Elektrodynamik || Interferenz und Beugung

36 Interferenz und Beugung

Das Huygenssche Prinzip wird auf einige einfache und wichtige Fälle angewandt.

Zunächst behandeln wir die Interferenzeffekte, die sich bei der Streuung von Licht

an einem Doppelspalt oder an zwei kleinen Öffnungen ergeben können. Wir dis-

kutieren die Schattenbildung und im Zusammenhang damit die Unschärfe des

Schattenrands aufgrund von Beugungseffekten. In der Fraunhoferschen Näherung

berechnen wir die Beugung an einer rechteckigen Blende.

Interferenz am Doppelspalt

Eine Blende habe zwei spaltförmige Öffnungen, deren Abstand d vergleichbar mit

der Wellenlänge λ ist. Wenn Licht auf diese Blende fällt, beobachtet man auf dem

Schirm ein Interferenzmuster (Abbildung 36.1). Dieses Experiment wurde 1801 von

T. Young durchgeführt. Die dabei gefundene Interferenz stand im Widerspruch zu

Newtons allgemein akzeptierter Meinung, dass Licht aus Teilchenstrahlen bestehe.

Für ein vereinfachte Rechnung betrachten wir eine Blende, die anstelle der bei-

den Spalte zwei kleine kreisförmige Öffnungen (mit der Fläche a) hat; die qualitati-

ve Abbildung 36.1 gilt auch hierfür. Auf die Blende fällt eine ebene Welle senkrecht

ein. Wir gehen von der Fraunhoferschen Näherung (35.19) aus. Der Durchmesser

der Öffnungen sei so klein, dass exp(− ikOP · x ) ≈ 1 gilt. Dann ergibt das Integralin (35.19) für jede Öffnung die Fläche a. Damit wird (35.19) zu

ψ(r) = C

(exp( ik r1)

r1+ exp( ik r2)

r2

)(36.1)

Dabei sind r1 und r2 die Abstände von den Öffnungen zu einem Punkt auf dem

Schirm. Der Vorfaktor wurde mit C ′a = C abgekürzt. Die Intensität I auf dem

Schirm (etwa die Schwärzung einer Photoplatte) ist dann

I = |ψ |2 = |C|2(1

r 21+ 1

r 22+ 2

r1 r2cos

[k (r1 − r2)

])(36.2)

Hieraus folgt die für Wellen typische Interferenz:

I =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩|C|2 (r1 + r2)

2

r 22 r 21≈ 4 |C|2

r2für cos(...) = 1

|C|2 (r1 − r2)2

r 22 r 21≈ 0 für cos(...) = −1

(36.3)

331

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_37© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

332 Teil VII Elemente der Optik

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....

Ebene Welle

Blende Schirm

r1

r2

|ψ |2

Abbildung 36.1 Eine Welle fällt auf eine Wand mit zwei gleichen Öffnungen (Loch oder

Spalt), deren Abstand d vergleichbar mit der Wellenlänge λ ist. Nach dem Huygensschen

Prinzip geht von jeder der beiden Öffnungen eine Kugelwelle aus. Rechts vom Schirm ist

die messbare Intensität |ψ |2 schematisch aufgetragen.

Je nach dem Vorzeichen des Cosinus ergibt sich eine Verstärkung oder Abschwä-

chung. Für die Näherungsausdrücke wurde imAmplitudenfaktor r1 ≈ r2 ≈ r einge-

setzt. Die Näherung r1 ≈ r2 ≈ r darf aber nicht in der Cosinusfunktion verwendet

werden; denn hier sind ja gerade kleine Änderungen (∼ λ) der Wegdifferenz r1− r2entscheidend. Abhängig von derWegdifferenz r1−r2 treffen am SchirmWellenbergauf Wellenberg (konstruktive Interferenz) oder Wellenberg auf Wellental (destrukti-

ve Interferenz). Bei konstruktiver Interferenz ist die Intensität etwa doppelt so groß

wie die Summe der Intensitäten der Einzelwellen.

Für beliebige Blenden sind (35.13), (35.15) oder (35.19) die Grundlage zur Be-

rechnung der Interferenzeffekte: Die von den Punkten der Öffnung ausgehenden

Wellen exp( ik rP)/rP werden addiert. Am Beobachtungspunkt haben sie im All-

gemeinen verschiedene Phasen. Ihre Addition führt daher zu Interferenz, also zu

Verstärkung oder Auslöschung.

Ein Interferenzmuster wird entscheidend bestimmt durch das Verhältnis der

Wellenlänge λ zum Abstand d der Streuzentren. Damit es zu deutlichen Interferenz-

erscheinungen kommt, müssen beide Größen noch vergleichbar sein (etwa λ ∼ d

oder auch λ ∼ 10 d ). Unter Streuzentren verstehen wir hier die Punkte der Blenden-öffnung, von denen nach dem Huygensschen Prinzip Kugelwellen ausgehen, oder

auch die streuenden Atome eines Kristallgitters oder Striche eines optischen Git-

ters. Hierzu sei auf die Streuung von Röntgenstrahlen am Kristallgitter (Laue 1912)

und auf die Aufgaben 25.2 und 36.1 verwiesen.

Kohärenzlänge

Wir sind davon ausgegangen, dass eine ebene Welle (oder die Kugelwelle einer

Quelle) auf die Öffnungen des Schirms fällt. Nun besteht natürliches Licht aus ein-

zelnen Wellenpaketen, die relativ zueinander statistisch verteilte Phasen und Orte

haben. Die Ersetzung eines Wellenpakets durch eine ebene Welle oder Kugelwelle

Kapitel 36 Interferenz und Beugung 333

ist nur zulässig, wenn die Ausdehnung des Wellenpakets groß gegenüber den re-

levanten Abmessungen (wie dem Lochabstand d in Abbildung 36.1) des Systems

ist. Nach (24.42) kann einem Photon in natürlichem Licht ein Wellenpaket mit der

Abmessung

�c ∼ 3m (36.4)

zugeordnet werden. Man sagt, das Licht hat die Kohärenzlänge �c. Sofern die re-levanten Abmessungen klein gegenüber �c sind, können wir die Rechnung mit un-

endlich ausgedehnten Wellen (wie exp( ik r)/r) durchführen.

Im Doppelspaltexperiment führen die einzelnen Wellenpakete zu der in Abbil-

dung 36.1 skizzierten Interferenz (wegen d ∼ λ � �c). Dabei ist jedes einzelne

Wellenpaket als quantenmechanische Wellenfunktion eines einzelnen Photons zu

interpretieren. In diesem Sinn interferieren einzelne Photonen mit sich selbst. Ins-

besondere kommt es auch dann zur Interferenz, wenn die einfallende Welle in Ab-

bildung 36.1 so geringe Intensität hat, dass die einzelnen Photonen zeitlich getrennt

voneinander ankommen.

Aus der quantenmechanischen Wellenfunktion für Photonen wird die klassische

Welle der Elektrodynamik, wenn sehr viele Photonen dieselbe Wellenfunktion ha-

ben. In diesem Fall ist die Wellenfunktion selbst (etwa E und B) und nicht nur

deren Betragsquadrat eine Messgröße. Dies gilt zum Beispiel für Radiowellen oder

Laserlicht.

Im Youngschen Experiment wurde natürliches Licht verwendet. Daher zeigt

das Experiment die Interferenz der quantenmechanischen Wellenfunktion einzelner

Photonen, nicht aber die Interferenz einer klassischen elektromagnetischen Welle.

Dieser Unterschied (quantenmechanische Wellenfunktion — klassische elektroma-

gnetische Welle) betrifft die Interpretation der Funktion ψ . Sobald man zur Intensi-

tät |ψ |2 oder Energiedichte übergeht, ist dieser Unterschied praktisch nicht relevant.Insofern spielen diese Fragen für das Ergebnis (36.2) und seine Ableitung keine

Rolle.

Schattenbildung und Beugung

Die geradlinige Ausbreitung von Licht, insbesondere die Schattenbildung hinter

einem Hindernis, kann mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstanden werden.

Wir diskutieren dies qualitativ für einen Spalt mit einer Breite d, die groß gegenüber

der Wellenlänge λ ist (Abbildung 36.2).

Von jedem Punkt der Spaltöffnung geht nach dem Huygensschen Prinzip eine

Kugelwelle aus. Die Phasenflächen sind Kugeloberflächen mit dem jeweiligen Aus-

gangspunkt als Zentrum. Wie in Abbildung 36.2 angedeutet, haben diese Flächen

eine Einhüllende, die etwa dem nach rechts verschobenen Spalt entspricht. Auf der

Einhüllenden interferieren die Kugelwellen benachbarter Ausgangspunkte positiv

miteinander. Dadurch hat die Welle insgesamt eine Wellenfront, die der Spaltbreite

entspricht. An anderen Stellen kommen die Kugelwellen dagegen mit verschiede-

nen Phasen an und mitteln sich weg.


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�

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BlendeEinfallende Welle

Kugelwellen

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d

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Geometrische Optik

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Beugung

!! !! !! !! !!

��

��

!!,

��Δθ

Abbildung 36.2 Eine Welle fällt auf einen Spalt der Breite d � λ. Nach dem Huygens-

schen Prinzip geht von jedem Punkt der Spaltöffnung eine Kugelwelle aus (oben). Für zwei

verschiedene Radien sind die Fronten einiger dieser Kugelwellen eingezeichnet. Sie haben

eine Einhüllende, die als verstärkte Schwärzung zu erkennen ist. Am Ort der Einhüllenden

interferieren die Kugelwellen positiv, an allen anderen Stellen destruktiv. Die Einhüllende

ist näherungsweise gleich dem nach rechts verschobenen Spalt. Dies entspricht der gerad-

linigen Lichtausbreitung (unten links), also dem Grenzfall der geometrischen Optik. Man

erkennt auch, dass die Begrenzung nicht scharf ist. Vielmehr wird der Lichtstrahl etwas ge-

beugt (unten rechts), und zwar im Winkelbereich Δθ ∼ λ/d � 1. Bei einem Spalt von

5mm Breite und Licht im sichtbaren Bereich beträgt Δθ etwa zwei Bogenminuten. Die

Abbildung illustriert den Zusammenhang zwischen der Interferenz (dem Wellencharakter)

und den anderen in diesem Kapitel diskutierten Phänomenen, also dem Schatten (Bereich

destruktiver Interferenz), der Beugung (teilweise Interferenz) und der geradlinigen Licht-

ausbreitung (Bereich positiver Interferenz).


Dies ist eine qualitative Erklärung der Schattenbildung hinter der Blende. Die

Erklärung und die in Abbildung 36.2 skizzierten Wellenfronten legen nahe, dass die

Schattengrenze nicht völlig scharf ist. Tatsächlich wird das Licht an der Spaltgrenze

um einen Winkel der Größe Δθ abgelenkt. Diese Beugung kann man so verstehen:

Der Spalt blendet ein Wellenpaket mit der Ausdehnung d (senkrecht zu k) aus.

Nach (20.46) hat der Wellenvektor dann eine Unschärfe Δk/k ∼ λ/d in Richtung

der Spaltbegrenzung. Dies impliziert eine Unschärfe Δk der Komponente des Wel-

lenvektors k in dieser Richtung. Daraus folgt die Winkelunschärfe Δθ ∼ Δk/k

oder

Δθ ∼ λ

d(Beugung) (36.5)

Im Bereich dieses Winkels ist die Begrenzung des Lichts hinter der Blende unscharf

(Abbildung 36.2 unten rechts). Dieser Effekt wird Beugung genannt. Die Vernach-lässigung der Beugung führt zum Grenzfall der geometrischen Optik (Kapitel 38).

Die hier vorgestellte qualitative Behandlung der Beugung und Schattenbildung

kann für einfache Geometrien mit Hilfe des Huygensschen Prinzips quantitativ

durchgeführt werden. Für einen Rechteckspalt wird dies im folgenden Abschnitt

gezeigt.

Historisch wurde die Schattenbildung als Argument gegen die Wellentheorie

von Licht angeführt; sie schien viel eher verständlich in einemModell, das von Teil-

chenstrahlen ausging (Newton). Die Klärung dieses Punkts mit Hilfe des Huygens-

schen Prinzips und die Beobachtung von Interferenzeffekten führten zur Durch-

setzung der Wellentheorie des Lichts im 19. Jahrhundert. Durch Quanteneffek-

te (Photoeffekt, Comptoneffekt) wurde Anfang dieses Jahrhunderts deutlich, dass

Licht doch auch Teilchencharakter hat; Licht unterliegt wie Materiewellen dem

Welle-Teilchen-Dualismus.

Beugung am Spalt

In der Fraunhoferschen Näherung berechnen wir die Beugung an einer rechtecki-

gen Öffnung. In der Öffnungsfläche AÖffnung verwenden wir die Koordinaten x :=(ξ, η):

AÖffnung ={ξ, η : |ξ | ≤ a, |η| ≤ b

}(36.6)

Für den Abstand D des Schirms gelte die Bedingung für die Fraunhofersche Nähe-

rung (35.19)

D � πa2

λ, D � πa2

λ(36.7)

In Abbildung 36.3 ist der Grenzfall b→∞ des Spalts skizziert. Wir werten (35.19)

aus:

ψ(r ′) = C

∫Öffnung

dA exp ( − i kOP · x ) (36.8)

= C

∫ a

−adξ

∫ b

−bdη exp

(− i (kOP · ex) ξ ) exp(− i (kOP · ey) η)


�ξ �X

��

�

�

�x

P

2a

�

�

D� �

Blende Schirm

rOPX

�

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θ

--.

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Abbildung 36.3 Licht fällt senkrecht auf einen Spalt der Breite 2a. Beobachtet wird die

Intensität I auf einem Schirm im Abstand D � a. Die Intensität (Abbildung 36.4) hat ein

dominantes Maximum in Vorwärtsrichtung.

�

∣∣I (X)∣∣2

Xπ/α

�

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Abbildung 36.4 Interferenzmuster bei der Beugung an einem Spalt. Gezeigt ist die in

(36.13) berechnete Intensität I (X). Das Hauptmaximum liegt beiX = 0, die Nebenmaximabei αX = ±(2n+ 1)π/2.


Der Vorfaktor wurde durchC = C ′ exp( ik rOP)/rOP ≈ const. abgekürzt. Der VektorkOP zeigt vom Mittelpunkt der Öffnung zum Beobachtungspunkt. Es gilt

kOP · ex (35.17)= krOP · exrOP

= kX

rOP≈ kX

D(36.9)

und entsprechend kOP · ey = kY/D; dabei sind X und Y die kartesischen Koordi-

naten des Beobachtungspunkts auf dem Schirm. Das Integral (36.8) ergibt

ψ(X, Y ) = 4Cab sin(αX)αX

sin(β Y )

β Y(36.10)

wobei

α = ka

Dund β = kb

D(36.11)

Die X-Y -Abhängigkeit der Intensität auf dem Schirm ist dann

I (X, Y ) = |ψ |2 = I (0, 0)sin2(αX)

α2X2

sin2(β Y )

β2Y 2(36.12)

Im Grenzfall b→∞ (Spalt anstelle von rechteckiger Öffnung) fällt die Y -Abhän-

gigkeit weg. Die Intensität auf dem Schirm wird dann zu

I (X)

I (0)= sin2(αX)

α2X2≈ sin2(ka θ)

(ka θ)2Beugungam Spalt

(36.13)

Die Intensität |I (X)|2 ist in Abbildung 36.4 gezeigt. Der Näherungsausdruck ergibtsich für kleine Winkel θ ≈ X/D. Die Breite der Winkelverteilung kann durch den

Winkel Δθ der ersten Nullstelle bei αX = kaX/D = π charakterisiert werden:

Δθ ≈ π

ka= λ

2a(36.14)

Die Winkelabweichung von der geradlinigen Ausbreitung ist also von der Größe

λ/a; dies haben wir bereits in (36.5) festgestellt.

Die Breite des Hauptmaximums ist umgekehrt proportional zur Größe des

Spalts. Diesen Zusammenhang findet man in vielen Streuexperimenten, wobei an

die Stelle der Spaltgröße die Größe eines streuenden Objekts treten kann. So ist

zum Beispiel der Formfaktor F in (25.27) die Fouriertransformierte der Dichte der

Streuzentren; die Breite des Hauptpeaks der Fouriertransformierten ist invers pro-

portional zur Breite der Funktion selbst.

Unter Vernachlässigung der Beugung erhält man geradlinige Ausbreitung des

Lichts. Die geradlinige Ausbreitung entspricht dem dominanten Maximum von

(36.13) bei θ = 0. Für den endlichen Spalt bedeutet dies die Ausblendung der

Lichtstrahlen auf einen Bereich der Breite 2a. Für ein Hindernis im Lichtstrahl be-

deutet es die (geometrische) Schattenbildung.


Aufgaben

36.1 Streuung am Strichgitter

�� a� � � � � -

-

-

-

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

λ

ϕ

ϕ′

�′

� ............................................................................................................................................

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Eine ebene Welle wird an einem

Strichgitter gestreut. Es könn-te sich um sichtbares Licht han-

deln, das auf eine Glasscheibe

mit eingeritzten Strichen (senk-

recht zur Bildebene, durch di-

cke Punkte markiert) fällt. Nach

dem Huygensschen Prinzip geht

von jedem Strich eine Zylinder-

welle aus.

Geben Sie die PhasendifferenzΔ zweier benachbarter Zylinderwellen in Abhängig-

keit vom Einfallwinkel ϕ, Ausfallwinkel ϕ′, vom Gitterabstand a und der Wellen-länge λ an. Zeigen Sie, dass für N Striche die Aufsummation der einzelnen Wellen

(skalare Näherung) zur Intensität

I ∝ sin2(NΔ/2)

sin2(Δ/2)(36.15)

führt. Skizzieren Sie diese Funktion in Abhängigkeit von Δ. Geben Sie die Bedin-

gung für ϕ, ϕ′, a, und λ an, bei der es zu Hauptstreumaxima kommt.

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