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Rolf Brigola
Fourier-Analysis und Distributionen
Eine Einfuhrung mit Anwendungen
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edition swk
Prof. Dr. Rolf BrigolaGeorg-Simon-Ohm-HochschuleFakultät AllgemeinwissenschaftenKeßlerplatz 1290489 Nürnberg
c© Rolf Brigola, 2012
Erschienen in der edition swk (www.stiftung-swk.de/edition-swk)Co-Verlag: tredition GmbH, Grindelallee 188, 20144 HamburgPrinted in GermanyISBN: 978-3-8495-2892-8
2. korrigierter Nachdruck 2013
Mathematics Subject Classification (2010): 42-01
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National-bibliografie; detaillierte bibliografische Angaben sind im Internet über http://dnb.d-nb.deabrufbar.
Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung istohne Zustimmung des Verlags und des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für Ver-vielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbei-tung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Carsten Thomas, Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg
v
Vorwort
Vorwort zur dritten Auflage
Bei dieser Neuauflage des Buchs habe die Gelegenheit wahrgenommen, eine Anzahl weite-rer Literaturhinweise in den Text aufzunehmen. Ich hoffe, damit interessierten Lesern einezusätzliche Unterstützung im Bestreben nach Vertiefung mit weiterführender Literatur zugeben. Ansonsten sind Inhalte und Text gleich geblieben.
Nürnberg, im März 2013 Rolf Brigola
Vorwort zur ersten Auflage
Fourier-Analysis und Distributionentheorie sind fundamentale mathematische Werkzeugebei der Beschreibung vieler technisch-naturwissenschaftlicher Probleme, zum Beispiel inder Mechanik, in der Elektrotechnik, in der Signaltheorie, Nachrichten- und Regelungs-technik. Der vorliegende Text wendet sich an angehende Mathematiker, Ingenieure und Na-turwissenschaftler, die grundlegende mathematische Modellbildungen und Methoden derFourier-Analysis kennenlernen und in Anwendungsproblemen umsetzen wollen. Er ist ent-standen aus Vorlesungen für Studenten der Elektro- und Nachrichtentechnik ab dem viertenSemester an der Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg und ersetzt in dieser überarbei-teten und erweiterten Fassung das Buch des Autors zum gleichen Thema, das 1996 beiminzwischen nicht mehr selbständig existierenden Vieweg-Verlag erschienen war und seitlangem vergriffen ist. Das Buch richtet sich an engagierte Studenten mittlerer Semester ineinem technisch-naturwissenschaftlichen Bachelor-Studiengang oder in einem beginnen-den Master-Studium. Als Vorkenntnis wird ein üblicher Grundkurs über Differential- undIntegralrechnung vorausgesetzt.
Das Buch ist gegliedert in Kapitel mit mathematischen Grundlagen über Fourierrei-hen, Distributionen und Fouriertransformationen, denen jeweils eine Auswahl typischerAnwendungsbeispiele folgt. Die heute auch in den Ingenieur-Disziplinen gebräuchlichenGrundlagen der Distributionentheorie vereinfachen viele Betrachtungen und Rechnungenbei physikalisch-technischen Fragestellungen und machen sie zu einem guten Teil über-haupt erst möglich. Fourierreihen und Anwendungen auf elektrische Netzwerke bildenhierzu das erste anschauliche Beispielmaterial.
vi Vorwort
Die Abschnitte über Anwendungsbeispiele können je nach Interessenlage weitgehendunabhängig voneinander gelesen werden. Neben einem Einstieg in die Grundtypen linearerpartieller Differentialgleichungen und in Prinzipien der linearen Systemtheorie und Signal-verarbeitung wird ein Einblick in numerische Aspekte für die praktische Anwendung dererlernten Methoden eröffnet. Diesem Ziel dienen die Abschnitte über die diskrete Fourier-und Wavelettransformation mit ihren Anwendungen in der Signalverarbeitung und der Ab-schnitt über die Grundidee der Finiten Elemente.
Ich habe versucht, die dargelegten Grundbegriffe zwar mit einem Minimum an mathe-matischer Theorie zu entwickeln, dabei aber die notwendigen Konvergenz- und Stetig-keitsbegriffe, die für eine tragfähige Anwendung erforderlich sind, soweit zu vermitteln,dass lernende Studierende über rein formale Handhabungen von Transformationsregeln,Dirac-Impulsen etc. hinauskommen und eine Kalkül-Sicherheit im Umgang mit Distribu-tionen und Fouriertransformationen erreichen können. Ich hoffe, Studierende technisch-naturwissenschaftlicher Ausrichtung mit dieser Einführung in die Lage zu versetzen undanzuregen, die erarbeiteten Kenntnisse in die Praxis umzusetzen und nach Bedarf mit wei-terführender Literatur zu vertiefen.
Eine Auswahl der verwendeten Quellen und Hinweise auf weiterführende Werke undheute leicht zugängliche Originalarbeiten findet man im Literaturverzeichnis. Für anregen-de Diskussionen bei der Entstehung des Buches gilt mein Dank meinem akademischenLehrer Professor D. Kölzow sowie meinen Freunden und Kollegen S. Bolz, R. Rupp,J. Steinbach und E. Wermuth in Nürnberg, E. Novak in Jena, D. Meintrup und P. Sin-ger in Ingolstadt. Großen Dank habe ich insbesondere zu richten an Professor E. Albrecht,Saarbrücken, und meinen Kollegen H. Leinfelder, Nürnberg und Pilsen, für neuere Ergeb-nisse ihrer Arbeit, die nach meiner Kenntnis bisher noch nicht in anderen Lehrbüchernerschienen sind. Dies sind die Sätze von E. Albrecht über Faltungsdarstellungen kausalerzeitinvarianter linearer Systeme in Kapitel 10 und die elementaren Beweise des Satzes vonMalgrange-Ehrenpreis in Abschnitt 11.7 und des Fundamentalsatzes der Algebra in An-hang A in der Darstellung von H. Leinfelder. Gleichfalls danke ich meinen Studenten, diemit hoher Motivation und konstruktiver Kritik in den Vorlesungen und Seminaren, die demBuch zugrunde liegen, mitgearbeitet haben. Herrn H. Heinze danke ich für seine vielfältigeUnterstützung beim Buchsatz mit LATEX.
Ein wichtiger Teil des Buches sind die Übungsaufgaben, die ernsthafte Leser selbständigbearbeiten sollten. Die meisten Aufgaben dienen der Festigung der vermittelten Inhalteund der Einübung einer soliden Rechentechnik. Manche Aufgaben habe ich mit einem ⋆versehen. Diese Aufgaben sind vornehmlich für Mathematiker unter den Lesern gedachtund zeigen bisweilen Aspekte, auf die sonst im Text nicht näher eingegangen wird. ZurKontrolle sind Lösungen oder Lösungshinweise für alle Aufgaben in Anhang C angegeben.Weitere Übungen und Beispiele, die mit dem Computeralgebrasystem Maple oder demNumeriksystem Matlab gerechnet sind, kann man bei Interesse auf den im Internet leichtzu recherchierenden Seiten des Autors finden.
Nürnberg, im Sommer 2012 Rolf Brigola
vii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis vii
1 Einführung 11.1 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Trigonometrische Polynome, Fourierkoeffizienten 72.1 Darstellungen trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Die Fourierkoeffizienten trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . 82.3 Dirichlet-Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Zusammenfassung über trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . 13
3 Fourierreihen 153.1 Die erste Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Grundlegende Sätze über Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Das Spektrum periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Rechnen mit Fourierreihen 314.1 Symmetrie-Eigenschaften, Linearität, Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . 314.2 Translationen im Zeit- und im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . 354.3 Die Ableitung von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Integration von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . 394.6 Spektrum und Leistung, Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Anwendungsbeispiele für Fourierreihen 475.1 Beste Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Periodische Faltung, Anwendung auf lineare Systeme . . . . . . . . . . 505.3 Die Potentialgleichung auf einer Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Lösung für das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . 585.5 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Das 1/f -Theorem von Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.7 Einführung in die diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 665.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
viii Inhaltsverzeichnis
6 Zur Konvergenz von Fourierreihen 1036.1 Der Satz von Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Der Satz von Fejér, Konvergenz von Glättungen . . . . . . . . . . . . . 1056.3 Die Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Fourierreihen für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . 1126.5 Gründe für den Übergang zu Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . 1176.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 Grundzüge der Distributionentheorie 1217.1 Beschreibung von Funktionen durch Mittelwerte . . . . . . . . . . . . 1217.2 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Der δ-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.5 Rechnen mit Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.6 Testfunktionen und Distributionen mit mehreren Variablen . . . . . . . 1517.7 Tensorprodukt und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Anwendungsbeispiele für Distributionen 1698.1 Periodische Distributionen sind verallgemeinerte Fourierreihen . . . . . 1698.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . 1768.3 Anwendung auf lineare elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . 1878.4 Räumliche Potentialprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.5 Die Grundidee der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.6 Distributionelle Lösung der Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . 2158.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9 Die Fouriertransformation 2239.1 Darstellung von Funktionen durch harmonische Schwingungen . . . . 2239.2 Fouriertransformation reellwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 2269.3 Gibbs-Phänomen und Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.4 Rechnen mit Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.5 Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen . . . . . . . . 2389.6 Fouriertransformation von Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.7 Fouriertransformation quadratisch integrierbarer Funktionen . . . . . . 2579.8 Die Fouriertransformation für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . 2609.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10 Grundlagen über Lineare Filter 26910.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 Translationsinvariante lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27110.3 Analoge lineare Filter, Stetigkeit und Kausalität . . . . . . . . . . . . . 27310.4 Analoge Filter mit rationalen Frequenzgängen . . . . . . . . . . . . . . 28210.5 Periodische Signale, stationäre Filterantwort . . . . . . . . . . . . . . 28810.6 Diskrete lineare Filter, z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 29210.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
ix
11 Weitere Anwendungsbeispiele für die Fouriertransformation 31711.1 Der Abtastsatz von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31711.2 Die Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.3 Zeit-Frequenz-Analyse, gefensterte Fouriertransformationen . . . . . . 32711.4 Zeitfenster bei der diskreten Fouriertransformation . . . . . . . . . . . 33511.5 Anfangswertprobleme für stabile zeitinvariante lineare Systeme . . . . 34111.6 Anfangswertprobleme für Wellen- und Wärmeleitungsgleichung . . . . 34211.7 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
12 Ausblicke auf weiterführende Konzepte 35712.1 Hilberträume, spezielle vollständige Orthonormalsysteme . . . . . . . 35712.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
A Der Residuensatz und der Fundamentalsatz der Algebra 383
B Hilfsmittel aus der Integrationstheorie 387
C Lösungen zu den Übungsaufgaben 399
Literaturverzeichnis 425
Symbolverzeichnis 431
Index 433
121
7 Grundzüge der Distributionentheorie
7.1 Beschreibung von Funktionen durch Mittelwerte
In den Grundvorlesungen des Studiums erlernt man, zum Beispiel Schwingungen oderSpannungen, Stromstärken etc. durch Funktionen f(t), t ∈ R, zu beschreiben und da-mit zu rechnen. Die Vorstellung, die mit einem solchen mathematischen Modell verbundenist, beinhaltet, dass man, wenn t ein Zeitparameter ist, die interessierenden physikalischenGrößen zu jeder Zeit, von Zeitpunkt zu Zeitpunkt ihrem Wert nach genau kennt.Dies ist aber eine Idealvorstellung. Realistischerweise kennt man physikalische Größen inder Praxis hauptsächlich durch Mittelwerte aus Messungen.
Ist zum Beispiel f(t) = v(t) = x(t) die Geschwindigkeit bei einer Zugfahrt, so schätztman üblicherweise die Momentangeschwindigkeit v(t0) zu einer Zeit t0 durch die mittlereGeschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall [t0 − ε,t0 + ε]:
v(t0) ≈+∞∫
−∞v(t)ϕε(t) dt =
1
2ε(x(t0 + ε)− x(t0 − ε)) ,
mit ϕε(t) =1
2εfür |t− t0| ≤ ε, ϕε(t) = 0 für |t− t0| > ε. Mit ε = 1/n folgt
v(t0) = limn→∞
+∞∫−∞
v(t)ϕ1/n(t) dt .
Die Momentangeschwindigkeit ist ein (idealer) Grenzwert von Mittelwerten und auch inder Praxis punktweise selbst gar nicht zugänglich.
Allgemeiner wäre eine ideale Messung des Wertes f(t0) einer stetigen Messgröße f zueinem Zeitpunkt t0 schematisch zu beschreiben durch
Abtastsystemf Messwert f(t0)
Ein realistisches Messgerät wird aber bei dieser Abtastung ein An- und Abschwingverhal-ten zeigen. Die reale Messung wird also nicht genau den Abtastwert f(t0) liefern, sondern
einen gewichteten Mittelwert
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt der Funktion f mit einer für das Messgerät
charakteristischen Gewichtsfunktion ϕ.
122 7 Grundzüge der Distributionentheorie
Schematisch:
Messgerät mitGewichtsfunktion ϕ
f f(t0) ≈+∞∫
−∞f(t)ϕ(t) dt
Mathematisch lässt sich nun zeigen, dass man jede stetige Funktion f durch Kenntnis
der gewichteten Mittel
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt von f mit hinreichend vielen Gewichtsfunktionen
ϕ auch punktweise rekonstruieren kann.
Punktweise Rekonstruktion stetiger Funktionen aus Mittelwerten
Wir betrachten folgende glatte Gewichtsfunktion:
ϕ(t) =
c · e−1/(1−t2) für |t| < 10 für |t| ≥ 1 ,
wobei die Konstante c so gewählt wird, dass
+∞∫−∞
ϕ(t) dt = 1.
0
0.5
−1 0 1
ϕ(t)/c
Mit dieser unendlich oft differenzierbaren Funktion ϕ definiert man für t0 ∈ R und n ∈ N
ϕt0,n(t) = nϕ(n(t− t0)) .
Es gilt ϕt0,n(t) = 0 für |t− t0| ≥1
nund
+∞∫−∞
ϕt0,n(t) dt = 1 für alle n ∈ N.
(ϕt0,n „konzentriert sich“ für wachsendes n immer mehr um t0.)
0
3
0 t0− 110
t0 t0+110
ϕt0, n=10(t)/c
7.1 Beschreibung von Funktionen durch Mittelwerte 123
Für eine stetige Funktion f ergibt sich dann
∣∣∣ +∞∫−∞
f(t)ϕt0,n(t) dt− f(t0)∣∣∣ = ∣∣∣ t0+1/n∫
t0−1/n
(f(t)− f(t0))ϕt0,n(t) dt∣∣∣
≤ sup|t−t0|≤1/n
|f(t)− f(t0)|t0+1/n∫t0−1/n
ϕt0,n dt
︸ ︷︷ ︸=1
−→n→∞ 0 .
Somit lässt sich der Funktionswert von f an einer beliebigen Stelle t0 aus den gewichteten
Mitteln
+∞∫−∞
f(t)ϕt0,n(t) dt zurückgewinnen:
f(t0) = limn→∞
+∞∫−∞
f(t)ϕt0,n(t) dt .
Der Begriff „Mittelwert“ ist angebracht, da nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung+∞∫
−∞f(t)ϕt0,n(t) dt = f(tn) ergibt mit einer Stelle tn, so dass |t0 − tn| ≤ 1/n.
Der aufmerksame Leser bemerkt das mathematisch vollkommen gleiche Vorgehen wiebei der Darstellung stetiger, periodischer Funktionen durch Grenzwerte ihrer Fejér-Mittel.Die Rolle der Fejér-Kerne als Gewichtsfunktionen wurde hier nur übernommen von denGlättungskernen ϕt0,n (vgl. Kapitel 6).
Zusammenfassung. Für eine physikalische Größe f erhält man durch Messungen in derRegel Informationen über gewisse gewichtete Mittelwerte von f , „die Größe f wird durchMessungen ermittelt“. Anstatt physikalische Größen durch Funktionen f(t), t ∈ R, zubeschreiben, kann man sie beschreiben durch ihre Mittelwerte: Jeder Gewichtsfunktion ϕ
aus einem geeigneten Vektorraum D wird der Mittelwert
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt zugeordnet. Ist
die Menge D der Gewichtsfunktionen reichhaltig genug, so kennt man durch die lineareAbbildung Tf : D → R,
Tf (ϕ) =
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt
auch f selbst. Dies ist einer der Grundgedanken der Distributionentheorie. Im folgendenAbschnitt führen wir eine geeignete, d.h. eine hinreichend große Menge von unendlich oftdifferenzierbaren Gewichtsfunktionen ein. Statt von Gewichtsfunktionen spricht man auchvon Testfunktionen.
124 7 Grundzüge der Distributionentheorie
7.2 Testfunktionen
Wir betrachten Funktionen ϕ : R→ R, die beliebig oft differenzierbar sind und außerhalbeines (von ϕ abhängigen) beschränkten Intervalls [a,b] identisch verschwinden. Man sagt,der Träger von ϕ liegt in [a,b]. Der Träger Tr(ϕ) von ϕ ist die abgeschlossene Hülle derMenge t ∈ R | ϕ(t) = 0 . Der Träger von ϕ ist eine kompakte, d.h. eine abgeschlosseneund beschränkte Menge in R.
Definition. Die Menge D aller solchen Funktionen ϕ wird als Raum der Testfunktionenbezeichnet.
Man kann sich sofort klarmachen, dassD ein Vektorraum über R ist, d.h. mit ϕ1,ϕ2 ∈ D,λ ∈ R sind auch λϕ1 ∈ D und ϕ1 + ϕ2 ∈ D. Der Raum der Testfunktionen enthält sehrviele Funktionen: Beispiele sind etwa die im letzten Abschnitt benutzten Funktionen ϕ(t)und ϕt0,n(t) = nϕ(n(t − t0)); der Träger Tr(ϕt0,n) von ϕt0,n ist das abgeschlosseneIntervall [t0 − 1/n,t0 + 1/n]. Auch Produkte dieser Funktionen mit beliebigen, unendlichoft differenzierbaren Funktionen ergeben wieder Testfunktionen in D.
Konvergenz von Testfunktionen
Zwei Gewichtsfunktionen ϕ1 und ϕ2 aus D sind „sehr wenig unterschiedlich“, wenn sichneben ϕ1 und ϕ2 auch alle ihre Ableitungen ϕ(k)
1 und ϕ(k)2 , k ∈ N, nur wenig unterschei-
den. Die Erfahrung zeigt, dass näherungsweise gleiche Messapparate, d.h. solche mit wenigunterschiedlichen Gewichtsfunktionen ϕ1 und ϕ2 bei Messung von f auch wenig unter-
schiedliche Messwerte
+∞∫−∞
f(t)ϕ1(t) dt und
+∞∫−∞
f(t)ϕ2(t) dt liefern. Diese Beobachtung
findet ihre mathematische Entsprechung in einer Stetigkeitsforderung an die Abbildung
Tf (ϕ) =
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt . Hierzu benötigt man einen Konvergenzbegriff in D, der aus-
drückt, was „sehr wenig unterschiedliche“ Testfunktionen sind.
Definition. Eine Folge (ϕn)n∈N von Testfunktionen konvergiert gegen ϕ in D, wenn al-le ϕn und ϕ gemeinsam außerhalb eines geeigneten Intervalles verschwinden, und wennaußerdem die ϕn gleichmäßig gegen ϕ und alle Ableitungen ϕ(k)
n gleichmäßig gegen dieAbleitung ϕ(k), k ∈ N, konvergieren, mit anderen Worten also genau dann, wenn für allen ∈ N und ein geeignetes r > 0 gilt
ϕn(t) = 0 und ϕ(t) = 0 für |t| ≥ r ,
und wenn für alle k ∈ N0 gilt
supt∈R
∣∣∣ϕ(k)n (t)− ϕ(k)(t)
∣∣∣ −→n→∞ 0 .
Wir schreiben dann ϕ = D-limn→∞ ϕn , um diesen Konvergenzbegriff deutlich von anderen
Konvergenzarten zu unterscheiden.
7.3 Der δ-Impuls 125
Beispiel. Die Funktion ϕ(t) =
c · e−1/(1−t2) für |t| < 10 für |t| ≥ 1
ist beliebig oft differenzier-
bar und verschwindet für |t| ≥ 1. Der Träger von ϕ ist das Intervall [−1,1]. Dies gilt auchfür alle Ableitungen ϕ(k).
Die Folge ϕn =1
nϕ konvergiert in D gegen die Nullfunktion: D-lim
n→∞ ϕn = 0 .
Denn alle Ableitungen ϕ(k) sind beschränkt, und daher folgt
ϕ(k)n (t) =
1
nϕ(k)(t) −→
n→∞ 0 gleichmäßig.
Dagegen konvergieren die Folge ψn
ψn(t) =1
nϕ
(t
n
)=
⎧⎪⎨⎪⎩c
ne−n
2/(n2−t2) für |t| < n
0 für |t| ≥ n
und alle ihre Ableitungen ψ(k)n zwar ebenfalls gleichmäßig gegen die Nullfunktion, aber
diese Folge konvergiert nicht im Sinne der D-Konvergenz, weil es kein beschränktes Inter-vall gibt, welches die Träger aller ψn zugleich enthält.
Die Distributionentheorie beinhaltet das Studium linearer, stetiger Abbildungen auf demVektorraum D der Testfunktionen, mithin das Studium physikalischer Größen anhand vongewichteten Mitteln. Diese Theorie geht auf P. Dirac (1902-1984) zurück, wurde entwickeltetwa ab 1935 von S. L. Sobolev (1908-1989), in den Jahren 1945-1950 von L. Schwartz(1915-2002) u.a. Sie ermöglicht zum Beispiel ein mathematisches Modell für Impulse undeinen Differenzierbarkeitsbegriff auch für Funktionen mit Sprungstellen.
7.3 Der δ-Impuls
Impulse in der Elektrotechnik
In der Elektrotechnik gibt es Schaltungen, die näherungsweise differenzierende Wirkungbesitzen:
C
+
−
Ue UaR
R
K2
K1
Un
Ip
In
C Up
126 7 Grundzüge der Distributionentheorie
Bei einem idealen Operationsverstärker mit obiger Beschaltung gilt für die StrömeIn = Ip = 0 und für die Spannungen Un = Up. Aus den Kirchhoff’schen Regeln für dieStröme und Spannungen ergeben sich folgende Knotengleichungen:
K1 :Ua − Un
R− C dUn
dt= 0 ,
K2 : Cd(Ue − Up)
dt− Up
R= 0 .
Mit Un = Up erhält man durch Gleichsetzen der linken Seiten
Ua = RCdUedt
.
Die Schaltung realisiert ein (näherungsweise ideales) Differenzierglied.Als Eingangsgröße Ue(t) wählen wir nun eine Gleichspannung U0 ab t = 0:
Ue(t) = U0s(t) , s(t) =0 für t ≤ 01 für t > 0
.
Ue(t) ist für t = 0 nicht differenzierbar. Dieser Spannungsverlauf ist wieder eine verein-fachte Vorstellung mit einem idealen Schalter, welche die Problematik aufwirft, wie dann
Ua(t) = RCdUe (t)
dtzu verstehen ist. Wir nähern uns der Antwort, indem wir die Sprung-
funktion Ue(t) als Grenzfunktion einer Folge glatter Spannungsverläufe Un(t) mit immersteileren Flanken auffassen:
Ue(t) = limn→∞Un(t) für t ∈ R .
Man könnte etwa ausgehen von der glatten Funktion
ψ(t) =
e−1/(1−t2) für |t| < 10 für |t| ≥ 1
und glatte Spannungsverläufe Un(t) darstellen durch
Un(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩0 für t ≤ 0
U0 · e ·ψ(n(t− 1/n)) für 0 < t < 1n
U0 für t ≥ 1n
(e = e1 die Eulerzahl).
0
U0
0 0.3 0.5 1
U1(t)U3(t)
7.3 Der δ-Impuls 127
Man erwartet, dass die zu Un(t) gehörigen Ausgangsgrößen RCU0fn(t) = RCU ′n(t) sich
mit wachsendem n ∈ N der Antwort Ua(t) des Differenziergliedes auf die SprungfunktionUe(t) annähern. Wir veranschaulichen die Funktionen RCU ′
n(t) für R = 1Ω, C = 1F:
0U0
0 0.3 0.5 1
RCU ′1(t)
RCU ′3(t)
Für festes n ∈ N stellt man also bei Erregung Un(t) am Ausgang des Differenziergliedesden „Spannungsstoß“ RCU0fn(t) = RCU ′
n(t) fest. Stets gilt
+∞∫−∞
RCU0fn(t) dt = RC(Un(1/n)− Un(0)) = RCU0 .
Da andererseits fn(t) = U ′n(t)/U0 = 0 ist für t ≤ 0 und t ≥ 1/n, gilt im Sinn der
punktweisen Konvergenz:
limn→∞ fn(t) = 0 für alle t ∈ R; .
Würde man im idealisierten Grenzfall Ua(t) = limn→∞RCU0fn(t) einsetzen, dann wäre
Ua(t) = 0 für jedes t, während bei Vertauschung der Grenzwertbildung mit der Integrationfolgen würde:
+∞∫−∞
Ua(t) dt =
+∞∫−∞
limn→∞RCU0fn(t) dt = lim
n→∞
+∞∫−∞
RCU0fn(t) dt = RCU0 .
Eine solche Funktion Ua(t) im herkömmlichen Sinn kann es nicht geben. Mathematischliegt folgende Situation vor: Gegeben ist eine Funktionenfolge unendlich oft differenzier-
barer Funktionen fn(t), so dass limn→∞ fn(t) = 0 für alle t ∈ R ist und
+∞∫−∞
fn(t) dt = 1 füralle n ∈ N.
Definition des δ-Impulses
Es gibt keine klassische Funktion δ(t), so dass punktweise δ(t) = limn→∞ fn(t), fn(t) wie
oben, und
+∞∫−∞
δ(t) dt = limn→∞
+∞∫−∞
fn(t) dt = 1 ist. Obwohl δ(t) als Funktion von t ∈ R
nicht definiert werden kann, ist es aber durchaus sinnvoll, den Grenzwert für n → ∞ aus
128 7 Grundzüge der Distributionentheorie
den Mitteln
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt für jede Testfunktion ϕ zu bilden. Man definiert daher den δ-
Impuls nicht punktweise für t ∈ R, sondern durch Integralwerte mit Testfunktionen ϕ ∈ D.Die Funktionen fn sind gegeben durch fn(t) = U ′
n(t)/U0.
Definition. Der δ-Impuls ist definiert durch die Zuordnung
ϕ ∈ D → δ(ϕ) = limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt .
Vielfach wird in der Literatur auch die Schreibweise δ(t) = limn→∞ fn(t) verwendet und
δ(ϕ) durch ein Integralsymbol notiert:
δ(ϕ) =
+∞∫−∞
δ(t)ϕ(t) dt = limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt .
Das mitgeschriebene Argument t in der Schreibweise δ(t) für den δ-Impuls dient dabei demHinweis auf den Integrationsparameter der rechten Seite und meint nicht, dass einzelnenStellen t ein Funktionswert zugeordnet werden kann. Das Integral auf der linken Seite istkein Integral im herkömmlichen Sinn, sondern ein Symbol, dessen Bedeutung erst durchdie rechte Seite festgelegt wird. Schreibt man formal δ(t) = lim
n→∞ fn(t), dann entspricht
die obige „Integralbeziehung“ formal einer Vertauschung der Grenzwertbildung mit derIntegration. Diese Vertauschung führt im Sinn klassischer Funktionen auf Widersprüche.δ(t) ist keine Funktion von t im herkömmlichen Sinn, sondern wird eine verallgemeinerteFunktion oder Distribution genannt. Diese Distribution wird nach P. Dirac auch als Dirac-Distribution, als Dirac-Impuls oder kurz als δ-Impuls bezeichnet.
Wir verwenden ebenfalls die genannten Schreibweisen und lernen, wie man korrekt mitverallgemeinerten Funktionen arbeitet.
Auswertung des δ-Impulses, Ausblendeigenschaft
Trotz der noch üblichen Schreibweise δ(t) hat also diese verallgemeinerte Funktion fürsich allein genommen an keiner einzigen Stelle t einen Wert. Die Benutzung von δ(t) wird
immer verstanden in dem Sinn, dass erst die Mittelbildung δ(ϕ) =
+∞∫−∞
δ(t)ϕ(t) dt mit
einer Testfunktion ϕ einen Zahlenwert liefert. Wir wollen diesen Zahlenwert berechnenund zeigen, dass sich ergibt:
δ(ϕ) =
+∞∫−∞
δ(t)ϕ(t) dt = ϕ(0) .
132 7 Grundzüge der Distributionentheorie
Definition. Eine Distribution oder verallgemeinerte Funktion T ist eine lineare stetigeAbbildung T : D → R, d.h. für a,b ∈ R, ϕ1,ϕ2 ∈ D und ϕ = D-lim
n→∞ ϕn in D gelten
T (aϕ1 + bϕ2) = aT (ϕ1) + bT (ϕ2) und T (ϕ) = limn→∞T (ϕn). Die Menge aller Distribu-
tionen wird mit D′ bezeichnet.
Bemerkungen
1. Für den Wert T (ϕ) einer Distribution T bei gegebener Testfunktion ϕ sind in der Li-teratur auch folgende Schreibweisen üblich
T (ϕ) = 〈T,ϕ〉 = 〈T (t),ϕ(t)〉 =+∞∫
−∞T (t)ϕ(t) dt .
Wir werden sie ebenfalls benutzen. Die Motivation für diese Schreibweisen ergibt sichaus dem folgenden Satz und den anschließenden Beispielen für Distributionen. Manschreibt T (t) statt T , wenn man die Variable des zugrunde liegenden Parameterraumesnoch mit anzeigen will, auch wenn T (t) nicht im Sinn eines Funktionswertes an einerStelle t aufzufassen ist.
2. Bei konkret gegebenen linearen Abbildungen T : D → R ist es meist sehr leicht, diegeforderte Stetigkeit zu zeigen. Es sind auch keine „physikalischen“ linearen Abbil-dungen T : D → R bekannt, die nicht auf D stetig sind. Leser, die an der topologi-schen Struktur von D und D′ interessiert sind, seien auf die Bücher von L. Schwartz(1957) oder W. Rudin (1990) hingewiesen.
Wie sich die δ-Distribution anschaulich als „Limes“ einer Folge unendlich oft differenzier-barer Funktionen fn darstellen lässt, so gilt auch allgemein folgender
Satz. Zu jeder Distribution T gibt es eine Folge (fn)n∈N unendlich oft differenzierbarerFunktionen, so dass für jede Testfunktion ϕ ∈ D gilt
T (ϕ) = limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt .
Die Funktionen fn können dabei sogar so gewählt werden, dass sie beschränkte Trägerbesitzen, also Testfunktionen sind. Man schreibt dann kurz T = D′-lim
n→∞ fn und nennt T den
distributionellen Limes der fn.
Eine Distribution T ist also Limes einer Funktionenfolge (fn)n∈N, zwar im Allgemei-nen nicht im Sinn von punktweiser Konvergenz der Funktionenfolge, wie wir schon beimδ-Impuls gesehen haben, jedoch gilt nach obigem Satz: Die mit einer Testfunktion ϕ ge-wichteten Mittel der fn konvergieren gegen eine reelle Zahl. Diese Zahl T (ϕ) erhält man
in beliebig guter Näherung durch ein Integral∫fn(t)ϕ(t) dt mit einer Näherungsfunktion
fn für die Distribution T , wenn nur n gehörig groß wird. Wir erhalten diese Tatsache später(S. 163) aus Sätzen über Faltungen und wenden uns zunächst Beispielen zu.
7.4 Distributionen 133
Grundlegende Beispiele von Distributionen
1. Der Impuls δ : D → R ist eine Distribution im oben definierten Sinn.
Mit c ∈ R, ϕ,ϕn ∈ D für n ∈ N, ϕ = D-limn→∞ ϕn gilt:
〈δ,cϕ1 + ϕ2〉 = cϕ1(0) + ϕ2(0) = c〈δ,ϕ1〉+ 〈δ,ϕ2〉 ,limn→∞〈δ,ϕn〉 = lim
n→∞ϕn(0) = ϕ(0) = 〈δ,D-limn→∞ ϕn〉 .
Somit ist δ auf D linear und stetig.
2. Jede lokal-integrierbare Funktion f (d.h. f und |f | sind integrierbar über jedes be-schränkte Intervall) kann als Distribution Tf aufgefasst werden, nämlich durch
Tf (ϕ) = 〈f,ϕ〉 =+∞∫
−∞f(t)ϕ(t) dt (ϕ ∈ D) .
Dies motiviert auch die in der vorangehenden Bemerkung erwähnte Schreibweise fürDistributionen allgemein. Die Definition zeigt sofort, dass Tf linear auf D ist.
Ist ϕ = D-limn→∞ ϕn und [a,b] ein Intervall, welches die Träger aller ϕn enthält, so ergibt
sich
|Tf (ϕn)− Tf (ϕ)| ≤ supt∈[a,b]
|ϕn(t)− ϕ(t)|∫
[a,b]
|f(t)|dt −→n→∞ 0 .
Aus der gleichmäßigen Konvergenz der ϕn gegen ϕ auf [a,b] folgt also die Stetig-
keit von Tf auf D. Daher ist mit f durch Tf (ϕ) =
+∞∫−∞
f(t)ϕ(t) dt eine Distributiongegeben.
Beispielsweise kann so die Funktion ln(|t|) als Distribution betrachtet werden. DieSichtweise, lokal-integrierbare Funktionen jetzt auch als Distributionen zu verstehen,entspricht genau dem in Abschnitt 7.1 dargelegten Konzept, eine Funktion durch ihreMittelwerte mit Gewichtsfunktionen ϕ ausD zu beschreiben. Damit kennt man bereitseine große Menge von Distributionen.
Distributionen, die solche klassischen, lokal-integrierbaren Funktionen sind, nennt manregulär. Distributionen, die keine lokal-integrierbaren Funktionen sind, wie zum Bei-spiel die δ-Distribution, nennt man singulär. Für reguläre Distributionen Tf ist es üb-lich, statt Tf auch wieder nur f zu schreiben und ihre Werte für ϕ ∈ D anzugebendurch
Tf (ϕ) = 〈Tf ,ϕ〉 = 〈f,ϕ〉 =+∞∫
−∞f(t)ϕ(t) dt .
7.5 Rechnen mit Distributionen 137
Zusammenfassung. Neben dem klassischen Funktionsbegriff erscheint für den Inge-nieur und Naturwissenschaftler der mit Messvorgängen anschaulich verbundene Begriffvon gewichteten Mittelwerten einer als Distribution verstandenen Messgröße T sehr natür-lich. Das interessierende Objekt ist die Distribution T mit ihren Eigenschaften. Ihre WerteT (ϕ) auf Testfunktionen sind Zahlenwerte, welche einzelnen, gewichteten Mittelwerten,anschaulich gesprochen einzelnen Messwerten von T entsprechen.
Der Ingenieur kann wie im vorangehenden Beispiel 2 lokal-integrierbare Funktionen fganz selbstverständlich mit den zugehörigen Distributionen Tf identifizieren. Er weiß zumBeispiel erfahrungsgemäß, dass man eine periodische Rechtecksfunktion in der Praxis nä-herungsweise gut durch eine Überlagerung harmonischer Schwingungen realisieren kann.Dabei ist dann die „ideale“ Rechtecksfunktion r(t) als Distribution aufzufassen, nämlichals distributioneller Limes der unendlich oft differenzierbaren Partialsummen der zu r(t)gehörigen Fourierreihe. Die Näherung kann so gut erfolgen, dass zum Beispiel Leistungs-unterschiede im Vergleich zur „Idealfunktion“ r(t) (das sind auch Integralmittel) beliebigklein werden.
Ganz analog stelle man sich daher jede Distribution als einen solchen Limes klassischerFunktionen vor, Limes im Sinne der Existenz von Grenzwerten für gewichtete Mittel undnicht unbedingt punktweise. Häufig genug interessieren in der Praxis ja auch nur solcheMittelwerte physikalischer Größen. Genaue Lektüre technischer Literatur zeigt, dass invielen Fällen „distributionell“ gerechnet wird, ohne dass dies explizit angemerkt ist.
Die Vorteile dieses Konzeptes bezüglich Differentiation und anderer mathematischerGrenzwertbildungen werden sich in den folgenden Abschnitten herausstellen, in denen dasRechnen mit Distributionen erläutert wird.
7.5 Rechnen mit Distributionen
Distributionen zeichnen sich dadurch aus, dass man in vielen Fällen mit ihnen wesentlichleichter rechnen kann als mit herkömmlichen Funktionen. Hierzu ist es notwendig, einigeOperationen in D′ einzuführen. Für die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f ver-wenden wir die Notation f ′, für die im Folgenden eingeführte verallgemeinerte Ableitungeiner Distribution T (t) zunächst die Notation T (t), später auch wieder T ′(t).
Differentiation von Distributionen
Distributionen dürfen beliebig oft ohne jede Einschränkung differenziert werden. Sindnämlich T = D′-lim
n→∞ fn, alle fn beliebig oft differenzierbar, und ϕ ∈ D mit Träger
Tr(ϕ) ⊂ [a,b], so folgt durch partielle Integration, dass folgender Grenzwert existiert:
limn→∞
+∞∫−∞
f ′n(t)ϕ(t) dt = limn→∞
[fn(t)ϕ(t)
∣∣ba︸ ︷︷ ︸
=0
−b∫a
fn(t)ϕ′(t) dt
].
138 7 Grundzüge der Distributionentheorie
Also ist
limn→∞
+∞∫−∞
f ′n(t)ϕ(t) dt = − limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ′(t) dt = −T (ϕ′) .
Man kann daher die Ableitung T einer Distribution T auf folgende Weise einführen.
Definition. Die Ableitung T einer Distribution T = D′-limn→∞ fn ist definiert durch
T = D′-limn→∞ f ′n.
Für ϕ ∈ D istT (ϕ) = −T (ϕ′).
Bei regulären Distributionen Tf schreibt man auch wieder f statt Tf . Linearität undStetigkeit von T auf D sind leicht nachzuprüfen: Für ϕ = D-lim
m→∞ ϕm und a,b ∈ R gelten:
limm→∞ T (ϕm) = − lim
m→∞T (ϕ′m) = −T (ϕ′) = T (ϕ)
T (aϕ1 + bϕ2) = −T (aϕ′1 + bϕ′
2) = aT (ϕ1) + bT (ϕ2) .
Höhere Ableitungen der Ordnung k definiert man analog durch
T (k) = D′-limn→∞ f (k)n .
Dies bedeutet bei Anwendung auf ϕ ∈ D für die k-te Ableitung von T
T (k)(ϕ) = (−1)kT (ϕ(k)) .
Beispiel. Für die Sprungfunktion
σ(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩0 für t < 01
2für t = 0 ,
1 für t > 0
(aufgefasst als reguläre Distribution) und beliebige ϕ ∈ D gilt mit den SchreibweisenTσ = σ und Tσ = σ
〈Tσ,ϕ〉 = 〈σ,ϕ〉 = −〈σ,ϕ′〉 = −+∞∫0
ϕ′(t) dt = ϕ(0) = 〈δ,ϕ〉 .
σ(ϕ) und δ(ϕ) ergeben also für jedes ϕ ∈ D den gleichen Wert, d.h. es gilt die Gleichungσ = δ in D′, auch notiert als σ(t) = δ(t), wenn man die ursprüngliche Funktionsvariable tnoch anzeigen will.
Man kann somit eine Sprungfunktion differenzieren. Dies ist im Rahmen der klassischenAnalysis nicht möglich gewesen. Entsprechend ist σ(t− t0) = δ(t− t0).
7.5 Rechnen mit Distributionen 139
Ändert man σ(t) im Nullpunkt ab zu s(t) =
0 für t ≤ 01 für t > 0
, so hat dies keinen Ein-
fluss auf Integrale von σ(t) oder s(t). Also stellen σ(t) und s(t) dieselbe Distribution dar:Tσ = Ts. Ebenso gilt dann die Gleichung s = δ in D′. Diese Beziehung findet man auch
häufig notiert in der Form
t∫−∞
δ(τ) dτ = s(t).
t t
δ(t)
s(t)
1
0 0
1
d
dt
Der Leser verifiziert leicht folgende Tatsachen:
1. D′ ist ein Vektorraum.
2. Für T ∈ D′ und beliebig oft differenzierbare Funktionen f ist auch das Produkt f · T ,für ϕ ∈ D definiert durch 〈f · T,ϕ〉 = 〈T,f · ϕ〉, eine Distribution.
Weitere Ableitungsregeln. Die Ableitung ist linear und es gilt die Produktregel:
(cT )(k) = cT (k) , (S + T )(k) = S(k) + T (k) , (fT )(k) =k∑
n=0
(kn
)f (n)T (k−n)
für k ∈ N0, c ∈ R, S,T ∈ D′ und unendlich oft differenzierbare Funktionen f .Denn für jedes ϕ ∈ D und k = 1 gilt:
〈(cT )(1),ϕ〉 = −c〈T,ϕ′〉 = 〈cT ,ϕ〉 ,〈(S + T )(1),ϕ〉 = −〈S,ϕ′〉 − 〈T,ϕ′〉 = 〈S,ϕ〉+ 〈T ,ϕ〉 ,〈(fT )(1),ϕ〉 = −〈fT,ϕ′〉 = −〈T,fϕ′〉 = −〈T,fϕ′ + f ′ϕ〉+ 〈T,f ′ϕ〉
= 〈T ,fϕ〉+ 〈T,f ′ϕ〉 = 〈fT + f ′T,ϕ〉 .
Entsprechend ergeben sich diese Regeln bei höheren Ableitungen mit k > 1 durch voll-ständige Induktion.
Fasst man jetzt lokal-integrierbare Funktionen als Distributionen auf, so kann man sieohne jede Einschränkung differenzieren, auch wenn sie Sprungstellen besitzen. Man sprichtvon verallgemeinerter Ableitung. Für eine reguläre Distribution Tf zu einer differenzierba-ren Funktion f ist
〈Tf ,ϕ〉 = 〈f ,ϕ〉 = −+∞∫
−∞f(t)ϕ′(t) dt =
+∞∫−∞
f ′(t)ϕ(t) dt = 〈f ′,ϕ〉 = 〈Tf ′ ,ϕ〉 .
146 7 Grundzüge der Distributionentheorie
Beweis. Für zwei unbestimmte Integrale T und S von G gilt T − S = 0, also T − S = cmit einer Konstante c nach dem vorangehenden Satz. Um eine Distribution T mit T = G zu
bestimmen, definieren wir Fϕ(t) =
t∫−∞
Pϕ(x) dx für ϕ ∈ D. Fϕ ist eine Stammfunktion
von Pϕ, und man bemerkt, dass (Fϕ)′ in D0 und Fϕ in D liegen. Wir definieren
〈T,ϕ〉 = −〈G,Fϕ〉.
T ist linear und auch stetig auf D : Für eine Folge ϕn in D mit D-limn→∞ ϕn = 0 gilt wegen
Pϕ′ = ϕ′ und limn→∞ I(ϕn) = 0 auch D-lim
n→∞ Pϕn = 0. Nun sei [a,b] ein Intervall, das die
Träger von α und aller Pϕn enthält. Dann enthält [a,b] auch alle Tr(Fϕn), n ∈ N, und
supt∈R
|Fϕn(t)| ≤+∞∫
−∞|Pϕn(t)|dt ≤ (b− a) sup
t∈R
|Pϕn(t)|.
Hieraus folgt Fϕn → 0 gleichmäßig. Außerdem gilt für k ≥ 1 : (Fϕn)(k) = (Pϕn)
(k−1)
und (Pϕn)(k−1) → 0 gleichmäßig für n → ∞. Damit erhält man D-lim
n→∞ Fϕn = 0 und
schließlich limn→∞〈T,ϕn〉 = 0. Also ist T stetig auf D, d.h. eine Distribution. T ist ein
unbestimmtes Integral von G : Mit Fϕ′ = ϕ folgt nämlich
〈T ,ϕ〉 = −〈T,ϕ′〉 = 〈G,Fϕ′〉 = 〈G,ϕ〉 .
Eine wichtige Konsequenz der beiden Sätze ist die Folgerung, dass eine homogene lineareDifferentialgleichung, deren Koeffizienten Konstanten oder unendlich oft differenzierbareFunktionen sind, auch als Gleichung in D′ außer den bekannten klassischen Lösungenkeine weiteren Lösungen in D′ besitzt (Übungsaufgabe).
Konvergenz von Distributionenfolgen
Wenn zwei näherungsweise gleiche physikalische Messgrößen durch Distributionen T1, T2dargestellt werden, so zeigt die Erfahrung, dass dann bei Messung mit derselben Gewichts-funktion ϕ ∈ D auch die Werte 〈T1,ϕ〉 und 〈T2,ϕ〉 näherungsweise gleich sind. DieserErfahrung entspricht der Konvergenzbegriff für Distributionen.
Definition. Eine Folge (Tn)n∈N von Distributionen in D′ konvergiert gegen eine Distribu-tion T ∈ D′, wenn für alle ϕ ∈ D gilt, dass lim
n→∞〈Tn,ϕ〉 = 〈T,ϕ〉 ist. Man schreibt dann
T = D′-limn→∞ Tn.
Bemerkung. Man kann zeigen, dass zu jeder Folge von Distributionen Tn, zu der dieGrenzwerte lim
n→∞〈Tn,ϕ〉 für jedes ϕ ∈ D existieren, durch 〈T,ϕ〉 = limn→∞〈Tn,ϕ〉 tatsäch-
lich ein stetiges lineares Funktional T auf D definiert wird. Einen Beweis für diese Voll-ständigkeitseigenschaft von D′ findet man bei W. Walter (1994) oder L. Schwartz (1957).
7.5 Rechnen mit Distributionen 147
Beispiele.
1. Mit einer beliebigen integrierbaren Funktion f definiere man fn(t) = nf(nt),n ∈ N. Für ϕ ∈ D gilt dann mit der Substitution x = nt
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt =
+∞∫−∞
nf(nt)ϕ(t) dt =
+∞∫−∞
f(x)ϕ(x/n) dx .
Gilt
+∞∫−∞
f(t) dt = 1, so folgt wegen |f(x)ϕ(x/n)| ≤ |f(x)|maxx∈R
|ϕ(x)| mit Ver-
tauschung von Limesbildung und Integration (möglich nach dem Satz von Lebesgueüber majorisierte Konvergenz, vgl. S. 392 in Anhang B)
limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt =
+∞∫−∞
f(x) limn→∞ϕ(x/n) dx = ϕ(0) = 〈δ,ϕ〉 .
Somit ist D′-limn→∞ fn = δ. Eine derartige Folge von Funktionen fn nennt man eine
δ-Folge. Die vorher schon benutzte Notation ist also mit dem definierten Konvergenz-begriff verträglich. Speziell können alle approximierenden Funktionen fn selbst schonals Distributionen aufgefasst werden. Als konkrete Beispiele betrachte man etwa die
Funktionen f(t) =1
ε(s(t+ ε/2)− s(t− ε/2)) oder f(t) =
1
π(1 + t2), s(t) die Ein-
heitssprungfunktion. Diese Funktionen werden oft zur Einführung der δ-Distributionals Limes von Funktionenfolgen – im Sinn der oben definierten Konvergenz in D′ –herangezogen (vgl. S. 17 und S. 121).
2. Wir betrachten die Funktionen fn(t) = n sin(nt)s(t), s(t) die Einheitssprungfunktion,n ∈ N. Anschaulich ist nicht offensichtlich, ob die Folge (fn)n∈N in irgendeinem Sinnkonvergiert. Für ϕ ∈ D sieht man jedoch mit partieller Integration:
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt =
+∞∫0
n sin(nt)ϕ(t) dt = − cos(nt)ϕ(t)
∣∣∣∣+∞
0
+
+∞∫0
cos(nt)ϕ′(t) dt
= ϕ(0) +
[1
nsin(nt)ϕ′(t)
∣∣∣∣∞0︸ ︷︷ ︸
=0
− 1
n
+∞∫0
sin(nt)ϕ′′(t) dt].
Wegen∣∣∣ +∞∫
0
sin(nt)ϕ′′(t) dt∣∣∣ ≤ +∞∫
0
|ϕ′′(t)|dt <∞ folgt
limn→∞
+∞∫−∞
fn(t)ϕ(t) dt = ϕ(0) ,
148 7 Grundzüge der Distributionentheorie
d.h. man erhält das Ergebnis: D′-limn→∞ fn = δ. Dagegen ergibt sich für die Folge
gn(t) = n cos(nt)s(t), dass D′-limn→∞ gn = 0, also die Nulldistribution ist.
3. Für die Funktionensin(nt)
πt, n ∈ N, und ϕ ∈ D gilt
+∞∫−∞
sin(nt)
πtϕ(t) dt =
+∞∫−∞
sin(nt)ϕ(t)− ϕ(0)
πtdt+ ϕ(0)
+∞∫−∞
sin(nt)
πtdt .
Das letzte Integral der rechten Seite ergibt Eins (vgl. Übungsaufgabe A9). Da ϕ ste-
tig differenzierbar ist, istϕ(t)− ϕ(0)
πtstetig, beschränkt und hat einen beschränkten
Träger. Deshalb verschwindet nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma das erste Integralder rechten Seite für n→∞, d.h.
D′-limn→∞
sin(nt)
πt= δ(t) .
Aus1
2π
n∫−n
ejωt dω =sin(nt)
πtfolgt D′-lim
n→∞1
2π
n∫−n
ejωt dω = δ(t) .
In Kapitel 9 werden wir sehen, dass diese Beziehung bedeutet, dass der Dirac-Impulsdie konstante Eins-Funktion als Fouriertransformierte besitzt.
Wir bemerken, dass etwa die Näherung f1(t) = 100/(π(1 + 10000t2)) aus demvorherigen Beispiel 1 am ehesten der landläufigen Idee einer „Impulsfunktion“ ent-spricht, während Funktionenfolgen wie in den Beispielen 2 und 3 wenig mit der Vor-stellung gemein haben, dass eine δ-Folge bei t = 0 gegen Unendlich und sonst gegenNull konvergiere. Man vergleiche hierzu die nachfolgenden Grafiken mit Darstellun-gen von f1(t) = 100/(π(1 + 10000t2)), f2(t) = 100 sin(100t)s(t) und f3(t) =sin(100t)/(πt).
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.005
101520253035
f1 als Impulsnäherung
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4-100
-50
0
50
100
f2 als Impulsnäherung
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-10
0
10
20
30
f3 als Impulsnäherung
Ein Vergleichstest der Abtasteigenschaften von f1, f2 und f3, zum Beispiel mit derFunktion ϕ(t) = e−1/(1−t2) für |t| ≤ 1, Null sonst, zeigt, dass die Funktionen f2 undf3 bei weitem bessere Näherungen für den Abtastwert 〈δ,ϕ〉 liefern als die am ehesten„impulsartig anmutende“ Funktion f1: Bei ϕ(0) = 1/ e ≈ 0.36788 ergibt numerischeBerechnung der Integrale 〈fk,ϕ〉 (k = 1,2,3) mit einem Computeralgebra-System
〈f1,ϕ〉 ≈ 0.36293, 〈f2,ϕ〉 ≈ 0.36807, 〈f3,ϕ〉 ≈ 0.36788.
7.5 Rechnen mit Distributionen 149
4. Wir untersuchen die Distributionen Tn =n∑
k=−nδ(t− k), (n ∈ N).
Für jedes ϕ ∈ D existiert
limn→∞〈Tn,ϕ〉 = lim
n→∞
n∑k=−n
〈δ(t− k),ϕ〉 = limn→∞
n∑k=−n
ϕ(k) =+∞∑
k=−∞ϕ(k) ,
denn wegen des beschränkten Trägers von ϕ ist die Reihe+∞∑
k=−∞ϕ(k) eigentlich nur
eine endliche Summe. Daher wird durch
T =+∞∑
k=−∞δ(t− k) = D′-lim
n→∞
n∑k=−n
δ(t− k)
eine Distribution definiert. Die Linearität und Stetigkeit auf D sind leicht nachzuprü-
fen. Die Reihe T =
+∞∑k=−∞
δ(t− k) ist konvergent in D′ mit T = D′-limn→∞ Tn.
5. Für Tn, T ∈ D′ mit T = D′-limn→∞ Tn gilt T = D′-lim
n→∞ Tn, denn für jedes ϕ ∈ D gilt
〈Tn,ϕ〉 = 〈Tn,− ϕ′〉 −→n→∞ 〈T,− ϕ
′〉 = 〈T ,ϕ〉 .
Ebenso gilt für Distributionenreihen:
Wenn+∞∑
n=−∞Tn = T ist, dann gilt
+∞∑n=−∞
Tn = T .
Ergebnis. Jede Distributionenreihe darf ohne Einschränkung gliedweise differen-ziert werden. Die Ableitung ist vertauschbar mit der Limesbildung.
Ein solches Resultat ist überaus praktisch und in der klassischen Analysis nicht er-reichbar. Es bedeutet, dass die Differentiation auf dem Vektorraum der Distributionenmit dem eingeführten Konvergenzbegriff eine stetige Operation ist.
Affine Koordinatentransformationen bei Distributionen
Für lokal-integrierbare Funktionen f und Testfunktionen ϕ ergibt sich bei einem Integral
der Form
+∞∫−∞
f(ax+ b)ϕ(x) dx, a = 0, mit der Substitution t = ax+ b:
+∞∫−∞
f(ax+ b)ϕ(x) dx =
+∞∫−∞
f(t)1
|a|ϕ(t− ba
)dt .
425
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433
Symbolverzeichnis
N, Z die Mengen der natürlichen und der ganzen Zahlen, 4R, C die Mengen der reellen und der komplexen Zahlen, 7N0, R+
0 N ∪ 0 und die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, 2j, j2 = −1 komplexe Einheit, 3ℜ(z), ℑ(z) Real- und Imaginärteil von z, 7z konjugiert komplexer Wert von z, 8
f(t+) = limx→t+
f(x) rechtsseitiger Limes von f für x→ t, x > t, 2, 22
f(t−) = limx→t−
f(x) linksseitiger Limes von f für x→ t, x < t, 22
~x · ~y inneres Produkt zweier Vektoren ~x und ~y, 48
〈f |g〉 inneres Produkt von f und g, 9〈T,ϕ〉 Wert einer Distribution T für eine Testfunktion ϕ, 132‖f‖2 L2-Norm von f , 43, 396
(f ∗ g)T T -periodische Faltung, 50f ∗ g Faltung von f und g, 157, 396T ∗G Faltung zweier Distributionen T und G, 157
s(t) Einheitssprungfunktion, 126δ, δ(t) Dirac-Distribution, Dirac-Impuls, 128, 133δn, δ(t− na) Dirac-Impuls bei na, 271pv(t−1), vp(t−1) Cauchy-Hauptwert von t−1, 134pf(t−m) Pseudofunktion zu t−m, 135T , T (k) verallgemeinerte Ableitungen von T , 138Tr(T ) Träger einer Distribution T , 156
∂i, ∂k partielle Ableitungen, 151
P (D) gewöhnlicher linearer Differentialoperatormit konstanten Koeffizienten, 180
P (∂) partieller linearer Differentialoperatormit konstanten Koeffizienten, 347
∆u Laplace-Operator angewandt auf u, 192
F Fouriertransformation, 224
f , Ff Fouriertransformierte von f , 224, 241
Gwf = f gefensterte Fouriertransformation von fzu gegebener Fensterfunktion w, 328
434 Symbolverzeichnis
L2([0,T ]) Raum der auf [0,T ] quadratisch integrierbaren Funktionen, 49L2(R) Raum der auf R quadratisch integrierbaren Funktionen, 257Lp(Ω) Raum der p-fach integrierbaren Funktionen auf Ω, 396L∞(Ω) Raum der wesentlich beschränkten Funktionen auf Ω, 396lpd Raum der diskreten Signale mit p-fach summierbaren Koeffizienten, 271l∞d Raum der diskreten Signale mit beschränkten Koeffizienten, 271
D Raum der Testfunktionen auf R, 124D′ Raum der Distributionen auf R, 132D(Ω) Raum der Testfunktionen auf einem Gebiet Ω, 151D′(Ω) Raum der Distributionen auf einem Gebiet Ω, 151D′R Raum der kausalen Distributionen auf R, 270D′
+ Raum der Distributionen mit Träger in [0,∞[, 181
S Raum der schnell fallenden Funktionen auf R, 238OM Raum der langsam wachsenden Funktionen auf R, 241S ′ Raum der temperierten Distributionen auf R, 241S ′R Raum der kausalen temperierten Distributionen auf R, 270S ′+ Raum der temperierten Distributionen auf R mit Träger in [0,∞[, 341
E ′ Raum der Distributionen auf R mit kompaktem Träger, 164O′C Raum der schnell fallenden Distributionen, 270X Raum der diskreten Signale, 270
435
Index
Ableitung, verallgemeinerte, 139Abtastsatz von Shannon, 317Ähnlichkeitssatz, 32Amplitudengang, 276, 307Amplitudenmodulation, 35Anfangsrandwertproblem, 2, 215Anfangswertproblem— auf Halbgerade, 183— kausales, 181— System erster Ordnung, 186asymptotisch stabil, 51
Bernoulli, 1, 217Bessel-Ungleichung, 39Bildladung, 198Butterworth-Tiefpass-Filter, 191, 281, 291
Cauchy-Hauptwert, 134, 142Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 257, 360Chebyshev-Polynome, 82Clenshaw-Curtis-Quadratur, 79Coulomb-Formel, 195
D’Alembert, 217DFT, 66— Alias-Effekt, 68— DCT I, 76— DCT II, 76— DCT-2D, 95— FFT, 91— Frequenzauflösung, 69, 90— IDFT, 71— JPEG, 95— Lattenzauneffekt, 68— Leckeffekt, spectral leakage, 337— trigonometrische Interpolation, 72— Zeitfenster, 335— zero padding, 290, 315Differentialoperatoren, 179Differenzengleichung, 304Differenzierglied, 126Digitale Wasserzeichen, 96Dirac-Impuls, 128Dirichlet-Kern, 11, 23, 104, 170, 225Dirichletsches Randwertproblem, 55, 195, 201Diskrete Cosinus-Transformation, 76Diskrete Fouriertransformation, 71
Distributionen, 132— δ-Impuls, 125, 128— Ableitung, 137— Anfangswertprobleme, 181— Definition, 131— Faltung, 157, 250— Grundlösung, 176— kausale, 164, 178— Kettenregel, 150— Konvergenz, 146, 152— Koordinatentransformation, 150, 152— mehr Variable, 151, 192— periodische, 169— Produktregel, 139— Pseudofunktion, 135— Reflexion, 157— reguläre, singuläre, 133— Reihen, 149— schnell fallende, 251— Stetigkeit, 153— temperierte, 241, 260— Tensorprodukt, 154— Träger, 124, 156— unbestimmte Integrale, 145— wesentlicher Punkt, 156
Effektivwert, 43Eigenschwingung, 4Energieerhaltungssatz, 61Euler-Konstante, 246
Faltung, 157, 396— Eigenschaften, 158— Fouriertransformation, 250— Impulsfolgen, 161, 253— periodische, 50, 55, 72, 174Faltungsgleichungen— Tichonov-Regularisierung, 222fast überall, 388Fejér-Kern, 105, 231Fibonacci-Zahlen, 306Filter— Übertragungsfunktion, 298— Allpass-Filter, 286— analog, 273— Bandpass-Filter, 287— Butterworth, 279, 312
436 Index
— diskrete, 88, 292— FIR-Filter, 308— Frequenzgang, 274, 282— Gruppenlaufzeit, 276— Hochpass-Filter, 287— IIR-Filter, 311— Integrator, 277— Minimal-Phasen-Filter, 316— nicht-rekursiv, 88— Notch-Filter, 315— Phasengang, 276— rekursiv, 88— Stabilität, 284, 297— Tiefpass-Filter, 277, 309— Tschebyscheff-Tiefpass, 282Finite Elemente, 201, 210Fourierkoeffizienten, 7, 13, 40, 113, 175Fourierkoeffizienten, Größenordnung, 41Fourierreihen, 22, 26, 31— 1/f-Theorem, 63— Ableitung, 37— beste Approximation, 47— Eigenschaften, 31— Gibbs-Phänomen, 20— Impulsmethode, 175— Integration, 38— Koeffizientenvergleich, 173— Konvergenz im quadratischen Mittel, 48— mehr Variablen, 112— periodische Faltung, 50— Polarform, 10— Produkt, 256— verallgemeinerte, 150, 169Fouriertransformation, 224, 239— Eigenschaften, 231— Faltung, 232, 250— gefensterte, 328— Gibbs-Phänomen, 230— Impulsfolgen, 253— Koordinatentransformation, 268— Kreis-Blende, 263— mehr Variable, 260— Multiplikationssatz, 235— Parseval-Gleichung, 235— rationaler Funktionen, 249— Rechteck-Blende, 262— reeller Funktionen, 226— STFT, 328— temperierter Distributionen, 241— Umkehrformel, 224Frequenzgang, 54, 88, 274, 298
Fundamentalsatz der Algebra, 384Funktion— harmonische, 57— kausale, 178— lokal-integrierbar, 133— messbare, 389— polynomial beschränkte, 241— schnell fallende, 260— stückweise stetig differenzierbare, 22— stückweise stetige, 22— Träger, 124— verallgemeinerte, 128, 132
Gabortransformation, 328Gammafunktion, 246Gefensterte Fouriertransformation, 328Gewichtsfunktion, 122Gibbs-Phänomen, 20, 83, 109, 230Gleichanteil, 26Greensche Formel, 193Green-Funktion, 178, 197Grundlösung— 2D-Potentialgleichung, 220, 415— 3D-Potentialgleichung, 192— 3D-Wärmeleitung, 424— 3D-Wärmeleitungsgleichung, 356, 423— 3D-Wellengleichung, 356, 424— Schrödingergleichung, 356Grundlösungsverfahren, 176, 192Gruppenlaufzeit, 276, 307
Hölder-Ungleichung, 245Haar-Wavelet, 371Heisenbergsche Unschärferelation, 323Hilbertraum, 360Huyghenssches Prinzip, 344
Impuls, 130Impulsantwort, 179, 273Impulsfolgen— periodische, 171— schnell fallende, 253— summierbare Koeffizienten, 254— temperierte, 253Impulsstärke, 130inneres Produkt, 9, 360Interpolation— trigonometrische, 72— Tschebyscheff-Polynome, 84
Klirrfaktor, 27, 49kompakt, 151kompakte Menge, 124
Index 437
komplexe Amplituden, 10Konvergenz— distributionelle, 146, 242— gleichmäßige, 16— punktweise, 16Kugelkoordinaten, 393
Lösung, verallgemeinerte, 215Laplace-Gleichung, 54, 191Laplace-Operator, 192, 201Lebesgue-Integral, 389Lebesgue-Maß , 387Leistung, 43Lineare Filter, siehe FilterLineare Systeme, 51, 271— Anfangswertprobleme, 180— Impulsantwort, 179— Sprungantwort, 179— Systeme erster Ordnung, 186
majorisierte Konvergenz, 392Malgrange-Ehrenpreis-Theorem, 347Matrix-Exponentialfunktion, 186, 187Maximumprinzip, 56Maxwell-Gleichung, 192Membran, 115, 201messbar, 390Mittelwerte, 121–123, 133Mittelwerteigenschaft, 17, 19Multi-Index, 151Multiskalen-Analyse, 370, 378
Nullmengen, 388Numerische Integration, 79Nyquist-Intervall, 69
Oberflächenmaß, 393Ohm, 60Orthonormalitätsrelationen, 8, 9
Parseval-Gleichung, 44, 113Phasengang, 276, 307Poisson-Integralformel, 56, 194Poissonsche Summenformel, 290Polarisationsgleichung, 236polynomial beschränkt, 241Potentialgleichung, 54, 191, 192Produktmaß, 388
Randwertproblem, 55Residuensatz, 383Riemann-Lebesgue-Lemma, 40, 104, 113, 225,
234, 265Ritz-Galerkin-Lösung, 207
Sägezahnfunktion, 19Saite, 2, 58, 215Satz von— Abel-Dirichlet, 46— Albrecht, 293— Albrecht-Neumann, 273— Dirichlet, 23, 103— Fejér, 23, 105, 231— Fubini-Tonelli, 392— Gauß, 394— Hahn-Banach, 296— Jackson, 81— Jordan, 262— Lax-Milgram, 203— Lebesgue, 392— Liouville, 386— Malgrange-Ehrenpreis, 187, 347, 348— Schwartz, 165— Shannon, 317— Weierstraß, 62, 114— Wiener, 63Schnelle Wavelettransformation, 376Schrödinger-Gleichung, 356Signalräume, 269Spektralfunktion, 226Spektrum, 26, 27, 43— Amplitudenspektrum, 26— Betragsspektrum, 26— Phasenspektrum, 26Stabilität— Analogfilter, 285— diskrete Filter, 297, 306Steifigkeitsmatrix, 208STFT, 328Streuung, 321
Temperatur, stationäre, 56Tensorprodukt, 154Testfunktionen, 124— Konvergenz in D, 124— Konvergenz in S , 240— mehr Variable, 151, 260Tichonov-Regularisierung, 222Tiefpassfilter, 53, 277, 279, 309Träger, 156Translationsoperator, 165Treppenfunktion, 389trigonometrische Polynome, 7, 10, 13— Nullstellen, 11Tschebyscheff-Polynome, 82Tschebyscheff-Tiefpass, 87, 101, 102
438 Index
Übertragungsfunktion— T -periodische, 52— diskrete Filter, 298, 299Übertragungsverhalten, 179Unschärferelation, 321
Vektorpotential, 192
Wärmeleitungsgleichung, 1, 54, 346Wavelettransformation, 366Wellengleichung, 2, 342— avanciertes Potential, 424
— retardiertes Potential, 424
z-Transformation, 299Zeit-Frequenz-Analyse, 327Zeitdauer-Bandbreite-Produkt, 322Zusammenfassung— Darstellung durch Fourierreihen, 23— DFT, 72— Diskrete lineare Filter, 295— Distributionen, 218— Fouriertransformation, 265— trigonometrische Polynome, 13
