Vol. XXVIII, 1977 217

Eine kinematische Integralformel fiir konvexe Kiirper

Von

RoT,F Sem~]~D~

Es bezeichne E n den n-dimensionalen euklidischen Vektorraum (n ~ 2), Gn die Gruppe seiner eigentlichen Bewegungen und/~ ein Haarsches Mal] auf Gn. Zu -N ~ Gn sei _P0 die zugeh6rige (den Nullpunkt festlassende) Drehung. Ferner sei s die Ein- heitssphgre des En und ~n die l~enge der konvexen KSrper (nichtleere, kompakte, konvexe Teilmengen) im E ~. Zu A, B e ~n bezeiehne r [A, B] den euklidisehen Ab- stand yon A und B. Ist A :~ B ~ 0 und sind a e A, b e B Punkte mit Abstand r [A, B], so sei u[A, B] der yon a na~h b weisende Einheitsvektor; er ist offenbar eindeutig bestimmt.

Ziel dieser Note ist die Bereehnung des Integrals

f / (r [A, _NB]) d~ (_N) M(A,,B;c~,fl)

fiir konvexe K6rper A, B e.~% Borel-meBbare Funktionen ]: (0, co) -> [0, co) und Borelmengen a, fl c/2; dabei ist

M(A,B;~,fl)---- {I'eGn]A :~_NB---- 0 uncl u[A,_NB]eocn]-'ofl*},

wobei fl* die aus fl dureh Spiegelung am Nullpunkt hervorgehende Menge bezeiehnet. Im Fall e = fl ---- s in dem also genau fiber die Bew%onmgen _N mit A :~ _NB ---- 0 integriert wird, ist die entspreehende Integralformel yon Hadwiger [4] bewiesen worden; er hat damit ein Gegenstiiek zur kinematischen Hauptformel der Integral- geometrie aufgewiesen, bei der es ja (ira Falle konvexer KSrper) um die Bereehnung des Integrals

f d~(_N) A~I~JB~=O

geht. Aueh die unten folgende allgemeine Formel (3) ist yon Hadwiger [5] geftmden worden; sie ergibt sich bei ibm als Anwendungsbeispiel einer aufwendigeren, all- gemeinen Theorie mit untersehiedlicher Zielsetzung, w~hrend es sich hier um einen kurzen, direkten Naehweis dieser speziellen Formel handeln soll.

Die Formulierung des Ergebnisses benutzt die Oberfl~chenmaBe Sl (K; .) des kon- vexen KSrpers K im Sinne yon A. D. Aleksandrov [1] und Fenchel-Jessen [2]. Dies sind BorelmaBe au f /2 , die folgendermaBen erklgrt werden k6nnen. Zu K e ~n, einer Borelmenge co c ~ und 0 <Z t ~ co sei

Bt(g;co)= (x~En[O<r[g,x]<t und u[g,x]eco}

218 R. SCHN~m~x ARC~.MATH.

(wobei r[K, x] : = r[K, {x}] und uEK, x] : = u[K, {x}] gesetzt ist). Darm ist Bt (K; w) eine Borelmenge, und fOr ihr Volumen Vt(K; o~) gilt fiir 0 < t < oo

(1) Vt(K; o~) = n ~ ~ t~Sn-,(K; co).

Satz. Fi~r konvexe K6rper A, B ~ ~n, Borelmengen ~, fl c f2 und eine Borel-me[3bare Funktion ]: (0, r [0, ~ ) mit

O o

M~ (]) : = f ] (r) r~ dr < oo 0

gilt

(2 )

]iir i = 0 , 1 . . . . . n - - 1

f / ( r [A , _PB]) d/~ (P) = M (A, .B; o:,~6)

n- -1

j ,k=o\ i+ ~ ] \ i

Die Konstante c h~ng% dabei yon der Normierung des I-Iaarschen MaBes /z ab; sie ist gleich cn/noon, wenn wie bei Hadwiger [4] normiert wird, und gleieh 1 bei der in [6] gewghlten ~Tormierung.

Die Bedeutung der Gleichung (2) wird insbesondere dadureh unterstriehen, dab sie (wie im Spezialfall in [4]) einen einfaehen Beweis eines Ergebnisses yon Firey [3] erlaubt, ttierzu w~hle man for ] die dureh t dividierte Indikatorfunktion des Inter- valls (0, e) und lasse e gegen Null gehen.

Aus (2) gewinnt man leieht die folgende Verallgemeinerung. ~ Borel-meBbare ]~'unktionen p, g: Q --> [0, c~) gilt

(3) f/(~[A, rB])p(u[A, FB])q(FUu[FB, A])d~(F) = A ~ F B = O

~,~=0\j + k ] \ j mit

Vj(A, p) = ]~(u) dSj(A; u), i = 0 , 1 . . . . . n - - 1 .

In der Tat kann man (2) unter Verwendung der (auf s definierten) Indikator- funktion I~ der Menge cr c f2 in der Form

] / (r[A, FB]) X~(u[A, FB] ) I~(Folu[FB, A])d~(F) A n F B = O

schreiben, t i ler kann man aus Linearitgtsgriinden I~ dutch eine Elementarfunktion auf ~ ersetzen und sodann durch eine nichtnegative meBbare ~nnktion p, da man diese als monotonen Limes yon Elementarfunktionen darstellen und den Satz yon der monotonen Konvergenz anwenden kann. Analog kann man I~ durch eine nicht- negative meBbare ~unktion q ersetzen.

Vol. XXVIII, i977 Eine integralgeometrische Formel 219

Wit beweisen nun die Gleichung (2). Die Bewegungsgruppe Gn sei mit der iiblichen Topologie versehen. Zuerst ist nachzuweisen, dab M ( A , B; ~, fl) eine Borelmenge in Ga ist. Dazu benStigen wir das folgende Lemma (fiir eine etwas andere SchluB- weise in einem ~hnliehen Fall vergMehe man )~irey [3]). !3 bezeiehne die a-Algebra der Borelmengen in Q, und ~ sei die Potenzmenge.

Lemma. Sei q~: !3 -~ ~3 (Gn) eine Abbildung mit [olgenden Eigenschaflen:

i = l

(e) ~ ~ ~ o]]en :*- qJ(o:) Borelmenge in G~.

Dann ist q~ (~) [iir jedes ~ e !3 eine Borelmenge in Gn.

Beweis . Ftir ~ e !3 gilt nach (a) und (b)

~(~2\~) n ~(~) = 0 und ~ ( Q \ ~ ) u ~(~) = 9 (Q) ,

also ~0(Q\~) = q0(Q)\~(a). Das System gt aller ~ ~ !3, fiir die ~0(~) eine Borelmenge in Gn ist, ist also eine a-Algebra in Q, die die offenen NIengen enth~lt, folglich ist !~ c ~l, was zu zeigen war.

Nun seien A, B ~ ~n. Setze M (A, B) = {/" ~ G~ I A ~ / ~ B ---- 0}. /)ann ist leicht zu sehen, dal~ die Abbildungen

M(A, B ) - + R und M(A , B ) - ~ 1-'~-> r[A, 1-'B] lr'~-~ u[A, F B]

ste~ig sind. Im zweiten Fall ist dabei die Bemerkung yon Nutzen, dab u [A, F B ] auch erhalten werden kann als Normaleneinheitsvektor der eindeutig bestimmten Hyperebene, die den Parallelk6rper zu A i m Abstand r[A, _FB] und den K S r p e r / ' B trennt.

Seien ~,/5 s !3 often. Wir definieren eine Abbildung h: M (A, B) --~ ~2 • f2 clurch

h(F) = (u[A, FB], I ' o t u [ I ' B , A]).

Dann ist h-l(a • fl)----M(A, B; a, fl). I)a h stetig ist, ist M(A, B; ~, fl) often in M (A,/~), wegen der 0ftenheit yon M (A, B) also often in On. Setzen wit ~0 (a) = .-~ M (A, B; ~, fl) fiir ~ ~ ~, wo fl ~ !3 eine feste offene ~ffenge ist, so erfiilli ~0 die Voraussetzungen des Lemmas, also ist M(A, B; :~, fl) fiir jedes ~ ~ !~ eine Borel- menge. Bei festem a ~ !~ sei sodann ~0 (fl) ---- M (A, B; ~, fl) fiir/~ ~ !3 gesetzt. Aus dem Lemma fol~, dag M(A, B; a, fl) eine Borelmenge ist. Dabei diirfen jetzt ~, fl ~ ~ beliebig sein.

Daraus geht nun hervor, dab ffir A, B ~ ~n a, fl ~ ~ das Integral

J = ~ [ (r[A, I 'B])d#(F) M(A,~B; ~,fl)

erkl~r~ (wenn auch zun/~chst nicht notwendig endlich) ist, deun da r[A, _FB] stetig yon /~ abh~ngt und [ meBbar ist, i s t / " ~-~ /(r [A, FB]) eine (nichtnegative) meBbare

220 R. S c n a ~ D ~ ~CH. MATH.

Funktion auf Gn. Bezeiehnet v das passend normierte Haarsche 1VIaB auf der Dreh- gruppe SO (n) und ~ das Lebesgue-~CIa~ in E n, so gilt (vgl. [6], w 3)

(4) J = f f/(tEA, ~B + x])d~(x)d~,(~) 80(n) T(e)

mit T(~)-= { x e E n l A n ( ~ B + x)--=O und u[A ,~B + x]e~n~f l*} -=

= Boo(A -~ ~B*; ~ t% ~fl*);

dabei ist B * = - - B der dutch Spiegelung am Nullpunkt aus B hervorgehende K6rper. Nun ist leieht eirmusehen, dab r[A, ,B -}- x] = r[A + B*, x] ist. Damit ergibt sich

(5) f/(~[A, ~B + ~])~:(x) = J" l(rEA + ~B*, ~])d~(:~). T(O) /~r162 ~t3 eft*)

Fiir K e ~n und eo e 23 gilt offenbar

(6) f / (r [g , x]) dr (x) = f / (r) d Vr (g; o~), Bat(K; w) 0

wo reehts ein Lebesgue-Stieltjes-Integral steht. Verwendet man also (1), so erh~lt man aus (4), (5) und (6) die Gleichung

J = ~ i /(r)rn-l-idrfS~(A + QB*; ~ c~ ~ofl*) dv(~). i = 0 SO (n)

Aus der in [6], w 4, bewiesenen Gleichung ,(:) f Si(A + e B * ; e c ~ f l * ) d v ( ~ ) = c ~ , Slo(A;cc)S~-~(B*;fl*) SO(n) p=O

ergibt sich also die behauptete GIeiehung (2). AbschlieBend mSehte ieh Herrn Hadwiger herzlich danken fiir die Informationen

und Erl~uterungen zu [4] und [5], die er mir noeh w/~hrend der Entstehungszeit jener Untersuchungen in freundlicher Weise hat zuteil werden lessen.

Literaturverzeichnis

[1] A. D. ALEI~SAZCD~OV, Zur Theorie der gemischten Volumina yon konvexen KSrpern. I. Ver- Mlgemeinerung einiger Begriffe der Theorie der konvexen K6rper (russisch). Mat. Sbornik N. S. 2, 947--972 (1937).

[2] W. FENCUr~ und B. JESSE~r, Mengenfunktionen und konvexe KSrper. Danske Vid. Selsk. 1Kat.-Fys. Medd. 16, 3 (1938).

[3] W.J. FmEY, Kinematic measures for sets of support figures. Mathematika 21, 270--281 (1974).

[4] I-I. HADWmV,~, Eine Erweiterung der kinematischen Hauptformel der Integralgeometrie. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 44, 84--90 (1975).

[5] H. HADWm:~, EikSrperrichtungsfunktionale mad kinematische Integralformeln. Studien- vorlesung UniversiC~t Bern 1975 (Manuskript).

[6] R. SCm~EXD~, Kinematische BeriihrmaBe fiir konvexe KSrper und Integralrelationen fiir OberttgchenmaBe. Math. Ann. 218, 253--267 (1975).

Eingegangen am 9. 9. 1975 Anschrift des Autors. Roll Schneider, Mathematisches Institut der Universitgt, 7800 Freiburg i. Br.