H. BUELER : Elastischea Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung 103

H. BUFLER

Elastisehes Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung*)

Es wird ein systematiacher Losungsweg fur den raumlichen Spannungs- und Verschiebungszustand eines aus elastisch- isotropen, planparallelen Schichten bestehenden Verbundsystems in Zylinderkoordinaten entwickelt. Die Anwendung von F o u r i e r - und H a n keltransformatwnen in Verbindung mit einer konsequenten matrizenmapigen Aufbereitung erlaubt eine Gbersichtliche Darstellung der Ergebnkse.

Author develops a systematical method of solution for the spatial state of stress and displacement of an elastic-isotropic layered medium using cylindrical coordinates. F o u r i e r - and Hankeltransforms as wcll as the consequent appli- cation of matrix analysis give clear arranged results.

npencTasneH c?icTeMaTmecwZt n y n pemems npocTpaHcTsemoro COCTOIIHMII HanpHircems A nepe- nfewenns B qanmnpmecmx Hoopnxna-rax HJIR CmTeMkJ, cocToswel 113 ynpywx, H ~ O T ~ O ~ H ~ I X , nnocHonapannenbmax A C B I I ~ ~ H H ~ I X Memny co6ot cnoeB. I IYTEM npmenemn nepecTaHoBoIc @ yp b e A Fa H H ~ ~ I I comecmo c nocneAosaTenbHot8 MaTpmno# oBpa60~noi4 npencTaRnaeTcs B O ~ I M O ~ H ~ I M oco6en~o Harnswo npewraswrb pe3ynb~a~b1.

1. Einleitnng

Es wird ein aus beliebig vielen planparallelen, elastisch-isotropen Schichten bestehendes Verbundsystem zu- grunde gelegt. Die seitlichen Abmessungen seien so groB, daB man von unendlich ausgedehnten Schichten sprechen kann. Eine Schicht k wird dann allein durch ihre Dicke h k sowie ihre Elastizitiitskonstanten Ek (Elastizitiitsmodul) und vk (Querdehnzahl) charakterisiert. Zwischen den Schichten bestehe entweder voll- kommener Verbund oder keinerlei Haftung; im zweiten Fall muB die Belastung so sein, daB kein Abheben der Schichten voneinander eintreten kann und das Gleichgewicht ohne Ubertragung von Schubspannungen miig- lich ist . Zu bestimmen ist der vollstiindige Spannungs- und Verschiebungszustand infolge vorgeschriebener Randkriifte bzw. Randverschiebungen an den Deckfliichen des Verbundsystems.

Diese riiumliche Aufgabe wurde bei Verwendung kartesischer Koordinaten und der zweidimensionalen FovRIERtransformation in [l] einer systematischen Losung zugefuhrt. Im vorliegenden Beitrag sol1 eine ent- sprechende Losung in Zylinderkoordinaten entwickelt werden, die ew dann von Vorteil ist, wenn die Belastung auf einer Kreisfliiche vorgeschrieben ist. Kuo [2] befalte sich zwar mit darselben Aufgabe, doch fehlt bei ihm eine systematische Aufbereitung der Gleichungen unter Ausnutzung der speziellen Matrizen- eigenschaften, so daB dort sowohl die formelmiiBige d s auch die numerische Auswertung zu Schwierigkeiten fiihren kann.

Die partiellen Ausgangs-Differentialgleichungen werden im folgenden durch Anwendung der endlichen PomER-Transformation bezuglich der Winkelkoordinate rp sowie der HmKEL-Transformation bezuglich der Radialkoordinate r auf gewohnliche Differentialgleichungen bezuglich der Koordinate z (senkrecht zur Schicht- ebene) reduziert ; ihre Integration fiihrt unmittelbar zur Ubertragungsmatrix der Schicht k. Aus den Rand- und ubergangsbedingungen erhiilt man ein lineares inhomogenes Gleichungssystem fur die Transformierten der Komponenten des Spannungs- und Verschiebungsvektors an den AuBen- und Innenrandern ; mit ihnen steht der gesamte Spannungs- und Verschiebungszustand fest.

Im Falle der Axialsymmetrie ergibt sich eine Entkopplung: Das Problem 6. Ordnung zerfiillt in ein Problem 4. Ordnung (axialsymmetrischer torsionsfreier Verzerrungszustand) und in ein Problem 2. Ordnung (axidsymmetriache Torsion). Dieser Sonderfall wurde in [3] fiir querisotropes Material gemeinsam mit einem weiteren zweidimensionalen Verzerrungszustand behandelt, wobei sich eine vollstiindige Analogie heraus- stellte.

Das axialsymmetrische Problem einer Einzelschicht findet man ausfuhrlich diskutiert bei SNEDDON [4] ; die Verallgemeinerung auf den Fall der asymmetrischen Belastung wurde durch MUKI [5] vorgenommen.

Weitere umfangreiche Literaturangaben uber Schichtkorper sind in der kiirzlich herausgekommenen Bibliographie [6] enthalten.

2. MatrizenmiiSige Formulierung der Ausgangs-Differentialgleichungen

Die Gleichungen (2.1) -(2.6) repriisentieren das Hoomsche Gesetz fur Isotropie ; die Verzerrungskomponenten sind dort durch die Verschiebungsableitungen ausgedruckt . Die Gleichgewichtsbedingungen bei Abwesenheit von Volumkriiften finden sich in (2.7)-(2.9). Die Verschiebungskomponenten in Richtung von r, q~ und z sind u,, u,, uI, die Spannungskomponenten werden mit a,,, a,,, uzr, alp, a,,, azm bezeichnet.

*) Auszug aus dem im Nov. 1970 in Pie&tany/CSSR auf dem Symposium ,,Kontaktaufgaben der Baukonstruktionen und der elastischen Unterlage" vom Verf. gehaltenen Vortrag iiber ,,Rationelle und exakte Bereohnung des Spannungs- und Verschiebungssustandes eines elastischen Mehrschichtsystems".

104 H. BUFLER: Elastisches Mehrschichteystem unter asymmetrischor Belastung ~ _ . _ - _ _ _ _ -

0

a 1 lk

. . . . . .

If 1

0

a ii I

Auflosung von ( Z . l ) , (2.2) und (2.4) nach uTr, opq und orq ergibt

o,v = - V ozz +.-p+ve+q, E (2.10) 1--Y 1 - -Y= r 340

0

I? I

(2.12)

Eliminiert man diese GroI3en in den iibrigen Gleichungen, so bekommt man nach geeigneter Zusammenfassung mit dem , ,Zustandsvektor"

a = {ozz, oar , ozq, G, 3, WZlT (2.13)

und der Differentialmatrix A gemlil3 (2.14) folgende Matrizen- Differentialgleichung : 0 0

aa a2 - = A a . (2.15) . . . . . . * lc.

Aus Dimensionsgriinden wurden hier die den Spannungen di- mensionsgleichen Verschiebungen

+ I& I - 0

E* u? = h ' ~ i (i = r, y , z ) (2.16) & I Q

h

? & a I* mit E * als Bezugselastizitatsmodul und h* als Bezugsdicke eingefiihrt. Ferner lassen sich die Gleichungen fur die rest- lichen Spannungskomponenten (2.10) -(2.12) mit dem Vektor { Spaltenmatrix)

0

I

(2.17) I I t

al

H. BUFLICR: Elastisches Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung 105

in folgender Form schreiben: b = B u . (2.19)

3. Losung fiir die Einzelschicht 3.1. Redukt ion auf gewohnliehe Differentialgleichungen a) Ers te r Redukt ionsschri t t : Anwendung der endlichen FOURIER-Transformation

Sie ist in komplexer Form definiert durch [4]

1 A

bzw. Kn) = s,{f(Q)) = 7 soo(f(a?)l (3.1) l i ' A

f (n) = ~rJfo(f(94~ = - 1/2n f(d ei 7b dQ Y

-n mit

. . n J = 2.-, i =m, (n ganze Zahl) und j = i fiir n = 0 .

14 Die inversen Transformierten sind

+= falls f(~) die DmcmETschen Bedingungen im Interval1 - n < Q < + n erfiillt und falls das Integral f f(v) drp absolut kon-

An einer Sprungstelle erhklt man i [f(o, + 0) +f(p - O ) ] anstelle von f ( ~ ) . Mittels partieller Integration kann man leicht die Zusammenhiinge

--I vergiert. 1

d? A 6 = - i n f , falls f(n) = f( - n) ist, und

'2' - nzf, falls auBerdem df - (n) = df - (- n) ist, GT = dQ da? nachweisen. Folglich gilt

A

n A

-nZf. n _ -

drp2 - - - n z f ;

d!f d3p -

Die Anwendung der Operationen

auf G1. (2.15) bzw. G1. (2.19) liefert sodann P = dieg (30, 30, 3,, 31, So, - 30) bzw. P' = diag (30, 30, 3 1 )

a a Z - (P U) = F A u ,

P'b = P ' B u und bei Beechtung von (3.3)

a , az -U = A u ,

13.3)

(3.4), (3.5)

(3.6)

(3.7)

ia6 H. BUZZER: EIastisches Mehrechichtsyshm unter asymmetrischer Belastung

s I 9.

0

0

-- m i & m l &

+

0

0

- 1 0

0

I

0 + I e l * I& Q I& -

0

- ! + I & - la - 0 0 0

* Q IQ -

0 a

f iL II 0 0

0 0

107 -______ H. Bmm: Elastisches Mehrschichtaystem unter asymmetrischer Belastung __

und h* E In1 h*

0 0 2 v 1--Y

- h* E In( B = [ 0 0 0

0 - h* E In1 _- __ - h* E a 0 ___----

0 0 ~ + - Y E * ( & :) ~ + Y E * r

Damit ist die Reduktion der partiellen Differentialgleichungen (2.15) in Y, 97, z auf solche in r, z vollzogen (Gl. (3.6)).

b) Z w ei t e r Re d u k ti o n ss c hr i t t : An w e n du ng d e r HANK E L - T r a n s f o r m a ti o n

Um (3.6) auf gewohnliche Differentialgleichungen in z und um (3.7) auf algebraische Gleichungen zu reduzieren, wenden wir die HmKm-Transform&tion an. Dies ist rtber erst nach Bildung geeigneter Kombinationen der Einzelgleichungen mBglich. Man benotigt hierzu die beiden Transformationsmatrizen

(3.12), (3.13)

L

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

1--Y 1. (3.19)

0

0 0 0

0 0

Nach diesen Vorbereitungen fuhren wir die HANKEL-Transformation n-ter Ordnung ein [4]:

n W

f(4 = X*(f(r) 1 = f rf(r) 141 T ) - 0

(3.20)

IFierin bezeichnet 1 den Trctnsformationsparameter und In die BEssELsche Funktion erster Art und n-tsr Ordnung. Die inverse Transformierte ist

f(r) = 3e,-1&) =pk) In(d T ) a1 . (3.21)

Dabei wird vorausgesetzt, da13 f(r) in der Nachbarschaft des Punktes r von beschriinkter Schwankung ist und das Integral

f f ( ~ ) dr abeolut konvergiert. An einer Sprungstelle erhiilt man - Lf(r + 0) + f(r - O ) ] anstelle vonf(r). Fiir die HANKEL-

Traneformierten der Ableitungen der Funktion f(r) bzw. einiger Kombinationen gelten die im folgenden zusammengestellten

1 W

0 2

8*

108 H. BUFLER: Elastisches Mehrechichbystem unter asymmetrischer Belastung

Zum Beweis gehen wir von der bekannbn Beziehung

nus. Durch partiellea Intcgrieren folgt

falls r f ( r ) -+ 0 fur r -> 0 und r + a3 sowie

falls Zn(I r ) f ( r ) --f 0 fiir r -+ 0 und r -+ 00. Damit ergibt sich

(3.22)

df falls r f ( r ) -+ 0 , r - --t 0 und Z,(I r ) f ( r ) + 0 fur r += 0 und r + 00. dr

Die Anwendung der Operationen Die Beziehungen (3.22) erhiilt man unmittelbar au8 (b), und die Beziehungen (3.23) mit Hilfe von (c), (d) und (a).

H = d i ~ g ( ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ n ~ ~ l ~ ~ ~ n ~ - l ~ ~ ~ n ~ - 1 > x l n t + 1 , alnl) (3.24)

H' diag (xln~s 2 1 n 1 + 2 9 xlnl-2) (3.26) und

euf (3.16) bzw. (3.17) ergibt zuniichst

H'ri;=H'gii d - H 6 = H A G , dz

und bei Beachtung von (3.22) wid (3.23) schlieDlich

(3.26), (3.27)

_ _ Die hierin vorkommenden Spdtenvektoren 6, b und die Metrizen A, B haben folgende Bedeutung:

In1 In/+l ln!-1 Inl-1 Inl+l In1 T i i = H i i = { o , T~ , z I I , u I I , uI ,;), (3.28)

(3.29)

H. BTJFLER : Elastisohes Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung 109 _____.. .

- A =

3-v E a * Z ~- -_ 4 (1- vZ) E* h* 0 0

- v a * 1 - v h *

............ 2(1+v) E*

h* E ___- 0 0

symmetrisch 2(1+v) E* h* E ~- 0

................ 2(1+v) (1 -2v ) E*

(1--Y) h-*- E - -

- a* E a* E

0 0 ____ 2 v 2 ( 1 - v ) E * 2 ( l - - v ) E *

I A* E

1 + v E * - B = l 0 0 0 0

I . . .

Ferner ist A* =Ah*

I- (3.30)

(3.31)

(3.32)

G1. (3.26) ist eine gewohnliche M.atrizendifferentielgleichung 1. Ordnung fiir den ,,Zustandsvektor" ii, wiihrend (3.27) die (algebraische) Transformation von 5 auf 6 leistet.

3.2. u b e r t r ag u ng 6 g 1 ei c h u ng u n d u be r t r ag un g s m a t ri XI) z Die Integration von (3.26) liefert mit dem ,,Anfangsvektor" a(0) an der Stelle z* =

vektor i i (z* ) an der beliebigen Stelle x* der betrachteten Sohicht: = 0 den Zustands-

h

G(z*) = T(z*) G(0) .

T = eA2.h' = 1 +

(3.33)

Die quadratische 6 x 6 Matrix T ist dabei gegeben durch die unendliche Reihe -

h* + L(zz* h*)2 + .... (3.34) 2!

die man wegen des CaYLEY-HAMILWNschen Theorems durch ein Polynom 5. Grades ersetzen kann:

T = c0 Z + c,XZ* h* + cZ (A%* h*)* + * * + c&XZ* h*)'.

Die Koeffizienten co bis c5 errechnen sich auf Grund der Eigenwerte et der Matrix A-z* h* e l , 2 , 3 = A * Z * , e 4 , 5 , 0 = - R * z * .

Das Ergebnis lautet mit ;u(z*) = sinh (A* z * ) , c(z*) = cosh (A* z * )

1 z* a(z*) + F(A* z* )2 c(z* ) ,

5 8 co = C(Z*) - -a*

e l = 81*2* [16 s(z*) - 7 A* Z* c(z*) + (A* z*)* a(%*)], 1

(3.35)

(3.36)

Zum Verfahren der ffbertragungsmatrizen siehe z. B. PEST~L u. LEOKIE [7].

110 H. BVFLER : Elastisches Mehraohichtsystem unter asymmetrischer Belastung I n

** N

1 h

u u

I

I i

*N" N * * ** m

h

*N" n c s +& rN

m

*N" - ICJ

I

* < - c

I s + *N"

00

- rl

N ** N * 4

n

*N" u u h

2 0.1

** N Y u

** - * N 2 . i *

I I 2 I

rl

*," I s + *$

I

* 4

I

N 1 ** d - *

- I l

H. Bnmm: Elastisches Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung 111

Einsetzen von (3.36) in (3.35) und Zusrammenfassen liefert die Matrix (3.37), in der der Index k auf die Schicht k hinweisen sol1 und die Abkiirzungen

(3.38) c ( 4 ) = cosh ( A * 22) , t(Q) = tanh (A* zf)

verwendet wurden. Diese Matrix hat die bekannten Eigenschaften einer Ubertragungsmatrix: Symmetrie zur Nebendia-

gonale, wenn die Elemente desZustandsvektors in einer geeigneten Reihenfolge gewBhlt werden, Determinante 1, gleiche Elemente mit schachbrettartiger Vorzeichenvertauschung fur die inverse Matrix ; ferner ist (innerhalb einer Schicht)

T (z? + 2:) = T ( z ~ ) T ( z ~ ) . Die Matrix T&$) erlaubt gemiil3 (3.33) die Berechnung von G k ( 4 ) , wenn man zE,(O) kennt:

&(Zf) = T&f) . Ferner erhiilt man gemLS (3.27) und (3.39)

- br(~f) = B k Gk(Zf) = Bk T*(Zk+) 3 k ( o )

worin

(3.39)

(3.40)

(3.41)

Eine diinne Schicht sei dadurch charakterisiert, daJ3 fiir sie (A* 2:)s < 1 gilt, d. h. die ,,Wellenlilnge" der Be- lastung sei groS im Vergleich zur betrachteten Koordinate 0 5 21 5 hk. In diesem Fall liefert die TAYLOR- Entwicklung der Elemente von Tk(zk+), wenn man jeweils nur das erste Glied beibehiilt, die in (3.42) wiederge- gebene Matrix (0)Tk(zf. Man kann diese ubrigens auch aus (3.34) unter Umgehung der Eigenwertbestimmung herleiten.

Setzt man in (3.37) bzw. (3.42) Zk = h k , d. h. zf = hf = hk/h*, so erhalt man die ubertragungsmatrix der Schicht k:

Tk = Tk(ht) bzw. (')Tk = ( O ) T k ( @ ) . (3.43)

Es 1aRt sich nachweisen, dal3 die Ubertragungsmatrix der diinnen Schicht die diinne Platte mit Beriicksichtigung der Schubdeformation aowie die diinne Scheibe (Membranzustand) beschreibt .

3.3. Nachgiebigkei tsmatr ix Interessiert man sich nur fur die Spannungen eines Sohichtsystems, so ist es zweckmaRig, die Verschiebungs- grol3en zu eliminieren. Man hat hierzu die ubertragungsgleichung

folgendermaDen umzuformen :

[""" = "11 N21 L W l k

Ausfuhrlich:

= 4

\ a b c a \ \

e f

a . . . . . . . \

\ symmetrisch a C

\ \

g \

d -f

f h

b -c

(3.44)

(3.45)

(3.46)

k

H. BUFLER: Elastischea Mehrschichtsystem unter asymmetrischer Belastung __- 112

mit

I Normalschicht I diinne Schicht

- (1 - 2 Yk) (A* ht)2

6 (1 - v ~ ) A * h?

(3.47)

Die Vorzeichenfestsetzung bei a(0) in (3.46) ist dark begriindet, daB die positiven Richtungen der KraftgroBen mit den positiven Richtungen der Verschiebungsgrol3en iibereinstimmen sollen. Dann ergibt sich auch die durch den MAwxEaschen Reziprozitiitssatz eusgedriickte Symmetrie der Nachgiebigkeitsmatrix. Diese hat nur 8 voneinander verschiedene Elemente, im Gegensatz zur Ubertragungsmatrix mit 13 voneinander verschie- denen Elementen.

4. Das Mehrschichtsystem im Falle vollstiindiger Haftung aller Schichten

4.1. Das Ubertragungsverfahren

Im Falle vollstiindiger Haftung miissen die Spannungskomponenten a?,, a, B, a,, und die Verschiebungskom- ponenten u,, 4, u, der jeweils angrenzenden Schichten stetig ineinander iibergehen. Dies gilt selbstverstiind- lich auch fur die Transformierten dieser GroBen bzw. ihrer Kombinationen, so daB wir die Ubergangsbedingun- gen in der Form

(4.1) - a k + l ( o ) == = zk . (k = 1 , 2 , . . . , N - 1)

schreiben konnen ; iik bedeutet also den (eindeutigen) Zustandsvektor an der Stelle k. Die Ubertragungsgleichung (3.44) unter Beriicksichtigung von (4.1) lautet fiir die Stellen k - 1 iind k

(4.2) - a k = T k 6 k - l (k = 1 , 2 , . . . , fl).

Ihre successive Anwendung

(4-3) - a, = TI ii, , ii, = T, a, , * * * st, = TN i % ~ - i

erlaubt die Elimination der ZwischengroBen und ergibt

(4.4) - a N = T , . . . T , i i i , = TZ,,,

H. BUFLER: Elastisches Mehrschichtsystem unter twymmetrischer Belastung 113 -~

also eine Verkniipfung der RandgroBen. Ausfuhrlich :

Drei Komponenten von Go und drei Komponenten von iiN sind auf Grund der Randbedingungen als bekmnt anzusehen. Genauer: Sie sind uber (2.13), (3.8), (3.14) und (3.28) aus den bekannten RandgroBen zu berechnen:

k i = H i i = H R a ^ = € I R P a . (4.6) Aus den sechs Gleichungen (4.5) folgen die restlichen Komponenten. Mit Go stehen aber wegen (4.3) siimtliche uk--l = Gk(0) fest. G1. (3.39) und (3.40) liefern dann G&t) und b,(zf). Die Rucktransformationen fuhren schlieDlich zum vollstiindigen Spannungs- und Verschiebungszustand :

-

a&, y , Zk) = F3R- l H-l(T,(z!) a*(o)>> 9

bk(r, y , zk) = F1{ R-' H-I(& Tk(z$) i i&(O)) ] . (4.7)

(4.8) , r ,

Falls die letzte Schicht N sehr dick ist (Halbraum, hN --i, m), besteht eine Kopplung zwischen den 6 Anfangs- grol3en in i i , ~ - 1 :

Hierin bedeutet S N G N - l = 0 . (4.9)

Man gewinnt die Beziehung (4.9) dadurch, da13 man die ubertragungsgleichung (4.2) fiir die Schicht k = N nach den VerschiebungsgroBen am Halbraumrand N - 1 auflBst und dann zur Grenze hN --+ 00 ubergeht, bei gleichzeitiger Forderung nech einem beschriinkten (oder verschwindenden) G N . Die Beziehung (4.9) tritt also beim Halbraum an die Stelle der Beziehung 5, = TN Gn-1. Bei einem Schichtsystem mit dem Halbraum als letzter Schicht ist demnach die Obertragungsgleichung (4.4) zu ersetzen durch

(4.11) SN T N - ~ * - * T1 a,, = 0 .

4.2. Numerische Gesichtspunkte Die Ubertragungsmatrix T k = T&) einer Einzelschicht nimmt fiir sehr groBe Werh von I* hf den Rang 1 an; dies gilt ebenso fur die Gesamtubertragungsmatrix T eines Schichtsystems. I n diesem Fell verschwinden alle Unterdeterminanten von Tk bzw. T, und die numerische Aufloaung von (4.4) mch den 3 nicht vorgegebenen Elementen von ii,, muB unbrauchbar werden. Wie ist dieser Effekt zu erkliiren und wie ist Abhilfe zu schaffen 7 Zur mechanischen Erkliirung dient das DE ST. VENANTSChe Prinzip: ,I* hf > I bedeutet niimlich, d d die ,,Wellenliinge" der Belastung in r-Richtung im Vergleich zur Schichtdicke hn sehr klein ist. Der EinfluB einer an einem Schiohtrand wirkenden derartigen ,,Quasi-Gleichgewichtsgruppe" auf den relativ weit entfernten zweiten Rand ist wegen des Abklingeffektes (DIO ST. VMNANT) praktisch gleich Null. Folglich miissen zwischen den Zustiinden an beiden Riindern numerisch auszuwertende Beziehungen versagen.

Zur mathematischen Erkliirungz) greifen wir a d die Differentialgleichung (3.26) zuriick und integrieren sie durch den LOsungsansatz

a = q d Z .

Einseteen fiihrt auf das Eigenwertproblem der Matrix x. Wenn ein Eigenwert einen positiven Realteil hat - was hier der Fall ist - dann setzt sich fiir I z = I* z* > 1 der zugehorige Eigenvektor durch, d. h. E(z) wird unabhiingig vom Anfangs- vektor Z(0).

Hiemus folgt mit Bezug auf die Ubertragungsgieichung (3.39), daB alle Zeifen der Obertragungsmatrix T voneinander linear abhiingen, d. h. T hat den Rang 1.

2) Siehe hierzu K. MARQIJERRE und R. UHRIG [8].

114 H. BVFLER: Elastisches Mehrschichtsystem unbr asymmetrischer Belastung

Es gibt folgende Moglichkeiten, um Abhilfe zu schaffen: a) Man entwickelt eine geschlossene Losung fur die Zustandsvektoren, wobei sog. Delta-Matrizen auftreten. Dieser Weg ist

fur ein Problem 4. Ordnung noch gangbar - ein Beispiel findet sich in [3] - jedoch fur Probleme hijherer Ordnung wegen des auBerordentlich groBen Rechenumfanges inpraktikabel.

b) Man lost das bandformige Gleichungssystem (4.3) simultan nach alien Unbekannten mit Hilfe des GAnssschen Algorithmus auf, wobei man, falls notig, die Einzelschichten noch unterteilen kann, und vermeidet damit die Verwendung von (4.4).

c) Man arbeitet mit den Nachgiebigkeitsmatrizen anstelle der Ubertragungsmatrizen. Die Durchrechnung von Zwei- und Dreischichtsystemen zeigt, d a B man als obere Integrationsgrenze der bei der HANKELschen Riicktransformation anfallenden und numerisch auszuwertenden Integrale im allgemeinen I* = I ht = 16 mit hk als Dicke der diinnsten Schicht nehmen darf.

4.3. Das Verfahren der Nachgiebigkeitsmatrizen Die ubergangsbedingungen, die den GI. (4.1) entsprechen, schreiben wir hier mit den in (3.45) eingefuhrten Bezeichnungen in folgender Form:

- 1 0

(4.12)

Die erste Beziehung beinhaltet die statischen ubergangsbedingungen und die zweite Beziehung die geometri- schen ubergengsbedingungen. Die zweite liefert in Verbindung mit der ersten und mit (3.45)

k = 1, 2, * * . 3 N - 1 * (4.13) Aus diesem bendformigen Gleichungssystem laesen sich siimtliche unbekannten SpannungsgrbDen 3k an den Ubergangsstellen errechnen, sofern die RandspannungsgroDen bekannt. ~d (letztere miissen natiirlich insgesamt miteinander im Gleichgewicht stehen) . Sind Randverschiebungsgr6Ben vorgegeben, so hat man diese gemaI3 (3.45) durch die entsprechenden RandspannungsgriiDen auszudrucken. Das Verfahren der Nechgiebigkeits- matrizen lal3t sich auch dann ohne Schwierigkeiten anwenden, wenn eine der Schichten sehr dick ist (Halbraum).

Nach Ermittlung der Spannungsgr6Ben an den Ubergangsstellen folgen die VerschiebungsgrijBen aus (3.45). Der vollstilndige Spannunge- und Verschiebungszustand einer Schicht k errechnet sich schlieDlich uber (3.39) und (3.40).

N Z l k 3 k - 1 - ( N 1 l k + l f N 2 2 k ) a k + N l Z k + l a k + l = 0 3

6. Das glatte Mehrschichtsystem (verschwindende Haftung) In diesem Fall bestehen fur jede Schicht k die Bedingungen

- - OZrk-1 - OZ?k = - OZpk = Y = '9 2, * ' ' > 9

inl-tl Inl-1 oder - ausgedriickt in den trensformierten Variablen und gemaI3 (3.28)

Wir fiihren nun den ,,reduzierten Zustandsvektor" ii* gemiil3

ein, wobei r i o o o o 01

" = l o 0 0 0 o - - 2 '1 bedeutet. Aus der Ubertregungsgleichung (3.44) folgt wegen (5.2) eine Kopplung zwischen

Die Matrix Ck ist

c k =

0 0

(5.2)

(5.4)

L 0

H. Bmm: Elastisches Mehrschichtsystem unter esymmetrischer Belastung 116;

Qleichung (5.5) leistet mithin die Umrechnung vom reduzierten zum vollstiindigen Zustandsvektor am ,,Anfang" (zk = 0) der Schicht k.

Aus (5.3), (3.44) und (5.5) erhalten wir die ubertragungsgleichung fur den reduzierten Zustandsvektor:

(5.7) - az(hk) = TPiit(0) .

Hierin bedeutet T g = D T E C k

die reduzierte Obertragungsmatrix. Die Auarechnung liefert r A*ht i A* EE r., /A*ht\*l I

und speziell fur die dunne Schicht (A* ht)4 .?3P

12 (1 - Y$) 7if 1

(1 - Y $ ) h$ 1 EP

(O)Tt = (5.10)

Wir haben wiederum die Eigenschaften: Symmetrie zur Nebendiagonale, Determinante 1, bis auf schachbrett- artige Vorzeicheniinderung gleiche Elemente in der inversen Matrix. Allerdings gilt jetzt fur zwei Schichten aus gleichem Material wegen der Diskontinuitiit der Verschiebungskomponenten U, und alp,

Die ffbergangsbedingungen beziehen sich nunmehr auf die Stetigkeit der Normalspannung aSE und der Ver- schiebung u, beim Obergang von einer Schicht zur Nachbarschicht; mit anderen Worten: Der reduzierte Zu- standsvektor muB stetig sein

(5.11) In Verbindung mit der Obertragungsgleichung (6.7) lauten also die Ubergangsbedingungen

T* (h? + k$) =+ T*(@) T*(h:) .

Zig+l(O) = iir(hb) = 5* (k = 1 , 2 , . . . , N - 1 ) .

3: = TfGE-1 (k = 1 , 2 , . . . , N ) . (5.12) Die Elimination der ZwischengriiBen liefert

(5.13) mit T* als Gesamt-ffbertragungsmatnx. Auf Grund der beiden Randbedingungen - Vorgabe von az, oder u, am Rand 0 und am Rand N - lassen sich a m (5.13) die nicht vorgegebenen Komponenten von ii$ und Zi$ berechnen, womit gemiil3 (5.12) alle reduzierten Zustandsvektoren an den Schichtriindern ermittelt werden konnen. Die vollstiindigen ,,Anfangs"-Zustandsvektoren ergeben sich sodann nctch (5.5) und der vollstiindige (transformierte) Spannungs- und Verschiebungszustand der Schicht k folgt mit (3.39) und (3.40) zu

(5.14) (5.15)

Es liil3t sich ubrigens - wie im einzelnen in [l] und [3] gezeigt wird - auch eine geschlossene Darstellung fur den reduzierten Zustandsvektor 32 angeben.

= T $ . . . T,Ya$ = T* &$

- a/C(zZ) = T k ( Z 3 Ckar(0) 9 - b&$) = & T&Z) Ck 8;(0) .

6. SonderfPle 6.1. Der axialsymmetrische Verzerrungszustand

Hier besteht keine Abhiingigkeit von der Umfangskoordinate 9: f(9) = const. = f. Folglich gilt nach (3.1)

und es folgt gemiil3 (3.8) und (3.9)

ii = /G {azr, aZr, - i o,,, - i u;, u:, - u : } ~ , b = fi {arr + apr, Crr - u ~ ~ , - i 2 Gpr}'. h

Bei Beachtung dieses Zusammenhanges erhiilt man uber (3.14), (3.28) bzw. (3.15), (3.29)

a = H R ii = (G Q E , - b = H ' R ' 6 = @ P i i

116 H. BUFLER : Elastischee Mehrschichtsystem untm asymmetrischer Belastung

h c g +

r3 Y

hl ZG a * I * 5%

h c d hl

$ 3

A

*-Y N Y

T *r N * * s

*r *c I,+ n

*N" v u

*r N

* * 01

**/ 2 !%+

+ s *r

* N

* ** * N

01 p & I YG

N v u

* * *-Y Y

4 - ........ ?I: h

P I

r3 w

c.l

.......

0

0

N

0 0

0

0

r3

*a N Y

....

....

0 0

0

I T I *-Y N

+ *," -

*i?

I * *

r3

... 0

rz

*r o f '

n r i Y

I k ' ** rl N

0 2 i/ -4 I

II

H. BUFLEB: Elastischea Mehrechichtayatem unter esymmetriecher Belastung 117

mit 1=[ 1

1 -1

--z --a

--z

--a

-1 1

2 1 und P=[ -:] sowie

und 0 2 2

= { ~ r r + aqq, or , - uqq, 2arq}T * Mit (6.4) geht die ubertragungsgleichung (3.39) iiber in

und mit (6.5) G1. (3.40) in

- Uk($) = Q-’ T&f) Q iZt(0) = Ut($) &(O)

- v&f) = P-1 Bt Q U & f ) = C&) . (6.11)

Die Ausrechnung liefert dann die neuen Matrizen Uc gemiiB (6.12) bzw. (O)Uk gemti13 (6.13) und vx gem613 (6.14):

: 1-v,

i 1 + v t

0

. -- 0 (6.14) I I

0 0 0 -- I* E f 0 1 1 + vt

Ein Blick auf die Matrix (6.12) lehrt, daD ein entkoppeltee Problem vorliegt: Der durch die Variablen {a,,, a,,, u:, u:} beschriebene Zustand entspricht der axialsymmetrischen Beanspruchung ohne Torsion, der durch die Variablen { uzq, ut } beschriebene Zustand entspricht der reinen axialsymmetrischen Torsion. Beide Flille wurden schon friiher vom Verfasser behandelt [3], [9], [lo].

Die Beziehung fiir den Halbraum ale Schicht N lautet XN UN-1 = 0 (6.16)

mit E E A*

.... ...........

0 (6.16) -- 0 1. 2 (1 - VN) -(1- 2 VN) 0 0 0 -

X N = -(1-2vyN) 2(1-Vx1 0 0 EE A* 1 + V N

0 0 2 A* 0

Bei glatten Schichten geht man analog zu Ziff. 5 vor und arbeitet mit dem reduzierten Zustandsvektor

I 1 + VN

0 0 U* = {OLZ, ig}

und der reduzierten ubertragungsmatrix

A* hf T+ t t A* EP ck

ck U,” =

bzw. - im Fall einer diinnen Schicht - ; (A*h34 E f . - i 12 (1 -v i ) hp 1

(O)@ = ........................ j ...............................

1 ht

(1 - Vk) - i E f j

(6.17)

(6.18)

(6.19)

9

H. BUFLER : Elastischea Mehrschichteystem unter asymmetrischer Belastung - - ~ -

118

Man bemerkt die Ubereinstimmung von (6.18) und (6.19) mit (6.9) und (5.10).

zk = 0 der Schicht k ist gegeben durch Der Zussmmenhang zwisehen dem reduzierten und dem vollstandigen Zustandsvektor an der Stelle

Uk(0) = wk GE(0) (6.20) -

mit

(6.21)

Die fiir den axialsymmetrischen Verzerrungszustsnd mabgebenden Matrizen Ut, v,, XN, 47,” und wk stimmen formal mit jenen des als Sonderfall in [l] behandelten zweidimensionalen Verzerrungszustandes (beziiglich der kartesischen Koordinaten x, z ) uberein. Diese Analogie ist in [3] fur ein querisotropes Material dargestellt.

6.2. Schubbeansp ruchung i n e ine r R i c h t u n g (In1 = 1)

Unterliegt der Rand 0 einer Schubbelastung der Form

a,,, = w 9 G y , = 0, wie es niiherungsweise beim Blockieren des Rades eines Fahrzeugs zutrifft, so gilt fur die Schubspamungs- komponenten czrO = - Z(T) cos 9 und a,,, = t(r) - sin 9. Gem60 (3.1) folgt dann

-

gZ,# = - / ; T ( r )

&,. = i; d r )

TI* = 0 t11* = - @ t ( T )

fiir In1 = 1 , sonst 0 -

h fur In1 = 1 , sonst 0 .

Daher wird nach (3.14) fur alle n

fur [nl = 1 , sonst 0 . Mithin ist die Bedeutung des Falles In1 = 1 erkannt.

Literatur 1 BUFLER, H., Theory of elasticity of a multilayered medium, J. of Elasticity 1, S. 125 (1971). 2 KUO, J. T., Static response of a multilayered medium under inclined surface loada, J. Geoph. Ree. 74, S. 3195 (1969). 3 BUFLER, H., Spannungs- und Stabilitatsproblem eines elastiech-querisotropen Schichtaystems, 1ng.-Arch. 41, S. 278

4 SNEDDON, I. N., Fouriertransforms, New York, Toronto, London (1951). 5 MUKI, T., Asymmetric problems of the theory of elasticity for a semi-infinita solid and a thick plate, in “Pro resa in Solid

6 KOLCHIN, G. B., FAVERMAN, Z. A., The theory of elasticity of non-homogeneous bodies (bibliographical index of native and

7 PESTEL, E. C. and LECKIE, P. A., Matrix methods in elastomechanics, New York, San Francisco, Toronto, London (1963). 8 UQUEIWE, K. und UHRIO, R., Berechnung vielgliedriger Schwingerketten, ZAMM 41, S. 1 (1964). 9 BUFLER, H., Die Bestimmung des Spannungs- und Verschiebungszustandes eines geschichteten Korpers mit Hilfe von

( 1972).

Mechanics” Vol. I, ed. by I. N. Sneddon and R. Hill, North-Holland, Amsterdam and Interscience, New Yorf (1960).

foreign literature), “Shtiintsa” publishing house, Kiehinev (1972).

tfbertragungsmatrizen, 1ng.-Arch. 81, S. 229 (1962). 10 BUFLER, H., Die Torsion der inhomogenen dicken Plath, ZAMM 48, S. 389 (1963).

Eingereicht am 22. 3. 1973

Anechtift: Prof. Dr.-Ing. H. BUFLER, Institut fur Mechenik (Bauwesen) der Universitiit Stuttgart, 7 Stuttgart 1, Kepler- stral3e 11, BRD