KSI~I(t, H. Math. Annalen, Bd. 136, S. 240--244 (1958)

Eine C h a r a k t e r i s i e r u n g der D i s t r i b u t i o n e n e n d l i c h e r O r d n u n g

Von

HEINZ K(iNIG in Aachen

Herrn Professor Dr. HEINRICtI BEItNKE zum 60. Geburtstag gewidmet

I m folgenden benutzen wir die von L. SCHWARTZ 1) eingeffihrten Begriffe und Bezeichnungen. Es sei D der lineare R a u m der auf R n definier ten unbe- schr/inkt stet ig differenzierbaren komplexwer t igen Funk t ionen 9) mi t kom- p a k t e m Tr~ger. Fiir jedes Q > 0 sei D e der Tei l raum der Funk t ionen 9) E D, deren Tr~ger in der abgeschlossenen Kuge l B e :Ixl ~ ~ en tha l ten sind. Fi ir jedes 9) E D und jedes m ( m = 0, 1, 2 . . . . ) setzen wir

119)lira= Sup {ID~ 9)(x)l : x E R n, Ipl = p l ~ - ' ' ' + ~gn~ m}.

Eine auf R n definierte Schwartzsche Dis t r ibut ion S ist genau dann eine Dis t r ibut ion der endlichen Ordnung m, wenn ffir jedes e > 0 die obere Grenze

[ISllm(e) = Sup {IS(9))[ : 9) ~ D o mi t [19)llm~< 1}

endlich ist. I n diesem Falle erhal ten wir fiir jedes 9)E D o, indem wir bei fes tem x E R n die dureh ~0x(t) = 9 ) ( x - - t ) definierte Funk t ion F ~ Dlxl+ e bflden und die Rela t ion S(yJ~) = (S * 9)) (x) berficksichtigcn, die Ungleiehung

[ (S* 9)) (x)l g llg)[lml[s[Im(Ixl + o) ffir alle x E R n.

Hieraus folgt: I s t S e i n e Dis t r ibut ion der endlichen Ordnung m, dann g ib t es zu jedem ~ > 0 auf [0, ~ ) eine n ichtnegat ive und mono ton wachsende Funk t ion H mi t der Eigenschaft , dab ffir alle Funk t ionen 9) E D o gilt

(S * 9)) (x) : O(H(ix[) ) fiir Ix[ ~ c~ ;

m a n b rauch t nur H(r) = I[S[I,~(r ÷ e) zu setzen. Diese letzte Aussage ist, wie wir in der vorl iegcnden Note zeigen, in ver-

sch/irfter Form umkehrba r . D a m i t gewinnen wir eine Charaktcr is ierung der Dis t r ibut ionen endlicher Ordnung S durch das Wachs tumsverha l t en ihrer Regular is ier ten S * 9) mi t 9)E D bei der Bewegung Ix]-~ ~ . Es gilt der folgende

Satz: Es sei S e i n e au/ R'* de/inierte Schwartzsche Distribution, und es gebe ein Q > 0 und au/ [0, ~ ) eine nichtnegative und monoton wachsende Funkt ion H mit der Eigenscha/t, daft / i ir alle Funkt ionen 9) E D e gilt

(s • ~) (x) = O(H([x[)) /~r [xl -~ ~ .

Dann ist S eine Distribution einer gewissen endlichen Ordnung m, und im Falle

1) SCHWAaTz, L. : Th~orie des Distributions I, II. Paris 1957/51.

Distributionen endlicher Ordnung 241

H ~ 0 gilt ]iir alle hinreiehend groflen m

(1) IIS]I~(r) = O((r -~ e )nH(r ÷ e)) /iir r--> cQ.

Die Absch~tzung (1) kann, wie schon das Beispiel S ~ 1 mit H ~ 1 zeigt, allgemein nicht verbessert werden. Den Gedankengang unseres Beweises entnehmen wir einer friiheren Note2), in der es sich um Distributionen S auf der Zahlengeraden R 1 handelte, deren Trigger in [0, oo) enthalten sind.

Wir betrachten eine lineare Abbildung L des Raumes D in den linearen Raum C der auf R" definierten stetigen komplexwertigen Funktionen ~. L sei stetig in bezug auf die Topologie des induktiven Limes der DQ auf D, jeder Raum D e versehen mit der Topologie der gleichmi~igen Konvergenz in allen Ableitungen, und in bezug auf die Topologie der gleichm~Bigen Kon- vergenz auf allen B e auf C. Jede Distribution S auf R n definiert vermittels L ~ ~ S * ~ eine solche Abbildung L. Diese speziellen Abbildungen L sind durch ihre Vertauschb~rkeit mi t allen Translationen des R n charakterisiert: Wenn die Funktionen ~, F ~ D dureh y~(x)~-q~(x--h) mi t festem h EJ~" auseinander hervorgehen, dann gilt auch L yJ(x):= L ~ ( x - h).

Itilfssatz 1: Es sei L eine stetige lineare Abbildung von D in C. Dann gibt es zu beliebigen Q, (~ > 0 einen Index m = m (Q, a) mit der Eigenseha/t, daft liar alle q~ E D e gilt

I L ~ ( x ) l < S u p ~ q~ : x E /iir alle x E B~.

B e w e i s : Wir nehmen an, dab die Behauptung fiir gewisse ~, ~ > 0 falseh ist. Dann gibt es eine Folge yon Funktionen q0 m E D o mit

a~_~ ? ~ (x) =~ 1 f(ir alle x E B o

und eine Folge yon Punkten xm~ B , mit IL ~m(xm)l > 1 (m = O, 1, 2 . . . . ). Bei festem p fotgt hieraus fiir alle m ~ Max (Pl . . . . . , Pn) ~ P

(2~) ~ ' - ' ' ' ( ( 2 ~ ) ~ - " ) " ' ID" ~m(X)l g ( m - - p ~ ) ! . . . ( m - - p , ) ! g (2~)nP-Ipl ( m - - P ) !

a]so die gleichmi~i3ige Konvergenz der Dp ~ gegen Null. Die L ~,, konver- gieren daher auf B, gleichmitt]ig gegen Null, im Widersprueh zu [L ~ ( x ~ ) [ > 1. Damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

IIflfssatz 2: Es sei L eine stetige lineare Abbildung von D in C, und es gebe ein Q > 0 und au/ [0, ~ ) eine monoton wachsende Fun]orion H mit H (O) >= 1 mit der Eigenscha/t, daf t / i ir alle Funkt ionen q~ E Dq gilt

L q~(x) = O(H(ix t ) ) /i~r lxt -~ c~.

Dann gibt es einen Index m u n d ein M > 0 mit der Eigenscha/t, daft / i~r aUe Funlctionen ~ E D e gilt

IL q)(x)[ ~ ~ I tlq~ilmH(Ixl) /i~r aUe x E R ' .

B e w e i s : Wir nehmen an, da~ die Behauptung fatsch ist. Wir wahlen rekursiv eine Folge yon Indizes mj, zwei Folgen yon Zahlen Mt, S~ > 0, eine

~) KSNI(~, H. : ~ber das Wachstumsverhalten yon linearen Funktionaltransformationen. Arch. Math. 9, 94~101 (1958).

242 HEII,~Z K 6 N m :

Folge yon Funk t ionen % ~ D e m i t I I % l I ~ j ~ 1 und m i t

(2) {L T~(x){ ~ S~H(Ix]) ffir alle x ~ R n

sowie eine Folge von Punk t en xJ ~ R n mi t

(3) ]L ~(xJ) l > M j H ( I x J { )

(~ = 1, 2, . . .) in der folgenden Weise: I m Falle ?" = 1 sei n h = M I = 1. D a n n kSnnen wir auf Grund unserer Annahme die Funk t ion ~1 C D e m i t I{ ~ll{m, n ~ 1 und den P u n k t x 1 C R n so w~hlen, dal3 (3) erffillt ist. H i e r au f bes t immen wir $1> 0 so, dab auch (2) erfiillt ist. Es sei nun ] ~ 2, und die be t rach te ten Gr5~en seien fiir 1 g k g ] - - 1 bereits festgelegt. Dann wiihlen wir einen Index m j > mj_ 1 mi t

(4) m j ~ m(Q, {x~l) + j fiir 1 ~_ k ~ i - - 1

und setzen

(5) M~ ~ $ I + • • • + S~_1+ 2~+ e2o~.

H i e r a u f kSnnen wir auf Grund unserer A lmahme die Funk t ion % C D~ mi t II ~ I I ~ j n ~ 1 und den P u n k t x~ E R ~ so w~hlen, dab (3) erfiillt ist. U n d schlieiL lieh wird S j > 0 so bes t immt , dab auch (2) erfiillt ist.

Wir be t rach ten nun die du tch

~(x) = ~7 9~(x) ~'=1

definier ten Funk t ionen yJkE Do(]c = 1, 2 . . . . ). Bei fes tem p ha t m a n ffir alle k, l m i t P g k < 1

l I n ~ ( x ) - - n ~ ( x ) l ~_ ~ ID~(x)l =<

j = k + l

- ~=~+ 1 \ (m~- P) z ¢=.~+ 1 - ~ jz '

die D~ ~ konvergieren also glejchmal]ig gegen die Ablei tung Dv ~ der durch

~ = 1

gegebenen Funk t ion y~ ~ D~. Daher gil t auch

(6) L ~(x) = ~ L ~ ( x ) .

N u n h a t m a n im Falle j > k

/ °~(°l~t) ~(x) ((2°)~-~(~'I'~l)~"

und daher nach Hilfssatz 1

[L ~j(x~)[ g \ ( m j _ m ( q , lx~[)) !

Distributionen endlicher Ordnung 243

Ffir ]c ~ 2 folgt hieraus und aus (2) bis (6)

i k H ( I x ~ l ) - IL yJ(xk)] < IL y,(x ~) -- L q~k(Xk)] k - - 1 oo

-<_ Z IL ~j(x~)[ + X IL ~(x'~)l i=1 y = k + l

j = k + l

< (s~+ . . . + G - i + e~0~) H([x~D = ( i ~ - - 2 ~ ) g ( [ x ~ l ) und mithin

[L ~(xk)l > 2kH(Ix~l) ,

im Widerspruch zu unserer Voraussetzung. Dami t ist Hilfssatz 2 bewiesen. tIilfssatz 3: Es sei Se ine au] R n de/inierte Schwartzsche Distribution. Es

ffebe ein ~ > O, au/ [0, ~ ) eine monoton wachsende Funktion H mit H(O) ~ 1, einen Index m und ein M > 0 mit der Eigenscha/t, daft /i& alle Funktionen q~ ~ D~ gilt

t(S* q~)(x)] Gi][qDllmH([x]) /iir aUe x E R " .

Dann gibt es ein N > 0 mit der Eigenscha/t, daft ]i~r alle r > 0 und alle Funktionen q~ ~ D r gilt (7) ] ( S * q ~ ) ( x ) l G N l l ~ ] l m ( r + e ) ' ~ H ( i x l + r + e ) / i i ral lex~R'*.

B e w e i s : Wir wahlen auf der Zahlengeraden R 1 eine feste mono ton wach- sende und unbeschri inkt stetig differenzierbare Funk t ion / mi t / ( t ) = 0 fiir t g 0 u n d / ( t ) = 1 f i i r t ~ 1 und setzen

K = S u p { [ / ( J ) ( t ) [ : 0 ~ t ~ l , 0 G ] G m } .

Wir ordnen ferner jedem Punk te h ff R n mi t ganzzahligen Koordina ten h i . . . . . h n die dutch

definierte niehtnegat ive l~unktion -~h ~ D zu. Der Tr/iger yon Fh ist in der

Kugel x - - ~ - ~ - h < ~ enthalten, und es gilt offenbar

(8) ~ Fh(x) = 1 fiir alle x ~ R n. h

Wir wghlen nun ein festes r > 0 und eine Funk t ion q~ E Dr. I n der aus (8) folgenden Zerlegung

(9) ~(x) = ~ ~(x) Fa(x) = V ' q0a(x) f~r alle x C R n h h

kSnnen die Funkionen ~ El,= 9h E D h6chstens fiir ~ h < r + 0 yon Null 7 " "

verschieden sein. Die Anzahl der in (9) vorkommenden Summanden ist also

244 HEINZ K6NIG: Distributionen endlieher 0rdnung

kleiner als

- ~ \ ~ /

Ferner hat man fiir Mle p mit IPl ~ ra

,D~ ~%(x)[ ~ v ' (~)[l~o[[ ~ K n (J(~)!qt = K " ( - ~ + 1) Ipl [[~o[l ~ qgp

und mithin

( l l ) [ [~vh] [m~K' (~+ l )m[ ]q~[ ]m.

x e h Nun liegt der TrSger yon ~o n in der Kugel - - ~ ~ ~ und daher der Tr~ger

der durch

--q-h ~°~(x)=~(X+ v~ )

definierten Funktion ~pj~ C D in B e. Hieraus iblgt nach Voraussetzung

t ( s , Wh)(x)l~MIIq~hll,,H(lzl) far ane x ~ R . und mithin

I(S* ~0h)(x)l < M II~,tl]rnH ( x - . - i ~ ; : h ) ~ M Ilq~hlimH (]x I + r + ~) x /

fiir alle x C R n . Auf Grund von (9), (10) und ( l l ) erhalten wir daher

[ ( S , ~ ) ( x ) [ < M K n V n + l m 3 n(r+e)n]lq][mH(ixi+r÷e)

fiir alle x ~ R n

und damit die behauptete Ungleiehung (7) mit der Konstanten

\ ~ / "

Damit ist Hilfssatz 3 bewiesen. Die Behauptung unseres Satzes folgt nun unmittelbar aus den Hilfs-

s~tzen 2 und 3. In der Tat gibt es hiernaeh unter den Voraussetzungen des Satzes einen Index m und ein N > 0 mit der Eigensehaft, dal3 fiir alle r > 0 und alle Funktionen ~ ~ D r gilt

i(s • ~o) (x) l ~< N ll~0[]~(r + e)" (a + H(lx[+ r + e)) fiir alle x ~R n.

Hieraus folgt insbesondere

]S(~0)[ ~ N ]]~]]~(r + e)n(1 + H(r + ~)). Es gilt mithin

][S]]m(r)<N(r+~)"(l+H(r+o)) fiir alle r > O .

S ist also eine Distribution der endlichen Ordnung m, und im Falle H :# 0 erhalten wir sofort die asymptotische Relation (1). Damit ist unser Satz bewiesen.

(F~ingegangen am 6. September 1958)