Wolf. Elektrostatische Aufladung als Problem der Metallelektroizik 103

Elektrostatische Azlf Ladung nZs ProBlem der Metalblektrolzik

Vom Frnms W o l f

(>l i t 2 Abbilduugen)

U bers i ch t : Einleitung. - I. AnsLtze, Berechnung der Potentialveitei- lung fur die geladene Vollkugel. - 11. Die Lndungsverteilpng auf der 1'011- kugel. - 111. Die I,adungsverteilune bei stark rerringerter Metalldicke. - Zusamnienfassung.

In drr Theorie der Elektrostatik nimmt mail - gema6 der makroskopischen Erfahrung - auf Leitern allein Flkhenbeladungen an, die sich bei iiberall konstantem Potential nu r iiher die AuSen- flachen verteilen, wahrend das Leiterinnere ganzlich ladungsfrei sein soll. Diese Vorstellung kann streng genoiinneu nicht richtig sein. Denn Aufladungen bedeuten in Wirklichlreit ~ b e r s c h u 6 oder Mange1 a u Leitungselektronen, die die Eigenschaften von Gaspartikeln hsben. r h s Elektronengas nimmt eine raumliche Gleichgewichts- verteilung an, die durch das Kechselspiel elektrischer Kriifte und der Temperaturbewegmg bedingt ist. Die Ladung kann daher un- moglich nur auf die Oberfliiche der Leiter beschrankt sein, sondern m u B sich auch in deren Inneres mit abnehmender Dichte fort- setaen ahnlich, wie die Atmosphare der Luftmolekiile umgekehrt uber die Obediiche der anziehenden Erde betriichtlich iu den Raum hinausreicht.

Hiermit erhebt sich die Frage, nach welchem Schichtuogsgeseta die Elektrizitiitsmengen eines statisch aufgeladenen massiven Metali- kiirpers sich uber sein Volumen verteilen, vor alkm bis zu welcher Tiefe unterhalb der Oberflache noch yon einer mcrklichen Auf- ladung gesprochen werden kann. Die im folgenden gegebene Durch- f'iihrung dieser fjberlegungen setzt voraus, da6 die Metallelektronen als ein der Fermistatistik gehorchendes entartetes Gas zu be- liandeln sind. Die positiven Atomreste werden dabei nur mit ihrer Ladung, nicht aber beziiglich. ihrer Raumerfu!lung berucksichtigt. Fur die Rechnung ist es zweckrnabig, als metallischen Leiter eine Kugel zu wiihlen. Die wesentlichen Zuge der hierbei gewonnenen

104 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 41. 1942

Ergebnisse treffen, wie sich zeigen wird, auch fur die Aufladung nicht kugelformiger Metallkorper zu.

Von besonderem Interesse ist auch die Frage, in welcher H'eise sich die Verhkltnisse iindern, wenn man die Abmessnngen des Leiters so weit beschriinkt, daB dadurch die normale Ausbildung der zuvor gefnndenen Ladnngsverteilung behindert wird. Die massive Kugel von vorher mti6te hierzu etwa zur Hohlkugel gemacht werden, deren Wand nur noch aus einer dtinnen metallischen Haut beeteht. Rechnerisch bequemer wird im folgenden statt dessen eine ebene Metallscliicht geringer Dicke, aber groRer Susdehnung unter- sucht, an der sich das %'esentliche der Erscbeinung am besten ablesen 1aBt.

I. Ansatae, Berechnung der Potentialverteilung fur die geladene Vollkugel

Die Rechnung gestaltet sich in jedem Fall ahnlich wie bei der Behandlung der ,,Elektronenzentrifuge" l) sowie des der Erdschwere unterworfenen Elektronengases ". M'enn zunachst die massive Metall- kugel nicht nnr eine Oberflachenbeladung sondern ranmliche La- dmgsverteilung tragen 9011, so wird das Potential anch in ihrem Innern veranderlich und zwar bei der allgemeinen Kngelsymmetrie des Problems eine Funktion der Entfernung r vom Mittelpunkt. E s hiingt mittels der Poissonschen Differentialgleichung (1) d u l ( r ) = - 4 z ! ) = + . i n e n ( r ) mit der variabeln Ladungsdichte 4 zusammen. Uiese ist hier gleich weiter durch den Betrag E der Elementarladung und durch die Teilcheinahldichte n ( r ) pro Raumeinheit der an der Stelle 7 uber den neutralen Zustand tiberschiissigen Elektronen ausgedrlickt. Ks ist

(2) n (r) = n- (r) - n+ , gleich der Differenz der in der Raumeinheit enthaltenen Anzahlen von Leitnngselektronen und positiven Btomresten 7. Bei den friiheren Problemen, wo das Elektronengas einee Metallkorpers mechanischen Beschlennigungen unterworfen w urde, war nun ein stellenweieer Elektroneniiberschu6 n > 0 stets von Elektronenmangel n < 0 an anderen Stellen begleitet, da die Gesamtzalil der Leitnngselektronen mit der Zahl der positiven Atomreste des im ganzen neutral ge-

l) G . Bonet to , Rend. Loml. i0 . S.444. 1937; 71:s. 252.1938; F . W o l f ,

2) F. W o l f , Ann. d. J'hys. [a] 3s. S. 385. 1940. 3) Irn Fall, da6 mebrere Leitungselektronen pro Atom abgetrennt sind,

ist n+ die im Kubikzentirneter enthaltene Anzahl positiver Elementarladungen,

Bnn. d. Phys. [a] 39. S. 164. 1841.

die auB den Atomresten wirken.

Wolf. Elektrostotische Aujladung als Problem der Metallebktronik 105

dachten nurpers identiscn sein mufite. Bei unserer Kugel ist zu- nachst n+ wie friiher uber den ganzen Raum konstant. Jedoch braucht die gesamte Elektronenzabl nicht mehr mit der Gesamtzahl der positiven Atomreste iibereinzustimmen, vielmehr kann man hier die Elektronendichte n- (r) iiberall kleiner oder auch iiberall groBer als n+ einrichten. Die Rechnung erfabt so mit den beiden Vor- zeichenmijglichkeiten fu r n (r) ganz von selbst die beiden Falle positiver und negativer Aufladung, und die Kenntnis von n(r) wird unsere Frage nach der raumlichen Verteilung der der Kugel erteilten Aufladung beantworten. - Trotz der volligen Allgemeinheit der Theorie sei der Einfachheit halber im folgenden gewohnlich nur von Elektroneniiberschub, also n(r) > 0 entsprechend negativer Ladung der Kugel die Rede.

In G1. (1) sind sowohl ~ ( r ) wie n( r ) unbekannte Funktionen. Zu ihrer Auffindung ziehen wir weiter den von der E'ermistatistik gelieferten Zusammenhang von 7 p mit der DicLte n- (r) der gesamten Leitungselektronen heran l):

2% 7I p'l. E'l' n- (r) = K ~ ' 1 ' mit K = --

3768 ' p Elektronenmasse und h Wirkungsquantum. ein, so wird auch

13) n ( r ) = K I,O'/I - n+ , und hiermit ist die zweite Beziehung zwischen n(r) und y(r) ge- wonnen, die zusammen mit (1) die Berechnung dieser Funktionen gestattet.

Auch n+ laBt sich - fur spater - durch ein Potential aus- drtucken. Bei ungeladener Kugel mu6 nilmlich n(r) identisch ver- schwinden, und aus (3) wird (4) ni = K yo'/*. Mit vv0 ist hier derjenige Potentialwert bezeichnet, den die Kugel. speziell im ladungsfreien Zustand annimmt. ZahlenmaBig berechnet sich beispielsweise fur Kupfer nach (4) der Wert yo = 0,0234 e.s.E.

Zur Gewinnung von y und n hat man zuerst G1. (3) in (1) einzusetzen, wodurch eine Differentialgleiohung f a r y allein entsteht. Nach ihrer Integration kann y verwandt werden, um auch die Mengenverteilung n (7) auszurechnen. Die Dij$erentialgZeichung fiir q ( r ) erhalt bei der Kugelsymmetrie des Problems die Form:

Setzt man ihn in (2)

2 4 + - y' = 4 72 & [K W'I. - "+J . 1) Er lti6t sich einfaeher gewinnen als in der Untereuchung fiber Metall-

elektronen im Schwerefeld a. a. 0.

Amelen der Phyalk. 5. Folge. 41.

106 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 41. 1942

Urn einer schwierigen unmittelbareu Integration aus dem Weg zu gehen, nilhert mau sie zweckmiBig durch eine lineare Differential- gleichung zweiter Orduung an, die leicht integrierbar ist. Hierzu werde das Potential

gesetzt, also durch'das in (4) definierte Potential ~p,, der Kugel in ungeladenem Zustand und eine riumlich veranderliche Korrektur y ausgedruckt, von der sich im Ergebnis zeigen wird, dab sie innerhalb der Kugel gegenuber qg0 stets au8erordentlich klein bleiht. Damit geht . die Differentialgleichuug unter gleichzeitiger Reihen- entwicklung uber in

v (r) = Yo + 9j (r)

3 9 ) - n + ] . cp"+-cp'=4n& 2 Kyr,'L I + - - - - + . . .

r I ( 2 V O

Bricht man mit dem linearen Reihenglied ab und beachtet (A), so erhalt man als Differentialgleichung eiufach

2 (5) Zur Abkiirzung ist dabei gesetzt

v'' (7) + 7 v' (7) = A y (r) .

3 2 h'

$3 2' 71'" (, &?,,T I , , A =4nt-Kqo'/ol!'=. .--L--A- . Als Zahleuwert folgt beispielsweise fiir Kupfer (e in e.s.E.!)

1/A = 1,BO. lo8 . -4ridere Bletalle ftihren zu Werten gleicher GroBenordnung. Analog wie die Gleichung fur y liiSt sich auch (3) uberfuhren in die ein- fachere Kiihernngsformel

A = 3,?5 . 10l6 und fur spater

A (6) 71 = y (7) *

Beziiglich der Genauigkeit, die mit diesem Naherungsverfahren erreicht wird? liegeu die Dinge wie bei der Behandlung des Elek- tronengases im Schwerei'eld (a. a. 0.). Dort unterschieden sich Naherungslosung und strenges Integral nur urn groBenordnungsmif3ig

L)a die nede Rechnung ahnliche Struktur wie die damalige besitzt und insbesondere die mesentliche Konstante A des Problems hier wie dort dieselbe ist, so darl' man auch hier eine ahnlich gro6e Genauigkeit erwarten. Die Anwendung des Eaherungs- verfahrens erscheint jedenfalls ganz unbedenklich.

Die Integration der Differentialgleichung 15) gelingt leicht, wenn man noch die Hilfsvariable x ( r ) = rfp(r) einfuhrt. Man erhiilt als allgemeines Integral

ihres U'ertes!

WIJ C, und C, die Integrationskonstanten sind.

Wdf . Elektrostcrtische Au,fhdung als Problem der Metdlelektronik 107

Die Randbedingungen 2ur Konstantenheestimmung ergeben sich an Hand der Abb. 1. I n ihr ist der prinzipielle Potentialverlauf in und au6erhalb der Kugel fur den Fall negativer Aufladung iiber dem Mittelpnnktsabstand T aufgetragen I). Der Hugelradius iat mit R bezeichnet. Man iihercieht vor allem auch den Zusammenhang der

r-0 r -R

Abb. 1. ubersicht iiber die PotentialgrOEen bei negativer Rugelladung

hier auftretenden PotentialgroBen mit dem PotentiaI V(r ) der ge- wohnlichen Elektrostatik, das fur T --t m und bei fortfallender Aufladung verschwindet. - Wenn die Kugel, wie vorausgesetzt, in riiumlicher Verteilung mit Ladung erfullt ist, so mu6 das reine Coulombpotential des AuBenraurns ohne Knick in den gezeichneten Verlauf im Kugeliiinern iibergehen. Ebenso kann die Tangente der Potentialkurve im Punkt r = 0 nur horizontal verlaufen, da keio Knick entstehen darf, wenn man die Kurvc. iiber den Nullpunkt hinweg zu entgegengesetzt wachsendem r fortsetzt. Denn weder bei r = 0 noch bei r = R befinden sich irgendwelche Flachenladungen. Die Randbedingungen lauten also

lim # ( r ) = 0 und cp’tR) = - 5 . Der Ansatz eiues Grenzwertes im ersten Fall ist notig, da r = 0 eine singulare Stelle des Problems darstellt. An der Stelle R wird einfach die bekannte Neigung von V( r ) beputzt. Dabei ist Q die gesamte Kugelladnng, die eine negative Zahl darstellt, wenn wir zum Zweck einfacher Sprechweise auch weiterhin Elektronenuber- schuE annehmen.

r+O

Die erste Bedingung fuhrt zu der Forderong

1) Fi positive Aufladung wiire die Potentialkurve an der Cfersden q = I+I@ eu epiegeln.

8’

108. Annclen der Physik. 5. Folge. Band 41. 1942 *

Sie kann aicher nur dann e r f W sein, wenn das zweite Qlied des Ziihlers rnit r --t 0 selbst verschwindet, da sonst der Brnch 1111- endlich wUrde. Hierzu mu8 aber notwendin

c, = 0

sein. Untersucht man hiermit den Bruch, der jetzt fur r = 0 zur nnbestimmten Form O/O wird, auf seinen lim, so ergibt sich tat-

eiicblich Null, wie die obige Bedingung es verlangt. Die Kon- etante C, ist damit richtig gefunden. - Die andere Randbedingung liefert

r+O

Dieser Ausdruck la& sich allerdings noch vereinfachen. I n prak- tischen Fiillen - an die von jetzt ab nur gedacht sei - ist der Kugelradius R mindestens von der GroSe einiger Millimeter, somit dae Produkt R f A wenigstens von der GroSenordnung 108. Man findet damit, dall bis auf einen belanglosen Fehler von hochetens 10+ des Wertee auch gilt

Die Lbsung ftir das Potential, die eine der beiden gesuchten F'unk- tionen, lantet also endlich mit derselben Genauigkeit

Das Potential erhiilt hiermit in der Tat den Charamer, wie er in der Kurve der Abb. 1 far das Kugelinnere gezeichuet ist. Der

Ausdruck allein erreicht ngmlich f u r r - 0 den Qrenz-

wert. 12 und wiichst von da mit von Null gegen R znnehmendem r exponentiell zu immer griilleren Werten an. Diese Funktion ist in cp noch mit einem Faktor multipliziert, dessen Betrag, ganz gleichgiiltig was man ftir Q / R im.Rahmen des praktisch Moglichen auch ein- setzt, wegen e R V d = elv stets ungeheuer klein bleibt. So wird wenigstens fiir die inneren Teile der Kugel, insbesondere im Mittel- punkt w e-lv, also mit grollter Annaherung Null, und dae Gemmtpotential y fiillt praktisch mit yo zusammen. Nur wo Gin p r rnit eRf i vergleichbar wird, nahe der Kugelobediiche nimmt qj merklich von Null verschiedene Werte an, y weicht von v,, ab. Man Ubersieht die Verhaltnisse hier am besten, wenn man (8) x - R - r

Wolf. Elektrostatische Ailfludung ah Problem der Metal&bktro&k 109

als neue Variable einfiihrt. Dann kann man - ohne merkliche Verringerung der bisherigen Genauigkeit fiir kleine x - auch schreiben :

Wiihrend 1 - % sich in der Nahe der Kugeloberflache nur un- wesentlich andert, wird hier der Verlauf von cp vor allem durch die Exponentialfunktion des Zahlers selbst mit 5 = 0 erhalt man - von far Kupfer -

bestimmt. Auf der Oberfliche beispielsweise mit dem Zahlwert

In einer Tiefe von nur 2 = 10 A ist rp aber bereits auf 1,48.10-* ~p (R) zuruckgegangen. Die Abweichung des gefundenen Potentials von der volligen Konstanz, die sich bei reiner Oberflilohenladung inner- halb der ganzen Kugel einstellen miiSte, wird also jedenfalls nur innerhalb einer sehr diinnen, unmittelbar an die Kngelobediiiohe grenzenden Schicht deutlich. Der Grund dafiir liegt in dem groSen Wert des im Exponenten auftretenden E’aktors @, der dereelbe ist wie fur die Elektronenzentrifuge und die Schichtung im Schwerefeld.

11. Die Ladungsverteilung

Um die Ladungsverteilung zu gewinnen, braucht man nur in die vereinfachte G1. (6) das Potential rp nach (7) einzueetzen und erhalt fur den tfberschuS der Raurneinheit an Leitungselektrouen iiber die positiven Atomreste

(9)

Dae Minuszeichen fiihrt richtig bei negativer Aufladung zu posi- tivem n(r). Nach (6) ist n p ) dern Potential (p einfach proportional. Solange in (9) nicht 6 i n v A r mit dem alle andern Konstanten bei weitem iiberwiegenden Ausdruck e R V i - vergleichbar wird, also fiir die inneren Bereiohe der Kiigel, ergibt sich daher auch In(r)l ET e-lp, also mit grii6ter Annilherung Null. In gr66erer Tiefe bleibt auch im Rahmen der Metallelektronik die Kugel ladnngsfrei. - Gegen die Oberflache hin sber mu6 genau wie bei dem Potential ein exponentieller Anstieg der iiberschiissigen Ladungen erfolgen. Idan

110 Annakn dcr Physik. 5.Fo2ge. Band41. 1942

sieht dies deutlich mittels derselben Umformung wia bei y. Verwendung von (8) wird

Mit

(10)

Hierin ist fibrigens der Zahlenfaktor rund 1016mal 80 gr06 ale der entaprechende von 9. Auf dar Kugeloberflache wird, wenn man 0 fiir Kupfer. einsetzt,

und in x = 10 A Tiefe darunter ft = 1,48 - n (R) = 4,42 loa 3 - Die Teilchenzahldichte geht natiirlich 'genan wie 'p sehr rasch znrtick, wenn man ins Innere der Kugel eindringt. Der Differential- quotient hat auf der Obertlkhe den miichtigen Wert

B'

Die auf die Raumeinheit bezogene Elektronendichte kanu nnter diesen Umstiinden nur ein undeutliches Bild von der wirklicM Ladungsverteilung rermitteln. Diese libersieht man, wenn man durch

d N =Sndz die Elektronenmengen berechnet, die in einer SHnle

von z. B. 1 cma Querechnitt zwiechen verschiedenen Tiefen xl, x , unter der Kugeloberfllche enthalten sind. Die Integration mit Hilfe von (10) ffihrt - nnter abermaliger Vernachliissigung von etwa des Wertes - LU

.I

=I

In der folgenden Tabelle' iet dieser Ansatz quantitativ ftir Knpfer ausgewertet. Andere Metalle wfirden mit ihrem vz zwar andere Zahlenwerte aber gr66enordnungs1na6ig dasselbe liefern. Die Schicht- dicke z1 .. .za betrAgt jeweils 1 A, die dariu enthaltenen Elektronen- anzahlen eind in Ehheiten von - Q angegeben. Nattirlich bedeutet

B diese ganze Darstellnng aegen der stets vorhandenen Rauhigkeiten der OberflBche eine gewiese Idealisiernng. Man entnimmt aber aus der Tabelle sicher richtig, da6 auch die wirklichen Elektronen- mengeu - wenn immer weiter an negative Aufladung gedacht wird - mit zunehmender Tiefe x au6erordentlich raach abfallen. Unabhirngig vom speziellen Wert Q/Ra ist der Hauptteil der ge-

Wolf. ElektrostoEisohe Aufladung als Problem der MetQRelektronik 111

I

1 BP

Elektroneuzshl in der Schicht von 1 cm' - 1 1 Dicke

in Einheiten von - - Im Tiefenintervnll

un3er der Kugelobedache in cm Q

~~ ~

0 . . . 1 a10-a

2 . . . 3 3 . . . 4

1 . . . 2 I 1 . . . . . .

10.. .11.10- 11 . . . 12 12 . . . 13 13 . . . 14 14 . . .15 1 5 . . .16 1 6 . . .17 . . . . . . j 19. . .20.10-8 I

- ~-

138,38 -10'

3,76 -10' O,619*1Oe

22,m .lW

. . . . . 2704 0.337 OiOa56 0,009 15 0;00151 0,000249 0,0000410 . . . .

0,183 * lo-'

samten Ladung stets in den alleroberster Schichten nntergebmoht. Bereits die ersten paar Werte der Tabelle liefern zusammengenommen anniihernd die gesamte unter 1 cm2 der Oberflilche enthaltene Elektronenzahl, die sich aus Gesamtladung und Eugelradius zu N = - - = - Q

471 E RP Die Gesamtludung und der Kugelsadzus kommen in den Formeln

nach den angegebenen sehr kleinen Vernachlassigungen stets nur in der Verkniipfung Q / P , also als Oberflachenfeldstarke vor. Wiihlen wir diese beispielsweise gleich - 1, d. h. gleich - 300 Volt/cm, so geben die Zahlen der Tabelle die Elektronenaengen selbst an. Wahrend jetzt beispielsweise unmittelbar unter der Kugeloberfluhe in dem gewahlten Probevolumen von 1 ems. 1 A Dicke mehr als 108 Elektronen enthalten sind, entfallen in der Tiefe von 10-11 A deren nur noch durchschuittlich 2 auf dieses Volumen. Da die Tabelle darnnter nur noch Bruchteile von Elektronen angibt, SO

liegt es nahe - natiirlich nicht ohne Willkiir -, in diesem Fall die Tiefe von 11 A a le praktische Grenze des Ladung tragenden Kupferrolumens zu betrachten. - Nun la6t sich IQ I /aB auch wesent- lich groBer ah Eins wiihlen. Eine Grenze ist der OberALchen- feldstarke durch den eintretenden Durchbruch durch das die Kugel umgebende Medium gesetzt. Befindet sie sich beispielsweise in natiirlicher Luft VOD Atmospharendrnck, so kann man hierfiir etwa 30000 Volt/cm, also maximal RB I & I = 100 e.s.E. ansetzen.

Die Hochstgrenze, die die Oberflachenfd&%rke und damit die Aufladung praktisch iiberhanpt erreichen kann, indem man die Kugel mit moglichet durchschlagsicheren Medien umgibt , dtirfte

112 Annakn der Physik. 5.FoZp. Band41. 1942

noch um etwa zwei Zehnerpotenzen hiiher liegen'). I n diesem Extremfttll liefern die Tabellenwerte nach Multiplikation mit lo4 wirkliche Elektronenanzahlen. An der OberflZiche enthalt unser Normalvolumen dann maximal etwa 10l2 Elektronen, und die Grenze rler Aufladung ist, da zwischen 16 und 17 d bereits nur noch 0,4 Elektronen/cm2 anzutreffen waren, nach der obigen Vereinbarung in die Tiefe von 16 A geriickt. - ffbrigens ist ganz allgemein die Zahl dar durch Aufladung hinzugekommenen iiberschifssigen Elek- tronen klein gegeniiber der Zahl der metalleigenen Leitungselek- tronen, deren man bei Kupfer eines pro Atom annimmt. Die Elementarzelle des flachenzentrierten Kup€ergitters, zu der 4 Kupfer- atome' und somit 4 metalleigene Leitungselektronen gehoren, hat eine Kantenlange von 3,6 A. Eine 3,6 A dicke Schicht von 1 ema - beispielsweise unmittelbar unter der Oberflache - enthalt 7,7 1014 Elemkntarzellen und folglich mindestens 3,l . 1016 metdl- eigene Leitungselektronen, dagegen nrtch obiger Tabelle, wenn wir wieder an den Fall gr6Btmoglicher Aufladung denken, nur knapp 1,66 10l2 iiberschiissige Elektronen. Auch dann ist also selbst zuniichst der Kugeloberflache nur ein fremdes, von auBen hinzu- geltommenes nnter rund 2000 Leitungselektronen vorhanden, und weiter innen wird das Verhaltnis rasch noch vie1 ungunstiger. Die ganzen fiemden Elektronen uberhaupt sind praktisch in einer Schicht der Dicke von rund 4 Elementarzellen des Kupfergitters unter- gebracht.

Die Geringfiigigkeit dieser Schichtdicke macht es vollig ver- standlich, warum die Elektrostatik ohne Schwierigkeit mit der An- nahme reiner Flachenladungen durchkommt. Solange es sich um Betrachtungen in makroskopischen AusmSlflen handelt, braucht man sich tatsikhlich um diese geringe raumliche Ausdehnung der Ladung nicht z? kiimmern. Erst im Bereich atomistischer Abmessungen selbst wird sie von Bedeutung. - Dies hat ferner zur Folge, daf3

1) In gutem Vakuum kommt man wegen der von selbst einseteenden kdten ,Elektronenemission nur unter gunstigen Urnstanden iiber 300 kV/cm = 1000 e.8. E. Fur Transformatorenol liegt die Durehschlagsfestigkeit unter 150 kV/cm, fur beste keramische Isolierstoffe bei 450 kV/cm und daruntei. Dagegen findet bei guten Kondensatorpapieren von 0,l mm Dieke und weniger der Durehbruch erst bei 1000-2500 kV/cm und mehr statt.(H. Stt iger, Elektro- technische Isoliermateridien 1031. S. 171). Sehr weit kommt man such mit verdichteten. Gasen. Beispielsweise ist in Luft unter 120 kg/cm* die Durch- bruchsfeldstilrke 2,5. 108 Voltlcm gemessen (0. Zeier , Ann. d. Phys. [5] 14. S.415. 1932). Durch Zusatze, z. B. von CCI, u. a. oder auch durch Wahl anderer Gase durfte sie noch weiter vergroberbar sein (vgl. auch A. Bouwers , Elektrische Hochstspannungen 1939).

Wolj. Elakirostdische Aufrcralung als Problem dsr Matdkbkkonik 118

die gewonnenen Ergebnisee wohl ohne gro6en Fehleu 8uah a d nkhf. kngelformige Leitergebilde iibertraghar eind. D e m alle Kanten, Ecken, Spitzen P. dgl. dttrfen in dieeem ZnseIllmenhang onnkhernd a l e Stficke von Kngeln, anch Zylindern oder Kegeln betraohtet werden, deren Radius noch immer eehr gr06 gegen die atorn&n Anernatle ist, 80 da6 auch in ihnen Ladongaverteilnngen mit ehn- lichem Exponentialabfd wie bei der Vollkugel ohne Zwang Plate finden diirften. Auch an den angehiiuften Elektronennvngm kann eich nichts Grundeltzlichee gndern, da eie eteh im wesentlichen durch die Dnrchbrnchsfeldstllrke dee umgebenden Mediume be- grenzt eind.

111. Die Ladungsverteiluog bei stark verringerte: Metrlldicke

Ee bleibt aber noch die Frage zu eriirbrn, welche Verhdernng die gefundenen Ergebniese erfahren, weno nicht ein maeeiver Leiter, sondern eine eehr dtlnne Metallschicht anfgeladen werdsn 8011, deren Dicke fur die Ansbildung der normalen Tiefenverteilung der Ladung nicht mebr ausreicht. I m bieherigen Bild wiire aleo die metrrllieche Vollkugel e t f a durch eine Hohlkugel zu ereetzen, deren Wand .nur noch die Dicke VOD wenigen Elementarzelleh den Krietallgitten besiile. Denkt man beim Kugelradiue weiter an praktiech vor-. kommende GrijSen, aleo mindeetens an einige Millimeter, 80 id dea Radius im Verhlltnie znr Metalldicke 80 ungehener gr06, daS man die Schicht tiber kleinere Bereiche ale ehen aneehen kann. Da fiberhanpt im jetzigen Zueammenhang nnr die geringe Dicke dee Materials iutereeaiert, wiihrend eine Krihmnng eeioer Oberflikhe ganz nebeneachlich iet, 80 legt man der folgenden Betrachtung zweckmaBig gar keine Kngel mehr, sondern einfacher eine unbegrenzt auegedehnte ebena Metallechicht VOD geringer Dicke zugrunde. GleicbmaSige Beladong fiber ihre ganze ObeHache hinweg wird erreicht, wenn man eie parallel zu einer zweiten Metallplstte an- ordnet, sie ale0 zur einen. Elek- trode einee ebenen Plattenkon, deneatore macht.

Im Prinzip iet ftir dieeen'Fal1

wie ihn nnter Voranesetznng nega- tiver Anfladnng der Schicht die Abb. 2 zeigt. Die Dinge liegen ganz analog wie be1 dsr hugel (Abb. l), n u iat an die Stelle d& hdiue R die Schichtdicke D

ein Potentialverhuf 211 erwwten, Abb. 2. Potentidverlauf bei negstiver Auflrdug dm dannen

114 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 41. 1942

getreten, und der friihere AuBenraum wurde durch die zweite Kondensatorplatte begrenzt. Die Ladung sammelt sich - wie friiher an der Kugeloberflache - jetzt langs der Kondensatorinnenfliiche x = D an, wahrend die KondensatorauBenflache x = 0, die man such als die Innenwand einer sehr gro6en Hohlkugel auffassen kiinnte, ungeladen bleibt.

Die rechnerische Behandlung der Aufgabe verlauft formal weit- gehend gleich wie die Untersuchung der Kugel in I. Da man es hier aber anstatt mit einem kugelsymmetrischen Problem der Va- riabeln r mit einem linearen der Variabeln 5 zu tun hat, erhAlt die Differentialgleichung fur die PotentialgroBe rp sofort die einfache Form

und fUr die Teilchenzahldichte der ~berschu6elektronen wird

A

P” (4 = A v (4 ,

12 (5) = ins y (4 *

andog (6)

Das Potential muB, da in der Scbicht wieder nur Raumladhgen vorkommen sollen, an ihren Grenzflachen 5 = 0 und x = D ohne Knick in das Potential des AuBenraums ubergehen. Daher hat das Integral der Differentialgleichung die Grenzbedingungen zu erfiillen

~ ‘ ( 0 ) = 0 und (p’(D) = V ( D ) = - E Mit E ist dabei die Oberflachenfeldstarke gemeint. Diese driickt man zweckma6ig jetzt nicht wie friiher von vornherein durch die auf die. Schicht aufgeflossene Ladung aus. Denn hier interessiert gerade die Frage, ob diese Aufladung infolge des in der Theorie enthaltenen Pauliprinzips etwa von der Schichtdicke abhlngig ist. Trotzdem ist E naturlich jederzeit durch die zwischen den Ober- fllchen der Kondensatorplatten angelegte Potentialdifferenz V ( D ) und den .Plattenabstand a, also durch E = a v(D) fest bestimmt.

Die geforderten Grenzbedingungen sind durch die friiher a l s Integral benutzte Funktion des Gin nicht erfullbar, da seine Ab- leitnng, der %of, fur keinen Wert des Arguments zu Null wird. Jedoch lafit sich das Integral

den obigen Forderungen anpassen. Die hiernach durchgefuhrte Konstantenbestimmung liefert als Losung fur das Potential

Wolf. Elektrostatisctze Aufladung ah Problem der Metallelektronik 115

und ffir die Dichte der OberschuSelektronen

n(z) = - - 4n E Gin D y z

also Funktionen von ahihnlichem Verlauf wie bei den G1. (7) und (9). Jetzt la6t sich die Frage, welchen Einflufl eine Verminderung

der Schichtdicke. D auf die Aufladung ausubt, am schnellsten da- durch beantfforten, da6 man von n (2) zu der gesamtsn Elektronen- zahl N ubergeht, die innerhalb der ganzen Schichtdicke unter je 1 cmp der Oberflache angesammelt ist. Mit (11) wird

Die Gesamtladung pro cm?, N ( - e), erweist sich also iiber- haupt als unabhangig yon der Schichtdicke, sie steht in jedem Fall mit der Feldstarke in der bekannten Beziehung der Elektro- statik E = 4 ~ . N ( - E ) . Man kann also die Metallschicht im Rahmen dieser Uberlegungen so diinn machen, als man will, stets wird sie bei vorgegebener Oberflac’oenfeldstarke E bzw. Potential- differenz V zwischen Oberflache und Umgebung dieselbe Ladungs- menge pro Flacheneinheit aufnehmen, die die klassische Elektro- statik vorschreibt.

Das einzige, was sich bei Verringerung der Schichtdicke wirklich andert, ist, daB die konstante Gesamtladung pro cm2 dabei innerhalb der Schicht auf engeren und engereu Raum zu- sammengedrangt wird. Die Teilchenzahlddchte n (z) enthalt j a nach (11) den Ausdruck 6 i n D l A im Nenner und wird daher mit ab- nehmender Dicke inimer gro6er. - Die Elektronenanhaufnng bleibt aber in jedem praktisch denkbaren Fall immer noch klein verglichen mit der Uichte der metalleigenen Leitungselektronen. Nach den fjberlegungen des Kapitels I1 ist die maximale Aufladung, die man bei bcster Purchschlagsicherheit der Umgcbnng uberhaupt unter 1 cm2 der Oberflache unterbringen kann, rund 1,66 - 1Ol2 Elektronen. Denkt man sich die Metallschicht - der Einfachhcit halher wieder Kupfer - bis auf die extrem geringe Dicke von nur einer einzigen Atomlage reduziert, so da6 sie also aus nur halb so vielen Atomen bestunde wie die zu Ende von I1 betrachtete oberste Lage von Elementarzellen des massiven Kupfergitters, so enthielte sie damit immer noch rund 1,54 . l O I 5 metalleigene Leitungselektronen pro cmp ihrer Oberfliiche. Die Zahl der zugeladenen Elektronen wiirde auch dann also nar rund l / looo von derjenigen der metalleigenen Leitungselektronen ausmachen.

116 An,nalen der Physik. 5. Folge. B d 41. 1942

Busamrnenfnruung

Da jede elektrische Aufladung eines Leiters in einer Ver- gr6Bernng oder Vermindernng der normalen Dichte des Metall- elektronengases besteht, bedeutet die Annahme reiner OberflHchen- ladnngen in der Elektrostahk nur eine praktieche NiLherung. In Wirklichkeit mu6 jede Aufladung sich auch in die Tiefe der Leiter erstrecken.

I. Zur -,uerischen U ntersuchung dieser Erecheinung wird als Leiter zuniichst zweckmaBig eine metallieche Kngel voransgesetzt. M u erhiilt auf bekanntem Weg (entartetea Elektronengas, Volnmen der AtomrUmpfe unberiicksichtigt) znerst dae Potential, das bei riiumlicher Anfladung nicht mehr fiber die ganze Kugel konstant ist, eondern gegen den Mittelpunkt hin noch etwas anwiichet.

11. Mit Hilfe des Potentials wird auch die gesuchte rsumliche Ladnngsverteilung leicht berechenbar. Sie fallt sehr anniihernd nach einem Ehponentialgesetz von der Kugelobedache gegen den Mittel- pnnkt hin ab. Die Steilheit dieses Abfalls ist sehr gro6. Benutzt man Zahlenwerte fUr Kupfer, so ist such bei gr6Btmoglicher Auf- ladnng die gesamte Elektrizitatsmenge praktiech in einer unmittelbar an die Oberflliche grenzenden Schicht der Dicke von etwa l S A , d. h. von rnnd vier Elementarzellen des Kupfergitters eiithalten. Diem geringe Ansdehnung der Ladung erlanbt, die Ergebnisse qnalitativ anch auf andersgeformte Leiter xu ilbertragen.

III. Sucht man die normale Aufladung zu behindern, indem man von maseiven Leitern zu Metallhiiuten von abnehmender Dicke tibergeht, so eeigt sich, da6 unabhiiogig von der Dicke insgeeamt etets dieselbe Elektrizitiitsmenge unter der Fliicheneinheit auf- genommen wird wie von massiven Korpern,.wie sie auch die Elektro- statik vorschreibt. Die Ladung wird mit abnehmender Dicke nur immer enger zusammengedrangt , indem die Teilchenzahldichte ent- sprechend anwachst. hllerdings kommt eie im Rahmeu praktisch denkbarer Flille aber etwa '/,,, der Ladnng der metalleigenen Leitungselektronen nicht hinaus.

z. Zt. Go t t ingen , Am Feuerschanzengraben 15.

(Eingegangen 14. Dezember 1941)