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MA5319
Elemente der Distributionentheoriegelesen von PD Dr. Peter Massopust
Vorlesungsmitschrift von Benjamin Söllner
1
Vorlesung 1:
Geschichtliche Motivation und Überblick (09.10.14)
In dem 1930 erschienenen Buch „Principles of Quantum-Mechanics“ von Paul Dirac führte er diesogenannte „Dirac-δ-Funktion“ ein, definierte sie aber nicht mathematisch präzise. Die Idee dieser,kurz δ-„Funktion“ , genannten Abbildung δ : R Ñ R war, dass sie für ein x0 P R die folgenden dreiEigenschaften haben sollte:
(1) @x ‰ x0 : δpxq “ 0;
(2)ş
R δpxq dx “ 1;
(3) δpx0q “ 8,
wobei Eigenschaft 3 in gewisser Weise auch als Folgerung aus den ersten beiden Eigenschaftenaufgefasst werden kann. Eine solche Funktion existiert natürlich nicht im klassischen Sinne, aber Diracinterpretierte die δ-„Funktion“ als „Messung einer Funktion f an einer Stelle x0“, d.h.:
ż
Rδpx´ x0qfpxq dx “ fpx0q.
Dies kann man auch über den Mittelwert einer Funktion wie folgt motivieren. Für ein Intervall ra, bs Ă Rkönnen wir den Mittelwert einer Funktion bilden:
f :“1
b´ a
ż b
afpxqdx.
Wählen wir nun dieses Intervall symmetrisch um x0, d.h. ra, bs “ rx0´ ε, x0` εs mit ε ą 0, so erhaltenwir:
f “1
2ε
ż x0`ε
x0´εfpxq dx
looooooooomooooooooon
“:p˚q
«1
2ε
ż x0`ε
x0´εfpx0q dx “ fpx0q
wobei wir das Integral p˚q auch als Integral über f mal eine Funktion ϕε interpretieren können:
p˚q “
ż x0`ε
x0´ε
ˆ
1
2ε
˙
fpxqdx “
ż
Rϕεpxqfpxqdx « fpx0q
wobei:
ϕεpxq :“
#
12ε , falls x P rx0 ´ ε, x0 ` εs;
0, sonst.
Daraus folgt auchş
R ϕεpxqdx “ 1.Diese Idee wird nun in der Theorie der Distributionen verallgemeinert. Dabei nimmt man eine „gute“
Funktion ϕ, die z.B.ş
R ϕdx “ 1 und suppϕ “ ra, bs erfüllt.1954 erschien „Théorie des distributions“ von Laurent Schwartz. In diesem Werk definierte er den
Begriff einer Distribution mathematisch präzise. Distributionen wurden nun als Paar xf, ϕy aufgefasst,wobei f eine sogenannte „verallgemeinerte Funktion“ (oder eben Distribution) ist und ϕ eine sogenannteTestfunktion. Die Grundidee ist: Je „besser“ die Eigenschaften von ϕ, desto „allgemeiner“ kann fgewählt werden.Die Grundräume der Testfunktionen sind:
Dloomoon
C80 pRq
Ă Sloomoon
SchwartzRaum“Ă E
loomoon
C8pRq
2
mit den zugehörigen Distributionenräumen:
D 1 Ą S 1loomoon
„temperierte Distr.“
Ą E 1loomoon
„Distr. m. kompaktem Träger“
Es gilt (und diese Räume werden der Inhalt der Vorlesung sein):
D Ă S Ă L2 Ă S 1looooooomooooooon
„Gelfand-Tripel“
Ă D 1.
Vorlesung 2:
Testfunktionen und Distributionen - Definitionund erste Eigenschaften (16.10.14)
Definition 1 (Testfunktion). ϕ : RÑ C heißt Testfunktion falls:
(1) ϕ P C8,
(2) suppϕ kompakt ist.
Bemerkungen.
• Man erinnere sich: suppϕ :“ tx P R | ϕpxq ‰ 0u, d.h. der Träger ist immer eine abgeschlosseneMenge.
• Dass die Menge aller Testfunktionen mit D anstatt mit C80 bezeichnet werden hat historischeGründe. Der Unterschied besteht darin, dass mit D meist die Menge (der Vektorraum) C80 pR,Cqzusammen mit der entsprechenden Topologie (die wir später einführen werden) gemeint ist.
• D ist Vektorraum über C.
Wir wollen uns zunächst überlegen, welche Funktionen wir in diesem Raum D als Elemente erwartenkönnen (und ob es überhaupt solche Funktionen gibt). Dazu betrachten wir die Funktion h : R Ñ C,die definiert ist durch:
hpxq :“
#
e´1x , falls x ą 0;
0, sonst.
Unter Betrachtung der Ableitungen erhalten wir, dass h P C8. Für x ą 0 gilt:
h1pxq “ e´1x ¨
1
x2,
...
hpnqpxq “ e´1x
˜
mÿ
k“0
ckx´k
¸
,
für irgendwelche Koeffizienten ck P R und einem m ą n. Die wichtige Information über die Summeist die, dass es eine rationale Funktion ist und im Grenzwert der Exponentialfunktion „unterliegt“, wasbedeutet: lim
xÑ0`hpnqpxq “ 0, für alle n P N0.
Wir setzen nun ϕpxq :“ hpxqhp1 ´ xq und sehen, dass ϕ P C8 und suppϕ “ r0, 1s ist. Somit gilt:ϕ P D .Definieren wir nun für a, b P R mit a ă b die Funktion ϕa,bpxq :“ ϕ
´
x´ab´a
¯
, so sehen wir, dass gilt:ϕa,b P C
8 und suppϕa,b “ ra, bs womit wir wiederum ϕa,b P D erhalten haben.
3
Definition 2 (L1loc). Eine Funktion f : R Ñ C heißt lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum
K Ă R gilt:ż
K|fpxq|dx ă 8.
Beispiele.
• C0pR,Cq Ă L1locpR,Cq.
• Stückweise stetige Funktionen, d.h. Funktionen f : R Ñ C mit der Eigenschaft, dass f bis aufeine höchstens abzählbar unendliche Menge E ohne Häufungspunkt stetig ist und für alle ξ P Egilt:
| limxÑξ´
fpxq ´ limxÑξ`
fpxq| ă 8. (Endliche Sprünge auf E).
Die Funktion x ÞÑ 1x ist nicht stückweise stetig.
Notation. Wir werden Testfunktionen immer mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen.
Lemma 3. Sei f P L1loc und ϕ P D . Dann existiert das Integral
ş
R fpxqϕpxq dx.
Beweis. Zunächst ist f ¨ ϕ eine messbare Funktion. Wir rechnen mit K :“ suppϕ:ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rfpxqϕpxq dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ż
R|fpxq||ϕpxq|dx “
ż
K|fpxq||ϕpxq|dx ď
ˆ
supxPR
|ϕpxq|
˙
looooooomooooooon
“:ϕ8
ż
K|fpxq|dx ă 8.
Satz 4 (Identitätssatz). Seien f, g P L1loc. Gilt für alle ϕ P D :ż
Rfϕdx “
ż
Rgϕdx, (4)
dann ist f “ g (f.ü.).
Beweis. Vergleiche: Lieb, Elliott H.; Loss, Michael. Analysis, Theorem 6.5.Sei j P C8c pRq mit Träger in der Einheitskugel und
ş
R j dx “ 1. Für m “ 1, 2, . . . definiere jmpxq :“mjpmxq. Dann gilt nach Voraussetzung und mit ϕpyq :“ jmpx´yq, dass pjm‹fqpxq “ pjm‹gqpxq @x P R(siehe Definition der Faltung ‹). Hieraus folgt jm ‹ f Ñ f und jm ‹ g Ñ g im Raum L1
loc für mÑ 8.Aus diesem Grund ist also f “ g in L1
loc und somit auch f “ g fast überall.
Definition 5 (Konvergenz in D). Es sei pϕkqkPN eine Folge in D . Diese Folge heißt konvergent gegenein ϕ P D (geschrieben ϕk
DÝÑ ϕ), falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) DK Ă R kompakt, so dass @k P N : suppϕk Ă K.
(2) @n P N0 : ϕpnqk ´ ϕpnq8 Ñ 0.
Definition 6 (Funktional). Eine Abbildung f : D Ñ C heißt lineares Funktional auf D , falls f C-linearist.
Notation. Anstelle von fpϕq schreibt man auch xf, ϕy.
Beispiel. Sei f P L1loc. Dann ist ϕ ÞÑ
ş
R fϕdx ein solches lineares Funktional. Wegen Lemma 3 istdas Funktional xf, ϕy :“
ş
R fϕdx beschränkt und damit stetig.
Definition 7 (Stetigkeit eines Funktionals). Ein Funktional auf D heißt stetig , falls f jede konvergenteFolge in D auf eine konvergente Folge in C abbildet, d.h. falls:
ϕkDÝÑ ϕ ùñ xf, ϕky Ñ xf, ϕy
gilt, für alle in D konvergente Folgen pϕkqkPN.
4
Definition 8 (Verallgemeinerte Funktion - Distribution). Ein stetiges, lineares Funktional auf D heißtverallgemeinerte Funktion oder Distribution. Man notiert diese Menge als D 1.
Beispiel. Jede Funktion f P L1loc definiert eine Distribution auf D durch xf, ϕy :“
ş
R fϕdx.xf, ϕy heißt die von f erzeugte/induzierte Distribution. In diesem Fall schreibt man die Distributi-on auch als Tf : D Ñ C.
Beweis. (Tf ist Distribution): Linearität ist klar. Stetigkeit: Sei ϕkDÝÑ 0 (o.B.d.A) d.h. es existiert ein
Kompaktum K, so dass für alle k P N, suppϕk Ă K, und für alle n P N0, ϕpnqk 8 Ñ 0, gilt. Damit
erhalten wir:|xf, ϕ
pnqk y| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Kfϕ
pnqk dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď ϕpnqk 8
looomooon
Ñ0
ż
Kf dx
looomooon
endlich
Ñ 0.
und da das insbesondere für n “ 0 gilt, ist die Behauptung gezeigt.
Definition 9 (reguläre/singuläre Distribution). Wir nennen eine von einem f P L1loc induzierte Dis-
tribution regulär und eine nicht-reguläre Distribution singulär.
Beispiel. Die δ-Distribution ist singulär. (Siehe Überlegungen der ersten Vorlesung und Übungsblatt3.) Sie ist definiert durch:
xδ, ϕy :“ ϕp0q, @ϕ P D .
Dass es sich um eine Distribution handelt ist leicht einzusehen. Linearität ist sofort ersichtlich und ausϕk
DÝÑ ϕ folgt wegen der gleichmäßigen Konvergenz der ϕpnqk :
xδ, ϕpnqk y “ ϕ
pnqk p0q Ñ ϕpnqp0q “ xδ, ϕpnqy, @n P N0.
Vorlesung 3:
Eigenschaften von Distributionen (23.10.14)
Ausflug in die Funktionentheorie: Der Cauchy’sche Integralsatz aus der Funktionentheorie liefertuns ebenfalls eine Distribution: Für eine holomorphe Funktion f : G Ă C Ñ C auf einem einfachzusammenhängenden Gebiet G und z0 P G gilt:
fpz0q “1
2πi
ż
BG
fpzq
z ´ z0dz ,
und damit können wir durch:B
1
2πi
ż
BG
p‚q
z ´ z0dz, f
F
eine Distribution (z.B. auf den holomorphen Funktionen) definieren.
Nun weiter mit den Distributionen.
Definition 10. Seien f, g P D 1, a P Rz t0u , ν P C8, ϕ P D :
(i) xf ˘ g, ϕy :“ xf, ϕy ˘ xg, ϕy
(ii) xaf, ϕy :“ a xf, ϕy
(iii) xνf, ϕy :“ xf, νϕy
5
(iv) xf px´ aq , ϕy :“ xf, ϕ px` aqy
(v) xf paxq , ϕy :“ 1|a|
@
f, ϕ`
xa
˘D
Bemerkung. Dass (i) – (v) Distributionen definieren ist leicht einzusehen und wird hier nicht bewie-sen.
Wir motivieren die Teile (iv) und (v) nun mittels regulärer Distributionen. Sei also f P L1loc. Wir
rechnen:
xTfpx´aq, ϕy “
ż
Rfpx´ aqϕpxqdx
y“x´a“
ż
Rfpyqϕpy ` aq dy “ xTf , ϕpy ` aqy
und
xTfpaxq, ϕy “
ż 8
´8
fpaxqϕpxqdxy“ax“
$
’
’
&
’
’
%
1
a
ż 8
´8
fpyqϕ´y
a
¯
dy, falls a ą 0,
1
a
ż ´8
8
fpyqϕ´y
a
¯
dy, falls a ă 0,
“1
|a|
ż 8
´8
fpyqϕ´y
a
¯
dy “1
|a|
A
f, ϕ´y
a
¯E
,
und diese Eigenschaft, auf von Funktionen induzierten Distributionen, definieren wir für alle Distri-butionen.
Definition 11 (Gleichheit von Distributionen). Wir nennen zwei Distributionen gleich, wenn siebezüglich Testfunktionen gleich sind, also
fD 1“ g ðñ @ϕ P D : xf, ϕy “ xg, ϕy.
Beispiel (Eigenschaften der Dirac δ-Distribution).
• Sei v P C8. Dann ist xvδ, ϕy “ xδ, vϕy “ vp0qϕp0q “ vp0qxδ, ϕy, oder kurz: vδ D“ vp0qδ. Insbeson-
dere gilt xnδ “ 0 für alle n P N.
• xδpx´ x0q, ϕy “ xδ, ϕpx` x0qy “ ϕpx0q.
• xδpaxq, ϕy “ 1|a|xδ, ϕpxaqy “
1|a|ϕp0q “
1|a|xδ, ϕy. Also δpaxq
D“ 1|a|δ.
Definition 12 (Konvergenz in D 1). Sei pfkqkPN eine Folge in D 1. Wir nennen pfkqkPN „konvergentgegen ein f P D 1“ genau dann, wenn:
@ϕ P D : xfk, ϕyin CÝÝÑ xf, ϕy
gilt.
Bemerkungen.
1. Man müsste in der Definition der Konvergenz nicht zusätzlich f P D 1 verlangen. Dies ist bereitseine Konsequenz aus dem Satz von Banach-Steinhaus (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit).
2. Dieser Konvergenzbegriff stimmt mit der schwach-*-Konvergenz überein (Konvergenz der Funktional-Folge, wenn sie bezüglich der punktweisen Auswertung konvergieren).
3. D 1 ist ein Vektorraum über C.
6
4. x‚, ‚y ist eine bilineare Abbildung, denn:
xaf ` bg, ϕy “ axf, ϕy ` bxg, ϕy
xf, aϕ` bψy “ axf, ϕy ` bxf, ψy
für alle a, b P R und ϕ,ψ P D .
Satz 13 (Konsistenzsatz). Es seien f, g P L1loc. Dann gilt für alle a P R, g P C8:
(i) Tf ` Tg “ Tf`g;
(ii) aTf “ Taf ;
(iii) Tf paxq “ Tfpaxq für a ‰ 0;
(iv) Tf px´ aq “ Tfpx´aq;
(v) g pxqTf “ Tgpxqf .
Beweis. (i) und (ii) folgen direkt aus der Linearität des Integrals und der Bilinearität des Produkts.
(iii) xTf paxq, ϕy “ xTf , 1|a|ϕpxaqy “
1|a|
ş
R fpxqϕpxaqdx “ş
R fpayqϕpyqdy “ xTfpaxq, ϕy
(iv) xTf pa´ xq, ϕy “ xTf , ϕpx` aqy “ş
R fpxqϕpx` aqdx “ş
R fpy ´ aqϕpyqdy “ xTfpx´aq, ϕy
(v) xgpxqTf , ϕy “ xTf , gϕy “ş
R fpxqgpxqϕpxqdx “ xTgpxqf , ϕy.
Ableitungen von Distributionen
Motivation: Sei f P L1loc differenzierbar. Dann gilt @ϕ P D :
xf 1, ϕy “
ż
Rf 1pxqϕpxq dx “ ϕf
ˇ
ˇ
ˇ
x“8
x“´8´
ż
Rfpxqϕ1pxq dx
“ limMÑ8
ϕpxqfpxqˇ
ˇ
ˇ
x“M
x“´Mloooooooooooomoooooooooooon
“0
´
ż
Rfpxqϕ1pxqdx “ ´xf, ϕ1y.
Diese Idee greifen wir auf und definieren die Ableitung für Distributionen direkt über die Ableitungauf der Testfunktion.
Definition 14 (Ableitung von Distributionen). Sei f P D 1. Die Ableitung f 1 von f ist definiert durch:@
f 1, ϕD
:“ ´@
f, ϕ1D
@ϕ P D .
Bemerkung. Insbesondere ist f 1 P D 1.
Die n-te Ableitung von f definieren wir dann rekursiv über xf pnq, ϕy “ ´xf pn´1q, ϕ1y. Mit Definition(14) folgt, dass die n´te Ableitung von f P D 1 dann explizit gegeben ist durch:
A
f pnq, ϕE
“ p´1qnA
f, ϕpnqE
@ϕ P D , n P N.
Bemerkung. Jede Distribution ist unendlich oft differenzierbar.
7
Beispiel. Die Heaviside-Distribution:
H pxq :“
$
’
&
’
%
0, x ă 0,12 , x “ 0,
1, x ě 0.
Es ist H P L1loc und H definiert daher eine reguläre Distribution TH , die wieder mit H bezeichnet wird.
Für die Ableitung gilt:
@
H 1, ϕD
“ ´@
H,ϕ1D
“ ´
ż `8
01 ¨ ϕ1 pxq dx “ ´ϕ|x“`8x“0 “ ϕ p0q “ xδ, ϕy ùñ H 1
D“ δ.
Satz 15 (Stetigkeit der Operatoren auf Distributionen). Seien tfku und tgku Folgen in D 1, die gegenf P D 1 bzw. g P D 1 konvergieren. Dann gilt:
(i) tfk ˘ gkuin D 1ÝÝÝÑ f ˘ g;
(ii) tafkuin D 1ÝÝÝÑ af, a P C;
(iii) tf 1kuin D 1ÝÝÝÑ f 1;
(iv) tfk paxquin D 1ÝÝÝÑ f paxq , a P Rz t0u;
(v) tfk px´ aquin D 1ÝÝÝÑ f px´ aq , a P R;
(vi) tv pxq fkuin D 1ÝÝÝÑ v pxq f, @v P C8.
Beweis. (i) und (ii) gehen direkt aus der Linearität von x‚, ‚y im ersten Argument hervor.
(iii) xf 1k, ϕy “ ´xfk, ϕ1y
in CÝÝÝÑ ´xf, ϕ1
loomoon
PD
y “ xf 1, ϕy.
(iv) und (v): xfkpbx ´ aq, ϕy “ 1|b|xfk, ϕppx ` aqbqy
in CÝÝÝÑ 1
|b|xf, ϕppx ` aqbqy “ xfpbx ´ aq, ϕy füra, b P R, b ‰ 0.
(vi) xvpxqfk, ϕy “ xfk, vpxqϕyin CÝÝÝÑ xf, vpxqϕy “ xvpxqf, ϕy.
Bemerkung. Die Aussage (iii) aus Satz (15) gilt nicht für klassische Funktionen. Wir zeigen diesvermittels eines Gegenbeispiels:
tfk pxqu “
"
sin pkxq
k
*
glm.ÝÝÑ 0.
Die abgeleitete Folge tf 1k pxqu “ tcos pkxqu konvergiert nicht (gleichmäßig) und sogar punktweise Kon-vergenz findet nur auf einer diskreten Menge statt.Aber in D 1 : tfku
in D 1ÝÝÝÑ 0. Mit (iii) folgt also: tf 1ku
in D 1ÝÝÝÑ 0 und
!
fpnqk
)
in D 1ÝÝÝÑ 0, @n ě 2.
ùñ tkn sin pkxqu , tkn cos pkxquin D 1ÝÝÝÑ 0. Die Konvergenz im distributionellen Sinne ist eine deutlich
schwächere Eigenschaft als gleichmäßige Konvergenz.
Satz 16 (Eigenschaften der Ableitung von Distributionen). Seien f, g P D 1, h P C8, a P Rz t0u. Danngilt:
(i) pf ˘ gq1 “ f 1 ˘ g1;
8
(ii) raf s1 “ af 1;
(iii) rf paxqs1 “ af 1 paxq;
(iv) rf px´ aqs1 “ f 1 px´ aq;
(v) rhf s1 “ h1f ` hf 1.
Beweis. (i) und (ii): xpaf ˘ gq1, ϕy “ ´xaf ˘ g, ϕ1y “ ´axf, ϕ1y ¯ xg, ϕ1y “ axf 1, ϕy ˘ xg1, ϕy “xaf 1 ˘ g, ϕy.
(iii) Man beachte: pϕpxaqq1 “ 1aϕ1pxaq und damit rechnet man: xrfpaxqs1, ϕy “ ´ 1
|a|xf, ϕ1pxaqy “
1|a|xf
1, aϕpxaqy “ axf 1paxq, ϕy.
(iv) xrfpx´ aqs1, ϕy “ xf, ϕ1px` aqy “ xf 1, ϕpx` aqy “ xf 1px´ aq, ϕy.
(v) Wir zeigen hf 1 D“ rhf s1 ´ h1f :
xhf 1, ϕy “ xf 1, hϕy “ ´xf, phϕq1y “ ´xf, h1ϕ` hϕ1y “ ´xf, h1ϕy ´ xf, hϕ1y “ ´xh1f, ϕy ` xrhf s1, ϕy
“ xrhf s1 ´ h1f, ϕy.
Vorlesung 4:
Dirac-Folgen und der Grundraum S (06.11.14)
Definition 17 (Dirac-Folge). Eine Folge tδku von L1–Funktionen heißt „Dirac-Folge“ falls gilt:
(i) δk ě 0 für alle k.
(ii)ż
Rδkpxqdx “ 1 für alle k.
(iii) @ε ą 0 :
ż
Rzp´ε,εqδkpxq dx
kÑ8ÝÝÝÑ 0.
Wir zeigen, dass so eine Folge unabhängig von der Wahl der Dirac-Folge tδku gegen unser Dirac-Deltakonvergiert.
Satz 18 (Dirac-Folgen konvergieren gegen das Dirac-Delta). Sei tδku eine Dirac-Folge, dann gilt:
δkD 1
ÝÝÝÑkÑ8
δ
Beweis. Für ϕ P D setzen wir zunächst xδk, ϕy :“ş
R δkpxqϕpxqdx und xδ, ϕy “ ϕp0q, also:
|xδk, ϕy ´ xδ, ϕy| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rδkpxqϕpxqdx´ ϕp0q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rδkpxqpϕpxq ´ ϕp0qqdx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ż
Rδkpxq|pϕpxq ´ ϕp0qq|dx
“
ż
|x|ěεδkpxq|ϕpxq ´ ϕp0q|dx
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
“:pIq
`
ż ε
´εδkpxq|ϕpxq ´ ϕp0q|dx
looooooooooooooomooooooooooooooon
“:pIIq
9
Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung erhalten wir, dass es ein x0 zwischen 0 und x gibt mitϕpxq ´ ϕp0q “ xϕ1px0q. Damit erhalten wir die Ungleichung |ϕpxq ´ ϕp0q| ď |x|ϕ18, welche wiranschließend in pIIq einsetzen können. In pIq schätzen wir per Supremumsnorm ab:
pIq ď ϕ´ ϕp0q8
ż
|x|ěεδkpxqdx
Nun zu pIIq:
pIIq ď
ż ε
´εδkpxq|x|ϕ
18 dx ď εϕ18
ż ε
´εδkpxqdx
loooooomoooooon
ď1 wegen D 17 (ii)
ď εϕ18
Damit haben wir gezeigt, dass:
|xδk, ϕy ´ xδ, ϕy| ď ϕ´ ϕp0q8
ż
|x|ěεδkpxq dx
looooooomooooooon
Ñ0 wegen D17 (iii)
`εϕ18kÑ8ÝÝÝÑ εϕ18
gilt. Da diese Abschätzung für alle ε ą 0 gilt, folgt die Behauptung.
Beispiele (Dirac-Folgen).
1. Sei ϕ P C80 , ϕ ě 0 mitş
R ϕpxq dx “ 1, dann ist ϕkpxq :“ kϕpkxq eine Dirac-Folge.((i) ist trivial, (ii) folgt aus der Normiertheit von ϕ plus Transformationssatz und (iii) folgt ausdem kompakten Träger von ϕ)
2. δkpxq :“b
k2π exp
´
´kx2
2
¯
(genannt „Gauß-Verteilung“)
3. δkpxq :“ 1π
k1`k2x2
(genannt „Lorenz-Kurve“)
4. δkpxq :“ k ¨ rectpkxq mit rectpxq :“
#
1 für |x| ď 12
0 sonstunserer Rechteckfunktion. Dieses Beispiel
ist eine „unstetige Version“ der Funktionen in 1.
Satz 19 (Distributionelle Ableitung als Differenzenquotient). Sei f P D 1, dann ist:
f 1 “ limhÑ0
fpx` hq ´ fpxq
hpin D 1q
Beweis. Für die Konvergenz in D 1 müssen wir zeigen, dass:
@ϕ P D :@
f 1, ϕD
“
B
limhÑ0
fpx` hq ´ fpxq
h, ϕ
F
gilt. Sei also ϕ P D , dann erhalten wir: xf 1, ϕy “ ´xf, ϕ1y. FürA
fpx`hq´fpxqh , ϕ
E
gilt mit den Rechen-regeln für Distributionen:
B
fpx` hq ´ fpxq
h, ϕ
F
“
B
f,ϕpx´ hq ´ ϕpxq
h
F
zudem haben wir limhÑ0ϕpx´hq´ϕpxq
h “ ´ϕ1pxq. Schlussendlich bemerken wir erstens, dass unse-re Distributionen per Definition stetig sind und zweitens, dass das „distributionelle Analogon“ vonlim fpxnq “ fplimxnq für stetige Funktionen einfach „xlim f, ϕy “ xf, limϕy“ ist und erhalten:
B
limhÑ0
fpx´ hq ´ fpxq
h, ϕ
F
“
B
f, limhÑ0
ϕpx´ hq ´ ϕpxq
h
F
“@
f,´ϕ1D
“ ´@
f, ϕ1D
“@
f 1, ϕD
was zu zeigen war.
10
Der Grundraum S
Motivation: Wir möchten als nächstes Fouriertransformationen auf unseren Distributionen betrachten.Falls man aber wie gewohnt die Fouriertransformation einer Distribution definiert, indem man sie aufeine Testfunktion aus D überträgt, so stellt man fest, dass man „aus dem Raum D der Testfunktionenherausfällt“. Daher werden wir auf den kompakten Träger unserer Testfunktionen verzichten. Da wiraber „über ganz R integrieren“ wollen, werden wir den Begriff der „schnell fallenden Funktion“ einführenund mithilfe dieser den Grundraum der Testfunktionen erweitern. Der neue Grundraum heisst derRaum S der Schwartz-Funktionen.
Definition 20 (schnell fallend, schwach wachsend). Sei f : RÑ C eine Funktion. Wir nennen sie:
• „schnell fallend“, falls für alle m P N0 gilt, dass |xmfpxq| beschränkt bleibt, wenn |x| Ñ 8.
• „schwach wachsend“, wenn es ein m P N gibt, so dassˇ
ˇ
ˇ
fpxqxm
ˇ
ˇ
ˇbeschränkt bleibt, wenn |x| Ñ 8.
Beispiele (schnell fallend).
• e´x2 ist eine schnell fallende Funktion.
• Jede Funktion f : RÑ C mit kompaktem Träger ist schnell fallend.
Beispiele (schwach wachsend).
• Alle Polynome sind schwach wachsend.
• Jede beschränkte Funktion f : RÑ C ist ebenfalls schwach wachsend.
• Jede Logarithmusfunktion ist auf ihrem Definitionsbereich schwach wachsend.
Lemma 21. Sei f schnell fallend und seien g, h schwach wachsend. Dann ist f ¨ g schnell fallend undg ¨ h schwach wachsend.
Beweis. Zu f ¨ g: Wir wissen, dass es ein n P N gibt für dasˇ
ˇ
ˇ
gpxqxn
ˇ
ˇ
ˇbeschränkt ist für |x| Ñ 8. Nun
betrachten wir für ein beliebiges m P N0 den Term |xmfpxqgpxq| “ |xm`nfpxq|ˇ
ˇ
ˇ
gpxqxn
ˇ
ˇ
ˇď C, wobei die
letzte Ungleichung natürlich gilt, da f schnell fallend und g schwach wachsend ist.Zu g ¨ h: Wiederum wissen wir, dass es n,m P N gibt, die g und h auf die obige Art beschränken.
Wir betrachtenˇ
ˇ
ˇ
gpxqhpxqxn`m
ˇ
ˇ
ˇ“
ˇ
ˇ
ˇ
gpxqxn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
hpxqxn
ˇ
ˇ
ˇď C, wobei die letzte Ungleichung gilt, da g und h schwach
wachsend sind.
Definition 22 (Schwartz-Funktion). Eine Funktion ϕ heißt „Schwartz-Funktion“ , falls ϕ P C8 ist undfür jedes n P N0 gilt, dass ϕpnq schnell fallend ist. Eine alternative Möglichkeit Schwartz-Funktionenzu definieren ist Folgende:ϕ ist eine Schwartz-Funktion genau dann, wenn ϕ P C8 und:
@n,m P N0 : supxPR
|xmϕpnqpxq| ă 8
ist.
Beispiel (Schwartz-Funktion). Unser erstes Beispiel einer Funktion, die schnell fallend ist, ist e´x2 .Diese ist C8 und somit eine Schwartz-Funktion.
Notation: Die Menge aller Schwartz-Funktionen wird mit S notiert.
11
Bemerkungen.
• S ist ein Vektorraum über C.
• D Ă S und D liegt sogar dicht in S .
• S Ă Lp für p P r1,8s. Der Raum der Schwartz-Funktionen liegt dicht in den Lp-Räumen, fallsp ‰ 8 ist.
Definition 23 (Konvergenz in S ). Sei tϕku eine Folge in S . Dann heisst tϕku konvergent gegen 0in S (geschrieben ϕk
SÝÝÝÑkÑ8
0), falls für alle m,n P N0 gilt: xmϕpnqk pxqglm.ÝÝÝÑkÑ8
0.
Bemerkung. Eine äquivalente Definition dieser Konvergenz ist Folgende:
ϕkS
ÝÝÝÑkÑ8
0 ðñ @m,n P N0 : p1` |x|qmϕpnqk
glm.ÝÝÝÑkÑ8
0.
Beweis. ñ: Klar, da xmϕpnqk für allem P N0 gleichmäßig konvergiert, konvergiert das ϕpnqk auch mit denSummanden der Binomialsumme, die aus p1 ` |x|qk entsteht und damit auch mit der ganzen Summegleichmäßig.ð: Wir bemerken, dass f glm.
ÝÝÝÑ 0 äquivalent ist zu f8 Ñ 0 und betrachten dann für k,m, n P N0
folgende Ungleichungskette, die für alle x P R gilt:
xmϕpnqk pxq ď |x|mϕ
pnqk pxq ď p1` |x|qmϕ
pnqk pxq .
Daraus folgt direkt, dass xmϕpnqk 8 ď p1 ` |x|qmϕpnqk 8 ist und damit folgt wiederum aus
p1` |x|qmϕpnqk 8
kÑ8ÝÝÝÑ 0, dass xmϕpnqk 8
kÑ8ÝÝÝÑ 0 gilt, was zu zeigen war.
Lemma 24. Sei ϕ P S und v P C8 wobei vpnq schwach wachsend ist für alle n P N0. Dann istv ¨ ϕ P S .
Beweis. v ¨ ϕ P C8 ist klar und pv ¨ ϕqpnq “řnk“0
`
nk
˘
vpkq ¨ ϕpn´kq, wobei die Summanden alle schnellfallend sind (siehe Lemma (21)) und es damit auch die Summe ist.
Lemma 25. Sei ψ P C80 mit 0 ď ψ ď 1 und suppψ “ r´b, bs, sowie ψpxq ” 1 auf p´r, rq mit 0 ă r ă b.Für a ą 0 setze ψapxq :“ ψpxaq. Sei nun ϕ eine Schwartz-Funktion, dann gilt ψaϕ
SÝÝÝÑaÑ8
ϕ.
Beweis. Zunächst stellen wir fest, dass ψa auf jedem Intervall r´M,M s gleichmäßig gegen 1 konvergiertfür aÑ8 (wähle einfach a ąMr). Zudem gilt:
ψpjqa “1
anψpnqpxaq
glm.ÝÝÝÑaÑ8
0, @j P N.
Sei nun ϕ P S , dann ist ψaϕ P S für alle a ą 0. Die Leibniz-Regel liefert uns für die n-te Ableitungdes Produkts:
rψaϕspnq “
nÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
ψpjqa ϕpn´jq.
Nun erhalten wir:
p1` |x|qmrψaϕspnq glm.ÝÝÝÑaÑ8
p1` |x|qmϕpnq
da für j P N, j ‰ 0 ja ψpjqaglm.ÝÝÝÑ 0 gilt und zudem ψa ” 1 für aÑ8.
12
Vorlesung 5:
Temperierte Distributionen und Pseudo-Funktionen (13.11.14)
Bisher liefert uns die Funktionenschar 1xk
mit k P N keine Distributionen, da diese Funktionen nichtin L1
loc liegen. In dieser Vorlesung werden wir temperierte Distributionen einführen und uns dannüberlegen, wie wir zunächst aus 1
x und dann aus 1xk
mit k P N eine (temperierte) Distribution gewinnenkönnen.Zunächst aber einige Vorbereitungen.
Korollar 26. Der Raum D der Testfunktionen liegt dicht im Raum S der Schwartz-Funktionen.
Beweis. Sei ψa wie in Lemma 25. Dann hat, wie dort gezeigt, ψa kompakten Träger, also ist ψaϕ P D ,für alle ϕ P S . Nach Lemma 25 gilt aber ϕa
SÝÑ ϕ.
Definition 27 (Temperierte Distribution). Ein stetiges lineares Funktional f : S Ñ C heißt „tempe-rierte Distribution“. Die Menge der temperierten Distributionen notieren wir mit S 1.
Bemerkung. Aus DdichtĂ S folgt S 1 dichtĂ D 1. D.h. falls wir etwas in D 1 beweisen, so gilt dies auch in
S 1.
Satz 28 (Induzierte temperierte Distribution). Sei L :“ tf : RÑ C | f ist langsam wachsendu. Jedesf P L1
loc XL definiert eine temperierte Distribution, notiert mit Tf , durch:
Tfϕ :“
ż
Rfpxqϕpxqdx.
Wir nennen Tf die von f erzeugte/induzierte temperierte Distribution.
Beweis. Die Linearität des so induzierten Funktionals ist klar ersichtlich (Linearität der punktweisenMultiplikation und des Integrals).Bezüglich der Stetigkeit nehmen wir an, dass tϕkukPN
SÝÑ 0 eine Folge von Schwartz-Funktionen ist.
Für die Stetigkeit müssen wir nun zeigen, dass xTf , ϕky “ş
R fpxqϕpxqdxin CÝÝÝÑ 0 gilt. Da aber f P L
ist, existiert ein m P N0, so dass für alle x P R:
|fpxq| ď C|xm| ď Cp1` |x|qm,
für ein C P R` erfüllt ist.Zudem können wir aus tϕkukPN
SÝÑ 0 folgern, dass es eine positive Nullfolge tεku in R gibt, so dass
p1` |x|qm`2|ϕkpxq| ď εk gilt für alle k P N, x P R. Daraus folgt nun die Abschätzung:
|ϕkpxq| ďεk
p1` |x|qm`2, @x P R, @k P N.
Diese beiden Abschätzungen setzen wir nun in xTf , ϕky ein und erhalten:
|xTf , ϕky| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rfpxqϕkpxq dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ż
R|fpxq| ¨ |ϕkpxq|dx
ď
ż
Rp1` |x|qmC ¨
εkp1` |x|qm`2
dx
“ Cεk
ż
R
1
p1` |x|q2dx
loooooooomoooooooon
ă8
kÑ8ÝÝÝÑ 0.
13
Beispiele (Funktionen die temperierte Funktionen induzieren).
• Jedes Polynom p ist lokal integrierbar und schwach wachsend, induziert also eine temperierteFunktion Tp.
• Insbesondere folgt daraus, dass fpxq “ xp mit p ą 0 eine temperierte Funktion induziert.
• Gegenbeispiel ist ex, diese Funktion induziert keine temperierte Distribution.
Definition 29 (Rechenregeln für temperierte Distributionen). Seien f, g P S 1, c P C, a P Rzt0u undv P C8 mit vpnq P L für alle n P N0. Dann gilt:
(i) xf ˘ g, ϕy “ xf, ϕy ˘ xg, ϕy
(ii) xcf, ϕy “ cxf, ϕy
(iii) xfpx´ aq, ϕy “ xf, ϕpx` aqy
(iv) xfpaxq, ϕy “ 1|a|xf, ϕpxaqy
(v) xvf, ϕy “ xf, vϕy
(vi) xf 1, ϕy “ ´xf, ϕ1y
Bemerkungen.
• Satz (13) und (16) gilt auch für temperierte Distributionen, wobei man „P L1loc“ durch „P LXL1
loc“ersetzten muss.
• f P S 1 ùñ f pnq P S 1, für alle n P N.
Definition 30 (Konvergenz in S 1). Sei pfkqkPN eine Folge in S 1. Wir nennen pfkqkPN „konvergentgegen ein f P S 1“ genau dann, wenn:
@ϕ P S : xfk, ϕyin CÝÝÑ xf, ϕy
gilt.
Pseudofunktionen
Nun wenden wir uns Fällen wie 1x zu. Probleme macht dabei natürlich die Singularität bei x “ 0.Um aus diesen lokal nicht integrierbaren Funktionen trotzdem eine Distribution zu erhalten, führenwir die sogenannten Pseudofunktionen ein.
Lemma 31. Sei ϕ P C8 mit ϕp0q “ 0. Dann gilt auch ϕpxqx P C8.
Beweis. Wir rechnen (mit ϕp0q “ 0):
ϕpxq
x“ϕpxq ´ ϕp0q
x“
ż 1
0ϕ1pxtqdt.
Wir wissen, dass ϕ1pxtq beliebig oft nach x differenzierbar ist. Da ϕ1pxtq und Bxϕ1pxtq stetig auf Rˆr0, 1ssind, folgt daraus:
d
dx
ϕpxq
x“
ż 1
0
d
dxϕ1pxtqdt “
ż 1
0ϕ2pxtqtdt,
wobei die rechte Seite beliebig oft differenzierbar ist. Der Rest folgt per vollständiger Induktion.
14
Wir definieren nun die Pseudofunktion vp 1x , d.h. eine Distribution, die von 1
x induziert wird, durchden Cauchyschen Hauptwert (vp = valeur principale):
B
vp1
x, ϕ
F
:“ limεÑ0
˜
ż ´ε
´8
ϕpxq
xdx
loooooomoooooon
“:pIq
`
ż 8
ε
ϕpxq
xdx
loooooomoooooon
“:pIIq
¸
Wir betrachten die Funktion ψ, die definiert ist durch ψpxq :“ ϕpxq´ϕp0qx , also ϕpxq “ ϕp0q ` xψpxq.
Lemma 31 liefert uns, dass ψ P C8 ist. Wir setzen diese Darstellung von ϕpxq in die beiden Integraleein und erhalten:
pIq “ ϕp0q
ż ´ε
´8
dx
xloooooomoooooon
“:pIIIq
`
ż ´ε
´8
ψpxqdxx ÞÑ´x“ ´ϕp0q
ż 8
ε
dx
xlooooooomooooooon
“pIIIq
`
ż ´ε
´8
ψpxq dx
für das erste Integral, wobei wir in der letzten Gleichung, wie über dem „““ angedeutet, das Integraltransformiert haben, und für das zweite Integral:
pIIq “
ż 8
ε
ϕpxq
xdx “ ϕp0q
ż 8
ε
dx
xloooooomoooooon
“´pIIIq
`
ż 8
εψpxq dx.
Aufsummiert erhalten wir also:
limεÑ0ppIq ` pIIqq “ lim
εÑ0
ˆż ´ε
´8
ψpxq dx`
ż 8
εψpxqdx
˙
“
ż 8
´8
ψpxqdx ă 8.
Das bedeutet also, dass es Sinn ergibt, den Ausdruck:B
vp1
x, ϕ
F
“
ż
R
ϕpxq ´ ϕp0q
xdx
als Verallgemeinerung der Funktion x ÞÑ 1x zu einer Distribution zu interpretieren (Linearität und
Stetigkeit lassen sich leicht überprüfen).
Definition 32. Wir definieren rekursiv für alle n P N: 1xn`1
D 1:“ ´ 1
nd
dx
`
1xn
˘
.
Satz 33. Im Raum der Distributionen gilt für das so eingeführte 1xn dann die Gleichung x ¨ 1
xn`1
D 1“ 1
xn ,für alle n P N0.
Beweis. Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion geführt. Für n “ 0 gilt:B
x ¨ vp1
x, ϕ
F
“
B
vp1
x, xϕ
F
“ limεÑ0
ˆż ´ε
´8
xϕ
xdx`
ż 8
ε
xϕ
xdx
˙
“
ż
R1 ¨ ϕdx “ x1, ϕy.
Für den Schritt nÑ n` 1 rechnen wir:B
x ¨1
xn`1, ϕ
F
“
B
1
xn`1, xϕ
F
“ ´1
n
B
d
dx
1
xn, xϕ
F
“1
n
B
1
xn,
d
dxpxϕq
F
“1
n
B
1
xn, xϕ1 ` ϕ
F
“
“1
n
ˆB
1
xn, xϕ1
F
`
B
1
xn, ϕ
F˙
“1
n
ˆB
x ¨1
xn, ϕ1
F
`
B
1
xn, ϕ
F˙
“ ´1
n
B
d
dx
ˆ
1
xn´1
˙
, ϕ
F
`1
n
B
1
xn, ϕ
F
“n´ 1
n
B
1
xn, ϕ
F
`1
n
B
1
xn, ϕ
F
“
B
1
xn, ϕ
F
.
15
Hadamards „partie finie“
Wir wenden uns nun einer Möglichkeit zu, divergenten Integrale einen endlichenWert zuzuordnen. Dazuwerden wir bei einem betrachteten Integral durch Umformen einen divergenten und einen endlichenTerm ausmachen und für die Bildung des „partie finie“ (endlicher Teil), nur den so gefundenen endlichenTeil betrachten.Dazu sei die Funktion x´32
` : RÑ R gegeben als:
x´32` :“
#
x´32, falls x ą 0,
0, sonst
+
R L1loc.
Das „`“ im Index korrespondiert dabei natürlich mit der positiven reellen Achse auf der diese Funktionihren Träger hat. Wir wollen nun aus dieser Funktion eine Distribution erzeugen. Das Problem istwieder die Unstetigkeit bei x “ 0.Sei ϕ P D . Wir rechnen:
A
x´32` , ϕ
E
“
ż 8
0x´32ϕpxqdx “ lim
εÑ0
ż 8
εx´32ϕpxqdx “ lim
εÑ0
ż M
εx´32ϕpxqdx,
wobei die letzte Gleichung wegen des endlichen Trägers von ϕ gilt (Es existiert ein M ą 0, so dasssuppϕX r0,8q “ r0,M s ist). Wir setzen wie schon zuvor ϕpxq “ ϕp0q ` xψpxq und wissen, dass ψ inC8 liegt. Nun erhalten wir:
limεÑ0
ż M
εx´32ϕpxqdx “ lim
εÑ0
ż M
εx´32pϕp0q ` xψpxqqdx “ lim
εÑ0
«
2ϕp0q?ε´
2ϕp0q?M
`
ż M
ε
ψpxq?x
dxloooooomoooooon
p˚q
ff
.
Nun können wir wie folgt abschätzen:
|ψpxq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ϕpxq ´ ϕp0q
x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż x
0ϕ1ptqdt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď ϕ18,
wobei die zweite Gleichheit aus dem HDI folgt. Dies gibt uns nun die Möglichkeit das Integral p˚qabzuschätzen:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż M
ε
ϕpxq?x
dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď ϕ18
ż M
ε
1?x
dx ď ϕ18
ż M
0
1?x
dx “ 2?Mϕ18.
Der Teil inA
x´32` , ϕ
E
, der nun beim Grenzwertübergang εÑ 0 noch Probleme macht, ist 2ϕp0q?ε, also
lassen wir diesen Ausdruck an dieser Stelle einfach weg und erhalten Hadamards partie finie, d.h.:
p. f.A
x´32` , ϕ
E
“ p. f.
ż 8
0
ϕpxq
x32dx :“
ż M
0
ψpxq?x
dx´2ϕp0q?M
.
Vorlesung 6:
Fortsetzung Partie finie,Träger und Tensorprodukt von Distributionen (20.11.14)
Wir kommen auf Hadamards „partie finie“ zurück. Dieser ist definiert durch:
p.f.
ż 8
0
ϕpxq
x32dx :“
ż M
0
ψpxq?x
dx´2ϕp0q?M
,
16
wobei ψpxq “ ϕpxq´ϕp0qx und M P R so gewählt ist, dass suppϕ Ă p´8,M s.
Der obige Ausdruck definiert uns ein lineares Funktional auf D :B
p.f.
ż 8
0
‚
x32dx, ϕ
F
.
Beweis. (Dies ist ein lineares, stetiges Funktional)Linearität ist direkt ersichtlich.Um Stetigkeit zu zeigen nehmen wir an, tϕkukPN sei eine Nullfolge in D (d.h. ϕk
DÝÑ 0) und zeigen:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
B
p.f.
ż 8
0
‚
x32dx, ϕk
Fˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
p.f.
ż 8
0
ϕkpxq
x32dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż M
0
ϕkpxq?x
dx´2ϕkp0q?M
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď 2?M ϕ1k8
loomoon
Ñ 0
`2
Ñ 0hkkikkj
|ϕkp0q|?M
kÑ8ÝÝÝÑ 0.
Wir wollen nun das M aus unserem partie finie loswerden, da es ja von unserer Testfunktion ϕabhängt und so für jede Testfunktion neu gewählt werden müsste.
p.f.
ż 8
0
ϕpxq
x32dx “
ż M
0
ϕpxq ´ ϕp0q
x32dx´
2ϕp0q?M
mit M Ñ 8 verschwindet der Subtrahend und es bleibt das Integralş8
0ϕpxq´ϕp0q
x32dx, welches wir als
Pf x´32` definieren, zurück. Das „Pf“ steht hier für Pseudofunktion. Wir definieren also die Distribu-
tion die wir daraus erhalten als:A
Pf x´32` , ϕ
E
:“ limεÑ0
ˆż 8
εx´32ϕpxq dx´
2ϕp0q?ε
˙
“
ż 8
0
ϕpxq ´ ϕp0q
x32dx.
Auf ähnliche Art und Weise kann man die Funktionen x´λ` mit λ ą 1 als Distributionen definieren.Siehe dazu auch Übungsblatt 3.
Träger von Distributionen
Wir wollen nun die Idee des Trägers einer Funktion auf Distributionen übertragen. Da der Träger übereine punktweise Eigenschaft einer Funktion definiert ist und zwar ob die Funktion gleich Null ist odernicht, können wir diese Definition nicht naiv auf Distributionen übertragen.
Definition 34 (Träger einer Distribution). Sei f P D 1 und:
Npfq :“ tx P R | f D 1“ 0 in einer offenen Umgebung Ux von xu.
Dabei bedeutet f D 1“ 0: @ϕ P D mit Träger in dieser Umgebung Ux gilt xf, ϕy “ 0.
Wir definieren den Träger von f dann als supp f :“ RzNpfq.
Bemerkungen.
• Da Npfq offen ist, ist supp f abgeschlossen.
• x0 P supp f ðñ Für alle offenen Umgebungen Ux0 existiert ein ϕ P D mit suppϕ Ă Ux0 , sodass xf, ϕy ‰ 0.
• f D 1” 0 ðñ supp f “ H.
Beispiele.
17
1. Das Dirac-δ ist auf jeder offenen Umgebung, welche die Null nicht enthält, gleich Null. Ande-rerseits, falls U offene Umgebung der 0 ist, dann ist xδ, ϕy “ ϕp0q ‰ 0 für alle ϕ P D mit0 P suppϕ Ă U . Daher: supp δ “ t0u.
2. Die sogenannte „Shah-Funktion“, manchmal auch „Dirac-Kamm“ genannt, ist definiert durch:
X :“8ÿ
k“´8
δpx´ kq P D 1 mit suppX “ Z.
3. Falls unsere Distribution regulär ist, d.h. von der Form Tf ist und f darüber hinaus stetig ist, soerhalten wir, wie erwartet, NpTf q “ Rz supp f woraus folgt suppTf “ supp f (Man beachte, dasses sich hier um zwei verschiedene supp handelt, eines für Funktionen, eines für Distributionen).
Satz 35. Sei ϕ P D und f P D 1. Dann folgt aus supp f X suppϕ “ H direkt xf, ϕy “ 0.
Beweis. Literatur.
Definition 36 (Lokalisierung einer Distribution). Sei ΩoffenĂ R und f P D 1. Betrachte
DpΩq :“ tϕ P D | suppϕ Ă Ωu Ă D ,
wobei diese Teilmengenbeziehung so gemeint ist: Ein Element ϕΩ P DpΩq kann ebenso als Element von
D aufgefasst werden durch die Einbettung: DpΩq Ñ D mit ϕΩpxq ÞÑ ϕpxq :“
#
ϕΩpxq, falls x P Ω,
0, sonst.Wir betrachten nun die Abbildung DpΩq Ñ C mit ϕΩ ÞÑ xf, ϕy, wobei hier ϕ das eingebettete ϕΩ ist.
Diese Abbildung nennt man die „Einschränkung“ oder „Lokalisierung“ von f auf Ω. Man schreibt f |Ω,wie wir das bereits von Funktionen gewohnt sind.Man sagt, dass f, g P D 1 „gleich sind auf Ω“ falls f |Ω “ g|Ω gilt.
Korollar 37. Sei f P D 1. Falls für alle x P R eine offene Umgebung Ux existiert, so dass f |UxD 1“ 0
dann ist fD 1” 0.
Beweis. Npfq “ R und daher ist supp f “ H. Satz 35 liefert xf, ϕy “ 0 für alle ϕ P D woraus direktf ” 0 folgt.
Notation. f P D 1pΩq bedeutet, dass f : DpΩq Ñ C ein stetiges lineares Funktional auf DpΩq ist.
Satz 38. Sei I eine beliebige Menge und tUiuiPI eine offene Überdeckung von R (das heißt: die Uisind alle offen und es gilt zudem R “
Ť
iPI
Ui). Für jedes i P I sei fi P D 1pUiq eine gegebene (lokale)
Distribution und es gelte:
fi|UiXUj “ fj |UiXUj @i, j P I mit Ui X Uj ‰ H.
Dann existiert genau eine (globale) Distribution f P D 1 mit f |Ui “ fi für alle i P I.
Beweis. Literatur!
Bemerkung. Distributionen bilden eine sogenannte „Garbe“.
18
Ausflug: Mehrdimensionale Distributionen und das Tensorprodukt
Definition 39 (Tensorprodukt von Funktionen). Seien f, g : R Ñ C Funktionen. Dann heißt f b g :Rˆ RÑ C mit pf b gqpx, yq :“ fpxq ¨ gpyq das „Tensorprodukt“ von f und g.
Bemerkung. Seien ϕ,ψ P D , dann ist ϕ b ψ P C8pR ˆ R,Cq mit kompaktem Träger, also ϕ b ψ PDpRx ˆ Ryq (wobei das Rx andeuten soll, dass die x-Variable aus R kommt usw.). Seien f, g P L1pRq,dann ist f b g P L1pRx ˆ Ryq.
Das ist inspiriert von:ż
R2
|f b g| dpx, yq “
ż
R
ż
R|fpxq||gpyq|dx dy “
ˆż
R|fpxq|dx
˙ˆż
R|gpyq|dy
˙
.
f b g kann als reguläre Distribution auf DpRˆ Rq angesehen werden: Sei τ P DpR2q.
xf b g, τy :“
ż
R
ż
Rfpxqgpyqτpx, yq dpx, yq “
ż
Rgpyq
ˆż
Rfpxqτpx, yqdx
˙
dy “ xg, xf, τyy,
Hierbei ist x‚, ‚y in der ersten Gleichung als Paarung einer 2-dimensionalen Distribution mit einer2-dimensionalen Testfunktion und in der letzten Gleichung als zwei Paarungen aufzufassen, wie wirgewohnt sind 1-dimensionale Distributionen und Testfunktionen zusammenfügen. Man beachte auch,dass xf, τy eine Testfunktion in der Variablen y ist. (Beweis?)Falls τ die Form ϕb ψ wie oben hat, dann erhält man sogar xf b g, τy “ xf, ϕy ¨ xg, ψy.
Mit dieser Motivation wenden wir uns folgendem Satz zu.
Satz 40 (Tensorprodukt von Distributionen). Seien f, g P D 1. Dann gibt es genau eine Distributionf b g P D 1pRx ˆ Ryq, so dass xf b g, ϕb ψy “ xf, ϕyxg, ψy für alle ϕ P DpRxq und ψ P DpRyq gilt.f b g nennt man das „Tensorprodukt“ von f und g. Für τ P DpR2q gilt zudem:
xf b g, τy “ xf, xg, τyy “ xg, xf, τyy.
Beweis. Literatur!
Beispiel. Sei f “ g “ δ, dann gilt:
xδ b δ, τpx, yqy “ xδ, xδ, τpx, yqyy “ xδ, τpx, 0qy “ τp0, 0q “: xδpx, yq, τpx, yqy,
wobei dieses „δpx, yq“ das „2-dimensionale Dirac-δ“ genannt wird. Diese Idee lässt sich auf n Dimen-sionen übertragen.
Vorlesung 7:
Fourier-Transformation von Funktionen (27.11.14)
Wir wollen uns nun einem Anwendungsgebiet der Distributionen, genauer der temperierten Distribu-tionen, zuwenden, der Fourier-Transformation.
19
Die klassische Fourier-Transformation
Definition 41. Es sein f P L1. Dann heißt die Abbildung F : L1 Ñ CpRq (siehe Satz (42) 1.),definiert durch:
F pfqpωq :“ pfpωq :“
ż
Rfpxqe´iωx dx, ω P R,
die „Fourier-Transformation“ von f .
Satz 42. Für alle f, g P L1 gilt:
1. pf ist stetig und für alle ω P R gilt: | pfpωq| ď fL1.
2.ż
Rfpg dx “
ż
Rpfg dx.
3. Es gilt das „Riemann-Lebesgue-Lemma“:
lim|ω|Ñ8
pfpωq “ 0.
Beweis. Für den Beweis benötigen wir folgenden Einschub:Lebesgue-majorisierte-KonvergenzSei pfkqkPN eine Folge von Funktionen in L1 und f : RÑ C, so dass:
1. fpxq “ limkÑ8 fkpxq (fast überall),
2. und ein g P L1 existiert, so dass |fkpxq| ď |gpxq| ist für alle k P N,
dann ist der punktweise Limes von fk, f P L1 und es gilt:
limkÑ0
ż
Rfk dx “
ż
Rf dx
ˆ
“
ż
RlimkÑ8
fk dx
˙
.
Nun zu 1.: Wir wissen für alle ω P R gilt:
| pfpωq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rfpxqe´iωx dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ż
R|fpxq|
ˇ
ˇe´iωxˇ
ˇ
loomoon
“1
dx “ fL1
womit die Ungleichung gezeigt ist.Bezüglich Stetigkeit betrachten wir:
pfpω ` hq ´ pfpωq “
ż
Rfpxq
”
e´ipω`hqx ´ e´iωxı
dx.
Daraus erhalten wir:
| pfpω ` hq ´ pf | ď
ż
R|fpxq|
ˇ
ˇe´iωxˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇe´ihx ´ 1
ˇ
ˇ
ˇdx “
ż
R|fpxq|
ˇ
ˇ
ˇe´ihx ´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
looooomooooon
ď2
dx
loooooooooooooomoooooooooooooon
ď2|fpxq|“fkpxq
wobei das fkpxq so gemeint ist, dass man h durch eine Folge hk Ñ 0 ersetzen kann, womit wir danndie Funktionenfolge fk erhalten. Darüber hinaus gilt:
limhÑ0
ˇ
ˇ
ˇe´ihx ´ 1
ˇ
ˇ
ˇ“ 0, @x P R.
20
Die Voraussetzungen für die majorisierte Konvergenz sind damit erfüllt und wir können berechnen:
limhÑ0
| pfpω ` hq ´ fpωq| ď limhÑ0
ż
R|fpxq||e´ihx ´ 1| dx
maj.Kon.“
ż
RlimhÑ0
|fpxq|ˇ
ˇ
ˇe´ihx ´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
looooomooooon
Ñ0
dx “ 0.
Bezüglich 2. stellen wir zunächst fest, dass |pgpωq| ď gL1 und | pfpωq| ď fL1 für alle ω P R gilt. Dasbedeutet aber, dass fpg und pfg fast überall beschränkt, also fpg, pfg P L1 sind.Somit erhalten wir:
ż
Rfpxqpgpxq dx “
ż
Rfpxq
ż
Rgpξqe´iξxdξ dx
Fubini“
ż
Rgpξq
ż
Rfpxqe´iξx dx
loooooooomoooooooon
“ pfpξq
dξ “
ż
Rgpξq pfpξqdξ,
womit 2. gezeigt ist. Für 3. benutzen wir Korollar(26) das aussagt, dass D Ă S dicht liegt. Da auchS Ă L1 dicht liegt, folgt, dass D Ă L1 dicht liegt. Für ein f P L1 betrachte man eine Folge ϕk P D
mit ϕkkÑ8ÝÝÝÑ f in L1. Wir können also zunächst für alle k P N in pϕkpωq “
ş
R ϕkpxqe´iωx dx partiell
integrieren und erhalten:
|pϕkpxq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rϕkpxqe
´iωx dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
part.int.“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Rϕ1kpxq
´1
iωe´iωx dx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď1
|ω|
ż
R|ϕ1kpxq|
ˇ
ˇe´iωxˇ
ˇ
loomoon
“1
dx
loooooooooooomoooooooooooon
ă8
|ω|Ñ8ÝÝÝÝÑ 0,
womit lim|ω|Ñ8 pϕkpωq “ 0 ist für alle k P N.Dieses Ergebnis müssen wir nur noch auf f übertragen. Dazu stellen wir kurz fest, dass wir für
die konvergente Folge tϕku den Satz von der majorisierten Konvergenz inş
R limkÑ8 ϕkpxqe´iωx dx
benutzen können (man beachte, dass hier tϕku in L1 gegen f konvergiert, dieser Fall aber aus der ma-jorisierten Konvergenz angewandt auf die Funktionenfolge t|ϕk´f |u und der majorisierenden Funktion2f folgt) und wir können rechnen:
lim|ω|Ñ8
pfpωq “ lim|ω|Ñ8
ż
Rfpxqe´iωx dx “ lim
|ω|Ñ8
ż
RlimkÑ8
ϕkpxqe´iωx dx
maj.Konv.“ lim
|ω|Ñ8limkÑ8
ż
Rϕkpxqe
´iωx dxlooooooooomooooooooon
“:p˚q
.
Wir stellen kurz fest, dass p˚q sowohl, wegen majorisierter Konvergenz für alle ω in k konvergiert undebenfalls für alle k in ω konvergiert, wie wir eben gezeigt haben. Das bedeutet, dass wir die Limitesvertauschen können und somit erhalten wir:
lim|ω|Ñ8
limkÑ8
ż
Rϕkpxqe
´iωx dxlooooooooomooooooooon
“pϕk
“ limkÑ8
lim|ω|Ñ8
pϕkpωq “ limkÑ8
0 “ 0,
was zu zeigen war.
Wir führen den Funktionenraum C00 :“ tf P C | lim|x|Ñ8 fpxq “ 0u ein und erhalten als eine direkteKonsequenz des obigen Satzes folgendes Resultat.
Korollar 43 (Folgerung aus Satz (42)). F : L1 Ñ C00 Ę L1.
(Die Funktion fpxq “ 11`|x| zeigt, dass C00 Ę L1.)
Satz 44 (Eigenschaften von F ). Seien f, g P L1. Dann gilt:
21
1. paf ˘ bgq “ a pf ˘ bpg für alle a, b P C.
2. Sei f P C1 X L1 und f 1 P L1. Dann ist zf 1pxqpωq “ iω pfpωq.
3. fpx` aqpωq “ eiωa pfpωq für alle a P R.
4. fpaxqpωq “ 1|a|
pf`
ωa
˘
für alle 0 ‰ a P R.
Beweis.
1. Die Linearität von F ist aus der Linearität des Integrals und der Multiplikation mit e´iωx sofortersichtlich.
2. Da nach Voraussetzung f 1 P L1 ist, existiert pf 1 und es gilt:
zf 1pxqpωq “
ż
Rf 1pxqe´iωx dx
part.Int.“ ´
ż
Rfpxqe´iωxp´iωq dx “ iω
ż
Rfpxqe´iωx dx “ iω pfpxq.
3. und 4. Wir rechnen:
fpax` cqpωq “
ż
Rfpax` cqe´iωx dx “
1
|a|
ż
Rfpyqe´iωp
y´caq dy “
1
|a|eiω
ca
ż
Rfpyqe´i
ωay dy
“1
|a|eiωca zfpyq
´ω
a
¯
,
was beide Fälle abdeckt. Der Betrag in 1|a| kommt daher, dass im Fall a ă 0 zunächst die
Integrationsrichtung umgedreht wird und, um dies zu berichtigen, das Integral ein negativesVorzeichen erhält, welches zu 1
´a im Fall a ă 0 führt, also 1|a| .
Definition 45 (Faltung von Funktionen). Es seien f, g : RÑ C beliebige Funktionen. Dann heißt:
pf ˚ gqpxq :“
ż
Rfpyqgpx´ yq dy
die Faltung von f mit g, falls das Integral existiert.
Bemerkung. Offensichtlich ist f ˚g symmetrisch in den beiden Einträgen (falls das Integral existiert).
Bemerkung. Dieses Integral existiert zum Beispiel in den Fällen:
• f, g P L1.
• Sei 1 ď p, q, r ď 8. Falls f P Lp und g P Lq, dann ist f ˚ g P Lr, wobei 1p `
1q “
1r ` 1.
• f P C0 und g P C.
Satz 46. Es seien f, g P L1. Dann gilt: pf ˚ gq “ pf ¨ pg.
Beweis. Wir berechnen:
pf ˚ gqpωq “
ż
R
ż
Rfpyqgpx´ yqdye´iωx dx “
ż
Rfpyq
ż
Rgpx´ yqe´iωx dx
looooooooooomooooooooooon
Satz(44) p3q “ e´iωypgpωq
dy
“
ż
Rfpyqe´iωy dy ¨ pgpωq “ p pf ¨ pgqpωq, @ω P R.
22
Fourier-Transformation in S
Lemma 47. Es sei ϕ P S . Für k, l P N sind auch xkϕ und ϕplq P S .
Beweis.Einschub: Wir wissen: xmϕpnqpxq ď supxPR |x
mϕpnqpxq| “: qm,npϕq P R`0 ă 8.
Zunächst gilt ϕ P S ñ ϕplq P S . Klar, wenn wir in die Definition n ě l einsetzen.Für beide Aussagen ergibt sich durch Rechnung:
xmpxkϕqpnq “ xmnÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
pxkqpjqϕpn´jq “ xmnÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
k ¨ pk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 1q xk´jloomoon
=0 für j ą k
ϕpn´jq
“
nÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
kpk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 1qxm`k´j ϕpn´jq
ď
nÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
kpk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 1q qm`k´j,n´jpϕq ă 8.
Lemma 48. S ãÑ L1
Beweis. Zu S Ă L1: Sei ϕ P S , so gilt:ż
R|ϕ| dx
p˚q
ď
ż
R
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
q2,0pϕq
p1` |x|q2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dx “ q2,0pϕq
ż
R
1
p1` |x|q2dx
loooooooomoooooooon
“2
“ 2q2,0 ă 8,
wobei wir bei p˚q in der Definition von S für unser ϕ, m “ 2 und n “ 0 gesetzt haben.Wir betrachten j : S ãÑ L1 mit jpϕq “ ϕ. Beachte, dass ϕ auf der linken Seite ein Element von
S darstellt, das auf der rechten Seite als Element aus L1 betrachtet wird. Wir zeigen, dass j injektivund stetig ist. Injektivität ist klar. Wir betrachten eine Folge in S mit ϕk
kÑ8ÝÝÝÑ
S0. Wir müssen nun
Konvergenz in L1 zeigen.
limkÑ8
ż
R|jpϕkq|dx “ lim
kÑ8
ż
R|ϕkpxq|loomoon
ďq2,0pϕkq
p1`|x|q2
ď const.p1`|x|q2
dxmaj.Konv.“
ż
RlimkÑ8
|ϕk|dx “ 0.
Bemerkung. Das Symbol ãÑ wird in dieser Vorlesung als Einbettung, d.h. als injektive stetige Abbil-dung eines Funktionenraumes in einen anderen, interpretiert.
Lemma 49. Sei ϕ P S und k P N0. Dann gilt:
1. ϕpkqpxqpωq “ piωqk pϕpωq, für alle ω P R.
2. xkϕpxqpωq “ ik pϕpkqpωq, für alle ω P R.
N.B.: Die zweite Aussage im obigen Lemma 49 zeigt, dass pf P C8 ist.
23
Vorlesung 8:
Die Fourier-Transformation als Isomorphismus auf S (11.12.14)
Wir beweisen zunächst Lemma (49).
Beweis. Teil 1:Da ϕ P S , folgt mit Lemma (48), dass ϕpkq P L1 ist.Wir berechnen:
zϕ1pxqpωq “
ż
Rϕ1pxqe´iωx dx
part.Int.“ ϕpxqe´iωx
ˇ
ˇ
ˇ
8
´8looooooomooooooon
“0
´
ż
Rϕpxqp´iωqe´iωx dx “ iω pϕpωq.
Für allgemeines n P N folgt die Behauptung per Induktion.
Teil 2:
ppϕq1pωq “d
dω
ż
Rϕpxqe´iωx dx
p‹q“
ż
Rϕpxq
d
dωe´iωx dx “ p´iq
ż
Rxϕpxqe´iωx dx,
wobei wir in p‹q benutzt haben, dass ϕpxqe´iωx in ω differenzierbar und diese Ableitung durch eineL1-Funktion majorisiert wird (z.B. xϕpxq P S Ă L1) sowie, dass ϕpxqe´iωx in ω für alle ω in L1 liegt,woraus folgt, dass wir Integral und Ableitung vertauschen können.Also gilt i pϕ1pωq “ pxϕpxqqpωq. Auch hier folgt die Aussage für allgemeine n P N per Induktion.
Satz 50. Die Fourier-Transformation F bildet S stetig in sich ab.
Beweis. Sei ϕ P S . Dann ist pϕ P C8.
Wir zeigen zunächst: pϕ P S . Seien k, l P N0. Dann gilt:
|ωkppϕqplqpωq| “ |ωk p´iqlloomoon
| ¨ |“1
zpxlϕqloomoon
PS
pωq| “ | rpxlϕqpkqpωqs| ď
ż
R|xlϕpxqpkq|dx.
Nun benutzen wir die alternative Definition von S :
ϕ P S ðñ @m,n P N0 : supxPRp1` |x|qm|ϕpnqpxq| ă 8.
Bezeichnet man das obige Supremum mit Qn,mpϕq, so gilt @m,n P N0:
|ϕpnqpxq| ďQm,npϕq
p1` |x|qm, @x P R. (1)
Nach Lemma (47) gilt:
|pxlϕpxqqpkq|Leib.Reg.ď
kÿ
n“0
„ˆ
k
n
˙
lpl ´ 1q . . . pl ´ n` 1q
|xl´n| |ϕpk´nqpxq|
ď
kÿ
n“0
r. . . sp1` |x|ql´n|ϕpk´nqpxq|,
24
wobei man xl´n “ 0 setzt, falls n ą l ist. Wählt man nun m “ l ` n ` 2 und benutzt (1), so ergibtsich:
|pxlϕpxqqpkq| ďkÿ
n“0
r. . . sQl`n`2,l´npϕq
p1` |x|q2“:
Cpl, k, ϕq
p1` |x|q2.
Das heisst, es gilt:
|ωkppϕqplqpωq| ď Cpl, k, ϕq
ż
R
dx
p1` |x|q2“ 2Cpl, k, ϕq ă 8,
und somit pϕ P S .
Nun zeigen wir Stetigkeit: Sei tϕju Ă S mit ϕjSÝÑ 0. Für Stetigkeit muss man nun pϕj
SÝÑ 0 zeigen.
Wir wissen, dass für alle k, l P N0 gilt:
|ωk pϕplqj pωq| ď 2Cpl, k, ϕjq,
das heisst, falls Cpl, k, ϕjq in j gegen 0 geht, ist die Behauptung gezeigt.Es gilt:
Cpl, k, ϕq “kÿ
n“0
r. . . sQl`n´2,k´npϕjq
“
kÿ
n“0
r. . . s supkPR
ˇ
ˇ
ˇp1` |x|ql`n`2 ϕ
pk´nqj pxq
loooomoooon
Ñ 0
ˇ
ˇ
ˇ
jÑ8ÝÝÝÑ
S0.
Beispiel. Sei γpxq :“ e´x2
2 P S . Dann ist F pγqpωq “?
2πe´ω2
2 “?
2π γpωq. Mit anderen Worten,der lineare Operator F : S Ñ S besitzt γ als Eigenfunktion zum Eigenwert
?2π. Beachte, dass der
Eigenwert von der verwendeten Definition der Fourier-Transformation abhängt!
Definition 51. Sei ϕ P S . Die Abbildung F´1pϕqpxq :“ 12π qϕpxq :“ 1
2π
ş
R ϕpωqeiωxdω nennen wir
„inverse Fourier-Transformation“.
Bemerkung. Beachte, dass gilt: qϕpxq “ş
R ϕpωqeiωxdω “
ş
R ϕpωqe´iω p´xqdω “ pϕp´xq P S .
Satz 52. ppϕqq“ 2π ϕ “ pqϕqp.
Beweis. Für die erste Gleichung ist zu zeigen, dass ϕpxq “ 12π
ş
R pϕpωqeiωxdω ist.Wir wissen aus Satz 42 (2), dass für ϕ,ψ P S Ă L1 gilt:
ż
Rpϕψ dω “
ż
Rϕ pψ dx.
Benutzen wir hier nun ψpωq :“ e´εω2
2 mit ε ą 0, so erhält man:
ż
Rpϕpωqe´ε
ω2
2 dω “
ż
Rϕpxq
pe´εω2
2 qpxqdxBsp.“
?2π
ε
ż
Rϕpxqe´
x2
2ε2 dxy“
xε“?
2π
ż
Rϕpεyqe´
y2
2 dy,
woraus wir die Gleichung:ż
Rpϕpωqe´ε
ω2
2 dω “?
2π
ż
Rϕpεyqe´
y2
2 dy
25
erhalten. Wir bilden nun in dieser Gleichung zunächst auf der linken und dann auf der rechten Seiteden Grenzwert εÑ 0.Links:
limεÑ0
ż
Rpϕpωqe´ε
ω2
2 dωmaj.Konv.“
pϕ PL1
ż
Rpϕpωq lim
εÑ0e´ε
ω2
2 dω “
ż
Rpϕpωqdω.
Rechts:
limεÑ0
?2π
ż
Rϕpεyqe´
y2
2 dymaj.Konv.“
ϕ8 e´y2
2 PL1
?2π
ż
RlimεÑ0
ϕpεyqloooomoooon
ϕp0q
e´y2
2 dy “?
2πϕp0q?
2π “ 2πϕp0q.
Also gilt:
ϕp0q “1
2π
ż
Rpϕpωqdω.
Nun liefert uns Satz 44 (3), dass gilt:
ϕpxq “ ϕp0` xq “1
2π
ż
R
ϕp0` xqpωqdω “1
2π
ż
Rpϕpωqe´iωxdω,
womit ppϕqq“ 2π ϕ gezeigt ist.Die zweite Gleichung erhält man analog, indem man die Identität qϕpxq “ pϕp´xq benutzt:
pqϕqppωq “
ż
Rqϕpxqe´iωx dx “
ż
Rpϕp´xqe´iωx dx
x ÞÑ´x“ ´
ż ´8
8
pϕpxqeiωx dx
“
ż
Rpϕpxqeiωx dx “ 2πϕpωq, ω P R.
Korollar 53. Die Fourier-Transformation ist eine bijektive Abbildung F : S Ñ S und F ,F´1 sindstetig.
Beweis. Die Bijektivität folgt direkt aus Satz (52), die Stetigkeit von F aus Satz (50) und letztlichdie Stetigkeit von F´1 aus qϕpxq “ pϕp´xq.
Bemerkung. Für 1 ă k P N setze F k :“ F k´1 ˝F . Dann ist:
F 2pϕqpxq “ F ppϕqpxq “ ppϕqppxq “ ppϕqqp´xq “ 2πϕp´xq “: 2π rϕpxq.
Daher:F 4pϕqpxq “ F 2p2πϕqp´xq “ p2πq2ϕpxq,
d.h. F 4 “ p2πq2 idS . Beachte, dass der Faktor p2πq2 von der verwendeten Definition der Fourier-Transformation abhängt.
Bemerkung. Die Funktion rϕ, x ÞÑ ´x, heisst auch Reflexionsabbildung. Insbesondere gilt: rϕ “ ϕ ˝p´ idq.
Fourier-Transformation auf S 1
Wir wollen nun die Idee der Fourier-Transformation auf den Raum der temperierten DistributionenS 1 erweitern. Dazu werden wir folgendes Ergebnis benötigen:
Die Hölder-Ungleichung: Es seien 1 ď p, q ď 8 konjugierte Exponenten, d.h. 1p `
1q “ 1. Fer-
ner seien f P Lp und g P Lq. Dann ist f ¨ g P L1 und es gilt die Abschätzung:
f ¨ g1 ď fpgq.
26
Vorlesung 9:
Fourier-Transformation von temperierten Distributionen (18.12.14)
Satz 54. Lp Ă S 1 für 1 ď p ď 8.
Beweis. Mit f P S 1 ist die von f induzierte temperierte Distribution Tf gemeint. Sei f P Lp undϕ P S , so gilt:
|xf, ϕy| ď
ż
R|f ||ϕ|dx
H:olderď fp
loomoon
ă8
ϕq .
Wir müssen nun beweisen, dass dieser Ausdruck für ϕkSÝÑ 0 gegen Null konvergiert um zu zeigen,
dass f P S 1 liegt. Dazu genügt es zu zeigen, dass id : S Ñ Lq stetig ist, woraus dann für ϕkSÝÑ 0
direkt ϕkq Ñ 0 und damit das Gesuchte folgt.Wir benutzen dazu eine Fallunterscheidung und eine der definierenden Eigenschaften von Funktionen
in S .Zunächst ist |ϕpxq| ď Qm,0pϕq
p1`|x|qm , für alle m P N. Wählen wir also insbesondere m ą q ` 1, dann folgtdaraus für 1 ď q ă 8:
ϕqq “
ż
R|ϕ|q dx ď pQm,0pϕqq
q
ż
R
1
p1` |x|qm´qdx ă 8.
Insbesondere konvergiert Qm,0pϕq gegen Null, wenn ϕkSÝÑ 0 gilt und damit folgt in diesem Fall
ϕkq Ñ 0.Sei nun q “ 8. Dann bekommen wir aus |ϕ| ď Q0,0pϕq, dass ϕ8 ď Q0,0pϕq gilt, woraus dann
ebenfalls das Gesuchte folgt.Wir haben also gezeigt: Aus ϕk
SÝÑ 0 folgt xf, ϕky
CÝÑ 0.
Bemerkungen. Dieser Beweis zeigt insbesondere, dass:
1. S Ă Lp für 1 ď p ď 8.
2. Lp ãÑ S 1 für 1 ď p ď 8.
3. Zudem kann man zeigen, dass S 1 dichtĂ D 1 ist. Da D 1 Ă Lp für 1 ď p ď 8 ist und Lp Ă S 1, folgtauch, dass Lp
dichtĂ S 1 ist.
Wir wollen nun die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen einführen. Dazu rufen wiruns zwei Ergebnisse in Erinnerung. Für f P L1 Ă S 1 gilt pf P C00 Ă L8 Ă S 1 (aus Korollar 43) undfür eine Schwartz-Funktion ϕ P S Ă L1 gilt pϕ P S Ă L1.Zudem gilt:
A
pf, ϕE
“
ż
Rpfpωqϕpωqdω “
ż
Rfpωqpϕpωqdω “ xf, pϕy.
Man beachte: Hier ist die Fouriertransformation in L1 gemeint!
Definition 55. Sei f P S 1. Dann ist die Fouriertransformation von f definiert durch F pfq :“ pf mitA
pf, ϕE
:“ xf, pϕy.
27
Ähnlich motivieren wir die inverse Transformation als F´1pfq :“ 12π
qf auf S 1:A
qf, ϕE
“
ż
Rqfpωqϕpωqdω “
ż
Rpfp´ωqϕpωqdω
ω ÞÑ´ω“
ż
Rpfpωqϕp´ωqdω
Satz 43“
ż
Rfpωqpϕp´ωqdω “ xf, qϕy.
Definition 56. Sei f P S 1. Dann ist die inverse Fouriertransformation F´1pfq :“ 12π
qf gegeben durch:A
qf, ϕE
“ xf, qϕy für alle ϕ P S .
Satz 57. F ,F´1 : S 1 Ñ S 1 sind linear, bijektiv und stetig.
Beweis. Linearität und Stetigkeit folgen direkt aus der Definition.Zur Injektivität: Sei F pfq “ 0. Dann folgt xF pfq, ϕy “ 0 für alle ϕ P S , woraus folgt, dass
xf,F pϕqy “ 0 ist für alle ϕ P S . Wegen Satz 53 ist das aber äquivalent zu xf, ϕy “ 0 für alle ϕ P S ,woraus direkt f ” 0 folgt.Zur Surjektivität: Sei f P S 1 und ϕ P S . Dann gilt:
xf, ϕy “
B
f,1
2πpqϕqp
F
“1
2π
A
p pf qq, ϕE
,
woraus f “ 12π p
pfqq und damit die Surjektivität folgt.
Bemerkungen. Es gilt auch p pfqp “ 2π rf (Erinnerung: rfpxq “ fp´xq).
Satz 58. Sei f P S 1. Dann gilt für alle n P N und a P R:
1. yf pnqpωq “ piωqn pfpωq.
2. pxn ¨ fq^ “ in pf pnq.
3. pfpx` aqq^ “ eiaω pfpωq.
4. peixafq^ “ pfpω ´ aq.
5. p qfq^ “ p pfq_.
Beweis. ÜBUNG!
Beispiel. Sei ϕ P S . Dann gilt für die δ-Distribution:A
pδ, ϕE
“ xδ, pϕy “ pϕp0q “ intRϕpxqe´i0x dx “
ż
Rϕpxq dx “ x1, ϕy,
woraus folgt, dass pδ “ 1 ist.
Beispiel. Für alle ϕ P S gilt:
xδ, ϕy “
B
δ,1
2πppϕqq
F
“
B
qδ,1
2πpϕ
F
p‹q“
B
pδ,1
2πpϕ
F
“
B
1,1
2πpϕ
F
“
B
1
2πp1, ϕ
F
,
woraus δ “ 12πp1 folgt.
(Dabei haben wir:A
qδ, ϕE
“ xδ, qϕy “ş
R ϕpωqei0ωdω “
ş
R ϕpωqe´i0ωdω “ xδ, pϕy “
A
pδ, ϕE
bei p‹qbenutzt.)Hier kommt eine interessante Interpretation von Dirac ins Spiel. Wir betrachten:
xδ, ϕy “
B
1
2πp1, ϕ
F
“
B
1
2π1, pϕ
F
“1
2π
ż
Rpϕpωqdω “
1
2π
ż
R
ż
Rϕpxqe´iωx dxdω
!„ “ “
1
2π
ż
R
ż
Re´iωxdω
looooomooooon
“8
ϕpxqdx “:
B
1
2π
ż
Re´iωxdω, ϕ
F
28
und bemerken dabei, dass!
„ “ “ nicht gilt, da das Integral über e´iωx gleich 8 ist. Dirac interpretiertealso die Abbildung x ÞÑ 1
2π
ş
R e´iωxdω, die aus diesem Grund auch keine klassische Funktion darstellen
kann, als Distribution für die gilt: δ S 1
“ 12π
ş
R e´iωxdω.
Wir betrachten nun die Einschränkung dieses Integrals auf ein symmetrisches Intervall um die Null,o. E. r´b, bs und erhalten:
δbpxq :“1
2π
ż b
´be´iωxdω “
1
π
sinpbxq
x.
Das liefert eine (wohldefinierte) Abbildung x ÞÑ δbpxq für die gilt δb P L2, sowie pδbpωq “ χr´b,bspωq, dapδ “ 1 und die Einschränkung auf 1 |r´b,bs“ χr´b,bs führt. Damit ist insbesondere pδb P L2.Letztlich wollen wir das Konvergenzverhalten von δb für bÑ8 untersuchen. Für ϕ P S gilt:
limbÑ8
ż
Rδbpxqϕpxqdx “ lim
bÑ8
1
2π
ż
R
ż b
´be´iωx ϕpxqdx dω
Fubini“ lim
bÑ8
1
2π
ż b
´b
ż
Re´iωx ϕpxq dω dx
“ limbÑ8
1
2π
ż b
´bpϕpxqdx “
1
2π
ż
Rpϕpxqdx “
1
2π
ż
R1 pϕpxqdx “
1
2π
A
p1, ϕE
“1
2πx2π δ, ϕy “ xδ, ϕy.
Also gilt δb S 1
ÝÝÑ δ.
Beispiel. Wir betrachten nun die Monome xn mit n P N. Es gilt für f P S 1 : pxn ¨ fqp “ in pf pnq. Setzef ” 1, dann gilt: xxn “ inp1pnq “ 2πinδpnq.
Beispiel. Sei fpxq “ eiax für ein a P Rzt0u. Nun ist f P L8 Ă S 1 und damit können wir für ϕ P Srechnen:
A
yeiax, ϕE
“@
1 ¨ eiax, pϕD
“@
1, eiax pϕD
“ x1, pϕpx` aqqpy
“
A
p1, ϕpx` aqE
“ x2πδ, ϕpx` aqy “ 2πϕpaq
“ x2πδpx´ aq, ϕy.
Also ist yeiaxS 1
“ 2πδpx´ aq.
Beispiel. Sei fpxq “ sinpxq. Dann ist f P L8 Ă S 1. Für ϕ P S gilt:A
sinpxq, ϕE
“1
2i
@
peix ´ e´ixqp, ϕD
“1
2i
A
xeix, ϕE
´1
2i
A
ye´ix, ϕE
“ iπxδpω ` 1q ´ δpω ´ 1q, ϕy.
Daher: xsinpωq “ iπrδpω ` 1q ´ δpω ´ 1qs.
Vorlesung 10:
Eigenschaften der Ableitung in S und S 1 (08.01.15)
Lemma 59. Eine Schwartz-Funktion ϕ P S ist die Ableitung einer anderen Schwartz-Funktion in Sgenau dann, wenn
ş
R ϕdx “ 0.
29
Beweis.ñ: Sei ϕ “ ψ1, ψ P S . Dann ist
ş
R ϕdx “ş
R ψ1 dx “ limMÑ8
şM´M ψ1 dx “ limMÑ8pϕpMq ´
ϕp´Mqq “ 0.
ð: Seiş
R ϕdx “ 0. Setze ψpxq :“şx´8
ϕpyqdy. Da ψ1 “ ϕ P C8 ist folgt, dass ψ P C8 ist.
Sei nun m P N. Dann gilt |ϕpxq| ď Qm,0pϕqp1`|x|qm`2 . Damit können wir für x ě 0 rechnen:
p1` |x|qm|ψpxq| ď p1` |x|qmż x
´8
|ϕpyq|dy ďp1` |x|qm
p1` |x|qmQm,0pϕq
ż x
´8
dy
p1` |y|q2ď const. ă 8.
Für x ă 0 beachte, dass mit y :“ ´x gilt:
|ψp´yq| ď
ż ´y
´8
Qm,0pϕq
p1` |x|qm`2dx
x ÞÑ´x“ ´
ż y
8
Qm,0pϕq
p1` |x|qm`2dx “
ż 8
y
Qm,0pϕq
p1` |x|qm`2dx.
Da ψpxq “şx´8
ϕpyqdy “ ´ş´8
x ϕpyqdy gilt, ergibt die obige Abschätzung, dass ψ P S .
Satz 60. Sei f P S 1. Es gilt f 1 “ 0 genau dann, wenn f eine konstante Funktion ist.
Beweis.ð: Sei f “ c eine konstante Funktion. Dann ist f 1 “ 0, da in diesem Fall die distributionelle Ableitungder klassischen Ableitung entspricht.
ñ: Es ist f 1 “ 0 ô xf 1, ϕy “ ´xf, ϕ1y “ 0 für alle ϕ P S . Sei ψ0 P S mitş
R ψ0 dx “ 1. Fürbeliebiges ϕ P S setze a “ apϕq :“
ş
R ϕdx. Dann ist ϕ ´ aψ0 P S . Nun istş
Rpϕ ´ aψ0q dx “ş
R ϕdx´ aş
R ψ0 dx “ 0.Nach Lemma 59 gibt es ein ψ P S mit ψ1 “ ϕ´ aψ0. Nun ist:
0 “@
f 1, ψD
“ ´@
f, ψ1D
“ ´xf, ϕy ` a xf, ψ0yloomoon
“:c
“ ´xf, ϕy `
ˆż
Rϕdx
˙
c.
Daraus folgt, dass xf, ϕy “ş
R cϕdx “ xc, ϕy für alle ϕ P S ist und damit f “ c.
Definition 61. Eine Distribution f heißt gerade/ungerade falls für alle ϕ gilt:
xf, ϕp´xqy “ xf, ϕy,
bzw.
xf, ϕp´xqy “ ´xf, ϕy.
Beispiel. Fourier-Transformation von vp 1x .
Aus Satz 33 folgt: x ¨ vp 1x
D 1“ 1. Daraus folgt:
i
ˆˆ
vp1
x
˙^˙1
“
ˆ
x ¨ vp1
x
˙^
“ p1 “ 2πδ “ 2πH 1,
wobei H die Heaviside-Funktion ist. Daher: ipvp 1xq1
“ 2πH 1 ðñ p
pvp 1xq ` 2πiHq1 “ 0.
Mittels Satz 60 folgt, dass es ein c P R gibt, so dass zvp 1x ` 2πiH “ c ðñ
zvp 1xpωq “ c´ 2πiHpωq.
Da H eine ungerade Distribution ist, gilt: c´ 2πiHp´ωq “ ´pc´ 2πiHpωqq. D.h.:
ω ą 0 : c “ ´c` 2πi ñ c “ πi,
ω ă 0 : c´ 2πi “ ´c ñ c “ πi,
und damit zvp 1x “ πip1´ 2Hq.
30
Bemerkung. sgnpxq “ 2H ´ 1 ñzvp 1
x “ ´πi sgnpxq.
Beispiel. Fourier-Transformation von H.Wir wissen aus obiger Rechnung, dass zvp 1
x “ πip1 ´ 2Hq ist. Damit können wir nun, ausgehend vonvp 1
x , rechnen:
´2π vp1
ω“ 2π
ˆ
vp1
ω
˙„
“
ˆ
vp1
x
˙^^
“ πip1´ 2Hq^ “ πipp1´ 2 pHq “ πip2πδ ´ 2 pHq.
Daraus folgt also, dass pHpωq “ πδpωq ´ i vp 1ω ist.
Satz 62. Sei f P S 1. Dann gilt: x ¨ fpxq S 1
“ 0 ô f “ cδ, c P R.
Beweis.ð: Aus f “ cδ folgt x ¨ f “ cxδ “ 0, da xxδ, ϕy “ xδ, x ¨ ϕy “ 0 ¨ ϕp0q = 0.
ñ: Sei x ¨ f “ 0. Dann folgt: p0 “ zx ¨ f “ i pf 1 ñ pf 1 “ 0. Daraus folgt nun aber mit Satz 60, dasspf “ c für ein c P R ist. Wir erhalten daher:
f “1
2πpf^ “
1
2πpc ¨ 1q^ “
1
2πcq1 “
1
2πcp1 “
1
2πc 2πδ “ c δ.
Literatur• E. Berz, Verallgemeinerte Funktionen und Operatoren, B.I. Hochschultaschenbücher, 122/122a,
Mannheim 1967 (weiterführend)
• R. Brigola, Fourieranalysis, Distributionen, und Anwendungen, Vieweg 1997. (begleitend)
• K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister, Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, 6. Auflage,Springer Verlag 2013. (begleitend)
• I. M. Gel’fand & G.E. Shilov, Generalized Functions, Vol. I: Properties and Operations, AcademicPress, 1964. (weiterführend)
• L. Hörmander, The Analysis of Partial Differential Operator, Vol. I: Distribution Theory andFourier Analysis, Springer Verlag, 1983. (weiterführend)
• M. J. Lighthill, An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions, Cambridge Uni-versity Press, 1964. (begleitend)
• D. Müller-Wichards, Transformationen und Signale, 2. Auflage, Springer Verlag, 2013. (beglei-tend)
• I. Richards & H. Youn, The Theory of Distributions, Cambridge University Press, 1995. (beglei-tend)
• W. Walter, Einführung in the Theorie der Distributionen, Bibliographisches Institut, Mannheim,1970. (weiterführend)
• A. H. Zemanian, Distribution Theory and Transform Analysis, Dover, New York, 1967 (weiter-führend)
31
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust23. Oktober 2014
Übungsblatt 1
1. Es seien ´8 ă a ă c ă d ă b ă 8. Ausgehend von der Funktion ϕa,b konstruiere man eineC8-Funktion ψ mit den Eigenschaften:
ψpxq “
#
1, x P rc, ds;
0, x P Rzra, bs,
und 0 ď ψpxq ď 1 für x P ra, cs Y rd, bs. (Hinweis: Man betrachte zuerstşx´8
ϕa,bptqdt.)
2. Man beweise Satz 13.
3. Man zeige, dass die Funktion sgn : RÑ t´1, 0, 1u, definiert durch:
sgnpxq :“
$
’
&
’
%
´1, x ă 0;
0, x “ 0;
`1, x ą 0
eine reguläre Distribution definiert. Man berechne sgn1 im Distributionensinne.
4. Man vervollständige den Beweis von Satz 15.
5. Man zeige Eigenschaften (i) - (iv) in Satz 16.
6. Man betrachte die Funktionen fpxq “ xp mit p ă 0. Für welche Werte von p definieren dieseFunktionen reguläre Distributionen?
7. Es sei ´8 ď a ă b ă c ď `8. Die Funktion f : pa, bq Y pb, cq Ñ R sei Riemann integrierbar.Falls der Grenzwert:
limεÑ0
ˆż b´ε
afpxqdx`
ż c
b`εfpxqdx
˙
existiert und endlich ist, so heisst er Cauchyscher Hauptwert und wird mit:
vp
ż c
afpxqdx
bezeichnet. (vp steht für “valeur principale".) Man bestimme für welche p ą 0:
vp
ż `1
´1
dx
xp
existiert.
32
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust06. November 2014
Übungsblatt 2
1. Welche der nachfolgenden Abbildungen f : D Ñ C definieren Distributionen in D 1:
a) xf, ϕy :“8ÿ
k“0
ϕpkq.
b) xf, ϕy :“8ÿ
k“0
ϕpkqp0q.
c) xf, ϕy :“8ÿ
k“0
ϕpkqpkq.
d) xf, ϕy :“
ż
Rϕ2pxqdx.
e) xf, ϕy :“
ż 8
0
ϕpxq ´ ϕp0q
x.
2. Man zeige, dass die Abbildung j : CpRq Ñ D 1, f ÞÑ Tf , injektiv und stetig ist. Die Abbil-dung j heisst dann Einbettungsabbildung; man schreibt CpRq ãÑ D 1 und sagt, dass CpRq in D 1
eingebettet ist. Man beweise, dass darüber hinaus CpRq ãÑ L1loc ãÑ D 1 gilt.
3. Eine Distribution f P D 1 heisst von endlicher Ordnung, falls gilt:
Dm P N0 @Kompakta K Ă R DC ą 0 : |xf, ϕy| ď Cmÿ
µ“0
›
›
›ϕpµq
›
›
›
8, ϕ P D .
Das kleinstem für welches die obige Anschätzung gilt, heisst die Ordnung von f . Man bestimmedie Ordnung der folgenden Distributionen:
a) f P D 1 ist regulär.
b) Dirac-Distribution δ.
c) Es sei m P N und ϕ P D . Die Distribution f P D 1 sei definiert durch xf, ϕy :“ ϕpmqp0q.
4. Man zeige, dass die Distribution f P D 1, definiert durch:
xf, ϕy :“8ÿ
k“0
ϕpkqpkq, ϕ P D ,
keine endliche Ordnung besitzt.
33
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust13. November 2014
Übungsblatt 3
1. Anhand der Distributionen f1 :“ δ, f2 :“ x und f3 :“ vp 1x zeige man, dass die übliche Definition
der Multiplikation von Funktionen für Distributionen keinen Sinn ergibt.
2. Man zeige, dass die δ-Distribution nicht regulär ist. (Hinweis: Man nehme an, dass ein f P L1loc
existiere mit δ “ Tf und betrachte eine Folge von Testfunktionen tϕku aus D mit ϕkp0q “ 1 undsuppϕk “ r´
1k ,
1k s.)
3. Es sei v P C8. Man zeige, dass vδ1 “ vp0q δ1 ´ v1p0q δ ist.
4. Man löse die distributionelle DGL xf 1 ` fD 1“ H.
5. Für λ ą ´1 betrachte man die reguläre Distribution:
A
xλ`, ϕE
:“
ż 8
0xλϕpxqdx, ϕ P D ,
wobei xλ` die Funktion bezeichnet, welche für x ą 0 gleich xλ und für x ď 0 identisch Null ist.Man zeige, dass die folgende Identität gilt:
ż 8
0xλϕpxqdx “
ż 1
0xλ rϕpxq ´ ϕp0qs dx`
ż 8
1xλϕpxqdx`
ϕp0q
λ` 1,
und dass die rechte Seite für alle λ ą ´2, λ ‰ ´1, existiert. Mittels dieser „Regularisierung“definiert man nun die (nicht reguläre) Distribution xλ` für λ ą ´2, λ ‰ ´1.
Mittels Induktion zeige man, dass für λ ą ´n´ 1, λ ‰ ´1,´2, . . . ,´n, gilt:ż 8
0xλϕpxqdx “
ż 1
0xλ
„
ϕpxq ´ ϕp0q ´ xϕ1p0q ´ ¨ ¨ ¨ ´xn´1
pn´ 1q!ϕpn´1qp0q
dx
`
ż 8
1xλϕpxqdx`
nÿ
k“1
ϕpkqp0q
pk ´ 1q! pλ` kq.
Diese Identität erlaubt es, die Distribution xλ` für alle λ ‰ Z´ zu definieren. Man bestimme denpartie finie von xλ`.
Anhand obiger Ausführungen überzeuge man sich, dass die Distributionen xλ`Γpλ`1q für alle λ P R
erklärt sind. (Man betrachte die Polstellen der Eulerschen Gammafunktion Γ.)
34
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust20. November 2014
Übungsblatt 4
1. Man zeige, dass die Aussage f P D 1 äquivalent zu folgender Definition ist:Definition. Die Abbildung f : D Ñ C heisst Distribution, falls für jede kompakte Menge K Ă RKonstanten C ą 0 und k P N0 existieren, so dass gilt:
|xf, ϕy| ď Ckÿ
κ“0
supxPR
|ϕpκqpxq|, @ϕ P DpKq.
2. Es sei F eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von R. Man zeige, dass sich jedes ϕ P C8, fürwelches F X suppϕ eine kompakte Teilmenge von R ist, in der Form:
ϕ “ ϕ0 ` ϕ1
schreiben lässt, wobei ϕ0 P C80 und F X suppϕ1 “ H ist. (Hinweis: Setze K :“ F X suppϕ und
wähle ein ψ P C80 welches gleich 1 in einer Umgebung von K ist.)
3. Es sei f P D 1 und F eine abgeschlossene Menge, die den Träger von f enthält. Dann existiert eineindeutig bestimmtes lineares Funktional rf auf tϕ P C8 : F X suppϕ kompakte Teilmenge vonRu, so dass:
a)A
rf, ϕE
“ xf, ϕy, falls ϕ P D ist.
b)A
rf, ϕE
“ 0, falls ϕ P C8 und F X suppϕ “ H ist.
Schreibt man wieder f für rf , so sieht man, dass xf, ϕy für alle f P D 1 und alle ϕ P C8 mitsupp f X suppϕ “ kompakte Teilmenge von R definiert ist.
Man nennt eine Folge von Funktionen tϕku aus C8 konvergent gegen ϕ in C8, falls für alle kompaktenTeilmengen K von R und alle n P N0, |ϕ
pnqk pxq| gleichmäßig gegen |ϕpnqpxq| konvergiert für alle x P K
(Gleichmäßige Konvergenz aller Ableitungen auf kompakten Mengen). Den Raum C8 versehen mitdiesem Konvergenzbegriff bezeichnet man mit E .
Definition (Distributionsraum E 1). Den Raum aller stetigen linearen Funktionale auf E bezeichnetman mit E 1. Eine Abbildung f : E Ñ C heisst dabei stetig, wenn aus ϕk Ñ ϕ in E , xf, ϕky Ñ xf, ϕyin C folgt.
4. Man zeige: f P E 1 ðñ eine kompakte Teilmenge K in R existiert, sowie ein C ą 0 und einm P N0, so dass gilt:
|xf, ϕy| ď Cmÿ
µ“0
supxPK
|ϕpµqpxq|, @ϕ P E .
5. Man zeige, dass die Menge aller Distributionen aus D 1 mit kompaktem Träger identisch mit E 1
ist. Elemente aus E 1 heissen deshalb auch Distributionen mit kompaktem Träger.
35
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust27. November 2014
Übungsblatt 5
1. Es sei f P L1. Man beweise das Lemma von Riemann-Lebesgue: lim|ω|Ñ8
pfpωq “ 0.
2. Man zeige folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation.
a) Es sei f P C1 und f 1 P L1. Dann ist zf 1pxq “ iω pfpωq.
b) fpx` aq “ eiωa pf , a P R.
c) fpaxq “ 1|a|
pf`
ωa
˘
, a P Rzt0u.
3. Es sei ϕpxq :“ e´px´aq2b2 , a P R, b P Rzt0u. Man berechne Fϕ. Für welche Werte von a und b
gilt: Fϕ “ λϕ? Man bestimme λ.
4. Gegeben seien die Hermite-Funktionen hnpxq :“ p´1qnex22
`
ddx
˘ne´x
2 , n P N. Man zeige, dassgilt: Fhn “ p´iq
n?
2π hn.
5. Es sei f P L1. Man zeige:
a) Ist f gerade Funktion, so ist pf gerade und reell. Ist f ungerade Funktion, so ist pf ungeradeund rein imaginär.
b) zfpxq “ pfp´ωq, wobei ¯ komplexe Konjugation bedeutet. Was ergibt sich aus dieser Identitätwenn f reell-wertige Funktion ist?
6. Man berechne die Fourier-Transformation folgender L1-Funktionen.
a) fpxq :“
#
1, |x| ď 1,
0, |x| ą 1.
b) gpxq :“
#
1´ |x|, |x| ď 1,
0, |x| ą 1.
(Hinweis: Man kann hier den Faltungssatz benutzen! )
c) hpxq :“ e´exex.
7. Es sei tfkukPN eine Folge von L1-Funktionen, die gegen ein f P L1 konvergiere. Man zeige, dassdann gilt:
limkÑ8
pfkpωq “ pfpωq,
gleichmäßig für alle ω P R.
36
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust4. Dezember 2014
Übungsblatt 6
1. Es seien ϕ,ψ, τ P D . Man zeige, dass folgende Faltungseigenschaften gelten:
a) Kommutativität: ϕ ˚ ψ “ ψ ˚ ϕ.
b) Assoziativität: pϕ ˚ ψq ˚ τ “ ϕ ˚ pψ ˚ τq.
c) Vertauschung mit Translationen: pϕ ˚ψqpx´ aq “ ϕpx´ aq ˚ψpxq “ ϕpxq ˚ψpx´ aq, a P R.d) Vertauschung mit Differentiation: pϕ ˚ ψq1 “ ϕ1 ˚ ψ “ ϕ ˚ ψ1.
e) Faltung von Testfunktionen ist Testfunktion: ϕ ˚ ψ P D .
N.B.: Eigenschaften (a) und (b) definieren die Halbgruppe pD , ˚q.
2. Es sei f P D 1 und ϕ P D . Man definiert die Faltung einer Distribution f mit einer Test-funktion ϕ durch:
pf ˚ ϕqpxq :“ xfpx´ yq, ϕpyqy “ xfpyq, ϕpx´ yqy.
Man beachte, dass pf ˚ ϕqpxq eine gewöhnliche Funktion x ÞÑ xfpyq, ϕpx´ yqy definiert.
Zeige dass gilt: δ ˚ ϕ “ ϕ, @ϕ P D .
3. Man beweise den folgenden Satz, indem man Eigenschaften (a) – (d) zeigt.Satz. Es sei ϕ P D und f P D 1. Dann ist f ˚ ϕ P C8. Hat f kompakten Träger, d.h. ist f P E 1,so ist f ˚ ϕ P D . Im letzteren Fall fasst man ˚ : E 1 ˆD Ñ D als stetige bilineare Abbildung auf.
a) Sei rϕpxq :“ ϕp´xq. Dann gilt: xf, ϕy “ pf ˚ rϕqp0q.
b) Man zeige, dass die Funktion x ÞÑ pf ˚ ϕqpxq stetig ist.
c) Zeige, dass pf ˚ ϕq1 “ f ˚ ϕ1 gilt. (Man benutze Satz 18! )
d) Es sei supp f Ď r´a, as und suppϕ Ď r´b, bs. Dann ist supp f ˚ ϕ Ď r´pa` bq, a` bs.
4. Approximative Eins: Es sei θ P D mit θ ě 0 undş
R θpxqdx “ 1. Setze θapxq :“ aθpaxq, a ą 0.Zeige, dass für jedes ϕ P D gilt:
limaÑ8
θa ˚ ϕ “ ϕ (Konvergenz im Sinne von D).
(Hinweis: Da pθa ˚ ϕqpkq “ θa ˚ ϕpkq gilt, genügt es zu zeigen, dass θa ˚ ϕ gleichmäßig gegen ϕ
konvergiert.)
5. Man beweise den folgenden Satz:Satz. Es sei f P D 1. Dann existiert eine Folge von C8-Funktionen tϕku, so dass gilt:
f “ limkÑ8
ϕk (Konvergenz im Sinne von D 1).
(Hinweis: Man wähle eine Approximative Eins tθku, k P Z, und setze ϕk :“ f ˚ rθk.)
37
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust11. Dezember 2014
Übungsblatt 7
1. Es sei f P S . Man zeige: pfL2 “?
2πfL2 .
2. Es seien A, B und C Mengen und f : A Ñ B und g : B Ñ C Abbildungen. Dann heisstf˚pgq :“ g ˝ f der pullback von g nach A:
A B
C
f˚pgq
f
g
Es seien Ω1,Ω2 Ă R offene Teilmengen und F : Ω1 Ñ Ω2 ein Diffeomorphismus, d.h., F is bijektivund F und F´1 sind C8. Falls f P CpΩ2q ist, dann ist F ˚pfq “ f ˝F : Ω1 Ñ C ein Element vonCpΩ1q und kann daher als Element von D 1pΩ1q betrachtet werden. Man zeige, dass gilt:
xF ˚pfq, ϕy “@
f, pF´1q˚pϕq ¨ |pF´1q1|D
, @ϕ P DpΩ1q.
Hierbei bedeutet 1 die Ableitung nach der unabhängigen Variablen.
3. Es seien Ω1,Ω2 Ă R offene Teilmengen und F : Ω1 Ñ Ω2 ein Diffeomorphismus. Für f P D 1pΩ2q
sei der pullback von f nach Ω1 definiert durch:
xF ˚pfq, ϕy :“@
f, pF´1q˚pϕq ¨ |pF´1q1|D
, @ϕ P DpΩ1q.
Man zeige, dass F ˚pfq P D 1pΩ1q ist und dass die Abbildung D 1pΩ2q Ñ D 1pΩ1q, f ÞÑ F ˚pfq,linear und stetig ist.
4. Es seien Ω1,Ω2 Ă R offene Teilmengen und F : Ω1 Ñ Ω2 ein Diffeomorphismus. Ferner seix0 P Ω1 und y0 :“ F px0q. Man zeige, dass der pullback von f :“ δpy ´ y0q P D 1pΩ2q nach Ω1
gegeben ist durch:
F ˚δpy ´ y0q “1
|F 1px0q|δpx´ x0q.
5. Eine Distribution f P D 1 heisst homogen vom Grade d, wenn gilt:
xf, ϕy “ td xf, ϕty, @ϕ P D , ϕtpxq :“ tϕptxq, t ą 0.
Man zeige, dass δ homogen from Grade d “ ´1 ist. Was ist der Grad von δpnq, n P N?
38
Elemente der DistributionentheorieWintersemester 2014/2015
PD Dr. Peter Massopust18. Dezember 2014
Übungsblatt 8
1. Man beweise Proposition 51.
2. Man beweise: Es seien Ω1,Ω2 offene Teilengen von R. Es seien f P E 1pΩ1q :“ tf P E 1 : supp f ĎΩ1u und ϕ P C8pΩ1ˆΩ2q. Dann ist die Funktion y ÞÑ xf, ϕp ¨ , yqy ein Element von C8pΩ2q undes gilt:
dk
dykxf, ϕp ¨ , yqy “
B
f,dk
dykϕp ¨ , yq
F
, @ k P N.
3. Es bezeichne:
OM pRq :“!
f P C8 : @ k P N0 Dn P N0 DC ą 0 @x P R :ˇ
ˇ
ˇf pkqpxq
ˇ
ˇ
ˇď C p1` |x|qn
)
den Raum aller schwach anwachsenden C8-Funktionen. Man zeige: f P E 1 hat als Fourier-Transformierte eine Funktion pf in OM pRq Ă C8 und es gilt:
pfpωq “@
fpxq, e´iωxD
. p˚q
(Hinweis: Man benutze Aufgabe 2 mit ϕpx, ωq :“ e´iωx, schneide ϕ durch eine C80 -Funktion ψ,deren Träger supp f enthält, ab und beachte dass:
A
pf, ψE
“
A
f, pψE
“ pfpxq b ψpωqqpe´iωxq “
ż
Rψpωq
@
fpxq, e´iωxD
dω.
N.B.: p˚q gilt auch für komplexe ω P C und pf definiert in diesem Falle eine ganze holomorpheFunktion, die auch Fourier-Laplace-Transformierte von f genannt wird.
4. Es sei pfpωq die Fourier-Laplace-Transformierte von f P E 1 mit ω P C. Man zeige, dass die folgendeAbschätzung gilt: Es existiert eine Konstante A ą 0, so dass man für jedes n P N0 eine KonstanteC ą 0 finden kann, so dass:
| pfpωq| ď C p1` |ω|qn eA | Imω|, @ω P C,
gilt. (Dies ist der hinreichende Teil des Satzes von Paley-Wiener.)
5. Es sei s P R. Dann heisst:
HspRq :“ tf P S 1 : p1` |ω|2qs2 pf P L2pRqu
der Sobolev-Slobodeckij-Raum der Ordnung s. Man zeige:
a) e´|x| P HspRq dann und nur dann, wenn s ă 32 ist.
b) fpxq :“
#
1, |x| ď 1,
0, |x| ą 1.P HspRq dann und nur dann, wenn s ă 1
2 ist.
c) δ P HspRq dann und nur dann, wenn s ă ´12 ist.
39
