Einführung in die Statistik - tu-chemnitz.de Weitere... · MANOVA): Varianzanalyse für mehrere abhängige Variablen, bei denen die Mittelwertsunterschiede gleichzeitig geprüft

Prof. Dr. Günter Daniel Rey

Professur Psychologie digitaler LernmedienInstitut für Medienforschung Philosophische Fakultät

Einführung in die Statistik

Weitere Varianzanalysen

28. Weitere VarianzanalysenProf. Dr. Günter Daniel Rey

• Varianzanalyse mit Messwiederholung• Kovarianzanalyse• Multivariate Varianzanalyse

Überblick


• Varianzanalyse (engl. analysis of variance, ANOVA): Statistisches Verfahren zum simultanen Vergleich mehrerer Mittelwerte

• Einfaktorielle und mehrfaktorielle Varianzanalyse• Weitere Varianzanalysen

• Varianzanalyse mit Messwiederholung: Varianzanalyse für voneinander abhängige Messungen

• Kovarianzanalyse: Varianzanalyse, bei welcher der Einfluss von einzelnen Drittvariablen rechnerisch konstant gehalten wird

• Multivariate Varianzanalyse: Varianzanalyse für mehrere abhängige Variablen

Einführung (z.B. Rasch, Friese, Hofmann & Naumann, 2014; Rey, 2017)


• Varianzanalyse zu einem messwiederholten Versuchsdesign, bei dem die Messungen voneinander abhängig sind

• Beispiel: Lernleistungen werden während eines Lerntrainings wiederholt an denselben Versuchspersonen gemessen

• Neben der Effektvarianz kann die Personenvarianz aufgeklärt werden, die sich auf allgemeine Unterschiede zwischen den Personen bezieht

• Vor- und Nachteile von Varianzanalysen mit Messwiederholung• Höhere Teststärke bzw. geringeres benötigtes N• Auftreten von Übungs- und Sequenzeffekten (Reihenfolgeeffekte)• Bestimmte Forschungsfragen lassen sich nicht (sinnvoll) mit

Messwiederholung untersuchen

Varianzanalyse mit Messwiederholung (z.B. Rasch, Friese, Hofmann & Naumann, 2014)


Rey.participoll.com

Wann ist eine Messwiederholung sinnvoll? A: Ein einzelner Lerntext wird einmal mit und

einmal ohne Unterstreichungen der zentralen Begriffe präsentiert.

B: Beim Vokabellernen wird einmal mit roten und einmal mit blauen Karteikarten gelernt.

C: Eine einzelne Animation wird mit oder ohne Unterbrechungen präsentiert.

D: Ein Lernspiel wird einmal miteinander und einmal gegeneinander gespielt.

Varianzanalyse mit Messwiederholung

0

vote at Rey.participoll.com

A B C D


• Zerlegung der Gesamtvarianz aller Messwerte in Personenvarianz, Effektvarianz und Residualvarianz (Fehlervarianz)

• Personenvarianz: Varianz, die auf systematische Unterschiede zwischen den Versuchspersonen zurückzuführen ist

• Effektvarianz: Varianz, die durch den Einfluss der experimentellen Faktoren (und deren Wechselwirkungen) verursacht wird

• Residualvarianz: Varianz, die nicht erklärt werden kann und die sich aus zwei Komponenten zusammensetzt (auf Stichprobenebene nicht voneinander trennbar)• Wechselwirkung zwischen dem Personenfaktor und den Stufen

des messwiederholten Faktors• Restliche unsystematische Einflüsse



• Fiktive Ergebnisse zweier Studien mit Messwiederholung• Jeweils mit einem einfaktoriellen, dreifachgestuften Versuchsdesign

(d.h. drei Versuchsbedingungen)


Personenvarianz geringEffektvarianz hoch

Personenvarianz hochEffektvarianz gering

0123456789

10

IQ Basketball Kochen

Leist

ung

Sheldon Cooper Leonard Hofstadter Howard WolowitzRajesh Koothrappali Penny Mittelwert

0123456789

10

IQ Mathe Gedächtnis

Leist

ung

Sheldon Cooper Leonard Hofstadter Howard WolowitzRajesh Koothrappali Penny Mittelwert


• Fiktive Rohdaten zu einer Studie (vgl. rechte Abbildung auf der vorherigen Seite)


VPN Leistung

Sheldon 9.5Leonard 6.5Howard 4.5Rajesh 8.5Penny 1.5

M 6.1

VPN Leistung


M 6.5

VPN Leistung


M 6.9

IQ Mathe Gedächtnis


• Für ein einfaktorielles Design mit Messwiederholung gilt:


AxVpn

AxVpn

A

A

A

df

QS

df

QS

F

FA = Empirischer F-Wert für den Faktor AQSA = Quadratsumme des Faktors AQSAxVpn = ResidualquadratsummedfA = ZählerfreiheitsgradedfAxVpn = Nennerfreiheitsgrade


• Formel zur Berechnung der Quadrat-summe für die Wechselwirkung A x Vpn:

• Formel nicht identisch für nicht messwiederholte Varianzanalysen• Für das Beispiel gilt:

• Gruppenmittelwerte: 6.1, 6.5 und 6.9• Personenmittelwerte: 9.33, 7.00, 5.67, 8.17 und 2.33• Gesamtmittelwert: 6.5

• Berechnung:


p

i

N

m

MiimAxVpn GPAxQS1 1

2)(

p = Anzahl an Faktorstufen von AN = Anzahl an VersuchspersonenĀi = Mittelwert der Gruppe iPM = Mittelwert der Versuchsperson mG = Gesamtmittelwert

567.36.5)–2.33(6.9–.53...6.5)–9.33(6.1–.59 22AxVpnQS


• Formel zur Berechnung der Quadratsumme für den Haupteffekt A:

• Formel identisch für nicht messwiederholte Varianzanalysen• Für das Beispiel gilt:

• Anzahl an Versuchspersonen in einer Gruppe: 5• Gruppenmittelwerte: 6.1 (IQ), 6.5 (Mathe) und 6.9 (Gedächtnis)• Gesamtmittelwert: 6.5

• Berechnung:


p

i

iA GAnQS1

2n = Anzahl an Versuchspersonen in einer GruppeĀi = Mittelwert der Gruppe iG = Gesamtmittelwert

6.1.320 · 5]6.5)– (6.9 6.5)– (6.5 6.5)– [(6.1 · 5 222 AQS


• Zählerfreiheitsgrade: Bei einer einfaktoriellen, univariatenVarianzanalyse mit Messwiederholung (MW) • Formel: dfA = p – 1• Formel identisch für nicht messwiederholte Varianzanalysen• Beispiel: Bei drei Versuchsbedingungen ist dfA = 3 – 1 = 2

• Nennerfreiheitsgrade: Bei einer einfaktoriellen, univariatenVarianzanalyse mit MW • Formel: dfAxVpn = (p – 1) · (n – 1) • Formel nicht identisch für Varianzanalysen ohne MW• Beispiel: Bei drei Versuchsbedingungen ist dfAxVpn = 2 · 4 = 8


p = Anzahl an Versuchsbedingungen

n = Anzahl an Versuchs-personen in einer Bedingung


• Berechnung des empirischen F-Wertes:

Einsetzen ergibt:

• Kritischer F-Wert für dfA = 2 und dfAx Vpn = 8 sowie α = .05: Fkrit ≈ 4.46• Inferenzstatistische Entscheidung und Ergebnisdarstellung

• Da Femp = 1.79 < Fkrit = 4.46 wird H0 vorläufig beibehalten, d.h. das Ergebnis ist nicht signifikant

• FA(2,8) = 1.79, p = .23, ηp² = .31. 1-β = .93 für f = .25 und α = .05


79.1

8

57.32

6.1

AF

AxVpn

AxVpn

A

A

A

df

QS

df

QS

F


• Inferenzstatistische Voraussetzungen (vgl. ANOVA ohne MW)• Homogenität der Korrelationen zwischen den Stufen des

messwiederholten Faktors• Intervallskalenniveau der AV• Normalverteilung der AV in der Population (getrennt für jede

Versuchsbedingung oder auf Basis der Residuen)• Varianzhomogenität

• Zirkularitätsannahme (liberalere Variante der erstgenannten Voraus-setzung): Varianzhomogenität der Differenzen der Messungen von jeweils zwei Faktorstufen• Prüfung mittels Sphärizitätstest (Mauchly-Test)• Korrekturverfahren bei Verletzungen der Annahme berichtigen die

Freiheitsgrade Ergebnis wird weniger schnell signifikant



• Kovarianzanalyse (engl. analysis of covariance, ANCOVA): Varianz-analyse, bei welcher der Einfluss einer Drittvariablen (hier: Kovariate) auf die AV rechnerisch konstant gehalten, d.h. herausgerechnet (herauspartialisiert) wird

• Beispiel: Lernspiele mit vs. ohne Lernziele und IQ als Kovariate

Kovarianzanalyse (Rey, 2017)

80859095

100105110115120125130

Mit Lernzielen Ohne Lernziele

IQ Kovariate

4045505560657075808590


Lern-leistung Vergleich ohne

Kovarianzanalyse

4045505560657075808590


Lern-leistung Vergleich mit

Kovarianzanalyse


• Voraussetzungen für einen Einfluss der Kovarianzanalyse auf die Ergebnisse• Unterschiedliche Mittelwerte der Kovariaten für die einzelnen

Bedingungskombinationen • Korrelation der Kovariaten mit der AV

• Mögliche Ergebnisse der Kovarianzanalyse• Unterschiede zwischen verschiedenen Versuchsbedingungen

verstärken sich• Unterschiede zwischen verschiedenen Versuchsbedingungen

verringern sich

Kovarianzanalyse (Rey, 2017)


Rey.participoll.com

In einer Lernstudie wird der Einfluss von Pausen in Animationen untersucht.Nach der Erhebung zeigt sich, dass die Studierenden unter der Bedingung mit Pausen besser gelernt, aber auch mehr Vorwissen besessen haben als in der KG ohne Pausen. Das Vorwissen wird daher als Kovariate berücksichtigt.Wie beeinflusst dies voraussichtlich die Ergebnisse? A: Der lernförderliche Pausen-Effekt wird stärker. B: Der lernförderliche Pausen-Effekt wird schwächer. C: Der lernförderliche Pausen-Effekt wird stärker und

dadurch signifikant. D: Der lernförderliche Pausen-Effekt wird

schwächer und dadurch nicht mehr signifikant.

Kovarianzanalyse

Rey.participoll.com

0

vote at Rey.participoll.com

A B C D


• Voraussetzungen entsprechen denen der Varianzanalyse• Unabhängigkeit der Messwerte in den einzelnen Bedingungen

(bei nicht messwiederholten Versuchsdesigns)• Intervallskalenniveau der AV• Normalverteilung der AV in der Population (getrennt für jede

Versuchsbedingung oder auf Basis der Residuen)• Varianzhomogenität als Gleichheit der Populationsvarianzen, aus

denen die Stichproben stammen• Außerdem: Annahme homogener Steigungen der Regressionen

innerhalb der Stichproben• Kovarianzanalyse reagiert bei ungefähr gleichgroßen Stichproben der

Gruppen relativ robust gegenüber Verletzungen der Voraussetzungen

Inferenzstatistische Voraussetzungen der Kovarianzanalyse (Bortz & Schuster, 2010)


• Multivariate Varianzanalyse (engl. multivariate analysis of variance, MANOVA): Varianzanalyse für mehrere abhängige Variablen, bei denen die Mittelwertsunterschiede gleichzeitig geprüft werden

• Beispiel: Lernexperiment mit Behaltens- und Transferlernleistungen, kognitiver Belastung und Lernspaß als abhängige Variablen

• Vorteile multivariater Varianzanalysen• Differenziertere Erfassung eines Konzeptes• Berücksichtigung der Korrelationen zwischen den AVs• Vermeidung der Alphafehler-Kumulierung• Erhöhung der Teststärke

• Nachteil (u. a.): Schwierigere Interpretierbarkeit der Ergebnisse

Multivariate Varianzanalyse (z. B. Bortz & Schuster, 2010; Pituch & Stevens, 2015)


• Multivariate Prüfstatistiken• Pillai-Bartlett‘s V• Wilk‘s Lambda• Hotelling-Lawley‘s trace• Roy‘s largest root

• Resultierende F- und p-Werte aus diesen verschiedenen Prüfstatistiken in der Regel identisch

• Inferenzstatistische Entscheidung daher meist unabhängig von der gewählten Prüfstatistik

• In Fachzeitschriften häufig Wilk‘s Lambda berichtet

Multivariate Varianzanalyse (Pituch & Stevens, 2015)


• Intervallskalenniveau der AVs• Unabhängigkeit der Fehlerkomponenten von den Treatment-Effekten:

Beispielsweise bei Messwiederholungen verletzt• Multivariate Normalverteilung der AVs in der Population für die

einzelnen Bedingungskombinationen• Univariate Normalverteilungen garantieren keine multivariate

Normalverteilung• Graphische Inspektion oder (indirekte) Testung, z. B. mittels Test

zur Schiefe und Exzess von Mardia (1970)• Homoskedastizität als Homogenität der Varianz-Kovarianz-Matrizen

der einzelnen Faktorstufenkombinationen: Überprüfung durch Box-M-Test oder Bartlett‘s χ2-Test

Inferenzstatistische Voraussetzungen der MANOVA ohne Messwiederholung


• Varianzhomogenität unter den einzelnen Faktorstufen und Homogenität der Korrelationen zwischen den Faktorstufen• Auch hier nur Prüfung der Zirkularitätsannahme mittels

Sphärizitätstest (Mauchly-Test)• Korrekturverfahren bei Verletzungen der Zirkularitätsannahme

berichtigen die Freiheitsgrade, so dass das Ergebnis weniger schnell signifikant wird

• Bei der MANOVA mit MW ansonsten ähnliche Annahmevoraussetzungen wie bei der MANOVA ohne MW

• Ausnahme: Unabhängigkeit der Fehlerkomponenten von den Treatment-Effekten muss nicht vorliegen

Inferenzstatistische Voraussetzungen der MANOVA mit Messwiederholung


• Überprüfung der Voraussetzungen in der Forschungspraxis (leider) eher unüblich (vgl. t-Tests)

• Bezüglich der Annahme der multivariaten Normalverteilung unterschiedliche Angaben in der Literatur bezüglich der Robustheit• Test robust bei großen und gleichverteilten Stichproben (z. B. Ito,

1969; Ito & Schull, 1964; Stevens, 1979)• Test nicht robust (vgl. z. B. Wilcox, 2003)

• Bei Verletzungen der Voraussetzungen kann u.a. ein nonparametrisches Verfahren eingesetzt werden

• In der Praxis werden selten nonparametrische Verfahren genutzt

Inferenzstatistische Voraussetzungen der MANOVA


Beispiele für messwiederholte & multivaria-te (Ko-)Varianzanalysen in Fachzeitschriften

Quelle: Mammarella, Fairfield und Di Domenico (2013) Quelle: Florax und Plötzner (2010)

Quelle: Linek, Gerjets und Scheiter (2010)


Verbesserungsvorschläge


• Varianzanalyse mit Messwiederholung• Varianzanalyse zu einem messwiederholten Versuchsdesign, bei

dem die Messungen voneinander abhängig sind• Zerlegung der Gesamtvarianz aller Messwerte in Personenvarianz,

Effektvarianz und Residualvarianz (Fehlervarianz)• Kovarianzanalyse: Varianzanalyse, bei welcher der Einfluss einer

Drittvariablen auf die AV rechnerisch konstant gehalten wird• Multivariate Varianzanalyse: Varianzanalyse für mehrere abhängige

Variablen, bei denen die Mittelwertsunterschiede gleichzeitig geprüft werden

Zusammenfassung


• Rasch, B., Friese, M., Hofmann, W., & Naumann, E. (2014). Quantitative Methoden 2: Einführung in die Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler (4. Aufl.). Heidelberg: Springer.• Varianzanalyse mit Messwiederholung (S. 65-90)

• Rey, G. D. (2017). Methoden der Entwicklungspsychologie. Datenerhebung und Datenauswertung (2., überarbeitete Auflage). Norderstedt: BoD.• Kovarianzanalyse (S. 107-109)

Prüfungsliteratur


• Bortz, J., & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Berlin: Springer.• Versuchspläne mit Messwiederholungen (S. 285-304)• Kovarianzanalyse (S. 305-323)• Multivariate Mittelwertvergleiche (S. 471-486)

• Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Weinheim: Beltz.• Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung (S. 462-484)• Unterschiede zwischen mehreren Stichproben auf mehrere

abhängige Variablen: Multivariate Varianzanalyse (S. 505-526)• Gemeinsame Analyse kategorialer und metrischer unabhängiger

Variablen (S. 690-704)

Weiterführende Literatur I


• Leonhart, R. (2017). Lehrbuch Statistik. Einstieg und Vertiefung(4. Auflage). Bern: Huber.• Varianzanalyse mit Messwiederholungen (S. 495-546)• Kovarianzanalyse (S. 547-564)• Multivariate Varianzanalyse (S. 576-578)

• Sedlmeier, P., & Renkewitz, F. (2018). Forschungsmethoden und Statistik: Ein Lehrbuch für Psychologen und Sozialwissenschaftler (3. Aufl.). München: Pearson.• Varianzanalyse mit abhängigen Stichproben (S. 485-500)• Weitere Varianten der Varianzanalyse (S. 504-508)

• Pituch, K. A., & Stevens, J. P. (2015). Applied multivariate statistics for the social sciences (6th ed.). Hove, East Sussex: Routledge.

Weiterführende Literatur II

Documents

Einführung in die Statistik - tu-chemnitz.de Weitere... · MANOVA): Varianzanalyse für mehrere abhängige Variablen, bei denen die Mittelwertsunterschiede gleichzeitig geprüft