Elementare Studie uber konvexe Rotationskorper. Von HUGO HADWIGER in Bern.

(Eingegangen am 7. 1 . 1949.)

Es bezeichne a den Aquatorradiusl), M das Integral der mittleren Kfiinimung, F die Oberflache iind V das Volumen eines konvexen Rotationskijrpers A . Zwischen den vier MaBzahlen a , M, F und V bestehen mannigfaltige Un- gleichungen, und es sind hauptsachlich vier solche, aje heute bekannt sind und die als Verscharfungen der fur beliebige konvexe Korper giiltigen klassischen Ungleichungen (1") MZ- 4 n F 2 0 ,

(3") @ - 6 1 n V 2 0 , (2") M3 - 1 8 ~ 2 V 2 0,

(4O) F' - 3 M V 2 0

angesehen werden konnen. Diese in teilweise noch ullgemeinerer Porni von T. BONNESEN 2), A. DING HAS^), E. SCHMIDT4) u. a. behandelten Ungleichungen lauten (1) (2)

1%" -- 4nF 2 ( M - ~ x u ) ' , M 3 - 48+V 2 ( M - 4 ~ ~ 2 ) ' ( M + ~ x u ) ,

(3) IF3- 617dV 2 ( i F - 2 i ; ~ ) ~ ( i F + i n u ) ,

13ie vorliegende Studie bringt eine im wesentlichen Teil vollig elementare Entwicklung, welche einmal die vier angegebenen bekannten Ungleichungen ( 1 ) bis (4) liefert, dann aber auch die vier folgende'n zu den obigen entgegengesetzt orientierten Ungleichungen ( 5 ) bis (8), namlich

(4) F'- 3 M V 2 ( F - uM) ' .

(5) M' - 4nF 5 ( M - 21ta)Z + 4x'(n - 3 ) ~ ' ,

( 6 ) MS - 48n2 V 5 M ( M - 4 n a ) ( M + 4na) + 16n4a3,

13'- 6 f R V 5 ~(13- 2 f G ) + ( M + ~ Z U - 4n2n),

1) UntRr den1 Aquatorradius verstehen wir den Radius eines grijBtcn Breitenkreiscs. 2) T. BONNESEN, Quelques problhmes isop6rim6triques. Acta math., Uppsala 48 (1926),

123-178; Beweis fiir die Maximaleigenschaft der Kugel nehst einem Beitrag zur Theorie der konvexen Korper. Math. Ann., Berlin 95 (1925), 267-276.

3) A. DINOKAS, Elementarer Beweis einer Ungleichung fiir konvexe Kijrper. Abh. PreuB. Akad. Wiss., math.-nnturw. K1. 1939, Nr. 9.

4 ) E. SCHMIDT, uber das isoperimetrische Probleni im Raum van n Dimensionen. Math. Z. 44 (1939), 889-788.

Hadwiger, Elementare Studie iiber konvexe Rot.ationskorper. 1 1 5

ergibt,, Die Relationen (1 ) bis (8) sind passend gewahlte Umformungen der folgenden iquivalenten Ungleichungen

F 5 2 a M - h a ? ,

3V13a"-88xa3,

6 V 2 3 a F - 4 n a 3 ,

3 V 5 2 n F - a 2 M ,

F Z a M - n(z - 2)a3,

3 V 2 azM - n?a3, 3 V Z a F - 2 p a 3 ,

V 2 aF - azM + x ( n - 2)a3

Das Gleichheitszeichen steht in den Ungleichungen (1) bis (3) fur den Kugel- zylinder, insbesondere also auch fur die Kugel; in Ungleichung (4) dagegen allgemeiner fur den Kappenkorper des Kugelzylinders, insbesondere also auch fiir den Kuppenltorper der Kugel. In den Ungleichungen ( 5 ) bis (7) gilt das Gleichheitszeichen fur die Kreisscheibe, in Ungleichung (8) dagegen allgemeiner fiir den Zylinder.

I. In diesem ersten Abschnitt betrachten wir polygonale Rotationskorper') ;

dies sollen solche sein, die sich durch orthogonal zur Achse gefuhrte Schnitte in endlich viele Kegelstumpfkorper zerlegen lassen. Ihr geometrischer Aufbau sowie auch ihre re,chnerische Erfassung gestalten sich damit elementar.

Es sei nun A0 ein derartiger polygonaler Rotationskorper, dessen Achse wir uns horizontal und durch einen Achsenvektor von links nach rechts orientiert denken. Es sollen jetzt S, (Y = 1, 2 , . . . , n) die n von links nach rechts nume- rierten Kegelstumpfsegniente bezeichnen, in welche sich Ao zerlegen laat. Die beiden links- bzw. rechtsseitigen Bodenradien des Segmentes S, seien durch r v - l bzw. r, gegeben. Ferner bedeute u, den Winkel, der von dem nach auf3en gerichteten Normalenvektor der Mantelflache von S, mit dem Achsenvektor gebildet wild.

Einige weitergehende Voraussetzungen uber Ao werden noch in den nach- folgend aufgefiihrten Bedingungen priizisiert. Es sei niimlich

(9) r o < r l < - - ~ < r , , , > r m + l > - - - > r n ,

(10) r o = 0, r,& = 0, r,= a .

Damit ist festgelegt, da13 Ao eine Aiquatorkante, nicht aber ein zylindrisches -4qu&orstiick enthiiilt ; ferner reduzieren sich offenbar das Anfang- und das SchluBsegment auf gewohnliche Kegelkorper.

In bezug auf die Winkel halten wir folgende Beziehungen fest :

(11) n > a1 > > - * - > u, > 0,

l) Die Oberfliiche kann durch Rotation ekes konvexen Polygons erzeugt werden.

116 Radwiger, Elementare Studie tiber konvexe Rotationsliiirper.

wobei wir noch besonders die beiden Winkel der an die Aquatorkante links und rechts anschlieBenden Segmente durch

etwas einfacher bezeichnen aollen. Weiter ist es fur das Folgende recht niitzlich, die beiden rein formal eingefuhrten Hilfswinkel

zur Verfiigung zu haben. Bezeichnen nunmehr M,, F, und V , die drei MaBza-hlen des Kegelstumpf-

segmentes S,, so lassen sich die entsprechenden MaBzahlen des ganzen poly- gonalen Rota,tionskorpers Ao auf Grund ihrer additiven Eigenschaften durch die Ansatze

(14)

.(13) u o = z , an+l = 0

n n

1 1 M = Z M , - n'zr,,

n n F = ZF, - ~ Z Z T ; ,

1 1

n v = z v v

1 gewinnen. Nun ist aber

(17) M , = zarv - l + z ( tgav - a,) @,-I - r,J,

so daB sich die Ausdriicke [beachte (lo)] n

M = II: 2 ( T , - ~ - 7,) (tgcc, - a,), 1

(20)

oder nach passender Urnrechnung [beachte (13)j die Darstellungen

(24)

z n (25) V = 2' rp [tga,+, - tga,]

0 ergeben.

Hadwiger, Elementare Studie uber konvexe Rotationsktjrper. 117

Unter Zugrundelegung der letzten Formeln lassen sich nun mit Anwendung einiger Kunstgriffe einfache Integraldarstellungen fiir die drei MaBzahlen M, F und V gewinnen. Hierzu erweist es sich als sehr zweckmaBig, die Hilfsfunktion

r = r ( a )

einzufiihren, welche wir durch die Festsetzung erklaren wollen, daB fiir ein beliebiges a des Intervalls 0 a 5 ~t die GroBe r (a) den Radius desjenigen Breiten- kreises von Ao bezeichne, der von einer Stiitzebene an AO, deren nach auBen gerichteter Normalenvektor mit dem Achsenvektor den Winkel a einschlieBt, beruhrt wird. Falls die betreffende Stiitzebene mehrere Breitenkreise beriihrt, so sol1 es sich um den Radius desjenigen Breitenkreises handeln, der von d e n , die beriihrt werden, am weitesten nach links steht (dieser existiert wegen der Abgeschlossenheit von Ao , die wie iiblich fur konvexe Korper vorausgesetzt wird). - Wie man sich nun leicht iiberlegt, ist r (a) eine von rechts stetige Treppenfunktion. Die Winkelwerte a, (v = 1, 2 , . . . , n) bezeichnen die Sprung- stellen, und innerhalb der Intervalle ist sie konstant ; insbesondere ist

und speziell hat man [beachte (10) und (12)]

Um nun zu der gewunschten Integraldarstellung vorzustoBen, ersetzen uir zuniichst die in (23) bis (25) in den eckigen Klammern stehenden Ausdriicke durch bestinimte Integrale. So hat man denn

wobei aber zii beachten bleibt,, daB dieve Integralformeh nur fur v =f= rn bestehen; fur v = m wiirde sich das Integral in der Tat iiber die in unserm Fa11 nicht integrierbare Unendlichkeitsstelle des Integranden erstrecken.

Ein ICunstgriff, der uns hier weiterhilft, besteht nun darin, die sich in den eckigen Klammern fur v = m findenden Ausdriicke in etwas anderer, in ge- wisseni Sinne erginzender Weise zu ersetzen. So schreiben wir denn

118 Hadwiger, Elementare Studie uber konvexe Rotationskorprr. W

(33)

(34)

(35)

n w

0 01

sin a -- 1 - - I +j - -da , CUR lp cas2a

n

n W

Unterteilen wir jetzt die in den Formeln (23) bis (25) uuftretenden Sunimen in die durch die Fiillunterscheidungen v < m , v = m , v > m gegebenen Teil- summen, iind ersetzen wir alle Ausdriicke nach den Ansatzen (28) bis (36), so lassen sich mit besonderer Beachtung van (26) die sich ergebenden Integral- siiminen zusamnienfassen in

W II

IJ 'p

w n sin a sin a

(38) F = z (a2 - ~2)- d a + h U 2 , s C 0 8 2 a U

V'

(a3 - r3) 2 dU + 3 J ( a 3 - 13) - d U

(39) cos a cos2a P

cder endlich ini Hinblick auf (27) in n

(42)

n

Hadwiger, Elementare Studie iiber konvexe Rotationskorper. 119

Mit (40) bis (42) sind damit Integraldarstellungen fur die MaBzahlen eines polygonalen Rotationskorpers aufgestellt worden, welche sich durch Einfachheit und Symmetrie ihres Aufbaus empfehlen.

Grundsiitzlich gesehen liegen die Verhkltnisse so, daB ein polygonaler Ro- tationskorper Ao der von uns hier betrachteten Art in umkehrbar eindeutiger Weise durch eine Treppenfunktion r = r(ar) vertreten wird, und daB die Ma13- zahlen M , F und V sich als einfache Integralfunktionale dieser Treppenfunlrtion ergeben. Damit ist das Ziel dieses emten Abschnitts erreicht.

11.

Der vorliegende zweite Abschnitt bringt nun den Beweis der Ungleichungen ( l a ) bis (8a). Dieser stiitzt sich auf die im vorigen Abschnitt gewonnenen Integral- darstellungen fur die MaBzahlen M , P und V eines polygonalen Rotations- korpers Ao . Da sich nun ein beliebiger konvexer Rotationskorper A durch solche Korper Ao so approximieren laBt, daB simultan die MaBzahlen a , M , F und V beliebig genau approximiert werden, geniigt es naturlich, den erforderlichen Beweis fur die Korper A0 zu erbringen. - Wir fiihren zuniichst die den Un- gleichungen (1 a) bis (8a) entsprechenden Defizite

(1b) A , = 2 a M - F - 4nu2,

(2b)

( 3 b )

A , = 3a'M - 3 V - 8za3 ,

A,= 3aF - CiV - 4za3,

(4b) A 4 = 2 a F - a ? M - 3 V ,

A , = F - U M + n(n - 2 ) ~ ' ,

A, = 3 v - a?M + z2a3,

(7 b) A , = 3 V - aF + 2ntn3,

(8b) A , = v - a~ -!- uw - n(n - 2103

ein. Es ist offenbar zu beweisen, da13

(43) A i 2 0 ( i = 1 , 2 , . . . , 8)

gilt. Dies geschieht einfuch dudurch, da13 man fur diese Defizite durch Einsetzen der Integrale (40) bis (42) fur die MlluBzahlen M , F und V Integraldarstellungen zu gewinnen trachtet, deren Definitheit sich unmittelbar ablesen 1IDt. Uni sich den letztgenannten Vorteil zu sichern, niussen allerdings die sich unniittelbar ergebenden Ausdriicke noch passend unigeformt werden. Indessen ist es naturlich leicht, die sicli hierbei ergebenden positiven Resultate zu verifizieren. Diese luuten \vie folgt :

(1 c)

?r

A, = n l ( r - a sin012 sina d a 9 cos2n

u n ( r - a sin a)2 ( r 4- 2a sin a)

cos2a da , ('c) A? =

120 Hadwiger, Elementare Studie iiber konvexe Rotationskiirper.

77

( r - as ina )2 (2 r+as ina ) CQS2 a d a , (34 A , = ./-

0

0 77

(a -. r)(a - as ina + r)sina cas2 a d a 2 (5 c) A, = nJ

(6 4 A , = n/- cos2a

0

n (a - r ) (a2 C Q S ~ U + ar + +)

d a 3

0

n 2 - r2) (1 - sin a) + r2(a - r )

dn. , cos2 a (7 c) A , =

0

n (a - a sin a)a - ( r - a sin a)3 A , = “J d a .

3 cos2 a (8 c) 0

In allen acht Fiillen liil3t sich nun die Definitheit (43), zum Teil auf Grund a ist, leicht erkennen. Damit ist das Ziel des zweiten der Bemerkung, daB 0 5 r

Abschnittes erreicht.

III. I n diesem kurzen dritten Abschnitt wollen wir die Behauptungen betreffend

die Giiltigkeit der Gleichheitszeichen in den Ungleichungen (1) bis (8), bzw. (1 a) bis (8a) verifizieren.

Die drei MaBzahlen des Kugelzylinders sind

(44) M = n ( h + 4 a ) ,

(45) F = na(2h + 4a),

wobei h die Llnge des Zylinders bezeichnet. Man bestiitigt, daB in den Un- gleichungen (1) bis (3) fur diesen Korper das Gleichheitszeichen gilt. -Die MaB- zahlen des Kappenkorpers des Kugelzylinders sind

(47) M = n ( h + ma),

(48) F = na(2h + ma),

(49)

Hadwiger, Elementare Studie iiber konvexe Rotationektirper. 121

wobei sich der Koeffizient w aus den beiden halben C)ffnungswinkeln 8 und 1;1 der angesetzten Kegelkappen als

1 + sinq + - 0 = sin8 + - sin 8 sin 9 1

ergibt. Mit diesen Formeln verifiziert man, daB in (4) das Gleichheitszeichen fur den genannten Korper gilt. - Die MaBzahlen des Zylinders der Liinge h sind

(50) M = n(h+ na),

(51) (52) V = na2h und die der Kreisscheibe

(53) M = nza, (54) F = 2na2,

F = 2na(h + a ) ,

(55) v = 0 .

Mit diesen letzten Formeln liiBt sich bestiitigen, daB in den Ungleichungen (5) bis (7) dcts Gleichheitszeichen fur die Kreisscheibe, in (8) sogar fiir den Zylinder besteht.

Die Frage, ob die angegebenen Korper die einzigen sind, fur die in den ent- sprechenden Ungleichungen das Gleichheitszeichen eintritt, k a m bejaht werden ; jedoch kann der Nachweis dieser Behauptung nichf, ohne weiteres mit den in der vorliegenden elementaren Studie ublichen einfachen Schliissen gefiihrt werden.

IV. In diesem letzten Abachnitt wollen wir eine zweckmiiDige und instruktive

Interpetration unserer Ungleichungen erortern, die dadurch ermoglicht wird, daB tnan den Formkoeffizienten

4na A = - bl

einfiihrt. Wegen n2a 5 M < 00 ist also

Der iihnlichkeitsinvariante Quotient 1 ist, wie die Bezeichnung dies andeutet, f iir die Form des konvexen Rotationskorpers A charakteristisch. Je nach der GroBe voh 1 unterscheiden wir

lange Form, falls 0 < A < 1 (z. B. Kugelzylinder), runde Form, falls 1 = 1 (z. B. Kugel),

flache Form, falls 1 < 1 -1; (z. B. Kugellinse). 4

Wenn wir mit K die Klasse aller konvexen Rotationskorper bezeichnen, so sei entsprechend K A die Teilklasse aller solchen, die den vorgeschriebenen Form- koeffizienten 1 aufweisen.

122 Hadwiger, Elementme Studie iiber konvexe Rotationskorper.

Die klassischen Ungleichungen (I") bis (4") gelten innerhalb der Klasse K. Entsprechend lassen sich nun die Ungleichungen (1) bis (8) als solche ansehen, welche innerhalb der Klasse K , gelten. Fur gewisse Extremalprobleme, die mit diesen Ungleichungen in engster Beziehung stehen, spielt dann die Beschrankung auf die Klasse K A die Rolle einer Nebenbedingung.

Urn nun einerseits die gegenseitige Abhiingigkeit der verschiedenen Un- gleichungen besser uberblicken zu konnen und um auch das AusmaB erzielter Verscharfungen sichtbar werden zu lassen, ist es vorteilhaft, die Verhaltnisse im Diagramm nach W. BLASCHKE~) graphisch darzustellen.

Diese ahnlichkeitsinvariante Darstellung kommt so zustande, daB man jedem konvexen Korper in einer cartesischen (x, y)-Ebene den Punkt

48n2 V y=- 4nF 2=-

M2 ' M3

zuordnet. Nach den klassischen Ungleichungen (1") und (2") liegt jeder Dia- grammpunkt im Quadrat

052'1, O S y S l .

Duroh die Abbildung ins Diagramm entspricht der Klttsse K ein Bereich D und der Klasse K A ein Teilbereich DA von D.

Betrachten wir nunmehr die Ungleichungen (la) bis @a), so lassen sich diese durch die Einfuhrung des Formkoeffizienten A in Bedingungen betreffend die Lage des Bereiches D, in der Diagrammebene ubertragen. Es ergeben sich die linearen Ungleichungen

( Id ) x 5 2~ - a 2 ,

P d ) y 5 3A2 - 2 A 3 , 3A A3 y s - x - - - ,2 2 '

ZZA-( -+, n - 2

A3 y Z A x - - - , 2

13. 3(n - 2)

4 1 y 2 3 A x - 3 P +

Diese acht linearen Ungleichungen bezeichnen in der Diagrammebene einen polygonalen Teilbereich PA des Quadrates, der seinerseits den Bereich DA uni- schlieBt. In nebenstehender Abbildung ist der polygonale Bereich PA fur A = 3 dargestellt. Die gennue Gestalt der Bereiche DA ist unseres Wissens nicht beltnnnt.

1) W. BLASCHKE, Eine Frage iiber konvexe Korper. Jber. Deutsche Math.-Vercin. 25 (1916), 121-125.

Hadwiger, Elementare Studie uber konvexe Rotetionskiirper. 123

Die Ermittlung ihrer exakten Umrandungen setzt die Liisungen verschiedener Extremalprobleme innerhalb der Klasse KA voraus, die noch nicht alle bekannt sind. Das gleiche trifft iibrigens sogar fur den umfassenden Bereich D, der als Vereinigungsmenge aller DA aufgefafit werden kann, zu. Neben der von H. MIN-

Die von 1 bis 8 numerierten Linien bereichnen die im Dlagrammquadrat 0 5 X , y 1 verlaufenden Grenzen der Halbebenen, welche durch die linearen Ungleichungen (1 aY bis (8,d) gegeben eind.

KOWSKI entdeckten Extremaleigenschaft der Kappenkorper, aus der sich ein Randteilstiick von D ableiten liifit, wurde kiirzlich eine analoge Extremal- eigenschaft der symmetrischen Kugelzone nachgewiesen, welche ein weiteqs Randteilstiick von D liefert. Hieriiber ist eine vorlaufige Notiz von P. GLUR, H. BIERI und dem Verfasser erschienenl).

1 ) P. GLUR, H. BIERI und H. HADWIQEE, Die symmetrische Kugelzone als extremaler Rotationskorper. Experientie, Baael 4 (1948). 3-305.

Math. Nachr. 1949, Bd. 2, H. 314; 9