Einf uhrungindieMeteorologiegelesenvonProf.ReinholdSteinackerMitschriftDipl.-Ing.DieterMayer25.Januar2004VorwortDiesesSkriptumistalsMitschriftparallelzurVorlesungEinf uhrungindieMe-teorologievonProfessorReinholdSteinackerimWintersemester2003/04ent-standen.EinigeAbbildungensinddemLehrbuchErdeundPlaneten,dem7.BandderBergman-SchaferReihe,entnommen.DaheristdiesesSkriptumnurf urdenpri-vatenGebrauchbestimmt.DadiesdieersteAuageist, konntensicheinigeFehler hartnackiggegen uberdem Korrekturlesen gehalten haben. Zudem erhebt diese Mitschrift nicht den An-spruchaufVollstandigkeitundRichtigkeit. F urHinweisebez uglichFehlerwareichEuchsehrdankbar,bittetrichtetsiean:dieter.mayer@univie.ac.atWien,am22.Januar2004Dipl.-Ing.DieterMayer1Inhaltsverzeichnis1 Literaturliste 12 BegriserklarungundKategorien 22.1 EinteilungderMeteorologienachihrenMethoden . . . . . . . . . 22.2 EinteilungderMeteorologienachGebieten . . . . . . . . . . . . . 32.3 EinteilungderMeteorologienachRaumskalen . . . . . . . . . . . 43 StrahlunginderAtmosphare 63.1 DieStrahlungsussdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 DasStefan-BoltzmannGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 DasStrahlungsgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 DerTreibhauseekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 IrradianzundRadianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5.1 IrradianzeinesParallelstrahlers . . . . . . . . . . . . . . . 103.5.2 Halbraumstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6 Reexion,TransmissionundAbsorptionvonStrahlung . . . . . . 123.6.1 AbsorptionundEmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6.2 Extinktion:AbsorptionundStreuung. . . . . . . . . . . . 144 Hydrostatik 174.1 DieZustandsgroen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 DieMessungderZustandsgroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.1 DieDruckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2 DieTemperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 DerZusammenhangzwischendenZustandsgroen. . . . . . . . . 214.4 DasGeopotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Thermodynamik 305.1 Energieformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 DieEntropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I5.2.1 DerGay-LussacscheDrosselversuch . . . . . . . . . . . . . 345.2.2 EntropiealsLogarithmusvonWahrscheinlichkeiten . . . . 355.2.3 PotentielleTemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 ThermodynamischeDiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 WasserinderAtmosphare 446.1 Feuchtemae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.1 AbsoluteFeuchtew. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.2 Mischungsverhaltnism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.3 SpezischeFeuchteq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.4 VirtuelleTemperaturTv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.5 Dampfdrucke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1.6 Sattigungsdampfdruckes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1.7 RelativeFeuchteRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.8 TaupunkttemperaturTd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.9 FeuchttemperaturTf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.10AuqivalenttemperaturTe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.11 ZusammenhangderunterschiedlichenTemperaturen. . . . 496.2 TropfchenwachstumundNiederschlagsbildung . . . . . . . . . . . 516.2.1 Sattigungsdampfdruckf urnichtidealeVerhaltnisse . . . . 526.2.2 NiederschlagsbildunginwarmenWolken . . . . . . . . . . 556.2.3 NiederschlagsbildunginkaltenWolken . . . . . . . . . . . 566.2.4 Groe, Anzahl und Fallgeschwindigkeit unterschiedlicherTropfchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 ZusammensetzungderAtmosphare 588 Geouiddynamik 598.1 AufGeouidewirkendeKrafte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.1.1 Gravitations-undZentrifugalkraft(Schwerkraft). . . . . . 608.1.2 Corioliskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.1.3 Druckgradientkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.1.4 Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 BewegungsgleichungderGeouide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2.1 GeostrophischerWind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2.2 Gradientenwind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.3 KinematischeGroendesStromungsfeldes . . . . . . . . . . . . . 718.3.1 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.3.2 Vorticity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72II9 Erhaltungssatzef urGeouide 769.1 Massenerhaltungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2 Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.3 Euler-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810WellenvorgangeinGeouiden 8110.1 BeschreibungvonWellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.3 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.4 Rossby-Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311Ubermittlungu.Analysed.Beobachtungen 8512Wettersysteme 8912.1 BarotropieundBaroklinitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2 Zirkulationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.2.1 LokaleWindsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.3 Verf ugbarePotentielleEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93AFormelsammlung 96PhysikalischeKonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96AstronomischeKonstanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 96ThermodynamischeKonstanten . . . . . . . . . . . . . . . 97IIIKapitel1LiteraturlisteBuschneret.al,AllgemeineMeteorologie,1987Lilyequist,CehakK,AllgemeineMeteorologie,1984WallaceJ.H.,HobbsP.V.,AtmosphericScience,1977ByersH.R.,GeneralMeteorology1974FortakH.,Meteorologie,1982HackelH.,Meteorologie,1990MacIlvenJ.F.R.,BasicMeteorology,1986MollerF.,Einf uhrungindieMeteorologie,1973RiehlH,IntroductiontotheAtmosphere,1978BergmannSchafer,Band7:ErdeundPlaneten1Kapitel2BegriserklarungundKategorienDas Wort Meteorologiekommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie daswas uber der Erde liegt. Bereits Aristoteles beschaftigte sich damit, allerdingsnurempirisch. DieheutigeMeteorologiebeschaftigtsichnichtnurmitderAt-mosphare,sondernmitdenNachbarspharenwie derBiosphare oderdenunterenGrenzschichten.2.1 Einteilung der Meteorologie nach ihren Me-thodenAllgemeineMeteorologie: beschaftigtsichmitdenGrundgesetzenunddentaglichenPhanomenen.Theoretische Meteorologie: nutzt die Kenntnisse der klassischen Physik,vor allem Gebiete wie Hydromechanik, Bewegung der Fluide, Thermodyna-mik, Kinematik, Dynamik, Strahlung, Energetik, Turbulenz, Grenzschicht-prozesse. Seit 1950 spielt die numerische Mathematik wegen der Einf uhrungvonComputerneinegroeRolle.Experimentelle Meteorologie: In der Meteorologie sind keine oder kaumLaborexperimente durchf uhrbar. Man muss auf die zu untersuchenden Phano-mene warten und kann diese auch nicht identisch reproduzieren. Eine Aus-nahme bildet etwa die Untersuchung der Fallgeschwindigkeiten von Hydro-meteoren.AngewandteMeteorologie: nutzbringende Anwendungen in Tourismus,Landwirtschaft, Forstwirtschaft undanderenWirtschaftszweigen. Zweigedavonsind:2KAPITEL2. BEGRIFFSERKLARUNGUNDKATEGORIEN 3SynoptischeMeteorologie: synoptischleitetsichausdemgriechi-schenWort f ur Zusammenschauab. Damit ist dieBeobachtungdesWettersanmehrerenOrtenmitderVerkn upfungderDatengemeint.TiefshabenetwariesigeAusdehnungen,miteinerMessstationwarensieniemalsidentizierbar.Flugmeteorologie:DieKenntnisdesWetterserspartdenFluglinienTreibstowenndieWindverhaltnissegeschicktausgenutztwerden.Biometeorologie: AuswirkungdesWettersaufPanzen, TiereundMenschen. Beispiele warenHitze- undKaltestress. Diese Kategoriekannweiterunterteiltwerdenin:Agrarmeteorologie: PanzenwachstumhangtvonderTempe-ratur ab, daher wird das Klima auch nach der Art der Vegetationeingeteilt.(z.B.:borealesKlima)Umweltmeteorologie: untersucht auchdie menschlichenEin- usseaufdasWetter.Forstmeteorologie.Medizinmeteorologie.EineandererFormderEinteilungderMeteorologiegeschiehtnachOrtenbzw.Gebieten:2.2 EinteilungderMeteorologienachGebietenAerologie: untersuchtdiehohenLuftschichtenoberhalbvon10bzw. 12km.IndieseKategoriefalltdasThemaOzonloch.Aeronomie: untersucht diehochstenSchichtender Atmosphare, Steige-rungderAerologie.Grenzschichtmeteorologie: befasst sich mit den ersten 1000 m uberder Erdoberacheunduntersucht z.B. dieWechselwirkungzwischenAt-mosphareundderMeeresoberache.Mikrometeorologie:Zweig,dersichmitdenuntersten100mderAtmo-spharebeschaftigt,etwamitWirbelbildungenanWaldrandern.Maritime Meteorologie: erforscht die WechselwirkungzwischenMeerundAtmosphare,soauchdieVerdunstungunddenEnergietransport.Alpinmeteorologie: diese Bezeichnung steht allgemein f ur Gebirgsmeteo-rologie und befasst sich z.B. mit Fohneekten und Stauniederschlagen. HierspieltOsterreicheinewichtigeRolle.KAPITEL2. BEGRIFFSERKLARUNGUNDKATEGORIEN 4Glazialmeteorologie: untersucht die Wechselwirkung zwischen Gletschernundder Atmosphare. So erzeugenGletscher Windsysteme, andererseitshangtdieGletscherbildungvonNiederschlagenab.Polarmeteorologie: untersucht extremtiefeTemperaturenunddieBil-dungvonPackeis.Mittelbreitenmeteorologie: im Gegensatz zu den Tropen und den Polengibt es in den mittleren Breiten eine schnelle Abfolge von Hochs und Tiefs,damitbeschaftigtsichdieserZweigderMeteorologie.TropischeMeteorologie: beschaftigt sich unter anderem mit der Entste-hungvonZyklonen.EssindnochandereUnterteilungengebrauchlich,etwaeinenachRaumskalen:2.3 Einteilung der Meteorologie nach Raumska-lenSynoptischeMeteorologie:auchMakro-Meteorologie,beschaftigtsichmitdengrotenWettersystemen.Meso-Meteorologie:untersuchtSystememitAbmessungenzwischen2und2000km,darunterfallenFrontenundGewitter.Mikro- Meteorologie: untersuchtWettererscheinungen, dienureinigeMetereinnehmen.WeitereEinteilungenorientierensichanZeitraumen(Klima)oderInstrumen-ten, so wurden in den letzten Jahrzehnten die Begrie Satelliten-undRadar-meteorologiegepragt.Anmerkung: DieMeteorologieisteineweltweit starkvernetzteWissen-schaft, das liegt vor allemamgrenz uberschreitendenundgroraumigenCha-rakter von Wettererscheinungen. Dar uber hinaus spielen nanzielle Aspekte eineRolle.MeteorologischePhanomenelassensichbez uglichihrerraumlichenundzeitli-chenAusdehnungen(Lebensdauer)inSkalenanordnen.KAPITEL2. BEGRIFFSERKLARUNGUNDKATEGORIEN 5Tragt man die Zeit- uber der Langenkoordinate doppellogarithmisch (AbszisseundOrdinatesindlogarithmiert)auf, soordnensichdiemeistenProzessewieTornados,GewitterzellenoderHurrikanesentlangeinerLiniean.Vonisotroper Skaligkeitspricht man, wenndiehorizontalenundvertikalenAusdehnungeninderselbenGroenordnungliegen,anderenfallssprichtmanvoneiner anisotropen Skaligkeit. Die horizontalen Ausdehnungen ubertreen dabeidievertikalenumeinVielfaches.DieErdoberachebishinzudenieendenGrenzenderErdezumWeltall istinSpharenunterteilt,undzwarinfesteunduideSpharen.DiesesindsowohlraumlichenalsauchzeitlichenVeranderungenunterworfen.CharakteristischeLangen:meteorologischeGebildebesitzenunterschiedlichezeitliche und raumliche Skalen (Ausdehnung im Raum und Lebensdauer). Da sichkeinPhanomenexaktdemanderenahnelt,mussman uberdieunterschiedlichenAuspragungenmittelnunderhaltSchwankungsbreiten.Kapitel3StrahlunginderAtmosphare3.1 DieStrahlungsussdichteDieStrahlungsussdichteistdeniertalsdieineinerSekundeprom2auf-treendeEnergieundhat demnachdieEinheit: J/(m2s) oder W/m2(Wattprom2).DieStrahlungsussdichtederSonnenstrahlungaufderErdewirdalsSolarkon-stanteSbezeichnet.SieistabernurinNaherungeineKonstante,inWahrheitschwanktsieauf allenZeitskalen(Sonnenzyklen, Ellipsenbahnder ErdeundJahreszeiten) und hat einen Anteil am Klimawandel. Wegen der Ellipsen-bahnunddergroerenNahederErdebeiderSonneimJannersinddieJahres-zeitenauf derSchallpegel starkerausgepragt. DieMessungderSolarkonstanteaufderErdeistschwierig, esmussmitHilfevonSatellitenundComputernderEinussderAtmosphareherausgeltertwerden.Im Mittel betragt die Solarkonstante S = 1368 W/m2. Im Vergleich dazu gibtder Mensch insgesamt 100 W ab. Die maximale Schwankung der Solarkonstantebetragt10W/m2.Wieviel Strom konnte man aus der Sonnenenergie maximal gewinnen? W urdemandiegesamteErdemitSolarzellen uberziehen, sow urdeman10000malmehrEnergiegewinnen,alsheuteverbrauchtwird.6KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 73.2 DasStefan-BoltzmannGesetzDasStefan-BoltzmannGesetzstellteinenZusammenhangzwischenderab-gestrahltenStrahlungsussdichteEundderTemperaturdesStrahlersherundwurdevordemPlanckschenGesetzgefunden:E= T4MitderStefanBoltzmannKonstante= 5.67 108W/(m2K4).F urdieSonneergibtsichdemnacheineOberachentemperaturvonT=5790 K. Ein m2der Sonnenoberache gibt eine Strahlungussdichte von 6.3723107W/m2ab.MitdemStefan-BoltzmannGesetzkanndieTemperaturstrahlungeinesbeliebi-genKorpers berechnet werden. Beispielsweisestrahlt einKorperbei0C eineEnergievon460JouleproSekundeundm2ab.3.3 DasStrahlungsgleichgewichtAufgrund der auftreenden Sonnenstrahlung auf die Erdoberache kann die Strah-lungsgleichgewichtstemperatur der Erde berechnet werden. Eine wichtigeGroedaf uristdieAlbedoA, sieistderQuotientausreektierterundein-gestrahlterEnergieundbetragtf urdieErdeA=0.3.Dasbedeutet,70%derStrahlungsenergiewerdenabsorbiert.Infr uherenZeitenwurdeversucht,dieAl-bedomit Hilfe einer Sonnennsternis zubestimmen. Der Mondist indiesemFall nicht ganz dunkel, das Licht kann aber nur von der Erdoberache reektiertwerden.DieErdeempfangteinenStrahlungsussvon:Ee= r2 S (1 A)Die Erdoberache stellt eine Flache der Sonne entgegen, die der Oberache einerScheibemitdemErdradiusentspricht.AbgestrahltwirdinalleRichtungen:Ee= 4 r2 T4eKAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 8Die Temperatur, die beimGleichsetzen dieser Gleichungen resultiert, ist dieStrahlungsgleichgewichtstemperaturderErde.Darausergibtsich: Te=255K=-18C. DiewahreTemperaturderErdebetragtimDurchschnittaber14.5C.WieistdieseDierenzerklarbar?DieSonnestrahltimkurzwelligenBereich, dasIntensitatsmaximumliegtbei = 500 nm, die Erde strahltaber im langwelligerenBereich mit einemMaximumum=11m. DiegroteWellenlangedesSonnenspektrumsliegtungefahrbeiderunterenGrenzedesErdsprektrums,etwabei3m.3.4 DerTreibhauseektDie Atmosphare ist f ur die Sonnenstrahlung fast ganz durchlassig, die Erd-strahlung wird beinahe zur Ganze absorbiert. Im Modell kann die AtmospharederErdealsd unneGlasschichtangenommenwerden, diedieganzelangwelligeStrahlungabsorbiertundinRichtungErdoberacheundWeltraumabgibt.WennderStrahlungsussderErdatmospharehinzurErdeEaundindenWelt-raumebenfallsEaist,dannerreichtdieErdoberacheinsgesamt:Ee=S4(1 A) + EaMitEa= Ee/2wirddaraus:Ee=S4(1 A) + Ee/2 Ee=S2(1 A) = 480 W/m2MitdemStefanBoltzmann-Gesetzergibtsichdaf ureineTemperaturvonT= 30C.Dieses Modell uberschatzt dieTemperatur aber etwas, der Grundliegt darin,dass die Erdatmospharedochnicht die gesamte langwellige Strahlungabsorbiert.Die Venus hat mehr CO2und kann im Modell nicht mit einer Glasschicht erklartwerden. ZurBerechnungderTemperaturderVenusm ussenmehrereSchichtenangenommenwerden, dieStrahlunginunterschiedlichenWellenlangenbereichenherausltert. Zudem ist die Atmosphare kein statisches Gebilde sondern bendetsichinstandigerBewegung.KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 9Voraussagen, wiesichdieTemperaturbei einerverandertenZusammenset-zungder Atmosphareverandert, sindnur schwer moglich. Wennder CO2Gehalt steigt, sokonnte sichdurchdie veranderte Anzahl der Aerosole auchdieWolkenbildungunddamitdieAlbedoundfolglichdieStreuungandern. EswirkensehrvielePhanomenezusammenundbildeneinkomplexesmathe-matischesProblem.Wenn man davon ausgeht, dass die Atmosphare 30% der terrestrischen Strahlungdurchlasst, dann kommt man auf etwa 15C als mittlere Oberachentemperaturf urdieErde.Energie,StrahlungundEnergieussdichteEnergie kann unterschiedlicheAuspragungen annehmen, etwa Warmeener-gie, kinetische Energie, elektrische Energie oder magnetische Energie. StrahlungistnuneinFlussvonEnergie.DerStrahlungsussistdieEnergie,dieproZeiteinheitiet, dieEinheit daher J/s bzw. Watt. Bezieht mandenEner-gieussnochaufeineFlache,sokommtmanzurEnergieussdichtemitderEinheitW/m2. Bei derbereitserwahntenSolarkonstanteShandeltessichumeinespezielleEnergieussdichte.Betrachtet man die von der Sonne insgesamt abgestrahlte Energie pro Sekunde,so kommt man auf einen Strahlungsuss von WS= 3.851026Watt. Vergleichtman das mit dem Primarenergieaufwand der Menschheit, so kommt man nur aufeineLeistungvon1013Watt.UmdieStrahlungsussdichtederSonneauszurechnen,dividiertmandenStrah-lungsussderSonnedurchihreOberacheunderhalt:ES=WS4 r2S= 6.37 107W/m2Die Strahlungsussdichte der Sonne auf der Erde ergibt sichnun, wennmanden Strahlungsuss der Sonne auf die Oberache einer gedachten Kugel mit demRadiusderEntfernungSonne-Erdebezieht:S=WS4 R2ES= 1368 W/m2Umgekehrtkannmandarausberechnen, welchenStrahlungsussdieErdevonder Sonne abbekommt. Die eektive, der Sonne zugewandte Flache ist die Flacheeines Kreises mit dem Radius der Erde. Es ergibt sich ein Wert von 5.61016W.KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 103.5 IrradianzundRadianzAusdemEnglischenhatsichauchbei unsderBegriIrradianzf urdieStrah-lungsussdichtedurchgesetzt.IndiesenBegrienausgedr ucktistdieSolarkon-stanteSdieIrradianzderSonneimErdabstand.DieSolarkonstantebeziehtsichaufdensenkrechtenEinfallderSonnenstrah-len. Scheint die Sonne unter einem achen Winkel, so wird entsprechend wenigerEnergie pro Sekunde auf einen Quadratmeter gestrahlt. Zu ber ucksichtigen ist da-herderCosinusdesEinfallswinkelsvonderSonne,erwirdvomLotgemessen.DasLambertscheCosinusgesetzber ucksichtigtdiesenSachverhalt:dE= Lcos dDabei ist Ldie Radianz (Flachenhelligkeit) und d der Raumwinkel. DieFlachenhelligkeitistunabhangigvonderEntfernungderQuelle.BlicktmandurcheinRohraufeinehelleFlacheundnahertsichdieser,soandertsichf urdenBetrachternichtsanderHelligkeit.DieDenitiondesRaumwinkelslautet:d= sin ddDabeiistderZenitwinkelundderAzimutwinkel.DieIrradianzEberechnetsichnunmitdieserFormel:E=_Lcos dEskonnennunzweiSpezialfalleunterschiedenwerden:3.5.1 IrradianzeinesParallelstrahlersIst die Strahlungsquelle wie die Sonne sehr weit entfernt, so kann man anneh-men, dassdieStrahlenparallelaufderErdeankommen. Nimmtmanweitersan, dass die Radianz f ur alle Bereiche der Quelle konstant ist, so kann man sievordasIntegralziehenundf urdgleichsetzen.KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 11E=_LScos d= LScos DieSonnenimmt aus irdischer Sicht einenRaumwinkel von=6.64105sr am Himmelsgewolbe ein. Damit ergibt sich f ur die Radianz LSder SonneeinWertvonLS= 20.01 107W/(m2sr).F urdieseBerechnungwurdef urEdieSolarkonstanteundf ur = 0eingesetzt.3.5.2 HalbraumstrahlerStrahlt das Himmelsgewolbeaus allenRichtungen gleichstark,wie es etwa beiwolkenlosem Himmel der Fall ist (wenn man die Sonne selbst nicht ber ucksichtigt)oder bei Hochnebel, so kann man die Radianz ebenfalls vor das Integral ziehen,dieseistdannjaisotropundnichtmehrvomRaumwinkel abhangig, undmankanndasIntegralmiteinerVariablentransformationlosen:E==2_=0Lcos d= L/2_=02_=0cos sin dd = LDieRadianzundIrradianzsindauchvonder Wellenlangeabhangig,demnach spricht man von der spektralen Radianz L, bzw. von der spektralenIrradianzE.DurcheinfacheUmrechnungen uberc= gelangtmanauchdenfrequenz-abhangigenGroenLundEDiegesamteIrradianzEerhaltmandurchIntegration uberalleWellenlangen:E=max_minE dDie spektrale Radianz eines schwarzenKorpers Blasst sichaus demPlanckschenGesetzberechnen:B(, T) = 2hc25ehck T1KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 12DieauftretendenKonstantensind:PlanckschesWirkungsquantumh=6.6256 1034J/sLichtgeschwindigkeitc=2.9979 108m/sBoltzmannKonstantek =1.3805 1023J/KStefanBoltzmannKonstante =5.6698 108W/(m2K4)Nach demWienschen Verschiebungsgesetz hangt die Wellenlange derStrahlungmitdermaximalenIntensitatbeimschwarzenKorpernurvonseinerTemperaturab:maxT=konstant.DiesesGesetzistnichtnachderStadtWien, sondernnachdemPhysikerWienbenannt.F urdiegesamteRadianzergibtsichnun:_0B d = T4(3.1)3.6 Reexion, Transmission und AbsorptionvonStrahlungTrit ein Strahl auf ein Medium, so treten folgende Prozesse in einem unterschied-lichen, vor allem vom Medium und der Wellenlange abhangigen Art und Weiseauf:Reexion:EinTeilderauftreendenStrahlungwirdzur uckreektiert,dabei wird zwischen spiegelnder und diuser Reexion unterschieden.Abhangig vom Einfallswinkels des Strahls tritt eine Richtungsablenkungauf. Wennsichtbares Licht der Sonne die Erde erreicht, sowerden30%zur uckreektiert,mansprichtvonderAlbedoderErdeimsichtbarenBe-reich. DasSymbol f urdieReexionistdas, aufenglischheitReexionreectivity.Transmission: Die Elektromagnetische Strahlung oder ein Teil davon gehtdurch die Materie hindurch ohne absorbiert zu werden. Das Symbol daf urist,dieenglischeBezeichnungdaf uristtransmissivity.KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 13Absorption: davonsprichtman, wennStrahlungineinemMediumver-schluckt und in Warme umgewandelt wird. Das Symbol f ur die Absorptionist,dieenglischeBezeichnungabsorptivity.Diesedrei ProzessestehenwegenderEnergieerhaltungimfolgendenZusam-menhang:DieSummedieser3Prozessemuss1ergeben: + + = 1DieAufteilungderGesamtenergiedesStrahlsaufdieseProzessehangtinderRegel von der Wellenlange ab. F ur jede Wellenlange muss aber wieder dieserZusammenhanggelten:() + () + () = 13.6.1 AbsorptionundEmissionStrahlung wird nicht nur absorbiert, sondern im Gegenzug auch wieder emit-tiert.DieemittierteEnergieeinesMediumslasstsichmitjenereinesschwarzenKorpers vergleichen. Auf diese Weise ist auchdie Emissionszahl bzwaufenglisch,dieemissivitydeniert:E= EidealDieEmissionszahleinesSchwarzenKorpersistdemnachmaximal(=1).Im terrestrischen Strahlungsbereich konnen die Erde und die meisten Stoe nahe-rungsweise als idealer schwarze Strahler aufgefasst werden. Lediglich Edelme-tallfolien wie Goldfolien haben Emissionszahlenwesentlichunter1, das istauchderGrund,warumVerletzteimGebirgebeimAbtransportmitMetallfolieumwickeltwerdenumsievoreinerstarkenAusk uhlungzubesch utzen.Der folgende wichtige Zusammenhang zwischen der spektralen Emissionszahl() und der spektralen Absorptionszahl() wird als KirchhoschesGe-setzbezeichnet:() = ()KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 14DielangwelligeterrestrischeunddiekurzwelligesolareStrahlungwirdvonun-terschiedlichenStoenunterschiedlichstarkabsorbiert:Solar TerrestrischkurzlangMetalle gro kleinNichtmetalle unterschiedlich groSchnee klein 99%Schnee absorbiert bei hoheren Wellenlangen ausgezeichnet wahrend bei k urzerenWellenlangen fast alles reektiert wird (daher erscheint uns der Schnee wei). Vonder Farbe d urfen also keine R uckschl usse auf das Absorptionsvermogen desMediumsbeinichtsichtbarenWellenlangengezogenwerden.Die einzelnen Komponenten der Atmosphare absorbieren die Sonnenstrahlung inunterschiedlichenWellenlangenbereichen.FolgendeTabelleprasentiertdieWellenlangeninm, dievondenunterschied-lichenGasenabsorbiertwerden.SolcheWellenlangenwerdenalsAbsorptions-bandenbezeichnet.H2O 0.72 0.81 0.93 1.13 1.37 1.85 2.66 3.2 6.3 >13CO21.46 1.6 2.04 2.75 4.27 4.8 5.2 9.3 13.3 >15O30.22-0.29 0.3-0.35 0.69-0.76 4.7-9.6O20.1-0.18 0.2-0.24 0.69-0.763.6.2 Extinktion:AbsorptionundStreuungDurchdringteinStrahl miteinerRadianzL1einMedium, soistdieRadianzL2desaustretendenStrahlsgeschwacht(L2L1). DieSchwachungisteiner-seits durch Absorption, andererseits durch Streuung bedingt. Bei der StreuunghandeltessichumeineRichtungsanderungderLichtstrahlenWovonhangtnundieSchwachungL = L2L1ab?IndierentiellerSchreibweiselasstsichdieSchwachungaufdievorhandeneRa-dianzLunddenoptischenWegdzur uckf uhren:dL = Ld (3.2)KAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 15DasMinuszeichendr ucktdieAbnahmeder Radianzaus. HierhabenwiresmiteinereinfachenDierentialgleichungzutun.DieLosungerfolgtaufdieseWeise:UmschreibenvonGleichung(3.2)f uhrtzu:dLL= dLinkserkenntmandieAbleitungdesLogarithmusvonL:d(log L) = dDurchdieIntegrationbeiderSeitenerhaltman:log(L2) log(L1) = 2(1)EinebekannteLogarithmus-Identitat(log(a) log(b) = log(a/B))f uhrtauf:log_L2L1_ = (21) (3.3)Wendet man auf beiden Seiten die Exponentialfunktion an und bringt L1auf dierechteSeite,soerhaltenwirdasBeerscheGesetz:L2= L1e(21)(3.4)VielfachwirdLstattL2undL0stattL1verwendet,analogesgiltf urdieIndizesvon.Eine Anwendung des Beerschen Gesetzes ist die Berechnung der solaren IrradianzaufderErdoberache.Bei der Streuung des Sonnenlichts in der Atmosphare an kleinen Partikeln werdenjenachdemVerhaltnis der Wellenlangedes Lichts zumDurchmesser dderPartikelzweiSpezialfalleunterschieden:Rayleigh-Streuung:DieseArtderStreuungtrittauf,wenn dist.DannistdasAusmaderStreuungproportional zu4. DadurchwerdenKAPITEL3. STRAHLUNGINDERATMOSPHARE 16kurze Wellen wie etwa blauesLicht viel starkergestreut als Wellen, diealsrotesLichtsichtbarsind.DasistderGrund,warumunsderHimmelinblauerFarbeerscheint.Mie - Streuung: Wenn dist, danntritt diese Art der Streuungauf.Hiergibtesjedochkeineallgemeing ultigeAbhangigkeitderStreuungvonderWellenlange. JenachArtderStreupartikel kanndasAusmaderStreuungmit angegebenwerden, wobei 13liegenkann. EstretenFalleauf,wonegativwerdenkann.RotesLichtwirddannstarkergebrochen, waszueinerVerfarbungderHimmelsfarbevonblauzueinemRottonf uhrenkann,etwawennbestimmteAerosolebeieinemWaldbrandindieAtmosphareaufsteigen.Strahlung undMaterie wechselwirkenalso, wie starkdie Radianz der Strah-lungbeimDurchdringenvonMaterie verandert wird, wirddurchdie Strah-lungs ubertragungsgleichungbeschrieben,sielautet:dL = (L J) dDabeistehtdasJf urdieStrahlungsquellen,wieesetwaMolek uleinderAt-mospharef urdieterrestrischeStrahlungsind.ImModell kannmandie Atmosphare inSchichtenteilenundf ur jede dieserSchichten die Strahlungs ubertragungsgleichung getrennt losen. Zu ber ucksichti-gen ist nur die Vertikalkomponente, in horizontalerRichtung treten keineStrahlungs usseauf.Kapitel4HydrostatikIn diesem Abschnitt werden die wichtigsten Zustandsgroen ,ihre Messung sowieihreZusammenhangebetrachtet.4.1 DieZustandsgroenInderMeteorologiespielenfolgendeZustandsgroeneineRolle:Name Symbol Denition EinheitVolumen V m3Masse M kgTemperatur T KDruck p K/A Pa,N/m2Stomenge MmolMassendichte M/V kg/m3SpezischesVolumen 1/,V/M m3/kgMengendichte M/V mol/m3Molvolumen 1/,V/Mm3/molAnzumerkenistnoch, dasseinMoldieAnzahl von6 1023TeilchenistundderdurchschnittlicheLuftdruckamMeeresspiegel p=1013.25hPa, bzw760TorrQuecksilberbetragt.17KAPITEL4. HYDROSTATIK 184.2 DieMessungderZustandsgroen4.2.1 DieDruckmessungUmdenLuftdruckzubestimmen,mussdieKraftKaufdiewirkendeFlacheAbekanntsein,derDruckistganzeinfachderQuotientvonKraftundFlache.DasQuecksilberbarometerDas Quecksilberbarometer besteht aus einemgebogenenmit Quecksilberbef ulltenundaneinerSeiteoenenGlasrohrgleichenDurchmessers. DasQuecksilbersteigtnunamgeschlossenenEnde sohoch,bisder Gewichts-druckdesQuecksilberdemLuftdruck, erwirktauf deroenenSeitedesRohrs,dieWaagehalt:Hg g h = pDabei isthdieHohendierenzderQuecksilbersauleninbeidenRohrhalf-ten.DasQuecksilberbarometererlaubtsehrgenaueLuftdruckmessungen,allerdingsistQuecksilberdampfgesundheitsschadlich.AnaeroideBarometer:WiederNameschonsagt,kommenanaeroideBarometerohneFl ussig-keitenaus. EinBehaltermiteinergewelltenOberacheundeinemkon-stanten Innendruck piwolbt sich nach innen, wenn der Auendruck pa> pibzw.nachauen,wennpi> paist.ZusatzlichistimInnerendesBehaltersnocheineFederangebracht,umdieWolbungenetwaszudampfen.Diese Art von Barometern ist zwar nicht so prazise, allerdings kann leichteinSchreibermiteinerrotierendenTrommelangebrachtwerden.Hypsometer:Das Hypsometer ist eine Variante der Barometer, welche die Siedepunkts-abhangigkeitvomDruckausn utzt. Begibtmansichetwaauf eineHohevon2500m, sobetragtderSiedepunkt90C, aufdemGipfel vomMountBlanc(4800m)nurmehr80C.EswirdnuneineFl ussigkeit solangeerhitzt, bissichSiedeblasenbilden.Aus der gemessenen Temperatur lassen sich R uckschl usse auf den Luftdruckziehen. Allerdings muss die Temperatur mit der Genauigkeit von 1/1000gemessenwerden, damit der Luftdruckmit einer Genauigkeit von1/10bestimmtwerdenkann.KAPITEL4. HYDROSTATIK 19elektrischeundkapazitiveWiderstande:Beispielsweise wirddie Abhangigkeit des elektrischenWiderstandes vonKohlepulvervomLuftdruckausgenutzt.DieGenauigkeitdieserBarometerkommtnichtanjenedesQuecksilberbarometersheran.4.2.2 DieTemperaturmessungAuchbei denThermometerngibtesvielfaltigeVariantenmitunterschiedlicherGenauigkeit.Fl ussigkeitsthermometer:Fl ussigkeitsthermoemeter bestehenaus einemGlasgefaindemsichdieFl ussigkeit bendet undeiner langgezogenensehr d unnenKapillare. Amhaugsten werden Quecksilberthermometer verwendet, allerdings ist dieEinsatzmoglichkeitbei tiefenTemperatureneingeschrankt, bei -37Cge-friertQuecksilber. Ein Problem liegt beim Alterungsprozess von GlasundFl ussigkeit. UmdemAbhilfezuleisten, werdenGlasundFl ussigkeitk unstlich gealtert. Obwohl diese Thermometer sehrgenau sind, haben sieden Nachteil, dass keine guten automatischen Aufzeichnungsmoglich-keitenbestehen.Deformationsthermometer:Ein gebogenes Rohr mit elliptischemQuerschnitt (Bourdon Rohr)dehntsichbei Temperaturzunahmeaus, derQuerschnittwirdzunehmendkreisformig. Obwohl die Materialerm udung ein wesentlicher Nachteil ist,kann ubereinfacheVorrichtungeneineTemperaturkurveaufgenommenwerden.Bimetallthermometer:EineSpirale, dieauszwei groachigzusammengelotetenunterschiedli-chen Metallen besteht, dehnt sich aus bzw. zieht sich zusammen wenn sichdieTemperaturandert.DerGrundliegtindenunterschiedlichenAus-dehnungskoezienten beider Materialien. Das Anbringen eines ZeigersmiteinerSkalaf urdieTemperaturaufzeichnungstelltkeinProblemdar.ElektrischeThermometer:DaselektrischeThermometernutztdiethermischeSpannungzwischenzwei verbundenen Metallen. Der Stromkreis besteht zumindest aus 2 unter-schiedlichen Metalldrahten mit 2 Lotstellen wobei eine auf konstanter undbekannterTemperaturT0gehaltenwird.DieandereLotstellewirdaufdieKAPITEL4. HYDROSTATIK 20zumessendeTemperaturTgebracht. DievorliegendeSpannungistnuneineFunktionderTemperaturdierenzT T0. AlsReferenztempera-turT0wirdmeistdierelativkonstanteBodentemperaturgenommen. Dergroe Vorteil dieses Thermometers ist, dass keine externe Energiequellenotwendigist.Widerstandsthermometer:Der Widerstandhangt vonder Temperatur ab. Umgekehrt kannda-her die Widerstandsanderung als Indiz f ur die Temperaturande-rungverwendet werden. Metalle erhohenbei Zunahme der Temperaturihren Widerstand, die Temperaturkoezienten sind positiv PTC (PositiveTemperaturkoezient).HalbleiterreduzierenbeiTemperaturzunahmeih-ren Widerstand, die Koezienten werden daher auch als NTC bezeichnet.AkustischeThermometer:Auchdie Schallgeschwindigkeit ist eine Funktionder Temperatur.ManmisstdieLaufzeitvonSchall zwischenzwei PunktenundberechnetausderSchallgeschwindigkeitdieTemperatur. Manbrauchtnichtauf dieEinstellungeines thermischenGleichgewichts zuwarten, es handelt sichdabeiumeineber uhrungsloseMessung.DerNachteilliegtinderauf-wendigenZeitmessung.RadiometrischeTemperaturmessung:Kennt man die Emmisionszahl , so kann aus der Strahlung die Tempera-tur ermittelt werden, vor allem bei hoheren Temperaturen funktioniert dasnichtsoschlecht.AufdieseWeisekonnenSatellitendieTemperaturenvonabgelegenGebietenaufderErdeermitteln.DerVorteilliegtwiederinderber uhrungslosenundtragheitslosenMessung, derNachteil indernichtallzuhohenGenauigkeit.BarometrischeTemperaturmessung:Kennt manvonzwei vertikal ubereinanderliegendenPunktendenDruckund die dazwischenliegende Distanz, so kann aus der Druckabnahme auf diemittlereTemperaturimdazwischenliegendenBereichgeschlossenwerden.InKlimah uttensindzweiparallelangebrachteThermometervorhanden.SiesteckenineinerDoppelh ulleaus ChromumdieSonnenstrahlung, aberauch die terrestrische Strahlung abzuschirmen, da man ja ausschlielich an derLufttemperatur interessiert ist. Chrom hat wie andere Edelmetalloberachen dieEigenschaft, sehr wenig Strahlung im langwelligen Bereich zu absorbieren. Zusatz-lichwehteinLuftstrom,welcher ubereinenmechanischbetriebenenVentilatorKAPITEL4. HYDROSTATIK 21mit einer Geschwindigkeit von2m/s durchdenThermometerbereichgef uhrtwird.DaszweiteThermometeristmiteinemfeuchtenStrumpfumgeben. DurchdieVerdunstungskaltezeigtdaszweiteThermometereinegeringereTemperaturan.AusderTemperaturdierenzbeiderThermometerlasstsichdieLuftfeuch-tigkeitbestimmen.4.3 Der Zusammenhang zwischen den Zu-standsgroenDerZusammenhang zwischenDruck,Volumen und Temperatur sowie derMassedeniertdieidealeGasgleichung.DasProduktausVolumenundDruckistderTemperaturproportional.HaltmanetwadasVolumenV konstantunderhohtdenDruckp,soerhohtsichauchdieTemperaturT:p V TDie Proportionalitatskonstante lasst sich im Labor bestimmen. Eine Variante deridealenGasgleichunglautet:p V= RMTRwirdalsdieuniverselleGaskonstantebezeichnetundhatdenWert:R= 8.314J/(MolK)Diese Variante,sie ist nur eine vonvielen, wird hauptsachlich von den Chemi-kernbenutztweildarinmolareGroenvorkommen.DividiertmanbeideSeitendurchdasVolumenVundber ucksichtigt,dass=M/V,soerhaltmandaraus:p = RTDer Kehrwert der Mengendichte ist das Molvolumen , damit ergibt sich nun:KAPITEL4. HYDROSTATIK 22p = RTDieinderMeteorologieammeistenverbreitetenVariantenderidealenGasglei-chungergebensich, wennvondenmolaren(mit einem* gekennzeichnetenGroen)abgeht. ErweitertmandieAusgangsgleichungmitdemFaktorm/mundber ucksichtigt,dassR/mdieindividuelleGaskonstanteRundmMdieMasseMist,soergibtsich:p V= RMTmm=RmMmT= RM TDiewichtigsteVarianteder idealenGleichungentsteht, wennmanobigeGlei-chungdurchdasVolumendividiertundanschlieenddurchdiesoinsSpiel ge-kommeneDichtedividiertundf urderenKehrwertdasspezischeVolumenein-setzt:p = RTLuftistinguterNaherungeinidealesGas, dieindividuelleGaskonstantevonLufthateinenWertvonRd=287.04J/(kgK), jenef urWasserdampfRw= 461.50J/(gK).Dar uber hinaus ist die ZusammensetzungderLuft uber groe Hohen hinwegkonstant,lediglichderWasserdampf stellteineVariabledar.InderidealenGasgleichung wird dieser Umstand entweder durch die Aufspaltung der gesamtenGaskonstante in eine f ur trockene Luft und eine f ur Wasserdampf oder durch dieEinf uhrungeinervirtuellenTemperaturber ucksichtigt:p = (Rdd +Rw w) T (4.1)WahrendderIndexddietrockeneLuft(dryair)meint,bezeichnetwdenWas-serdampf(watervapour).UberdieEinf uhrungderspezischenFeuchteq:q=wd + wund den folgenden Umformungen obiger Darstellung der idealen Gasgleichung f urLuftmitWasserdampfkommtmanzurvirtuellenTemperaturTv:KAPITEL4. HYDROSTATIK 23In Gleichung (4.1) wird der Faktor RdwRdwhinzu addiert, was ja nichts andieserGleichungandert:p = (Rdd + Rw w + RdwRdw) T (4.2)HebtmanRdmit = d +wheraus,soerhaltman:p =_1 +ww + d_RwRdRd__Rd T (4.3)Ber ucksichtigtmandieDenitionderspezischenFeuchtequnddassderZah-lenwertvonRwRdRd= 0.608ist,soergibtsichweiters:p = (1 + 0.608 q)Rd T (4.4)ZiehtmandenFaktor1 + 0.608 qindieTemperatur, soerhaltmanwiederei-ne Darstellungder Gasgleichungwie bei trockener Luft. Die nunmodizierteTemperatur:Tv= (1 + 0.608 q)T (4.5)wird als virtuelleTemperatur bezeichnet. Die ideale Gasgleichung wird damitzu:p = RdTv(4.6)Die virtuelle Temperatur Tvist nunjene Temperatur, die trockeneLufthabenm usste,damitsiebeigleichemDruckdieselbe(geringere)Dichte aufweist wie die wasserdampfhaltige Luft. Die Temperatur vonwasserdampfhaltiger Luft muss groer als jene von trockener Luft sein, damit dieZustandsgroengleichbleiben.4.4 DasGeopotentialDas Geopotential ist einMaf ur die potentielle Energieeiner MassebezogenaufdieErde,esgibtauchdieArbeitan,diemanaufwendenmuss,umKAPITEL4. HYDROSTATIK 241kgMassevomMeeresniveauaufeinebestimmteHohezuheben.Deshalbwirddas Geopotential auchals eine massenspezische Energiebezeichnet, wasbesondersdeutlichwird,wennmandieEinheit[J/kg]bzw.m2/s2betrachtet.DieseEnergiederLagehangtnichtnurvonderGravitations- sondernauchvonderZentrifugalkraft ab. DieresultierendeKraftistdieSchwerkraft, siewirkt genausenkrecht auf die Erdoberache (gilt nat urlichnicht f ur unebeneGebiete).Das Geopotential hangt von der Schwerebeschleunigung ab, diese lasst sich in derForm:g= (0, 0, g)darstellen. Genau genommen ist gkeineKonstante, vielmehr ist sie eine Funk-tionderHoheunddesBreitengrades.DasnegativeVorzeichenresultiertausdernachobengerichtetenz-AchseimkartesischenKoordinatensystem.BewegtmansichvonderHohez1nachz2,soandertsichauchdasGeopotentialvon1nach2: = 21= g (z2z1) (4.7)SchreibtmandieGleichung(4.7)indierentiellerFormanundber ucksichtigt,dassdieSchwerebeschleunigungselbsteineFunktionderHohezist, sokommtmanauf:d = g(z) dz (4.8)Hebt man nun eine Masse von 1 kg um 1 m vom Meeresniveau in die Hohe, so hatman die Arbeit von 9.80 J/kg verrichtet, was 1 geopotentiellenMeter(gpm)entspricht: =z0+1_z0g(z) dz= g 1 m (4.9)Wobei gdie uberdenBereichz0 z z0 + 1gemittelteSchwerebeschleunigungist. ErweitertmanmitdemFaktor1inFormvong0/g0(g0istdieSchwerebe-schleunigungamMeeresniveau),sogelangtmanzu:KAPITEL4. HYDROSTATIK 25 = gg0g0 1 m = 1 gpm (4.10)Hierwurdeber ucksichtigt,dassderFaktor g/g0praktisch1istunddasProduktg0 1m einem geopotentiellen Meter entspricht. In guter Naherung kann man dieZunahmeum1gpmaufdieZunahmevon1Hohenmeterinterpretieren.DerQuotientausGeopotential unddemg0wirdalsgeopotentielleHoheZmitderEinheiteinerLangebezeichnet.Z=g0(4.11)Auch diese geopotentielle Hohe kann ohne groen Fehler der geometrischen Hohegleichgesetztwerden,zumindestf urdasNiveauderTroposphare.Anmerkung: Im Flugbereich wird noch das standard-geopotentielle Meter g0ver-wendet,welchesvomZahlenwertherderSchwerebeschleunigungaufdergeogra-phischen Breite von 45entspricht. Analog existiert hier die standard-potentielleHohe.4.5 HydrostatikDieHydrostatikbeschaftigtsichmitruhendenFl ussigkeiten, beschriebenwerden konnen damit auch Gase und selbst f ur bewegte Fl ussigkeiten treen dieAussagennochrelativgutzu.Zu Beginn betrachten wir ein Gefa mit einer inkompressiblen Fl ussigkeit mit der(konstanten)Dichte. DasGefabesitzteinVolumenV undeineGrundacheA, der Stand der Fl ussigkeit weist die Hohe h auf. F ur den Druck der Fl ussigkeitamunterenRanddesBehaltersgiltohnederBer ucksichtigungdesLuftdrucks:p =mgA=V gA= g h (4.12)DerDrucksteigtalsolinearmitderHohean.Wir wollenauf einedierentielleFormvonGleichung(4.12)kommenundbe-trachten daher 2 Schichten des Gefaes. Die drei Grenzniveaus haben die IndizesKAPITEL4. HYDROSTATIK 26von1bis3,unsinteressiertderDruck(p2)anderGrenzachebeiderSchichtenundamunterenRand(p1):p1= (z3z1) g (4.13)p2= (z3z2) g (4.14)BildetmandieDierenzzwischendenbeidenDr ucken,soerhaltman:p2p2= g ((z3z2) (z3z1)) (4.15)= g (z2 + z1)= g (z1z2)p = g zIndierentiellerFormwirddieseGleichungauchalsHydrostatischeBezie-hungbezeichnet:dp = g dz (4.16)Nun ist der Druck nicht nur eine Funktion von der Hohe z, sondern auch von x, yund der Zeit t. Mathematisch sauberer ist es daher, die Symbole f ur die partielleDierentiationzuverwenden. Eine einfache UmformungvonGleichung(4.16)f uhrtdamitzueinersehrwichtigenDarstellungderhydrostatischenBeziehung:pz= g (4.17)NachderZustandsgleichungf urdasidealeGaswirddieseGleichungalszweiteFundamentalgleichungbezeichnet.Um den Druck in einer beliebigen Hohe z auszurechnen, integriert man Gleichung(4.17)nachz:p(z) = poz_z0g() () d (4.18)KAPITEL4. HYDROSTATIK 27MitdenGleichungen(4.8)undGleichungen(4.16)lasstsicheinZusammenhangzwischendemGeopotentialunddemDruckherstellen:dpd= (4.19)WendetmandieseGleichungaufdenOzeanan, soerhaltmaneinenlinearenDruckanstieg mit zunehmender Tiefe, in 10 km Tiefe herrscht bereits ein Druckvon108Pa.DieDichtederAtmospharenimmtnachobenhinab, dasistauchderGrund,warumder Druckmit der Hohe nicht linear abnimmt. Ware die AtmosphareeinMediummitkonstanterDichte,namlichjeneramMeeresniveau,sowaredieHohe der Atmosphare 8 km. Dieser Wert wird als Skalenhohe Hder Atmospharebezeichnet.Dichten sind schwer zu messen, daher werden wird einen Zusammenhang zwischendemGeopotentialunddemDruckherstellen.Gleichung(4.19)kannmitdemspezischenVolumenumgeformtwerdenzu:d = dp (4.20)Setztmanf urnundasspezischeVolumenausGleichung(4.6)ein, =RdTvp(4.21)sogelangtmanzu:d = RdTvdpp(4.22)wobei dp/p die logarithmischeAnderung des Drucks ist. Integriert man diese Glei-chung, so kommt man zu einer Darstellung der barometrischen Hohenformel:21= RdTvlog_p2p1_(4.23)KAPITEL4. HYDROSTATIK 28DasGeopotential istjaderHohezproportional, auf dieseWeiselasstsicheinZusammenhangzwischenDruckundHoheherstellen:z2z1= RdTv glog_p2p1_ =RdTv glog_p1p2_(4.24)DerFaktor gstelltdiemittlereSchwerebeschleunigungdar. ExponentiertmanbeideSeitenvonGleichung(4.24), sokommtmanauf diebekanntereFassungderbarometrischenHohenformel:p2= p1e g zRdTv(4.25)KenntmannunvonbeidenNiveausmitdemHohenunterschiedzdenDruck,sokannmanmit dieser BeziehungdiemittlereTemperatur ausrechnen. NachdiesemPrinzipfunktionierteinbarometrischesThermometer.Flugzeugeiegenauf FlachenkonstantenDrucks, wobei sichdiegeometrischeHohesehrwohl verandernkann. AusSicherheitsgr undeniegenalleFlugzeugeinunterschiedlichenBereichenmitHohenunterschiedenvonmindestens300m.Obige Gleichung wird zur Berechnung der Hohe z aus dem hydrostatischen DruckanBoardverwendet.F ur denvertikalenVerlauf der virtuellenTemperatur inder Atmospharewirdentweder in grober Naherung f ur die gesamte Atmosphare ein linearer Zusammen-hangoderwaseherzutrit, f ureinzelneSchichteneinlinearerZusammenhangangenommen:T(z) = T(z0) z (4.26)Gleichung(4.26)wirdalspolytroperAnsatzbezeichnet, istdervertikaleTemperaturgradient:= Tz(4.27)In dieser Beziehung wird dieechte Temperatur verwendet, denn bezieht sichauf dieStandardatmosphare, dietrockenist, eineBodentemperaturvon15CundeinenDruckvon1013.25hPaauf Meeresniveauaufweist. DievirtuelleTemperaturvontrockenerLuftistgleichdernormalenTemperatur.InKAPITEL4. HYDROSTATIK 29den untersten 11 Kilometern der Atmosphare ist = 0.0065 K/m, die Temperaturnimmtpro1kmHohenunterschiedum6.5Kelvinab.In der Tropopause (11 < z< 20 km) herrscht Isothermie, der Temperaturgra-dient verschwindet, wahrend er in Schichten bis 32 km negativ ist, die Temperaturalsowiederzunimmtundzwarum1Kprokm.F urdieStandardatmosphare,sieentsprichtderwahren, uberdieZeitge-mittelteAtmosphare, ergebensichfolgende, vonderHoheabhangigeWertef urTemperatur,DruckundDichte:Hohe uberMeer(km) TemperaturT(C) Druckp(hPa) Dichte(kg/m3)0 15 1013.25 1.2260.5 11.75 954.6 0.9091 8.5 898.7 1.1683 -4.5 701.0 1.11211 -56.5 226.3 0.36420 -56.5 54.7 0.088Kapitel5ThermodynamikDieEntwicklungder ThermodynamikwurdemageblichvonderMeteorologiemitbeeinusst. Die Atmosphare stellt eine gigantisches Warmekraftmaschinedar,inderEnergieformenumgewandeltwerden.Eine der Grundaussagen der Thermodynamik ist, dass in einem System die Ener-gie durch die Grenzen zu- oder abieen kann und, ist das Systemabgeschlos-sen,dieEnergieerhaltenbleibt.DieEinheitderEnergieistJoule[J],oderinSI-Basiseinheitenausgedr uckt[kgm2/s2],vielfachwirdauch[Ws]verwendet.EnergiekannzwarnichtverlorenoderausdemNichtserzeugt, wohl aberkannEnergievoneinerFormineineandereumgewandeltwerden.DiewichtigstenEnergieformensind:5.1 EnergieformenEnergiederLagebzw.potentielleEnergieEnergiederBewegungbzw.kinetischeEnergieKompressionsenergieWarmeenergieChemischeEnergieElektromagnetischeEnergie30KAPITEL5. THERMODYNAMIK 31Imfolgendenwerdendie inder Meteorologie gebrauchlichstenEnergieformennaherbeschrieben:PotentielleEnergie(EnergiederLage,Verschiebungsenergie):DieArbeitist deniert als das Skalarprodukt vonKraftundWeg, daEnergie gespeicherte Arbeit ist, gilt f ur die Energie in dierentieller Schreib-weise:dE= K dr (5.1)Das negative Vorzeichen lasstsich so interpretieren: weisenKraft und WegindieselbeRichtung,sogewinntderKorperkinetischeEnergie,woraufdiepotentielleEnergiediehierbetrachtetwird, abnimmt. UmgekehrtverlierteinKorperkinetischeEnergie,wennKraftundzur uckgelegterWegentge-gengesetztsind,diepotentielleEnergienimmtdaherzu.Verkn upftmanGleichung(5.1)mitderDenitionderSchwerkraft:K= M g (5.2)so erhalt man f ur die potentielle Energie im Schwerefeld unter VerwendungdesGeopotentials:dE= M g dz= M d (5.3)Kompressionsenergie:Eine sehr wichtige Rolle spielt die Kompressionskraft. Druck ist die auf eineFlachewirkendeKraft,umgekehrtdeniertsichdieDruckkraftals:K= p F (5.4)MitGleichung(5.1)erhaltmanf urdieKompressionsenergie:dE= K dz= p F dz= p dV (5.5)AuchhierhatmaneinnegativesVorzeichen,denn ubtmanbeispielsweisemit einem Kolben Druck auf ein Volumen aus, so verringert sich dieses, demSystemwurdeKompressionsenergiezugef uhrt. Volumenabnahmef uhrtzueinerEnergiezunahme, durcheineVolumenvergroerunggibtdasSystemEnergieab.Andieser Stellekannmandrei besondereZustandsanderungendesidealenGasesbetrachten:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 32Isochore(isostere)Zustandsanderung:DasVolumenandertsichnicht, dV =0. BleibtdasVolumenkonstant, sokannsichauchdieKompressionsenergienichtandern,dE= 0 E2= E1.Isobare Zustandsanderung: Ist der Druck konstant dp = 0, so kannGleichung(5.5)sehreinfachdurchintegrationgelostwerden:dEK= p dVE2,KE1,K= p (V2V1) (5.6)Aus der Volumenanderung kann direkt die Energieanderung abgelesenwerden.Isotherme Zustandsanderung: Etwas komplizierter ist dieEner-gieanderung, wennsichdieTemperatur nicht andert, alsodT =0.Dr uckt man aus der idealen Gasgleichung den Druck als Funktion vonR,V undTaus,soerhaltmanmit:p =RM TV(5.7)folgendenZusammenhang:dEK= RM TdVV(5.8)DurchIntegrationwirddaraus:E2,KE1,K= RM Tlog_V2V1_(5.9)KinetischeEnergie:DiekinetischeEnergieistdeniertals:E= Mv22(5.10)Diese Formder Energie kannsichnur andern, wennsichdie Geschwin-digkeit andert, alsoeine Beschleunigungauftritt. Die damit verbundeneTragheitskraft,diederBeschleunigungentgegenwirkt,lautet:K= Mdvdt(5.11)Eingesetzt inGleichung(5.1) ergibt sichf ur die dierentielle kinetischeEnergie:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 33dE= Mdvdt dr = M dv drdt(5.12)NunistdieAnderungdesWegesgleichderGeschwindigkeitunddasPro-duktausMasseundGeschwindigkeitgleichdemImpulsP:dE= v dP (5.13)Sind in einem abgeschlossenen System nurAnderungen dieser drei Energie-formenmoglich, sokanndieAnderungderGesamtenergienurvondieserFormsein:dE= dEpot + dEkomp + dEkin= M d p dV+v dP (5.14)Bei der Energieanderung hat man jeweils eine intensiveGroe und einemengenabhangigeextensiveGroedxvorliegen, sodassmanGleichung(5.14)allgemeinschreibenkannals:dE=

ii dxi(5.15)Warmeenergie:HatmaneinisoliertesSystem, dasvonauengewarmtwird, sowirdsich die Temperatur erhohen. Die Temperatur ist nicht mengenabhangigundnimmtdaherinderSchreibweisederkonjugiertenVariablenundxdieRolleder intensivenGroeein. DienochzuspezizierendeextensiveGroeistdieEntropieS.F urdieAnderungderWarmeenergiegiltnun:dEW= T dS (5.16)ChemischeEnergie:Mit der chemischen Energie wird ber ucksichtigt, dass sich dieAnderung derextensivenGroeMasseauf denEnergiehaushaltdesSystemsauswirkt.Auch hier benotigt man eine intensive Groe , sie wird als das chemischePotential bezeichnet und gibt an, wie sehr sich dieAnderung der Masseauf dieAnderungder Energie auswirkt. Das chemische Potential hangtsehrstarkvonderArtderMasseab, KnallgashatzweifelloseinhohereschemischesPotentialalsWasser.dEchem= dM (5.17)KAPITEL5. THERMODYNAMIK 34ZusatzlicheEnergieformenwieelektrischeEnergie, diesewirdvorallembei derUntersuchungvonGewitternbenotigt, oder magnetische Energie werdenhiernichtber ucksichtigt.Gleichung(5.14)wirdnunumdieletztenbeidenEnergieformenerweitert, wo-durchmandieGibbscheFundamentalgleichungerhalt:dE= M d p dV+v dP+ T dS +dM+ ... (5.18)Andert sich eine Energie, so andert sich die Gesamtenergie im abgeschlossenen Sy-stem dadurch, dass sich eine oder mehrere andere Energieformen andern. Welchedavonbetroensind,lasstsichdemSystemnichtansehen.DieeinzigeSepara-tiondiemoglichist,isteineTrennungininnereund auereEnergieformen:dE= dEinnere + dEauere(5.19)mitderZuordnung:dEauere= M d +v dP (5.20)dEinnere= p dV+ T dS + dM (5.21)5.2 DieEntropieIn diesem Abschnitt wird eine anschauliche Interpretation der Entropie gegeben,vorher wird noch auf den Unterschied zwischen Temperaturerhohung und Warme-zufuhrhingewiesen,diesezweiProzessem ussennichtimmerzusammenhangen.5.2.1 DerGay-LussacscheDrosselversuchEinProzess, bei demdieTemperatur konstantbleibt, dieWarmeenergieaberzunimmt, istderGay- LussacscheDrosselversuch. ManhabezweiBehaltermitgleichenVolumina,derlinkeBehalterbeherbergeeinGasmitdemDruckp1,lundderTemperaturT1, imrechtenBehalterliegteinVakuumvor,p1,r= 0.KAPITEL5. THERMODYNAMIK 35DieTrennwandzwischenbeidenBehalternwirdnunweggeben, einigederTeil-chenaus demlinkenVolumenwandernnunauchindenrechtenBehalter. ImGleichgewichtistderDruckp2,l=p2,rinbeidenHalftengleich,dieTemperaturandert sich nicht, weil sich auch die mittlere kinetische Energie der Teilchen nichtandert(T2= T1).DieeinzigenbeteiligtenEnergieformensinddieWarmeenergieunddieKom-pressionsenergie.DadasSystemabgeschlossenist,andertsichanderGesam-tenergienichts.dE= p dV+ T dS= 0 (5.22)Darausergibtsich:p dV= T dS (5.23)Setztmanf urpausderidealenGasgleichungein,soerhaltmanweiters:RM TdVV= T dS (5.24)IntegrierenbeiderSeitenvomZustand1zumZustand2f uhrtnachk urzenderTemperaturzu:RMlog_V2V1_ = S2S1(5.25)MitV2istdasGesamtvolumen, mitV1dasVolumendesrechtenBehaltersge-meint. Sowohl RalsauchMundlog(2)sindpositiveGroen, dahermussauchdieDierenzderEntropiepositivseinunddamitistS2>S1.MitderEntropiehatsichdieWarmeenergievergroert, ohnedass sichdieTemperaturerhohthat. DiegewonneneWarmeenergiestammtausderverringertenKom-pressionsenergie.5.2.2 EntropiealsLogarithmusvonWahrscheinlichkeitenDieEntropieeinesSystemskannalsLogarithmusderWahrscheinlichkeitWf urdasVorliegeneinerKongurationausgedr ucktwerden:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 36S log(W) (5.26)Betrachtenwirwieder2Voluminaund4Objekte, , und, dieAuf-teilungaufbeideVoluminakanndieseVariantenannehmen:linkesVolumen rechtesVolumen JededieserVariantenistvonvornhereingleichberechtigt,dieWahrscheinlichkeitW=1/16. Nun gibt es aber nur insgesamt 2 Moglichkeiten, dass alle ObjekteineinemVolumensind,aber6Moglichkeiten,jezweiObjekteinbeidenVoluminazuhaben. Sogesehenisteseherunwahrscheinlich, alleTeilchenineinemVolumenzuhaben.DieNaturistbestrebt, dieEntropiezumaximieren. LetztendlichwerdenalleEnergieformeninWarmeenergieumgewandelt, das Universumstrebt demWarmetodentgegen.Prozesse,beidenendieEntropiezunimmt,sindnichtum-kehrbar(irreversibel),diesistdieAussagedes2.HauptsatzesderThermodyna-mik.InderMeteorologiewerdeninersterLiniediespezischenZustandsgroenverwendet, zu ihnen gelangt man, wenn man die extensivenGroen durch dieebenfallsextensiveGroeMasseteilt:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 37SpezischeEnergie:e =EM(5.27)SpezischesVolumen: =VM(5.28)SpezischeEntropie:s =SM(5.29)WennsichdieEnergieanderungnur auf dieAnderungder WarmeenergieundderKompressionsenergiezur uckf uhrenlasst, dannlasstsichdieGibbscheFun-damentalgleichunginspezischerFormsoschreiben:de = p d + T ds (5.30)5.2.3 PotentielleTemperaturWir betrachteneineisentropeZustandsanderungundf uhrendaf ur die(spezi-sche) Enthalpie hein. Daf ur wirdGleichung(5.30) umdenFaktor d(p )erweitert.de + d(p ) = p d + T ds + d(p ) (5.31)Verwendetmanf ur d(p ) =dhundlost dieKlammer durchAnwendungderKettenregelauf,sogelangtmanzu:dh = T ds +dp (5.32)WirbetrachtenjaeinenisentropenProzess,ds=0.dh = dp (5.33)KAPITEL5. THERMODYNAMIK 38Zugleichgiltf urdiespezischeEnthalpie:dh = cp dT (5.34)kannausderidealenGasgleichungeingesetztwerden:cp dT= RTdpp(5.35)EineUmformungf uhrtauf:cpRdTT=dpp(5.36)IntegrierenaufbeidenSeitenbringt:T2T1=_p2p1_Rcp(5.37)Dabei istRcp=. DieseGleichungwirdalsPoissonGleichungbezeichnet, inder Meteorologie spielt sie eine besondere Rolle. Sie gibt denZusammenhangzwischenTemperatur-undDruckanderungbeieinemisentropenProzessan:T2T1=_p2p1_(5.38)DamitlasstsichdiepotentielleTemperaturdenieren: = T_p0p_(5.39)Indieser Schreibweise wurde vonT2auf T ,vonp2auf pundvonp1auf p0gewechselt. DiepotentielleTemperaturistjeneTemperatur, dieeinLuftpaket hat, wennes isentropauf denStandarddruckp0gebrachtwird.ZugleichbestehtzwischenderspezischenEntropiesundderpotentiellenTemperaturfolgenderZusammenhang:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 39ds = cpdTTR dpp= cpd(5.40)Daraus lasst sich schlieen, dass sich bei isentropenProzessen die potentiel-leTemperaturimGegensatzzurgewohnlichen Temperaturnichtandert.Umgekehrt ausgedr uckt, Prozessemit konstanter potentieller Temperatur sindisentrope Prozesse. Vielfachwerdenisentrope ProzesseauchadiabatischeProzessegenannt.Mit Hilfe der potentiellen Temperatur lasst sich die TemperaturerhohungbeimFohneekt berechnen. LuftmassenvoneinemgeringerenDruckniveausinkenzueinemgroerenDruckniveauab,dieserVorgangverlauftisentropbzw.adiabatisch,d = 0:AusderkonstantenpotentiellenTemperaturfolgt:d = 0 ddz= 0 (5.41)SetztmaninGleichung(5.41)dieDenitionf urausGleichung(5.39)ein, soerhaltman:ddz=ddz_T_p1p_Rcp_(5.42)MitderKettenregelergibtsich:ddz=dTdzp1pRcpT pRcp1RcppRcp1dpdz(5.43)Mitdp/dz= g ergibtsichweiters:ddz=dTdzT+ T_p1p_RcpRcp1pg (5.44)AuchhierkannmanwiederdiepotentielleTemperaturherausheben:ddz=dTdzT+Tgcp= 0 (5.45)KAPITEL5. THERMODYNAMIK 40HierkannmandurchdenFaktor/Tk urzenunderhalt:ddz=dTdz+gcp= 0 (5.46)Darausergibtsichf urdenTemperaturgradient:dTdz= gcp(5.47)SetztmanZahlenwerteein,soergibtsichf urdenTemperaturgradient:dTdz= 9.801004= 0.0097K/m (5.48)Pro 100 m Hohendierenz andert sich die Temperatur um 1 Kohne Warme-zufuhr. SinktdieLuftmasseum2500Meter, sosteigtdieTemperaturum25Kan.Die potentielle Temperatur ist zwar eine ktive, aber dochsehr n utzliche Groe.kenntmandieTemperaturauf einerDruckache, sokannmandurchMultipli-kationderTemperaturmiteinemdenDruckenthaltendenFaktordiepotentielleTemperaturerhalten,vergleichedazuGleichung(5.39).DerVorteil bei derVerwendungderpotentiellenTemperaturistdieInva-rianzgegen uberDruckanderungen.LediglichKondensationundStrah-lungsabsorptionvermogendiepotentielleTemperaturzuandern.Dar uberhinauseignetsichdiepotentielleTemperaturzurIdentizierungeinesLuftpakets. Misst man bei einer S udstromung am Sonnblick dieselbe po-tentielleTemperaturwieinderStadtSalzburg, sokannmandavonausgehen,dieselbeLuftmassevorliegenzuhaben.5.3 ThermodynamischeDiagrammeZustandsanderungenwerdeninunterschiedlichenDiagrammeneingetragenundveranschaulicht. AufderAbszisseundOrdinatewerdenmeistGroenaufgetra-gen, diezueinander konjugiert sind, wieDruckundspezisches Volumenoderspezische Entropie undTemperatur. Der Vorteil liegt inder Flachentreue.KAPITEL5. THERMODYNAMIK 41Werden namlich Kreisprozesse wie der Carnot-Prozess betrachtet, so entsprichtdieeingeschlosseneFlachedergeleistetenArbeit.Egal,wiedieFlachege-formtist,alsoderProzessgef uhrtwird,entscheidendistderFlacheninhalt.EineverbreiteteArtderDarstellungistdasp- - Diagramm. Auf derAb-szissewirddas spezische Volumenundauf der Ordinateder Druckpeingetragen. Zusatzlich werden Isothermen oder Isentropen, also Linien konstan-tenDrucksoderkonstanterEntropieeingetragen. IsobarenundIsochorensindeinfachGeradenparallelzudenjeweiligenAchsen.0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010.511.522.5x 108 (m3/kg)p (Pa)Blau: Isothermen Rot: Linien mit konstantem Abbildung5.1: Beispiel einesp-DiagrammsmitIsothermenundLinienmitkonstanterpotentiellerTemperatur.Im Tephigramm bzw. T--Diagramm wird auf der Abszisse die TemperaturTund auf der Ordinate die potentielle Temperatur aufgetragen. Dreht mandas Diagramm um 45, so werden die Isobaren mehr oder weniger zu Parallelen.Da diese auch ein Ma f ur die Hohe sind, kann man, wenn man bei einem Radio-sondenaufstiegf urjedeHohedieTemperatureintragtablesen, obmaneinenisothermenoderisentropenAufstiegvorliegenhat.InfolgenderAbbildungisteinBeispiel f urdasum45geneigteT--Diagrammzusehen:KAPITEL5. THERMODYNAMIK 42Abbildung5.2:BeispieleinesTephigrammsmitdenIsothermen(blau),Isobaren(rot) und Linien konstanter potentieller Temperatur (gr un). Da die Isobaren fastparallelsind,kannmanMesswerteunterschiedlicherHohevertikalauftragen.KAPITEL5. THERMODYNAMIK 43EinweitereshaugverwendetesthermodynamischesDiagrammistdasSt uve-Diagrammmit der TemperaturT als AbszisseunddemAusdruck(p/p0)alsOrdinate. IsothermensindindiesemFall vertikaleundIsobarenhorizontaleLinien,waseineridealenDarstellungderMesswertebeieinemRadiosondenauf-stiegsehrentgegenkommt. ZusatzlichwerdenTrocken- undFeuchtisentropeneingetragen.70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40100095090085080075070065060055050045040035030025020015010050Temperatur / CDruck / hPaStveDiagrammAbbildung5.3: Beispiel eines St uve - Diagramms. Die blauenLiniensinddieTrockenisentropen, die roten Linien die Feuchtisentropen, die in Hohen mit q0denTrockenisentropenentsprechen.Diegr unepunktierteKurveverbindetWer-tegleichenMischungsverhaltnisses, graueLinienstellenIsobarenundschwarzeLinienisothermendar.Kapitel6WasserinderAtmosphareIn diesem Abschnitt werden die Groen besprochen, die ein Ma f ur den Feuch-tegehalt in der Atmosphare sind. Insgesamt ist Wasser ein Spurenelement in derAtmosphare,esistaberauchdeswegeninteressant,weilesinallendreiAggre-gatzustandenvorkommt.6.1 Feuchtemae6.1.1 AbsoluteFeuchtewDie Absolute Feuchte wgibt die sich in einem Volumen bendende MassevonWasserdampf an.EssindWertezwischen0und40g/m3moglich,dieDichtedesWasserdampfeskannbiszu4%derDichtedergesamtenLuftausmachen.DieMessungerfolgt uberdieAbschwachungvonStrahlungimBereichdesLymanSpektrumsdurchdieAbsorptiondurchWasserdampf mitHilfevonPhotozellen.DiesesVerfahrenistzwarteuer,abersehrprazise.6.1.2 MischungsverhaltnismDasMischungsverhaltnisistderQuotientausderDichtedesWasserdampfeswundderDichtedertrockenenLuftd:44KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 45m =wd=w w(6.1)Obwohl dasMischungsverhaltnisdimensionslosist, gibtmanmingprokgan.Der Wertebereich erstreckt sich von 0 bis 30 g/kg. Die obere Grenze trit in denTropenzu,dieuntereinderArktisundimoberenBereichderTroposphare.Wenn kein Niederschlag oder keine Verdunstung auftritt, bleibt das Mischungs-verhaltnis der Luft uber langere Zeit konstant und kann daher gemeinsam mitder potentiellenTemperatur dazu verwendet werden, den Weg einer Luftblasezuverfolgen.6.1.3 SpezischeFeuchteqBisweilenwirddiespezischeFeuchteauchmitdemSymbolsabgek urzt.SieistdeniertalsdasVerhaltnisderDichtedesWasserdampfes wzurDichtedergesamtenLuft:q=ww +d=w(6.2)Aufgrund des relativ geringen Wertes der Dichte des Wasserdampfes im Vergleichzur Gesamtdichte der Luft sind die Werte von Mischungsverhaltnism und derspezischenFeuchteqfastidentisch.DerZusammenhangzwischenspezischerFeuchtequnddemMischungsverhalt-nismlautet:q=m1 + m(6.3) m =q1 q(6.4)6.1.4 VirtuelleTemperaturTvDie virtuelle Temperatur habenwir bereits anfr uherer Stelle eingef uhrt, zurErinnerung: Die virtuelle Temperatur ist jene Temperatur, die trockene Lufthabenm usste, umdasselbeVolumenunddenselbenDruckwiediefeuchteLuftzuhaben.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 46DievirtuelleTemperaturselbstistzwarkeinMaf urdieFeuchtigkeit, dieDif-ferenzzwischendervirtuellenTemperaturundderTemperaturselbst, auchalsVirtuellzuschlagbezeichnet,sehrwohl:Tv= TvT (6.5)TvkannWertezwischen0und4Keinnehmen.Im Gegensatz zum Mischungsverhaltnis oder der potentiellen Temperatur ist derVirtuellzuschlagkeinekonservativeGroe(Erhaltungsgroe).6.1.5 DampfdruckeDerDampfdruckeistderPartialdruckvonWasserdampf undwirdmeistinderEinheithPaangegeben.Eristdeniertals:e = Rw W T (6.6)DieseGleichungliefertdenSchl ussel zurUmrechnungzwischenderDichteunddem Partialdruck des Wasserdampfs. Die Umrechnung auf das Mischungsverhalt-nismunddiespezischerFeuchteqerfolgtmitHilfedieserBeziehungen:q= 0.622ep 0.377e(6.7) m = 0.622ep e(6.8)Der Dampfdruckhat ein nat urliches,von der Temperatur abhangiges Limit:6.1.6 SattigungsdampfdruckesDerSattigungsdampfdruckes,oderauchmitEabgek urzt,istdermaximalmoglicheDampfdruckvonWasserdampf. DieidealeSattigungskurvebeziehtsichauf eineebene undchemischreine Wasseroberache. Ist das nichtgegeben,soergibtsicheinandererWertef urdenSattigungsdampfdruck.Eine wichtige Groe ist das Sattigungsdezit, also die Dierenz zwischen demSattigungsdampfdruckunddemDampfdruck.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 47e > E:Ubersattigung, es tritt Kondensation ein. In der Natur sind nurgeringeUbersatigungenmoglich.ImLaborhingegensindUbersattigungenvonmehreren100%moglich.e < E:Untersattigung:VerdunstungistdieFolge.VoralleminderMikrometeorologiespieltdasSattigungsdezitE eeinebe-deutendeRolle.6.1.7 RelativeFeuchteRFDie relative Feuchte RF, oder auch mit Uabgek urzt, ist deniert als das Verhalt-nis des Dampfdrucks e zumSattigungsdampfdruck esmultipliziert mit100%:f=ees 100% (6.9)DerWertvonfkannzwischenknapp uberNullund100%schwanken,derWert0istselbstinderW ustenichtmoglich.WieerwahntsindimLaborvielgroereWerteerzielbar,namlichbiszu400%.Es muss zwischen der relativen Feuchtigkeit bez uglich Wasser und Eis unter-schiedenwerden.BeiT= 0CsindbeideWertegleich.BeiEisistinGleichung(6.9) der Sattigungsdampfruck uber Eis zu verwenden. Dieser ist etwas groer alsjener uber(unterk uhltem)Wasser.Uber Eis ist eineUbersattigungvon bis zu 130% moglich. Taucht jedoch eineinzigerEiskristallauf,sowachstdieserexplosionsartig.Die Messung der relativen Luftfeuchtigkeit erfolgt mit hygroskopischen (was-seranziehenden) Substanzen. Besonders gut eignensichdaf ur menschlicheHaare, diese konnendie Lange umbis zu2.5%andern, der Fehler bei derFeuchtigkeitsmessung liegt im Bereich von 3-5 %. Im Gegensatz zu Halbleiternkonnen Haare auch bei niederen Temperaturen verwendet werden. Halbleiter ha-benzudemdenNachteil, sehr schnell zuAlternundihreFunktionst uchtigkeiteinzub uen.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 486.1.8 TaupunkttemperaturTdBei derTaupunkttemperaturTdhandeltessichumjeneTemperatur, aufdie man die Luft abk uhlen m usste, damit Kondensation eintritt. Der aktuelleDampfdruckwirddabeizumSattigungsdampfdruck.Die Taupunkttemperatur kannmit demTaupunktspiegel gemessenwerden.Dieseristheiz- undk uhlbarundreektiertauf ihngerichtetesLichtineinePhotodiode.WirdderSpiegelaufdieTaupunktemperaturabgek uhlt,soschlagtsich Tau nieder, das Licht wird diusreektiert sodass weniger Intensitat zurPhotodiodegelang.DieseMessmethodeist mit Schwierigkeitenverbunden. Einerseits verandertauch Staub die Reexionseigenschaften, zudem hat man bei Temperaturen knappunter0CnichtdieGewissheit, obmanesmitdemDampfdruckvonWasseroderEiszutunhat.Bei Temperaturen unter 0Cspricht man vomFrostpunkt Tf, ReifbildungverandertdieReexionseigenschaftendesSpiegels.ZwischenDampfdruck, SattigungsdampfdruckundTaupunkt bzw. FrostpunktexistierendieseZusammenhange:EW(Td) e (6.10) EE(Td) e (6.11)6.1.9 FeuchttemperaturTfDieFeuchttemperatur TfistjeneTemperatur, diesicheinstellt, wenneinnasses, umdasThermometergewickeltes, Tuchtrocknet. Dabei wirddemThermometerdurchdieVerdunstungEnergieentzogenundesk uhltab, wasnat urlich von der herrschenden Luftfeuchtigkeit abhangt. Daher gilt immer: TfT. Das Gleichheitszeichen gilt f ur den Fall von mit Wasserdampf gesattigterLuft. Probleme gibt es, wenn der Strumpf gefriert, in diesem Fall erhalt man dieFeuchttemperatur uberEis.Ein Feuchtthermometer bendet sich neben einem herkommlichen ThermometerstandardmaiginjederWetterh utte.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 496.1.10AuqivalenttemperaturTeW urde man den gesamten, in der Luft bendlichen Wasserdampf kondensie-renlassen,sow urdedurchdiefreiwerdendeKondensationswarmedieTem-peraturaufdieAuqivalenttemperaturTesteigen.DieAuqivalenttemperatur Teist immer groer oder gleichder Temperatur T:Te T.DasGleichheitszeichengiltf urabsoluttrockeneLuft.Diegewohnliche Temperatur Tliegt also immer zwischen der Feucht - Tempe-raturundderAuqivalenttemperatur:Tf T Te(6.12)Die Dierenz zwischen derAuqivalenttemperatur und der Feuchttemperatur isteineFunktionderTemperatur:TeTf= f(T) (6.13)DieAquivalentpotentielleTemperatur ist mit der potentiellenTempera-turverwandt,sieunterscheidetsichinderInvarianzgegen uberKondensa-tionundVerdunstung.ImSt uve - DiagrammwerdennebendenpotentiellenTemperaturenauchdieaquivalentpotentiellenTemperatureneingetragen. Dieseschneidensichbei ge-ringen Dr ucken, also groen Hohen, wo die spezische Feuchtigkeit qgegen Nullgeht.6.1.11 ZusammenhangderunterschiedlichenTemperatu-renInsgesamtwerden7unterschiedlicheTemperaturenverwendet:aktuellevorherrschendeTemperaturT.TaupunkttemperaturTdJeneTemperatur, auf diemandieLuftmasseabk uhlen muss, damit sie mit Wasserdampf gesattigt ist und Kondensationeintritt.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 50AquivalenttemperaturTe: Temperatur, die ein Luftpaket haben w urde,wenndergesamteWasserdampfkondensierenw urde.Dazustelltmansichvor, dasseinLuftpakettrockenisentropbiszumEinsetzenderKondensa-tionaufsteigt, alsoexpandiert, anschlieendsolangeweiterfeuchtisentropweitersteigt, bis die gesamte Feuchtigkeit auskondensiert ist undzuletztwiedertrockenisentropbiszurAusgangshohebzw.biszumurspr unglichenDruckniveauabsinkt. Manvergleichedazudiehellgr uneKurveinAbbil-dung(6.1).Feuchttemperatur Tf: Temperatur diesicheinstellt, wennLuft zuersttrockenisentrop bis zur Kondensation aufsteigt und anschlieend feuchtisen-tropwiederbiszumurspr unglichenDruckniveauabsinkt, vergleichedazudiedurchgezogenedunkelgr uneKurveinAbbildung(6.1).Potentielle Temperatur : dabei handelt es sich um die Temperatur, dieeinLuftpaketannimmt, wennesvomDruckniveauptrockenisentropzumStandarddruckniveaup0komprimiertwird,bzw.absinkt.Aquivalentpotentielle Temperatur e: sieliegt vor, wenndieAqui-valenttemperaturaufStandarddruckbezogenwird,dasbedeutetwenneinLuftpaket, welchesdiegesamteFeuchtigkeitdurchKondensationverlorenhat,trockenisentropaufStandarddruckp0komprimiertwird.Feuchtpotentielle Temperatur f: Die Temperatur, die sichergibt,wenneinLuftpaketmitdervorliegendenFeuchttemperaturTffeuchtisen-trop auf Standarddruck komprimiert wird. Siehe dazu die dunkelgr une Kur-veinAbbildung(6.1).Als FeuchtemaekonnenfolgendeTemperaturdierenzenverwendet wer-den:DierenzzwischenaktuellerTemperaturundFeuchttemperatur:TTf.Dierenz zwischenAquivalenttemperatur und aktueller Temperatur: TeT.DierenzzwischenTemperaturundTaupunkttemperatur:TTdUnabhangig von der geographischen Breite steigt die potentielleTemperaturmit der Hohe an, was einer trockenstabilenSchichtung entspricht. Wird einLuftpaketaus seinerurspr unglichen Hohe ausgelenkt,sokehrtes wiederindiesezur uck. Das gilt nicht f ur die aquivalentpotentielleTemperatur. Zwar steigtdiese in den niederen geographischen Breiten nach wie vor mit zunehmender Hohean, jedoch sinkt sie in den unteren Tropospharenschichten der Tropen undKAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 51Abbildung 6.1: Temperaturen, die sich einstellen, wenn man Luftpakete trocken-undfeuchtisentropexpandiert undkomprimiert. Die ausf uhrliche Interpre-tationbendetsichinderAuistungdereinzelnenTemperaturen. Diedunkel-gr une strichlierte Linie gibt Bereiche mit konstanter spezischer Sattigungsfeuch-tean.bedingt eine FeuchtlabilitatderAtmosphare. Die Folge sind starke vertikaleUmschichtungen(Konvektion). AufsteigendefeuchteLuftiststetswarmeralsdieUmgebungundsteigtdeswegenweiterauf.ImSommerkommenauchinun-seren Breiten solche Luftschichtungen vor. Konnte man die gesamte Luftfeuchtig-keit kondensieren lassen, so w urden Temperaturen bis uber 330 K in den Tropenauftreten,wasdenhochstenaufderErdegemessenenTemperaturenentspricht.6.2 Tropfchenwachstumund Niederschlagsbil-dungIn diesem Abschnitt wird das Tropfenwachstum durch unterschiedliche Prozes-se,darunterdurchKondensation,behandelt.ZuBeginnm ussenwirunsnocheinmaldemSattigungsdampfdruckzuwenden.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 52sinjDruck

/

hPa0 0.2 0.4 0.6 0.8 11000800600400340330320310300290280270260250200Abbildung 6.2: PotentielleTemperatur (rote Linie) und aquivalentpotenti-elleTemperatur(blaueLinie)imWinteraufderNordhalbkugel alsFunktiondergeographischenBreiteundderHohebzw. desDrucks. Manerkennt, dassdie potentielle Temperatur mit der Hohe uberall zunimmt, die aquivalentpotenti-elle Temperatur hingegen in den Tropen auch abnimmt. Quelle: nach Bergmann-Schafer,ErdeundPlaneten.6.2.1 Sattigungsdampfdruckf urnichtidealeVerhaltnisseDieAbhangigkeit des Sattigungsdampfdrucks eSvonder Temperatur wirdvonder Clausius-ClapeyronschenGleichung beschrieben. Es wirdjedochdieExistenz einer ebenenWasseroberacheundchemische Reinheit (keineFremdkorperinder ussigenPhase)vorausgesetzt.WarediesderFall,sowarenkeineUbersattigungenmoglich. Eine Temperaturreduktionbis zumTaupunktw urdezurKondensationf uhren.Fehltjedocheine(ebene)Wasseroberache,sowirddieLuftumeinige100% ubersattigt, bisschlielichspontaneKon-densationeintritt.Die Luft ist uber einer ebenen Wasseroberache mitWasserdampfgesattigt,wenn gleich viele H2OMolek ule aus der ussigen Phase in die gasformige Phase ubertreten(Verdunstung)wievondergasformigenPhaseindie ussigePhase uberwechseln(Kondensation),siehedazuAbbildung(6.3a).DerSattigungsdampfdruckwirddurchdiesezweiEin ussemodiziert:KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 53Dampfdruckerhohungdurchgekr ummteTropfchenoberache:AufgrundderKr ummungdesWassertropfchenssinktdieWahrschein-lichkeit, dass einH2OMolek ulausderLuftindenWasserstropfengelangt, danichtmehr50%allermoglichenBewegungsrichtungenindenWassertropfenf uhren. Umgekehrtandertsichf urdieWassermolek uleimTropfenwenig,nachwievorf uhrtjedezweiteBewegungsrichtungausdemTropfenheraus. DieFolgeisteineDampfdruckerhohung, dennimGegen-satz zum Modell der ebenen Wasseroberache treten bis zum Erlangen desGleichgewichts mehr Wassermolek uleaus der ussigenPhaseaus, als indiesehinein.DieserProzessistinAbbildung(6.3b)veranschaulicht.DampfdruckerniedrigungdurchVerunreinigungen(Losung):BendensichFremdkorper inder Fl ussigkeit, sowerdenH2OMo-lek ulebeimAustrittgehindert, f urdieWasserdampfmolek ulegibteskaumEinschrankungen,indie ussigePhasezuwechseln.DanunbiszumGleichgewicht mehr Molek ule in die Fl ussigkeit uberwechseln als aus dieseraustreten, wird der Sattigungsdampfdruck im Vergleich zu chemisch reinemWasserreduziert.DargestelltistdieserVorganginAbbildung(6.3c).Das Verhaltnis des Sattigungsdampfdrucks uber einer gekr ummtenWasseroberache zujener uber einer ebenen Wasseroberache ist vomTropfchenradiusundderMassederVerunreinigungabhangigundwirdimKohler-Diagrammdargestellt.DiesesDiagrammistsehraufschlussreich,wenn man den Prozess vomTropfchenwachstum durch Kondensation unter-sucht.F ureinigeMassenbereicheundTropfchenradiensindgeringeUbersatti-gungen notwendig, damit ein weiteres Wachstum moglich ist. Ab einer bestimm-ten Tropfchengroe spielt die Kr ummung keine wesentliche Rolle, der Unterschiedzu einer ebenen Wasseroberache verschwindet. Zudem wird die Fremdkorperkon-zentrationineinemgroerenTropfchengeringer.EinKohler-Diagrammf urTropfchenmitunterschiedlichenKochsalzmassenistinAbbildung(6.4)zusehen.Beeinusst wird das Tropfchenwachstum von der AnzahlderWassertropf-chen. MitzunehmenderAnzahl derWolkentropfchenspielenKonkurenzpro-zesse eine groere Rolle und schranken das Wachstum ein. F ur die Verdopplungdes Radius ist eine Verachtfachung der Masse notwendig. Bis zu einer Tropfchen-groevon5mschreitetdasWachstumdurchKondensationschnellvoran,vielgroereTropfchenentstehendurchKondensationalleinnicht.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 54aaLuft LuftTeSVerunreinigung(Lsung)gekrmmteWasseroberflchechemischreineundebeneWasseroberflcheLuftWasser WasserWassera bc dAbbildung6.3: Der SattigungsdampfdruckvonWasserdampf inLuft inAbhangigkeitvonderchemischenReinheitundderKr ummungderWas-seroberache.AbbildungazeigtdenFalleinerebenenWasseroberacheunddieAbwesenheitvonFremdkorpernimWasser. JedesMolek ul mitei-ner Komponente inRichtungWasseroberache hat dieselbe Chance, diese zudurchdringen. In Abbildungb haben wir es mit einer gekr ummtenWassero-berache zu tun. Der Winkel, unter dem ein Wassermolek ul aus der Fl ussigkeitaustretenkann, isthoher, alsjener, unterdemeinWasserdampfmolek ul indieFl ussigkeiteintretenkann. DaherbendensichmehrMolek uleinderGasphaseunderhohensomitdenSattigungsdampfdruck. InderAbbildungcexistierenFremdkorperinderFl ussigkeit,dieseerschwerendenWassermolek ulendenAustrittausderOberache,WahrendH2OMolek uleungehindertindie ussigePhase wechseln konnen. Die geringere Anzahl von Molek ulen in der Gasphase istder Grund f ur die Dampfdruckerniedrigung durch eine Losung. In Abbildungdwerdendiese3Sattigungsdampfdruckkurvenverglichen.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 55Tropfenradiusreines Wasserbersttigung

(%)relative

Feuchte

(%) 80859095100+0.1+0.2+0.3(mm)0.01 0.1 10 1m=10g-16m=10g-15m=10g-14m=10g-13Abbildung 6.4: Kohlerdiagramm f ur Wassertropfchen mit unterschiedlichen Koch-salzmassen. Man erkennt, dass f ur bestimmte Tropfchenradien eine leichteUbersattigung in Bezug auf ebene Wasseroberachen vorhanden sein muss, damitdas Tropfchenwachstumandauernkann. Quelle: nachBergmann-Schafer, ErdeundPlaneten.6.2.2 NiederschlagsbildunginwarmenWolkenUnter einer warmenWolke versteht man eine Wolke, in welcher keineEispar-tikel vorkommen. Daf ur sind positive Celsius Temperaturen nicht unbedingt Vor-aussetzung, Wasser kann unter g unstigen Verhaltnissen bis-40C ussig blei-ben,inderNaturwirddiesbiszu-12Cbeobachtet.InsolchenFallensprichtmanvonunterk uhltemWasser.Wiebereitserwahnt, kondensiertWasserdampf anAerosolteilchen. Sinddavonvielevorhanden, sowerdensichvielekleineWassertropfchenbilden, bei einergeringen Anzahl von Aerosolteilchen, wie dies f ur maritime Luftmassen typischist,werdensichwenige,daf urumsogroereWassertropfchenbilden.F urdieEntstehungvongroenWolkentropfchenkannnichtnurdieKondensa-tionausschlaggebendsein, einegroeRollespielendieProzesseKollisionundKoaleszenz.Durch die unterschiedlichen Groen der Tropfchen haben diese unterschiedli-KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 56che Fallgeschwindigkeiten sodass groere Tropfchen kleinere einholen und mitihnen kollidieren konnen. Die Kollisionsezienz ist umso groer, je ahnlicherdieGroenderbeteiligtenTropfchensind. Istdaskleinereunddamitlangsa-mer fallende Tropfchen sehr klein im Vergleich zum anderen, so kann es nach denGesetzenderAerodynamikumdasgroereherumgelenktwerden.NichtjedeKollisionf uhrtzueinerVereinigungderTropfchen. DasZusammen-wachsen, auchKoaleszenzgenannt, ist umsoerfolgreicher, jeunterschiedli-cherdieTropfchengroensind.DieseErfolgsratewirdauchalsKoaleszenz-ezienzbezeichnet.Bei wenigen Kondensationskeimenund hoher Luftfeuchtigkeit ist dieNiederschlagsbildunginwarmenWolkenezient, wovontropischeRegio-nenundbesonderstropischeInselnbetroensind. InunserenBreitenistNie-derschlagauswarmenWolkenkaumeinThema,mehralseinzelneRegentropfensindnichtzuerwarten.LediglichauslangeanhaltenderStratusbewolkungkannbeiunsgeringf ugigerNiederschlaginFormvonNieselnfallen.6.2.3 NiederschlagsbildunginkaltenWolkenVon einer kalten Wolke spricht man, wenn sie zumindest teilweise aus Eiskri-stallen besteht was ab einer Temperatur von unter -12C der Fall ist. SpontaneEisbildungtrittbeiTemperaturenunter-20Cein.BeidiesenTemperaturenkannesauchbei wolkenlosemHimmel zumAusfallenvonPolarschneedurchSublimationdesWasserdampfesinderLuftkommen.JeahnlichereinAerosolderhexagonalenStrukturist, destoeherlagernsichWasserdampfmolek uleamAerosolabundgehenindiefestePhase uber.Prom3bendet sich in etwa ein solches Aerosol. Je groer ein Wolkentropfchen ist, destogroeristdieWahrscheinlichkeitf urdieAnwesenheiteinespassendenAerosols.EineSattigungdes Wasserdampfes uber einer WasseroberacheentsprichteinerUbersattigungbez uglicheinerEisache. AmgrotenistdieserEektbei -15C. DiesbedingteinstarkesAnwachsenderEiskristalleauf KostenderWassertropfchen. Die fallenden Eiskristalle zerbrechen und losen eine Ketten-reaktionausindemsiealsKeimef urdieEntstehungneuerEiskristalledienen.FallteinEiskristall durchSchichtenmitunterk uhltenWassertropfchen, sogefrierendiesean,wasalsAkkretionbezeichnetwird.Diese Niederschlagsbildung ist dominant f ur unsere Breiten, es besteht daherjeder Regentropfen urspr unglich aus Schnee oder Eis. Die Form der SchneeockenhangtvonderTemperaturundderLuftfeuchtigkeitab.KAPITEL6. WASSERINDERATMOSPHARE 57Luft aus der Saharaenthalt naturgemaviele Aerosole undbeeinusst daherdieNiederschlagsbildung. Vielfachwurdeundwirdversucht, mit Silberiodidals Kristallisationskeime k unstlicheNiederschlage zu erzeugen, was aber zumScheiternverurteiltist,wenndieLuftunterdenWolkenzutrockenist.Hagel entsteht, wenn Graupelkorner durch Aufwinde in unterschiedlicheWolkenschichten gehoben werden. Je nach Temperatur und Anzahl der unterk uhl-tenWolkentropfchenentstehenabwechselndKlareis-undGraupelschichten.6.2.4 Groe, Anzahl und Fallgeschwindigkeit unterschied-licherTropfchenFolgendeTabelleenthaltdieAnzahl, dieRadienunddieFallgeschwindigkeitenvonKondensationskernen,WolkentropfchenundRegentropfen.Tropfchenart Groer(m) Anzahln(m3) Fallgeschwindigkeitv(m/s)Kondensationskern 0.1 1012107Wolkentropfen 10-100 106109102-0.7Regentropfen > 100 1030.7-6.5Kapitel7ZusammensetzungderAtmosphareObwohl die Meteorologiesehr starkauf die Physikaufbaut, darf mandiechemischenAspektederAtmospharenichtvernachlassigen.Die Atmosphare besteht aus den Hauptgasen Sticksto, Sauerstound Ar-gon,denzeitlichundraumlichkonstantenSpurengasenNeon,Helium,Krypton, Wasserstound Xenon und den raumlich und zeitlich variablenSpurengasen Wasserdampf , Kohlendioxid, Ozon, Methan und FCKW12.Interessant und wetterrelevant sind vor allem die zeitlich und raumlich variablenSpurenstoe. Bedeutendist dieKopplungder einzelnenSpurenstoe, sof uhrteineVeranderungdesCO2GehaltszueinerAnderungdesH2OGehalts. DiedurchschnittlicheZeit, dieeinH2OMolek ul inderAtmosphareverbringtwirdals hydrologischerZyklus bezeichnet und betragt 9Tage. FCKW12 ist zwareinsehrseltenes,abersehrwirksamesGasbez uglichdesTreibhauseekts.DerAerosolgehaltderLufthangtstarkvonderHerkunftderLuftmassenab(maritim, kontinental, arktisch, Industriegegend). Jegroer dieAerosolesind,destogeringeristihreKonzentration.58Kapitel8GeouiddynamikDieGeouiddynamikbeschaftigtsichmitderBewegungvonGeouiden,alsomitderStromungvonLuftundWasser.Luft-undWassermassenlassensich mit denselben Bewegungsgleichungen beschreiben weil die wirkenden Kraftejaauchdieselbensind. Der grote Unterschiedist die Inkrompressibilitat desWassers.8.1 AufGeouidewirkendeKrafteEs gelten die NewtonschenAxiome. Solange keine Krafte wirken, bewegt sichdieMasseunbeschleunigtundgeradlinig. ImGegensatzdazudachtendieAltenGriechendass auchzur Aufrechterhaltungeiner geradlinigenunbeschleunigtenBewegungeineKraftnotigsei.Wirken auf eine Masse mehrere Krafte, so wirkt die Vektorsumme der Krafte.DieBeschleunigung, dieeineMasseerfahrt, istproportional zurresultierendenKraftundzurMasse:a =1m

F (8.1)DieseGleichungwirdauchalsdynamischeGleichungbezeichnet.WelcherelevantenKraftewirkennun?59KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 608.1.1 Gravitations-undZentrifugalkraft(Schwerkraft)DieSchwerkraftsetztsichauszwei Anteilenzusammen. DenweitausgrotenAnteil macht die Gravitationskraft, einenvergleichsweise geringenTeil dieZentrifugalkraftaus.ZwischenjeweilszweiMassenwirktdiesogenannteGravitationskraftFG,sieistabhangigvondenbeidenMassensowiederdazwischenliegendenDistanz.Die Gravitationskraft der Erde wird mit dem Symbol FgEabgek urzt und betragt:FgE= M gE(8.2)DieZentrifugalkraftresultiertausderDrehbewegungderErdeundistimGegensatzzurGravitationskraft,welcheinRichtungErdmittelpunktweist,vonderRotationsachseweggerichtet. SiehangtvonderWinkelgeschwindig-keit der Erde und dem Abstand R von der Rotationsachse ab. Demzufolge istdie Zentrifugalkraft amAquator maximal, an den beiden Polen verschwindetsie.F urdieZentrifugalbeschleunigunggilt:gZ= 2R (8.3)DurchdieZentrifugalkrafthat sichdieGestalt der ErdeimLaufeder ZeitinguterNaherungvoneinerKugel zueinemRotationsellipsoidgewandelt,sodassderVektorderresultierende Schwerkraftwiederum uberallsenkrechtauf die Erdoberache steht wie dies f ur die Schwerkraft einer nicht rotierendenErdegeltenw urde.Insgesamtgiltalsof urdieSchwerebschleunigungg:g= gE + 2R (8.4)Abbildung(8.1)zeigtdiewirkendenKrafteaufderErdoberachef ureinenbe-stimmtenBreitenwinkel.KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 61Abbildung 8.1: Die Gravitationsbeschleunigung wirkt inRichtung Erdmittel-punkt, dieZentrifugalbeschleunigungvonderDrehachseweg. DieresultierendeSchwerebeschleunigungwirktsenkrechtzurErdoberache.8.1.2 CorioliskraftDie Corioliskraft tritt nur in rotierenden Systemen auf. Sie ist eine Schein-kraft und kann als solche nicht den Betrag der Geschwindigkeit, sondern nur dieRichtungandern. Die Corioliskraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrich-tung.UmdieCorioliskraftplausibelzumachen,betrachtenwireinGedankenmodell:Lasst man auf einer rotierendenScheibe eine Kugel vom Rand uber den Mit-telpunkt zumgegen uberliegendenRandrollen, sokannmanjenachdem, obmansichauf der Scheibe bendet undmitrotiert oder imInertialsystems(nichtbeschleunigtesSystem, alsoruhenderBeobachterauerhalbderScheibe)bendet, eine unterschiedlicheBeobachtung machen. Kugel und Scheibe sol-len so beschaen sein, dass die Rollreibung keine Rolle spielt. Das kann realisiertwerden,wennsowohlScheibealsauchKugelausGlasoderStahlsind.KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 62BeobachterimInertialsystem:BendetmansichimInertialsystem,sobeobachtetmaneinegeradlinigeBewegungderKugel durchdasRotationszentrum. DierollendeKugelwirdalsonichtvonderScheibebeeinusst.mitrotierenderBeobachter:Sitzt der Beobachter am Rand der Scheibe mit Blick auf das Rotations-zentrumundbendetsichzumZeitpunktt = 0amStartpunktderKugel,sosiehterdieinAbbildung(8.2b)dargestellteBahnderKugel.ZurVer-einfachung wird angenommen, dass sich die Scheibe genau so schnell dreht,dassderBeobachtergenaueinehalbeUmdrehunggemachthat, wenndieKugel am Rand ankommt. Aus der Sicht des Beobachters hat sich die Ku-gelaufeinergeschlossenenKreisbahnbewegt.Betrachtenwir5aufeinanderfolgendeaquidistanteZeitpunkte:t0: Beobachter undKugel bendensichamunterenRandder sichgegendenUhrzeigersinndrehendenScheibe.t1: DieKugel hatdieHalftezwischenRandundZentrumhintersichgelassen, der Beobachter sieht die Kugel, immer vorausgesetzt er blicktinRichtungZentrum,linksvonderMitte.t2: Die Kugel bendet sich nun im Zentrum, der Beobachter am Randrechts vomZentrum. Der Beobachter sieht dieKugel imZentrumseinesBlickfeldes,alsogeradeaus.t3: Drei Viertel der Streckehat dieKugel zur uckgelegt, ebensoderBeobachter. SchautderBeobachterwiederRichtungMittelpunkt, sosiehterdieKugelimrechtenBlickfeld.t4: DieKugel ist amZiel undbendet sichamselbenOrt wiederBeobachter.BetrachtetmandieErdevomWeltraumausundblicktsenkrechtaufdenNord-pol, sorotiert die Erde gegendenUhrzeigersinn. Folglichwirkt die Co-rioliskraft auf der Nordhalbkugelrechtsablenkend, auf der S udhalbkugelentsprechendlinksablenkend.DieWirkungderCorioliskraftmachtsichvorallemdannbemerkbar,wennsichanundf ursichgroereKraftekompensieren.AbseitsderPolemussdieProjektiondesVektorsderWinkelgeschwindigkeitauf dielokaleSenkrechtebetrachtet werden. Betrachtet mandieGeometrieder Erde, so sieht man leicht, dass die Corioliskraft an den Polenmaximal istKAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 63ttttt12340t1t2t3t0t3t2t1t4=Abbildung8.2: EinesichaufeinerdrehendenScheibebewegendeKugelausderSicht eines Beobachters im Inertialsystem (a) und aus der Sicht eines mitbewegtenBeobachters(b).wahrendsieamAquatorverschwindet.MitdembetrachtetenBreitengradergibt sich als Projektionsfaktor der Wert sin , siehe dazu auch Abbildung (8.3).MitderEinf uhrungdesCoriolisparametersf:f= 2sin (8.5)lasstsichdieCoriolisbeschleunigungschreibenals:aC= f k v2(8.6)Dabei istkdervonderErdoberachesenkrechtnachobengerichteteEinheits-vektorundv2derhorizontaleGeschwindigkeitsvektor.Ist einTeilchennur der Corioliskraft ausgesetzt, sobewegt es sichauf einemTragheitskreis. W urdemansichinunserenBreitenreibungslosmiteinerGe-schwindigkeitv= 1m/sgeradlinigbewegen,sow urdemanaufgrundderCorio-liskraftkonstantnachrechtsabgelenkt, sodassmaneineKreisbahnbeschreibt,dessenRadiusr=10kmbetragt. AndenPolenistdiePeriodendauerbeimDurchlaufendesTragheitskreisesgenau12Stunden, alsodieHalftederRota-tionsdauerunseres Planetens.InRichtungAquatorerhoht sichdieZeitdauer biszumGrenzwertUnendlich.KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 64Abbildung8.3:DieaneinembestimmtenBreitengradwirksameKomponentederWinkelgeschwindigkeitistdieProjektionaufdielokaleSenkrechte.Die Corioliskraftmacht sichauchineiner starkerenBeanspruchungderrechtenGeleisedervonS udnachNordf uhrendenEisenbahnstreckenbemerk-bar,ebensosinddierechtenFlussuferbeivonS udnachNordieendenFl ussenstarkerausgewaschen.MitHilfeeineslangenPendels, esandertgemaderCorioliskraftkontinuierlichseineSchwingungsrichtung,konntedieRotationderErdenachgewiesenundda-mitdieHypothese,dasssichdieSonneumdieErdedreht,widerlegtwerden.8.1.3 DruckgradientkraftUmdie Druckgradientkraft auf Geouide anschaulichherleitenzukonnen,betrachtenwir einenW urfel mit denparallel zudenKoordinatenachsenori-entiertenKantenlangenLx, LyundLzsowiedensenkrecht auf diexAchseorientiertenW urfelachenA(links)undB(rechts).Auf dielinkeSeiteAwirktdieKraftFAxundauf dierechteSeiteBdieKraftFBx .MitdembekanntenZusammenhangzwischenKraft,DruckundFlacheKAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 65Abbildung8.4:GeometriezurHerleitungderDruckgradientkraft.F= p A (8.7)lasstsichdieseBeziehungmitdenGroenausAbbildung(8.7)schreibenals:FAx= pALy Lxi (8.8) FBx= pBLy Lxi (8.9)DerVektoriistderEinheitsvektorindiepositivex-Richtung.DieresultierendeKraftFxergibtsichdurchAdditionderEinzelkrafte:Fx= FAx+FBx(8.10)Fx= pALy Lxi pBLy Lxi (8.11)DurchZusammenfassenderTermeundneuerlicherMultiplikationmitdemEin-heitsvektorierhaltenwir:Fx= (pApB) Ly Lz(8.12)MankannnundenDruckpAundpBaufdieFlachenAundBausdemDruckimZentrump0desW urfelsdurchBildungvonTaylorreihenapproximieren:KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 66pA= p0+_px_0_12Lx_ + ... (8.13)pB= p0+_px_0_12Lx_ +... (8.14)DerIndex0beziehtsichauf dasZentrumdesW urfels, diePunktedeutenver-nachlassigbare Terme hoherer Ordnung an. F ur die in Gleichung (8.12) benotigteDruckdierenzerhaltmandaraus:pApB= _px_0Lx(8.15)DieBeziehungf urdieNettokraftlautetsomit:Fx= _px_0LxLy Lz(8.16)NunistaberLxLy LzgenaudasVolumenV desW urfels:Fx= _px_0V (8.17)F ur die massenspezischenKraft, beziehungsweise die Beschleunigung ergibtsichdurchDivisiondurchdieMasseM:FxM= _px_0 (8.18)istdasspezischeVolumendesW urfels.Nebender xKomponentedes Drucks m ussenauchnochdierestlichenzweiRichtungenber ucksichtigtwerden.Insgesamthabenwirf uralledreiRichtungenAusdr uckederForm(8.18).GeschriebenwerdenkanndiesmitHilfedesNabla-Operators :FM= p (8.19)KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 67Wie man sieht, hangt die Druckgradientkraft auf ein Geouid nicht vom Druckselbst,sondernvondenDruckunterschiedenab.DerGradientistimmervomgeringerenzumhoherenWertgerichtet.8.1.4 ReibungskraftReibungtrittauf,wennRelativbewegungenvorkommen,alsoScherungvor-liegt. BeschriebenwirddieReibungskraftmitHilfederScherspannung=(x, y, 0). Wir uberspringendieHerleitungundgebengleichdasErgebnisf urdiespezischeReibungskraftan:FRM= z(8.20)RelevantistdieReibungnurf urdieGrenzschicht, inderfreienAtmospharekanndieserTermvernachlassigtwerden.8.2 BewegungsgleichungderGeouideInsgesamt wirken nun die Schwerkraft, die Corioliskraft, die Druckgradient-kraftsowiedieReibungskraftauf einGeouid. F urdieBewegungsgleichunggiltsomit:dvdt= g f k v2p z(8.21)Diese Gleichung bildet die GrundlagederWettervorhersage. In Komponen-tenschreibweiselautetGleichung(8.21)wiefolgt:dudt= f v px xz(8.22)dvdt= f u py yz(8.23)dwdt= pzg (8.24)KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 68DieAtmospharebleibtinderSchwebe, weil sichinderRegel dieSchwerkraftunddievertikaleDruckgradientkraftdieWaagehalten. Bei unbeschleu-nigter Luft folgt aus der vertikalenBewegungsgleichung das hydrostatischeGleichgewicht:dwdt= 0 g= pz g=pz(8.25)Dainder freienAtmosphare, jenachBeschaenheit undTypder Landschaftab500bis1500MeterdieReibungfehlt,reduzierensichdiehorizontalenBewe-gungsgleichungenzu:dudt= f v px(8.26)dvdt= f u py(8.27)8.2.1 GeostrophischerWindWerden die Geouide horizontal nicht beschleunigt, so spricht man vom geostro-phischenGleichgewicht. DieGeschwindigkeitskomponentenuundvwerdenalsdieKomponentendesgeostrophischenWindes bezeichnetundauchmitugundvgabgek urzt.v = fpx vg(8.28)u = +fpy ug(8.29)DiesebeidenGleichungenkonnenmitdemvertikalenEinheitsvektorkkompaktzusammengefasstwerdenzu:Vg=fk p (8.30)DerFaktor/fistamselbenOrtmeistkonstant. DergeostrophischeWindwehtparallelzudenIsobaren, daheristesmoglich, ausdemDruckfelddasKAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 69Windfeld herauszulesen. Die Hochs und Tiefswerdenbeim FehlenderReibungvomgeostrophischenWindumstromt,HochsimundTiefsgegendenUhrzeiger-sinn.Es empehlt sich, einder Bewegung der Geouide angepasstes, nat urlichesKoordinatensystemzuverwenden. Besonderszweckmaigistes, dieWind-richtung selbst und die Richtung senkrecht nach links zu verwenden. DieBewegungsbahn der Geouide wird durch einen Kr ummungskreis mit demKr ummungsradiusRangenahert.WieinAbbildung(8.5)zusehenist,wirddieKoordinateinWindrichtungmitsundnormaldazumitrbezeichnet.Diedazu-gehorendenEinheitsvektorensindund.DieGleichungf urdengeostrophischenWindinnat urlichenKoordinatenaufp-Flachenlautet:f vg +r= 0 (8.31)DasgeostrophischeGleichgewichtsetztbeschleunigungsfreieundgerad-linigealsoungekr ummteBewegung(dV/dt = 0undR )voraus.Abbildung 8.5: Nat urliches Koordinatensystem anhand eines gekr ummtenStromungsfeldes. Das Koordinatensystembewegt sichmit demTeilchenmit,die Komponente inBewegungsrichtung wirdmit s, jene normal inRichtungKr ummungszentrum mit r bezeichnet. Die dazugehorenden Einheitsvektoren sindund.DasSymbolRbeschreibtdenKr ummungsradiusjenesKreises,derandiegekr ummteBahnangenahertwerdenkann.KAPITEL8. GEOFLUIDDYNAMIK 708.2.2 GradientenwindDie Druckverteilung bei Hochs und Tief zeichnet sich durch gekr ummteIsoba-ren aus, die zweite Voraussetzung f ur das geostrophische Gleichgewicht ist damitverletzt. Bei Bewegungenentlanggekr ummterBahnenmitdemKr ummungsra-diusRtrittzusatzlichdieZentripetalkraftauf.WahrendbeimgeostrophischenWindeinGleichgewichtzwischenCoriolis-undDruckgradientenkraftbesteht,liegtbeimGradientenwindeinGleichgewichtzwischen Coriolis-, Druckgradienten- und Zentripetalkraft vor. F ur die Ge-schwindigkeitdesGradientenwindes gilt:V2R+f V+r= 0. (8.32)Die Windgeschwindigkeit V geht quadratischindie Bewegungsgleichungein.LostmandiesequadratischeGleichungnachV auf,sokommtmanzuzweiverschiedenenLosungen. Welchedavoninder Natur realisiert ist, hangt vondenRahmenbedingungenab.Je gekr ummter dieBewegungsbahnensind, destomehr unterscheidet sichderwahre WindvomgeostrophischenWind. IstdervorliegendeWindschwacherals der geostrophische Wind (V< Vg), was bei zyklonalen Bahnen der Fall ist, sosprichtmanvomsubgeostrophischenWind, imumgekehrtenantizyklonalenFall(Hochs)vomsupergeostrophischenWind(V> Vg).DurchGleichsetzenderGleichungen(8.31)und(8.32)erhaltman:V