Referat im Fach Mathematik

Thema: Berechnung von Rotationskörpern mit klassischen Methoden und mit Integralrechnung am Beispiel von Kegel, Kugel und Rotationsellipsoid.

Verfasser: Ruben Faller

Inhaltsverzeichnis

1. Was sind Rotationskörper? S. 1

2. Zum Prinzip der Volumenberechnung von Rotationskörpern

mit Integralrechnung S. 1

3.1. Volumenberechnung des Kegels klassisch S. 3

3.2. Volumenberechnung des Kegels mit Integralrechnung S. 4

3.3. Rechenbeispiel zur Berechnung eines Kegels S. 5

4.1. Volumenberechnung der Kugel klassisch S. 6

4.2. Volumenberechnung der Kugel mit Integralrechnung S. 7

4.3. Rechenbeispiel zur Berechnung einer Kugel S. 7

5. Volumenberechnung beim Rotationsellipsoid S. 8

Quellenverzeichnis

1. Was sind Rotationskörper?

Rotationskörper entstehen durch die Rotation eines Graphen bzw. eines Graphen-

abschnitts um die 1. Achse (Rotationen um die 2. Achse sind auch möglich, sollen hier

aber nicht behandelt werden). Die Querschnittsflächen der so entstandenen Körper sind

Kreise. Der Radius dieser Kreise wird durch die Funktionswerte der Randfunktion

bestimmt. Die Randfunktion begrenzt den Körper. Das soll am Beispiel des einfachsten

Rotationskörpers, dem Zylinder, erläutert werden.

Der Graph einer konstanten Funktion f (x) = c über dem Intervall [ ]ba, rotiert um die 1.

Achse (blauer Graphenabschnitt). Er umschließt mit der x – Achse und den Geraden x =

a und x = b eine Rechteckfläche. Durch die Rotation entsteht ein Zylinder mit dem Radius

c und der Höhe h, wobei h = b – a.

Für das Volumen dieses Zylinders ergibt sich durch

V = Grundfläche ∗ Höhe

V = π ∗ c2 ∗ ( b – a )

Ziel ist nun, mit Hilfe der Randfunktion und der Integralrechnung das Volumen von

Rotationskörpern zu berechnen und am Beispiel von Kegel, Kugel und Rotationsellipsoid

auch die klassische Volumenberechnung dieser Körper aufzuzeigen.

2. Zum Prinzip der Volumenberechnung von Rotationskörpern mit Integralrechnung

Das Verfahren zur Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern mit Hilfe der

Integralrechnung basiert auf der Flächenberechnung unter Graphen.

Das Verfahren möchte ich am Beispiel der Funktion f (x) = x erklären. Aus der Abbildung

geht hervor, dass der Flächeninhalt A = 8.

Man unterteilt das Intervall (hier [ ]4,0 ) in gleich breite Rechtecke und bildet so die

Untersumme Un der Fläche. Vergrößert man n, so nähert man sich dem gesuchten

1

Flächeninhalt immer genauer. Deshalb unterteilt man das Intervall in immer kleinere

Teilintervalle und untersucht die Untersumme auf einen Grenzwert für

n → ∞ . So gilt:

Un = n4

( )

∗−++∗++

nn

nn41...4240

Un = ( )[ ]1...321162 −++++ nn

Wegen 1+2+3+… ( )1−n = 21

n ( )1−n folgt

Un = nn

nn 1

216 −∗∗

= 8nn 1−

= 8

−

n11 lassen wir n über alle Grenzen wachsen und bilden den

Grenzwert, so ist : ∞→nlim Un = 8 das Gleiche kann man mit der Obersumme machen

Eine stetige Funktion f hat für jede Produktsumme Sn einen Grenzwert für n → ∞

Dieser Grenzwert ist der gesuchte Flächeninhalt. Der Grenzwert ∞→nlimSn heißt das

Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b.

∞→nlim S n = ( )∫

b

a

xf dx

Bei der Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern mit Hilfe der

Integralrechnung unterteilt man das Intervall [ ]ba, wieder in n gleich lange

Teilintervalle und betrachtet die einbeschriebenen und umbeschriebenen

Treppenfiguren aus Rechtecken. Lässt man diese ebenfalls um die x – Achse

rotieren, so gibt es zu jedem Teilintervall einen Zylinder, der den Körper von außen

2

und von innen berührt. Man muss sich den Körper jetzt aus unendlich vielen kleinen

Zylinderscheiben unendlich kleiner Höhe (Dicke) vorstellen. Man wählt nun xk im

kten Teilintervall so, dass f(xk ) genau zwischen dem inneren und dem äußern

Zylinderradius liegt. Damit ist das Volumen dieses Rotationskörpers K Summe der

unendlich vielen Einzelzylinder.

Vn = Π (f(x1))2 ∗ h + Π (f(x2))2 ∗ h + … + Π (f(xn))2 ∗ h

Für n ∞→ ergibt diese Summe das Integral mit dem sich alle Rotationskörper

berechnen lassen:

V = Π ∫a

bxf ))(( 2

dx

3.1. Volumenberechnung des Kegels klassisch

Grundlegend für die klassische Volumenberechnung des Kegels ist die Volumen-

berechnung der Pyramide, wonach man z.B. einen Würfel in drei gleiche

Pyramiden zerlegen kann. Die Pyramiden haben gleiche Grundflächen und Höhe.

Wichtig für die Volumenberechnung des Kegels ist nun der Satz des Cavalieri

(1598 – 1647), wonach zwei Körper, die gleiche Grundfläche und in gleicher Höhe

gleiche Parallelquerschnitte zur Grundfläche haben das gleiche Volumen besitzen.

Die Grundfläche einer Pyramide ist ein regelmäßiges Vieleck. Wenn man die

Eckzahl dieses Vielecks immer mehr vergrößert, so nähert sich dieses Vieleck

3

einem Kreis. Dadurch entsteht aus einer Pyramide ein Kegel mit der Grundfläche G

und der Höhe h.

V = 31

G h mit G = Π r2

VKegel = 31

Π r2 h

3.2. Volumenberechnung des Kegels mit Integralrechnung

Durch Rotation des Graphen der Funktion f (x) = mx mit der Steigung m = hr

entsteht ein Kegel, wobei h die Höhe und r der Radius des Grundkreises ist. Die

Kegelspitze liegt im Ursprung und der Mittelpunkt des Grundkreises bei (h/0). In der

Elementargeometrie berechnet man das Volumen mit V = 31

Π r2 h. Bei der

Bestimmung des Volumens mit Hilfe der Integralrechnung unterteilt man das

Intervall [ ]4,0 wieder in n gleich lange Teilintervalle und betrachtet die

einbeschriebenen und umbeschriebenen Treppenfiguren aus Rechtecken. Lässt

man diese um die x – Achse rotieren, so gibt es zu jedem Teilintervall einen

Zylinder, der den Kegel von außen und von innen berührt. Man kann sich nun den

Kegel wieder zusammengesetzt aus unendlich vielen kleinen Zylinderscheiben

unendlich kleiner Höhe (Dicke) vorstellen.

Radius eines unendlich kleinen Zylinders: hr

∗ x (Strahlensatz)

Volumen eines unendlich kleinen Zylinders: (hr

∗ x)2 ∗ Π ∗ dx = 2

2

hr ∗ Π ∗ x2 ∗ dx

4

Das gesamte Volumen des Kegels entspricht allen unendlich kleinen Zylindern. Zur

Volumenberechnung bildet man das Integral mit den Intervallgrenzen 0 und h.

V = dxxhrh ∗∗Π∗∫ 2

02

2

= dxh

xhr ∫∗

Π∗

0

22

2

V =

∗

Π∗3

3

2

2 xhr

V =

−∗

Π∗33033

2

2 hhr

V = 3

3

2

2 hhr ∗

Π∗

Dies ergibt die bekannte Volumenformel für den Kegel aus der

Elementargeometrie:

V = hr ∗Π∗∗ 2

31

3.3. Rechenbeispiel zur Berechnung eines Kegels

Um ein Rechenbeispiel zur Volumenberechnung eines Kegels nach klassischer

Methode und mit Integralrechnung zu zeigen, nehmen wir einen Kegel mit h = 5

und r = 2.

Klassisch Integralrechnung

VKegel = 31

∗ Π ∗ 22 ∗ 5

VKegel = 31

∗ Π ∗ 20

VKegel = 20, 94

Der Kegel entsteht durch Rotation des

Graphen der Funktion f(x) = 52

x im

Intervall [ ]0,5

V = Π ∫5

0

2))4,0(( xf dx

V = Π ∫5

0

216,0 x dx

V =

∗Π x3316,0

V = 53316,0 ∗∗Π

VKegel = 20,94

5

4.1. Volumenberechnung der Kugel klassisch

Die klassische Berechnung der Kugel geht zurück auf das 3. Jahrhundert vor Chr.

auf Archimedes von Syrakus. Er fand heraus, dass das Volumen einer Halbkugel

gleich zwei Drittel eines Zylinders mit gleichem Radius und Höhe entspricht.

Archimedes stellte das Volumen der Halbkugel dem Volumen des Restkörpers, aus

dem wie in der linken Abbildung dargestellt ein Kegel ausgeschnitten wurde,

gegenüber. Dabei stellte er fest, dass die Halbkugel und der Restkörper gleiches

Volumen hatten.

V Restkörper = VZylinder - VKegel

V = Π r2r - 31

Π r2r

V = 32

Π r3

Beweis: Durch einen ebenen Schnitt in der Höhe x ergibt sich beim Restkörper ein

Kreisring und bei der Halbkugel eine Kreisfläche (rechte Abbildung).

Flächeninhalt des Kreisringes: r1 = x A1 = Π ( r2 – x2)

Flächeninhalt der Kreisfläche: r22= r2 – x2 A22 = Π ( r2 – x2)

Es gilt: A1 = A2 für alle x.

Nach dem Satz von Cavalieri haben die beiden Körper das gleiche Volumen, weil

beide Schnittflächen gleich groß sind.

V Halbkugel = 32

Π r3 verdoppelt V Kugel = 34

Π r3

Das Kugelvolumen lässt sich auch experimentell ermitteln und so die Volumen-

formel bestätigen, indem eine Kugel in Wasser eingetaucht und das verdrängte

Wasservolumen gemessen wird.

6

d = 6,6 cm → r = 3,3 cm Wasserhöhe im Zylinder Kugel eintauchen V = 650 – 500 = 150 cm3

4.2. Volumenberechnung der Kugel mit Integralrechnung

Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Halbkreises um die x – Achse. Der

Halbkreis ist der Graph der Funktion f(x) = xr 22 − ,

Formel für Rotationskörper: V = Π ∫a

b

xf 2))(( dx

V = Π 222 )(∫−

−r

rxr dx

V = Π )( 22 xrr

r

−∫−

dx

V = Π

− xr x 32

31(

V = Π ( )31()

31 3333( rrrr +−−−

V = 34

Π r3

4.3. Rechenbeispiel zur Berechnung einer Kugel

Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius r = 4.

7

klassisch Integralrechnung

V Kugel = 34

Π r3

V Kugel = 34

Π 43

V Kugel = 268,08

V = Π ∫a

bxf ))(( 2

dx

Pythagoras:

x2 + y2 = r2

y = ± xr 22 −

Somit hat der rotierende Halbkreis die

Funktion f(x) = xr 22 −

V = Π ∫ −−

4

4

2224 x dx

V = Π ( )∫−

−4

4

216 x dx

V = Π

− xx 3

3116

V = Π ( )

−−−−−

33 4

3164

3164 4

V = Π

−+−

36464

36464

V = 268,08

5. Volumenberechnung beim Rotationsellipsoid

Ein Rotationsellipsoid entsteht durch die Rotation einer Ellipse um eine der beiden

Koordinatenachsen, hier um die x - Achse. Im Gegensatz zum allgemeinen

Ellipsoid haben beim Rotationsellipsoid zwei der 3 Ellipsenachsen die gleiche

Länge.

Durch die Mittelpunktsgleichung einer

Ellipse erhält man:

1222

=+

by

ax

8

−=

ax

by2

221 Die Randfunktion über der x – Achse hat also die

Funktionsgleichung:

−±= xab

by

2

2

−= xab

bxf

2

2)(

Herleitung der Volumenformel durch

Integralrechnung:

V = dxa

axab

b∫

−

−

Π2

2

2

V = dxa

axab

b∫

−

−Π

2

2

V = dxa

axa

bb∫−

−Π 2

2

22

V =

−Π xabb x 32

22

31

V =

+−−−Π aabbaa

bb aa 32

223

2

22

31

31

V =

−+−Π aaaa bbbb 2222

31

31

V =

−Π aa bb 22

322

V = ab234Π

Für das Rechenbeispiel sei

a = 4 und b = 2

V = dxx∫

−

−

Π4

4

2

42

22

2

V = ∫ −−

Π4

4

2

2

1644 dxx

V = ∫−

−Π

4

4

2

1644 x dx

V =

∗−Π xx 3

164

314

V =

∗∗+−−∗∗−Π 64

164

311664

164

3116

V =

−+−Π

31616

31616

V =

−Π

33232

V = 67,02

9

Quellenverzeichnis

Griesel, Heinz, Elemente der Mathematik 11, Schroedel Verlag, Hannover 1999

Griesel, Heinz, Elemente der Mathematik 12, Schroedel Verlag, Hannover 2000

Aits, Dieter, Zahlen und Größen 10, Cornelsen Verlag, Berlin 2002

Koullen, Reinhold, Zahlen und Größen 9, Cornelsen Verlag, Berlin1994

Koullen, Reinhold, Zahlen und Größen 10, Cornelsen Verlag, Berlin1995

Freudigmann, Hans, Analysis, Klett Verlag, Stuttgart, 2005

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper

http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/mak/dateien/21.htm

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=901&ref=http%3A%2F%2Fww

w.google.com%2Fsearch%3Fsourceid%3Dnavclient%26aq%3Dt%26ie%3DUTF-

8%26rls%3DIRFA%2CIRFA%3A2006-

43%2CIRFA%3Aen%26q%3DRotationsk%25c3%25b6rper

http://wase.urz.uni-magdeburg.de/harbich/rotationskoerper.php

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsellipsoid