Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · ... WS 03/04 1 Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 ... Lecture 6 / Vorlesung 6 1 Elektromagnetische Feldtheorie I

Dr. R. Marklein - EFT I - WS 03/04 1

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /EFT I) /EFT I) /EFT I) /Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

6th Lecture / 66th Lecture / 66th Lecture / 66th Lecture / 6. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung

University of KasselUniversity of KasselUniversity of KasselUniversity of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Dept. Electrical Engineering / Computer Dept. Electrical Engineering / Computer Dept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Science (FB 16)Science (FB 16)Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71

Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

UniversitUniversitUniversitUniversitäääät Kasselt Kasselt Kasselt KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)(FB 16)(FB 16)(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71BBBBüüüüro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115

DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

Dr.Dr.Dr.Dr.----Ing. RenIng. RenIng. RenIng. Renéééé MarkleinMarkleinMarkleinMarkleinmarklein@unimarklein@unimarklein@[email protected]

http://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.e----technik.unitechnik.unitechnik.unitechnik.uni----kassel.dekassel.dekassel.dekassel.dehttp://www.unihttp://www.unihttp://www.unihttp://www.uni----kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderPoint Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept / Konzept der Punktladung (1)Konzept der Punktladung (1)Konzept der Punktladung (1)Konzept der Punktladung (1)

e e

Sphere e0 ( )

( ) d ( ) dS V V

R Q

S V Q

δ

ρ=∂

= =

= =∫∫ ∫∫∫R

D R n R��

i��

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderElectrostatic Point Source / Electrostatic Point Source / Electrostatic Point Source / Electrostatic Point Source / Elektrostatische Punktquelle (1)Elektrostatische Punktquelle (1)Elektrostatische Punktquelle (1)Elektrostatische Punktquelle (1)

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept ////Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– Konzept der PunktladungKonzept der PunktladungKonzept der PunktladungKonzept der Punktladung

x

0R y

z

eQ

Re

e e

e 2

( ) ( ) ( )

1( ) ( , ) ( , )R R

R

RR R

ϕ ϑ α ϕ ϑ

= −∇Φ = −∇Φ

∂= − Φ =

∂

E R R

e e

0 2

1( ) ( ) ( , )RR

Rε α ϕ ϑ= =D R D e

x

0R y

z

( )D R

eQ

2

1

R∼

Sphere Sphere 0 0

20

0 02 20 01

4

0

e

1 1( , ) ( , )d d

4

R R

R RS V S V

R

S SR R

Q

π

ε α ϕ ϑ ϕ ϑ ε α

πε α

=∂ =∂=

=

=

=

∫∫ ∫∫e e��

i��

��

e

04

Qα

πε=e

e0

( )4

QR

RπεΦ =



ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderPoint Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept / Konzept der Punktladung (..)Konzept der Punktladung (..)Konzept der Punktladung (..)Konzept der Punktladung (..)

e( ) ?

infinite / unendlich

ρ =

=

R


ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept ////Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)

e e( )dSV

V Qρ =∫∫∫ R

3e [As/m Coulomb]Q =

Point SourcePoint SourcePoint SourcePoint Source / Punktquelle/ Punktquelle/ Punktquelle/ Punktquelle

Mathematically NonsenseMathematically NonsenseMathematically NonsenseMathematically Nonsense / / / / Mathematischer UnsinnMathematischer UnsinnMathematischer UnsinnMathematischer Unsinn

To Define Something NewTo Define Something NewTo Define Something NewTo Define Something New / Definiere etwas Neues/ Definiere etwas Neues/ Definiere etwas Neues/ Definiere etwas Neues

0SV →

Integration Theory of Riemann /Integration Theory of Riemann /Integration Theory of Riemann /Integration Theory of Riemann /Riemannsche Integralrechnung:Riemannsche Integralrechnung:Riemannsche Integralrechnung:Riemannsche Integralrechnung:

e( )d 0SV

Vρ =∫∫∫ R

eQ

SV

R

O


ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderPoint Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept /Point Charge Concept / Konzept der PunktladungKonzept der PunktladungKonzept der PunktladungKonzept der Punktladung

e e ( )V

Q dVρ= ∫∫∫ R


Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Elektrostatisches LadungElektrostatisches LadungElektrostatisches LadungElektrostatisches Ladung

eeρ

∆=

∆

Q

V

e

e e0

lim

ρ

ρ∆ →

→∞

∆ = ∆V

Q V

e eρ∆ = ∆Q V ∆V

0∆ →V

Small Volume / Small Volume / Small Volume / Small Volume / Kleines VolumenKleines VolumenKleines VolumenKleines Volumen

PointPointPointPoint / Punkt/ Punkt/ Punkt/ Punkt

Electrostatic Volume Charge Density /Electrostatic Volume Charge Density /Electrostatic Volume Charge Density /Electrostatic Volume Charge Density /Elektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches Raumladungsdichte

Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Electrostatic Charge /Elektrostatisches LadungElektrostatisches LadungElektrostatisches LadungElektrostatisches Ladung

Constant / Constant / Constant / Constant / KonstantKonstantKonstantKonstant


In the LimitIn the LimitIn the LimitIn the Limit / / / / GrenzGrenzGrenzGrenzüüüübergangbergangbergangbergang

∆QQQQeeee =Constant if =Constant if =Constant if =Constant if ∆∆∆∆VVVV Goes to Zero, than the Volume Charge Density must go to InfinityGoes to Zero, than the Volume Charge Density must go to InfinityGoes to Zero, than the Volume Charge Density must go to InfinityGoes to Zero, than the Volume Charge Density must go to Infinity. /. /. /. /∆∆∆∆QQQQeeee=konstant=konstant=konstant=konstant bleiben soll wenn bleiben soll wenn bleiben soll wenn bleiben soll wenn ∆∆∆∆VVVV nach null geht, dann muss die Raumladungsdichte nach nach null geht, dann muss die Raumladungsdichte nach nach null geht, dann muss die Raumladungsdichte nach nach null geht, dann muss die Raumladungsdichte nach unendlich gehen.unendlich gehen.unendlich gehen.unendlich gehen.



0

0 0

0 0 0

( )d 1

( ) ( )d ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x x x

f x x x x f x

f x x x f x x x

δ

δ

δ δ

∞

=−∞

∞

=−∞

− =

− =

− = −

∫

∫

( )xδ

x

Sifting Property / Sifting Property / Sifting Property / Sifting Property / SiebeigenschaftSiebeigenschaftSiebeigenschaftSiebeigenschaft

DeltaDeltaDeltaDelta----FunctionFunctionFunctionFunction / Delta/ Delta/ Delta/ Delta----FunktionFunktionFunktionFunktion

δ----Distribution / Distribution / Distribution / Distribution / δ----DistributionDistributionDistributionDistribution

δ----DiracDiracDiracDirac----PulsePulsePulsePulse / / / / δ----DiracDiracDiracDirac----ImpulsImpulsImpulsImpuls

Distribution Distribution Distribution Distribution �� Generalized FunctionGeneralized FunctionGeneralized FunctionGeneralized Function / / / / VVVVerallgemeinerte Funktionerallgemeinerte Funktionerallgemeinerte Funktionerallgemeinerte Funktion

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderPoint Charge Concept / Point Charge Concept / Point Charge Concept / Point Charge Concept / KonzeptKonzeptKonzeptKonzept derderderder PunktladungPunktladungPunktladungPunktladung (2)(2)(2)(2)


1111----D DeltaD DeltaD DeltaD Delta----Distribution / 1D Distribution / 1D Distribution / 1D Distribution / 1D DeltaDeltaDeltaDelta----DistributionDistributionDistributionDistribution

1∞↑

GoesGoesGoesGoes to to to to InfinityInfinityInfinityInfinity ////Geht nach Geht nach Geht nach Geht nach UnendlichUnendlichUnendlichUnendlich

(Limited to 1 only for (Limited to 1 only for (Limited to 1 only for (Limited to 1 only for VisualizationVisualizationVisualizationVisualization ////Begrenzt auf 1 wegen Begrenzt auf 1 wegen Begrenzt auf 1 wegen Begrenzt auf 1 wegen der Visualisierung)der Visualisierung)der Visualisierung)der Visualisierung)

for/für

" " 0

( ) =

0 0for/für

x

x

x

δ

∞ = ≠

0( )x xδ −

0x x= x

( )f x

0( )f x

Definition of the Definition of the Definition of the Definition of the δ ––––Distribution /Distribution /Distribution /Distribution /Definition der Definition der Definition der Definition der δ ––––DistributionDistributionDistributionDistribution

1

[ ] 1m , ( )

mx xδ

The Unit of the Delta-Distribution is the Inverse Unitof the Argument / Die Einheit der Delta-Distributionist die inverse Einheit des Argumentes


0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

( ) :

( ) ( )d ( )

( ) ( ) :

( ) ( ) ( )d ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x x

x x f x x f x

x x x

x x x f x x x f x

x x x x x x

α δ

α δ α

α δ

α δ α

α δ α δ

∞

=−∞

∞

=−∞

−

− =

−

− =

− = −

∫

∫



1111----D DeltaD DeltaD DeltaD Delta----Distribution / 1D Distribution / 1D Distribution / 1D Distribution / 1D DeltaDeltaDeltaDelta----DistributionDistributionDistributionDistribution

Properties: Algebraic and Calculus Properties /Properties: Algebraic and Calculus Properties /Properties: Algebraic and Calculus Properties /Properties: Algebraic and Calculus Properties /Eigenschaften: Algebraische Eigenschaften und RechenregelnEigenschaften: Algebraische Eigenschaften und RechenregelnEigenschaften: Algebraische Eigenschaften und RechenregelnEigenschaften: Algebraische Eigenschaften und Rechenregeln

0 0

0 0

( ) ( )d ( )

( ), ( ) ( )

x

f x x x x f x

f x x x f x

δ

δ

∞

=−∞

− =

− =

∫



t



1111----D DeltaD DeltaD DeltaD Delta----Distribution Distribution Distribution Distribution –––– Signal Processing Signal Processing Signal Processing Signal Processing –––– Sampling / Sampling / Sampling / Sampling / 1D 1D 1D 1D DeltaDeltaDeltaDelta----Distribution Distribution Distribution Distribution –––– Signalverarbeitung Signalverarbeitung Signalverarbeitung Signalverarbeitung ––––AbtastungAbtastungAbtastungAbtastung

( ) ( )

(

( )

(

)

- )

)

(

N

n N

N

n N

N

n N

f t t nT

f nT t nT

nTt tf

δ

δ

δ=−

=−

=−

= −

−=

∑

∑

∑

3 2 0 2 3T T T T T T− − −

( )f tComb Function /Impulskamm

t

3 2 0 2 3T T T T T T− − −

( )f nT



3333----D DeltaD DeltaD DeltaD Delta----Distribution / 3Distribution / 3Distribution / 3Distribution / 3D DeltaD DeltaD DeltaD Delta----DistributionDistributionDistributionDistribution

30

30 0

0 0 0

( )d 1

( ) ( )d ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f f

f f

δ

δ

δ δ

∞

=−∞

∞

=−∞

− =

− =

− = −

∫∫∫

∫∫∫

R

R

R R R

R R R R R

R R R R R R

Sifting Property / Sifting Property / Sifting Property / Sifting Property / SiebeigenschaftSiebeigenschaftSiebeigenschaftSiebeigenschaft

Distribution Distribution Distribution Distribution �� Generalized FunctionGeneralized FunctionGeneralized FunctionGeneralized Function / / / / Verallgemeinerte FunktionVerallgemeinerte FunktionVerallgemeinerte FunktionVerallgemeinerte Funktion

3 3e e 0

3e 0

1

e

( )d ( )d

( )d

Q

Q

Q

ρ δ

δ

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞

=−∞

=

= −

= −

=

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

R R

R

R R R R R

R R R

��

e e 0( ) ( )ρ δ= −QR R R

x

y

z

0R

eQ

R

0( )δ −R R

0R R

( )f R

0( )f R






1 2 3

0 0 00

0 0 0 00 0

0 0 0 0 00 2

1 10 2 20 3 30

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

sin sin

( ) ( ) ( )

x x y y z z

r r z zr r z z

r r

R RR R

R R R

h h hξ ξ ξ

δ δ δ δ

δ ϕ ϕ δ δ ϕ ϕ δδ δ

δ ϑ ϑ δ ϕ ϕ δ δ ϑ ϑ δ ϕ ϕδ

ϑ ϑ

δ ξ ξ δ ξ ξ δ ξ ξ

− = − − −

− − − −= − − =

− − − − −= − =

− − −=

R R

3 30 0 0 0 0 00

0 0 0

1

1

( )d ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d d d

( ) d ( )d ( )d

z y x

z y x

x x y y z z x x y y z z x y z

x x x y y y z z z

δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

=

=

=

− = − − − = − − −

= − − −

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

R R

R R R R

��

��

1

1

= ��


Cartesian Coordinate System / Cartesian Coordinate System / Cartesian Coordinate System / Cartesian Coordinate System / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

Cylindrical Coordinate System /Cylindrical Coordinate System /Cylindrical Coordinate System /Cylindrical Coordinate System /ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

Spherical Coordinate System /Spherical Coordinate System /Spherical Coordinate System /Spherical Coordinate System /KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

General Case /General Case /General Case /General Case /Allgemeiner FallAllgemeiner FallAllgemeiner FallAllgemeiner Fall




23 3 20 0 0 0 0 0

0 2 20 0 0

00

0 0

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d sin d d d

sin sin

( )( ) d d

R

R

R R R RR R

R R

R R R RR

π π

ϕ ϑ

π

ϑ

δ δ ϑ ϑ δ ϕ ϕ δ δ ϑ ϑ δ ϕ ϕδ ϑ ϑ ϕ

ϑ ϑ

δ ϑ ϑδ ϑ

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ = = =

∞

= =

=

=

− − − − − −− = =

− = −

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

R R

R R R R

��

��

20

0

1

( )sin d 1

sinR

R

π

ϕ

δ ϕ ϕϑ ϕ

ϑ=

=

−

=

∫

��


23 30 0 0 0 0 0

0

0 0

20

0 0

0 0

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d d d d

( )( ) d d ( )

z r

z r

r r z z r r z zr r z

r r

r r r r z zr

π

ϕ

π

ϕ

δ δ ϕ ϕ δ δ δ ϕ ϕ δδ ϕ

δ ϕ ϕδ ϕ δ

∞ ∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞ = =

∞ ∞

=−∞ = =

=

=

− − − − − −− = =

− = − −

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

R R

R R R R

��

��

1

d 1z

=

= ��



[ ]e e 0 0 0( , , ) AsQ Q x y z=Electrostatic Point Charge Density /

Elektrostatische Punktladung



e e 0( , , ) ( , ) ( )x y z x y z zρ η δ= −Electrostatic Charge Density / Elektrostatische Ladungsdichte

e e 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )x y z z x x y yρ ς δ δ= − −Electrostatic Line Charge Density / Elektrostatische Linienladungsdichte

Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte e e 0 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )x y z Q x x y y z zρ δ δ δ= − − −

eQ

[ ]e e 0 0( ) ( , , ) As/mz x y zς ς=

2e e 0( , ) ( , , ) As/mx y x y zη η =

Electrostatic Line Charge Density / Elektrostatische Linienladungsdichte

Electrostatic Surface Charge Density / Elektrostatische Flächenladungsdichte

e( )zς

e ( , )x yη

Point / Punkt

Line / Linie

Surface / Surface


ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Point Charge Point Charge Point Charge Point Charge ConceptConceptConceptConcept / ES Felder / ES Felder / ES Felder / ES Felder –––– KonzeptKonzeptKonzeptKonzept derderderder PunktladungPunktladungPunktladungPunktladung (...)(...)(...)(...)ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept ////

Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)



ee

0 0

1( )

4πεΦ =

−

QR

R R

Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Elektrostatisches PotentialElektrostatisches PotentialElektrostatisches PotentialElektrostatisches Potential

( )3 32 2 20

0 0 0

3/ 22 2 2

0 0 0

1 1

( ) ( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

x x y y z z

x x y y z z

=− − + − + −

= − + − + −

R R

2 2 20 0 0 0

1 1

( ) ( ) ( )=

− − + − + −x x y y z zR R

e

e 03

0 0

( ) ( )

4πε

= −∇Φ

−=

−

Q

E R R

R R

R R

Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Elektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische Feldstäääärkerkerkerke

e e 0( ) ( )Qρ δ= −R R RElectrostatic Charge Density / Electrostatic Charge Density / Electrostatic Charge Density / Electrostatic Charge Density / Elektrostatische LadungsdichteElektrostatische LadungsdichteElektrostatische LadungsdichteElektrostatische Ladungsdichte

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept Point Charge Concept ////ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)Konzept der Punktladung (...)


Poisson and Laplace Equation / PoissonPoisson and Laplace Equation / PoissonPoisson and Laplace Equation / PoissonPoisson and Laplace Equation / Poisson---- und Laplaceund Laplaceund Laplaceund Laplace----GleichungGleichungGleichungGleichung

Coulomb Integral Coulomb Integral Coulomb Integral Coulomb Integral / Coulomb/ Coulomb/ Coulomb/ Coulomb----Integral:Integral:Integral:Integral:

3ee

0

e

e

known /

(

b

)1( )

4 | |

( ) : ekannt

unknown / unbekannt( ) :

sVd

ρπε

ρ

′Φ =

−

Φ

′′

′

∫∫∫R

R

RR

R

R

R

ee

0e

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equati

( )( ) 0

( )

0on /

für Laplace-Gleich( ) 0

ung

ρρ

ε

ρ

− ≠

∆Φ = =

RR

R

R

e

0( )

0

s

s

V

Vρ

≠ ∈

∈

RR

R

Limited Source Volume /Limited Source Volume /Limited Source Volume /Limited Source Volume /Begrenztes QuellvolumenBegrenztes QuellvolumenBegrenztes QuellvolumenBegrenztes Quellvolumen

2Laplace Operator / Laplace-Operator :∆ = ∇ = ∇ ∇i

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Coulomb Integral / Coulomb Integral / Coulomb Integral / Coulomb Integral / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb----IntegralIntegralIntegralIntegral

x

z

sV

y

e( )ρ ′R

′R

R

| |′−R R e( )Φ R

Source Point Source Point Source Point Source Point / / / / QuellpunktQuellpunktQuellpunktQuellpunkt

Observation Point Observation Point Observation Point Observation Point / / / / BeobachtungspunktBeobachtungspunktBeobachtungspunktBeobachtungspunkt



z

sV

y

x

e ( )ρ ′R

′R

R

| |′−R R e ( )Φ R

e

3e e

0

3e

0

4 ( )

3e e

0 0

( )

1 1( ) ( )

4 | |

1 1( )

4 | |

1 14 ( ) ( ) ( )

4

s

s

s

V

V

V

d

d

d

πδ

ρ

ρπε

ρπε

πδ ρ ρπε ε

′=−

′

−

=

∆Φ = ∆−

= ∆

−

= − − = −

′ ′′

′ ′′

′ ′

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

R

R

R

R R

R

R

R

R

R

R R

R

RR R R

��

��

3ee

0

e

e

known /

(

b

)1( )

4 | |

( ) : ekannt

unknown / unbekannt( ) :

sVd

ρπε

ρ

′Φ =

−

Φ

′′

′

∫∫∫R

R

RR

R

R

R

Coulomb Integral Coulomb Integral Coulomb Integral Coulomb Integral / Coulomb/ Coulomb/ Coulomb/ Coulomb----Integral:Integral:Integral:Integral:

( )1

4

with δπ

∆ = − −−

′′

R

R

R

R

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Coulomb Integral / Coulomb Integral / Coulomb Integral / Coulomb Integral / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb----IntegralIntegralIntegralIntegral (...)(...)(...)(...)


ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– GreenGreenGreenGreen’’’’s Function / s Function / s Function / s Function / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Greensche FunktionGreensche FunktionGreensche FunktionGreensche Funktion

ESe

3e

3e

0

)

e0

(

( )1( )

4 | |

1 1 1( )

4 | |

s

s

V

V

G

d

d

ρπε

ρε π

′= −

′Φ =

−

=

′′

′ ′− ′

∫∫∫

∫∫∫

R R

RR

R

R

R

R

R R

R��

z

:Source Volume / Quellvolumen

sV

y

x

e ( )ρ ′R

′R

R

| |′−R R e ( )Φ R

for / für ′≠R RESe

1 1( )

4 | |G

π′− =

− ′R

R R

R

Electrostatic GreenElectrostatic GreenElectrostatic GreenElectrostatic Green’’’’s Function / s Function / s Function / s Function / Elektrostatische Greensche FunktionElektrostatische Greensche FunktionElektrostatische Greensche FunktionElektrostatische Greensche Funktion

e

1( )

4 | |

eQ

π +

Φ =−

RR R

Electrostatic Potential of an Electrostatic Point Charge / Electrostatic Potential of an Electrostatic Point Charge / Electrostatic Potential of an Electrostatic Point Charge / Electrostatic Potential of an Electrostatic Point Charge / Elektrostatisches Potential einer elektrostatischen PunktladungElektrostatisches Potential einer elektrostatischen PunktladungElektrostatisches Potential einer elektrostatischen PunktladungElektrostatisches Potential einer elektrostatischen Punktladung

e ef (or )/ für ( )Qρ δ += −R R R

Normalized Potential of Normalized Potential of Normalized Potential of Normalized Potential of a Point Charge / a Point Charge / a Point Charge / a Point Charge / Normiertes Potential Normiertes Potential Normiertes Potential Normiertes Potential einer Punktladungeiner Punktladungeiner Punktladungeiner Punktladung

( )ESe ( )with G δ′∆ − = − − ′R RR R



Electrostatic Volume Charge Density / Electrostatic Volume Charge Density / Electrostatic Volume Charge Density / Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches RaumladungsdichteElektrostatisches Raumladungsdichte

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Potential of a Point Charge / Potential of a Point Charge / Potential of a Point Charge / Potential of a Point Charge / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Potential einer PunktladungPotential einer PunktladungPotential einer PunktladungPotential einer Punktladung

with / mi t R e e e R e e ex y z x y zx y z x y z+ + ++= + + = + +

e e( ) ( )R RRQρ δ += −

3ee

0

3e

0

e

0

( )1( )

4 | |

( )

4 | |

1

4 | |

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

RR

R

s

s

V

V

Qd

Qd

Q

δπε

δπε

πε

+

+

+

−Φ =

−

−=

−

=

′′

′

′

′

−

′

∫∫∫

∫∫∫

z

:Source Volume / Quellvolumen

sV

y

x

e ( )ρ ′R

′R

R

| |′−R R e ( )Φ ReQ

R+

ee

0

1( )

4 | |RR

R

Q

πε +

Φ =−


ee

0

1( )

4

Q

πε +

Φ =−

RR R

Field of an Electrostatic Point Charge / Field of an Electrostatic Point Charge / Field of an Electrostatic Point Charge / Field of an Electrostatic Point Charge / Feld einer elektrostatischen PunktladungFeld einer elektrostatischen PunktladungFeld einer elektrostatischen PunktladungFeld einer elektrostatischen Punktladung

Electrostatic Potential of a Point Charge / Electrostatic Potential of a Point Charge / Electrostatic Potential of a Point Charge / Electrostatic Potential of a Point Charge / Elektrostatisches Potential einer PunktladungElektrostatisches Potential einer PunktladungElektrostatisches Potential einer PunktladungElektrostatisches Potential einer Punktladung

3 32 2 2

3/ 22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

+ + ++

++ + +

+ + +

+ + +

− + − + −−=

− − + − + −

− + − + −= − + − + −

e e eR R

R R

e e e

2 2 2

1/ 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

x x y y z z

x x y y z z

+ + + +

+ + +

=− − + − + −

= − + − + −

R R

e

e

30

( ) ( )

4

Q

πε+

+

= −∇Φ

−=

−

E R R

R R

R R

Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Elektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische Feldstäääärke einer Punktladungrke einer Punktladungrke einer Punktladungrke einer Punktladung

Electrostatic (ES) Fields / Electrostatic (ES) Fields / Electrostatic (ES) Fields / Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) FelderElektrostatische (ES) FelderElektrostatische (ES) FelderElektrostatische (ES) Felder

with x y z

x y z

x y z

x y z+ + ++

= + +

= + +

R e e e

R e e e

with x y z

x y z

x y z

x y z+ + ++

= + +

= + +

R e e e

R e e e



Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges –––– Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen –––– Elektrostatischen DipolElektrostatischen DipolElektrostatischen DipolElektrostatischen Dipol


Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Carrying Charges of Opposite Sign Carrying Charges of Opposite Sign Carrying Charges of Opposite Sign Carrying Charges of Opposite Sign / Feldlinien der / Feldlinien der / Feldlinien der / Feldlinien der

elektrischen Feldstelektrischen Feldstelektrischen Feldstelektrischen Feldstäääärke zweier ungleich geladener Kugelnrke zweier ungleich geladener Kugelnrke zweier ungleich geladener Kugelnrke zweier ungleich geladener Kugeln

++++ ++++

++++----

Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Same Sign Same Sign Same Sign Same Sign / Feldlinien der elektrischen Feldst/ Feldlinien der elektrischen Feldst/ Feldlinien der elektrischen Feldst/ Feldlinien der elektrischen Feldstäääärke zweier rke zweier rke zweier rke zweier

gleich geladener Kugelngleich geladener Kugelngleich geladener Kugelngleich geladener Kugeln


e+ ee

0

1( )

4R

R R R R

Q Q

πε−

+ −

Φ = + − −

Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges –––– Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen –––– Elektrostatischen DipolElektrostatischen DipolElektrostatischen DipolElektrostatischen Dipol

Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Electrostatic Potential / Elektrostatisches PotentialElektrostatisches PotentialElektrostatisches PotentialElektrostatisches Potential

3 32 2 2

3/ 22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e eR R

R R

e e e

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

± ± ±±

±± ± ±

± ± ±

± ± ±

− + − + −−=

− − + − + −

− + − + −= − + − + −

2 2 2

1/ 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

R R x x y y z z

x x y y z z

± ± ± ±

± ± ±

=− − + − + −

= − + − + −

e

e+ e3 30

( ) ( )

1

4

E R R

R R R R

R R R R

Q Qπε

+ −−

+ −

= −∇Φ

− − = + − −

Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Electrostatic Field Strength / Elektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische FeldstElektrostatische Feldstäääärkerkerkerke


with/mit R e e e

R e e e

x y z

x y z

x y z

x y z± ± ±±

= + +

= + +

with/mit R e e e

R e e e

x y z

x y z

x y z

x y z± ± ±±

= + +

= + +



Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges –––– Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen –––– Elektrostatischer DipolElektrostatischer DipolElektrostatischer DipolElektrostatischer Dipol



Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges Field of Two Electrostatic Point Charges –––– Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen –––– Elektrostatischer DipolElektrostatischer DipolElektrostatischer DipolElektrostatischer Dipol




Note: Note: Note: Note: Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Strength. / Strength. / Strength. / Strength. / Die FarbintensitDie FarbintensitDie FarbintensitDie Farbintensitäääät ist proportional zur t ist proportional zur t ist proportional zur t ist proportional zur MagnitudeMagnitudeMagnitudeMagnitude der elektrischen der elektrischen der elektrischen der elektrischen FeldstFeldstFeldstFeldstäääärke.rke.rke.rke.

QQQQ1111 and and and and QQQQ2 2 2 2 / Q/ Q/ Q/ Q1111 and and and and QQQQ2222

QQQQ2222 alone alone alone alone

QQQQ1111 alone / alone / alone / alone / QQQQ1111 alleinealleinealleinealleine

In this demo, arrows are used to In this demo, arrows are used to In this demo, arrows are used to In this demo, arrows are used to sketch the electric field pattern in sketch the electric field pattern in sketch the electric field pattern in sketch the electric field pattern in the the the the xyxyxyxy plane due to: plane due to: plane due to: plane due to:

QQQQ1111 = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) and and and and QQQQ2222 = = = = ----1 As located at 1 As located at 1 As located at 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) =) =) =) = ((((----3,0,0)3,0,0)3,0,0)3,0,0)

PressPressPressPress



Electrostatic Field Due To Two Point Charges /Electrostatic Field Due To Two Point Charges /Electrostatic Field Due To Two Point Charges /Electrostatic Field Due To Two Point Charges /Elektrostatische Feld von zwei PunktladungenElektrostatische Feld von zwei PunktladungenElektrostatische Feld von zwei PunktladungenElektrostatische Feld von zwei Punktladungen



QQQQ1111 and and and and QQQQ2 2 2 2 / Q/ Q/ Q/ Q1111 und und und und QQQQ2222



Geometry / Geometry / Geometry / Geometry / GeometrieGeometrieGeometrieGeometrie


QQQQ1111 = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) and and and and QQQQ2222 = = = = ----1 As located at 1 As located at 1 As located at 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) =) =) =) = ((((----3,0,0) 3,0,0) 3,0,0) 3,0,0)




Electrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic Field………… //// Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... QQQQ1111 alone / alone / alone / alone / QQQQ1111 alleinealleinealleinealleine










QQQQ1111 = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) and and and and QQQQ2222 = = = = ----1 As located at 1 As located at 1 As located at 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) =) =) =) = ((((----3,0,0) 3,0,0) 3,0,0) 3,0,0)




Electrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic Field………… //// Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... QQQQ2222 alone / alone / alone / alone / QQQQ2222 alleinealleinealleinealleine



Note: Note: Note: Note: Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Color Intensity is Proportional to the Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Magnitude of the Electric Field Strength. / Strength. / Strength. / Strength. / Die FarbintensitDie FarbintensitDie FarbintensitDie Farbintensitäääät ist proportional zur t ist proportional zur t ist proportional zur t ist proportional zur MagnitudeMagnitudeMagnitudeMagnitude der elektrischen Feldstder elektrischen Feldstder elektrischen Feldstder elektrischen Feldstäääärke.rke.rke.rke.






QQQQ1111 = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at = 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) ) = (3,0,0) and and and and QQQQ2222 = = = = ----1 As located at 1 As located at 1 As located at 1 As located at PPPP((((xxxx,,,,yyyy,,,,zzzz) =) =) =) = ((((----3,0,0)3,0,0)3,0,0)3,0,0)




Electrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic FieldElectrostatic Field………… //// Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... Elektrostatische Feld... QQQQ1111 and and and and QQQQ2222 / / / / QQQQ1111 und und und und QQQQ2222




0

0

0( )

b

a

R R

R R

εε

ε

< ≤=

>R

ϕ

ϑ

0R Rbεaε

00 zE=E e

x

z

y

0

0100

a

b

ε ε

ε ε

=

=

Transition Conditions = ? / Transition Conditions = ? / Transition Conditions = ? / Transition Conditions = ? / ÜÜÜÜbergangsbedingungen = ?bergangsbedingungen = ?bergangsbedingungen = ?bergangsbedingungen = ?


Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?

Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen KugelPunktladung angezogen von einer elektrisch geladenen KugelPunktladung angezogen von einer elektrisch geladenen KugelPunktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html



Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?Randbedingungen = ?

Point Charge Repulsed By A Charged SpherePoint Charge Repulsed By A Charged SpherePoint Charge Repulsed By A Charged SpherePoint Charge Repulsed By A Charged Sphere ////Punktladung abgestoPunktladung abgestoPunktladung abgestoPunktladung abgestoßßßßen von einer elektrisch geladenen Kugelen von einer elektrisch geladenen Kugelen von einer elektrisch geladenen Kugelen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html


( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)

(2) (1) e

, , =

( , ) ws / mq, , =

0 sf / qf

t t

tt t

η

−

−

n× E R E R 0

Rn D R D Ri

( )

( ) e

, = pec / iel

, = ( , ) pec / iel

t

t tη

n×E R 0

n D R Ri

Governing Equations in Integral Form /Governing Equations in Integral Form /Governing Equations in Integral Form /Governing Equations in Integral Form /Grundgleichungen in IntegralformGrundgleichungen in IntegralformGrundgleichungen in IntegralformGrundgleichungen in Integralform

nMedium (2)Medium (2)Medium (2)Medium (2)

Medium (1)Medium (1)Medium (1)Medium (1)

MediumMediumMediumMedium

n

Transition Conditions / Transition Conditions / Transition Conditions / Transition Conditions / ÜÜÜÜbergangsbedingungenbergangsbedingungenbergangsbedingungenbergangsbedingungen Boundary Conditions / Boundary Conditions / Boundary Conditions / Boundary Conditions / Randbedingungen Randbedingungen Randbedingungen Randbedingungen

ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei

pec = perfectly electric conducting; pmc = perfectly magnetic conducting / iel = ideal elektrisch leitend; iml = ideal

magnetisch leitend

e

( ) 0

( , ) ( , )d

C S

S V Vt t Vρ

=∂

=∂

=

=

∫

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

�

�

ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ESESESES----Felder: Felder: Felder: Felder: ÜÜÜÜbergangsbergangsbergangsbergangs---- und Randbedingungenund Randbedingungenund Randbedingungenund Randbedingungen

I(nterface)S B(oundary)S

IS∈R

For / For / For / For / FFFFüüüürrrr

BS∈R

For For For For / F/ F/ F/ Füüüürrrr



( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)

(2) (1)e ( )η

− =

− =

n× E R E R 0

n D R D R Ri

( )

( ) e

pec / iel

( ) pec / ielη

=

=

n×E R 0

n D R Ri




n



pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

I(nterface)S∈R B(oundary)S∈R

( ) ( )

( )

tan

tan tanE

=

=

n×E R E R

R e

( ) ( )nD=n D R Ri

( ) : (Vector Tangential Component of

Vektorielle Tangentialkomponente von

Scalar Tangential Component of Skalare Tangentialkomponente vo

)

( ) :n

( )

tan

tanE

E R E R

R E R

Scalar Normal Component of

Skalare Normalkomponente vo( ) : ( )

nnD R D R

( ) ( )( ) ( )

(2) (1)

(2) (1)e

0

( )

tan tan

n n

E E

D D η

− =

− =

R R

R R R

( )

( ) e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D η

=

=

R

R R

e( )

pec/iel

σ → ∞R






n



pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

( ) ( )( ) ( )i i= −∇ΦE R R

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)e e

(2) (1)e e e

(2) (2) (1) (1) er e r e

0

(1)(2) (1) ere e(2) (2)

r 0 r

( )

( )

n

n n

ηε ε

ε

ηε

ε ε ε

∂=

∂

∇ Φ − Φ =

Φ − Φ = Φ

∇ Φ − Φ = −

∂ ∂Φ − Φ = −

∂ ∂

n× R R 0

R R

Rn R R

RR R

i

( )( )

( )

( )

e

e

0 r e e

ee

0 r

0

( )

( )

n

n

ε ε η

ηε ε

∂=

∂

∇Φ =

Φ =

∇Φ = −

∂Φ = −

∂

n× R 0

R

n R R

RR

i

( ) ( )

( )

( ) ( )( )0 r

( ) ( )0 r e

1,2

i ii

i i

iε ε

ε ε

= =

= − ∇Φ

D R E R

R


( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)

(2) (1)e

0

( )

tan tan

n n

E E

D D η

− =

− =

R R

R R R

( )

( ) e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D η

=

=

R

R R

e( )

pec/iel

σ → ∞R







n


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)

(2) (1)e e e0

(2) (1)e

(1)(2) (1)re e e(2) (2)

r 0 r

0

const.

( )

1( )

tan tan

n n

E E

D D

n n

η

εη

ε ε ε

− =

⇓

Φ − Φ = Φ =

− =

⇓

∂ ∂Φ − Φ = −

∂ ∂

R R

R R

R R R

R R R

( )

( )

( )

( )

e e0

e

e e0 r

0

const.

( )

1( )

tan

n

E

D

n

η

ηε ε

=

⇓

Φ = Φ =

=

⇓

∂Φ = −

∂

R

R

R R

R R


( ) ( )

( ) ( )

(2) (1)

(2) (1)e

0

( )

tan tan

n n

E E

D D η

− =

− =

R R

R R R

( )

( ) e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D η

=

=

R

R R

e( )

pec/iel

σ → ∞R



Boundary Conditions / Boundary Conditions / Boundary Conditions / Boundary Conditions / RandbedingungenRandbedingungenRandbedingungenRandbedingungen

( )

( )

e e0 e0

e e0 r

const. ( 0 V)

1( )

nη

ε ε

Φ = Φ = Φ =

∂Φ = −

∂

R

R R


n

B(oundary)S∈R

( ) ( ) e, , ( )ΦE R D R R


e ( )η R

e ( )

pec/iel

σ → ∞R

Dirichlet Boundary Conditions for Dirichlet Boundary Conditions for Dirichlet Boundary Conditions for Dirichlet Boundary Conditions for Фe / / / / DirichletDirichletDirichletDirichlet----Randbedingung fRandbedingung fRandbedingung fRandbedingung füüüür r r r Фe

Neumann Boundary Conditions for Neumann Boundary Conditions for Neumann Boundary Conditions for Neumann Boundary Conditions for Фe / / / / NeumannNeumannNeumannNeumann----Randbedingung fRandbedingung fRandbedingung fRandbedingung füüüür r r r Фe



e2 2 2 e

0e2 2 2

e


for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )

0 ( , , )r Laplace-Gle

0ichung

x y zx y z

x y zx y z

x y z

ρρ

ε

ρ

− ≠ ∂ ∂ ∂

+ + Φ = ∂ ∂ ∂ =

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson and Laplace Equation / Poisson and Laplace Equation / Poisson and Laplace Equation / PoissonPoissonPoissonPoisson---- und Laplaceund Laplaceund Laplaceund Laplace----Gleichung (2)Gleichung (2)Gleichung (2)Gleichung (2)

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Poisson and Laplace EquationPoisson and Laplace EquationPoisson and Laplace EquationPoisson and Laplace Equation / / / / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– PoissonPoissonPoissonPoisson---- und Laplaceund Laplaceund Laplaceund Laplace----Gleichung (3)Gleichung (3)Gleichung (3)Gleichung (3)

Laplace Operator Laplace Operator Laplace Operator Laplace Operator in Cartesian Coordinatesin Cartesian Coordinatesin Cartesian Coordinatesin Cartesian Coordinates / Laplace/ Laplace/ Laplace/ Laplace----Operator in Kartesischen KoordinatenOperator in Kartesischen KoordinatenOperator in Kartesischen KoordinatenOperator in Kartesischen Koordinaten

Example: Example: Example: Example: pnpnpnpn JunctionJunctionJunctionJunction –––– pnpnpnpn Diode / Diode / Diode / Diode / Beispiel: pnBeispiel: pnBeispiel: pnBeispiel: pn----ÜÜÜÜbergang bergang bergang bergang –––– pn Diodepn Diodepn Diodepn Diode

2

e2

for /für

for /für

0 d

( )d 0

e n

e p

n d xe

xx n x d

ε

− − ≤ ≤

Φ = ≤ ≤

+

+

+

+

− − −

− − −

− − −

− − −

nd− pd0 x

Example: Example: Example: Example: / Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

∂ ∂+ Φ = ∂ ∂

x

ye 10 VΦ =

e 0 VΦ = e 0 VΦ =

e 0 VΦ =

Separation of Variables Separation of Variables Separation of Variables Separation of Variables / / / / Separation der VariablenSeparation der VariablenSeparation der VariablenSeparation der Variablen !!!!


e2 2 2 e

0e2 2 2

e


for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )

0 ( , , )r Laplace-Gle

0ichung

x y zx y z

x y zx y z

x y z

ρρ

ε

ρ

− ≠ ∂ ∂ ∂

+ + Φ = ∂ ∂ ∂ =

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Boundary Value Problem (BVPBoundary Value Problem (BVPBoundary Value Problem (BVPBoundary Value Problem (BVP) / ) / ) / ) / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– Randwertproblem (RWP)Randwertproblem (RWP)Randwertproblem (RWP)Randwertproblem (RWP)

Examples: Examples: Examples: Examples: / Beispiele:/ Beispiele:/ Beispiele:/ Beispiele:

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

∂ ∂+ Φ = ∂ ∂

x

ye 10 VΦ =

e 0 VΦ = e 0 VΦ =

e 0 VΦ =

Separation of Variables Separation of Variables Separation of Variables Separation of Variables / / / / Separation der VariablenSeparation der VariablenSeparation der VariablenSeparation der Variablen !!!!

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

Between the Plates:Vacuum /

Zwischen den Platten:Vakuum

e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

0ε

0ε

Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)

e e0 0

x d=

Φ = Φ >e

0

0

x =

Φ =

e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=



ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electrostatic Field Between Two Parallel PEC PlatesElectrostatic Field Between Two Parallel PEC PlatesElectrostatic Field Between Two Parallel PEC PlatesElectrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

0 0

( ) 0

co

for /für

for /für

nst.

R

x d

x

x d

= < <

∆Φ = ≠

=

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

e ( ) 0R∆Φ =

2 2 2

e2 2 2( , , ) 0x y z

x y z

∂ ∂ ∂+ + Φ = ∂ ∂ ∂

2

e2

d( ) 0

dx

xΦ =

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠

... Cartesian Coordinates /

... Kartesische Koordinaten

... Because of the Symmetry / ... wegen der Symmetrie

Between the Plates Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung


e

e e0

0 : 0

: 0

x

x d

= Φ =

= Φ = Φ >Boundary Conditions (BC) /

Randbedingungen (RB)

Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung

e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=


ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

2

e2

d( ) 0 0

dx x d

xΦ = < <

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠

Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)

Integrating once / Integriere einmal

Integrating twice / Zweifache Integration ergibt

2

e e2

d d( )d ( ) const

ddx x x a

xx

Φ = Φ = = ∫

e

d( ) const

dx a

x

Φ = =

e( )x ax bΦ = +

e e

d( ) =const d ( )

dx a x x ax b

x

Φ = = Φ = + ∫


e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=e( ) 0x ax b x dΦ = + < <



ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠


e ( )x ax bΦ = +

e

e e0

0 : 0

: 0

x

x d

= Φ =

= Φ = Φ >


e ( 0) ( 0)

0

x a x bΦ = = = +

=

0b =

e ( )x axΦ =

e

e0

( ) ( )

x b a x bΦ = = =

= Φ

e0ad

Φ=

e0e ( ) 0x x x d

d

ΦΦ = ≤ ≤

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential


e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=



+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠


e0

e

0( )

0 else / sonst

x x dx d

Φ≤ ≤

Φ =

2

e2

d( ) 0 0

dx x d

xΦ = < <

e

e e0

0 : 0

: 0

x

x d

= Φ =

= Φ = Φ >


Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential

x

e( )xΦ


e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=




+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠


e0

e

0( )

0 else / sonst

x x dx d

Φ≤ ≤

Φ =

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e

e

e0

e0

( ) ( )

d( ) ( )

d

d0

d

0 else / sonst

0

0 else / sonst

E R R

E e

e

e

x

x

x

x x xx

x x dx d

x dd

= −∇Φ

= − Φ − ∞ < < ∞

Φ − ≤ ≤ =

Φ− ≤ ≤

=

The Electrostatic Potential and ElectrostaticField Strenth are Discontinuous at the Plates /

Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten

e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=



ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic Field Field Field Field BetweenBetweenBetweenBetween TwoTwoTwoTwo Parallel PEC Parallel PEC Parallel PEC Parallel PEC PlatesPlatesPlatesPlates / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenElektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

e0 0( )

0 else / sonst

eE

x x dx d

Φ− ≤ ≤

=

Representation of the Electrostatic Field Strenthusing the Unit Step Functions: /

Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:

x

( )xE x

[ ]e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd

Φ= − − − − ∞ < < ∞

1 0u( )

0 0

xx

x

>=

<

x

u( )x

x

u( )x

x

u( )x d−

x d=

x d=

1

x

u( ) u( )x x d− −

x d=


Step Functions / Einheitssprungfunktionen

1

1

1





[ ]

[ ]

e0

e0

( ) ( )

e0

e

0

d d( ) u( ) u( )

d d

d du( ) u( )

d d

( ) ( )

( )

x

x x d

E x x x dx d x

x x dd x x

x x dd

x

δ δ

δ δ

ρε

−

Φ= − − −

Φ

= − − −

Φ= − − −

=

��

0 e

e

0

d( ) ( )

d

( )d( )

d

x

x

E x xx

xE x

x

ε ρ

ρε

=

=

e

e

( ) ( )

d( ) ( )

d

D R R

xD x xx

ρ

ρ

∇ =

=

i

u ( )

du( ) ( )

d

x

x xx

δ

′=

=��

[ ]

01 0

( ) 0

0

( )

u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d

u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d

( ) ( )

( ) ( ) (0)

(0)

u ( ) ( )d (0)

u ( ) ( )

f

x

x f x x x f x x f x x

f f f x x

f f x

f f f

f

x f x x f

x x

δ

δ

∞ ∞∞−∞

−∞ −∞

∞

=

= ∞ =

∞

∞

−∞ =

′ ′= −

′= ∞ ∞ − −∞ −∞ −

= ∞ −

= ∞ − ∞ −

=

′ =

′ =

∫ ∫

∫

∫

��

��




x

[ ]e0e 0

e0 e0

e0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x dd

x x d

η

ρ ε δ δ

η δ η δ

=

Φ= − + −

= − + −

��

x d=

e ( )xρ

e0η−

e0η

Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte

e0 ( )xη δ− e0 ( )x dη δ −

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e

0

0

x =

Φ =

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

ρ

∆Φ =

=

Φ ≠

e e0 0

x d=

Φ = Φ >



e

n×E 0

σ → ∞

=e

n×E 0

σ → ∞

=

0ε

0ε

e

e

( ) 0

( ) 0

R

Rρ

∆Φ ≠

≠


e ( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=

e( ) 0

( )

R

E R 0

Φ =

=



End of Lecture 6 /Ende der 6. Vorlesung

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Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · ... WS 03/04 1 Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 ... Lecture 6 / Vorlesung 6 1 Elektromagnetische Feldtheorie I