - -

II

0,752 0,803 1,699 2,516 3,006 3,463 3,942 4,215 4,132 3,918 3,688 3,475 3,325

+ 0,548 + 1,383 - - - -

+ 3,001 2,787 2,557 2,344

Fig. 2 stellt vI, und xII , Fig. 3 stellt vL und xL, Fig. 4 endlich vII - vI, das die Starke der Doppelbrechung mifit, als Funktion der Wellenlitnge dar. Es sei bemerkt, dab fiir den parallelen Fall zwei Eigenschwingungen bei Wellenliingen v p 4,778 und 13,158 cm liegen, die sich beide durch starke Extinktion und anomale Dispersion bemerkbar machen. In dem senkrechten Falle liegen zwei Eigenschwingungen bei 2,922 und 4,778 cm, von denen nur die letztere in ihrer Wir- bung noch bemerkbar ist. Man sieht, del3 sehr grol3e Unter- schiede im Brechungsexponenten in verhiiltnismiiBig kleinem Wellenliingenintervall auftreten konnen ; a. B. variiert Y I, von 0,75 bei 7 cm Wellenliinge bis 4,2 bei 18 cm Wellenliinge. .&hnlich verhiilt es sich mit der Extinktion. Auch dax Re-

Annalen der Phyyeik. 1V. Folge. 60;' 15

21 8 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

flexionsvermogen, das experimentell am leichtesten zu be- stimmen ist, z. B. mit elektrischen Wellen, weist erhebliche Schwankungen auf.

In dem ganzen hier berechneten Bereich ist R,, groBer Stellt man sich daher ein als R,, und x , , grol3er als x l .

- 1,131

Fig. 3. 1 in cm

,,Gitter", nach Analogie des Hertzschen Gitters, aus dielek- trischen Wassereylindern her, und untersucht seine Durch- lgssigkeit gegen elektrische Wellen, so findet man, dal3 ein

Ein zweidimensionales Dispersionsprobbm. 219

aolches Gitter Segr wenig Energie hindurchlltBt, wenn der elektrische Vektor den Zylinderachsen parallel ist, dagegen verhiiltnismiiBig mehr, wem beide gekreuzt sind. Dieses Ver- halten ist analog demjenigen von Her t zsohen Metallgiftern

Fig. 4. 1 in cm

und ist von Laugwitz und Schaeferl) zum ersten Male mit dem geschilderten Erfolge realisiert worden. Diese Schirm- wirkung eines dielektrischen Gitters ist ebenso eine Folge des Verschiebungsstromes, der in den Zylindern auftritt, wie die Schirmwirkung des Her t zschen Metallgitters eine Folge der in den Gitterelementen induzierten Leitungsstrome ist . Der Versuch mit dem dielektrischen Gitter ist also ein ein- facher Vorlesungsversuch fiir die Existenz der Verschiebungs- strome.

8 10.

Ein weiteres Beispiel, das wir mitteilen, bezieht sich auf Die Dimensionen sind dabei so gewiihlt, metallische Gitter.

1) M. Lrtugwitz, Ann. d. Phys. 23. p. 148. 1907. - C1. Schaefer, Ann. d. Phys. 23. p. 163. 1907.

1 5 *

220 C. Schaefer u. H. Stallwitz.

daB der Versuch mit elektrischen Wellen ohne weiteres reali- sierbar ist.

Silberdrahte oder KupferdrPhte von 0,l em Radius shd in Abstiinden von 1 em ins Vakuum eingelagert. Brechungsb exponent, Extinktionskoeffizient und Reflexionsvermogen sind fur den senkrechten und parallelen Fall fiir Wellenlangen von 5-100 ern berechnet worden. Bei der obigen Wahl der Drahtstarke und der WellenlPngen ist das Resultat praktisch unabhangig von dem Leitvermogen des gewahlten Materials : das Medium verhiilt sich, als ob die Leitfahigkeit der Zylinder unendlich groS ware. In der folgenden Tabelle sind die Werte von v I I , x I I und R,, eingetragen; fiir den senkrechten Fall liegt die Sache sehr einfach, indem praktisch der Brechungs- index vI = 1, der Extinktionskoeffizient xI = 0, das Reflexions- vermogen R, also = 0 ist.

-

I” 1 v I I 1 XI1 I Rl,

0,732

1,342 7,20 ,, 60 ,, 1,680 ,,

2,340 18,OO 97 ,,

Fig. 5. 1. lo cm

In Fig. 5 stellt die unterste Kurve das Reflexionsvermogen unseres Mediums als Funktion der Wellenliinge dar, und man erkennt, daJ3 eine sehr diinne Schicht desselben die bekannte H e r t zsche Gitterwirkung ausubt.

Ein aweidirnenswnales Dispersionsproblem. 221

Ganz iihnlich liegt die Sache, wenn wir Silberdriihte von 0,001 ern Radius benutzen, und auf der Flacheneinheit der Reihe nach 10 oder 50 oder 100 anordnen. Im senkrechten Falle ist das Reflexionsvermogen wieder praktisch gleich Null ; den parallelen Fall erliiutern die folgende Tabelle und die drei oberen Kurven der Fig. 5, aus denen man erkennt, daB die starke Steigerung der ,,Dichte" des Gitters bei Wellen groBer als 10 em h u m noch einen EinfluB ausubt.

52 o/o 86 ,, 96 ,, 97,5 ,, 98 ,,

, a I 1 em1 0,326

1,034 1,491 1,935 2,646

0,835 0,371 0,472 0,800 0,810

0.059 1,746 4,450 6,662 8,758

i 1,080 6,260

14,071 21,178 27,855

54% 99 ,, 99 ,, 99 ,, 99 ,,

1% 0,261 70 ,, 0,740 91 ,, 1,061 93 ,, 1,435 T- 96 ,, , 2,322

Breslau, Physik. Institut d. Univ., im Dezember 1916.

0,774 4,371 9,900

14,992 19,758

(Eingegengen 20. Miln 1916.)