Elektrotechnisches Grundlagenpraktikum INHALT · P ist die durch die Dipole hervorgerufene Flächenladung, die Polarisation. Für die Für die allgemeine Materialgleichung erhält

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät II

Grundgebiete der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. habil. Herbert Kliem

Elektrotechnisches Grundlagenpraktikum

INHALT

Versuch 1: Das elektrische Feld

Versuch 2: Das elektrische Strömungsfeld

Versuch 3: Das Magnetfeld

Versuch 4: Parallelresonanzkreis und Messungen an

Zweipolen

Versuch 5: Elektrische Maschinen

Versuch 6: Transiente Vorgänge

Versuch 1

Das elektrische Feld

1 GRUNDLAGEN ....................................................................................................................................... 2

1.1 DEFINITION DES ELEKTRISCHEN FELDES .............................................................................................. 2

1.2 DAS POTENTIAL, DIE SPANNUNG ......................................................................................................... 3

1.3 DAS ELEKTROSTATISCHE FELD DES PLATTENKONDENSATORS ............................................................ 6

1.3.1 Die Verschiebungsflußdichte ...................................................................................................... 7

1.3.2 Die elektrische Polarisation ....................................................................................................... 8

1.3.3 Die Kapazität eines Plattenkondensator .................................................................................. 12

1.3.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren ................................................................. 12

1.4 DER IDEALE KONDENSATOR IM WECHSELSTROMKREIS .................................................................... 13

1.4.1 Phasenlage zwischen Strom und Spannung ............................................................................. 13

1.4.2 Leistung und Energieumsetzung ............................................................................................... 15

1.5 DER VERLUSTBEHAFTETE KONDENSATOR ........................................................................................ 16

1.5.1 Ersatzschaltbild ........................................................................................................................ 16

1.5.2 Der Verlustfaktor ...................................................................................................................... 17

1.5.3 Die spezifische Wärmekapazität ............................................................................................... 19

1.5.4 Einteilung technischer Kondensatoren .................................................................................... 19

1.5.5 Elektrolytkondensatoren ........................................................................................................... 20

1.6 DIE BESTIMMUNG DER AUSTRITTSARBEIT MIT HILFE DES KONTAKTPOTENTIALS .............................. 21

1.6.1 Das Potentialtopfmodell ........................................................................................................... 21

1.6.2 Die Berührungsspannung ......................................................................................................... 22

1.6.3 Das Kelvin/Zisman-Verfahren .................................................................................................. 24

2 VORBEREITENDE AUFGABEN ....................................................................................................... 28

3 MESSAUFBAU UND MESSAUFGABEN .......................................................................................... 30

3.1 VERSUCH PLATTENKONDENSATOR ................................................................................................... 30

3.1.1 Meßaufbau zum Plattenkondensator ........................................................................................ 30

3.1.2 Meßaufgaben zum Plattenkondensator .................................................................................... 31

3.2 VERSUCH ELEKTROLYTKONDENSATOR ............................................................................................. 32

3.2.1 Meßaufbau zum Elektrolytkondensator .................................................................................... 32

3.2.2 Meßaufgaben zum Elektrolytkondensator ................................................................................ 33

3.3 VERSUCH KELVIN/ZISMAN-METHODE .............................................................................................. 35

3.3.1 Meßaufbau zur Kelvin/Zisman-Methode .................................................................................. 35

3.3.2 Meßaufgaben zur Kelvin/Zisman-Methode .............................................................................. 35

2 1 Grundlagen

1 Grundlagen

Viele technische Anwendungen der heutigen Zeit beruhen auf dem Vorhandensein

elektrischer, bzw. elektrostatischer Felder. Die beiden wohl bekanntesten Anwendungen

sind die Xerographie (Fotokopieren) und der elektrostatische Filter. Der elektrostatische

Filter wird vor allem in Kohlekraftwerken eingesetzt. Mit ihm können 99,9% der Asche

und des Staubes aus der Abluft gefiltert werden.

1.1 Definition des elektrischen Feldes

Es gibt eine Vielzahl elektrischer Erscheinungen. Diese werden zurückgeführt auf die

Wirkung von ruhenden oder bewegten elektrischen Ladungen.

Def.: Als elektrisches Feld bezeichnet man einen Raumbereich, in dem auf

Ladungsträger elektrische Kräfte ausgeübt werden. Elektrische Felder können in

jeder Art von Materie und in Vakuum bestehen.

E

+Q

+

+

+F

+

+

+

-

-

-

-

-

-

Bild 1.1: Darstellung eines homogenen elektrischen Feldes im Feldlinienmodell

Beim elektrischen Feld handelt es sich um ein Quellenfeld, denn alle Feldlinien besitzen

eine Quelle (+) und eine Senke (-).

Dem elektrischen Feld wird die gleiche Richtung zugeordnet, wie der von ihm

hervorgerufenen Kraft F auf eine positive Ladung Q. Die elektrische Feldstärke ist

dann wie die Kraft F eine gerichtete Größe, ein Vektor, der mit E bezeichnet wird. Sie

ergibt sich zu:

1.2 Das Potential, die Spannung 3

EF

= lim QQ 0→

Der Proportionalitätsfaktor Q bezeichnet die elektrische Eigenschaft des geladenen

Körpers, seine Ladung. Es gibt positive und negative Ladungen. Ladungen mit gleichem

Vorzeichen stoßen sich ab, ungleiche ziehen sich an. Im Gegensatz zur elektrischen

Feldstärke ist die Ladung eine physikalische Größe, die keine Richtung hat, also ein

Skalar. Eine beliebige elektrische Ladung Q setzt sich aus dem Vielfachen N der

kleinstmöglichen Ladung, der sogenannten Elementarladung e, zusammen. Für die

Größe des Betrages der Elementarladung, gemessen in Coulomb, ergibt sich:

e 1,602 10 C-19= ⋅

Die Ladung des Elektrons ist negativ. Auf ein Elektron wirkt also im elektrischen Feld

eine Kraft entgegengesetzt zur Feldrichtung.

1.2 Das Potential, die Spannung

Bewegt sich eine Probeladung Q in Richtung des elektrischen Feldes, so führt das Feld

ihm Energie hinzu. Umgekehrt muß Arbeit aufgewendet werden, wenn der Körper

gegen die Kraftwirkung bewegt werden soll. Diese Arbeit W (eine skalare Größe) wird

als positiv angesehen, wenn sich die Ladung in der Richtung der auf ihn ausgeübten

Kraft bewegt. Die bei der Bewegung des Körpers vom Feld aufgewendete Arbeit W

wird als Produkt aus dem zurückgelegten Weg und der in die Bewegungsrichtung

weisende Komponente der Kraft berechnet. Damit ergibt sich für die Arbeit, die bei der

Verschiebung um ∆s geleistet wird:

∆ ∆W cos= ⋅ ⋅s F ρ

Bild 1.2: Berechnung des Skalarproduktes

4 1 Grundlagen

Und als Skalarprodukt geschrieben:

∆ ∆W = •F s

Einsetzen von F E= ⋅Q liefert:

∆ ∆W Q = ⋅ •E s

Oder in Komponentenschreibweise:

( )∆ ∆ ∆ ∆W Q E x E y E z x y z= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ +

Im allgemeinen ist es so, daß die elektrische Feldstärke von Ort zu Ort ihren Betrag und

ihre Richtung ändert und somit bei aufeinanderfolgenden Wegstücken Ex, Ey und Ez

verschieden groß sind. Die Arbeit längs eines größeren Weges kann dann als Summe

der einzelnen Anteile ∆Wν berechnet werden:

W W Q1

N

1

N

= = ⋅ •= =

∑ ∑∆ ∆ν

ν ν

ν

E s

Bild 1.3: Berechnung eines Linienintegrals

Beliebige Änderungen lassen sich exakt erfassen, indem man die Länge der einzelnen

Wegelemente beliebig klein und ihre Anzahl zugleich beliebig groß werden läßt. Die

Summe geht dann in folgendes Integral über:

1.2 Das Potential, die Spannung 5

W Q da

b

= ⋅ •∫E s

Dieses Integral wird Linienintegral genannt, wobei die Integration über einen vorher

festgelegten Weg von a nach b geht. In der praktischen Ausführung der Integration in

kartesischen Koordinaten muß das Linienintegral in drei einfache Integrale zerlegt

werden:

W Q E (x, y, z)dx + E (x, y, z)dy + E (x, y, z)dz x

x

x

y z

x

x

x

x

a

b

a

b

a

b

= ⋅

∫ ∫∫

Das Linienintegral ist über einen festgelegten Weg zwischen Anfangs- und Endpunkt zu

berechnen, jedoch gibt es beliebig viele verschiedene Wege. Aber in einem solchen

statischen Feld muß das Linienintegral entlang eines beliebigen geschlossenen Weges

den Wert Null haben, da man sonst Energie erzeugen oder abgeben würde, d.h.:

E s• =∫ d 0

Ein Feld mit dieser Eigenschaft nennt man wirbelfrei:

rot =E 0

Diese Gleichung kann durch den Ansatz

E = −gradϕ

erfüllt werden, da

rot grad ϕ = 0

ist. Wir nennen die skalare Funktion ( )ϕ x, y, z das Potential des elektrostatischen

Feldes. Das Auftreten des negativen Vorzeichens in E = −gradϕ ist eine Konvention.

6 1 Grundlagen

Das Linienintegral

U : d ab

a

b

= •∫E s

wird als Spannung bezeichnet. Wegen

U : d grad d d (a) (b)ab

a

b

a

b

a

b

= • = − • = − = −∫∫∫E s sϕ ϕ ϕ ϕ

ist das Linienintegral vom Weg zwischen den Punkten a und b unabhängig.

Somit ist auch die bei einer Verschiebung einer Ladung aufgewandte Arbeit W allein

eine Funktion der beiden Endpunkte a und b:

[ ]W Q d Q (a) (b) Q Uab

a

b

ab= ⋅ • = ⋅ − = ⋅∫E s ϕ ϕ

Weiterhin sei bemerkt, daß Flächen mit gleichem Potential Äquipotentialflächen heißen.

Das elektrische Feld steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen.

1.3 Das elektrostatische Feld des Plattenkondensators

Das elektrostatische Feld ist ein Sonderfall des elektrischen Feldes. Kennzeichen dieses

Sonderfalls sind ruhende elektrische Ladungen.

Die einfachste Form eines elektrostatischen Feldes bildet sich zwischen zwei

planparallelen Metallplatten aus, welche an einer Gleichspannungsquelle angeschlossen

sind. Der Aufbau des elektrischen Feldes erfolgt durch die Gleichspannungsquelle. Ihre

Quellenspannung verschiebt die in der Leitung und in den Platten befindlichen

Elektronen. Somit hat man auf der einen Platte einen Elektronenüberschuß, also eine

Elektrizitätsmenge -Q, entsprechend auf der anderen Platte eine Fehlmenge gleichen

Wertes +Q. Das elektrostatische Feld bleibt auch nach Abtrennen der Gleichspannung

1.3 Das elektrostatische Feld des Plattenkondensators 7

erhalten. Bauelemente, mit der speziellen Aufgabe, einen Ladungszustand zu speichern,

heißen Kondensatoren.

Bild 1.4: Elektrischen Feld eines Plattenkondensators

Bringt man einen Isolierwerkstoff zwischen die Platten des Kondensators, um z.B. eine

bestimmte Kapazität bei möglichst geringen Abmessungen zu erzielen, so nennt man

den vom elektrischen Feld erfüllten Raum Dielektrikum.

1.3.1 Die Verschiebungsflußdichte

Das Feldstärkefeld E allein ist nicht ausreichend, die Erscheinungen im

elektrostatischen Feld zu beschreiben. Wir benötigen noch eine Feldgröße, die

unabhängig von der Art des Dielektrikums nur durch die Elektrodenladung festgelegt

ist. Man führt also eine für viele symmetrische Leiteranordnungen recht einfach

berechenbare Feldgröße ein, die Verschiebungsflußdichte D, wobei A die durchsetzte

Fläche ist:

D AA

d = Q∫ •

Dies bedeutet, daß das Hüllenintegral der Verschiebungsflußdichte gleich dem von der

Hülle eingeschlossenen Ladungen ist.

8 1 Grundlagen

1.3.2 Die elektrische Polarisation

Um eine allgemeine Materialgleichung für Dielektrika zu erhalten, macht man folgendes

Gedankenexperiment:

Eine Ladung -q wird aus der Elektrode eines Plattenkondensators gelöst. +q bleibt auf

der Platte zurück.

Bild 1.5: Gedankenexperiment

Für Ladungsneutralität gilt:

+ q - q = 0

Man untersucht nun drei Positionen in denen sich die Ladung befindet. In Position 1 gilt

für die Ladung auf der linken Platte ql und auf der rechten Platte qr:

q = +q , q = 0l r

Für Position 3 gilt:

q = 0 , q = +ql r


und für Position 2 (Mitte):

q =1

2q , q =

1

2ql r⋅ ⋅

Damit ergibt sich allgemein für den Ladungstransport im Außenkreis ( a + b = d ) :

q =b

a + bq , q =

a

a + bql r

Nun führt man eine zusätzliche Ladung +q in Position a+∆z ein:

( ) ( )q '=b - z

a + b- q , q '=

a + z

a + b- ql r

∆ ∆⋅ ⋅

( )q '+q '=b - z + a + z

a + b- q ql r

∆ ∆⋅ = −

Für die gesuchte Ladungen ergibt sich:

Q = q + q '=b

a + bq -

b - z

a + bq

z q

a bl l l ⋅ ⋅ =

⋅

+

∆ ∆

Q = q + q '=a

a + bq -

a + z

a + bq

z q

a br r r ⋅ ⋅ =

− ⋅

+

∆ ∆

-q und +q bilden einen Dipol.

pz = q z⋅ ∆

nennt man das Dipolmoment in z-Richtung. Für ∆z = 0 gilt:

Q = Q = 0l r

10 1 Grundlagen

Weiterhin ergibt sich für die linke Flächenladung:

( )Q

A

q z

A a b

1

V=

⋅

⋅ += ⋅

∆pz

und somit für N Dipole:

Q

A

N

V= n == ⋅ ⋅p p Pz z , mit n =

N

V : Dipoldichte (Materie, die Dipole enthält)

P ist die durch die Dipole hervorgerufene Flächenladung, die Polarisation. Für die

allgemeine Materialgleichung erhält man bei zusätzlicher Feldstärke E:

D E P= ⋅ε 0 +

Dabei ist ε 0 = 8,854 10-12 As

Vm⋅ die Feldkonstante des elektrischen Vakuum. Im

Material ist P von den negativen zu den positiven Polarisationsladungen gerichtet. Im

allgemeinen kann jedoch P eine andere Richtung wie D und/oder E haben!

Ist das elektrische Feld E klein, so hat man einen linearen Zusammenhang zwischen E

und P:

P E= ⋅ ⋅ε 0 Χ

Die Zahl Χ (CHI, griechischer Buchstabe) heißt elektrische Suszeptibilität und ist ein

Maß für die Polarisierbarkeit eines Stoffes. Mit dem linearen Zusammenhang ergibt sich

für D:

D E E E E= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ε ε ε ε ε0 0 0 0 r+ = =Χ Χ( )1

Wenn also bei unverändertem Plattenabstand d an Stelle von Luft ein geeigneter

Isolierstoff als Dielektrikum verwendet wird, so vergrößert sich der Verschiebungsfluß.


Der Proportionalitätsfaktor wird Dielektrizitätszahl ε r (ε r = 1+ Χ ) genannt und ist eine

dimensionslose Zahl.

Wichtige Größenordnungen sind z.B.:

Luft ε r 1≈

Öl ε r 2...3≈

PVC ε r 3,5≈

Glas ε r 4...8≈

Al2O3 ε r 8≈

Wasser ε r 80≈

Im einzelnen unterscheidet man drei Polarisationsmechanismen:

1. Die Elektronenpolarisation:

Das äußere elektrische Feld bewirkt eine Deformation der Elektronenhülle der Atome,

so daß pro Atom ein Dipolmoment auftritt. Dieser Polarisationsmechanismus ist bei

allen Polarisationsvorgängen beteiligt.

2. Ionenpolarisation:

Diese liegt vor, wenn unter dem Einfluß des äußeren elektrischen Feldes die positiven

und negativen Ionen eines Moleküls elastisch gegeneinander verschoben werden. Die

Schwerpunkte der Anionen- und Kationenladungen fallen nicht mehr zusammen, und es

entstehen Dipolmomente.

3. Orientierungspolarisation:

Einige Moleküle haben schon aufgrund ihrer Struktur ein permanentes Dipolmoment

(z.B. Wassermoleküle). Ohne äußeres Feld sind alle Richtungen statistisch gleich

verteilt. Erst unter dem Einfluß eines äußeren elektrischen Feldes richten sich die

Dipole aus und bewirken eine makroskopische Polarisation.

12 1 Grundlagen

1.3.3 Die Kapazität eines Plattenkondensators

Die Kapazität eines Kondensators ist allgemein wie folgt definiert:

C

d

d

A

a

b=

•

•

∫

∫

D A

E s

Damit ergibt sich für die Kapazität des Plattenkondensators:

C =Q

U

Q

E d

Q

Dd

Q

Q

Ad

A

d=

⋅=

⋅⋅

=

⋅ ⋅⋅

=⋅ ⋅

ε ε ε ε

ε ε

0 0

0

r r

r

Die Ladung Q kürzt sich heraus, so daß nur noch geometrische Größen und die

Dielektrizitätszahl in der Gleichung für die Kapazität übrig bleiben.

1.3.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung:

C Ci==

∑i

n

1

Dies liegt bei einem geschichteten Dielektrikum senkrecht zu den Kondensatorplatten

vor

Reihenschaltung:

1

C

1

Ci

==

∑i

n

1

Dies liegt bei einem geschichteten Dielektrikum waagerecht zu den Kondensatorplatten

vor.

1.4 Der ideale Kondensator im Wechselstromkreis 13

1.4 Der ideale Kondensator im Wechselstromkreis

Der ideale Kondensator besitzt eine konstante Kapazität. Sein Wirkwiderstand ist

unendlich, die Wirkung seines Magnetfeldes ist Null.

1.4.1 Phasenlage zwischen Strom und Spannung

Eine Kapazität C liege an einer Wechselspannung

( )u u sin t +c c u= ⋅ ⋅ɵ ω ϕ

Der Kondensatorstrom ist bei konstanter Kapazität proportional der Änderungs-

geschwindigkeit der Kondensatorspannung. Dies folgt aus der Definition des Stromes:

idQ

dtc =

Einsetzen von Q C uc= ⋅ :

i Cdu

dtC u cos( t ) i sin( t )c

c

c u c i= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +ɵ ɵω ω ϕ ω ϕ

Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:

ɵɵu

i C

c

c

=⋅

1

ω und ϕ ϕ

π

2i u= +

Der Strom zum Kondensator eilt der Spannung am Kondensator um 90° oder ¼

Periodendauer voraus.

14 1 Grundlagen

Bild 1.6: Phasenlage von Strom und Spannung im Zeiger- und Liniendiagramm

Für die Effektivwerte des Wechselstromes mit der Amplitude ɵ ɵi C uC C= ⋅ ⋅ω erhält man

nach nach Division beider Seiten durch 2 :

I C UC C= ⋅ ⋅ω

Aus diesem Ausdruck definiert man den kapazitiver Blindleitwert

B CC = ⋅ω

sowie den kapazitiver Blindwiderstand

X1

CC =

⋅ω

Daraus erhält man das Ohmsche Gesetz für den Kondensator im sinusförmigen

Wechselstromkreis:

IU

XC

C

C

=

1.4 Der ideale Kondensator im Wechselstromkreis 15

1.4.2 Leistung und Energieumsetzung

Die Momentanleistung zu einem Zeitpunkt t ist durch das Produkt der zu diesem

Zeitpunkt bestehenden Spannung uc und dem Strom ic bestimmt.

( )p t = u ic c⋅

( )p t = u sin t i cos tc c ɵ ( ) ɵ ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ω mit cos( t) sin 90ω ω⋅ = ⋅ + °( )t

Mit der trigonometrischen Umformung

2 sin( t) cos( t) sin(2 t)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ω ω ω

wird

( )p t =u i

2t

c cɵ ɵsin( )

⋅⋅ ⋅ ⋅2 ω

Bild 1.7: Leistung p(t)

Der zeitliche Verlauf der Leistung schwankt sinusförmig um den konstanten Mittelwert

Null. D.h. die Wirkleistung als Durchschnittswert der Momentanleistung über eine volle

Periode des Wechselstromes ist hier Null. Man hat also keine Energieabgabe an die

Umgebung. Der Kondensator stellt somit für den Stromkreis eine Blindlast dar.

16 1 Grundlagen

Die Blindleistung definiert man als Produkt der Effektivwerte von

Kondensatorspannung und Kondensatorstrom.

P U IB C C= ⋅ wenn ϕc = 90°

1.5 Der verlustbehaftete Kondensator

Der technische Kondensator ist nicht verlustfrei. Das Vorhandensein von Verlusten

( = thermische Verluste) bedeutet energiemäßig, daß im technischen Kondensator nicht

nur Blindarbeit, sondern auch Wirkarbeit verrichtet wird.

Die Kondensatorverluste beruhen besonders auf:

• einer geringen elektrischen Leitfähigkeit des Dielektrikums

• einem geringen Widerstand der Zuleitungen und der Kondensatorplatten

• der Umpolarisation der Moleküldipole des Dielektrikums

1.5.1 Ersatzschaltbild

Die einfachste Ersatzschaltung, welche die Verluste berücksichtigt, besteht aus der

Parallelschaltung eines idealen Kondensators und eines idealen Widerstandes.

Bild 1.8: Einfaches Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten Kondensators

Aus der geometrischen Addition des Wirkstromes

I U GW = ⋅

1.5 Der verlustbehaftete Kondensator 17

mit dem Blindstrom

I C U = U BB C= ⋅ ⋅ ⋅ω

ergibt sich der Gesamtstrom:

I U G B2C

2= ⋅ +

Der Scheinleitwert Y ergibt sich damit zu:

Y G B2C

2= +

und daraus das Ohmsche Gesetz:

I Y U= ⋅

Die Phasenverschiebung zwischen dem Gesamtstrom und der Spannung an der

Parallelschaltung ist:

tan =B

G

C

ϕ

1.5.2 Der Verlustfaktor

Der Verlustfaktor ergibt sich mit der Wirkleistung

PU

RW

0

2

=⋅

ɵ

2 (Scheitelwert der Augenblicksleistung an R)

18 1 Grundlagen

und der Blindleistung

PC U

B0

2

=⋅ ⋅ω ɵ

2 (Scheitelwert der Augenblicksleistung an C)

zu:

tanP

P

1

C R

I

I

X

R

W

B

W

B

δω

= =⋅ ⋅

= =

Die Verluste des Kondensators werden als Verhältnis von Blindleitwert Xc zu

Wirkwiderstand Rc angegeben. Im Leitwertdreieck entspricht dieses Seitenverhältnis

dem Tangens des Verlustwinkels δ.

Bild 1.9: Leitwertdreieck eines verlustbehafteten Kondensators

δ ist der Verlustwinkel des Kondensators, also die Abweichung von der

Phasenverschiebung 90° zwischen Strom und Spannung beim Kondensator. Der

Ausdruck

( )tanδ ϕ= °−tan 90

wird Verlustfaktor des Kondensators genannt.

1.5 Der verlustbehaftete Kondensator 19

1.5.3 Die spezifische Wärmekapazität

Beim verlustbehafteten Kondensator handelt es sich um thermische Verluste. Kennt

man die Zeit ∆t, in welcher die Wärme zu- oder abgeführt wurde, und die zugehörige

Wärmemenge, kann man daraus die Wirkleistung bestimmen.

P =Q

tw

∆

Die zu- oder abgeführte Wärmemenge eines Körpers bei Temperaturänderung beträgt:

( )Q c m T T2 1= ⋅ ⋅ −

Den Proportionalitätsfaktor c nennt man die spezifische Wärmekapazität. Sie ist

abhängig vom Material. Weiter taucht in der Gleichung die Masse m, die

Anfangstemperatur T1, sowie die Endtemperatur T2 auf.

1.5.4 Einteilung technischer Kondensatoren

Aus den Forderungen der Anwender nach unterschiedlichen Werten und

Einsatzgebieten hat sich eine Vielzahl von Kondensatortypen entwickelt.

Die Anwendungen lassen sich grob in 3 Gruppen unterscheiden:

• Bauteilkondensatoren als Bauelemente der Elektronik und Nachrichtentechnik

• Leistungskondensatoren für Energietechnik, Leistungselektronik und Hochfrequenz -

Leistungsgeneratoren

• Schutzkondensatoren für Berührungs- und Störschutz

Die wichtigsten Auswahlkriterien sind neben dem Kapazitätswert, der Verlustfaktor, der

Isolationswiderstand (Selbstentladezeitkonstante), die Betriebstemperatur, der

Temperaturkoeffizient, die Frequenzabhängigkeit der Kapazität und die

Betriebsbrauchbarkeitsdauer.

20 1 Grundlagen

Bild 1.10: Einteilung technischer Kondensatoren

1.5.5 Elektrolytkondensatoren

Die Verlustfaktoren der Elektrolytkondensatoren sind meistens größer als die anderer

Kondensatoren.

Die auf Metalloberflächen durch elektrolytische Formierung (anodische Oxidation)

hergestellten, gleichmäßig dünnen Oxidschichten zeichnen sich durch besonders hohe

Betriebsfeldstärken (10 MV/cm) aus. Diese dünnen Oxydschichten werden chemisch

aufgerauht, so daß sich ihre Oberfläche und damit die Kapazität um den Faktor 5...10

vergrößert. Durch die relativ großen Dielektrizitätszahlen (Al2O3: εr = 7...8, Ta2O5: εr =

26...27) erhält man somit große spezifische Kapazitäten, die bis 400 µF/cm3

betragen

können. Als Metalle eignen sich Al, Ta, Nb, Ti und Zr. Große Bedeutung haben die

beiden erstgenannten Metalle.

1.6 Die Bestimmung der Austrittsarbeit mit Hilfe des Kontaktpotentials 21

Bild 1.11: Schnitt durch einen Tantal-Elektrolytkondensator

Die Metalloxidschichten haben folgende gemeinsame Merkmale: Bei richtiger Polung

(+ an oxidiertes Metall) fließt ein kleiner Strom, der die Oxidschicht stabilisiert bzw.

nachformiert. Bei falscher Polung wird die Oxidschicht abgebaut. Die Oxidschichten

sind im begrenzten Maßen selbstheilend, weil die schadhaften Stellen durch erhöhten

Stromfluß oxidiert werden.

1.6 Die Bestimmung der Austrittsarbeit mit Hilfe des

Kontaktpotentials

1.6.1 Das Potentialtopfmodell

Beim Potentialtopfmodell geht man insbesondere auf den Übertritt von Elektronen aus

einem Kristall in den freien Raum aus. Dabei ist zu beachten, daß die

Leitungselektronen etwa eines Metallkristalles zwar nicht an die einzelnen Gitterionen,

wohl aber an den Kristall als Ganzen gebunden sind. Beim Austritt eines Elektrons aus

dem Metall muß daher gegen diese Bindungskräfte Arbeit geleistet werden, die man

Austrittsarbeit WA nennt. Die potentielle Energie der Elektronen ist also im Außenraum

um den Betrag W größer als im Innern des Kristalls. Diese Verhältnisse werden durch

eine Potentialkurve dargestellt und man gelangt so zu dem Potentialtopfmodell des

Metalls. Im Potentialtopf werden nur die Energiezustände der Leitungselektronen

angedeutet. Die periodischen Potentialschwankungen im Innern werden ebenso

vernachlässigt wie die Energiezustände der gebundenen inneren Elektronen.

22 1 Grundlagen

Bild 1.12: Potentialtopfmodell

Damit ein Elektron den Metallverband verlassen kann, muß es also mindestens die

kinetische Energie EVAC besitzen. Nach der FERMI-Theorie der Metallelektronen ist das

oberste besetzte Energieband eines Metalls aber bereits bis zur Höhe EF, dem FERMI-

Niveau, mit Elektronen besetzt. Um eines der energiereichsten, bereits am absoluten

Nullpunkt die kinetische Energie EF besitzenden Leitungselektronen aus dem Metall zu

befreien, müssen wir also die effektive Austrittsarbeit

WA = EVAC-EF

aufwenden.

Für ihre Messung gibt es drei verschiedene Methoden, die auf drei theoretisch wie

praktisch wichtigen Effekten beruhen: Der photoelektrischen und der thermischen

Elektronenemission von Metallen sowie der Berührungsspannung zwischen

verschiedenen Metallen.

1.6.2 Die Berührungsspannung

Dabei geht man von zwei verschiedenen Metallen (bzw. Metall und Halbleiter) aus, die

nicht miteinander verbunden sind. Also hat man auch zwei unterschiedliche Fermi-

Niveaus:

Bild 1.13: Potentialtöpfe zweier verschiedener Metalle


EF: Fermi-Niveau

WA: Austrittsarbeit, WA = EVAC-EF

Danach verbindet man die beiden Metalle leitend miteinander. Wegen des höheren

FERMI-Niveaus im Metall 1 fließen so lange Elektronen zum Metall 2 hinüber, bis

beide FERMI-Niveaus auf gleicher Höhe liegen (d.h. im thermodynamischen

Gleichgewicht : EF1 = EF2 = EF ).

Bild 1.14: Angleich der beiden FERMI-Niveaus

Dieser Ausgleich erfolgt aber nicht dadurch, daß ein merklicher Bruchteil der

Leitungselektronen aus Metall 1 nach 2 abfließt, sondern dadurch, daß die wenigen nach

2 fließenden Elektronen das Metall 2 relativ zu 1 negativ aufladen. Dieser negativen

Aufladung entspricht in der Potentialdarstellung einer Hebung des Potentialtopfes 2

gegenüber 1, bis Gleichheit beider FERMI-Niveaus hergestellt ist.

Für die Austrittsarbeitsdifferenz gilt:

∆ ∆W W W e UA A2 A1= − = ⋅

Daraus folgt:

∆∆

U = W

e

A

∆U : die Berührungsspannung oder die GALVANI - Spannung

24 1 Grundlagen

Man erhält also Flächenladungen an der Oberfläche:

Bild 1.15: zur Ladungsverteilung

Es formiert sich ein elektrisches Feld zwischen den beiden Metallen. Für die Ladung

gilt:

Q C U= ⋅ ∆

Die Berührungsspannung kann nicht direkt gemessen werden. Sie muß also über

Umwege bestimmt werden. Zur Messung dienen folgende Kontaktpotential-

meßmethoden:

• Die Kelvin-Methode

• Das Zisman-Verfahren

• Das Schnittpunkt-Verfahren

• Die Kennlinienverschiebung

• Das magnetische Verfahren

Wir betrachten hier das Kelvin/Zisman-Verfahren.

1.6.3 Das Kelvin/Zisman-Verfahren

Das Zisman-Verfahren baut auf das älteste Verfahren zur Messung des Kontaktpotential

auf, dem Verfahren nach Lord Kelvin (1824-1907)

Eine ähnliche Anordnung wurde für das Praktikum aufgebaut:


Bild 1.16: Prinzipschaltbild zur Kelvin/Zisman-Methode

Eine Elektrode 1 aus Kupfer schwingt mit einer Frequenz ω. Realisiert wurde diese

sinusförmige Schwingung mit einem Lautsprecher. Als Elektrode 2 kann ein beliebiges

Metall oder ein Halbleiter eingesetzt werden.

Diese Schwingung bewirkt eine Kapazitätsänderung zwischen den Elektroden:

CA

x= ⋅ε 0 mit ( )x x x sin t0 1= + ⋅ ⋅ω

Die Spannung U setzt sich zusammen aus einer äußeren Spannungsquelle Uo, die über

ein Potentiometer einstellbar ist, und der Berührungsspannung ∆U:

U U U UW

e0 0

A

= + = +∆∆

Für den Wechselstrom IW , der im Versuch nach einer Stromverstärkung mit dem

Ozilloskop gemessen wird, ergibt sich:

IdQ

dt

d

dt(U C)w = = ⋅

26 1 Grundlagen

Einsetzen der Kapazität liefert:

( )I U

d

dt

A

x + x sin tw

0

1

= ⋅⋅

⋅ ⋅

ε

ω

Differenzieren des Terms in der Klammer ergibt:

( )I U A x

cos( t)

x + x sin( t)w 0 1

0 1

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ε ω

ω

ω2

D.h für variable Abstände x1a=0,1 mm, x1b=0,2 mm und x1b=0,2 mm haben wir mit

d0=0,5 mm, A=20 mm2, U=2 V und ω=3600 Hz, folgende nichtlineare Stromverläufe:

0 1 2 3 4 5

-4,00E-009

-2,00E-009

0,00E+000

2,00E-009

4,00E-009

t in s

Kelvinstrom in A 0,1mm

0,2mm

0,3mm

Bild 1.17: Stromverläufe nach dem Differenzieren


Man kann nun U0 mit dem Potentiometer so variieren, daß IW = 0 ist. Dann gilt:

UW

e= - U0

A

= −∆

∆

Die Austrittsarbeitsdifferenz ist damit:

∆W = - e UA 0 ⋅

Durch die angelegte Spannung wird das elektrische Feld kompensiert. Somit ist dies

eine wechselwirkungsfreie Methode zur Charakterisierung eines Werstoffes.

Abschließend sei bemerkt, daß die Kontaktpotentialverfahren sich vor allem für die

Messungen von Austrittsarbeitsdifferenzen eignen. Soll jedoch die absolute

Austrittsarbeit von Metallen bestimmt werden, muß die Austrittsarbeit der

Bezugselektrode bekannt sein und als unveränderlich vorausgesetzt werden. Sie sollte

dann in jedem Fall aus einem hochschmelzenden Metall (am besten Wolfram) bestehen,

damit sie durch genügende Entgasung von den die Austrittsarbeit beeinflussenden

Fremdstoffschichten befreit werden kann. Die Austrittsarbeit der Bezugselektrode muß

dann nach einem anderen Verfahren (z.B. photoelektrischer Effekt oder Glühemission)

gesondert bestimmt werden.

28 2 Vorbereitende Aufgaben

2 Vorbereitende Aufgaben

2.1

Gegeben sind die beiden Plattenkondensatoren mit unterschiedlich geschichteten

Dielektrika. Man bestimme ε2 so, daß C2 doppelt so groß wie C1 wird.

Bild 2.1: Kondensator 1 Kondensator2

(a = 20 cm; d = 4 cm; ε1 = 3,5)

Wie groß sind die Kapazitäten dann jeweils?

2.2

Zwischen dem Dielektrikum und den Platten eines Kondensators befindet sich ein

Luftspalt der Dicke d, welcher ein Student bei der Auswertung seiner

Kapazitätsmessung nicht berücksichtigt. Er berechnet daher einen vom eigentlichen εr

abweichenden Wert εreff. Welches εreff bestimmt der Student aus seiner

Kapazitätsmessung? Wie groß ist der absolute Meßfehler ∆εr = εreff - εr und der relative

Meßfehler ∆εr/εr ?

(a = 20,0 cm; c = 1,0 cm; d = 0,1 cm; εr = 1000)

Bild 2.2: Kondensator mit Luftspalt

2.3 29

2.3

Gegeben ist das Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten Kondensators nach Kapitel

1.5.1. Nun soll der Verlustfaktor dieses Kondensators bestimmt werden.

Dafür wurde in einem Teilversuch 8 min lang einem Elektrolytkondensator über einen

Heizdraht eine Wirkleistung von 0,5 W zugeführt. Dabei erwärmte sich der Elko um

8 °C.

a.) Berechnen Sie daraus das Produkt aus spezifischer Wärmekapazität und Masse

( c m⋅ ).

Derselbe Elko wurde dann in einem zweiten Teilversuch an einen Trafo mit U = 4 V

und I = 2 A angeschlossen. Durch diese zugeführte Scheinleistung erwärmte sich der

Elko nach 10 min um 11 °C.

b.) Berechnen Sie aus der zugeführten Wärmemenge die Wirkleistung. Benutzen Sie

dabei das Produkt aus spezifischer Wärmekapazität und Masse ( c m⋅ ) aus

Aufgabenteil a.).

c.) Bestimmen Sie aus Aufgabenteil b.) den Verlustfaktor des Elkos.

Anmerkung: Diese Vorgehensweise zur Bestimmung des Verlustfaktors ist analog zur

Meßaufgabe 2 aus Kapitel 3.2.2.

2.4

Bei der Bestimmung der Austrittsarbeitsdifferenz mit Hilfe der Kelvin/Zisman-Methode

fließt ein Strom. Entsteht dieser Stromfluß durch eine Spannungsquelle oder eine

Stromquelle? Gehen Sie dabei von den Definitionen der Quellen aus!

2.5

Wieso besitzt der Kelvinstrom höhere Harmonische?

30 3 Meßaufbau und Meßaufgaben

3 Meßaufbau und Meßaufgaben

Der Versuch zum elektrischen Feld ist in drei Teilversuche gegliedert.

3.1 Versuch Plattenkondensator

Dieser Teilversuch dient zur Bestimmung verschiedener Dielektrizitätszahlen.

3.1.1 Meßaufbau zum Plattenkondensator

Im Versuch Plattenkondensator wird mit folgender Meßvorrichtung gearbeitet:

Bild 3.1: Meßvorrichtung Plattenkondensator

Diese Meßvorrichtung dient zum Einspannen und Kontaktieren einer PVC-Platte und

einer Wanne aus PVC, welche mit Wasser gefüllt werden kann. Mit ihrer Hilfe soll in

diesem Teilversuch die Dielektrizitätszahl von PVC und Wasser bestimmt werden.

Weiterhin steht ein Frequenzgenerator, eine Stromverstärkung und ein Oszilloskop zur

Verfügung. Zur Bestimmung der Effektivwerte der Ströme können zwei Multimeter

benutzt werden (wichtig für Teilversuch Wanne ohne Wasser). Damit ergibt sich

folgende Meßschaltung, die für beide Meßaufgaben bestimmt ist:

3.1 Versuch Plattenkondensator 31

Bild 3.2: Meßschaltung zum Versuch Plattenkondensator

Diese Einstellungen gelten für den kompletten Teilversuch:

Frequenzgenerator:

USS = 5 V, f = 1000 Hz

Der Rückkopplungswiderstand im Strom-Spannungswandler beträgt R = 100 kΩ. IMESS

ergibt sich damit zu:

IU

RMESS

MESS

=

3.1.2 Meßaufgaben zum Plattenkondensator

1. Bestimmung der Dielektrizitätszahl εεεεr der PVC-Platte

• Klemmen Sie die PVC-Platte in die Meßvorrichtung und bestimmen Sie mit Hilfe

des Oszilloskops die Kapazität der PVC-Platte durch Strommessung. Berechnen Sie

daraus εr der Platte. (Platte: r = 12 cm, d = 4 mm)

• Warum wurden die Kondensatorplatten direkt auf die Platte aufgeklebt?


2. Bestimmung der Dielektrizitätszahl εεεεr von Wasser

• Gehen Sie dabei wie folgt vor:

Bestimmen Sie die Kapazität der leeren Wanne durch Strommessung. Man kann

davon ausgehen, daß die bestimmte Kapazität größer als die eigentliche

Kapazität ist, da noch Streukapazitäten hinzukommen. Berechnen Sie deshalb

den Sollwert der Kapazität der leeren Wanne und daraus einen Korrekturfaktor

sC

C

IST

SOLL

= .

Die Breite des Leerraumes beträgt d = 32 mm.

Nun messen Sie die Kapazität der Wanne mit Wasser. Diese muß dann ebenfalls

durch den Korrekturfaktor korrigiert (dividiert) werden. Berechnen Sie daraus

den Kapazitätswert von Wasser und damit εr.

• Was sind die Gründe für das Abweichen vom eigentlichen Wert εr von Wasser?

3.2 Versuch Elektrolytkondensator

In diesem Teilversuch geht es um zwei verschiedene Verfahren zur Bestimmung des

Verlustfaktors. Als Kondensator eignet sich am Besten ein Elektrolytkondensator.

Grund dafür ist sein hoher Verlustfaktor.

3.2.1 Meßaufbau zum Elektrolytkondensator

Ein Elektrolytkondensator (C = 2,2 mF) wurde für diese Anwendung mit einem

Heizdraht umwickelt. Damit der Kondensator seine aufgenommene Wärme nicht an die

Umgebung abgibt, befindet er sich in einem isolierten Gehäuse. Ein Temperatur-

aufnehmer (PT100) sitzt direkt auf dem Aluminiumgehäuse des Kondensators. Die

Temperatur wird über einen Meßumformer direkt digital angezeigt.

3.2 Versuch Elektrolytkondensator 33

3.2.2 Meßaufgaben zum Elektrolytkondensator

1. Bestimmung des Verlustfaktors über die Phasenverschiebung

Ein Frequenzgenerator (USS = 3 V) wird an den Elektrolytkondensator angeschlossen

und eine Frequenz von f = 50 Hz eingestellt. Die Spannung zwischen den beiden Polen

des Elkos kann direkt auf einem Kanal eines Oszilloskops sichtbar gemacht werden. Der

Strom wird durch die Spannung über einem Meßwiderstand (R = 0,1 Ω) bestimmt und

am Eingang des zweiten Kanal angeschlossen. Die Meßschaltung 1 sieht wie folgt aus:

Bild 3.3: Meßschaltung 1

• Bauen Sie die Meßschaltung nach, und lesen Sie auf dem Oszilloskop die

Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ab. Berechnen Sie daraus den

Verlustfaktor (Kap. 1.5.2).

• Wiederholen Sie die Aufgabe mit f = 100, 200, 300, 400 und 500 Hz.

2. Bestimmung des Verlustfaktors über innere und äußere Erwärmung

Zuerst wird der Elko an eine Wechselspannung ( Trafo: US = 3,29 V, IS = 2,334 A)

angeschlossen. Daraus ergibt sich direkt die Scheinleistung PS1. Bauen Sie dafür

folgende Meßschaltung auf:



• Nehmen Sie mit Hilfe einer Stoppuhr die Temperaturerhöhung ∆T1 über der Zeit ∆t1

auf. Notieren Sie sich 10 Minuten lang jede Minute die Temperatur. Öffnen Sie

danach den Deckel, damit der Kondensator etwas abkühlen kann.

Der Elko wird nun über einen Heizdraht mit einer Spannungsquelle (UW = 1,5 V, IW =

0,3 A) erwärmt. Daraus ergibt sich direkt die Wirkleistung PW2. Zur Bestimmung der

äußeren Erwärmung muß Meßschaltung 3 aufgebaut werden:


• Nehmen Sie wie zuvor 10 min lang die Temperaturerhöhung ∆T2 über der Zeit ∆t2

auf. Streichen Sie jedoch danach die ersten beiden Minuten, da der Heizdraht

zunächst nur das Aluminiumgehäuse erwärmt.

3.3 Versuch Kelvin/Zisman-Methode 35

• Berechnen Sie aus den gewonnenen Werten den Verlustfaktor.

[Vorgehensweise (Vergleiche „Vorbereitende Aufgaben Nr.3“):

Aus Messung 3 kann über die Wirkleistung PW3 das Produkt c m⋅ bestimmt

werden. Dieses setzt man in Wärmemenge aus Messung 2 und erhält daraus die

Wirkleistung PW1. Mit Hilfe der Scheinleistung PS2 und der Wirkleistung PW2

kann die Blindleistung PB2 berechnet werden.

P P PB2 S22

W22= −

Aus PW2 und PB2 bestimmt man den Verlustfaktor.]

• Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Verlustfaktor aus Messung 1.

3.3 Versuch Kelvin/Zisman-Methode

In diesem Versuch sollen Austrittsarbeitsdifferenzen bestimmt werden. Weiterhin wird

die Abhängigkeit der Kapazität von der Frequenz untersucht.

3.3.1 Meßaufbau zur Kelvin/Zisman-Methode

Der Meßaufbau richtet sich nach Kapitel 1.6.3. Die Elektrode 1 wird über einen

Lautsprecher zu einer sinusförmigen Schwingung angeregt. Mit dem Frequenzgenerator

wird die Amplitude des Lautsprechers festgelegt. Der Kelvinstrom wird über einem

Stromverstärker (Rückkopplungswiderstand R=10 MΩ) an ein Oszilloskop

angeschlossen. Die äußere Spannungsquelle kann über ein Potentiometer geregelt

werden.

3.3.2 Meßaufgaben zur Kelvin/Zisman-Methode

1. Bestimmung von Austrittsarbeitsdifferenzen

Für Aufgabe 1 sind folgende Einstellungen am Frequenzgenerator vorgesehen:

f = 500 Hz, Lautsprecheramplitude USS = 2 V

Versorgungsspannung NF-Verstärker: U=8 V

Referenz: Elektrode 1 aus Kupfer


• Bauen Sie folgende Meßschaltung auf:

Bild 3.6: Meßaufbau zur Kelvin/Zisman-Methode

• Bestimmen Sie die Austrittsarbeitsdifferenzen von:

Kupfer - Kupfer

Kupfer - Aluminium

Kupfer - Palladium

Kupfer - Silizium

3.3 Versuch Kelvin/Zisman-Methode 37

[Vorgehensweise gemäß Kapitel 1.6.3:

Befestigen Sie die erste zu messende Elektrode. Stellen Sie die maximale Spannung am

Potentiometer ein. Nun fahren Sie jeweils die Elektrode 2 so dicht an die Elektrode 1,

daß sich die beiden Elektroden gerade nicht berühren. Drehen Sie nun am Potentiometer

bis der Strom auf dem Oszilloskop Null wird.]

2. Abhängigkeit des Kelvinstromes von der Frequenz bei konst. Amplitude

• Untersuchen Sie die Frequenzabhängigkeit des Kelvinstromes. Wählen Sie hierfür

folgende Frequenzen: 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz, 250 Hz, ..., 800 Hz. Die Amplitude

muß hierbei konstant gehalten werden! (Elektrode 2 = Kupfer)

Vorgehensweise:

Zuerst legt man die Maximalspannung von U0= -2,91 V an. Dann beginnend bei

100 Hz:

1. Lautsprecheramplitude UL = 3 V wählen

2. Heranfahren von Elektrode 2 bis kurz vor Berührung der beiden

Elektroden

3. UL halbieren

4. Ausgangsspannung ablesen

5. Nächst höheren Frequenzwert wählen.

6. Erhöhen der Lautsprecheramplitude bis kurz vor Berührung der beiden

Elektroden

7. Weiter mit 3.

• Bestimmen Sie aus der Ausgangsspannung des Strom-Spannungs-Wandlers den

Kelvinstrom (Kelvinstrom IK = UA/10 MΩ) für alle Frequenzen.

• Stellen Sie die Messung für die Ausarbeitung graphisch dar.

• Vorführung durch den Praktikumsbetreuer:

Aufzeigen der höheren Harmonischen des Kelvinstromes am Digital-Spectrum-

Analyzer.

Versuch 2

Das elektrische

Stromungsfeld

INHALTSVERZEICHNIS

1 EINLEITUNG .................................................................................................................................. 2

2 DER SKINEFFEKT ......................................................................................................................... 4

2.1 STROMLEITUNG IM METALL ...................................................................................................... 4

2.2 DAS MAGNETFELD EINES STROMDURCHFLOSSENEN LEITERS .................................................... 5

2.3 PRINZIPIELLER AUFBAU DER MESSANORDNUNG ..................................................................... 10

3 ERMITTLUNG EBENER FELDBILDER .................................................................................. 14

3.1 ALLGEMEINE DEFINITIONEN UND BEGRIFFE ............................................................................ 14

3.2 VERHALTEN VON STROMDICHTE UND ELEKTRISCHER FELDSTÄRKE AN GRENZFLÄCHEN ........ 15

3.3 MESSSCHALTUNG UND MESSPRINZIP ....................................................................................... 16

4 MESSUNG VON KONTAKTWIDERSTAND UND SPEZIFISCHEM WIDERSTAND ....... 18

4.1 KONTAKTWIDERSTANDSMESSUNG........................................................................................... 18

4.2 VIERPUNKT MESSUNG ............................................................................................................. 20

5 LEITUNG IM ELEKTROLYTEN ............................................................................................... 23

5.1 IONEN ALS LADUNGSTRÄGER .................................................................................................. 23

5.2 VORGÄNGE IN DER ELEKTROCHEMISCHEN ZELLE UND ELEKTROLYSE .................................... 24

5.3 STROM-SPANNUNGS-ZUSAMMENHANG ................................................................................... 27

6 TEMPERATURABHÄNGIGKEIT DES WIDERSTANDES .................................................... 30

6.1 ALLGEMEINE DEFINITION DES WIDERSTANDES IM STRÖMUNGSFELD...................................... 30

6.2 ÜBERSICHT UND KENNZEICHNUNG VERSCHIEDENER WIDERSTÄNDE ...................................... 31

6.3 ALLGEMEINE TEMPERATURABHÄNGIGKEIT ............................................................................. 32

6.4 HERSTELLUNG UND TEMPERATURVERHALTEN ........................................................................ 34

7 VORBEREITENDE AUFGABEN ................................................................................................ 40

8 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG .................................................................................................. 43

9 ANHANG ........................................................................................................................................ 48

9.1 WIDERSTANDS-TEMPERATUR-CHARAKTERISTIK DES TEMPERATURSENSORS KTY 10-6 ........ 48

2 Versuch 2: Das elektrische Strömungsfeld

1 Einleitung

Strömungsvorgänge von Ladungsträgern spielen in der Elektrotechnik eine große Rolle.

Dabei wird jeder Transportvorgang von Teilchen (z.B. quasifreie Ladungsträger im Leiter) in

eine bestimmte Richtung, ausgelöst durch die Wirkung einer Kraft, als Strömung bezeichnet.

Dargestellt wird diese Strömung durch ein mehr oder weniger kompliziertes Strömungsfeld.

An jeder Stelle des Feldes bewegen sich die Ladungsträger mit einer nach Betrag und

Richtung bestimmten Geschwindigkeit. Das Strömungsfeld ist also ein Vektorfeld, in dem die

antreibende Kraft der Ladungsträger eine eindeutige Richtung und einen eindeutigen Betrag

besitzt.

Speziell das elektrische Strömungsfeld beschreibt die Bewegung der Ladung in beliebig

geformten elektrischen Leitern. Die Ladungsträger bewegen sich dabei auf sogenannten

Strömungslinien, deren Gesamtheit als (elektrisches) Strömungsfeld bezeichnet wird. Ab-

bildung 1.1 zeigt sowohl die Feldlinien als auch die Äquipotentiallinien (Verbindungslinien

zwischen Punkten gleichen Potentials) einer Metallplatte, bei der zwei Punkte mit einer

Spannungsquelle verbunden sind.

Abb. 1.1: Elektrisches Strömungsfeld

Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld kann das elektrische Strömungsfeld sowohl im

elektrischen Leiter als auch im Vakuum (z.B. Hochvakuumdiode) existieren und besitzt im

stationären Fall weder Quellen noch Senken: ein elektrischer Strom ist eine in sich

geschlossene Erscheinung im elektrischen Leiter. Dieser Sachverhalt wird durch die

1 Einleitung 3

Kontinuitätsgleichung (Tab. 1.1) beschrieben. Ursache (antreibende Kraft) einer Strömung ist

eine Potentialdifferenz beispielsweise hervorgerufen durch eine Gleichspannungsquelle (Abb.

1.1).

Die wichtigsten Feldgrößen des Strömungsfeldes (integrale Form) sind im Vergleich zu den

analogen Größen des elektrostatischen Feldes in Tabelle 1.1 aufgelistet.

Tab. 1.1: Wichtige Feldgrößen des elektrischen Strömungsfeldes

Physikalische Größe Strömungsfeld Elektrisches Feld

Spannung U E ds= ⋅∫

U E ds= ⋅∫

Feldstärke

EdU

ds=

E

dU

ds=

Fluss

I G UR

U

Rl

A

l

A

= ⋅ = ⋅

= ⋅ =⋅

1

ρσ

Q C U= ⋅

Flussdichte

I J dA

I J dA

= ⋅

= ⋅ =

∫∫

0

J: Stromdichte

Q D dA

Q D dA

= ⋅

= ⋅

∫∫

D: Verschiebungsdichte

Leitfähigkeit

(typische Materialkonstante

eines Strömungsfeldes in

Leitern, Halbleitern und auch

Flüssigkeiten)

J E= ⋅σ (*)

σ: elektr. Leitfähigkeit, σ=1/ρ

ρ: spezif. Widerstand

„Ohmsches Gesetz d. Strömungsfeldes“

ED r

⋅⋅= εε 0

ε0: Feldkonstante

εr: relative Dielektrizitätszahl

Kontinuitätsgleichung ∫ =⋅=0

0AdJI

bzw. 0=∂

∂+

t

pJdiv L

----


Für die Beziehung zwischen den gerichteten Größen Stromdichte J und elektrischer

Feldstärke E (Gleichung * Tabelle 1.1), das ohmsche Gesetz des Strömungsfeldes, spielen die

möglichen Leitungsmechanismen eine große Rolle. Neben der Stromleitung in isolierenden

und leitenden Festkörpern (freie Elektronen) existieren auch Leitungsphänomene in Flüssig-

keiten (Ionen), ionisierten Gasen und im Vakuum.

Der Versuch „elektrisches Strömungsfeld“ teilt sich in vier Abschnitte:

♦ Stromfluss durch einen massiven Aluminiumzylinder und Nachweis des Skineffektes mit

Hilfe eines magnetoresistiven Sensors.

♦ Experimentelle Aufnahme eines Feldbildes mit Hilfe von Äquipotentiallinien.

♦ Stromleitung in Flüssigkeiten.

♦ Temperaturabhängigkeit des Widerstandes.

2 Der Skineffekt

2.1 Stromleitung im Metall

In diesem Versuch wird der Strömungsvorgang in Metallen (z.B. Aluminiumzylinder)

genauer betrachtet. In jedem Raumbereich der Materie sind die Ladungen der positiven und

negativen Ladungsträger gleich groß. Die Strömung im Metall kann als raumladungsfrei

angesehen werden. Wechselwirkungen zwischen den positiven und negativen Ladungen

heben sich gegenseitig auf, so dass der Körper nach außen hin unelektrisch erscheint. Die

positiven Ladungen im Metall (Kern der Atome) sind dabei unbeweglich. Sie bilden

zusammen mit den gebundenen Elektronen die Atomrümpfe. Nach der Theorie des freien

Elektronengases nach Drude kann nun ein Teil der negativen Ladung, die Valenzelektronen

(Elektronen der äußeren Schale des Atoms), sich leicht vom Atomrumpf lösen und sich frei

zwischen den Ionenrümpfen bewegen. Diese „freien“ Elektronen stehen dem Ladungstrans-

port zur Verfügung. Durch Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes werden diese Elektro-

2 Der Skineffekt 5

nen entgegen dem Feld mit der mittleren Geschwindigkeit v bewegt. Es fließt also ein Strom

durch den metallischen Leiter.

2.2 Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Eng verbunden mit der Strömung von Ladungsträgern ist die Ausbildung eines Magnetfeldes

B. Die Zusammenhänge zwischen diesen elektrischen und magnetischen Feldern sowie deren

Verknüpfung untereinander werden dabei allgemein durch die Maxwellschen Gleichungen

erfasst. Aus der ersten Maxwellschen Gleichung (Durchflutungsgesetz) beispielsweise

H ds J

D

tdAL

As

⋅ = + ⋅∫∫ ( )∂

∂

lässt sich die oben schon erwähnte Beziehung zwischen Strömung und Magnetfeld heraus-

lesen. Zur Erzeugung eines Magnetfeldes ist also ein Stromfluss notwendig. Tab. 2.1 zeigt zur

Vervollständigung eine Gegenüberstellung aller Maxwellschen Gleichungen in integraler und

differentieller Form. Die Überführung von der Integralform in die Differentialform gelingt

mit dem Gauß’schen und Stokes’schen Integralsatz. Auch die vollständige Theorie des

Skineffektes, der in diesem Versuch experimentell aufgezeigt werden soll, lässt sich unter

Zuhilfenahme dieses Gleichungssatzes einschließlich der Materialgleichungen beschreiben

bzw. herleiten. Diese Herleitung würde jedoch im Rahmen dieses Versuches zu weit führen,

so dass man sich hier auf die Betrachtung grundlegender Aspekte zur Stromverdrängung

beschränkt. Speziell im Fall unseres zylindrischen Leiters mit dem Radius r0 bildet sich ein

Magnetfeld in Form von konzentrischen Kreisen um den Leitermittelpunkt aus (Abb. 2.1).

Die Stromrichtung und die Richtung des Magnetfeldes sind dabei im Sinne einer

„Rechtsschraube“ angeordnet.

Abb. 2.1: Feldverteilung im zylindrischen Leiter

r

yz

Ir0

E,J

B,H

I


Tab. 2.1: MWG Integral-/Differentialform

Gesetz Integralform Differentialform

Durchflutungsgesetz

H ds J

D

tdAL

As

⋅ = + ⋅∫∫ ( )∂

∂ rotH J J

D

tL

= = +∂

∂

Induktionsgesetz E ds

d

dtB dA

As

⋅ = − ⋅∫∫

= − ⋅∫∂

∂

B

tdA

A

s = Berandung der Fläche A

rotEB

t

= −∂

∂

Gauß’scher Satz der Elektrostatik D dA dV

VO

⋅ = ⋅∫∫ ρ

O = Oberfläche des Volumens V

divD

= ρ

Quellenfreiheit des elektrischen

Strömungsfeldes / magnet. Feldes

J dA

O

⋅ =∫ 0

(integrale Form d. Kontinuitätsgl.)

B dA

O

⋅ =∫ 0

divJt

L

+ =

∂ρ

∂0

divB

= 0

Materialgleichungen D E= ⋅ε (Dielektrikum)

B H= ⋅µ (Magnet. Stoff)

J EL = ⋅σ (leitendes Medium)

-----/-----

Gauß’scher Integralsatz divC dV C dA

OV

⋅ = ⋅∫∫

-----/-----

Stokes’scher Integralsatz rotC dA C ds

sA

⋅ = ⋅∫∫

-----/-----

Die Versorgung des Leiters mit Gleich-/Wechselspannung spielt nun für die Abhängigkeit

des Magnetfeldes vom Ort r, innerhalb und außerhalb des Leiters, eine entscheidende Rolle:

2 Der Skineffekt 7

a.) Feldverteilung bei Gleichspannung:

Legt man an einen zylindrischen Leiter eine Gleichspannung U= an, bildet sich ein

homogenes elektrisches Feld E aus (Abb. 2.1). Es fließt ein Gleichstrom I durch den Leiter.

Da die elektrische Feldstärke über das ohmsche Gesetz des Strömungsfeldes

J E= ⋅σ (1)

mit der Stromdichte J gekoppelt ist, stellt sich auch eine über den gesamten Querschnitt

konstante Stromdichte ein (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Stromdichteverteilung über Leiterquerschnitt (Gleichspg.)

Durch den Stromfluss bildet sich ein Magnetfeld innerhalb und außerhalb des Leiters in Form

von konzentrischen Kreisen um den Mittelpunkt aus (siehe vorne). Für die magnetische Feld-

stärke H im Inneren und Äußeren ergeben sich folgende Abhängigkeiten :

Leiterinneres (r<r0):

Im Leiterbereich gilt für die Stromdichte:

JI

r=

⋅π 0

2 (2)

Durch Anwendung des Durchflutungssatzes auf eine kreisförmige Feldlinie mit dem Radius r

ergibt sich dann mit (2)

∫ ⋅⋅⋅=⋅=⋅=⋅⋅

1

22

0

22

s

rHsdHr

rIrJ ππ

(3)

Daraus folgt für den Verlauf der magnetischen Feldstärke im Leiterinneren

H rI r

r( ) =

⋅

⋅ ⋅2 0

2π (4)

(r)

ro-

Jz

ror


bzw. B r H rI r

r( ) ( )= ⋅ =

⋅ ⋅

⋅ ⋅µ

µ

π2 0

(5) mit µ µ µ= ⋅0 r ; µr ≈ 1

Leiteräußeres (r>r0):

Durch erneute Anwendung des Durchflutungsgesetzes lässt sich die magnetische Feldstärke H

außerhalb des Leiters ermitteln.

∫ ⋅=

2s

sdHI

(6)

Der Betrag der magnetischen Erregung entlang einer Feldlinie ist dabei konstant. Der

Integrationsweg s soll sich entlang einer Feldlinie in Richtung der magnetischen Feldstärke

erstrecken.

⇒ ∫ ⋅=

2s

dsHI

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

∫H ds

H r

s2

2 π

⇒ H rI

r( ) =

⋅ ⋅2 π (7) bzw. B r

I

r( ) =

⋅

⋅ ⋅

µ

π2 (8)

Die magnetische Feldstärke steigt also im Leiterinneren linear mit r an und fällt dann im

Außenraum hyperbolisch mit 1/r ab (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Verlauf der magnetischen Feldstärke in Abhängigkeit von r

H(r)

~r

ror

~1/r

2 Der Skineffekt 9

b.) Feldverteilung bei Wechselspannung:

Speist man den zylindrischen Leiter nun mit einer Wechselspannung der Frequenz ω, so ist

die Stromdichte über den gesamten Leiterquerschnitt nicht mehr konstant. Der Strom drängt

mit wachsender Frequenz ω mehr und mehr zur Leiteroberfläche. Diesen Vorgang bezeichnet

man als Skin- oder Hauteffekt. Die Ursache dieses Effektes ist in der inneren Selbstinduktion

zu suchen.

Abb. 2.4: Erläuterung zum Skineffekt

Der kleine Flächenausschnitt drds im Leiterinneren (Abb. 2.4) wird durch das Magnetfeld B

(=µH) durchsetzt. Dieses Magnetfeld B ändert sich jedoch aufgrund der angelegten Wechsel-

spannung mit der Zeit, wodurch nach dem zweiten Maxwellschen Gesetz (Induktionsgesetz)

E ds

d

dtB dA

As

⋅ = − ⋅∫∫ (9)

ein elektrisches Wirbelfeld Eind induziert wird. Das induzierte Feld ist auf der der Leiterachse

zugewandten Seite dem äußeren elektrischen Feld E entgegengerichtet, während es zur

anderen Seite hin der Feldstärke gleichgerichtet ist. Das durch Überlagerung dieser Einzel-

felder entstehende resultierende Feld muss somit von der Leiterachse zur Leiteroberfläche hin

zunehmen. Gleiches gilt für den Strom, der durch das resultierende Feld hervorgerufen wird.

Bei sehr hohen Frequenzen f fließt der Strom praktisch nur noch an der Leiteroberfläche. Die

Stromdichte ist dort extrem groß, während sie in Richtung der Leiterachse annähernd mit

r

rrrJ 00exp~ ⋅

−−

δ (10)

exponentiell abnimmt.

Eine wichtige Kenngröße des Skineffektes ist deshalb die Eindringtiefe δ. Sie ist definiert als

diejenige Tiefe, bei der die Stromdichte auf den 1/e-Teil (37%) des Oberflächenwertes

abgesunken ist.

induzierte Feldstärke

dr

B

ds

E,J


µσπωσµδ

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

f

12 (11)

Bei einer Frequenz von f=50Hz gilt beispielsweise für Aluminium:

δAl = 0,1203 cm

mit σ = 35*106 1/Ωcm

µr ≈ 1

µ0 = 1,256*10-6

Vs/Am

Als eine Auswirkung des Skineffektes ist die Vergrößerung des Leiterwiderstandes bei

Wechselstromspeisung im Vergleich zum Gleichstromwiderstand zu nennen. Ist δ<<d

(d=Leiterdurchmesser) wird der Widerstand nämlich durch den Umfang und nicht mehr durch

den Querschnitt A des Leiters bestimmt. Deshalb können in der Hochfrequenztechnik

beispielsweise Hohlleiter verwendet werden.

2.3 Prinzipieller Aufbau der Messanordnung

a.) Spannungsversorgung des Messobjektes:

Als Messobjekt wird in unserem Versuch ein massiver Aluminiumzylinder mit einem Durch-

messer d=10cm verwendet. Die Versorgung des Zylinders erfolgt entweder über eine Gleich-

spannungsquelle(*) oder über einen Blocktransformator mit Halogenleuchten (**). Der

komplette Versuchsaufbau ist Abbildung 2.5 zu entnehmen.

Bei der Versorgung des Aluminiumzylinders mit Gleich- bzw. Wechselspannung ist zu

beachten, dass der Widerstand des Messobjektes lediglich im µΩ-Bereich liegt, was bei

direktem Anschluss einer Spannungsquelle einem Kurzschluss gleich käme. Zur Begrenzung

des Stromes ist es deshalb notwendig, dem Zylinder einen größeren Vorwiderstand RV in

Form von 12V,50W-Niedervolt-Halogenlampen in einem Aluminiumgehäuse vorzuschalten.

2 Der Skineffekt 11

Abb. 2.5: Versuchsaufbau „Nachweis des Skineffektes“

b.) Netzgleichrichtung mittels Brückengleichrichter:

Im Gleichspannungsfall wird der Zylinder mit einem Doppelnetzteil mit einer maximalen

Stromabgabe von 4A bei interner Parallelschaltung gespeist. Die Versorgung im Wechsel-

spannungsfall erfolgt auf der einen Seite über einen Blocktransformator mit einer Leistung

von 105W. Dieser Trafo transformiert die Netzspannung von 220V~ (Primärseite) bei einer

Frequenz fN=50Hz sekundärseitig auf 12V~ bei einem Nennstrom von 8,74A.

Meßaufbau (**)

blocktrafo

Halogen-

Brückengleichrichter

Silizium-

(Kreis 2)

V2R

Netz

IN

OUT

KMZ

V1R

(Kreis1)

+

-r

TP

-+

**

V

Meßaufbau (*)

*


Abb. 2.6: Brückengleichrichtung (Zweiweggleichrichtung)

Auf der anderen Seite soll der Zylinder mit Wechselspannung der doppelten Frequenz ver-

sorgt werden. Diese angestrebte Verdopplung der Netzfrequenz wird hier durch eine Zwei-

weggleichrichtung mittels Si-Brückengleichrichter B40 (10A) erreicht, indem die Sekundär-

spannung des Trafos auf den Eingang des Brückengleichrichters gegeben wird (Abb. 2.6). Die

transformierte Wechselspannung U2 verwandelt sich durch die Gleichrichtung in eine Misch-

spannung, die sich aus einer Gleichspannungskomponente U= und Wechselspannungsanteilen

U~ zusammensetzt. Die Zusammensetzung der Mischspannung, die über dem Vorwiderstand

RV und dem Aluminiumzylinder liegt, wird durch die Fourrier-Reihe beschrieben. Bei

Zweiweggleichrichtung mit rein ohmscher Belastung gilt (û2=U2*√2 =16,26V):

u tu

t tRL ( )ɵ

( cos cos .....)ωπ

ω ω=⋅

⋅ +⋅

⋅ −⋅

⋅ +2

12

1 32

2

3 54

2

Gleichspannungskomponente: u

uRL =

⋅=

210 35

2ɵ

,π

V

Grundschwingung bei f=2fN=100Hz: ɵ ɵ ,u ug =⋅

⋅ =4

36 92π

V

1.Harmonische bei f=200Hz: ɵ ɵ ,u u=⋅

⋅ =4

151 382π

V (≈ 1/5*ûg)

2.Harmonische bei f=300Hz: ɵ ɵ ,u u=⋅

=4

350 592π

V (≈ 1/11*ûg)

Man erkennt, dass die Grundschwingung bei der doppelten Netzfrequenz f=100Hz die

dominierende Komponente des Wechselanteiles ist, da die 1.Harmonische bereits auf den 1/5-

Teil der Grundschwingung abfällt.

U1

D2

U2

D4

D3

URL

Rz

D1

(H-Lampen)

R v >> R z

IRL

2 Der Skineffekt 13

c.) Der KMZ-Sensor:

Zur Ermittlung des Magnetfeldes wird in diesem Versuch ein magnetoresistiver Sensor

(MRS) der KMZ-Serie von Philips verwendet. Bringt man den Sensor in ein Magnetfeld ein,

so ändert sich der Brückenwiderstand mit der Größe der magnetischen Feldstärke H. Als Aus-

gangssignal liefert der KMZ dann eine Signalspannung U0 in Abhängigkeit von H (Abb. 2.7).

U0 hängt dabei in einem großen Bereich linear von der Feldstärke ab.

Abb. 2.7: Signalspannung in Abhängigkeit vom magnetischen Feld H

Die Empfindlichkeit des Sensors beträgt laut Herstellerangaben s=14+4 (mV/V)(kA/m)-1

. Aus

der Maßeinheit der Sensorempfindlichkeit und dem U0(H)-Graphen der Abb. 2.7 lässt sich

ersehen, dass die Sensorempindlichkeit s aus der Steigung der U0(H)-Kurve zu berechnen ist.

Bei der Messung ist noch zu beachten, dass der KMZ auch ohne äußeres Magnetfeld eine ge-

wisse Offsetspannung liefert, die man im einfachsten Fall aus den späteren Messwerten

herausrechnet oder einen Offsetabgleich mit Hilfe eines geeigneten elektronischen Multi-

meters durchführt.

d.) Auswertung des Sensorsignals:

Bei Speisung des Messzylinders mit reiner Gleich- oder reiner Wechselspannung ist die

Erfassung des Sensorsignals (=Spannungsimpulse) einfach, da der Sensor in diesen Fällen

entweder eine Gleich- oder eine Wechselspannung als Ausgangsimpuls liefert. Durch Um-

schalten zwischen den Messbereichen DCV und ACV eines Multimeters sind die gelieferten

Spannungswerte schnell abzulesen. Nochmals zu erwähnen ist hierbei die ohne äußere Speise-

spannung am Sensor auftretende Offsetspannung (z.B. durch Erdmagnetfeld und andere

äußere Einflüsse), welche beim Ablesen der endgültigen Werte herauszurechnen ist.


Wird jedoch die Versorgungsvariante über den Brückengleichrichter gewählt, so wird der

Zylinder mit einer Mischspannung beaufschlagt und der Sensor liefert ebenfalls eine solche

Mischspannung als Ausgangssignal. Misst man dieses Signal mit einem Multimeter (ACV-

Einstellung), so unterdrückt das Multimeter in seiner Einstellung zwar den Gleichanteil,

ermittelt aber summarisch den Effektivwert des gesamten Wechselanteiles, der sich aus der

Grundschwingung und den höheren Harmonischen bei Frequenzen von f=200,300,400,... Hz

zusammensetzt.

3 Ermittlung ebener Feldbilder

3.1 Allgemeine Definitionen und Begriffe

Wie schon in Abb. 1.1 der Einleitung zu erkennen war, entsteht zwischen zwei mit einer

Spannungsquelle verbundenen Punktelektroden auf einer Metallplatte ein elektrisches

Strömungsfeld. Die Ebene zwischen den Elektroden ist dabei ausgefüllt durch unendlich viele

Punkte gleichen als auch ungleichen Potentials. Verbindet man nun die Punkte gleichen

Potentials, so erhält man Linien, die man als Äquipotentiallinien bezeichnet. Im dreidimen-

sionalen Fall, beispielsweise im elektrischen Feld um eine Punktelektrode, spricht man jedoch

von Äquipotentialflächen, die unter dieser Annahme das Aussehen von konzentrischen

Kugeln um die Punktelektrode haben. Bewegt man Ladungen auf diesen Äquipotentiallinien

bzw. innerhalb der Äquipotentialflächen, so ist aufgrund der fehlenden Potentialdifferenz kein

Arbeitsaufwand notwendig. Durch Hinzunahme der elektrischen Feldlinien und somit auch

aufgrund des Ohmschen Gesetzes des Strömungsfeldes der Strömungslinien

J E= ⋅σ (1)

gelingt eine sehr anschauliche Darstellung des elektrischen (Strömungs-)Feldes. Die Feld-

bzw. Strömungslinien schneiden die Äquipotentiallinien dabei stets senkrecht. Dieser

Sachverhalt macht es dann auch möglich, im Rahmen dieses Versuches über die Aufnahme

der Äquipotentiallinien auf das ungefähre Feldbild zu schließen.

3 Ermittlung ebener Feldbilder 15

3.2 Verhalten von Stromdichte und elektrischer Feldstärke an

Grenzflächen

Die Strom- bzw. Feldlinien sollen, wie in Abb.3.1 dargestellt, schräg auf die Grenzfläche zum

Medium 2 mit der Leitfähigkeit σ2 auftreffen.

Abb. 3.1: Verhalten der Stromlinien an Grenzflächen

Zur Herleitung der Zusammenhänge an der Grenzfläche macht man sich wiederum einen Teil

der Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form (stationärer Fall !!) zunutze (n :

Normalkomponente, t : Tangentialkomponente) :

Unter Einbeziehung der Materialgleichungen folgt aus der zweiten Beziehung von oben

tt EE

EEnE

Erot

12

12 0)(

0

=⇒=−×=×∇⇔

=

nnn JJJ

JJnJ

Jdiv

==⇒=−⋅=⋅∇⇔

=

21

12 0)(

0

ρ

ρ

ρ

=−⇒=−⋅=⋅∇⇔

=

nn DD

DDnD

Ddiv

12

12 )(

E1n,J1n

E1t,J1t

Medium 1 E1,J1

Medium 2

Grenzfläche

E2n,J2n

Lot

E2t,J2t

E2,J2


J Jn n1 2= (2) ⇒ σ σ1 1 2 2⋅ = ⋅E En n ⇒ E

E

n

n

1

2

2

1

=σ

σ (3)

Aus geometrischen Betrachtungen in Abb. 3.1 erhält man

Anschließende Quotientenbildung liefert dann das Brechungsgesetz für Stromlinien :

Brechungsgesetz: tan

tan

α

α

σ

σ1

2

1

2

1

2

2

1

= = =J

J

E

E

t

t

n

n

(4)

3.3 Messschaltung und Messprinzip

Die Ermittlung des jeweiligen ebenen Feldbildes gelingt über die Aufnahme der

Äquipotentiallinien mit Hilfe einer Brückenschaltung (Abb. 3.2). Dazu schaltet man dem zu

vermessenden Widerstandspapier über die Anschlusskontakte aus Kupfer einen veränderbaren

Widerstand (RV=500Ω) parallel. Die Versorgung der „Parallelschaltung“ erfolgt über eine

Gleichspannungsquelle.

Abb. 3.2: Messschaltung zur Aufnahme der Äquipotentiallinien

Über das Potentiometer lässt sich nun ein bestimmtes Potential gegenüber Punkt B einstellen.

Der Abtaster, der am Pantographen befestigt ist, wird über das Widerstandspapier geführt bis

das Voltmeter (Multimeter in DCV-Stellung) keine Anzeige mehr liefert. Der so ermittelte

Punkt C hat somit das gleiche Potential wie Punkt A. Auf analoge Weise können so beliebig

n

t

n

t

E

E

E

E

2

22

1

11

tan

tan

=

=

α

α

B

V

Leitsilber

--

A

Uo

Rv

+--

I

Leitfähiges Papier

+

C

3 Ermittlung ebener Feldbilder 17

viele Punkte aufgenommen und über den Zeichenstift, der ebenfalls am Pantographen

befestigt ist, auf dem separaten Zeichenblatt festgehalten werden. Durch Verbinden dieser

Punkte erhält man eine endgültige Äquipotentiallinie. Bei Einstellung eines neuen Potentiales

am veränderbaren Widerstand wiederholt sich dieser Messablauf von neuem. Durch diese

Methode kann die gewünschte Anzahl an Äquipotentiallinien auf dem Messobjekt Stück für

Stück aufgezeichnet werden.


1 2 3 4 5 6

0

SiO2

A

V

I

I II

7

8

N-Si

4,5 mm 4,5 mm 4,5 mm 4,5 mm 4,5 mm 4,5 mm

20 mm

0,55 mm

4 Messung von Kontaktwiderstand und spezifischem

Widerstand

Der Widerstand in Halbleitern ist in hohem Maße abhängig von der Dotierung und der

Temperatur. Die spezifische Leitfähigkeit ist gegeben als )( pn pne µµσ ⋅+⋅⋅= , wobei n und

p stark temperaturabhängig sein können.

Werden auf den Halbleiter Kontakte aufgebracht, so entsteht zusätzlich zu dem Volumen-

widerstand ein Kontaktwiderstand zwischen Halbleitermaterial und Kontaktwerkstoff.

In diesem Versuch sollen diese Widerstände für Silizium mit aufgedampften Goldkontakten

mit den beiden nachfolgend vorgestellten Verfahren bestimmt werden.

4.1 Kontaktwiderstandsmessung

Abb. 4.1: Messaufbau Kontaktwiderstandsmessung

4 Messung von Kontaktwiderstand und spezifischem Widerstand 19

∆ U 1

∆ U 2

∆ U 3

∆ U 4

∆ U 5

∆ U 6

I

I

RK

R1 R2 R3 R4 R5 R6

RK

Beschreibung:

Auf einen Siliziumwaver werden Goldkontakte aufgebracht, die zur Stromeinspeisung und

Potentialmessung dienen. Über die Kontaktflächen I und II wird ein Strom eingespeist und an

den Abgriffen 1 – 7 werden die Potentiale bestimmt.

Es ergibt sich folgende Ersatzschaltung:

Mit Hilfe der Potentiale und der Kenntnis des eingestellten Stromes können der Kontakt-

widerstand am Gold – Silizium Übergang und der Volumenwiderstand bestimmt werden.

Für den spezifischen Volumenwiderstand gilt: σ

ρ1

=⋅

=l

AR

R= Widerstand zwischen den Messpunkten

A= Fläche, die zur Leitung beiträgt

l= Abstand zwischen den Kontakten

Abb. 4.2: Ersatzschaltbild der Probe zur Kontaktwiderstandsmessung


4.2 Vierpunkt Messung

0123

N-Si

SiO2

A

V

I

Die Vierpunktmessung ist die am häufigsten verwendete Methode zur Bestimmung des

Volumenwiderstandes. Kontaktwiderstände können mit dieser Methode nicht gemessen

werden.

Beschreibung:

Auf einen Siliziumwaver werden vier punktförmige Kontakte im gleichen Abstand

voneinander aufgebracht. An den beiden äußeren Kontakten wird ein konstanter Strom

eingespeist, während an den mittleren Kontakten direkt eine Potentialdifferenz gemessen

wird. Es ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild:

Abb. 4.3 : Messaufbau Vierpunktmessung

4 Messung von Kontaktwiderstand und spezifischem Widerstand 21

∆ U

R1 R2 R3

I I

Mit Hilfe der Potentialdifferenz kann der Volumenwiderstand bestimmt werden.

Unter der Voraussetzung, dass der Widerstand einer großflächigen, dünnen Scheibe zu

messen ist (Schichtdicke der Scheibe w ≤ 0,5 s, s Abstand der Kontakte), gilt:

I

Uw

∆⋅⋅=

2ln

πρ

w = Schichtdicke des Silizium.

∆U = gemessene Potentialdifferenz zwischen den mittleren Kontakten

I = eingespeister Strom

Abb. 4.4: Ersatzschaltbild der Probe zur Vierpunktmessung


Anschlussbelegung

Kontaktwiderstandsmessung Vierpunktmessung

Abb. 4.5: Anschlussbelegung der Messspitzen

Abb. 4.6: Belegung der Anschlussbuchsen

5 Leitung im Elektrolyten 23

5 Leitung im Elektrolyten

5.1 Ionen als Ladungsträger

Neben der Möglichkeit des Ladungstransportes durch freie Elektronen, wie beispielsweise die

Strömung durch den Aluminiumzylinder, wird in Flüssigkeiten die Ladung durch Ionen

transportiert. Dies stellt einen weiteren Leitungsmechanismus im elektrischen Strömungsfeld

dar.

Festkörperkristalle wie z.B. Natriumchlorid (NaCl) sind dreidimensionale periodische Muster

aus kongruenten Gittern, deren Punkte (Plätze) durch die Schwerpunkte von Molekülen,

Atomen oder Ionen besetzt sind. Speziell bei NaCl sind die einzelnen Kristallgitterpunkte im

regelmäßigen Wechsel von positiven Natrium- und negativen Chlorteilchen belegt (Abb. 5.1).

Diese sogenannten Ionengitter werden ausschließlich durch die zwischen den Ionen wirken-

den Bindungskräfte (Coulomb-Kräfte FC)

F

Q Q

rC =

⋅

⋅1 2

2ε (1)

zusammengehalten.

Abb. 5.1: Lösung von NaCl in Wasser

Cl- und Na -IonsolvatisiertesNa+ Na+Cl- Cl- Na+

Cl-

Na+

Na+ Cl-

Na+Cl-

Cl- Na+ Cl-

Na+

Cl-

Na+ Cl-

-+Cl-

+-

-

--

+-+ Na+

+-++

--++

- -

Wasser-+--

- +-


In reinem bzw. destilliertem Wasser dagegen liegt bei 25°C lediglich der Bruchteil von 10-14

Wassermolekülen dissoziiert, d.h. als H+- und OH

--Ionen, vor, weshalb Wasser eine sehr

geringe Leitfähigkeit besitzt. Dafür hat es aber mit ε=80,18 eine der höchsten Dielektrizitäts-

konstanten in der Gruppe der Flüssigkeiten. Des weiteren sind die Elektronegativitäten von

Sauerstoff und Wasserstoff unterschiedlich, so dass die beiden entgegengesetzten Pole sich

verschiedenartig räumlich anordnen (Abb. 5.2).

Abb. 5.2: Struktur eines Wassermolekül

Man sagt, die O-H-Bindung ist polarisiert; das Wassermolekül bildet also einen Dipol.

Bringt man jetzt NaCl in Wasser, so dissoziiert das Salz aufgrund der hohen Dielektrizitäts-

konstanten und den Dipoleigenschaften der Wassermoleküle in Ionen. Die Dipolmoleküle des

Wassers drängen sich zwischen die Ionen im Gitter und schwächen somit die Bindungskräfte,

da die stark vergrößerte Dielektrizitätskonstanten des Wassers nach Gleichung (1) eine

Abnahme der Coulomb-Kräfte Fc bewirkt. Die elektrische Leitfähigkeit dieser wässrigen

NaCl-Lösung (ionenleitendes Medium) ergibt sich also aus der elektrolytischen Dissoziation

der NaCl-Kristalle in Ionen. Solche ionenleitenden Medien bezeichnet man als Elektrolyte.

Bei der NaCl-Lösung handelt sich um einen 1-1-wertigen Elektrolyten, d.h. die entstandenen

Na+- und Cl

--Ionen sind mit je einer elektrischen Elementarladung belegt.

5.2 Vorgänge in der elektrochemischen Zelle und Elektrolyse

Wird eine Elektrolytlösung (z.B. NaCl) in ein äußeres elektrisches Feld gebracht, so werden

die einzelnen Ionen durch die wirkende Kraft

F n Q E= ⋅ ⋅ (2)

auseinander getrieben. Ein solches elektrisches Feld lässt sich innerhalb einer

Elektrolytlösung durch das Eintauchen zweier mit einer Spannungsquelle verbundenen

0,152 nm

105°H H

0,096 nm

O


Elektroden erzeugen. Dabei muss zwischen polarisierbaren und unpolarisierbaren Elektroden

unterschieden werden:

-Polarisierbare Elektroden: Es entsteht beim Stromdurchgang an der Oberfläche infolge

chemischer Umsetzung eine dem Strom entgegengesetzte

EMK (Elektromotorische Kraft) oder Polarisation.

-Unpolarisierbare Elektroden: Selbst bei geringer angelegter Spannung setzt ein Stromfluss

ein und bleibt konstant.

Während die positiven Na+-Ionen (Kationen) unter Feldeinfluss zur negativen Elektrode

(Kathode) wandern, werden die negativen Cl--Ionen (Anionen) zur positiven Elektrode

(Anode) gezogen. Durch die entgegengesetzte Bewegung wird durch die Ionen Ladung

transportiert, so dass ein Stromfluss durch die Elektrolytlösung einsetzt (Abb. 5.3).

Abb. 5.3: Ladungstransport in NaCl-Lösung durch Ionen

An der Phasengrenze Elektrode/Elektrolytlösung geben die Ionen entweder ihre

Überschussladung (Elektr. e-) ab (Cl

--Ionen) oder nehmen Ladung (e

-) zum Ausgleich auf

(Na+-Ionen). An der Grenzfläche entstehen elektrisch neutrale Teilchen meist in gasförmiger

Phase. Durch die einzelnen Elektrodenreaktionen und die Zellreaktion am Beispiel einer

NaCl-Lösung lassen sich diese Vorgänge genauer beschreiben:

Kathode: 2 Na+ + 2 e

- → 2 NaOH + H2

Anode: 2 Cl- → Cl2 + 2 e

- (3)

Zellreaktion: 2 NaCl + 2 H2O → 2 NaOH + H2 + Cl2

Auffallend ist hier, dass an der Kathode nicht etwa Natrium, sondern NaOH und Wasserstoff

entsteht. Der Grund dafür ist, dass Natrium in der elektrochemischen Spannungsreihe weit

oben steht und wegen des hohen negativen Normalpotentials direkt unter Wasserstoffbildung

in Lösung geht.

Na

Kathode

-

e-

E

+ -

+-Cl

-+

Anode

+

I


Die Phasengrenze Elektrode/Elektrolyt ist nicht nur der Ort, an dem eine chemische Reaktion

abläuft, sondern auch der Übergangspunkt zwischen zwei Leitungsmechanismen des

Strömungsfeldes:

• Elektronenleitung

• Ionenleitung.

Beim Transport von Elektronen durch metallische Leiter bauen sich im Gegensatz zum

Ionenleiter aber keine Konzentrationsdifferenzen auf. Eine Veränderung des Ionenleiters beim

Fließen eines Stromes ist also möglich. Des weiteren ist der Stromfluss im Elektrolyten mit

einem Stofftransport verbunden, was durch die Faradayschen Gesetze erfasst ist.

Die Aufspaltung des Elektrolyten in seine Bestandteile durch Stromfluss bezeichnet man als

Elektrolyse. Zur Beschreibung des elektrischen Verhaltens einer Elektrolytlösung bedient

man sich der elektrischen Leitfähigkeit bzw. des spezifischen Widerstandes:

Rl

A

l

A=

⋅= ⋅

σρ (4)

GA

l= ⋅σ (5)

ρσ

=1

(6)

Mit Hilfe der Elektrodengeometrie und einer Strom-Spannungsmessung zur Ermittlung des

Widerstandes lässt sich dann mit den Gleichungen (4), (5) und (6) die Leitfähigkeit und der

spezifische Widerstand berechnen. Tabelle 5.1 zeigt Leitfähigkeiten verschiedener Lösungs-

mittel und Elektrolytlösungen.

Tab. 5.1: Leitfähigkeiten verschiedener Lösungsmittel und Elektrolytlösungen aus Literatur

System T [°C] σ [1/Ωcm]

Destilliertes Wasser 20 10-7

...10-5

Reines Wasser 25 6,4*10-8

NaCl-Lösung (c=1mol/l) 18 0,744*10-1

Schwefelsäure H2SO4 (c=1mol/l) 18 0,366


5.3 Strom-Spannungs-Zusammenhang

Der Strom durch den Elektrolyten bei angelegter Spannung U setzt sich aus der Summe der

positiven und negativen Ladungen zusammen, die in einer Zeit t eine gedachte Fläche A

(senkrecht zur Längsachse der Elektrolytzelle angeordnet) durchsetzen. Für den Gesamtstrom

einer 1-1-wertigen Elektrolytlösung ergibt sich somit folgender Zusammenhang:

IQ

tA e n v n v= = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ + − −

0 ( ) (7)

Mit c = n/NA [mol/cm3] , n

+=n

-=n (Äquivalentmenge)

⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++ −IQ

tA e N c v vA0 ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ ++ −A F c v v( ) (8)

Mit v E= ⋅µ

(8a) und EU

l= (8b)

⇒ =⋅ ⋅

⋅ + ⋅+ −I

c F A

lU

R

( )µ µ

1

(9)

F = Faraday-Konstante

c = Äquivalentkonzentration [mol/cm3]

µ = Beweglichkeit [cm2/Vs]

v = mittlere Geschwindigkeit

Für die Leitfähigkeit folgt dann:

σ µ µµ

= ⋅ = ⋅ ⋅ ++ −1

R

l

AF c ( ) (10)

Gleichung (9) beschreibt einen linearen I-U-Zusammenhang, der bei Anlegen einer

Gleichspannung an die Elektroden jedoch näherungsweise erst für die Spannung oberhalb der

Zersetzungsspannung EZ gültig ist (Abb. 5.4). Bei Spannungen unterhalb EZ ist der Zellen-

widerstand sehr groß und verhindert somit einen stärkeren Anstieg des Stromes von Beginn

an.


Abb. 5.4: I-U-Zusammenhang

Grund für die Abweichung bei kleinen Spannungen sind Potentialsprünge an den Elektroden,

die einen zusätzlichen Widerstand bewirken und auf die Entstehung einer elektrolytischen

Doppelschicht an der Grenzfläche Metall/Elektrolyt zurückgeführt werden können (Polari-

sierung der ursprünglich symmetrischen Elektroden). Bei Anlegen einer Spannung an

Abb. 5.5: Elektrolytische Doppelschicht, EMK

die Elektroden bildet sich nämlich durch die Zuwanderung entgegengesetzt geladener Ionen

eine Art Doppelschicht aus (Abb. 5.5). Innerhalb der Zelle entsteht somit eine elektromoto-

rische Kraft (EMK) , die der äußeren angelegten Spannung entgegengerichtet ist und somit

einen direkten Anstieg des Stromes unterhalb der Zersetzungsschwelle behindert.

Die Doppelschicht kann als Kondensator mit planparallelen Platten und sehr kleinem

Plattenabstand gedeutet werden, dessen Kapazität sich mit

CQ

U

A

d

r= =

⋅ ⋅ε ε (11)

+-

Elektrode

- +

+

+

-lösung

-

-EMK

-

Elektrolyt--

+-

+

+

+

-+

U

+ --

EzU

I

~ =


berechnen lässt. Das Ersatzschaltbild einer elektrochemischen Zelle setzt sich deshalb auch

aus einer Serienschaltung aus Elektrolytwiderstand und Elektrodenwiderstand (Parallel-

schaltung) zusammen (Abb. 5.6).

Abb. 5.6: Ersatzschaltbild einer elektrochemischen Zelle

Bei Anlegen einer Wechselspannung an die Zelle wird die Doppelschicht im Takt der

Wechselspannung umgeladen (Kondensationsprinzip), so dass im Gegensatz zu Gleichstrom

ein Wechselstromfluss ohne Ladungsdurchtritt durch die Grenze Metall/Elektrolyt möglich

ist. Ist die Frequenz der Wechselspannung hinreichend groß, werden die nicht-linearen

Elektrodenwiderstände (R+, R

-) wegen

RCc =

⋅

1

ω (12)

gegenüber dem Elektrolytwiderstand RE sehr klein. Daraus folgt ein linearer Strom-

Spannungs-Zusammenhang von Beginn an.

-

Elekroden-widerstand

-R

ER

Doppelschicht-kapazität

-DC

+

+R

+DC


6 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

6.1 Allgemeine Definition des Widerstandes im Strömungsfeld

Der Widerstand R stellt neben dem Strom I und der Spannung U eine Integralgröße des

stationären Strömungsfeldes dar. So wie das Ohmsche Gesetz des Strömungsfeldes

J E E= ⋅ = ⋅σ

ρ

1 (1)

σ = elektr. Leitfähigkeit

ρ = spezif. Widerstand

eine Beziehung zwischen Stromdichte und Feldstärke in einem Punkt des Raumes darstellt, so

ist der Widerstand eine Verknüpfung zwischen Strom und Spannung einer beliebigen

Strömungsstrecke. Jede beliebige volumenhafte Strömungsform kann man sich deshalb durch

einen Widerstand ersetzt denken. Er ist damit gleichzeitig nichts anderes als ein Bau- oder

Schaltelement; das Aussehen des Strömungsfeldes, welches sich hinter R verbirgt, ist dabei

nicht mehr von Interesse. Für den Widerstand eines Strömungsfeldes gilt allgemein :

RU

I

E ds

J dA

J ds

J dAab

ab a

b

A

a

A

= =

⋅

⋅= ⋅

⋅

⋅

∫

∫

∫

∫

1

σ (2)

a,b: zwei verschiedene Potentialflächen mit ϕa=const. und ϕb=const

J ds

A

⋅∫ : Stromdichte durch Querschnitt der Fläche A

Speziell bei homogenem Strömungsfeld und Annahme eines linienhaften Leiters der Länge l

und konstantem Querschnitt A folgt:

J ds ,

J dA ,

J = const.

⇒ = ⋅

⋅

= ⋅ =⋅

=⋅

∫

∫

∫

∫R

J ds

dA

ds

dA

l

A

l

Aab

l

A

l

A

1 10 0

σ σ σ

ρ (3)

6 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes 31

In diesem Versuch wird der Widerstand rein als Bauelement betrachtet und dabei aus-

schließlich das Temperaturverhalten verschiedener Widerstandsarten bei Fremderwärmung

untersucht.

6.2 Übersicht und Kennzeichnung verschiedener Widerstände

Widerstände sind in der Elektronik häufig verwendete Bauelemente mit der Aufgabe, den

Strom zu begrenzen. Der geforderte Widerstandsbereich erstreckt sich von mΩ bis GΩ, was

die Verwendung einer Vielzahl unterschiedlicher Widerstandsarten und -materialien zur Folge

hat. Die einzelnen Kennwerte wie Toleranz, Belastbarkeit, Temperaturkoeffizient und die

Kosten sind deshalb ebenfalls sehr unterschiedlich, so dass für jede Anwendung geeignete

Widerstände lieferbar sind. Abbildung 6.1 zeigt eine Übersicht über die gängigsten Wider-

standsarten.

Abb. 6.1: Einteilung der Widerstände

nicht linear

einstellbare Widerstände

widerst.

widerstandeDraht-

Kohle-widerst.

Metall-

widerst.widerst.

Edel-metall-

Metall-glasur-

Schicht-widerstände

NTCHeißleiter

linear

Festwiderstände

linear

Widerstände

VaristorPTCKaltleiter Si-Widerst.

NTD-Si VDR

positivlogarithmisch

negativlogarithmisch


Aus der Übersicht ist die Aufteilung in Festwiderstand (fester Widerstandswert) und einstell-

bare Widerstände (veränderbarer Widerstandswert) zu erkennen. Während bei den veränder-

lichen Widerständen lediglich noch die Art der möglichen Widerstandskurve (linear, positiv/

negativ logarithmisch) unterschieden sind, spalten sich die Festwiderstände weiter in lineare

bzw. nicht-lineare Widerstandselemente auf. Die Gruppe der linearen Widerstände zeichnet

sich dabei durch ein lineares Strom-Spannungsverhalten und geringe Temperaturabhängigkeit

aus; die nicht-linearen Bauelemente sind dagegen abhängig von einer physikalischen Größe

wie z.B. Temperatur oder Spannung.

Die Kennzeichnung der Widerstände wird mittels Farbcode oder Ziffernstempel vorgenom-

men. Beispielsweise werden Schichtwiderstände mit einer maximalen Belastbarkeit von

P=1W und einer Toleranz von 1% mit Farbringen versehen, währenddessen Widerstände mit

größerer Belastbarkeit (P≥2W) oder einer Widerstandstoleranz von 0,5% sowie nicht-lineare

Festwiderstände, wie der Heißleiter (NTC) und Kaltleiter (PTC), mit einer Ziffernfolge

bedruckt sind.

6.3 Allgemeine Temperaturabhängigkeit

Jeder Widerstand weist eine mehr oder weniger starke Abhängigkeit von der Temperatur auf.

Die Hauptursache für dieses Verhalten lässt sich aus dem Zusammenhang des Widerstandes R

zu den Größen Ladungsträgerdichte n, Feldstärke E sowie Geschwindigkeit v der Ladung

erklären.

Rl

A

l

n q A

l

n qv

EA

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

⋅

σ µ (4a)

v = Ladungsgeschwindigkeit

µ = Beweglichkeit

n = Ladungsträgerdichte

Ändert sich der Widerstand um den Betrag ∆R, hervorgerufen durch eine Temperatur-

änderung ∆T, so kann dafür nach Gleichung (4a) lediglich eine temperaturabhängige

elektrische Leitfähigkeit σ verantwortlich sein:

σ µ( ) ( ) ( )T T n T q= ⋅ ⋅ (4b)


Als Faustregel kann gelten, dass die Ladungsträgerbeweglichkeit µ mit steigender Temperatur

abnimmt (Stichworte: Gitterschwingung, Streuung an Phononen) und die Ladungsträgerdichte

n zunimmt (Stichwort: thermische Generation von Ladungsträgern). Das Temperaturverhalten

metallischer Leiter wird beispielsweise unter der Voraussetzung nahezu konstanter

Ladungsträgerdichte n durch die Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit µ bestimmt.

Speziell in diesem Fall erfolgt bei steigender Temperatur eine sinkende Leitfähigkeit σ. Das

Widerstands-Temperatur-Verhalten lässt sich hier näherungsweise durch die lineare

Beziehung

R T R T T( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅0 1 α ∆ (4c)

beschreiben.

Der Temperaturkoeffizient α ist dabei nichts anderes als die Widerstandsänderung ∆R/R pro

Temperaturdifferenz ∆T:

α = =⋅

TR

R TKR

∆

∆ (5)

allg. Definition : α T

To Tx

dx

dT0

1

0

= ⋅ (5a)

Diese lineare Beziehung (4c) gilt jedoch in unserem Fall nur für die Gruppe der linearen

Festwiderstände bei nicht zu hohen Temperaturen, keinesfalls für die Heißleiter bzw.

Kaltleiter mit extrem ausgeprägtem Temperaturverhalten. Da der Temperaturkoeffizient

sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, ist auch ein Widerstandsanstieg

bzw. eine Widerstandsabnahme mit der Temperatur möglich. Diese Erscheinung ist jedoch

bei Betrieb von elektronischen Geräten und Schaltungen im allgemeinen unerwünscht, so dass

man bestrebt ist, diesen Temperaturkoeffizient α der Widerstände so klein wie möglich zu

halten, um eine geringe Temperaturabhängigkeit zu erreichen.

Beispiele: Metallschichtwiderstand α = + 50 ppm/K

Kohleschichtwiderstand α = - 200 ppm/K

ppm: parts per million = 10-6

In anderen Anwendungsbereichen dagegen ist eine extreme Temperaturabhängigkeit von

nichtmetallischen Leitern (HL-Materialien, Kohle, Glas) erwünscht. Bei diesen Materialien

dominiert entweder die temperaturabhängige Beweglichkeit oder die temperaturabhängige

Ladungsträgerdichte. Diese Eigenschaften macht man sich beispielsweise bei der Herstellung


der oben schon erwähnten PTC-/NTC-Widerstände mit stark positiven/negativen Temperatur-

koeffizienten zunutze.

In diesem Zusammenhang sind die Vorgänge der Eigenleitung von Halbleitern sowie die

Störstellenleitung eingehender zu betrachten. Beim Eigenhalbleiter kommt es bei Tempera-

turen T oberhalb des absoluten Temperaturnullpunktes zur Generation von Elektron-Loch-

Paaren (thermische Paarerzeugung) über das verbotene Band der Breite WB. Zwischen

Generation und Rekombination (Rückbildung der Ladungsträgerpaare) besteht in diesem Fall

bei jeder Temperatur ein Gleichgewichtszustand mit einer bestimmten Anzahl von Ladungs-

trägern, welche die Eigenleitung des reinen Kristalls bestimmt. Die Elektronendichte n ist

gleich der Löcherdichte p und damit gleich der Eigenleitungsdichte ni.

inpn == (I)

−⋅kT

WTn B

i2

exp~ 23

(II)

Aus Gleichung (II) erkennt man, dass die Konzentration der Ladungsträger mit zunehmender

Temperatur exponentiell anwächst und somit auch die Leitfähigkeit σ exponentiell zunimmt.

Das Temperaturverhalten der Beweglichkeit µ ist gegenüber der dominierenden Temperatur-

abhängigkeit von n, p zu vernachlässigen.

Im Störstellenhalbleiter dagegen ist bei Raumtemperatur (Bereich der Störstellenerschöpfung)

die Ladungsträgerdichte n, p und damit auch die Leitfähigkeit σ durch die Dotierungskonzen-

tration (Donatorenkonzentration: ND, Akzeptorenkonzentration: NA) bestimmt.

n = ND , p = NA (III)

Die Ladungsträgerdichte ist in diesem Bereich temperaturunabhängig; sie bleibt also konstant.

Im Gegensatz zum Eigenhalbleiter wird hier die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit σ

im wesentlichen von der Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit µ bestimmt.

6.4 Herstellung und Temperaturverhalten

In diesem Abschnitt wird nun speziell auf die in diesem Versuch verwendeten Widerstände

eingegangen. Dabei soll das Augenmerk auf der Herstellung und den Materialien der

einzelnen Widerstände liegen und vor allem das unterschiedliche Temperaturverhalten bei

den nicht-linearen Widerständen erläutert werden.


a) Lineare Festwiderstände

Kohleschichtwiderstand, Metallschichtwiderstand (Schichtwiderstände)

- Herstellung und Material:

Der Grundträger der Kohleschichtwiderstände ist meist eine isolierende Keramik z.B. ein

kleiner Stab aus Porzellan. Auf diesem Träger ist nun die eigentliche Widerstandsschicht als

kristalline Grauglanzkohle durch die Abspaltung von Kohlenwasserstoffen bei ca. 900-1100

°C aufgetragen. Die Dicke der aufgebrachten Schicht (nm-µm) ist dabei entscheidend für den

späteren Widerstandswert. Der von außen zugängliche Anschlussdraht (Zinn) wird nun an

zwei Metallkappen angeschweißt, die an den Enden des keramischen Trägers angebracht sind.

Zum Schutz des Widerstandes vor äußeren Einflüssen wird zum Schluss noch eine

Harzschicht aufgebracht, die gleichzeitig elektrisch isoliert.

Bei der Herstellung von Metallschichtwiderständen verwendet man ebenfalls eine Keramik

als Träger, der dann jedoch mit einer Metallschicht (Cr-Ni) überzogen wird. Diese wird

entweder galvanisch abgeschieden oder im Vakuum mit Hilfe eines Sputterverfahrens auf die

Keramik aufgedampft. Die Anschlussdrähte werden wie beim Kohleschichtwiderstand über

zwei Metallkappen rechts und links auf die Widerstände gepresst. Zum Schutz gegen äußere

Einflüsse dient auch hier ein mehrlagiger Schutzüberzug. Da das Aufbringen der Schichten

nicht beliebig genau erfolgen kann, kann der Widerstand durch Einbrennen einer Wendelung

mittels Laser auf einen bestimmten Widerstandswert angepasst werden. Die am häufigsten

verwendeten Widerstandsreihen sind dabei E6 (+ 20%), E12 (+ 10%), E24 (+ 5%), E48 (+

2,5%).

- Temperaturverhalten:

Beide Widerstandsarten weisen eine eher geringe Abhängigkeit von der Temperatur auf. Der

Kohleschichtwiderstand besitzt einen negativen Temperaturkoeffizienten (-1000ppm/K < α <

-200ppm/K); der Metallschichtwiderstand kann einen positiven als auch negativen

Temperaturkoeffizienten besitzen (+ 0-50 ppm/K) und weist somit die geringste Temperatur-

abhängigkeit dieser beiden Widerstandsarten auf. Die Widerstand-Temperatur-Charakteristik

R(T) ist näherungsweise durch die Gleichungen (4c) und (5) gegeben.


Drahtwiderstände


Bei diesen Widerständen wird ein spezieller Widerstandsdraht aus Konstantan (Cu-Ni),

Manganin (Cu-Ni-Mn) oder Nickelin (Ni-Cr) auf einen Glasfiberkörper gewickelt. Im ein-

fachsten Fall bringt man nun eine Lackschicht zum Schutz auf; herrschen jedoch hohe

Temperaturen bis 450 °C glasiert oder zementiert man die Widerstände und umgibt sie mit

isolierender Keramik (bis 2kV spannungsfest).


Drahtwiderstände sind für den Einsatz bei hohen Belastungen (bis 200 W) und hohen

Temperaturen (-55 bis 450 °C) gefertigt. Folglich reagieren sie kaum auf Temperatur-

änderungen innerhalb des oben genannten Temperaturbereiches, was auch an den geringen

Temperaturkoeffizienten (α = + 1 ppm/K bis + 200 ppm/K) abzulesen ist. Analog zu den

Schichtwiderständen ist die Widerstand-Temperatur-Charakteristik näherungsweise durch die

Gleichungen (4c) und (5) beschrieben.

b) Nicht-lineare Widerstände

Heißleiter (NTC)


Heißleiter setzen sich aus speziellen Halbleiterwerkstoffen mit einem spezifischen Widerstand

von ρ=5*10-9

bis 5*10-1

mΩ-1mm

-2 zusammen. Die wichtigsten Rohmaterialien sind dabei

Mischkristalle mit Fe3O4 (Spinelle) und Materialien mit analoger Struktur wie beispielsweise

Titanverbindungen (Zn2TiO4), Nickeloxid (NiO), Cobaltoxid (CoO) oder Eisenoxid (Fe2O3)

mit Titan(II)-oxid (TiO2) als Zusatz. Mischt man die entsprechenden Materialien, so entsteht

eine Masse, die unter Zugabe eines Bindemittels zu Scheiben bzw. Stäben gepresst wird. Bei

der anschließenden Sinterung, einer zur Verfestigung dienenden Wärmebehandlung unter

Vakuum bei 2/3 bis

3/4 der absoluten Schmelztemperatur, entsteht eine kristalline Keramik mit

ausgeprägtem negativem Temperaturkoeffizient.


Der Heißleiter zeichnet sich durch eine ausgeprägte Temperaturabhängigkeit aus. Bei einem

negativen Temperaturkoeffizienten von α = -3 bis -7 %/K nimmt der Widerstand mit

steigender Temperatur stark exponentiell ab (Abb. 6.2).


Der R-T-Zusammenhang ist dabei näherungsweise beschrieben durch:

R C eT

B

T= ⋅ (6)

Durch Differenzieren der Gleichung (6) folgt der Temperaturkoeffizient zu

α = −B

T2 (7)

C = Konstante [Ω]; im wesentlichen durch äußere Form des Heißleiters bestimmt

B = Materialkonstante; sowohl äußere Form als auch verwendete Materialien des NTC

charakterisieren diese Größe,

2000K < B < 6000K

T = Temperatur in K

Abb. 6.2 : Kennlinie Heißleiter (aus BENDA 1982, S. 43)

Dieses Verhalten erklärt sich dadurch, dass Heißleiter polykristalline HL-Widerstände sind,

bei denen mit zunehmender Temperatur Ladungsträgerpaare, wie im vorherigen Kapitel be-

schrieben, generiert werden.


Kaltleiter (PTC)


Diese PTC-Widerstände werden aus dotiertem Bariumtitanat (BaTiO3), einer ferro-

elektrischen Mischkeramik, gefertigt. Die einzelnen Rohmaterialien (Bariumcarbonat, Titan-,

Strontiumoxide) werden auch hier gemischt und unter hohem Druck in Form (Scheibe, Stab)

gepresst. Nach dem Trockenvorgang folgt die Sinterung unter Sauerstoffzusatz bei hoher

Temperatur und anschließend die Kontaktierung. Der Herstellungsprozess ist also ganz

ähnlich dem der NTC-Elemente.


Der Verlauf der Widerstandsänderung mit der Temperatur lässt sich beim Kaltleiter nicht

durch eine einfache mathematische Beziehung beschreiben, da der PTC sowohl einen nega-

tiven als auch eine positiven Temperaturkoeffizienten α in verschiedenen Temperatur-

bereichen besitzt (Abb. 6.3).

Abb. 6.3 : Kennlinie Kaltleiter (aus BAUER, WAGENER 1981, S.16)

TA, RA = Anfangstemperatur, Anfangswiderstand

TN, RN = Nenntemperatur, Nennwiderstand (5-10% Toleranz) mit RN=2RA

Es gilt: TN ≈ TC (TC: Curie-Temperatur)

TE, RE = Endtemperatur, Endwiderstand


Man kann vier Teilabschnitte erkennen:

T < TA : Negatives α, fallender Widerstandswert mit steigender Temperatur

TA < T < TN : Schwach positives α, Übergang zur langsamen Widerstandszunahme

TN < T < TE : Stark positives α, geringe Temperaturänderung bewirkt enormen Anstieg des

Widerstandswertes

TE << T : Allmählicher Übergang zu negativem α

Grund für dieses Temperaturverhalten ist zum einen die Sinterung unter Sauerstoffzusatz.

Diese Sauerstoffatome lagern sich innerhalb der polykristallinen Mischkeramik in Nähe der

Kristalloberflächen an. Der Sauerstoff ist dabei in der Lage, freie Elektronen des umliegenden

Kristalls zu binden, wodurch elektrische Potentialbarrieren an den Korngrenzen (negative

Oberflächenladungen) entstehen können. Um diese negativen Ladungspunkte bilden sich

dünne positive Raumladungen nicht abgesättigter Fremdatome, in denen die Ladungsträger-

dichte stark reduziert ist. Dies bewirkt einen zusätzlichen Widerstand ROL des Kaltleiters.

Rn

eOL

e

k T

OL

~1

⋅⋅

⋅

ϕ

(8)

ROL = Widerstand durch negative Oberflächenladung

T = Temperatur des Mischkristalls [K]

n = Zahl der negativen Oberflächenladung pro Länge

ϕOL = Höhe des Potentials der Oberflächenladung

e = 1,602*10-19

As

k = 1,37*10-23

Ws/K Boltzmann-Konstante

Zum anderen weisen die Dielektrizitätskonstanten εr von Mischkristallen wie BaTiO3

folgende Temperaturabhängigkeit auf:

εr

C

C

T T=

− (9)

C = Konstantte ≈ 105 K

TC ≈ TN = Curie-Temperatur


Da jetzt noch die Höhe der Potentialbarriere der Oberflächenladung umgekehrt proportional

dieser Dielektrizitätskonstanten εr ist,

ϕεOl

r

~1

(10)

lässt sich der Widerstandsanstieg des Kaltleiters für Temperaturen T > TN≈TC

zurückverfolgen. Unterhalb TC≈TN bzw. oberhalb TE sind diese negativen Oberflächen-

ladungen zu schwach bis gar nicht ausgebildet.


Aufgabe 1 :

Gegeben sei die Anordnung aus Abbildung 7.1.

Abb.7.1 : Kreisringausschnitt

Der Ausschnitt des Kreisringes besitze dabei die Radien r und R, die Leitfähigkeit σ und die

Dicke d.

Auf die geraden Stirnseiten sind zwei hochleitende Elektroden (σE >> σ) aufgebracht.

7 Vorbereitende Aufgaben 41

(a) Skizzieren Sie den Verlauf der Stromlinien und einiger Äquipotentiallinien auf den

Kreisringausschnitt.

(b) Begründen Sie exakt das Verhalten der Stromlinien an der Grenzfläche zwischen

hochleitender Elektrode und Kreisringausschnitt.

(c) Berechnen Sie den Widerstand R der Anordnung.

(d) Wie müsste man die Elektroden an den symmetrischen Kreisringausschnitt anbringen, um

einen radialen Stromlinienverlauf zu erhalten?

Aufgabe 2 :

Betrachtet wird ein Rundleiter von 120 km Länge aus Bronze. Der Durchmesser der Leitung

beträgt 3 mm.

Anhand der Eindringtiefe δ soll das Maß der Stromverdrängung für folgende Parameter

bestimmt werden:

σ = 4,76*105

1/Ωcm ; µr = 1 ; f = 8 kHz

(a) Wie groß ist die Eindringtiefe?

(b) Nimmt der Widerstand des Leiters im Vergleich zum Gleichstromwiderstand zu oder ab?

(c) Begründen Sie ihre Entscheidung!!

(d) Welche Möglichkeiten gibt es die Stromverdrängung „herabzusetzen“ ?

Aufgabe 3 :

Eine Stromlinie innerhalb eines Mediums 1 trifft unter einem Winkel von α1=40° auf die

Grenzfläche zu einem Medium 2 der Leitfähigkeit σ2=2 Sm/mm². Medium 1 besitzt die

Leitfähigkeit σ1=56 Sm/mm².

Die Stromdichte an der Grenzfläche soll J1=1 A/mm² betragen (siehe Abb. 3.1).

(a) Ist der Brechungswinkel α2 größer oder kleiner als der Einfallswinkel α1? Warum?

(b) Berechnen Sie den Winkel α2.

(c) Wie groß ist die Stromdichte im Medium 2?


Aufgabe 4 :

Zwei Elektroden tauchen im Abstand von 10cm in eine wässrige Lösung von Natriumchlorid.

(a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Kationen und Anionen, wenn eine

Gleichspannung von 30V angelegt wird?

(Hinweis : µ+ = 51,9*10

-5 cm²/Vs µ-

= 79*10-5

cm²/Vs)

(b) Berechnen Sie die elektrische Leitfähigkeit der Elektrolytlösung bei einer Konzentration

von c = 0,1 mol/l.

Aufgabe 5 :

1. Ein Platinwiderstand mit einem Temperaturkoeffizienten α0 = 3,9*10-3

1/K besitzt bei T0 =

0°C einen Widerstand von R0 = 100Ω.

(a) Welcher Widerstandswert ist bei T1 = 200°C zu erwarten?

(b) Wie groß ist der Temperaturkoeffizient α50 für T = 50°C?

2. Bei Heißleitern (NTC) dagegen nimmt der Widerstand gemäß Gleichung (6 ) der Theorie

exponentiell mit der Temperatur T ab.

(c) Ermitteln Sie mit Hilfe von Gleichung (6) allgemein den B-Kennwert eines Heißleiters für

die Bezugstemperaturen 25°C/85°C.

8 Versuchsdurchführung 43

8 Versuchsdurchführung

Aufgabe 1: „Nachweis des Skineffektes“

1.1 Versorgung des Zylinders mit Gleichspannung ( Messaufbau (*) Abb. 2.5 )

(a) Bestimmen Sie die Empfindlichkeit s [mVV-1

/kAm-1

] des MRS-Sensors bei einer

Sensorbetriebsspannung UB=5V, indem Sie die Ausgangsspannung U0 des Sensors in

Abhängigkeit vom Strom I durch den Zylinder aufnehmen ( Beachte: Offsetspannung des

Sensor !!!). Justieren Sie dazu die Sensorunterkante in Höhe der Zylinderoberfläche und

variieren dann den Strom in 0,25A-Schrittweite bis etwa 4A.

Wie hängt der Strom I in diesem speziellen Fall von der magnetischen Erregung H ab?

Skizzieren Sie aus den gewonnenen Messdaten den Verlauf der Sensorspannung U0 in

Abhängigkeit von der magnetischen Erregung H (Uo(H)-Diagramm) und ermitteln die

Sensorempfindlichkeit s.

(b) Nehmen Sie bei unverändertem Versuchsaufbau die Brückenspannung des Sensors und

damit die Erregung H in Abhängigkeit vom Ort r bei konstantem Strom I=3,5A durch

den Zylinder über eine Messstrecke von r=11cm auf (Schrittweite rs=1cm ;

Zylinderradius r=5cm).

Startpunkt des Sensors : 6cm über Zylindermantel (r=11cm) 30 auf Maßskala

Endpunkt des Sensor : Mittelpunkt des Zylinder (r=5cm) 19 auf Maßskala

(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Sensorempfindlichkeit s aus Aufgabe 1.1(a) den Verlauf der

magnetischen Erregung H(r).

1.2 Versorgung mit Wechselspannung (Messaufbau (**) mit HL-Trafo Abb. 2.5 )

(a) Schalten Sie an eine geeignete Stelle im Messaufbau ein Multimeter, um dem genauen

Strom durch den Zylinder zu bestimmen.

Welche Einstellung benötigt man am Multimeter?

Wie groß ist der Strom I durch den Zylinder?


(b) Analog zum Gleichspannungsfall erfolgt jetzt die Aufnahme der Sensorausgangs-

spannung U0 und damit der magnetischen Erregung H in Abhängigkeit vom Ort r.

Tragen Sie die Erregung H über den Ort r in einem Koordinatensystem auf.

(c) In den Messaufbau wird zusätzlich ein Si-Brückengleichrichter geschaltet.

Wie groß ist jetzt der (Wechsel)Strom durch den Zylinder?

Wie sieht jetzt der H(r)-Verlauf aus?

Worin äußert sich der Skineffekt im Kurvenverlauf?

Zeigen Sie den Unterschied zum H(r)-Verlauf aus Aufgabenteil (b) auf.

Begründen Sie ihre Antwort!!!

Aufgabe 2 : „Aussehen ebener Strömungsfelder“

(a) Tasten Sie die Umrisse der zu vermessenden Probe mit dem Abtaster ab und markieren

sie die Punkte mit Hilfe des Zeichenstiftes auf dem separaten Papier.

(b) Ermitteln Sie nun unter Verwendung der Brückenschaltung (Abb. 3.2) sowie des

Pantographen mit Abtaster und Zeichenstift den Verlauf der Äquipotentiallinien auf dem

leitfähigen Papier.

Parameter: Abstand der Äquipotentiallinien = 0,1V

Spannungsversorgung des Leitpapiers = 2V

Anzahl der Potentialpunkte pro Ä-Linie =25-30

(c) Verbinden Sie die ertasteten Potentialpunkte zu vollständigen Äquipotentiallinien.

(d) Skizzieren Sie exemplarisch in eine Kopie der aufgenommenen Äquipotentiallinien den

näherungsweisen Verlauf der Feldlinien sowie deren Richtung.


Aufgabe 3: Messung von Kontaktwiderstand und spezifischem Widerstand

3.1 Kontaktwiderstandsmessung

(a) Gegeben sei die Messanordnung nach Abb. 4.1.

Bestimmen Sie die Potentiale der Messpunkte 1 – 6 gegenüber dem Messpunkt 7 mit

dem Multimeter. Stellen Sie dazu einen Strom von 1 mA ein (Vorwiderstand 10 kΩ)

und speisen Sie den Strom an den Anschlüssen 0 und 8 ein.

Die Anschlussbelegung der Messanordnung können Sie dem Anhang entnehmen.

(b) Stellen Sie die aufgenommenen Werte graphisch dar und ermitteln Sie aus dem

Graphen den Kontaktwiderstand und den Volumenwiderstand.

3.2 Vierpunktmessung

(a) Gegeben Sei die Messanordnung nach Abb. 4.3

Speisen Sie den Strom an den Anschlüssen 0 und 3 ein. Die Anschlussbelegung der

Messanordnung können Sie dem Anhang entnehmen.

Messen Sie die Potentialdifferenz zwischen den Kontakten 1 und 2.

(b) Berechnen Sie daraus den Volumenwiderstand des Siliziums und vergleichen Sie den

gefundenen Wert mit der Messung aus Aufgabe 3.1

(c) Der vermessene Siliziumwaver ist n-dotiert. Bestimmen Sie anhand von Abb. 8.1 die

Dichte der Dotieratome.

Abb.8.1: Abhängigkeit des

spezifischen Widerstandes von

Germanium, Silizium und

Galliumarsenid von der

Störstellenkonzentration


Aufgabe 4 : „Stromleitung in Flüssigkeiten“

4.1 Destilliertes Wasser:

(a) Ermitteln Sie den Strom I in Abhängigkeit von der angelegten Spannung für destilliertes

Wasser in einer elektrochemischen Zelle.

Parameter : - Eingetauchte Plattenfläche A=40cm²

- Plattenabstand L≈8cm

Für Gleichspannung 0-20V in Form einer Datentabelle (Schrittweite 1V).

Für Wechselspannung 0-20V in Form einer Datentabelle (Schrittweite 1V).

(b) Skizzieren Sie beide I(U)-Verläufe.

(c) Wo liegt der Unterschied? Begründung !!!

(d) Berechnen Sie in beiden Fällen an den Spannungspunkten 10V und 20V mit Hilfe der

Küvettengeometrie die Leitfähigkeit des destillierten Wassers und stellen Sie einen

Vergleich zu den Literaturwerten an.

4.2 1-molare Natriumchloridlösung:

Tauschen Sie das destillierte Wasser in der elektrochemischen Zelle gegen 1M NaCl.

(a) Ermitteln Sie den Strom I in Abhängigkeit von der angelegten Spannung für die Elek-

trolytlösung in einer elektrochemischen Zelle.

Parameter : - Eingetauchte Plattenfläche A=40cm²

- Plattenabstand L≈8cm

Für Wechselspannung 0-15V in Form einer Datentabelle (Schrittweite 1V).

(b) Skizzieren Sie den I(U)-Verlauf.

(c) Berechnen Sie an den Spannungspunkten 7V und 14V mit Hilfe der Küvettengeometrie

die Leitfähigkeit der Lösung und stellen Sie einen Vergleich zu den Literaturwerten an.

Wie lassen sich eventuelle Abweichungen der ermittelten Leitfähigkeiten erklären?

(d) Bestimmen Sie zusätzlich unter Zuhilfenahme der oben bestimmten Leitfähigkeit die

mittlere Geschwindigkeit/Beweglichkeit der Ladungsträger (Ionen).


Aufgabe 5 : „Temperaturabhängigkeit des Widerstandes“

(a) Nehmen Sie die Widerstandswerte der 5 verschiedenen Widerstände im Heizkasten in

Abhängigkeit von der Temperatur T mit Hilfe des folgenden Messaufbaues auf.

Abb. 8.2: Prinzipieller Messaufbau

Wählen Sie dabei für den Temperatursensor KTY 10-6 ein Widerstandsintervall von

etwa ∆R=50Ω (≅ 3°C) in einem Temperaturbereich von 20°C bis etwa 90°C.

Die Widerstands-Temperatur-Charakteristik des Sensors findet sich im Anhang wieder.

(b) Stellen Sie eine Datentabelle auf.

(c) Skizzieren Sie sämtliche R(T)-Diagramme.

Beachte: Heiß/Kaltleiter sollen in halblogarithmischen Maßstab aufgetragen werden !!!

(d) Berechnen Sie aus den ermittelten Werten den Temperaturkoeffizienten α20 bei der

Bezugstemperatur T=20°C für die beiden Schichtwiderstände und den Drahtwiderstand.

(e) Berechnen Sie den B-Kennwert des Heißleiters bei den Bezugstemperaturen 25°C und

85°C aus ihren Messwerten.

---

1--5Drehschalter

12V VersorgungHeizfolie

Multimeter 2 Temp.sensor KTY 10-6Ausgangsbuchsen

Multimeter 1

Meßanschlüsse

X Y

Heizkasten


(f) Wie ermittelt man den Temperaturkoeffizienten des Kaltleiters am einfachsten.

(Hinweis : genauere Betrachtung der allgemeinen Def. des Temperaturkoeffizienten!!!)

9 Anhang

9.1 Widerstands-Temperatur-Charakteristik des

Temperatursensors KTY 10-6

R(T) Diagramm Temperatursensor KTY 10-6

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

T [°C]

R [

Oh

m]

9 Anhang 49

KTY10-6

R [Ω]

Temperatur

T [°C]

1645,27 0

1650 0,35

1660 1,08

1670 1,81

1680 2,54

1690 3,28

1700 4,01

1710 4,75

1713,43 5

1720 5,47

1730 6,19

1740 6,91

1750 7,63

1760 8,34

1770 9,06

1780 9,79

1782,98 10

1790 10,49

1800 11,19

1810 11,9

1820 12,61

1830 13,31

1840 14,02

1850 14,72

1853,93 15

1860 15,42

1870 16,11

1880 16,8

1890 17,49

1900 18,18

1910 18,87

1920 19,57

1926,28 20

1930 20,25

1940 20,93

1950 21,6

1960 22,28

KTY10-6

R [Ω]

Temperatur

T [°C]

1970 22,96

1980 23,64

1990 24,32

2000 24,998

2000,02 25

2010 25,66

2020 26,33

2030 26,99

2040 27,66

2050 28,32

2060 28,99

2070 29,66

2075,16 30

2080 30,32

2090 30,97

2100 31,62

2110 32,28

2120 32,93

2130 33,58

2140 34,24

2150 34,88

2151,7 35

2160 35,53

2170 36,17

2180 36,81

2190 37,46

2200 38,09

2210 38,74

2220 39,38

2229,63 40

2230 40,02

2240 40,65

2250 41,28

2260 41,91

2270 42,54

2280 43,17

KTY10-6

R [Ω]

Temperatur

T [°C]

2290 43,8

2300 44,44

2308,96 45

2310 45,06

2320 45,68

2330 46,3

2340 46,92

2350 47,54

2360 48,16

2370 48,78

2380 49,39

2389,69 50

2390 50,018

2400 50,63

2410 51,24

2420 51,85

2430 52,45

2440 53,06

2450 53,67

2460 54,28

2470 54,89

2471,89 55

2480 55,49

2490 56,09

2500 56,69

2510 57,28

2520 57,88

2530 58,48

2540 59,08

2550 59,68

2555,33 60

2560 60,27

2570 60,86

2580 61,45

2590 62,04

2600 62,63


KTY10-6

R [Ω]

Temperatur

T [°C]

2610 63,22

2620 63,81

2630 64,39

2640 64,99

2640,24 65

2650 65,56

2660 66,14

2670 66,72

2680 67,3

2690 67,88

2700 68,46

2710 69,04

2720 69,62

2726,56 70

2730 70,19

2740 70,77

2750 71,34

2760 71,91

2770 72,48

2780 73,05

2790 73,62

2800 74,19

2810 74,76

2814,46 75

2820 75,32

2830 75,88

2840 76,44

2850 77,005

2860 77,57

2870 78,13

2880 78,69

2890 79,25

2900 79,81

2903,37 80

2910 80,37

2920 80,92

2930 81,47

KTY10-6

R [Ω]

Temperatur

T [°C]

2940 82,02

2950 82,58

2960 83,13

2970 83,68

2980 84,23

2990 84,79

2993,87 85

3000 85,33

3010 85,88

3020 86,42

3030 86,96

3040 87,51

3050 88,05

3060 88,6

3070 89,14

3080 89,69

3085,77 90

3090 90,23

3100 90,76

3110 91,29

3120 91,83

3130 92,37

3140 92,9

3150 93,44

3160 93,97

3170 94,51

3179,07 95

Versuch 3

Das Magnetfeld

1 DAS MAGNETFELD UND SEINE FELDGRÖßEN ........................................................................... 2

1.1 DEFINITION DER FLUßDICHTE B UND DER ERREGUNG H ..................................................................... 2

1.2 GRUNDBEGRIFFE ................................................................................................................................. 6

2 MATERIE IM MAGNETFELD ........................................................................................................... 10

2.1 MAGNETISIERUNG M......................................................................................................................... 10

2.2 DIAMAGNETISMUS ............................................................................................................................ 12

2.3 PARAMAGNETISMUS .......................................................................................................................... 12

2.4 WERKSTOFFE MIT MAGNETISCHER ORDNUNG ................................................................................... 13

2.5 ANTIFERROMAGNETISMUS ................................................................................................................ 16

2.6 FERRIMAGNETISMUS ......................................................................................................................... 16

3 MAGNETISCHER KREIS ................................................................................................................... 16

3.1 GRUNDLAGEN ................................................................................................................................... 16

3.2 SCHERUNG UND EFFEKTIVE PERMEABILITÄT ..................................................................................... 18

4 KRAFTWIRKUNG IM MAGNETFELD ........................................................................................... 19

4.1 KRAFT AUF STROMDURCHFLOSSENEN LEITER ................................................................................... 19

4.2 LORENTZKRAFT ................................................................................................................................ 20

4.3 DIE KRAFTWAAGE............................................................................................................................. 20

5 DER HALLEFFEKT ............................................................................................................................. 22

5.1 HERLEITUNG ..................................................................................................................................... 22

5.2 MEßMETHODEN.................................................................................................................................24

6 ELEKTROMAGNETISCHE INDUKTION ....................................................................................... 26

6.1 MAGNETISCHER FLUß ....................................................................................................................... 26

6.2 DER BEGRIFF INDUKTION .................................................................................................................. 26

7 WIRBELSTRÖME ................................................................................................................................ 28

7.1 GRUNDLAGEN ................................................................................................................................... 28

7.2 BESTIMMUNG DER BREMSKRAFT EINES WIRBELSTROMES ................................................................ 30

8 VORBEREITENDE AUFGABEN ....................................................................................................... 31

9 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG ......................................................................................................... 33

9.1 ALLGEMEINE HINWEISE .................................................................................................................... 33

9.2 MESSUNG DES MAGNETFELDES ........................................................................................................ 33

9.3 KRAFT AUF EINEN STROMDURCHFLOSSENEN LEITER ......................................................................... 33

9.4 HALLEFFEKT ..................................................................................................................................... 33

9.5 BEWEGUNGSINDUKTION .................................................................................................................... 34

9.6 WIRBELSTROMEFFEKT ...................................................................................................................... 34

10 LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................................................ 35

2 1 Das Magnetfeld und seine Feldgrößen

1 Das Magnetfeld und seine Feldgrößen

1.1 Definition der Flußdichte B und der Erregung H

1.1.1 Die magnetische Flußdichte B

Die magnetische Flußdichte B (magnetische Induktion) im Vakuum wird aus der

Wirkung des Magnetfeldes auf eine vom Strom I durchflossene Leiterschleife definiert.

Bild 1.1: Nachweis des magnetischen Feldes durch eine ebene Rechteckschleife

Der Vektor A n A= ⋅ beschreibt die vom Magnetfeld der Flußdichte

B durchsetzte

Fläche. Die Kraft F auf die Leiterschleife wird für die Ausrichtung

A B der

Leiterschleife im Raum maximal, gekennzeichnet durch den Normalenvektor nmax

. Es

besteht der Zusammenhang : F I lmax ~ ⋅

1.1 Definition der Flußdichte B und der Erregung H 3

Definition der Flußdichte B

BF

I lI

l

=⋅→

→

limmax

0

0

B Bn= max

[ ]BNm

Am

Vs

mT Tesla= = =1 1 12 2 ( )

Für die Kraft bei beliebiger Raumorientierung der Schleife erhält man ( β :Winkel

zwischen Flächennormalen n der Schleife und

B )

F F I l B I l B n n= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅max maxcos( ) cos( ) ( )β β

Wie das Experiment zeigt, gibt es keine magnetischen Monopole, d.h. es herrscht

Quellenfreiheit (3. Maxwellsche Gleichung) :

B dA divB

A

⋅ = ⇔ =∫∫ 0 0

1.1.2 Die magnetische Erregung H

Die magnetische Erregung

H bezieht sich auf die Felderzeugung, also auf die Erregung

des magnetischen Feldes durch den elektrischen Strom I.

Bild 1.2 Zur Definition von H

Es sei ein Magnetfeld mit konstanter Flußdichte B gegeben. Eine Probespule wird in

dieses Feld eingebracht. Eine Leiterschleife (Siehe Kap. 1.1.1) dient als

Nachweisindikator für B im Innern der Probespule, d.h. auf den Schleifbügel der


Leiterschleife wirkt eine Kraft. Zur Kompensation der Kraft muß ein Strom ΔI durch die

Spule fließen. Es zeigt sich, daß dieser Kompensationsstrom für eine Richtung der

Spulenachse ein Maximum hat. Im Innern der Spule ist dann B = 0 . Verschiedene

Spulenanordnungen ergeben, daß für die Kompensation das Produkt von ΔI mit der

Windungszahl ns pro Längeneinheit Δl maßgeblich ist.

Definition der magnetische Erregung

H

Hn I

ll

s=

→limΔ

Δ

Δ0

[ ]HA

m= 1

Durch Variation der Orientierung von Δl zeigt man, daß H ein Vektor ist.

Führt man eine Probespule längs eines geschlossenen Weges C, der eine Fläche A

begrenzt, so zeigt sich daß gilt

H ds J dA

AC

⋅ = ⋅∫∫∫ .

In diesem Experiment ist J zunächst nur die Leitungsstromdichte, die die Fläche

A

durchsetzt. Das folgende Gedankenexperiment zeigt, daß eine Ergänzung erforderlich

ist.

Bild 1.3 Mögliche Integrationsflächen bei der Anwendung des Durchflutungsgesetzes

1.1 Definition der Flußdichte B und der Erregung H 5

„Die außerhalb des Bildes geschlossene Leiterschleife ist durch zwei voneinander

isolierte Leiterplatten unterbrochen, die einen Kondensator bilden. Obwohl zwischen

den Kondensatorplatten immer J = 0 ist, kann in den Leitungsdrähten zeitweise ein

Strom fließen, beispielsweise ein Wechselstrom, der periodisch seine Richtung ändert

und dabei die Platten abwechselnd positiv und negativ auflädt. Wendet man zu einem

Zeitpunkt, zu dem ein Strom durch den Draht fließt, das Durchflutungsgesetz auf den

eingezeichneten Umlauf an und wählt die Fläche einmal so, daß der Strom I durch sie

hindurchtritt und einmal so, daß sie zwischen den Kondensatorplatten verläuft, also

keine Strombahnen schneidet, dann ergibt die rechte Seite der Gleichung einmal den

Wert I und einmal den Wert Null. Die Gleichung kann also in dieser Form keine

allgemeine Gültigkeit haben..... Da die Zunahme der Ladung auf der den Draht

abschließenden Kondensatorplatten dem zufließenden Strom

I J dA= ⋅∫

gleich sein muß,

IdQ

dt= ,

und für die Erregung im Raum zwischen den Platten gilt

Q D dA= ⋅∫

,

wenn man jeweils über die Plattenoberfläche integriert, muß zwischen dem Strom I und

der (elektrischen) Erregung der Zusammenhang

J dAdD

dtdA⋅ = ⋅∫∫

bestehen. (Die Differentiation braucht nur an D ausgeführt zu werden, da sich nur die

(elektrische) Erregung, nicht aber die Fläche zeitlich ändert.) Den Ausdruck auf der

rechten Seite der Gleichung bezeichnete Maxwell als Verschiebungstrom und

entsprechend dD

dt

als Verschiebungsstromdichte.“1

Das Durchflutungsgesetz lautet somit

H ds J dAges

AC

⋅ = ⋅∫∫∫ .

Die Gesamtstromdichte J ges setzt sich somit aus der Leitungsstromdichte

J L

und der

Verschiebungsstromdichte ∂

∂tD

zusammen.

1 [4] Georg Bosse, Grundlagen der Elektrotechnik II


Im Vakuum sind B und

H gleichgerichtet und ihr Quotient ist in allen Raumpunkten

gleich

B

H

B

Hconst

Vs

Am

n

n

1

1

0

74 10= = = = −µ π .

1.2 Grundbegriffe

1.2.1 Maxwellgleichungen

Die Maxwellschen Gleichungen in Integralform sind gegeben durch

Induktionsgesetz d

dtB dA E ds

A C

⋅ = − ⋅∫∫ ∫

Durchflutungsgesetz J dA H dsges

CA

⋅ = ⋅∫∫∫

Quellfreiheit des Magnetfeldes B dA

A

⋅ =∫∫ 0

Quellen des elektr. Feldes D dA dV

VA

⋅ = ∫∫∫∫∫ ρ

Dabei beschreibt E die elektrische Feldstärke D die elektrische Flächenladungsdichte und

ρ die elektrische Raumladungsdichte.

Setzt man eine zeitunabhängige Geometrie voraus, gilt

d

dtB dA

tB dA

⋅ = ⋅∫∫∫∫

∂

∂

Mit dem Satz von Gauß

divF dV F dAV A

∫∫∫ ∫∫= ⋅

und dem Satz von Stokes

rotF dA F dsCA

⋅ = ⋅∫∫∫

erhält man dann die Maxwellschen Gleichungen in Differentialform, wobei

Differenzierbarkeit ( keine Unstetigkeitsstellen ) vorausgesetzt sei.

1.2 Grundbegriffe 7

Induktionsgesetz ∂

∂tB rotE

= −

Durchflutungsgesetz J rotHges =

Quellfreiheit des Magnetfeldes divB

= 0

Quellen des elektr. Feldes divD

= ρ

1.2.2 Materialgleichungen

Zur Lösung der Maxwellschen Gleichungen sind Nebenbedingungen, wie die

Materialgleichungen, notwendig. Sie sind so gewählt, daß die Linearität der

Maxwellschen Gleichungen erhalten bleibt. Der einfachste und zugleich lineare Fall

sind die multiplikativen Relationen D E Er= =ε ε ε0

B H Hr= =µ µ µ0

J E= σ

mit µ π0

74 10= ⋅ − Vs

Am

ε0

128 854 10= ⋅ −,As

Vm.

Leitfähigkeit σ , Dielektrizitätskonstante ε und Permeabilität µ sind im allgemeinen

skalare Größen, die in inhomogenen Medien ortsabhängig sind. Bei ferromagnetischen

(bzw. ferroelektrischen) Stoffen tritt an die Stelle der linearen Beziehung ein

funktionaler Zusammenhang B B H T= ( , ) [bzw.

D D P T= ( , ) ], in dem sogar noch die

„Vorgeschichte“ des Materials berücksichtigt werden muß.

Daraus folgen die allgemeinen Materialgleichungen, die auch für hysteresebehaftete

Werkstoffe und für Nichtlinearitäten gelten. D E P= +ε0

B H M= +µ µ0 0

Elektrische Polarisation P

Magnetisierung M

:

:


1.2.3 Übergangsbedingungen

Grenzen zwei Medien aneinander, so verhalten sich die magnetischen Feldgrößen an der

Grenzfläche wie folgt (für die elektrischen Feldgrößen gilt analoges).

Bild 1.4 Übergangsbedingungen

a) B B H HH

Hn n r n r n

n

n

r

r

1 2 0 1 1 0 2 2

1

2

2

1

= ⇒ = ⇒ =µ µ µ µµ

µ

b) H HB B B

Bt t

t

r

t

r

t

t

r

r

1 2

1

0 1

2

0 2

1

2

1

2

= ⇒ = ⇒ =µ µ µ µ

µ

µ

Die Normalkomponente der Flußdichte B (Tangentialkomponente der Erregung H) geht

stetig durch die Grenzfläche zwischen zwei Medien hindurch.

Die Tangentialkomponente von B verhält sich wie das Verhältnis der Permeabilitäten,

die Normalkomponente von H reziprok zum Verhältnis der Permeabilitäten.

1.2 Grundbegriffe 9

1.2.4 Anwendung der Maxwellgleichungen am Beispiel der langen

Spule

Bild 1.5 Lange Spule

Für die gegebene Spulengeometrie soll die magnetische Erregung H im Innern der Spule

berechnet werden. Mit der Annahme, daß sich die Erregungen der Einzelwindungen

addieren und dem Durchflutungsgesetz gilt

J dA J A n Ii i

iA

s⋅ = =∑∫∫ Δ

H ds H s H l H l H l H l

C

i ii

s s⋅ = = + + +∫ ∑ Δ 2 2 3 3 4 4 .

Der Integrationsweg werde so gewählt, daß sich die Teilstrecken aufsummieren. Da die

H li i für i=2..4 (Außenbereiche) vernachlässigbar klein sind, reduziert sich das

Durchflutungsgesetz zu

H l n Is s s= ⇒ Hn I

ls

s

s

= .

10 2 Materie im Magnetfeld

2 Materie im Magnetfeld

2.1 Magnetisierung M

Die Magnetisierung

M wird als Dipoldichte, ganz analog zum elektrischen Fall,

definiert.

Definition der Magnetisierung M

M

dm

dV:=

m beschreibt dabei das magnetische Dipolmoment. Zur Deutung der Magnetisierung M kann man sich folgender Hilfsvorstellung bedienen. Die Elektronen innerhalb der

Atome durchlaufen geschlossene Bahnen und rotieren dabei um ihre eigene Achse

(Spin). Diese Elektronenbewegung kann als ein elektrischer Ringstrom und damit als

magnetischer Dipol gedeutet werden. Die magnetischen Dipolmomente können

entweder durch Dipolmomente entgegengesetzter Richtung aufgehoben werden, oder es

kann ein Überschuß von Dipolmomenten einer Richtung vorhanden sein. Diese

magnetischen Dipole können auf nicht abgeschlossene Schalen zurückgeführt werden.

Ohne ein äußeres Feld sind ihre Orientierungen zufällig verteilt. Wird ihnen ein äußeres

Feld aufgeprägt, so richten sich die Momente parallel zum Feld aus. Dieser Orientierung

wirkt aber die thermische Bewegung entgegen. Man betrachtet einen homogenen

Zylinder, in dem Ringströme vorhanden sind, deren Momente parallel zur Zylinderachse

stehen. Im Innern des Zylinders kompensieren sich die Ströme, während an der

Oberfläche ein resultierender Strom, der Amperesche Strom, fließt. Er entspricht quasi

einem Strom, der eine den Zylinder umschließende Spule durchfließt. Das resultierende

magnetische Moment einer kleinen Kreisscheibe ergibt sich zu

dm Adi=

2.1 Magnetisierung M 11

Bild 2.1 Amperescher Strom in einer Kreisscheibe mit dem Volumen dV=Adl

Daraus folgt für die Magnetisierung Mdm

dV

Adi

Adl

di

dl= = = .

Nimmt man an, daß der Amperesche Strom des Zylinders und der Strom über eine

Spule einander entsprechen, kann bei gleichen geometrischen Verhältnissen die Spule

und der Zylinder nach außen hin, d.h. in ihrer Wirkung, als gleichwertig betrachtet

werden, wenn man voraussetzt, daß Mn I

dl

di

dl

s= = ist. Für eine lange Spule gilt

Bn I

dls

s= µ0

Geht man von einer homogenen Magnetisierung aus, kann das Feld im Innern des

Zylinders mit

B Mz = µ0

angegeben werden.

An dieser Stelle sei nochmals darauf hingewiesen, daß der Amperesche Strom nur eine

Hilfsvorstellung darstellt.

Liegt sowohl eine Felderzeugung durch eine Spule ( )Bs , als auch durch magnetisiertes

Material vor, überlagern sich die beiden Teilfelder zu B B Ms= + µ0 .

Verwendet man die magnetische Erregung

H ergibt sich folgender Zusammenhang

( ) B H Ms= +µ0 .

Die Magnetisierung hängt von der Erregung

H ab. Je größer die Erregung

H ist, desto

mehr Punktdipole werden ausgerichtet. Dies entspricht einer Vergrößerung der

Magnetisierung

M .


Bei linearer Abhängigkeit ist

M H= χ ,

wobei die magnetische Suszeptibilität χ wiederum eine materialspezifische Größe ist.

Es folgt

( ) B H H Hr= = = +µ µ µ µ χ0 0 1 .

Die Quantentheorie zeigt, daß die angenommenen Kreisströme zu gequantelten

magnetischen Momenten führen, deren kleinste Einheit als Bohrsches Magneton

µB

e

e

eh

mAcm

m

= = ⋅ −

29 27 10 20 2,

Elektronenmasse :

bezeichnet wird.

Man erhält für die Suszeptibilität

χ µ= −r 1 .

2.2 Diamagnetismus

Die magnetischen Eigenschaften eines Stoffes können auf seine atomare Struktur

zurückgeführt werden. Hat das Atom keinen Gesamtdrehimpuls und somit auch kein

magnetisches Moment, so liegen keine permanenten magnetischen Dipole vor. Dies ist

der Fall, wenn die Atome des Werkstoffes nur abgeschlossene Schalen besitzen.

Ein äußeres magnetisches Feld induziert bei seinem Einschaltvorgang einen

Induktionsstoß auf die Elektronenbahnen. Nach der Lenzschen Regel wirken diese

induzierten Ströme ihrer Ursache entgegen. Die entstehenden magnetischen, induzierten

Dipole sind dem äußeren Feld entgegengerichtet. Das angelegte Feld wird

abgeschwächt. Der Effekt ist temperaturunabhängig und existiert prinzipiell in allen

Stoffen, wird aber durch die Ausrichtungseffekte permanenter Dipole überdeckt.

Die Suszeptibilität nimmt für diamagnetische Werkstoffe sehr kleine negative Werte an.

χ χ< <<0 1,

2.3 Paramagnetismus

Die Atome paramagnetischer Stoffe besitzen permanente magnetische Momente, die

untereinander schwach wechselwirken. Ohne ein äußeres Magnetfeld sind ihre

Orientierungen zufällig verteilt. Wird ihnen ein äußeres Feld aufgeprägt, so richten sie

sich parallel zum Feld aus. Dieser Orientierung wirkt aber die thermische Bewegung

entgegen, so daß mit zunehmender Temperatur die Magnetisierung abnimmt. Es gilt

2.4 Werkstoffe mit magnetischer Ordnung 13

χ =C

T

Konstante C

.

χm selbst nimmt kleine positive Werte an.

χ χ> <<0 1,

2.4 Werkstoffe mit magnetischer Ordnung

2.4.1 Ferromagnetismus

Bei ferromagnetischen Materialien (für technische Anwendungen wichtig: Fe, Co, Ni,

SmCo5, Nd2Fe14B) kann die magnetische Suszeptibilität sehr hohe positive Werte

annehmen ( )χ >> 1 . Da die permanent vorhandenen Elementarmagnete sehr stark

miteinander wechselwirken, kommt es in kleinen Bereichen schon ohne äußeres Feld,

unterhalb der „Curie-Temperatur“ TC, zu einer spontanen Ausrichtung. Diese Bereiche

permanenter Magnetisierung , Domänen bzw. Weißsche Bezirke genannt, besitzen keine

Vorzugsrichtung, so daß die Probe nach außen hin unmagnetisiert erscheint. Steigt die

Temperatur über TC, so wird die magnetische Ordnung innerhalb der Domänen durch

die thermische Bewegung aufgehoben, der Stoff wird paramagnetisch. Es gilt die

Gesetzmäßigkeit

χ =−

C

T TC

.

Wird bei magnetischer Ordnung (T<TC) ein äußeres Magnetfeld dem Material

aufgeprägt, so richten sich die Domänen parallel zum Feld aus und/oder sie verändern

ihre Ausdehnung. Nach dem „Umklappen“ besitzt das Material eine größere

Magnetisierung in Feldrichtung, die das angelegte Feld überwiegt. Ab einer gewissen

Feldstärke des eingeprägten Feldes verläuft der Prozeß irreversibel, d.h. auch nach

Abschalten des äußeren Feldes verbleibt eine remanente Magnetisierung, die erst durch

ein Gegenfeld wieder aufgehoben wird. Es kommt zur Ausbildung einer

Hysteresekurve.


Bild 2.2 Hystereseschleife

Ausgehend vom Ursprung der Neukurve bzw. einem der Umkehrpunkte der

Hysteresekurve können viele Weißsche Bezirke ausgerichtet werden, so daß die

Flußdichte B sehr stark zunimmt.

( ) ( ) ( )B H H H H M Hr= ⋅ = +µ µ µ µ0 0 0

Sind alle Domänen ausgerichtet, kann keine weitere Magnetisierung des Materials

erreicht werden. Es kommt zu einer Sättigung. Der dann noch verbleibende Anstieg

erfolgt gemäß dem Vakuumgesetz B H= µ0 , d.h. limH

r→∞

=µ 1.

Wird das von außen angelegte Feld zu Null, so bleibt eine Restmagnetisierung im

Material zurück, die Remanenz. Soll diese auch verschwinden, so bedarf es einem

Gegenfeld bestimmter Größe, welches als Koerzitivfeldstärke bezeichnet wird.

Man definiert bestimmte Werte für die nichtlineare Permeabilität:

µµra

B H

AnfangspermeabilitätdB

dH= =

=

1

0 0,

µµrdiff

B H

differentielle PermeabilitätdB

dH= =

1

0 ,

µµrdiff

B H

reversible PermeabilitätB

H= =

1

0

Δ

Δ,

Verbindet man die Spitzen der teilausgesteuerten Hysteresekurven, so erhält man die

Kommutierungskurve, die etwa gleich der Neukurve ist.

2.4 Werkstoffe mit magnetischer Ordnung 15

Die Neukurve ist die Kurve vom pauschal unmagnetisierten Zustand (B,H=0) bis zur

Sättigung. Der pauschal unmagnetisierte Zustand kann durch Wechselfeld-

Abmagnetisierung erreicht werden.

Die Hysteresekurve kann am geschlossenen Werkstoffring wie folgt dynamisch

gemessen werden.

Bild 2.3 Dynamische Messung der Hysteresekurve am geschlossenen Werkstoffring

U I H

dB

dt

d

dtU I

C

B I dtdQ

dtdt

dU

dtU U

X

M

ind ind

ind Y

∼ ∼

∼ ∼ ∼ >>

∼ = ∼ = =∫ ∫∫

0

2

2 2

2

1Φwenn R2 ω

a) Weichmagnetische Werkstoffe

Die Fläche innerhalb der Hysterese ist ein Maß für die Energie, die als Wärme in dem

irreversiblen Prozeß der Magnetisierung und Entmagnetisierung verloren geht. Ist diese

Fläche klein, so ist auch der Energieverlust gering. Ist bei vergleichsweise hoher

Sättigungsflußdichte die Verlustfläche klein, so bezeichnet man ein solches Material als

magnetisch weich. Es zeichnet sich durch eine kleine Koerzitivfeldstärke aus.

b) Hartmagnetische Werkstoffe

Bei hartmagnetischen Werkstoffen ist die Hystereseschleife in H-Richtung stark

gedehnt, d.h. es müssen große Koerzitivfeldstärken aufgewendet werden. Die Fläche

innerhalb der Kurve und damit der Energieverlust ist groß. Ein Beispiel für magnetisch

hartes Material ist das Material von Computerfestplatten, da der magnetische

„Speicherzustand“ nicht schon durch geringe Feldstärken verändert werden darf.

16 3 Magnetischer Kreis

2.5 Antiferromagnetismus

In antiferromagnetischen Stoffen richten sich die Momente parallel aus, jedoch

paarweise antiparallel, so daß sich kein resultierendes magnetisches Moment ergibt. Es

kommt zu keiner Hysteresebildung. Beispiele solcher Materialien sind MnO, MnS, NiO,

Md etc.

2.6 Ferrimagnetismus

Eine Sonderform des Antiferromagnetismus ist der Ferrimagnetismus. Die antiparallen

Momente innerhalb einer Gitterzelle kompensieren sich nicht vollständig, d.h. es bildet

sich ein äußeres magnetisches Moment. In der Technik gibt es zwei bedeutende

Werkstoffgruppen, die Ferrite und die Granate. Ferrimagnetische Materialien zeichnen

sich besonders durch ihren hohen elektrischen Widerstand aus, was eine Reduzierung

der Wirbelstromverluste zur Folge hat. Deshalb sind Ferrite für die HF-Technik von

Bedeutung (Übertrager).

3 Magnetischer Kreis

3.1 Grundlagen

Unter Verwendung der Materialgleichungen kann man die Übergangsbedingung für die

Tangentialkomponente der Flußdichte B berechnen.

B Ht r t1 2 0 1 2 1 2, , ,= µ µ ⇒ B

B

t

t

r

r

1

2

1

2

=µ

µ

Betrachtet sei eine Grenzfläche zwischen Luft mit µrL ≈ 1und Magnetwerkstoff mit

µrM ⟩⟩1. Daraus ergibt sich, daß B BLt Mt⟨⟨ ist. Der tangentiale Fluß wird im

hochpermeablen Werkstoff geführt, d.h. der Fluß kann gerichtet werden bzw. die

Induktion B kann analog zum elektrischen Strom in einem Leiter geführt werden. Wird

der magnetische Fluß zum Großteil in hochpermeablem Material geführt, bezeichnet

man die Anordnung gemäß angesprochener Analogie als magnetischen Kreis.

Ein magnetischer Kreis mit Luftspalt wird dazu herangezogen, ein definiertes,

annähernd homogenes Luftmagnetfeld zu erzeugen, wenn man von den Streufeldern an

den Luftspalträndern absieht. Die Streufelder nehmen mit der Luftspaltbreite zu.

3.1 Grundlagen 17

Die Berechnungsgrundlage bilden das Durchflutungsgesetz und die

Materialgleichungen.

J r t dA H r t dsges

CA

( , ) ( , )⋅ = ⋅∫∫∫

B r t r H r t r H r tr( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )= =µ µ µ0

Bild 3.1 Magnetischer Kreis

Gegeben sei ein magnetischer Kreis mit k Abschnitten, die eine mittlere Länge li, i=1..k,

messen. Streufelder seien aufgrund eines kleinen Luftspaltes vernachlässigbar.

Die in der Integrationsfläche liegende Stromdichte ist außerhalb der Spule identisch

Null, so daß sich die linke Seite des Durchflutungsgesetzes vereinfacht zu

J dA n Iges s s

A

⋅ = ⋅∫∫ ,

wenn I s den Spulenstrom darstellt. Das Kurvenintegral kann in erster Näherung durch

die Summe der Einzelanteile H si iΔ dargestellt werden. Das Durchflutungsgesetz für

diese Anordnung lautet

n I H s H ls s i ii

k

i ii

k

= == =

∑ ∑Δ1 1

.

Betrachtet man speziell einen Kreis aus einem Werkstoff (z.B. Eisen), so vereinfacht

sich die Gleichung zu

n I H l H lB

lB

ls s Eisen Eisen Luft Luft

rEisen

Eisen Luft= + = +0

0

0

0µ µ µ.

18 3 Magnetischer Kreis

3.2 Scherung und effektive Permeabilität

Bisher wurde die Hysterese nur für Ringkerne ohne Luftspalt diskutiert.

n I H ls s Eisen Eisen= ' '

B HEisen rEisen Eisen' '= µ µ0

Bn I

lEisen rEisen

s s

Eisen

''

= µ µ0

Betrachtet man das Feld im Luftspalt in Abhängigkeit der Erregung, so wirkt sich der

Luftspalt auf die Hystereseform aus und zwar in der Art, daß die Hysterese um den

linearen Anteil des Luftspaltes „geschert“ wird.

Es gilt n I H l H ls s Eisen Eisen Luft Luft= +

Setzt man dies mit einem geschlossenen Magnetkreis der Länge l l lEisen Luft= + mit einer

relativen Permeabilität µreff gleich, so ergibt sich

( )n I H l l H l H ls s geschlossen Eisen Luft Eisen Eisen Luft Luft= + = + .

Wie oben erwähnt, ist B über den gesamten Integrationsweg konstant.

( )B l l B l B lEisen Luft

reff

Eisen

rEisen

Luft⋅ +

=⋅

+⋅

µ µ µ µ µ0 0 0

⇒ µ

µ

reff

Eisen Luft

Eisen

rEisen

Luft

l l

ll

=+

+

Der Magnetkreis mit dem Luftspalt wirkt wie ein geschlossener Kreis mit der

„effektiven Permeabilität“ µreff .

Für große relative Permeabilitäten nähert sich die effektive Permeabilität dem Wert

limµ

µrEisen

reff

Eisen Luft

Luft

l l

l→∞=

+,

der unabhängig von µrEisenist. Setzt man dieses Ergebnis wieder in die Gleichung des

Ersatzkreises ein, so ergibt sich

( ) ( )n I

B l l t B l l

l l

l

B l

s s

Eisen Luf

reff

Eisen Luft

Eisen Luft

Luft

Luft=

⋅ +=

⋅ +

+=

⋅

µ µµ

µ0

0

0

.

Das bestätigt die Vermutung, daß bei hoher Permeabilität die Länge des Luftspalts

ausschlaggebend ist.

4.1 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter 19

4 Kraftwirkung im Magnetfeld

4.1 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter

Bild 4.1 Leiter im Magnetfeld

Wie in Kapitel 1 beschrieben, ist das Magnetfeld mit einer Kraftwirkung auf einen

stromdurchflossenen Leiter verbunden. Steht das Magnetfeld der Flußdichte B senkrecht

auf einem Leiter der Länge l, der vom Strom I durchflossen wird, so wirkt eine Kraft F,

die proportional zum Strom I, zur Leiterlänge l und zur Flußdichte B ist.

F I l B= ⋅ ⋅

Die Kraft steht sowohl senkrecht auf dem Leiter, als auch senkrecht zur Flußdichte B.

Schließen der Strom I und das Feld

B den Winkel α ein, so gilt

F I l B= ⋅ ⋅ ⋅ sinα .

Berücksichtigt man die Richtung von F, wieder senkrecht auf I und B, so folgt F I l B= ⋅ ×( ) .

20 4 Kraftwirkung im Magnetfeld

4.2 Lorentzkraft

Bild 4.2 Lorentzkraft

Die Kraft auf ein infinitesimal kleines Leiterstück ergibt sich zu

dF I ds B= ⋅ ⋅ .

Identifiziert man den Strom als zeitlich veränderliche Ladung dQ

dt, folgt

dFdQ

dtds B dQ

ds

dtB dQ v B= ⋅ = = ⋅ ⋅ ,

wenn v die Geschwindigkeit der Ladungsträger in Richtung ds ist.

Sei die Ladung dQ durch ein Elektron oder ein Ion mit der Ladung q repräsentiert, so ist

die im Magnetfeld wirkende Kraft, genannt Lorentzkraft, unter Berücksichtigung der

Richtung

( ) F q v BL = × .

Betrachtet man die Energie, stellt man fest, daß wegen F senkrecht

v ||ds

das Integral

W F dss

s

= ⋅∫

1

2

immer verschwindet. Es wird keine Energie durch das Magnetfeld auf die Ladungsträger

übertragen.

4.3 Die Kraftwaage

Da die zu erwartende Kraft (Strom I=2A, Flußdichte B<0,8T, Leiterlänge l=0,04m)

klein ist, wird das Prinzip der Balkenwaage zur Kraftmessung herangezogen, um

eventuelle Reibungseffekte gering zu halten.

4.3 Die Kraftwaage 21

Bild 4.3 Prinzip der Kraftwaage

Im Gleichgewicht ohne Magnetfeld und/oder ohne Strom gilt

M MLinks chts= Re

(1) M M M M MLeiter Balkenhälfte Balkenhälfte Gewicht Gewicht+ = + +1 2

M m g lGewicht Gewicht2 2 2= ⋅ ⋅

Wirkt die Lorentzkraft, muß für den Gleichgewichtsfall Gewicht 2 um Δl verschoben

werden.

M MLinks chts= Re

(2) M M M M M MLorentz Leiter Balkenhälfte Balkenhälfte Gewicht Gewicht+ + = + +1 2'

( )M m g l lGewicht Gewicht' 2 2 2= ⋅ ⋅ + Δ

(2)-(1) liefert F l m g lL Gewicht⋅ = ⋅ ⋅1 2 Δ

⇔ Fl

lm gL Gewicht= ⋅

Δ

1

2 .

Hierbei beträgt die Masse des Meßgewichts mGewicht 2 = 22,4g und die Länge der linken

Balkenhälfte l1=31cm.

22 5 Der Halleffekt

5 Der Halleffekt

5.1 Herleitung

Bild 5.1 Prinzip des Halleffekts

Ein stromdurchflossenes Metall- oder Halbleiterblättchen wird senkrecht zur

Stromrichtung von einem Magnetfeld der Flußdichte B durchsetzt. Die Lorentzkraft FL

lenkt nun die den Längsstrom I darstellenden Ladungsträger gemäß der Rechte-Hand-

Regel F qv BL = ×

ab. Das durch die Ladungsverschiebung entstehende elektrische Feld (am Rand fehlende

bzw. aufgestaute Ladungsträger) erzeugt eine elektrische Kraft Fel, die der Lorentzkraft

entgegenwirkt. Man erhält eine Querspannung, die sogenannte Hallspannung UH. Der

Halleffekt bildet also die Grundlage für eine Messung von Magnetfeldern.

Unter der Annahme, daß die Probe lang gegenüber ihren übrigen Abmessungen ist, kann

die Verbiegung der Strombahnen an den Stirnflächen vernachlässigt werden. Weiterhin

5.1 Herleitung 23

sollen auch andere Randerscheinungen vernachlässigt werden, insbesondere die

Tatsache, daß die Ladungsträger einer Geschwindigkeitsverteilung unterliegen. Folglich

kann in der Mitte der Probe angesetzt werden, daß sich nach Abklingen der

Einschalteffekte die elektrische Kraft im Gleichgewicht mit der Lorentzkraft befindet. F FL el=

Für eine Ladungsträgerart (hier Elektronen) gilt mit der mittlerer Driftgeschwindigkeit F ev BL d= − ×

I bdJ bdnevx x dx= = −

⇒ =−

vI

bdnedx

x.

Mit B

Bz

=

0

0 ergibt sich F FLx Lz= = 0 und F ev BLy dx z= − .

Da F eE eU

bely y

H= − = − ist, kann die Hallspannung UH bestimmt werden.

U v bBne

I B

dR

I B

dH dx z

x z

H

x z= = − =

1

Die materialabhängigen Größen werden in dem Hallkoeffizienten RH zusammengefaßt.

RneH = −1

Auffällig und mit der Elektronengastheorie nicht vereinbar sind die positiven

Hallkoeffizienten für z.B. Zn, Cd, Mo etc. Sie konnten erst mittels der Wellentheorie als

Löcherleitung (Ladungsträgerart hier Defektelektronen) gedeutet werden. Bei Anhebung

eines Elektrons vom Valenzband ins Leitungsband (bzw. zu einem Akzeptor) bleibt im

Valenzband eine Lücke (Loch) zurück. In dieses Loch kann nun ein benachbartes

Elektron springen. Diese Bewegung kann als Bewegung einer positiven

Elementarladung gedeutet werden. Aus diesem Grund spricht man auch von einem

Defektelektron.

Somit gilt analog für den Fall der Defektelektronen bei p-dotiertem Halbleiter

RpeH =1

.

An RH für die Löcherleitung erkennt man, daß das Vorzeichen der Hallspannung

Auskunft über die Ladungsträgerart gibt.

Der Hallkoeffizient für gemischte Leitung ergibt sich zu

24 5 Der Halleffekt

( )R

e

p n

p nH

p n

p n

=−

+

12 2

2

µ µ

µ µ .

Sind die Größen Strom I, Flußdichte B und Dicke d des Materials bekannt, kann durch

Messung der Hallspannung sowohl die Ladungsträgerart (Vorzeichen der Hallspannung)

als auch die Ladungsträgerdichte bestimmt werden.

Da die Stirnflächen der Hallprobe vollständig kontaktiert und damit leitend sind

(Äquipotentialflächen), verschwindet dort das elektrische (Gegen-)Feld in y-Richtung.

Damit steht der Lorentzkraft bei x=0 bzw. x=l keine Kraft entgegen, so daß die

Elektronen nicht waagerecht austreten, sondern unter dem sogenannten Hallwinkel

( )E bei x By n= = ⇒ = ⋅0 0 tan υ µ

Ebenso treten die Elektronen unter dem Hallwinkel in die gegenüberliegende

Kontaktfläche ein. Aus diesem Grund muß für den einfachen Ansatz die Voraussetzung

l>>b gemacht werden, da dann in der Mitte der Hallplatte ein waagerechter Verlauf der

Strombahnen angenommen werden kann.

5.2 Meßmethoden

5.2.1 Dreipunkt-Kompensationsmethode

Bei der Dreipunkt-Kompensationsmethode wird das Probenplättchen mit zwei

Längskontakten und einem Querkontakt versehen.

Hallprobe

Potentiometer

VV UH

2

I0

Bild 5.2 Kompensationsmethode

Die so kontaktierte Hallplatte wird mit einem Potentiometer zu einer Brückenschaltung

verschaltet. Der Schaltung wird ein konstanter Strom I0 aufgeprägt. Die

5.2 Meßmethoden 25

Brückenspannung wird bei ausgeschaltetem Magnetfeld über das Potentiometer

(Spannungsteiler) zu Null abgeglichen. Wirkt nun ein Magnetfeld B ein, so entsteht eine

von Null verschiedene Brückenspannung, die aus Symmetriegründen gerade der halben

Hallspannung entspricht. Vorteil dieser Meßmethode ist, daß man einen Nullabgleich

durchführen kann. Der Metall-Halbleiter-Übergang (Halbleiter-Metall-Übergang) stellt

einen in Sperrichtung (Durchlaßrichtung) gepolten Schottky-Kontakt dar. Diese

Übergänge sind stark temperaturabhängig, so daß bei einer geringen

Temperaturveränderung das Widerstandsverhältnis der Probe (zwischen rechtem und

linken Längskontakt), nicht aber der Gesamtwiderstand verändert wird. Dies bewirkt

eine Verstimmung der Brücke und man erhält eine Brückenspannung.

5.2.2 Vierpunkt Meßmethode

Bei der Vierpunktmessung wird die Probe mittels der Längskontakte mit einem

Konstantstrom I0 beaufschlagt. Zwischen den gegenüberliegenden Querkontakten wird

dann einfach die Hallspannung gemessen (Siehe Bild 5.1). Vorteil dieser Methode ist

die geringere Temperaturabhängigkeit, da hier die Einflüsse der Schottkykontakte die

Messung nicht beeinflussen. Ein Nachteil besteht darin, daß die Querkontakte bei

manueller Herstellung nicht genau gegenüber liegen, und so eine zusätzliche Spannung

als Offset über den Querkontakten liegt.

26 6 Elektromagnetische Induktion

6 Elektromagnetische Induktion

6.1 Magnetischer Fluß

Der magnetische Fluß, analog zum elektrischen Fluß, ist ein Maß für die Anzahl

magnetischer Feldlinien , die eine Fläche durchsetzen ( ≠ Flußdichte).

Wird eine Fläche A homogen von einem Magnetfeld der Flußdichte

B durchsetzt und

schließen sie den Winkel α ein, so ist der magnetische Fluß definiert als

Φ M B A B A= ⋅ =

cosα .

Die Fläche sei inhomogen durchsetzt. In infinitesimalen Flächenstücken ΔAi

ist die

Flußdichte aber nahezu homogen, so daß obige Definitionsgleichung angewendet

werden kann. Eine entsprechende Summation der Einzelflüsse

ΔΦ ΔMi iB A= ⋅

ergibt den Gesamtfluß Φ M. Der Grenzübergang Δ

Ai → 0 führt zum Übergang von

Summation zu Integration.

Φ ΔΔ

MA

ii A

i

B A B dA= ⋅ = ⋅→∑ ∫lim

0

6.2 Der Begriff Induktion

Auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt im Magnetfeld eine Kraft. Analog fließt ein

Strom, wenn ein Leiter in einem Magnetfeld eine Kraft erfährt.

6.2 Der Begriff Induktion 27

Bild 6.1 Bewegter Leiter im Magnetfeld

Ein Leiter der Länge l bewege sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld

mit der konstanten FlußdichteB . Die Elektronen im Leiter erfahren die Lorentzkraft

und werden in Stabrichtung beschleunigt. Die Ladungsverschiebung ruft eine

Raumladungszone und damit eine Feldstärke EL hervor. Die Ladungsverschiebung

erfolgt solange, bis die Lorentzkraft und die elektrische Kraft im Gleichgewicht sind. F Fel L=

qE qv BL

= − ×

E v BL = − ×

Somit ist die erzeugte Spannung, die Induktionsspannung,

( )U E dl v B dlind L

C C

= ⋅ = − × ⋅∫ ∫

( )( )

E dl v B dlds

dtB dl dl

ds

dtB

d dA

dtBL ⋅ = − × ⋅ = − ×

⋅ = − ×

⋅ = − ⋅ .

Die Fläche dA

ist die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche, die vom Leiterstück dl

überstrichen wird.

Die induzierte Spannung berechnet sich zu

U E dld

dtB dA

d

dtB dA

d

dtind L

AC A

M= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −∫∫ ∫

Φ .

Die Induktionsspannung wird folglich auf die Änderung des Flusses zurückgeführt.

Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz beinhaltet die Lenzsche Regel, nach

welcher die Induktionsspannung bzw. der Induktionsstrom stets seiner Ursache

entgegengerichtet ist. Die Lenzsche Regel kann als Weiterführung des

Energieerhaltungssatzes angesehen werden.

28 7 Wirbelströme

7 Wirbelströme

7.1 Grundlagen

Bisher wurde die Induktionswirkung in abgegrenzten Stromkreisen betrachtet. Eine

Flußänderung erzeugt aber in jedem leitfähigen Material Kreisströme, sogenannte

Wirbelströme. Es entsteht Joulsche Wärme, ein Energieverlust.

Aufgrund der Bewegung (Flußänderung) wird eine Spannung induziert und es fließen

als Folge der gegebenen Leitfähigkeit Kreisströme. Diese erfahren im Magnetfeld eine

Kraft, die gemäß Lenzscher Regel ihrer Ursache entgegenwirkt. Die Bewegung der

Platte wird gehemmt.

Es wird ein konstantes homogenes Feld angenommen. Durch dieses Feld wird senkrecht

eine leitende Platte (Kupfer, Aluminium) mit der Geschwindigkeit v0 bewegt.

Bild 7.1 Ansatzmodell zur Wirbelstrombremse

7.1 Grundlagen 29

Die zeitabhängig durchsetzte Fläche ist

( )A t u u x t u ux t

dA t

dt

dA

dx

dx

dt

dA

dxv uv

( ) ( ) ( )

( ).

= − = −

= = = −

2

0 0

Die induzierte Spannung ist

( )Ud t

dt

d

dtB A t B

dA t

dtuB vind

M

dB

dt

= − = − ⋅ = −

=

=

Φ ( )( )

( ) 0 0

0

0 0 .

Vereinfachend wird der Widerstand auf den doppelten Wert des im Feld liegenden

Anteils angesetzt, da die Verlängerung der Strombahnen um das betrachtete

Flächenelement von der größeren Querschnittsfläche kompensiert wird.

Bild 7.2 Materialgeometrie

R Ru

A

u

ud dges A s s

B

s

B

= = = =2 2 2 2ρ ρρ

Induzierter Strom IU

R

B uv dind

ind

ges

B

s

= =0 0

2ρ

Auf die bewegten Ladungsträger wirkt die Kraft

F uI Bu v d B

L ind

B

s

= =0

2

0 0

2

2ρ,

die für die Bremswirkung verantwortlich ist.

30 7 Wirbelströme

7.2 Bestimmung der Bremskraft eines Wirbelstromes

Bild 7.3 Versuchsaufbau zur Wirbelstrombestimmung

Eine 2mm starke Kupferscheibe ist über eine Achse mit einem Motor verbunden. Die

Scheibe wird durch den Motor angetrieben. Anfangs wird die Scheibe ohne Magnetfeld

betrieben. An den Motorklemmen kann dann durch eine Strom-Spannungsmessung die

Leerlaufleistung bestimmt werden. Weiterhin wird die Drehzahl bzw. die

Umlauffrequenz f0 ermittelt. Berücksichtigt man den Innenwiderstand des Motor, so

ergibt sich für die Leerlaufleistung

P P P U IN N N= + = ⋅Reibung Widerstand1

P R Ii NWiderstand1 = 2 .

Wird nun ein Scheibenausschnitt vom Magnetfeld durchsetzt, tritt eine

Wirbelstrombremsung auf, die Drehzahl wird verringert. Man erhöht die Drehzahl durch

Leistungserhöhung am Motor auf den Leerlauffrequenz f0 und bestimmt erneut die

Leistung.

P P P P U IW Wirbelstrom W W= + + = ⋅Reibung Widerstand2

P R Ii WWiderstand2 = 2

Damit ergibt sich für die durch den Wirbelstrom verbrauchte Bremsleistung zu

( )P U I U I R I I

f F r

P fr f d B

rr r d B

f

Wirbelstrom W W N N i N W

L m

Wirbelstromk B

sm

k m B

s

= ⋅ − ⋅ + −

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ =

2 2

202 3 2 2

02

2

2

22

2

4

2

π

ππ π

ρ

π

ρ.

7.2 Bestimmung der Bremskraft eines Wirbelstromes 31


1. Warum ist ein Supraleiter 1. Art ein idealer Diamagnet ?

2. Wie ist das Ampere definiert ?

3. Magnetischer Kreis :

Berechnen Sie die Amperewindungszahl der Kreisspule, wenn folgende Vorgaben

gemacht werden.

Luftspaltbreite l mm mm mm mmLuft = 20 15 10 5, , ,

Durchmesser des Eisenkerns d mmKern = ∅60

Außenmaße des Eisenkerns l l mm mm1 2 440 220× = ×

Luftspaltflußdichte B T0 0 4= .

Permeabilität des Eisens µEisen = 3000

Bild 8.1 Magnetischer Kreis (Geometrie)

4. Halleffekt:

a) Erklären Sie Prinzip und Wirkung einer Hallsonde.

b) In welche Richtung werden Elektronen bzw. Defektelektronen abgelenkt ?

c) Skizzieren Sie die Stromlinien in einer Hallsonde ?

d) Warum muß l>>b sein ?

32 8 Vorbereitende Aufgaben

e) Dreipunktmethode: Was geschieht, wenn ein Nullabgleich der Brückenanordnung

durchgeführt wurde und dann der eingeprägte Strom I0 verändert wird.

5. Induktion:

Der bei einer Flußänderung in eine Spule induzierte Spannungsstoß ist ein Maß für

die Änderung des magnetischen Flusses. Wird die Spule aus einem homogenen

Magnetfeld in den feldfreien Raum gebracht, so kann man damit die magnetische

Induktion in dem Luftspalt messen.

a) Welcher Zusammenhang besteht dabei zwischen dem Integral des induzierten

Spannungsstoßes und den Spulendimensionen (Fläche, Windungszahl) ?

b) Wie sieht der Spannungsstoß in der Spule aus, wenn die Spule von einem

feldfreien Punkt A durch das homogene Magnetfeld zu einem gegenüberliegenden

feldfreien Punkt B bewegt wird? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der

induzierten Spannung und des magnetischen Flusses durch die Spule, wenn

Streufelder am Rand des Luftspaltes vernachlässigt werden.

6. Wirbelstrom:

Ein leitendes Blech wird als Pendelmasse durch ein Magnetfeld bewegt. Es sei

angenommen, daß die Fläche des Bleches größer als die Querschnittsfläche des

Magnetfeldes ist. Ohne Magnetfeld führe das Pendel schwachgedämpfte

Pendelschwingungen aus. Wird das Magnetfeld eingeschaltet, so wird das Blech

abgebremst, d.h. die Dämpfung wird wesentlich verstärkt.

a) In das Blech werden waagerechte (parallel zur Bewegungsrichtung) Schlitze

eingesägt. Wie verhält sich die Pendelbewegung nun in Anwesenheit des

Magnetfeldes ?

b) Das Blech werde wieder als massiv angenommen, aber die Fläche des Bleches ist

kleiner als die Querschnittsfläche des Magnetfeldes. Was ist in Bezug auf die

Pendelbewegung zu sagen, wenn das Magnetfeld eingeschaltet wird.

9.1 Allgemeine Hinweise 33

9 Versuchsdurchführung

9.1 Allgemeine Hinweise

Achtung: Vor dem Einschalten des Netzgerätes ist sicherzustellen, daß die

Spannungsregler auf NULL gestellt sind. Die Spannung ist im Versuch von NULL

Volt aus langsam zu erhöhen, bis der gewünschte Strom erreicht ist. Ebenso

„weich“ ist das Abschalten durchzuführen. Auf keinen Fall eine Spule unter Last

von der Versorgung trennen (warum?).

Alle Versuchsergebnisse sind zu dokumentieren (falls möglich auch graphisch) und

zu interpretieren.

9.2 Messung des Magnetfeldes

Man bestimme mit der B-Feld-Meßsonde im Luftspalt des magnetischen Kreises die

magnetische Induktion als Funktion des Stromes resp. des H-Feldes im Strombereich

1 0 1 0 1A A A A A→ → − → → (100mA-Schritte). !!! Vor dem Abschalten

Spulenspannung wieder auf Null stellen !!! Die Größe des Luftspaltes wird vom

Versuchsbetreuer am Versuchstag mitgeteilt. Stellen Sie Ihre Meßergebnisse graphisch

dar und interpretieren Sie kurz das Ergebnis.

9.3 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Man bestimme die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in dem Feld des

magnetischen Kreises. Der Luftspalt wird auf 5mm eingestellt. Überprüfen Sie

qualitativ die Homogenität des Feldes über die Querschnittsfläche der Polschuhe und in

der Umgebung des Luftspalts. Skizzieren Sie qualitativ die magnetische Induktion B als

Funktion des Abstandes vom Luftspaltmittelpunkt. Bestimmen Sie anschließend die

ablenkende Kraft für verschiedene Stromstärken (0-2A, 100mA-Schritte) bei fester

Luftspaltinduktion B=700mT bzw. für verschiedene Werte von B (0-700mT, 100mT-

Schritte) bei festem Leiterstrom I=2A. Warum ist zur Vermeidung eines systematischen

Meßfehlers der Leiter immer an demselben Ort im Luftspalt zu halten ?

9.4 Halleffekt

Gehen Sie sorgsam mit der Hallsonde um!

Der Halleffekt wird mittels der Vierpunktmeßmethode untersucht. Das

Halbleitermaterial besitzt eine Dicke von 530µm . Verwenden Sie eine Luftspaltbreite

34 9 Versuchsdurchführung

von 15mm für Ihre Messungen. Stellen Sie einen Konstantstrom von I=8,6mA für die

Hallprobe ein. Messen Sie die Hallspannung UH in Abhängigkeit von der magnetischen

Induktion im Luftspalt (0-300mT, 50mT-Schritte). Die Messung ist für beide

Ausrichtungen der Probe im Magnetfeld durchzuführen und dann der Mittelwert zu

bilden. Beachten Sie den unvermeidlichen Offset der Hallspannung. Bestimmen Sie

anschließend die Ladungsträgerart und die Ladungsträgerdichte aus Ihren Meßwerten.

9.5 Bewegungsinduktion

Eine Probespule (mittlere durchsetzte Fläche A m= ⋅ −620 10 6 2 ) befindet sich im

homogenen Teil des Luftspaltes (20mm) des Magnetkreises der magnetischen Induktion

B (B wird mit der B-Feld-Meßsonde gemessen). Die Probespule wird nun aus dem

Luftspalt in den „feldfreien“ Raum gebracht. Der an der Spule auftretende

Spannungsstoß wird mittels eines Analogintegrators (Versorgung ± 15V ) über die Zeit

integriert. Der Integrator sieht wie folgt aus

Bild 9.1 Prinzipschaltbild des Integrator

Die Zeitkonstante des Integrators beträgt τ = =RC ms4 5, . Messen Sie den integrierten

Spannungsstoß und ermitteln Sie mit ihrem Meßergebnis und ihrem Ergebnis aus 8.6

der vorbereitenden Aufgaben die Windungszahl ns der Spule. Beachten Sie, daß vor

jeder Messung der Kondensator mittels des Tasters entladen werden muß (warum?).

9.6 Wirbelstromeffekt

Bestimmen Sie für eine Luftspaltinduktion von B=200mT bei einer Umlauffrequenz

von 1Hz die Verlustleistung und daraus die Bremskraft, wenn man einen mittleren

Wirkhebel der Kraft von rm=0,06m ansetzt. Der spezifische Widerstand der

Kupferscheibe beträgt ρs Cu m( ) ,= ⋅ −0 0178 10 6 Ω . Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem

theoretischen Wert.

9.6 Wirbelstromeffekt 35

10 Literaturverzeichnis

[1] Dr. rer. nat. K. A. Hempel, Hilfsblätter zur Vorlesung Werkstoffe der Elektrotechnik

[2] Prof. Dr. rer. nat. G. Arlt, Werkstoffe der Elektrotechnik

[3] AB Materialien der Mikroelektronik TU Hamburg-Harburg

[4] G.Bosse, Grundlagen der Elektrotechnik II

[5] Lidner, Brauer, Lehmann, Taschenbuch der Elektrotechnik

[6] M. Nalbach, Studienarbeit Das Magnetfeld

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung ........................................................................................................................................ 4

1 Grundlagen ..................................................................................................................................... 5

1.1 Induktionsgesetz ........................................................................................................... 5

2 Hauptgleichungen .......................................................................................................................... 7

3 Erregungsarten und Betriebsverhalten ..................................................................................... 10

3.1 Nebenschlussmaschine ............................................................................................... 10

3.2 Reihenschlussmaschine............................................................................................... 14

3.3 Fremderregung ............................................................................................................ 16

4 Literatur ....................................................................................................................................... 17

5 Vorbereitende Aufgaben ............................................................................................................. 18

6 Versuchsaufgaben ........................................................................................................................ 19

7 Anhang .......................................................................................................................................... 20

Einleitung

Die Grundlagen zum Verständnis der Funktionsweise elektrischer Maschinen wurden bereits in der

Vorlesung “Grundlagen der Elektrotechnik I” behandelt. Im Folgenden werden diese Grundgesetzte kurz

rekapituliert und zur Herleitung der Beziehungen, mit denen elektrische Maschinen zusammenfassend

beschrieben werden, genutzt. Die hier vorliegende Anleitung soll nur einen kurzen Überblick über die

Bauarten und das Verhalten dieser Maschinen in Abhängigkeit von der Beschaltungart oder der Last

vermitteln. Möglichkeiten zur Drehzahleinstellung werden ebenso behandelt und tragen zum Verständnis

der Regelung dieser Systeme bei.

In der Praxis ist das Verhalten dieser Maschinen durch viele Faktoren geprägt, deren Berücksichtigung

für eine genauere Auslegung öfters eine FEM-Simulation oder andere numerische Berechnungsverfahren

erfordert. Dabei löst man die Maxwellschen Gleichungen in einer begrenzten Anzahl von Punkten in

einem Bereich, in dem magnetische Felder vorhanden sind. Man spricht von Diskretisierung. Das

Ergebnis der Simulation sind typischerweise Näherungslösungen für die Flussdichten B und für die

Feldstärken H, aus denen man anschließend Magnetflüsse, Induktivitäten, Energien, Kräfte oder

Drehmomente ableiten kann. Wirbelstromverluste oder die Geräuschabstrahlung können aber auch

simuliert werden. Erwähnenswert ist die Tatsache, dass ruhende elektrische Maschinen wie z.B.

Transformatoren ebenso dem Begriff elektrische Maschinen zuzuordnen sind und als stationäre

Energiewandler bezeichnet werden. Im Folgenden werden wir uns allerdings mit rotierenden elektrischen

Maschinen, speziell der Gleichstrommaschine, befassen.

Die Basis der elektrischen Energieversorgung war zunächst der Gleichstrom. Mit der industriellen

Entwicklung entstand das Bedürfnis, die elektrische Energie zum Antrieb von Maschinen zu nutzen. Mit

dem Übergang zur Drehstromtechnik wurden die Gleichstrommaschinen aus manchen Gebieten verdrängt

und durch Drehfeldmaschinen wie Synchronmotoren und Induktionsmotoren ersetzt. Diese haben

allgemein einen einfacheren Aufbau sind günstiger herzustellen, haben aber den Nachteil einer starken

Abhängigkeit der Drehzahl von der Netzfrequenz. Der Bedarf nach drehzahlvariablen Antrieben machte

damals den Einsatz von Gleichstrommaschinen unentbehrlich. Heute wird durch die moderne

Leistungselektronik der Einsatz von robusten drehzahlvariablen Drehstrommotoren realisiert. Allerdings

gilt dieser Trend eher im Bereich großer Leistungen. Im Bereich der Kleinmaschinen z.B. in der

Autoindustrie oder für Haushaltsanwendungen ist dagegen ein breites Feld für den Einsatz von

Gleichstrommaschinen vorhanden. Nachteilig ist trotzdem der höhere Wartungsaufwand für Kommutator

bzw. Bürsten. In der Literatur finden Sie häufig konkrete Auswahlkriterien für einzusetzende Maschine

mit Bezug auf das Anwendungsgebiet, die meistens in tabellierter Form vorliegen (siehe Anhang).

Grundlagen

1.1 Induktionsgesetz

Das Grundprinzip einer Gleichstrommaschine ist die sich im Feld eines Magneten drehende

Leiterschleife.Der Ständer trägt die beiden Pole des Magnetfeldes.

Abb. 1.1

Wird der Läufer angetrieben (z.B. in einer Turbine eines Kraftwerks), so wird in ihm nach dem

Induktionsgesetz eine Spannung induziert, die an Schleifringen abgenommen werden kann

(Generatorbetrieb). Hingegen wirkt auf eine stromdurchflossene Leiterschleife, die sich in einem

magnetischen Feld befindet die Lorenzkraft, die sie in Bewegung versetzt (Motorbetrieb).

Die induzierte Spannung an den Klemmen der Schleife ist proportional zur Flussänderung in der

Schleife. Da nach der Lenzschen Regel ein induzierter Strom ein Magnetfeld aufbaut, das der

Induktionsursache entgegenwirkt, gilt für die induzierte Spannung:

(1.1)

Gibt man die induzierte Spannung für N-fache Wicklungen an, erhält man:

(1.2)

Die obigen Beziehungen wurden bereits in der Vorlesung durch Betrachtung der Lorenz-Kraft auf

bewegte Ladungsträger in einem Magnetfeld hergeleitet.

Gleichstrommaschinen werden mit mehr als einer Spule ausgeführt, um möglichst geringe zeitliche

Schwankungen der induzierten Spannung zu erreichen. Eine mit wenigen Schleifen ausgestattete

Maschine würde einen pulsierenden Verlauf der Spannung bzw. des Momentes liefern. Ein solcher

Verlauf wird in Abb. 1.2 a) für eine einzige Leiterschleife im Magnetfeld in Abhängigkeit von der

Schleifenstellung dargestellt. Dieses ortsabhängige Verhalten ist unerwünscht. Dichtere Wicklungen

ergeben einen leicht pulsierenden Verlauf der Induktionsspannung bzw. des Moments mit erheblich

höherer Frequenz und einem Mittelwert E wie in Abb. 1.2 b) dargestellt.

Abb. 1.3 zeigt den Aufbau einer Gleichstrommaschine. Der eingezeichnete Stromwender (Kommutator)

hat die Aufgabe nach einer halben Drehung des Rotors die Stromrichtung in den Leiterschleifen zu

wechseln.

M

M

a)

Abb. 1.2

b)

Abb. 1.3

Damit wirkt ein kontinuierliches Moment in gleicher Richtung und die Drehbewegung wird

aufrechterhalten.

Wenn sich eine Leiterschleife im „kritischen Punkt“ (Gleichgewichtslage) befindet, wirken trotzdem auf

alle anderen Leiterschleifen Momente, die zur Gesamtrotation beitragen. Die Enden der Leiterschleifen

sind an voneinander isolierte Lamellen des Kollektors geführt, auf denen die Bürsten gleiten und den

Strom zuführen.

Die stromführenden Leiterschleifen des Läufers bauen ein eigenes Magnetfeld auf, das sich dem im

Ständer realisierten Hauptfeld überlagert.Diese Ankerrückwirkung ist die Ursache für Verzerrungen des

Feldes und zusätzliche Induktionsspannungen, die von den auf dem Kollektor gleitenden Bürsten

kurzgeschlossen werden und das so genannte Bürstenfeuer nach sich ziehen. Dadurch werden aber

Kommutatorsegmente und Bürsten zerstört. Bürstenfeuer soll deshalb immer kleingehalten werden. Diese

Schwachstelle ist oft der Grund zum Ausfall der Maschinen mit Stromwender.

Hauptgleichungen

Die in den N Ankerleitern bei Drehung des Ankers im zeitlich konstanten Erregerfeld induzierte

Spannung ist nach Gl. (2.1) durch das Produkt der Anzahl der Ankerleiter N, der am Ort des Leiters

herrschenden Flussdichte B, der aktiven Leiterlänge l und der Leitergeschwindigkeit v gegeben.

(2.1)

Mit diesem Ansatz erhält man für die an den Bürsten abgenommene Spannung folgende Beziehung:

(2.2)

Abb. 2.1

z und 2a stellen jeweils die Zahl der Ankerleiter und Ankerzweigpaare dar. Die Ankerzweige treten

immer paarweise auf. p ist die Polpaarzahl und beträgt für eine vierpolige Gleichstrommaschine zwei und

für eine zweipolige eins. n ist die Ankerdrehzahl. Dies ist die erste Hauptgleichung der

Gleichstrommaschine.

Außerdem führen wir die sogenannte Polbedeckung als den Quotienten aus Polbreite und Polteilung

ein.

(2.3)

p = 2 p = 1

Bei gängigen Maschinen beträgt die Polbedeckung ca. = 0,7. Das heißt, 70 % der Ankerleiter befinden

sich unter einem Hauptpol. Siehe Abb. 2.2.

Über die Polbedeckung kann also der Fluss jedes Poles durch die Spulen berechnet werden:

(2.4)

In (2.4) ist die Polteilung:

(2.5)

r ist Radius des Ankers.

Somit kann die Beziehung (2.1) umformuliert werden:

(2.6)

Im Rahmen dieses Versuchs kann der Faktor in (2.2) als eine Maschinenkonstante angenommen

werden. Er gibt Aufschluss über die Anzahl der Ankerzweigpaare, Polpaarzahl und Anzahl der

Ankerleiter.

Abb. 2.2

Wenn wir den Ankerstrom mit bezeichnen, erhalten wir für die innere Leistung der Maschine:

p n (2.7)

Mit dem inneren Drehmoment, das den Wert:

(2.8)

annimmt. Dies ist die zweite Gleichung der Gleichstrommaschine. Sie besagt, dass das Drehmoment eines

Gleichstrommotors proportional zum Fluss pro Pol und zum Ankerstrom ist. Mit den Beziehungen (2.4)

und (2.5) kann man für das Nenndrehmoment* der Maschine in (2.8) schreiben:

(2.9)

Offensichtlich ist durch das Nennmoment die Baugröße (Volumen des Läufers) bestimmt. In (2.9) ist D

der Durchmesser von Anker. Siehe dazu [Böd./Seq.] Seite 289 bzw. [Kremser] Seite 15.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

* Zur Überwindung von Luft- und Lagerreibung wird ein Drehmoment benötigt. Außerdem ist den Eisenverlusten im Anker auch

ein Drehmoment zuzuordnen. Diese werden vernachlässigt und es werden deshalb hier die Bezeichnungen bzw. für

Nenndrehmoment und Nennstrom benutzt.

Erregungsarten und Betriebsverhalten

3.1 Nebenschlussmaschine

Mit Gleichstromnebenschlussmaschinen werden hochpräzise und hochdynamische geregelte Antriebe

realisiert. Sie ist die wichtigste elektrische Maschine.

Abb.3.1 zeigt den Gleichstrommotor in Nebenschlussschaltung. Man erkennt sofort, dass hier der

Erregerkreis parallel zum Anker geschaltet ist. Wir werden uns mit den Eigenschaften dieser Maschine

und ihrem Einsatzgebiet vertraut machen. Die Erregerspule habe den Ohmschen Widerstand , der

Anker den Ohmschen Widerstand . Vor dem Anker sei der einstellbare Widerstand und vor der

Erregerspule ein einstellbarer Vorwiderstand geschaltet. dient der Begrenzung des Anfahrstromes

(bei ist der Ankerstrom maximal). Und mit kann der Fluss , der den Anker durchsetzt

geregelt werden. Ein Maschenumlauf liefert die Gleichung:

(3.1)

Aus der ersten Hauptgleichung (2.2) hatten wir für :

(3.2)

Andererseits gilt für den Erregerkreis die Gleichung:

(3.3)

(3.4)

Abb. 3.1

Bei einem Drehmoment von Null ( ) nimmt die Maschine nach (3.8) die ideelle

Leerlaufdrehzahl an, um dann im Motorbetrieb mit wachsendem Drehmoment langsamer zu

werden. Die Drehzahl n fällt umso stärker ab je größer ist. Der Nebenschlussmotor geht ohne

Schaltungsänderung vom Motor- in den Generatorzustand über (generatorische Nutzbremsung für

). Nebenschlussmotoren können deshalb als Generator bei Bremsung arbeiten, wenn eine

Hilfsspannungsquelle oder eine Restmagnetisierung dafür sorgen, dass beim Start des Bremsvorganges

eine Erregung vorhanden ist.

Außerdem ist eine sogenannte Widerstandsbremsung möglich.Der Motor als Generator betrieben und

seine Energie über Widerstände in Wärme umgewandelt. Dabei wird nur der Anker vom Netz getrennt

und auf einen (externen) Widerstand geschaltet. Die Erregerwicklung wird weiterhin vom Netz gespeist,

damit ein konstanter Fluss aufrechterhalten bleibt.

Eine Drehrichtungsumkehr ist durch Umpolen der Anschlüsse der Erregerwicklung oder des Ankerkreises

möglich. Dies entspricht einer Vorzeichenumkehr der Spannung.

Abb. 3.3

3.2 Reihenschlussmaschine

Bei der Reihenschlussmaschine sind Erreger- und Ankerkreis in Reihe geschaltet und werden von

demselben Strom durchflossen. Damit ist der Ankerstrom gleichzeitig der Erregerstrom der Maschine.

Dies hat eine Abhängigkeit des Flusses vom Ankerstrom und der Drehzahl zur Folge. Der Fluss ist nicht

mehr konstant. Er hängt also von der Last ab! dient der Begrenzung des Anfahrstromes und mit

wird der Fluss beeinflusst.

(3.10)

Der Zusammenhang zwischen Erregerfluss und Belastungsstrom I wird durch eine Kennlinie

beschrieben, die der Magnetisierungskennlinie der Maschine entspricht. Diese wird zur Vereinfachung

durch eine idealisierte Kennlinie ersetzt. Wir treffen die Annahme, dass unterhalb des

Sättigungsbereiches der Fluss linear mit dem Belastungsstrom anwächst und im Sättigungsbereich der

Fluss einfach konstant ist. Diese Annahme lässt folgern, dass der Motor im Sättigungsgebiet wegen des

konstanten Erregerflusses ein ähnliches Verhalten wie der Nebenschlussmotor haben muss. Das bedeutet,

dass mit zunehmender Belastung, im Sättigungsgebiet die Drehzahl nur wenig abfällt und das

Drehmoment näherungsweise proportional mit dem Strom zunimmt. Deshalb muss der

Reihenschlussmotor unterhalb von Sättigung betrieben werden, wenn wir ein anderes Verhalten erwarten.

Abb. 3.4

Abb. 3.5

Unterhalb des Sättigungsbereichs ist der Erregerfluss dem Belastungsstrom proportional.

(3.11)

ist eine Maschinenkonstante und wird ähnlich wie die Faktoren und aus Abschnitt 2 durch den

konstruktiven Aufbau und die magnetischen Eigenschaften des verwendeten Materials bestimmt.

(3.11) eingesetzt in (3.2) ergibt:

(3.12)

Hier ist I der Ankerstrom und eine neu eingeführte Maschinenkonstante.

Damit können wir eine Beziehung zwischen Drehmoment und Laststrom angeben.

(3.13)

In Abb. 3.6 ist auch eine Abhängigkeit der Drehzahl vom Strom eingezeichnet, was später in (3.16)

hergeleitet wird.

Wir betrachten außerdem das Drehmoment-Drehzahl-Verhalten:

(3.14)

Mit (3.12)

(3.15)

Wir Lösen (3.15) nach n auf:

(3.16)

Und durch Ersetzen des Stromes aus (3.13) folgt

Abb. 3.6

Erregerkreisspannungen gegeben. Ein Nachteil ist der Aufwand zur Bereitstellung zweier unabhängigen

Gleichspannungsquellen.

Ausgehend von den Grundgleichungen kann hier analog zu (3.8) ebenso eine Beziehung für die

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie hergeleitet werden:

(3.19)

Der Ankerwiderstand wird immer möglichst kleingehalten, damit ein hoher Wirkungsgrad erzielt werden

kann. Damit ist bei richtig dimensionierten Gleichstrommotoren mit Fremderregung ein ziemlich flacher

Abfall der Drehzahl bei steigendem Lastmoment festzustellen. Die Kennlinie ähnelt jener aus Abb. 3.3

wobei hier kein angenommen wird.

Literatur

Rolf Fischer: Elektrische Maschinen, Carl Hanser Verlag, 12. Auflage, 2003

G. Müller/B. Ponick: Grundlagen elektrischer Maschinen, WILEY-VCH Verlag, 9. Auflage, 2005

K. Fuest/P. Döring: Elektrische Maschinen und Antriebe, Vieweg Verlag, 6. Auflage, 2004

A. Kremser: Elektrische Maschinen und Antriebe Grundlagen Motoren und Antriebe, Teubner Verlag, 2. Auflage,

2004

T. Bödefeld/H. Sequenz: Elektrische Maschinen, Springer Verlag, 5. Auflage 1952

Abb. 3.8

Vorbereitende Aufgaben

1. Gegeben sei ein Nebenschlussmotor mit folgenden Daten:

Leistung = 3,2 kW

Drehzahl n = 1450

Ankerwicklungswiderstand: = 1,2 Ω

Erregerwicklungswiderstand: = 165 Ω

Nennstrom I = 17 A

Nennspannung U = 220 V

a) Der Motor wird mit einem Moment so belastet, dass der genannte Nennstrom fließt.

Dabei stellt sich die angegebene Drehzahl ein. Berechnen Sie die Anker- und

Erregerströme. In der Ankerwicklung wird eine Spannung induziert. Wie groß ist

diese? (es existieren hier keine Vorwiderstände in Erreger- oder Ankerkreis).

b) Nun wird der Motor derart belastet, dass nur der halbe Nennstrom fließt. Berechnen Sie

die Anker- und Erregerströme erneut. Bestimmen Sie die sich bei dieser Belastung

einstellende Drehzahl. Um wie viel Prozent ist hier die Drehzahl gestiegen?

Kommentieren Sie Ihr Ergebnis!

c) Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors als Verhältnis der abgegebenen zur

aufgenommenen Leistung.

2. Gegeben sei ein Reihenschlussmotor mit folgenden Daten:

Leistung = 75 kW

Drehzahl n = 970

Ankerwicklungswiderstand: = 20 mΩ

Erregerwicklungswiderstand: = 8,6 mΩ

Nennstrom I = 380 A

Nennspannung U = 220 V

Wir nehmen an, dass der Motor bei Strömen kleiner als der Nennstrom unterhalb des

Sättigungsbereichs und bei größeren Strömen oberhalb davon arbeitet.

a) Bestimmen Sie Drehzahl und Drehmoment bei einer Belastung, die einen halben Fluss

des Nennstroms hervorruft.

b) Bei einer kurzzeitigen Überlastung des Motors soll der 1,5 fache Nennstrom fließen. Wie

groß sind Drehzahl und Drehmoment? Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse!

Versuchsaufgaben

1. Machen Sie sich zunächst ein allgemeines Bild über den Versuchsaufbau und erklären Sie die

vorhandenen Komponenten und ihre Funktion.

2. Nehmen Sie ein Oszillogramm der Generatorspannung auf. Verbinden Sie dazu beide Maschinen.

Messen Sie verschiedene Wertepaare aus der bereitgestellten Versorgungsspannung und der sich

ergebenden Drehzahl. Mit welchem Eingriff in den Aufbau Können Sie die pulsierende

Gleichspannung in eine Wechselspannung umwandeln?

3. Wir haben verschiedene Möglichkeiten zur Drehzahlstellung kennengelernt.

a) Verschalten Sie den Motor als Nebenschlussmaschine und messen Sie die Leerlaufdrehzahl

bei einer Versorgungsspannung von 3 Volt. Erzeugen Sie durch Ändern von eine

Feldschwächung des Erregerkreises im Luftspalt und messen Sie erneut.

b) Lassen Sie verschiedene Werte annehmen. Was ist zunächst festzustellen. Stellen Sie

(sekundärseitig) ein größeres Lastmoment für den Motor bereit. Nehmen Sie mit

verschiedenen Vorwiederständen mindestens zwei Kennlinien für das Drehzahl-Verhalten

in Abhängigkeit des Lastmoments auf.

c) Machen Sie eine Drehzahlmessung des fremderregten Nebenschlussmotors über die

Spannugssteuerung (hier werden Erregerstrom und der Fluss konstant gehalten). Messen Sie

dabei jedes Mal den Ankerstrom bei konstanter Last. Was stellen Sie fest? Erklären Sie

anhand dieser Erkenntnis und der Hauptgleichungen das Nebenschluss-Verhalten!

4. Verschalten Sie nun den Motor als Reihenschlussmaschine. Nehmen Sie eine Drehzahl-Kennlinie

des Reihenschlussmotors in Abhängigkeit von Lastmoment auf. Was stellen Sie dabei fest?

Anhang

Versuch 6

Transiente Vorgange

- 1

1. Prellender und nicht prellender Schalter

Der idealer Schalter S :

Im Zustand „ein” ist der Innenwiderstand des Schalters Ri = 0 , also L

B

R

UI = und UQE = 0 V.

Im Zustand „aus“ ist der Innenwiderstand des Schalters Ri = ∞ , also I = 0 A und UQA = +UB.

Abb 1.1: idealer Schalter Abb.1.2: idealer Schalter

im eingeschalteten Zustand im ausgeschalteten Zustand

Eigenschaften des idealen Schalters S:

• schaltet unendlich schnell

• lässt sich prellfrei schalten

• die vom Schalter aufgenommene Leistung ist immer gleich null, da entweder der Strom I oder

die Spannung U gleich Null ist

Kein realer Schalter kann diese Eigenschaften erfüllen.

- 2 -

Der reale Schalter S :

Ein einfaches Modell eines realen Schalters berücksichtigt die Tatsache, dass die Widerstände Null

und unendlich nicht zu erreichen sind.

Im Zustand „ein”: einL

B

RR

UI

+= und

einL

einBQE

RR

RUU

+=

Im Zustand „aus“: ausL

B

RR

UI

+= und

ausL

ausBQA

RR

RUU

+=

Abb. 1.3: realer Schalter Abb. 1.4: realer Schalter

im eingeschalteten Zustand im ausgeschalteten Zustand

In beiden Schalterstellungen fließt ein Strom und es fällt eine Spannung am Schalter ab, d.h. er

verbraucht Leistung (er wird warm).

Mechanische Taster und Schalter haben aber auch den Nachteil, dass sie durch ihren Aufbau

prellen. Werden sie betätigt, wird durch das Kippen eine Kraft auf den Kontakt ausgelöst.

Dadurch wird der Schalter in einem Bruchteil von Millisekunden mehrmals geöffnet und

geschlossen, dass auch als Prellen bezeichnet wird. In der Digitaltechnik werden aber

prellfreie (möglichst ideale) Zustände gefordert (z.B. Zähler, Speicher). So wird

gewährleistet, dass bei der mechanischen Dateneingabe (z.B. über eine Tastatur), die

unkontrolliert entstehenden Prellimpulse nicht zu Datenfehleingaben führen.

- 3 -

Das Prellen eines Schalters wird z.B. durch ein RS-Flip-Flop verhindert. Durch die hohe

Schaltgeschwindigkeit speichert es den ersten Schaltvorgang des mechanischen Schalters.

Aufbau eines RS- Flip- Flops :

Abb.1.5: Aufbau eines prellfreien Schalters mit einem RS-Flip-Flop

Die beiden Pullup-Widerstände liegen zwischen den Eingängen des Gatters und +Ub. Diese

Widerstände bewirken, dass beim Öffnen des Schalters an einem Kontakt die Spannung am Eingang

des Gatters auf logisch HIGH gesetzt wird. So wird garantiert, dass bei einem offenen Kontakt der

korrekte logische Eingangspegel angelegt ist.

- 4 -

Der CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) – Inverter :

Im weiteren Verlauf soll das Schaltverhalten eines CMOS-Inverters untersucht werden. Dieser ist mit

dem CMOS „IRF7389“ aufgebaut worden.

Abb.1.6: Aufbau des CMOS-Schalters

Der CMOS-Inverter besteht aus zwei in Reihe geschalteten, komplementären, selbstsperrenden FETs,

dem PMOS- und dem NMOS-Transistor. Verallgemeinert besteht jedes elementare CMOS-Gatter

prinzipiell aus einem sogenannten P-Block (bzw. Pullup-Block) und einem N-Block (bzw. Pulldown-

Block). Als komplementär bezeichnet man die beiden Blöcke, da beim Aufschalten eines festen

Eingangssignals nur jeweils einer der beiden Blöcke leitend wird.

Über das Gate G kann die Strecke Source S und Drain D leitend gemacht werden. Liegt keine

Spannung zwischen Gate und Source eines der beiden Transistoren, ist die als Kanal bezeichnete

Strecke Source–Drain gesperrt. Daher wird diese Art von Transistoren als selbstsperrend bezeichnet.

Da das Gate isoliert gegenüber den anderen Anschlüssen des Transistors aufgebaut ist, d.h. es kann

kein Strom fließen, reicht zur Steuerung des Kanals und somit des Stromflusses zwischen Source und

Drain ein elektrisches Feld. Im Gegensatz zu den bipolaren Transistoren ist bei den CMOS-

Transistoren nur jeweils die Ladungsträgerart, die den Kanal letztlich ausbilden, am Stromfluß

beteiligt (Leitung durch Minoritätsträger). Nach der Ladungsträgerart des Kanals werden MOS-

Transistoren namentlich gekennzeichnet.

- 5 -

Wird an den Eingang des PMOS-Transistors logisch LOW gesetzt, so ist die Spannung Ugs negativ

und er wird leitend. Der NMOS-Transistor sperrt und daher wird der Ausgang auf logisch HIGH

gesetzt. Liegt am Eingang die volle Spannung Uin,, so wird der NMOS-Transistor leitend, und der

PMOS sperrt, daher wird der Ausgang auf logisch LOW gesetzt.

- 6 -

2. Aufschalten eines Strom- und eines Spannungssprunges an verschiedene

Netzwerke

In diesem Versuchsteil soll der Einschaltvorgang an verschiedenen Netzwerk-Kombinationen bei

Aufschalten eines Strom- und eines Spannungssprunges untersucht werden. Um den Spannungs-

sprung zu realisieren, genügt es, das Netzwerk direkt an den Signalgenerator anzuschließen. Zur

Realisierung des Stromsprungs wurde die untere OP- Schaltung aufgebaut.

Abb. 2.1: Invertierende OP- Schaltung zur Realisierung des Stromsprunges

An die mit „M“ gekennzeichneten Klemmen im oberen Abbild wird das zu untersuchende Netzwerk

angeschlossen.

2.1 RC- Kombination

für einen Spannungssprung gilt:

- 7 -

Für die Spannung über der Kapazität gilt :

∫⋅= dt)t(IC

1)t(UC

aus der Maschengleichung folgt :

0CR UUU =+

∫ =+⋅ 0Udt)t(IC

1)t(IR

Unter Anwendung der Laplace-Transformation :

s

U)]t(I[L

Cs

1)]t(I[LR 0=⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

=

Cs

1Rs

U)]t(I[L 0

C

1Rs

U)]t(I[L 0

+⋅

=

ergibt sich für den Strom :

−

⋅=τ

texp

R

U)t(I 0

und für die Spannung :

R0C UU)t(U −=

)t(IRU)t(U 0C ⋅−=

−

⋅⋅−=τ

texp

R

URU)t(U 0

0C

−

−⋅=τ

texp1U)t(U 0C

−

τ

texp CR ⋅=τ

CR

1s

1

⋅+

mit

- 8 -

0 1 2 3 4 5 6 7 80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

uC(t)/u

0

iC(t)/i

0

i C(t

)/i 0

, u

C(t

)/u

0

t/τ

Abb. 2.2: Zeitlicher Verlauf der normierten Spannung uC(t) und des normierten Stromes iC(t)

2.2 RL- Kombination

für einen Spannungssprung gilt:

Die Spannung über der Spule ergibt sich zu :

dt

di(t)Ls)t(U L ⋅=

Aus der Maschengleichung folgt :

LR0 UUU +=

- 9 -

Unter Anwendung der Laplace-Transformation mit I(0)=0 :

)]t(I[LsL)]t(I[LR]U[L s0 ⋅⋅+⋅=

L[I(t)]RL[I(t)]sLs

Us

0 ⋅+⋅⋅=

( )RsLs

U)]t(I[L

s

0

+⋅⋅=

+⋅⋅

=

s

s

0

L

RssL

U)]t(I[L

ergibt sich für den Strom:

⋅−−⋅=

s

0

L

tRexp1

R

U)t(I

−

−⋅=τ

texp1

R

U)t(I 0 mit

R

LS=τ

0 1 2 3 4 5 6 7 80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

uL(t)/u

0

iL(t)/i

0

i L(t

)/i 0

, u

L(t

)/u

0

t/τ

Abb. 2.3: Zeitlicher Verlauf der normierten Spannung uL(t) und des normierten Stromes iL(t)

( )1)taexp(a

1−⋅⋅)as(s

1

−⋅

- 10 -

3. Transformator bei Einschalten einer Wechselspannung mit verschiedener

Phasenlage

Dieser Versuchsteil beschäftigt sich mit dem direkten Einschwingen eines Transformators.

Abb. 3.1: Ersatzschaltbild eines Übertragers

Der Übertrager soll mit einer Sinusspannung mit veränderlicher Phasenlage Φ0 angesteuert werden:

( ) ( )00 tsinUtU Φ+= ω

Aus den beiden Maschengleichungen ergibt sich:

dt

diM

dt

diLiR)t(U 21

1 ⋅+⋅+⋅=

dt

diM

dt

diLiR0 12

2 ⋅+⋅+⋅=

mit R

L=τ und

L

Mk =

hieraus folgt:

( ) ( )( )

( ) ( )2222

000

1

sks1

sL

1ssinscosU

)s(i

ωτ

τω

+

−

+

+Φ+Φ

=⇒

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )2222

0002

sks1

sL

kssinscosUsi

ωτ

ω

+

−

+

Φ+Φ−=⇒

- 11 -

Da die Rücktranformation dieser Gleichungen nicht einfach ist und sich sehr lange Terme

ergeben, wurde hier die Rücktranformation mit Maple für konstante Werte durchgeführt.

Mit U = 10 V, f = 100 kHz, L = 22 mH, k = 0.9, τ = 150 µs und Φ0 = 0° ergibt sich:

( ) mAms

t2.628sin38.0

ms

t2.628cos77.3

ms

t51.3exp19.0

ms

t7.66exp58.3ti1

+

−

−+

−=

( ) mAms

t2.628sin38.0

ms

t2.628cos39.3

ms

t51.3exp19.0

ms

t7.66exp58.3ti2

−

+

−+

−−=

0 20µ 40µ 60µ 80µ 100µ-8m

-6m

-4m

-2m

0

2m

4m

6m

8m

Str

om

[A

]

Zeit [s]

i1(t)

i2(t)

Abb. 3.2: zeitlicher Verlauf der Ströme im Transformator (Φ0 = 0°)

Hält man alle Werte konstant und ändert nur die Phasenlage Φ0 = 90°, so ergibt sich:

( ) mAms

t2.628sin77.3

ms

t2.628cos38.0

ms

t51.3exp10

ms

t7.66exp38.0ti

31

+

+

−−

−−= −

- 12 -

( ) mAms

t2.628sin39.3

ms

t2.628cos38.0

ms

t51.3exp10

ms

t7.66exp38.0ti

32

−

−

−−

−= −

0 20µ 40µ 60µ 80µ 100µ

-4m

-2m

0

2m

4m i

1(t)

i2(t)

Str

om

[A

]

Zeit [s]

Abb. 3.3: zeitlicher Verlauf der Ströme im Transformator (Φ0 = 90°)

- 13 -

4. Aufschalten eines Spannungsprunges an eine lange Koaxialleitung mit

verschiedenen Abschlüssen

Untersucht werden soll, dass durch eine lange Koaxialleitung mit verschiedenen Abschlüssen

unterschiedliche Reflexionen entstehen können.

Abb. 5.1: Leitung mit Generator und beliebigen Abschlusswiderstand(Wellenwiderstand ZL)

Das Spannungsverhältnis Le

Le

h

r

ZZ

ZZ

U

Ur

+

−== am Ende der Leitung wird auch Reflexionsfaktor

genannt.

Ur ist die Spannung der reflektierten Welle am Abschlusswiderstand.

Uh ist die Spannung der hinlaufenden Welle am Abschlusswiderstand.

Für den Fall, dass der Abschlusswiderstand genau so groß wie der Leitungswiderstand ist (Ze = ZL) ,

ergibt sich r = 0. Also keine Reflexion am Ende der Leitung.

Ist das Ende der Leitung kurzgeschlossen, Ze= 0 folgt, dass r = -1 ist. Daher herrscht vollkommene

Reflexion am Ende der Leitung. Allerdings wird die Welle invertiert.

Bleibt das Ende der Leitung offen, Ze= ∞ folgt, dass r = +1 ist. Daher herrscht auch hier vollkommene

Reflexion am Ende der Leitung.

- 14 -

5. RC- Kauer Filter als Netzwerk mit Diffusionsverhalten

Abb. 6.1: RC- Kauer Filter

Für dieses Netzwerk wurde in der Vorlesung „Grundlagen der Elektrotechnik“ die Differential-

gleichung aufgestellt.

Die Differentialgleichung lautet:

)t,x(Udt

d´C´R)t,x(U

dx

d2

2

⋅⋅= , wobei τ=⋅C´R´ ist

und entspricht der Wärmeleitungsgleichung.

Diese Differentialgleichung ist in der Vorlesung für den Fall gelöst worden, dass U(t) ein Dirac-Stoß

δ(t) bzw. eine Sprungfunktion ε(t) ist.

Im Rahmen dieses Versuchs betrachten wir nur die Lösung der Differentialgleichung bei Aufschalten

einer Sprungfunktion ε(t) für eine unendlich lange Kette.

Als Lösung ergibt sich für die Spannung U(x,t):

für den Gesamtstrom I(0,t) ergibt sich:

tt 2

1

2

1

02

2U

´R

1)t,0(i

−−∝⋅⋅⋅=

τ

π

⋅−⋅= ∫

⋅

−t2

x

0

U0 due

21U)t,x(U

2

τ

π

- 15 -

für den Fall, dass diese RC- Kombination unendlich lang ist, ist der Gesamtstrom I(0,t) also

proportional zu t-0.5

.

In diesem Versuch sind zur Modellierung 7 diskrete RC-Glieder aufgebaut worden.

- 16 -

Vorbereitende Aufgaben:

Für die Anfangsbedingungen für die Laplace-Transformation gelte jeweils I(t) = 0 und

U(t) = 0 für t < 0.

1. Wie sieht im Falle eines Stromsprunges für die beiden unten abgebildeten Schaltungen, die

Spannung U(t) über der Kapazität C bzw. über der Induktivität L aus?

Skizzieren Sie die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung!

2. Bestimmen Sie die Spannung U(t) bei der unten abgebildeten RC- und RL-

Kombination im Falle eines Spannungssprunges am Eingang.

Lösen Sie dazu die erforderlichen Differentialgleichungen mit Hilfe der in der Vorlesung

behandelten Laplace- Transformation!

Skizzieren Sie die zeitlichen Verläufe!

- 17 -

3. Auf die obigen Netzwerke soll nun anstatt des Spannungssprunges ein Stromsprung

aufgeschaltet werden.

Berechnen Sie nun die Spannung U(t) mit Hilfe der Laplace-Transformation und skizzieren

Sie die zeitlichen Verläufe!

- 18 -

Versuchsdurchführung :

1. Prellender und nicht prellender Schalter

Überprüfen Sie die am Messplatz befindlichen mechanischen Schalter, das RS-Flip-Flop und

den CMOS-Schalter auf ihr Prellverhalten. Stellen Sie hierzu das Oszilloskop auf einen

Zeitbereich von 50µs ein und nehmen Sie jeweils den Einschaltvorgang auf.

Was ist hierbei zu erkennen?

2. Aufschalten eines Strom- bzw. Spannungssprunges an verschiedene Netzwerke

Schalten Sie an verschiedene Netzwerke jeweils einen Spannung- und einen Stromsprung und

nehmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung über der Kapazität bzw. der Induktivität auf.

Legen Sie hierzu ein Rechtecksignal mit 5V Amplitude und einer Frequenz von 2kHz an.

Beim Stromsprung ist die Stromquelle mit dem 1k Widerstand zu betreiben. Das

Oszilloskop ist auf einen Zeitbereich von 2ms einzustellen.

a) RC-Kombination

b) RC-Kombination mit Widerstand parallel zu C

c) RL-Kombination

d) RL-Kombination mit Widerstand parallel zu L

e) Transformator

Ergibt sich ein von Ihnen erwarteter Verlauf für die Spannung?

3. Einschwingverhalten eines Transformators bei Einschalten einer

Wechselspannung verschiedener Phasenlage

Überprüfen Sie den direkten Einschwingvorgang an einem Transformator bei der Ansteuerung

einer Wechselspannung mit verschiedenen Phasenlagen. Nehmen Sie hierzu den zeitlichen

Verlauf des Stromes auf der Sekundärseite bei Abschluss dieser mit einem Widerstand auf.

Als Signal ist das Arbiträrsignal des Generators zu wählen, welches mit dem PC programmiert

werden kann. Die Frequenz beträgt 30kHz und die Oszilloskopeinstellung 10µs. Der

Signalgenerator wird mit dem Flip-Flop getriggert. Die Phasenlage beträgt = 0°, = 45° und

= 90°

- 19 -

4. Zeitlicher Verlauf der magnetischen Feldstärke in einem leitenden Zylinder bei

Aufschalten eines Stromsprunges

Bei einem Aluminiumzylinder soll der zeitliche Verlauf der magnetischen Feldstärke H(r,t) in

Abhängigkeit des Abstandes vom Mittelpunkt des Zylinders aufgenommen werden. Hierzu

wird der Zylinder mittels einer Transistorschaltung von einem Rechteckstrom durchflossen.

Hierzu wird der Transistor vom Signalgenerator mit einem Rechtecksignal der Höhe 5V und

mit dem Offset 2,5V angesteuert. Die Frequenz beträgt 10Hz und das Oszilloskop wird auf

20ms eingestellt. Kanal 2, mit welchem das Ausgangssignal eine KMZ zur

Magnetfeldmessung ausgelesen wird, muss auf AC-Kopplung eingestellt werden.

Wie ändert sich der zeitliche Verlauf und wie ist dieser Verlauf zu erklären (Skineffekt)?

5. Aufschalten eines Spannungssprunges auf eine lange Koaxialleitung mit

verschiedenen Abschlüssen

Schalten Sie dazu auf die am Messplatz befindliche Koaxialleitung einen Spannungssprung.

Die Leitung soll hierzu am Ende unterschiedlich abgeschlossen werden (R = 0 , R = 50

und R = ). Ein Rechtecksignal mit 200kHz und 5V Amplitude wird verwendet. Das

Oszilloskop ist auf 500ns einzustellen.

Bei welchen Abschlüssen entsteht eine reflektierte Welle?

Berechnen Sie die Länge des Koaxialkabels, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle

2/3 der Lichtgeschwindigkeit beträgt.

6. RC-Kauer Filter als Netzwerk mit Diffusionsverhalten

Messen Sie die einzelnen Ströme und Spannungen an einem diskret mit 7 Gliedern

aufgebauten Netzwerk. Ein Rechtecksignal der Frequenz 10Hz und der Amplitude 5V wird

verwendet. Das Oszilloskop wird auf 10ms eingestellt.

Wie ist der zeitliche Verlauf der Ströme und Spannungen zu erklären?

- 20 -

Originalfunktion f(t) Laplace-Transformation fb(s)

( )tδ 1

( )at −δ ase−

1 s

1

t 2s

1

2t2

1

3s

1

3t!3

1

4s

1

nt!n

1

1ns

1+

(n > 0, ganzzahlig)

ate as

1

−

a

t

ea

1 −

as1

1

+

( )1ea

1 at − ( )ass

1

−

a

t

e1−

− ( )as1s

1

+

atte ( )2

as

1

−

a

t

2te

a

1 −

( )2

as1

1

+

( )at

1n

e!1n

t

−

−

( )n

as

1

− (n > 0, ganzzahlig)

ba

ee btat

−

−

( )( )bsas

1

−−

ba

ee b

t

a

t

−

−−−

( )( )bs1as1

1

++

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Elektrotechnisches Grundlagenpraktikum INHALT · P ist die durch die Dipole hervorgerufene Flächenladung, die Polarisation. Für die Für die allgemeine Materialgleichung erhält